ISBN : 978-979-25-0712-6

 

PROSIDING SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

 

 

“ Trend Penelitian Matematika dan Pendidikan Matematika di Era Global” Yogyakarta, 24 November 2007

Penyelenggara : Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY dengan Himpunan Matematika Indonesia (Indo-MS) Wilayah Jateng & DIY

Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta 2007 

PROSIDING SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA 24 November 2007 FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta

Artikel‐artikel dalam prosiding ini telah dipresentasikan dalam  

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 

pada tanggal 24 November 2007 

di Jurusan Pendidikan Matematika 

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam 

Universitas Negeri Yogyakarta  Tim Penyunting Artikel Seminar :

1. Dr. Hartono 2. Dr. Djaelani 3. Dr. Rusgianto HS 4. Sahid, M.Sc.

Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta 2007 

SAMBUTAN KETUA PANITIA 

 

  Selamat  datang  di  Seminar  Nasional  Matematika  dan  Pendidikan 

Matematika  yang  diselenggarakan  oleh  Jurusan  Pendidikan  Matematika 

FMIPA  UNY  yang  bekerja  sama  dengan  Himpunan  Matematika  Indonesia 

(INDO MS) wilayah Jateng DIY. 

 

  Seminar  dengan  tema  ”  Trend  Penelitian  Matematika  dan  Pendidikan 

Matematika di Era Global” bertujuan untuk saling mempertemukan para peneliti, 

praktisi, dan pemerhati bidang   matematika dan pendidikan matematika, agar 

dapat saling bertukar pendapat dan informasi, serta bersinergi untuk kemajuan 

dan pengembangan matematika dan pendidikan matematika. 

  Booklet ini berisi satu makalah utama, susunan acara, kumpulan abstrak, 

dan  jadwal  sidang kelompok paralel, dengan harapan dapat membantu para 

peserta  seminar  dalam mengikuti  kegiatan  seminar  ini.  Secara  umum,  dapat 

kami  laporkan bahwa selain makalah utama, ada kurang  lebih 70  judul karya 

ilmiah  dan  hasil  penelitian  yang  akan  dipresentasikan  dalam  seminar  ini. 

Makalah‐makalah ini dikelompokkan menjadi 4, yaitu Pendidikan Matematika, 

Statistika, Matematika Murni, Matematika Terapan dan Komputer. 

  Dalam kesempatan yang baik  ini, kami sampaikan banyak terima kasih 

kepada  Prof.  Suryo  Guritno,  Ph.D  yang  telah  berkenan menjadi  pemakalah 

utama. Terima kasih  juga kami haturkan kepada  seluruh peserta  seminar  ini 

atas  partisipasinya  dan  kepada  semua  pihak  yang  telah  membantu 

terselenggaranya seminar ini. Selajutnya, kami panitia mohon maaf apabila ada 

kekurangan‐kekurangan dalam penyelenggaraan seminar ini. 

  Akhir kata, kami ucapkan selamat berseminar. 

 

              Yogyakarta, 22 November 2007 

              Ketua Panitia, 

 

 

          Atmini Dhoruri, M.S 

Daftar Isi  

Tim Penyunting Artikel 

Sambutan Ketua Panitia 

Daftar Isi 

Makalah Utama 

Statistika (Ilmu Statistik) Untuk Penelitian (Suryo Guritno, Guru Besar 

Statistika FMIPA UGM) 

Makalah Pendidikan Matematika  

Kode  Judul  Hal 

PM ‐  1  Upaya Meningkatkan Kemampuan Mahasiswa Dalam Memecahkan Masalah Dengan Mengimplementasikan Metode Problem Posing Dalam  Setting Pembelajaran Kolaboratif  (Ali Mahmudi, Himmawati Puji Lestari) 

1 

PM ‐ 2  Alternatif   Media  Pembelajaran  Geometri Ruang Di Perguruan Tinggi (A. Prabowo) 

21 

PM ‐ 3  Upaya  Meningkatkan    Pemahaman    Matematika  Melalui Model  Belajar  Kooperatif  Tipe  Student  Team Achievement  Division  (Stad),  Jigsaw  Dan  Team  Game Tournamen(Tgt)  Pada  Siswa  Sekolah  Menengah Pertama (Asep Ikin Sugandi) 

39 

PM ‐ 4  Studi  Tentang  Strategi  Guru  Dalam  Pembelajaran Matematika  Menyikapi  Pergeseran  Paradigma Pendidikan  Teacher  Centered  Ke  Student  Centered (Endang Listyani, Dhoriva UW) 

49 

PM ‐ 5  Model Klinik Matematika SMP (Hasratuddin)  65 

PM – 6  Persepsi Siswa SMA/MA  Jurusan  IPS Terhadap Mata Pelajaran Matematika  (Studi Kasus  :  Siswa Kelas XII SMA/MA  Di  Kabupaten  Sleman  Yogyakarta)  (Mugi Susetyani) 

77 

PM – 7   Pembelajaran Kalkulus I Yang Integratif‐Interkonektif  Di Fakultas Saintek Uin Sunan Kalijaga Yogyakarta (Pengembangan  Pembelajaran  Dan  Bahan  Ajar) (Khurul Wardati) 

93 

PM – 8   Mathematical Thinking Across Multilateral Culture    ( By Marsigit) 

115 

PM – 9   Keefektifan Pembelajaran  Kooperatif Tipe Stad Untuk Pokok Bahasan Persamaan Garis Lurus Di Kelas VIII SMP  (Mujiasih) 

139 

PM – 10   Pembelajaran  Dengan  Pendekatan  Metakognitif Dalam Upaya Meningkatkan Kemampuan Pemecahan Masalah (Nila Kesumawati ) 

153 

PM – 11   Penerapan  Model  Pembelajaran  Problem  Solving Dengan  Memanfaatkan  Alat  Peraga  Untuk Meningkatkan Hasil  Belajar Geometri Di  Klas  VII  B SMP N 2 Demak Tahun 2006/07  (Rasiman) 

165 

PM – 12   Pembelajaran Dengan Pendekatan Kontekstual Untuk Meningkatkan Kemampuan Koneksi Matematik Siswa SMK (Rudy Kurniawan) 

177 

PM – 13   Menentukan  FPB  dan  KPK  Menggunakan  Tabel Pembagian  Bertingkat  (Pengajaran  Matematika Sekolah Dasar dan Menengah) (Suprapto) 

195 

PM – 14   Model  Pembelajaran  Sentra  Untuk  Anak  Usia  Pra Sekolah  Di  KB‐TKIT  Salman  Al  Farisi  2  Yogyakarta (Ani Dwi Lestari) 

203 

PM – 15   Upaya‐Upaya  Mengembangkan  Kecerdasan Logical/Mathematical  Pada  Pembelajaran  Terpadu Model  Webbed  Berbasis  Kecerdasan  Jamak  Di  TKIT Salman  Al  Farisi  Ii  Yogyakarta  (Studi  Eksplorasi) (Caturiyati, Kana Hidayati, Himmawati PL) 

213 

PM – 16   Implementasi  Model  Pembelajaran  Kooperatif  Tipe Teams‐Games‐Tournaments  (TGT) Guna Meningkatkan Kemandirian  Belajar  Mahasiswa  Pada  Perkuliahan Statistika Non Parametrik Mahasiswa Program  Studi Pendidikan  Matematika  FMIPA  UNY  (Elly  Arliani, Mathilda Susanti, Kana Hidayati) 

243 

PM – 17   Pengembangan  Kemampuan  Berpikir  Kritis  Dan Kreatif  Siswa  SMP  Dalam  Matematika  Melalui Pendekatan  Advokasi  Dengan  Penyajian  Masalah Open‐Ended (Ibrahim) 

271 

PM – 18   Implementasi Pembelajaran Matematika Berwawasan Lingkungan  dengan  Pendekatan  Kooperatif  Sebagai Upaya  Mengembangkan  Sikap  Ramah  Lingkungan dan  Meningkatkan  Hasil  Belajar  Siswa  di  SMA Muhammadiyah  1  Yogyakarta  (Kana  Hidayati,  Elly Arliani, Heri Retnawati) 

295 

PM – 19   Upaya Peningkatan Kualitas Pembelajaran Komputasi Statistik Melalui Perkuliahan Online Pada Mahasiswa Program  Studi  Matematika  FMIPA  UNY  (Kana Hidayati, Caturiyati, Himmawati Puji Lestari) 

313 

PM – 20   Penggunaan  Proses  Metakognitif  Dalam  Belajar Matematika (Risnanosanti) 

335 

PM – 21   Penerapan  Pembelajaran  Berbasis  Masalah    Pada Perkuliahan Proses Stokastik  (The  Implementation Of Problem  Based  Learning)  On    Stochastic  Processes Course (Mathilda Susanti , Dhoriva Urwatul Wutsqo) 

349 

PM – 22   Pembelajaran  Open‐Ended  Untuk  Meningkatkan Kemampuan Berpikir Kreatif (Sri Hastuti Noer) 

365 

PM – 23   Peningkatan Keaktifan Dalam KBM Dan Prestasi Belajar Siswa Oleh Guru Melalui Teknis Pembelajaran Dua Tinggal Dua Tamu ( Two Stay Two Stray ) Di SMP Negeri 2 Pringkuku, Pacitan (SUGENG SURYANTO) 

387 

PM – 24   Masalah‐Masalah  Dalam  Penerapan  Pendekatan Pembelajaran  Dengan  Menggunakan  Kelompok Kooperatif (Syarifah Fadillah) 

461 

PM – 25   Pemahaman  Faktor  Persekutuan  Terbesar  (FPB)  dan Kelipatan  Persekutuan  Terkecil  (KPK)  Siswa Kelas  6 Sekolah Dasar di  Jakarta Pusat  : Studi Kasus di SDN Kramat  07  Petang  Jakarta  Pusat  (  Halolongan Simanjuntak) 

475 

PM – 26   Pembelajaran  Matematika  Sekolah  Yang Memberdayakan  Siswa    Dalam  Kehidupan Bermasyarakat (Sugiman) 

485 

PM – 27   Penggunaan  Sociomathematical  NormsDalam Pembelajaran Matematika (Kadir) 

497 

Makalah Matematika 

Kode  Judul  Hal 

M – 1   Regresi  Kuadrat  Terkecil  Parsial  :  Suatu  Model Kalibrasi Multirespon (Aji Hamim Wigena) 

509 

M – 2   Penanganan Data Hilang Pada Data Deret Waktu (Aji Hamim Wigena) 

515 

M – 3   Ammi Pada Data Cacahan: Model Log-Bilinear (Alfian Futuhul Hadi) 

521 

M – 4   Analisa  Kestabilan  Sistem  Switch  Linear  (Ari Suparwanto, Salmah) 

541 

M – 5   Van  Hiele      Dan      Geometri  (  Apa, Mengapa  dan  545 

Bagaimana ) (Epon Nur’aeni) M – 6   Metode Pendeteksian Multi Komponen (Erfiani )  557 

M – 7   Beberapa Metode Pemodelan Pada Data Deret Waktu Yang Mengandung Pencilan (Erfiani) 

563 

M – 8   Penerapan Kestabilan Titik Equilibrium Sistem Reaksi Difusi  Pada  Masalah  Epidemik  Model  Sir (Himmawati Puji Lestari, Caturiyati, Kana Hidayati) 

569 

M – 9   Model Respon Multinomial Saling Berkorelasi dengan   Generalized Extreme Value (GEV) (Jaka Nugraha) 

583 

M – 10   Identifikasi  Parameter  dalam  Model  Multinomial Probit (Jaka Nugraha) 

601 

M – 1 1  Pendugaan Resiko Relatif Pada Pendugaan Area Kecil (Kismiantini) 

615 

M – 12   Mengembangkan  Digital  Library  Skripsi  Guna Mengoptimalkan  Sumber  Daya  Skripsi  Digital Sebagai  Sistem  Pendukung  Riset  Dan  Proses Pembelajaran  (Maman  Fathurrohman,  Novaliyosi, Nurul Anriani) 

623 

M – 13   Analisis  Survival  Dan Mean  Residual  Life  Penduduk (Novaliyosi, Nurul Anriani) 

657 

M – 14   Simulasi Monte  Carlo  Dengan  Menggunakan  Splus Untuk  Membangun  Interval  Konfidensi  Mean Distribusi  Log  Normal  (Andi  Permana  Putera, Rohmatul Fajriyah, Epha Diana Supandi) 

667 

M – 15   Lattice  Ideal  Dan  Annihilator  Aljabar  BCI  (Yeni Susanti) 

677 

M – 16   Estimasi  Model  Regresi  Lognormal  Pada  Sampel Tersensor  Tipe  I  Dengan  Menggunakan  Metode Maximum  Likelihood  (Arie  Ayu  Prasasti,  Toha Saifudin, Suliyanto) 

687 

M – 17   Peranan    Analisis  Correspondence  Untuk  Struktur Ekonomi  Di  Jawa  Timur  (Asma  Johan,  Hery  Tri Sutanto) 

697 

M – 18   Perbandingan  Model  Neural  Network  dan  Regresi Logistik pada Kasus Masa  Studi Mahasiswa  Jurusan Pendidikan  Matematika  FMIPA  UNY  (  Dhoriva Urwatul Wutsqa, Sri Rezeki) 

715 

M – 19   Grup Topologis (Diah Junia Eksi Palupi)  731 

M – 20   Program  Nonlinear  Fuzzy  Probabilistik  Interaktif untuk Model Inventory (Dwi Ertiningsih) 

737 

M – 21   Estimasi Parameter Model Regresi Log Gamma Pada Sampel  Lengkap  Dengan  Metode  Maksimum Likelihood  (Erna  Purwatiningsih,  Toha  Saifudin, Suliyanto) 

757 

M – 22  Aplikasi  Estimator  Cubic  Spline  dalam  Regresi Nonparametrik  Multiprediktor  dengan  Error Lognormal pada Data Pasien Myeloma                   (Kanker Tulang) (Fajar Aulia Rakhman , Nur Chamidah , Toha Saifudin) 

767 

M – 23   Hasil Kali Tensor pada N‐grup dan Near‐ring  (Indah Emilia Wijayanti) 

773 

M – 24   Metode Bayesian   Information Criterion Untuk Model Regresi  Polinomial (Hery Tri  Sutanto) 

783 

M – 25   Penyelesaian  Masalah  Nilai  Eigen  Matriks Nonsimetris  Dengan  Metode  Supertriangularization Dilanjutkan Dengan Metode Qr Menggunakan Matlab (Maharani) 

795 

M – 26   Kompresi  Citra  Berwarna  Dengan  Menggunakan Jaringan Syaraf Tiruan Self Organizing MAP Kohonan (Marji) 

815 

M – 27   Deret Ellips Dan Lintas Elektron (Midjan)  827 

M – 28   Prinsip Inklusi Eksklusi Lanjut (Midjan)  833 

M – 29   Penyelesaian Alternatif   Persamaan   Diffrential Eksak (Midjan) 

849 

M – 30   Estimasi Model  Regresi  Cox  Dengan  Hazard  Dasar Nonparametrik  Pada  Data  Tersensor  Tipe  I  (Novita Anadia, Toha Saifudin, Suliyanto) 

859 

M – 31  Estimasi    Model  Regresi  Nonparametrik    Dengan Error  Lognormal  Berdasarkan  Estimator  Kernel  Menggunakan OSS‐R (Nur Chamidah, Toha Saifudin, I Made Tirta, Budi Lestari) 

871 

M – 32   Keterkendalian  Sistem  Linear  Atas  Ring  Komutatif Melalui  Pendekatan  Model  Polinomial  (Primastuti Indah Suryani, Sri Wahyuni) 

881 

M – 33   Pengaruh  Misspesifikasi  Desain  Survey  Pada Pendugaan Area Kecil Dengan Pendekatan Generalized Regression (Anang Kurnia, Bagus Sartono, dan Rahayu Wulandari) 

901 

M – 34  Aplikasi  Estimator  Penalized  Spline  Dalam    Regresi Nonparametrik  Multiprediktor  dengan  Error 

919 

Lognormal  pada  Data  Balita  di  RSU  Haji  Surabaya (Shofiyatul Hidayah, Nur Chamidah , Toha Saifudin) 

M – 35   On  The  Mcshane  Integral  For  Riesz‐Spaces‐Valued Functions  Defined  On    Real  Line  (  Yosephus  D. Sumanto, Muslim ansori) 

927 

M – 36   Model Hazard  Proporsional  Semiparametrik  dengan Hazard  Dasar  Parametrik  (Toha  Saifudin  dan Suliyanto) 

937 

M – 37   Penggunaan  Kuosien  Rayleigh  Dalam  Metode Pangkat  Guna  Mempercepat  Perhitungan  Pagerank (M Zainal Arifin dan Daniel Oranova) 

947 

M – 38   Pendekatan  Multidimensional  Scaling  Dalam Mengevaluasi  Keeratan  Hubungan  Antar  Item  Test (Dian Handayani,Anang Kurnia) 

959 

M – 39   Diskretisasi  Data  Kredit  Konsumtif  Menggunakan Metode  Entropy‐Based  Discretization  dan  Chi‐square (Bagus Sartono, Aji H. Wigena, Bayu Alfiansyah) 

967 

M – 40   Pelabelan  Total  Super    (A,D)  Sisi  Anti  Ajaib    Dan (A,D) Sisi Anti Ajaib Dari Np3 (Dasa Ismaimuza) 

975 

M – 41   Kriteria Pemilihan Variabel Dengan Msep Dalam Regresi Linear Multiple (Muhamad Sabirin) 

981 

M – 42   Pembentukan  cluster  dalam  Knowledge  Discovery  in Database dengan Algoritma K‐Means (Sri Andayani) 

991 

M ‐ 43  Blog  sebagai  Media  Aktualisasi  Daya  Matematika (Bambang Sumarno HM) 

1001 

Analisa Kestabilan Sistem Switch Linear 

 

Oleh : Ari Suparwanto 

Salmah Jurusan Matematika FMIPA UGM 

ari_suparwanto@yahoo.com 

Abstrak   Dalam  makalah  ini  dibahas  tentang  kestabilan  sistem  switch  linear  menggunakan  fungsi Lyapunov kuadratik. Kata kunci : sistem switch, kestabialan, fungsi Lyapunov. 

 

Pendahuluan 

Pada umumnya sistem kendali bekerja di bawah perubahan diskret dari 

dinamikanya.  Sebagai  contoh,  perpindahan  dari  satu manuver  terbang  pada 

helikopter model  (seperti  diam  (hover),  naik,  turun,  belok  kiri,  belok  kanan, 

take‐off,  landing  secara  vertikal  dan  sebagainya)  ke  manuver  lain.  dapat 

digambarkan sebagai sistem diskrit, sedang dinamika helikopter sendiri adalah 

sistem kontinu.  Sistem seperti di atas disebut sistem switch  (switched system). 

Dalam makalah ini dibahas tentang analisa kestabilan dari sistem switch . 

 

Pembahasan 

1. Sistem switch 

  Sistem switch dideskripsikan oleh persamaan    )(xfx σ=&

dengan  },,1{ Npf p L= adalah keluarga lapangan vektor yang cukup kecil dari 

 ke  dan nℜ nℜ σ  adalah fungsi waktu konstan sepotong‐sepotong yang disebut 

sinyal  switch  (switching  signal).  Sinyal  switch dapat hanya bergantung pada 

waktu,  bergantung  pada  state  atau  keduanya.  Trajektori  x  kontinu  di mana‐

mana. Diasumsikan semua sistem memiliki ekuilibrium pada titik asal, yaitu di 

titik nol.  

Dalam  makalah  ini  dipergunakan  kelas  khusus  sistem  switch    yang 

didefinisikan  sebagai  berikut.  Simbol  r  memberikan  mode  dinamik  yang 

berbeda  yang  diberikan  oleh  L={1,2,…,r}  dan  waktu  switch  adalah 

Dipresentasikan dalam SEMNAS Matematika dan Pendidikan Matematika 2007 dengan tema “Trend Penelitian Matematika dan Pendidikan Matematika di Era Global” yang diselenggarakan oleh Jurdik Matematika FMIPA UNY Yogyakarta pada tanggal 24 Nopember 2007

Ari S, Salmah

L<<= 100 tt . Suatu mode yang aktif pada barisan  interval   diberikan 

oleh  .  Jika  jumlah  switch  berhingga,  berarti 

],[ 1+kk tt

Iki ∈)(

∞===<<= ++ ...,...0 2110 kkk ttttt . 

 Asumsi 1. Terdapat waktu diam  (dwell  time) konstan   sehingga   

untuk semua  . 

0>DT Dkk Ttt ≥−+1

0≥k

 

   Misalkan   adalah state sistem dan ntx ℜ∈)( 00 )( xtx =  adalah nilai awal. 

Untuk setiap k, state x(t) kontinu dalam  ],[ 1+∈ kk ttt  dan memenuhi persamaan 

berikut   kkii xtxtwBtxAtx =+= )(),()()(& ,                 (1) 

dengan w(t) adalah fungsi t. Nilai awal untuk setiap interval diberikan oleh 

  ,                 (2) )1(),()1( 1 +==+ −+ kihtxEkx khi

dengan   dan   0≥k )(lim)( txsxst↑

− =

  Persamaan  (2) memberikan  loncatan  state  yang mungkin  dari  sistem, yang terjadi jika  . Pada persamaan (1)‐(2), state x(t), IEhi ≠ ),0[ ∞∈t  ditentukan 

dengan tunggal oleh   dan  . )(,)}({ 0 twku k∞= 0x

 

2. Analisa kestabilan sistem switch dengan waktu diam 

  Diberikan kriteria kestabilan sistem switch linear dalam definisi sebagai 

berikut. 

 Definisi 1. Titik asal dari sistem (1) stabil eksponensial denagn derajat kestabilan  β  

jika terdapat konstanta positif M sedemikian sehingga  

  )0()( xMetx tβ−≤  

 

  Jika  waktu  diam  diketahui,  berikut  ini  diberikan  kelas  dari  fungsi 

Lyapunov  lemah  (weak  Lyapunov  functions).  Dipandang  fungsi  yang 

didefinisikan untuk   dan  : ∞=0}{ kkt

∞=0)}({ kki

  )(],,[),(),( 1 kiitttxvtxv kki =∈= + ,               (3) 

dengan setiap   adalah   yang memenuhi )(xvi1C

SEMNAS Matematika dan Pend. Matematika 2007 542

M – 4 : Analisa Kestabilan Sistem Switch Linear

  22 ),( xbtxvxa ii ≤≤ .                    (4) 

Untuk sembarang   dan   maka nx ℜ∈ 0tt ≥

  22 ),( xbtxvxa ≤≤ ,                   (5) 

  ,  . iiaa min= ii

bb max=

Terlihat  bahwa  ttxvxtxv ∀=⇔=≥ ,0),(0,0),( ,  dan  )(0)),(( ∞→→ tttxv  

mengakibatkan  . 0)( →tx

 Proposisi  1.  Misalkan  x(t)  state  sistem  (1).  Andaikan  terdapat    dan iP

μαμα ln,0, >> DT  dan  

  ),(),),((2)),(( 1+∈−< kk tttttxvttxvdtd α ,                         (6) 

   ,                  (7) )),(()),(( 2 −−< kkkk ttxvttxv μ

untuk  . Fungsi Lyapunov  sistem  switch v(x(t),t) akan monoton  turun untuk 

setiap  interval  ,  barisan    akan  monoton  turun  dan  titik  asal 

sistem  (1)  stabil  eksponensial  denagn  derajat  kestabilan  lebih  besar  dari 

0)( ≠tx

],[ 1+kk tt ∞=0}),(({ kkk ttxv

0}/ln,min{ >−= DTμααβ . 

 

Bukti :  Pertidaksamaan  (6)  mengakibatkan  bahwa  turun    monoton  pada 

. Dari (6) dan (7), maka 

( ( ), )v x t t

1[ , )k kt t t +∈

1

1

2 ( )1 1

2 ( )2

( ( ), ) ( ( ), )

( ( ), )

k k

k k

t tk k k k

t tk k

v x t t e v x t t

e v x t

α

αμ

+

+

− −− −+ +

− −

≤

< t 

sehingga 1 02 ( )2

0 0( ( ), ) ( ( ), )kt tkk kv x t t e v x t tαμ +− −<  

Dengan demikian, diperoleh 1

0

0

0

2 ( )

2 ( )2

22 ( )

0 0

ln2( )( )

0 0

( ( ), ) ( ( ), )

( ( ), )

( ( ), )

( ( ), )

k k

D

D

t tk k

t tkk k

tt tT

t tT

v x t t e v x t t

e v x t t

e v x t t

e v x t

α

α

α

μα

μ

μ

+− −

− −

− −

− − −

≤

<

≤

t

   

Matematika 543

Ari S, Salmah

untuk   dan  1[ , ), 0,k k kt t t k t+∈ ≥ < ∞

02 ( )0 0( ( ), ) ( ( ), )t tv x t t e v x t tα− −≤  

untuk  . Dengan menentukan 0k ≥ min{ , ln / }DTβ α α μ= − , diperoleh 

0

0

2 2 ( )0 0

22 ( )0 0 0

1 1( ) ( ( ), ) ( ( ), )

( ( ), ) ( )

t t

t t

x t v x t t e v x ta ab e v x t t x ta

β

β

− −

− −

≤ ≤

≤

t 

sehingga  ( )x t  konvergen erksponensial ke nol.. 

  

Fungsi  (3)  disebut  fungsi  Lyapunov  jika  memenuhi  kondisi  seperti 

Proposisi 1.  

Selanjutnya dipandang fungsi Lyapunov yang berbentuk kuadratik 

xPxxv iT

i =)( ,                      (8) 

dengan   matriks simetris definit positif. iP

  Maka  )(min min iiPa λ=  dan  )(max max ii

Pb λ= , dan sebagai akibat Proposisi 

1 adalah sebagai berikut. 

  Akibat 1. Misalkan terdapat   dan iP μα ,  yang memenuhi  

  μαμα ln,0,0 >>> DT , 

  , IiPi ∈> ,0

  , IiPAPPA iiiiTi ∈<++ ,02α

  , SihEPEP hihThii ∈> ),(,2μ

maka v(x,t) yang didefinisikan oleh (8) adalah fungsi Lyapunov dari sistem switch (1).  

 

Daftar Pustaka. 

Masubuchi,  Izumi,  dan  Tsutsui Makoto, On  design  of Controllers  for  Linear Switched System with Quaranteed H2‐type cost, Department of System and Computer Engineering Kobe University. 

 Schutter, B. De, Heemels, W.P.M.H, and Beemporad A, Modeling and Control 

of Hybrid Systems, Lecture Notes of DISC Course, 2003. 

SEMNAS Matematika dan Pend. Matematika 2007 544