lagrangian multiplier 1

7/13/2019 Lagrangian Multiplier 1

1/95

OPTIMASI BERSYARAT DENGAN MENGGUNAKANMULTIPLIER

LAGRANGEDAN APLIKASINYA PADA BERBAGAI KASUS DALAM

BIDANG EKONOMI

SKRIPSI

Disusun Dalam Rangka Menyelesaikan Studi Strata 1

untuk memperoleh Gelar Sarjana Sains

Disusun Oleh :

Nama : Mochamad Ridwan

Nim : 4150403040

Program Studi :Matematika S1

Jurusan : Matematika

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

2007


2/95

ii

PENGESAHAN

SKRIPSI

Optimasi Bersyarat dengan MenggunakanMultiplier Lagrangedan

Aplikasinya pada Berbagai Kasus dalam Bidang Ekonomi.

Telah dipertahankan dihadapan Sidang Panitia Ujian Skripsi Fakultas Matematika

dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Semarang pada:

Hari : Kamis

Tanggal : 23 Agustus 2007

Panitia Ujian

Ketua, Sekretaris,

Drs. Kasmadi Imam S, M.S Drs. Supriyono, M.Si

NIP. 130781011 NIP. 130815345

Pembimbing Utama, Ketua Penguji,

Drs. Mashuri, M.Si Drs. Wardono, M.Si

NIP.131993875 NIP.131568905

Pembimbing Pendamping, Anggota Penguji,

Drs. Supriyono, M.Si Drs. Mashuri, M.Si

NIP. 130815345 NIP.131993875

Anggota Penguji,

Drs. Supriyono, M.Si

NIP. 130815345


3/95

iii

PERNYATAAN

Saya menyatakan bahwa yang tertulis di dalam skripsi ini benar-benar hasil karya

saya sendiri, bukan jiplakan dari karya tulis orang lain baik sebagian atau

seluruhnya. Pendapat atau temuan orang lain yang terdapat dalam skripsi ini

dikutip dan dirujuk berdasarkan kode etik ilmiah.

Semarang, Agustus 2007

Penulis,

Mochamad Ridwan

NIM. 4150403040


4/95

iv

MOTTO DAN PERUNTUKAN

MOTTO

Akal i t u ment er i yang menasehat i . Hat i i t u adal ah

r aj a yang menent ukan. Har t a i t u sat u tamu yang akan

berangkat . Kesenangan i t u masa yang di t i nggal kan.

Wakt u ki t a l ahi r , ki t a menangi s dan or ang- or ang di

sekel i l i ng ki t a t er senyum. J al ani l ah hi dup ki t a

sedemi ki an sehi ngga pada wakt u ki t a meni nggal , ki t at er senyum dan or ang- or ang di sekel i l i ng ki t a

menangi s.

Bermi mpi l ah t ent ang apa yang i ngi n kamu i mpi kan,

per gi l ah ke t empat - t empat kamu i ngi n per gi . J adi l ah

seper t i yang kamu i ngi nkan, kar ena kamu hanya

memi l i ki sat u kehi dupan dan sat u kesempat an untuk

mel akukan hal - hal yang i ngi n kamu l akukan.

PERUNTUKAN

Puji syukur kepada Allah swt atas terselesainya skripsi ini.

Inilah karya yang harus kulakukan untuk menjadikan diriku sebaik-baiknya.

Kuperuntukan karya ini kepada:

1. Bapak ali achmadi dan ibu wahyuningsih2. Mochamad zamroni

3. Revillia ardhi4. Drs. Khaerun, M.Si, alm

5. Semua saudara dan kerabat6. Guru dan sahabatku

7. The MATe8. Semua dosen dan sahabatku di juruasan matematika angkatan 2003

9. All my lovely friends.


5/95

v

ABSTRAK

Mochamad Ridwan (4150403040), Optimasi Bersyarat DenganMenggunakan Multiplier Lagrange Dan Aplikasinya Pada Berbagai Kasus

Dalam Bidang Ekonomi, Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas

Negeri Semarang

Sering kali kita diharuskan untuk mengoptimumkan suatu fungsi, tetapi

ada syarat yang harus dipenuhi. Dengan kata lain fungsi yang hendak

dioptimumkan menghadapi suatu kendala (constraint).Kasus optimasi bersyarat

semacam ini banyak dijumpai dalam bidang ekonomi. Misalnya seseorang hendak

memaksimumkan utilitas, atau tingkat kepuasannya tetapi terikat pada fungsi

pendapatan, atau sebuah perusahaan yang ingin memaksimumkan labanya namunterikat pada fungsi produksi. Untuk menentukan nilai optimum kasus tersebut kita

dapat menggunakan Multiplier Lagrange, yakni dengan membentuk sebuah

fungsi baru yang merupakan penjumlahan dari fungsi yang hendak dioptimumkan

di tambah hasil kali penggandaLagrangedengan fungsi kendalanya.

Permasalahan yang diangkat dalam penulisan skripsi ini adalah Bagaimana

mencari nilai optimum suatu fingsi dengan kendala fungsi lain dengan

menggunakan Multiplier Lagrange serta Bagaimana menerapkan optimasi

bersyarat menggunakan Multiplier Lagrange dalam kasus (contoh) khususnya

dalam bidang ekonomi. Sedangkan tujuan penulisan skripsi ini adalah

menentukan nilai optimum suatu fungsi dengan kendala fungsi lain dengan

menggunakan Multiplier Lagrange, serta menerapkan metode tersebut untuk

menyelesaikan berbagai kasus (contoh) yang berhubungan dengan optimasi

bersyarat khususnya dalam bidang ekonomi.

Penelitian ini dilakukan melalui tinjauan pustaka terhadap buku-buku atau

literatur yang terkait dengan permasalahan yang diangkat. Dari tinjauan pustaka

tersebut, kemudian dibahas materi-materi yang terkait dengan permasalahan

tersebut secara mendalam.

Berdasarkan pembahasan diperoleh kesimpulan bahwa dalam langkah-

langkah mentukan nilai ekstrim bersyarat dengan metode Multiplier Lagrange

syarat perlu bagi masalah optimasi tanpa kendala masih bisa diterapkan untuk

optimasi dengan kendala. Sedangkan untuk mengetahui sifat fungsi Lagrangepada nilai kritisnya digunakan matriks Hessian Berkendala (Bordered Hessian).

Contoh penerapan Multiplier Lagrange dalam bidang ekonomi adalah

menentukan keseimbangan konsumsi dan keseimbangan produksi. Keseimbangan

konsumsi artinya suatu keadaan atau tingkat kombinasi konsumsi beberapa

macam barang yang memberikan kepuasan optimum. Sedangkan keseimbangan

produksi artinya suatu keadaan atau tingkat penggunaan kombinasi faktor-faktor

produksi secara optimum, yakni suatu tingkat pencapaian produksi dengan

kombinasi biaya terendah ( least cost combination)


6/95

vi

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, atas limpahan

petunjuk dan karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan

skripsi yang berjudul Optimasi Bersyarat dengan Menggunakan Multiplier

Lagrangedan Aplikasinya pada Berbagai Kasus dalam Bidang Ekonomi.

Ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada:

1. Prof. Dr. Sudijono Sastroatmojo, M. Si, Rektor Universitas Negeri Semarang.2. Drs. Kasmadi Imam S., M.S, Dekan FMIPA Universitas Negeri Semarang.3. Drs. Supriyono, M.Si, Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri

Semarang.

4. Drs. Mashuri, M.Si, Pembimbing I, yang telah memberikan bimbingan, danarahan kepada penulis dalam menyusun skripsi ini.

5. Drs. Supriyono, M.Si, Pembimbing II, yang telah memberikan bimbingan,dan arahan kepada penulis dalam menyusun skripsi ini.

6. Drs. Khaerun, M.Si, Dosen wali dan bapak saya, yang senantiasamembimbing penulis selama menjalani masa studi di Universitas Negeri

Semarang.

7.

Ayah, ibu serta Adikku yang senantiasa mendoakan serta memberikan

dorongan baik secara moral maupun spiritual dan segala yang tak ternilai.

8. Revillia Ardhi yang telah memberikan waktu, perhatian dan semua yang takterlupakan sehingga penulis ingin segera menyelesaikan skripsi ini.

9. Sahabat serta adikku di The MATe (IM,MP,AM,BB,SG) yang tak henti-hentinya memberikan semangat kepada penulis.


7/95

vii

10. Teman-temanku Tjokro, Ubaedi, Aryo, Boim, Bisma dan semua MahasiswaMatematika angkatan 2003, terima kasih atas semuanya.

11. Kelurga Besar Baitul Jannah Cost Mbah Dukun, Mas Amin, Sugeng W,Mas Azinar, U.D. Gandi dan Bambang yang selalu memberi teladan yang

baik bagi penulis.

12. Orang-orang yang tanpa sengaja memberikan inspirasi, motivasi, dansemangat agar cepat diselesaikannya skripsi ini.

Akhirnya penulis berharap skripsi ini bermanfaat dan dibaca.

Semarang, Agustus 2007


8/95

viii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL......................................................................................... i

PENGESAHAN................................................................................................ ii

PERNYATAAN................................................................................................ iii

MOTTO DAN PERSEMBAHAN.................................................................... iv

ABSTRAK........................................................................................................ v

KATA PENGANTAR ...................................................................................... vi

DAFTAR ISI..................................................................................................... viii

DAFTAR GAMBAR ........................................................................................ xi

BAB I. PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah........................................................................ 1B. Permasalahan ........................................................................................ 4C. Batasan Masalah ................................................................................... 4D. Tujuan Penelitian .................................................................................. 4E. Manfaat Penelitian ................................................................................ 5F. Sistematika Penulisan Skripsi ............................................................... 6

BAB II. LANDASAN TEORI

A. Fungsi.................................................................................................... 8B. Limit Fungsi.......................................................................................... 9C. Kekontinuan Fungsi .............................................................................. 14D. Turunan Fungsi Satu Variabel .............................................................. 18E. Konsep Turunan.................................................................................... 21


9/95

ix

F. Turunan Parsial ..................................................................................... 25G. Fungsi Naik dan Fungsi Turun.............................................................. 26H. Maksimum Relatif dan Minimum Relatif Fungsi Satu Variabel .......... 30I. Kecekungan........................................................................................... 35J. Nilai Ekstrim Fungsi Dua Variabel....................................................... 37K. Matrik Definit Positif............................................................................ 38L. Matriks Hessian..................................................................................... 41M.Utilitas Marjinal .................................................................................... 47

N. Produk Marjinal .................................................................................... 49BAB III. METODE PENELITIAN

A. Menentukan Masalah ............................................................................ 52B. Penarikan Simpulan .............................................................................. 52C. Studi Pustaka......................................................................................... 52D. Analisis dan Pemecahan Masalah......................................................... 53E. Merumuskan Masalah ........................................................................... 53

BAB IV. HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN

A.Nilai Extrim Fungsi Bersyarat .............................................................. 54B.

Menentukan Nilai Ekstrim Suatu Fungsi Bersyarat dengan

MenggunakanMultiplier Lagrange ...................................................... 55

C. Syarat Perlu dan Syarat Cukup Untuk Menghitung Nilai EkstrimBersyarat ............................................................................................... 56

D. PenerapanMultiplier Lagrange dalam Bidang Ekonomi .................... 601. Utilitas Marjinal Persial dan Keseimbangan Konsumsi ................. 60


10/95

x

2. Produk Marjinal Persial dan Keseimbangan Produksi.................... 69BAB V. PENUTUP

A. Simpulan ............................................................................................... 79B. Saran...................................................................................................... 82

DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................... 83


11/95

xi

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1. Fungsif:X Y..............................................................................8

Gambar 2. ilustrasi tentang limit.....................................................................10

Gambar 3. 52

232lim

2

2=

x

xx

x...................................................................... 11

Gambar 4. Fungsi kontinu................................................................................ 14

Gambar 5. Fungsi naik dan fungsi turun.......................................................... 27

Gambar 6. Ilustrasi nilai stasioner fungsi......................................................... 28

Gambar 7 . Garfik fungsi 35 53)( xxxf = ................................................... 29

Gambar 8. Maksimum relatif dan minimum relatif ......................................... 31

Gambar 9 . Garfik fungsi 46)( 23 += xxxf .............................................. 34

Gambar 10. Flowchart menentukan maksimum relatif dan minimum relatif.. 35

Gambar 11. cekung ke atas dan cekung ke bawah........................................... 36

Gambar 12. grafik fungsiZ = f(x) = x3+ xy

2- 4xy +1.................................... 44

Gambar 13. Bentuk kurva fungsi utilitas ......................................................... 47

Gambar 14. Bentuk kurva fungsi U = 90 Q 5 Q2danMU = 90 10 Q....... 48

Gambar 15. Kurva fungsif (X) = 9 X2 X

3 danMP = P = 18 X 3X2....... 50


12/95

1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang MasalahSeperti yang kita ketahui bahwa matematika terapan berperan sebagai

ilmu pengetahuan pembantu yang sangat penting bagi ilmu pengetahuan

lainnya, terutama bagi ilmu pengetahuan eksak, dan akhir-akhir ini juga bagi

ilmu pengetahuan sosial, termasuk didalamnya ilmu ekonomi. Peranan itu

sekarang semakin bertambah meluas dan mendalam.

Dengan beratnya tugas yang dibebankan kepada matematika sebagai

alat, maka alat itu sendiri telah mengalami berbagai pembaharuan dan

perkembangan. Meluasnya penggunaan matematika juga dalam ilmu sosial

jelas terlihat pada ilmu ekonomi. Sebelum perang dunia kedua, analisis

ekonomi terutama dilakukan secara verbal. Perlu dikemukakan bahwa

ekonomika verbal pun tidak luput sama sekali dari pemakaian matematika

yaitu dalam bentuk analisis geometri dengan diagram-diagram, namun

pemakaian hitung diferensial dan integral, persamaan diferensial dan diferensi,

aljabar vektor dan matriks pada umumnya belum digunakan.

Harus diakui bahwa sejak akhir abad 19 memang sudah ada juga ahli-

ahli ekonomi yang menggunakan matematika untuk analisis ekonomi, dan

ahli-ahli matematika yang menerapkan analisis matematika pada ilmu

ekonomi seperti Jevons, Marshall, Walras, namun jumlahnya masih sedikit.

Baru setelah perang dunia kedua ekonomika matematis mengalami


13/95

2

perkembangan yang pesat. Buku-buku ekonomi banyak mengandung analisis

matematika dan banyak karangan dalam majalah-majalah ekonomi

berorientasikan matematika.

Matematika adalah suatu cabang logika yang menyediakan suatu

kerangka sistematis. Dalam matematika, definisi, aksioma, dan anggapan-

anggapan dinyatakan secara tepat dengan menggunakan lambang-lambang

sedangkan kesimpulannya dapat ditarik dengan proses analisis deduktif.

Sedangkan ilmu ekonomi adalah ilmu yang memusat pada konsep-konsep

kuantitatif, misalnya: harga, biaya, tingkat upah, investasi, penghasilan, dan

laba. Dari kedua hal diatas dapat disimpulkan bahwa analisis ekonomi tidak

bisa dilepaskan dari matematika. Apabila variabel ekonomi dinyatakan dengan

lambang-lambang maka nilainya dinyatakan secara matematis. Matematika

menyediakan teknik untuk menganalisis arti diantara lambang-lambang

tersebut, yang berarti juga arti dari variabel-variabel yang diwakilinya. Oleh

karena itu banyak analisis ekonomi yang kemudian menggunakan analisis

matematika terapan.

Didalam matematika maupun ekonomi kita mengenal masalah

optimasi (masalah yang berhubungan dengan keputusan yang terbaik,

maksimum, minimum atau paling , jika ada banyak kemungkinan,

bagaimana kita mendapatkan yang terbaik ?, mana yang paling baik ?). Dalam

kehidupan sehari hari, baik disadari maupun tidak, sebenarnya orang selalu

melakukan optimasi untuk memenuhi kebutuhannya. Tetapi opimasi yang


14/95

3

dilakukan masyarakat awam lebih banyak dilandasi oleh intuisi daripada teori

optimasi.

Pada diferensial fungsi majemuk kita mengenal konsep diferensial

parsial. Dalam diferensial fungsi majemuk kita juga dapat melakukan

penyelidikan mengenai kedudukan-kedudukan khusus dari sebuah fungsi

seperti halnya diferensial pada sebuah fungsi dengan satu variabel bebas.

Nilai-nilai ekstrim (maksimum atau minimum) dari sebuah fungsi majemuk

dapat dicari dengan menggunakan konsep diferensial parsial.

Dalam penerapannya sering kali kita diharuskan untuk

mengoptimumkan (menentukan nilai ekstrim) dari sebuah fungsi, yakni

menentukan nilai maksimum atau minimum suatu fungsi, tetapi ada syarat

yang harus dipenuhi. Dengan kata lain fungsi yang hendak dioptimumkan

menghadapi suatu kendala (constraint).Kasus optimasi bersyarat semacam ini

banyak dijumpai dalam bidang ekonomi. Misalnya seseorang hendak

memaksimumkan utilitas, atau tingkat kepuasannya tetapi terikat pada fungsi

pendapatan, atau sebuah perusahaan yang ingin memaksimumkan labanya

namun terikat pada fungsi produksi. Maka suatu cara yang dapat digunakan

untuk menentukan titik ekstrim dari suatu fungsi yang bersyarat adalah dengan

menggunakan Pengganda Lagrange, yakni dengan cara membentuk sebuah

fungsi baru yang merupakan penjumlahan dari fungsi yang hendak

dioptimumkan di tambah hasil kali pengganda Lagrange dengan fungsi

kendalanya.


15/95

4

Berdasarkan permasalahan tersebut penulis mencoba menuangkannya

kedalam penulisan skripsi dengan judul Optimasi Bersyarat dengan

MenggunakanMultiplier Lagrangedan Aplikasinya pada Berbagai Kasus

dalam Bidang Ekonomi.

B. PermasalahanRumusan masalah yang diangkat dalam penulisan skripsi ini adalah

sebagai berikut.

a. Bagaimana mencari nilai optimum suatu fungsi dengan kendala fungsi laindengan menggunakanMultiplier Lagrange?

b. Bagaimana penerapan optimasi bersyarat dengan menggunakan MultiplierLagrangedalam berbagai kasus (contoh) dalam bidang ekonomi?

C. Batasan MasalahDalam penyusunan skripsi ini, membahas tentang Multiplier

Lagrange.Metode tersebut digunakan untuk menentukan nilai ekstrim suatu

fungsi dengan kendala fungsi lain. Selanjutnya menerapkan metode tersebut

untuk menyelesaikan optimasi bersyarat dalam contoh, khususnya dalam

bidang ekonomi.

D. Tujuan PenelitianTujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut.


16/95

5

a. Mengetahui penggunaan Multiplier Lagrange dalam menentukan nilaioptimum suatu fungsi dengan kendala fungsi lain.

b. Menerapkan Multiplier Lagrange dalam menyelesaikan berbagai kasus(contoh) yang berhubungan dengan optimasi bersyarat khususnya dalam

bidang ekonomi.

E. Manfaat PenelitianManfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut.

a. Bagi Penulis1) Membantu penulis dalam menerapkan ilmu-ilmunya sehingga dapat

semakin memantapkan pemahaman mengenai teori-teori yang di

peroleh selama mengikuti perkuliahan serta mampu menerapkan

ilmunya dalam kehidupan nyata.

2) Menambah wawasan penulis tentang metode Multiplier Lagrange,serta dapat mencari solusi Optimal dari kasus yang berhubungan

denganMultiplier Lagrange.

b. Bagi Jurusan1)

Dapat dijadikan sebagai bahan studi kasus bagi pembaca dan acuan

bagi mahasiswa.

2) Dapat digunakan sebagai tambahan informasi dan referensi bacaanuntuk mahasiswa matematika, terlebih bagi mahasiswa yang hendak

melakukan penelitian serupa.


17/95

6

F. Sistematika Penulisan SkripsiSistematika penulisan skripsi ini dibagi dalam 3 bagian yaitu bagian

awal, bagian isi, dan bagian akhir.

Bagian awal skripsi berisi halaman judul, lembar pengesahan, lembar

pernyataan, motto dan persembahan, abstrak, kata pengantar, daftar isi, daftar

gambar.

Bagian isi terdiri dari 5 bab, meliputi hal-hal sebagai berikut.

BAB I : PENDAHULUAN

Pada bab I berisi latar belakang ,permasalahan, batasan masalah,

tujuan penelitian, manfaat penelitian serta sistematika penulisan

skripsi.

BAB II : LANDASAN TEORI

Pada bab II berisi tentang materi dan teori-teori yang

berhubungan dengan permasalahan yang dibuat dalam penelitian

ini yang dapat digunakan dalam pemecahan masalah.

BAB III : METODE PENELITIAN

Pada bab III Memaparkan tentang prosedur dan langkah-langkah

yang dilakukan dalam penelitian ini meliputi menentukan

masalah, merumuskan masalah, studi pustaka, analisis dan

pemecahan masalah, penarikan simpulan.

BAB IV : HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN

Pada bab IV berisikan pembahasan dan analisis dari penelitian.

BAB V : PENUTUP


18/95

7

Pada bab V Berisi tentang kesimpulan dari hasil pembahasan dan

saran yang ditujukan untuk pembaca umumnya dan bagi penulis

sendiri khususnya.

Bagian akhir berisikan daftar pustaka sebagai acuan penulis dan

lampiran-lampiran yang mendukung kelengkapan skripsi.


19/95

8

BAB II

LANDASAN TEORI

A. FungsiDefinisi 1

Sebuah fungsi f adalah suatu aturan korespondensi (padanan) yang

menghubungkan setiap obyek xdalam suatu himpunan, yang disebut daerah

asal, dengan sebuah nilai tunggal f(x)dari suatu himpunan kedua. Himpunan

nilai yang diperoleh secara demikian disebut daerah hasilfungsi.

(Purcell and Varberg, 2003: 39).

Ilustrasi fungsi diberikan pada gambar 1

Gambar 1. Fungsif:X Y

Definisi 2

Fungsi adalah relasi antara dua himpunan, untuk setiap elemen di

domainberkorespondensi tepat satu dengan elemen di range.

(Harshbarger and Reynold,1989:52)


20/95

9

Definisi 3

Notasi Fungsi. Untuk memberi nama fungsi dipakai sebuah huruf

tunggal seperti f atau g (dapat diganti dengan huruf yang lain). Maka f(x),

yang dibaca fdarix atau fpadax, menunjukan nilai yang diberikan olehf

kepadax.


Contoh fungsi dalam bidang ekonomi seperti fungsi permintaan, fungsi

penawaran, fungsi biaya, fungsi utilitas, fungsi produksi dan lain lain.

B. Limit FungsiDefinisi 4.

Misalkan f sebuah fungsi yang terdefinisi pada suatu selang buka I,

RI yang memuat a, kecuali mungkin pada a itu sendiri. Maka limit f(x)

untukxmendekati aadalahL, ditulis:

Lxfax

=

)(lim ax0apabilaLf(x)00 , maka kita gambarkan garis mendatar +=Ly dan

=Ly dan grafikf (lihat gambar 2(a)). Jika Lxfax

=

)(lim , maka kita dapat

menemukan suatu bilangan 0> sedemikian rupa sehingga jika kita batasi x

berada dalam selang ( ) + aa , dan ambil ax , maka kuva y=f(x)

terletak antara garis +=Ly dan =Ly .(lihat gambar 2(b)). Dapat dilihat


21/95

10

bahwa jika suatu yang demikian telah ditemukan, maka hal ini juga akan

berlaku untuk yang lebih kecil.

(a) (b)Gambar 2. ilustrasi tentang limit

Contoh 1

Buktikan bahwa 52

232lim

2

2=

x

xx

x

Bukti

Analisis pendahuluan

Kita mencari delta sedemkian hingga


22/95

11


23/95

12

Definisi 5.

Misalkanf terdefinisi pada selang buka (a, b) maka limitf untukxmendekati

a dari kanan adalahL, ditulis:

Lxfax

=+

)(lim jika +


24/95

13

Bukti (point 4)

Misalkan Lxfcx = )(lim dan Mxgcx = )(lim .

maka 0> , terdapat 01> dan 02> sehingga

2)(


25/95

14

C. Kekontinuan FungsiDefinisi 7

Fungsifdikatakan kontinu dititikx = ajika memenuhi kondisi berikut :

1. f(a) ada2. )(lim xf

axada

3. )()(lim afxfax

=

Jika satu atau lebih kondisi diatas tidak dipenuhi maka fungsi f dikatakan

diskontinu di titikx = a.

(Harshbarger and Reynold,1989:127)

Ilustrasi kekontinuan fungsi pada gambar 4.

Gambar 4. Fungsif(x) kontinu dititik a

Contoh 2

Apakah fungsi1

1)(

2

+

=

x

xxf , untuk 1x kontinu dititikx= 1 ?

Penyelesaian

1. f(1) = 02. 0)(lim

1=

xf

x


26/95

15

3. )1(0)(lim1

fxfx

==

Jadif(x) kontinu dititik x = 1

Teorema 2.

Jika f dan g kontinu pada a, dan c adalah konstanta, maka fungsi-fungsi

berikut juga kontinu di a:

(i) f + g(ii) f g(iii) cf(iv) fg(v) 0)(, agjika

g

f.

( Stewart, 1998:119).

Bukti:

(i) Dipunyaif dangkontinu di aDitunjukanf + gkontinu di a

Karenaf dangkontinu di amaka

)()(lim afxfax

=

dan )()(lim agxgax

=

Diperoleh:

[ ])()(lim))((lim xgxfxgfaxax

+=+

)(lim)(lim xgxfaxax

+=

)()( agaf +=

))(( agf+= .


27/95

16

Jadi terbuktif + gkontinu di a.

(ii)Dipunyaif dangkontinu di aDitunjukanf - gkontinu di a


)()(lim afxfax

=

dan )()(lim agxgax

=

Diperoleh:

[ ])()(lim))((lim xgxfxgf axax =

)(lim)(lim xgxfaxax

=

)()( agaf =

))(( agf= .

Jadi terbuktif - gkontinu di a.

(iii)Dipunyaif kontinu di a, c adalah konstanta

Ditunjukan cf kontinu di a

Karenaf kontinu di amaka

)()(lim afxfax

=

Diperoleh:

)(lim)(lim xfcxcfaxax

=

)(afc=

Jadi terbukti c f kontinu di a.

(iv)Dipunyaif dangkontinu di aDitunjukanf gkontinu di a



28/95

17

)()(lim afxfax

=

dan )()(lim agxgax

=

Diperoleh:

[ ])().(lim))((lim xgxfxfgaxax

=

)(lim).(lim xgxfaxax

=

)().( agaf=

))(( agf=

Jadi terbuktif . gkontinu di a.

(v)Dipunyaif dangkontinu di aDitunjukan

g

fkontinu di a


)()(lim afxfax = dan )()(lim agxgax =

Diperoleh:

=

)(

)(lim))((lim

xg

xfx

g

f

axax

)(lim

)(lim

xg

xf

ax

ax

= ,dengan 0)(lim

xgax

)(

)(

ag

af=

= )(ag

f

Jadi terbuktig

fkontinu di a.


29/95

18

D. Turunan Fungsi Satu VariabelDefinisi 8

Turunan fungsifpada bilangan adinyatakan denganf(a)adalah :

f(a)=0

limh h

afhaf )()( +, jika limitnya ada.

Jika kita menuliskan x = a + h, maka h = x adan hmendekati 0 jika dan

hanya jika x mendekati a. Maka turunan juga dapat ditentukan dengan

persamaan berikut :

f(a)=0

limx

ax

afxf

)()(

(Stewart, 1998:146).

Contoh 3

Jikaf(x) = 4 x2, tentukanf(x)

Penyelesaian

Dari definisi didapat

f(x) =h

xfhxf

h

)()(lim

0

+

=h

xhx

h

22

0

4)(4lim

+

=h

xhxhx

h

222

0

4)2(4lim

++

=h

xhxhx

h

222

0

4484lim

++

=h

hxh

h

2

0

48lim

+


30/95

19

= hxh

48lim0

+

= 8x

Definisi 9

Turunan sebagai fungsi. Diberikan sebarang bilangan x yang bersifat

limit ini ada maka kita berikan nilai f(x) pada x. Sehingga f dipandang

sebagai fungsi baru, disebut turunan dari f karena fungsi f telah diturunkan

darifdengan menggunakan operasi limit. Dareah definisi fadalah himpunan

{xf(x)ada}. Sehingga turunan darif(x)dituliskan :

f(x)=0

limh h

xfhxf )()( +

(Stewart, 1998:153).

Contoh 4

Jikaf(x) = x3 2x, carilah rumus untukf(x).

Penyelesaian

Dari definisi dipunyai

f(x) =h

xfhxf

h

)()(lim

0

+

=h

xxhxhx

h

]2[)](2)[(lim

33

0

++

=h

xxhxhxhhxx

h

22233lim

33223

0

++++

=0

limh h

hhxhhx 233 322 ++

=0

limh

3x2+ 3xh + h

2 2


31/95

20

= 3x22.

Definisi 10

Notasi Turunan. Jika kita menggunakan notasi tradisional y = f(x)

untuk menunjukan variabel bebas adalah x dan variabel takbebas adalah y,

maka beberapa notasi alternatif yang dapat digunakan sebagai notasi turunan

adalah sebagai berikut:

f(x)=y= dx

dy

= dx

df

= dx

d

f(x)=Df(x)=Dxf(x)

(Stewart, 1998:158).

Teorema 3

Turunan mengimplikasikan kekontinuan

Jikaf(c) ada makafkontinu di c


Bukti

Kita perlu memperlihatkan bahwa )()(lim cfxfcx

=

. Kita mulai dengan

melukiskanf(x) secara khas

cxcxcx

cfxfcfxf

+= ),.(

)()()()(

Oleh karena itu

=

)(lim xfcx

+

).(

)()()(lim cx

cx

cfxfcf

cx

= )(lim.)()(

lim)(lim cxcx

cfxfcf

cxcxcx

+

=f(c) + f(c) . 0


32/95

21

= f(c)

Kebalikan teorema ini tidak benar. Jika fungsi f kontinu di c, maka tidak

berarti bahwa f mempunyai turunan di c. Hal ini dapat ditunjukan dengan

meninjau fungsi xxf =)( dititik 0. fungsi ini kontinu di 0, namun tidak

mempunyai turunan dititik tersebut. Perhatikan bahwa

h

h

h

h

h

fhf=

+=

+ 00)0()0(

Jadi

1limlim)0()0(

lim000

===+

+++ h

h

h

h

h

fhf

hhh

Sedangkan

1limlim)0()0(

lim000

=

==+

h

h

h

h

h

fhf

hhh

Karena limit kiri dan limit kanan berlainan,h

fhf

h

)0()0(lim

0

+

tidak ada.

Oleh karena ituf(0) tidak ada.

E. Konsep Turunan1. Aturan Fungsi Konstan

Jikaf(x) = k, dimanak adalah konstanta, makaf(x) = 0.

2. Aturan Fungsi IdentitasJikaf(x) = x, makaf(x) = 1.

3. Aturan PerpangkatanJikaf(x) = xn, dengan n bilangan riil, makaf(x) = nxn-1.

4. Aturan Kelipatan konstan


33/95

22

Jikaf(x) = ku(x), dimana k adalah konstanta, makaf(x) = ku(x).

5. Aturan JumlahJikaf dang fungsi yang terdiferensialkan, maka (f+g)(x) = f(x) + g(x).

6. Aturan selisihJikaf dang fungsi yang terdiferensialkan, maka (f-g)(x) = f(x) - g(x).

7. Aturan PerkalianJika f dan g fungsi yang terdiferensialkan, maka (f.g)(x) = f(x). g(x) +

f(x). g(x).

8. Aturan HasilbagiJika f dan g fungsi yang terdiferensialkan dengan g(x) 0

maka)(

)(')()(')()(

2

'

xg

xgxfxfxgx

g

f =


Bukti

1. f(x)=0

limh h

xfhxf )()( +=

0limh h

kk= 0

2. f(x)=0

limh h

xfhxf )()( +=

0limh h

xhx +=

0limh h

h= 1

3. f(x)=0

limh h

xfhxf )()( + =0

limh h

xhx nn + )(

=0

limh h

xhnxhhxnn

hnxx nnnnnn +++

++ 1221 ...2

)1(

=0

limh h

hnxhhxnn

nxh nnnn

+++

+ 1221 ...

2

)1(


34/95

23

=0

limh

1nnx

= 1nnx

4. AndaikanF(x) =k . f(x) makaF(x)=

h

xFhxF

h

)()(lim

0

+

=h

xfkhxfk

h

)(.)(.lim

0

+

=h

xfhxfk

h

)()(..lim

0

+

=h

xfhxfk

h

)()(lim.

0

+

= k . f(x)

5. AndaikanF(x) = f(x)+g(x) makaF(x)=

h

xFhxF

h

)()(lim

0

+

= [ ] [ ]

h

xgxfhxghxf

h

)()()()(lim

0

++++

=

++

+ h

xghxg

h

xfhxf

h

)()()()(lim

0

= h

xghxg

h

xfhxf

hh

)()(lim

)()(lim 00

++

+

=f(x) + g(x)

6. AndaikanF(x) = f(x) - g(x)makaF(x)=

h

xFhxF

h

)()(lim

0

+

=

[ ] [ ]h

xgxfhxghxf

h

)()()()(

lim0

++


35/95

24

=

+

+ h

xghxg

h

xfhxf

h

)()()()(lim

0

=h

xghxg

h

xfhxf

hh

)()(lim

)()(lim

00

+

+

=f(x) - g(x)

7. AndaikanF(x) = f(x).g(x)makaF(x)=

h

xFhxF

h

)()(lim

0

+

=h

xgxfhxghxf

h

)().()().(lim

0

++

=h

xgxfxghxfxghxfhxghxf

h

)().()().()().()().(lim

0

+++++

=

++

++

h

xfhxfxg

h

xghxghxf

h

)()().(

)()().(lim

0

=h

xfhxfxg

h

xghxghxf

hhh

)()(lim).(

)()(lim).(lim

000

++++

= )(').()(').( xfxgxgxf +

8. AndaikanF(x) =)(

)(

xg

xfmaka

F(x)=

h

xFhxF

h

)()(lim

0

+

=h

xg

xf

hxg

hxf

h

)(

)(

)(

)(

lim0

+

+

=)().(

1.

)().()().(.lim

0 hxgxgh

hxgxfhxfxg

h +

++

=

)().(

1.

)().()().()().()().(lim

0

hxgxgh

hxgxfxgxfxfxghxfxg

h

+

+++


36/95

25

=

+

+

+ )().(

1)()()(

)()()(lim

0 hxgxgh

xghxgxf

h

xfhxfxg

h

= [ ])().(

1)(')()(')(

xgxgxgxfxfxg

=)(

)(')()(')(2 xg

xgxfxfxg

F. Turunan ParsialDefinisi 11.

Misalkan f suatu fungsi dua variabel x dan y. Turunan parsial f

terhadapxadalah suatu fungsi, yang dinyatakan olehD1f,yang nilai fungsinya

disetiap titik (x, y)dalam domainf diberikan oleh :

D1f(x, y)=x

yxfyxxf

x

yxf

x

+=

),(),(lim

),(

0, apabila limit ini ada.

Dengan cara yang sama, turunan parsialfterhadapyadalah suatu fungsi, yang

dinyatakan oleh D2f, yang nilai fungsinya disetiap (x, y) dalam domainf

diberikan oleh :

D2f(x, y)=y

yxfyyxf

y

yxf

y

+=

),(),(lim

),(

0, jika limit ini ada.

(Leithold, 1991:313).

Contoh 5

Dipunyaif(x,y) =x2- 2x2y + y2tentukanx

yxf

),(dan

y

yxf

),(

Penyelesaian

Dari definisi didapat


37/95

26

x

yxf

),(=

x

yxfyxxf

x

+

),(),(lim

0

=x

yyxxyyxxxx

x

++++

)2()(2)(lim

222222

0

=x

yyxxyxyxxyyxxxxx

x

++++

22222222

0

2)(242)(2lim

=x

xyxxyxxx

x

22

0

24)(2lim

= xyxyxxx

242lim0

= 2x - 4xy

y

yxf

),(=

y

yxfyyxf

y

+

),(),(lim

0

=y

yyxxyyyyxx

y

++++

)2()()(2lim

222222

0

= y

yyxxyyyyyxyxx

y

++++

22222222

0

2)(222lim

=y

yyyyx

y

++

22

0

)(22lim

= )22(lim 20

yyxy

++

= -2x2+ 2y

G. Fungsi Naik dan Fungsi TurunDefinisi 12

Dipunyaiy = f(x) fungsi yang terdefinisi pada intervalI, maka:

a. y = f(x)naikpadaI jika untuk setiap pasangan bilanganx1, x2dalamIx1 < x2f(x1) < f(x2).


38/95

27

b. y = f(x)turunpadaI jika untuk setiap pasangan bilanganx1, x2dalamIx1 >x2f(x1) > f(x2).


Ilustrasi fungsi naik dan funsi turun diberikan pada gambar 5

(a) (b)

Gambar 5. Fungsi naik dan fungsi turun

Tes untuk Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Jikaffungsi yang terdiferensial pada selang (a,b), kemudian

Jikaf(x)>0 untuk setiapxdi (a,b), makafnaik di (a,b)

Jikaf(x)


39/95

28

Nilai Stasioner Fungsi

Gambar 6.

Misal grafik fungsiy = f(x)tersaji dalam gambar 6

Pada ketiga titik A,B,C diperoleh f(a)= f(b)= f(c)=0, ketiga garis

singgungnya sejajar dengan sumbux, danf stasioner pada ketiga titik tersebut.

Untuk titik A, f(a) berubah tanda dari positif-nol-negatif, f dikatakan

mempunyai nilai balik maksimumf(a) pada x = a. Untuk titik B, f(b)

berubah tanda dari negatif-nol-negatif, f dikatakan mempunyai nilai belok

horisontalf(b)padax = b. Untuk titik C,f(c)berubah tanda dari negatif-nol-

positif, f dikatakan mempunyai nilai balik minimumf(c)padax = c

Kesimpulan

Jika f(c) =0 maka f(c) disebut nilai stasioner dari f pada x=c, dan nilai

stasioner mungkin berupa nilai balik maksimum, nilai belok horisontal, atau

nilai balik minimum.

Contoh 6

Tentukan nilai stasioner fungsif(x) = 3x

5

-5x

3

dan tentukan pula jenisnya


40/95

29

penyelesaian:

f(x) = 15x4

-15x2

= 15x2

(x+1)(x-1)

nilai stasioner dicapai apabilaf(x) =0

15x2(x+1)(x-1)=0

Diperolehx = 0 ataux = -1 ataux = 1

Untukx = 0, f (0) = 0

Untukx = 1, f (1) = -2

Untukx = -1, f (-1) = 2

f (0) = 0adalah nilai belok horisontal

f (1) = -2 adalah nilai balik minimum

f (-1) = 2 adalah nilai balik maksimum

untuk lebih jelasnya dapat dilihat dalam gambar 7

Gambar 7 . Garfik fungsi 35 53)( xxxf =


41/95

30

H. Maksimum Relatif dan Minimum Relatif Fungsi Satu VariabelDefinisi 13

1. Fungsifdikatakan maksimum relatifpadax = x1jika ada suatu intervaldisekelilingx1dimanaf(x1)f(x) untuk setiapxdidalam interval tersebut.

2. Fungsi f dikatakan minimum relatif pada x = x2 jika ada suatu intervaldisekelilingx2dimanaf(x2)f(x) untuk setiapxdidalam interval tersebut.

(Harshbarger and Reynolds, 1989:200)

Tes Derivatif Pertama

Andaikanfkontinu pada selang buka (a, b) yang memuat titik krtiisc.

1. Jikaf(x) >0untuk semuaxdalam (a, c) danf(x) 0untuk semuaxdalam (a,c), makafnaik pada (a, c],

Karenaf(x)


42/95

31

Jadi f(x) > f(c) untuk semua x dalam (a, b), kecuali di x = c. Dapat

disimpulkan bahwaf(c)adalah minimum relatif.

(a) (b)

(c) (d)

Gambar 8. Maksimum relatif dan minimum relatif

Tes Derivatif Kedua

Andaikanfdanfada pada setiap titik pada selang buka (a, b)yang memuat

c, dan andaikanf(c) = 0

1. Jikaf(c) 0makaf(c)adalahnilai minimum relatiff.



43/95

32

Bukti:

1. Dipunyaif(c) = 0, f(c) 0untuk c

cx

xf c


44/95

33

Ketaksamaan ini mengimplikasikan bahwaf(x) < 0untuk c== xxxxxf pada )0,(

0)123(123)('

2


45/95

34

Gambar 9 . Garfik fungsi 46)( 23 += xxxf

Dengan tes derivatif kedua:

46)( 23 += xxxf

xxxf 123)('2

=

Titik kritis didapat jikaf(x) = 0

0123 2 = xx

0)123( =xx

0=x atau 4=x

126)('' = xxf

Sekarang kita menguji masing-masing titik kritisnya

01212)0(6)0('' ==f

Menurut tes derivatif kedua

karena f(0) < 0maka f(0) = 4adalah nilai maksimum relatif


46/95

35

karena f(0) > 0maka f(4) = -28adalah nilai minimum relatif

Untuk mempermudah menentukan titik maksimum relatif dan minimum relatif

suatu fungsi, alurnya dapat dilihat dalam flowchart berikut :

Gambar 10. Flowchart menentukan maksimum relatif dan minimum relatif

(Mizrahi and Sullivan, 1976: 149)

I. KecekunganDefinisi 14

a. Fungsiy=f(x)dikatakan cekung ke ataspada selang (a,b) jika garis tangensetiap titik pada selang (a,b) selalu berada di bawah grafik y=f(x). (gambar

11(a))

b. Fungsi y=f(x) dikatakan cekung ke bawah pada selang (a,b) jika garistangen setiap titik pada selang (a,b) selalu berada di atas grafik y=f(x).

(gambar 11(b))

(Mizrahi and Sullivan, 1976: 165)


47/95

36

(a) (b)

Gambar 10. cekung ke atas dan cekung ke bawah

Definisi 15

Asumsikan turunan pertama dan turunan kedua dari fungsif(x) ada.

Jika f(x) > 0untuk setiap xpada intervalI, maka maka f(x) cekung ke atas

pada intervalI

Jikaf(x)< 0 untuk setiapxpada intervalI, maka makaf(x) cekung ke bawah

pada intervalI


Definisi 16 (inflection point)

Titik (b,f(b)) dinamakan titik balik (inflection point) jika kurva f

cekung ke bawah pada satu sisi titik (b,f(b)) dan cekung ke atas pada sisi yang

lain. Turunan kedua darif akan sama dengan 0 atau tidak terdefinisi.



48/95

37

J. Nilai Ekstrim Fungsi Dua VariabelDefinisi 17

1. Fungsi f dari dua peubah dikatakan mempunyai nilai maksimum relatifpada titik (x0,y0) jika ada bola buka B((x0,y0);r) demikian hingga

f(x0,y0)f(x,y)untuk semua (x,y) didalamB.

2. Fungsi f dari dua peubah dikatakan mempunyai nilai minimum relatifpada titik (x0,y0) jika ada bola buka B((x0,y0);r) demikian hingga

f(x0,y0)f(x,y)untuk semua (x,y) didalamB.

(Leithold, 1991:380).

Tes untuk Menentukan Maksimum dan Minimum Fungsi Dua Variabel

(uji parsial kedua)

Dipunyaiz = f(x,y)suatu fungsi dua variabel

0=

=

y

z

x

zpada titik (a,b)

Dan semua turunan kedua kontinu disana. untuk

D = Zxx. Zyy (Zxy)2

a. Jika D>0 dan2

2

x

z

>0 dan

2

2

y

z

>0 pada (a,b), maka terjadi minimum

relatif pada (a,b)

b. Jika D>0 dan2

2z


49/95

38

d. JikaD=0pada (a,b), maka tes gagal.(Harshbarger and Reynolds, 1989:420)

K. Matrik Definit PositifDefinisi 18

Bentuk kuadrat padax1, x2, ..., xnadalah ekspresi yang dapat kita tulis sebagai

[ ]

n

n

x

x

x

Axxx

M

2

1

21 ,....,,

DenganAadalah matriks simetrik n x n

Jadi misalkan

=

n

2

1

x

x

x

XM

maka bentuk diatas dapat ditulis sebagaiXtA X

(Howard Anton, 1992:316)

Contoh 8

Bentuk kudrat dalam dua peubah (x dan y) didefinisikan terhadap ekspresi

yang dapat kita tulis sebagai

ax2+ 2bxy + cy2

dengan mengambil nilai a = 2, b = 3, c= 7

diperoleh 2x2+ 6xy +7y2

bentuk tersebut dapat diekspresikan dalam bentuk [ ]

y

x

73

32yx


50/95

39

Definisi 19.

Bentuk kuadrat Xt

A X disebut definit positif jika Xt

A X> 0 untuk semua

0x , sedangkan matrik simetriAkita sebut matrik definit positif jika X tA X

adalah bentuk kuadrat definit positif.

(Howard Anton, 1992:318)

Contoh 9

Dipunyai matrik simetrik berikut :

A=

210

121

012

Untuk mengkaji apakah matrik Abersifat definit positif, maka :

X tA X = [ ]321 xxx

210

121

012

3

2

1

x

x

x

= [ ]321 xxx

+

+

32

321

21

2

2

2

xx

xxx

xx

= )2()2()2( 3233212211 xxxxxxxxxx ++++

= 2332322

22121

2

1 222 xxxxxxxxxxx ++

= 23322

221

2

1 22222 xxxxxxx ++

= 232

332

2

2

2

221

2

1

2

1 )2()2( xxxxxxxxxx +++++

= 232

32

2

21

2

1 )()( xxxxxx +++

Dari sini dapat disimpulkan bahwa matrik A bersifat definit positif karena

memenuhi:


51/95

40

2

3

2

32

2

21

2

1 )()( xxxxxx +++ >0

Kecuali jika 0321 === xxx

Sebaliknya matrik Adan bentuk kuadratXtA X disebut :

1. Definit negatifjikaX tA X < 0 , untuk semua 0x .2. Semidefinit positifjikaX tA X 0 , untuk semuax.3. Semidefinit negatifjikaX tA X 0 , untuk semuax.4. Indefinitbila tidak termasuk golongan diatas.

(Leon,1998 : 309)

Himpunan syarat perlu dan syarat cukup untuk bentuk-bentuk definit positif

dan negatif.

1. Syarat perlu dan syarat cukup untuk bentuk definit positifSuatu himpunan syarat perlu dan syarat cukup bentuk X tA X sebagai

definit positif adalah

011>a , 0>2221

1211

aa

aa, 0>

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

,......, .0>A

Jika n minor dari A adalah positif, makaX tA X adalah definit positif. Dan

XtA X hanya definit positif, jika minor-minor ini positif.

2. Syarat perlu dan syarat cukup untuk bentuk definit negatifSuatu himpunan syarat perlu dan syarat cukup bentuk X

tA X menjadi

definit negatifatau setaranya untuk X t(-A) Xsebagai definit positif adalah

02221

1211

aa

aa, 0A


52/95

41

Dimana aijadalah elemen-elemen dari A (bukan A)

(hadley,1992 : 221)

L. Matriks HessianDefinisi 20.

Matrik Hessian adalah matrik yang setiap elemennya dibentuk dari turunan

parsial kedua dari suatu fungsi. Milsalkan f(x) fungsi dengan nvariabel yang

memiliki turunan parsial kedua dan turunan-turunanya kontinu, Matriks

Hessiandarif(x)ditulis H adalah

H =

2

n

2

2n

2

1n

2

n2

2

2

2

2

12

2n1

2

21

2

2

1

2

x

f...

xx

f

xx

f

.........

xx

f...

x

f

xx

f

xx

f...

xx

f

x

f

O

Matrik Hessian dapat digunakan untuk melakukan uji turuanan kedua fungsi

lebih dari satu variabel, yaitu untuk mengidentifikasi optimum relatif dari nilai

fungsi tersebut.

Penggolongan titik stasioner fungsi dua variabel dengan menggunakan

MatriksHessian

Misalkanf(x)= F(x1,......,xn)adalah fungsi bernilai real dimana semua turunan

parsialnya kontinu. Misalkan x0 adalah titik stasioner dari F dan kita

definisikanH = H(x0)dengan persamaan

Hij = )( 0, xF ji yx

H (x0)adalah hessian dariFpadax0.


53/95

42

Titik stasioner dapat digolongkan sebagai berikut :

1. x0adalah suatu minimum relatif dariFjikaH (x0)definit positif2. x0adalah suatu maksimum relatif dariFjikaH (x0)definit negatif3. x0adalah suatu titik pelana dariFjikaH (x0)indefinit

(Leon,1998 : 313)

Untuk lebih memahami penggunaan uji parsial kedua dan matrik Hessian

diberikan contoh berikut.

Contoh 10

DipunyaiZ = f(x,y) = x3+ xy2- 4xy +1

Tentukan titik kritis dan jenisnya dari Z.

Penyelesaian ( Dengan uji parsial kedua)

1) Tentukanx

Z

dan

y

Z

x

Z

= 3x2+y2-4y ;

y

Z

= 2xy - 4x

2) Tentukan titik stasioner

y

Z

= 0

2xy - 4x = 0

2x(y 4)=0

x = 0 atauy = 2

x

Z

= 0

3x2+y

2-4y = 0, x= 0 3(0)2+y2-4y = 0

y (y-4) = 0


54/95

43

y = 0 atauy = 4

y= 2 3x2

+22

-4(2) = 0

3x2-4= 0

3x2 = 4

x12 =3

4

x12 = 33

2

x = 33

2ataux = 3

3

2

Titik stasionernya adalah (0, 0), (0, 4), ( 33

2,2), ( 3

3

2 ,2)

3) Tentukan semua turunan parsial kedua

2

2

xZ

= 6x ; 2

2

yZ

= 2x

4222

=

=

y

yx

Z

xy

Z

4) Hitung D pada titik stasionerD = Zxx. Zyy (Zxy)

2

a. Pada (0, 0), D = ( 0) . ( 0) - 0 = -16b. Pada (0, 4), D = ( 0) . ( 0) - 16 = - 16c. Pada ( 3

3

2,2), D = ( 34 ) . ( 3

3

4) - 0 = 16

2

2

x

Z

= 6 ( 3

3

2) = 34


55/95

44

2

2

y

Z

= 2 ( 3

3

2) = 3

3

4

d. Pada (- 33

2,2), D = (- 34 ) . (- 3

3

4) - 0 = 16

2

2

x

Z

= 6 (- 3

3

2) = - 34

2

2

y

Z

= 2 (- 3

3

2) = - 3

3

4

5) Klasifikasi titik stasioner(0, 0) = titik pelana

(0, 4) = titik pelana

( 33

2,2) = minimum relatif

( 332 ,2) = maksimum relatif

Grafiknya dapat dilihat dalam gambar 12.

Gambar 12. grafik fungsiZ = f(x) = x3+ xy2- 4xy +1


56/95

45

Dengan matrikHessian

1) TentukanxZ dan

yZ

x

Z

= 3x

2+y

2-4y ;

y

Z

= 2xy - 4x

2) Tentukan titik stasioner

y

Z

= 0

2xy - 4x = 0

2x(y 4)=0

x = 0 atauy = 2

x

Z

= 0

3x2

+y2

-4y = 0, x= 0 3(0)2

+y2

-4y = 0

y (y-4) = 0

y = 0 atauy = 4

y= 2 3x2+22-4(2) = 0

3x2-4= 0

3x2 = 4

x12 =3

4

x12 = 33

2

x = 33

2ataux = 3

3

2


57/95

46

Titik stasionernya adalah (0, 0), (0, 4), ( 33

2,2), ( 3

3

2 ,2)

3) Untuk mengetahui jenis titik stasionernya, harus diselidiki matrikHessiannya. Turunan kedua dariZadalah

2

2

x

Z

= 6x ;

2

2

y

Z

= 2x

4222

=

=

y

yx

Z

xy

Z

4) Jadi matrikHessiannya menjadiH =

xy

yx

242

426

Sehingga diperoleh H1= [ ]06x ,

H2=

00

00

242

426

xy

yx

Nilai matrikHessianuntuk masing-masing titik ekstrim disajikan dibawah

ini :

Titik stasioner

(x0, y0)Matrik H H1 H2 Sifat H Sifat (x0, y0)

(0,0)

04

40 0 -16 Indefinit Titik pelana

(0,4)

04

40 0 -16 Indefinit Titik pelana

2,3

3

2

33

40

034 34 16

Definitpositif

Minimumrelatif

2,3

3

2

33

40

034

34 16Definit

negatif

Maksimum

relatif


58/95

47

M.Utilitas Marjinal.Fungsi utilitas ialah fungsi yang menjelaskan besarnya utilitas

(kepuasan, kegunaan) yang diperoleh seseorang dari mengkonsumsi suatu

barang atau jasa. Pada umumnya semakin banyak jumlah suatu barang

dikonsumsi semakin besar utilitas yang diperoleh, kemudian mencapai titik

puncaknya (titik jenuh) pada jumlah konsumsi tertentu, sesudah itu justru

menjadi berkurang atau bahkan negatif jika jumlah barang yang dikonsumsi

terus menerus ditambah.

Utilitas total merupakan fungsi dari jumlah barang yang dikonsumsi.

Persamaan utilitas total (total utility, U) dari mengkonsumsi suatu jenis barang

berupa fungsi kuadrat parabolik, dengan kurva berbentuk parabola terbuka ke

bawah. Utilitas marginal (marginal utility, MU) ialah utilitas tambahan yang

diperoleh dari setiap satu unit barang yang dikonsumsi. Secara matematik,

fungsi utilitas marginal merupakan derivatif pertama dari fungsi utilitas total.

Jika fungsi utilitas total dinyatakan dengan U = f (Q) dimana U

melambangkan utilitas total dan Q jumlah barang yang dikonsumsi, maka

utilitas marjinalnya :

MU =U =dQdU

(Dumairy, 1996 :226)


59/95

48

Gambar 13. Bentuk kurva fungsi utilitas

Karena fungsi utilitas total yang non linier pada umumnya berbentuk fungsi

kuadrat, fungsi utilitas marjinalnya akan berbentuk fungsi linier. Kurva utilitas

marjinal (MU) selalu mencapai nol tepat pada saat kurva utilitas total (U)

berada pada posisi puncaknya.

Contoh 11.

U = f (Q) = 90 Q 5 Q2

MU = U = 90 10 Q

Umaksimum padaMU = 0

MU = 0 Q = 9

Umaksimum = 90 (9) 5(9)2

= 810 405

= 405

Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada gambar 14


60/95

49

Gambar 14. Bentuk kurva fungsi U = 90 Q 5 Q2danMU = 90 10 Q

N. Produk Marjinal.Produk marjinal (marjinal product, MP) ialah produk tambahan ysng

dihasilkan dari suatu unit tambahan faktor produksi yang digunakan. Secara

matematik, fungsi produk marjinal merupakan derivatif pertama dari fungsi

produk total. Jika fungsi produk total dinyatakan P = f (X) dimana P

melambangkan jumlah produk total dan X adalah jumlah masukan, maka

produk marjinalnya :

MP = P =dX

dP

Karena fungsi produk total yang non-linier pada umumnya berbentuk

fungsi kubik, fungsi produk marjinalnya akan berbentuk fungsi kuadrat

(parabolik). Kurva produk marjinal (MP) selalu mancapai nilai ekstrimnya,

dalam hal ini nilai maksimum, tepat pada saat kurva produk total (P) berada


61/95

50

pada posisi titik beloknya. Produk total mancapai puncaknya ketika produk

marjinalnya nol. Sesudah kedudukan ini, produk total menurun bersamaan

dengan produk marjinal menjadi negatif. Area dimana produk marjinal negatif

menunjukan bahwa penambahan penggunaan masukan yang bersangkutan

justru akan mengurangi jumlah produk total.

(Dumairy, 1996 :227)

Contoh 12.

Produksi total :

P = f (X) = 9 X 2 X 3

Produk marjinal :

MP = P = 18 X 3X2

P maksimum padaP = 0 yaitu pada X = 6, denganPmaksimum= 108

P berada dititik belok danMP maksimum padaP = (MP) = 0 yaitu pada

X=3. (gambar 15).


62/95

51

Gambar 15. Kurva fungsif (X) = 9 X 2 X 3 danMP = P = 18 X 3X 2


63/95

52

BAB III

METODE PENELITIAN

Pada penelitian ini metode yang digunakan penulis adalah studi pustaka.

Langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut.

A. Menentukan MasalahDalam tahap ini dilakukan pencarian sumber pustaka dan memilih

bagian dalam sumber pustaka tersebut yang dapat dijadikan sebagai

permasalahan.

B. Merumuskan MasalahTahap ini dimaksudkan untuk memperjelas permasalahan yang telah

ditemukan, yakni bagaimanakah penggunaan Multiplier Lagrange untuk

menentukan nilai ekstrim (maksimum atau minimum) fungsi bersyarat

dengan fungsi kendala berbentuk persamaan, serta mencari contoh kasus nyata

dalam bidang ekonomi yang merupakan terapan dariMultiplier Lagrange.

C. Studi PustakaDalam tahap ini dilakukan kajian sumber-sumber pustaka dengan cara

mengumpulkan data atau informasi yang berkaitan dengan permasalahan,

mengumpulkan konsep pendukung seperti definisi dan teorema serta

membuktikan teorema-teorema yang diperlukan untuk menyelesaikan

permasalahan. Sehingga didapat suatu ide mengenai bahan dasar

pengembangan upaya pemecahan masalah


64/95

53

D. Analisis dan Pemecahan MasalahAnalisis dan pemecahan masalah dilakukan dengan langkah-langkah

sebagai berikut :

a. Mempelajari dan mengkaji dengan menggunakan referensi yang adatentang bagaimana menurunkan model matematikanya.

b. Mengetahui secara jelas tentang langkah-langkah menentuan nilai ekstrimsuatu fungsi, baik fungsi satu variabel maupun fungsi dua variabel.

c. Mencari nilai ekstrim dari suatu fungsi bersyarat dengan menggunakanMultiplier Lagrange, serta menerapkannya dalam kasus (contoh),

khususnya dalam bidang ekonomi.

E. Penarikan SimpulanTahap ini merupakan tahap akhir dari penelitian. Penarikan simpulan

dari permasalahan yang dirumuskan berdasarkan studi pustaka dan

pembahasanya.


65/95

54

BAB IV

HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN

A. Nilai Extrim Fungsi BersyaratDalam masalah optimasi terdapat dua bentuk optimasi yaitu, optimasi

fungsi tak bersyarat dan optimasi fungsi bersyarat. Kita sudah mengenal

beberapa cara untuk menyelesaikan bentuk yang pertama seperti uji turunan

pertama, uji turunan kedua, untuk fungsi satu variabel, serta uji parsial kedua

untuk fungsi dua variabel, semuanya telah diuraikan pada bab sebelumya.

Sedangkan untuk jenis yang kedua merupakan jenis yang paling banyak kita

jumpai dalam kehidupan nyata. Banyak aplikasi dari pemodelan matematika

dalam optimasi fungsi yang mensyaratkan beberapa kondisi atau syarat untuk

diperoleh suatu solusi optimal. Syarat ini yang mengoptimumkan fungsi

tujuan. Persoalan dengan model tersebut dinamakan optimasi bersyarat.

Bentuk umum dari optimasi fungsi dengan kendala adalah sebagai

berikut:

Tentukan nilai dari variabel keputusan (nilai ekstrim)X = {x1, x2, , xn}

yang memaksimumkan (meminimumkan) fungsi dari permasalahan:

Maksimumkan (Minimumkan)z = f(X)

Dengan kendalag1(X)(, =, ) b1

g2(X)(, =, ) b2

.

gi(X)(, =, ) bi , i = 1, 2, , m


66/95

55

dimana f(X) merupakan fungsi tujuan (objective function), dan

gi(X)(, =, ) bimerupakan fungsi kendala.

Tapi dalam penulisan skripsi ini akan diuraikan optimasi fungsi dengan

kendala persamaan.

B. Menentukan Nilai Ekstrim Suatu Fungsi Bersyarat denganMenggunakanMultiplier Lagrange.

Metode Multiplier Lagrange merupakan salah satu cara yang dapat

digunakan untuk menentukan titik ekstrim fungsi berkendala, dimana semua

fungsi kendalanya berbentuk persamaan. Teknik matematika Multiplier

Lagrange telah dikembangkan untuk mengatasi masalah optimasi dengan

kendala persamaan dalam suatu bentuk sedemikian hingga syarat perlu bagi

masalah optimasi tanpa kendala masih bisa diterapkan. Metode ini paling

banyak dipakai dengan pertimbangan prinsip kerjanya sederhana dan mudah

dimengerti.

Bentuk persoalan dari optimasi fungsi dengan kendala persamaan

dirumuskan sebagai berikut:

Maksimumkan (Minimumkan)z = f(X), X = {x1, x2, , xn}

Dengan kendalag1(X) = b1

g2(X) = b2

gi(X) = bi, i = 1, 2, , m.

Dimanaf(X)fungsi yang hendak dioptimumkan (fungsi tujuan) dangi(X) = bi

adalah fungsi kendala (equality constraint). Untuk menentukan nilai ekstrim


67/95

56

dari persoalan tersebut digunakan pangganda i dengan fungsi kendala ke i

dan persamaan fungsi lagrangenya:

=

+=m

i

ii XgXfXL1

)()(),( .

Fungsi baru lagrange dapat pula dibentuk dengan cara mengurangkan fungsi

yang hendak dioptimumkan terhadap hasil kali dengan fungsi kendala,

hasilnya tetap sama kecuali pada tanda hasil perhitungan . Perlu diketahui

bahwa pengali lagrange disini adalah suatu variabel tak tentuyang hanya

bersifat pembantu.

C. Syarat Perlu dan Syarat Cukup Untuk Menghitung Nilai EkstrimBersyarat

Seperti yang telah dijelaskan diatas bahwa Teknik matematika

Multiplier Lagrange telah dikembangkan untuk mengatasi masalah optimasi

dengan kendala persamaan dalam suatu bentuk sedemikian hingga syarat perlu

bagi masalah optimasi tanpa kendala masih bisa diterapkan. Uraian dari syarat

perlu serta syarat cukup tersebut adalah sebagai berikut.

1. Syarat perlu (necessary conditions) untuk ekstrim relatifSyarat perlu bagi sebuah fungsif (X)dengan kendalagi(X) = 0 , dengan i

= 1,2,...,m agar mempunyai extrim relatif dititik X* adalah derivasi

pertama dari fungsi lagrangenya yang didefinisikan sebagai

),...,,,,...,,( 2121 mnxxxLL = , terhadap setiap argumennya mempunyai

nilai 0 atau

0......2121

=

==

=

=

==

=

mn

LLL

x

L

x

L

x

L


68/95

57

2. Syarat cukup (sufficient conditions) untuk ekstrim relatifSeperti pada kasus optimasi tanpa kendala, syarat cukup pada kasus ini

juga diekspresikan dalam bentuk determinan. Posisi determinan matriks

Hessian pada optimasi dengan kendala persamaan digantikan dengan apa

yang disebutBordered Hessian. Syarat cukup ini diterapkan setelah syarat

perlu dipenuhi dan digunakan untuk mengetahui prilaku dari L ),( iX

pada nilai kritisnya. Bentuk dariBordered Hessian yang dilambangkan HB

tersebut sebagai berikut :

=

2

n2n1nn

n2

2

2122

n121

2

11

n21

b

x

L

xx

L

xx

L

x

g

xx

L

x

L

xx

L

x

g

xx

L

xx

L

x

L

x

g

x

g

x

g

x

g0

H

L

MOMMM

L

L

L

Syarat tersebut harus diekspresikan dalam bordered principal minor. Dari

Bordered Hessiandiatas, maka bordered principal minornya adalah :

=

2

2

2

12

2

2

21

2

2

1

2

1

21

2

x

L

xx

L

x

g

xx

L

x

L

x

g

x

g

x

g0

H


69/95

58

=

2

3

2

23

2

13

2

3

32

2

2

2

2

12

2

2

31

2

21

2

2

1

2

1

321

x

L

xx

L

xx

L

x

g

xx

L

x

L

xx

L

x

g

xx

L

xx

L

x

L

x

g

x

g

x

g

x

g0

3H

Dan seterusnya. Kemudian,

a.Jika H2, H3, ....., Hn= H < 0 , Bordered Hessianadalah definit positif,yang merupakan syarat cukup untuk minimum relatif, sehingga X*

adalah minimum relatif.

b.Jika H2> 0 , H3 < 0 , H4> 0 , dan seterusnya,Bordered Hessian adalahdefinit negatif, yang merupakan syarat cukup untuk maksimum relatif,

sehinggaX*maksimum relatif.

Perlu diingat bahwa pemeriksaan dimulai dari H2bukan dari H1

Contoh 1.

Carilah nilai extrim dari fungsif(x,y) = x3+ y3+ xydengan syaratx + y -4 = 0

Penyelesaian :

Optimumkan : f (x,y) = x3+ y3+ xy

Dengan kendala : g (x, y) = x + y 4.

Diperoleh fungsi baruLagrange:

F (x, y, ) = f (x,y)+ g (x, y) atau

F (x, y, ) = x3+ y3+ xy + ( x + y 4)

Syarat perlu untuk mendapatkan titik extrim :


70/95

59

0=

=

=

F

y

F

x

F

x

F

= 3x2+ y + = 0 .........................................................(1)

y

F

= 3y2+ x + = 0 ........................................................ (2)

F=x + y - 4 = 0 ...............................................................(3)

Dari persamaan (1) dan (2)

= - (3x2+ y )

= - (3y2+ x )

3x2+ y = 3y2+ x .................................................................(4)

Dari persamaan (3) diperolehy = 4 x , subtitusikan ke persamaan(4)

3 x2

+ (4 x) = 3 ( 4 - x)2

+ x

3 x2+ 4 x = 48 24x + 3x2+ x

22 x = 44

x = 2

x = 2 x + y 4= 0 y = 2

Padax =2dany = 2Fungsi tujuannya memberikan nilai ekstrimf (x,y) = 20

Syarat cukup untuk menguji sifat titik stasioner :

Untuk mengetahui perilaku fungsi

F (x, y, ) = x3+ y3+ xy + ( x + y 4)padax =2,y = 2


71/95

60

=

2

22

2

2

2

2

y

L

xy

L

y

g

yx

L

x

L

x

gy

g

x

g0

H

=

y

x

0

H2

611

161

11

Pada titik (2, 2) diperoleh nilai H2

=

1211

1121

110

H2 = -22

jadi nilaiLpada (2,2) adalah minimum relatif.

D. PenerapanMultiplier Lagrange dalam Bidang Ekonomi.1. Utilitas Marjinal Persial dan Keseimbangan Konsumsi.

Dalam kenyataan sehari-hari, seorang konsumen tidak hanya

mengkonsumsi satu macam barang tetapi berbagai macam. Jika kepuasan

konsumen dilambangkan dengan U dan barang-barang yang

dikonsumsinya dilambangkan dengan qi (i = 1, 2, ,..., n ), maka fungsi

utilitasnya dapat dituliskan dengan notasi U = f (q1, q2, ......, qn).

Seandainya untuk menyederhanakan dianggap bahwa seorang konsumen

hanya mengkonsumsi dua macam barang, katakanlah X dan Y, maka

fungsi utilitasnya adalah :

U = f(x, y)

Derivatif pertama dari U merupakan utilitas marjinal parsialnya


72/95

61

x

U

adalah utilitas marjinal berkenaan dengan barangX

y

U

adalah utilitas marjinal berkenaan dengan barang Y

Untuk U = konstanta tertentu, fungsi utilitas U = f(x, y) merupakan suatu

persamaan kurva indiferensi, yaitu kurva yang menunjukan berbagai

kombinasi konsumsi barang Xdan Y yang memberikan tingkat kepuasan

yang sama.

Keseimbangan konsumsi maksudnya adalah suatu keadaan atau

tingkat kombinasi konsumsi beberapa macam barang yang memberikan

kepuasan optimum. Secara geometri, keseimbangan konsumsi terjadi pada

persinggungan kurva indiferensi dengan garis anggaran konsumen (budget

line). Garis anggaran adalah garis yang mencerminkan kemampuan

konsumen membeli berbagai macam brang berkenaan dengan harganya

masing-masing dan pendapatan konsumen. Jika pendapatan konsumen

berjumlahMserta harga barangXdan barang Ymasing-masingPxdanPy

per unit, persamaan budget line-nya dapat ditulis dengan notasi

M = x.Px + y.Py

Tingkat kombinasi konsumsi yang memberikan kepuasan optimum

atau keseimbangan konsumsi dapat dicari dengan Multiplier Lagrange.

Dalam hal ini fungsi utilitas U = f (x,y)dimaksimumkan terhadap fungsi

anggaranM = x.Px + y.Py. Diperolehfungsi baruLagrange:

F (x, y) = f (x, y) + ( x.Px + y.Py M)

Agar F maksimum :


73/95

62

F x(x, y) =0 fx(x, y) + .Px= 0 ...............................................(1)

F y(x, y) =0 fy(x, y) + .Py= 0 ...............................................(2)

Selanjutnya perhatikan :

Utilitas total : U = f(x, y)

Utilitas marjinal :MU = U = f (x, y)

Utilitas marjinal barangX:MUx = f x(x, y) =x

U

Utilitas marjinal barang Y:MUy = f y(x, y) =y

U

Dari persamaan (1) :fx(x, y) + .Px= 0 x

x

P

y)(x,f=

Dari persamaan (2) :fy(x, y) + .Py= 0 y

y

P

y)(x,f=

diperoleh

y

y

x

x

P

y)(x,f

P

y)(x,f= berakibat

y

y

x

x

P

MU

P

MU=

Dapat diartikan pula bahwa keseimbangan konsumsi akan tercapai apabila

hasil bagi utilitas marjinal masing-masing barang terhadap harganya

bernilai sama.

Contoh 2.

Kepuasan seorang konsumen dari mengkonsumsi barang X dan Y

dicerminkan oleh fungsi U = x2y3. jumlah pendapatan konsumen 1.000

rupiah, harga X dan harga Y per unit masing masing 25 rupiah dan 50

rupiah.

a) Bentuklah fungsi utilitas marjinal untuk masing-masing barang.


74/95

63

b) Berapa utilitas marjinal tersebut jika konsumen mengkonsumsi 14 unitXdan 13 unit Y?

c) Jelaskan apakah dengan mengkonsumsi 14 unit X dan 13 unit Ykepuasan konsumen optimum atau tidak?

d) Hitunglah kombinasi konsumsi X dan Y yang memberikan kepuasanoptimum, buktikan pula bahwa pada tingkat kepuasan optimum

tersebuty

y

x

x

P

MU

P

MU

=

Penyelesaian :

a) U = x2y3Utilitas marjinal barangX : MUx =

x

U

= 2 x y3

Utilitas marjinal barang Y:MUy = y

U

= 3 x

2

y2

b) Jikax= 14 dany= 13MUx = 2(14).(13)

3= 61516

MUy = 3(14)2.(13)2= 99372

c)x

x

P

MU=

25

61516= 2460,64

y

y

P

MU=

50

99372= 1987,44

y

y

x

x

P

MU

P

MU

Berarti kombinasi konsumsi 14 unitXdan 13 unit Ytidak memberikan

kepuasan optimum, tidak terjadi keseimbangan konsumsi.


75/95

64

d) U = x2y3M = x.Px + y.Py

1000 = 25x + 50y

25x + 50y -1000 = 0

Dari dua persamaan di atas diperoleh fungsi baruLagrange:

F (x, y)= x2y3+ ( 25x + 50y -1000)

=x2y3+ 25 x + 50 y -1000

Agar F maksimum:

F x= 2x y3 + 25= 0 - =

25

2xy3..................................(1)

F y= 3 x2y2 + 50= 0 - =

50

y3x 22.............................(2)

Berdasarkan (1) dan (2) ,

25

2xy3=

50

y3x 22100x y3= 75x2y2

y = x4

3

25x + 50y -1000 = 0

25x + 50 ( x4

3

)-1000 = 0

x = 16

x = 16 ,y= )16(4

3= 12

U = x2y3= (16)2(12)3= 442368


76/95

65

Kombinasi konsumsi yang memberikan kepuasan optimum adalah 16

unitXdan 12 unit Y, dengan nilai kepuasan U= 442368.

Untukx= 16 dany= 12,

MUx = 2(16).(12)3= 55296

MUy = 3(16)2.(12)2= 110592

x

x

P

MU=

25

55296= 2211,84

y

y

P

MU=

50

110592= 2211,84

y

y

x

x

P

MU

P

MU= ( terbukti )

Contoh 3.

Kepuasan seorang konsumen dari kombinasi dua barang pakaian dan

makanan ditunjukan oleh fungsi U = 4x2+2y2+5, dengan x menyatakan

pakaian dan y menyatakan makanan. Jumlah pendapatan konsumen 90.000

rupiah, harga pakaian dan harga makanan per unit masing masing 5.000

rupiah dan 1.000 rupiah. Hitunglah kombinasi konsumsi pakaian dan

makanan yang memberikan kepuasan optimum.

Penyelesaian :

U = 4x2+2y2+5

M = x.Px + y.Py

90000 = 5000x + 1000y

5000x + 1000y -90000 = 0



77/95

66

F (x, y)= 4x2+2y2+5+ ( 5000x + 1000y -90000)

= 4x2+2y2+5 + 5000 x + 1000 y -90000

Agar F maksimum:

F x= 8 x + 5000= 0 - =

5000

8x..................................(1)

F y= 4 y + 1000= 0 - =

2500

4y..................................(2)


5000

8x=

1000

4y20000y= 8000x

y = x5

2

5000x + 2500y -90000 = 0

5000x + 2500 ( x5

2) -90000 = 0

6000 x = 90000

x = 15

x = 15 ,y= )15(5

2= 6

U = 4x2+2y2+5= 4(15)2+2(6)2+5 = 977

Kombinasi konsumsi yang memberikan kepuasan optimum adalah 16 unit

pakaiandan 6 unit makanan, dengan nilai kepuasan U= 977.

Contoh 4.

Dipunyai fungsi utilitas untuk dua komoditas yang diberikan oleh fungsi

U= x2y dan anggaran pengeluaran 3x + 6y =18, berapa nilaixdanyyang

memberikan kepuasan optimum


78/95

67

Penyelesaian :

Maksimumkan U= x2

y

Dengan kendala 3x + 6y =18


L =x2y +( 3x + 6y -18)

L =x2y + 3 x + 6 y -18

Agar L makasimum

Lx = 2 x y + 3 = 0 - =3

2xy............................................(1)

Ly = x2+ 6 = 0 - =

6

x 2.................................................(2)


3

2xy

= 6

x 2

y = x4

1

3x + 6y =18

3x + 6 ( x4

1) =18

x = 4

x = 4

y = (4)4

1

= 1

U= x2y= 42. 1= 16

Kombinasi konsumsi yang memberikan kepuasan optimum adalah 16 unit

x dan 6 unity, dengan nilai kepuasan U= 16.


79/95

68

Contoh 5.

Seorang konsumen mempunyai 280 $ untuk membayar dua komoditas,

komoditas pertama seharga 2 $ per unit dan komoditas ke dua seharga 5 $

per unit. Kepuasan konsumen dari mengkonsumsi dua komoditas tersebut

dicerminkan oleh fungsi U =100 x0.25y0.75. Hitunglah kombinasi konsumsi

dua komoditas tersebut yang memberikan kepuasan optimum.

Penyelesaian :

Maksimumkan U =100 x0.25y0.75

Dengan kendala 2x + 5y = 280


L (x, y) = 100 x0.25y0.75 +(2x + 5y 280)

Agar L maksimum :

Lx(x, y) = 25 x-0.75y0.75 +2=0 - =

2

y25x 0.75-0.75........................(1)

Ly(x, y) = 75 x0.25y-0.25 +5= 0 - =

5

y25x -0.250.25......................(2)

L(x, y) = 2x + 5y 280 = 0


2

y25x 0.75-0.75=

5

y25x -0.250.25

10 -0.250.25yx = 25 0.75-0.75yx

0.75

0.75

0.25

0.25

x

25y

y

10x=

10x = 25 y


80/95

69

x= y2

5

2x + 5y 280 = 0

2( y2

5) + 5y 280 = 0

y = 28

y = 28x =70

artinya untuk mencapai kepuasan optimum dari dua komoditas tersebut,

konsumen harus membeli 70 unit komoditas pertama dan 28 unit

komoditas kedua.

2. Produk Marjinal Persial dan Keseimbangan Produksi.Untuk memproduksi suatu barang pada dasarnya diperlukan

beberapa macam faktor produksi seperti tanah, modal, tenaga kerja, bahan

baku, mesin-mesin dan sebagainya. Jika jumlah keluaran yang dihasilkan

dilambangkan dengan P dan masukan yang diguanakan dilambangkan

dengan xj (j= 1, 2, ,..., n ), maka fungsi produkasinya dapat dituliskan

dengan notasiP = f(x1, x2, x3, ......, xn).

Sebagian dari masukan yang digunakan sudah barang tentu

merupakan masukan tetap, sementara sebagian lainnnya adalah masukan

variabel. Selanjutnya jika untuk memproduksi suatu barang dianggap

hanya ada dua macam masukan variabel ( misalkanKdanL), maka fungsi

produksinya secara pasti dapat dinyatakan dengan,

P = f (k, l)

Derivatif pertama merupakan produk marjinal parsialnya.


81/95

70

k

P

adalah produk marjinal berkenaan dengan masukanK.

l

P

adalah produk marjinal berkenaan dengan masukanL.

Untuk P = konstanata tertentu, fungsi produksi P = f (k, l) merupakan

suatu persamaan isoquant, yaitu kurva yang menunjukan berbagai

kombinasi penggunaan masukan K dan L yang menghasilkan keluaran

dalam jumlah sama.

Keseimbangan Produksi maksudnya adalah suatu keadaan atau

tingkat penggunaan kombinasi faktor-faktor produksi secara optimum,

yakni suatu tingkat pencapaian produksi dengan kombinasi biaya terendah

( least cost combination). Secara geometri, keseimbangan produksi terjadi

pada persinggungan isocost dengan isoquant. Isocost adalah kurva yang

mencerminkan kemampuan produsen membeli berbagai macam masukan

berkenaan dengan harga masing-masing masukan dan jumlah dana yang

dimilikinya. Jika jumlah dana yang dianggarkan untuk membeli masukan

Kdan masukanLadalah sebesarM,serta harga masukanKdan masukanL

masing masing Pkdan Pl, persamaan isocost-nya dapat dituliskan dengan

notasiM = k . Pk+ l . Pl.

Tingkat kombinasi penggunaan masukan yang optimum atau least

cost combination dapat dicara denganMultiplier Lagrange. Dalam hal ini

fungsi produksi P = f (k, l) dimaksimumkan terhadap fungsi isocost

M = k . Pk+ l . Pl.

Fungsi tujuan yang hendak dioptimumkan :P = f (k, l)


82/95

71

Fungsi kendala yang dihadapi :M = k . Pk+ l . Pl.

k . Pk+ l . Pl-M =0

Fungsi baruLagrange:F ( k,l) = f (k,l) + (k . Pk+ l . PlM)

Syarat perlu agarF ( k,l) maksimum :

Fk( k,l) = 0 fk( k,l) + .Pk= 0...............................................(1)

Fl( k,l) = 0 fl( k,l) + .Pl= 0................................................(2)

Dari (1) dan (2) nilai k dan nilai l dapat dicari. Selanjutnya nilai P

maksimum dapat dihitung.

Selanjutnya perhatikan :

Produksi total : P = f (k, l)

Produksi marjinal barang K :MPK = f k(k, l) =k

P

Produksi marjinal barang L :MPL = f l(k, l) =l

P

Pengembangan lebih lanjut dari persamaan (1) dan (2) diatas akan

menghasilkan

(1) fk( k,l) + .Pk= 0 fk( k,l) = - .Pk, k

k

P

l)(k,f=

(2)fl( k,l) + .Pl= 0 fl( k,l) = - .Pl, l

l

Pl)(k,f=

Dengan demikian, syarat keseimbangan produksi dapat juga dirumuskan :

l

l

k

k

P

l)(k,f

P

l)(k,f= berakibat

l

L

k

K

P

MP

P

MP=


83/95

72

Dapat diartikan pula bahwa produksi optimum dengan biaya kombinasi

biaya terendah akan tercapai apabila hasil bagi produk marjinal masing-

masing masukan terhadap harganya bernilai sama.

Contoh 6.

Seorang produsen mencadangkan 96 rupiah untuk membeli masukan K

dan masukanL. Harga per unit masukanKadalah 4 rupiah dan masukanL

adalah 3 rupiah. Fungsi produksinya adalahP = 12 kl.

a) Berapa unit masing-masing masukan seharusnya ia gunakan agarproduksinya optimum, dan berapa unit keluaran yang dihasilkan dari

kombinasi tersebut.

b) Buktikan bahwa untuk mencari tingkat produksi optimum berlakuketentuan

l

L

k

K

P

MP

P

MP= .

Penyelesaian :

a) Fungsi produksi yang akan dioptimumkan :P = f(k, l) = 12 klFungsi isocost yang menjadi kendala :M = k . Pk+ l . Pl.

96 = 4.k + 3.l

96 - 4.k - 3.l = 0

Dari dua persamaan diatas diperoleh fungsi baruLagrange:

F (k, l)= 12 kl + ( 96 - 4.k - 3.l)

F (k, l)= 12 kl + . 96 - .4.k - . 3.l

Agar F maksimum :

Fk (k, l) = 0danFl (k, l) = 0

Fk (k, l) = 12 l - 4 = 0 =3 l


84/95

73

Fl (k, l) = 12 k - 3 = 0 =4 k

3 l = 4 k

96 = 4.k + 3.l

96 = 4 k + 4 k k = 12

l = )12(3

4= 16

P = 12 kl = 12(12)(16) = 2304

Jadi agar produksinya optimum seharusnya digunakan kombinasi 12

unitKdan 16 unitL. Dengan hasil 2304 unit.

b) P = 12 klMPK = f k(k, l) =

k

P

= 12 l

MPL = f l(k, l) = l

P

= 12 k

UntukPk= 4, Pl= 3, k = 12, l = 16:

k

K

P

MP=

4

12.l=

4

(16)12=48

l

L

P

MP=

3

12.k=

3

(12)12= 48

l

L

k

K

P

MP

P

MP= ( terbukti )

Contoh 7.

Suatu pabrik memproduksi dua jenis mesin , x dan y, fungsi biaya

gabungan dari dua mesin tersebut adalah C (x, y) = x2+ 3xy -6y , untuk


85/95

74

meminimalkan biaya, berapa banyak mesin dari keduanya harus

diproduksi, jika total mesin yang diproduksi 42.

Penyelesaian :

Minimalkan C (x, y) = x2+ 3xy -6y

Dengan kendala :x + y = 42

Dari dua persamaan diatas diperoleh fungsi baruLagrange:

F (x, y)= x2+ 3xy -6y + ( x + y - 42 )

Agar F minimum :

Fx(x, y)= 2x + 3y + = 0 -= 2x + 3y......................................(1)

Fy(x, y)= 3x 6 + = 0 -= 3x 6............................................(2)

F (x, y)= x + y 42 = 0 x = 42 y............................................(3)


2x + 3y = 3x 6

x = 3 y + 6..........................................................................................(4)


42 y = 3 y + 6

y = 9

y = 9 x = 33

jadi biaya minimum diperoleh jikax = 33danx= 9

Contoh 8.

Fungsi produksi dari pabrik ABC adalah P (x, y) = x2 + 3 xy - 6x ,

dimanaxdanymewakili dua masukan yang berbeda, tentukan nilaixdan

yyang memaksimumkan produksi jikax + y = 40


86/95

75

Penyelesaian :

MaksimumkanP (x, y) = x2

+ 3 xy - 6x

Dengan kendalax + y = 40

Diperoleh fungsi baruLagrange :

L (x, y) = x2+ 3 xy - 6x + ( x + y 40)

AgarLmaksimum :

Lx(x, y) = 2x + 3y - 6 + = 0 -= 6-3y2x+ ...........................(1)

Ly(x, y) = 3x + = 0 -= 3x ........................................................(2)

L(x, y) = x + y 40 = 0 x = 40- y


6-3y2x+ = 3x

2 (40- y) + 3 y 6 = 3(40- y)

y = 11,5

y = 11,5x = 28,5

jadi produksi maksimum diperoleh jikax = 11,5danx= 28,5

Contoh 9.

Seorang petani mempunyai dua tanaman,Xdan Y. Ditunjukan biaya untuk

memproduksi x unit tanaman X adalah x2 + 1200 dan biaya untuk

memproduksi y unit tanaman Y adalah 3y2 + 800. jika dia mempunyai

pesanan 1200 unit. Berapa banyak masing-masing tanaman harus

diproduksi untuk memenuhi pesanan, yang meminimumkan biaya

produksi.


87/95

76

Penyelesaian :

Minimumkan C(x, y) = (x2

+ 1200) +(3y2

+ 800)

=x2+ 3y2+2000

Dengan kendala :x + y =1200


F (x, y)= x2+ 3y2+2000 + ( x + y -1200)

Agar F maka minimum

Fx(x, y)= 2x + = 0 -= 2x .......................................................(1)

Fy(x, y)= 6y + = 0 -= 6y.........................................................(2)

F (x, y)= x + y -1200 = 0 x = 1200 - y


2x = 6y

x = 3y

1200 y = 3y

y = 300

y = 300 x = 1200 300 = 900

jadi masing-masing tanaman yang harus diproduksi yang meminimumkan

biaya produksi adalahy = 300 dan x = 900

Contoh10.

Sebuah perusahaan mempunyai tiga pabrik yang memproduksi barang

dagangan yang sama. Jika pabrik A memproduksi x satuan, pabrik B

memproduksi y satuan, pabrik C mamproduksi z satuan, berturut-turut

dengan biaya pembuatan ( 3x2+ 200)dolar, (y2+ 400) dolar, ( 2z2+ 300)


88/95

77

dolar. Jika harus mengisi permintaan sebanyak 1100 satuan, tentukan

bagaimana produksi tersebut harus dibagikan kepada ketiga pabrik itu agar

dicapai biaya pembuatan yang minimum.

Penyelesaian

Minimumkan C(x, y) = (3x2+ 200) +(y2+ 400) +( 2z2+ 300)

= 3x2+ y2+2z2+ 900

Dengan kendala :x + y + z = 1100


F (x, y) = 3x2+ y2+2z2+ 900 + ( x + y + z 1100)

Agar F maka minimum

Fx(x, y)= 6x + = 0 -= 6x .......................................................(1)

Fy(x, y)= 2y + = 0 -= 2y .........................................................(2)

Fz(x, y)= 4z + = 0 - = 4z .........................................................(3)

F (x, y)= x + y + z 1100 = 0 x = 1100 y z ........................(4)


6x = 2y y = 3x


6x = 4z z = x23

Dari persamaan (4)

x = 1100 3x x2

3

x = 200

x = 200

y = 600


89/95

78

x = 200z = 300

jadi agar dicapai biaya pembuatan yang minimum, pabrik A memproduksi

200 satuan, pabrik B memproduksi 600 satuan dan pabrik C memproduksi

300 satuan.


90/95

79

BAB V

PENUTUP

A. SimpulanBerdasarkan pembahasan pada bab-bab sebelumnya dapat diambil

kesimpulan sebagai berikut:

1.Langkah-langkah menentukan nilai ekstrim suatu fungsi dengan kendalafungsi lain menggunakanMultiplier Lagrangeadalah sebagai berikut :

a. Maksimumkan (Minimumkan)z = f(X), X = {x1, x2, , xn}Dengan kendalag1(X) = b1

gi(X) = bi, i = 1, 2, , m.

b. Diperoleh fungsi baruLagrange:=

+=m

i

lagrangian multiplier 1

Documents