1

POKOK BAHASAN 3

PRINSIP-PRINSIP ANALISIS GEOSTATISTIKA

KTG 427 GeostatistikaDewi Kania Sari, Ir., M.T.Jurusan Teknik Geodesi/GeoinformatikaFTSP Itenas 2006/2007

2

Subpokok Bahasan

3. Prinsip-prinsip Analisis Geostatistik3.1 Metode Deterministik

3.2 Metode Geostatistik

3.3 Prinsip-prinsip Dasar Metode Geostatistik

3.4 Pemodelan Semivariogram

3.5 Kriging

3

Pendahuluan (1)

• Metode geostatistik menggunakan titik-titik sampel yang diambil pada lokasi yang berbeda pada suatu bentang alam (landscape) dan membuat (menginterpolasi) sebuah permukaan yang kontinyu.

• Titik-titik sampel adalah hasil ukuran dari beragam fenomena alam, spt. curah hujan, tumpahan minyak, dan titik-titik tinggi (elevasi).

• Metode geostatistik menurunkan suatu permukaan dengan menggunakan nilai-nilai dari lokasi yang diukur untuk memprediksi nilai-nilai pada setiap lokasi dalam bentang alam tersebut.

4

Pendahuluan (2)

• Metode interpolasi spasial dapat dibagi menjadi 2 kelompok:

Metode deterministik Metode geostatistik

• Semua metode didasarkan pada keserupaan dari titik-titik sampel yang berdekatan untuk membuat permukaan prediksi.

• Metode deterministik menggunakan fungsi-fungsi matematik untuk menginterpolasi.

• Metode geostatistik menggunakan metode matematik dan statistik, yang dapat digunakan untuk membuat permukaan prediksi dan menilai ketidakpastian hasil prediksi tersebut.

5

Pendahuluan (3)

• Membuat sebuah permukaan kontinyu untuk merepresentasikan suatu ukuran tertentu merupakan kemampuan penting yang diperlukan dalam sebagian besar aplikasi SIG.

• Jenis permukaan yang paling umum digunakan adalah DEM (digital elevation model) dari suatu terain.

• Tantangan utama yang dihadapi para ahli pemodelan SIG adalah menurunkan permukaan yang paling akurat berdasarkan data sampel eksisting dan mengkarakterisasi kesalahan (error) dan variabilitas dari permukaan hasil prediksi tersebut.

6

3.1 Metode Deterministik

• Fundamental geographic principal (Tobler, 1970):

“Things that are closer together tend to be more alike than things that are farther apart”

7

a. Menganalisis sifat-sifat permukaan dari lokasi-lokasi yang berdekatan

Contoh kasus:Anda seorang perencana kota yang akan membangun sebuah taman. Anda memiliki beberapa kandidat lokasi dan ingin membuat model view untuk setiap lokasi. Untuk itu Anda perlu sebuah set data permukaan elevasi yang lebih detail. Misalkan Anda telah memiliki data elevasi eksisting untuk 1000 lokasi yang tersebar di seluruh kota. Anda dapat menggunakan data ini untuk membangun sebuah permukaan elevasi yang baru.

8

Beberapa pertimbangan...

• Anda dapat mengasumsikan bahwa nilai-nilai sampel yang paling dekat ke lokasi prediksi akan serupa. Berapa lokasi sampel yang harus diperhitungkan?Haruskah semua nilai sampel dianggap sama?

• Semakin jauh dari lokasi prediksi maka pengaruh dari titik-titik tersebut akan berkurang.Memperhitungkan sebuah titik yang letaknya terlalu

jauh bisa mengganggu karena titik tersebut mungkin berlokasi di daerah yang sangat berbeda dengan lokasi prediksi.

9

Solusi...

• Mempertimbangkan cukup banyak titik agar memberikan sampel yang baik, tapi juga cukup sedikit agar praktis. Jumlahnya akan bervariasi tergantung jumlah dan distribusi titik-

titik sampel dan karakter permukaan.

• Jika titik-titik sampel elevasi terdistribusi relatif merata dan karakteristik permukaan tidak berubah di sepanjang area lansekap maka Anda dapat memprediksi nilai-nilai permukaan dari titik-titik yang berdekatan dengan akurasi yang memadai. Untuk memperhitungkan hubungan jarak, nilai-nilai titik yang

lebih dekat diberi bobot yang lebih besar daripada yang terletak jauh.

Semakin jauh jarak dari lokasi prediksi maka bobot sebuah nilai akan semakin berkurang

Inilah dasar dari teknik interpolasi IDW (Inverse Distance Weighted)

10

b. Interpolasi Polinomial Global

• Misalnya lokasi yang diusulkan terletak di atas sebuah bukit yang tidak terlalu terjal. Permukaan bukit tersebut adalah sebuah bidang datar miring (sloping plane), namun lokasi titik-titik sampel berada di daerah yang agak cekung atau di atas gundukan tanah (variasi lokal).– Menggunakan tetangga lokal (local neighbors) untuk

memprediksi suatu lokasi bisa under atau overestimate karena pengaruh cekungan dan gundukan

– Anda bisa mendapatkan variasi lokal namun tidak bisa menangkap keseluruhan bidang datar miring tersebut (dikenal sebagai trend permukaan)

Kemampuan untuk mengidentifikasi dan memodelkan struktur lokal dan trend permukaan dapat meningkatkan akurasi permukaan prediksi yang Anda buat.

11

• Anda dapat mencocokkan sebuah bidang datar (plane) di antara titik-titik sampel untuk memprediksi di atas suatu trend permukaan.

• Sebuah bidang datar (plane) adalah kasus khusus dari keluarga rumus matematik yang disebut polinomial.

• Anda menggunakan bidang datar tersebut untuk menentukan tinggi titik di lokasi prediksi. Bidang datar tersebut bisa berada di atas beberapa titik tertentu dan di bawah titik-titik lainnya.

• Sasaran interpolasi adalah meminimumkan kesalahan (error).

Least squares

principles

Interpolasi polinomial global

orde-1

12

• Bagaimana jika Anda mencoba mencocokkan sebuah bidang datar pada suatu lansekap yang berbentuk lembah? – Sulit memperoleh permukaan prediksi yang baik jika

menggunakan bidang datar– Anda bisa mendapatkan permukaan yang lebih cocok

jika memberikan sebuah tekukan (bend) pada bidang datar tersebut Dasar untuk interpolasi polinomial global orde-2

– Dua tekukan pada bidang datar akan menjadi polinomial orde-3, dan seterusnya.

13

• Bagaimana jika areanya berbentuk miring, mendatar, dan kemudian miring lagi?– Mencocokkan sebuah bidang datar melalui area

tersebut akan memberikan nilai prediksi yang buruk untuk lokasi-lokasi yang tidak diukur

– Akan lebih baik jika Anda bisa mencocokkan beberapa bidang datar lebih kecil yang saling overlapping, kemudian menggunakan pusat dari setiap bidang datar tersebut sebagai prediksi untuk setiap lokasi dalam area studi tersebut, maka permukaan yang dihasilkan akan lebih fleksibel dan mungkin lebih akurat

c. Interpolasi Polinomial Lokal

Dasar konseptual untuk interpolasi polinomial lokal

14

• Fungsi-fungsi basis radial memungkinkan untuk membuat sebuah permukaan yang menangkap trend global dan juga variasi lokal. Hal ini membantu dalam kasus-kasus dimana mencocokkan sebuah bidang datar pada nilai-nilai sampel tidak akan merepresentasikan permukaan secara akurat.

• Untuk membuat permukaan tersebut, anggap Anda bisa melekukkan dan meregangkan permukaan prediksi sehingga melalui semua nilai-nilai ukuran.– Ada banyak cara untuk memprediksi bentuk dari permukaan di

antara titik-titik sampel yang diukur, mis. thin-plate spline, spline with tension.

d. Fungsi Basis Radial

Kerangka konseptual untuk interpolator berdasarkan fungsi-fungsi basis radial

15

3.2 Metode Geostatistik

• Teknik-teknik interpolasi yang dijelaskan pada bagian sebelumnya disebut metode interpolasi deterministik karena secara langsung didasarkan atas nilai-nilai ukuran di sekitarnya atau berdasarkan formula matematis tertentu yang menentukan kehalusan permukaan prediksi yang dihasilkan.

• Kelompok metode interpolasi yang kedua terdiri atas teknik-teknik geostatistik yang didasarkan atas model-model statistik yang memperhitungkan autokorelasi (hubungan statistik di antara titik-titik ukuran).

• Di samping mempunyai kemampuan untuk menghasilkan permukaan prediksi, metode geostatistik juga memberikan beberapa ukuran ketidakpastian atau akurasi hasil prediksi.

16

• Selanjutnya akan diberikan contoh yang akan memperlihatkan langkah-langkah dasar geostatistik menggunakan ordinary kriging.

• Kriging serupa dengan IDW yaitu memberi bobot kepada nilai-nilai ukuran di sekitarnya untuk menentukan prediksi di setiap lokasi. Namun, bobot tersebut tidak hanya didasarkan pada jarak antara titik-titik ukuran tetapi juga keseluruhan susunan spasial (spatial arrangements) di antara titik-titik ukuran.

• Untuk memperhitungkan susunan spasial dalam pembobotan maka autokorelasi spasial tersebut harus dikuantifikasi.

17

Untuk menyelesaikan contoh geostatistik, berikut diberikan serangkaian tahapan proses.

1) Menghitung semivariogram empirik (calculate the empirical semivariogram)

2) Mencocokkan sebuah model (fit a model)

3) Membangun matriks (creates the matrices)

4) Membuat prediksi (make a prediction)

18

1) Menghitung semivariogram empirik

• Kriging dibangun berdasarkan asumsi bahwa sesuatu yang saling berdekatan akan saling serupa dibandingkan dengan yang saling terpisah jauh (dikuantifikasi sebagai autokorelasi spasial).

• Semivariogram empirik adalah alat untuk mengkaji hubungan tersebut.

• Pasangan-pasangan titik data yang jaraknya berdekatan akan memiliki perbedaan ukuran yang lebih kecil dibandingkan dengan yang terpisah jauh.

• Kebenaran asumsi di atas dapat dikaji dalam semivariogram empirik.

19

2) Mencocokkan sebuah model

• Hal ini dilakukan dengan menentukan sebuah garis yang paling cocok (the best fit) yang melalui titik-titik di dalam grafik awan semivariogram empirik.

• Garis tersebut merupakan model yang mengkuantifikasi autokorelasi spasial di dalam data sampel.

Weighted least- squares fit.

20

3) Membangun matriks

• Persamaan-persamaan untuk ordinary kriging terkandung di dalam matriks dan vektor yang tergantung pada autokorelasi spasial di antara lokasi-lokasi sampel yang diukur dan lokasi prediksi.

• Nilai-nilai autokorelasi berasal dari model semovariogram yang dijelaskan di muka.

• Matriks dan vektor menentukan bobot kriging yang diberikan kepada setiap nilai ukuran.

21

4) Membuat prediksi

• Berdasarkan nilai bobot kriging untuk setiap nilai ukuran, Anda dapat menghitung prediksi untuk lokasi-lokasi yang tidak diketahui nilainya (unknown).

22

Contoh Kasus

• Misalkan Anda memiliki 5 buah titik elevasi hasil ukuran seperti disajikan pada tabel berikut.

• Anda akan memakai teknik ordinary kriging untuk memprediksi nilai elevasi di titik P yang mempunyai koordinat (1,4), disebut lokasi prediksi.

No titik

X Y Z

1 1 5 100

2 3 4 105

3 1 3 105

4 4 5 100

5 5 1 115

P 1 4 ?

23

Persamaan Kriging

• Model matematik ordinary kriging adalah:

Z(s) = + (s) dimana s=(X,Y) adalah lokasi titik; contoh lokasi sampel adalah s=(1,5), dan Z(s) adalah nilai di lokasi tersebut, contoh Z(1,5)=100.

• Model di atas didasarkan pada sebuah nilai rata-rata konstan untuk data tsb (tidak ada trend) dan kesalahan acak (s) dengan ketergantungan spasial.

• Diasumsikan bahwa proses acak (s) adalah stasioner.

24

Persamaan Kriging (lanjutan)

Nilai prediktor dihitung sebagai penjumlahan nilai data berbobot:

dimana

Z(si) adalah nilai ukuran di lokasi ke-i, sebagai contoh Z(1,5)=100;

i adalah bobot (unknown) nilai ukuran di lokasi ke-i;

s0 adalah lokasi prediksi, contoh (1,4)

N = 5 untuk lima buah nilai ukuran

N

1iii0 )s(Z)s(Z

Sama dengan prediktor untuk interpolasi IDW; bedanya pada IDW bobot i hanya tergantung pada jarak ke lokasi prediksi, sedangkan pada OK bobot i tergantung

pada semivariogram, jarak ke lokasi prediksi, dan hubungan spasial di antara nilai-nilai

ukuran di sekitar lokasi prediksi

25

Persamaan Kriging (lanjutan)

• Ketika membuat beberapa prediksi, beberapa prediksi diharapkan berada di atas nilai sebenarnya dan beberapa di bawahnya. Namun, secara rata-rata selisih antara nilai-nilai prediksi dengan nilai-nilai aktual harus nol. Hal ini dinamakan membuat prediksi tak bias (unbiased).

• Supaya diperoleh prediktor tak bias maka jumlah bobot i harus sama dengan satu (=1). Berdasarkan syarat ini maka selisih antara nilai yang sebenarnya, Z(s0), dengan nilai prediktor, iZ(si), harus sekecil mungkin. Yaitu, minimumkan ekspektasi statistik dari formula berikut.

2N

1iii0 )s(Z)s(Z

Dari situ lah diperoleh persamaan-persamaan kriging.

26

Persamaan Kriging (lanjutan)

• Solusi dari minimasi fungsi di atas, dengan syarat ketakbiasan (unbiasedness), memberikan persamaan kriging:

• Ingat bahwa tujuannya adalah menyelesaikan persamaan-persamaan tersebut untuk semua nilai i(s) (bobot), sehingga nilai prediktor dapat dihitung menggunakan pers. iZ(si).

1m011

1

1

atau

g

0N

10

N

1

NN1N

N111

27

Persamaan Kriging (lanjutan)

• Matriks berisi nilai-nilai semivariogram model antara pasangan titik-titik lokasi sampel;

ij adalah nilai semivariogram model berdasarkan dua sampel di lokasi ke-i dan ke-j

• Vektor g berisi nilai semivariogram model antara setiap lokasi ukuran dengan lokasi prediksi dimana i0 menyatakan nilai-nilai semivariogram model berdasarkan jarak antara lokasi sampel ke-i dengan lokasi prediksi.

• Bilangan unknown m dalam vektor juga diprediksi dan besaran tsb muncul karena adanya syarat ketakbiasan.

28

Menghitung Semivariogram Empirik

• Untuk menghitung nilai-nilai matriks , harus kita pelajari struktur data sampel dengan membuat semivariogram empirik. Dalam sebuah semivariogram, setengah kuadrat selisih antara pasangan lokasi (sumbu-Y) diplot relatif terhadap jarak yang memisahkan mereka (sumbu-X).

• Langkah pertama dalam membuat semivariogram empirik adalah menghitung jarak dan kuadrat selisih di antara setiap pasangan lokasi.

• Jarak antara dua lokasi dihitung menggunakan jarak Euclidean:

• Semivariogram empirik adalah 0,5 kali selisih kuadrat 0,5*rata-rata {(nilai di lokasi i – nilai di lokasi j)2}

2ji

2jiij )yy(xxd