L I M I T

Jurusan Teknik MesinUniversitas Riau

2010

1.1 Konsep Limit1.2 Pengkajian Mendalam tentang Limit1.3 Teorema Limit1.4 Limit Melibatkan Fungsi Trigonometri1.5 Limit di Tak-hingga, Limit Tak-berhingga1.6 Kontinuitas Fungsi1.7 Telaah Bab

Pendahuluan Limit

• Kalkulus adalah studi tentang limit• Apa yang terjadi pada fungsi f(x) ketika x

semakin mendekati suatu konstanta c ????

Contoh

1. 5

4

6

4lim

2

2

2

xx

xx

0.82 8.02

0.800042.001 79996.0999.1

0.803922.1 7959.09.1

81818.05.2 7778.05.1

83333.03 75.01

)()(

xfxxfx

2.3 Konsep Limit

Definisi IntuitifMisalkan y=f(x) suatu fungsi, a dan L bilangan riil sedemikian hingga:• Bila x dekat a tetapi tidak sama dg a (xa), f(x) dekat ke L• Bila x mendekati a tetapi xa, maka f(x) mendekati L• Misalkan f(x) dapat kita buat sedekat mungkin ke L dg

membuat x cukup dekat a tetapi tdk sama dg a• Maka dapat dikatakan bhw limit f(x) bila x mendekati a

adalah L,

Lxfax

)(lim

• Hitung )(lim0

xfx

0 if1

0 if1

||)(.2

0 if0

0 if1)(.1

x

x

x

xxf

x

xxf

Hukum2 Limit:

Pecahan) (Hk..0 jikaasalkan )(lim

)(lim

)(

)(lim4.

Perkalian) (Hk. )](lim)][(lim[)]()([lim.3

n)Penjumlaha Hk.()](lim[)](lim[)]()([lim 2.

maka )(limdan )(lim adaberikut limit Jika

.Konstanta) (Hk. lim .1

MM

L

xg

xf

xg

xf

LMxgxfxgxf

MLxgxfxgxf

MxgLxf

CC

ax

ax

ax

axaxax

axaxax

axax

ax

Komposisi)Limit tusi/ (Hk.Substi).())(lim())((lim

maka )()(limdan )(limMisalkan .6

(Hk.Akar).lim

maka

genap, nilaiuntuk 0 jikadan positifbulat bilangan suatu Jika 5.

Lfxgfxgf

LfxfLxg

ax

nan

axax

Lxax

nn

ax

2.4. Teorema2 Limit1. Teorema Limit trigonometri:

2. Hukum Apit: Misalkan f(x) g(x) h(x) untuk semua x disekitar a namun x a, dan

maka

1sin

lim0

x

xx

)(lim)(lim xhLxfaxax

Lxgax

)(lim

cos(x) sin(x)/x 1/cos(x)

1)sin(

lim maka ,)cos(

1lim1)cos(lim

000

x

x

xx

xxx

Contoh

.01

sinlim Tunjukkan 2

0x

xx

0dan 11

sin1,0Untuk 2 xx

x

222 1sin xx

xx

Apit). Prinsipan (menggunak 01

sinlim maka

0limdan 0)lim( karena

2

0

2

0

2

0

xx

xx

x

xx

Bukti:

• Limit kiri (limit f(x) bila x menuju a dari kiri)

• Limit kanan (limit f(x) bila x menuju a dari kanan)

• Teorema 2:

jika dan hanya jika

Lxfax

)(lim

Lxfax

)(lim

)(lim)(lim xfLxfaxax

Lxfax

)(lim

Contoh

ada tidak )(lim Maka

. .2)2(lim)(lim ,0Untuk

. .11lim)(lim,0Untuk

.0,2

0,1)(

0

00

00

xf

xfx

xfx

x

xxf

x

xx

xx

kirilimit

kananlimit

Contoh2 limit

later. discussed - examplesuch for limits sided-one Need

exist.not does )( lim

0,1

0,1)( (4)

exist.not does 1

lim (3)

.0|| lim (2)

.211)1( lim (1)

0

20

0

22

1

xf

x

xxf

x

x

x

x

x

x

x

.633)3(lim3

9lim

Jadi

.3untuk , 33

)3)(3(

3

9)(

Tetapi

.erdefinisi tidak t)3(3

9)( Disini

;3

9lim (5)

3x

2

3x

2

2

2

3x

xx

x

xxx

xx

x

xxf

fx

xxf

x

x

• Definisi Limit. Limit dari f(x) bila x menuju a adalah L R,

ditulis

jika dan hanya jika, untuk e > 0, terdapat d > 0 sedemikian sehingga jika

0 < |x - a| < d maka |f(x) - L| < e.

Lxfax

)(lim