Download - I v gejala pusat-letak & simpangan
UKURAN GEJALA PUSAT, LETAK DAN SIMPANGAN
ISTILAH-ISTILAH
Parameter : sembarang nilai yang menjelaskan ciri populasi
Statistik : sembarang nilai yang menjelaskan ciri suatu contoh
Ukuran pemusatan: sembarang ukuran yang menunjukkan pusat segugus data yang telah diurutkan dari yg terkecil sampai terbesar atau sebaliknya
1. RATA-RATA HITUNG
Untuk populasi :
N
xn
ii
1
µ: rata-rata hitung populasi
N: banyaknya anggota populasi
Xi: data kuantitatif dr anggota populasi ke-i
Untuk contoh/sampel:
n
xx
n
ii
1
: rata-rata hitung contoh
n: banyaknya anggota dr contoh
Xi: data kuantitatif dr anggota contoh ke-i
x
Misal : banyaknya nelayan pd 5 pulau, yaitu 30, 50, 60, 40 dan 60 orang (dipandang sbg populasi nelayan pd 5 pulau). Hitung rata-rata banyaknya nelayan pd 5 pulau tersebut ?
orang485
6040605030
N
xi
i
5
1
Seorang petugas mengambil contoh acak tujuh kaleng ikan tuna untuk diperiksa ketidakmurniannya, diperoleh data: 1,8; 2,1; 1,7; 1,6; 0,9; 2,7 dan 1,8%. Hitung rata-rata contoh ketidakmurnian ikan tuna kaleng
n
xx i
i
7
1 %8,17
8,17,29,06,17,11,28,1
x
2. RATA-RATA UKUR
Jika perbandingan tiap 2 data yg berurutan tetap atau hampir tetap maka rata-rata ukur lebih baik digunakan dr pada rata-rata hitung
nn xxxU ..... 21 Akar pangkat n dari data ( x1.x2…xn)
Misal : data x1=2; x2=4; x3=8 n: 3
48423 xxU
Untuk data-data yg bernilai tinggi, untuk memudahkan penghitungan data dilogaritmakan dan hasil akhirnya diantilogaritmakan
3. RATA-RATA HARMONIK
)1
(1
n
i ix
nH
nxxx
nH
1......
11
21
Misal: rata-rata harmonik dari data : 3, 5, 6, 6, 7, 10, 12 (n=7)
87,5
12
1
10
1
7
1
6
1
6
1
5
1
3
11
H
Si A bepergian pulang pergi. Waktu pergi kecepatannya 10 km/jam; waktu kembali 20 km/jam. Berapa rata-rata kecepatan pulang pergi?
Penggunaan lain dari rata-rata harmonik sbb:
Dengan rata-rata hitung jamkmx /152
2010
Jika panjang jalan 100 km untuk pergi butuh waktu 10 jam dan pulang 5 jam. Pulang pergi butuh waktu 15 jam dan menempuh jarak 200 km
Rata-rata kecepatannya =200
15km/jam
3 13
1km/jam
salah
Hasil di atas tdk lain adalah: jamkmH /3
113
3
40
2032
201
101
2
4. MODUS (Mo)
Nilai yang paling sering terjadi atau nilai yg memiliki frekuensi kejadian yg paling tinggi
Sering dipakai untuk menentukan rata-rata kualitatif
Misal: kebanyakan kematian di negara X disebabkan oleh penyakit jantung koroner
Untuk data kuantitatif:
Sampel dengan nilai : 12, 34, 14, 34, 28, 34, 34, 28, 14.
xi fi
12 1
14 228 234 4
Frekuensi terbanyak terjadi untuk data 34 jadi Mo=34
5. RATA-RATA SIMPANGAN
Rata-rata dari jarak (selisih) antara tiap data dengan rata-ratanya
Jarak = | xi – x | Diambil nilai mutlaknya (nilainya positif)
n
xxRS
n
ii
1
Misal: Data dengan nilai : 8, 7, 10, 11 (n=4)
Cari rata-ratanya = 94
111078
x
6 RS = = 1,5 6
4
xi xi – x I xi – x I
10 1 1
8 -1 17 -2 2
11 2 2
6. SIMPANGAN BAKU (STANDAR DEVIASI = SD)
Ukuran simpangan yang paling banyak digunakan
SD : akar penjumlahan dari kuadrat penyimpangan tiap data terhadap rata-ratanya dibagi n-1
Pangkat dua dari simpangan baku varians (ragam)
Simpangan baku sampel S
Varians (ragam) dari sampel S2
Simpangan baku populasi σ
Varians (ragam) dari populasi σ2
1
)( 2
12
n
xxS
n
iiRagam sampel Simpangan baku sampel
1
)( 2
1
n
xxS
n
ii
N
xxn
ii
2
12
)(
N
xxn
ii
2
1
)(
Ragam Populasi Simpangan baku populasi
Cara mencari ragam dan simpangan baku sampel
- Hitung rata-rata x
x-Tentukan selisih tiap data dengan rata-ratanya x1- , x2- … xn-x x
x-Tentukan kuadrat dari selisih tersebut (x1- )2, (x2- )2 …(xn- )2x x
-Jumlahkan kuadrat-kuadrat tersebut
-Jumlah kuadrat-kuadrat tersebut dibagi oleh n-1
Misal : data 8, 7, 10, 11, 4 85
4111078
x
8 0 0
xi xi - (xi - )2x x
7 -1 1
10 2 4
11 3 9
4 -4 16
30
15
)8()8()8()8()8( 25
24
23
22
212
xxxxx
S
15
)84()811()810()87()88( 222222
S
5,74
30
4
)169410(
15
)4()3()2()1()0( 222222
S Ragam (varians)
1
)(5
1
2
2
n
xxS i
i
5,715
302
S
74,25,7 S
Simpangan baku:
Cara lain mencari S2 atau S
)1(
)( 2
1
2
12
nn
xxnS
n
ii
n
ii
10 100
xi xi2
8 64
7 49
11 121
4 16
40 350
5
1iix
25
1i
ix
5,7)15(5
)40()350(5 22
S
74,25,7 S
7. BILANGAN BAKU (Z)
Sampel berukuran n dgn data x1, x2, … Xn sedangkan rata-ratanya: x, dan simpangan baku = S. Dapat dibentuk data baru Z1, Z2, … Zn
S
xxZ ii
i = 1, 2, ….n
Variabel Z1, Z2, …. Zn Rata-ratanya = 0, simpangan bakunya (S) = 1
Misal : Mhs A mendpt nilai 86 dr ujian akhir matematika (rata-rata = 78; S=10). Untuk Ujian Akhir statistika mendpt nilai 92 (rata-rata= 84; S=18). Dalam mata ajran apa mhs A mencapai kedudukan yg lebih baik ????
8,010
7886
matZ 44,0
18
8492
statZ
Mhs A mendpt 0,8 simpangan baku di atas rata-rata nilai matematika dan hanya 0,44 simpgn baku di atas rata-rata nilai statistika.
Mhs A kedudukannya lebih tinggi dalam matematika dibanding statistika
8. KOEFISIEN VARIASI
Digunakan untuk membandingkan variasi relatif beberapa kumpulan data
Misal: Membandingkan masa pakai 2 jenis lampu
Lampu I; rata-rata masa pakai = 3.500 jam (S= 1.050)
Lampu II; rata-rata masa pakai = 10.000 jam (S= 2.000)
x
SKV
%301003500
050.1 xKVLampuI %20100
000.10
000.2 xKVLampuII
** Lampu II memiliki masa pakai yg lebih uniform (seragam) karena memiliki koefisien variasi lebih kecil dibanding Lampu I