Bilangan KompleksAnwar MutaqinProgram Studi Pendidikan Matematika UNTIRTADAFTAR ISI1 BILANGAN KOMPLEKS 11.1 Eksistensi Bilangan Kompleks. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Operasi Aritmatika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Sifat Aljabar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Kojugate dan Modulus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5 Bentuk Polar dan Rumus Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6 Akar Bilangan Kompleks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.7 Eksponen dan Logaritma Natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.8 Pangkat Bilangan Kompleks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 FUNGSI KOMPLEKS 142.1 Daerah pada Bidang Kompleks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2 Denisi Fungsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3 Limit Fungsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4 Fungsi Kontinu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 FUNGSI ANALITIK 243.1 Turunan Fungsi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2 Persamaan Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3 Fungsi Analitik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28iBAB1BILANGAN KOMPLEKS1.1 Eksistensi Bilangan KompleksPerhatikan persamaan kuadrat berikutr2+ 1 = 0!Persamaan kuadrat tersebut tidak memiliki solusi bilangan real.Dalam hal inisolusinya adalah r = _1.Jelas _1 bukan bilangan real karena tidak adabilangan real yang kuadratnya sama dengan 1. Serupa dengan hal tersebut,persamaan kuadrat cr2+/r+c = 0 dengan c ,= 0, tidak memiliki solusi bilanganreal jika 1 = /2 4cc < 1. Sebagai contoh r2 2r + 5 = 0, dengan rumus abcseperti yang telah dipelajari sejak SMA, solusinya adalahr1,2 = / _/24cc2c= 2 _162Dalam hal ini, persamaan kuadrat tersebut tidak memiliki solusi dalam sistembilangan real.Agar setiap persamaan kuadrat memiliki solusi, kita perlu memperluas sistembilangan. Sistem bilangan yang dimaksud adalah sistem bilangan kompleks. Li-hat kembali solusi persamaan kuadrat di atas! Dalam solusi tersebut terdapatakar bilangan negatif (jelas, akar bilangan negatif bukan bilangan real).Setiapbilangan yang bukan bilangan real disebut bilangan imajiner dengan notasi Rc(komplemen dari R). Anggota bilangan imajiner adalah semua akar bilangan realnegatif bersama negatifnya.Selanjutnya, untuk memudahkan dalam penulisan, didenisikan i = _1. Jadi,_16 = _16_1 = 4i. Dengan cara serupa, _20 = 2_5i, _27 = 3_3i,dan lain-lain.Dengan demikian, bilangan imajiner adalah bilangan yang dapatditulis sebagai /i dengan 0 ,= / R.Selain bilangan real, kita telah memiliki jenis bilangan lain, yaitu bilangan ima-jiner. Gabungan bilangan real dan bilangan imajiner membentuk bilangan kom-pleks dengan notasi C. Himpunan bilangan kompleks ditulisC = c + /i : c. / R .dengan c adalah bagian real dan / bagian imajiner. Hubungan antar himpunanbilangan dapat pada bagan 1 .12HimpunanBilangan KompleksHimpunanBilangan RealHimpunanBilangan ImajinerHimpunanBilangan IrasionalHimpunanBilangan RasionalHimpunanBilangan BulatHimpunanBilangan PecahanHimpunan BilanganBulat NegatifHimpunanBilangan CacahBilangan 0 HimpunanBilangan AsliBagan 1Bilangan kompleks dinyatakan dalam bentuk . = r + i atau dapat dipandangsebagai pasangan terurut (r. ) R2. Jika bilangan real dapat ditempatkan padagaris lurus, maka bilangan kompleks ditempatkan pada bidang R2atau dalam halini disebut bidang kompleks (lihat grak 2).Re zIm zz(x,y)Grak 2Untuk selanjutnya, penyajian bilangan kompleks dalam bidang kompleks dapatdipandang sebagai vektor di R2(Lihat Grak 3). Hal ini mempermudah dalaminterpretasi secara geometris.3yxyi x z + =zRe zImzGrak 3Lihat kembali persamaan kuadrat di atas, solusi r2+ 1 = 0 adalah i. i dansolusi r2 2r + 5 = 0 adalah 1 2i. 1 + 2i.Secara umum, kita selalu dapatmencari solusi persamaan polinomca.a+ ca1.a1+ + c0 = 0dengan ca. . . . . c0 C dan ca ,= 0. Pernyataan tersebut dikenal sebagai TeoremaDasar Aljabar yang dibuktikan pertama kali oleh Gauss.Soal-Soal1. Tentukan solusi dari persamaan kuadrat berikut:a. r24r + 8 = 0b. r2r + 7 = 02. Ubahlah akar bilangan negatif berikut dalam bentuk i dengan bilanganreal!a. _27b. _12c. _643. Apakah bilangan imajiner memenuhi sifat lapangan? Jelaskan!1.2 Operasi AritmatikaSebagaimana halnya pada sistem bilangan real, perlu didenisikan operasi arit-matika bilangan kompleks.Misalkan . = r + i dan n = n + i, penjumlahandan pengurangan bilangan kompleks didenisikan sebagai. n = (r n) + ( ) i.Penjumlahan dua bilangan kompleks serupa dengan penjumlahan dua buah vek-tor. Secara grak4zwz + wIm zGrak 4Perkalian bilangan kompleks sebagai berikut..n = (r + i) . (n + i)= rn + ri + in + i2= rn + ri + ni + (1) = (rn ) + (r + n) i.Pembagian dua buah bilangan kompleks seperti merasionalkan penyebut.n=r + in + i n in i=(rn + ) (r n) in2 + 2=(rn + )n2 + 2+ (r + n)n2 + 2i.Dalam bentuk pasangan terurut, penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pem-bagian adalah berturut-turut. n = (r. ) (n. )= (r n. )..n = (r. ) . (n. )= (rn . r + n).n=(r. )(n. )= _rn + n2 + 2 . (r + n)n2 + 2_.1.3 Sifat AljabarDengan denisi operasi aritmatika seperti di atas, bilangan kompleks membentuklapangan (Field). Sifat Lapangan bilangan kompleks adalah sebagai berikut:5Teorema 1.1 (Sifat Lapangan Bilangan Kompleks)Misalkan .1. .2. dan .3 C, maka1. .1 + .2 C2. .1 + .2 = .2 + .13. (.1 + .2) + .3 = .1 + (.2 + .3)4. Terdapat 0 C sehingga . + 0 = . untuk setiap . C.5. Untuk setiap . C terdapat . sehingga . + (.) = 06. .1..2 C7. .1..2 = .2..18. (.1..2) ..3 = .1. (.2..3)9. Terdapat 1 C sehingga ..1 = . untuk setiap . C.10. Untuk setiap 0 ,= . C terdapat .1sehingga ..1= 0 (dalam hal ini.1= 1:)11. .1 (.2 + .3) = .1.2 + .1.3.Bukti. diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.Dalam bilangan kompleks tidak berlaku sifat urutan.Dua buah bilangan kom-pleks tidak dapat dibandingkan dengan tanda pertidaksamaan. Secara umumtanda pertidaksamaan (