logika
TRANSCRIPT
Matematika Diskrit
Politeknik Caltex Riau
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 1 / 25
Outline
Proposisi
Inferensi
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 2 / 25
Outline
Proposisi
Inferensi
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 2 / 25
Proposisi
Logika adalah suatu ilmu yang mempelajari tentang penalaran, yaitucara berpikir dengan mengembangkan sesuatu berdasarkan akal budidan bukan dengan perasaan atau pengalaman.
Logika merupakan dasar dari semua penalaran (reasoning).
Penalaran didasarkan pada hubungan antara pernyataan (statements).
De�nitionProposisi adalah pernyataan atau kalimat deklaratif yang bernilai benar(true) atau salah (false), tetapi tidak keduanya.
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 3 / 25
Proposisi
Logika adalah suatu ilmu yang mempelajari tentang penalaran, yaitucara berpikir dengan mengembangkan sesuatu berdasarkan akal budidan bukan dengan perasaan atau pengalaman.
Logika merupakan dasar dari semua penalaran (reasoning).
Penalaran didasarkan pada hubungan antara pernyataan (statements).
De�nitionProposisi adalah pernyataan atau kalimat deklaratif yang bernilai benar(true) atau salah (false), tetapi tidak keduanya.
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 3 / 25
Proposisi
Logika adalah suatu ilmu yang mempelajari tentang penalaran, yaitucara berpikir dengan mengembangkan sesuatu berdasarkan akal budidan bukan dengan perasaan atau pengalaman.
Logika merupakan dasar dari semua penalaran (reasoning).
Penalaran didasarkan pada hubungan antara pernyataan (statements).
De�nitionProposisi adalah pernyataan atau kalimat deklaratif yang bernilai benar(true) atau salah (false), tetapi tidak keduanya.
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 3 / 25
Proposisi
Logika adalah suatu ilmu yang mempelajari tentang penalaran, yaitucara berpikir dengan mengembangkan sesuatu berdasarkan akal budidan bukan dengan perasaan atau pengalaman.
Logika merupakan dasar dari semua penalaran (reasoning).
Penalaran didasarkan pada hubungan antara pernyataan (statements).
De�nitionProposisi adalah pernyataan atau kalimat deklaratif yang bernilai benar(true) atau salah (false), tetapi tidak keduanya.
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 3 / 25
Proposisi
Contoh proposisi :
6 adalah bilangan genap.
Soekarno adalah presiden Indonesia pertama.
2 + 2 = 4.
New York adalah ibukota Amerika Serikat.
Contoh yang bukan merupakan proposisi :
Jam berapa kereta api Argo Gede tiba di Gambir?
Serahkan uangmu sekarang!
x + 2 = 8
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 4 / 25
Proposisi
Contoh proposisi :
6 adalah bilangan genap.
Soekarno adalah presiden Indonesia pertama.
2 + 2 = 4.
New York adalah ibukota Amerika Serikat.
Contoh yang bukan merupakan proposisi :
Jam berapa kereta api Argo Gede tiba di Gambir?
Serahkan uangmu sekarang!
x + 2 = 8
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 4 / 25
Proposisi
Contoh proposisi :
6 adalah bilangan genap.
Soekarno adalah presiden Indonesia pertama.
2 + 2 = 4.
New York adalah ibukota Amerika Serikat.
Contoh yang bukan merupakan proposisi :
Jam berapa kereta api Argo Gede tiba di Gambir?
Serahkan uangmu sekarang!
x + 2 = 8
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 4 / 25
Proposisi
Contoh proposisi :
6 adalah bilangan genap.
Soekarno adalah presiden Indonesia pertama.
2 + 2 = 4.
New York adalah ibukota Amerika Serikat.
Contoh yang bukan merupakan proposisi :
Jam berapa kereta api Argo Gede tiba di Gambir?
Serahkan uangmu sekarang!
x + 2 = 8
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 4 / 25
Proposisi
Contoh proposisi :
6 adalah bilangan genap.
Soekarno adalah presiden Indonesia pertama.
2 + 2 = 4.
New York adalah ibukota Amerika Serikat.
Contoh yang bukan merupakan proposisi :
Jam berapa kereta api Argo Gede tiba di Gambir?
Serahkan uangmu sekarang!
x + 2 = 8
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 4 / 25
Proposisi
Contoh proposisi :
6 adalah bilangan genap.
Soekarno adalah presiden Indonesia pertama.
2 + 2 = 4.
New York adalah ibukota Amerika Serikat.
Contoh yang bukan merupakan proposisi :
Jam berapa kereta api Argo Gede tiba di Gambir?
Serahkan uangmu sekarang!
x + 2 = 8
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 4 / 25
Proposisi
Contoh proposisi :
6 adalah bilangan genap.
Soekarno adalah presiden Indonesia pertama.
2 + 2 = 4.
New York adalah ibukota Amerika Serikat.
Contoh yang bukan merupakan proposisi :
Jam berapa kereta api Argo Gede tiba di Gambir?
Serahkan uangmu sekarang!
x + 2 = 8
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 4 / 25
Proposisi
Contoh proposisi :
6 adalah bilangan genap.
Soekarno adalah presiden Indonesia pertama.
2 + 2 = 4.
New York adalah ibukota Amerika Serikat.
Contoh yang bukan merupakan proposisi :
Jam berapa kereta api Argo Gede tiba di Gambir?
Serahkan uangmu sekarang!
x + 2 = 8
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 4 / 25
Proposisi
Contoh proposisi :
6 adalah bilangan genap.
Soekarno adalah presiden Indonesia pertama.
2 + 2 = 4.
New York adalah ibukota Amerika Serikat.
Contoh yang bukan merupakan proposisi :
Jam berapa kereta api Argo Gede tiba di Gambir?
Serahkan uangmu sekarang!
x + 2 = 8
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 4 / 25
Proposisi
Preposisi biasanya dilambangkan dengan huruf kecil seperti p, q, r,atau huruf yang lainnya. Misalnya:
p : 6 adalah bilangan genap
q : New York adalah ibukota Amerika Serikat
r : 2 + 2 = 4
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 5 / 25
Proposisi
Preposisi biasanya dilambangkan dengan huruf kecil seperti p, q, r,atau huruf yang lainnya. Misalnya:
p : 6 adalah bilangan genap
q : New York adalah ibukota Amerika Serikat
r : 2 + 2 = 4
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 5 / 25
Proposisi
Preposisi biasanya dilambangkan dengan huruf kecil seperti p, q, r,atau huruf yang lainnya. Misalnya:
p : 6 adalah bilangan genap
q : New York adalah ibukota Amerika Serikat
r : 2 + 2 = 4
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 5 / 25
Proposisi
Preposisi biasanya dilambangkan dengan huruf kecil seperti p, q, r,atau huruf yang lainnya. Misalnya:
p : 6 adalah bilangan genap
q : New York adalah ibukota Amerika Serikat
r : 2 + 2 = 4
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 5 / 25
Proposisi
Dua atau lebih preposisi dapat dikombinasikan dengan menggunakanoperator logika.
Preposisi baru yang diperoleh dari pengkombinasian tersebutdinamakan preposisi majemuk (compound proposition).
De�nitionNegasi (ingkaran) dari proposisi p adalah proposisi �tidak�p dandilambangkan dengan � p. Nilai kebebaran dari negasi p berlawanandengan nilai kebenaran p.
Contoh :
p : hari ini hujan
� p : tidak benar hari ini hujan� p : hari ini tidak hujan.
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 6 / 25
Proposisi
Dua atau lebih preposisi dapat dikombinasikan dengan menggunakanoperator logika.
Preposisi baru yang diperoleh dari pengkombinasian tersebutdinamakan preposisi majemuk (compound proposition).
De�nitionNegasi (ingkaran) dari proposisi p adalah proposisi �tidak�p dandilambangkan dengan � p. Nilai kebebaran dari negasi p berlawanandengan nilai kebenaran p.
Contoh :
p : hari ini hujan
� p : tidak benar hari ini hujan� p : hari ini tidak hujan.
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 6 / 25
Proposisi
Dua atau lebih preposisi dapat dikombinasikan dengan menggunakanoperator logika.
Preposisi baru yang diperoleh dari pengkombinasian tersebutdinamakan preposisi majemuk (compound proposition).
De�nitionNegasi (ingkaran) dari proposisi p adalah proposisi �tidak�p dandilambangkan dengan � p. Nilai kebebaran dari negasi p berlawanandengan nilai kebenaran p.
Contoh :
p : hari ini hujan
� p : tidak benar hari ini hujan� p : hari ini tidak hujan.
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 6 / 25
Proposisi
Dua atau lebih preposisi dapat dikombinasikan dengan menggunakanoperator logika.
Preposisi baru yang diperoleh dari pengkombinasian tersebutdinamakan preposisi majemuk (compound proposition).
De�nitionNegasi (ingkaran) dari proposisi p adalah proposisi �tidak�p dandilambangkan dengan � p. Nilai kebebaran dari negasi p berlawanandengan nilai kebenaran p.
Contoh :
p : hari ini hujan
� p : tidak benar hari ini hujan� p : hari ini tidak hujan.
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 6 / 25
Proposisi
Dua atau lebih preposisi dapat dikombinasikan dengan menggunakanoperator logika.
Preposisi baru yang diperoleh dari pengkombinasian tersebutdinamakan preposisi majemuk (compound proposition).
De�nitionNegasi (ingkaran) dari proposisi p adalah proposisi �tidak�p dandilambangkan dengan � p. Nilai kebebaran dari negasi p berlawanandengan nilai kebenaran p.
Contoh :
p : hari ini hujan
� p : tidak benar hari ini hujan� p : hari ini tidak hujan.
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 6 / 25
Proposisi
Dua atau lebih preposisi dapat dikombinasikan dengan menggunakanoperator logika.
Preposisi baru yang diperoleh dari pengkombinasian tersebutdinamakan preposisi majemuk (compound proposition).
De�nitionNegasi (ingkaran) dari proposisi p adalah proposisi �tidak�p dandilambangkan dengan � p. Nilai kebebaran dari negasi p berlawanandengan nilai kebenaran p.
Contoh :
p : hari ini hujan
� p : tidak benar hari ini hujan
� p : hari ini tidak hujan.
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 6 / 25
Proposisi
Dua atau lebih preposisi dapat dikombinasikan dengan menggunakanoperator logika.
Preposisi baru yang diperoleh dari pengkombinasian tersebutdinamakan preposisi majemuk (compound proposition).
De�nitionNegasi (ingkaran) dari proposisi p adalah proposisi �tidak�p dandilambangkan dengan � p. Nilai kebebaran dari negasi p berlawanandengan nilai kebenaran p.
Contoh :
p : hari ini hujan
� p : tidak benar hari ini hujan� p : hari ini tidak hujan.
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 6 / 25
Proposisi
De�nitionKonjungsi dari preposisi p dan q adalah preposisi "p dan q" yangdisimbolkan dengan p ^ q. Konjungsi p ^ q bernilai benar jika p dan qkeduanya bernilai benar, selain itu bernilai salah.
Contoh :p : hari ini hujanq : hari ini dinginp ^ q : hari ini hujan dan dingin.
Example�Saya menyenangi pelajaran Matematika Diskrit maupun Statistika �
Example�Hari ini hujan tetapi tidak dingin �
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 7 / 25
Proposisi
De�nitionKonjungsi dari preposisi p dan q adalah preposisi "p dan q" yangdisimbolkan dengan p ^ q. Konjungsi p ^ q bernilai benar jika p dan qkeduanya bernilai benar, selain itu bernilai salah.
Contoh :
p : hari ini hujanq : hari ini dinginp ^ q : hari ini hujan dan dingin.
Example�Saya menyenangi pelajaran Matematika Diskrit maupun Statistika �
Example�Hari ini hujan tetapi tidak dingin �
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 7 / 25
Proposisi
De�nitionKonjungsi dari preposisi p dan q adalah preposisi "p dan q" yangdisimbolkan dengan p ^ q. Konjungsi p ^ q bernilai benar jika p dan qkeduanya bernilai benar, selain itu bernilai salah.
Contoh :p : hari ini hujan
q : hari ini dinginp ^ q : hari ini hujan dan dingin.
Example�Saya menyenangi pelajaran Matematika Diskrit maupun Statistika �
Example�Hari ini hujan tetapi tidak dingin �
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 7 / 25
Proposisi
De�nitionKonjungsi dari preposisi p dan q adalah preposisi "p dan q" yangdisimbolkan dengan p ^ q. Konjungsi p ^ q bernilai benar jika p dan qkeduanya bernilai benar, selain itu bernilai salah.
Contoh :p : hari ini hujanq : hari ini dingin
p ^ q : hari ini hujan dan dingin.
Example�Saya menyenangi pelajaran Matematika Diskrit maupun Statistika �
Example�Hari ini hujan tetapi tidak dingin �
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 7 / 25
Proposisi
De�nitionKonjungsi dari preposisi p dan q adalah preposisi "p dan q" yangdisimbolkan dengan p ^ q. Konjungsi p ^ q bernilai benar jika p dan qkeduanya bernilai benar, selain itu bernilai salah.
Contoh :p : hari ini hujanq : hari ini dinginp ^ q : hari ini hujan dan dingin.
Example�Saya menyenangi pelajaran Matematika Diskrit maupun Statistika �
Example�Hari ini hujan tetapi tidak dingin �
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 7 / 25
Proposisi
De�nitionKonjungsi dari preposisi p dan q adalah preposisi "p dan q" yangdisimbolkan dengan p ^ q. Konjungsi p ^ q bernilai benar jika p dan qkeduanya bernilai benar, selain itu bernilai salah.
Contoh :p : hari ini hujanq : hari ini dinginp ^ q : hari ini hujan dan dingin.
Example�Saya menyenangi pelajaran Matematika Diskrit maupun Statistika �
Example�Hari ini hujan tetapi tidak dingin �
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 7 / 25
Proposisi
De�nitionKonjungsi dari preposisi p dan q adalah preposisi "p dan q" yangdisimbolkan dengan p ^ q. Konjungsi p ^ q bernilai benar jika p dan qkeduanya bernilai benar, selain itu bernilai salah.
Contoh :p : hari ini hujanq : hari ini dinginp ^ q : hari ini hujan dan dingin.
Example�Saya menyenangi pelajaran Matematika Diskrit maupun Statistika �
Example�Hari ini hujan tetapi tidak dingin �
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 7 / 25
Proposisi
De�nitionDisjungsi dari preposisi p dan q adalah preposisi "p atau q" yangdisimbolkan dengan p _ q. Disjungsi p _ q bernilai salah jika p dan qkeduanya salah, selain itu bernilai benar.
Contoh :
p : hari ini hujanq : hari ini dinginp _ q : hari ini hujan atau dingin.
De�nitionexclusive or dari proposisi p dan q, dinyatakan dengan p � q, adalahproposisi yang bernilai benar jika tepat salah satu dari p dan q benar,selain itu bernilai salah.
ExamplePemenang I lomba mendapat hadiah berupa TV atau uang.
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 8 / 25
Proposisi
De�nitionDisjungsi dari preposisi p dan q adalah preposisi "p atau q" yangdisimbolkan dengan p _ q. Disjungsi p _ q bernilai salah jika p dan qkeduanya salah, selain itu bernilai benar.
Contoh :p : hari ini hujan
q : hari ini dinginp _ q : hari ini hujan atau dingin.
De�nitionexclusive or dari proposisi p dan q, dinyatakan dengan p � q, adalahproposisi yang bernilai benar jika tepat salah satu dari p dan q benar,selain itu bernilai salah.
ExamplePemenang I lomba mendapat hadiah berupa TV atau uang.
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 8 / 25
Proposisi
De�nitionDisjungsi dari preposisi p dan q adalah preposisi "p atau q" yangdisimbolkan dengan p _ q. Disjungsi p _ q bernilai salah jika p dan qkeduanya salah, selain itu bernilai benar.
Contoh :p : hari ini hujanq : hari ini dingin
p _ q : hari ini hujan atau dingin.
De�nitionexclusive or dari proposisi p dan q, dinyatakan dengan p � q, adalahproposisi yang bernilai benar jika tepat salah satu dari p dan q benar,selain itu bernilai salah.
ExamplePemenang I lomba mendapat hadiah berupa TV atau uang.
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 8 / 25
Proposisi
De�nitionDisjungsi dari preposisi p dan q adalah preposisi "p atau q" yangdisimbolkan dengan p _ q. Disjungsi p _ q bernilai salah jika p dan qkeduanya salah, selain itu bernilai benar.
Contoh :p : hari ini hujanq : hari ini dinginp _ q : hari ini hujan atau dingin.
De�nitionexclusive or dari proposisi p dan q, dinyatakan dengan p � q, adalahproposisi yang bernilai benar jika tepat salah satu dari p dan q benar,selain itu bernilai salah.
ExamplePemenang I lomba mendapat hadiah berupa TV atau uang.
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 8 / 25
Proposisi
De�nitionDisjungsi dari preposisi p dan q adalah preposisi "p atau q" yangdisimbolkan dengan p _ q. Disjungsi p _ q bernilai salah jika p dan qkeduanya salah, selain itu bernilai benar.
Contoh :p : hari ini hujanq : hari ini dinginp _ q : hari ini hujan atau dingin.
De�nitionexclusive or dari proposisi p dan q, dinyatakan dengan p � q, adalahproposisi yang bernilai benar jika tepat salah satu dari p dan q benar,selain itu bernilai salah.
ExamplePemenang I lomba mendapat hadiah berupa TV atau uang.
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 8 / 25
Proposisi
De�nitionDisjungsi dari preposisi p dan q adalah preposisi "p atau q" yangdisimbolkan dengan p _ q. Disjungsi p _ q bernilai salah jika p dan qkeduanya salah, selain itu bernilai benar.
Contoh :p : hari ini hujanq : hari ini dinginp _ q : hari ini hujan atau dingin.
De�nitionexclusive or dari proposisi p dan q, dinyatakan dengan p � q, adalahproposisi yang bernilai benar jika tepat salah satu dari p dan q benar,selain itu bernilai salah.
ExamplePemenang I lomba mendapat hadiah berupa TV atau uang.
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 8 / 25
Proposisi
De�nitionImplikasi dari proposisi p dan q adalah proposisi yang berbentuk �jika pmaka q�dan dilambangkan dengan p ! q. Implikasi p ! q bernilai salahjika p benar dan q salah, selain itu bernilai benar. p disebut hipotesis danq disebut konklusi.
Examplep : Jono seorang mahasiswaq : Mira seorang sarjana hukump ! q : jika jono seorang mahasiswa maka mira seorang sarjana hukum.
De�nitionPerhatika implikasi p ! q, makaKonvers : q ! pInvers : � p !� qKontraposisi : � q !� p
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 9 / 25
Proposisi
De�nitionImplikasi dari proposisi p dan q adalah proposisi yang berbentuk �jika pmaka q�dan dilambangkan dengan p ! q. Implikasi p ! q bernilai salahjika p benar dan q salah, selain itu bernilai benar. p disebut hipotesis danq disebut konklusi.
Examplep : Jono seorang mahasiswaq : Mira seorang sarjana hukump ! q : jika jono seorang mahasiswa maka mira seorang sarjana hukum.
De�nitionPerhatika implikasi p ! q, makaKonvers : q ! pInvers : � p !� qKontraposisi : � q !� p
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 9 / 25
Proposisi
De�nitionImplikasi dari proposisi p dan q adalah proposisi yang berbentuk �jika pmaka q�dan dilambangkan dengan p ! q. Implikasi p ! q bernilai salahjika p benar dan q salah, selain itu bernilai benar. p disebut hipotesis danq disebut konklusi.
Examplep : Jono seorang mahasiswaq : Mira seorang sarjana hukump ! q : jika jono seorang mahasiswa maka mira seorang sarjana hukum.
De�nitionPerhatika implikasi p ! q, makaKonvers : q ! pInvers : � p !� qKontraposisi : � q !� p
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 9 / 25
Proposisi
Istilah yang sering digunakan untuk mengekspresikan implikasi p ! q :
1 "Jika p, maka q"
2 "Jika p, q"3 "p cukup untuk q"4 "q perlu untuk p"5 "q jika p"6 "q ketika p"7 "q bilamana p"8 "syarat perlu untuk p adalah q"9 "syarat cukup untuk q adalah p"10 "q kecuali � p"11 "p mengimplikasikan (mengakibatkan) q"12 "p hanya jika q"
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 10 / 25
Proposisi
Istilah yang sering digunakan untuk mengekspresikan implikasi p ! q :
1 "Jika p, maka q"2 "Jika p, q"
3 "p cukup untuk q"4 "q perlu untuk p"5 "q jika p"6 "q ketika p"7 "q bilamana p"8 "syarat perlu untuk p adalah q"9 "syarat cukup untuk q adalah p"10 "q kecuali � p"11 "p mengimplikasikan (mengakibatkan) q"12 "p hanya jika q"
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 10 / 25
Proposisi
Istilah yang sering digunakan untuk mengekspresikan implikasi p ! q :
1 "Jika p, maka q"2 "Jika p, q"3 "p cukup untuk q"
4 "q perlu untuk p"5 "q jika p"6 "q ketika p"7 "q bilamana p"8 "syarat perlu untuk p adalah q"9 "syarat cukup untuk q adalah p"10 "q kecuali � p"11 "p mengimplikasikan (mengakibatkan) q"12 "p hanya jika q"
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 10 / 25
Proposisi
Istilah yang sering digunakan untuk mengekspresikan implikasi p ! q :
1 "Jika p, maka q"2 "Jika p, q"3 "p cukup untuk q"4 "q perlu untuk p"
5 "q jika p"6 "q ketika p"7 "q bilamana p"8 "syarat perlu untuk p adalah q"9 "syarat cukup untuk q adalah p"10 "q kecuali � p"11 "p mengimplikasikan (mengakibatkan) q"12 "p hanya jika q"
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 10 / 25
Proposisi
Istilah yang sering digunakan untuk mengekspresikan implikasi p ! q :
1 "Jika p, maka q"2 "Jika p, q"3 "p cukup untuk q"4 "q perlu untuk p"5 "q jika p"
6 "q ketika p"7 "q bilamana p"8 "syarat perlu untuk p adalah q"9 "syarat cukup untuk q adalah p"10 "q kecuali � p"11 "p mengimplikasikan (mengakibatkan) q"12 "p hanya jika q"
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 10 / 25
Proposisi
Istilah yang sering digunakan untuk mengekspresikan implikasi p ! q :
1 "Jika p, maka q"2 "Jika p, q"3 "p cukup untuk q"4 "q perlu untuk p"5 "q jika p"6 "q ketika p"
7 "q bilamana p"8 "syarat perlu untuk p adalah q"9 "syarat cukup untuk q adalah p"10 "q kecuali � p"11 "p mengimplikasikan (mengakibatkan) q"12 "p hanya jika q"
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 10 / 25
Proposisi
Istilah yang sering digunakan untuk mengekspresikan implikasi p ! q :
1 "Jika p, maka q"2 "Jika p, q"3 "p cukup untuk q"4 "q perlu untuk p"5 "q jika p"6 "q ketika p"7 "q bilamana p"
8 "syarat perlu untuk p adalah q"9 "syarat cukup untuk q adalah p"10 "q kecuali � p"11 "p mengimplikasikan (mengakibatkan) q"12 "p hanya jika q"
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 10 / 25
Proposisi
Istilah yang sering digunakan untuk mengekspresikan implikasi p ! q :
1 "Jika p, maka q"2 "Jika p, q"3 "p cukup untuk q"4 "q perlu untuk p"5 "q jika p"6 "q ketika p"7 "q bilamana p"8 "syarat perlu untuk p adalah q"
9 "syarat cukup untuk q adalah p"10 "q kecuali � p"11 "p mengimplikasikan (mengakibatkan) q"12 "p hanya jika q"
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 10 / 25
Proposisi
Istilah yang sering digunakan untuk mengekspresikan implikasi p ! q :
1 "Jika p, maka q"2 "Jika p, q"3 "p cukup untuk q"4 "q perlu untuk p"5 "q jika p"6 "q ketika p"7 "q bilamana p"8 "syarat perlu untuk p adalah q"9 "syarat cukup untuk q adalah p"
10 "q kecuali � p"11 "p mengimplikasikan (mengakibatkan) q"12 "p hanya jika q"
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 10 / 25
Proposisi
Istilah yang sering digunakan untuk mengekspresikan implikasi p ! q :
1 "Jika p, maka q"2 "Jika p, q"3 "p cukup untuk q"4 "q perlu untuk p"5 "q jika p"6 "q ketika p"7 "q bilamana p"8 "syarat perlu untuk p adalah q"9 "syarat cukup untuk q adalah p"10 "q kecuali � p"
11 "p mengimplikasikan (mengakibatkan) q"12 "p hanya jika q"
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 10 / 25
Proposisi
Istilah yang sering digunakan untuk mengekspresikan implikasi p ! q :
1 "Jika p, maka q"2 "Jika p, q"3 "p cukup untuk q"4 "q perlu untuk p"5 "q jika p"6 "q ketika p"7 "q bilamana p"8 "syarat perlu untuk p adalah q"9 "syarat cukup untuk q adalah p"10 "q kecuali � p"11 "p mengimplikasikan (mengakibatkan) q"
12 "p hanya jika q"
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 10 / 25
Proposisi
Istilah yang sering digunakan untuk mengekspresikan implikasi p ! q :
1 "Jika p, maka q"2 "Jika p, q"3 "p cukup untuk q"4 "q perlu untuk p"5 "q jika p"6 "q ketika p"7 "q bilamana p"8 "syarat perlu untuk p adalah q"9 "syarat cukup untuk q adalah p"10 "q kecuali � p"11 "p mengimplikasikan (mengakibatkan) q"12 "p hanya jika q"
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 10 / 25
Proposisi
ExampleProposisi-proposisi berikut adalah implikasi dalam berbagai bentuk:
1 Jika hari hujan, maka tanaman akan tumbuh subur.2 Jika tekanan gas diperbesar, mobil melaju kencang.3 Es yang mencair di kutub mengakibatkan permukaan air laut naik.4 Orang itu mau berangkat jika ia diberi ongkos jalan.5 Ahmad bisa mengambil matakuliah Teori Bahasa Formal hanya jika iasudah lulus matakuliah Matematika Diskrit.
6 Syarat cukup agar pom bensin meledak adalah percikan api dari rokok.7 Syarat perlu bagi Indonesia agar ikut Piala Dunia adalah denganmengontrak pemain asing kenamaan.
8 Banjir bandang terjadi bilamana hutan ditebangi.
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 11 / 25
Proposisi
ProblemUbahlah proposisi 3 sampai 8 pada Contoh di atas ke dalam bentukproposisi �jika p maka q�
Solution
3. Jika es mencair di kutub, maka permukaan air laut naik.
4. Jika orang itu diberi ongkos jalan, maka ia mau berangkat.
5. Jika Ahmad mengambil matakuliah Teori Bahasa Formal, maka ia sudah lulusmatakuliah Matematika Diskrit.
6. Jika api memercik dari rokok maka pom bensin meledak.
7. Jika Indonesia ikut Piala Dunia maka Indonesia mengontrak pemain asingkenamaan.
8. Jika hutan-hutan ditebangi, maka banjir bandang terjadi.
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 12 / 25
Proposisi
ProblemUbahlah proposisi 3 sampai 8 pada Contoh di atas ke dalam bentukproposisi �jika p maka q�
Solution
3. Jika es mencair di kutub, maka permukaan air laut naik.
4. Jika orang itu diberi ongkos jalan, maka ia mau berangkat.
5. Jika Ahmad mengambil matakuliah Teori Bahasa Formal, maka ia sudah lulusmatakuliah Matematika Diskrit.
6. Jika api memercik dari rokok maka pom bensin meledak.
7. Jika Indonesia ikut Piala Dunia maka Indonesia mengontrak pemain asingkenamaan.
8. Jika hutan-hutan ditebangi, maka banjir bandang terjadi.
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 12 / 25
Proposisi
ProblemUbahlah proposisi 3 sampai 8 pada Contoh di atas ke dalam bentukproposisi �jika p maka q�
Solution
3. Jika es mencair di kutub, maka permukaan air laut naik.
4. Jika orang itu diberi ongkos jalan, maka ia mau berangkat.
5. Jika Ahmad mengambil matakuliah Teori Bahasa Formal, maka ia sudah lulusmatakuliah Matematika Diskrit.
6. Jika api memercik dari rokok maka pom bensin meledak.
7. Jika Indonesia ikut Piala Dunia maka Indonesia mengontrak pemain asingkenamaan.
8. Jika hutan-hutan ditebangi, maka banjir bandang terjadi.
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 12 / 25
Proposisi
ProblemUbahlah proposisi 3 sampai 8 pada Contoh di atas ke dalam bentukproposisi �jika p maka q�
Solution
3. Jika es mencair di kutub, maka permukaan air laut naik.
4. Jika orang itu diberi ongkos jalan, maka ia mau berangkat.
5. Jika Ahmad mengambil matakuliah Teori Bahasa Formal, maka ia sudah lulusmatakuliah Matematika Diskrit.
6. Jika api memercik dari rokok maka pom bensin meledak.
7. Jika Indonesia ikut Piala Dunia maka Indonesia mengontrak pemain asingkenamaan.
8. Jika hutan-hutan ditebangi, maka banjir bandang terjadi.
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 12 / 25
Proposisi
ProblemUbahlah proposisi 3 sampai 8 pada Contoh di atas ke dalam bentukproposisi �jika p maka q�
Solution
3. Jika es mencair di kutub, maka permukaan air laut naik.
4. Jika orang itu diberi ongkos jalan, maka ia mau berangkat.
5. Jika Ahmad mengambil matakuliah Teori Bahasa Formal, maka ia sudah lulusmatakuliah Matematika Diskrit.
6. Jika api memercik dari rokok maka pom bensin meledak.
7. Jika Indonesia ikut Piala Dunia maka Indonesia mengontrak pemain asingkenamaan.
8. Jika hutan-hutan ditebangi, maka banjir bandang terjadi.
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 12 / 25
Proposisi
ProblemUbahlah proposisi 3 sampai 8 pada Contoh di atas ke dalam bentukproposisi �jika p maka q�
Solution
3. Jika es mencair di kutub, maka permukaan air laut naik.
4. Jika orang itu diberi ongkos jalan, maka ia mau berangkat.
5. Jika Ahmad mengambil matakuliah Teori Bahasa Formal, maka ia sudah lulusmatakuliah Matematika Diskrit.
6. Jika api memercik dari rokok maka pom bensin meledak.
7. Jika Indonesia ikut Piala Dunia maka Indonesia mengontrak pemain asingkenamaan.
8. Jika hutan-hutan ditebangi, maka banjir bandang terjadi.
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 12 / 25
Proposisi
ProblemUbahlah proposisi 3 sampai 8 pada Contoh di atas ke dalam bentukproposisi �jika p maka q�
Solution
3. Jika es mencair di kutub, maka permukaan air laut naik.
4. Jika orang itu diberi ongkos jalan, maka ia mau berangkat.
5. Jika Ahmad mengambil matakuliah Teori Bahasa Formal, maka ia sudah lulusmatakuliah Matematika Diskrit.
6. Jika api memercik dari rokok maka pom bensin meledak.
7. Jika Indonesia ikut Piala Dunia maka Indonesia mengontrak pemain asingkenamaan.
8. Jika hutan-hutan ditebangi, maka banjir bandang terjadi.
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 12 / 25
Proposisi
De�nitionProposisi majemuk yang mempunyai nilai kebenaran yang sama disebutekivalen, dilambangkan dengan 0 �0
Pernyataan yang ekivalen secara logika1 Hukum Komutatif :
p ^ q � q ^ pp _ q � q _ p
2 Hukum asosiatif
(p ^ q) ^ r � p ^ (q ^ r)(p _ q) _ r � p _ (q _ r)
3 Hukum distributif
p ^ (q _ r) � (p ^ q) _ (p ^ r)p _ (q ^ r) � (p _ q) ^ (p _ r)
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 13 / 25
Proposisi
4. Hukum de Morgan
� (p ^ q) �� p^ � q� (p _ q) �� p_ � q
5. Ekivalen secara logika yang melibatkan implikasi
p ! q �� p _ qp ! q �� q !� p
p _ q � � p ! q
p ^ q � � (p !� q)� (p ! q) � p^ � q
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 14 / 25
Proposisi
ExampleUntuk menerangkan mutu sebuah hotel, misalkan p : Pelayanannya baik, q: Tarif kamarnya murah, r : Hotelnya berbintang tiga. Terjemahkanproposisi-proposisi berikut dalam notasi simbolik (menggunakan p, q, r):
1 Tarif kamarnya murah, tapi pelayanannya buruk.2 Tarif kamarnya mahal atau pelayanannya baik, namun tidakkeduanya.
3 Salah bahwa hotel berbintang tiga berarti tarif kamarnya murah danpelayanannya buruk.
SolutionDengan menggunakan operator logika yang sesuai, diperoleh
1 q^ � p2 � q � p3 � (r ! (q^ � p))
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 15 / 25
Proposisi
ExampleNyatakan pernyataan berikut dalam notasi simbolik : " Anda tidak dapatmenaiki roller coaster jika anda tingginya kurang dari 150 cm kecuali andaberusia lebih dari 16 tahun."
SolutionMilsalkan :
p : Anda dapat menaiki roller coaster
q : Tinggi anda kurang dari 150 cm
r : Usia anda lebih dari 16 tahun
Pernyataan diatas dapat ditulis sebagai : (q^ � r)!� p
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 16 / 25
Proposisi
ExampleNyatakan pernyataan berikut dalam notasi simbolik : " Anda tidak dapatmenaiki roller coaster jika anda tingginya kurang dari 150 cm kecuali andaberusia lebih dari 16 tahun."
SolutionMilsalkan :
p : Anda dapat menaiki roller coaster
q : Tinggi anda kurang dari 150 cm
r : Usia anda lebih dari 16 tahun
Pernyataan diatas dapat ditulis sebagai : (q^ � r)!� p
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 16 / 25
Proposisi
ExampleNyatakan pernyataan berikut dalam notasi simbolik : " Anda tidak dapatmenaiki roller coaster jika anda tingginya kurang dari 150 cm kecuali andaberusia lebih dari 16 tahun."
SolutionMilsalkan :
p : Anda dapat menaiki roller coaster
q : Tinggi anda kurang dari 150 cm
r : Usia anda lebih dari 16 tahun
Pernyataan diatas dapat ditulis sebagai : (q^ � r)!� p
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 16 / 25
Proposisi
ExampleNyatakan pernyataan berikut dalam notasi simbolik : " Anda tidak dapatmenaiki roller coaster jika anda tingginya kurang dari 150 cm kecuali andaberusia lebih dari 16 tahun."
SolutionMilsalkan :
p : Anda dapat menaiki roller coaster
q : Tinggi anda kurang dari 150 cm
r : Usia anda lebih dari 16 tahun
Pernyataan diatas dapat ditulis sebagai : (q^ � r)!� p
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 16 / 25
Proposisi
De�nitionMisalkan p dan q adalah proposisi. Proposisi majemuk �p jika dan hanyajika q�disebut bi-implikasi dari preposisi p dan q, dilambangkan denganp $ q. Biimplikasi bernilai benar jika p dan q mempunyai nilai kebenaranyang sama, selain itu bernilai salah.
Latihan : Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk(p_ � q)! (p ^ q)
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 17 / 25
Proposisi
De�nitionMisalkan p dan q adalah proposisi. Proposisi majemuk �p jika dan hanyajika q�disebut bi-implikasi dari preposisi p dan q, dilambangkan denganp $ q. Biimplikasi bernilai benar jika p dan q mempunyai nilai kebenaranyang sama, selain itu bernilai salah.
Latihan : Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk(p_ � q)! (p ^ q)
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 17 / 25
Inferensi
De�nitionInferensi adalah proses penarikan kesimpulan dari beberapa preposisi.
De�nitionProposisi yang selalu bernilai benar disebut tautologi.
De�nitionProposisi yang selalu bernilai salah disebut kontradiksi.
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 18 / 25
Inferensi
De�nitionInferensi adalah proses penarikan kesimpulan dari beberapa preposisi.
De�nitionProposisi yang selalu bernilai benar disebut tautologi.
De�nitionProposisi yang selalu bernilai salah disebut kontradiksi.
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 18 / 25
Inferensi
De�nitionInferensi adalah proses penarikan kesimpulan dari beberapa preposisi.
De�nitionProposisi yang selalu bernilai benar disebut tautologi.
De�nitionProposisi yang selalu bernilai salah disebut kontradiksi.
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 18 / 25
InferensiModus Ponen
Kaidah ini berdasarkan tautologi ((p ! q) ^ p)! q. Aturanpenarikan kesimpulan yang digunakan adalah
p ! qp
) q
ExampleDiberikan preposisi implikasi �Jika 20 habis dibagi 2 maka 20 adalahbilangan genap.�dan preposisi �20 habis dibagi 2�. Apa kesimpulan yangdapat diambil dari dua proposisi ini?
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 19 / 25
InferensiModus Ponen
Kaidah ini berdasarkan tautologi ((p ! q) ^ p)! q. Aturanpenarikan kesimpulan yang digunakan adalah
p ! qp
) q
ExampleDiberikan preposisi implikasi �Jika 20 habis dibagi 2 maka 20 adalahbilangan genap.�dan preposisi �20 habis dibagi 2�. Apa kesimpulan yangdapat diambil dari dua proposisi ini?
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 19 / 25
InferensiModus Tollen
Kaidah ini berdasarkan tautologi ((p ! q)^ � q)!� p. Aturanpenarikan kesimpulan yang digunakan adalah
p ! q� q)� p
Example
Diberikan preposisi implikasi �Jika n bilangan ganjil, maka n2 bernilaiganjil� dan preposisi �n2 bernilai genap�. Apa kesimpulan yang dapatdiambil dari dua proposisi ini?
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 20 / 25
InferensiModus Tollen
Kaidah ini berdasarkan tautologi ((p ! q)^ � q)!� p. Aturanpenarikan kesimpulan yang digunakan adalah
p ! q� q)� p
Example
Diberikan preposisi implikasi �Jika n bilangan ganjil, maka n2 bernilaiganjil� dan preposisi �n2 bernilai genap�. Apa kesimpulan yang dapatdiambil dari dua proposisi ini?
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 20 / 25
InferensiSilogisme
Kaidah ini berdasarkan tautologi ((p ! q) ^ (q ! r))! (p ! r) .Aturan penarikan kesimpulan yang digunakan adalah
p ! qq ! r
) p ! r
ExamplePerhatikan implikasi �Jika saya belajar dengan giat, maka saya lulus ujian�dan implikasi �Jika saya lulus ujian maka saya cepat menikah�Apakesimpulan yang dapat diambil dari dua proposisi ini?
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 21 / 25
InferensiSilogisme
Kaidah ini berdasarkan tautologi ((p ! q) ^ (q ! r))! (p ! r) .Aturan penarikan kesimpulan yang digunakan adalah
p ! qq ! r
) p ! r
ExamplePerhatikan implikasi �Jika saya belajar dengan giat, maka saya lulus ujian�dan implikasi �Jika saya lulus ujian maka saya cepat menikah�Apakesimpulan yang dapat diambil dari dua proposisi ini?
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 21 / 25
Inferensi
Argumen adalah suatu deret preposisi yang dituliskan sebagai
p1p2...pn) q
p1, p2, � � � , pn disebut premis dan q disebut konklusi.Argumen ada yang sahih (valid) dan ada yang palsu (invalid)
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 22 / 25
Inferensi
Argumen adalah suatu deret preposisi yang dituliskan sebagai
p1p2...pn) q
p1, p2, � � � , pn disebut premis dan q disebut konklusi.
Argumen ada yang sahih (valid) dan ada yang palsu (invalid)
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 22 / 25
Inferensi
Argumen adalah suatu deret preposisi yang dituliskan sebagai
p1p2...pn) q
p1, p2, � � � , pn disebut premis dan q disebut konklusi.Argumen ada yang sahih (valid) dan ada yang palsu (invalid)
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 22 / 25
Inferensi
De�nitionSebuah argumen dikatakan valid jika konklusi benar bilamana semuahipotesisnya benar. Sebaliknya, argumen dikatakan tidak valid.
Cara membuktikan kevalidan sebuah argumen : cukup dibuktikanbahwa konjungsi dari semua premis yang mengakibatkan konklusiadalah sebuah tautologi. Atau dengan kata lain, cukup dibuktikanbahwa
(p1 ^ p2 ^ � � � ^ pn)! q
adalah sebuah tautologi.
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 23 / 25
Inferensi
De�nitionSebuah argumen dikatakan valid jika konklusi benar bilamana semuahipotesisnya benar. Sebaliknya, argumen dikatakan tidak valid.
Cara membuktikan kevalidan sebuah argumen : cukup dibuktikanbahwa konjungsi dari semua premis yang mengakibatkan konklusiadalah sebuah tautologi. Atau dengan kata lain, cukup dibuktikanbahwa
(p1 ^ p2 ^ � � � ^ pn)! q
adalah sebuah tautologi.
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 23 / 25
Inferensi
ExamplePerlihatkan bahwa argumen berikut:�Jika air laut surut setelah gempa di laut, maka tsunami datang. Air lautsurut setelah gempa di laut. Karena itu, tsunami datang.�adalah valid.
SolutionAda dua cara yang dapat digunakan untuk membuktikan bahwa argumenini valid.Cara pertama :Bentuklah tabel kebenaran untuk p, q, p ! q. Argumen dikatakan benarjika semua hipotesis benar, maka konklusinya juga benar.Cara kedua :Kita cukup memperliahatkan bahwa ((p ! q) ^ p)! q merupakansebuah tautologi.
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 24 / 25
Inferensi
ExamplePerlihatkan bahwa argumen berikut:�Jika air laut surut setelah gempa di laut, maka tsunami datang. Air lautsurut setelah gempa di laut. Karena itu, tsunami datang.�adalah valid.
SolutionAda dua cara yang dapat digunakan untuk membuktikan bahwa argumenini valid.Cara pertama :Bentuklah tabel kebenaran untuk p, q, p ! q. Argumen dikatakan benarjika semua hipotesis benar, maka konklusinya juga benar.Cara kedua :Kita cukup memperliahatkan bahwa ((p ! q) ^ p)! q merupakansebuah tautologi.
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 24 / 25
Inferensi
ExamplePerlihatkan bahwa penalaran pada argumen berikut:�Jika air laut surut setelah gempa di laut, maka tsunami datang. Tsunamidatang. Jadi, air laut surut setelah gempa di laut.�tidak benar.
SolutionArgumen diatas berbentuk
p ! qp
) qSelanjutnya periksa tabel kebenarannya. Kesimpulan apa yang bisadiambil?
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 25 / 25
Inferensi
ExamplePerlihatkan bahwa penalaran pada argumen berikut:�Jika air laut surut setelah gempa di laut, maka tsunami datang. Tsunamidatang. Jadi, air laut surut setelah gempa di laut.�tidak benar.
SolutionArgumen diatas berbentuk
p ! qp
) qSelanjutnya periksa tabel kebenarannya. Kesimpulan apa yang bisadiambil?
(Politeknik Caltex Riau) Logika Matematika 25 / 25