grupo 6 - parábolas.pdf

5/19/2018 Grupo 6 - Parbolas.pdf

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GRUPO 6: PARBOLAS

INTEGRANTES:-Salazar Rojas Rodrigo

-Morales Ramos Danny

-Morales Jamanca Heremy

-Ayala Toledo Jess

CURSO: Matemtica Bsica

DOCENTE: Minaya Salinas Segundo Oscar


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1. Un cable de acero est colgado por los dos extremos; los puntos de suspensin estnsituados a una misma altura y a una distancia de 20 m. La magnitud de la flexion de la

distancia de 2m de los puntos de suspensin en sentido horizontal es igual a 14,4cm.

Determinar la magnitud de la flexin de este cable en su punto medio (la flecha), suponiendo

que el cable tiene la forma de un arco de parbola.

Graficando convenientemente y aplicando el teorema de Tales:

200 1000

14,4 x

, 72x cm

14.Una parbola P que tiene como eje focal a la recta y=5 y cuyo foco est situado en larecta 2x-y=2, pasa por el punto A (3,5+ 2)

a)Hallar la ecuacin de cada una de tales parbolas.

b) Hallar en la parbola de la parte (a), que se abre a la derecha, todos los puntos Q tales que

el rea del tringulo VFQ sea 2u2siendo V Y F el vrtice y el foco respectivamente de dicha

parbola.

a)

*El eje focal y= 5 es paralelo al eje X, entonces, las parbolas tendrn la forma (y-5)2=4p(x-


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h), y debido a que comparten el mismo foco, la parbola que se abra hacia la izquierda tendrla forma (y-5)2=4p2(x-h2) y la que se abre hacia la derecha (y-5)

2=4p1(x-h1)

-FOCO:(q,5) q=h1+p1=h2+p2[a]; el foco pertenece a la recta 2x-y=22(q)-5=2

q= 7 2 y el foco es ( 7 2 ,5)

-VRTICES:(i)Parbola hacia la derecha (h1,5) por la ecuacin (y-5)

2=4p1(x-h1) podemos reemplazarlos valores del punto A(3,5+ 2 ) en la ella.(y-5)2=4p1(x-h1)(5+ 2 -5)2=4p1(3-h1)

2=4p1(3-h1) y ya que q= 7 2=h1+p1p1=72

-h1

2=4(7

2 -h1)(3-h1)1=(7-2h1)(3-h1)

0=2h12-13h1+20 h1=4 v h1= 52 para cumplir la condicin [a]

p1debe ser igual a 1 o a -0.5 y debido a que para que la parbola se abra hacia la derecha p1

debe ser positivo, p1=1 y h1= 52 .

(ii)Parbola hacia la izquierda (h2,5) repitiendo lo mismo que en (i)(y-5)2=4p(x-h2)(5+ 2 -5)2=4p(3-h2)

2=4p(3-h2) y ya que q= 7 2=h2-p p=h2-72

2=4( 72

-h2)(3-h2)

1=(7-h2)(3-h1)

0=2h22-13h2+20 h2= 52 v h2=4 para cumplir la condicin [a]

p debe ser igual a 1 o a -0.5 y debido a que para que la parbola se abra hacia la izquierda p2debe ser negativo, p2=-0.5 y h2=4.

Las ecuaciones de las parbolas son:

*Cuando se abre hacia la derecha: (y-5)2=4(x- 5 2 )*Cuando se abre hacia la izquierda: (y-5)2=-2(x-4)

b)


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Teniendo V( 52

,5); F( 72

,5), solo faltan los valores de Q(m,n)

Por la frmula del rea de un tringulo,

.

2

b h

, reemplazamos los valores, el valor de la base esigual al valor absoluto del parmetro, entonces b=1. Ahora, reemplazando en la ecuacin, h=4,

por lo tanto tenemos 2 valores de Q: Q(m,9) y Q(m,1). Debido a que Q es un punto de laparbola, debe cumplir la ecuacin

(y-5)2=4(x- 52

)

reemplazando:

(9-5)2=4(m- 52

)

4=m- 52

y m=132

Los valores de Q son Q(132

,9) y Q(132

,1).

16.Dadas la parbola P de ecuacin x2-8x+3by=0; donde b es una constante no nula, y larecta L: 3x-2y-5=0 que pasa por el foco de P; hallar los valores de la constante b y la longitud

del lado recto de las parbolas correspondientes.


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-Completando cuadradosx2-8x+3by=0 x2-8x+16-16+3by=0 (x-4)2=-3by+16

(x-4)2=-3b(y-163b

)

-Hallando el parmetro para obtener el vrtice y el foco4p=-3b

p=-34

b

Vrtice: V(4,163b

) Foco: F(4, 2

64 912

bb

)

El foco pertenece a la recta L

La pendiente de la recta L es 32

y-y1=m(x-x1)

y-( 2

64 912

bb

)=32

(x-4)

desarrollando

0=3x-2y-12+ 2

64 96

bb

pero L:0=3x-2y-5

264 9

6b

b -12=-5

264 9

6b

b =7

42b=64-9b29b2+42b-64=0


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b=242 42 4( 64)5

2.9

b1=

7 1017

3 9 b2=

7 1017

3 9

La longitud del lado recto de una parbola viene dada por 4 veces la distancia focal, que esigual al valor absoluto del parmetro

p=-34

b , |p|= 1017 7

12 4 v |p|=

1017 7

12 4

Lr1= 1017

73

Lr2= 1017

73

43.El radio focal de un punto de una parbola es la recta que une el foco con este punto.Demustrese que el radio focal del punto(x,y) de la parbola y2=2px tiene una longitud

|x+p/2|

La distancia entre dos puntos viene dada por 2 21 2 1 2( ) (y )x x y

Haciendo un cambio de variable en la ecuacin dada y y2=2p1x reemplazando en la ecuacingeneral de la parbola y2=4pxobtenemos que p=p1/2, por lo tanto el foco es (p1/2,0)Reemplazando los datos del problema en la frmula de la distancia entre 2 puntos se obtiene lo


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siguiente:

d= 2 21( ) (y 0)2

px

desarrollando:

=

22 21

1 y4

p

x xp

=2

2 1

1 12

4

px xp p x

=2

2 114

px p x

d= 21( )2

px

por lgebra

f= 21( )2

px =|x+p1/2| y como habamos hecho un cambio de variable

d=|x+p/2|

8.Demostrar que los centros de todas las cuerdas de la parbola de ecuacin x2=4py, conpendiente m=3, se encuentran en una recta y hallar la ecuacin de esta recta.

Si la pendiente de las cuerdas es 3, cada cuerda pertenece al conjunto de rectas con ecuaciny=3x+nAsumimos 2 puntos cualesquiera (a,b) y (c,d) tales que son parte una cuerda con pendiente 3.

El punto medio de cada recta que tenga esta forma es (2

a c,

2

b d)

En ambos puntos (a,b) y (c,d) se cumple lo siguiente:2 4a pb 2 4c pd

b=3a+n d=3c+n

Como se puede observar, podemos obtener un valor fijo de2

a ccon lo que hallaramos la

ecuacin de una recta paralela al eje y, pero primero debemos obtener a+c, para lo querestaremos c2 a a2

a2-c2=4pb-4pd(a+c)(a-c)=4p(b-d)

restando d a b, b-d=3(a-c)(a+c)(a-c)=4p.3(a-c)a+c=12p

2

a c=6p Como vemos, todos los puntos medios tendrn la forma (6p,

2

b d) y debido a que

6p es un valor fijo, la ecuacin de la recta que pasa por todos los puntos medios de las cuerdascon pendiente m=3 es x=6p.


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12.Sean (x1,y1) y (x2,y2) los extremos de una cuerda focal de la parbola y2

=4px, demostrarque:

a)la longitud de esta cuerda focal es |x1+x2+2p|

b)la distancia desde el punto medio de esta cuerda focal a la recta directriz es la mitad de

esta longitud dada en (a).

c)una circunferencia con esta cuerda focal como dimetro es tangente a la recta directriz.

a) la longitud de la cuerda focal es igual a la suma de las distancia de (x 1,y1) y (x2,y2) al foco,

cada una viene dada por la frmula de la distancia entre 2 puntos.

*distancia de (x1,y1) al foco.d= 2 21 1( ) ( 0)x p y

desarrollando

d= 21( )x p =|x1+p|

*distancia de (x2,y2) al foco.desarrollando de forma similar al anterior paso,d=|x2+p|


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ahora, recordando que en |a|+|b| |a+b| solo se cumple la igualdad cuando a y b son del mismosigno. En la ecuacin y2=4px, y2siempre es positivo, y debido a que 4 tambin es positivo, pxdebe ser positivo, esto solo se cumple si p y x tienen el mismo signo, por ello, x1+p y x2+psiempre son del mismo signo. Entonces la distancia total |x2+p|+|x1+p| es igual a |x1+x2+2p|

b)El punto medio de la cuerda focal es ( 1 22

x x, 1 2

2

y y), la frmula de la distancia de un punto

(x1,y1) a una recta ax+by+c=0

es 1 12 2

ax by c

a b

, la recta directriz tiene por ecuacin x+p=0, reemplazando los valores en la

ecuacin obtenemos

1 2

2

2

1 0

x xp

= 1 2 2

2

x x p el valor absoluto del denominador 2 es 2, se puede extraer de la

ecuacin y quedara as: 1 2 2

2

x x p

pero |x1+x2+2p| es la longitud de la cuerda, por lo tanto, la distancia desde el punto medio de lacuerda focal a la recta directriz es la mitad de la longitud de la cuerda.


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c) Una circunferencia que use la cuerda focal como dimetro tendra centro en ( 1 2

2

x x

, 1 2

2

y y

) y un radio de 1 2 2

2

x x p . Para demostrar que la directriz es tangente a la circunferencia

basta demostrar que su ecuacin cumple la ecuacin de la recta tangente a una circunferencia.La ecuacin de la directriz es x+p=0, y la ecuacin de la tangente a una circunferencia es

2

0 0( )( ) (y k)(y k) r x h x h donde (h,k) es el centro de la circunferencia, r su radio, y(x0,y0) el punto de contacto.El punto de contacto tienep de abscisa y est a la misma altura del centro porque la distancia

de un punto a una recta es perpendicular a esta, por ello (x0,y0) es igual a (-p, 1 22

y y)

Reemplazando:

(x-h)(-p-h)+(y- 1 22

y y)( 1 2

2

y y- 1 2

2

y y)= 1 2 2

2( )

2

x x p

(h-x)(p+h)=2

1 2( 2 )

4

x x p


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1 2

2

x x-x=

2

1 2

1 2

( 2 )

4( )2

x x p

x xp

=2

1 2

1 2

( 2 )

2(2 )

x x p

p x x

= 1 2 2

2

x x p

1 2

2

x x-x= 1 2

2

x x+p

0=p+x que es la ecuacin de la directriz, por ello, la directriz es tangente a la circunferenciaque usa la cuerda focal como dimetro.

47.La cuerda perpendicular al eje focal de una parbola es el segmento RR, donde R=(4,-1)


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y R=(-2,5). Si la recta directriz pasa por (-2,11) hallar el foco, el vrtice y las ecuaciones de

la directriz y la parbola.

FOCO: Dividimos las coordenadas de R y R entre 2.4 2 5 1

( ; ) (1, 2)2 2

(1,2) es el foco

VRTICE: La pendiente del eje focal nos permite hallar la interseccin (a,b) de este con la

directriz.11 1 5

12 4 2

b

a

b=9-a

luego usamos el punto que tenemos de dato (-2,11) y la pendiente de la directriz para hallar lainterseccin9 2

11

a

a

a=4 b=5


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Sumamos las coordenadas obtenidas con las del foco y dividimos entre 2

(4 1; 2 5)

2

=V

V= (5/2;7/2)

DIRECTRIZ: Tenemos la pendiente y un punto de la recta4

15

x

y

x+y=9

PARBOLAHallamos el parmetro y el vector unitario asociado

p=|VF|=3 2

2

2 3 3( ; )2 23

u

y hallamos x y y

x=[(x,y)-V]u = 2 2 6 2

2

x y

y=[(x,y)-V]u

= 2

2 2

2

x y

reemplazando en (y)2=4px y desarrollandox2+y2-71+10y+14x-2xy=0

83.P es la parbola cuyo foco es (7,8) y la interseccin del eje focal con la directriz de P es (-

1,2)Encontrar las ecuaciones vectorial y cartesiana de la recta tangente a la parbola, en el punto Po

cuya ordenada es 16 y cuya abscisa es menor de 10.

El vrtice por semisuma de coordenadas del foco y la interseccin es (3,5), el parmetro es 5. El

vector unitario lo podemos hallar con el foco y el vrtice, (7,8) (3,5)

(7,8) (3,5)u

,(4,3)

5u y entonces

hallamos la ecuacin de la parbola para hallar el punto Po

x= (4,3) 4 3 27

[( , ) (3,5)]

5 5

x yx y

y= ( 3, 4) 4 3 11

[( , ) (3,5)]5 5

y xx y

(y)2=4px ; 2(4 3 11) 100(4 3 27)y x x y reemplazando las coordenadas de Po

2

0 0(53 3 ) 100(4 21)x x y entonces la abscisa de Po es igual a 1. La ecuacin del eje focal sepuede hallar por tener 2 puntos de esta, desarrollando, la ecuacin resulta 3x+11-4y=0, y ya


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podemos hallar la distancia de Po al eje focal, sta es2 2

| 3(1) ( 4)(16) 11|10

3 ( 4)

, y hallando el punto

de interseccin de esta distancia con el eje focal [3x+11-4y=0, y=3 11

4

x ]:

2 23 11(1 ) (16 ) 104

x

x

, x=7 y por consiguiente y=8, entonces el punto de interseccin es

(7,8) que es el foco de la parbola, y por definicin, la distancia, del punto de interseccin de ladistancia de Po al eje focal con el eje focal(7,8) con el vrtice(3,5), es igual a la distancia delvrtice(3,5) al punto de interseccin de la tangente de Po con el eje focal con lo que obtenemos el

punto de interseccin de la tangente con el eje focal, (-1,2)

La ecuacin cartesiana de la tangente en Po la podemos hallar por tener 2 puntos de la recta.16 2

7

1 ( 1)

m

LT: y=mx+by=7x+b 2=-7+b b=9

la ecuacin de la recta tangente es 0=7x-y+9desarrollando despus de reemplazar:

para la ecuacin vectorial, tenemos Po y un punto Q(-1,2), la ecuacin es L:Po+t(R)Si reemplazamos t(R) con Po-Q, L:(1,16)+2(1,7), 2 es un valor de la variable t L:(1,16)+t(1,7)

b)En qu punto corta a la directriz de la parbola, la recta tangente en Po?

Demostrado en (a), esta corta a la directriz en (-1,2)


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c)Cul es la longitud de la cuerda focal contenida en la recta que forma un ngulo de 45 con el

eje focal?

Si el ngulo es 45, su pendiente (respecto a los ejes transformados) es 1. La ecuacin de la rectaque contiene a esta cuerda es y=x-5. Adems, los extremos de esta cuerda cumplen la condicin

y2=4(5)(x)la longitud de la cuerda es |x1+x2+2p|

p=5reemplazando y=x-5 en y2=20xx

2-30x+25=0, x1+x2es igual a 30

Lc=|30+10|=40.

87. Sea la parbola P: 2 6 5 11 0x x y . N es una recta normal a P en el punto (-2,-1). Hallar


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la ecuacin de otra parbola P1 cuyo eje es N y que posa por el foco de P y por el punto de

interseccin de los ejes focales de P y P1.

Completando cuadrados en la ecuacin de P, obtenemos la ecuacin 2 5( 3) 4( )( 4)4

x y , el

foco de esta parbola es11

(3, )4

y la ecuacin de su eje es x=3. Por otro lado, en el punto (-2,-1), la

recta tangente, por la frmula de las rectas tangentes a las parbolas, se obtendra as:

0

0(x )( ) 4 p[( ) ]2

y y

h x h k

5 1

( 2 3)( 3) 4( )[( ) 4]4 2

yx

2 6 1 8x y 2 3 0y x que es la ecuacin de la recta tangente, como podemos ver, la pendiente es 2, por lo

que la recta N que es normal al punto (-2,-1) tendra pendiente -1/2, con lo que podramos hallar laecuacin de la recta normal.


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0 0( )y y m x x 11 ( 2)

2y x

2 4 0y x es la ecuacin de la recta normal, que es el eje de la parbola P1, y la interseccin

de ejes es el vrtice de sta ya que la interseccin es parte de la parbola. Para hallar el vrtice sereemplaza 2 4 0y x con x=3 y obtenemos el punto (3,-7/2) que es el vrtice de la parbola

buscada.

Ahora que tenemos el vrtice y un punto del eje focal(-2,-1), podemos hallar el vector unitariolocalizado u

2 2

7( 2 3, 1 )2

7( 2 3) ( 1 )2

u

( 2,1)

5u

ahora reemplazamos en la ecuacin general de la parbola (y)2=4px

x=[(x,y)-V]u

y=[(x,y)-V]u

Desarrollando

x=( 2,1)7[(x, y) (3, )]

2 5

=

1922

5

x y

y=( 1, 2)7[(x, y) (3, )]

2 5

= 2 4

5

x y

Reemplazando en la ecuacin de la parbola:

( 2 4

5

x y

)2=4p(192

2

5

x y

)

Como vemos, todava no hemos hallado el valor del parmetro p, pero debido a que tenemos un

punto de la parbola diferente del vrtice que es el foco 11(3, )

4de la parbola P, reemplazamos

estos valores para encontrar el valor del parmetro.

2

1911 113 2( ) 4 2(3)4 4 2( ) 4 ( )

5 5p

625 254 5 ( )4 4

p


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5 5

4p

Ahora ya podemos hallar la ecuacin de la parbola

( 2 4

5

x y

)2=45 5

4

(192

2

5

x y

)

Desarrollando:

P1: 2 2 95 54 4 (8 10 5) (16 5 5) 0

2x y xy x y

94.La circunferencia C: 2 2(x 3) ( 8) 25y es tangente a una Parbola P en Po(Xo,Yo), Yo>7.

La recta L:4x-3y+12=0 es normal a P y C en Po y corta al eje focal de P en el punto R(foco de

P). Si CoPo PoR y si la distancia d[Po; eje focal]=4, hallar la ecuacin de la parbola P. Co

es el centro de la circunferencia y la abscisa del vrtice es menor que 6.

El dato Yo>7 nos indica que solo podemos tomar la parbola que se abre hacia la derecha,pues tambin hay otra parbola con el mismo foco R pero que se abre hacia abajo.


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Luego, podemos hallar rpidamente Po y R por el dato de la distancia de Po a R y de Po al ejefocal, construimos el tringulo notable 3,4,5 o tambin podemos usar la ecuacin de distanciaentre 2 puntos y reemplazar los valores de Xo y Yo en L:4x-3y+12=0R=Po+(3,4) Po=(3,8)+(3,4)

para Po2 2( 3) ( 8)Xo Yo

Xo-3Yo+12=0Xo=6 Yo=12y obtenemos que Po(6,12) y R(9,16).

Luego, para hallar el vrtice:Por la distancia de Po al eje focal, hallamos el punto Q que equivale a (6,16) y debido a que Qy R pertenecen al eje focal y comparten la misma ordenada 16, la ecuacin del eje focal esy=16.Adems, la distancia de Po a R es igual a la distancia de Po a la directriz; trazamos la

perpendicular a la directriz desde Po y debido a que la abscisa de Po es igual a 6, la rectadirectriz es paralela al eje y en 6-5=1, su ecuacin es x=1.Con esto tenemos la interseccin del eje focal con la directriz que es (1,16) y debido a que yatenemos el foco, podemos hallar el vrtice

V 1 9 16 16( ; )

2 2

= (5,16)

El valor del parmetro es 9(del foco)-5(del vrtice)=4Ahora que tenemos el vrtice y el parmetro, hallamos la ecuacin de la parbola

2( ) 4 ( )y k p x h 2( 16) 4(4)( 5)y x

2 32 16 336 0y y x es la ecuacin de la parbola.

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