gindikin_rasskazy_o_fizikah_i_matematikah

С.Г.Гиндикин

РАССКАЗЫ О ФИЗИКАХ

И МАТЕМАТИКАХ

Издание четвертое, исправленное

МоскваИздательство МЦНМО

2006

ББК 22.1Г49

С. Г. Гиндикин.

Г49 Рассказы о физиках и математиках. | 4-е изд., ис-правленное. М.:МЦНМО, 2006. | 464 с.ISBN 5-94057-251-0

В книге рассказано о жизни и творчестве двенадцати замеча-тельных математиков и физиков (от XVI до XX века), работыкоторых в значительной мере определили лицо современнойматематической науки.

Увлекательно изложенные биографии великих ученых заинте-ресуют самые широкие круги читателей, от старшеклассни-ков до взрослых; интересующиеся математикой получат удо-вольствие и пользу от знакомства с научными достижениямигероев книги.

Настоящее издание книги С. Г. Гиндикина более чем вдвоерасширено по сравнению с изданием, вышедшим в серии «Би-блиотечка

"Квант\» в 1985 году и успевшим стать библиогра-

фической редкостью.

В оформлении обложки использована гравюра Альбрехта Дюрера.

ISBN 5-94057-251-0

c©С. Г. Гиндикинc©МЦНМО, 2006

Подписано к печати 21.07.2006. Формат 60× 84=16. Печать офсетная. Объем29 печ. л. Тираж 3000. Заказ Ђ

Издательство Московского Центра непрерывного математического образо-вания. 119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. 241-74-83.

Отпечатано в полном соответствии с качеством предоставленных диапози-тивов в ОАО «Дом печати|ВЯТКА». 610033, г. Киров, ул. Московская, 122.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4«Великое Искусство» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Два рассказа о Галилее . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1. Открытие законов движения . . . . . . . . . . . . . . . 452. Медичейские звезды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

О Христиане Гюйгенсе и часах с маятником . . . . . . . . . 109Тайны циклоиды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

1. Циклоида и изохронный маятник . . . . . . . . . . . . . 1252. Рулетты и касательные к ним . . . . . . . . . . . . . . 1433. Брахистохрона, или еще одна тайна циклоиды . . . . . 151

Блез Паскаль . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165Высокой геометрии начала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190Леонард Эйлер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215Жозеф Луи Лагранж . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268Пьер-Симон Лаплас . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307Король математиков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

1. Дебют Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3262. Золотая теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3473. Королевские будни . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

Феликс Клейн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382Волшебный мир Анри Пуанкаре . . . . . . . . . . . . . . . . 396Загадка Рамануджана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410О пользе координат и искусстве сцеплять гиперболоиды . . 422Комплексный мир Роджера Пенроуза . . . . . . . . . . . . . 447

3

4 Предисловие

Предисловие

Первое издание этой книги появилось в 1981 году в библиотечке«Квант». Оно несколько раз допечатывалось огромными тиража-ми вплоть до 1985 года, разошлось в общей сложности в болеечем полумиллионе экземпляров, было переведено на английский,французский и японский языки. Основу книги составили статьи,которые прежде публиковались в журнале «Квант». В это изда-ние добавлены некоторые тексты, которые уже существовали в1981 году, но не были включены из-за очень жесткого ограниче-ния на объем. Некоторые дополнительные главы были написаныпозднее. Прошло более 20 лет с тех пор, как была написана зна-чительная часть этой книги, и сегодня я о многом написал быиначе, однако я предпочел ограничиться лишь исправлением за-меченных ошибок и неточностей.

Из добавленных сюжетов отметим историю циклоиды|кри-вой необычайной судьбы, казавшейся математикам ХVII векаодной из величайших кривых и фигурировавшей в исследовани-ях крупнейших математиков, но оказавшейся в конечном счетеодним из историко-математических курьезов. Рассказ о ХVII ве-ке|героическом веке математического анализа|дополнен гла-вой о Лейбнице|одной из самых удивительных фигур в историинауки.

Следующий XVIII век представлен тремя наиболее значитель-ными математиками столетия: Эйлером, Лагранжем и Лапласом(два последних работали и в XIX веке). По стандартной логикеистории науки это должен был бы быть относительно спокой-ный век упорядочения неотшлифованных фактов, накопленныхв предыдущий революционный век дифференциального и инте-грального исчислений. Однако великий гений Эйлера, которомубыло тесно в естественных рамках, навязываемых современнойему математикой, поломал все правила и пришел к удивительнымоткрытиям, необычайно опередившим время. В конце века уче-ные оказались объектом острого исторического эксперимента:французская революция соблазнила некоторых из них возмож-ностью принять непосредственное участие в управлении госу-

Предисловие 5

дарством, и этот соблазн стоил многим из них жизни. СудьбыЛапласа и Лагранжа | два примера поведения ученых в этихусловиях. XIX и XX века представлены, помимо Гаусса, расска-зами о Клейне, Пуанкаре и Рамануджане. Конечно эта выборкадостаточно случайна, но их истории, на наш взгляд, поучитель-ны. Наконец, мы вынесли в дополнение две статьи об историипроективной геометрии и ее связях с одной из современных тео-рий математической физики|теорией твисторов Пенроуза. Ма-тематическая часть этой драматической истории предполагаетболее высокий уровень подготовки, чем остальная часть книги.

Я хочу еще раз напомнить читателю, что перед ним не си-стематически написанная книга, а сборник статей, которые пер-воначально предназначались для школьников и студентов, инте-ресующихся математикой, а потому я всюду, где это возмож-но, старался включить детальные математические фрагменты висторические рассказы. Со временем оказалось, что круг читате-лей книги значительно шире. Я не без удивления обнаружил, чтов ней нашли что-то для себя и некоторые профессиональные ма-тематики и физики, а с другой стороны, были читатели, которыеопускали при чтении всю математику и все же обнаруживали не-что поучительное в остатке. Хотелось бы также предостеречь отвосприятия этой книги как серьезной книги по истории матема-тики: я не работал с первоисточниками, не проверял тщательнодетали, не снабдил текст, включая цитаты, ссылками. Я лишь хо-тел поделиться с читателем, который, как и я, любит математикуи физику, картиной, которая сложилась у меня после знакомствасо значительным историко-научным материалом в ассоциациис моими профессиональными математическими знаниями. Иде-алом для меня было изложение истории не в серьезных историче-ских книгах (которые, несомненно, важны), а, скорее, в романахДюма.

Хотя эта книга не дает систематической картины развитияматематики, она содержит значительный материал для размыш-ления об удивительных путях ее развития. Я уже отмечал в пер-вом предисловии некоторые повторяющиеся сюжеты. Добавлен-ные главы доставляют несколько новых важных примеров (упо-


мянем, скажем, апокалиптические мысли о скором конце матема-тики у Лейбница и Лагранжа). Непознанные законы управляютматематической модой! Как понять, почему Ферма, достаточ-но уважаемый его современниками, не смог никого из серьезныхматематиков XVII века заинтересовать своими арифметически-ми работами? Лишь в результате удачного совпадения его дея-тельность была продолжена в следующем веке Эйлером, которыйпередал эстафету Лагранжу и Гауссу, обеспечив непрерывностьразвития теории чисел. Напротив, проективную геометрию|од-но из величайших достижений человеческой мысли,|открытуюв том же ХVII веке Дезаргом и Паскалем, немедленно забыли ипереоткрыли лишь в XIX веке.

Я не пытаюсь объяснять в этой книге законы развития мате-матики: я не знаю их. Я лишь с интересом наблюдаю этот про-цесс, пытаясь вовлечь читателя в поиски скрывающейся в нем ло-гики. Существует ли естественная эпоха для создания математи-ческой теории? Можно привести много аргументов в пользу это-го предположения. Построение дифференциального и интеграль-ного исчисления было начато сразу несколькими математикамиXVII столетия и в конечном счете завершено независимо Ньюто-ном и Лейбницем; аналитическую геометрию независимо постро-или Декарт и Ферма. Некоторые проблемы, которые по много летоставались нерешенными, были решены на коротком промежуткевремени сразу несколькими математиками (по странному совпа-дению, часто тремя): неевклидову геометрию независимо откры-ли Гаусс, Лобачевский, Бойяи; теорию эллиптических функцийнезависимо построили Гаусс, Абель, Якоби. С другой стороны,были великие ученые, которые сильно опередили свое время исделали открытия, не следовавшие естественной логике развитиянауки. Иногда такие открытия в конечном счете воспринималисьсовременниками (в случае Архимеда или Эйлера), а иногда забы-вались (как в случае Николая Орезмского, который в XIV векепользовался координатами и рассматривал за 250 лет до Галилеяравноускоренное движение; см. также выше примеры с арифме-тикой и проективной геометрией). Богатейшую информацию о


законах математического творчества мы получаем из историиудивительной жизни Рамануджана.

Какую роль играют личности в истории математики? На-пример, насколько решающей в судьбе математики была непри-миримая позиция Платона по вопросу о предмете математикипри его неограниченном влиянии на современную ему науку?Было ли предрешено развитие геометрии как аксиоматическойнауки, или она могла развиваться при других обстоятельствахкак наука скорее экспериментальная? Пользу или вред принеслопочти экстремистское требование Платона использовать в гео-метрических построениях только циркуль и линейку? Как былибы открыты в противном случае неразрешимые геометрическиезадачи, алгебраические уравнения, неразрешимые в радикалах,трансцендентные числа?

Я принадлежу к поколению математиков, которых иногда по-сещает двусмысленная ностальгия по времени расцвета матема-тики на фоне всех ужасов советской действительности (слово«несмотря» было бы неуместным в этом контексте). Математикабыла престижной профессией, которая привлекала многих та-лантливых молодых людей, стремившихся к интеллектуальнойдеятельности, относительно свободной от влияния господству-ющей марксистской идеологии. Этот феномен много обсуждалсяпоследние годы, и мы не будем здесь пытаться продолжить этуважную дискуссию. Сегодня положение математики значительноизменилось. Я имею возможность наблюдать значительное сни-жение приоритета математики и науки вообще в жизни США.Я не вижу трагедии в том, что большинство талантливых моло-дых людей предпочитают профессии ученого другие профессии,часто открывающие несравненно лучшие перспективы на финан-совый успех, но меня пугает излишне утилитарный взгляд на рольматематики в образовании, решительное непонимание ее уни-кальной роли для общего интеллектуального развития личности.Можно вспомнить, что в Академии Платона изучали геометриюне будущие ученые, но, в первую очередь, будущие цари (впро-чем, в Спарте не разделяли этот пиетет перед математикой, да


и римляне не включили ее в число ценностей, унаследованныху греческой цивилизации). Выпускники математических школ вбывшем Советском Союзе были успешны далеко за пределамиматематики. Сегодня многие молодые профессиональные мате-матики решают оставить математику ради карьеры в бизнесе.Часто они успешны, и не благодаря каким-то конкретным мате-матическим знаниям, но благодаря интеллектуальному тренингу,который они получили при подготовке к математической про-фессии.

В современной России условия жизни изменились, и матема-тика переживает трудные времена. Математики сталкиваютсяс прозаическими проблемами, неведомыми их западным колле-гам. Просматривая некоторые российские газеты, я подумал од-нажды, что, может быть, напрасно в XVIII веке математики срадостью исключили составление гороскопов из своих професси-ональных обязанностей: сегодня это могло бы оказаться удачнымдополнением к нашей профессии.

Скоро 50 лет как я занимаюсь математикой, и я не перестаювосхищаться этой удивительной наукой. Мне приятно ощущать,что все еще много людей, включая молодых, разделяют эту моюлюбовь. Им в первую очередь и адресована эта книга.

11 февраля 2001 года, Принстон, США.

Предисловие к первому изданию

Эта книга написана на основе статей, публиковавшихся в жур-нале «Квант» в течение ряда лет. Этим объясняется некоторыйэлемент случайности в выборе людей и событий, которым посвя-щены рассказы, собранные в книге. Однако нам кажется, что вкниге идет речь о принципиальных явлениях в истории науки,достойных внимания любителей математики и физики.

Мы захватываем промежуток в четыре века и начинаем вочень важный для европейской математики XVI век, когда ей,собственно, предстояло заново родиться, через тысячу лет по-сле заката античной математики. Наш рассказ начинается в тот


момент, когда европейские математики после трех веков учени-чества смогли получить результаты, которых не знали ни мате-матики Древней Греции, ни математики Востока: была найденаформула для решения уравнений третьей степени. События сле-дующей серии рассказов начинаются на рубеже XVI и XVII веков,когда Галилей, исследуя свободное падение, заложил фундаменти для развития новой механики, и для развития анализа беско-нечно малых. Параллельное формирование этих двух теорий|одно из самых знаменательных научных явлений XVII века (отГалилея до Ньютона и Лейбница). Мы рассказываем также о за-мечательных астрономических открытиях Галилея, прервавшихего занятия механикой, о его драматической борьбе за утвер-ждение учения Коперника. Наш следующий герой|Гюйгенс|непосредственный продолжатель Галилея в науке. Избранный на-ми сюжет|это продолжавшаяся сорок лет работа Гюйгенса надсозданием и совершенствованием маятниковых часов. Значитель-ная часть достижений Гюйгенса и в области физики, и в областиматематики непосредственно стимулировалась этой деятельно-стью. XVII век представлен у нас также Паскалем | одним изсамых удивительных людей в истории человечества. Паскаль на-чинал как геометр, и его юношеская работа знаменовала, чтоевропейская математика уже способна состязаться с великимигреческими математиками на их собственной территории | вгеометрии. Со времени первых успехов европейской математи-ки в алгебре прошло сто лет.

К концу XVIII века математика неожиданно оказалась безопорных задач, вокруг которых концентрировались бы усилияведущих ученых. Математический анализ в некотором прибли-жении был построен; ни алгебра, ни геометрия не выдвинули ктому времени подходящих проблем. Положение «спасла» небеснаямеханика. Построение теории движения небесных тел на осно-ве закона всемирного тяготения потребовало величайших уси-лий крупнейших математиков, начиная с Ньютона. Долгое времяпочти все крупные математики считали делом чести продемон-стрировать свои возможности на какой-нибудь задаче небесноймеханики. Не был исключением и Гаусс, которому посвящена по-


следняя часть книги. Но к этим задачам Гаусс пришел уже будучизрелым ученым, а дебютировал он беспрецедентным образом. Онрешил задачу, стоявшую 2000 лет: доказал возможность постро-ения циркулем и линейкой правильного 17-угольника (древниеумели строить правильные n-угольники при n = 2k, 3 · 2k, 5 · 2k,15 · 2k и много сил потратили на безуспешные попытки приду-мать построение для других n). Технически это открытие Гауссаосновывалось на арифметических рассмотрениях. Работы Гаус-са подводили итог полуторавековой деятельности по превраще-нию арифметики из набора удивительных фактов о конкретныхчислах, накапливавшихся с глубокой древности, в науку. Этотпроцесс начался с работ Ферма и был продолжен Эйлером, Ла-гранжем, Лежандром. Поразительно, что Гаусс в юности, не имеядоступа к математической литературе, самостоятельно воспро-извел большинство результатов своих великих предшественни-ков.

Наблюдение над историей науки из сравнительно случайновыбранных точек оказывается во многом поучительным: напри-мер, бросаются в глаза многочисленные связи, выявляющие един-ство науки в пространстве и времени. Связи разного характераиллюстрируются рассматриваемым в книге материалом: непо-средственная преемственность у Галилея и Гюйгенса; идеи Тар-тальи о траектории брошенного тела, доведенные Галилеем доточного результата; сослужившее пользу тому же Галилею пред-ложение Кардано пользоваться пульсом для измерения времени;задачи Паскаля о циклоиде, оказавшиеся кстати Гюйгенсу, рабо-тавшему над изохронным маятником; теория движения спутни-ков Юпитера, открытых Галилеем, в которую ученые несколькихпоколений старались внести хоть небольшой вклад, и т. д.

Можно подметить много ситуаций в истории науки, которыечасто повторяются с небольшими вариациями (по словам фран-цузского историка Токвиля, «история| это картинная галерея,в которой мало оригиналов и много копий»). Обратим внимание,например, как трансформируется оценка ученого с течением ве-ков. Кардано не сомневался, что его главные заслуги относятсяк медицине, а не к математике; похоже, что Кеплер считал сво-


им главным достижением «открытие» мифической связи междуорбитами планет и правильными многогранниками; ни одно своеоткрытие Галилей не ценил так, как ошибочное утверждение, чтоприливы и отливы доказывают истинное движение Земли (в зна-чительной степени ради его публикации он пожертвовал своимблагополучием); Гюйгенс считал своим важнейшим результатомприменение циклоидального маятника в часах, который оказал-ся полностью бесполезен на практике, да и вообще Гюйгенс могсчитать себя неудачником, так как не смог решить главной сво-ей задачи| создать морской хронометр (очень многое из того,что сегодня рассматривается как его основные заслуги, былолишь средством для построения морских часов). Самые великиелюди не защищены от ошибок в прогнозах. А ведь иногда уче-ному приходится принимать критическое решение | прерватьодни исследования в пользу других. Так, Галилей отказываетсяот доведения до публикации результатов своих двадцатилетнихисследований по механике, вначале отвлекшись на год для астро-номических наблюдений, а затем он на двадцать лет вообще, посуществу, прекратил научные исследования в собственном смы-сле слова ради популяризации гелиоцентрической системы. Черезполтора века опять-таки ради астрономии оставляет неопубли-кованными свои исследования по эллиптическим функциям Гаусс.Вероятно, оба они не предвидели, сколь долгим будет перерыв,и оба не видели кругом никого, кто мог бы угрожать их прио-ритету. Галилей все же успел (через 30 лет!) опубликовать своиработы по механике, когда приговор инквизиции закрыл для неговозможности для других занятий (и лишь сообщение Кавальери опараболичности траектории брошенного тела, хотя и не посягав-шее на приоритет Галилея, заставило его немного поволновать-ся). Гаусс опять-таки 30 лет не находил времени завершить своирезультаты, и они были переоткрыты Абелем и Якоби.

Отбор материала и характер изложения диктовался тем, чтокнига и предшествующие ей статьи адресованы любителям мате-матики и физики, в первую очередь, школьникам. Мы всегда от-давали приоритет точному изложению конкретных достиженийученых (работы Галилея по механике, математические и механи-


ческие исследования Гюйгенса в связи с маятниковыми часами,две первые математические работы Гаусса). К сожалению, этоне всегда возможно, даже если речь идет о давних работах. Нетбольшего удовольствия, чем следить за полетом мысли гения, какбы давно он ни жил. Дело не только в том, что любителю физи-ки или математики это недоступно в отношении современныхработ. Уметь почувствовать революционный характер старогодостижения | важный элемент культуры. Высокомерие по от-ношению к давно жившим людям| опасная черта. Рассказываядетям о великих открытиях, мы часто не учим их этим откры-тиям удивляться.

Мы хотим подчеркнуть, что собранные в книге рассказы неносят характер историко-научных текстов. Это проявляется всильной адаптации исторических реалий. Мы свободно модерни-зируем рассуждения ученых: пользуемся алгебраической симво-ликой в доказательствах Кардано, вводим ускорение свободногопадения в выкладки Галилея и Гюйгенса (чтобы не мучить чи-тателя бесконечными пропорциями), работаем с натуральнымилогарифмами вместо неперовых при рассказе об открытии Непе-ра, пользуемся поздними высказываниями Галилея, чтобы рекон-струировать логику его ранних исследований по механике. Всюдумы сознательно пренебрегали деталями, уместными в работе поистории науки, с тем чтобы выпукло изложить небольшое числоосновных идей.

«ВЕЛИКОЕ ИСКУССТВО»

В 1545 г. вышла книга Джероламо Кардано, название которой на-чиналось этими словами (по латыни «Ars magna»). В основном онабыла посвящена решению уравнений 3-й и 4-й степеней, однакоее значение для истории математики выходило далеко за пределыэтой конкретной задачи. Уже в XX веке Феликс Клейн, оцениваякнигу, писал: «Это в высшей степени ценное произведение со-держит зародыш современной алгебры, выходящей за пределыантичной математики».

XVI век был веком возрождения европейской математики по-сле средневековой спячки. На тысячу лет были забыты, а частич-но безвозвратно утрачены, труды великих греческих геометров.Из арабских текстов европейцы узнавали не только о матема-тике Востока, но и об античной математике. Характерно, что враспространении математики в Европе большую роль сыграликупцы, для которых поездки были средством и получения ин-формации, и ее распространения. Особенно выделяется фигураЛеонардо из Пизы (1180 { 1240), более известного как Фибоначчи(сын Боначчи). Его имя увековечено в названии замечательнойчисловой последовательности (числа Фибоначчи). Наука можетутратить высочайший уровень очень быстро. Для его восстано-вления могут потребоваться века. Три века европейские мате-матики оставались учениками, хотя у того же Фибоначчи были,безусловно, интересные наблюдения. Лишь в XVI веке в Европепоявились математические результаты принципиального значе-ния, которых не знали ни античные, ни восточные математики.Речь идет о решении уравнений 3-й и 4-й степеней.

13

14 Джероламо Кардано (1501 { 1576)

Характерно, что достижения новой европейской математикиотносятся к алгебре, новой области математики, пришедшей сВостока и, по существу, делавшей только первые шаги. По край-ней мере еще сто лет математикам Европы будет не по силам нетолько сделать в геометрии что-нибудь сопоставимое с достиже-ниями Евклида, Архимеда, Аполлония, но даже усвоить до концарезультаты великих геометров.

Легенда приписывает Пифагору фразу: «Все есть число». Нопосле Пифагора в греческой математике постепенно все подчи-нила геометрия. В геометрической форме имелись у Евклида иэлементы алгебры. Например, квадрат разрезался прямыми, па-раллельными сторонам, на два меньших квадрата и два равныхпрямоугольника. Из сопоставления площадей получалась форму-ла (a+ b)2 = Á2 + b2 + 2ab. Но, разумеется, символики не было, иформулировка с площадями оставалась окончательной. Форму-лировки получались очень громоздкими. Задачи на построениециркулем и линейкой по существу приводили к решению квадрат-ных уравнений и рассмотрению выражений, содержащих ква-дратные корни (квадратичных иррациональностей). Например,у Евклида (на другом языке) подробно исследуются выражениявида

√a+

√b. В определенной степени греческие геометры по-

нимали связь классических неразрешимых задач на построение(удвоение куба и трисекция угла) с кубическими уравнениями.

У арабских математиков алгебра постепенно отрывается отгеометрии. Впрочем, как мы увидим ниже, решение кубическо-го уравнения было получено геометрическим путем (алгебраи-ческий вывод формул для решения даже квадратного уравненияпоявился лишь в 1572 г. у Бомбелли). Алгебраические утвержде-ния появляются у арабских математиков как рецепты для реше-ния однотипных арифметических задач, обычно с «житейским»содержанием (например, задачи на раздел наследства). Правилаформулируются на конкретных примерах, но с таким расчетом,чтобы можно было решить похожую задачу. До последнего вре-мени так иногда формулировались правила решения арифмети-ческих задач («тройное правило» и т. д.). Формулировка правил в

Джероламо Кардано (1501 { 1576) 15

общем виде почти неминуемо требует развитой символики, до ко-торой было еще далеко. Арабские математики не пошли дальшерешения квадратных уравнений и некоторых специально подо-бранных кубических.

Проблема решения кубических уравнений волновала как араб-ских математиков, так и их европейских учеников. Удивитель-ный результат в этом направлении принадлежит Леонардо Пи-занскому. Он показал, что корни уравнения È3 + 2È2 + 10È = 20не могут быть выражены через евклидовские иррациональностивида

√a+

√b. Поразительная для начала XIII века постанов-

ка задачи, предвещавшая проблему разрешимости в радикалах,осмысленную значительно позже. Путей же к решению общегокубического уравнения математики не видели.

Состояние математики на рубеже XV{XVI веков было поды-тожено в книге Луки Пачоли (1445 { 1514) «Сумма арифметики»(1494 г.), одной из первых печатных книг по математике, напи-санной к тому же не на латыни, а на итальянском языке. В концекниги говорится, что для решения кубических уравнений «искус-ством алгебры еще не дан способ, как не дан способ квадратурыкруга». Сравнение звучит внушительно, а авторитет Пачоли былнастолько велик, что большинство математиков (как мы увидим,среди них поначалу были и наши герои) считало, что кубическиеуравнения в общей ситуации решить вообще нельзя.

Сципион Дель Ферро. Нашелся человек, которого мнение Пачолине остановило. Это был профессор математики в Болонье Сципи-он дель Ферро (1465 { 1526); он нашел способ решать уравнения

x3 + ax = b: (1)

Отрицательными числами тогда еще не пользовались, и, напри-мер, уравнение

x3 = ax+ b (2)

воспринималось как совсем другое! Об этом решении известнылишь косвенные сведения. Дель Ферро сообщил его своему зятюи преемнику по кафедре Аннибалу делла Наве и ученику Антонио


Никколо Тарталья (единственный известный портрет).

Марио Фиоре. Последний решил после смерти учителя восполь-зоваться доверенной ему тайной, чтобы стать непобедимым впоединках по решению задач, которые были тогда очень распро-странены. 12 февраля 1535 г. его жертвой едва не стал НикколоТарталья|один из главных героев нашего рассказа.

Никколо Тарталья. Тарталья родился около 1500 г. в Брешии всемье бедного конного почтальона Фонтане. В детстве, когда егородной город был захвачен французами, он был ранен в гортаньи с тех пор говорил с трудом. Отсюда и его прозвище «Тарта-лья» («заика»). Он рано остался на попечении матери, котораяпопыталась учить его в школе. Но деньги кончились, когда вклассе письма дошли до буквы «к». Тарталья покинул школу, ненаучившись писать свою фамилию. Он продолжает заниматьсясамостоятельно и становится «магистром абака» (что-то вродеучителя арифметики в частном коммерческом училище). Он мно-го ездит по Италии, пока в 1534 г. не попадает в Венецию. Здесьего научные занятия стимулировались общением с инженерами и


артиллеристами из знаменитого венецианского арсенала. Тарта-лью спрашивают, например, как надо наклонить орудие, чтобыоно стреляло дальше всего. Он дает ответ, который показалсяспрашивавшим удивительным, | под углом 45◦. Ему не верят,что надо поднять ствол так высоко, но «несколько частных опы-тов» доказали его правоту. Хотя Тарталья говорит, что у негобыли «математические доводы» для этого утверждения, скорееэто было эмпирическое наблюдение (а доказательство дал лишьГалилей).

Тарталья публикует две книги, служащие продолжением однадругой: «Новая наука» (1537 г.) и «Проблемы и различные изобре-тения» (1546 г.), где читателю обещаются «новые изобретения, некраденные ни у Платона, ни у Плотина, ни у какого иного грекаи латинянина, а полученные лишь искусством, измерением и ра-зумом». Книги написаны на итальянском языке, в форме диалога,которую позднее перенял Галилей. В ряде вопросов Тарталья былпредшественником Галилея. Хотя в первой из указанных книг онповторял вслед за Аристотелем, что брошенное под углом теловначале летит по наклонной прямой, затем по дуге окружно-сти и, наконец, по вертикали падает вниз, во второй книге онпишет, что траектория «не имеет ни одной части, которая бы-ла бы совершенно прямой». Тарталья интересовался равновесиемтел на наклонной плоскости, свободным падением тел (его уче-ник Бенедетти убедительно показал, что характер падения телане должен зависеть от веса). Важную роль сыграли выполнен-ные Тартальей переводы Архимеда и Евклида на итальянскийязык (Тарталья называет его «народным» в отличие от латыни),его подробные комментарии. По своим человеческим качествамТарталья был далеко не безупречен, очень труден во взаимоот-ношениях. Бомбелли (правда, человек не беспристрастный; о немниже) писал, что «этот человек по натуре своей был так склоненговорить только дурное, что даже хуля кого-либо считал, что да-ет ему лестный отзыв». По другим свидетельствам (Нуньес) «онвременами бывал так возбужден, что казался умалишенным».

Вернемся к предстоящему поединку. Тарталья был опытнымбойцом и надеялся одержать над Фиоре легкую победу. Он не


испугался и тогда, когда обнаружил, что все 30 задач Фиоре со-держат уравнения (1) при разных a и b. Тарталья думал, чтоФиоре не умеет сам решать предложенные задачи, и надеялсяразоблачить его: «Я думал, что ни одна из них не может бытьрешена, потому что брат Лука (Пачоли| С. Г.) уверяет в сво-ем труде, что такого рода уравнения невозможно решить общейформулой». Когда уже почти истекли 50 дней, после которых над-лежало сдать решения нотариусу, до Тартальи дошли слухи, чтоФиоре обладает таинственным способом решения уравнения (1).Перспектива угощать парадным обедом друзей Фиоре в количе-стве, равном числу задач, решенных победителем (таковы былиправила!), не привлекала Тарталью. Он прилагает титаническиеусилия, и счастье улыбается ему за восемь дней до назначенно-го срока (срок истекал 12 февраля 1535 г.): желанный способнайден! За два часа Тарталья решил все задачи. Противник егоне решил ни одной. Странным образом он не справился с однойзадачей, которую можно было решить по формуле дель Ферро(Тарталья дал задачу, имея в виду искусственный прием). Впро-чем, мы увидим, что формулой воспользоваться нелегко. Черездень Тарталья нашел способ решать уравнения (2).

О поединке Тарталья { Фиоре знали многие. В этой ситуа-ции секретное оружие могло не помочь, а помешать Тарталье вдальнейших поединках. Кто согласится состязаться с ним, еслиисход предрешен? Все же Тарталья отвергает несколько просьбраскрыть его способ решать кубические уравнения. Но нашелсяпроситель, который добился своего. Это был Джероламо Карда-но, второй герой нашего рассказа.

Джероламо Кардано. Он родился 24 сентября 1501 г. в Павии.Его отец | Фацио Кардано, образованный юрист с широкимиинтересами, упоминается у Леонардо да Винчи. Он был первымучителем сына. Окончив университет в Падуе, Джероламо ре-шает посвятить себя медицине. Он был незаконнорожденным ре-бенком, и это закрыло ему доступ в коллегию врачей Милана.Кардано долго практиковал в провинции, пока в августе 1539 г.его все же не приняли в коллегию, специально изменив для этого


Джероламо Кардано

правила. Кардано был одним изсамых знаменитых врачей свое-го времени, вероятно, вторым по-сле Андрея Везалия, его друга. Насклоне лет Кардано написал ав-тобиографию («О моей жизни»).В ней считанные упоминания озанятиях математикой, зато по-дробно описываются исследова-ния по медицине. Он утверждал,что описал приемы излечения допяти тысяч трудноизлечимых бо-лезней, что число разрешенныхим проблем и вопросов доходитдо сорока тысяч, а более мелкихуказаний|до двухсот тысяч. Ко-нечно, к этим цифрам следует от-носиться с должной долей скепти-

цизма. Все же слава Кардано-врача была несомненной. Он опи-сывает случаи из своей медицинской практики, делая нажим налечение знатных особ (шотландского архиепископа Гамильтона,кардинала Марона и т.д.), утверждая, что его постигли лишь тринеудачи. По-видимому, если прибегнуть к современной термино-логии, он был выдающимся диагностом, но не обращал большоговнимания на анатомические сведения, как это делали Леонардода Винчи и Везалий. В автобиографии Кардано сопоставляет се-бя с Гиппократом, Галеном, Авиценной (мысли последнего былиему особенно близки).

Однако занятия медициной не поглощали Кардано полностью.В свободное время он занимался всем на свете. Например, соста-влял гороскопы живых и мертвых (Христа, английского короляЭдуарда VI, Петрарки, Дюрера, Везалия, Лютера). Эти занятиясильно повредили Кардано в глазах потомков (по одной недо-брой легенде он покончил жизнь самоубийством, чтобы подтвер-дить собственный гороскоп). Но следует помнить, что в те вре-мена занятия астрологией считались вполне респектабельными


(астрономия воспринималась как часть астрологии| натураль-ная астрология в отличие от юдициарной). Услугами Кардано-астролога пользовался папа.

В своей научной деятельности Кардано был энциклопедистом,однако энциклопедистом-одиночкой, что характерно для эпохиВозрождения. Лишь через полтора века появились первые акаде-мии, в которых ученые специализировались в более или менее уз-ких областях. Только в таких коллективах можно было создаватьподлинные энциклопедии. Энциклопедист-одиночка не в состоя-нии в достаточной степени проконтролировать все сообщаемыеим сведения. В случае Кардано большую роль играли особенно-сти его личности, его психического склада. Он верил в чудеса,предчувствия, демонов, в свои собственные сверхъестественныевозможности. Он подробно описывает события, убедившие его вэтом (при любых столкновениях в его присутствии не пролива-лась кровь ни у людей, ни у животных, даже на охоте; о всехсобытиях, кончившихся гибелью его сына, он узнавал заранее поприметам и т. д.). Кардано считал, что он обладал даром озаре-ния (гарпократическим чувством, как он его называл), которыйпозволял ему угадывать пораженный орган у больного, кости, ко-торые выпадут в игре, видеть печать смерти на лице у собеседни-ка. Большую роль в жизни Кардано играли сновидения, которыеон запоминал с мельчайшими деталями и подробно описывал. Поэтим описаниям современные психиатры пытались определитьболезнь Кардано. Кардано пишет, что постоянно повторяющие-ся сновидения вместе с желанием увековечить свое имя служи-ли основными поводами для написания книг. В энциклопедияхКардано «О тонких материях», «О разнообразии вещей» описа-нию снов автора и его отца уделено много места.

Но в этих книгах содержится и много собственных наблю-дений и тщательно продуманных сообщений других. Готовностьобсуждать фантастические теории, своеобразная доверчивостьиграют не только отрицательную роль; благодаря им он обсу-ждает вещи, о которых его более осторожные коллеги решилисьговорить на много лет позже (см. ниже о комплексных числах).Не всегда удается проследить авторство. Неясно (это относит-


ся и к другим итальянским авторам XVI века), в какой мереКардано был знаком с трудами Леонардо да Винчи (широкой пу-блике они стали известны лишь в самом конце XVIII века). Книга«О тонких материях», переведенная во Франции, служила попу-лярным учебником по статике и гидростатике в течение всегоXVII века. Галилей пользовался указанием Кардано об использо-вании собственного пульса для измерения времени (в частности,при наблюдении над качанием люстры в соборе). Кардано утвер-ждал, что невозможен вечный двигатель, некоторые его замеча-ния можно интерпретировать как принцип возможных перемеще-ний (так считает известный историк физики Дюэм), он рассма-тривал расширение водяного пара. Кардано разделял созданнуюеще в III веке до н. э. теорию, объяснявшую приливы и отливыдействием Луны и Солнца. Он впервые четко провел различиемежду притяжениями магнитным и электрическим (разумеется,имеются в виду явления типа наблюдавшегося еще Фалесом при-тяжения соломинок натертым янтарем).

Кардано был не чужд и экспериментальным исследованиями конструированию практических механизмов. На склоне лет онпри помощи опыта установил, что отношение плотности возду-ха к плотности воды равно 1=50. Когда в 1541 г. императорКарл V триумфально вошел в завоеванный Милан, ректор колле-гии врачей Кардано шел рядом с балдахином. В ответ на оказан-ную честь он предложил снабдить королевский экипаж подвескойиз двух валов, качение которых не выведет карету из горизон-тального положения (в империи Карла V дороги были дальниеи плохие). Ныне такая система подвески называется карданом(карданный подвес, карданный вал, карданное сочленение) и при-меняется в автомобилях. Справедливость требует отметить, чтоидея такой системы восходит к античности и что, по крайнеймере, в «Атлантическом кодексе» Леонардо да Винчи имеетсярисунок судового компаса с карданным подвесом. Такие компа-сы получили распространение в первой половине XVI века, по-видимому, без влияния Кардано.

Кардано писал огромное число книг, часть из которых быланапечатана, часть осталась в рукописи, а часть была уничтожена


им в Риме в ожидании ареста. Только описание книг составилообъемистую книгу «О собственных сочинениях». Многие годыбыли популярны книги Кардано по философии и этике. Книга«Об утешении» была переведена на английский язык и оказалавлияние на Шекспира. Некоторые шекспироведы утверждают да-же, что Гамлет произносит монолог «Быть или не быть», держаэту книгу в руках.

Можно много говорить о личности Кардано. Он был стра-стен, вспыльчив, много играл в азартные игры. Сорок лет игралКардано в шахматы («я никогда не мог выразить в кратких сло-вах, сколько ущерба, без всякого за него возмещения, причинилиони моим домашним делам»), двадцать пять лет играл он в ко-сти («но еще более шахмат повредили мне кости»). Ради игры онвременами бросал все занятия, попадал в неприятные ситуации.Побочным продуктом этой страсти Кардано была «Книга об игрев кости», написанная в 1526 г., но напечатанная лишь в 1663 г.Эта книга содержит начала теории вероятностей, включая пред-варительную формулировку закона больших чисел, некоторыевопросы комбинаторики, наблюдения над психологией игроков.

Несколько слов о характере Кардано. Он сам пишет: «средимоих пороков исключительным и крупным является тот, которыйзаставляет меня не говорить ни о чем с таким удовольствием, како том, что, как я знаю, окажется неприятным моим слушателям.И я сознательно и упорно коснею в этом 〈: : :〉 Я допустил мно-го ошибок, на которые подбивала меня моя наклонность всюдукстати и некстати сообщать обо всем мне известном 〈: : :〉 К это-му меня побуждало не только опрометчивое легкомыслие и не-знакомство с делами, но и пренебрежительное отношение к темприличиям, которые в большинстве случаев соблюдаются междулюдьми благовоспитанными и которые я усвоил только впослед-ствии». Для друзей и учеников он умел быть и другим. Бомбеллиписал, что Кардано имел «скорее божественный, чем человече-ский облик».

Кардано и Тарталья. К 1539 г. Кардано заканчивает свою первуюматематическую книгу «Практика общей арифметики»; она была


призвана заменить книгу Пачоли. Услышав о секрете Тартальи,он загорелся желанием украсить им свою книгу. По его просьбекниготорговец Жуано Антонио встретился с Тартальей в Вене-ции 2 января 1539 г. Он просит от имени «честного человека,врача города Милана, по имени Джероламо Кардано» передатьправило решения уравнения (1) или для опубликования в книге,или под обещание держать сообщенное в секрете. Ответ был от-рицательным: «Передайте его светлости, чтобы он простил меня,но если я захочу опубликовать свое открытие, то я сделаю это вмоем собственном труде, а не в книге другого». Тарталья от-казался передать также решения 30 задач Фиоре, передав лишьусловия (впрочем, их можно было получить у нотариуса), а такжерешить 7 задач, посланных Кардано. Тарталья подозревает, чтоКардано|подставное лицо, за которым скрывается математикЖуане да Кои, пытающийся узнать секрет. 12 февраля Карда-но посылает Тарталье критические замечания по поводу книги«Новая наука» и повторяет свою просьбу. Тарталья неумолим,соглашаясь решить лишь две задачи Кардано. 13 марта Карда-но приглашает Тарталью к себе, выражает заинтересованность вего артиллерийских приборах, обещает представить его маркизудель Васто, испанскому губернатору Ломбардии. Повидимому,эта перспектива прельстила Тарталью, он принял приглашение,и решительное объяснение состоялось 25 марта в доме Кардано.

Вот отрывок из записи этой беседы (следует иметь в виду, чтозапись сделана Тартальей; ученик Кардано Феррари утверждает,что она не вполне соответствует действительности):Н и к к о л о. Я говорю вам: я отказал вам не из-за одной толь-ко этой главы и сделанного в ней открытия, но из-за тех вещей,которые можно открыть, зная его, так как это ключ, отмыка-ющий путь для исследования бесчисленного количества другихразделов. Я бы уже давно нашел общее правило для многих дру-гих проблем, если бы не был в настоящее время занят переводомЕвклида на народный язык (в настоящее время я довел пере-вод до конца 13-й книги). Но когда эта работа, которую я уженачал, будет закончена, я собираюсь издать труд для практиче-ского применения вместе с новой алгеброй 〈: : :〉 Если я выдам ее


какому-нибудь теоретику (каким является ваша светлость), тоон легко может с помощью этого объяснения найти другие гла-вы (ибо это объяснение легко приложить к другим вопросам) иопубликовать плоды моего открытия под собственным именем.Этим будут разбиты все мои планы.Ме с с е р Джер о л ам о. Я клянусь вам Святым Евангелием Гос-пода Бога и не только даю вам слово честного человека никогдане опубликовать этого вашего открытия, если вы мне его дове-рите, но обещаю, и да будет моя совесть истинного христианинавам порукой, зашифровать его так, что после моей смерти никтоне сможет прочитать написанное. Если я, по вашему мнению, за-служиваю доверия, то сделайте это, если нет, то оставим этотразговор.Никк о л о. Если бы я не поверил этой вашей клятве, то, конечно,заслужил бы того, чтобы меня самого сочли неверующим.

Итак, Тарталья дал уговорить себя. Он сообщил свое решениев форме латинского стихотворения. Не правда ли, трудно понятьпо приведенной записи, что заставило Тарталью изменить реше-ние. Неужели его так потрясли клятвы Кардано? Происходящеедальше малопонятно. Сообщив тайну, взволнованный Тартальянемедленно уезжает, отказавшись от свидания с маркизом, радикоторого он предпринимал путешествие. Уж не загипнотизиро-вал ли его Кардано? Очень правдоподобно, что запись Тартальинеточна.

Тарталья несколько успокоился, когда получил 12 мая свеже-напечатанную «Практику общей арифметики» без своего реце-пта. В сопроводительном письме Кардано пишет: «Я проверилформулу и считаю, что она имеет общее значение».

Кардано получил от Тартальи готовый способ решения урав-нения (1) без всяких намеков на доказательство. Он затратилмного сил на тщательную проверку и обоснование правила. С на-шей колокольни нелегко понять, в чем проблема: подставь в урав-нение и проверь! Однако отсутствие развитой алгебраическойсимволики делало то, что сегодня автоматически выполняет лю-бой школьник, доступным лишь избранным. Не познакомившисьс подлинными текстами того времени, нельзя оценить, насколько


алгебраический аппарат «экономит» мышление. Читатель долженвсе время иметь это в виду, чтобы не заблуждаться относитель-но «тривиальности» проблем, вокруг которых кипели страсти вXVI веке.

Кардано затрачивает годы напряженной работы, пытаясьполностью разобраться с решением кубических уравнений. Онполучил рецепты (ведь формул писать не умели!) для решенияуравнений (1), (2), а также

x3 + b = ax (3)

и уравнений, содержащих x2. Он наверняка сильно опередил Тар-талью. Все это происходило на фоне упрочения положения Карда-но; в 1543 г. он становится профессором в Павии. «Мои познанияв астрологии, | писал Кардано, | приводили меня к заключе-нию, что я не проживу более сорока лет и уж, во всяком случае,не достигну сорокапятилетнего возраста 〈: : :〉 Наступил тот год,который должен был стать последним в моей жизни и который,напротив, оказался ее началом,|а именно сорок четвертый год».

Луиджи Феррари. В математических занятиях Кардано с неко-торых пор ему помогал Луиджи Феррари (1522 { 1565) . В соста-вленном Кардано списке его 14 учеников Феррари фигурируеткак второй в хронологическом порядке и один из трех наиболеевыдающихся. Кардано, веривший приметам, пишет, что 14 но-ября 1536 г., когда 14-летний Луиджи с братом прибыли в Боло-нью, «во дворе так долго вопреки обычаю стрекотала сорока,что мы все ждали чьего-нибудь приезда». Феррари был чело-веком феноменальных способностей. Он обладал таким бурнымтемпераментом, что даже Кардано боялся временами с ним го-ворить. Известно, что в семнадцать лет Феррари вернулся послеодной прогулки без единого пальца на правой руке. Он был безо-говорочно предан учителю, долгое время был его секретарем иповеренным. Вклад Феррари в математические работы Карданоочень велик.

В 1543 г. Кардано вместе с Феррари предпринял поездку вБолонью, где делла Наве позволил им познакомиться с бумагамипокойного дель Ферро. Они убедились, что последнему уже было


известно правило Тартальи. Интересно, что о формуле дель Фер-ро, по-видимому, почти не знали. Вряд ли Кардано так энергичноатаковал бы Тарталью, знай он, что ту же информацию можнополучить у делла Наве (до 1543 г. он к нему не обращался). Сей-час почти все соглашаются, что у дель Ферро была формула,что Фиоре знал ее, а Тарталья переоткрыл ее, зная, что у Фи-оре она есть. Однако ни один из шагов в этой цепочке строгоне доказан! Кардано говорил об этом, но Тарталья писал в концесвоей жизни: «я могу заверить, что эта описанная теорема не бы-ла еще доказана ни Евклидом, ни кем-либо другим, а одним лишьДжероламо Кардано, которому мы ее показали 〈: : :〉 В 1534 г. (вдругом месте написано, что 4 февраля 1535 г. | С. Г.) я нашелв Венеции общую формулу уравнения». Трудно свести концы сконцами в этой запутанной истории.

«Великое Искусство». Знакомство ли с бумагами дель Ферро,сильное ли давление со стороны Феррари или, скорее всего, не-желание похоронить результаты многолетней работы привелик тому, что Кардано включил все известное ему о кубическихуравнениях в вышедшую в 1545 г. книгу «Великое искусствоили о правилах алгебры». Ее стали называть коротко «Великоеискусство».

В предисловии Кардано излагает историю вопроса: «в нашевремя Сципион дель Ферро открыл формулу, согласно которойкуб неизвестного плюс неизвестное равен числу. Это была оченькрасивая и замечательная работа. Так как это искусство превос-ходит всю человеческую ловкость и всю ясность ума смертного,то его нужно рассматривать как подарок небесного происхожде-ния, а также как способность силы ума, и это настолько славноеоткрытие, что от того, кто мог его достигнуть, можно ждать,что он достигнет всего. Соревнуясь с ним, Никколо Тарталья изБрешии, наш друг, будучи вызван на состязание с учеником дельФерро по имени Антонио Марио Фиоре, решил, дабы не быть по-бежденным, ту же самую проблему и после долгих просьб передалее мне. Я был введен в заблуждение словами Луки Пачоли, кото-рый говорит, что нет общего решения такого рода уравнений,


и, хотя я обладал уже многими мною самим сделанными откры-тиями, я все же не отчаивался найти то, чего я не смел искать.Однако когда я получил эту главу и добрался до ее решения, тоя увидел, что с ее помощью можно многое сделать еще; и уже сповышенной уверенностью в своих делах я, при исследовании, от-крыл дальнейшее, частью сам, частью с Луиджи Феррари, моимбывшим учеником».

В модернизированном виде способ, которым Кардано нахо-дит решение уравнения (1), можно изложить следующим образом.Будем искать решение уравнения (1) в виде x = � − �. Тогдаx+ � = � и

x3 + 3x2�+ 3x�2 + �3 = �3: (4)

Поскольку 3x2�+3x�2 = 3x�(È+�) = 3x��, равенство (4) можнопереписать в виде

x3 + 3��È = �3 − �3: (5)

Попытаемся по паре (a; b) так подобрать пару (�; �), чтобы (5)совпало с (1). Для этого необходимо, чтобы пара (�; �) была ре-шением системы

3�� = a; �3 − �3 = b;

или равносильной ей системы

�3 · (−�3) = −a3

27; �3 + (−�3) = b:

По теореме Виета1 �3 и −�3 будут корнями вспомогательногоквадратного уравнения

y2 − by − a3

27= 0:

1Сам Виет (1540 { 1603) жил позже Кардано, но тот частный случай еготеоремы, который в школе называют теоремой Виета, был, по существу, из-вестен Кардано.


Поскольку мы ищем положительные корни уравнения (1), � > �.Значит,

�3 =b

2+

√b2

4+a3

27; −�3 =

b

2−√b2

4+a3

27:

Следовательно,

x =3

√b

2+

√b2

4+a3

27−

3

√b

2−√b2

4+a3

27:

При положительных a и b корень È также положителен.Приведенная выкладка лишь в идейном отношении следует хо-

ду рассуждений Кардано. Сам он рассуждает на геометрическомязыке: если куб со стороной � = �+x разрезать плоскостями, па-раллельными граням, на куб со стороной � и куб со стороной x,получатся, кроме двух кубов, три прямоугольных параллелепипе-да со сторонами �, �, x и три|со сторонами �, x, x; соотношениемежду объемами дает (4); для перехода к (5) параллелепипедыразных типов попарно объединяются. «Так как я сознавал, чтотот отдел, который передал мне Тарталья, был открыт им припомощи геометрического доказательства, то я думал, что это иесть царский путь, ведущий ко всем другим отделам». Возможно,Кардано было известно аналогичное рассуждение для квадратно-го уравнения, принадлежащее Ал-Хорезми.

Уравнение (2) можно решить при помощи подстановки x == � + �, но здесь уже может возникнуть случай, когда исходноеуравнение имеет три действительных корня, а вспомогательноеквадратное уравнение не имеет действительных корней. Это такназываемый неприводимый случай. Он доставил много хлопотКардано (и, вероятно, Тарталье).

Кардано решил уравнение (3), проведя смелое по тем време-нам рассуждение, обыгрывающее отрицательность корня. Никтодо него не пользовался так решительно отрицательными числа-ми, хотя и Кардано еще далек от свободного обращения с ними:уравнения (1) и (2) он рассматривает отдельно!


Кардано полностью разобрался и с общим кубическим урав-нением x3 + ax2 + bx + c = 0, заметив, говоря на современномязыке, что подстановка x = y − a=3 уничтожает член с È2.

Кардано решается рассматривать не только отрицательныечисла (он называет их «чисто ложными»), но и комплексные (ихон называет «поистине софистическими»). Он замечает, что еслис ними оперировать по некоторым естественным правилам, токвадратному уравнению, не имеющему действительных корней,можно приписать комплексные корни. Возможно, к комплекснымчислам Кардано пришел в связи с неприводимым случаем. (Этопредполагает, например, Н.Бурбаки.) Если в этом случае «не пу-гаясь» выполнить все действия над возникающими в процессевычислений комплексными числами, то в результате получатсяправильные значения вещественных корней. Но нет никаких ука-заний на то, что Кардано вышел в своих рассмотрениях за пре-делы квадратных уравнений. Однако приведенное рассуждение окубическом уравнении вскоре появилось| у Рафаэля Бомбелли(1526 { 1573), последователя Кардано| инженера-гидравлика изБолоньи и автора знаменитой «Алгебры» (1572 г.).

Кардано понимал, что кубическое уравнение x3+ax2+bx+c == 0 может иметь три вещественных корня, и что тогда их суммаравна −a. В такого рода общих утверждениях у Кардано не бы-ло предшественников. В алгебре в отличие от геометрии почтине приводили доказательств (в школьной математике следы это-го сохранились по сей день!). Вот еще одно наблюдение Кардано:если в уравнении (с положительными коэффициентами) все членыв левой части имеют большую степень, чем все члены в пра-вой, то имеется единственный положительный корень. От «Ве-ликого искусства» идет целый ряд важных для алгебры понятий,например, кратность корня. Вообще, значение Кардано в исто-рии математики определяется в первую очередь не конкретнымидостижениями (которых у него не очень много), а тем, что в «Ве-ликом искусстве» он увидел путь, по которому будет развиватьсяалгебра.


Замечание о формуле Кардано. Проанализируем формулу для ре-шения уравнения x3+px+ q = 0 в вещественной области. В отли-чие от Кардано мы можем себе позволить не следить за знакамиp и q. Итак,

x =3

√−q2+

√q2

4+p3

27+

3

√−q2−√q2

4+p3

27:

При вычислении x нам приходится извлекать вначале квадрат-ный корень, а затем кубический. Мы сможем извлечь квадратныйкорень, оставаясь в вещественной области, если ´ = 27q2+4Ò3 >> 0. Два значения квадратного корня, отличающиеся знаком,фигурируют в разных слагаемых для x. Значение кубическогокорня в вещественной области единственно и получается един-ственный вещественный корень x при ´ > 0.

Исследуя график кубического трехчлена x3+px+q, нетрудноубедиться, что он в самом деле имеет единственный веществен-ный корень при ´ > 0. При ´ < 0 имеются три вещественныхкорня. При ´ = 0 имеются двукратный и однократный веще-ственные корни, а при p = q = 0|трехкратный корень x = 0.

Продолжим исследование формулы при ´ > 0 (случай одноговещественного корня). Оказывается, что если при этом уравне-ние с целыми коэффициентами имеет целочисленный корень, привычислении его по формуле могут возникнуть промежуточныеиррациональности. Например, уравнение x3 + 3x − 4 = 0 име-ет единственный вещественный корень x = 1. Формула Карданодает для этого единственного вещественного корня выражение

x =3

√2 +

√5 +

3

√2−

√5:

Значит,3

√2 +

√5 +

3

√2−

√5 = 1;

но попробуйте это доказать непосредственно! Возможно, вы най-дете искусственный путь, но при прямых преобразованиях будутвозникать неистребимые кубические радикалы.


Быть может, это обстоятельство объясняет, почему Фиорене смог решить предложенное Тартальей кубическое уравнение.Вероятно, его можно было решить, угадав ответ (что имел в ви-ду Тарталья), а рецепт дель Ферро приводил к промежуточнымиррациональностям.

Еще запутаннее ситуация в случае трех вещественных корней.Этот случай называется неприводимым. Здесь ´ = 27q2+4Ò3 < 0,и под знаками кубических корней получаются комплексные чи-сла. Если извлечь кубические корни в комплексной области, топосле сложения мнимые части уничтожаются и получатся веще-ственные числа. Но как свести все к операциям над веществен-ными числами? Например, извлечение квадратного корня

√a+ ib

можно свести к чисто вещественным операциям над a и b. Еслибы так обстояло дело с вычислением 3

√a+ ib = u+ iv, то все бы-

ло бы в порядке. Но при выражении u, v через a, b возникаютснова кубические уравнения, причем в неприводимой ситуации.Получается заколдованный круг! В результате в неприводимомслучае нельзя найти выражение для корней через коэффициенты,не выводящие за пределы вещественной области. В этом смыслекубическое уравнение с тремя вещественными корнями неразре-шимо в радикалах в вещественной области (в отличие от ква-дратного). На это обстоятельство часто не обращают должноговнимания.

Уравнение 4-й степени. В «Великом искусстве» был отражен иличный вклад Феррари|решение уравнения 4-й степени.

На современном языке метод Феррари решения уравнения

x4 + ax2 + bx+ c = 0 (6)

(полное уравнение четвертой степени легко сводится к уравне-нию (6)) состоит в следующем.

Введя вспомогательный параметр t, перепишем уравнение (6)в равносильной форме:(

x2 +a

2+ t)2

= 2tx2 − bx+(t2 + at− c+

a2

4

): (7)


Подберем теперь значение параметра t так, чтобы квадратный(относительно x) трехчлен, стоящий в правой части уравне-ния (7), имел два совпадающих корня. Для этого нужно, чтобыдискриминант этого трехчлена равнялся нулю:

b2 − 4 · 2t(t2 + at− c+

a2

4

)= 0:

Мы получили вспомогательное кубическое уравнение для t. Най-дем по формуле Кардано какой-нибудь его корень t0. Уравне-ние (7) можно теперь переписать так:(

x2 +a

2+ t0

)2= 2t0

(x− b

4t0

)2(8)

Уравнение (8) распадается на пару квадратных уравнений, даю-щих четыре искомых корня.

Таким образом, согласно методу Феррари, решение уравне-ния четвертой степени сводится к решению вспомогательногокубического уравнения и двух квадратных уравнений.

Феррари и Тарталья. После встречи в 1539 г. Кардано и Тарта-лья переписывались мало. Однажды ученик сообщил Тарталье,что, по слухам, Кардано пишет новую книгу. Тарталья сразупишет Кардано предостерегающее письмо, но получает успока-ивающий ответ. В другой раз Кардано захотел получить разъ-яснения, натолкнувшись на неприводимый случай, но ничего со-держательного в ответ не получил. Нетрудно себе представить,какое впечатление произвел на Тарталью выход в свет «Великогоискусства» (1545 г.). В последней части своей книги «Проблемы иразличные изобретения» (1546 г.) Тарталья публикует перепискуи записи бесед, относящихся к взаимоотношениям с Кардано, иобрушивается на него с бранью и упреками. Кардано не реагиру-ет на выпад, но 10 февраля 1547 г. Тарталье отвечает Феррари.Он возражает против упреков Тартальи, указывает на недочетыв его книге, в одном случае упрекает его в присвоении чужо-го результата, в другом находит повторения, свидетельствую-щие о плохой памяти (похоже, что по тем временам это тяжелое


обвинение). В заключение Тарталья вызывается на публичныйдиспут по «геометрии, арифметике или связанным с ними дисци-плинам таким, как Астрология, Музыка, Космография, Перспек-тива, Архитектура и др.». Он готов дискутировать не только отом, что написано в этих областях греческими, латинскими илиитальянскими авторами, но и о работах самого Тартальи, ес-ли тот, в свою очередь, согласится обсуждать работы Феррари.

По традиции в ответ на «картель» (вызов) посылались «вопро-сы». Они и появились 19 февраля. Тарталья хочет втянуть в пе-репалку самого Кардано: «Я писал Вам в таком горячем и оскор-бительном тоне для того, чтобы заставить его светлость (а неВас) собственноручно написать кое-что, ибо у меня с ним старыесчеты». Обсуждение условий поединка затягивается. Тартальяначинает понимать, что Кардано останется в стороне. Тогда онначинает подчеркивать несамостоятельность Феррари, именуяего «созданием (креатурой) Кардано», как тот сам назвал себя впервом картеле. Все вопросы адресованы им обоим: «Вы, мессерДжероламо, и Вы, мессер Луиджи». В переписке содержится мно-го интересного. Например, во втором картеле воспроизводитсяякобы услышанный Феррари разговор Кардано и Тартальи: «такчто Вам нужно еще?|Я не хочу, чтобы мое открытие было рас-пространено. | А почему? | Для того чтобы никто не мог имвоспользоваться. | В самом деле почему, если мы рождены нетолько для нас самих, но и для нашей родины и всего человече-ства, почему ты не хочешь, если уж тебе удалось сделать нечтоценное, чтобы этим могли воспользоваться и другие?».

Полтора года продолжалась переписка, и вдруг Тарталья ре-шительно согласился на поединок в Милане. В чем дело? Тем вре-менем он получил лестное приглашение в родную Брешию (март1548 г.), где он должен был читать публичные лекции (чего рань-ше ему не доводилось) и вести частные занятия, «в которых будутпринимать участие лишь некоторые доктора и люди с определен-ным весом». Дела шли не слишком успешно, и есть мнение, чтоТарталью заставили принять вызов его покровители в надежде,что победа упрочит его положение. Диспут состоялся 10 августа1548 г. в Милане в присутствии многих знатных особ, в том чи-


сле губернатора Милана, но в отсутствие Кардано. О диспутесохранились лишь короткие записи Тартальи, по которым по-чти невозможно восстановить истинную картину. Похоже, чтоТарталья потерпел сокрушительное поражение. Но не следует за-блуждаться | диспут не имел никакого отношения к проблеме,из-за которой возник спор, да и вообще диспуты имели столь жемалое отношение к выяснению истины, как дуэли. Трудно былокосноязычному Тарталье противостоять перед публикой блестя-щему молодому Феррари.

Дальнейшая судьба героев. Тарталья не удержался в Брешии; че-рез полтора года он вернулся в Венецию, не получив даже гонора-ра за лекции. Поражение в диспуте очень повредило ему. В концежизни (он умер в 1557 г.) начал выходить «Общий трактат очисле и мере», издание которого закончилось уже после смертиТартальи. В трактате очень мало говорится о кубических урав-нениях, а никаких следов большого трактата по новой алгебре, окотором Тарталья говорил всю жизнь, не было обнаружено в еготщательно сохраненном наследстве.

Напротив, Феррари получил после поединка большую извест-ность. Он читает публичные лекции в Риме, руководит налого-вым управлением в Милане, получает приглашение на службу ккардиналу Мантуи, участвует в воспитании сына короля. А вотследов в науке он больше не оставил! Умер Феррари в 43 года(1565 г.); по легенде его отравила сестра. Говоря о его смерти,Кардано вспоминает стихи римского поэта Марциала:

Необычайным дан век короткий и изредка старость.То, что ты любишь, желай, чтобы не нравилось так1.

Дольше их обоих прожил Кардано. Но конец его жизни был не-легким. Один его сын (врач Джамбаттиста, на которого Кардановозлагал большие надежды) отравил из ревности жену и был каз-нен в 1560 г. От этого удара Кардано долго не мог оправиться.Другой его сын|Альдо|стал бродягой и ограбил собственного

1Перевод А. А. Фета.


отца. В 1570 г. сам Кардано был посажен в тюрьму, а его иму-щество было конфисковано. Причина его ареста неизвестна |возможно, инициатива принадлежала инквизиции. В ожиданииареста Кардано уничтожил 120 своих книг. Кончил свои дниКардано в Риме, на положении «частного человека» (его выра-жение), получающего скромную пенсию от папы. Последний годсвоей жизни Кардано посвятил составлению автобиографическойкниги «О моей жизни». Последний упоминаемый в ней факт да-тируется 28 апреля 1576 г., а 21 сентября Кардано умер.

В автобиографии Кардано четыре раза вспоминает Тарта-лью. В одном месте он одобрительно приводит его мысль, что«никто не знает всего, а тем более не знает ничего тот, кто самне подозревает, что многого не знает». В другом месте говорит-ся, что Тарталья предпочел иметь в нем «соперника и победителя,а не друга и человека, обязанного благодеяниями». Еще Тартальяоказывается в списке критиков Кардано, которые «не вышли запределы грамматики». И, наконец, на самых последних страни-цах мы читаем: «Сознаюсь, что в математике кое-что, но в самомделе ничтожное количество, я заимствовал у брата Никколо». По-хоже, что неспокойно было у Кардано на душе!

Эпилог. О проблеме «Кардано {Тарталья» надолго забыли. Фор-мулу для решения кубического уравнения связывали с «Великимискусством» и постепенно стали называть формулой Кардано,хотя какое-то время фигурировало имя дель Ферро, авторствокоторого подчеркивал сам Кардано. Такого рода несправедли-вость в присвоении имени | вещь нередкая (можно вспомнить,например, аксиому Архимеда, на открытие которой он не пре-тендовал).

К проблеме авторства формулы для кубического уравнениявернулись в начале XIX века. Обнаружилось существование оби-женного Тартальи, который к тому времени был практическизабыт. Почти забытая история получила огласку, и за честь Тар-тальи были готовы сражаться не только профессионалы, но илюбители. Уж очень привлекательным был детективный компо-нент истории. Сколько лет должно было действовать обещание


Кардано? Является ли шесть лет достаточным сроком давно-сти? Почему Тарталья десять лет не публиковал своей формулы?Впрочем, при многократных передачах и проникновении в по-пулярную литературу история сильно упростилась, и Карданопорой превращался в авантюриста и злодея, укравшего у Тарта-льи его открытие и давшего этому открытию свое имя. Как мывидели, дело обстояло сложнее и такая интерпретация по мень-шей мере огрубляет картину.

Дело было не только в желании восстановить истинную кар-тину событий в ситуации, когда их участники несомненно неговорили всей правды. Для многих было важно установить сте-пень вины Кардано. Этот вопрос наталкивается на вечно зло-бодневный вопрос о праве собственности на научное открытие.Что касается сегодняшней практики, то бросается в глаза раз-ница между правами ученого и изобретателя. Ученый не можетконтролировать дальнейшее использование опубликованных ре-зультатов, он может претендовать лишь на упоминание его име-ни. Это одна из причин засекречивания открытий. На рубежеСредних веков и Возрождения поводом к засекречиванию мате-матических результатов было их использование в поединках.

К концу XIX века часть дискуссии стала носить характерсерьезных историко-математических исследований. Некоторыеоригинальные материалы были впервые опубликованы («Карте-ли» и «Вопросы»). Математики поняли, какую большую роль внауке XVI века сыграли работы Кардано. Стало ясно то, что ещераньше отмечал Лейбниц: «Кардано был великим человеком привсех его недостатках; без них он был бы совершенством».

Крупнейший историк математики Мориц Кантор (1829{1920;не путать с создателем теории множеств Георгом Кантором),автор многотомной истории математики, очень высоко ценилКардано, не без сожаления констатируя, что его человеческиекачества оставляли желать лучшего («гений, но не характер»).Кантор высказал предположение, имевшееся уже у Феррари, чтоТарталья не переоткрыл правило дель Ферро, а узнал его в го-товом виде из вторых рук. Он отмечал, что у Тартальи не былосколько-нибудь значительных математических работ, а по пово-


ду кубических уравнений в публикациях и оставшихся рукописях,кроме самого правила и фактов, которые могли быть заимство-ваны из ранее вышедшего «Великого искусства», имеются лишьэлементарные замечания. Разумеется, это не доказательство, ктому же у Тартальи были безусловные заслуги за пределамиматематики. Кантору казалось также подозрительным, что ре-шения Тартальи и дель Ферро похожи друг на друга, как двекапли воды. Кантору возражал Энестрем, который даже про-вел что-то вроде следственного эксперимента, показывавшего,что такое совпадение возможно. Многое сделал для выясне-ния неясных мест Бортолетти: он привел рассуждения, которыемогли бы подкрепить ряд высказываний Тартальи, казавшихсябезответственными.

Полтора века то утихают, то вновь разгораются страсти. Неугасает желание получить однозначный ответ на вопрос, у ко-торого такого ответа, может быть, просто не существует. А заформулой для решения кубического уравнения прочно укорени-лось название «формула Кардано».

Добавление. По страницам книги Джероламо Кардано«О моей жизни»

За четыре месяца до смерти Кардано закончил автобиографию,которую он напряженно писал весь последний год и котораядолжна была подвести итог его сложной жизни. Он чувствовалприближение смерти. По некоторым сведениям его собственныйгороскоп связывал его кончину с 75-летием. Он умер 21 сен-тября 1576 г. за два дня до годовщины. Имеется версия, чтоон покончил с собой в ожидании неминуемой смерти или дажечтобы подтвердить гороскоп. В любом случае Кардано-астрологотносился к гороскопу серьезно. В своей книге он описыва-ет ожидание смерти в 44 года, как предвещал предыдущийгороскоп.

Кардано волнует, удалась ли его жизнь. С одной стороны, онживет на скромную папскую пенсию в Риме, в вынужденном уда-лении от городов, где прошла лучшая часть его жизни, недавно


побывал в тюрьме, несчастлив в детях. С другой стороны, Кар-дано уверен в своей значительности. Он критически оцениваетмногое из своего прошлого, хотя нетрудно обнаружить места, гдеему удается убедить себя в своей правоте. Ведущая идея Карда-но| предопределенность его жизни. Отсюда подробный анализвлияния звезд, взаимоотношений с «гением-хранителем», скрупу-лезный учет примет и предзнаменований, мелких событий, позво-ляющих построить логически стройную картину жизни. В неко-тором смысле цель Кардано | пользуясь искусством ученого иастролога, подробно проанализировать самого себя как объектвоздействия высших сил. В науке устанавливался новый стиль,когда выводы делались исходя из предъявляемых фактов. Поэто-му Кардано снабжает читателя подробными сведениями о своихфизических особенностях, режиме питания, привычках и т. д.,чтобы автор и читатель имели равные возможности для выво-дов. Книга Кардано | замечательный литературный памятникXVI века, она позволяет узнать очень много о том, как воспри-нимал жизнь один из умнейших людей своего времени.

Книга Кардано была переведена на русский язык в 1938 г. ииздана в Гослитиздате.

Посмотрим, что рассказывает Кардано о себе. Кое-что ужеприводилось в основном тексте. «Имея в виду, что из всего того,что может быть достигнуто человеческим умом, нет ничего от-раднее и достойнее познания истины, и что ни одно из созданийсмертных людей не может быть завершено, не подвергнувшисьхотя бы в малой степени клевете,|мы, по примеру мудрейшегои, без сомнения, совершеннейшего мужа Антонина Философа ре-шили написать книгу о собственной жизни. Мы заверяем, что ни-чего не внесли в нее ради хвастовства или из желания что-нибудьприукрасить»|так начинается эта книга. Кардано подробно го-ворит о своей родине (Милане), своих предках. Сообщает о своемрождении: «я родился 24 сентября 1500 г. (по-видимому, здесьописка: Кардано родился в 1501 г. | С. Г.) на исходе первогочаса ночи, когда прошло уже более его половины, но шла еще по-следняя его треть 〈: : :〉, я родился с курчавыми волосами и без


признаков жизни; меня привели в чувства лишь ванной из тепло-го вина, что для другого могло оказаться гибельным». Подробноописывается положение Марса, Меркурия и Луны, которое пред-вещало, что он «непременно должен был родиться уродом 〈: : :〉,чего едва не произошло». Положение «зловещих планет»|Вене-ры и Меркурия|предвещало, что ему «будут присущи некотораяхитрость и отсутствие свободы духа, а вместе с тем склонностьк опрометчивым и необдуманным решениям».

В отдельной главе описываются родители: «Мой отец, вопре-ки обычаям нашего города, одевался в красную суконную оде-жду, хотя сохранил черный цвет для своего исподнего платья.Он был косноязычен; лицо у него было румяное, а глаза беле-соватые 〈: : :〉; с пятидесятилетнего возраста лишился всех своихзубов1. Особенное предпочтение отдавал он сочинениям Евкли-да; ходил, согнув спину». Удивительные подробности! «Мать моябыла вспыльчива, обладала очень хорошей памятью и даровито-стью, была невысокого роста, скорее тучная, и отличалась бла-гочестием».

Далее дается краткое описание жизни Кардано, после чегонаступает черед его наружности. Вот несколько деталей: «Я сред-него роста, с короткими и широкими у основания ступнями ног ис настолько высоким подъемом, что я никогда не мог найти длясебя обуви 〈: : :〉 Грудь у меня несколько впалая, руки довольнотонкие, правая рука потолще 〈: : :〉Шея довольно длинная и худая;подбородок раздвоен, нижняя губа толстая и отвислая. Глаза моиочень невелики и как бы прищурены, исключая те случаи, когдая что-нибудь пристально рассматриваю 〈: : :〉 Волосы на голове ибороде были прежде белокурые 〈: : :〉 Старость изменила бороду,а волосы на голове | мало» и т. д. Кардано описывает болезни,которыми он страдал, и сообщает: «Теперь у меня осталось здо-ровых четырнадцать зубов и один больной, но я думаю, что и ондолго еще сохранится благодаря лечению». Всего у него десятьнедугов, десятый| бессонница, от которой он лечится воздер-жанием от пищи.

1В другом месте сказано, что после попытки отравления.


Кардано сообщает, что он от природы труслив, но приобрелмужество благодаря телесным упражнениям, что он остается вкровати десять часов, а спит|восемь, что он предпочитает ры-бу мясу, перечисляет 21 сорт рыбы, которые он употребляет впищу, причем у крупной рыбы он ест «голову и брюхо, а у мел-кой| спину и хвост».

«Желание увековечить свое имя возникло во мне столь жерано, сколь поздно я оказался в состоянии выполнить свое на-мерение 〈: : :〉 ожидая чего-то от будущего, мы презираем насто-ящее», | читаем мы. Случайности, козни противников да соб-ственные астрологические изыскания, утверждавшие, что он недоживет до 45 лет, мешали стремлению Кардано увековечитьсвое имя. Все изменилось, когда оказалось, что предсказания несбываются. Кардано решительно меняет образ жизни. Он чи-тает лекции рано утром. «После того я шел гулять в тени загородской стеной, обедал и затем занимался музыкой; после это-го я шел удить рыбу 〈: : :〉; потом я занимался научной работойи писал, проводя свои вечера дома». Кардано объясняет, поче-му он предпочел медицину профессии юриста, как того хотелотец: «медицина одинакова и пригодна для всего земного шараи для всех веков; она опирается на доказательства более ясныеи менее зависящие от мнения отдельных людей». Он рассказыва-ет об успехах в преподавании и диспутах: «в Болонье я освоилсяс импровизационной речью, так как почти всегда читал лекциибез подготовки 〈: : :〉 И хотя это порождало очень высокое мнениеобо мне, однако в моей речи отсутствовало изящество и не былоистинного красноречия в изложении мыслей».

Своеобразен перечень добродетелей: «Как бы меня иной разни соблазняла благосклонность судьбы и многочисленные моиуспехи, я тем не менее никогда не изменял своего поведения 〈: : :〉Точно так же я не изменял своего платья на более богатое 〈: : :〉Более чем в чем-нибудь ином я был постоянен в занятиях, в осо-бенности в писании книг 〈: : :〉 Я никогда не порывал уз дружбы,и если их приходилось порывать, то никогда не выдавал тайнсвоих бывших друзей». Подробно описываются друзья и покро-вители, но демонстративно не перечисляются враги и соперники.


Впрочем, они неоднократно появляются на страницах книги, втом числе уже в следующей главе «Клеветы, сплетни и козни».

Кардано начинает с козней и испытывает некоторые затруд-нения при выборе примеров: он хотел бы говорить о больших искрытых кознях, но козни, которые уже обнаружились, нельзясчитать скрытыми, а большие козни трудно скрыть. Пофило-софствовав, он выбирает случай при получении профессорскогоместа в Болонье, когда распустили слухи, что он «читает передпустыми скамьями, что он человек дурных нравов и для всех не-приятен; отличается тупоумием и весьма развратен; также малосведущ в искусстве врачевания и не имеет никакой практики».Всему бы поверили, если бы папский легат в Болонье не вспо-мнил, что Кардано вылечил его мать. Это подорвало доверие костальной информации. Впрочем козни продолжались и в Боло-нье, и Кардано в конечном счете от должности отказался, хотя иуспокаивал себя: «все это закончилось в угоду тем, кто этого такдобивался, но совсем не в их пользу». Что касается «клевет и лжи-вых поношений», то Кардано не останавливается на конкретныхслучаях, считая, что «они больше мучили совесть их распростра-нителей», а ему доставили больший досуг для написания книг,«способствовали приобретению многих тайных знаний», и он непитает «ненависти к своим обвинителям».

Коротко перечисляются увлечения: перочинные ножи (на нихистрачено больше двадцати золотых дукатов), различного ро-да перья (более двухсот дукатов), драгоценные камни, посуда,шарики из расписного стекла, редкие книги, плавание, рыбнаяловля, философия Аристотеля и Плотина, мистика, стихи Пет-рарки и т. д.. Одиночество он предпочитал компании, не толькоиз-за преданности науке, а из нежелания терять время. О при-страстии к игре в шахматы и кости уже говорилось.

Отдельная глава посвящена одежде. Кардано находит у Гора-ция описание, очень его напоминающее. Достаточно длинные рас-суждения со ссылками кончаются констатацией, что надо иметь«по четыре пары платья: пару теплого, пару самого теплого, парулегкого и пару самого легкого. Таким образом, получится четыр-надцать различных сочетаний». Описывается походка, указыва-


ется, что причиной ее неровности являются постоянные размыш-ления. Обсуждаются взаимоотношения с религией и философией,подчеркивается влияние Платона, Аристотеля, Плотина и осо-бенно Авиценны. Перечисляются «особые правила», усвоенные втечение жизни: благодарить Бога и просить его о помощи, неограничиваться возмещением потерь и убытков, беречь время,почтительно относиться к старикам, «по возможности предпо-читать верное неверному», «не упорствовать в проведении того,что идет дурно» и т. д. Кардано перечисляет дома, в которыхон жил, красочно описывает свою бедность и потерю отцовскогонаследства.

Кардано подробно пишет о жене и детях. Он пишет, что ви-дел будущую жену во сне до того, как с нею познакомился, и сонпредвещал несчастный брак. Уже говорилось о судьбе его детей.Описываются путешествия, в основном в связи с врачебной дея-тельностью, объясняется польза путешествий.

Самая большая глава посвящена опасностям и случайностям.Кардано подробно описывает их, видимо, внушая читателю, чтоза этим могут стоять более глубинные явления. («Эти событияне должны были бы возбуждать удивления, если бы у нас не бы-ло налицо частых примеров».) Почти в одном и том же месте ончудом трижды избежал опасности: от упавшего со стены камня,от огромного куска штукатурки и от перевернувшейся повозки,дважды он чуть не утонул при очень романтических обстоятель-ствах. Кардано подвергался нападению бешеных собак, провали-вался в яму, падал с повозки на полном ходу, подвергался опасно-сти заражения чумой. Эти истории читаются как детективныерассказы. После этого доходит очередь до страшных козней, ко-торые придумывали конкуренты-врачи в Павии: тут и клевета, вкоторую вовлекли мужа дочери, и бревно, которое могло упастьпри входе в Академию, и попытка отравить, предварительно уда-лив мальчиков, которые пробовали пищу. Однако все неожиданнокончалось болезнью или даже смертью врагов. В Риме Карданопреследуют опасности из-за незнания улиц и «варварских обыча-ев римских жителей». Но, наконец, он решает, что его охраняет


провидение и перестает бояться опасностей. И вот итог: «кто неувидит в этом предвестия или некоторого рода обеспечения моейбудущей славы?».

Кардано включает в книгу этюд о счастье с примерами изжизни. Он перечисляет оказанные ему почести, в основном лест-ные приглашения. С другой стороны, перечисляются неприятныеэпизоды в его врачебной практике, обсуждается их связь со сна-ми. Неожиданно речь заходит о родовом гербе Кардано, в кото-рый он в день ареста решил добавить ласточку: «ибо считал еево многих отношениях олицетворяющей мой собственный нрав ипривычки». Спорное сравнение! Кардано перечисляет своих учи-телей и учеников.

И опять Кардано повествует об удивительных своих свой-ствах и происшествиях: в детстве его посещали видения из воз-душных колечек; у него не могли согреться ноги ниже колен; в егоприсутствии не проливалась кровь (он стал даже нарочно вмеши-ваться в драки и ни разу не был ранен); события, предвещавшиегибель старшего сына; и, наконец, многочисленные сновидения,которые предшествовали истинным событиям. Очень красочныописания снов, содержащие многочисленные подробности.

Далее перечисляются десять наук, которые постиг Кардано, иописываются сорок избранных случаев из его медицинской прак-тики. А затем идет глава: «Явления, по-видимому, естественные,но поразительные». И вот первое из этих явлений: «я родилсяв век, когда был открыт весь земной шар, тогда как в древ-ности было известно лишь немного более одной трети». Крометого, обрушился его дом, но уцелела спальня, дважды загораласьего постель и т. д. Подробно анализируется дар предсказания,постоянно проявлявшийся в его жизни, от медицины до карточ-ной игры.

В заключительной части книги опять идет речь о сверхъесте-ственных случаях, обсуждаются научные достижения, перечисля-ются его книги. Кардано вновь говорит о себе самом, о своемдухе-хранителе, перечисляет отзывы о себе, рассуждает «о делахмира сего», несколько страниц занимают изречения, которыми


следует руководствоваться. Вот примеры: «Друзья в несчастииподают помощь, льстецы|совет», «Знаменитому человеку следу-ет жить там, где имеет пребывание его государь», «Когда ты хо-чешь мыться, сначала приготовь полотенце, чтобы вытереться»,«Зло должно лечить добром, а не злом». За изречениями следует«Плач об умершем сыне». В конце речь снова идет о недостаткахавтора, о переменах, связанных с возрастом, и об «особенностяхобхождения».

ДВА РАССКАЗА О ГАЛИЛЕЕ

1. Открытие законов движения

Первые основы динамики были заложены Галилеем. Действиесил до него рассматривали исключительно в случае их рав-новесия; и хотя ускоренное движение свободно падающих тели криволинейное движение брошенных тел также приписыва-ли постоянно действующей силе тяжести, но никому не уда-лось установить законов указанного обыденного явления, за-висящего от столь простой причины. Галилей первый сделалэтот шаг и открыл новую и безграничную область для разви-тия механики. Это открытие 〈: : :〉 составляет теперь наиболеезначительную и непререкаемую часть заслуг этого великогочеловека. В самом деле, чтобы открыть спутники Юпитера,фазы Венеры, солнечные пятна и т. д., требуется не толькотелескоп и наблюдательность, но нужен исключительный ге-ний, чтобы установить законы природы на явлениях, которыевсегда были у всех перед глазами и тем не менее ускользалиот внимания философов. Лагранж

Пролог. Винченцо Галилей, известный во Флоренции музыкант,долго размышлял над тем, какое поприще выбрать для своегостаршего сына Галилео. Сын, безусловно, был способен к музы-ке, но отец предпочитал что-нибудь более надежное. В 1581 г.,когда Галилео исполнилось семнадцать лет, чаша весов склони-лась в сторону медицины. Винченцо понимал, что расходы пообучению будут велики, зато будущее сына будет обеспечено. Ме-стом обучения был выбран Пизанский университет, быть может,несколько провинциальный, но хорошо знакомый Винченцо. Ондолго жил в Пизе, там же родился Галилео.

45

46 Галилео Галилей (1564 { 1642)

Галилео Галилей

Путь к профессии врача былнелегок. Перед тем как при-ступить к изучению медици-ны, надо было выучить, а точ-нее | вызубрить философиюАристотеля. В его учении го-ворится буквально обо всем.По мнению Галилея, «нет, ка-жется, ни одного достойноговнимания явления, мимо кото-рого он (Аристотель) прошелбы, не коснувшись его». Фило-софия Аристотеля в то времяпреподавалась в чудовищнойформе: в виде набора выска-зываний, считавшихся исти-нами в последней инстанции,лишенных мотивировок и до-

казательств. О несогласии с Аристотелем не могло быть и речи.Более всего интересует Галилея то, что пишет Аристотель о фи-зике окружающего мира, но он не хочет слепо верить каждомуслову великого философа; он усвоил это, изучая его логику: «СамАристотель научил меня удовлетворять свой разум только тем,в чем убеждают меня рассуждения, а не только авторитет учи-теля». Он читает и других авторов, среди которых наибольшеевпечатление на него производят Архимед и Евклид.

Тайны движения. Из всего, что происходит в окружающем ми-ре, наибольший интерес Галилея вызывали разнообразные дви-жения. Он по крупицам собирает все, что написано о движении удревних, но с сожалением констатирует: «В природе нет ничегодревнее движения, но именно относительно него написано весьмамало значительного». А вопросы возникают у пытливого юношина каждом шагу. . .

«В 1583 г., имея около двадцати лет от роду, Галилей находил-ся в Пизе, где, следуя совету отца, изучал философию и медицину.

Открытие законов движения 47

Однажды, находясь в соборе этого города, он, со свойственнойему любознательностью и смекалкой, решил наблюдать за дви-жением люстры, подвешенной к самому верху,|не окажется липродолжительность ее размахов, как вдоль больших дуг, так ивдоль средних и малых, одинаковой; ибо ему казалось, что про-должительность прохождения большой дуги может сократитьсяза счет большей скорости, с которой, как он видел, движетсялюстра на более высоких и наклонных участках. И пока люстраразмеренно двигалась, он сделал грубую прикидку| его обыч-ное выражение|того, как происходит движение взад и вперед,с помощью биения собственного пульса, а также темпа музыки,в которой он тогда уже был искушен с немалою от того для себяпользой. И ему на основании таких подсчетов показалось, чтоон не заблуждается, подсчитав, что времена одинаковы, но неудовлетворенный этим, вернувшись домой, он, чтобы надежнеев этом удостовериться, решил сделать следующее. Он привязалдва свинцовых шара на нитях совершенно одинаковой длины так,чтобы они могли свободно раскачиваться 〈: : :〉 и, отклоняя их отвертикали на разное число градусов, например один шар на 30,другой на 10, он отпускал их в одно и то же мгновение. С по-мощью товарища он наблюдал, что, пока один маятник делалтакое-то число колебаний по большим дугам, другой делал в точ-ности столько же по малым.

Сверх того он сделал два сходных маятника, только достаточ-но разной длины. Он наблюдал, что, пока малый маятник делалкакое-то число колебаний, например 300, по большим дугам, боль-шой за то же время делал всегда одно и то же число колебаний,скажем 40, как по своим большим дугам, так и по совсем малень-ким, и повторив это несколько раз 〈: : :〉, он заключил отсюда, чтовполне одинакова продолжительность размахов одного и того жемаятника, будут ли они весьма велики или весьма малы, и что по-чти нет при этом заметных различий, каковые надо приписатьпомехе со стороны воздуха, который больше противится быстреедвижущемуся тяжелому телу, чем медленнее движущемуся.

Он видел также, что ни различие в абсолютном весе, ни раз-ный удельный вес шаров не вызывали заметного изменения |


все шары, лишь бы они были на нитях равной длины от их цен-тров до точек подвеса, сохраняли достаточно постоянно равен-ство (времени) прохождения по всяким дугам; лишь бы не былвзят легчайший материал, движению которого в воздухе легчепрепятствовать, так что оно быстрее сводится к покою».

Приведенный рассказ принадлежит ученику Галилея Винчен-цо Вивиани (1622 { 1703), который в 1639 г. в семнадцатилетнемвозрасте прибыл на виллу Арчетри близ Флоренции, где находил-ся Галилей после приговора инквизиции. Через два года там по-явился Эванджелиста Торричелли (1608{1647). Оба они помогалиослепшему ученому завершать его замыслы; ряд результатов ониполучили под влиянием Галилея (знаменитые барометрическиеопыты, исследование циклоиды). По-видимому, Вивиани был осо-бенно близок Галилею, который охотно беседовал с ним на разныетемы, часто вспоминая о далеком прошлом. Потом Вивиани поразным поводам пересказывал услышанное им в те дни. Эти рас-сказы не считаются достаточно достоверными, причем не всегдаясно, кто явился источником неточностей: рассказчик или слу-шатель. Увековечение памяти учителя было главной целью жизниВивиани.

Вернемся к рассказу Вивиани. В нем речь идет об открытииизохронного свойства маятника: при фиксированной длине пери-од колебаний маятника не зависит от их амплитуды. Поучитель-но, как Галилей следил за временем: при помощи музыки и пульса(кажется, на этот способ первым указал Кардано). Нам, людямXX века, привыкшим к ручным часам, не следует забывать обэтих трудностях. Достаточно точные часы были сконструиро-ваны как раз на основе открытого Галилеем свойства маятника(мы еще будем иметь возможность говорить о маятниковых ча-сах). Кстати, в своих лабораторных экспериментах, о которыхпойдет речь ниже, Галилей пользовался для измерения временимедленно вытекающей струей воды (вариантом водяных часов).

Галилей обнаруживает связь между длиной маятника и часто-той его колебаний: квадраты периодов колебаний относятся каких длины. Вивиани пишет, что Галилей получил этот результат,«руководствуясь геометрией и своей новой наукой о движении»,


но никто не знает, каким мог быть такой теоретический вывод,Быть может, все же Галилей подметил закономерность экспери-ментально. Галилей, по-видимому, не знал, что колебания маят-ника изохронны лишь для малых углов отклонения. При боль-ших углах период начинает зависеть от угла отклонения, и для60◦, например, период заметно отличается от периода для малыхуглов. Галилей мог бы заметить это в серии опытов, описанныхВивиани. Неточность утверждения Галилея об изохронности ма-тематического маятника обнаружил Гюйгенс.

Занятия медициной шли не очень успешно, хотя Галилео стре-мился оправдать надежды и затраты отца. Все же в 1585 г. онвозвращается во Флоренцию, не получив диплома доктора. ВоФлоренции Галилей продолжает заниматься математикой и фи-зикой, вначале втайне от отца, а потом при его согласии. У Га-лилео появляются контакты с учеными, в том числе с маркизомГвидо Убальдо дель Монте. Благодаря поддержке последнего то-сканский герцог Фердинандо Медичи в 1589 г. назначил Галилеяпрофессором математики Пизанского университета. В Пизе Га-лилей находился до переезда в 1592 г. в Падую. Восемнадцатьлет, прожитых в Падуе, Галилей считал самым счастливым пе-риодом в своей жизни. С 1610 г. и до конца жизни он|«философи первый математик светлейшего великого герцога тосканского».И в Пизе, и в Падуе изучение движений|главное дело Галилея.

Свободное падение. Галилея интересует прежде всего свобод-ное падение | одно из самых распространенных естественныхдвижений. Как и полагалось в то время, начать нужно с то-го, что по этому поводу говорил Аристотель. «Тела, имеющиебольшую силу тяжести или легкости, если в остальном они име-ют одинаковую фигуру, скорее проходят равное пространство втом пропорциональном отношении, в каком указанные величи-ны относятся друг к другу». Значит, по Аристотелю скоростипадающих тел пропорциональны их весу. Второе утвержде-ние состоит в том, что скорости обратно пропорциональны«густоте среды». С этим утверждением возникли сложности,поскольку в пустоте, «густота» которой равна нулю, скорость


должна была бы быть бесконечной. На это Аристотель за-явил, что в природе пустоты не бывает («природа боится пу-стоты»).

Первое утверждение Аристотеля оспаривалось иногда уже вСредние века. Но особенно убедительной была критика Бенедет-ти, ученика Тартальи и современника Галилея, с трактатом кото-рого Галилей познакомился в 1585 г. Вот как выглядит основноеопровержение. Пусть имеются два тела|тяжелое и легкое: пер-вое должно падать быстрее. Теперь соединим их. Естественнопредположить, что легкое тело притормозит тяжелое и скоростьпадения должна стать промежуточной между скоростями паде-ния составляющих тел. Но по Аристотелю скорость должна статьбольше, чем скорость каждого тела! Бенедетти решает, что ско-рость падения зависит от удельного веса и даже прикидывает,что для свинца она в 11 раз больше, чем для дерева. В суще-ствование зависимости скорости от удельного веса долго верили Галилей.

Он приступил к изучению свободного падения еще в Пизе.Вот что пишет Вивиани: «Галилей целиком отдался размышлени-ям, и к великому смущению всех философов им была показана,посредством опытов, солидных доказательств и рассуждений,ложность множества заключений Аристотеля, касающихся дви-жения, считавшихся до этого совершенно очевидными и несо-мненными. Сюда относится положение, что движущиеся тела,состоящие из одного и того же вещества, но имеющие разныйвес, находясь в одной и той же среде, не обладают скоростя-ми, пропорциональными их весу, как полагал Аристотель, новсе движутся с одинаковой скоростью. Это он доказывал не-однократными экспериментами, производившимися с высотыПизанской башни, в присутствии других лекторов и философови всей ученой братии». Галилея до сих пор часто рисуют кида-ющим шары с Пизанской башни. Эта легенда обросла многимипикантными подробностями (например, о кабатчике, распус-кавшем слухи, что профессор Галилей будет прыгать с башни).Заметьте, что пока речь идет только о телах из одного и того жевещества.


Галилея занимает наблюдение Бенедетти, что скорость сво-бодного падения увеличивается по мере движения тела. И Гали-лей решает найти математически точное описание этого изме-нения скорости. Здесь следует сказать, что первоначально Гали-лей видел свою задачу в том, чтобы математизировать физикуАристотеля: «Философия написана в величайшей книге, котораяпостоянно открыта нашим глазам (я говорю о Вселенной); нонельзя ее понять, не научившись сперва понимать язык и раз-личать знаки, которыми она написана. Написана же она языкомматематическим, и знаки ее суть треугольники, круги и другиематематические фигуры». Однако скоро стало ясно, что матема-тизация требует систематического пересмотра всех фактов.

Как же найти закон изменения скорости свободного падения?Эксперимент только начинал входить в практику научного ис-следования. Для Аристотеля и его последователей он считалсялишним и недостойным занятием как при установлении истины,так и при ее проверке. Галилей мог бы попытаться проделатьсерию экспериментов со свободно падающими телами, провеститщательные измерения и искать закономерность, которая их объ-ясняет. Так современник Галилея Кеплер, обрабатывая многочи-сленные наблюдения Тихо Браге, обнаружил, что планеты дви-жутся по эллипсам. Но Галилей выбирает другой путь. Он решаетвначале угадать закон из общих соображений, а уже затем про-верить его экспериментально. Раньше никто так не поступал, нопостепенно такой план исследований станет одним из ведущихпри установлении научных истин.

Теперь о том, как Галилей попытался угадать закон. Он ре-шает, что природа «стремится применять во всех своих приспо-соблениях самые простые и легкие средства», а значит, и законнарастания скорости должен происходить «в самой простой иясной для всякого форме». Но раз скорость растет с ростом прой-денного пути, то что может быть проще предположения о том,что скорость пропорциональна пути: v = cs, c|постоянное чи-сло. Это предположение испугало его поначалу: ведь получается,что падение начинается с нулевой скоростью, а кажется, что ско-рость с самого начала велика. Но вот какое рассуждение убедило


его, что противоречия нет: «Если груз, падающий на сваю с высо-ты четырех локтей, вгоняет последнюю в землю приблизительнона четыре дюйма,| при падении с высоты двух локтей он вго-няет ее в землю меньше и, конечно, еще меньше при падении свысоты одного локтя или одной пяди, и когда, наконец, груз па-дает с высоты не более толщины пальца, то производит ли он насваю больше действия, чем если бы он был положен без всякогоудара? Еще меньшим и совершенно незаметным будет действиегруза, поднятого на толщину листа. Так как действие удара нахо-дится в зависимости от скорости ударяющего тела, то кто можетсомневаться в том, что движение чрезвычайно медленно и ско-рость минимальна, если действие удара совершенно незаметно?»

Галилей долго исследовал различные следствия из сделанногопредположения и неожиданно обнаружил, что. . . по такому за-кону движение вообще происходить не может! Давайте и мыпопытаемся понять, в чем дело. Коэффициент пропорциональ-ности зависит от выбора единицы времени. Будем считать дляпростоты, что c = 1, путь измеряется в метрах, а время в секун-дах. Тогда во все моменты времени v = s.

Рассмотрим точку A, находящуюся на расстоянии 1Í от на-чала O. Прикинем, через какое время от начала движения телоокажется в этой точке. В точке A скорость равна 1Í=Ó. Возьмемточку á1, лежащую посередине между началом ï и á. На отрезкеá1á мгновенная скорость будет меньше 1Í=Ó, и на отрезок дли-ной 1=2Í потребуется больше 1=2 Ó. Возьмем теперь точку A2|посередине между O и A1. На отрезке A2A1 мгновенная скоростьбудет меньше 1=2Í=Ó (все точки находятся от O на расстоянии,меньшем 1=2Í), и на отрезок A2A1 длиной 1=4Í уйдет опять бо-лее 1=2 Ó. Вы уже, конечно, догадались, как мы будем рассуждатьдальше: точка A3|середина отрезка OA2, на отрезок A3A2 дли-ной 1=8Í при скорости, меньшей 1=4Í=Ó, опять-таки уйдет более1=2 Ó и т. д. Процесс деления можно продолжать неограниченно,и мы можем набрать любое число отрезков, на прохождение ко-торых уходит больше 1=2 Ó, так и не добравшись до O. Значит,тело из O попасть в A вообще не может!


Мы предположили, что A находится на расстоянии 1Í от O.Но аналогично показывается, что вообще ни в какую точку телоиз O попасть не может. Вот с какого замечательного рассужде-ния началась классическая механика!

Впрочем сам Галилей публикует по этому поводу неубеди-тельное рассуждение. Он пытается прийти к противоречию, счи-тая, что раз скорость пропорциональна пути, то любые отрезкиот начала должны проходиться за одно и то же время, что невер-но. То ли Галилей еще не привык работать с мгновенной скоро-стью, то ли первоначально у него было другое рассуждение, кото-рое он уже не смог восстановить, когда после долгого перерывазаписывал эти результаты в преклонном возрасте (мы увидим,почему это получилось). От него осталось немало утверждений,либо лишенных мотивировок, либо снабженных сомнительнымирассуждениями.

Ну что же, у Галилея были все основания обидеться на ковар-ство природы, которая не выбрала самого простого пути. Однаковера в разумность природы у Галилея не угасла. Он рассматри-вает не менее простое предположение, что нарастание скоростипроисходит пропорционально времени: v = at. Такое движениеон назвал естественно ускоренным, но прижился термин «рав-номерно ускоренное движение». Галилей рассматривает графикскорости на отрезке времени от 0 до t и замечает, что есливзять моменты времени t1, t2, равноотстоящие от t=2, то на-сколько в t1 скорость меньше at=2, настолько в t2 она больше.Отсюда он делает вывод, что в среднем скорость равна at=2,а пройденный путь равен at=2 · t = at2=2 (не слишком строгоерассуждение!). Значит, если рассмотреть равноотстоящие от-резки времени t = 1; 2; 3; 4; : : : , то отрезки пути, пройденныеот начала, будут относиться как квадраты натуральных чисел1; 4; 9; 16 : : : , а отрезки, пройденные между соседними момента-ми отсчета,|как нечетные числа 1; 3; 5; 7; : : :

Еще раз проследим за логикой Галилея. Прежде всего он раз-деляет вопросы «как» и «почему». Для последователей Аристотеляответ на первый вопрос должен быть непосредственным след-ствием ответа на второй. Галилей же, трезво оценив свои возмож-


ности, не разбирается в природе возникновения ускоренного дви-жения при свободном падении, а пытается лишь описать закон,по которому оно происходит. Принципиальное значение имеетпоиск простого общего принципа, из которого этот закон можновывести. Он ищет «принцип, совершенно несомненный, которыйможно принять за аксиому». Высказывания Галилея из письмаПаоло Сарпи (осень 1604 г.) можно интерпретировать так, чтоон уже знал закон изменения пути при свободном падении, ноне был удовлетворен тем, что не может вывести его из казавше-гося несомненным принципа: «Тело, испытывающее естественноедвижение, увеличивает свою скорость в той же пропорции, чтои расстояние до исходного пункта».

Здесь важно было выбрать основную независимую перемен-ную, относительно изменений которой рассматриваются измене-ния всех величин, характеризующих движение. Очень естествен-но, что первоначально в качестве такой переменной выбираетсяпройденный путь: ведь наблюдатель видит, как нарастает ско-рость по мере увеличения пройденного расстояния. Сказывалось,что измерение времени еще не играло значительной роли в жизнилюдей, не было точных, доступных часов. Мы не всегда отдаемсебе отчет, насколько постепенно ощущение постоянно текущеговремени внедрялось в человеческую психологию. Галилей проявилбольшую гибкость, сравнительно быстро переориентировавшисьс пути на время. В 1609 { 1610 гг. он открыл верный принциправноускоренности свободного падения (относительно времени!).

Не следует переоценивать окончательный характер понятийскорости и ускорения у Галилея. Понятие мгновенной непрерыв-но меняющейся скорости нелегко ощутить, и оно медленно заво-евывало права гражданства. Трудно было удостовериться, чтоотказ от скачкообразного изменения скорости не приводит кпротиворечиям, которыми были переполнены рассуждения о не-прерывных процедурах. Нам сегодня трудно оценить смелостьГалилея, так решительно оперирующего с переменной скоростью.Ему не поверили такие мастера аналитических рассуждений, какКавальери, Мерсенн, Декарт. Последний категорически не при-


нимал движения с нулевой начальной скоростью, при которомтело «проходит через все стадии медленности». Еще более сло-жен процесс вычисления пути при переменной скорости, кото-рый требует интегрирования. Галилей владел им лишь в вариан-те, близком к технике Архимеда или к «неделимым» Кавальери.В рассматриваемом случае он применяет искусственный прием,делая не вполне обоснованный переход к средней скорости, а за-тем пользуется привычной формулой для равномерного движе-ния. От открытия закона свободного падения отсчитывает своюисторию не только новая механика, но и новый математическийанализ. Что касается ускорения, то, поскольку Галилей ограни-чился только равноускоренным случаем, он не нуждался в общемпонятии. Ускорение свободного падения как универсальная кон-станта у Галилея еще не появляется.

Что касается роли силы в возникновении неравномерного дви-жения, то здесь высказывания Галилея лишены полной ясности.Он отвергает принцип Аристотеля, что скорость пропорциональ-на действующей силе, утверждая, что при отсутствии сил со-храняется равномерное прямолинейное движение. Закон инерции(первый закон Ньютона) носит имя Галилея. Галилей постояннообращается к примеру со снарядом, который летел бы по прямой,если бы не испытывал земного притяжения. Он пишет, что «сте-пень скорости, обнаруживаемая телом, нерушимо лежит в самойего природе, в то время как причины ускорения или замедле-ния являются внешними», «движение по горизонтали являетсявечным, ибо если оно является равномерным, то оно ничем неослабевается, не замедляется и не уничтожается». Галилей в «По-слании к Инголи» поэтически описывает разнообразные явленияна борту равномерно прямолинейно движущегося корабля, кото-рые не позволяют обнаружить это движение: капли воды попа-дают точно в горлышко подставленного сосуда, камень с мачтыпадает вертикально вниз, вверх поднимается дым, бабочки лета-ют с одинаковой скоростью во всех направлениях и т. д. Созда-ется ощущение, что Галилей уверенно придерживался принципаинерции в «земной» механике, но не был столь последователен внебесной (об этом речь впереди).


A

B

E1

E2E3

E4

F1

F2 F3

F4

Рис. 1.

Ньютон приписывал Галилею нетолько первый закон механики,но и второй, хотя это и бы-ло преувеличением: четкой свя-зи между силой и ускорением(когда они отличны от нуля) уГалилея не было. В том, что ка-сается свободного падения, Га-лилей дал исчерпывающий от-вет на вопрос «как», но не далответа на вопрос «почему».

Движение по наклонной плос-кости. Своим основным выво-дом Галилей считал утвержде-ние, что падающее тело проходит в последовательные равныепромежутки времени отрезки, пропорциональные последователь-ным нечетным числам. Он хочет проверить это. Но как это сде-лать? Нельзя же продолжать кидать шары с Пизанской башни,да он и жил уже в Падуе. В лаборатории же падение происхо-дит очень быстро. Но Галилей находит остроумный выход: онзаменяет свободное падение более медленным движением тел понаклонной плоскости. Он заметил, что из предположения о рав-ноускоренности свободного падения следует равноускоренностьдвижения тяжелой точки по наклонной плоскости. По существу,это привычное сегодня рассуждение с разложением сил, пока-зывающее, что тяжелая точка скатывается по наклонной плос-кости с постоянным ускорением g sin�, где �| угол наклонак горизонтали (g| ускорение свободного падения). Рассужде-ния Галилея более громоздки: он не вводит ускорение свобод-ного падения, а манипулирует, как это было принято тогда,с большим числом пропорций. Он выводит целый ряд следствийиз равноускоренности движения точки по наклонной плоскости,которые уже удобны для лабораторной проверки (если угол на-клона мал, то время скатывания велико). Центральное место за-нимает утверждение, что если наклонные плоскости имеют оди-


наковую высоту, то времена скатывания относятся как прой-денные пути (почему?). Движение по наклонной плоскости пред-ставляет для Галилея самостоятельный интерес. Он делает це-лый ряд наблюдений. Например, если точки двигаются по хор-дам окружности AEi, BFj , AB|вертикальный диаметр, то всевремена скатывания равны времени свободного падения по AB(докажите!). Довольно сложное рассуждение приводит Галилей вдоказательство того, что если A, B, C|последовательные точкина окружности, то точка по ломаной ABC скатывается быстрее,чем по хорде AC. С этим связана известная ошибка Галилея: онсчитал, что быстрее всего точка скатывается по четверти окруж-ности, в то время как этим свойством обладает дуга циклоиды.

Движение брошенных тел. Такое движение Галилей называл при-нужденным (в отличие от свободного падения). Аристотель счи-тал, что тело, брошенное под углом к горизонту, движется вна-чале по наклонной прямой, затем по дуге окружности и, наконец,по вертикальной прямой. Возможно, Тарталья был первым, ктоутверждал, что траектория брошенного тела «не имеет ни однойчасти, которая была бы совершенно прямой».

Теорию «принужденного» движения Галилей построил сразуже за теорией свободного падения. Путь, по которому он дви-гался, был прежним: теория (модель явления) предшествовалаэкспериментам. Догадка Галилея была гениально простой: дви-жение тела, брошенного под углом к горизонту, складывается изравномерного прямолинейного движения, которое имело бы ме-сто, не будь силы тяжести, и свободного падения. В результатетело движется по параболе. Отметим, что в этом рассуждениисущественно используется закон инерции|закон Галилея.

В рассмотрении сложного движения у Галилея был гениаль-ный предшественник, служивший для него образцом: «я хочутрактовать и рассматривать это явление в подражание Архиме-ду в его

"Спиральных линиях\, где, заявив, что под движением

по спирали он понимает движение, слагающееся из двух равно-мерных, одного | прямолинейного, а другого | кругового, оннепосредственно переходит к демонстрации выводов». Речь идет


о так называемой спирали Архимеда, которую описывает точка,движущаяся по радиусу вращающегося круга (муха к центруграммофонной пластинки).

Пользуясь свойствами параболы, Галилей составил «таблицудля стрельбы, имеющую важное практическое значение». Неда-ром Падуя принадлежала Венецианской республике, и Галилейподдерживал постоянные контакты с венецианским арсеналом.Ряд утверждений Галилея, полученных теоретическим путем, до-пускает экспериментальную проверку. Он доказал утверждениеТартальи о том, что угол в 45◦ отвечает наибольшей дальностиполета, и показал, что для углов, дающих в сумме 90◦, дальностиполета одинаковы (при фиксированной величине скорости).

Галилей и Кеплер. Открытия Галилея должны были поразить егосовременников. Конические сечения (эллипсы, параболы, гипер-болы)| вершина греческой геометрии|казались плодом мате-матической фантазии, не имеющим отношения к действительно-сти. И вот Галилей доказал, что параболы неминуемо возникаютв совершенно «земной» ситуации. (Еще в XIX веке Лаплас при-водил применение конических сечений как самое неожиданноеприменение чистой математики.) Замечательно, что буквально вте же самые годы конические сечения возникли совсем в другойзадаче и не менее удивительным образом. В 1604{1605 гг. ИоганнКеплер (1571{1630) обнаружил, что Марс движется по эллипсу,у которого в фокусе находится Солнце (через десять лет Кеплерраспространил это утверждение на все планеты). Это совпаде-ние знаменательно, и для нас эти два открытия стоят рядом, нодо Ньютона, вероятно, никто серьезно не сопоставлял эти ре-зультаты. Более того, Галилей не признавал закона Кеплера, ао своем открытии Кеплеру не сообщал, несмотря на регулярнуюпереписку (оно было опубликовано уже после смерти Кеплера).

Галилей и Кеплер долгие годы переписывались. Кеплер былдля Галилея одним из самых близких по духу ученых. Прежде все-го было существенно, что Кеплер безоговорочно принимал систе-му Коперника. Еще в 1597 г. Галилей (в связи с получением книги«Тайна мироздания») делится с Кеплером сокровенным желани-


ем опубликовать свои аргументы в пользу системы Коперника.Он пишет: «я до сих пор не решился опубликовать их из боязнистолкнуться с той же судьбой, которая постигла нашего Копер-ника, хотя и заслужившего бессмертную славу среди немногих,но представлявшегося большинству заслуживающим освистанияи осмеяния, до того велико количество глупцов. Я бы все же ре-шился выступить с моими размышлениями, если бы было большетаких людей, как Вы, поскольку же это не так, я избегаю касать-ся указанной темы». Кеплер посылает в ответ страстный призыв:«Оставь колебания, Галилей, и выступай вперед!» Он предлагаетобъединиться: «Если я не ошибаюсь, среди видных математиковЕвропы немного таких, кто захочет отделиться от нас». А книгуне обязательно печатать в Италии, можно и в Германии. В дале-кой Праге проблема виделась не так, как в Италии, где шестойгод ждал в тюрьме своей участи Джордано Бруно.

Очень поучителен путь, которым шел Кеплер к своему откры-тию. У Кеплера как ученого было два лица. С одной стороны, этобыл великий фантазер, пытавшийся постичь величайшие тайнымироздания. Он был уверен, что самая великая тайна, открыв-шаяся ему, состояла в следующем. Существует шесть планет,потому что существует пять правильных многогранников! «Мненикогда не удастся найти слов, чтобы выразить свое восхищениеэтим открытием». Кеплер располагает шесть сфер, перемежая ихразличными правильными многогранниками так, что в каждуюсферу один многогранник вписан, а другой | описан. Сферамон ставит в соответствие последовательные планеты. В порядкемногогранников особый таинственный смысл (куб отвечает Са-турну, тетраэдр|Юпитеру|и т.д.). Отношения радиусов сферКеплер сравнивает с известными относительными размерами ор-бит и странным образом получает не очень большое расхожде-ние (кроме как для Меркурия). Эти рассуждения, опубликован-ные в книге «Тайна мироздания», были многими благожелательновстречены, не вызвали возражений у Галилея, а «король астроно-мов» Тихо Браге пригласил Кеплера сотрудничать с ним.

С этим приглашением связана другая сторона научной жизниКеплера, так не похожая на первую. Он скрупулезно обрабаты-


вает многочисленные наблюдения Тихо Браге, которые обладалиневиданной точностью для наблюдений, не использующих теле-скопов (их точность оценивают в ±25′′). Он должен пересмо-треть орбиты планет, пользуясь наблюдениями Тихо Браге. По-видимому, Тихо Браге (Кеплер называл его «Фениксом астроно-мии») рассчитывал получить подтверждение своей компромисс-ной теории, по которой Солнце движется вокруг Земли, а осталь-ные планеты|вокруг Солнца. Но Кеплер проводил вычисленияв рамках системы Коперника.

Поскольку Коперник, подобно Птолемею, собирал орбитыпланет из кругов, в его системе сохранились эпициклы. Кеп-лер хочет упростить систему (его итоговый труд, вышедшийв 1618{1621 гг., назывался «Сокращение коперниковой астроно-мии»). Удивительным образом орбита Земли почти не отличаетсяот окружности, однако Солнце несколько смещено относитель-но центра. Все это знал Коперник, но Кеплер уточнил величинусмещения. Он внимательно изучил неравномерный характер дви-жения Земли по орбите и долго искал закономерность в этомдвижении. Он пробовал обратно пропорциональную зависимостьот расстояния до Солнца, ряд других возможностей, пока необнаружил закон площадей (2-й закон Кеплера). Затем Кеплервычисляет орбиту Марса и сравнивает ее с разными кривыми.Он проявляет поразительную трезвость и доверие к результатамнаблюдений. Один раз он отверг гипотезу, обнаружив расхо-ждение в 8′ с данными Тихо Браге (такое расхождение почтинезаметно для невооруженного глаза). «Он ясно сознавал, чтотеоретические, логико-математические построения, безразличнонасколько прозрачные, не могут сами по себе гарантироватьистину, что самые логические теории не имеют ни малейше-го значения в естественных науках без сравнения с точнейшимопытом» (Эйнштейн). Кеплер перебрал разнообразные овалы и,наконец, обнаружил, что годится эллипс с Солнцем в фокусе. «Непереставая ощупывать все места окружающего мрака, я вышел,наконец, на яркий свет истины». Не правда ли, путь Кеплерамало напоминал путь Галилея. Галилей в большей степени шелот общих принципов и качественных результатов. На склоне


лет Галилей вспоминал: «Я всегда ценил Кеплера за свободный(пожалуй, даже слишком) и острый ум, но мой метод мышлениярешительно отличен от его, и это имеет место в наших работахоб общих предметах. Только в отношении движений небесныхтел мы иногда сближались в некоторых схожих, хотя и немно-гих концепциях, отличающихся общностью оценки отдельныхявлений, но это нельзя обнаружить и в одном проценте моихмыслей».

Галилей считал, что в мире царит равномерное круговое дви-жение и не поверил ни в эллиптические орбиты, ни в неравномер-ное движение планет по орбитам, не приняв к сведению данныхнаблюдательной и вычислительной астрономии.

Кеплер был первым, кто рассматривал взаимное притяже-ние тел, связывал его с движением: он даже высказал гипотезуо характере убывания взаимодействия с расстоянием (как 1=r,что неверно). Он принимал объяснение приливов лунным при-тяжением. Все это было совершенно неприемлемо для Галилея,отрицавшего дальнодействующие силы, в частности, попыткиобъяснять земные явления влиянием небесных тел. Особенно этоотносилось к приливам, которые Галилей ошибочно считал важ-нейшим доказательством движения Земли. Объяснения указан-ного типа Галилей отождествлял с астрологией, в которой собы-тия в человеческой жизни объясняются влиянием планет. «Средивеликих людей, рассуждавших об этом поразительном явленииприроды, более других удивляет меня Кеплер, который, обла-дая умом свободным и острым и будучи хорошо знаком с дви-жениями, приписываемыми Земле, допускал особую власть Лу-ны над водой, сокровенные свойства и тому подобные ребяче-ства». Кеплер оказался прав, но реальные аргументы появилисьпозднее.

Следует иметь в виду, что рассуждения Кеплера о взаимномпритяжении содержат много путаницы. В одном отношении онсерьезно отставал от Галилея: он считал, следуя Аристотелю, чтоскорость пропорциональна силе.


Механика земная и механика небесная. К 1610 г. Галилей полу-чил в механике результаты, к которым шел 20 лет. Он начинаетработать над всеобъемлющим трактатом, но неожиданные собы-тия отвлекают его от этих занятий более чем на 20 лет! Галилейпостроил телескоп и в начале 1610 г. открыл спутники Юпите-ра. Весь этот год астрономические открытия следовали одно задругим. Галилей полагает, что у него появились решающие до-казательства в пользу системы Коперника. Следующие 23 годажизни он целиком посвятил утверждению этой системы, пока в1633 г. приговор инквизиции не прервал эту деятельность. Всеэти годы Галилей вспоминает о механике постольку, посколькуэтого требует разработка «Системы мира». Временами его но-вая философия даже входит в противоречие с результатами о«земных» движениях. Так, он не находит во Вселенной, «где всечасти находятся в отличнейшем порядке», места для прямоли-нейного движения, которое в этих условиях представляется ему«излишним и неестественным». Причина в том, что движение попрямой не может быть периодическим, и состояние Вселеннойдолжно все время меняться. Он оставляет место прямолиней-ному движению лишь в неустойчивых ситуациях, а в природедолжно царить круговое движение. Открытый им закон инерциидля «местных движений» Галилей считает справедливым лишьвблизи Земли.

Также приближенным считает Галилей закон движения бро-шенных тел по параболе. Он считает, что на самом деле траек-тория должна быть такова, чтобы заканчиваться в центре Зем-ли. Из-за этого уже после открытия параболичности траекториион делал странные заявления о том, что движение брошенноготела должно происходить по дуге окружности или винтовой ли-нии. Это вызвало возражение Ферма, переданное через Каркави(1637 г.). В ответ Галилей объявляет свое высказывание «поэ-тической фикцией», обещает опубликовать утверждение о пара-боличности траектории, но в заключение пишет: «Никакого от-ступления от параболического движения не произойдет, пока мыпроизводим опыты на Земле, на высотах и расстояниях, нам до-ступных; но эти отступления будут заметны, велики и огромны


при подходе и значительном приближении к центру». Приближен-ный характер параболической траектории был прояснен Ньюто-ном, но ожидания Галилея не оправдались1.

Главный вопрос о движении, который интересовал Галилеявсе эти годы, был связан со стандартным возражением противни-ков движения Земли: почему предметы не улетают с движущейсяЗемли? У Галилея нет сомнений, что за это ответственна силатяжести, но как дать мотивированное объяснение? Пусть телодвижется по сфере радиуса R со скоростью v. Так начинает Га-лилей свои рассуждения. Зафиксируем начало отсчета. Если быне сила тяжести, тело продолжало бы прямолинейное движениепо касательной со скоростью v. Чтобы обеспечить движение посфере (удержать тело), надо добавить к этому движению дви-жение по направлению к центру. Привычное для Галилея рассмо-трение со сложением движений! Что оставалось сделать? Заме-тить, что (по теореме Пифагора) для второго движения путьs(t) =

√R2 + v2t2 − R, а если время t мало, то это почти то же

самое, что ~s(t) =v2t2

2R

(s− ~s

t2→ 0 при t → 0

). Теперь уже нельзя

не узнать формулы Галилея для пути при равномерно ускорен-ном движении с ускорением a = v2=2R. Ясно, что если g > Á, тотело будет удерживаться на поверхности сферы. Однако второйполовины рассуждения Галилей не провел, перейдя вместо это-го к очень путаным мотивировкам. А формулу для центростре-мительного ускорения на пути, намеченном Галилеем, получилГюйгенс в 1659 г.

«Беседы». В 1633 г. находясь в ссылке в Сиене, уже через не-сколько недель после приговора инквизиции и отречения, Галилейвспомнил о своих давних результатах по механике и решил немед-

1Поскольку Галилей надолго задержал публикацию, первое упоминание опараболической траектории появилось в 1632 г. в «Зажигательном зеркале»Кавальери, который очень ясно усвоил от Галилея идею сложения прямоли-нейных движений, принцип инерции. Галилея обидело отсутствие необходи-мых ссылок, он говорит об открытии параболичности траектории как глав-ной цели сорокалетних трудов. Извинения Кавальери быстро удовлетворилиГалилея.


ленно записать их. Он продолжает работу в Арчетри и Флорен-ции, несмотря на вынужденное одиночество, ухудшающееся здо-ровье, прогрессирующую слепоту. «Я хотя и молчу, но провожужизнь не совсем праздно»|писал Галилей. Книга «Беседы и ма-тематические доказательства, касающиеся двух новых отраслейнауки, относящихся к механике и местному движению» была за-кончена в 1636 г., с большими предосторожностями переправленаза границу (не ясно было, как отнесется к книге инквизиция)и вышла в Голландии в июле 1638 г. Как и предыдущая книга,явившаяся причиной преследования, «Беседы» написаны в фор-ме диалогов, которые в течение шести дней ведут те же самыегерои: Сальвиати (проводящий точку зрения автора), Сагредои Симпличио (сторонник Аристотеля; его имя переводится как«простак») . В третий и четвертый дни они читают трактат ака-демика (Галилея) «О местном движении» и подробно обсуждаютего. Кстати, в названии книги «механика» и «движение» разделе-ны, поскольку в те годы к механике было принято относить лишьстатику и сопротивление материалов. Выбранная автором фор-ма дискуссий позволяет многое узнать о том, как Галилей шел ксвоим открытиям.

Престарелый Галилей стремился реализовать свои давно оста-вленные замыслы. Но многое уже было ему не по силам, он ну-ждался в помощниках. Он поручает сыну Винченцо построитьчасы на основе открытого в юности свойства маятника, но емуне удалось увидеть свою идею осуществленной. Инквизиция огра-ничивает контакты Галилея с внешним миром. Уже после окон-чания «Бесед» на вилле Арчетри, которую Галилей называл своейтюрьмой, стали появляться желанные гости. Это старый друг иверный ученик Бенедетто Кастелли, Кавальери; а Вивиани и Тор-ричелли с некоторых пор не покидают учителя. Они помогали взавершении его дел, продолжали его исследования.

Так, Торричелли вычислил вектор скорости брошенного подуглом тела при помощи правила сложения скоростей, а посколькускорость направлена по касательной, он получил изящный способпроводить касательную к параболе. Наступала эра дифференци-ального и интегрального исчисления, и задачи о проведении


касательных к кривым выходили в математике на переднийплан. Разрабатывались различные способы их проведения. Од-ним из них стал кинематический способ, при котором криваяпредставлялась как траектория сложного движения, а каса-тельная находилась при помощи сложения скоростей, как этовпервые сделал Торричелли для параболы. Французский мате-матик Жиль Пирсон, более известный под именем Роберваль(1602 { 1675), творил при помощи этого приема чудеса. «Ме-ханические» кривые, полученные как траектории различныхдвижений, прочно вошли в обиход математического анализа.Стоит вспомнить, что сам Галилей сознательно ограничивалсебя рассмотрением движений, реально в природе встречаю-щихся: «Хотя, конечно, совершенно допустимо представлятьсебе любой вид движения и изучать связанные с ним явления(так, например, можно определить основные свойства винто-вых линий или конхоид, представив их себе возникающими врезультате некоторых движений, которые в действительностив природе не встречаются, но могут соответствовать предпо-ложенным условиям), мы тем не менее решили рассматриватьтолько те явления, которые действительно имеют место в при-роде». Пользу общего взгляда на движение продемонстрировалНьютон.

«Беседы» надолго определили развитие механики. Они былинастольной книгой для Гюйгенса и Ньютона, великих наследни-ков Галилея. Трудно себе представить, насколько бы задержалосьразвитие механики, если бы не произошли печальные события иГалилей так и не записал бы своих великих открытий.

Математическое добавление. У истории открытия закона свобод-ного падения есть еще одна сторона: это| история не только осовершившемся открытии, но и об открытии. . . упущенном. По-сле того как Галилей понял, что по закону v(t) = cs(t) движениепроисходить не может, он потерял интерес к этому закону. Егоинтересуют только естественные движения! Вскоре шотландскийлорд Непер заинтересовался движением, происходящим по анало-гичному закону.


Непер рассмотрел прямолинейное движение, происходящее позакону v(t) = l(t), где v(t)|мгновенная скорость в момент вре-мени t, а l(t)|это уже не пройденный путь, а расстояние движу-щейся точки в момент t от фиксированной точки O на прямой.Случай, рассмотренный Галилеем, отвечает ситуации, когда дви-жущаяся точка находится в начальный момент t = 0 в точке O,т. е. l(0) = 0, l(t) = s(t). У Непера l(0) > 0, l(t) = l(0) + s(t).

Оказывается, что при l(0) > 0 движение с такими свойства-ми в принципе происходить может и обладает замечательнымиматематическими свойствами (хотя «в природе и не происхо-дит»!). Исследуем его. Прежде всего, если начальное расстоя-ние l(0) умножить на c, то на Ó умножается расстояние l(t) искорости v(t) во все моменты времени. Строго говоря, это ну-ждается в обосновании! Но ясно, что при умножении l и v наконстанту закон v(t) = l(t) сохранится. Далее, ограничимся слу-чаем l(0) = 1. Тогда

l(t1 + t2) = l(t1)l(t2):

Наметим доказательство этого соотношения. Удобно объявитьмомент t1 новым началом отсчета времени. Тогда в силу сказан-ного выше в новый момент t2 (старый t1 + t2) расстояние до Oдолжно быть в l(t1) раз больше, чем в старый момент t2. Это иозначает, что l(t1+t2) = l(t1)l(t2). Так впервые появилась в наукепоказательная функция!

Имеем: l(t) = et, где e = l(1), т. е. это расстояние от O вмомент t = 1. Пользуясь тем, что e|расстояние от O в моментвремени t = 1, и тем, что v = l, нетрудно показать, что e > 2(докажите!). На самом деле e = 2;71828 : : : ; e стали называтьчислом Непера. Рассматривая движения, происходящие по законуv(t) = kl(t), можно получить показательные функции с другимиоснованиями.

Для всякого положительного a время t, для которого l(t) = a,назовем логарифмом (натуральным) a (обозначается ln a)1. В си-

1Рассмотрения Непера были не совсем такими, и неперовы логарифмыотличаются от натуральных.

Медичейские звезды 67

лу сказанного выше ln ab = ln a + ln b. Двадцать лет составлялНепер таблицы логарифмов, и в 1614 г. вышло «Описание уди-вительной таблицы логарифмов», предуведомление к которой со-держало извинения за неминуемые ошибки и кончалось словами:«Ничто сначала не бывает совершенным».

Открытие Непера замечательно не только тем, что он создалтаблицы логарифмов, но и тем, что он показал, что новые функ-ции могут появляться при изучении движений. Начиная с этихработ Галилея и Непера, механика стала для математики посто-янным источником новых функций и кривых.

2. Медичейские звезды

В ноябре 1979 г. Ватикан решил реабилитировать Галилео Га-лилея, осужденного судом инквизиции в 1633 г. Тогда Галилейбыл признан «сильно заподозренным в ереси», за то, что «дер-жался и защищал в качестве правдоподобного мнение 〈: : :〉, будтоСолнце есть центр мира и не движется, а Земля не есть центрмира и движется». На проходившем в ноябре 1979 г. заседанииВатиканской Академии наук, посвященной столетию Эйнштейна,папа Иоанн Павел II отметил, что Галилей «много страдал|мыне можем теперь скрывать этого| от притеснений со стороныцеркви», но, квалифицировав покаяние Галилея «как божествен-ное озарение в уме ученого», он утверждал, что трагедия Галилеяподтверждает «гармонию веры и знания, религии и науки». В ок-тябре 1980 г. появились сообщения, что папа распорядился про-вести дополнительное расследование обстоятельств процесса надГалилеем. Разговоры об оправдании Галилея шли еще на II Вати-канском соборе (1962|1965). Оправдание хотели приурочить к400-летию ученого в 1964 г., но, видимо, не успели, поскольку во-прос оказался небесспорным. При этом труды Галилея (наряду струдами Коперника и Кеплера) были удалены из «Индекса запре-тов» уже в 1835 г. Суд над Галилеем, его отречение не переста-вали волновать людей, часто далеких от науки, три с половинойвека. Характерно внимание, которое уделила этой проблеме худо-


жественная литература (достаточно вспомнить пьесу БертольдаБрехта «Жизнь Галилея»). Проблема Галилея жива и сегодня, не-смотря на недавнюю «реабилитацию» ученого.

На рубеже XVI и XVII веков с вопросом о системе мира де-ло обстояло не просто. В IV веке до н. э. Аристотель утверждал,что семь видимых светил равномерно вращаются вокруг Земли,причем вращаются на самом деле хрустальные сферы, к кото-рым они прикреплены, восьмую сферу занимают неподвижныезвезды. Астрологи классифицировали планеты так: два свети-ла|Луна и Солнце, две вредоносные планеты|Марс и Сатурн,две благоприятные |Юпитер и Венера и одна нейтральная |Меркурий.

Не в правилах Аристотеля, а особенно его последователей,было объяснять отклонения от его схемы| скажем, удивитель-ное «попятное» движение планет, когда в какой-то момент на-правление видимого движения планеты изменяется на противо-положное. Постепенно накапливались противоречия с точно за-фиксированными данными наблюдений. Во II веке н. э. Птолемейпостроил систему, максимально учитывающую данные наблюде-ний. При этом он считал, что планеты движутся по вспомога-тельным окружностям (эпициклам), центры которых (деферен-ты), в свою очередь, вращаются вокруг Земли. Желание учестьновые данные приводило ко все большему усложнению системы.Нужно отдать должное упорству и остроумию ученых, которымудавалось систему спасать.

Совершенно неожиданный путь предложил Николай Копер-ник (1473{1543). Его тщательно разработанная, согласованная снаблюдениями схема содержит все основные моменты сегодняш-него взгляда на Солнечную систему: вокруг Солнца вращаютсяпланеты, включая Землю; Земля, кроме того, совершает суточ-ное движение; Луна вращается вокруг Земли. При таком под-ходе все невероятно упростилось, хотя остались невыясненныемоменты при согласовании с данными наблюдений. По мнениюКоперника, движения планет близки к равномерным движениямпо окружности (как у Аристотеля), а несомненно имевшиеся от-клонения, по-видимому, опять требовали эпициклов, хотя их роль


уже была не столь существенна, как у Птолемея. Эпициклы исчез-ли лишь у Кеплера, открывшего эллиптичность орбит. СистемаКоперника не была чисто описательной теорией, основанной накачественных явлениях. Она содержала многочисленные вычи-сления: расстояния до Солнца, периоды обращений и т. д. Толькотакая теория могла конкурировать с теорией Птолемея, полноучитывавшей данные наблюдений.

На возможность движения Земли указывали еще пифагорей-цы. Поэтому церковь называла учение о движении Земли пифа-горейским. Имя Коперника в этом плане предпочитали не упо-треблять по следующей причине. Книге Коперника «Об обраще-нии небесных сфер» (вышедшей в год его смерти) было предпо-слано предисловие (возможно, написанное не самим Коперником),в котором его система объявлялась удобной математической схе-мой для астрономических вычислений и не больше. Рассматрива-емые в ней движения объявлялись воображаемыми. А значит, об«истинных» движениях речь в книге не идет. Это не функции ма-тематиков! Этот вопрос должны решать философы и богословыв соответствии со священным писанием. Книга была посвященапапе Павлу III. Такой компромисс устраивал церковь, и книга небыла объявлена еретической. Математикам можно было позво-лить пользоваться в их вычислениях воображаемыми схемами.Исключением не были и астрономы-иезуиты, которые пользова-лись таблицами Коперника, в частности, в расчетах, нужных дляреформы календаря.

Незыблемым должно было оставаться утверждение, что Земляпокоится, а Солнце движется. Даже в том, что касается осталь-ных планет, церковь не была столь бескомпромиссной (о них несказано в писании). Была проявлена терпимость к системе ТихоБраге, у которого Солнце движется вокруг Земли, а остальныепланеты вокруг Солнца. Тот же Тихо Браге по существу расстал-ся с хрустальными сферами, утверждая, что кометы не принад-лежат «подлунному миру», а прилетают извне (Галилей, кстати,придерживался иной точки зрения).

Итак, система Коперника|удобная математическая фикция,а учение пифагорейцев|ересь. Так проходила граница. На этот


компромисс и не готов был согласиться Галилей: «Коперника, намой взгляд, нельзя смягчить, ибо движение Земли и недвижи-мость Солнца|существеннейший пункт и общий фундамент егоучения. Поэтому его надо либо целиком осудить, либо оставитьтаким, как он есть!» Галилей настаивал, что движение Земли невоображаемое, а истинное. К решительной борьбе за гелиоцен-трическую систему мира Галилей шел непростой дорогой. Раноповерив в систему Коперника, он долго не решался опубликоватьсвои аргументы в ее пользу (об этом свидетельствует письмоКеплеру 1597 г.). XVII век начался сожжением Джордано Бруно,поэта и философа, грезившего об иных мирах, подобных Солнеч-ной системе. К 1610 г. Галилей подошел к пику своей научной де-ятельности: блестяще завершились его двадцатилетние исследо-вания естественных движений (свободного падения и движенияброшенного тела). Он начинает труд о своих великих открытияхи неожиданно оставляет его на неопределенный срок. Что же слу-чилось? В научной жизни Галилея произошли события, которыезаставили вполне практичного Галилея отодвинуть на второйплан публикацию открытий, которым была отдана молодость.Галилей решает, что у него появились решающие аргументы впользу системы Коперника, и отныне вся его жизнь нацелена напропаганду этих идей. Вспомним об этих важных аргументах.

«Новые очки». Рассказывая о жизни великих ученых, нередкоприходится обращать внимание на дела житейские. Более высо-кое жалование было одной из причин переезда Галилея из Пизыв Падую. Здесь его материальное положение стало более проч-ным. Первоначальное жалование в 180 флоринов, хотя и медленно,увеличивалось; дополнительный доход давали молодые аристо-краты, с которыми Галилей занимался отдельно и которые частожили в его доме. Однако тяжелым грузом легла на плечи Галилеявыплата приданого сестрам, да и его собственная семья росла итребовала все больше средств. В 1609 г. Галилей был озабоченочередными переговорами об увеличении жалования. Скупую ипрактичную синьорию Венецианской республики могло раскоше-лить какое-нибудь изобретение, имеющее несомненное практи-


ческое применение. Галилей был не чужд техническим задачам.В его доме была прекрасная мастерская, а недавно он сконстру-ировал удобный пропорциональный циркуль («геометрический ивоенный»), сам следил за его изготовлением и распространением.Можно было бы подумать о таблицах для стрельбы, основанныхна параболичности траектории полета снаряда. Но неожиданновозникла совсем другая идея.

В 1608 г. в Голландии появились зрительные трубы, позволя-ющие разглядывать отдаленные предметы; их называли иногда«новыми очками». Еще Леонардо да Винчи говорил об очках, по-зволяющих видеть Луну большой, а Роджер Бэкон об очках, дела-ющих человека размером с гору. Честь изобретения оспаривалимастера-оптики Липперсгей и Андриансен. К началу 1609 г. та-кую трубу можно было купить в Голландии за несколько сольдо.К середине года трубы появились в Париже. Генрих IV проявилпессимизм к новинке, объяснив, что в данный момент ему большенужны очки, увеличивающие близкие предметы, а не далекие. То-гда же какой-то чужестранец пытался продать зрительную трубуВенецианской республике, не вдаваясь в подробности по поводуее происхождения. Паоло Сарпи, друг Галилея, дал отрицатель-ный отзыв о возможностях использования зрительной трубы «навойне, на суше и на море». Первые трубы были еще очень несовер-шенны. Галилей услышал о трубах, когда находился в Венеции.

«Узнав об этом, я вернулся в Падую, где тогда проживал, иначал размышлять над задачей В первую же ночь после моеговозвращения я ее решил, а на следующий день изготовил инстру-мент, о котором и сообщил в Венецию тем же самым друзьям, скоторыми предшествующий день я рассуждал об этом предмете.Тотчас же я принялся за изготовление другого, более совершенно-го инструмента, который шесть дней спустя привез в Венецию».В другом месте ситуация описывалась еще более торжественнымобразом: «не жалея ни труда и ни средств, я достиг того, чтоизготовил инструмент, настолько совершенный, что при взгля-де через него предметы казались почти в тысячу раз крупнееи более чем в тридцать раз ближе, чем видимые естественным


образом. Совсем излишне было бы перечисление того, насколькоудобны такие инструменты как на суше, так и на море».

На самом деле характеристики труб были более скромными.Первая труба Галилея давала трехкратное увеличение, а труба,привезенная в Венецию, | восьмикратное. Галилей решил припомощи своей совершенной трубы расположить к своей просьбечленов синьории (быть может, это была идея Сарпи). 21 авгу-ста самые уважаемые люди Венеции рассматривали с колокольнисобора Св. Марка отдаленные кварталы города, а 24 августа Га-лилей торжественно передал свою трубу дожу Венеции ЛеонардоДонато. Галилей не скупился на рекламу своего подарка. Он гово-рит, что извлек его идею «из наиболее сокровенных соображенийо перспективе».

Потом много говорили, что Галилей переоценил свой вкладили даже присвоил себе чужое изобретение (об этом идет речьв пьесе Брехта). По крайней мере в публикациях Галилей все-гда признавал, что построил свою трубу, услышав об изобре-тении голландцев (но не имея подробной информации и не ви-дя «фламандской перспективы»). Позднее он подчеркивал ориги-нальность своего пути: «Теперь мы достоверно знаем, что голлан-дец | изобретатель телескопа был простым мастером, изгото-влявшим обыкновенные очки. Случайно перебирая стекла разныхсортов, он взглянул сразу через два стекла, одно выпуклое, дру-гое вогнутое, находившиеся на разных расстояниях от глаза, ипри этом увидел и наблюдал возникший эффект и таким образомоткрыл инструмент. Я же, движимый вышеупомянутым извести-ем, нашел инструмент путем рассуждения». Название «телескоп»предложил Чези (см. ниже) в 1611 г. во время демонстрациитрубы Галилея в Риме; раньше Галилей пользовался термином«перспектива». Можно считать, что Галилей продемонстрировалпревосходство теории над практикой: многие годы никто не могсоздать трубы, сравнимые по возможностям с трубами Галилея(из-за этого, в частности, не получали подтверждения астроно-мические наблюдения Галилея).

Труба Галилея выполнила свое назначение: ему было назначе-но пожизненно годовое жалование в тысячу флоринов, невидан-


ное для математика. Галилей должен был изготовить 12 труб длясиньории, а никому больше труб не предоставлять.

«Звездный вестник». Вскоре Галилей имел трубу с 20-кратнымувеличением, а потом он, «оставив дела земные 〈: : :〉, обратилсяк небесным». В конце 1609 г. Галилей рассматривает через тру-бу Луну и обнаруживает, «что поверхность Луны не гладкая ине ровная и не в совершенстве сферическая, как полагал в отно-шении ее целый легион философов, а, напротив того, неровная,шероховатая, испещренная углублениями и возвышенностями, на-подобие поверхности Земли». Кроме того, Галилей обращает вни-мание на пепельный свет на части Луны, не освещенной Солнцем.Он считает этот свет «отблеском Земли». Позднее оказалось, чтов то же время начали наблюдения небесных тел при помощи теле-скопа англичанин Харриот и его ученик Лоуэр (их наблюдения небыли известны современникам). Лоуэр писал в письме учителю,что Луна напомнила ему пирог с вареньем, испеченный его ку-харкой на прошлой неделе. О пепельном свете на Луне говорилиуже Леонардо да Винчи и Местлин, учитель Кеплера.

Затем перед глазами Галилея Млечный Путь распался на от-дельные звезды: «Все споры, в течение веков мучившие фило-софов, умолкли сами собой благодаря наглядности и очевидно-сти 〈: : :〉Млечный Путь представляет собой ничто иное, как скоп-ление бесчисленного множества звезд, как бы расположенных вкучах».

Наконец, 7 января 1610 г. Галилей направил телескоп в сторо-ну Юпитера. Вблизи Юпитера он обнаружил три звезды. Он несомневался, что видит обычные «неподвижные» звезды, но что-топривлекло его пристальное внимание. На следующую ночь Гали-лей, «водимый неизвестно какой судьбой», вновь рассматриваетЮпитер. Он имел все основания не сожалеть! Он вновь увиделзнакомые звезды, но. . . их положение относительно Юпитера из-менилось: вчера они располагались по разные стороны Юпитера,а сегодня| все были по одну сторону. Пока еще можно продол-жать считать звезды неподвижными, а изменение взаимного по-ложения объяснить движением Юпитера. 9 января «небо со всех


сторон было обложено тучами». 10 и 11 января Галилей нашелтолько две из трех звезд, а 13 января, напротив, появилась че-твертая.

Зреет новое решение: виденные им звезды перемещаются от-носительно Юпитера, это его спутники|луны,|и их исчезно-вение объясняется их затмением. К концу месяца Галилей уверенв этом, «переходя от ощущения загадки к чувству восхищения».Он пишет флорентийскому министру Винте: «Но наибольшим извсех чудес представляется то, что я открыл четыре новые пла-неты и наблюдал свойственные им их собственные движения иразличия в их движениях относительно друг друга и относи-тельно движений других звезд. Эти новые планеты движутсявокруг другой большой звезды таким же образом, как Венераи Меркурий и, возможно, другие известные планеты движутсявокруг Солнца». Нет сомнений, в каком контексте Галилей рас-сматривал свое открытие, но какую осторожную формулировкуупотребляет он пока в отношении «других известных планет»!

До 2 марта Галилей наблюдает за спутникамиЮпитера, поль-зуясь каждой безоблачной ночью, а уже 12 марта выходит егознаменитый «Звездный вестник, возвещающий великие и оченьудивительные зрелища и предлагающий на рассмотрение каждо-му, в особенности же философам и астрономам, Галилео Галиле-ем, флорентийским патрицием, государственным математикомПадуанской гимназии, наблюденные через подзорную трубу, не-давно им изобретенную, на поверхности Луны, бесчисленных не-подвижных звездах, Млечном Пути, туманных звездах и, преждевсего, на четырех планетах, вращающихся вокруг звезды Юпи-тера на неодинаковых расстояниях с неравными периодами и судивительной быстротой».

Далее на все сказанное выше наложились дела житейские.Оказалось, что жалование прибавят только через год, а крометого, Галилея стали очень тяготить преподавательские обязан-ности. Он начинает думать о переезде во Флоренцию. Только чтоумер герцог Фердинандо Медичи и на престол вступил Козимо II,бывший учеником Галилея. Покровительство герцога может бытьнезаменимым при решении многих проблем, особенно в трудном


деле защиты системы Коперника. Уже нет сомнений, что это бу-дет главным делом Галилея. Он пишет в письме Винте в связи свозможным переездом: «Труды, которые мне предстоит довестидо конца, суть прежде всего два тома «Система мира», огромныйзамысел, исполненный философии, астрономии и геометрии».

А пока Галилей предлагает через Винту назвать спутникиЮпитера в честь Козимо Медичи Космейскими или Медичейски-ми звездами. Был выбран второй вариант. Количество спутниковудачно совпадало с тем, что у Козимо было три брата. «Звездныйвестник» посвящается Козимо Медичи: «Называя новые звезды,открытые мной, величавым именем рода Медичи, я сознаю, чтоесли прежде возвышение в звездный мир служило для прославле-ния богов и властелинов, то в данном случае, наоборот, величавоеимя Медичи обеспечит бессмертное воспоминание об этих звез-дах». Потом все четыре спутника получили собственные имена(Ио, Европа, Ганимед, Каллисто), а чтобы отличить от открытыхпозднее спутников Юпитера, их будут называть галилеевыми.

На пасхальные каникулы Галилей отправился во Флоренцию.Он везет с собой трубу, чтобы герцог мог сам увидеть «свои»звезды. Галилей окружен почетом, в его честь должна быть вы-бита медаль с изображением Медичейских звезд, вчерне догова-риваются об условиях переезда, лишь уточняется название долж-ности Галилея. Государю приятно увековечить свое имя на небе,никто из царственных особ не может похвастаться этим. 14 маяГалилей получает из Франции письмо от 20 апреля, в которомего просят «открыть возможно скорей какое-либо небесное тело,которому могло бы быть дано имя его величества». Речь идето Генрихе IV. Уточняется, что звезду следует назвать «именемГенриха без добавления Бурбон».

Оказалось, что автор письма не зря торопил Галилея: покашло письмо, «сопутствуемый счастьем государь» был убит. Позд-нее Галилей писал во Флоренцию, что дом Медичи оказался висключительном положении: ни у Марса, ни у Сатурна спутниковне оказалось (через 50 лет Гюйгенс и Кассини открыли спутникиСатурна, потом обнаружились спутники и у Марса).


Сомнения не покидали герцога. Упорно распространялисьслухи, что подаренные ему звезды | плод фантазии Галилеяили порождение его трубы. Об этом говорил даже ХристофорКлавий, первый математик Римской коллегии. Положение ослож-нялось тем, что никто из астрономов, кроме самого Галилея,Медичейских звезд не видел. Галилей расплачивался за то, чтони у кого не было столь совершенных труб, как у него. Стольважное открытие должны подтвердить три самых знаменитыхастронома: Кеплер, Маджини, Клавий. А пока вопрос о переездево Флоренцию откладывался.

Кеплер, Маджини, Клавий. Казалось, что проще всего обстоитдело с Маджини. Галилей по дороге из Флоренции в Падую оста-новится в Болонье и покажет ему открытые звезды. Маджини,славившийся в равной мере своими вычислительными способно-стями и хитростью, подчеркнуто предупредителен, но он делаетвид, что не может ничего увидеть около Юпитера. Он не спорит,готов объяснить все своим ослабевшим зрением, но это не можетутешить Галилея.

Кеплер сразу откликнулся на сообщение об открытии Галилея.Уже 19 апреля он пишет Галилею восторженное письмо. Оказы-вается, что известие о новых планетах пришло в Германию еще всередине марта. Кеплер в мягкой форме журит Галилея за отсут-ствие ответа на его «Новую астрономию», содержащую два пер-вых его закона и недавно посланную Галилею: «ты, мой Галилей,вместо чтения чужой книги занялся собственной невероятнейше-го содержания о четырех до сих пор неизвестных планетах 〈: : :〉,найденных при помощи двойной зрительной трубы».

Первоначальная информация была расплывчата, Кеплер испу-гался, что Галилей открыл новые (сверх шести) планеты в Сол-нечной системе, а он твердо держался мнения, что планет ровношесть, причем число шесть не случайно, а связано с тем, что име-ется пять правильных многогранников. Фантазия Кеплера ро-ждает еще одну возможность: все планеты подобно Земле имеютпо одной Луне, их и должен был открыть Галилей: «если Земля, поКопернику, одна из планет, имеет свою движущуюся вокруг нее


Луну и выходящую из общего счета, то, конечно, могло случить-ся, что Галилей действительно мог увидеть еще четыре луны,вращающиеся в очень тесных пределах вокруг малых тел Сатур-на, Юпитера, Марса и Венеры; Меркурий же|самый последнийиз окружения Солнца, настолько погружен в его лучи, что в немГалилей до сих пор не мог заметить чего-нибудь подобного». Кеп-лер повсюду ищет числовые закономерности! Затем он думает отом, что речь может идти о планетах, вращающихся около «не-подвижных звезд», а не Солнца, вспоминает бесчисленные мирыДжордано Бруно и уже думает «о возможности после этого на-чала сделать открытия там еще бесчисленного множества новыхпланет».

Тем временем император Рудольф II (Кеплер был император-ским астрономом) получает «Звездный вестник». Кеплер безого-ворочно доверяет сообщению Галилея: «Может быть, я покажусьслишком смелым, если так легко поверю твоим утверждениям,не подкрепившись никаким собственным опытом. Но почему жемне не верить ученейшему математику, о правоте которого сви-детельствует самый стиль его суждений, который далек от сует-ности и для стяжания общего признания не будет говорить, чтовидел то, чего на самом деле не видел, не колеблясь из любви кистине противоречить распространеннейшим мнениям».

А самого Кеплера, разумеется, волнуют закономерности враспределении числа спутников у планет: «Лучше я пожелаю,чтобы у меня была готова зрительная труба, с которой я обогналбы тебя в открытии двух (так мне кажется, требует пропорция)спутников Марса и шести или восьми Сатурновых, к которым,может быть, прибавится один-другой вокруг Венеры и Мерку-рия». Кеплер не знал, остановиться ему на арифметической илигеометрической прогрессии!

Кеплер указывает Галилею на ряд предшественников (Мест-лин говорил о пепельном свете Луны, Порто предсказывал воз-можность создания зрительной трубы). Кеплер надеется, чтоСолнце ярче неподвижных звезд, и ему хочется верить в исключи-тельность нашего мира: «наш мир не принадлежит к простомустаду других бесконечных». Нет предела фантазиям Кеплера:


«не будет непохожим на истину предположение, что не толькона Луне, но и на Юпитере имеются жители 〈: : :〉 Дай кораблиили приспособь паруса к небесному воздуху, и найдутся люди,которые не побоятся и такой обширности».

Маджини пытается привлечь Кеплера на свою сторону. Кеп-лер неумолим: «Мы оба коперникианцы|свой своему радуется».Критические замечания из «Разговора Иоганна Кеплера со звезд-ным вестником» (ответа Галилею) обнадежили Маджини: «Теперьостается только этих четырех новых прислужников Юпитера из-гнать и уничтожить». Серию памфлетов против Галилея открылв мае 1610 г. Мартин Горкий, астроном из окружения Маджини.В его «Кратчайшем странствии против

"Звездного вестника\ »

спутники Юпитера объявлялись оптическим обманом. Кеплер непостоянен в своем отношении к Горкому. В письме к Галилею этосочинение называется наглым, он «удивляется дерзости этого юн-ца». Самому Горкому, выражая удивление его продолжающимсясомнениям в «звездах Галилея», Кеплер пишет: «не удивляюсь ине обвиняю тебя; мнения философствующих должны быть сво-бодными».

Кеплера начало волновать отсутствие подтверждений. Он самвсе еще не имел подходящей трубы. Из Болоньи пришло заключе-ние университета, что в собственную трубу Галилея звезды невидны (инсценировка Маджини). В августе обеспокоенный Кеп-лер пишет Галилею: «Я не могу скрыть от тебя, что в Прагуприходят письма многих итальянцев, что при помощи твоей зри-тельной трубы нельзя видеть эти планеты 〈: : :〉 Поэтому я прошутебя, Галилей, чтобы ты возможно скорее привел некоторых сви-детелей 〈: : :〉 На тебе одном лежит все доказательство истинно-сти наблюдения». К счастью, император Рудольф II, известныйне только своими причудами, но и любовью к наукам, воспы-лал страстью к зрительным трубам. Наконец в Праге появиласьдостаточно совершенная труба, и в сентябре Кеплер наблюдалспутники Юпитера. Участники наблюдения независимо зарисо-вали положения звезд и рисунки совпали. «Ты победил, Галилеа-нин!»| воскликнул Кеплер.


В сентябре спутники Юпитера видел Сантини в Венеции, а вдекабре пришло особенно радостное известие: спутники наблю-дал Клавий. Правда, он еще не был «уверен, планеты это илинет». В сентябре Галилей переехал во Флоренцию. Он вступает впереписку с Клавием (находясь в Венецианской республике, пере-писываться с иезуитами было нельзя). «Воистину Вы, Ваша ми-лость, заслуживаете великой похвалы, поскольку Вы первый, ктоэто наблюдал»| пишет Галилею Клавий. Нашел Галилей путь ик сердцу Маджини. Он рекомендовал его работы по зажигатель-ным стеклам герцогу, способствовал получению освободившейсякафедры в Падуе (Маджини претендовал на это место, еще ко-гда Галилей переезжал в Падую из Пизы). Осторожный Маджиниположительно отзывается о свидетельстве Сантини. На большеерассчитывать не приходилось!

Год великих открытий. 1610 год, начавшийся открытием спутни-ков Юпитера, был необычайно счастливым для Галилея-астроно-ма: почти все свои замечательные астрономические наблюденияон сделал именно в этом году. 25 июля Галилей снова наблюдал«Юпитера утром на Востоке вместе с его свитой». После этогоон обнаружил «еще другое необычайнейшее чудо». Он сообщает освоем открытии во Флоренцию, прося держать его в тайне до пу-бликации: «Звезда Сатурна не является одной только, но состоитиз трех, которые как бы касаются друг друга, но между собой недвижутся и не меняются 〈: : :〉, причем средняя из них примернов три раза больше, чем две боковые». Кеплеру Галилей посылаетзашифрованную в виде анаграммы фразу: «Высочайшую плане-ту тройною наблюдал». Позднее Галилей писал: «Я нашел целыйдвор у Юпитера и двух прислужников у старика (Сатурна), ониего поддерживают и никогда не отскакивают от его боков».

Пять месяцев не раскрывал Галилей своей тайны. Кеплеру иРудольфу II не терпелось узнать разгадку, строились самые неве-роятные предположения: «Удовлетвори как можно быстрее нашестрастное желание узнать, в чем состоит твое новое открытие.Не существует человека, которого ты мог бы опасаться как со-перника». Галилей раскрыл тайну, добавив, что в более слабую


трубу Сатурн напоминает маслину. Так получилось, что откры-тие Галилея (с необходимыми ссылками) впервые упоминается впечати в предисловии к «Диоптрике» Кеплера. Через два года Са-турн неожиданно перестал быть трояким. Галилей связал это сдвижением Сатурна вокруг Солнца и предсказал, что скоро егоснова можно будет наблюдать в виде трех звезд. Предсказаниесбылось, но тайны Сатурна Галилей не разгадал. Тайна раскры-лась, когда в 1655 г. Гюйгенс, рассматривая Сатурн в телескоп с92-кратным увеличением, обнаружил, что Сатурн окружен коль-цом, которое при меньшем увеличении казалось боковыми звез-дами. Кольцо становится незаметным, когда наблюдатель ока-зывается в его плоскости. Это редкое явление и посчастливилосьнаблюдать Галилею. Такова была эволюция зрительных впеча-тлений от Сатурна по мере усиления телескопов: от маслины дошара, окруженного кольцом. Гюйгенс открыл также самый боль-шой спутник Сатурна|Титан.

Вскоре после того, как было послано письмо Кеплеру с разгад-кой анаграммы, появились новости и о других планетах. Галилейдавно пристально наблюдал за Венерой и когда она была утрен-ней звездой, и когда стала вечерней. С Венерой и Меркуриембыло много хлопот и у сторонников Птолемея, и у сторонниковКоперника. Первые не могли договориться, где помещаются их«сферы»|внутри «сферы» Солнца или вне. Для сторонников Ко-перника было ясно, что если эти планеты являются темными те-лами, то поскольку они располагаются между Солнцем и Землей,временами должны наблюдаться неполные диски планет (должнынаблюдаться явления, подобные фазам Луны). Этой проблемы невозникает, если предполагать, что планеты светят собственнымсветом (по-видимому, так думал Кеплер) или что они прозрачны(эта возможность серьезно обсуждалась). Быть может, телескоппоможет увидеть то, что не удавалось увидеть простым глазом?

Об этой проблеме напоминает Кастелли в письме Галилею от5 декабря 1610 г.: «Поскольку (как я верю) правильно положениеКоперника, что Венера вращается вокруг Солнца, то ясна необ-ходимость того, чтобы она наблюдалась нами иногда рогатой,иногда же нет 〈: : :〉, если, однако, небольшая величина рогов и


испускание лучей не мешает нам постоянно наблюдать эти раз-личия». Но вряд ли Галилей нуждался в этом напоминании. Уже10 декабря он отправляет в Прагу Кеплеру через тосканского по-сла Джулиано Медичи шифрованное сообщение об открытии фазВенеры с сопроводительным письмом: «Я посылаю Вам шифро-ванное сообщение о еще одном моем необычном наблюдении, ко-торое приводит к разрешению важнейших споров в астрономии икоторое содержит важнейший аргумент в пользу пифагорейскойи коперниканской системы». Кеплеру, как всегда, не терпитсяузнать разгадку: «Ты же видишь, что имеешь дело с немцем изнемцев!»

Но первым, кому Галилей раскрыл свою тайну, был Клавий.Галилей только что получил от Клавия известие, что астрономыРимской коллегии наблюдали и спутники Юпитера, и удлинен-ную форму Сатурна. Поддержка Римской коллегии играла осо-бую роль в планах Галилея, и он спешит удивить Клавия своимновым открытием. Галилей описывает свои наблюдения над Ве-нерой после «ее вечернего появления», рассказывает о том, как не-ожиданно ее круглая форма стала искажаться со стороны, обра-щенной к Солнцу, пока Венера не стала напоминать полукруг; по-том она «стала заметно рогатой». Предсказывается, какую формубудет принимать Венера, когда она будет наблюдаться в видеутренней звезды, и вот вывод: «Так вот, синьор мой, выясняется,как Венера (и несомненно, что то же самое сделает и Мерку-рий) движется вокруг Солнца, являющегося, вне всякого сомне-ния, центром наибольших обращений всех планет. Кроме того,мы уверены, что эти планеты сами по себе являются темнымии блестят только освещенные Солнцем, чего, как я думаю, непроисходит с неподвижными звездами по некоторым моим на-блюдениям». У Клавия не должно было остаться сомнений в том,куда клонит Галилей! Так закончился для Галилея год его великихастрономических открытий.

Галилей не прекратил в дальнейшем астрономических наблю-дений, но в основном это было продолжение того, что было на-блюдено в 1610 г. Он продолжал наблюдения над солнечнымипятнами, начатые летом 1610 г., и к 1613 г. обнаружил осевое


вращение Солнца; мы уже говорили о наблюдении исчезновения«придатков» Сатурна. В конце жизни, перед тем как окончатель-но ослепнуть, Галилею посчастливилось открыть явление либра-ции Луны (в результате которого наблюдению доступно болееполовины поверхности Луны). Но Галилей уже никогда не будетуделять столько времени совершенствованию телескопа и астро-номическим наблюдениям. И никогда великие тайны мирозданияне будут открываться ему так, как в этот великий год! Достиже-ния Галилея были столь велики, что пройдет не менее полувека,прежде чем в наблюдательной астрономии появятся открытия,сравнимые с открытиями Галилея (Гюйгенс, Кассини). А покаГалилея начинают волновать другие проблемы, и для решенияэтих проблем ему важно было поехать в Рим.

Покорение Рима. Галилей прибыл в Рим 29 марта 1611 г.; онприбыл как лицо, пользующееся особым вниманием тосканскогогерцога (в герцогских носилках, остановился в римском двор-це Медичи). Любезно приняли Галилея четыре астронома Рим-ской коллегии: Клавий, Гринберг, Малькотий, Лембол. Галилейобнаруживает, что отцы-иезуиты систематически наблюдают втрубы Медичейские звезды, пытаются определить их периоды.21 апреля один из руководителей Священной службы кардиналРоберто Беллармино посылает им официальный запрос «о новыхнебесных наблюдениях одного выдающегося математика» (имяне указано) относительно Млечного Пути, Сатурна, Луны, спут-ников Юпитера. 24 апреля был получен ответ, в основном под-тверждающий наблюдения. Указывались небольшие расхожденияв наблюдениях (звезды, образующие Сатурн, не показались имразделенными) и существенные|в интерпретации виденного наЛуне (не горы, а неравномерная плотность «лунного тела»).

14 апреля Галилей (пятым по счету) стал членом АкадемииЛинчеев (рысьеглазых), основанной восемь лет назад ФедерикоЧези, маркизом Монтичелли. Эта Академия ставила своей цельюсвободное, не связанное никакими рамками изучение природы.Позднее Чези писал Галилею: «Те же, кого мы примем, не бу-дут рабами ни Аристотеля, ни какого-либо другого философа, а


людьми благородного и свободного образа мыслей в исследова-нии природы». Дружба с Чези играла важную роль в дальнейшейжизни Галилея; теперь он ставил на своих работах имя «Гали-лео Линчео». На вершине Яникульского холма состоялась демон-страция удивительной трубы Галилея (тогда Чези и предложилназывать ее телескопом).

Галилея чествует и Римская коллегия. Доклад, получив-ший название «Звездный вестник Римской коллегии», читаетОдо Малькотий. Он называет Галилея «самым знаменитым исчастливейшим из живущих ныне астрономов», восхищается егооткрытиями, но в мягкой форме сообщает, что предлагаемые Га-лилеем объяснения открытых явлений не являются единственновозможными. Галилею дают понять, в каких рамках он дол-жен держаться. Очень точно это пожелание выражено в словахГвальдо: «вы должны довольствоваться славой, которую приобре-ли благодаря наблюдениям Луны, четырех планет и подобныхвещей, и не браться защищать мысль, столь противную человече-скому разумению». Следующая мысль Гвальдо предвещала путь,который позднее выберет Галилей: «Существует много вещей,которые можно сказать в виде диспута, но которые не было быхорошо утверждать как истинные, в особенности, если имеешьпротив них всеобщее мнение, впитанное, если можно так сказать,с сотворения мира». По-видимому, пределы дозволенного указалГалилею и кардинал Беллармино во время аудиенции. Еще болееопределенное предупреждение сделал Беллармино тосканско-му послу Никколини: «Галилей должен держаться в указанныхрамках, иначе его работы будут переданы для рассмотрениябогословам-квалификаторам» (а посол должен был понимать,что ничем хорошим это не кончится).

В остальном поездка Галилея была успешной. Кардинал дельМанто писал герцогу: «Галилей в дни, когда был в Риме, доставилмного удовлетворения и, думаю, получил его сам, ибо имел воз-можность столь хорошо демонстрировать свои открытия, что вседостойные и сведущие люди этого города признали их не толькодостовернейшими и действительнейшими, но и поразительней-шими. Если бы мы жили теперь в республике Древнего Рима, то


я убежден, что ему бы воздвигли статую на Капитолии, дабыпочтить его исключительную доблесть».«Философ и первый математик великого герцога». Итак, не про-шло и года как удивительные астрономические открытия Га-лилея получили признание. Не следует думать, что заключениеРимской коллегии прекратило обвинения против Галилея. Люди,отрицавшие существование новых планет, по-прежнему находи-лись. Подозрения к зрительным трубам сохранялись. Аргумен-тация бывала самой нелепой (быть может, с сегодняшней точкизрения). Вот цепь рассуждений некоего Сицци. Зрительная тру-ба подобна очкам, очки не могут в равной мере годиться длямолодых и стариков, а раз и те, и другие видят в трубе Гали-лея планеты, то это обман зрения. А например, Либри из Пизыпросто отказывался смотреть в зрительную трубу. «Я надеюсь,что, отправляясь на небо, он, наконец, заметит моих спутников,которых не желал видеть с Земли»,| говорил Галилей после егосмерти. Многие противники Галилея понимали, что особенно эф-фективны доносы в инквизицию с утверждениями о том, чтовысказывания Галилея противоречат священному писанию.

Но если так обстоит дело с явлениями, доступными непосред-ственному наблюдению, то какие опасности угрожали Галилеюза его высказывания в пользу системы Коперника! В «Звездномвестнике» Галилей обещал написать «Систему мира», в которойон «шестьюстами доказательствами и натурфилософскими рас-суждениями» подтвердит, что «Земля движется и своим светомпревосходит Луну». Разведка в Риме ясно показала, что в насто-ящий момент эти рассуждения не встретят поддержки у «началь-ственных лиц». Галилей не отказывается от своих намерений, ноначинает длительную осаду. Он хорошо понимал, что признаниеКоперника не было внутринаучным вопросом, что ему предстоитв первую очередь убедить сильных мира сего, что это потребу-ет всех его сил, отвлечет от непосредственных научных занятий.Оправданность принятого Галилеем решения ставилась под со-мнение многими учеными. Известно мнение Эйнштейна по этомуповоду: «Что касается Галилея, я представлял себе его иным. Не-льзя сомневаться в том, что он страстно добивался истины |


больше чем кто-либо иной. Но трудно поверить, что зрелый че-ловек видит смысл в воссоединении найденной истины с мысля-ми поверхностной толпы, запутавшейся в мелочных интересах.Неужели такая задача была для него важной настолько, что-бы отдать ей последние годы жизни 〈: : :〉 Он без особой нуждыотправляется в Рим, чтобы драться там с духовенством и по-литиканами. Такая картина не отвечает моему представлению овнутренней независимости старого Галилея. Не могу себе пред-ставить, чтобы я, например, предпринял бы нечто подобное, что-бы отстаивать теорию относительности. Я бы подумал: истинакуда сильнее меня, и мне показалось бы смешным донкихотствомзащищать ее мечом, оседлав Росинанта». Галилей придерживалсяиного мнения, но он мало напоминает дон Кихота от науки. Онне столько дрался с «духовенством и политиканами», сколько свеличайшим искусством привлекал их на свою сторону.

Приведенное высказывание Эйнштейна интересно сопоста-вить с мнением пифагорейцев, впервые допустивших движениеЗемли и неподвижность Солнца: «Постараемся лишь знать что-то для самих себя, находя единственно в этом удовлетворение,и оставим желание и надежду возвыситься в глазах толпы илидобиться одобрения философов-книжников».

Прежде всего традиция была такова, что математику не по-лагалось обсуждать вопрос о строении мира. Наблюдать светила,составлять таблицы, пользоваться таблицами для гороскопов|вот круг обязанностей математика. У Галилея не было вкуса ксоставлению гороскопов (как, например, у Кеплера), но все жеиногда приходилось этим заниматься. Так, в ожидании переез-да во Флоренцию он по настоянию герцогини составил гороскопболевшего герцога Фердинанда (отца нынешнего герцога) . Горо-скоп обещал благоприятное развитие событий, герцог обрадовал-ся, зять Галилея получил желанную должность, а через несколькодней герцог умер. . . Для того, чтобы рассуждать о строении ми-ра, надо быть по крайней мере философом (ведь и жалование уних заметно выше, чем у математиков), а если окажется заме-шанным священное писание, надо быть непременно богословом.


Последнее Галилею недоступно, а вот философом он может по-пытаться стать.

При переезде во Флоренцию Галилей долго ведет переговорыо названии его будущей должности; он хочет, чтобы в ее назва-нии фигурировало слово «философ», ибо «философию он изучалбольше лет, чем месяцев чистую математику». В конечном счетедоговорились о названии «философ и первый математик светлей-шего великого герцога тосканского» (первый математик, но непервый философ!).

Свою жизнь во Флоренции он начинает с дискуссий с кон-сервативными философами Пизанского университета, последо-вателями Аристотеля, которые считали, что истину, «говоря ихсобственными словами, надо искать не в мире и не в природе,а в сопоставлении текстов». Галилей доволен первыми успехами:«Как бы ты, любезнейший Кеплер, принялся хохотать, если быты услышал, как в Пизе в присутствии великого герцога первыйфилософ тамошнего университета выступал против меня, силясьаргументами логики, словно колдовскими заклинаниями, сорватьс неба и уничтожить новые планеты!» Его дискуссии касаютсяне только астрономии. В 1612 г. выходят «Рассуждения о телах,пребывающих в воде», посвященные гидростатике и весьма не-приятные для сторонников Аристотеля. Еще через год выходят«Письма о солнечных пятнах», острие которых направлено в туже сторону: «Эта новость, боюсь, станет похоронным звоном или,скорее, смертным приговором для псевдофилософии 〈: : :〉, наде-юсь, что гористость Луны станет для перипатетиков шуточнымщекотанием по сравнению с муками в виде облаков, паров и оби-лия дыма, которые постоянно возникают, движутся и исчезаютна самом лике Солнца» (из письма к Чези). Перипатетиками на-зывают сторонников учения Аристотеля. Быть может, Галилейпреждевременно праздновал победу. . .

Все больше втягивается Галилей в дискуссии с людьми,далекими от настоящей науки. Иногда его мучают сомнения:«С несказанным отвращением добрался я до сих пор и, слов-но раскаявшись за содеянное, понял, как бесплодно растратилсилы и время». Борьба обострялась. Против Галилея были на-


правлены проповеди доминиканца Каччини, предлагавшего ра-дикальные меры: «Математики должны быть изгнаны из всехкатолических государств!». Галилей в то же время решаетсяобсуждать богословские проблемы. В 1614 г. распространя-ется в списках письмо к Кастелли, в котором можно найтитакие слова: «Поскольку речь идет о явлениях природы, кото-рые непосредственно воспринимаются нашими чувствами илио которых мы умозаключаем при помощи неопровержимых до-казательств, нас нисколько не должны повергать в сомнениетексты писания, слова которых имеют видимость иного смысла,ибо ни одно изречение писания не имеет такой принудитель-ной силы, какую имеет любое явление природы». Вероятно,именно это письмо послужило поводом для доноса патера Ло-рини в инквизицию. Оказалось, что Галилей был достаточноаккуратен. Въедливые квалификаторы смогли найти в пись-ме лишь «три дурно звучащих места», причем двух из них вподлиннике не было (инквизиция не смогла получить оригиналпослания).

В феврале 1615 г. в Неаполе выходит книга члена ордена кар-мелитов Фоскарини, в которой в форме письма генералу орденаизлагается система Коперника. Беллармино воспользовался этимповодом для изложения в письме к Фоскарини своего отношенияк проблеме: «Ваше священство и господин Галилео мудро посту-пают, довольствуясь тем, что говорят предположительно, а неабсолютно, я всегда полагал, что так говорил и Коперник. По-тому что, если сказать, что предположение о движении Земли инеподвижности Солнца позволяют нам представить явления луч-ше, чем принятие эксцентров и эпициклов, то это будет сказанопрекрасно и не влечет за собой никакой опасности. Для матема-тика это вполне достаточно. Но желать утверждать, что Солнцеи действительно является центром мира и вращается только во-круг себя 〈: : :〉|утверждать это очень опасно не только потому,что значит возбудить всех философов и теологов-схоластов, этозначило бы нанести вред святой вере, представляя положениясвятого писания ложными». Надо отдать должное главе инкви-зиции|он выразил свое мнение предельно ясно.


В декабре 1615 г. Галилей опять в Риме. Вероятно, он хотелповлиять на ход идущего по его поводу следствия, да и не поте-рял он еще надежды изменить мнение церкви по поводу системыКоперника.

«Спасительный декрет». Галилей весь во власти дипломатии. Онпосещает Беллармино, пытается привлечь на свою сторону кар-динала Орсини. В послании к нему излагается самый сокровен-ный аргумент в пользу движения Земли|приливы и отливы. Онобъясняет их взаимодействием суточного и орбитального движе-ний Земли и не видит конкурирующего объяснения. Это объясне-ние Галилей придумал в Венеции, наблюдая, как движется водав лодке при ее ускорении и замедлении. «Это явление установле-но бесспорно, легко понятно и может быть проверено на опыте влюбое время». Все прочие объяснения делают систему Коперникаочень правдоподобной, но окончательное доказательство движе-ния Земли можно обнаружить лишь на самой Земле! Будущеепоказало, что главный козырь Галилея был ошибочным, но вы-яснилось это много позднее. Галилей в самом центре римскихинтриг: «Нахожусь я в Риме, где как погода постоянно меняется,так и в делах всегда царит неустойчивость».

Кончилось все тем, что 24 февраля комиссия из 11 богосло-вов признала утверждение о движении Земли «по меньшей мерезаблуждением в вере». Галилею это решение было сообщено ге-неральным комиссарием инквизиции в присутствии кардиналаБеллармино. 5 марта конгрегация индекса «задержала» (но не за-претила) книгу Коперника. Этот акт был почти символическим.Из книги собирались изъять несколько фраз о том, что излагае-мая доктрина не противоречит писанию, да исправить те места,где Коперник называет Землю светилом (светила | это Солн-це и Луна!). Тосканский посол в письме на родину жалуется нанастойчивость Галилея, но выражает надежду, что Галилей не по-страдает. Распространились слухи, что от Галилея потребоваликлятвенного отречения, и Галилей получил от Беллармино удо-стоверение, опровергавшее эти слухи: «Ему лишь было объявленорешение, вынесенное нашим владыкой и обнародованное святой


конгрегацией индекса, в котором говорится, что доктрина, при-писываемая Копернику, что Земля движется вокруг Солнца ичто Солнце находится в центре мира, не двигаясь с востока назапад, противна священному писанию, и поэтому ее нельзя низащищать, ни держаться». Это было в мае перед отъездом из Ри-ма, а еще ранее Галилей был принят папой Павлом V. То, чтопроизошло, еще не было осуждением, но было грозным предупре-ждением. Нарушение ясно выраженного запрета| несомненноепреступление.

В ожидании перемен. Галилей покидает Рим, он подчиняется«спасительному декрету». Но не слишком ли демонстративнойвыглядит его покорность? Вот, например, что он пишет, по-сылая свою работу «Приливы и отливы» эрцгерцогу АвстрииЛеопольду, брату тосканской герцогини: «Ныне, зная, что сле-дует слушаться и верить постановлениям начальственных лицкак проистекающим от более возвышенных знаний, до коих мойнизкий ум сам по себе не поднимается, я рассматриваю это по-сылаемое Вам сочинение, имеющее в основе мысль о движенииЗемли, т. е. один из физических аргументов, которые я при-водил в доказательство этого движения. Я рассматриваю это,повторяю, как поэтический вымысел или сновидение». Трудно по-верить, что этот человек никогда не будет говорить о движенииЗемли. Но для возвращения к этой теме Галилею нужны не но-вые аргументы, а изменение житейской ситуации. И он дождалсяизменений. Умер папа Павел V, влиятельным секретарем новогопапы Григория XV стал Чамполи, благоволивший к Галилею, в1621 г. не стало страшного кардинала Беллармино, а в 1623 г. па-пой под именем Урбана VIII стал кардинал Маттео Барберини,образованный человек, покровитель наук, не скрывавший своеговосхищения Галилеем.

В это время Галилей заметно активизируется. В 1623 г. вы-ходит его книга «Пробирные весы»| ответ астроному Римскойколлегии Грасси, посвященный кометам. Здесь еще не идет пря-мо речь о движении Земли. Но следующая книга «Послание кИнголи», написанная в 1624 г., имеет к этому вопросу прямое


отношение. Книга была ответом на направленное против систе-мы Коперника сочинение Франческо Инголи, высокообразован-ного клирика, вышедшее в 1616 г. Знаменательно, что Галилейждал с ответом 8 лет. В небольшом по объему «Послании» многоярких и смелых страниц. Здесь и поэтическое описание обста-новки на корабле, не позволяющей обнаружить его движение,|замечательное пояснение закона инерции; здесь и рассуждения онеподвижных звездах, которые сравниваются с Солнцем; здесь исвободное обсуждение проблемы размеров Вселенной.

Что касается последнего, то здесь нет и намека на мир, огра-ниченный «восьмым небом» неподвижных звезд. Галилей четкообъясняет, что не видит аргументов, позволяющих выбрать меж-ду гипотезами о конечной или бесконечной Вселенной, но вполнедопускает, что человеку доступна лишь небольшая ее часть: «Мневовсе не претит мысль о том, что мир, границы которому поло-жены нашими внешними чувствами, может оказаться столь жемалым по отношению к Вселенной, как мир червей по отношениюк нашему миру». Очень смело допускает Галилей предположениео бесконечности Вселенной! Можно вспомнить, как неуютно по-чувствовал себя великий фантазер Кеплер, предположив, что су-ществует бесконечное число миров, подобных солнечной системе(в «Разговоре со звездным вестником»): «Мне пришлось бы об-речь себя на оковы, на темницу в бесчисленных мирах Бруно идаже, более того, на изгнание в эту бесконечность».

«Послание к Инголи» было написано осенью 1624 г., а весной1625 г. Галилей вновь посетил Рим. Разумеется, его целью былоустановить контакты с новым папой, оценить насколько благо-приятной стала обстановка. Галилей шесть раз беседовал с папой,был обласкан всей многочисленной семьей Барберини, устано-вил благоприятные контакты с рядом кардиналов, включая вли-ятельного немецкого кардинала Цоллерна. Отношение лично кГалилею не могло быть лучшим, но главная надежда не оправда-лась: Урбан VIII твердо поддержал утверждение «спасительногодекрета» о движении Солнца и неподвижности Земли. Галилейобнаружил, что в обсуждении этого вопроса они с папой разгова-ривают на разных языках. Галилей утверждает, что невозможно


объяснить приливы и отливы иначе, как предположив движениеЗемли, но получает разъяснение, что то, что неизвестно людям,может быть известно Богу. С такими аргументами спорить труд-но! Галилей возвращается, а вслед ему тосканскому герцогу Фер-динандо (Козимо недавно умер) отправляется послание папы свыражением удовлетворения визитом флорентийского ученого,самыми хвалебными отзывами о нем.

«Система мира». Вернувшись из Рима, Галилей решает, наконец,написать книгу с изложением всех аргументов в пользу системыКоперника. Об этой книге он мечтал в 1597 г., когда писал Кеп-леру, ее он обещал в «Звездном вестнике», создание такой книгион считал главным делом при переезде во Флоренцию. Галилеюисполнилось 60 лет, здоровье оставляло желать лучшего. Поездкав Рим не была полным успехом, но ожидать лучшего момента неприходилось. Разумеется, после «спасительного декрета», кото-рого, как выяснилось, твердо придерживаются «начальственныелица» в Риме по сей день, нельзя было думать об открытой под-держке гелиоцентрической системы, но Галилею не привыкатьхитрить.

Даже на богословских диспутах позволяли одному из участ-ников «условно» защищать еретическую точку зрения с тем, что-бы более выпукло ее разоблачить. Система Коперника не былаобъявлена ересью, и даже Беллармино позволял говорить о ней«предположительно» как о математическом построении. Галилейпридумывает художественный прием. Трое собеседников Сальви-ати, Сагредо и Симпличио соберутся во дворце Сагредо и будутв течение шести дней «беспристрастно» обсуждать каждую издвух систем мира. Первые два героя носят имена умерших дру-зей Галилея, третье имя|сторонника Аристотеля и Птолемея|вымышленно.

Более пяти лет напряженно работает Галилей над книгой;он, безусловно, воспринимает ее как главный труд своей жиз-ни. К 1630 г. закончены четыре дня из шести: в первый деньобсуждается принципиальная возможность движения Земли, вовторой | ее суточное движение, в третий | годовое движение


и, наконец, в четвертый| приливы и отливы| самая любимаянаходка Галилея. Он решает ограничиться четырьмя днями, на-звать книгу «Диалогом о приливах и отливах». Весной 1630 г.Галилей везет рукопись в Рим.

Надо сказать, что созданная Галилеем книга, пользуясь со-временной терминологией, должна быть отнесена к разряду на-учно-популярных. Галилей сознательно адресует ее широкой пу-блике, а не только ученым; он хочет всех убедить в существова-нии неопровержимых аргументов в пользу Коперника. Отчасти всвязи с этим, отчасти из-за своих научных вкусов Галилей почтиисключительно оперирует с качественными явлениями, не увя-зывая системы с численными данными астрономических наблю-дений. Планеты у него движутся равномерно по окружностям сцентром в Солнце, что не было никакой возможности согласоватьс данными наблюдений. В этом отношении Галилей значительноуступает Кеплеру и уходит от обсуждения проблем, которые вол-новали Коперника. По-видимому, вычислительная астрономия небыла сильной стороной Галилея.

Галилей получает аудиенцию у папы, встречается с влиятель-ными кардиналами. Урбан VIII не против книги, в которой будутсодержаться условные аргументы в пользу осужденной системы,но не должно создаваться ощущения, что читателю предоставля-ется выбор между двумя системами. Книга должна содержатьнедвусмысленные указания на окончательность утверждения одвижении Солнца и неподвижности Земли, освященного церко-вью. Кроме того, папа бракует название «Диалог о приливахи отливах». Галилей обещает выполнить пожелания в еще нена-писанных введении и заключении. Рукопись была передана Ма-гистру Святого дворца (главному цензору) Никколо Риккарди(известному под именем отец Мостро) для вынесения суждения.Отец Мостро выбирает выжидательную тактику, он в отличиеот Галилея не торопится.

Дальнейшее напоминает детективную историю, в которой Га-лилей и его благожелатели проявили чудеса изобретательностис тем, чтобы книга увидела свет. Уже для получения предвари-тельного согласия, по-видимому, Чамполи, бывший секретарем


папы, пошел на обман, рискуя карьерой. Книгу полагалось печа-тать в Риме. С огромными хитростями, со ссылками на здоровьеГалилея, чуму в Италии и т. д. ее напечатали во Флоренции.

22 февраля 1632 г. герцог Фердинандо получил в подарок пер-вый экземпляр посвященной ему книги «Диалог Галилео ГалилеяАкадемии Линчеи, Экстраординарного Математика ПизанскогоУниверситета и Главного Философа и Математика СветлейшегоВеликого Герцога Тосканского, где в четырех дневных беседахведется обсуждение двух Основных Систем Мира, Птолемеев-ской и Коперниковой, и предлагаются неокончательные философ-ские и физические аргументы как с одной, так и с другой сторо-ны». В предисловии, адресованном «благоразумному читателю»,объясняются мотивы, по которым автор приводит аргументы впользу системы Коперника. Он вспоминает «спасительный эдикт,который для прекращения опасных споров нашего времени свое-временно наложил запрет на пифагорейское мнение о подвижно-сти Земли».

Галилея «волнуют» распространяющиеся слухи, «что этот де-крет был издан не на основании надлежащего рассмотрения во-проса, а под влиянием страстей и людьми мало осведомленными».Эти-то слухи и должна опровергнуть предлагаемая книга. Онхочет показать «чужеземным народам, что в Италии вообще ив Риме в особенности знают по этому предмету не менее того,что могут знать исследователи за границей 〈: : :〉 и собрав воединовсе собственные наблюдения, относящиеся к системе Коперника,заявить, что знакомство с ними предшествовало постановлениюримской цензуры, и что от последней исходят не только догмыдля спасения души, но также и остроумные открытия, удовле-творяющие разум». Наконец, «если мы принимаем неподвижностьЗемли и признаем противоположное мнение математическим па-радоксом, то основой нашего убеждения является не неведениетого, что думают другие, а иные соображения и мотивы| бла-гочестие, религия, сознание всемогущества божия и признаниенесовершенства человеческого разума». Ну что же, цели долж-ны были показаться в Риме достойными: пресечь разговоры онеобдуманности эдикта, поставить на место «чужеземные на-


роды». Впрочем некоторые формулировки сегодня кажутся дву-смысленными. Возможно, они показались таковыми и кому-то из«начальственных лиц». По крайней мере, вскоре после того, какэкземпляры «Диалога» оказались в Риме, разразился гром.

Процесс и отречение. По-видимому, инициатива в преследованииГалилея принадлежала самому Урбану VIII. Что так рассердилопапу и сделало его непримиримым? Быть может, он счел неис-кренними похвалы «своевременности спасительного эдикта?» Не-сомненно, что «Диалог» появился в очень тяжелое для Урбана вре-мя. Сильная испанская оппозиция в Риме добивалась смещенияпапы, и он мог вполне опасаться быть обвиненным в поддержкеучения, «заподозренного в ереси». Поговаривали, что папа узналсебя в простаке Симпличио, защищавшем неподвижность Зем-ли. Галилей пишет во введении, что этот герой, в отличие отдвух других, не назван его собственным именем. О чем долженбыл подумать Урбан, если действительно обнаружил в разгла-гольствованиях Симпличио соображения, когда-то высказанныеГалилею?

В августе 1632 г. папская курия запрещает распространение«Диалога». В сентябре дело передается в инквизицию. Начина-ется длительная игра. Благожелатели Галилея, включая тоскан-ского герцога, вначале пытаются избежать рассмотрения дела винквизиции, затем перенести рассмотрение во Флоренцию и, на-конец, по возможности оттянуть разбирательство, ссылаясь наболезнь Галилея. Все эти попытки окончились безрезультатно|Урбан VIII был неумолим. Угроза быть доставленным в оковахзаставила Галилея в январе 1633 г. отправиться в Рим. 13 февраляон в Риме, а 12 апреля предстает перед генеральным комиссари-ем инквизиции Макулано. Начинается мучительное разбиратель-ство, на Галилея оказывается давление, по-видимому, ему предъ-являли орудия пытки. Шла изматывающая борьба в поисках ком-промисса. Три квалификатора Святой службы дали заключения,что книга, по крайней мере, нарушает запрет держаться осу-жденной доктрины и распространять ее. Галилей признает, чтопротив своего желания усилил аргументы в пользу системы Ко-


перника. 22 июня в церкви святой Марии-над-Минервой колено-преклоненный Галилей, которому через полгода должно было ис-полниться 70 лет, выслушивает приговор. За то, что он «считал,будто можно держаться и защищать в качестве правдоподоб-ного мнение после того, как оно было объявлено и определенокак противное священному писанию», Галилей объявлялся «силь-но заподозренным в ереси», книга «Диалог» запрещалась, Галилейприговаривался к заключению в Святой службе (заподозренногов ереси не сжигали как еретика!) и он должен «три года едино-жды в неделю читать семь покаянных псалмов». Затем Галилейзачитывает текст отречения: «После того как мне было объявле-но, что названная доктрина противоречит священному писанию,я написал и напечатал книгу, в которой трактую об этой самойдоктрине, осужденной в прошлом, и с большой убедительностьюпривожу аргументы в ее пользу, не давая никакого решения». Онклянется «исполнить и блюсти все эпитимьи», на него наложен-ные.

Может быть, в этот момент Галилей пожалел, что покинулВенецианскую республику, где он был недосягаем для инквизи-ции, переоценив возможности тосканского герцога. Но в Венецииу него, по-видимому, не было шансов издать свой главный труд,что, несмотря на страшные последствия, ему удалось во Флорен-ции. Заключение в тюрьме инквизиции было заменено ссылкой,вначале в римский дворец Медичи; через две недели его отпра-вили в Сиену к архиепископу Пикколамини. Еще через полгодаему разрешили перебраться в его виллу Арчетри, невдалеке отмонастыря, где находились его дочери. Там и прожил Галилей во-семь оставшихся ему лет, лишь ненадолго выехав во Флоренцию.Повсюду Галилей находился под неусыпным оком инквизиции, ко-торая тщательно контролировала его связи с внешним миром.Урбан VIII не проявил милосердия к опальному ученому даже вдень его кончины. Его родственник кардинал Барберини переда-ет во Флоренцию: «Нехорошо строить мавзолей для трупа того,кто был наказан трибуналом святой инквизиции и умер, отбы-вая это наказание». Герцогу пришлось отказаться от желания


похоронить Галилея рядом с Микеланджело (это желание былоисполнено через много лет).

Отречение Галилея не перестает волновать людей и сегодня.Имел ли право ученый отречься от теории, которую считал не-сомненной истиной и утверждению которой отдал значительнуючасть своей жизни? Предлагались разные объяснения принято-го Галилеем решения: страх 70-летнего больного ученого передпыткой и сожжением, ощущение, что он выполнил свою миссиюи ничто уже не может помешать распространению книги, воз-можность сохранить оставшиеся годы (их оказалось восемь) длязанятий наукой (он вернулся к занятиям, которые прервал на че-тверть века, ради разработки идей, от которых теперь долженбыл отречься). В книге К. Рид «Гильберт» рассказывается, чтовеликий математик с присущей ему непосредственностью гово-рил о Галилее: «Но он же не был идиотом. Только идиот можетсчитать, что научная истина требует мученичества. Быть может,так обстоит дело в религии, но научные результаты доказыва-ют себя с течением времени». Следует иметь в виду, что Галилейи раньше шел на компромиссы и уже после 1616 г. формальнопризнавал неподвижность Земли (в том числе и в «Диалоге»).

Легендарной фразы «А все-таки она вертится!» Галилей, по-видимому, не говорил, но несмотря на его несомненную религи-озность, его отречение не могло быть искренним. Его не моглоне радовать, что «Диалог» не удалось изъять полностью, и что в1635 г. в Европе появился перевод на латинский язык. Его ве-нецианский знакомый Миканцио пишет ему: «Примечательнаявещь | после выхода в свет вашего

"Диалога\ люди, знающие

математику, тут же перешли на сторону Коперниковой системы.Вот к чему привели запреты!» Галилей отвечает: «То, что Выписали мне относительно

"Диалога\, в высшей степени для меня

неприятно, поскольку это может причинить великое волнение на-чальственным лицам. Ведь выдача разрешения читать

"Диалог\

столь ограничена, что их святейшество сохраняет его лишь един-ственно для себя самого, дабы в конце концов, что вполне можетслучиться, об этой книге совершенно забыли».


Очень тяжел был для Галилея позор, связанный с процессом иприговором, но тяжел был и запрет продолжать работу над про-блемами мироздания. У него не было сомнений, что от этих заня-тий он должен отказаться. Что же оставалось Галилею? У негоесть все основания жаловаться на эпоху: «Несчастная наша эпоха,ныне царит твердая решимость искоренять всякую новую мысль,особенно в науках, как будто бы уже познано все, что можнопознать!» Можно утешаться предсказаниями его старого едино-мышленника Кампанеллы (еще в 1616 г. в неаполитанской тюрьменаписавшего «Апологию Галилея»): «Грядущий век рассудит нас,ибо современность всегда распинает своих благодетелей, но онипотом воскресают на третий день или на третье столетие». Черезнесколько недель после приговора Галилей вспоминает о прерван-ном на полуслове трактате по механике, и на ближайшие годынаписание этой книги становится главным делом Галилея, цельюего жизни. Он вспоминает об открытом им в юности изохронномсвойстве маятника и поручает сыну Винченцо сконструироватьмаятниковые часы. Галилей неумолимо слеп. К окончанию рабо-ты над книгой он уже потерял зрение на один глаз, и все жеон временами наблюдал небо в телескоп, описал либрацию Луны,пока в конце 1637 г. не ослеп окончательно: «То небо, тот мир ита Вселенная, которую я своими поразительными наблюдениямии ясными доказательствами расширил в сотни и тысячи раз посравнению с тем, как обычно видели ее мудрецы всех прошлыхвеков, ныне для меня так уменьшилась и сузилась, что стала небольше того пространства, которое занимает моя персона. Из-занедавности случившегося я еще не могу относиться к несчастью стерпением и покорностью, однако течение времени должно будетменя к этому приучить». И все-таки в последний дарованный емугод он опять наблюдал медичейские звезды, а его старые друзьянавели его на мысль, которая завладела им в его последние дни.

Опять медичейские звезды. Возможно, эта идея появилась у Га-лилея еще раньше, в конце 1635 г., когда он давал для Фран-цузской комиссии, созданной кардиналом Ришелье, отзыв на ме-тод Морена определения долготы местности по наблюдениям над


движением Луны. Метод оказался несостоятельным, но следуетобратить внимание, сколь высокопоставленная особа была в немзаинтересована. А дело в том, что задача определения долготына борту корабля в XVII веке|веке мореплавания|была однойиз самых актуальных. Сегодня трудно поверить, что в то вре-мя моряки совершали дальние плавания, не имея сколь-нибудьнадежного способа измерять координаты корабля в открытомморе. Это, конечно, не касалось широты: ее умели надежно изме-рять, по крайней мере, в XVI веке (например, по высоте Солнцав полдень). А что касается долготы, то ученые ничего реальногопредложить не могли. Проблема эта все больше волновала мор-ские державы по соображениям сугубо экономическим. Авторметода измерения долготы с приемлемой точностью (скажем, до1=2 градуса) мог в разное время получить 100 000 экю от Фи-липпа II Испанского, или 100 000 ливров от Людовика XIV, или20000 фунтов от английского парламента, или 100 000 флориновот Генеральных Штатов Голландии. Меньшая точность пропор-ционально уменьшала премию. Эти цифры достаточно вырази-тельно свидетельствуют об интересе к проблеме.

Идея измерения долготы восходит еще к Гиппарху (II векдо н. э.): надо воспользоваться тем, что разность долгот вдвух пунктах земного шара пропорциональна разности мест-ных времен в этих пунктах. Так, в пунктах, у которых долготыотличаются скажем на 15◦, разница в местном времени равна1 часу (360◦=24 = 15◦). Поэтому задачу можно свести к измере-нию местного времени на корабле и соответствующего временив какой-нибудь фиксированной точке, например, в порту от-плытия. Местное время в пункте нахождения корабля измеритьреально, но как помнить время в порту отплытия? Долго никтои не помышлял о его «сохранении». Прекрасный пример| исто-рия о сутках, «потерянных» во время кругосветного плаванияМагеллана! Да и не было часов, которые могли бы это времяпомнить, особенно в условиях морской качки.

Другая возможность | воспользоваться какими-нибудь ас-трономическими явлениями, которые можно наблюдать на бортукорабля и точное время наступления которых в порту отплы-


тия известны. Но как мало подходящих явлений! Что можнопредложить сверх солнечных и лунных затмений, которые про-исходят слишком редко? Таблицы для движения Луны были стольнесовершенны, что не позволяли определять долготу за счет по-вседневных наблюдений за Луной (примером такой попытки ибыл метод Морена). Галилей описывает ситуацию с присущейему торжественностью: «По прежним временам небо было наэтот счет щедро, но по нынешним нуждам оно изрядно скупо,помогая нам только лунными затмениями: и не потому, что то жесамое небо не изобилуют явлениями частыми, заметными и кудаболее подходящими для наших нужд, чем лунные и солнечныезатмения, но правителю мира угодно было скрывать их вплотьдо наших дней». Оптимизм, который чувствуется в последнихсловах Галилея, связан с надеждами, которые он возлагал наоткрытые им Медичейские звезды | спутники Юпитера. Делов том, что одна из их особенностей, открытых еще во времяпервых наблюдений 1610 г., | частые затмения. Если бы не на-клон лунной орбиты к земной, Луна попадала бы в конус тени,отбрасываемой Землей, каждое полнолуние. Спутники Юпите-ра попадают в мощный конус его тени при каждом обороте, авращаются они довольно быстро (Ио совершает полный оборотпримерно за 42;5 земных часа). На наблюдении затмений спутни-ков Юпитера и решает Галилей построить свой способ измерениядолготы на борту корабля.

Он начинает переговоры, не дожидаясь окончательной разра-ботки метода. Первоначально Галилей думал об Испании (веро-ятно, было важно, что это традиционная католическая страна),о встрече с вице-королем в Неаполе, но постепенно переориенти-ровался на Голландию, где его идея вызвала больший интерес.В 1636 г. секретные переговоры с Генеральными Штатами в са-мом разгаре, в августе принимается решение запросить у Галилеянеобходимые материалы для рассмотрения. Галилей пишет тор-жественное обращение к Генеральным Штатам Голландии как к«покорителям и властителям океана». Приведенная выше цитатабыла взята из этого обращения. Галилей считает символичным,что телескоп, который играет первостепенную роль в его методе,


был изобретен в Голландии. Он не скупится на описание преиму-ществ, которые получит Голландия, воспользовавшись его мето-дом: «Я мог бы назвать множество искусств, но достаточно огра-ничиться кораблевождением, доведенным вашими же голландца-ми до столь поразительного совершенства, и если единственноеоставшееся дело | определение долготы, которое, видим, покаим не дается,|благодаря их последнему и величайшему изобре-тению присоединится к списку остальных остроумных операций,то слава их достигает такого предела, превзойти который ника-кая другая нация не сможет и мечтать».

Была образована авторитетная комиссия, в которую вошлиадмирал Лауренс Реаль, астроном и математик Гортензий, апозднее и член Государственного Совета Константин Гюйгенс(отец великого ученого). Практичным голландцам нелегко былоповерить в реалистичность предлагаемого метода. «Представля-ете ли Вы себе, скольким людям высокого положения и властьимущим мы были вынуждены проповедовать неведомую дотолеистину, принятую вначале за безумие», | сетовал К. Гюйгенс.Впрочем и сами благожелательные члены комиссии не были уве-рены в возможности практически реализовать проект. АдмиралРеаль в письме Галилею опасается, что его метод может оказать-ся слишком тонок «для такого грубого народа, как голландскиеморяки». Сомнения можно почувствовать и в словах К. Гюйген-са: «Наши народы с трудом сочтут себя обязанными за широкийдар, более прекрасный, чем выгодный». Даже Гортензию с тру-дом удается наладить наблюдения над спутниками Юпитера. Нехватает хороших телескопов. Галилей посылает в конце 1637 г.свой телескоп, который уже не может ему понадобиться из-заслепоты. Для наблюдения спутников необходимы таблицы, кото-рые составить непросто (даже определение периодов обращенияспутников долго не удавалось).

Вычислительная астрономия никогда не была сильной сторо-ной Галилея, а теперь слепота к тому же лишила его возможностипроводить наблюдения. Галилей просит монаха-оливетанца Вин-ченцо Реньери, опытного астронома-вычислителя, найти эфеме-


риды спутников Юпитера, по возможности на год вперед. Вы-числения затягивались, и Реньери так и не удалось составитьнеобходимые таблицы.

Генеральные Штаты поручают Гортензию встретиться с Га-лилеем, чтобы уточнить необходимые детали и вручить золотуюцепь|подарок Генеральных Штатов. Тем временем в перегово-ры вмешалась инквизиция. Началась сложная игра, в результатекоторой Галилей то ли сам счел за благо отказаться от встречис Гортензием и от голландского подарка, то ли получил прямойзапрет инквизиции. Начались разговоры о сохранении приорите-та за Италией. Кастелли, которому давно отказывали в свиданиис учителем, даже получил разрешение встретиться с Галилеем ивыяснить подробности метода. Неожиданно умерли Гортензий иРеаль. Силы покидали Галилея. Флорентийский инквизитор доно-сил в Рим, что ученый, «совершенно ослепший, скорее уже лежитв гробу, чем занимается математическими построениями». На-дежды не покидали Галилея, но становилось ясно, что ему недоведется увидеть осуществление своего замысла. Вероятно, ив самом деле практическая реализация проекта была невозмож-на. Прошло еще много времени, прежде чем проблема измерениядолготы в море была, наконец, решена, но на совсем другом пу-ти|при помощи точных морских часов.

Одно из последних высказываний Галилея показывает, чтоего никогда не оставляли мысли о главной проблеме его жизни,свидетельствует о его «неисправимости»: «И так же, как я счи-таю недостаточными наблюдения и предположения Коперника, яполагаю, что еще более ложны и ошибочны наблюдения и предпо-ложения Птолемея, Аристотеля и их последователей, посколькунесостоятельность последних можно достаточно ясно выявить,пользуясь обычной речью». Ему не позволено спорить с тем, чтомогут существовать аргументы, недоступные человеку и опро-вергающие Коперника, но для опровержения Птолемея хватаетаргументов, человеку доступных.

Эпилог. По прошествии трех с половиной веков многое видитсяне так, как это представлялось Галилею. Это относится и к раз-


личию между системами Птолемея и Коперника, и к вопросу об«истинном» движении Земли.

Трудно строить последовательную систему мира, реально неопираясь на небесную механику. Парадокс заключался в том, чтонебесная механика Галилея в отличие от его «земной» механикибыла еще достаточно наивной и близкой к взглядам Аристоте-ля. Во-первых, он считал, что небесные тела движутся по инер-ции, не испытывая постоянно действующих сил. Для него не бы-ло приемлемым предположение о дальнодействии, и, например,предположение о солнечном или лунном притяжении для зем-ных объектов воспринималось как астрологический анахронизм.Во-вторых, по Галилею, небесные тела, двигаясь по инерции, со-вершают равномерные вращательные движения. Противоречие с«земным» принципом инерции налицо!

Главным вопросом для Галилея был вопрос об истинном (аб-солютном) движении Земли, о его экспериментальном доказа-тельстве. Поскольку доказательством должны служить земныеявления, столкновение земного и небесного принципов инерциинеминуемо. С величайшей проницательностью опровергает Гали-лей утверждение Тихо Браге, повторенное Инголи, что на дви-жущемся корабле ряд явлений должен обнаружить это движе-ние. Скорее всего, это опровержение Галилея, которое по суще-ству и явилось первой формулировкой закона инерции («земной»),основывалось на эксперименте. Одновременно Галилей утвержда-ет, что существуют явления, обнаруживающие движение Земли(приливы и отливы). При этом не выявляется, чем гипотетиче-ское движение Земли отличается от движения корабля, котороенельзя обнаружить внутренним образом.

Подчеркнем, что эти явления должны были быть следстви-ем собственного движения Земли, происходящего по инерции безучастия дальнодействующих сил. Галилей не видит здесь про-тиворечия. Как уже отмечалось, «решающий» аргумент Галилеяоказался совершенно ошибочным.

Взгляд Галилея на истинное (абсолютное) движение не былкорректным. Творец закона инерции был еще далек от пониманияотносительного характера движения, о роли системы отсчета


при рассмотрении движения. Многое для выяснения относитель-ного характера движения сделал Гюйгенс. Ньютон (в отличие отГюйгенса) считал вращение абсолютным. В системах Птолемея иКоперника фигурируют разные системы отсчета: в одной поко-ится Земля, в другой|Солнце. Развитие механики показало, чтоудачно выбранная система необходима для выявления закономер-ностей движения. Главное достоинство системы Коперника| ввозможности выявить законы Кеплера (которые, кстати, Галилейне принял). Дело в том, что в системе Коперника неподвижноеначало помещается в самое массивное тело и при рассмотренииотдельной планеты в первом приближении можно ограничитьсявзаимодействием этой планеты с Солнцем (пренебрегая взаимо-действием с другими планетами). Возникает задача двух тел, изаконы Кеплера, как показал Ньютон, непосредственно следуютиз его закона всемирного тяготения. В системе отсчета, в ко-торой неподвижна Земля, описание движения усложняется, и, вчастности, законы Кеплера для нее не имеют места.

Что касается астрономических наблюдений Галилея, то ониоткрыли новую эру в астрономии. Особую роль сыграли при этомспутники Юпитера. Более полувека ушло на вычисление их пе-риодов, которое пытался провести и сам Галилей, и опытные ввычислениях астрономы Римской коллегии. Еще более труднымбыло вычисление их расстояний до Юпитера из-за недостаточноразвитой микрометрической техники. Но когда в 1685 г. Ньютонсоздавал свою книгу «О системе мира», вошедшую в «Матема-тические начала натуральной философии», он уже имел возмож-ность констатировать, что для спутников Юпитера имеет местотретий закон Кеплера T 2 ∼ R3 (T | периоды обращения, R|расстояния до Юпитера), хотя данные измерений требовали не-которых уточнений. Этим фактом открывался раздел «Явления»,где перечислялись экспериментальные факты, на которые опира-ется ньютоновская «система мира».

Построение теории движения спутников Юпитера на осно-ве закона всемирного тяготения долго испытывало честолюбиеклассиков небесной механики. Дело в том, что достаточно точ-ная теория должна учитывать не только притяжение Юпите-


ра, но и Солнца и взаимное притяжение спутников. В 1774 г.эта задача фигурирует в качестве темы на премию французскойАкадемии наук.

Весьма точная теория была построена Лапласом в 1789 г.Медичейские звезды долго оставались объектом, мимо изучениякоторого не мог пройти ни один великий астроном. А они дари-ли ученых все новыми удивительными фактами. Так, например,Лаплас установил, что время обращения первого спутника плюсудвоенное время обращения третьего равно утроенному времениобращения второго. Но несомненно самая замечательная страни-ца в изучении спутников Юпитера|открытие Олафа Рёмера, окотором мы расскажем более подробно.

Добавление. Догадка Олафа Рёмера

Наблюдения Кассини. Постепенно телескоп становится признан-ным инструментом астронома. Растут размеры телескопов: теле-скоп Гюйгенса давал 92-кратное увеличение, а в 1670 г. в Парижепоявился телескоп, дававший увеличение в 150 раз. Характер-но, что этот телескоп уже не был в распоряжении одного уче-ного: он был установлен в научном учреждении нового типа |обсерватории. Парижской Обсерваторией, находившейся под по-кровительством Людовика XIV, руководил Жан Доминик Касси-ни (1625{1712)| астроном, приехавший из Италии. Астрономияочень многим обязана Кассини. Он обнаружил, что у Сатурна,кроме одного спутника (Титана), открытого Гюйгенсом, имеет-ся еще четыре, а открытое тем же Гюйгенсом кольцо Сатурнаоказалось при более тщательных наблюдениях Кассини состоя-щим из двух колец, разделенных щелью, которую стали называтьщелью Кассини. Кассини доказал осевое вращение Юпитера иСатурна. Велики заслуги Кассини и в астрономических вычисле-ниях: он с невиданной до тех пор точностью измерил астрономи-ческую единицу|расстояние от Земли до Солнца. Интересно со-поставить полученное Кассини значение 146ÍÌÎ: ËÍ с истиннымзначением 149;6 ÍÌÎ: ËÍ и величиной 8 ÍÌÎ: ËÍ, которая прини-малась прежде.

Галилео Галилей (1564 { 1642) 105

Как уже отмечалось, одной из центральных задач астро-номии второй половины XVII века стало вычисление периодовобращения спутников Юпитера. Эти величины можно получитьпутем нехитрых вычислений, если точно известны последова-тельные моменты их затмений. Зная же периоды обращенияспутников, можно, напротив, предсказывать моменты их за-тмений. В 1672 г. Кассини очень тщательно фиксирует мо-менты затмения Ио (спутника Юпитера). Он с удивлениемобнаружил, что получаемые им значения для периода обраще-ния Ио несколько различаются от случая к случаю, как еслибы иногда затмение несколько запаздывало, а иногда наступа-ло несколько раньше. Наибольшая разница между полученнымизначениями, составлявшая 22 минуты (при времени обращения42;5 часа), не могла быть объяснена точностью измерений. По-видимому, Кассини уже имел возможность пользоваться маятни-ковыми часами Гюйгенса, которые начинали использоваться дляастрономических наблюдений. Наблюденный эффект не находилразумного объяснения.

В 1672 г. | в год, когда Кассини систематически наблюдалза спутниками Юпитера, | в Парижской обсерватории появил-ся молодой датский ученый Олаф Рёмер (1644{1710). Его заин-триговало поразительное совпадение (возможно, на него обра-тил внимание Кассини). Наибольшее запаздывание затмений Иоприходилось на те моменты времени, когда Юпитер находилсядальше всего от Земли. Обратить внимание на такое совпаде-ние можно было благодаря случаю, но какая нужна была про-зорливость, чтобы не объявить его с порога случайностью! Хо-тя во времена Людовика XIV в астрономических атласах Зем-ля все еще изображалась в центре мироздания, ученые уже небыли готовы объяснять изменение обращения спутника Юпите-ра влиянием Земли! Впрочем, конкурирующее объяснение это-го эффекта, предложенное Рёмером, должно было казаться неменее фантастическим. Рёмер предположил, что мы наблюдаемзатмение Ио с некоторым запаздыванием из-за того, что светуприходится пройти большее расстояние, когда расстояние междуЗемлей и Юпитером увеличилось. Чтобы оценить эту гипотезу


Рёмера, нам надо вспомнить, что думали о скорости света егосовременники.

Отступление о скорости света. Ученые древности считали, чтосвет распространяется мгновенно (возможно, единственным ис-ключением был Эмпедокл). Это мнение на много веков было за-креплено авторитетом Аристотеля. На Востоке Авиценна и Аль-хазем допускали, что скорость света конечна, но очень велика.Среди европейских ученых нового времени Галилей был однимиз первых, готовых допустить конечность скорости света. В его«Беседах» трое собеседников Сагредо, Симпличио и Сальвиатиобсуждают проблему скорости света. Сагредо поднимает этотвопрос, Симпличио считает, что она бесконечна, поскольку мывидим пламя выстрела «без потери времени», тогда как звук до-ходит через заметное время, что для Сагредо означает лишь, чтозвук распространяется значительно медленнее, чем свет. В ответна это Сальвиати, представляющий в этом триумвирате интере-сы Галилея, предлагает опыт с двумя наблюдателями, снабжен-ными фонарями, причем каждый открывает свой фонарь, увидевсвет другого. Однако этот опыт, который в самом деле пыталисьпровести ученые Флорентийской академии, не дает реальной воз-можности убедиться в конечности скорости света. (У Эйнштейнаи Инфельда отмечается, что для этого надо было бы уметь фик-сировать промежутки времени порядка 1=100 000 Ó:) Кеплер счи-тал, что свет распространяется мгновенно; Роберт Гук думал,что скорость света конечна, но столь велика, что ее измерениеневозможно. Декарт и Ферма считали скорость света бесконеч-ной, что сильно осложнило их исследования по геометрическойоптике. Декарт, с одной стороны, считал, что свет распростра-няется мгновенно, с другой стороны, разлагал его «скорость» насоставляющие. Ферма, формулируя свой знаменитый принцип,который сегодня называется принципом наименьшего времени,чтобы не говорить о скорости света, прибегал к всевозможнымуловкам, говоря об «антипатии света к веществу», вводя фор-мальный коэффициент, фактически равный отношению скоро-стей света. Таким образом, большинство современников Рёмера

Галилео Галилей (1564 { 1642) 107

не готово было признать конечность скорости света, не говоряуже о том, чтобы сделать ее ответственной за вполне ощутимые,хотя и проявляющиеся в астрономических масштабах, явления.Для сравнения заметим, что лишь недавно была измерена ско-рость звука.

Вычисления Рёмера. Они предельно просты. Итак, он исходит изтого, что 22 минуты|максимальное запаздывание начала затме-ния|как раз тот срок, который необходим свету, чтобы пройтирасстояние, равное разности между наибольшим и наименьшимрасстоянием между Землей и Юпитером. Эта разность равнаудвоенному расстоянию между Землей и Солнцем. По сравнениюс ним расстоянием от спутника до Юпитера можно пренебречь.

Мы видим, что у Рёмера был еще один повод быть благодар-ным Кассини, от которого он знал достаточно точное значениерасстояния от Земли до Солнца (146ÍÌÎ: ËÍ). Итак, по Рёмеру,свету на преодоление 292млн. км требуется 1320 Ó (22ÍÉÎ). Отку-да для скорости света получается значение 221 200ËÍ=Ó. Ошибкау Рёмера получилась из-за неточностей в значении астрономиче-ской единицы (правильно 149;6ÍÌÎ:ËÍ), но, главное, из-за оченьбольшой ошибки в определении максимального времени запазды-вания (правильно|16ÍÉÎ 36 Ó). Для правильных значений полу-чилось бы для скорости света значение 300 400 ËÍ=Ó, что оченьблизко к истинному значению. Все же поразительно, что Рёмеруудалось дать правильное по порядку значение скорости света.

Эти вычисления были проведены Рёмером в сентябре 1676 г.Чтобы убедить ученых в своей правоте, он придумывает трюк,достойный египетских жрецов. Он проводит вычисления и пред-сказывает, что в ноябре затмение Ио произойдет примерно с10-минутным запозданием. Наблюдения, в которых участвовалКассини, доказали, что Рёмер правильно предсказал время с точ-ностью до секунды. Однако это совпадение не произвело слишкомсильного впечатления на окружающих. По крайней мере, он неубедил ученых из Парижской академии, среди которых преобла-дали картезианцы (сторонники Декарта). Ведь их учитель писалпро астрономов, что «хотя их предположения всегда ошибочны и


недостоверны, они делают весьма правильные заключения, опи-рающиеся на различные выполненные ими наблюдения». Рёмераотказался поддержать даже Кассини! С такого рода явления-ми нередко приходится встречаться в истории науки. Нашлись исторонники Рёмера, среди которых выделялся английский астро-ном Эдмонд Галлей (1656{1742). Окончательное признание тео-рии Рёмера пришло, когда в 1728 г. Джеймс Брэдли (1693{1762)изучил видимое годичное движение звезд| аберрацию. Она на-шла естественное объяснение как результат сложения скоростисвета, идущего от звезд, и скорости движения Земли по орбите.При этом получилось, что скорость света в 10 000 раз больше ско-рости движения Земли, что давало хорошее согласие с величиной,найденной Рёмером. То, что два существенно различных путиприводили к одному ответу, убедило многих. Первое же измере-ние скорости света в результате «земного» эксперимента былосделано Арманом Физо в 1849 г.

Рассказывая сегодня об открытии Галилея, нельзя не вспо-мнить о том, что при помощи космических аппаратов «Воя-джер-1» и «Вояджер-2» удалось узнать, как устроена поверхностьгалилеевых спутников Юпитера. Вот что пишет Дж. Эберхартоб увиденном учеными на переданных снимках: «Оказалось, что

"галилеевы луны\ |вовсе не

"коллекция скалистых шаров\. По-

жалуй, только испещренная кратерами поверхность Каллисто,самого дальнего из четырех спутников, подтвердила предполо-жения ученых. На Ганимеде взорам исследователей открыласьцелая гамма тектонических разломов, искривлений и отрогов. Носовершенно ошеломили их два других спутника, более близких кпланете,|Ио и Европа.

Ученые не могли поверить своим глазам|на снимках Ио ониувидели разукрашенный в красное и золотое, серебряное и черноебурлящий мир, царство активных вулканов! А когда объективы

"Вояджеров\ были направлены на Европу, взорам наблюдателейпредстала ледяная планета, светлая поверхность которой быласловно исхлестана гигантской плетью».

О ХРИСТИАНЕ ГЮЙГЕНСЕ И ЧАСАХС МАЯТНИКОМ

Циклоидальный маятник был изобретен Христи-аном Гюйгенсом, крупным ученым XVII столе-тия и гениальнейшим часовым мастером всех вре-мен. Зоммерфельд, «Механика»

Мы рассказывали о том, как почти одновременно с началомXVII века Галилей заложил основы классической механики. Хри-стиан Гюйгенс (1629 { 1695) был непосредственным преемникомГалилея в науке. По словам Лагранжа, Гюйгенсу «было сужде-но усовершенствовать и развить важнейшие открытия Галилея».Существует рассказ о том, как в первый раз Гюйгенс соприкос-нулся с идеями Галилея: 17-летний Гюйгенс собирался доказать,что брошенные горизонтально тела движутся по параболам, нообнаружил доказательство в книге Галилея и не захотел «пи-сать

"Илиаду\ после Гомера». Поражает, насколько близок был

Гюйгенсу научный дух Галилея, его научные интересы. Иногдакажется, что это помолодевший Галилей вновь совершенствуетсвои зрительные трубы и продолжает свои астрономическиенаблюдения, прерванные сорок лет назад. Он пытается припомощи более сильного телескопа разгадать тайну Сатурна, ка-завшегося тремя соединенными звездами, и, наконец, наблюдаяв 92-кратный телескоп (у Галилея был 20-кратный), обнаружи-вает, что за боковые звезды принималось кольцо Сатурна. Онвновь возвращается к проблеме, остро стоявшей в 1610 г.: суще-ствуют ли спутники у планет, отличных от Земли и Юпитера.Тогда Галилей писал Медичи, что у других планет спутников необнаружилось и ни один царственный дом, кроме дома Медичи(в честь которого были названы спутники Юпитера), не может

109

110 Христиан Гюйгенс (1629 { 1695)

Христиан Гюйгенс

рассчитывать на «собствен-ные» звезды. Гюйгенс открылв 1655 г. Титан, спутник Са-турна. Вероятно, времена из-менились, и Гюйгенс не пред-лагал открытый им спутниккому-либо в подарок. А потомГюйгенс обратился к механи-ке. И здесь его волнуют те жепроблемы, что и Галилея. Онразвивает его принцип инер-ции, утверждая, что не толь-ко иногда нельзя обнаружитьдвижение внутренними сред-ствами, но и само утвержде-ние о том, что тело движет-ся, не имеет абсолютного зна-чения. Гюйгенс воспринималвсякое движение как относи-тельное, в чем серьезно расходился с Ньютоном. Когда-то Гали-лей, обдумывая, почему при вращении Земли тела удерживаютсяна ее поверхности, почти получил формулу для центростреми-тельного ускорения, буквально не сделав последнего шага (см.с. 63). Гюйгенс дополнил рассуждения Галилея и получил одну изсамых замечательных формул в механике.

Гюйгенс обращается к исследованию изохронного характеракачаний математического маятника. Вероятно, это было первоеоткрытие Галилея в механике. И здесь Гюйгенсу представиласьвозможность дополнить Галилея: изохронность математическогомаятника (независимость периода колебаний маятника фиксиро-ванной длины от амплитуды размаха) оказалась справедливойлишь приближенно для малых углов размаха. Затем Гюйгенс ре-ализует идею, которая занимала Галилея в его последние годы:он конструирует маятниковые часы.

Задачей о создании и совершенствовании часов, прежде всегомаятниковых, Христиан Гюйгенс занимался почти сорок лет:

Христиан Гюйгенс (1629 { 1695) 111

с 1656 по 1693 г. Один из основных мемуаров Гюйгенса, со-держащих его результаты по математике и механике, вышел в1673 г. под названием «Маятниковые часы, или геометрическиедоказательства, относящиеся к движению маятников, приспосо-бленных к часам». Многое придумал Гюйгенс, пытаясь решитьодну из основных задач своей жизни | создать часы, которыеможно было бы использовать в качестве морского хронометра;многое он продумал с точки зрения возможностей примене-ния к этой задаче (циклоидальный маятник, теория разверткикривых, центробежные силы и т. д.). Мы расскажем здесь озанятиях Гюйгенса хронометрией, но прежде всего поясним,почему задача о создании часов привлекала великого ученого.

Часы относятся к очень древним изобретениям человека. Вна-чале это были солнечные, водяные, песочные часы; в Средниевека появились механические часы. В разные эпохи измерениевремени играло разную роль в жизни человека. Немецкий исто-рик О.Шпенглер, отмечая, что механические часы были изобре-тены в эпоху начала романского стиля и движения, приведшего ккрестовым походам, пишет: «Днем и ночью с бесчисленных башенЗападной Европы звучащий бой, этот жуткий символ уходящеговремени, есть, пожалуй, самое мощное выражение того, на чтовообще способно историческое мироощущение. Ничего подобно-го мы не найдем в равнодушных ко времени античных странах игородах. Водяные и солнечные часы были изобретены в Вавилонеи Египте, и только Платон, опять в конце Эллады, впервые ввел вАфинах клепсидру (разновидность водяных часов.|С.Г.), и ещепозднее были заимствованы солнечные часы как несущественнаяпринадлежность повседневного обихода, причем все это не ока-зало никакого влияния на античное мироощущение».

Характерно, что при первых шагах новой механики и мате-матического анализа время не сразу заняло место основной пе-ременной величины при описании движения (Галилей в поискахзакона свободного падения начал с гипотезы о пропорциональ-ности скорости пути, а не времени).

Долгое время механические часы были громоздки и несо-вершенны. Было изобретено несколько способов преобразовать


ускоренное падение груза в равномерное движение стрелок, и всеже даже известные своей точностью астрономические часы ТихоБраге приходилось каждый день «подгонять» при помощи молот-ка. Не было известно ни одного механического явления, котороебы периодически повторялось через одно и то же сравнительнонебольшое время.

Маятниковые часы. Такое явление было обнаружено на заре со-здания новой механики Галилеем. Именно, Галилей обнаружил,что колебания маятника изохронны, т. е. их период, в частно-сти, не меняется при затухании колебаний. Мы приводили вышерассказ Вивиани об этом открытии Галилея.

Галилей предполагал воспользоваться маятником для созда-ния часов. В письме от 5 июня 1636 г. голландскому адмиралуЛ. Реалю он писал о соединении маятника со счетчиком колеба-ний. Однако к созданию часов Галилей приступил в 1641 г., за годдо смерти. Работа не была закончена. Ее должен был продолжитьсын Галилея Винченцо, который долго медлил с возобновлени-ем работ и приступил к ним лишь в 1649 г., также незадолгодо смерти, так и не создав часов. Некоторые ученые уже поль-зовались изохронностью маятника в лабораторных эксперимен-тах, но отсюда до создания маятниковых часов|нелегкий путь.

Его преодолел в 1657 г. 27-летний Христиан Гюйгенс, к то-му времени уже известный ученый, открывший кольцо Сатурна.12 января 1657 г. он писал: «На этих днях я нашел новую кон-струкцию часов, при помощи которой время измеряется так точ-но, что появляется немалая надежда на возможность измеренияпри ее помощи долготы, даже если придется везти их по морю».Первый экземпляр маятниковых часов изготовил гаагский часов-щик Соломон Костер, а 16 июня Генеральные Штаты Голландиивыдали патент, закреплявший авторство Гюйгенса. В 1658 г. вы-шла брошюра «Horologium» с описанием изобретения.

Узнав о часах Гюйгенса, ученики Галилея предприняли энер-гичную попытку восстановить приоритет учителя. Для того что-бы правильно оценить ситуацию, важно понимать, что в XVIIвеке проблема создания точных часов воспринималась в первую


очередь в связи с возможностью их использования для измерениядолготы на борту корабля. Эту возможность понимал Галилей, ееже с самого начала выдвигал на первый план Гюйгенс (ср. при-веденное выше высказывание).

Мы уже говорили выше о проблеме измерения долготы. Уче-ники Галилея знали, что в конце жизни он вел секретные пе-реговоры с Генеральными Штатами, предлагая свой способ из-мерения долготы. Содержание переговоров, прерванных послевмешательства флорентийского инквизитора, не было достовер-но известно. Можно было предположить, что речь в них шла иоб использовании маятниковых часов. Напомним, что идея это-го метода состоит в том, что часы «запоминают» время в портуотплытия, а разность этого времени с местным временем на ко-рабле пересчитывается в разность долгот. Важно было, чтобычасы долго сохраняли правильный ход в условиях морской качки.Изохронность колебаний маятника должна была быть существен-на как при затухании колебаний, так и при раскачке во времяморского волнения.

Галилей предлагал Голландии другой способ измерения дол-готы, основанный на наблюдении затмений спутников Юпитера.Хотя упоминания о маятниковых часах могли фигурировать впереговорах (ср. упомянутое письмо Реалю), несомненно, кон-струкция часов или сколько-нибудь подробные сведения о них вГолландию не передавались. К тому времени, когда Галилей при-ступил к созданию часов (1641 г.), переговоры с ГенеральнымиШтатами Голландии практически прервались.

Гюйгенса не обвиняли в плагиате, хотя, быть может, и на-стораживало, что маятниковые часы созданы в Голландии сыномвлиятельного члена Государственного Совета, имевшего отноше-ние к переговорам с Галилеем. Леопольд Медичи написал пись-мо французскому астроному И. Буйо, покровительствовавшемуГюйгенсу, и поручил изготовить ходовой механизм по модели Га-лилея. К письму для передачи Гюйгенсу прилагался рассказ Ви-виани, упоминавшийся выше, и чертеж часов Галилея. Гюйгенс,ознакомившись с чертежами, констатировал, что в них присут-ствует основная идея, но нет ее технической реализации. В 1673 г.


Гюйгенс напишет: «Некоторые утверждают, что Галилей пытал-ся сделать это изобретение, но не довел дело до конца; эти лица,скорее, уменьшают славу Галилея, чем мою, так как выходит, чтоя с большим успехом, чем он, выполнил ту же задачу». При этомне лишне помнить, что Галилей занимался часами слепым и былна 50 лет старше Гюйгенса, когда последний занимался той жезадачей.

Первые часы Гюйгенса в максимальной степени использова-ли конструкцию часов, распространенную в то время (он имелв виду возможность быстро переделывать уже имевшиеся часыв маятниковые). С этого момента совершенствование часов ста-новится одной из главных задач Гюйгенса. Последняя работа очасах была опубликована в 1693 г. за два года до его смерти. Еслив первой работе Гюйгенс проявил себя прежде всего как инже-нер, сумевший реализовать в часовом механизме уже известноесвойство изохронности маятника, то постепенно на первый планвыходит Гюйгенс|физик и математик.

Впрочем, в числе его инженерных достижений были выда-ющиеся. Макс Лауэ выдвигал на первый план в часах Гюйген-са идею обратной связи: впервые энергия сообщалась маятникубез нарушения периода колебаний, «причем сам источник коле-баний определяет моменты времени, когда требуется доставкаэнергии». У Гюйгенса эту роль выполняло простое и остроумноеустройство в виде якоря с косо срезанными зубцами, ритмическиподталкивающего маятник.

Еще в начале своей работы Гюйгенс обнаружил неточностьутверждения Галилея об изохронности колебаний маятника.Этим свойством маятник обладает лишь при малых углах от-клонения от вертикали, но, скажем, для угла в 60◦ колебаниязаметно неизохронны (на это мог бы обратить внимание Гали-лей в опытах, описанных Вивиани). В 1673 г. Гюйгенс отмечал,что период для 90◦ относится к периоду для малых дуг, как 34к 29. Для того чтобы скомпенсировать отклонения от изохронно-сти, Гюйгенс решил уменьшать длину маятника при увеличенииугла отклонения. В первых часах Гюйгенса с этой целью ис-пользовались ограничители в форме щек, на которые частично


наматывалась нить подвеса. Эмпирический способ подбора фор-мы щек не устраивал Гюйгенса. В 1658 г. он вообще удалил ихиз конструкции, вводя ограничители амплитуды. Но это не озна-чало отказа от поисков изохронного маятника. В часах 1659 г.корректирующие пластинки появились вновь, но на сей раз Гюй-генс уже умел определять форму щек теоретически: оказалось,что они должны иметь форму циклоиды | кривой, сыгравшейбольшую роль в развитии математики в XVII веке.

Этой кривой целиком посвящена следующая глава нашей кни-ги; из нее читатель сможет узнать, как именно Гюйгенс пришелк своему открытию.

Изобретению циклоидального маятника Гюйгенс придавалнаибольшее значение: «Для проведения этих доказательств по-требовалось укрепить и, где нужно, дополнить учение великогоГалилея о падении тел. Наиболее желательным плодом, как бывеличайшей вершиной этого учения, и является открытое мноюсвойство циклоиды».

Центробежные часы и часы с коническим маятником. Цикло-идальный маятник | не единственное изобретение, сделанноеГюйгенсом в процессе совершенствования часов. Другое напра-вление в его исследованиях по хронометрии связано с теориейцентробежных сил. Эта теория была создана Гюйгенсом, и пока-зательно, что впервые она была опубликована в «Маятниковыхчасах». В пятой части этой книги без доказательства приводятсятеоремы о центробежной силе и описывается конструкция ча-сов с коническим маятником (известно, что Гюйгенс изобрел их5 октября 1659 г.). Доказательства теорем содержатся в работе«О центробежной силе», написанной в 1659 г., но вышедшей всвет лишь через восемь лет после смерти Гюйгенса. О центро-бежной силе знал еще Аристотель, а Птолемей считал, что еслибы Земля вращалась вокруг своей оси, то из-за центробежнойсилы предметы не могли бы удерживаться на ее поверхности.Кеплер и Галилей опровергали эту точку зрения, объясняя, чтов этом случае вес уравновешивает центробежную силу, фак-тически предполагая, что при удалении от центра вращения


центробежная сила уменьшается. Однако лишь Гюйгенс получилзнаменитую формулу для центробежной силы Fц.б. = mv2=R,к которой был очень близок Галилей. В дополнении приводит-ся подлинный текст Гюйгенса и читатель сможет увидеть, вкаком (быть может, не самом экономном с сегодняшней точкизрения) виде были впервые сообщены результаты, полученныеГюйгенсом.

Какой бы задачей Гюйгенс ни занимался, он всегда думал овозможных приложениях полученных результатов к часам. И вэтом случае он хотел воспользоваться коническим маятником.Так называется нить с грузом, вращающаяся вокруг оси, про-ходящей через точку подвеса. Пусть l| длина нити, �| уголнити с вертикалью, R|расстояние от груза до оси. Если маят-ник движется по окружности и угол � остается постоянным, тоmv2=R = mg tg�. Отсюда v =

√gR tg�. Для периода| времени

одного оборота|получаем (поскольку T = 2�R=v)

T = 2�

√R

gctg� = 2�

√l cos�g

= 2�√u

g:

Здесь u = l cos�|длина проекции нити на ось маятника. В тек-сте Гюйгенса проводятся многочисленные обсуждения формулыдля периода конического маятника. Движение конического маят-ника сравнивается с двумя движениями, которые к тому временибыли основательно изучены: со свободным падением и колебани-ями простого (или математического) маятника (Гюйгенс назы-вает его колебания боковыми в отличие от круговых колебанийконического маятника).

Итак, период определяется проекцией нити на ось. Трудностьв построении изохронного конического маятника заключается втом, что постепенно угол с осью уменьшается и период увеличи-вается. Гюйгенс рассчитал, что для того чтобы период оставал-ся неизменным, надо с уменьшением угла так уменьшать длинунити, чтобы ее конец постоянно находился на параболоиде вра-щения.


В самом деле, пусть имеетсянекоторая поверхность враще-ния (у Гюйгенса параболоид|поверхность вращения парабо-лы py = x2 вокруг оси y).Тяжелая материальная точкаустойчиво вращается по гори-зонтальному сечению (кругу),если равнодействующая весаи центробежной силы напра-влена по нормали к поверх-ности (перпендикуляру к ка-сательной плоскости), а пото-му здесь применима форму-ла для конического маятника.В этом случае �| угол нор-мали с осью, l|длина отрез-ка нормали между осью и по-верхностью, u|проекция это-

го отрезка на ось. Здесь переход от конического маятника квращению тяжелой точки в какой-то мере аналогичен перехо-ду Галилея от математического маятника к движению тяжелойточки по круговому желобу. Далее Гюйгенс замечает, что у па-раболы py = x2 величина u (проекция отрезка нормали на ось)не зависит от положения точки и равна p=2. Отсюда он делаетвывод, что период вращения тяжелой точки по любым горизон-тальным сечениям параболоида один и тот же:

T = 2�√p=2g:

Это дает новый способ получения изохронных колебаний, что, помнению Гюйгенса, было важно при построении часов. Если под-весить конический маятник так, чтобы независимо от угла � на-клона нити к оси его конец двигался по поверхности параболоида,полученного от вращения параболы py = x2, то период вращенияне будет зависеть от �. Другими словами, надо сделать так, что-бы при изменении � длина l изменялась, обеспечивая постоянство


проекции на ось. Гюйгенс придумал чрезвычайно остроумныйспособ подвески. Он предложил изготовить пластинку по формеполукубической параболы y2 = ax3 + b, закрепить в некоторойее точке конец нити и тогда, оказывается, можно так подобратьa, b и длину нити, что как бы мы ни натянули нить, намотавчасть ее на пластинку, другой ее конец будет находиться на па-раболе. Секрет этого остроумного способа подвески опираетсяна те же математические соображения, что и способ подвескициклоидального маятника.

Заметим, что эти же вычисления помогли Гюйгенсу в 1687 г.быстро решить задачу Лейбница о кривой, по которой тяжелаяточка движется так, что пути, пройденные ею в равные про-межутки времени, имеют равные проекции на вертикаль. Этимсвойством обладает полукубическая парабола.

Физический маятник. Одно из главных достижений Гюйген-са относится к теории физического маятника, т. е. речь идетуже не о колебании точечного груза, а о колебании конфигу-рации грузов или тяжелой пластины. Эта задача возникла всвязи с идеей иметь, кроме основного груза на конце маятника,подвижный груз, позволяющий регулировать период качаниймаятника. Гюйгенс почерпнул эту идею у гаагского мастераДоу, который в 1658 г. взял патент на свой вариант маятни-ковых часов, мало отличающийся от часов Гюйгенса. Задачио колебаниях физического маятника возникали и раньше. Длямеханики переход от движения материальной точки к движе-нию протяженных конфигураций был принципиальным. Перваясерия таких задач относилась к центру тяжести, и здесь важ-ные результаты были известны. В задачах же о колебанияхфизического маятника долго не удавалось сделать ничего су-щественного1.

1Напомним, что приведенной длиной физического маятника называетсядлина математического маятника, имеющего тот же период колебаний, ацентр качания| это точка, лежащая на прямой, соединяющей точку подвесас центром тяжести, на расстоянии от точки подвеса, равном приведеннойдлине.


О задачах про физический маятник Гюйгенс узнал от Мер-сенна: «Когда я был еще почти мальчиком (ему не было 17 лет|С. Г.), ученейший муж Мерсенн задал мне и многим другим за-дачу|определить центр качания. Из писем, которые писал мнеМерсенн, а также из недавно опубликованных мемуаров Декар-та, заключающих ответ на письма Мерсенна по этому поводу, язаключаю, что эта задача пользовалась в это время известнойславой среди математиков 〈: : :〉 Мерсенн назначил большую, вы-зывающую зависть премию на тот случай, если я решу задачу.Однако он тогда ни от кого не получил того, что требовал 〈: : :〉,я в то время не нашел, что позволило бы мне приступить к расче-там и как бы повернул назад у самого порога, и воздержался отвсякого исследования. Но и те, кто надеялись, что решили зада-чу, знаменитые люди, как Декарт, Оноре Фабри и другие, вовсене достигли цели или достигли ее только в немногих, особеннопростых случаях.

Повод к новой постановке опытов дали регулируемые маятни-ки наших часов, снабженные, кроме нижнего постоянного груза,еще вторым подвижным грузиком, как сказано при описании ча-сов. Исходя из этого, я начал исследования с начала, на этот разс лучшими видами на успех и, наконец, преодолел все трудностии решил не только все задачи Мерсенна, но нашел еще и новыезадачи, более трудные, и, наконец, нашел общий метод для вычи-сления центров качания линий, площадей и тел. От этого я имелне только удовольствие, что я нашел нечто, что напрасно иска-ли столь многие, и понял законы природы, относящиеся к этомуслучаю, но, получил и определенную пользу, которая вообще за-ставила меня заняться этим вопросом, а именно я нашел легкий иудобный способ регулировки часов. К этому, однако, присоеди-нилось то, что я считаю еще более ценным, а именно: благодарясвоему открытию я смог дать абсолютно устойчивое определениедля постоянной, верной для всех времен меры длины».

Последняя идея, о которой пишет Гюйгенс, состояла в том,что подобно тому, как для измерения времени имеется естествен-ная единица измерения|сутки, для измерения длины такой еди-


ницей предлагалось считать 1=3 длины маятника, период колеба-ний которого равен одной секунде.

Задачи о центре качания не были доступны с позиций раз-работанных к тому времени методов математического анализа.Гюйгенс заметил, что целый ряд трудностей можно преодолеть,исходя из энергетических соображений: центр тяжести при дви-жении не может подняться выше, чем он был в начале движения(иначе существовал бы вечный двигатель). Этот способ доказа-тельства вызывал возражения у ряда крупных ученых, и былозатрачено много сил, прежде чем Я. Бернулли удалось получитьаналогичные утверждения на другом пути.

Морские часы. 1673 год был вершиной деятельности Гюйгенса помаятниковым часам. В этом году вышла его книга «Маятнико-вые часы», а парижский часовщик Исаак Тюре изготовил экзем-пляр часов с учетом всех усовершенствований. Маятниковые ча-сы прочно вошли в обиход, но надежды на морские маятниковыечасы не оправдались. Первые экземпляры таких часов были из-готовлены в 1661 г., а с 1663 г. начались их испытания. Вначалеграф Брюс взял с собой часы при плавании из Голландии в Лон-дон, но часы остановились; более успешными были испытаниякапитана Холмса при плавании из Лондона в Лиссабон. О дра-матических событиях, связанных с испытанием часов во времяплавания английской эскадры в Гвинее, рассказывает Гюйгенс в«Маятниковых часах». Испытания проходили с переменным успе-хом до 1687 г., хотя становилось ясно, что надежного средствадля измерения долготы маятниковые часы не дают. Постепенноспрос на морские часы упал, и в 1679 г. сам Гюйгенс склонилсяк тому, что морской хронометр должен представлять собой пру-жинные часы с балансиром. Такой хронометр удалось создатьв 1735 г. Дж. Харрисону, который и получил премию в 20 тыс.фунтов от английского правительства.

Прошло 300 лет. Маятниковые часы сослужили добрую служ-бу людям, которые нечасто знают имя их создателя. Драматиче-ская история работы Гюйгенса над маятниковыми часами оченьпоучительна. В некотором смысле его главные надежды не осу-


ществились: ему не удалось создать морской хронометр, а в сухо-путных часах циклоидальный маятник, который Гюйгенс считалсвоим главным изобретением, не прижился (вполне хватало огра-ничителей амплитуды). Та же участь постигла конический маят-ник. Но те математические и физические результаты, получениекоторых стимулировалось задачей о совершенствовании часов,навсегда остались в анализе бесконечно малых, дифференциаль-ной геометрии, механике, и их значение трудно переоценить.

ПриложениеПятая часть «Маятниковых часов», содержащая другую кон-струкцию часов с использованием кругового движения маятни-ков и теоремы о центробежной силе

У меня было намерение издать описание этих часов вместе с тео-ремами, относящимися к круговому движению и к центробежнойсиле, как я хочу ее назвать. Но относительно этого предмета уменя больше материала, чем времени для его изложения в настоя-щий момент. Но для того, чтобы лица, интересующиеся этим во-просом, быстрее познакомились с новым, отнюдь не бесполезнымоткрытием, чтобы какая-либо случайность не помешала опубли-кованию, я, противно моему первоначальному предположению,присоединил еще и эту часть к предыдущим. В ней кратко опи-сывается конструкция новых часов и далее следуют теоремы оцентробежной силе, их доказательство откладывается на болеепозднее время.

Конструкция вторых часов

Я не счел нужным изложить здесь распределение колес внутричасового механизма; это устройство легко могут осуществить ча-совщики в различных вариантах. Будет достаточным описать тучасть часов, которая регулирует их ход определенным образом.

Следующий рисунок изображает эту часть часов. Ось KHследует представлять себе вертикальной, способной вращаться вдвух подшипниках. В A к оси приделана пластинка, имеющаяопределенную ширину и искривленная по кривой AB, которая


A

B

C

D

E

F

H

K

есть полукубическая парабола, при сматывании нити с которойи прибавлении некоторой длины описывается парабола EF , какдоказано в теореме VIII третьей части. AE|длина, на которуюнадо удлинить нить; путем сматывания всей линии BAE и обра-зуется парабола EF . BCF |нить, закрепленная на кривой AB,конец которой описывает параболу. К нити прикреплен груз F .Если ось DH вращается, тогда нить BCF , вытянутая в прямую,повлечет за собой груз F , который будет описывать горизонталь-ные круги. Эти круги будут больше или меньше в зависимостиот большей или меньшей силы, с которой действуют на ось ко-леса, вращающие барабан K. Но все эти круги будут лежать напараболическом коноиде, и именно потому продолжительностьодного оборота будет всегда одна и та же, как вытекает из то-го, что я объясню об этом движении впоследствии. Если оборотдолжен совершаться в полсекунды, то параметр параболы EF

должен составлять 41

2дюйма моего часового фута, т. е. он дол-

жен быть равен половине длины маятника, у которого каждоеколебание длится 1=2 секунды. Из параметра параболы определя-ется параметр полукубической параболы; он равен 27=16 первого


параметра; определяется также отрезок AE, который равен по-ловине длины параметра параболы EF . Если же оборот долженсовершаться в секунду, то надо все длины брать в четыре разабольше, как параметры, так и длину AE.

Теоремы о центробежной силе, вызванной круговым движением1

I

Если два одинаковых тела в одинаковое время описывают неоди-наковые окружности, то их центробежные силы относятся, какдлины окружностей или как диаметры.

II

Если два одинаковых тела движутся с одинаковой скоростью поокружности разных кругов, то их центробежные силы обратнопропорциональны диаметрам.

III

Если два одинаковых тела движутся по одинаковым кругам сразной скоростью, но оба равномерно, как мы это здесь всегдаподразумеваем, то их центробежные силы относятся, как ква-драты скоростей.

IV

Если два одинаковых тела движутся по разным окружностям иобнаруживают одинаковую центробежную силу, то их временаобращения относятся, как корни квадратные из диаметров.

1Примечания к тексту даны в квадратных скобках. В примечаниях ис-пользуются обозначения: m|масса тела, F | центробежная сила, T | пе-риод, R|расстояние до центра, v|скорость.


V

Если тело движется по окружности круга с той скоростью, ко-торую бы оно приобрело, свободно падая с высоты 1=4 диаметракруга, то испытываемая им центробежная сила равна весу, т. е.оно тянет за нить, при помощи которой оно прикреплено к цен-тру, с той же силой, как если бы было подвешено к нити.

[Если высота H = R=2, то для конечной скорости при свобод-ном падении имеем v =

√2gH =

√Rg, а для указанной центро-

бежной силы имеем F = mv2=R = mRg=R = mg.]

VI

Если тело пробегает различные горизонтальные окружности, ко-торые все лежат на кривой поверхности параболического коноида(параболоида) с вертикальной осью, то время оборотов всегдаодно и то же, будут ли круги больше или меньше, и это времяобращения вдвое больше продолжительности колебания маятни-ка, длина которого равна половине параметра образующей пара-болы.

ТАЙНЫ ЦИКЛОИДЫ

Рулетта является линией столь обычной, что после прямой иокружности нет более часто встречающейся линии; она такчасто вычерчивается перед глазами каждого, что надо уди-вляться тому, как не рассмотрели ее древние 〈: : :〉, ибо этоне что иное, как путь, описываемый в воздухе гвоздем коле-са, когда оно катится своим движением с того момента, какгвоздь начал подниматься от земли, до того, когда непре-рывное качение колеса не приводит его опять к земле послеокончания целого оборота. Паскаль

1. Циклоида и изохронный маятник

Кривую, «так часто вычерчивающуюся перед глазами каждого»,первыми заметили Галилей в Италии и Мерсенн (1588 { 1648) воФранции. В Италии ее назвали циклоидой (это название, означа-ющее «происходящая от круга», принадлежит Галилею), во Фран-ции|рулеттой. Привилось первое название, а рулеттами теперьназывают кривые более широкого класса, речь о которых пой-дет позднее. Математики XVII века, создававшие общие методыисследования кривых, были очень заинтересованы в новых «по-допытных» кривых. Среди этих кривых циклоида заняла особоеместо. Она оказалась одной из первых трансцендентных кри-вых (кривых не алгебраического происхождения), для которыхудалось найти красивый явный ответ в задачах о построении ка-сательных и вычислении площади. Но больше всего поражало, чтоциклоида вновь и вновь появлялась при решении самых разныхзадач, в первоначальной постановке которых она не участвовала.Все это сделало циклоиду самой популярной кривой XVII века:

125

126 Тайны циклоиды

x

y

2r

r

A0 = 0 2�r 4�rBttr

Ct

At

Рис. 2.

крупнейшие ученые и Италии, и Франции (Торричелли, Вивиа-ни (1622 { 1703), Ферма (1601 { 1665), Декарт (1596 { 1650), Ро-берваль (1602 { 1675) ) решали разнообразные задачи о циклоиде,а в 1673 году Гюйгенс констатировал, что «циклоида исследованаточнее и основательнее всех других кривых».

От кинематического определения к аналитическому. Кинематиче-ское определение циклоиды содержится в эпиграфе к этой главе.Попробуем его расшифровать.

Выберем на плоскости систему координат так, чтобы пря-мая, по которой катится круг (направляющая прямая), совпала сосью Ox, и пусть круг (его называют производящим кругом) ка-тится в положительном направлении оси Ox. Предположим, чтов начальный момент времени наблюдаемая точка границы кругазанимает положение A0 = (0; 0) (рис. 2).

Если r| радиус производящего круга, то центр его будетдвигаться по прямой y = r. Чтобы полностью охарактеризоватькачение круга, достаточно описать движение его центра, еслитолько добавить, что круг катится без скольжения!1 Нам удоб-но, зафиксировав единицу времени, предположить, что центркруга движется равномерно со скоростью r. В момент време-ни t центр круга окажется в точке Ct = (tr; r), и производящийкруг будет касаться направляющей прямой в точке Bt = (tr; 0).Найдем теперь положение At наблюдаемой точки в момент вре-мени t (в силу определения At будет точкой циклоиды). Чтобыэто сделать, нужно четко сформулировать условие, что качение

1Вероятно, именно это и имел в виду Паскаль, когда писал, что колесо«катится своим движением».

Циклоида и изохронный маятник 127

x

yAt

Bt

CtDt

Et

t

Рис. 3.

круга происходит без скольже-ния: оно состоит в том, что длинаотрезка между точками касанияпроизводящего круга с направля-ющей прямой в моменты време-ни 0 и t (отрезка OBt, см. рис. 2)равна длине дуги BtAt, «прока-тившейся» по этому отрезку (приэтом дуга может превышать пол-ную окружность). Поэтому в момент времени t угол BtCtAt ра-вен t (в радианной мере), так как длина дуги ÷tát равна tr.Обозначив через Dt проекцию точки At на прямую, проходящуючерез центр круга Ct параллельно оси Ox, а через Et|проекциюточки At на прямую, проходящую через центр Ct параллельнооси Oy (рис. 3), получим (с учетом направлений координатныхосей)

CtDt = −r sin t; CtEt = −r cos t

(посмотрите, что будет в случаях t > �=2, t > �). Следовательно,координаты точки át циклоиды равны соответственно

x = rt− r sin t; y = r − r cos t:

Заметим, что при t = 2� длина отрезка OB оказывается равнойдлине окружности, наблюдаемая точка вновь попадает на ось Ox,и картина начнет повторяться. Таким образом, период циклоидыравен 2�r.

Итак, циклоиду можно определить как множество точек с ко-ординатами (rt − r sin t; r − r cos t), и при желании про исходноекинематическое определение забыть. Мы получили так называ-емое параметрическое задание циклоиды: обе координаты x и yточки At циклоиды являются функциями от некоторой вспомо-гательной переменной t.

Назовем точки циклоиды, лежащие на оси Ox, остриями ци-клоиды, точки, лежащие на прямой y = 2r,| вершинами, а дугимежду соседними остриями|арками циклоиды. В выбранной си-стеме координат циклоида характеризуется одним параметром r


(радиусом производящего круга). Все циклоиды, у которых точ-ка (0; 0)|острие, получаются друг из друга гомотетией. По ка-ждой точке (x; y), x 6= 0, можно единственным образом выбрать rтак, что эта точка будет лежать на первой арке, выходящей източки (0; 0) соответствующей циклоиды (докажите).

Касательные к циклоиде. Мы построим касательную к циклоидес помощью приема, разработанного Торричелли и Робервалем;этот прием основывается на сложении скоростей. Первым каса-тельную к циклоиде, вероятно, построил Вивиани. Однако, по-скольку циклоида определялась кинематически, естественно бы-ло найти такой способ построения касательной к ней, которыйисходил бы из кинематических соображений. Это и сделали Ро-берваль и Торричелли.

Рассмотрим движение материальной точки. Если в моментвремени t0 прекратить действие сил, то точка остановится илиначнет равномерно двигаться по касательной к траектории (ско-рость возникающего равномерного движения называется мгно-венной векторной скоростью исходного движения при t = t0).Это утверждение вытекает из законов Ньютона. Но можно, какэто часто делали математики в XVII веке, принять его за кине-матическое определение касательной, убедившись, что оно согла-суется с наблюдениями над простейшими движениями (преждевсего вращательным). Встав на такую точку зрения, мы сможемстроить касательные ко многим интересным кривым, используяпри этом лишь простые факты о скоростях.

Будем рассматривать только плоское движение. Зафиксируемна плоскости точку O|начало отсчета. Если движущаяся точкав момент времени t занимает положение At, то через r(t) обо-значим вектор OAt. Задание векторов r(t) для всех значений tполностью определяет движение. Мгновенную векторную ско-рость в момент времени t обозначим через _r(t); напомним, чтовектор _r(t) направлен по касательной к траектории движения.Его длина | _r(t)| называется величиной скорости. Если движениепроисходит по фиксированной прямой, на которой введены коор-динаты, то векторы r(t) и _r(t) направлены по этой прямой, и их


можно характеризовать координатами s(t) и _s(t).Пример 1. Галилей показал, что для прямолинейного движения s(t) == gt2=2 скорость будет равна _s(t) = gt.Пример 2. Пусть точка, находящаяся на расстоянии R от точки O,равномерно вращается вокруг O. Тогда вектор _r(t) направлен по каса-тельной к окружности, по которой движется точка, и | _r(t)| = 2�R=T ,где T |период вращения (время полного оборота). В частности, приT = 2� имеем |r(t)| = | _r(t)| = R.

Закон сложения скоростей. Пусть имеется два движения r1(t)и r2(t). Назовем их суммой движение, для которого r(t) = r1(t)++r2(t), где справа стоит векторная сумма. Закон сложения скоро-стей утверждает, что скорость движения _r(t) равна _r1(t) + _r2(t),то есть сумме (векторной) скоростей составляющих движений.Закон сложения скоростей легко установить для суммы движе-ний с постоянными скоростями; общий же случай получается изэтого частного случая предельным переходом.

Всякое движение r(t) может быть представлено в виде суммы двухпрямолинейных движений. Для этого достаточно ввести любую декар-тову систему координат так, чтобы O = (0; 0), и рассмотреть измене-ние со временем координат x(t); y(t) вектора r(t). Очевидно, что исход-ное движение r(t) и будет суммой движений x(t) и y(t) по координат-ным осям. Скорости этих движений x(t) и y(t) являются компонентамивектора r(t) (в силу закона сложения скоростей). Если в примере 2R = 1; T = 2�, и вектор r(0) направлен по положительному направле-нию оси Ox, то r(t) = (sin t; cos t), _r(t) = (cos t;− sin t), и мы получаем,что _s(t) = − sin t если s(t) = cos t, и _s(t) = cos t если s(t) = sin t. Чита-тель, знакомый с дифференцированием, заметит, что выявился оченьпростой кинематический смысл формул для производных от sin t и cos t.

Кинематическое определение касательной к параболе. Еще Гали-лей (1564|1642) обнаружил, что если тело бросить под углом кгоризонту, то оно летит по параболе. При доказательстве этогофакта Галилей исходил из предположения, что такое движениеявляется суммой равномерного движения по инерции и свобод-ного падения. Однако Галилей не воспользовался своими вычи-слениями для построения касательной к параболе. Сделал этоТорричелли. В приводимых ниже задачах 1, 2 сформулированего результат.


Задача 1. Докажите, что касательная, проведенная в точке At траек-тории горизонтально брошенного тела: At = (x(t); Õ(t)) = (vt; gt2=2),соединяет эту точку с точкой (0;−y(t)) = (0;−gt2=2).

Все вычисления легко обобщаются на случай тела, брошен-ного под углом к горизонту со скоростью (u; v). В этом случаедвижение разбивается на движение {x1(t) = ut; x2(t) = vt} с по-стоянной скоростью (u; v) и свободное падение {x2(t) = 0; y2(t) == −gt2=2}. Поэтому результирующее движение записываетсятак: {x(t) = ut; y(t) = vt − gt2=2} (при сложении векторов сначалом в O координаты их концов складываются).Задача 2. Докажите, что касательная к параболе, по которой летит тело,брошенное со скоростью (u; v), соединяет точку касания (x(t); y(t)) сточкой (0;−y2(t)) = (0; gt2=2).

Заметим, что указанный Торричелли способ построения ка-сательных к параболе был известен и раньше, однако его кине-матическая интерпретация, безусловно, поучительна.

x

y

At

Bt

Ct

Ft_r1

_r2

_r

Рис. 4.

Вернемся к циклоидам. Движе-ние точки, описывающей цикло-иду, можно рассматривать каксумму вращательного r1(t) |вокруг O | и поступательно-го r2(t)|вдоль прямой l, причемдвижения эти происходят такимобразом, что в каждый моментвремени пройденные пути оказы-ваются одинаковыми (s(t)). За-кон изменения пути s(t) можнозадавать по-разному; от этого

будет зависеть характер движения, но траектория (циклоида),а вместе с ней и интересующие нас касательные, меняться не бу-дут. Выберем самый простой закон изменения: s(t) = ct. Тогдаоба движения, и поступательное и вращательное, будут равно-мерными с одинаковой величиной скорости _r1(t) = _r2(t) = c (см.пример 2)1.

1Имеем c = 2�R=T , где R|радиус производящего круга, T |время егополного оборота. В частности, если T = 2�, то c = R.


_r1 = _r2

_r1_r2

Рис. 5.

Найдем скорость результирующего движения. Пусть в мо-мент времени t точка занимает положение At (рис. 4). Век-тор _r1(t) направлен по касательной к границе производящегокруга, вектор _r2(t) | горизонтально; длины их одинаковы. Поправилу параллелограмма (в данном случае это ромб) находимискомую скорость _r(t), а значит, и касательную к циклоиде.Задача 3. Докажите, что касательная к циклоиде в точке At соединяетэту точку с верхней точкой Ft производящего круга при его соответ-ствующем положении.

(Для решения задачи нужно доказать лишь простой геометриче-ский факт: вектор _r(t) направлен по прямой AtFt.)

Заметим, что величина скорости | _r(t)| не постоянна: она мак-симальная, когда точка занимает наивысшее положение (приэтом векторы _r1(t) и _r2(t) лежат на одной прямой и совпадаютпо направлению), и равна нулю, когда точка попадает на пря-мую l (в этом случае векторы _r1(t) и _r2(t) противоположны|рис. 5).

Можно показать, что равенство нулю скорости в точках со-прикосновения круга и прямой во все моменты времени эквива-лентно принятому ранее определению качения без скольжения.

Итак, получаем, что там, где циклоида имеет заострения, ско-рость наблюдаемой точки обращается в нуль. Оказывается, чтои в точках заострения любой траектории скорость всегда рав-на нулю. Иногда говорят, что траектория не может «сломаться»на ненулевой скорости. Принято считать, что в точках заостре-ния у кривых нет касательных. Все сказанное здесь нуждается всерьезных уточнениях, которые мы делать не будем.


x

y

At

Bt

Et

F

�

Рис. 6.

Нормаль к циклоиде. Итак, каса-тельная к циклоиде в точке At

(рис. 6) проходит через верхнююточку производящего круга |точку F на рис. 6. Пусть Bt |нижняя точка круга, � | уголмежду касательной и вертика-лью FBt. Тогда AtBt | нормальк циклоиде (перпендикуляр к ка-сательной; мы воспользовались

тем, что вписанный угол, опирающийся на диаметр, | пря-мой), и для ординаты y точки At имеем y = EtBt = 2r sin2 �.Отсюда получаем следующее соотношение:

sin� =

√y

2r: (9)

В дальнейшем это соотношение будет играть важную роль. Мож-но показать, что циклоида с параметром r является единственнойкривой, проходящей через точку (0; 0) и удовлетворяющей соот-ношению (9).

О площадях криволинейных фигур. Площади некоторых криволи-нейных фигур умели вычислять еще в Древней Греции. Внача-ле интересовались лишь квадратурой фигур, т. е. построениемдля данной фигуры циркулем и линейкой отрезка, длина кото-рого равна ее площади. Как выяснилось позднее, это можно сде-лать для тех фигур, площадь которых вычисляется при помощиарифметических операций и операции извлечения квадратногокорня. Постепенно стали интересоваться фигурами, площади ко-торых вычисляются с помощью произвольных алгебраическихопераций (алгебраическая квадратура), а затем даже и такимифигурами, в выражениях для площадей которых фигурировалочисло �. Основной метод вычисления площадей состоял в прибли-жении данной фигуры многоугольниками и переходе к пределу;но должно было очень повезти, чтобы эти вычисления удалосьдовести до явного ответа.


Иногда вычисление площади фигуры можно упростить, вос-пользовавшись какими-нибудь общими свойствами площадей.Вот несколько таких свойств.

1. При гомотетии фигуры с коэффициентом k площадь ееумножается на k2, а при растяжении фигуры относительнонекоторой оси с коэффициентом k площадь ее умножаетсяна k.

2. Равносоставленные фигуры (т. е. фигуры, которые можноразрезать на попарно равные части) равновелики (имеютравные площади).

3. Две фигуры, при пересечении которых любой прямой, па-раллельной некоторой фиксированной прямой, получаютсяравные отрезки, равновелики (этот принцип сформулиро-вал в 1635 году Кавальери (1598 { 1647) ).

Представим себе, что контур фигуры|гибкая лента, а самафигура составлена из очень тонких жестких слоев, параллель-ных прямой l («неделимых», по терминологии Кавальери). Рас-смотрим преобразования, сохраняющие эти слои, но сдвигающиеих друг относительно друга. Все получающиеся при таких пре-образованиях фигуры в силу принципа Кавальери будут равно-велики.

Перечисленные свойства площадей нуждаются в доказатель-ствах (основная трудность этих доказательств состоит в том,чтобы дать строгое определение площади), но в них легко пове-рить. Сейчас мы расскажем о том, как изящно применяются этисвойства при вычислении площади фигуры, лежащей под аркойциклоиды.

Спутница циклоиды, лепестки Роберваля и площадь под циклоидой.Поскольку все циклоиды подобны, мы ограничимся случаем r == 1. Вслед за Робервалем свяжем с каждой точкой циклоиды At

(см. рис. 6 на с. 132) ее проекцию Et на вертикальный диаметрпроизводящего круга. Точка Et имеет координаты

x = t; y = 1− cos t = 1− sin(t+

�

2

):


0

1

2

�

2

� 3�

2

2� x

y

0

1

2

�

2

� 3�

2

2� x

y

а) б)

Рис. 7.

Кривую, составленную из точек Et при всевозможных t, Ро-берваль назвал «спутницей циклоиды». Легко понять, что «спут-ница циклоиды»| это сдвинутая синусоида (на 1 вверх и на �=2вправо).

С этим обстоятельством связан исторический курьез. Математикис незапамятных времен занимались тригонометрическими функциями,но синусоида впервые появилась лишь в XVII веке, причем не как гра-фик синуса, а как . . . «спутница циклоиды» (отчасти это можно объ-яснить тем, что долго не рассматривали функций неалгебраическогопроисхождения).

Рис. 8.

«Спутница циклоиды» разби-вает ее на три части (рис. 7ана с. 134): фигуру под синусои-дой и две симметричные фигу-ры, названные «лепестками Ро-берваля». В силу свойства 2 пло-щадь фигуры под синусоидой рав-на 2�: эта фигура равносоставле-на с прямоугольником такой пло-щади (рис. 7б). Рассмотрим один «лепесток». Горизонталь на вы-соте y = 1 − cos t пересекает его по отрезку AtEt длины | sin t|(см. рис. 3). Переместив эти горизонтальные отрезки (при всевоз-можных t) вдоль своих горизонталей так, чтобы их левые концыпопали на одну вертикаль, мы получим полукруг единичного кру-га (рис. 8). В силу принципа Кавальери площадь «лепестка» равнаплощади этого полукруга, т. е. �=2. Значит, площадь фигуры под


аркой циклоиды с r = 1 равна 2�+2(�=2) = 3� (и следовательно,3�r2 при r 6= 1).

Вопрос о вычислении площадей сегментов циклоиды являетсяменее элементарным. Гюйгенс не без гордости писал: «Я первыйпромерил площадь той части циклоиды, которая получится, ес-ли отсчитать от вершины 1=4 часть оси и провести параллельоснованию. Эта часть составляет половину площади правильно-го шестиугольника, вписанного в образующий круг».

Таутохрона. Галилей утверждал, что период колебаний матема-тического маятника определяется только его длиной l и не зави-сит от угла ' его максимального размаха. Гюйгенс, выяснив, чтоэто утверждение справедливо лишь для малых углов ', решил по-строить маятник, период колебаний которого и в самом деле независел бы от ' (такой маятник называется таутохронным илиизохронным).

Построение изохронного маятника Гюйгенс разделил на дваэтапа:

1) нахождение кривой, по которой должен двигаться конецмаятника (таутохроны);

2) нахождение подвески маятника, обеспечивающей движениеего конца по таутохроне.

Мы начнем с поисков таутохроны (существование которой за-ранее не очевидно).

Конец математического маятника движется по дуге окружно-сти точно так же, как тяжелая материальная точка|по желобу,контур которого совпадает с этой окружностью. Если прене-бречь силами трения и сопротивления воздуха, то тяжелая точка,пущенная по круговому желобу без начальной скорости с высо-ты H, пройдя нижнее положение, снова поднимется на высоту Hи далее будет совершать периодические колебания, поднимаясьто в одну, то в другую сторону на высоту H. Неверное утвер-ждение Галилея состояло в том, что при этом период колеба-ний T (H) не зависит от H. Наша задача | определить, какойформы должен быть желоб, чтобы то, что утверждал Галилей,было верным.


2r

B B′

C2� C0

Ct

C ′t

C ′′t

O

�v

Рис. 9.

Благодаря счастливой случайности (они в истории наукииграют не последнюю роль), Гюйгенс изучал циклоиду (в связис конкурсом Паскаля, 1658 год) в то самое время, когда искализохронный маятник. Именно циклоида и оказалась таутохро-ной! Вероятно, сам Гюйгенс этого заранее не ожидал (так можнопонимать его слова: «я обнаружил пригодность ее (циклоиды)для измерения времени, исследуя ее по строгим правилам наукии не подозревая ее применимости»).

Рассмотрим на желобе, сделанном по форме перевернутой ци-клоиды (рис. 9; r|радиус производящего круга) тяжелую мате-риальную точку; пусть в начальный момент времени она нахо-дится на высоте H (в точке C0 на рисунке). Попытаемся найтивремя � , через которое она окажется в нижней точке B (верши-не циклоиды). Тогда через 2� она будет в точке C2� циклоиды,симметричной относительно вертикальной оси точке C0, черезвремя T = 4� (полный период) вернется в точку C0. Нас интере-сует зависимость � от H.

Пусть в момент времени t тяжелая точка занимает положе-ние Ct на высоте h = h(t). Вектор скорости _r(t) в момент вре-мени t направлен по касательной к циклоиде в точке Ct; его дли-на | _r(t)| (величина скорости) определяется из закона сохраненияэнергии:

m| _r(t)|2

2= mg(H − h(t));

т. е.| _r(t)| =

√2g(H − h(t)):

Посмотрим, как движется проекция нашей точки на верти-каль C0B

′. В момент времени t эта проекция занимает поло-жение C ′t, а в момент времени � она окажется в точке B′ (см.


рис. 9), пройдя отрезок C0B′ длины H. Скорость w(t) в мо-

мент времени t этого прямолинейного движения (в точке C ′tна рис. 9) | это проекция вектора скорости _r(t) на вертикаль:w(t) = | _r(t)| cos�, где �| угол между касательной к циклои-де и вертикалью. Поскольку (см. (9)) cos� =

√(2r − y)=2r и

y = 2r − h(t), имеем cos� =√h(t)=2r, а значит

w(t) =

√g

r·√h(t)(H − h(t)):

Итак, закон изменения скорости у нашего прямолинейногодвижения довольно сложный. Но Гюйгенс заметил (решающая до-гадка!), что при равномерном вращательном движении по окруж-ности диаметра H вертикальная компонента скорости имеет тотже вид, что и w(t). Действительно, построим на отрезке C0B

′

как на диаметре полуокружность, и пусть C ′′t |точка этой по-луокружности, лежащая на высоте h(t). Длина отрезка C ′tC

′′t рав-

на√h(t)(H − h(t)).

Из подобия прямоугольных треугольников, заштрихованныхна рис. 9 (их стороны взаимно перпендикулярны: OC ′′t | ра-диус, в точке C ′′t проведены касательная к полуокружности ивертикаль), следует, что вектор длины (H=2)

√g=r, касательный

к окружности в точке C ′′t , имеет вертикальную проекцию дли-ны w(t). Значит, когда наша точка C движется по циклоиде,соответствующая ей точка C ′′ равномерно вращается с угловойскоростью

√g=r радиан в секунду (не зависящей от H!). За вре-

мя � = �√r=g точка C ′′ пройдет полуокружность C0B

′, за то жевремя точка C ′ пройдет отрезок C0B

′, а сама точка C | дугуциклоиды C0B. Итак, мы не только доказали таутохронность ци-клоиды (т. е. что � не зависит от H), но и нашли полный периодколебаний:

T = 4� = 4�√r

g: (10)

Фактически доказано, что движение тяжелой материальной точкипо циклоидальному желобу можно представить в виде суммы равно-мерного вращательного движения с угловой скоростью, не зависящей


от того, с какой высоты H пущена точка, и некоторого (вообще гово-ря неравномерного) поступательного движения. При H = 2r это легковывести из кинематического определения циклоиды и соотношения (9)на с. 132.

Формула (10) настолько напоминает гипотетическую форму-лу Галилея для периода математического маятника (T = 2�

√l=g,

где l | длина), что было естественно попытаться использо-вать (10) для обоснования последней. И в самом деле, с по-мощью (10) Гюйгенс получил первое строгое доказательствоформулы для периода колебаний математического маятника прималых углах размаха '. Он заметил, что при малых углах круго-вой желоб почти не отличается от циклоидального, и оставалосьтолько понять, при каком соотношении между длиной l мате-матического маятника и параметром l циклоиды это отличиенаименьшее. Оказалось, что при l = 4r (это не очевидный факт;мы еще к нему вернемся). Подставляя в (10) r = l=4, получаемзнаменитую формулу для периода математического маятника:T = 2�

√l=g (при малых ').

Циклоидальный маятник. Создавая первую модель часов, Гюй-генс надеялся скомпенсировать отклонение простого (математи-ческого) маятника от изохронности, уменьшая в процессе откло-нения его длину. Длину маятника можно регулировать, устано-вив «щеки» (рис. 10а), на которые в процессе отклонения будетнаматываться нить подвески. Попытки экспериментально подо-брать нужную зависимость длины маятника от угла отклоненияне дали успеха, и Гюйгенс в следующих своих конструкциях ча-сов устанавливает вместо щек ограничители размаха. Когда жевыяснилось, что циклоида|таутохрона, стало понятно, что фор-ма щек должна быть такой, чтобы конец маятника двигался поциклоиде.

Гюйгенс искал форму щек, рассуждая (в несколько вольномпересказе) примерно так. Пусть имеется препятствие, ограни-ченное кривой L, в некоторой точке O которого закреплена нера-стяжимая нить длины l (рис. 10б). Натянутую нить мы наматыва-ем на препятствие, наблюдая за кривой M , которую описывает


O

AL

M

B

а) б)

Рис. 10.

незакрепленный конец нити. Гюйгенс называл кривую M «раз-верткой» кривой L; теперь M называют эвольвентой кривой L,а L| зволютой кривой M (с одной эволютой связывается мно-го эвольвент, отвечающих разным длинам l). Нам нужно найтиэволюту циклоиды.

B M

AO

Рис. 11.

КриваяM состоит из таких точек B, чтосумма длин отрезка касательной BA к кри-вой L в точке A и дуги AO кривой L рав-на l (см. рис. 10б| это в точности означаетнатянутость частично намотанной на L ни-ти). Первая догадка Гюйгенса заключаласьв том, что касательная к кривой M в точ-ке B перпендикулярна к AB, т. е. что AB|касательная к кривой L в точке A| явля-ется одновременно и нормалью к кривой Mв точке B. Проще всего пояснить этот факт, исходя из кинема-тического определения кривой M . Вспомним, что вектор скоро-сти направлен по касательной к траектории движения и что приизменении действия сил вектор скорости не может изменитьсямгновенно (подробнее об этом см. ниже). «Обрубим» в точке Aпрепятствие, но будем продолжать движение натянутой нити(рис. 11); тогда конец нити начнет двигаться по окружности сцентром в точке A; векторная же скорость его в точке B не изме-нится; поэтому в точке B у кривойí и окружности с центром Aбудет общая касательная, перпендикулярная к радиусу BA.


O

O′

A

A′C ′

C

C ′′

l′

l

Рис. 12.

Когда вы прочтете в этой главе раздел, посвященный рулет-там, вы заметите, что если рассматривать нити разной длины,то описанное движение конца нити продолжается до такого дви-жения всей плоскости как твердой пластины, при котором точкикривой L являются мгновенными центрами вращения, а различ-ные эвольвенты| траекториями точек плоскости. Из этого за-мечания сразу следует перпендикулярность отрезка AB к каса-тельной к кривой M в точке B.

Следующая догадка Гюйгенса состояла в том, что в «хоро-шей» ситуации зволюта кривой восстанавливается однозначно(помните, у одной кривой много эвольвент)! Дело в том, чтонормали к кривой M в разных точках | это касательные к ееэволюте L. «Хорошую» же кривую по касательным можно восста-новить: взяв много касательных, построить описанную ломануюи, «учащая» затем касательные, все лучше приближать кривую(говорят, что кривая огибает множество своих касательных).

Нам нужно найти кривую, касательные к которой будут нор-малями к заданной циклоиде. Гюйгенс догадался, что этой кри-вой будет такая же циклоида, только поднятая на 2r и сдвинутаяна полпериода (так, что ее вершины совпадают с остриями ис-ходной циклоиды; см. рис. 12).

В самом деле, пусть r = 1, и пусть l и l′ | направляющиепрямые соответственно нижней и верхней циклоид, O и O′|ихначальные точки (l′ на две единицы выше l; O′ на � единиц пра-вее O). Возьмем на прямой l точку C и рассмотрим положения


производящих кругов (обеих циклоид), когда они касаются l вэтой точке C. Пусть C ′ и C ′′|диаметрально противоположныеей точки соответственно верхнего и нижнего кругов, A и A′|соответствующие точки циклоид. Дуга CC ′′A равна по длине от-резку OC; поэтому она на � больше дуги C ′A′, равной по длинеотрезку O′C ′. Отсюда ∠C ′CA′ = ∠C ′′CA, и точки A′; C;A лежатна одной прямой. Остается заметить, что CA′|касательная кверхней циклоиде, а CA|нормаль к нижней (AC ′′|касательнаяк ней).

Теперь мы знаем, что щеки таутохронного маятника должныбыть циклоидальными, и что длина нити l должна равняться 4r(именно при таком значении l мы в качестве эвольвенты получимнужную циклоиду). При малых же углах размаха ' регулирую-щие щеки почти не влияют на длину маятника, и циклоида близкак дуге окружности радиуса 4r (см. конец предыдущего пункта).

Теорема Кристофера Рена. Эволюты и вычисление длин кривых.Решив задачу о циклоидальном маятнике, Гюйгенс не остано-вился, понимая, что им создана замечательная математическаятеория. Он пишет: «Для применения моего изобретения к маят-никам мне необходимо было установить новую теорию, а именно,теорию образования новых линий при посредстве развертываниякривых линий. Здесь я столкнулся с задачей сравнения кривых ипрямых линий. Я изучил этот вопрос несколько далее, чем нужнобыло для моей цели, так как теория показалась мне изящной иновой».

Прежде всего Гюйгенс заметил, что когда нить маятника це-ликом наматывается на щеку, то конец его оказывается в вер-шине циклоиды; значит, длина нити маятника (4r) совпадает сдлиной половины арки циклоиды, и, значит, длина арки циклои-ды равна 8r. Эту теорему в 1658 году сформулировал и доказалКристофер Рен; Гюйгенс же, как мы видим, получил очень есте-ственное доказательство этой теоремы.

Теорема Кристофера Рена произвела на современников оченьсильное впечатление, и вот почему. Вычислением длин кривыхматематики интересовались не меньше, чем вычислением площа-


дей. Вначале, по аналогии с квадратурой (см. с. 132), они интере-совались «ректификацией» | построением циркулем и линейкойотрезка соответствующей длины; позже стали интересоватьсяи алгебраической ректификацией | выражением длины кривойпри помощи любых алгебраических операций. Мы уже говорили,что квадратуры некоторых фигур были найдены еще античны-ми математиками; кривую же, для которой была бы возможнахотя бы алгебраическая ректификация, математики безуспешноискали вплоть до второй половины XVII века. Начали думать,что такой кривой вообще нет (так можно толковать слова Де-карта «мы, люди, не можем найти соотношения между прямымии кривыми»). Ректификация циклоиды, полученная Реном, опро-вергла эту точку зрения. Затем Ферма получил ректификациинескольких других кривых; однако во всех этих примерах фигу-рировали неалгебраические кривые, и скептики «уточнили» ги-потезу, предположив, что невозможна алгебраическая ректифи-кация алгебраических кривых (они справедливо объясняли, что,конечно, искусственно построить кривую, допускающую ректи-фикацию, можно). Однако и в таком виде гипотеза оказаласьневерной (первый опровергающий эту гипотезу пример был по-строен еще в 1657 году, но оставался неизвестным): Нейль, Хей-рат и Ферма независимо предъявили в качестве алгебраическойкривой, допускающей алгебраическую ректификацию, одну и туже полукубическую параболу ay2 = x3. Совпадение это казалосьмистическим до тех пор, пока Гюйгенс не вскрыл, в чем при-чина исключительности этой малозаметной кривой: она являетсяэволютой параболы. Точнее, эволютой параболы y = x2 являетсякривая

y =12+ 3(x4

)2=3:

Теория Гюйгенса вообще максимально прояснила вопрос оректификации. Результаты о циклоидальном маятнике и связан-ные с ними вопросы составили содержание большей части книгиГюйгенса «Маятниковые часы», вышедшей в 1673 году.

В заключение мы предлагаем читателям несколько задач свесьма почтенной репутацией.

Рулетты и касательные к ним 143

Две задачи Галилея

1. Докажите, что под действием силы тяжести материальная точка про-ходит все хорды окружности, оканчивающиеся в нижней точке окруж-ности, за одно и то же время (аналогично|для хорд, начинающихся вверхней точке окружности).2. Пусть есть кривая L (достаточно «хорошая») и точка A, не лежащаяна L. Найдите на L такую точку B, чтобы отрезок AB проходился ма-териальной точкой под действием силы тяжести за минимальное время.

Задачи Ньютона

Пусть есть центральное поле, в котором силы пропорциональны рас-стоянию r до центра: F (r) = kr, k > 0.

Ньютон заметил, что в таком поле гипоциклоиды (см. о них нижев этой главе) играют ту же роль, что циклоиды| в поле сил тяжести:гипоциклоиды являются (в этом поле) таутохронами (Ньютон назы-вал их изохронами), а эволютами гипоциклоид являются подобные жегипоциклоиды (это | чисто геометрический факт, не относящийся кмеханике, но он позволяет устроить гипоциклоидальный маятник, а за-одно и вычислить длину гипоциклоиды).

Попробуйте доказать эти утверждения.

2. Рулетты и касательные к ним

Некоторые вопросы выяснились для меня первоначально припомощи механического метода, после чего их надо было до-казать геометрически, ибо исследование упомянутым мето-дом не может дать подлинного доказательства. Однако, ра-зумеется, легче найти доказательство, если сперва с помо-щью этого метода получено известное представление о во-просе, чем искать доказательство, не зная заранее, в чемсуть дела. Архимед

Укороченные циклоиды. Пока мы следили только за одной (фик-сированной) граничной точкой производящего круга; ясно, чтои другие граничные точки будут двигаться по таким же ци-клоидам, только сдвинутым вдоль прямой. Проследим теперь затраекториями внутренних точек круга. Возникающие кривые на-зываются укороченными циклоидами; они характеризуются от-ношением k = �=r, где R| радиус производящего круга, �|


расстояние от центра круга до наблюдаемой точки. При k = 0 по-лучаем прямую, по которой движется центр круга, а при k = 1|циклоиду (рис. 13).

Рис. 13.

Задача 4. Докажите, что нормаль к укороченной циклоиде прохо-дит через нижнюю точку производящего круга.

Заметим, что точка, движущаяся по укороченной циклоиде,нигде не имеет нулевой скорости. В нижней точке скорость на-правлена горизонтально и ее величина равна R−�. Это означает,что к качению окружности радиуса � добавляется скольжение соскоростью R− � (поступательное движение).

Удлиненные циклоиды. Вовлечем в качение круга его внешниеточки (можно представить себе, что на колесо, движущееся порельсу, надет обод). Эти точки движутся по кривым, которыеназываются удлиненными циклоидами (рис. 14). Все рассужде-ния, которые ранее были приведены для укороченных циклоид,дословно переносятся на удлиненные. Здесь только k = �=r > 1.Заметим лишь, что в нижней точке удлиненной циклоиды ско-рость направлена в сторону, противоположную движению круга(| _r1| = �, _r2 = r, � > R).

Обращали ли вы внимание на то, что нижние точки ободаколеса вагона движутся назад?

Рис. 14.


Мгновенный центр вращения. Итак, мы вовлекли в качение кру-га по прямой все точки плоскости. Каждая точка движется посвоей траектории, но все эти траектории согласованы, так какдвижущиеся точки составляют твердое тело. Характеристиче-ским свойством твердого тела с точки зрения кинематики явля-ется то, что при движении расстояния между всеми его точкамиостаются неизменными. Мы ограничимся здесь рассмотрениемлишь таких движений твердых пластин, которые можно произво-дить, не выводя пластины из плоскости (запрещается, например,их переворачивать). Нас будет интересовать, какие ограничениянакладывает на скорости точек пластины условие твердости (за-метим, что вопрос о движении трехмерных твердых тел намногосложнее рассматриваемой нами плоской задачи).

Вот некоторые закономерности движения твердых пластин.

Принцип вовлечения. Движение твердой пластины однозначноопределяется движениями любых двух ее точек. Движение двухразличных точек, при котором сохраняется расстояние междуними, можно, и притом единственным образом, продолжить додвижения всей плоскости как твердой пластины.

Это утверждение носит чисто геометрический характер. Мыне будем приводить его доказательства, ограничившись нагляд-ными пояснениями. Во-первых, движение прямолинейного стерж-ня полностью характеризуется движением двух его точек, а во-вторых, если треугольник составлен из жестких стержней, тодвижение одного из них однозначно приводит в движение весьтреугольник. В результате в движение двух точек A;B можнововлечь прямую AB, а затем всякую точку C вне AB.

Принцип инерции. Если на твердую пластину не действуют ни-какие внешние силы (а лишь внутренние силы, обеспечивающиетвердость), то она совершает равномерное прямолинейное илиравномерное вращательное движение.

При рассмотрении произвольных движений пластин нам по-требуется еще один фундаментальный принцип механики: ско-рость не может измениться мгновенно (для изменения скороститребуется ненулевое время). В частности, если в момент време-


ни t0 изменить силы, действовавшие на движущуюся точку, тоскорость _r(t0) не изменится, а значит, если _r(t0) 6= 0, не изменит-ся и касательная к траектории в момент t0 (хотя сама траекторияначиная с этого момента может стать иной).

Пусть в момент времени t0 на движущуюся твердую пласти-ну перестали действовать внешние силы. Тогда, с одной сторо-ны, скорости точек в момент времени t0 останутся прежними,а с другой стороны, движение должно подчиняться сформули-рованному принципу инерции. Поэтому при движении твердойпластины в каждый момент времени t может иметь место лишьодна из двух возможностей;

а) скорости всех точек равны (как векторы);б) существует единственная точкаOt, в которой скорость рав-

на нулю; в произвольной же точке A пластины скорость напра-влена перпендикулярно к вектору OtA, а ее величина пропорци-ональна расстоянию от A до Ot. (Коэффициент пропорциональ-ности зависит только от момента времени t.)

Из того, что скорость не может измениться мгновенно, не-трудно вывести, что переход от ситуации а) к б) и наоборотвозможен лишь в те моменты, когда пластина останавливает-ся (скорости всех точек равны нулю). Поэтому в промежуткахмежду остановками либо всюду имеет место ситуация а), либовсюду б). Можно показать, что в случае а) траектория любойточки A получается из траектории некоторой точки B парал-лельным переносом на вектор BA. Мы будем рассматривать слу-чай б) (то есть считать, что в каждый момент времени имеетсяединственная точка Ot с нулевой скоростью). Будем называть Ot

мгновенным центром вращения в момент t. (В примере с каче-нием круга по прямой мгновенным центром вращения являетсяточка соприкосновения круга с направляющей прямой.)

Если известен мгновенный центр вращения Ot, то нормали ктраекториям в момент времени t (прямые OtAt), а следователь-но, и касательные, строятся автоматически. Наоборот, если вмомент t известны скорости двух точек пластины, то взяв точкупересечения нормалей к этим скоростям, мы получим мгновен-ный центр вращения Ot.


C

C

L

Рис. 15.

Пусть теперь твердая пластина движется по неподвижнойплоскости. Рассмотрим на этой плоскости кривую L, составлен-ную из мгновенных центров вращения во все моменты времени;кривую L называют неподвижным центроидом; мы будем назы-вать ее «рельсом». С другой стороны, рассмотрим на пластинекривую C, составленную из всех таких точек, которые оказы-ваются мгновенными центрами вращения в какие-то моментывремени; C называют подвижным центроидом; мы будем назы-вать C «колесом». Введенные «несерьезные» термины, вероятно,подсказали вам, что исходное движение можно получить, еслирассмотреть качение без скольжения нашего кривого «колеса»по кривому «рельсу» и вовлечь в это качение остальные точки(рис. 15). Отсюда можно вывести равенство длин дуги «колеса» исоответствующей дуги направляющего «рельса» (по которой этадуга «колеса» прокатилась). При этом разрешается, чтобы прикачении «колесо» пересекало «рельс».

Часто под рулеттами понимают траектории, которые опи-сывают точки плоскости при ее движении как твердой пласти-ны с условием (б) во все моменты времени, т. е. при некоторомкачении. Ко всем рулеттам мы научились проводить нормалии касательные. При этом оказалось, что не нужно даже уметь


проводить касательные к «колесу» и «рельсу» (это было бы необ-ходимо, если пользоваться сложением скоростей). В наших ме-ханических рассмотрениях мы вышли за пределы XVII века; за-мечательно, однако, что способ проведения нормалей к общимрулеттам открыл Декарт, определявший их с помощью качения(не зная, сколь общий характер носят движения, порожденныекачениями).

Эпициклоиды. Рассмотрим теперь рулетты, получающиеся прикачении круга по кругу. Пусть круг радиуса r катится по внеш-ней стороне окружности радиуса R. Траектории граничных то-чек катящегося круга («колеса») называются эпициклоидами. Ихвид зависит от k = R=r (рис. 16 на с. 149). Если k|целое, топодвижный круг, прокатившись один раз по границе неподвиж-ного, сделает k оборотов и эпициклоида будет иметь k заостре-ний и k арок. Эпициклоиду при k = 1 называют кардиоидой (онанапоминает стилизованное изображение сердца). Если k = p=q|несократимая дробь, то подвижный круг, сделав q оборотов, pраз прокатится по неподвижному. Если же k будет иррациональ-ным числом, то никакой периодичности не будет, и наблюдаемаяточка никогда не вернется в исходное положение. (Можно дока-зать, что получающаяся в этом случае бесконечная траекториязаполняет кольцо {R 6 OA 6 R+2r}, подходя сколь угодно близ-ко к любой его точке, но не в каждую попадая.)

Касательные к эпициклоидам легко строятся с помощью мгно-венного центра вращения| точки соприкосновения кругов. До-кажите, что касательная к эпициклоиде (в некоторой точке) про-ходит через точку соответствующего подвижного круга, диаме-трально противоположную точке соприкосновения с неподвиж-ным.

Замечание. При построении эпициклоид и решении задач нужнопомнить следующее. Если A| начальное положение наблюдае-мой точки (рис. 18 на с. 151), а в некоторый момент времениподвижный круг касается неподвижного в точке B, то эпици-клоиде принадлежит такая точка его границы C, что дуга BA


O

M0

M'

3' M0O

M'

6'

а) k = 3 б) k = 6

в) k =12

г) k =52

д) k =23

Рис. 16.


Рис. 17. Укороченные и удлиненные эпициклоиды

равна по длине дуге BC; учитывая разницу радиусов, получаем

∪BC∪BA

=R

r= k:

Траектории движения внутренних (соответственно внешних) то-чек подвижного круга при рассматриваемом качении называют-ся укороченными (соответственно удлиненными) эпициклоидами(рис. 17; мы ограничиваемся целыми k).

Задача 5. Пусть точка A равномерно вращается вокруг точ-ки O1, которая, в свою очередь, равномерно вращается вокругточки O; OO1 = r2, O1A = r1. Пусть оба вращения происходятпо часовой стрелке; v1 и v2|величины линейных скоростей. По-кажите, что движение точки A будет происходить по какой-тоэпициклоиде (быть может, укороченной или удлиненной). Каки-ми соотношениями определяется характер кривой?

Гипоциклоиды. Рулетты, получающиеся при качении круга ради-уса r по внутренней стороне окружности радиуса R > r, называ-ются гипоциклоидами (соответственно, удлиненными или укоро-ченными). Можно также в качестве аналога такого движения рассмо-треть качение обруча радиуса R, внутренней стороной касающегосяграницы неподвижного круга радиуса r < R. Соответствующие рулет-ты называются перициклоидами. Но оказывается, что они совпадают сэпициклоидами (см. приложение в конце главы).

Брахистохрона, или еще одна тайна циклоиды 151

A

B C

Рис. 18.

Задача 6. Пусть вращения, описанные взадаче 5, происходят в двух противопо-ложных направлениях (одно | по, дру-гое|против часовой стрелки). По какимтраекториям будет при этом двигатьсяточка A?

Мы не ставили перед собой целистрого доказать все результаты, полу-ченные нами из кинематических сообра-

жений. В некоторых случаях это сделать просто: механи-ческие рассуждения заменяются математическими почти ав-томатически (для этого оказывается достаточно скоростизаменить производными). В других случаях такие «замени-тели» найти сложнее (например, там, где рассматривает-ся движение пластин или изменяются силы). Однако чи-сто математические рассмотрения не могут полностью за-менить механическую интерпретацию, во многих случаяхдающую возможность увидеть простой и красивый ответ.

3. Брахистохрона, или еще одна тайна циклоиды

Ошибка Галилея. В самом начале XVII века юный Галилей пы-тался экспериментально проверить свою догадку о том, что сво-бодное падение| равноускоренное движение. Когда он перенеснаблюдения с Пизанской башни в лабораторию, ему стало оченьмешать то, что тела падают «слишком быстро». Чтобы замед-лить это движение, Галилей решил заменить свободное падениетел их движением по наклонной плоскости, предположив, что ионо будет равноускоренным. Проводя эти опыты, Галилей обра-тил внимание на то, что в конечной точке величина скороститела, скатившегося по наклонной плоскости, не зависит от угланаклона плоскости, а определяется только высотой H и совпа-дает с конечной скоростью тела, свободно упавшего с той жевысоты (как вы хорошо знаете, в обоих случаях |v|2 = 2gH.Изучив движения по наклонным плоскостям, Галилей перешел к


рассмотрению движения материальной точки под действием си-лы тяжести по ломаным линиям. Сравнивая времена движенияпо различным ломаным, соединяющим фиксированную пару то-чек A и B, Галилей заметил, что если через эти две точки A,B провести четверть окружности (это всегда можно сделать;подумайте, как?) и вписать в нее две ломаные M и L, такие,что ломаная L «вписана» в ломаную M (см. рис. 19), то мате-риальная точка из A в B быстрее попадает по ломаной M , чемпо ломаной L (попытайтесь доказать это). Увеличивая у лома-ной число звеньев и переходя к пределу, Галилей получил, чтопо четверти окружности, соединяющей две заданные точки, ма-териальная точка спустится быстрее, чем по любой вписаннойв эту четверть окружности ломаной. Из этого Галилей сделалничем не аргументированный вывод, что четверть окружности,соединяющая пару заданных точек A, B (не лежащих на однойвертикали), и будет для материальной точки, движущейся поддействием силы тяжести, линией наискорейшего спуска (позжелинию наискорейшего спуска стали называть брахистохроной).Впоследствии выяснилось, что это утверждение Галилея было нетолько необоснованным, но и ошибочным.

O

A

B M

L

90◦

Рис. 19.

Швейцария. Конец XVII века. «Про-гуливаясь по улицам Базеля и обсу-ждая всевозможные математическиевопросы, Иоганн и Якоб Бернуллинаткнулись на следующий вопрос: ка-кую форму могла бы принять свобод-но висящая цепь, укрепленная в двухсвоих концах? Они скоро и легко со-шлись на том взгляде, что цепь при-мет ту форму равновесия, при кото-рой ее центр тяжести будет лежать

возможно ниже 〈: : :〉 Физическая часть задачи этим исчерпана.Определение кривой с наиболее низким центром тяжести приданной длине между двумя точками A и B есть уже задача толь-ко математическая.» (Мах).


Исследовав цепную линию (так называется линия, форму ко-торой принимает гибкая тяжелая нерастяжимая нить, подвешен-ная в двух точках), братья Бернулли заинтересовались другимизадачами, в которых разыскиваются кривые, отвечающие наи-меньшему значению той или иной величины. В 1696 году ИоганнБернулли опубликовал заметку «Новая задача, к разрешению ко-торой приглашаются математики». Впрочем, эта «новая» задачауже рассматривалась Галилеем. Речь шла о нахождении брахи-стохроны|линии, соединяющей фиксированную пару точек, покоторой материальная точка спустится под действием силы тя-жести быстрее всего. Задача о брахистохроне, недоступная в на-чале века даже великому Галилею, оказалась очень своевременнойв конце века. Она была очень быстро решена и самим ИоганномБернулли, и его братом Якобом, и их учителем Лейбницем, а так-же Ньютоном и Лопиталем. Мы расскажем о решении ИоганнаБернулли: оно совершенно неожиданным образом использует со-ображения из геометрической оптики!

«Без всякого еще метода, при помощи одной своей геометри-ческой фантазии Иоганн Бернулли одним взглядом решает зада-чу умело, пользуясь при этом тем, что случайно уже известно,|картина поистине замечательная и удивительно красивая. Мыдолжны признать в Иоганне Бернулли истинно художественнуюнатуру, действующую в области естествознания. Брат его, ЯкобБернулли, был научным характером совсем другого рода. Емубыло уделено больше критики, но гораздо меньше творческойфантазии. И он решил ту же задачу, но гораздо более тяжело-весным образом. Зато он не упустил случая развить с большейосновательностью общий метод для решения задач этого рода.Таким образом, мы находим в обоих братьях разделенными тедве стороны научного таланта, которые в величайших исследо-вателях природы, каким был, например, Ньютон, бывают соеди-нены с необычайной силой.» (Мах).

Принцип Ферма. Еще в 140 году до н. э. Клавдий Птолемей соста-вил подробную таблицу зависимости угла преломления световоголуча при переходе из воздуха в воду от угла падения, но лишь в


�ÐÁÄ�ÏÔÒ

Рис. 20.

1621 году Снеллиус угадал аналитическую закономерность, свя-зывающую эти углы:

sin�падения

sin�преломления= k;

где k| коэффициент преломления, константа для фиксирован-ной пары сред.

В 1650 году Ферма дал замечательную интерпретацию этогозакона. Он отправлялся от известного еще Герону Александрий-скому факта, что равенство углов падения и отражения можновывести из предположения, что при отражении свет выбираетнаикратчайший путь (рис. 20).

Ферма предположил, что путь распространения света меж-ду двумя точками есть такой путь, для прохождения которогосвету требуется наименьшее время по сравнению с любым дру-гим путем между этими точками,| теперь это утверждениеносит название «принципа Ферма». Из принципа Ферма, в част-ности, следует, что поскольку в однородной среде скорость светапостоянна, то наименьшее время приходится на путь наименьшейдлины. Отсюда следует, что путь света в однородной среде, неимеющей препятствий, прямолинеен, а также закон отражения.Если же среда имеет переменную плотность, и скорость света вразличных ее участках различна, то путь распространения све-та, на прохождение которого уходит наименьшее время, уже недолжен быть прямолинейным. Посмотрим, что происходит в слу-


A1

A2

B

C

EF

l

�2

�1�2 �1

c1

c2

Рис. 21.

чае преломления. (Все наши дальнейшие рассмотрения относятсяк плоскому случаю).

Пусть прямая l разделяет две среды (на плоскости), в первойиз которых скорость света равна c1, а во второй c2; A1 и A2 |точки, лежащие по разные стороны от l. Найдем на l такую точ-ку B, что sin�1= sin�2 = c1=c2, где �1|угол падения, �2|уголпреломления (см. рис. 21). Существование и единственность та-кой точки B легко доказывается. Пусть C|любая другая точкапрямой l. Опустим из нее перпендикуляры CE и CF на A1Bи A2B соответственно.

Тогда ∠ECB = �1, ∠FCB = �2, и прохождение отрезка BEсо скоростью c1 займет столько времени, сколько прохождениеотрезка BF со скоростью c2. Значит, свету на прохождение пу-ти A1BA2 нужно столько же времени, сколько на прохождениедвух отрезков: A1E со скоростью c1 и FA2 со скоростью c2. Таккак длины отрезков A1C и A2C больше длин отрезков A1E и FA2

соответственно, то свету на прохождение пути A1CA2 нужнобольше времени, чем на прохождение пути A1BA2 и, значит,точка C не годится.

Таким образом, из принципа Ферма следует закон преломле-ния Снеллиуса, причем коэффициент преломления светового лучаиз одной среды в другую оказывается равным отношению скоро-стей света в этой паре сред1.

Из принципа Ферма также следует, что в сложной слоистойоптической среде, состоящей из горизонтальных «полос», в ка-

1Принцип Ферма получил обоснование в волновой теории света, постро-енной Гюйгенсом в 1672 { 1673 годах.


�1

�2

�3

�4

c1

c2

c3

c4

Рис. 22.

ждой из которых скорость света постоянна: c1; c2; : : : (рис. 22),свет будет распространяться по плоской ломаной с вершинамина разделяющих эти полосы прямых, причем если �i|угол, ко-торый звено ломаной, лежащее в области со скоростью света ci,образует с вертикалью, то sin�j=cj = const для всей ломаной.Действительно, если sin�j=cj 6= sin�j+1=cj+1 для некоторого j,то по принципу Ферма по такой ломаной свет распространятьсяне может: вершину ломаной на границе соответствующих средможно передвинуть так (не меняя остальных вершин), что общеевремя, затраченное светом, уменьшится.

Если же в некоторой неоднородной оптической среде ско-рость света меняется непрерывно, но так, что в точках горизон-талей (т. е. в точках с одинаковыми ординатами) она одна и таже: c(y) (значение y = 0 соответствует начальному положениюточки, из которой выходит луч), то предельным переходом полу-чаем, что в этой среде путь распространения света между двумяточками есть такая кривая L, что

sin�(y)c(y)

= const; (11)

через �(y) обозначен угол, который касательная, проведенная ккривой L в точке с ординатой y, образует с вертикалью.

Чтобы перейти к задаче о брахистохроне, заметим, что соот-ношение (11) мы получили из принципа Ферма, пользуясь лишь


тем, что в фиксированной точке нашей неоднородной среды ве-личина скорости света фиксирована и не зависит от направленияраспространения света (в наших примерах она была постояннана горизонталях). Но, как мы уже отмечали выше, для тела, дви-жущегося только под действием силы тяжести, |v(y)| =

√2gy,

где y| пройденный по вертикали путь, «потеря» высоты, | имы получаем, что и в этой задаче величина скорости в каждойфиксированной точке плоскости фиксирована и не зависит от то-го, по какому пути происходит движение. Поэтому все выводы изпринципа Ферма могут быть перенесены и сюда. Следовательно,чтобы попасть из одной заданной точки в другую за минималь-но возможное время, материальная точка должна двигаться потакому пути L, соединяющему эти две точки (мы предполагаем,что точки не лежат на одной вертикали), для которого

sin�(y)√y

= const; (12)

где �(y) | угол между вертикалью и касательной к кривой L,проведенными в точке с ординатой y.

Нам остается лишь отыскать кривую, удовлетворяющую усло-вию (12).

A

B

r

Рис. 23.

Опять циклоида! Математики XVII векапривыкли к тому, что циклоида| это «па-лочка-выручалочка» во многих вопросах.И вот ей снова было суждено подтвердитьсвою «репутацию» | брахистохрона такжеоказалась циклоидой!

В самом деле, если через �(y) обозна-чить угол, который касательная, проведенная к циклоиде с па-раметром r (получающейся при качении без скольжения по пря-мой {y = 0} круга радиуса r) в точке с ординатой y составляетс вертикалью, то sin�(y) =

√y=2r (см. формулу (9) на с. 132).

Более того, как мы уже отмечали, циклоида является единствен-ной кривой, удовлетворяющей этому соотношению. Таким обра-зом, брахистохроной, соединяющей две данные точки A и B (не


лежащие на одной вертикали), служит часть арки (или арка) пе-ревернутой циклоиды (см. рис. 23), причем в «верхней» точке Aнаходится острие этой циклоиды. Поскольку мы рассматриваемтолько одну (первую) арку циклоиды, то ее параметр r по точ-ке B определяется однозначно.

Дуга циклоиды, являющаяся брахистохроной, может бытьбольше полуарки циклоиды. В этом случае материальная точка,двигаясь под действием силы тяжести по брахистохроне, сначаласпустится вниз (дойдя до вершины перевернутой циклоиды), азатем начнет снова подниматься вверх. И тем не менее такоедвижение оказывается более экономным по времени, чем если быматериальная точка отправилась из A в B по прямой!

Для сравнения отметим, что хотя перевернутая циклоидаявляется и таутохроной, и брахистохроной, в первом случаенужно брать дугу с концом в вершине циклоиды, а во втором|с началом в острие.

Несколько задач. Вернемся к оптике. Теперь мы знаем, что еслив плоской неоднородной среде величина скорости света меняетсяпо закону c(x; y) = k

√H − y (т. е. аналогично изменению вели-

чины скорости материальной точки, движущейся под действиемсилы тяжести), то в такой среде свет между двумя точками будетраспространяться по дугам перевернутых циклоид с остриями напрямой {y = H}.

Попробуйте сейчас решить несколько задач на отыскание воптически неоднородной среде пути распространения света меж-ду двумя точками, если в этой среде задан закон изменения ве-личины скорости света.

Задача 7. Величина скорости света меняется по закону c(x; y) = k(y−−a). Докажите, что свет между двумя точками будет распространятьсяпо дугам полуокружностей с диаметрами на прямой {y = a} (причем«начальная» точка находится на этой прямой).

Задача 8. Величина скорости света меняется по закону

Ó(x; y) =k√a− y

:


Докажите, что в этом случае свет между двумя точками будет распро-страняться по дугам парабол.

Пока во всех задачах величина скорости света зависела толь-ко от y. Если же оптическая среда такова, что эта зависимостьболее сложная, например, величина скорости света постоянна нена горизонталях, а на каких-то кривых| линиях постоянстваскорости света,| то свет между двумя точками будет распро-страняться по такой кривой L, для которой

sin�(c(x0; y0))c(x0; y0)

= const;

где �(c(x0; y0))|угол между касательной к кривой L и нормальюк линии постоянства скорости света c(x; y) = c(x0; y0).Задача 9. Величина скорости света меняется по закону c(x; y) =

= k√1− r2, где r =

√x2 + y2 | расстояние от начала координат.

Докажите, что в такой среде свет между двумя точками будет распро-страняться по дугам окружностей, перпендикулярных к окружностирадиуса 1 с центром в начале координат.

Задача 10. Величина скорости света меняется по закону c(x; y) = kr.Докажите, что в этом случае свет между двумя точками будет рас-пространяться по дугам гипоциклоид (см. «упражнения Ньютона»со с. 143).

Если в задачах 7 { 10 c(x; y) интерпретировать как величину скоро-сти некоторого механического движения, то полученные при решенииэтих задач траектории распространения света будут брахистохронамидля соответствующих механических систем.

Основная задача механики заключается в том, чтобыопределить положение движущегося тела в любой мо-мент времени. Из школьного учебника по физике

Аналогия между механикой и оптикой. Итак, в механике обычноищется траектория материальной точки, если известны действу-ющие на точку силы и заданы начальные положение и векторскорости (начальные условия). Однако можно интересоваться неиндивидуальными траекториями, а описанием всей совокупноститраекторий при заданном законе изменения действующих сил


(дополнительное задание начальных условий будет тогда выде-лять из этой совокупности траекторий конкретную траекторию).Так, классический результат Галилея о движении брошенного те-ла (горизонтально или под углом к горизонту) заключается втом, что в случае силы тяжести множество траекторий состоитиз дуг парабол.

Использование оптики в чисто механических задачах навелона мысль попытаться выделить возможное множество траекто-рий для конкретной механической системы каким-нибудь усло-вием минимальности, аналогичным принципу Ферма. Об этомдумал Лейбниц, но первая формулировка принадлежит Мопер-тюи. Однако его построения касались всего мироздания в целоми не содержали точных утверждений. Первая точная формули-ровка принадлежит Эйлеру (учившемуся математике у ИоганнаБернулли). Она относится к следующей специальной ситуации.

Пусть материальная точка движется по плоскости под дей-ствием такой силы, что потенциальная энергия зависит только отположения точки: U = U(x; y). В силу закона сохранения энергиивеличина скорости точки |v| тогда также зависит только от (x; y):

|v(x; y)| =√

2m(E − U(x; y)):

Рассмотрим плоскую неоднородную оптическую среду, в кото-

рой величина скорости света меняется по закону c(x; y) =k

v(x; y).

Принцип Эйлера состоит в том, что траектории света, распро-страняющегося в такой среде, будут совпадать с возможнымитраекториями исходной механической системы (материальнойточки массы m с потенциальной энергией U(x; y)). Разумеется,принцип Эйлера можно сформулировать так, что в нем не будетидти речь о распространении света.

В частности, из задачи 8 и принципа Эйлера следует приве-денное выше утверждение Галилея о траектории материальнойточки, движущейся под действием силы тяжести.

Поясним теперь принцип Эйлера. Для простоты ограничим-ся случаем, когда U(x; y), а значит и |v|, зависит только от y.

Тайны циклоиды 161

Поскольку на горизонталях потенциальная энергия постоянна,сила будет направлена вертикально, горизонтальная компонен-та вектора ускорения равна нулю, а горизонтальная компонентавектора скорости постоянна, то есть

|v(y)| sin�(y) = const; (13)

где �(y) | угол между вектором скорости и вертикалью в точ-ке траектории с ординатой y. Соотношение (13) вместе с (11) идает принцип Эйлера для данного частного случая. (В общем жеслучае следует учесть, что силы действуют перпендикулярно клиниям постоянства потенциальной энергии и что, следователь-но, компоненты вектора скорости, касательные к этим линиямпостоянства, не меняются.)

В современной механике принципы, обобщающие принцип Эй-лера (такие, как, например, принцип Гамильтона), играют ис-ключительно важную роль.

Эпилог

Героическая история циклоиды завершилась с концом XVII ве-ка. Она так таинственно возникала при решении самых разныхзадач, что никто не сомневался, что она играет совершенно ис-ключительную роль. Пиетет перед циклоидой держался долго,но прошло время, и стало ясно, что она не связана с фундамен-тальными законами природы, как, скажем, конические сечения.Задачи, приводившие к циклоиде, сыграли огромную роль в ста-новлении механики и математического анализа, но когда величе-ственные здания этих наук были построены, оказалось, что этизадачи являются частными, далеко не самыми важными. Про-изошла поучительная историческая иллюзия. Однако, знакомясьс поучительной историей циклоиды, можно увидеть много прин-ципиальных фактов из истории науки.

Приложение

В этом приложении мы, как и обещали, объясним, почему пери-циклоиды (с. 150) совпадают с эпициклоидами. Напомним, чтоименно надо доказать.


Рис. 24.

Утверждение. Пусть обруч радиуса R, висевший на неподвиж-ном круге радиуса r < R, начинают катить без скольженияпо этому кругу. Тогда точка обруча описывает ту же тра-екторию, которую описывала бы точка колеса радиуса R − r,катящегося снаружи по тому же кругу радиуса r (рис. 24).

Ar

R

�

Рис. 25.

Обозначим радиус колесаR−r через �. На-помним, что кривые, описываемые при ука-занном качении точками границы колеса, на-зываются эпициклоидами, а кривые, описы-ваемые точками обруча, | перициклоидами.Докажем, что при указанном в условии соот-ношении между радиусами (R = r + �) пери-циклоиды совпадают с эпициклоидами.

Зафиксируем по одной точке на колесе ина обруче. Пусть в начальный момент точки,наблюдаемые на колесе и обруче, совпадают содной и той же точкой A границы неподвиж-ного круга (рис. 25). Пусть для определенно-

сти и колесо, и обруч катятся по кругу против часовой стрелки.Если в некоторый момент колесо касается неподвижного кругав точке B, то точка, наблюдаемая на его границе (точка эпици-клоиды), занимает такое положение C, что длины дуг AB и BC

Тайны циклоиды 163

A

B

CA

B′

C ′

а) б)

Рис. 26.

равны (дуга BC выбирается с учетом направления качения) |рис. 26а.

Аналогично, положение точки C ′, наблюдаемой на обруче(точки перициклоиды), в тот момент, когда он касается непо-движного круга в точке B′, находится из условия равенства длиндуг AB′ и B′C ′, с учетом направления качения (см. рис. 26б).

Докажем, что для любой точки B на границе неподвижногокруга можно так подобрать точку B′ (тоже на границе непо-движного круга), что соответствующие точки C (эпициклоиды)и C ′ (перициклоиды) совпадут (рис. 27а). (Из нашего доказатель-ства будет ясно также, как по B выбирать B′.)

Возьмем точку B′ так, чтобы отношение длин дуг AB и BB′

было равно �=r: тогда радианная мера дуги BC равна радианной

O

O1 O2

A

B

C

B′

C ′

B

C

B′O

O1O2

а) б)

Рис. 27.


мере дуги BB′|обозначим ее через '. Имеем

дл.AB = дл.BC = �'; дл.BB′ = r':

Поэтому дл. B′C ′ = дл. AB′ = r' + �', и радианная мера ду-ги B′C ′ также равна '. Пусть O|центр неподвижного круга,O1|положение центра колеса в момент, когда оно касается не-подвижного круга в точке B, O2 |положение центра обруча вмомент касания обруча с неподвижным кругом в точке B′; точ-ки {O;B;O1} и {O2; O;B

′} лежат на одной прямой.Пусть 0 < ' < �. Имеем (рис. 27б) OB = OB′ = r, O2B

′ = R,OO2 = R − r = �, O1B = O1C = �, O1O = r + � = R,∠BOB′ = ∠OO1C = ', Значит, четырехугольник OO1CO2 |параллелограмм, откуда O2C = R, ∠CO2B

′ = '. Таким образом,точка C лежит на окружности радиуса R с центром в O2, причемрадианная мера дуги B′C равна '. Это и означает, что C совпа-дает с C ′. Итак, мы доказали, что если по неподвижному кругупрокатились дуги колеса и обруча одной и той же радианной ме-ры ' < �, то получившиеся точки эпициклоиды и перициклоидысовпадут.

Остается убедиться в справедливости этого утверждения ипри ' > �. Посмотрите сами, во что превращается рисунок 27апри ' = �, а также при � < ' < 2�. Отметим, что посколь-ку разность между длинами обруча и колеса равна 2�r|длинеграницы неподвижного круга, то в тот момент, когда и коле-со, и обруч сделают полные обороты, наблюдаемые точки, вновьпопав на границу неподвижного круга, займут одно и то же по-ложение A1. Случай 2� < ' < 4� сводится к случаю ' < 2�,если считать точку A1, начальной точкой вместо A. Если же счи-татьA1, начальной точкой и одновременно изменить направлениекачения, то случай � 6 ' 6 2� сведется к случаю ' 6 �.

БЛЕЗ ПАСКАЛЬ

Паскаль носил в душе водоворот без дна.Ш. Бодлер, «Пропасть»1

Блезу Паскалю была присуща удивительная разносторонность,которая была характерна для эпохи Возрождения, но уже почтиизжила себя в XVII веке. Еще не наступило время полного раз-межевания естественных наук (скажем, физики и математики),но занятия гуманитарные и естественнонаучные уже обычно несовмещались.

В историю естествознания Паскаль вошел как великий физики математик, один из создателей математического анализа, про-ективной геометрии, теории вероятностей, вычислительной тех-ники, гидростатики. Франция чтит в Паскале одного из самыхзамечательных писателей: «Тонкие умы удивляются Паскалю какписателю самому совершенному в величайший век французскогоязыка 〈: : :〉 Каждая строка, вышедшая из-под его пера, почита-ется как драгоценный камень» (Жозеф Бертран). Далеко не всесоглашались с мыслями Паскаля о человеке, его месте во Все-ленной, смысле жизни, но никто не оставался равнодушным кстрокам, за которые их автор заплатил жизнью и которые удиви-тельным образом не старились. В 1805 г. Стендаль писал: «Когдая читаю Паскаля, мне кажется, что я читаю себя». А через сто летв 1910 г. Л. Н. Толстой читал «чудного Паскаля», «человека вели-кого ума и великого сердца» и «не мог не умилиться до слез, читаяего и сознавая свое полное единение с этим умершим сотни лет

1Перевод К. Бальмонта.

165

166 Блез Паскаль (1623 { 1662)

тому назад человеком». Поучительно сопоставить, как старятсяидеи естественнонаучные и гуманитарные.

Паскаль в юности

Упомянем еще об одной гранинаследия Паскаля | его прак-тических достижениях. Неко-торые из них удостоились выс-шего отличия | сегодня ма-ло кто знает имя их автора.Для И. С. Тургенева мерила-ми удобства и простоты бы-ли «яйцо Колумба» и «Паска-лева тачка». Узнав, что ве-ликий ученый изобрел самуюобыкновенную тачку, он пи-сал Н. А. Некрасову: «Кстатия в одном месте говорю о Па-скалевой тачке | ты знаешь,что Паскаль изобрел эту, по-видимому, столь простую ма-шину». А еще Паскалю принад-лежит идея омнибусов|обще-

доступных карет («за 5 су») с фиксированными маршрутами|первого вида регулярного городского транспорта.

Паскаль|один из самых знаменитых людей в истории чело-вечества. Ему посвящена необъятная литература. Каких толькосторон жизни и наследия Паскаля не касалось «паскалеведение»!Особенно популярен Паскаль во Франции. Имеется своеобраз-ное свидетельство этого: портрет Паскаля был воспроизведен наассигнациях (в числе других французских писателей, удостоив-шихся в разное время такой чести, | Корнель, Расин, Мольер,Монтескье, Вольтер, Гюго, Сент-Экзюпери).

Палочки и монетки. Когда мы учимся рисовать графики, то вкалейдоскопе безымянных кривых иногда появляются кривые,имеющие какое-то название или носящие чье-то имя: спираль Ар-химеда, трезубец Ньютона, конхоида Никомеда, лист Декарта,

Блез Паскаль (1623 { 1662) 167

локон Марии Аньези, улитка Паскаля. . . Редко кто усомнитсяв том, что это тот же Паскаль, которому принадлежит «законПаскаля». Однако в названии замечательной кривой 4-го поряд-ка увековечено имя Этьена Паскаля (1588 { 1651) | отца БлезаПаскаля. Э. Паскаль, как было принято в роде Паскалей, слу-жил в парламенте (суде) города Клермон-Феррана. Совмещениеюридической деятельности с занятиями науками, далекими отюриспруденции, было делом нередким. Примерно в это же вре-мя посвящал математике свой досуг советник тулузского парла-мента Пьер Ферма (1601 { 1665). Хотя собственные достиженияЭ. Паскаля были скромными, его основательные познания по-зволяли ему поддерживать профессиональные контакты с боль-шинством французских математиков. С великим Ферма он об-менивался трудными задачами на построение треугольников; вспоре Ферма с Рене Декартом (1596 { 1650) о задачах на макси-мум и минимум Паскаль выступал на стороне Ферма. Б.Паскальунаследовал добрые отношения отца со многими математика-ми, но вместе с тем к нему перешли и напряженные отношенияс Декартом.

Рано овдовев, Этьен Паскаль посвящает себя главным обра-зом воспитанию своих детей (кроме сына, у него было две до-чери |Жильберта и Жаклина). У маленького Блеза очень ра-но обнаруживается поразительное дарование, но, как это частобывает, в сочетании с плохим здоровьем. (Всю жизнь с Б.Паска-лем случались странные происшествия; в раннем детстве он едване погиб от непонятной болезни, сопровождавшейся припадка-ми, которую семейная легенда связывает с колдуньей, сглазившеймальчика.)

Этьен Паскаль тщательно продумывает систему воспитаниядетей. На первых порах он решительно исключает математи-ку из числа предметов, которым обучает Блеза: отец боялся,что ранняя увлеченность математикой помешает гармоничномуразвитию, а неизбежные напряженные размышления повредятслабому здоровью сына. Однако 12-летний мальчик, узнав о су-ществовании таинственной геометрии, которой занимался отец,уговорил его рассказать о запретной науке. Полученных сведе-

168 Блез Паскаль (1623 { 1662)

ний оказалось достаточно для того, чтобы начать увлекательную«игру в геометрию», доказывать теорему за теоремой. В этойигре участвовали «монетки» | круги, «треуголки» | треуголь-ники, «столы»|прямоугольники, «палочки»|отрезки. Мальчикбыл застигнут отцом в тот момент, когда он обнаружил, чтоуглы треуголки составляют столько же, сколько два угла сто-ла. Э. Паскаль без труда узнал знаменитое 32-е предложениепервой книги Евклида | теорему о сумме углов треугольника.Результатом были слезы на глазах отца и доступ к шкафам сматематическими книгами. История о том, как Паскаль сампостроил евклидову геометрию, известна по восторженномурассказу его сестры Жильберты. Этот рассказ породил оченьраспространенное заблуждение, заключающееся в том, что разПаскаль открыл 32-е предложение «Начал» Евклида, то он открылперед этим все предыдущие теоремы и все аксиомы. Нередко этовоспринималось как аргумент в пользу того, что аксиоматикаЕвклида| единственно возможная. На самом же деле, вероятно,геометрия у Паскаля находилась на «доевклидовском» уровне,когда интуитивно неочевидные утверждения доказываются пу-тем сведения к очевидным, причем набор последних никак нефиксируется и не ограничивается. Лишь на следующем, суще-ственно более высоком уровне делается великое открытие, чтоможно ограничиться конечным, сравнительно небольшим набо-ром очевидных утверждений|аксиом, предположив истинностькоторых, можно остальные геометрические утверждения дока-зать. При этом, наряду с неочевидными утверждениями (такими,как, например, теоремы о замечательных точках треугольника),приходится доказывать «очевидные» теоремы, в справедливостькоторых легко поверить (например, простейшие признаки равен-ства треугольников).

Собственно, 32-е предложение | первое неочевидное в этомсмысле предложение «Начал». Нет сомнения, что у юного Паскаляне было ни времени для огромной работы по отбору аксиом, ни,скорее всего, потребности в ней.

Это интересно сопоставить со свидетельством А.Эйнштейна,который в те же 12 лет в значительной степени самостоятельно

Блез Паскаль (1623 { 1662) 169

постигал геометрию (в частности, нашел доказательство тео-ремы Пифагора, о которой узнал от дяди): «Вообще мне былодостаточно, если я мог в своих доказательствах опираться натакие положения, справедливость которых представлялась мнебесспорной».

Примерно в 10 лет Б. Паскаль сделал первую физическую ра-боту: заинтересовавшись причиной звучания фаянсовой тарелкии проведя поразительно хорошо организованную серию экспери-ментов при помощи подручных средств, он объяснил заинтере-совавшее его явление колебанием частичек воздуха.

«Мистический шестивершинник», или «великая паскалева теорема».В 13 лет Б.Паскаль уже имеет доступ в математический кружокМерсенна, в который входило большинство парижских матема-тиков, в том числе Э.Паскаль (Паскали жили в Париже с 1631 г.).

Францисканский монах Марен Мерсенн (1588 { 1648) сы-грал в истории науки большую и своеобразную роль ученого-организатора1. Его основная заслуга состояла в том, что онвел обширную переписку с большинством крупных ученых мира(у него было несколько сот корреспондентов). Мерсенн умелоконцентрировал информацию и сообщал ее заинтересованнымученым. Эта деятельность требовала своеобразного дарова-ния: умения быстро понимать новое, хорошо ставить задачи.Обладавший высокими нравственными качествами Мерсеннпользовался доверием корреспондентов. Иногда письма Мер-сенна адресовались совсем молодым ученым. Так, в 1648 г. онначал переписываться с 17-летним Гюйгенсом, помогая в егопервых шагах в науке и предвещая, что тот станет «Аполлониеми Архимедом 〈: : :〉 грядущего века».

Наряду с заочным коллективом корреспондентов существо-вал и очный кружок| «четверги Мерсенна», в который и попалБлез Паскаль. Здесь он нашел себе достойного учителя. Им былЖерар Дезарг (1593 { 1662), инженер и архитектор, создательоригинальной теории перспективы. Его главное сочинение «Чер-

1При оценке деятельности Мерсенна надо иметь в виду, что первый на-учный журнал| «Журнал ученых»| был основан в 1665 г.

170 Блез Паскаль (1623 { 1662)

новой набросок исследования того, что происходит при встречеконуса с плоскостью» (1639 г.) нашло лишь нескольких читате-лей, и среди них особое место занимает Б. Паскаль, сумевшийсущественно продвинуться вперед.

Хотя в то время Декарт прокладывал в геометрии совершен-но новые пути, создавая аналитическую геометрию, в основномгеометрия едва достигла уровня, на котором она находилась вДревней Греции. Многое из наследия греческих геометров оста-валось неясным. Это прежде всего относилось к теории кониче-ских сечений. Самое выдающееся сочинение на эту тему|8 книг

O

�

�

Рис. 28.

«Konika» Аполлония | бы-ло известно лишь частично.Предпринимались попыткидать модернизированные из-ложения теории, среди кото-рых наиболее известное при-надлежит Клоду Мидоржу(1585 { 1647), члену кружкаМерсенна, но его сочинениефактически не содержало но-вых идей. Дезарг заметил,что систематическое приме-нение метода перспективыпозволяет построить теориюконических сечений с совер-шенно новых позиций.Рассмотрим центральную

проекцию (из некоторой точки O) картинок на плоскости �на плоскость �. Применять такое преобразование в теорииконических сечений очень естественно, поскольку само их опре-деление|как сечений прямого кругового конуса|можно пере-фразировать так: все они получаются при центральном проекти-ровании из вершины конуса на различные плоскости одного изних (например, окружности). Далее, заметив, что при централь-ном проектировании пересекающиеся прямые могут перейти илив пересекающиеся или в параллельные, объединим два последних

Блез Паскаль (1623 { 1662) 171

свойства в одно, считая, что все параллельные друг другу пря-мые пересекаются в одной «бесконечно удаленной точке»; разныепучки параллельных прямых дают разные бесконечно удаленныеточки; все бесконечно удаленные точки плоскости заполняют«бесконечно удаленную прямую». Если принять эти соглашения,то две любые различные прямые (уже не исключая параллель-ных) будут пересекаться в единственной точке. Утверждение,что через точку A вне прямой m можно провести единственнуюпрямую, параллельную m, можно переформулировать так: черезобычную точку A и бесконечно удаленную точку (отвечающуюсемейству прямых, параллельных m) проходит единственнаяпрямая | в результате в новых условиях без всяких ограниче-ний справедливо утверждение, что через две различные точкипроходит единственная прямая (бесконечно удаленная, если обеточки бесконечно удалены). Мы видим, что получается оченьизящная теория, но для нас важно то, что при центральном про-ектировании точка пересечения прямых (в обобщенном смысле)переходит в точку пересечения.

Важно продумать, какую роль в этом утверждении играетвведение бесконечно удаленных элементов (при каких условияхточка пересечения переходит в бесконечно удаленную точку, ко-гда прямая переходит в бесконечно удаленную прямую). Не оста-навливаясь на использовании этого простого соображения Де-заргом, мы расскажем о том, как замечательно применил егоПаскаль.

В 1640 г. Б. Паскаль напечатал свой «Опыт о конических се-чениях». Небезынтересны сведения об этом издании: тираж |50 экземпляров, 53 строки текста напечатаны на афише, пред-назначенной для расклейки на углах домов (про афишу Паскалядостоверно не известно, но Дезарг заведомо рекламировал такимспособом свои результаты). В афише, подписанной инициаламиавтора, без доказательства сообщается следующая теорема, ко-торую ныне называют теоремой Паскаля. Пусть на коническомсечении L (на рис. 29 L|парабола) произвольно выбраны и зану-мерованы 6 точек. Обозначим через P , Q, R точки пересечениятрех пар прямых (1; 2) и (4; 5); (2; 3) и (5; 6); (3; 4) и (6; 1). (При

172 Блез Паскаль (1623 { 1662)

P

QR

1

2

3

4

5

6

L

Рис. 29.

простейшей нумерации|«по поряд-ку»| это точки пересечения проти-воположных сторон шестиугольни-ка.) Тогда точки P , Q, R лежат наодной прямой1.Паскаль вначале формулирует тео-рему для окружности и ограничи-вается простейшей нумерацией то-чек. В этом случае это элементар-ная, хотя и не слишком простая за-дача. А вот переход от окружно-сти к любому коническому сечениюочень прост. Нужно преобразоватьпри помощи центральной проекциитакое сечение в окружность и вос-пользоваться тем, что при централь-ном проектировании прямые перехо-

дят в прямые, а точки пересечения (в обобщенном смысле) | вточки пересечения. Тогда, как уже доказано, образы точек P , Q,R при проектировании будут лежать на одной прямой, а отсюдаследует, что и сами точки P , Q, R обладают этим свойством.

Теорема, которую Паскаль назвал теоремой о «мистическомшестивершиннике», не была самоцелью; он рассматривал ее какключ для построения общей теории конических сечений, покры-вающей теорию Аполлония. Уже в афише упоминаются обобще-ния важных теорем Аполлония, которые не удавалось получитьДезаргу. Дезарг высоко оценил теорему Паскаля, назвав ее «ве-ликой паскалевой»; он утверждал, что в ней содержатся первыечетыре книги Аполлония.

Паскаль начинает работу над «Полным трудом о коническихсечениях», который в 1654 г. упоминается как оконченный в по-слании «знаменитейшей Парижской математической академии».

1Сформулируйте самостоятельно следствия, получающиеся из этой теоре-мы, когда некоторые из рассмотренных точек являются бесконечно удален-ными.

Блез Паскаль (1623 { 1662) 173

P

Q

R

12

3

4

5 6m

Рис. 30.

От Мерсенна известно, что Паскаль получил около 400 следствийиз своей теоремы. Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 { 1716) былпоследним, кто видел трактат Паскаля уже после его смерти, в1675 { 1676 гг. Несмотря на совет Лейбница, родные не опубли-ковали рукопись, а со временем она была утеряна.

В качестве примера приведем одно из самых простых, но исамых важных следствий из теоремы Паскаля: коническое сече-ние однозначно определяется любыми своими пятью точками.Действительно, пусть {1; 2; 3; 4; 5}|точки конического сеченияи m|произвольная прямая, проходящая через (5). Тогда на mсуществует единственная точка (6) конического сечения, отлич-ная от (5). В обозначениях теоремы Паскаля точка P являетсяточкой пересечения (1; 2) и (4; 5), Q| точка пересечения (2; 3)и m, R|точка пересечения (3; 4) и PQ, а тогда (6) определитсякак точка пересечения (1; R) и m.

«Паскалево колесо». 2 января 1640 г. семья Паскалей переезжает вРуан, где Этьен Паскаль получает место интенданта провинции,фактически ведающего всеми делами при губернаторе. Этому на-значению предшествовали любопытные события. Э.Паскаль при-нял активное участие в выступлениях парижских рантьеров, зачто ему грозило заточение в Бастилию. Он был вынужден скры-ваться, но в это время заболела оспойЖаклина, и отец, несмотряна страшную угрозу, навещал ее. Жаклина выздоровела и да-же участвовала в спектакле, на котором присутствовал кардиналРишелье. По просьбе юной актрисы кардинал простил ее отца,но одновременно назначил его на должность. Бывший смутьян

174 Блез Паскаль (1623 { 1662)

должен был проводить в жизнь политику кардинала (читателей«Трех мушкетеров» это коварство, наверное, не удивит).

Теперь у Этьена Паскаля было очень много счетной рабо-ты, в которой ему постоянно помогает сын. В конце 1640 г.Блезу Паскалю приходит мысль построить машину, чтобы осво-бодить ум от расчетов «с помощью пера и жетонов». Основнойзамысел возник быстро и оставался неизменным на протяже-нии всей работы: «Каждое колесо или стержень некоторого раз-ряда, совершая движение на десять арифметических цифр, за-ставляет двигаться следующее только на одну цифру». Одна-ко блестящая идея| это только первый шаг. Несравненно боль-ших сил потребовала ее реализация. Позднее в «Предуведомле-нии» тому, кто «будет иметь любознательность видеть арифме-тическую машину и пользоваться ею», Блез Паскаль скромно пи-шет: «Я не экономил ни время, ни труд, ни средства, чтобы до-вести ее до состояния быть тебе полезной». За этими словамистояло пять лет напряженной работы, которая привела к созда-нию машины («паскалева колеса», как говорили современники),надежно, хотя и довольно медленно, производившей четыре дей-ствия над пятизначными числами. Паскаль изготовил около пя-тидесяти экземпляров машины; вот только перечень материалов,которые он перепробовал: дерево, слоновая кость, эбеновое де-рево, латунь, медь. Он потратил много сил на поиски лучшихремесленников, владеющих «токарным станком, напильником имолотком», и ему много раз казалось, что они не в состоянии до-стичь необходимой точности. Тщательно продумывается системаиспытаний, в их число включается перевозка на 250 лье. Па-скаль не забывает и о рекламе: он заручается поддержкой канц-лера Сегье, добивается «королевских привилегий» (нечто вродепатента), много раз демонстрирует машину в салонах и дажепосылает экземпляр шведской королеве Христине. Наконец, на-лаживается производство; точное число произведенных машиннеизвестно, но до настоящего времени сохранилось восемь экзем-пляров.

Поражает, как блестяще умел делать Паскаль самые разныевещи. Сравнительно недавно стало известно, что в 1623 г. Шик-

Блез Паскаль (1623 { 1662) 175

кард, друг Кеплера, построил арифметическую машину, однакомашина Паскаля была гораздо совершенней.

«Боязнь пустоты» и «великий эксперимент равновесия жидкостей».В конце 1646 г. до Руана докатилась молва об удивительных «ита-льянских опытах с пустотой». Вопрос о существовании пустотыв природе волновал еще древних греков; в их взглядах на этотвопрос проявилось присущее древнегреческой философии разно-образие точек зрения: Эпикур считал, что пустота может суще-ствовать и действительно существует; Герон | что она можетбыть получена искусственно, Эмпедокл| что ее нет и ей неот-куда взяться, и, наконец Аристотель утверждал, что «природабоится пустоты». В средние века ситуация упростилась, посколь-ку истинность учения Аристотеля была установлена практическив законодательном порядке (еще в XVII веке за выступление про-тив Аристотеля во Франции можно было попасть на каторгу).

Воспоминания о «боязни пустоты» еще долго сохранялись, очем свидетельствует следующий пассаж из неоконченного про-изведения Ф. М. Достоевского «Крокодил»: «Как же достигнутьустройством крокодила, чтоб он глотал людей? Ответ еще яснее:устроив его пустым. Давно уже решено физикой, что природа нетерпит пустоты. Подобно тому и внутренность крокодила долж-на именно быть пустою, чтобы не терпеть пустоты, а следственнобеспрерывно глотать и наполняться всем, что только есть подрукою».

Классический пример «боязни пустоты» демонстрирует вода,поднимающаяся вслед за поршнем, не давая образоваться пусто-му пространству. И вдруг с этим примером произошел казус. Присооружении фонтанов во Флоренции обнаружилось, что вода «нежелает» подниматься выше 34 футов (10;3 метра). Недоумеваю-щие строители обратились за помощью к престарелому Галилею,который сострил, что, вероятно, природа перестает бояться пу-стоты на высоте, превышающей 34 фута, но все же предложилразобраться в странном явлении своим ученикам Торричелли иВивиани. Вероятно, Торричелли (а, возможно, и самому Галилею)принадлежит мысль, что высота, на которую может поднять-

176 Блез Паскаль (1623 { 1662)

ся жидкость в насосе, обратно пропорциональна ее удельномувесу. В частности, ртуть должна подняться на высоту в 13;3раза меньшую, чем вода, т. е. на 76 ÓÍ. Опыт приобрел мас-штабы, более благоприятные для лабораторных условий, и былпроведен Вивиани по инициативе Торричелли. Этот опыт хоро-шо известен, но все же напомним, что запаянная с одного концаметровая стеклянная трубка заполняется ртутью, открытый ко-нец зажимается пальцем, после чего трубка переворачивается иопускается в чашку с ртутью. Если отнять палец, то уровеньртути в трубке упадет до 76 ÓÍ. Торричелли делает два утвер-ждения: во-первых, пространство над ртутью в трубке пусто (по-том его назовут «торричеллиевой пустотой»), а во-вторых, ртутьиз трубки не выливается полностью, поскольку этому препят-ствует столб воздуха, давящий на поверхность ртути в чашке.Приняв эти гипотезы, можно все объяснить, но можно получитьобъяснение и введя специальные, довольно сложно действующиесилы, препятствующие образованию вакуума. Принять гипоте-зы Торричелли было непросто. Лишь немногие из его современ-ников смирились с тем, что воздух имеет вес; некоторые, ис-ходя из этого, поверили в возможность получения вакуума, ноповерить, что легчайший воздух удерживает в трубке тяжелуюртуть, было почти невозможно. Упомянем, что Галилей пыталсяобъяснить этот эффект свойствами самой жидкости, а Декартутверждал, что кажущийся вакуум всегда заполнен «тончайшейматерией».

Паскаль с увлечением повторяет итальянские опыты, приду-мав много остроумных усовершенствований. Восемь таких опы-тов описаны в трактате, опубликованном в 1647 г. Он не ограни-чивается опытами с ртутью, а экспериментирует с водой, маслом,красным вином, для чего ему потребовались бочки вместо чашеки трубки длиной около 15 Í. Эффектные опыты выносятся наулицы Руана, радуя его жителей. (До сих пор гравюры с виннымбарометром любят воспроизводить в учебниках физики.)

На первых порах Паскаля более всего интересует вопрос одоказательстве того, что пространство над ртутью пусто. Былараспространена точка зрения, что кажущийся вакуум заполняет

Блез Паскаль (1623 { 1662) 177

материя, «не имеющая свойств» (вспоминается подпоручик Ки-же из повести Ю.Н.Тынянова, «не имеющий фигуры»). Доказатьотсутствие такой материи просто невозможно. Четкие высказы-вания Паскаля очень важны в плане постановки более широкойпроблемы о характере доказательств в физике. Он пишет: «Послетого как я доказал, что ни одна из материй, которые доступ-ны нашим чувствам и которые нам известны, не заполняет этопространство, кажущееся пустым, мое мнение, пока мне не до-кажут существование какой-то материи, заполняющей его,|чтоэто пространство в самом деле пусто и лишено всякой материи».Менее академические высказывания содержатся в письме уче-ному-иезуиту Ноэлю: «Но у нас больше оснований отрицать ее(тончайшей материи|С. Г.) существование, потому что нельзяего доказать, чем верить в нее по той единственной причине,что нельзя доказать, что ее нет». Итак, необходимо доказыватьсуществование объекта и нельзя требовать доказательства егоотсутствия (это ассоциируется с юридическим принципом, со-стоящим в том, что суд должен доказать виновность и не вправетребовать от обвиняемого доказательств невиновности).

На родине Паскаля в Клермоне жила в это время старшая се-стра Б.Паскаля Жильберта; ее муж Флорен Перье, служа в суде,свободное время посвящал наукам. 15 ноября 1647 г. Паскаль от-правляет Перье письмо, в котором просит сравнить уровни ртутив трубке Торричелли у подножия и на вершине горы Пюи-де-Дом:«Вы понимаете, если бы высота ртути на вершине горы оказаласьменьшей, чем у подошвы (я так думаю по многим основаниям,хотя все, писавшие об этом предмете, придерживаются другогомнения), то из этого можно было бы заключить, что единственнаяпричина явления| тяжесть воздуха, а не пресловутый horrorvacui (боязнь пустоты | С. Г.). Ясно, в самом деле, что внизугоры воздух должен быть сгущеннее, чем наверху, между темкак нелепо предполагать в нем больший страх пустоты у под-ножия, нежели на вершине». Эксперимент по разным причинамоткладывался и состоялся лишь 19 сентября 1648 г. в присутствиипяти «уважаемых жителей Клермона». В конце года вышла бро-шюра, в которую были включены письмо Паскаля и ответ Перье

178 Блез Паскаль (1623 { 1662)

с очень скрупулезным описанием опыта. При высоте горы около1;5 ËÍ разница уровней ртути составила 82;5 ÍÍ; это «поверглоучастников эксперимента в восхищение и удивление» и, вероятно,было неожиданным для Паскаля. Предположить существованиепредварительных оценок невозможно, а иллюзия легкости воз-духа была очень велика. Результат был столь ощутим, что ужеодному из участников эксперимента аббату де ла Мару приходитв голову мысль, что результаты может дать эксперимент в кудаболее скромных масштабах. И, действительно, разница уровнейртути у основания и наверху собора Нотр-Дам-де-Клермон, име-ющего высоту 39Í, составила 4;5ÍÍ. Если бы Паскаль допускалтакую возможность, он не стал бы ожидать десять месяцев. По-лучив известие от Перье, он повторяет эксперименты на самыхвысоких зданиях Парижа, получая те же результаты. Паскаль на-звал этот эксперимент «великим экспериментом равновесия жид-костей» (это название может вызвать удивление, поскольку речьидет о равновесии воздуха и ртути и тем самым воздух названжидкостью). В этой истории есть одно запутанное место. Декартутверждал, что именно он подсказал идею эксперимента. Веро-ятно, здесь произошло какое-то недоразумение, так как труднопредположить, что Паскаль сознательно не ссылался на Декарта.

Паскаль продолжает экспериментировать, используя наряду сбарометрическими трубками большие сифоны (подбирая корот-кую трубку так, чтобы сифон не работал); он описывает разницув результатах экспериментов для различных местностей Фран-ции (Париж, Овернь, Дьепп): Паскаль знает, что барометр можноиспользовать как высотомер (альтиметр), но вместе с тем пони-мает, что зависимость между уровнем ртути и высотой местно-сти не проста, и обнаружить ее пока не удается. Он замечает,что показания барометра в одной и той же местности зависятот погоды; сегодня предсказание погоды | основная функциябарометра (прибор для измерения «изменений воздуха» хотел по-строить Торричелли). А однажды Паскаль решил вычислить об-щий вес атмосферного воздуха («мне хотелось доставить себеэто удовольствие, и я провел расчет»). Получилось 8;5 триллионафранцузских фунтов.

Блез Паскаль (1623 { 1662) 179

Мы не имеем возможности останавливаться на других опытахПаскаля о равновесии жидкостей и газов, поставивших его наря-ду с Галилеем и Симоном Стевином (1548 { 1620) в число создате-лей классической гидростатики. Здесь и знаменитый закон Па-скаля, и идея гидравлического пресса, и существенное развитиепринципа возможных перемещений. Одновременно он придумы-вает, например, зрелищно эффектные опыты, иллюстрирующиеоткрытый Стевином парадоксальный факт, что давление жидко-сти на дно сосуда зависит не от формы сосуда, а лишь от уровняжидкости: в одном из опытом наглядно видно, что требуетсягруз в 100 фунтов, чтобы уравновесить давление на дно сосудаводы весом в одну унцию; в процессе опыта вода замораживает-ся, и тогда хватает груза в одну унцию. Паскаль демонстрируетсвоеобразный педагогический талант. Было бы хорошо, если быи сегодня школьника удивляли те факты, которые поражали Па-скаля и его современников.

Физические исследования Паскаля были прерваны в 1654 г. врезультате трагических происшествий, о которых мы расскажемниже.

«Математика случая». В январе 1646 г. Этьен Паскаль во вре-мя гололеда вывихнул бедро, и это едва не стоило ему жизни.Реальность потери отца произвела ужасное впечатление на сы-на, и это прежде всего сказалось на его здоровье: головные болистали невыносимыми, он мог передвигаться лишь на костыляхи был в состоянии проглотить только несколько капель теплойжидкости. От врачей-костоправов, лечивших отца, Б. Паскальузнал об учении Корнелия Янсения (1585| 1638), которое в товремя распространялось во Франции, противостоя иезуитизму(последний существовал к тому времени примерно сто лет). НаПаскаля произвел наибольшее впечатление побочный элемент вучении Янсения: допустимо ли бесконтрольное занятие наукой,стремление все познать, все разгадать, связанное прежде всего снеограниченной пытливостью человеческого ума или, как писалЯнсений, с «похотью ума». Паскаль воспринимает свою научнуюдеятельность как греховную, а выпавшие на его долю беды |

180 Блез Паскаль (1623 { 1662)

как кару за этот грех. Это событие сам Паскаль назвал «первымобращением». Он решает отказаться от дел «греховных и против-ных Богу». Однако это ему не удается: мы уже забежали впереди знаем, что вскоре он каждую минуту, которую ему оставляетболезнь, посвятит физике.

Здоровье несколько улучшается, и с Паскалем происходят ве-щи, мало понятные для его близких. Он мужественно переносит в1651 г. смерть отца, и его рационалистические, внешне холодныерассуждения о роли отца в его жизни резко контрастируют с ре-акцией пятилетней давности (он пишет, что теперь присутствиеотца не является «абсолютно необходимым», что он нуждался быв нем еще десять лет, хотя присутствие отца было бы полезновсю жизнь).

А потом у Паскаля появились знакомые, мало подходящиедля янсениста. Он путешествует в свите герцога де Роанне изнакомится там с кавалером де Мере, человеком высокообразо-ванным и умным, но несколько самоуверенным и поверхностным.С де Мере охотно общались великие современники, и только по-этому его имя сохранилось в истории. При этом он умудрилсяписать Паскалю письма с поучениями по разным вопросам, неисключая и математики. Сейчас все это выглядит наивным и,по словам Сент-Бёва, «такого письма вполне достаточно, чтобыпогубить человека, его писавшего, во мнении потомства». Темне менее довольно длительное время Паскаль охотно общалсяс де Мере, он оказался способным учеником кавалера по частисветской жизни.

Мы переходим к истории о том, как «задача, поставленная пе-ред суровым янсенистом светским человеком, стала источникомтеории вероятностей» (Пуассон). Собственно, задач было две, и,как выяснили историки математики, обе они были известны за-долго до де Мере. Первый вопрос состоит в том, сколько разнужно кинуть две игральные кости, чтобы вероятность того,что хотя бы один раз выпадут две шестерки, превысит веро-ятность того, что две шестерки не выпадут ни разу. Де Мереи сам решил эту задачу, но, к сожалению,. . . двумя способами,давшими разные ответы: 24 и 25 бросков. Будучи уверенным в

Блез Паскаль (1623 { 1662) 181

одинаковой достоверности обоих способов, де Мере обрушивает-ся на «непостоянство» математики. Паскаль, убедившись в том,что правильный ответ| 25, даже не приводит решения. Основ-ные его усилия были направлены на решение второй задачи |задачи «о справедливом разделе ставок». Происходит игра, всеучастники (их число может быть больше двух) вначале делаютставки в «банк»; игра разбивается на несколько партий, и длявыигрыша банка надо выиграть некоторое фиксированное числопартий. Вопрос состоит в том, как следует справедливо разде-лить банк между игроками в зависимости от числа выигранныхими партий, если игра не доведена до конца (никто не выигралчисла партий, достаточного для получения банка). По словам Па-скаля, «де Мере 〈: : :〉 даже не смог подступиться к этому вопросу».

Никто из окружения Паскаля не сумел понять предложенноеим решение, но все же достойный собеседник нашелся. Между29 июля и 27 октября 1654 г. Паскаль обменивается письмамис Ферма (при посредничестве Пьера Каркави, продолжавшегодеятельность Мерсенна). Часто считают, что в этой перепискеродилась теория вероятностей. Ферма решает задачу о ставкахиначе, чем Паскаль, и первоначально возникают некоторые раз-ногласия. Но в последнем письме Паскаль констатирует: «Нашевзаимопонимание полностью восстановлено», и далее: «Как я ви-жу, истина одна и в Тулузе, и в Париже». Он счастлив тем, чтонашел великого единомышленника: «Я и впредь хотел бы по меревозможностей делиться с Вами своими мыслями».

В том же 1654 г. Паскаль опубликовал одну из самых популяр-ных своих работ «Трактат об арифметическом треугольнике». Те-перь его называют треугольником Паскаля, хотя оказалось, чтоон был известен еще в Древней Индии, а в XVI веке был переот-крыт Штифелем. В основе лежит простой способ вычислять чи-сло сочетаний Ck

n индукцией по n (по формуле Ckn = Ck

n−1+Ck−1n−1).

В этом трактате впервые принцип математической индукции, ко-торый фактически применялся и раньше, формулируется в при-вычной для нас форме.

В 1654 г. Паскаль в послании «Знаменитейшей Парижской ма-тематической академии» перечисляет работы, которые готовятся

182 Блез Паскаль (1623 { 1662)

им к публикации, и в их числе трактат, который «может по правупретендовать на ошеломляющее название

"Математика случая\ ».

Луи де Монтальт. Вскоре после смерти отца Жаклина Паскальуходит в монастырь, и Блез Паскаль лишается присутствия оченьблизкого человека. Какое-то время его привлекает возможностьжить, как живет большинство людей: он подумывает о том, что-бы купить должность в суде и жениться. Но этим планам несуждено было сбыться. В середине ноября 1654 г., когда Паскальпереезжал мост, передняя пара лошадей сорвалась, а коляска чу-дом задержалась у края пропасти. С тех пор, по словам Ламетри,«в обществе или за столом Паскалю всегда была необходима за-городка из стульев или сосед слева, чтобы не видеть страшнойпропасти, в которую он боялся упасть, хотя знал цену подобнымиллюзиям». 23 ноября происходит необычайный нервный припа-док. Находясь в состоянии экстаза, Паскаль записывает на клочкебумаги мысли, которые проносятся в его голове: «Бог Авраама,Бог Исаака, Бог Иакова, но не Бог философов и ученых». Позд-нее он перенес эту запись на пергамент; после его смерти обебумаги обнаружили зашитыми в его камзоле. Это событие назы-вают «вторым обращением» Паскаля. С этого дня, по свидетель-ству Жаклины, Паскаль чувствует «огромное презрение к светуи почти непреодолимое отвращение ко всем принадлежащим емувещам». Он прерывает занятия и с начала 1655 г. поселяется вмонастыре Пор-Рояль (оплоте янсенистов), добровольно ведя мо-нашеский образ жизни. В это время Паскаль пишет «Письма кпровинциалу»| одно из величайших произведений французскойлитературы. «Письма» содержали критику иезуитов. Они издава-лись отдельными выпусками| «письмами»,|начиная с 23 янва-ря 1656 г. до 23 марта 1657 г. (всего 18 писем). Автора| «другапровинциала»| звали Луи де Монтальтом. Слово «гора» в этомпсевдониме (la montagne) уверенно связывают с воспоминания-ми об опытах на Пюи-де-Дом. Письма читали по всей Франции,иезуиты были в бешенстве, но не могли достойно ответить (ко-ролевский духовник отец Анна предлагал 15 раз| по числу на-писанных к тому времени писем|сказать, что Монтальт|ере-

Блез Паскаль (1623 { 1662) 183

тик). За автором, оказавшимся смелым и талантливым конспира-тором, охотился судебный следователь, которого контролировалсам канцлер Сегье, когда-то покровительствовавший создателюарифметической машины (по свидетельству современника, ужепосле двух писем канцлеру «семь раз отворяли кровь»), и, нако-нец, в 1660 г. государственный совет постановил сжечь книгу«мнимого Монтальта». Но это было по существу символическиммероприятием. Тактика Паскаля дала поразительные результа-ты. «Делались попытки самыми различными способами показатьиезуитов отвратительными; Паскаль сделал больше: он показалих смешными», | так оценивает «Письма» Вольтер. «Шедевромшутливой логики» назвал их Бальзак, «кладом для комедиогра-фа» | Расин. Образы Паскаля предвещали появление мольеров-ского Тартюфа.

Работая над «Письмами», Паскаль ясно понимал, что правиль-ное владение логикой важно не только математикам. В Пор-Роялемного думали о системе образования, и существовали даже спе-циальные янсенистские «маленькие школы». Паскаль активновключился в эти размышления, сделав, например, интересныезамечания о первоначальном обучении грамоте (он считал, чтонельзя начинать с изучения алфавита). В 1667 г. посмертно вы-шли два фрагмента работы Паскаля «Разум геометра и искусствоубеждения». Это сочинение не является научной работой; его на-значение более скромно|быть введением к учебнику геометриидля янсенистских школ. Многие высказывания Паскаля произво-дят очень сильное впечатление, и не верится, что такая четкостьформулировок была достижима в середине XVII века. Вот одноиз них: «Все должно быть доказано, и при доказательстве нельзяиспользовать ничего кроме аксиом и ранее доказанных теорем.Никогда нельзя злоупотреблять тем обстоятельством, что раз-ные вещи нередко обозначаются одним и тем же словом, поэтомуопределяемое слово должно быть мысленно заменено опреде-лением». В другом месте Паскаль замечает, что обязательносуществуют неопределяемые понятия. Исходя из этих высказы-ваний, Жак Адамар (1865 { 1963) считал, что Паскалю оставалсямаленький шаг, чтобы произвести «глубокую революцию во всей

184 Блез Паскаль (1623 { 1662)

логике|революцию, которую Паскаль мог бы осуществить тре-мя веками раньше, чем это действительно случилось». Вероятно,здесь имеется в виду тот взгляд на аксиоматические теории,который сложился после открытия неевклидовой геометрии.

Удивительные события не переставали происходить в жизниПаскаля. В страшный для него 1654 год у его любимой племян-ницы Маргариты появилась опухоль в уголке глаза. Врачи былибессильны помочь девочке, состояние которой непрерывно ухуд-шалось. В марте 1657 г. к глазу приложили хранившийся в Пор-Рояле «святой терний» (колючка, по преданию, снятая с терново-го венца Христа), и. . . опухоль пошла на убыль. «Чудо святоготерния», по словам Жильберты Перье (матери Маргариты), «бы-ло засвидетельствовано знаменитыми врачами и искуснейшимихирургами и легализовано торжественным постановлением цер-кви». Слухи о случившемся произвели настолько сильное впеча-тление на церковь, что янсенистский монастырь в очередной разизбежал закрытия. Что касается Паскаля, то «радость его быластоль огромна, что ум его отдался этому чувству всецело, и у не-го явилось много удивительных мыслей о чудесах» (ЖильбертаПерье). Великий ученый поверил в чудо! Он писал: «Невозможноразумно рассуждать против чудес». Позднее он даже попыталсядать определение чуда: «Чудо | это действие, которое превы-шает естественную силу способов, при нем употребляющихся».Потом были предприняты многочисленные попытки рациональнообъяснить случившееся (одно из объяснений: причиной опухо-ли была металлическая соринка, а терний обладал магнитнымсвойством). С тех пор на печати Паскаля был изображен глаз,окруженный терновым венцом.

Амос Деттновиль. «Я провел много времени в изучении отвле-ченных наук; недостаток сообщаемых ими сведений отбил у меняохоту к ним. Когда я начал изучение человека, я увидел, что этиотвлечения ему несвойственны и что я еще больше запутался,углубляясь в них, чем другие, не зная их». Эти слова Паскаля ха-рактеризуют его настроение в последние годы жизни. И все жеполтора года из них он занимался математикой. . .

Блез Паскаль (1623 { 1662) 185

Началось это весной 1658 г. как-то ночью, когда во времястрашного приступа зубной боли Паскаль вспомнил одну нере-шенную задачу Мерсенна про циклоиду. Он замечает, что напря-женные размышления отвлекают от боли. К утру он уже доказалцелый ряд результатов о циклоиде и. . . исцелился от зубной боли.Поначалу Паскаль считает случившееся грехом и не собираетсязаписывать полученные результаты. Позднее, под влиянием гер-цога де Роанне, он изменяет свое решение, в течение восьми дней,по свидетельству Жильберты Перье, «он только и делал, что пи-сал, пока рука могла писать». А затем в июне 1658 г. Паскаль,как это часто делалось тогда, организовал конкурс, предложивкрупнейшим математикам решить шесть задач про циклоиду.Наибольших успехов добились Христиан Гюйгенс (1629 { 1695),решивший четыре задачи, и Джон Валлис (1616 { 1703), у ко-торого с некоторыми пробелами были решены все задачи. Нонаилучшей была признана работа неизвестного Амоса Деттонви-ля. Гюйгенс признавал позднее, что «эта работа выполнена стольтонко, что к ней нельзя ничего добавить». Заметим, что «AmosDettonville» состоит из тех же букв, что «Louis de Montalte» (есливы будете проверять это, имейте в виду, что в XVII веке буквы uи v не различались). Так придуман новый псевдоним Паскаля1.На премиальные 60 пистолей труды Деттонвилля были изданы.

Теперь несколько слов о работе. Мы уже говорили о циклои-де. Эту кривую описывает точка круга, катящегося по прямойбез скольжения. Первоначальный интерес к циклоиде стимули-ровался тем, что ряд интересных задач для нее удалось решитьэлементарно. Например, по теореме Торричелли, чтобы провестикасательную к циклоиде в точке A, нужно взять соответствую-щее этой точке положение производящего (катящегося) круга исоединить его верхнюю точку B с A. Вот еще одна теорема, кото-рую Торричелли и Вивиани приписывают Галилею: площадь кри-

1Еще одна анаграмма этого имени «Соломон де Тульти» (Salomon de Tulti»)появилась в последнем произведении Паскаля «Мысли» среди авторов, ко-торым он следует (наряду с Эпиктетом и Монтенем). Паскалеведы немалопотрудились в поисках загадочного философа, пока догадались, в чем дело.

186 Блез Паскаль (1623 { 1662)

волинейной фигуры, ограниченной аркой циклоиды, равна утро-енной площади производящего круга.

Задачи, рассмотренные Паскалем, уже не допускают элемен-тарных решений (площадь и центр тяжести произвольного сег-мента циклоиды, объемы соответствующих тел вращения и т. д.).На этих задачах Паскаль разработал по существу все, что не-обходимо для построения дифференциального и интегральногоисчисления в общем виде. Лейбниц, который делит с Ньютономславу создателя этой теории, пишет, что когда по совету Гюй-генса он ознакомился с работами Паскаля, его «озарило новымсветом», он удивился, насколько был близок Паскаль к постро-ению общей теории и неожиданно остановился, будто «на егоглазах была пелена».

Для работ, предвосхищавших появление дифференциальногои интегрального исчисления, было характерно то, что интуицияих авторов сильно опережала возможности провести строгие до-казательства; математический язык был недостаточно развит,чтобы перенести на бумагу ход мыслей. Выход был найден позд-нее путем введения новых понятий и специальной символики.Паскаль не прибегал ни к какой символике, но он так виртуозновладел языком, что временами кажется, что у него в этом про-сто не было потребности. Приведем высказывание Н. Бурбаки:«Валлис в 1655 г. и Паскаль в 1658 г. составили каждый для сво-его употребления языки алгебраического характера, в которых,не записывая ни единой формулы, они дают формулировки, ко-торые можно немедленно, как только будет понят их механизм,записать в формулах интегрального исчисления. Язык Паскаляособенно ясен и точен; и если не всегда понятно, почему он от-казался от применения алгебраических обозначений не толькоДекарта, но и Виета, все же нельзя не восхищаться его мастер-ством, которое могло проявиться лишь на основе совершенноговладения языком». Хочется сказать, что здесь Паскаль-писательпомог Паскалю-математику.

«Мысли». После середины 1659 г. Паскаль уже не возвращался ник физике, ни к математике. В конце мая 1660 г. он в последний

Блез Паскаль (1623 { 1662) 187

раз приезжает в родной Клермон; Ферма приглашает его заехатьв Тулузу. Горько читать ответное письмо Паскаля от 10 августа.Вот несколько выдержек из него: «В настоящее время я занима-юсь вещами, столь далекими от геометрии, что с трудом вспоми-наю о геометрии 〈: : :〉 хотя Вы тот человек, кого во всей Европея считаю самым крупным математиком, не это качество привле-кает меня; но я нахожу столько ума и прямоты в Вашей беседеи поэтому ищу общения с Вами 〈: : :〉 я нахожу математику наи-более возвышенным занятием для ума, но в то же время я знаю,что она столь бесполезна, что я делаю малое различие между че-ловеком, который только геометр, и искусным ремесленником.Поэтому я называю ее самым красивым ремеслом на свете, но,в конце концов, это лишь ремесло. И я часто говорил, что онахороша, чтобы испытать свою силу, но не для приложения этойсилы». И, наконец, строчки, говорящие о физическом состоянииПаскаля: «Я так слаб, что не могу ни ходить без палки, ни ез-дить верхом. Я не могу даже ехать в экипаже более двух илитрех лье». В декабре 1660 г. Гюйгенс дважды посетил Паскаляи нашел его глубоким стариком (Паскалю было 37 лет), которыйне в состоянии вести беседу.

Паскаль решает разобраться в самых сокровенных тайнахчеловеческого существования, в смысле жизни. Он растерян:«Я не знаю, кто меня послал в мир, я не знаю, что такое мир,что такое я. Я в ужасном и полнейшем неведении 〈: : :〉 Как яне знаю, откуда я пришел, так же точно не знаю, куда уй-ду 〈: : :〉 Вот мое положение: оно полно ничтожности, слабости,мрака». Его занятия естественными науками не могут помочьответить на возникшие вопросы: «Знание физики не утешаетменя в незнании начал нравственности в момент страданий».Когда-то Паскаль писал: «Нет нигде настоящих доказательств,кроме как в геометрии и там, где ей подражают». Но на сейраз геометрия не может быть образцом (хотя немало людейпыталось строить математическую теорию нравственности!).А. С. Пушкин писал не без иронии: «

"Все, что превышает гео-

метрию, превышает нас\, | сказал Паскаль. И вследствие тогонаписал свои философские мысли!». Но Паскаль не видит здесь

188 Блез Паскаль (1623 { 1662)

противоречия. Он искал истину на другом пути: «Я одобряютолько тех, которые ищут с болью в сердце». Паскаль пишет:«Все наше достоинство заключено в мысли. Не пространство ине время, которых мы не можем заполнить, возвышают нас, аименно она, наша мысль. Будем же учиться хорошо мыслить:вот основной принцип морали». Он неоднократно возвраща-ется к этому вопросу: «Человек, по-видимому, создан, чтобымыслить; в этом все его достоинство, вся его заслуга; всяего обязанность в том, чтобы мыслить как должно 〈: : :〉 А о

чем думают люди? 〈: : :〉 о том,как бы потанцевать, поигратьна лютне, попеть, написатьстихи, покататься на карусе-ли и т. д., как бы постро-иться, сделаться королем 〈: : :〉Все достоинство человека вего мысли. Но что такое этамысль? Как она глупа!». Но хо-рошо мыслить | небезопасно:«Крайнюю степень ума обви-няют в безумии точно так же,как полное отсутствие ума.Хороша только посредствен-ность». Паскаль много думаето роли религии в жизни чело-века. Почти нет вопроса, мимокоторого он проходит. Он про-думывает человеческую исто-рию, подчеркивает роль слу-чая в ней («Если бы нос Клео-патры был бы короче, вся по-

верхность земли приняла бы другой вид»), повествует о страш-ных сторонах человеческой жизни («Может ли быть что-нибудьнелепее факта, что такой-то человек имеет право убить меня,потому что он живет по ту сторону реки или моря и потомучто его правительство в ссоре с моим, хотя я никакой не имею

Блез Паскаль (1623 { 1662) 189

с ним ссоры»). Высказывания Паскаля по самым разным вопро-сам необычайно проницательны. Его мысли о государстве ценилНаполеон, который, находясь в изгнании на острове св. Елены,говорил, что «сделал бы Паскаля сенатором».

Паскаль не окончил главную книгу жизни. Оставшиеся мате-риалы были изданы посмертно в разных вариантах, под разныминазваниями. Чаще всего книгу называют «Мысли».

Популярность этой книги была необычайной. Мы ограничим-ся тем, что подчеркнем ее влияние на деятелей русской культу-ры. Не все принимали ее. И.С.Тургенев называл «Мысли» «самойужасной, самой несносной книгой из всех когда-либо напечатан-ных», но писал, что «Никогда еще никто не подчеркивал того, чтоподчеркивает Паскаль: его тоска, его проклятия ужасны. В срав-нении с ним Байрон| розовая водица. Но какая глубина, какаяясность | какое величие! 〈: : :〉 Какой свободный сильный, дерз-кий и могучий язык!». Н. Г. Чернышевский писал о Паскале: «По-гибать от избытка умственных сил | какая славная погибель».Полемика с Паскалем прошла через всю жизнь Ф.М.Достоевско-го. Для Л.Н. Толстого Паскаль был одним из самых почитаемыхмыслителей. Имя Паскаля постоянно встречается в составленномим «Круге чтения» (около 200 раз). Паскаль для Л. Н. Толстогописатель, «пишущий кровью сердца».

Блез Паскаль скончался 19 августа 1662 г. 21 августа в церквиСент-Этьен-дю-Мон был составлен «Похоронный акт»: «В поне-дельник 21 августа 1662 г. был похоронен в церкви покойный БлезПаскаль, при жизни стремянный, сын покойного Этьена Паска-ля, государственного советника и президента палаты сборов вКлермон-Ферране. 50 священников, получено 20 франков».

ВЫСОКОЙ ГЕОМЕТРИИ НАЧАЛА

Но это лишь начала некоей много более высокой Геоме-трии, которая распространяется на труднейшие и прекрас-нейшие задачи прикладной Математики, и едва ли кому-нибудь удастся заняться с той же легкостью такими вещами,не пользуясь нашим дифференциальным исчислением или емуподобными. Лейбниц

В 1684 г. в журнале «Acta Eruditorum», выходившем с 1682 г. вЛейпциге («Труды ученых», или, как говорят сейчас, «Ученые за-писки»), появилась семистраничная статья Готфрида ВильгельмаЛейбница (1646 { 1716) «Новый метод максимумов и минимумов,а также касательных, для которого не служат препятствием нидробные, ни иррациональные величины, и особый для этого родисчисления». Это была первая публикация по дифференциально-му исчислению, хотя возникло оно лет на двадцать раньше, апервые шаги старше еще на пятьдесят лет и относятся к самомуначалу XVII века.

Золотой век анализа. Анализ бесконечно малых. . . Как видятсясегодня вехи героического века его создания? В самом началеXVII века Галилей (1564 { 1642) изучает равноускоренное дви-жение в связи со свободным падением. Как исследовать нерав-номерное движение, если вся наша интуиция относится к рав-номерному движению? Можно считать, что на малых участкахвремени движение мало отличается от равномерного. Но удоб-нее считать, что на «бесконечно малых» интервалах оно простоявляется равномерным. Появляется очень расплывчатый образнеравномерного движения, рассыпающегося на бесконечное мно-жество бесконечно малых интервалов (нулевых?) с равномерным

190

Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 { 1716) 191

Готфрид Вильгельм Лейбниц

движением. Лишь через две-сти лет этот образ удалосьпревратить в математическикорректное понятие, но всеэто время математики реши-тельно и успешно работали сним. А потом от прямолиней-ного движения перешли к кри-волинейному: движение тела,брошенного под углом к го-ризонту. Появляется идея рас-сматривать кривые как траек-тории движений. Так Галилейисследует параболу.Впрочем, у Галилея был ве-ликий предшественник в этихрассмотрениях: Архимед опре-делил свою спираль кинема-тически. Вообще, век анализадолго продолжался с оглядкойна Архимеда. Уже в XVI векеученые настойчиво изучали его труды по вычислению площадейи объемов криволинейных фигур и тел. В Древней Греции былразвит логически безупречный метод доказательства формул длякриволинейных квадратур и кубатур|метод исчерпания. Фор-мула доказывалась от противного при помощи приближения кри-вого тела с двух сторон ступенчатыми телами с любой точно-стью. Этим методом блестяще владел Архимед, а до него Евдоксдоказал таким образом формулы для объема пирамиды и конуса.Теперь мы знаем (в XVII веке это не было известно), что когдаАрхимед искал формулы (а не доказывал их), он разрезал тело набесконечно малые слои (неделимые), а потом пользовался меха-ническими соображениями. Из переписки Галилея мы знаем, чтоон много думал о методе «неделимых», но не написал задуманнойкниги.

192 Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 { 1716)

Вскоре после того, как математики XVII века занялись про-блемой измерения криволинейных площадей и объемов, им сталотесно в рамках метода исчерпания. Первым, кто предпочитаетдвигаться по скользкой дороге бесконечно малых, был Кеплер(1571 { 1630). В 1616 г. выходит его «Новое измерение винных бо-чек», где он исследует практическое правило измерения объемабочки при помощи одного замера линейкой, просунутой в на-ливное отверстие. Он не приводит доказательства по Архимеду,смело работает с бесконечно малыми, но выражает уверенностьв возможности провести строгое доказательство. Кеплер пишет,что он излагает принципы Архимеда «лишь настолько, насколькоэтого достаточно для удовлетворения ума, любящего геометрию,а полные во всех частях строгие доказательства следует искать всамих книгах Архимеда, если кто не убоится тернистого пути ихчтения». Эта позиция (строгие доказательства провести можно,но мы этого делать не будем) надолго становится удобной защи-той от необходимости проводить строгие доказательства. Вотнесколько примеров. Ферма: «Было бы легко дать доказатель-ство в духе Архимеда 〈: : :〉 достаточно предупредить об этом рази навсегда, чтобы избежать постоянных повторений». Паскаль:«Один из методов отличается от другого только способом выра-жения». Барроу: «Это доказательство можно было бы удлинитьапагогическим (от противного | С. Г.) рассуждением, но длячего?». Но находились критики, которые пытались остановитьлюбителей вольно обращаться с бесконечно малыми, заклиная ихименем Архимеда. Против Кеплера было направлено сочинениеАндерсона, ученика Виета, «Иск Архимеда» (1616 г.). Еще черезсто лет Ролль констатировал, что «характер точности не господ-ствует больше в геометрии с тех пор, как к ней примешали новуюсистему бесконечно малых».

Кеплер еще при формулировке своего второго закона рассма-тривал площадь, заметаемую отрезком, соединяющим Солнце спланетой, как «сумму» этих отрезков. Каждый следующий мате-матик пытался разработать более безопасные процедуры работыс бесконечно малыми. Кавальери (ок. 1598 { 1647) был близокк Галилею и удостоился от Галилея высшей похвалы| был на-


зван «соперником Архимеда». Кавальери посвятил методу неде-лимых две книги (1635, 1647). Он исходит из того, что площадьопределяется длинами отрезков, по которым фигура пересекает-ся семейством параллельных прямых (аналогично для объема).Кавальери уверен, что его процедуры имеют преимущества посравнению с приемами Кеплера: «Всякий, кто видел трактат упо-мянутого Кеплера о движении Марса, может легко убедитьсяна основании наших исследований, как легко ему было впасть вошибку 〈: : :〉 исходя из предположения, что площадь эллипса рав-новелика совокупности всех расстояний планеты, вращающейсяна эллиптической линии, от Солнца». Кавальери считал, что на-до осторожно работать с непараллельными отрезками, но Кеплерне ошибался! Только интуиция могла защитить математиков отзаблуждений при работе с бесконечно малыми.

Кавальери применяет свои методы к вычислению площадикриволинейной трапеции под параболами y = xn (в современ-ных обозначениях

∫ ba x

n dx). С огромным трудом он постепенноувеличивает n, дойдя между 1635 г. и 1647 г. до n = 9. Но к это-му времени Ферма (1601 { 1655) уже умел вычислять площади длявсех рациональных n 6= −1 (в 1644 г. он сообщил об этом Кавалье-ри, но первые результаты относятся еще к 1629 г.). Математикиначинают ощущать свое превосходство над древними. В 1644 г.Торричелли писал: «Несомненно, что геометрия Кавальери естьудивительное по своей экономии средство для нахождения тео-рем 〈: : :〉 Это|истинно царская дорога среди зарослей матема-тического терновника 〈: : :〉Жаль мне древней геометрии, что оналибо на знала, либо не хотела признавать учения о неделимых».

Как же обстоит дело в случае n = −1, выпавшем из рас-смотрений Ферма? И здесь выяснилось поразительное обсто-ятельство: при квадратуре гиперболы появляются логарифмы(∫ x1 dy=y = lnx). Этот замечательный факт постепенно вы-

кристаллизовывался, начиная с работы Сент-Винцента (около1647 г.). Логарифмы появились у Непера (1550 { 1617) в са-мом конце XVI века при помощи кинематических рассмотрений,очень напоминавших первые механические построения Галилея.


Однако долго они воспринимались как чисто вычислительноесредство (таблицы!) и не пересекались с теоретическими ис-следованиями. Как писал Торричелли, Непер «следовал толькоарифметической практике» (грубо говоря, еще не было лога-рифмической или показательной функций), и лишь с серединывека эти функции начинают появляться (в значительной степе-ни в связи с квадратурами). Это было принципиально, что приквадратуре алгебраической функции простого вида появляетсятрансцендентная. Был подробно исследован вопрос о квадра-туре круга и его частей, и здесь выяснилось, что квадратураалгебраической функции (

√1− x2) ведет к тригонометрическим

(круговым) функциям. Кстати, и синусоида появилась тогдаже как промежуточный объект при вычислении площади подциклоидой («спутница циклоиды»).

Постепенно в круг интересов математиков все более начина-ют входить задачи на проведение касательных к кривым. Древ-ние умели проводить касательные лишь к коническим сечени-ям, да еще Архимед умел строить касательную к своей спирали.Так что в этой задаче с самого начала математики XVII ве-ка были лишены поддержки древних. Начиная с 1629 г. Декарт(1596 { 1650) и Ферма, соревнуясь друг с другом, разрабатыва-ют общие принципы построения касательных, причем последнийсвязывает их с задачами на максимум и минимум. ПараллельноТорричелли и Роберваль (1602 { 1675) предлагают искусственныеприемы построения касательных, интерпретируя их как напра-вления скорости при движении по кривой и искусно представляядвижение по кривой как сложное движение, составленное из болеепростых. В 50 { 60-е годы, отправляясь от результатов Декар-та { Ферма, Слюз, Гудде, Гюйгенс находят совершенно автома-тические правила построения касательных к широким классамалгебраических кривых. Характерно, что никто из авторов неспешил обнародовать свое правило. В 1659 г. Гудде пишет Схо-утену: «Я прошу вас сохранить в тайне все, что я вам пишу, ине говорить кому бы то ни было, что найдено нечто подобное.Необходимо, чтобы мои лучшие открытия либо были известнытолько самым интимным моим друзьям, либо чтобы они стали


известны всем». Характерная иллюстрация эпохи! Информацияраспространяется в основном при помощи писем, редко выходяткниги, а первый журнал («Журнал ученых» в Париже) стал вы-ходить в 1665 г. Быстрая публикация еще не воспринималась какестественное средство сохранить приоритет. Считалось вполнедопустимым «придержать» метод, чтобы самому извлечь макси-мальные следствия.

В 1668 г. Николай Кауфман (1620 { 1689), более известныйпод именем Меркатор, опубликовал в книге «Логарифмотехника»замечательный способ вычислять логарифмы:∫ x

0

dx

1 + x= ln(1 + x) = x− x2

2+x3

3− x4

4+ : : : ;

где можно обеспечить любую точность, взяв достаточное числочленов (ряд для ln 2 был ранее получен Броункером). Позже выяс-нилось, что этот ряд знали уже Гудде (1656 г.) и Ньютон (1665),но они не торопились с публикацией. Постепенно ряды стано-вятся важнейшим средством как для вычислений, так и для тео-ретических рассмотрений. Например, Грегори (1638 { 1675) имелочень интересный план применить ряды к доказательству транс-цендентности � и к доказательству того, что некоторые задачи(вычисление дуги эллипса или гиперболы) не сводятся к элемен-тарным функциям.

Мы очень бегло описали ситуацию в первой половине века бес-конечно малых, причем мы не только опустили многие славныестраницы истории (результаты Паскаля, Ферма), не упомянулимногие достойные имена (Валлис, Фабри), но и сильно огруби-ли картину, не обсуждая многочисленные переходящие друг вдруга этапы становления результатов, авторство которых оченьусловно и часто несправедливо закреплено за теми или инымиматематиками: «Открытие произошло в результате почти не-уловимых переходов, и спор по этому поводу о приоритете былбы равносилен спору между скрипкой и тромбоном относитель-но точного момента появления определенной мелодии в симфо-нии» (Бурбаки).


К началу 60-х годов математики накопили немало фактов. На-чал очерчиваться круг задач, решаемых при помощи бесконечномалых. Выкристаллизовались два основных направления: вычи-сление квадратур и построение касательных. Ситуация с этимизадачами была существенно различной. В то время как в зада-че о касательных, более молодой, появились достаточно общиеметоды, в задаче о квадратурах все оставалось на уровне от-дельных задач и искусственных приемов. Например, Декарт былуверен, что общие приемы в этих задачах не существуют. Всеболее осознавалась замечательная связь, которая имелась междуэтими задачами. Они оказались взаимно обратными, что наи-более естественно было усмотреть при помощи кинематическихрассмотрений: нахождение скорости (мгновенной) по пути сво-дится к построению касательной, а путь находится по скоростипри помощи квадратур. Эта связь, которая наметилась уже у Га-лилея, в весьма полном виде появляется у Барроу (1630 { 1677) вего лекциях, изданных в 1669 { 1670 г., хотя эксплуатируется онаеще явно недостаточно.

Активность в области теории бесконечно малых к концу 60-хгодов заметно падает. Ферма и Декарта уже нет в живых, Гюй-генс уже сделал свои главные работы. Остававшиеся задачи струдом поддавались искусственным приемам, да и не было наматематическом небосклоне такого созвездия математиков пер-вой величины, как двадцать лет назад. Необходим был перелом,для которого требовался очень талантливый человек, которыйбы отважился на некоторое время отказаться от движения впе-ред и переосмыслил все с самого начала, разгрузил теорию отискусственных приемов, и только упростив и систематизировавспособы решения известных задач, двинулся вперед. Необходимобыло превратить теорию бесконечно малых в исчисление | на-бор достаточно простых формальных, но широко действующихрецептов. Нужно было превратить теорию из искусства в реме-сло. В таком виде ее не только можно будет вывести из узкогокруга посвященных, но и крупным математикам это позволилобы без затраты усилий пройти часть пути и сконцентрироватьусилия на более глубоких вопросах. Характерно, что еще рабо-


тающие гиганты, прежде всего Гюйгенс, не чувствовали в этомпотребности: их устраивала работа по-старому. Этот труд дол-жен был взять на себя математик следующего поколения.

«Бог сказал: да будет Ньютон! | и наступил свет» | сказа-но в популярном четверостишии А. Попа. Ньютон (1642 { 1727)создал исчисление во время своих двухлетних чумных каникул(1665 { 67 гг.) в Вулсторпе, когда после окончания Кембриджско-го университета он оказался на своей ферме отрезанным из-зачумы от внешнего мира. В эти два года он получил свои самые за-мечательные результаты по механике и математике. Перед этимон слушал лекции Барроу и, возможно, от него усвоил идею си-стематически рассматривать кривые как функции от времени:«вероятно, что лекции д-ра Барроу могли навести меня на рассмо-трение образования фигур с помощью движения, хотя я теперьи не помню этого». Очень поучительное высказывание! Ньютонстроит исчисление флюксий. У него независимое переменное |это всегда время, и флюксии|это скорости, производные по вре-мени. Подробно разрабатываются правила вычисления флюксий(наши правила дифференцирования). Дальше исследуется обрат-ная задача|нахождение флюент. Это операция интегрирования,и Ньютон систематически выясняет, какие правила для нее мож-но получить, эксплуатируя то, что она обратна дифференциро-ванию (нахождению флюксий по Ньютону).

Это дает немало удобных приемов, поскольку с флюксиями(производными) все выглядит просто. По такой схеме|диффе-ренцирование предшествует интегрированию|обычно строитсяанализ и сегодня. Но главный конек Ньютона | это ряды. Оночень ценит свою формулу для бинома (1 + x)k при любых (необязательно натуральных) k. Он воспринимает ряды как уни-версальный метод решения аналитических задач и не видит длянего ограничений.

В октябре 1666 г. Ньютон составляет черновой набросок те-ории, а в 1669 г. летом он передает конспект своих результатовБарроу, а через него Коллинзу в Лондон. В 1670 { 71 гг. Ньютонготовит подробное сочинение по методу флюксий, но не находитиздателя, и сочинения Ньютона по анализу начинают появляться


в печати лишь после 1704 г. Кое-какая информация о его работахраспространялась среди математиков, кое-кто имел возможностьпознакомиться с рукописью, хранившейся у Коллинза. Ньютон неторопился с публикацией, спокойно наблюдая, как некоторые егорезультаты переоткрывались и публиковались другими (напри-мер, результаты о рядах|Меркатором). Вряд ли кто-нибудь изокружающих мог оценить важность исчисления, более обращаливнимание на конкретные результаты. Да и сам Ньютон большеценил их и выдвигал на первый план метод рядов, а не исчисле-ние. Итак, к 70-м годам «активными остаются только Ньютон вКембридже и Дж.Грегори, уединившийся в Абердине, к которымв скором времени со всем пылом неофита (вновь посвященного|С. Г.) присоединяется Лейбниц» (Бурбаки).

Лейбниц и его путь в математику. Всю свою жизнь Лейбниц былнацелен на глобальные проблемы, на всеобъемлющие теории. Егопуть в математику был нестандартен, и в этом отчасти причи-на того, что он отдавал предпочтение методу в век, когда болееценили конкретные результаты. В жизни Лейбница было мно-го планов. Некоторые поражают своей грандиозностью. Новыезамыслы вытесняли старые, нередко увлекавшемуся автору нехватало реализма. Почти ни одной из задуманных книг он недописал до конца, а большинство оставил в самом начале (лишьнесколько книг по философии постигла лучшая участь). Но кактрудно сохранить реализм, когда замыслы далеко обгоняют век!

Уже с 13 { 14 лет Лейбниц мечтает о перестройке логики, осоздании алфавита человеческих мыслей, в котором можно бы-ло бы записывать все мыслительные процессы. Постепенно зреетглавная идея его жизни: создание «универсальной характеристи-ки», «универсального языка». «Универсальная математика явля-ется, так сказать, логикой воображения»; она должна занятьсявсем, «что в области воображения поддается точным определе-ниям». Язык должен быть защищен от записи неправильных мы-слей: «химеры, которые не понимает даже тот, кто их создает,не смогут быть записаны его знаками». Он грезит о машине, ко-торая будет доказывать теоремы, хочет превратить мышление


в исчисление, арифметизировать его так, чтобы можно было за-менять рассуждения вычислениями и решать споры при помощиматематических выкладок. Трижды приступал Лейбниц к реали-зации своего грандиозного, сильно опередившего время замысла,но всякий раз останавливался, пройдя лишь первые шаги. Тольков XX веке, когда многое из задуманного Лейбницем оказалосьявью в рамках математической логики, стало ясно, что его за-мыслы были не столь утопичны, сколь прозорливы.

Лейбница интересуют разнообразные применения математи-ки, и он верит в безграничные ее возможности. Он готовит-ся стать юристом и в 18 лет пытается строить юриспруденциюкак математическую теорию с аксиомами и теоремами, думаето применении вероятностных соображений в судопроизводстве.В 20 лет он оказывается от кафедры в Нюрнбергском универси-тете: его не привлекает спокойная академическая карьера. ПланыЛейбница более честолюбивы: «я давно в душе лелеял другое»и «я считал недостойным молодого человека сидеть, точно при-шпиленный к месту; дух мой горел желанием стяжать большуюнаучную славу и посмотреть свет». Он принимает приглашениегерцога Иоганна Филиппа и переезжает в Майнц. Лейбниц хочетвоспользоваться ситуацией и, пусть в рамках довольно скромно-го государства, создать совершенный свод законов. Постепенноего планы становятся все более широкими и одновременно менеереалистическими. Он задумывает перестройку всей юридическойнауки, начинает три грандиозные монографии. Вероятно, когдав 1717 г. непременный секретарь Французской академии наукФонтенель в «Похвальном слове Лейбницу» назвал его великимюристом, у него были основания.

У Лейбница немало интересных идей, но скоро приходит оче-редь совершенно другого замысла. Живший в Майнце известныйдипломат Бойнебург увлекает Лейбница грандиозными плана-ми изменить европейскую политику. Их замыслам тесно в про-винциальном Майнце. Они берутся за предложение курфюрстаБранденбургского найти мотивировку для избрания на польскийпрестол немецкого князя. Лейбниц сочинил блестящий меморан-дум, который, впрочем, не помешал проиграть дело: правильная


практическая дипломатия оказалась эффективнее политическогопамфлета. Следующий прожект касался организации союза не-мецких государств против Франции. Он содержал немало остро-умных ходов, но реализовать его не удалось. Наконец, третийграндиозный проект: вовлечь Францию в войну с Турцией с тем,чтобы ослабить ее влияние в Европе. Для реализации проектаЛейбниц едет в Париж. Единственным результатом было то, чтоЛейбниц по существу лишился поддержки курфюрста, которыйне очень был заинтересован в советнике, пытавшемся через егоголову перестраивать европейскую политику.

Возможно, то обстоятельство, что Лейбниц остался не у дел,переключило эту кипучую натуру на математику. Первоначаль-но в планах Лейбница математике предназначалась вспомога-тельная роль. В 1666 г. он издает в Лейпциге «Диссертацию окомбинаторном искусстве», в которой он сообщает, что его неинтересует открытие новых арифметических истин: математикадолжна помочь ему разработать «логику открытия». И в Майн-це он находит время для «математических досугов». В 1676 г.он работает над конструкцией арифметической машины, инте-ресуется машиной Паскаля. Лейбниц привез в Париж некоторыематематические результаты. Осенью 1672 г. они были темой об-суждения с Гюйгенсом, который в те годы работал в Париже.Речь шла о суммировании числового ряда a1 + a2 + : : :+ an + : : :при помощи подбора такой последовательности b1; b2; b3; : : : , чтоan = bn − bn+1. Тогда a1 + : : : + an = b1 − bn+1. Лейбниц рассма-тривает ряд примеров, когда работает его правило, и удачно, чтопод правило подошел пример, предложенный Гюйгенсом:

11 · 2

+1

2 · 3+ : : :+

1n(n+ 1)

+ : : :

(здесь bn = 1=n). Они оба не знали, что этот прием не был нов,да и речь шла об очень частном вопросе. Лейбниц тем не менеебыл высокого мнения о своих достижениях. Позднее он трезвооценивал ситуацию: «Когда я приехал в 1672 г. в Париж, я былматематиком-самоучкой, но опыт мой был невелик, мне не хва-тало терпения пройти долгую цепь доказательств 〈: : :〉 Я хотел


плавать самостоятельно без учителя 〈: : :〉 В этом высокомерномматематическом невежестве я уделял внимание только истории иправу, видел в их изучении свою цель. Однако математика быладля меня более приятным развлечением».

В 1673 г. Лейбниц посетил Лондон в составе майнцской ди-пломатической миссии. Контакты с английскими математикамиподействовали на него отрезвляюще. Он узнал что его основ-ные результаты не новы, а современная математика далеко впе-реди. У Лейбница оставался единственный путь войти в совре-менную математику | начать все с начала. 27 лет | не самыйподходящий возраст для старта в науку молодых, но Лейбни-ца это не смущает, он имел все основания позднее назвать себя«самым учащимся из смертных» (письмо Я. Бернулли, 1703 г.).С осени 1673 г. начинаются годы математического ученичестваЛейбница, умело направляемого Гюйгенсом. Гюйгенс угадал в са-моуверенном «переростке» подлинный дар. «Гюйгенс, который,как я предполагаю, считал меня более способным, чем я былна самом деле, дал мне экземпляр только что изданного

"Ма-

ятника\. Для меня это было началом или поводом для более глу-боких математических занятий.» Итак, все началось с великойкниги «Маятниковые часы». Затем последовали Сент-Винцент,Декарт, Слюз, Валлис, и прежде всего Паскаль. Лейбниц уви-дел, что Паскаль по существу применяет очень общий метод кчастной задаче и, пораженный, что «глаза Паскаля были закры-ты», пытается вычленить этот метод и применить его к другимзадачам. Так появляется так называемый метод «характеристи-ческого треугольника», в котором бесконечно малый треуголь-ник заменяется конечным, что было существенным прогрессомпо сравнению с методом неделимых. Лейбницу было бы непло-хо почитать и более классические тексты, но он торопится; онв самом деле смог пробраться «к геометрии воистину с черно-го хода». Появляются результаты, удивившие Гюйгенса, напри-мер, ряд

�

4= 1− 1

3+15− 17+ : : : :


Потом оказалось, что его знал Грегори. Гюйгенс рассчитывал,что при помощи ряда можно получить квадратуру круга (а Гре-гори, напротив, рассчитывал таким способом доказать транс-цендентность �). Лейбниц занимается не только анализом. Онпытается найти формулу для решения общего алгебраическогоуравнения (именно общего, частные проблемы его мало интересу-ют), анализирует формулу Кардано в комплексной области (уди-вляет Гюйгенса соотношением

√1 +

√−3 +

√1−

√−3 =

√6),

работает над циркулем, который позволяет находить корни лю-бого уравнения (подобно тому как обычный циркуль позволяетнаходить корни квадратного).

Все же главные результаты связаны с бесконечно малыми.Лейбниц писал, что уже в 1673 г. он «заполнил несколько сотстраниц», но еще «не считал этот труд достойным быть издан-ным. Ибо мне наскучило заниматься мелочами, когда передо мнойоткрылся Океан».

Много теорем было получено в первый год «ученичества», нобольшинство из них можно было найти у Грегори или Барроу.Однако общие приемы позволяли получать все проще и едино-образнее. Путь Лейбница был выбран: он строит исчисление бес-конечно малых.

Характер его таланта, его предыдущий научный опыт как не-льзя лучше отвечали этой цели. Он четко продумывает вопрос оклассе функций, которые должно рассматривать в анализе (самослово «функция» впервые появляется у Лейбница в 1673 г.). Он ре-шительно отвергает идею ограничиться алгебраическими функ-циями (геометрическими кривыми по Декарту) и считает, чтонеобходимо рассматривать и трансцендентные функции (терминЛейбница; Декарт в этих случаях говорил о механических кри-вых). С первых шагов он сопровождает построение исчисленияразработкой символики, которая в конечном счете приняла у неговид, дошедший до наших дней.

Лейбниц, как никто до него, понимал важность удачной сим-волики, причем не только в математике. Исчисление бесконечномалых дало ему прекрасный повод для реализации этой идеи. Хо-


рошая символика не только упрощает пользование исчислением,но и по существу необходима для овладения им. В 1678 г. Лейб-ниц писал Чирнгаузу: «Следует заботиться о том, чтобы знакибыли удобны для открытий. Это достигается в наибольшей ме-ре тогда, когда знаки коротко выражают и как бы отображаютглубочайшую природу вещи, и при этом удивительным образомсокращается работа мышления». Лейбниц всюду искал возмож-ность ввести удобную символику. Стоит упомянуть, что к немувосходит метод решения систем линейных уравнений при помо-щи определителей, в связи с чем он писал Лопиталю (1693 г.):«Часть секрета анализа состоит в искусстве хорошо употреблятьприменяемые знаки, и по этому малому образцу Вы видите, су-дарь, что Виет и Декарт еще не познали все его тайны». Следуетподчеркнуть, что в исчислении Ньютона не было развитой симво-лики. Он сам писал, что «не дал своего метода в форме символови не придерживался какого-либо определенного вида символовдля флюент и флюксий». Показательно, что Гюйгенс не оценилпользы аналитической символики. При его даровании он был всостоянии без нее обходиться. Лейбниц пытался объяснить пре-имущества: «Я вполне себе представляю, что Вы располагаетеметодом, эквивалентным моему исчислению разностей. Ибо то,что я называю dx или dy, вы можете обозначить другой буквой.Однако это примерно то же самое, как если бы вместо корнейили степеней всегда хотели подставлять буквы 〈: : :〉 Посудите са-ми, насколько это было бы затруднительно». То, без чего могобойтись Гюйгенс, было совершенно необходимо для превраще-ния анализа в повседневное практическое средство. Вероятно,символика явилась решающей причиной, по которой мы пользу-емся сегодня анализом в варианте Лейбница.

Уже в 1674 г. Лейбниц уверен, что «все учение о суммах иквадратурах может быть сведено к анализу | вещь, на кото-рую никто до сих пор не надеялся». К концу 1675 г. в первомприближении исчисление построено, и Лейбниц имел повод убе-диться в его эффективности. Важным моментом было решениезадачи Дебона, которой занимался Декарт, но не смог довестирешение до конца: «Еще в прошлом году я поставил перед со-


бой вопрос, который можно отнести к труднейшим во всей гео-метрии, поскольку распространенные до сих пор методы здесьпочти ничего не дают. Сегодня я нашел его решение и я при-веду его анализ» (11 ноября 1675 г.). Речь идет о нахождениикривой с постоянной подкасательной (отрезок между проекциейточки A на ось OX и точкой пересечения касательной в точке Aс осью OX). Трудность заключается в том, что решение связанос логарифмической функцией. К середине 1676 г. дифференци-альное и интегральное исчисление сложилось окончательно. Онпоражается, что «благодаря этому исчислению все предстает пе-ред очами и в уме с восхитительной краткостью и ясностью».

Лейбниц, как и Ньютон, стремился создать мощный метод, незаботясь на этой стадии о достаточно строгом обосновании ис-числения. «Ньютон и Лейбниц, повернувшись спиной к прошлому,решили временно искать оправдание новым методам не в строгихдоказательствах, а в обилии результатов и их взаимной согла-сованности» (Н. Бурбаки). Еще на стадии ученичества Лейбницуказалось, что Грегори слишком увлекается «доказательствами наантичный лад». Для Лейбница конкретные результаты, в первуюочередь, рассматривались как возможная иллюстрация его ме-тода. Возможно, здесь сказалось, что он никогда не умел легкоделать выкладки и всегда завидовал вычислителям «из железаили меди». Позднее (1696 г., письмо Лопиталю) он связывал этос тем, что одновременно занимался многими разными вещами:«Моему уму, занятому другими предметами, не удается сосредо-точиться в необходимой мере, из-за этого я ежеминутно спотыка-юсь, а когда я напрягаю внимание, у меня появляется неприятноеощущение какого-то жара». В 1699 г.: «вычисления становятсяприятнее, когда их делишь с кем-нибудь, а я не в состоянии дол-го заниматься вычислениями, если мне не помогают».

В 1675 г. в Париже у Лейбница был достойный напарник, егосоотечественник Чирнгауз (1651 { 1708). Их способности были вомногом дополнительны, и это делало их сотрудничество особен-но плодотворным. Чирнгауз занимался больше всего алгебраиче-скими уравнениями, но интересовался также и квадратурами.Лейбницу было больно, что его товарищ не смог оценить пользу


исчисления: «Некоторые квадратуры, которые получены тобоюпространно, но изящно, и сами по себе красивы, я считаю толькоследствиями общего исчисления. А пишу я это, мой друг, так какс сожалением вижу, что ты часто теряешь много времени и толь-ко потому, что не пожелал с достаточным вниманием отнестиськ некоторым моим замечаниям» (1678 г.).

Лейбниц, разумеется, слышал, что Ньютон владеет какими-томощными методами, и решает обсудить с ним свой новый метод.Через посредничество Ольденбурга (секретаря Королевского об-щества) в 1676 г. происходит обмен письмами. Лейбниц сообщаето задачах, которые он умеет решать, просит сообщить о мето-дах Ньютона, обещает рассказать о своем методе. Еще ранееЛейбниц писал Ольденбургу, что создание метода| единствен-ная вещь, которой он придает значение. Результаты Лейбницане удивили Ньютона. Он сразу заметил, что задача Дебона сво-дится к квадратуре гиперболы (логарифмам), а по поводу рядадля � заметил, что потребовалось бы 1000 лет, чтобы сосчитать20 десятичных знаков. Очень скупо говорит Ньютон о методе.Ясно лишь, что центр тяжести в его рассмотрениях|на степен-ных рядах. Ньютон утверждает, что он в состоянии решить приих помощи любое дифференциальное уравнение. Основная частьинформации закодирована в двух анаграммах, в которых вы-сказывания зашифрованы первыми буквами содержащихся в нихслов (5accdae10e¸h. . . ). Ньютон расшифровал их много позднее.Это был старинный способ сохранить приоритет. Быть может,концентрация внимания на степенных рядах помешала Лейбницуосознать, что у Ньютона имеется исчисление.

Лейбниц не согласен, что ряды решают все проблемы. «Мыпока, насколько мне известно, не располагаем общим обратнымметодом касательных». Ему видится иная картина. Надо пытать-ся сводить решение дифференциальных уравнений к известнымквадратурам. Важно разобраться, хватает ли элементарныхфункций и квадратур гиперболы и круга (логарифмическойи тригонометрических функций). Грегори приводил веские ар-гументы в пользу того, что для вычисления длин дуг эллипса илигиперболы (будущие эллиптические интегралы) этих квадратур


мало. Тогда надо «установить какие-то другие высшие основныефигуры» (в другом месте «высшие трансцендентности в геоме-трии»), которых достаточно для решения дифференциальныхуравнений. Ньютона и эта постановка не застает врасплох: онсообщает, при каких � и � интеграл

∫x�(1 + x)� dx сводится к

известным квадратурам. Переписка прервалась по инициативеНьютона, кроме того в 1677 г. умер Ольденбург, через которогоона велась.

Математика и «завоевание умов» государей. Да и жизнь Лейбни-ца решительно поменялась. От его парижского периода осталисьлишь черновики и наброски статей. У него зреет план подготов-ки всеобъемлющего труда «Математика бесконечного», но жиз-ненные перемены отвлекли его от математики.

Нам не дано знать, опять ли взыграло у Лейбница политиче-ское честолюбие, или он не нашел возможности обеспечить себежизнь занятиями наукой (возможно, протестантство помешалоему получить место в Парижской академии наук). Так или ина-че, с конца 1676 г. он на службе у герцога Иоганна Фридриха вГанновере. Он едет в Ганновер кружным путем, посещает Лон-дон, где видится со многими математиками, но не встречается сНьютоном, встречается со Спинозой в Голландии.

Итак, Лейбниц смог получить место лишь у второсортногогосударя, да и то поначалу он лишь герцогский библиотекарь.Не самое завидное место для 30-летнего ученого политика, ещене отказавшегося от честолюбивых замыслов. Но Лейбниц полонэнтузиазма и мечтает о лучшей библиотеке в мире, пока размерреально отпускаемых средств не охладил его. Его допускают кюридической деятельности, но предпочитают загружать повсе-дневными делами, к которым он не имел вкуса, в отличие от гло-бальных юридических проблем. Очень ограниченно допускаютЛейбница к дипломатической деятельности. Так, ему поручаетсяподготовить текст, мотивирующий право герцога участвовать вофранко-германских мирных переговорах. Иоганн Фридрих былкатолическим монархом в протестантском государстве, и Лейб-ниц хотел воспользоваться этим обстоятельством для реализации


своей заветной идеи: объединить католическую и протестант-скую религии.

В 1678 г. на престоле новый герцог Эрнст Август, при кото-ром дела стали идти хуже. Но Лейбниц полон проектов, спектркоторых необычайно велик: усовершенствование кладки печей,производства гвоздей, молотков, усовершенствование колес эки-пажей, удочек, рулей кораблей, литейного производства, пожар-ного дела, реорганизация архивов, составление «Свода законовЭрнсто-Августов» и т. д. Почти ни один проект не нашел под-держки. Дальше всего зашло дело с планом усовершенствованияводяных двигателей на рудниках в Гарце. В 1685 г. реализа-ция была прервана, поскольку была признана бесперспективной.В каждом проекте Лейбница была остроумная находка, но емучасто не хватало реализма. Успех наступал тогда, когда за до-водку идеи брался талантливый практик. Так было с паровой ма-шиной: «Лейбниц, рассыпая вокруг себя, как всегда, гениальныеидеи без заботы о том, припишут ли заслугу открытия этих идейему или другим,|Лейбниц, как мы знаем теперь из перепискиПапена (изданной Герландом), подсказал ему при этом основнуюидею: применение цилиндра и поршня» (Ф. Энгельс). В качествекурьеза упомянем, что Лейбниц предлагал патеру Гримальди, на-правлявшемуся в Китай, ознакомить просвещенного императорас двоичной системой счисления и при ее помощи обратить в хри-стианство (доказав единственность божества).

Постоянная борьба за влияние при дворе надолго отвлеклаЛейбница от математики. Новое обращение Лейбница к матема-тике стимулировалось двумя обстоятельствами. С 1682 г. приподдержке Лейбница стали выходить «Ученые записки» в Лейп-циге, и Лейбниц предполагает публиковать там свои результаты.В 1683{84 гг. в журнале публикуются статьи Чирнгауза о ква-дратурах, в которых Лейбниц обнаруживает следы своих недав-них бесед с автором без необходимых ссылок. Когда-то Лейбницбезуспешно пытался убедить Чирнгауза в эффективности исчи-сления, теперь он напечатал сам некоторые результаты в этомнаправлении. Очень вероятно, что Чирнгауз не помнил, что пер-воисточником его утверждений были высказывания Лейбница.


Так бывает, что непонятые мысли прячутся глубоко, а через не-которое время возникают как свои собственные.

В мае 1684 г. Лейбниц напечатал статью с осторожной кри-тикой Чирнгауза (без приоритетных претензий и без указанияполной фамилии), а в октябре выходит его знаменитая статья,о которой мы говорили в начале. На семи страницах формули-руются основные правила дифференциального исчисления, обсу-ждается связь с задачами на максимум и минимум и о точкахперегиба, рассматривается несколько примеров (вывод законапреломления, задача Дебона). Очень оптимистична оценка: «То,что человек, сведущий в этом исчислении, может получить пря-мо в трех строках, другие ученейшие мужи принуждены былиискать, следуя сложными обходными путями». По существу в этовремя Лейбниц не занимается анализом. Он лишь печатает не-многое из своих математических «кладовых». Он печатает ещенесколько статей. Среди них в 1686 г. вышла статья «о глубокоскрытой геометрии и анализе неделимых, а также бесконечных».В ней впервые появляется в печати интеграл (он еще называетсясуммой, но обозначается через

∫; термин «интеграл» ввел И.Бер-

нулли). Здесь четко формулируется взаимная обратность опера-ций дифференцирования и интегрирования, подчеркивается не-обходимость рассмотрения трансцендентных функций в анали-зе. В статье приводятся краткие исторические замечания. Нью-тон называется «глубочайшего дарования геометром». Отмечает-ся, что публикация его методов способствовала «немаловажномуприращению науки». На этом фактически закончился второй пе-риод математической жизни Лейбница.

Дела при дворе складывались все хуже. К 1685 г. оконча-тельно провалился гарцский проект. Герцог нацелился стать де-вятым курфюрстом (князья, участвующие в выборах императо-ра). В этой игре Лейбницу отводится немаловажная, но четкоограниченная роль. Он должен провести изыскания по историидома Вельфов, к которому относился герцог. Они были необхо-димы для подкрепления претензий. Любознательного Лейбницаскромная деятельность историографа вполне привлекала. Она,в частности, давала ему возможность вырваться из Ганновера.


В 1687 г. он отправляется в трехлетнюю поездку для работы вархивах Германии и Италии. За десять лет безвыездной ганно-верской жизни его контакты с учеными были крайне ограничены.Он пытается заменить их активной перепиской: еще в Майнцечисло его корреспондентов приближалось к 50, в Ганновере ихчисло возросло до 70, а к началу нового века и до 200. Все жеписьма не могут заменить личных контактов. Подводя итоги пу-тешествия, Лейбниц напишет: «Путешествие отчасти послужилотому, чтобы освободить меня от обычных обязанностей и датьмоему духу исцеление, и я получил удовлетворение от бесед, ко-торые имел обыкновение вести со многими искусными в науках иэрудированными людьми». Кроме того, Лейбницу тесно на служ-бе у ганноверского герцога. Для его планов важно «завоевать умбольшого государя». Он получает аудиенцию у императора Лео-польда в Вене («Я прожил день, которого желал уже двадцатьлет»). В числе благосклонно встреченных предложений|проекторганизации Академии наук в Вене. Но скоро императору, заня-тому войной с Францией, стало не до Академии.

С 1690 г. Лейбниц снова в Ганновере. Он рассчитывает за два-три года закончить «Историю Вельфов». Но оценка оказалась,как всегда, слишком оптимистической. Слишком фундаменталь-ны были его замыслы, а они еще расширялись по мере работы.Ограничивать задачу Лейбниц не умел, и книга тяжелым грузомвисела на нем до конца его дней.

В Ганновере Лейбница ждало отправленное еще в 1687 г.письмо Якоба Бернулли (1654 { 1705). Я. Бернулли прочел статьиЛейбница и проникся духом нового исчисления. Пока он ожидалответа Лейбница, он начал активно работать в анализе, вовлекаяв занятия своего младшего брата Иоганна (1667 { 1748). Лейбницнашел понимание, которого ждал много лет. О лучших учени-ках не приходилось и мечтать. Лейбниц получил свою научнуюшколу (то, чего был лишен Ньютон). В контактах с братья-ми Бернулли Лейбниц начал систематически развивать анализ.Они печатали статьи в «Acta eruditorum», обменивались письма-ми, обсуждали задачи. Позднее к триумвирату присоединилсямаркиз Лопиталь (1661 { 1704), ученик И. Бернулли. В 1692 г.


И.Бернулли изготовил лекции по дифференциальному исчисле-нию, но не опубликовал их, а в 1696 г. вышел первый курс подифференциальному исчислению | «Анализ бесконечно малыхдля исследования линий» Лопиталя. Мы не будем останавливать-ся на результатах, полученных в эти годы Лейбницем и егосотрудниками, но обсудим, как в результате этих исследованийменялся взгляд его на анализ.

Еще в конце века Лейбницу кажется, что в математике всесделано: «Я рассматриваю отныне чистую математику толькокак упражнение, служащее для развития искусства мыслить. Ибодля практических целей в ней почти все открыто с помощью но-вых методов». В сентябре 1692 г. он сообщает о своих планахГюйгенсу: «Я хочу, чтобы мы могли еще в этом веке довести дозавершения анализ чисел и линий, по крайней мере, в главном,дабы избавить от этой заботы человеческий род, чтобы отныневся проницательность человеческого разума обратилась к физи-ке». Но, как свидетельствует письмо к Лопиталю от 1708 г., онуже не так оптимистичен: «Не следует удивляться, что анализбесконечно малых делает только первые шаги и что мы не хозяе-ва положения и в квадратурах, и в обратной задаче касательныхи, в еще меньшей мере, при решении дифференциальных урав-нений». Он ясно видел, что естественные задачи не сводятся кизвестным квадратурам и не видел способна систематизировать«высшие трансцендентности». Это уже была задача для двух сле-дующих столетий.

Научный авторитет Лейбница рос. Одним из свидетельствэтого было избрание его во французскую Академию наук в 1699 г.(как только разрешили выбирать некатоликов). Но ему все труд-нее было совмещать службу с наукой. Он рвался за пределы Ган-новера. С 90-х годов он на службе еще у двух немецких госуда-рей. В 1700 { 1711 гг. к этому присоединяется служба у бранден-бургского курфюрста Фридриха III, ставшего прусским королем.Здесь по проекту Лейбница организуется научное общество, ноинтриги заставили Лейбница покинуть Берлин перед самым егооткрытием. Возобновляется идея организовать имперскую ака-демию в Вене, в 1713 г. это твердо обещают, но потом Карл VI


решает отказаться от слишком дорогой игрушки. География ин-тересов Лейбница расширяется: «Я не принадлежу к числу тех,которые питают страсть к своему отечеству или какой-нибудьдругой нации, мои помыслы направлены на благо всего челове-ческого рода; ибо я считаю отечеством небо и согражданамивсех благомыслящих людей.» Так писал Лейбниц Петру I в ян-варе 1712 г. Они познакомились в 1711 г. на свадьбе царевичаАлексея и несколько раз встречались.

Петр принял Лейбница на русскую службу тайным советни-ком юстиции для помощи в упорядочении российского законода-тельства. Обсуждается вопрос об организации академии в Петер-бурге. Круг вопросов, обсуждаемых с царем, необъятен: отыска-ние пути из полярных морей в Тихий океан, христианские мис-сии в Китай, объединение православия с католицизмом и проте-стантизмом (созыв вселенского собора), создание широкой анти-французской коалиции. Похоже, что они нашли общий язык. Этаактивность Лейбница не доставляла радости ганноверскому гер-цогу. Хотя его и сделали тайным советником, желание Лейбница«дослужиться» до вице-канцлера не осуществилось. Новый герцог(с 1698 г.) Георг Людвиг настойчиво выражает желание наконецувидеть «книгу-невидимку»|давно ожидаемую «Историю Вель-фов». Лейбница по существу отстраняют от всех дел и стараютсяограничить его внешние контакты. За ним прочно укрепляетсярепутация охотника за государями, о чем свидетельствует не-доброе высказывание его помощника по историческим занятиямЭккарда (оно относится ко времени предсмертной болезни): «ес-ли царь или дюжина вельмож пообещают ему жалование, то онсможет подняться». А тяжело больной ученый из последних силпытается завершить нескончаемую «Историю».

О систематических занятиях наукой не могло быть и речи.В 1695 г. он пишет: «Нет слов, чтобы описать, насколько я несосредоточен. Ищу в архивах разные вещи и собираю ненапеча-танные рукописи, с помощью которых надеюсь пролить свет наисторию Брауншвейгского дома. Я получаю и отправляю нема-лое число писем. У меня столько нового в математике, столькомыслей в философии, столько других литературных заметок, ко-


торым я не могу дать погибнуть, что я часто не знаю, за чтораньше приняться, и я чувствую, как прав был Овидий, воскли-цая: изобилие делает меня нищим 〈: : :〉 Уже свыше двадцати летназад французы и англичане видели мою счетную машину 〈: : :〉Теперь же с помощью собранных мною рабочих готова машина,позволяющая перемножать до двенадцати разрядов 〈: : :〉 А пре-жде всего я хотел бы закончить свою

"Динамику\, в которой, я

полагаю, наконец нашел истинные законы материальной приро-ды 〈: : :〉 Мои друзья, которые знают о построенной мною высшейгеометрии, настаивают на издании моей

"Науки о бесконечном\,

содержащей основы моего нового анализа. К этому надо доба-вить новую

"Характеристику положения\, над которой я рабо-

таю, и еще значительно более общие вещи относительно искус-ства открытия. Но все эти работы, за вычетом исторических,идут украдкой. Вы ведь знаете, что при дворе ищут и ожида-ют совсем иного! Поэтому время от времени мне приходитсязаниматься вопросами международного права и прав имперскихкнязей, особенно моего господина 〈: : :〉 Тем временем мне частоприходится обсуждать религиозные разногласия 〈: : :〉 И я все жестараюсь привести в порядок мои юридические размышления».В 1697 г.: «Если вы все это взвесите, 〈: : :〉 то пожелаете мне иметьпомощников, молодых людей или друзей, ученых проницатель-ных и прилежных, которые хотели бы меня поддержать. Ибо ямногое могу дать, но не все из того, что я вижу, я могу завер-шить, и я охотно передал бы это другим, если бы это дало имсамим прославиться, лишь бы это послужило общему делу, благучеловеческого рода и тем самым славе Божьей». В письме И.Бер-нулли от 1697 г.: «ежедневные размышления на темы не толькоматематики но и физики, и самой глубокой философии, исто-рии и права, размышления, которые я записываю самым крат-ким образом, чтобы не дать им пропасть 〈: : :〉 Добавьте к этомумои идеи о построении естественного права 〈: : :〉; но прежде все-го я занят новым анализом для рассуждений всякого рода 〈: : :〉Предоставляю вам самому решать, много ли у меня времени дляосновательных занятий геометрией». О математике он часто ду-мал в экипаже (из письма И.Бернулли мы узнаем, что так он


придумал правило дифференцирования интеграла по параметрув 1697 г.). Идеи переполняют ученого; он увлечен замыслом со-здания «геометрии положения». «Я не решаюсь еще опубликоватьмои проекты характеристики положения, ибо если я не придамей убедительность, приведя сколько-нибудь существенные при-меры, то ее примут за фантазию. Тем не менее я предвижу, чтодело не может не удаться» (письмо Лопиталю, 1694 г.). Разуме-ется, ничего не было опубликовано, а великий замысел пыталсяразгадать Эйлер. Когда в XIX веке создавалась дифференциаль-ная геометрия, а затем топология, каждый раз думали, что этои есть осуществление проекта Лейбница.

Последние годы жизни Лейбница были омрачены полемикой сНьютоном о приоритете. Постепенно спор перерос в обвинениеЛейбница в плагиате. Намекали на то, что он, возможно, познако-мился с рукописями Ньютона в Лондоне. Сегодня независимостьоткрытия Лейбница представляется доказанной. В Лондоне небыло достаточно подробного текста, в первый приезд Лейбницне был готов воспринять теорию Ньютона, не было никого, ктопонимал исчисление настолько, чтобы передать его Лейбницу; ковторому визиту в Лондон Лейбниц уже владел своим исчислени-ем. Вначале полемика проходила без участия Ньютона и Лейбни-ца. Удивительно, что Ньютон, который всегда уходил от прио-ритетных споров, да и мало заботился о сохранении приоритета,на этот раз энергично включился в полемику. Вероятно, Лейбницочень задел его, ни разу не признав в нем творца нового исчисле-ния (теперь уже появились публикации). В Англии организовалиподлинную травлю Лейбница. Была создана специальная комис-сия, был подготовлен сборник материалов. В 1714 г. Лейбницпытается написать свою «Историю и происхождение дифферен-циального исчисления», но он не смог противостоять английскомудавлению.

Все осложнилось еще из-за того, что в 1714 г. герцог ста-новится королем Англии Георгом I. Лейбниц рассчитывает пе-реехать в Лондон, стать королевским историографом, но ему воскорбительной форме отказывают даже в поездке на коронацию(заставляя завершать «Историю»). Сыграло свою роль и то, что


король не хотел иметь в своей свите поверженного противникаНьютона, ставшего всеанглийской знаменитостью. Умер Лейб-ниц в 1716 г. Его скромно похоронили под плитой с краткойнадписью «Прах Лейбница».

Когда-то Лейбниц писал Петру I: «Хотя мне часто приходи-лось действовать на политическом и юридическом поприщах, изнатные князья иногда в этих вопросах пользуются моими со-ветами, я все-таки предпочитал науки и искусства, так как онипостоянно содействуют славе Господней и благосостоянию всегорода человеческого 〈: : :〉 науки и ремесла составляют настоящеесокровище человеческого рода, ибо посредством их искусствопревозмогает природу и цивилизованные народы отличаются отварварских. Поэтому я с малолетства любил науки, занималсяими и имел счастье 〈: : :〉 сделать разные и очень важные откры-тия, восхваленные в печати беспристрастными и знаменитымилюдьми. Я не находил только могущественного государя, кото-рый достаточно интересовался бы этим».

По-видимому, с годами приоритеты Лейбница сместились: ондолго отдавал предпочтение политике перед наукой, но жизньжестоко научила его, как неблагодарно положение ученого водворцах.

ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР

Итак, Эйлер перестал вычислять и жить.Кондорсе

В начале 1783 г. директором Петербургской Академии наукбыла назначена княгиня Екатерина Романовна Дашкова, кото-рая за 20 лет до того была ближайшей сподвижницей Екатери-ны II в дни ее воцарения на российском троне. Известная своейизобретательностью княгиня придумывает безошибочный ход,который должен убедить академиков в ее приверженности на-уке. Она уговаривает сопровождать ее при первом посещенииАкадемии престарелого Эйлера, который давно был не в ладах сакадемическим начальством и не посещал академических конфе-ренций. Слепой Эйлер появляется в сопровождении сына и внука.Дашкова вспоминала впоследствии: «Я сказала им, что просилаЭйлера ввести меня в заседание, так как, несмотря на собствен-ное невежество, считаю, что подобным поступком самым торже-ственным образом свидетельствую о своем уважении к науке ипросвещению».

А всего через несколько месяцев в протоколах Академии былозаписано: «В заседании конференции 11 сентября 1783 г. акаде-мик Н. И.Фусс взял на себя обязанности секретаря1, отсутству-ющего из-за кончины его знаменитого отца, г. Леонарда Эйлера,который умер от апоплексического удара 7 сентября в 11 ча-сов вечера, в возрасте 76 лет, 5 месяцев и 3 дней, совершившегосвой долгий и блестящий путь и сделавшего свое бессмертноеимя известным всей Европе». Предвестник несчастья в виде лег-

1Им был Иоганн-Альбрехт, старший сын Л. Эйлера.

215

216 Леонард Эйлер (1707 { 1783)

кого головокружения появился в начале сентября, когда Эйлервычислял скорость поднятия аэростата. В день смерти он обсуж-

Леонард Эйлер

дал с астрономом А. И. Лек-селем результаты вычисленийорбиты Урана, недавно откры-того Гершелем.Исключительность личностиЭйлера, его беспрецедентнаяроль в истории Академии за-ставили искать нестандарт-ные способы почтить его па-мять. 23 октября академикН. И. Фусс, ученик Эйлера имуж его внучки, произнес «По-хвальное слово». Академикирешили на свои средства из-готовить бюст «бессмертногоЭйлера, равно достойного вос-хищения своим гением и свои-ми достоинствами», а их «про-славленный начальник» (Даш-кова) «прибавила к этому ве-ликолепную колонну, котораяслужит основанием этому бюсту»; вначале бюст установили в би-блиотеке, а затем|напротив кресла президента в зале заседаний(а в библиотеке осталась картина «Силуэты группы академиковМатематического класса, занятых установкой бюста покойногоЛ.Эйлера»). В больших подробностях (включая качество бумаги)обсуждались вопросы, связанные с изданием трудов покойного.

Слухи о почестях ученому распространились далеко за преде-лы России. Непременный секретарь Французской Академии наукмаркиз Кондорсе (менее чем через 10 лет он примет участие вреволюции и его имя вычеркнут из списков Петербургской Ака-демии за «достойное порицания поведение 〈: : :〉 против суверена»)сказал в своем «Похвальном слове»: «Итак, народ, который мы вначале этого века принимали за варваров, в настоящем случае

Леонард Эйлер (1707 { 1783) 217

подает пример цивилизованной Европе | как чествовать вели-ких людей при жизни и уважать их память по смерти: и другимнациям приходится в данном случае краснеть, что они не толь-ко в этом отношении не могли предупредить Россию, но дажене в силах ей подражать». Хотя из далекого Парижа обстановкав Петербурге казалась более благополучной, чем была на самомделе, отношение к науке за 60 лет существования ПетербургскойАкадемии стало неузнаваемым.

Первые годы Академии. Петр I думал об организации Академиив России еще в последние годы XVII века. Начиная с 1711 г.он трижды обсуждал свои планы с Лейбницем и даже зачислилпоследнего на русскую службу. Лейбниц, великий фантазер, ме-чтавший о распространении академий по миру, впервые встретилгосударя, с таким энтузиазмом откликнувшегося на его идею.Лейбниц не считал отсутствие наук в России препятствием ксозданию Академии и даже находил в этом некоторые преимуще-ства. Однако мало кто в России разделял этот оптимизм. Один изсамых образованных сподвижников Петра В.Н.Татищев говорилему, что «учить некого, ибо без нижних школ академия оная с ве-ликим расходом будет бесполезна». Петр отвечал: «Я имею жатьскирды великие, а мельницы нет», а потому он решил вначалепостроить «водяную мельницу», хотя «воды довольно в близо-сти нет, а есть воды довольно в отдалении», не надеясь успеть«делать канал», но в надежде, что мельница «наследников моихлучше понудит воду привести». Трудности на пути проекта бы-ли многочисленны, но в 1724 г. Сенат принял решение о созданииАкадемии наук. В это время даже слово «наука» еще не существо-вало в русском языке и Академию назвали «де сиянс Академия».

В 1725 г. Петр умер, так и не дождавшись открытия Ака-демии. Наступает черед наследников «принять участие в строи-тельстве мельницы». Екатерина I не без колебаний осуществилазамысел мужа, хотя и не разделяла его интереса к науке (как пи-шет современник, «похвальные речи ученых были непонятны ЕеВеличеству»). Судьба Академии все время висела на волоске. Онавоспринималась как явление исключительно немецкое, и русская

218 Леонард Эйлер (1707 { 1783)

партия, в частности Меншиков, была настроена против нее. Пу-блика плохо понимала функции Академии, и академики по мересил демонстрировали свои достоинства. Дневник Петербурга, пу-бликовавшийся в «Санкт-Петербургских ведомостях», сохранилзапись о публичном чтении, устроенном академией по случаю ко-ронации Петра II (1727 г.), когда академики Делиль и Бернуллидискутировали о вращении Земли вокруг Солнца, академик Бай-ер произнес «похвальную оду латинскими стихами», а «в то жевремя для народа, гулявшего всю ночь на Царицыном лугу, былипущены фонтаны белого и красного вина». Академики пыталисьналадить контакты с русской публикой, два раза в неделю две-ри Академии открывались для посетителей. Иногда там можнобыло увидеть нечто удивительное. 24 февраля 1729 г. «профес-сор Лейтман умудрился изменить изображение государственногогерба (с помощью призм) в портрет царствующего императора».Академики несколько утвердили себя успехами в организации«потешных огней» и иллюминаций, в сочинении торжественныход, в составлении гороскопов. Высокие материи не были в чести,разве что при составлении «ландкарт» да некоторых рекоменда-ций мореплавателям. В уставе 1747 г. будет записано: «Государ-ству не может быть инако яко к пользе и славе, ежели будуттакие в нем люди, которые знают течение тел небесных и време-ни, мореплавание, географию всего света и своего государства».А пока умирает в 1730 г. Петр II; Анна Иоанновна лишь однаждыпосещает Академию, а затем упоминания об Академии надолгоисчезают из дневника Петербурга.

Академиков стали собирать в «социетет наук» еще при Пе-тре I. Постепенно становилось ясно, что первоклассный составнабрать не удается: именитые ученые считали поездку в Рос-сию мероприятием сомнительным и даже рискованным. Лейбни-ца тогда уже не было в живых, а его ближайший последовательХристиан Вольф отказался принять пост президента. Первымпрезидентом стал лейб-медик Блюментрост. Попробовали вме-сто именитых ученых приглашать их детей (в надежде, что спо-собности к науке передаются по наследству, да и славное имяукрасит академические списки). Так, приглашение знаменитому

Леонард Эйлер (1707 { 1783) 219

Иоганну Бернулли (1667 { 1748) было переадресовано его сыну.В многоступенчатой переписке долго было неясно, относится липриглашение к старшему сыну Николаю (1695 { 1726) или сред-нему | Даниилу (1700 { 1782). В конечном счете поехали оба:Николай, прежде бывший профессором римского права, стал про-фессором математики (с окладом 1000 руб. в год), а Даниил|профессором физиологии (с окладом 800 руб.). Отец напутство-вал сыновей словами: «Лучше несколько потерпеть от суровогоклимата страны льдов, в которой приветствуют муз, чем уме-реть от голода в стране с умеренным климатом, в которой музпрезирают и обижают». Мог ли он думать тогда, что не пройдети года, как его старшего сына не станет!

Эйлер в Петербурге. С завистью провожал братьев Бернулли в1726 г. ученик их отца Леонард Эйлер: «У меня явилось неопи-суемое желание отправиться вместе с ними 〈: : :〉 Дело, однако, немогло так скоро осуществиться, а между тем названные молодыеБернулли крепко пообещали мне по прибытии своем в Петербургпохлопотать о пристойном для меня месте».

Леонард Эйлер родился 4 (15) апреля 1707 г. в Базеле, в Швей-царии. Его отец, Пауль Эйлер, был сельским пастором. В молодо-сти он успешно занимался математикой под руководством ЯкобаБернулли (1654 { 1705), старшего брата Иоганна. Первые урокиЛеонард получил от отца, последние классы гимназии он прохо-дил в Базеле и одновременно посещал лекции по математике вуниверситете, где преподавал И. Бернулли. Вскоре Эйлер само-стоятельно изучает первоисточники, а по субботам И. Бернуллибеседует с талантливым студентом, обсуждает неясные места.Леонард дружит с его сыновьями, особенно с Даниилом.

В 1723 г. Леонард получил степень магистра искусств; на ис-пытании он произнес на латыни речь о сравнении философииДекарта и Ньютона. Пауль Эйлер считал, что сын должен повто-рить его карьеру, и Леонард покорно изучал богословие. И отец,и сын отчетливо понимали, что научная карьера бесперспектив-на. Хотя она и не была особенно престижной (в те годы в Швей-царии любили говорить: пусть учатся немцы, а у швейцарцев

220 Леонард Эйлер (1707 { 1783)

есть дела поважнее), число претендентов на профессорские ме-ста сильно превышало количество вакансий.

В 1727 г. Эйлер предпринял попытку занять кафедру физики вБазеле, заранее обреченную на неудачу. Тем временем он успешноучаствует в конкурсе Французской Академии наук на наилучшийспособ расположения мачт на корабле. Примечательно, что «в го-ристой Швейцарии, из которой до того времени Эйлер никуда невыезжал, он, конечно, имел случай видеть корабль не иначе, какна картинках» (А. Н. Крылов). Это был первый, но не последнийконтакт Эйлера с морской наукой.

Даниил Бернулли выполнил обещание, данное при отъезде вПетербург: еще до попытки Эйлера устроиться в Базеле он узнало возможности получить место адъюнкта по физиологии с окла-дом 200 рублей. Бернулли торопит, рекомендует ехать «еще этоюзимою». Эйлера не смутило, что ему предстоит заниматься меди-циной. В те годы медицина не воспринималась как наука, далекаяот математики. За примерами идти недалеко: его учитель И.Бер-нулли чередовал занятия математикой с медицинской практикой(как, впрочем, и с преподаванием греческого языка). Эйлер при-ступает к изучению анатомии и физиологии; позднее он удивлялокружающих медицинскими познаниями. Отъезд не удался стольбыстро, как хотелось Д. Бернулли, но весной 1727 г. Эйлер по-лучил «на проезд денег сто тридцать рублей векселем» и уехалв Россию. В Петербург он прибыл в день смерти Екатерины I.

Как и Д.Бернулли, Эйлер предпочитает в рамках занятий фи-зиологией изучать гидродинамические проблемы кровообраще-ния. Надо сказать, что эти проблемы в значительной мере стиму-лировали создание гидродинамики. В свои первые петербургскиегоды Эйлер вряд ли думал, что его жизнь так прочно будет связа-на с Академией. Само дальнейшее существование Академии каза-лось тогда крайне проблематичным. Потом Н. И.Фусс напишет:«Эйлер был украшением и славой нашей Академии в продолжениепятидесяти лет. На его глазах она начинала свое существование,несколько раз погибала и воскресала». Очень неуютно чувствовалсебя Эйлер, когда гибель Академии представлялась ему реально-стью. В один из самых тяжелых моментов, когда после кончи-

Леонард Эйлер (1707 { 1783) 221

ны Петра II в 1730 г. началось массовое бегство академиков изРоссии, отчаявшийся Эйлер ведет переговоры о поступлении наморскую службу. Но это не потребовалось. Напротив, освобо-дившаяся вакансия позволила Эйлеру занять место профессора(академика) по кафедре физики (правда, с сравнительно невы-соким окладом в 400 рублей). А через два года Д. Бернулли по-кинул Россию, и Эйлер занял его кафедру математики (хотя егооклад| 600 руб. | лишь половина оклада, который получал наэтом месте Бернулли).

За эти годы Эйлер стал в Академии заметной фигурой.Большинство академиков не слишком ревностно относились ксвоим обязанностям, которые к тому же еще и не были чет-ко определены. Эйлер не пренебрегал никакими поручениями:он постоянно делает доклады на академических конференци-ях, иногда занимая два, а то и три заседания подряд, читаетпубличные лекции, пишет учебник по арифметике для акаде-мической гимназии и научно-популярные статьи для «Приме-чаний» к «Санкт-Петербургским ведомостям», он в комиссияхпо исследованию пожарного насоса, весов, «пильной машины» имагнитов, принимает разнообразные экзамены. Эйлер подроб-но вникает в многочисленные технические проекты. Забегаявперед, можно вспомнить исследования Эйлера по гидравличе-ским турбинам и заключения по проектам мостов через Не-ву, в том числе об одноарочном деревянном мосте И. П. Ку-либина, работавшего в Академии механиком. Эйлер постоян-но проявлял заботу об изобретателе. В их взаимоотношенияхостался неясный момент. И. П. Кулибин 40 лет занимался со-зданием вечного двигателя («самодвижущихся машин»), и онутверждал, что Эйлер не отвергал возможности создания та-кой машины («может де быть в свое время какому щастливомусделать такую машину и откроется»). С другой стороны, име-ются и противоположные свидетельства. Надо сказать, чторассмотрение проектов вечных двигателей было постояннымзанятием петербургских академиков. Напомним, что в 1775 г.Парижская академия отказалась рассматривать проекты вечныхдвигателей.

222 Леонард Эйлер (1707 { 1783)

Начиная с 1733 г. Эйлер участвует в «экзамене» карт, и посте-пенно участие в картографической деятельности выходит средиего академических обязанностей на первый план. Встает вопросо составлении генеральной карты России на основе уже соста-вленных губернских карт, и Эйлер предлагает свой проект, со-провождая его словами: «Я уверен, что география российскаячерез мои и г-на профессора Гензиуса труды приведена гораздов исправнейшее состояние, нежели география немецкой земли».Острые разногласия с академиком Делилем привели Эйлера в1740 г. к решению прекратить занятия картографией. Вероятно,состояние здоровья ученого тоже сыграло свою роль в приня-тии этого решения. 21 августа он писал академику Гольдбаху:«География мне гибельна. Вы знаете, что я за нее поплатилсяглазом, а теперь опять нахожусь в подобной опасности; когдамне сегодня утром послали часть карт на просмотр, то я тотчасже почувствовал новый припадок, потому что эта работа, тре-буя всегда рассмотрения одновременно большого пространства,сильнее утомляет зрение, чем простое чтение или одно писание».Эйлер потерял правый глаз в 1735 г., когда выполнил в три дняправительственное задание, на которое академики требовали не-сколько месяцев. Нет полной ясности, относилось ли это заданиек картографии (так можно понять Эйлера) или к астрономиче-ским вычислениям (так пишет Кондорсе).

На 1740 г. приходится еще один случай, когда Эйлер укло-нился от данного ему поручения (других примеров не известно):он переадресовал придворному астроному составление гороскопа«Ивану-царевичу», будущему недолговечному императору Иоан-ну Антоновичу; впрочем, А. С. Пушкин сообщает иную версиюэтой истории: «Когда родился Иоанн Антонович, то императри-ца Анна Иоанновна послала к Эйлеру приказание составить го-роскоп новорожденному. Эйлер сначала отказывался, но прину-жден был повиноваться. Он занялся гороскопом вместе с другимакадемиком. Они составили его по всем правилам астрологии,как добросовестные немцы, хотя и не верили ей. Заключение,выведенное ими, испугало обоих математиков | и они послалиимператрице другой гороскоп, в котором предсказывали новоро-

Леонард Эйлер (1707 { 1783) 223

жденному всякие благополучия. Эйлер сохранил однако ж первыйи показывал его графу К.Г.Разумовскому, когда судьба несчаст-ного Иоанна Антоновича совершилась».

Не перестаешь удивляться, что все эти многочисленные обя-занности оставляли Эйлеру время для его главного дела|для за-нятий математикой. Именно в эти годы он сложился как великийученый. Критически переосмыслив труды Лейбница и Ньютонапо математическому анализу и механике и работы Ферма по тео-рии чисел, он нашел свой собственный путь в науке. Почти все егокниги и статьи были опубликованы позднее, но главное в научнойсудьбе Эйлера решилось в его первое петербургское десятиле-тие. Только фантастическая работоспособность и поразительнаяцелеустремленность позволили Эйлеру совместить малозаметныемиру занятия математикой с повседневными академическими за-ботами. Позднее он писал, что для молодого ученого необходимо,чтобы его специальность «была у него главным предметом, и онне 〈: : :〉 отрывался от нее никакими другими занятиями». По мне-нию Эйлера, он имел такую возможность в Петербурге: «Тако-му вожделенному случаю не только доктор Гмелин обязан всем,что сделало известным его имя, но и я, и все прочие, имевшиесчастье состоять некоторое время при Русской ИмператорскойАкадемии. Должен сознаться, сколько мы обязаны благоприят-ным обстоятельствам, в которых только что находились. Чтособственно до меня касается, то, в случае неимения такого пре-восходного случая, я бы вынужден был главнейше прилежать кдругим наукам, от которых, по всем признакам, я бы отупелтолько. Его королевское величество (Фридрих II|С.Г.) недавноменя спрашивал, где я изучил то, что знаю. Я согласно истинеответил, что всем обязан моему пребыванию в Петербургскойакадемии Наук».

В 1733 г. Эйлер женился на Екатерине Гзель, дочери академи-ческого живописца родом из Швейцарии, вывезенного Петром Iиз Голландии. Из тринадцати их детей выжили три сына и дведочери. Для благочестивого сына сельского пастора семья бы-ла крепостью, в которой он мог уберечься от вольных нравовсеверной столицы. Размеренная семейная жизнь, маленькие ра-

224 Леонард Эйлер (1707 { 1783)

дости были необходимы Эйлеру для спокойной работы. Никакиенаучные занятия не могли быть для него поводом пренебречьсемейными обязанностями. Например, он никогда не был без-различным к финансовым проблемам (ему приписываются слова«Где больше дадут, туда и служить пойду»).

1740 год был, возможно, самым тяжелым годом в жизни Эй-лера. С одной стороны, все признаки благополучия: его акаде-мический оклад достиг максимума | 1200 руб. (столько полу-чал Д. Бернулли); он успел многое понять в жизни русского об-щества и, в частности, в тонкостях академических взаимоотно-шений. Ему оказывал «честь своим особливым расположением»фельдмаршал Миних; Эйлер ладил даже со всемогущим управи-телем академии Шумахером, что удавалось немногим академи-кам. (Возможность спокойно заниматься наукой была для Эйлераважнейшим делом, да и вообще он всю жизнь избегал конфлик-тов. Можно вспомнить многолетние добрые отношения с И. Бер-нулли, который постоянно ссорился не только с учениками, нои с братом Якобом и сыном Даниилом.) С другой стороны, ве-ликий ученый, только приближавшийся к тридцатитрехлетнемурубежу, успел из-за постоянных перегрузок основательно подо-рвать свое здоровье. В 1740 г. он оказался в тяжелой депрессии,что было связано не только со здоровьем, но и с постоянным на-пряжением из-за неустойчивости политической жизни в России.У Эйлера хватило выдержки пережить десятилетие бироновщи-ны, но предстоявшее после смерти Анны Иоанновны новое ре-гентство испугало его. Он вспоминал, что «предвиделось нечтоопасно», и «после кончины достославной императрицы Анны|при последовавшем тогда регентстве| дела стали идти плохо».К тому времени появляется возможность переехать в Берлин кФридриху II, и Эйлер подает прошение об отставке: «Того радинахожусь принужден, как ради слабого здоровья, так и другихобстоятельств, искать приятнейшего климата и принять от егокоролевского величества прусского учиненное мне призывание.Того ради прошу императорскую академию наук всеподданейшеменя милостиво уволить и снабдить для моего и домашних моихпроезду потребным пашпортом». Он обещает сохранить контак-

Леонард Эйлер (1707 { 1783) 225

ты с Академией, «а пришедши в лутчее здоровье, из немецкойземли опять в Россию возвратиться». Впрочем, в Пруссию Эй-лер писал, что «твердо решился жить под славным правлением»Фридриха. 29 мая 1741 г. Эйлер увольняется со службы, а позд-нее удовлетворяется его просьба «почетным членом Академиинаук учинить, с определением пенсии по двести рублев в год». Та-кая практика перевода уезжающих членов Академии в почетныес обязательством оказывать помощь Академии была обычной.С Эйлера берется обещание «через всегдашнюю корреспонден-цию и другими математическими пиесами более того служить,нежели как он в действительной академической службе был».

На службе у «коронованного философа». Итак, Эйлер в Берли-не. Фридриха II нет в городе. От покровительства наукам егопостоянно отвлекает война: по его собственным словам, емупостоянно приходилось воевать с «тремя блудницами» (Марией-Терезией, Елизаветой, маркизой Помпадур). С года на годоткладывается открытие Берлинской Академии наук (ее от-кроют в 1744 г.). А пока король присылает своему новомугеометру ласковое письмо из лагеря Рейхенбаха. Эйлеру ока-зывают знаки внимания, его приглашают на придворный бал.Королеву-мать удивляют односложные ответы ученого на еевопросы: «Однако отчего это Вы совсем не желаете со мной го-ворить?» Последовал ответ: «Государыня, простите, я отвык: яприехал из страны, где кто разговаривает, того вешают» (рас-сказ Кондорсе). Постепенно Эйлер втягивается в берлинскуюжизнь. Поручений здесь не меньше, чем в Петербурге: он ре-комендует королю книги по баллистике и сам печатает тритома работ на эту тему, обследует нивелировку канала междуГавелем и Одером и состояние дел в солеварнях у Шенебека,участвует в организации государственных лотерей и реформевдовьих касс, дает отзывы на множество проектов. Все бы-стро поняли, что он может хорошо делать разнообразные делаи ни от чего не отказывается. После организации БерлинскойАкадемии наук (1744 г.) Эйлер| директор ее математическогодепартамента.

226 Леонард Эйлер (1707 { 1783)

Однако отношения с королем сложились не самым лучшимобразом. Показательно, что оклад Эйлера составлял половинуоклада президента Академии Мопертюи. Эйлер редко удостаи-вался монаршей похвалы. Вот один из немногих случаев. Эйлермного занимался конкретными задачами оптики и в 1759 г. скон-струировал для Фридриха очки, пришедшиеся ему впору; вот каксформулирована похвала: «Я не могу не похвалить Вашего стара-ния извлечь пользу для людей из тех научных занятий, которыенаполняют Ваше время. Мои дела не позволяют в настоящее вре-мя уделить должное внимание Вашим трудам, но я сделаю этопри первой возможности». Эйлер пытается заинтересовать коро-ля дифференциальным исчислением, но безуспешно. А еще Эйлерв 1747 г. «несвоевременно» опубликовал трактат против свободо-мыслия, что было при прусском дворе немодно. В этот моментученый почувствовал себя неуютно: «Я замечаю, что наклонностьк изящной литературе начинает здесь брать верх над математи-кою, так что у меня является опасение, чтобы моя личность скороне сделалась здесь лишнею». Эйлер думает о переезде в Лондон.

В Берлине считали, что в обязанности ученых входит слу-жить украшением гостиных, радовать приятной беседой. Фран-цузские ученые Мопертюи и Даржан блестяще владели этим ис-кусством, а Эйлер | нет. Даржан пишет Фридриху об одномиз своих коллег: «Между его стилем беседы и манерой Эйлератакая же разница, как между сочинениями Горация и трудамиученейшего и педантичнейшего Вольфа». В 1746 г. с Эйлеромпознакомился брат Фридриха Август-Вильгельм, он делится с ко-ролем своими впечатлениями: «Г-н Мопертюи познакомил меня сматематиком Эйлером. Я нашел, что в нем подтверждается таистина, что все вещи несовершенны. Благодаря прилежанию онразвил в себе логическое мышление и приобрел тем самым имя,но его внешность и неловкая манера выражаться затемняют всеего прекрасные качества и мешают получить от них удоволь-ствие». Фридрих отвечает: «Милейший брат! Я уже думал, чтобеседа с г-ном Эйлером не доставит тебе особого удовольствия.Его эпиграммы состоят в вычислении новых кривых, каких-либоконических сечений или астрономических измерений. Среди уче-

Леонард Эйлер (1707 { 1783) 227

ных бывают такие сильные вычислители, комментаторы, пере-водчики и компиляторы, которые полезны в республике наук, нов остальном отнюдь не блещут. Их употребляют подобно дориче-ским колоннам в архитектуре. Они принадлежат нижнему этажукак опоры всего здания и коринфских колонн, являющихся егоукрашением». Красноречивое свидетельство взглядов просвещен-ного монарха на науку и ученых!

Эйлер делил свое время между наукой и домом, но он не при-надлежал к категории ученых, не интересовавшихся внешнимисобытиями и избегавших общения с людьми. Его научные по-знания были энциклопедичны, он много знал по ботанике, хи-мии, анатомии, медицине, хорошо знал языки древние и восточ-ные, владел русским языком. После его смерти вспоминали, чтоон хорошо знал «лучших писателей древнего мира», «древнююлитературу по математике», «историю всех времен и народов».Н. И. Фусс писал в своих воспоминаниях, что Эйлер знал наиз-усть «Энеиду», причем помнил, каким стихом начинается и какимкончается каждая страница его экземпляра. Возможно, это былоне то, что ценилось при прусском дворе, да и посмертные оценкивсегда добры.

С некоторых пор Эйлер становится героем анекдотов, сочи-няемых королем: «Некий геометр, потерявший при вычисленияхглаз, вздумал сочинить менуэт с помощью a плюс b. Если бы егоисполнили перед Аполлоном, то геометр рисковал бы тем, что снего, подобно Марсию, содрали бы кожу». Возможно, здесь со-держится намек на трактат Эйлера по математической теориимузыки. Королю стало известно, что Эйлер в театре не прекра-щает своих вычислений, | и ученый становится героем новойэпиграммы. Кстати, Эйлер не ценил театра, он лишь с огром-ным удовольствием посещал театр марионеток.

Эйлер, прочно завоевавший репутацию одного из крупней-ших, а может быть, крупнейшего математика Европы, в окруже-нии Фридриха был обречен оставаться человеком второго сорта.Эйлер одно время выполнял функции президента Академии, и по-сле уходя Мопертюи он рассчитывал занять этот пост. Но корольпрочил в президенты Даламбера, замечательного математика,

228 Леонард Эйлер (1707 { 1783)

который был десятью годами моложе Эйлера. Отказ Даламбе-ра не решил вопрос в пользу Эйлера. «Французская опасность»была одной из причин, заставлявших Эйлера думать об отъездеиз Берлина.

Тем временем в России с воцарением Елизаветы отношениек Академии изменилось к лучшему. После долгого перерыва вдневнике Петербурга за 1742 г. появляется запись: «Затишьев столице разнообразилось немногими зрелищами да учены-ми собраниями в Академии наук. В библиотечном зале ее с17 февраля начались для публики, по два раза в неделю с 10до 12 часов, физические лекции Крафта, и число посетите-лей этих бесед, вошедших в моду, оказывалось значительным.Там же открыты рисовальные классы с натуры». Президен-том академии назначается 18-летний Кирилл Разумовский, братфаворита императрицы. Перед этим будущий президент дляпорядка два года провел в разнообразных университетских го-родах и обзавелся дипломами. Контакты Эйлера с Академией непрерывались. Никто из почетных академиков так добросовест-но не относился к своим обязанностям. За 25 лет пребывания вБерлине Эйлер опубликовал в изданиях Петербургской Акаде-мии 109 статей (за то же время в Берлине опубликовано 127).Он оказывает Российской Академии разнообразные услуги: за-ботится о пополнении библиотеки, подбирает темы для конкур-сов на академические премии, ищет кандидатов на вакантныеакадемические должности, занимается приобретением «волшеб-ных» фонарей и фейерверков для придворных празднеств (этаобязанность все еще лежала на академии как одна из важней-ших). Поражает интенсивность переписки Эйлера с русскимиакадемиками, но прежде всего с правителем академии Шумахе-ром.

В начале 50-х годов Эйлер устраивает в своем доме пансиондля своих учеников. Он совмещает занятия с ними с обучениемстаршего сына Иоганна-Альбрехта, а кроме того, доходы от это-го немаловажны для напряженного семейного бюджета. Однимииз первых приезжают воспитанники академического универси-тета С. К. Котельников и С. Я. Румовский, будущие академики

Леонард Эйлер (1707 { 1783) 229

(третий ученик Сафронов был через год отослан на родину, по-скольку «так предан пьянству, что едва может быть от этогоудержан»). Эйлер постоянно озабочен финансовыми проблемами.Он старается, чтобы его семья ни в чем не нуждалась. В 1753 г.Эйлер приобретает имение в Шарлоттенбурге с красивым до-мом, садом, большим количеством пахотной земли, 6 лошадьми и10 коровами. В Швейцарии умер его отец, мать переехала к сыну.Эйлер выехал ей навстречу во Франкфурт-на-Майне. Биографовне перестает волновать вопрос, почему он не воспользовался есте-ственным поводом посетить родной Базель: были на это причинысентиментальные или финансовые?

Семилетняя война увеличила житейские трудности. Валютаобесценилась почти вдвое, а жалование не увеличилось. Насту-павшие русские войска разрушили имение в Шарлоттенбурге. Од-нако фельдмаршал Салтыков, узнав имя владельца имения, велитнемедленно возместить ущерб; позднее Елизавета добавляет отсебя огромную сумму в 4000 рублей. Эти детали свидетельству-ют об особом характере взаимоотношений Эйлера с Россией. Онстарается не прерывать контактов с Россией даже в военные го-ды. Это не только научные контакты. Скажем, в 1762 году онпросит через Штеттин прислать 3 центнера «русского масла»,центнер «хорошего белого меда», «несколько пудов вологодскихсвечей» и т. д.

После окончания войны (1763 г.) Эйлер все решительнее ду-мает о возвращении в Россию. В 1746 и 1750 гг. он уже получалприглашения через Разумовского, но тогда вежливо отложил при-нятие решения на неопределенный срок. Эйлер едва не уехал в1763 г., но неожиданно функции посредника в переговорах с ко-ролем взял на себя Даламбер. По-видимому, ему удалось убедитьобе стороны, потому что в августе он констатирует в письмек Эйлеру: «Я, наконец, считаю себя счастливым, что сохранилкоролю и Академии такого человека, как Вы». В другом пись-ме через неделю: «Я совершенно убедил его величество, что вВас Академия понесет невознаградимую потерю, которая нане-сет удар славе короля. Я полагаю еще до моего отъезда поручитьего вниманию Ваши интересы». Эйлер отказался от переезда,

230 Леонард Эйлер (1707 { 1783)

но через два года разразился скандал: Эйлер вызвал гнев коро-ля, заступившись во время ревизии за академического казначея.

Переговоры о переезде возобновились с новой силой, а во-царившейся на русском троне Екатерине II очень хотелосьполучить Эйлера в Петербурге. Эйлер сообщает свои условия:оклад в 3000 руб. (такой оклад получал президент, оклад ака-демика обычно не превышал 1200 руб.), место академика пофизике для сына Иоганна-Альбрехта, подходящие места для дру-гих сыновей | артиллериста и врача, | квартира, свободнаяот солдатского постоя, и, наконец, учреждение для него поставице-президента с соответствующим чином. Эйлер не смог статьпрезидентом Берлинской Академии и он хотел хотя бы отчастиреализовать свои честолюбивые планы в Петербурге (на местопрезидента он не претендовал, считая, что в России его должензанимать вельможа). Приятель Эйлера академик Гольдбах (см.о нем ниже) служил в министерстве иностранных дел с высокимчином тайного советника. Видно, и Эйлеру захотелось оказать-ся на склоне лет генералом. 6 января 1766 г. Екатерина пишетканцлеру графу Воронцову: «Письмо к Вам г. Эйлера достави-ло мне большое удовольствие, потому что я узнаю из него ожелании его снова вступить в мою службу. Конечно, я нахожуего совершенно достойным желаемого звания вице-президентаАкадемии наук, но для этого следует принять некоторые меры,прежде чем я установлю это звание | говорю установлю, таккак доныне его не существовало. При настоящем положении делтам нет денег на жалование в 3000 рублей, но для человека с та-кими достоинствами, как г. Эйлер, я добавлю к академическомужалованию из государственных доходов, что вместе составиттребуемые 3000 рублей. У него будет казенная квартира и нималейшей тени солдат. Хотя в Академии нет свободной кафедрыфизики с жалованием 1000 рублей для его старшего сына, однакоя ему их назначаю, так же как дозволяю свободную практикувторому (медику) и дам место, если он пожелает вступить наслужбу. Третий сын (артиллерист) будет помещен без всякогозатруднения 〈: : :〉 Я уверена, что моя Академия возродится изпепла от такого важного приобретения, и заранее поздравляю

Леонард Эйлер (1707 { 1783) 231

себя с тем, что возвратила России великого человека». Узнав ожелании Эйлера принять участие в перестройке Академии, им-ператрица обещает «не предпринимать до его приезда никакихперемен в Академии, на тот конец, чтобы лучше уговориться сним об улучшениях». С великим дипломатическим мастерствомЭйлеру отказывают в чине: Эйлер может получить лишь чин кол-лежского советника (гражданский эквивалент полковника), чтонедостойно великого ученого: «Я дала бы, когда он хочет, чин,если бы не опасалась, что этот чин сравняет его с множествомлюдей, которые не стоят г. Эйлера. Поистине его известностьлучше чина для оказания ему должного уважения». Эйлер, ве-роятно, быстро понял, что щедрая императрица умеет четкообъяснить границы дозволенного, согласился со всеми услови-ями и решил «кончить дни свои на службе этой несравненнойгосударыни».

Оказалось, что Фридрих не склонен легко расстаться со сво-им геометром. В частности, он воспользовался возможностьюудержать в армии сына ученого. Все же разрешение на отъездбыло получено. Вдогонку король в последний раз использует Эй-лера как мишень для острот: «Г-н Эйлер, до безумия любящийБольшую и Малую Медведицу, приблизился к северу для больше-го удобства к наблюдению их. Корабль, нагруженный его XX,его KK, потерпел крушение|все пропало, а это жалко, потомучто там было чем наполнить шесть фолиантов статей, испещрен-ных от начала до конца цифрами. По всей вероятности, Евро-па лишится приятной забавы, которая была бы ей доставленачтением их» (из письма Даламберу). Вскоре Фридрих утешился,заполучив на место Эйлера молодого Лагранжа, поучительно мо-тивируя целесообразность его переезда в Берлин: «Необходимо,чтобы величайший геометр Европы проживал вблизи величайше-го из королей».

Снова в России. Эйлер прибыл в Петербург 17 июля 1766 года.Он отсутствовал ровно 25 лет и приближался к своему шести-десятилетию. Поначалу Эйлер всерьез принял предложение Ека-терины принять участие в реорганизации Академии. Он привез

232 Леонард Эйлер (1707 { 1783)

с собой подробный проект, причем он не стремился к автоно-мии Академии, а напротив, ориентировался на тесное переплете-ние деятельности Академии и правительственных учреждений.Однако постепенно выяснилось, что императрица не склонна пе-редоверять Эйлеру руководство Академией. Эйлер получил ещеодин урок того, что просвещенные монархи любят, чтобы их уче-ные знали свое место. Как старейшина академиков | декан |он имел немалое влияние на академические дела, но про поствице-президента никто не вспоминал. А во главе Академии Ека-терина поставила (продолжая традиции Елизаветы) младшегобрата своего фаворита|графа В. Г.Орлова. Впрочем, возникланебольшая неувязка: пост президента все еще занимал Разумов-ский, который, будучи командиром Измайловского полка, оказалЕкатерине поддержку во время переворота. Его не стали оби-жать, а для Орлова учредили пост директора академии. Новыйдиректор по-своему неплохо относится к Эйлеру: заботится о здо-ровье, достает лекарства, но может и подшутить над стариком,выдав себя, «для проверки зрения» ученого, за бедного просителяиз Швейцарии. Незадолго до ухода Орлова в 1774 г. произошелконфликт, после которого Эйлер перестал посещать конферен-ции в академии. Однако он продолжал интересоваться ее делами,и академики нередко собирались на заседания в квартире Эйлера.

Эйлер привез с собой в Петербург кипу рукописей, которые неудалось опубликовать в Берлине из-за почти прекратившейся вовремя войны издательской деятельности. Но еще больше привезон в своей голове почти созревших, но не реализованных замы-слов. А жизнь подсказывала ученому, что он должен торопиться.Вскоре после приезда он лишается зрения во втором глазу, но непрекращает работать, диктуя свои сочинения мальчику, не имев-шему ни малейшего представления о математике. Приглашенныйимператрицей окулист барон Вентцель удалил катаракту на од-ном глазу, но предупредил, что перегрузка неминуемо приведет квозвращению слепоты. Так и случилось вскоре, ибо Эйлер предпо-чел потерю зрения пассивности. Он пробует привлечь к занятиямдругих ученых: своего сына, академиков Крафта, Фусса и Лек-селя, но больше всего диктует то, что он знал и хотел поведать

Леонард Эйлер (1707 { 1783) 233

людям. За полтора десятка лет он продиктовал более 400 ста-тей и 10 больших книг. К слепоте стала присоединяться глухота.В 1766 г. умирает жена, и Эйлер женится на ее сестре (так про-ще всего было сохранить порядок, принятый в доме). Сгорел доми большая часть имущества. Ничто не может заставить Эйлерапрервать работу. Летом 1777 г. Эйлера посетил Иоганн (III) Бер-нулли (1747 | 1807), племянник Даниила. Вот его впечатления:«Здоровье его довольно хорошо, и этим он обязан умеренному иправильному образу жизни. Зрением, по большей части утрачен-ным, а одно время вовсе потерянным, он, однако, теперь лучшепользуется, чем многие воображают! Хотя он не может узнатьникого в лицо, читать черного на белом и писать пером на бумаге,однако пишет на черном столе свои математические вычислениямелом очень ясно и порядочно в обыкновенную величину. По-том они вписываются в большую книгу одним или другим из егоадъюнктов, Фуссом или Головиным (чаще первым из них). И изэтих-то материалов составляются под его руководством статьи.Таким образом в протяжение пяти лет, которые прожил г. Фуссв доме Эйлера, приведено к окончанию 120 или 130 статей.».

Эйлер сохранил работоспособность до последних дней. Вто-рой петербургский период продолжался 17 лет. В 1783 г. окон-чил свои дни сын сельского пастора, ставший величайшим мате-матиком Европы. Похоронили Эйлера на Смоленском кладбище.Надпись на памятнике гласила: «Здесь покоятся бренные остан-ки мудрого, справедливого, знаменитого Леонарда Эйлера». Че-рез 50 лет обнаружилось, что могила утеряна, и лишь случайно(во время похорон невестки ученого) обнаружили «камень, по-грузившийся мало-помалу от собственной тяжести в землю ипоросший дерном». В Академии почувствовали себя неловко ирешили установить новый памятник, «достойный знаменитогогеометра». Позднее останки Эйлера были перенесены в некро-поль Александро-Невской Лавры, где и сегодня можно увидетьего могилу.

Великое наследие. Научное наследие Эйлера поражает совершен-но беспрецедентными размерами. При жизни увидели свет его

234 Леонард Эйлер (1707 { 1783)

530 книг и статей. Последние годы жизни академические изда-ния не справлялись с потоком научной продукции слепого уче-ного, и он шутливо обещал графу В. Г. Орлову, что его работыбудут заполнять «Комментарии» Академии в течение 20 лет по-сле его смерти. Эта оценка оказалась «оптимистической»: Ака-демия занималась изданием трудов Эйлера 47 лет. Число работдошло до 771, но составленная в 1910 г. Энестремом библиогра-фия содержала 886 названий, разбитых по рубрикам: философия,математика, механика, астрономия, физика, география, сельскоехозяйство. С 1910 г. Швейцарское общество естествоиспытателейиздает собрание сочинений Эйлера, распространяемое по меж-дународной подписке: по предварительной оценке оно составит75 томов большого объема. К началу 80-х годов вышло 72 тома.Восемь дополнительных томов должна составить научная пере-писка Эйлера.

Такой объем отражает не только поразительную скорость, скоторой работал Эйлер, но и привычку систематически печататьнаучные тексты, в том числе и сравнительно спешно подгото-вленные. Большой разброс тематики отражает не только широ-ту интересов и умение быстро войти в далекие области науки,но и многочисленные академические обязанности как в Петер-бурге, так и в Берлине. Некоторые публикации носят характеркоротких реплик. Эйлер легко входил в научные контакты, да-вал разнообразные консультации, охотно думал над случайными,изолированными задачами, сообщаемыми его корреспондентами.Может показаться, что ученый разбрасывался, проявлял всеяд-ность, но это только на первый взгляд. Случайные вопросы изадачи служили питательной почвой для хорошо спланирован-ных размышлений. Эйлер умел своевременно останавливаться всвоих раздумьях, если не видел реалистической возможности дви-гаться вперед. Он умел организовать свою жизнь так, чтобымногочисленные текущие дела не сильно отражались на основ-ном направлении его работы.

Как это ни парадоксально, без большого преувеличения мож-но сказать, что всю свою жизнь Эйлер занимался почти исключи-тельно математикой. В других областях науки (например, меха-

Леонард Эйлер (1707 { 1783) 235

нике или астрономии) успех его был прежде всего связан с при-менением математических методов. Его философская установкана протяжении всей его жизни состояла в том, что естественно-научные открытия должны получаться путем теоретической (взначительной степени математической) обработки небольшогочисла общих, несомненных принципов. В своей швейцарской дис-сертации девятнадцатилетний Эйлер писал: «Я не считал необ-ходимым подтвердить эту новую теорию опытом, потому чтоона полностью выведена из самых надежных и неопровержимыхпринципов механики и, таким образом, сомнение в том, вернали она и имеет ли место в практике, просто не может возник-нуть». Даже законы Ньютона Эйлер пытался вывести из болееобщих принципов, а в небесной механике он стремился не полу-чать эмпирические формулы из обработки результатов наблю-дений, а делать выводы непосредственно из закона всемирноготяготения. Он всюду стремился двигаться от теории к практи-ке. Хотя Эйлер и был всю жизнь связан с экспериментом, этоне было его сильной стороной. С. И. Вавилов писал: «Гений Эйле-ра был, по существу, математический 〈: : :〉 он плохо чувствовалэксперимент (хотя сам и экспериментировал)»; в другом месте:«Математическому гению Эйлера не хватало физической интуи-ции Ньютона и Гюйгенса, позволявшей угадывать решение приотсутствии точной математической формулировки задачи илиметодов ее решения».

Арифметика. Обращаясь к математическому наследию Эйлера,естественно начать с его арифметических работ. Первые публи-кации Эйлера относятся к 1732 году | пятому году пребыва-ния в Петербурге. У Эйлера было два великих предшественни-ка в арифметике: Диофант и Ферма. Если отвлечься от преды-стории, связанной с именем Диофанта (III век), то Пьер Ферма(1601 { 1665) был первым, кто обнаружил, что в арифметике име-ются не только удивительные факты про конкретные числа, нои общие утверждения | теоремы. Формулировки значительно-го числа таких теорем Ферма оставил на полях «Арифметики»Диофанта (как нельзя кстати изданной в 1621 г.), в письмах и

236 Леонард Эйлер (1707 { 1783)

заметках. Ферма был одним из крупнейших математиков свое-го времени, он был в самом центре героической эпопеи созданияанализа и аналитической геометрии, поддерживал переписку сведущими математиками. Знаменательно, что он не смог заин-тересовать всерьез арифметическими задачами никого из наи-более серьезных своих корреспондентов. Он нашел заинтересо-ванных собеседников лишь среди математиков калибром ниже,таких как Френикль де Бесси (1605{1675). По трудно разгадыва-емым причинам одни научные теории увлекают всех (например,анализ в XVII веке), другие разрабатываются отдельными уче-ными, тщетно пытающимися привлечь внимание коллег. Можновспомнить про проективную геометрию, созданнуюЖ.Дезаргом(1591 { 1661) и Б.Паскалем (1623 { 1662)|далеко не безвестнымиучеными, | забытую на полтора века и переоткрытую Г. Мон-жем (1746{1818) и его учениками. В 70-е годы XVII века заметкиФерма были частично собраны и опубликованы, но трудно себепредставить судьбу арифметики Ферма, если бы не Эйлер.

П.Л. Чебышев (1821 { 1879) писал в 1849 году: «Эйлером былоположено начало всех изысканий, составляющих общую теориючисел. В этих изысканиях Эйлеру предшествовал Ферма 〈: : :〉 Ноизыскания этого геометра не имели непосредственного влиянияна развитие науки: его предложения остались без доказательстви без приложений. В этом состоянии открытия Ферма служи-ли только вызовом геометрам на изыскания в теории чисел. Но,несмотря на весь интерес этих изысканий, до Эйлера никто наних не вызывался. И это понятно: эти изыскания требовали неновых приложений приемов, уже известных, или новых разви-тий приемов, прежде употреблявшихся; эти изыскания требовалисоздания новых приемов, открытия новых начал, одним словом,основания новой науки. Это сделано было Эйлером».

По-видимому, Эйлер узнал о работах Ферма вскоре после сво-его приезда в Петербург в 1727 г. от Хр.Гольдбаха (1690 { 1764) исохранил интерес к теории чисел на всю жизнь. Выдающиеся кол-леги Эйлера отнеслись к его увлечению по меньшей мере без по-нимания. Д.Бернулли (1700 { 1782), который сам был не прочь не-много позаниматься арифметическими задачами, в 1778 г. писал

Леонард Эйлер (1707 { 1783) 237

Н.И.Фуссу (1755{1826), ученику Эйлера, по поводу арифметиче-ских работ его учителя: «Не находите ли Вы, что простым числамоказывают, пожалуй, слишком большую честь, расточая на нихстолько сил, и не отражает ли это рафинированный вкус нашеговека?». Арифметические проблемы Эйлер обсуждает прежде все-го с Гольдбахом, математиком очень оригинальным, но все же неотносившимся к крупнейшим современникам Эйлера, таким, какЖ.Р. Даламбер (1717 { 1783) или А.К.Клеро (1713 { 1765).

Положение стало иным лишь к концу жизни Эйлера, когдаблагодаря его работам отношение к теории чисел стало менятьсяи он имел возможность обсуждать эти проблемы с Лагранжем вписьмах 1772 { 73 гг.

Уже в 1729 г. Эйлер узнал от Гольдбаха об утверждении Фер-ма, что числа Fn = 22

n

+ 1 являются простыми при всех n.В 1732 году он обнаружил, что это утверждение неверно, а имен-но, F5 делится на 641. Наблюдение Эйлера не было результатомперебора: непосредственно искать делители у F5 было нереали-стично даже для такого виртуозного вычислителя, каким былЭйлер. Он вначале обнаруживает, что делители Fn имеют оченьспециальный вид (если они существуют): k ·2n+2+1, а после этогообнаружить 641 = 5 ·27+1 было нетрудно. Удивительно, что пер-вый заход Эйлера на доказательство утверждений Ферма вывелего на единственное ошибочное утверждение. К счастью, это непоколебало доверия и интереса к арифметике Ферма.

Другой класс простых чисел в поле зрения Эйлера|это про-стые числа Мерсенна Mp = 2p − 1 (p|простое). Делители Mp

должны одновременно иметь вид 2pk − 1 и 8l ± 1. Пользуясьэтим, Эйлер доказал простоту числа M31 = 2147483647. С техпор новых простых чисел Ферма обнаружено не было, а рекор-ды в мире простых чисел Мерсенна постоянно увеличиваются(рекорд 1983 г.: p = 86243; сегодня компьютеры поставляют про-стые числа Мерсенна с невероятным числом знаков).

В отношении чисел Мерсенна Эйлер заполнил также пробел,остававшийся от Евклида. Евклид знал, что если Mp |простоечисло, то Mp(Mp+1)=2|совершенное число (то есть число, рав-ное сумме своих собственных делителей). Эйлер доказал, что ка-

238 Леонард Эйлер (1707 { 1783)

ждое четное совершенное число представимо в таком виде (неиз-вестно до сих пор, существуют ли нечетные совершенные числа).Эйлера интересует, существуют ли многочлены P (n), которыепри всех натуральных n принимают простые значения. Он полу-чает отрицательный ответ, но замечает, что значения многочле-на 41− n+ n2 просты при всех n 6 40.

Эйлер снабжает доказательством «малую теорему Ферма»,утверждающую, что число ap−1 − 1, где a| целое, не деляще-еся на p, а p| простое, делится на p; но, не ограничившисьэтим, он находит и доказывает ее обобщение на непростой де-литель: если a и m взаимно просты, то a'(m) − 1 делится на m(здесь '(m) | число натуральных чисел, взаимно простых с mи меньших m; при простом p имеем '(p) = p − 1). Обнаружив,что функция натурального аргумента '(m) (ее назовут функци-ей Эйлера) обладает замечательными свойствами, он тем самымоткрывает важную главу теории чисел | теорию арифметиче-ских функций. Эйлер движется очень логично. Он подмечает,что для некоторых a число ak − 1 делится на p при k < p − 1,а для некоторых|нет. В последней ситуации a называют перво-образным корнем по модулю p. Эксперимент убеждает Эйлера,что первообразные корни существуют для всех простых p, но до-казать этого он не смог (доказательство нашли позднее Лежандри Гаусс). Эйлер умел доказывать трудные теоремы, но он умел итрезво оценивать свои возможности. Он никогда не концентриро-вал размышления над одной трудной задачей на годы, а наступална математические тайны широким фронтом.

Еще одно утверждение, сформулированное Ферма без дока-зательства, привлекло внимание Эйлера. Речь идет о представи-мости квадратов n2 в виде kp − 1, где p| простое число. Приp = 3 таких квадратов не бывает (почему?), а при p = 5 име-ем 22 = 5 − 1. Ферма утверждал, что для всякого простого pвида 4l + 1 существует квадрат вида kp − 1, а для p = 4l − 1таких квадратов не существует. В 1747 г. Эйлер после несколь-ких безуспешных попыток доказывает это утверждение Ферма ипродолжает движение в естественном направлении: для каких pчисло kp + 2 может быть квадратом и, шире, для каких p при

Леонард Эйлер (1707 { 1783) 239

фиксированном a число kp+a может быть квадратом? При a = 2гипотеза состоит в том, что квадраты такого вида существуютпри p = 8l ± 1 и не существуют в остальных случаях. Общаягипотеза: квадраты вида kp + a (p|простое) существуют (какговорят, a является квадратичным вычетом по модулю p) или несуществуют (a|квадратичный невычет) одновременно для всехпростых p из арифметической прогрессии b+4ak (k = 1; 2; 3; : : : ).Это утверждение позднее получило название «квадратичного за-коном взаимности». Эйлер смог доказать его, кроме a = −1, лишьдля a = 3. Далее Лагранж и Лежандр рассматривали случаи раз-личных a, пока 19-летний Гаусс не нашел полное доказательствогипотезы Эйлера (в нашей книге оно изложено в главе о Гаус-се).

Следующий круг вопросов, унаследованный у Ферма, | эторешение уравнений в целых числах. Наиболее знаменитое утвер-ждение Ферма| его «великая теорема»: уравнение xn + yn = zn

при натуральном n > 2 не имеет решений в целых положитель-ных числах (при n = 2 такие решения существуют и называютсяпифагоровыми тройками). В 1738 году Эйлер находит доказа-тельство «великой теоремы Ферма» для n = 3; 4, но он отказалсяот попыток доказать теорему для больших n, несмотря на немо-тивированное утверждение Ферма о существовании доказатель-ства для произвольного n. Великая теорема Ферма была доказанаЭ. Уайлсом в 1995 году.

Однажды Ферма предложил Френиклю и Сен-Мартену по-строить прямоугольный треугольник с целочисленными сторона-ми, у которого сумма катетов и гипотенуза|квадраты, то естьрешить в целых числах систему уравнений x+y = u2; x2+y2 == v4. Ферма заподозрили в том, что он дал «невозможную» зада-чу. Эйлер исследовал эту систему, замечательную тем, что ее наи-меньшее решение дается 13-значными числами: 1 061 652 293 520,4 565 486 027 761.

Эйлер рассматривает уравнение x2 −Dy2 = 1, D 6= a2, кото-рое он называет уравнением Пелля. Он обнаруживает связь егонаименьшего решения с разложением

√D в бесконечную цепную

дробь. Многочисленные примеры убеждают Эйлера, что получа-

240 Леонард Эйлер (1707 { 1783)

ется периодическая цепная дробь, но доказательство этого факталишь позднее нашел Лагранж.

Ферма утверждал, что всякое простое число вида 4k+1 можетбыть представлено в виде суммы двух квадратов, причем един-ственным образом (простые числа вида 4k + 3, как легко пока-зать, не представляются в виде суммы квадратов). Эйлер устана-вливает, что верно и обратное: если представление N в виде сум-мы квадратов существует и единственно, то N|простое число.Он показывает, что этим свойством иногда можно пользоватьсядля доказательства простоты N . Например, число 1 000 009 со-ставное, поскольку наряду с представлением 10002 + 32 имеетсяпредставление 2352 + 9722. Далее, Эйлер показывает, что ана-логичным свойством обладают формы x2 + 2y2, x2 + 3y2. В видеx2+2y2 представляются, причем единственным образом, простыечисла вида 8m+1, 8m+3, а числа, допускающие неединственноепредставление, являются составными. Аналогично единственноепредставление в виде x2 + 3y2 допускают только простые числа(они имеют вид 6m + 1). После этого Эйлер переходит к общейзадаче: верно ли, что число N допускает единственное предста-вление в виде x2 + Dy2 (D фиксировано) тогда и только тогда,когда N | простое число. Это утверждение оказалось вернымпри всех D 6 10, но при D = 11 удалось предъявить составноечисло, допускающее единственное представление. Ситуация за-интриговала. Эйлера. Он назвал число D удобным, если в видеx2 + Dy2 единственным образом представляются лишь простыечисла. Эйлер получает критерий, позволяющий проверять удоб-ство чисел, и с любопытством выписывает удобные числа одноза другим; после 10 идут 12, 13, 15, 16, 18, 21, 22, 24. . . Посте-пенно удобные числа встречаются все реже. В первой тысяче ихнабралось 62, но Эйлер упорно продолжает вычисления, вероят-но надеясь подметить закономерность. Он обнаружил еще толькотри удобных числа: 1320, 1365, 1848, хотя, не теряя терпения, онперебрал все числа до 10000 и несколько дальше. Эйлер имел всеоснования высказать гипотезу, что совокупность удобных чиселограничивается найденными им 65 числами. Гаусс сделал рас-смотрения Эйлера более корректными, но новых удобных чисел

Леонард Эйлер (1707 { 1783) 241

не нашел. Сейчас доказана конечность множества удобных чи-сел, но неизвестно, существуют ли удобные числа, большие 1848.Эта работа очень характерна для творческого метода Эйлера,проделывавшего огромную экспериментальную вычислительнуюработу как для проверки гипотез, так и с целью увидеть новыезакономерности. Из великих математиков этим индуктивным ме-тодом в совершенстве владел, пожалуй, только Гаусс.

На этом мы кончим обзор той стороны арифметической де-ятельности Эйлера, в которой он был последователем Ферма.Он включил утверждения Ферма в далеко продуманную карти-ну мультипликативной (связанной с делимостью) теории чисел,безошибочно увидев практически все ее основные теоремы и про-блемы. Доказательство некоторых ключевых утверждений оста-лось на долю последователей Эйлера. Уже по некоторым при-мерам можно увидеть особенности научного стиля Эйлера. Пе-ред ним было несколько прекрасных задач, на которых можнобыло сосредоточиться на годы, если не на всю жизнь, но ника-кая конкретная проблема не имела для Эйлера приоритета передвоссозданием целостной картины, перед неудержимым желаниемдвигаться вперед. Он постоянно возвращался к неполучившимсязадачам, умело дозируя время, уделяемое той или иной проблеме.Трудность возникавших проблем, сознание, что он вынужден от-казаться от получения строгого доказательства, привели Эйлерак формированию способов установления математической исти-ны, отличных от доказательства. Эксперимент выходит на пер-вый план не только при обдумывании задачи или гипотезы: тща-тельно проведенный числовой эксперимент на большом материа-ле во внутренней системе ценностей Эйлера иногда равнозначенустановлению истины. Он говорит о «познанных, но не доказан-ных истинах» и стремится к тому, чтобы такого рода аргумен-тация получила гражданство в математике. Получение строго-го доказательства для Эйлера остается важнейшей целью, но нанекоторой стадии он сознательно отказывается от дальнейше-го поиска, тщательно прорабатывая эвристические соображения.

242 Леонард Эйлер (1707 { 1783)

Аналитическая теория чисел. Теория чисел обязана Эйлеру идеей,которая вскоре совершенно изменила ее лицо. Речь идет о при-менении в арифметике математического анализа. Трудно былопредставить такую возможность. Поначалу она удивила самогоЭйлера: «И хотя мы здесь рассматриваем природу целых чисел, ккоторой Исчисление Бесконечно Малых кажется неприложимым,тем не менее я пришел к своему заключению с помощью диффе-ренцирований и других уловок».

Эйлер для разных s рассматривает сумму бесконечного ряда

�(s) = 1 +12s

+13s

+ : : :+1ns

+ : : : (14)

(позднее ее назовут дзета-функцией Римана, и она сыграет варифметике исключительную роль). Путем нестрогого рассужде-ния Эйлер доказывает, что эта бесконечная сумма совпадает сбесконечным произведением по простым числам

�(s) =(1− 1

2s

)−1(1− 1

3s

)−1(1− 1

5s

)−1: : :(1− 1

ps

)−1: : : : (15)

Это рассуждение состоит в следующем: при s > 0 множитель (1−−p−s)−1 можно рассматривать как сумму бесконечной геометри-ческой прогрессии 1 + p−s + p−2s + p−3s + : : :. Перемножая этибесконечные суммы по всем простым p и ограничиваясь произ-ведениями слагаемых, в которых при всех p, кроме конечногочисла, берется 1, мы приходим к бесконечной сумме (14). Тут на-до еще многое добавить, чтобы это рассуждение стало строгим,начиная с придания смысла сумме бесконечного числа слагаемыхи произведению бесконечного числа множителей. У Эйлера этогонет. Он чувствует, что эти рассмотрения ведут к исключительносерьезным арифметическим результатам, но сам может предъ-явить лишь новое доказательство восходящей еще к Евклиду тео-ремы о бесконечности множества простых чисел. Дело в том, что

еще Я.Бернулли знал, что суммы n слагаемых 1+1

2+1

3+ : : :+

1

nпри n → ∞ стремятся к бесконечности, т. е. �(s) стремится к

Леонард Эйлер (1707 { 1783) 243

бесконечности при s→ 1, чего не может произойти с произведе-нием (15), если число различных p конечно. Может показаться,что гора родила мышь, но чутье не обмануло Эйлера. Это сталоясно, когда Дирихле доказал бесконечность числа простых чи-сел в арифметической прогрессии с взаимно простыми первымчленом и разностью (обобщение теоремы Евклида), отправляясьименно от намеченного доказательства Эйлера (доказательствоЕвклида не переносится на случай арифметических прогрессий,отличных от натурального ряда).

Эйлер приоткрывает еще одну тайну в мире простых чи-сел. Его аналитическое чутье, сильно опережавшее технические

возможности, подсказывает, что∑

p<x1

pпри больших x близка

к ln∑

n<x1

n, а это | первый шаг в получении закона распре-

деления простых чисел в натуральном ряду. Эйлер чувствует,что функцию �(s) можно продолжить даже на те значения s,для которых ее нельзя определить как сумму ряда. Более того,он замечает связь между значениями � в точках s и 1 − s (то,что позднее будет сформулировано Риманом в виде знаменито-го функционального уравнения). Эйлер исследует значения �(s)в целых точках. Мы расскажем ниже, как он разобрался сослучаем четных аргументов, а симметрию между s и 1 − s онрассчитывал применить к исследованию � в нечетных точках.Но он потерпел неудачу, поняв, что в отрицательных четныхточках продолженная � равна нулю. Отметим, что об арифме-тической природе значений дзета-функции в нечетных точкахстало кое-что известно лишь в самые последние годы: в 1979году было доказано, что число �(3) иррационально, а летом2000 года был анонсирован результат, согласно которому средичисел, являющихся значениями дзета-функции в нечетных точ-ках, содержится бесконечно много различных иррациональныхчисел.

Ряды и бесконечные произведения. Бесконечные суммы и беско-нечные произведения были любимым объектом Эйлера в анализе.Бесконечными суммами (рядами), в частности, степенными ря-

244 Леонард Эйлер (1707 { 1783)

дами a0 + a1x + : : : + anxn + : : :, много пользовался Ньютон

(например, при исследовании бинома (1 + x)� для нецелых �).Ньютон, не очень акцентируя на этом внимание, имел в видуряды, у которых сходятся суммы последовательных n слага-емых (как у убывающей геометрической прогрессии). ХотяЭйлер прекрасно понимает, что ряд может не суммироваться,он смело работает с рядами, не заботясь о сходимости: фор-мально перемножает, делит ряды, почленно дифференцируети т. д. Это предвестие современной работы с формальнымирядами в алгебре. Не ограничиваясь формальными действия-ми, Эйлер хотел приписывать числовые значения расходящимсярядам. Потомки неоднократно осуждали его за в самом де-ле сомнительные утверждения типа 1 − 3 + 5 − 7 + : : : = 0,

: : : +1

n3+

1

n2+

1

n+ 1 + n + n2 + n3 + : : : = 0. А с другой

стороны, Эйлер брал частичные суммы гармонического ря-

да 1 +1

2+

1

3+ : : : +

1

nи замечал, что если вычесть lnn, то

разность будет стремиться к конечной константе 0;577216 : : :,ныне носящей имя Эйлера. Это | важный пример выявленияприроды расходимости. Не имея необходимого аппарата, Эйлерпочувствовал, что расходящиеся ряды необходимы в математике,а поразительная интуиция страховала его при нестрогих рассу-ждениях от ошибочных выводов. В то же время его эпигоны,не имевшие столь мощной защиты, допустили немало ошибок инелепостей.

Эйлер смотрит на бесконечные ряды как на многочлены бес-конечной степени и по аналогии формулирует для них прави-ло разложения в бесконечное произведение линейных множите-лей. Если сумма ряда 1 + a1x + a2x

2 + : : : равна нулю в точ-ках �1; �2; : : : ; �n; : : : , то она совпадает с бесконечным произведе-нием

(1− x

�1

): : :(1− x

�n

): : :. Эйлер не дает этому утверждению

ни обоснования, ни строгой формулировки, а прямо переходит кпримерам. Он исходит из бесконечного ряда

sinxx

= 1− x2

3!+x4

5!− x6

7!+ : : : ;

Леонард Эйлер (1707 { 1783) 245

его сумма имеет нули при �±k = ±�k, откуда делается вывод:

1− x2

3!+x4

5!− : : : =

(1− x2

�2

)(1− x2

4�2

)(1− x2

9�2

): : : :

Формально выполняя умножения скобок, собирая коэффициентпри x2 и сравнивая с коэффициентом в ряду слева, получаем

1 +14+19+ : : :+

1n2

+ : : : =�2

6:

Это| значение дзета-функции в точке s = 2. Полученный рядисследовал еще Я.Бернулли, но не смог найти его сумму. Эйлер кэтому ряду присматривался давно. Он вначале знал его сумму ссемью знаками: 1;6449340, а потом вычислил еще восемь знаков.Понимая, что проведенные им выкладки строго не оправданы,Эйлер прежде всего нашел �2=6 с семью знаками и сравнил сизвестным ему ответом. Получилось совпадение! Это происходи-ло в 1735 г. Сравнивая коэффициенты при дальнейших степеняхв ряду и произведении, Эйлер без труда находит �(4) = �4=90,�(6) = �6=42 · 6!. Он понимает, что �(2n) = cn�

2n и интересуетсяприродой коэффициентов c2n. Для них он получает рекуррентныеформулы, достаточные для вычислений, но это не удовлетворяетЭйлера.

Почти в то же время Эйлера волновала другая числовая по-следовательность, возникшая из совершенно другой задачи. Онхотел применить интегралы к оценке сумм большого числа слага-емых S(n) = f(1)+f(2)+ : : :+f(n). Получилась формула (теперьее называют формулой Эйлера {Маклорена):

S(n) =∫ n

0f(x) dx+

f(n)2

+f ′(n)12

− f ′′(n)720

+f ′′′(n)30240

+ : : : ;

и далее при следующих производных | загадочные коэффи-циенты, которые Эйлер умел вычислять, но не знал простойзакономерности для них. Каково же было удивление Эйлера,когда обнаружилось, что коэффициенты в его формуле рав-ны (−1)n−1cn=22n−1. Только величайшим математикам приро-да дарит такие удивительные совпадения! Ведь прямой связи

246 Леонард Эйлер (1707 { 1783)

между задачами нет. А потом Эйлер вспомнил о замечатель-ной числовой последовательности Bn, возникшей у Я. Бернуллипри вычислении суммы k-х степеней первых n натуральных чи-сел (Bn сейчас называют числами Бернулли), и оказалось, что

B2n =(−1)n−1(2n!)cn

22n−1 . Кроме того, при разложении z=(ez − 1) по

степеням z коэффициент при zn равен Bn=n!. Числа Бернуллибыли известны до Эйлера, но Эйлер был первым, кто понял, чтоони таинственным образом возникают в самых разных задачах.

Эйлера постоянно волновало, что его вычисления �(2n) не-обоснованы. Он придумывает еще один аргумент, усиливающийвыводы из его числовых экспериментов. Среди рассмотренныхим примеров был пример, основанный на разложении 1 − sinx вряд и бесконечное произведение. Он приводил к соотношению�

4= 1 − 1

3+

1

5− 1

7+ : : :, которое уже было строго выведено

Лейбницем непосредственно из геометрического определения �.Эйлер оценивает это совпадение как очень сильное: «Для наше-го метода, который может некоторым показаться недостаточнонадежным, здесь обнаруживается великое подтверждение. По-этому мы вообще не должны сомневаться в других результатах,выведенных тем же методом». Эйлер настаивает на серьезномотношении к недоказанным утверждениям, прошедшим экспери-ментальную проверку и получившим косвенные подтверждения.Он понимает, что в современной ему ситуации математика поте-ряет многое, если жестко придерживаться евклидовских правилустановления истины. Впрочем, он не отказывается от поисковстрогого обоснования и через десять лет находит существенноболее простое обоснование разложения sinx (кстати, основанноена связи тригонометрической и показательной функций в ком-плексной области).

Эйлер продолжает манипуляции с бесконечными произведе-ниями. Он вычисляет ряд, отвечающий бесконечному произведе-нию s(x) = (1−x)(1−x2)(1−x3) : : :, и замечает, что в нем многиестепени отсутствуют:

s(x) = 1− x− x2+ x5+ x7− x12− x15+ x22+ x26− x35− x46+ : : : ;

Леонард Эйлер (1707 { 1783) 247

у ненулевых членов знаки меняются через два. Для Эйлера несоставило труда разгадать закономерность последовательностипоказателей ненулевых слагаемых. Он рассматривает последова-тельные разности: 1; 3; 2; 5; 3; ; 7; 4; : : :, разбивает получившуюсяпоследовательность на две: натуральный ряд и последователь-ность нечетных чисел, и в результате для исходной последова-тельности показателей получает представление: члены k-й па-

ры|это m =1

2(3k2± k), причем знак при xm совпадает с (−1)k.

Однако Эйлеру не удается даже на формальном уровне доказатьсовпадение бесконечного произведения и ряда: «Я долго тщетноразыскивал строгое доказательство равенства между этим ря-дом и бесконечным произведением (1 − x)(1 − x2)(1 − x3) : : :, ия предложил этот вопрос некоторым из моих друзей, способно-сти которых в этом отношении мне известны, но все согласилисьсо мной, что это преобразование произведения в ряд верно, хотяникто не сумел раскопать какой-либо ключ для доказательства.Таким образом, это познанная, но не доказанная истина». Кстати,числа вида (3k2 − k)=2 были известны еще греческим математи-кам (по крайней мере, Никомаху в I веке); это так называемыепятиугольные числа.

К обсуждаемой задаче Эйлер пришел, отправляясь от дру-гой задачи. Пусть am (bm)| число представлений натуральногочисла m в виде суммы четного (нечетного) числа различных сла-гаемых. Проанализировав, какими способами возникает член xm

при перемножении (1− x), (1− x2),. . . , нетрудно убедиться, чтокоэффициент при xm в точности равен am−bm. Это означает, чтоутверждение, к доказательству которого стремился Эйлер, рав-носильно тому, что am = bm для всех m, отличных от (3k2±k)=2,а для этих чисел |am−bm| = 1 (знак можно уточнить). Именно этоутверждение интересовало Эйлера, а рассмотрение бесконечныхпроизведений и рядов| это лишь способ доказать его.

Эйлер связывает с рассмотренным рядом s(x) еще одно заме-чательное арифметическое утверждение для �(n)| суммы дели-телей числа n. Манипулируя с s′(x)=x, Эйлер получает

�(n) = �(n− 1) + �(n− 2)− �(n− 5)− �(n− 7) + : : : :

248 Леонард Эйлер (1707 { 1783)

Полученное соотношение Эйлер называет «наиболее необычай-ным законом чисел, относящимся к сумме их делителей». Не видяникакого пути к его прямому доказательству, он проверяет законпри n 6 20, а затем при n = 101 (простое число) и 301 и пишет:«Примеры, которые я только что разобрал, безусловно рассеютлюбые сомнения, которые мы могли бы иметь в отношении спра-ведливости этой формулы. Это прекрасное свойство чисел темболее удивительно, что мы не чувствуем никакой разумной свя-зи между структурой моей формулы и природой делителей, ссуммой которых мы здесь имеем дело».

Аддитивная теория чисел. Задачи о числе представлений нату-ральных чисел в виде сумм слагаемых некоторой природы (какговорил Эйлер, задачи о «разбиении чисел») долго были в центреего внимания. Возможно, первоначальный толчок дали задачи,содержавшиеся в письме Ф. Ноде (1740 г.), фамилия которогоничего не говорит нашему современнику1. К этим задачам Эй-лер применил аппарат бесконечных произведений. Вот несколькопримеров. Эйлер утверждает, что

(1 + x)(1 + x2)(1 + x3) : : : =1

(1− x)(1− x3)(1− x5) : : ::

Рассуждение состоит в том, что если умножать левую часть по-следовательно на (1−x), (1−x3), (1−x5),. . . , то постепенно будутисчезать все ненулевые степени, а это и означает тождество (эторассуждение можно сделать строгим при помощи теории пре-делов). После раскрытия скобок в левой части получается ряд1+a1x+a2x

2+ : : :, где ak|число представлений k в виде суммыразличных натуральных слагаемых. Правая часть при помощисуммы бесконечной геометрической прогрессии записывается ввиде

(1 + x+ x2 + x3 + : : :)(1 + x3 + x6 + x9 + : : :)(1 + x5 + x10 + : : :) : : : ;

1Знаменательно, что Эйлер стартовал не только от великих источников,как это было в случае Ферма, но иногда с совершенно случайных задач.

Леонард Эйлер (1707 { 1783) 249

и она равна 1 + b1x + b2x2 + : : :, где bk |число представлений k

в виде суммы нечетных слагаемых, среди которых могут бытьодинаковые (почему?). Эйлер делает вывод о совпадении числапредставлений ak = bk. Попробуйте доказать это совпадение не-посредственно, и вы убедитесь, что не видно, как подойти к этойзадаче.

Следующее рассуждение исходит из тождества

(1 + x)(1 + x2)(1 + x4)(1 + x8) : : : = 1 + x+ x2 + x3 + : : : ;

чтобы убедиться в его правдоподобности, можно умножить обечасти на (1− x) и проследить, как последовательно исчезают не-нулевые степени x в обеих частях. Из него сразу следует, чтокаждое число одним и только одним способом представляетсяв виде суммы различных степеней двойки (числа таких пред-ставлений|коэффициенты в степенном ряду, полученном послепреобразования левого произведения).

Метод Эйлера позднее получил название метода производя-щих функций. Функции натурального аргумента a(n) (например,число каких-то разбиений n) ставится в соответствие функция,являющаяся суммой бесконечного ряда A(x) = a(0) + a(1)x ++ a(2)x2+ : : :. Идея Эйлера, подтвержденная на многочисленныхпримерах, состояла в том, что в свойствах функции A(x) свое-образно проявляются арифметические свойства последовательно-сти a(n). Характерно, что чисто арифметическое доказательстворезультатов Эйлера о разбиениях, доказанных Эйлером аналити-чески, было получено лишь во второй половине XIX века. Мето-дом Эйлера был позднее доказан ряд замечательных результатов.Например, Якоби не только передоказал теорему Лагранжа опредставлении натурального числа в виде суммы четырех ква-дратов, но и нашел число таких представлений.

Задачи о разбиениях отходили от арифметики Диофанта иФерма не только по методам, но и по постановкам. Они начина-ли аддитивную теорию чисел (в отличие от мультипликативной).К аддитивной теории чисел относились и знаменитые проблемыГольдбаха, поставленные в письме к Эйлеру. Среди них широко

250 Леонард Эйлер (1707 { 1783)

известна гипотеза, что каждое нечетное число представимо в ви-де суммы трех простых, а каждое четное|двух. Для достаточнобольших нечетных чисел это было доказано И.М.Виноградовым.Эйлер, верный своим правилам, тщательно продумал эти задачи.Гипотезу о том, что каждое нечетное число n есть сумма про-стого и удвоенного квадрата, он проверил при n < 2500 (этоне доказано и по сей день). Он сформулировал несколько новыхгипотез. Например, осталась недоказанной гипотеза Эйлера, чтовсякое простое вида 8k+3 есть сумма удвоенного простого числавида 4l + 1 и нечетного квадрата. Упомянем еще одну арифме-тическую гипотезу Эйлера, происхождение которой трудно ре-конструировать: число 3

√2 является трансцендентным. Обобще-

ние этого утверждения составило одну из проблем Гильберта,решенную А. О. Гельфондом. Еще один пример удивительногопредвидения!

Анализ. Мы уже говорили о работах Эйлера по анализу в связис рядами и бесконечными произведениями. Дифференциальноеи интегральное исчисление были созданы в течение XVII века,в окончательной форме | в трудах Ньютона и Лейбница. Эй-лер приходился «научным внуком» Лейбницу (через И.Бернулли).Уже в конце XVII века встал вопрос о создании руководства поисчислению бесконечно малых; эту цель преследовал «Анализ бес-конечно малых» (1696 г.) маркиза Лопиталя, ученика И. Бернул-ли. Свое продумывание анализа Эйлер сопровождает созданиемсквозной монографии по анализу, чему была подчинена значи-тельная часть жизни Эйлера. В 1748 г. выходят два тома «Вве-дения в анализ бесконечно малых». Второй том|это аналитиче-ская геометрия. Первый том|замечательный учебник, которыйс интересом могли бы читать студенты и сегодня, | содержитвсё из «обыкновенного» анализа, что, по мнению Эйлера, долж-но предшествовать анализу бесконечно малых. Здесь много эле-ментарного материала и задач. Вот одна из них: «После потопачеловеческий род размножился от шести человек; положим, что200 лет спустя число людей возросло до 1 000 000 человек; тре-буется узнать, на какую свою часть число людей должно было

Леонард Эйлер (1707 { 1783) 251

бы увеличиваться ежегодно». Но при этом подробное изучениеэлементарных функций содержит и разложение в ряды, и выходв комплексную область. Здесь же| вычисления �(2n) и теорияразбиений натуральных чисел. В 1755 г. выходит «Дифференци-альное исчисление», в 1768 { 1770 г. | три тома «Интегральногоисчисления», а после смерти Эйлера| еще один том добавлений.

Мы имеем возможность лишь очень мало сказать об анали-тических результатах Эйлера. Прежде всего он внес принципи-альный вклад в эволюцию понятия функции. К тому времениматематики ясно понимали, что функция является основным объ-ектом анализа, знали большое число конкретных функций, нотолько подходили к осознанию общего понятия. С точки зренияматематика, занимавшегося приложениями, функция всегда за-дается какими-то аналитическими выражениями. С другой сто-роны, при построении дифференциального и интегрального ис-числения работа с явными выражениями часто неудобна. Здесьболее эффективен геометрический взгляд на функцию. Эйлер, вполе зрения которого были и приложения, и общая теория, парал-лельно развивал обе точки зрения на функции. Он был первым,кто отважился отождествить общие функции с произвольными(непрерывными) кривыми, имеющими единственные точки пере-сечения с вертикалями. Как писал Риман, «Эйлер первым ввел эти(произвольные|С. Г.) функции в Анализ и, опираясь на геоме-трическую наглядность, приложил к ним исчисление бесконечномалых».

Но Эйлер не только развил для произвольных функций ана-лиз, он указал реальную ситуацию, когда произвольные функциивозникают в приложениях. В 1748 г., исследуя формулу дляизменения со временем формы колеблющейся струны, Эйлерподчеркивает, что в начальный момент времени форма струныможет быть произвольной. В то же время Даламбер, которыйнашел эту формулу на год раньше, имел массу неприятностейиз-за уверенности, что начальная форма должна задаваться ана-литическим выражением (в частности, он пришел к выводу,что неразрешима задача о колебании струны, изогнутой по ду-ге параболы). В 1761 г. Лагранж подчеркнул заслугу Эйлера

252 Леонард Эйлер (1707 { 1783)

в использовании общих функций: «Они необходимы для боль-шого числа важных вопросов динамики и гидродинамики 〈: : :〉г-н Эйлер является, как я полагаю, первым, кто ввел в анализэтот новый род функций в своем решении проблемы о колеблю-щихся струнах». Со времени Эйлера существенно поменяласьтерминология: его общие («разрывные», или «механические»)функции являются непрерывными с нашей точки зрения, анепрерывные в его смысле функции после Лагранжа стали на-зывать аналитическими. Эйлер был уверен, что общие функциине допускают аналитического представления. Он решительновозражал Д. Бернулли, считавшему (в связи с задачей о стру-не), что общие функции являются суперпозициями гармоник.Через 70 лет правоту предположения Д. Бернулли подтвердилФурье.

Как ни замечательны результаты Эйлера в области формиро-вания общего понятия функции, они не идут ни в какое сравне-ние с колоссальной работой по отбору и изучению специальныхклассов «хороших» функций, необходимых в приложениях. В изу-чении специальных функций он решительно выходит за пределыэлементарных функций. Мы уже говорили о дзета-функции, вве-денной еще в 1830 г. Продолжая исследования Валлиса, Эйлерищет функцию `(x), которая принимала бы в целых точках зна-чения n!, а затем и функцию B(x; y), которая в целых точках

совпадает с(n+m)!

n!m!(числом сочетаний). Так появились знаме-

нитые эйлеровы интегралы (гамма- и бета-функции).Математики XVIII века знали, что элементарных функций не-

достаточно, и помнили о мечте Лейбница разобраться с высшимитрансцендентными функциями, однако трезвая оценка показы-вает, что регулярных способов разобраться с этой проблемойтогда не было. Отдельные примеры функций появлялись у раз-ных математиков, но мы теперь ясно видим, что это была задачадля XIX века, и одновременно, что Эйлер, руководствуясь неве-домыми чувствами, практически без пробелов угадал все специ-альные функции, которые составляют предмет высшего анали-за. Мы уже говорили об эйлеровских интегралах и �-функции.

Леонард Эйлер (1707 { 1783) 253

К этому можно прибавить бесселевы функции, некоторые видытэта-функций, гипергеометрическую функцию Гаусса (разумеет-ся, это более позднее название!), при различных значениях пара-метров в которй получается большинство специальных функций,появляющихся в математической физике. Наконец, Эйлер сделалважнейшие шаги в теории эллиптических интегралов, включаятеорему сложения. От этих результатов отправлялись Лежандри Гаусс, Абель и Якоби. Вошло в привычку, что если появляет-ся новый естественный класс функций, то его надо поискать уЭйлера. В последние годы в самых разных задачах теории чисел,алгебры, топологии, геометрии мистическим образом появляет-ся дилогарифм Li2(z) =

∑∞n=1 z

n=n2. Оказалось, что Эйлер знал озамечательных свойствах этой функции, в частности, о теоремахсложения.

Важнейший технический прием, которого не хватало Эйле-ру, | это продолжение специальных функций в комплекснуюобласть. Но Эйлер уже делал первые шаги в построении ком-плексного анализа: он наряду с Даламбером (правда, в связис задачами гидромеханики) рассмотрел уравнения Коши { Ри-мана, которые задают аналитические функции комплексногопеременного; пользовался комплексными подстановками для вы-числения вещественных интегралов, а в последние годы жизнивычислял вещественные интегралы через интегралы от комплекс-ных функций, очень близко подойдя к теории Коши контурногоинтегрирования на комплексной плоскости. Эйлер понимал неиз-бежность «комплексного» мира.

Наиболее знаменитым результатом Эйлера в комплексноманализе является его открытие связи между показательной и три-гонометрической функциями в комплексной области, которуюневозможно увидеть, оставаясь в пределах вещественных чисел.Формулу Эйлера eix = cosx+ i sinx Ж.Л. Лагранж (1736 { 1813)назвал «одним из наиболее прекрасных анлитических открытий,сделанных в настоящем веке». Формула производит сильное впе-чатление и сегодня. Ее можно очень естественно получить черезряды или функциональные уравнения, и редко вспоминают, какона появилась в математике XVIII века. Удивительно, что логи-

254 Леонард Эйлер (1707 { 1783)

ка ее открытия была достаточно прямолинейной. В начале векаИ. Бернулли (1667 { 1748), учитель Эйлера, занимаясь задачейоб интегрировании рациональных дробей, обратил внимание на

соотношение1

1 + x2=

1

2i

(1

x− i− 1

x+ i

). Если его формально

проинтегрировать, то слева получается арктангенс, а справа|логарифм, правда, мнимого аргумента. После несложных пре-образований получается формула

x =12iln1− i tg x1 + i tg x

; (16)

которая тривиально преобразуется в формулу Эйлера. ХотяИ. Бернулли и не выписал (16), он безуспешно пытался придатьсмысл встречавшимся здесь вычислениям с мнимыми величина-ми. На этой почве возникла известная дискуссия (1712 { 13 гг.)между Бернулли и его учителем Лейбницем о логарифмах от-рицательных чисел (чему равен ln(−1)?), а в 1714 г. «формулаЭйлера» промелькнула без необходимых обоснований у Рожде-ра Котеса (Коутса) (1682 { 1716), рано умершего сподвижникаНьютона. Эйлер, хорошо знакомый с проблемами, волновавшимиего учителя, в 1728 г., отправляясь от вычислений, выводит (16),а в 1739 г. он развил теорию логарифмов в комплексной обла-сти так, что все формулы стали корректными и противоречияисчезли (ln(−1) = (2k + 1)�i, где k|произвольное целое число).

Поиски специальных функций невозможно отделить от выде-ления важных классов дифференциальных уравнений. Уже никтоне сомневался, что явно проинтегрировать произвольные диф-ференциальные уравнения нельзя. Эйлер активно участвует ввыделении тех уравнений, которые возникают из физики. Он рас-сматривает ряд уравнений в связи с задачами гидромеханики,колебаний струн и мембран, распространения звука: здесь и урав-нение Лапласа, и некоторые варианты волнового уравнения, и др.Для Эйлера был характерен аналитический взгляд на физику. Онстремился свести физические задачи к решению тех или иныхдифференциальных уравнений. В механике он первый перешелот геометрического языка Ньютона к аналитическому.

Леонард Эйлер (1707 { 1783) 255

Подводя итоги деятельности Эйлера в области анализа, под-черкнем, что Эйлер отдавал предпочтение аналитическим мето-дам при решении как общематематических, так и прикладныхзадач. Но никогда анализ не был для Эйлера самоцелью. Мож-но вспомнить, что он (в отличие от Даламбера) упорно искалчисто алгебраическое доказательство основной теоремы алге-бры (существование комплексного корня у любого алгебраиче-ского уравнения). Алгебраического доказательства найти не уда-лось, и Г.Фробениус (1849 { 1917) с сожалением отмечал, что за-мечательным алгебраическим рассмотрениям Эйлера не отданодолжного, а многие из них несправедливо приписываются Гауссу.

Геометрия. Занятия Эйлера геометрией носили более отрывоч-ный характер. Второй том «Введения в анализ» является первымучебником аналитической геометрии. Очень многое в аналити-ческой геометрии идет от Эйлера. Он первым рассмотрел аф-финные преобразования (и ввел этот термин), исследовал группувращений, связав полученные при этом результаты с движени-ем твердого тела. Эйлер продумывал возможности примененияанализа к геометрии, сделав первые шаги в дифференциальнойгеометрии. Одним из первых рассмотрел он и геометрическиезадачи, связанные с картографией, отправляясь от вопроса, вкаком смысле плоское изображение на карте подобно соответ-ствующей картине на сфере (поверхности земного шара). Мно-гим показалась неожиданной обнаружившаяся при этом связь скомплексными числами.

Даже в элементарной геометрии Эйлер обнаружил факты, ко-торые никто не заметил прежде, например, что в треугольникеортоцентр, центр описанной окружности и центр тяжести лежатна одной прямой|прямой Эйлера. Кажется, и теорему о пересе-чении трех высот треугольника в одной точке (ортоцентре), про-пущенную у Евклида, никто до Эйлера явно не сформулировал.

Вероятно, более других геометрических утверждений попу-лярна теорема Эйлера для многогранников: ÷ + ç = ò + 2, где÷ | число вершин, ç | число граней, ò | число ребер. Инте-ресно, что Эйлер увидел это соотношение на примерах, но не

256 Леонард Эйлер (1707 { 1783)

смог поначалу доказать его в общем виде, проверив вместо этоготеорему для любых пирамид, призм, некоторых составных мно-гогранников, правильных многогранников. Эйлер и в геометрииборется за доверие к математическому эксперименту: «Итак, по-скольку верность этого утверждения во всех этих случаях оправ-дывается, нет никакого сомнения, что оно имеет место для лю-бых тел, так что это предложение представляется достаточнообоснованным». Лишь позднее он нашел общее доказательство.

Эйлер уже не вызывал своих коллег на состязание по реше-нию задач, как это делал еще Ферма, но он охотно обменивалсяс ними как решенными, так и нерешенными задачами. Отсюдаего результаты по традиционной тематике математических со-стязаний: магическим квадратам, дружественным числам и т. д.Популярные книги до сих пор сохранили несколько просто фор-мулируемых задач, либо придуманных Эйлером, либо им впервыерешенных. Можно вспомнить об обходе шахматной доски конемтак, чтобы ни одна клетка не проходилась дважды. Другая из-вестная задача | доказать невозможность обойти семь кенигс-бергских мостов так, чтобы ни один мост не проходился два-жды. На примере этой задачи видно, что Эйлера интриговалинестандартно решаемые задачи, поскольку эта нестандартностьмогла иметь далеко идущие последствия. В марте 1736 г. Эй-лер пишет «мужу славному и знатному Мариони»: «Некогда мнебыла предложена задача об острове, расположенном в городе Ке-нигсберге и окруженном рекой, через которую перекинуто семьмостов. Спрашивается, может ли кто-нибудь обойти их, переходятолько однажды через каждый мост. И тут же мне было сообще-но, что что никто до сих пор не мог это проделать, но никтои не доказал, что это невозможно. Вопрос этот, хотя и баналь-ный, показался мне, однако, достойным внимания тем, что дляего решения недостаточны ни геометрия, ни алгебра, ни ком-бинаторное искусство. Поэтому мне пришла в голову мысль, неотносится ли она случайно к геометрии положения, которую всвое время исследовал Лейбниц». Лейбниц в самом деле оставилнесколько загадочных реплик о невиданной геометрии, «котораяраскрывается перед нами в положении, как алгебра в величинах»

Леонард Эйлер (1707 { 1783) 257

(письмо к Гюйгенсу, 1679 г.). Эйлер безуспешно пытается выяс-нить подробности о «геометрии положения». Он разрабатываетметод, позволяющий решить эту задачу и по существу относя-щийся к началам топологии. Он чувствует, что рассмотреннаязадача|лишь отголосок более глубоких проблем: «Если бы мож-но было привести здесь другие, более серьезные задачи, этотметод мог бы принести еще большую пользу, и им не следова-ло бы пренебрегать». Через месяц в письме к Эйлеру в Данцигобсуждается обобщение задачи о мостах и констатируется: «Тыможешь убедиться, славнейший муж, что это решение по своемухарактеру, по-видимому, имеет мало отношения к математике,и мне непонятно, почему следует скорее от математика ожидатьэтого решения, нежели от какого-нибудь другого человека, ибоэто решение подкрепляется одним только рассуждением, и нетнеобходимости привлекать для нахождения этого решения какие-либо законы, свойственные математике. Итак, я не знаю, кактак получается, что вопросы, имеющие совсем мало отношенияк математике, скорее разрешаются математиками, чем другими.Между тем ты, славнейший муж, определяешь место этого во-проса в геометрии положения, что касается этой новой науки,то, признаюсь, мне неизвестно, какого рода относящиеся сюдазадачи желательны были Лейбницу и Вольфу». Так Эйлер вследза Лейбницем видел впереди новую область геометрии| геоме-трии формы, без измерений,|черты которой стали прояснятьсячерез полтора века.

Механика. Механика была с самого начала в поле зрения Эйле-ра. Уже в 1736 г. выходит его «Механика, или наука о движении,изложенная аналитически». Это первая книга 29-летнего учено-го. Эйлер тщательно изучил «Начала» Ньютона, в которых ме-ханика изложена на геометрическом языке. Он обнаружил, что сточки зрения приложений к конкретным задачам более эффекти-вен переход на аналитический язык при помощи использованиякоординат. В конечном счете механическая задача преобразует-ся в чисто математическую задачу решения дифференциальныхуравнений. Это направление в механике продолжил Лагранж, ко-

258 Леонард Эйлер (1707 { 1783)

торый в предисловии к своей «Аналитической механике» конста-тировал: «В этой работе вовсе нет чертежей, в ней только алге-браические операции». Эйлер ясно отдавал себе отчет, что сведе-ние механической задачи к математической еще не означает еерешения: «Хотя принципы механики, на которых основаны всезаконы движения, по-видимому, достаточно известны и доста-точно применимы к общим явлениям для того, чтобы с их помо-щью подчинить изменения движения аналитическим формулам,однако очень часто анализ становится недостаточным для реше-ния уравнений 〈: : :〉 Разве мы не видим, что принципы механикикаждый день приводят нас к дифференциальным уравнениям, ре-шение которых может быть найдено только при таком развитиианализа, от которого он еще очень далек».

Механика Ньютона не выходила за пределы движения мате-риальных точек, потом Декарт рассмотрел движение плоскихпластин, но только Эйлер перешел к изучению специфики дви-жения твердого тела конечных размеров. Сделал он это в книге,вышедшей в свет через 29 лет после выхода его «Механики».

Механика Ньютона начинается с аксиом|трех его законов.Эйлер считал, что они нуждаются в существенно большей мо-тивировке и их следует вывести из каких-то более первичныхзаконов мироздания. Предпринятая в 1736 г. попытка в этом на-правлении была сомнительной. А. Н. Крылов пишет, что Эйлерполучил лишь «разжиженные» законы Ньютона, и находит корнипожеланий Эйлера в его привычке к занятиям богословием. Ко-гда Эйлер был в Берлине, перед ним неожиданно открылся новыйпуть разработать для механики более естественные основания.В 1744 г. Мопертюи предположил, что все законы движения иравновесия в природе могут быть выведены из того, что всякоедвижение происходит так, чтобы минимальное значение приняланекоторая величина|действие. Мопертюи отправлялся от опти-ки (принцип Ферма), переходил к механике, но затем толковалсвой закон максимально широко и путано, давал своему зако-ну наименьшего действия теологическое толкование, утверждая,что минимальность действия является следствием «наиболее му-дрого употребления могущества Творца». Мопертюи не пошел

Леонард Эйлер (1707 { 1783) 259

дальше простых механических применений, он увлекся глобаль-ными проблемами, которые вскоре вовлекли его в горячую дис-куссию, дорого ему стоившую. Даламбер писал: «Этот спор одействии, если нам будет позволено сказать, несколько походитна некоторые религиозные споры по ожесточению, с которым онвелся, и по количеству людей, принявших в нем участие, ничегов этом не смысля».

Эйлер с самого начала на стороне Мопертюи. Ему не чуждаи теологическая интерпретация: «Действительно, так как зданиевсего мира совершенно и возведено премудрым Творцом, то вмире не происходит ничего, в чем не был бы виден смысл какого-нибудь максимума или минимума». Но прежде всего Эйлер ищетточную формулировку принципа, которая позволила бы ему из-менить законы механики. Он находит такую формулировку вслучае центральных сил, хотя и не дает доказательства. Как пи-сал сам Мопертюи по поводу Эйлера, «Этот великий геометр нетолько обосновал принцип более фундаментально, чем это сде-лал я, но его взор, более объемлющий и более проникновенный,чем мой, привел его к открытию следствий, которые я не извлек».

Утверждения Мопертюи были настолько общими, что в дис-куссии (точнее сказать, скандале) приняли участие люди, далекиеот физики, и среди них Вольтер, имевший с Мопертюи давниесчеты и разразившийся сатирическим памфлетом «Диатриба док-тора Акакии уроженцу Сен-Мало». В конечном счете Мопертюибыл морально раздавлен, но от Вольтера досталось и Эйлеру, яро-му защитнику Мопертюи. Его можно безошибочно узнать в уче-ном, который пытается снискать себе славу среди европейскихматематиков тем, что «производит на бумаге максимум вычи-слений». Речь идет об ученом, который считает не менее чем на60 страницах вместо того, чтобы подумать и потратить не болеедесяти строк, который считает три дня и три ночи, не потра-тив четверть часа на обдумывание правильного пути. Вот какпреломился у Вольтера образ гениального вычислителя.

Эйлера нередко упрекали и упрекают, что он переоценил пу-таные высказывания Мопертюи, почти демонстративно подчер-кивая вторичность своих работ. Намекали даже, что практич-

260 Леонард Эйлер (1707 { 1783)

ный Эйлер стремился угодить всесильному (перед дискуссией)президенту Берлинской Академии наук. Но думается, что та-кое отношение к работе Мопертюи было органично для Эйлера:он умел ценить пионерские работы и понимал, сколь в несовер-шенном виде предстают в них идеи. Мопертюи высказал то, чтоестественно было сделать Эйлеру. Эйлер все время искал для ме-ханики более надежное основание, чем законы Ньютона, которыеон не готов был принять за первичные. Ему не суждено было до-гадаться, что необходимый принцип можно было почерпнуть изего любимого вариационного исчисления.

Астрономия. Занятия Эйлера астрономией | продолжение егозанятий механикой. Его область интересов|небесная механика.Он смог реализовать здесь свои поразительные вычислительныеспособности (как писал французский астроном Араго, он «вычи-слял так, как человек дышит»). Эйлеру одному из первых сталидоступны вычисления, опережавшие результаты наблюдений.Старая небесная механика только экстраполировала результатынаблюдений, новая|исходила прежде всего из закона всемирно-го тяготения. Первые шаги в этом направлении сделаны самимНьютоном, давшим теоретическое определение ускорения дви-жения Луны и объяснившего некоторые аномалии (как сталиговорить, неравенства) в ее движении. Как всегда, Эйлер ясноосознает насущные задачи небесной механики. Прежде всегонадо попытаться объяснить «неравенства» в движении большихпланет Юпитера и Сатурна их взаимным притяжением, накла-дывающимся на притяжение Солнца. Эйлер далеко продвигаетсяк вожделенной цели|объяснить так называемые «большие нера-венства», проявляющиеся в систематическом ускоренииЮпитераи замедлении Сатурна. Однако Эйлеру не удалось довести вы-числения до результата, хорошо согласующегося с наблюдением,хотя он и двигался по правильному пути (это удалось позднееЛапласу).

Теория движения Луны была в центре внимания Эйлера. Са-мой злободневной была задача объяснения периодического дви-жения перигея орбиты (с периодом 9 лет). Учет возмущения упор-

Леонард Эйлер (1707 { 1783) 261

но давал период 18 лет, пока в 1749 году Клеро не показал, чтоучет возмущающих членов следующего порядка дает правильныйпериод. Эйлер признавал, что Клеро, сконцентрировавший уси-лия на решении этой задачи, опередил его: «В этом вопросе уг-на Клеро, пожалуй, нет более сильного противника, чем я 〈: : :〉,хотя я и был в этом вопросе предшественником г-на Клеро, уменя не хватило терпения пуститься в столь пространные вы-числения». Хотя теория Эйлера и не дала столь выигрышногоитога, как результат Клеро, она имела последствие исключитель-ной важности. На ее основе в 1755 г. Майер (1723 { 1762) составилтаблицы движения Луны невиданной точности. Они дали спо-соб измерять долготу на борту корабля, конкурентоспособный соспособом, использующим хронометр (изобретенный Харрисономв 1735 г.). Признанием заслуг Майера в решении давно стоявшейпрактической задачи (см. главу о Гюйгенсе) стало присуждениеему в 1765 году (посмертно) премии английского парламента раз-мером в 3000 фунтов. Одновременно Эйлеру была присужденапремия в 300 фунтов «за теоремы, при помощи которых недавноумерший профессор Майер из Геттингена построил свои ЛунныеТаблицы, позволившие достичь большого прогресса в деле нахо-ждения долгот на море».

Много занимался Эйлер вычислением эллиптических (невоз-мущенных) орбит комет. В частности, это относится к знаме-нитой комете Лекселя 1769 г., необычайно близко подошедшей кЗемле (10 мая 1983 г. впервые за 200 лет комета подошла к Землена сравнимое расстояние).

Хотя Эйлеру не удалось построить теорию движения планет,исходящую лишь из законов Ньютона и полностью согласующу-юся с экспериментом, он верил в непоколебимость закона всемир-ного тяготения. Когда-то после неудач с объяснением неравенствв движении Луны Эйлер, как и другие его современники, поду-мывал об «уточнении» закона Ньютона. Однако дальнейшее раз-витие теории движения Луны, по словам Эйлера, показало, что«чем более строго она согласована с законом Ньютона, тем луч-ше она представляет наблюдаемые явления». Эйлер не сомневался,что то же справедливо и в отношении всей небесной механики.

262 Леонард Эйлер (1707 { 1783)

Поучительна позиция Эйлера в отношении подхода к решению за-дачи трех тел: «Я должен прежде всего заметить, что мы ничегоне выиграли бы, употребив какой угодно труд на интегриро-вание этих уравнений. С одной стороны, я сильно сомневаюсь,чтобы когда-либо был найден способ для этого; а с другой сто-роны, если бы даже посчастливилось вывести их интегралы, тоэти интегралы были бы крайне сложны и не принесли бы почтиникакой пользы для употребления в астрономии. Для этой целиих все равно пришлось бы заменять подходящими приближения-ми. Но если речь идет о приближенных выражениях, то их стольже легко получить непосредственно, из дифференциальных урав-нений».

«Письма к принцессе». Взаимоотношения ученых и монаршихособ|небезынтересный сюжет в истории науки. Мы уже имелишанс поговорить об этом. Дело не только в том, что контак-ты с сильными мира сего бывали необходимы для обеспечениясуществования ученых и их работы. Нередко они тешили се-бя надеждой, что их знания могут способствовать воспитаниюсовершенного монарха (можно вспомнить о Лейбнице и ганновер-ском курфюрсте|будущем короле Англии, Декарте и шведскойкоролеве Христине). Вряд ли Эйлер имел такие планы в отноше-нии принцессы Ангальт-Дессауской, старшей дочери маркграфаБранденбург-Шверинского, племянницы Фридриха II. Вероятно,Эйлеру было приятно заниматься с любознательной смышле-ной принцессой, да и ее отношение к ученому отличалось ототношения большинства родственников короля. Постепенно упринцессы становится все меньше времени для занятий, и Эйлеррешает заполнить пробелы в уроках письмами: «Мои намере-ния продолжать с Вами занятия геометрией встречают новыепрепятствия, это составляет для меня истинное горе, но я хочувосполнить пропуски своими письмами, насколько это возможнопо сущности предмета». Эйлера увлекает возможность систе-матически изложить свои глобальные взгляды на мироздание,жизнь, религию. Постепенно письма к принцессе ориентируютсяна дальнейшую публикацию. В 1768 { 1774 гг. выходят три тома

Леонард Эйлер (1707 { 1783) 263

«Писем о разных физических и философских материях, писаныхк некоторой немецкой принцессе».

Письма энциклопедичны, создается впечатление, что Эйлерстремится рассказать все, что успел продумать. Некоторое пред-ставление о широте обсуждаемых вопросов дает перечень тем, скоторых начинается первый том: понятие притяжения, скоростьзвука и музыка, свет, зрение и строение глаза, закон всемирноготяготения, морские приливы и отливы, монадология Вольфа, «оботношении души к телу», «о явлениях естественных», «о лучшемиз миров и происхождении всех зол», «о состоянии души послесмерти», «об идеалистах, эгоистах и материалистах», «о совер-шенстве языка», «о силлогизме», «о нравственных и физическихстраданиях», «о назначении человека», «обращение грешников», «очудесах человеческого голоса» и т. д.

Большинство ученых не приняли философские тексты Эй-лера, хотя многие отмечали достоинство страниц, относящихсяк популярному изложению научных знаний. БлагожелательныйКондорсе писал: «этот труд представляет нечто весьма ценноепо той ясности, с которой в нем изложено все самое главное иважное из области астрономии, оптики и теории звука. Что ка-сается тех мыслей Эйлера, которые относятся к философии, онискорее остроумны, чем глубоки». Эйлер воспользовался страни-цами «Писем» для борьбы против свободомыслия в науке, противматериализма. Он высмеивает «односторонних химиков, анато-мов, физиков, которые все ушли в свои опыты. Сколько бы им ниговорили о свойствах и существе души, они соглашаются толькос тем, что поражает их внешние чувства». Все это, вместе с раз-мышлениями Эйлера о религии, вызвало резкие отзывы Лагран-жа и Даламбера. 2 декабря 1768 г. Лагранж писал Даламберу:«Имеется одно сочинение, которого он не должен был бы публи-ковать ради своей чести: это

"Письма к немецкой принцессе\ ».

А 15 июля 1769 года он писал, что «Письма», возможно, позабавятДаламбера выходками против вольнодумцев. В ответ Даламберсравнивает «Письма» с ньютоновскими комментариями к Апока-липсису и пишет: «Наш друг | великий аналитик, но довольноплохой философ»; в письме от 7 августа: «Вы имели полное осно-

264 Леонард Эйлер (1707 { 1783)

вание говорить, что, дорожа своей честью, он не должен былпечатать это произведение. Это просто невероятно, как такойвеликий гений, каким он является в геометрии и анализе, можетбыть в метафизике ниже самого маленького школяра, чтобы несказать таким плоским и абсурдным, и вот действительно под-ходящий случай воскликнуть: не все богами даровано одному».

А публике «Письма» понравились! Об этом свидетельству-ет, что только в XVIII веке они выдержали четыре изданияна русском языке (первоначально они были напечатаны по-французски). Это контрастирует с тем, как туго расходились на-учные труды Эйлера (в письме к конференц-секретарю Миллеруиз Берлина Эйлер пишет, что из 500 экземпляров «Дифференци-ального исчисления» разошлось лишь 100; на «Теорию движениятвердого тела» с трудом нашли 12 подписчиков). Уже в нашидни В. И. Вернадский писал, что перед «Письмами к принцессе»«останавливаешься в восхищении перед широтой и обдуманно-стью в единое, которое бьет ключом из этого произведения егодосугов, не менее характерного для XVIII века, чем какие-нибудьсоздания тогдашнего искусства или музыки».

Популяризаторское искусство, проявившееся на лучших стра-ницах «Писем к принцессе», было одним из проявлений выдающе-гося педагогического мастерства Эйлера. Другим его проявлени-ем является продуманность вводимых понятий и современностьобозначений (от Эйлера идут обозначения тригонометрическихфункций; он впервые рассматривал значения последних за пре-делами [0; 2�] и т. д.). Много сил ученый отдавал воспитаниюсвоих учеников, которые постоянно жили в его доме. Текстыего сочинений были ориентированы не только на сообщение егорезультатов, но и на демонстрацию его искусства: «Он предпо-читал обучение своих учеников тому небольшому удовольствию,которое он бы получил, изумляя их. Он думал, что недостаточносделал бы для науки, если бы не прибавил к открытиям, которы-ми он обогатил науку, чистосердечного изложения идей, привед-ших его к этим открытиям» (Кондорсе). Отсюда и готовностьпубликовать недоказанные результаты с мотивировкой их прав-доподобия, и даже неточные, но поучительные вычисления. Вот

Леонард Эйлер (1707 { 1783) 265

как он ответил критику, обнаружившему пробелы в его работепо диоптрике: «Вы заблуждаетесь, мой дорогой, если думаете,что эта работа потому бесполезна. Наоборот, она очень ценная,ибо содержит расчеты, которые независимо от объекта самогопо себе, по своему ходу и приложению, могут служить образцом;короче говоря, это все-таки расчеты нового вида, а это весьмане бесполезно».

Заключительные замечания.Мы не имели возможностикоснуться многих сторон де-ятельности Эйлера: оптики,картографии, баллистики, те-ории корабля и т. д. Мы хо-тим еще раз подчеркнуть, чтов богатом наследии Эйлераматематика занимает особоеместо, а в своих математиче-ских работах он был преждевсего аналитиком. По рабо-там Эйлера учились великиематематики XIX века. «Читай-те Эйлера | это наш общийучитель», | говорил Лаплас.По словам Гаусса, «изучениеработ Эйлера остается наи-лучшей школой в различныхобластях математики, и ничто другое не может это заменить».Никто всерьез никогда не оспаривал репутацию Эйлера как ве-ликого математика. Однако в последующих оценках сказалосьто, что Эйлер многие трудные проблемы не доводил до оконча-тельного решения. Если не оценивать его деятельность в целом,а лишь по законченным большим результатам, то он уступа-ет другим великим ученым. Скажем, сделав многое в небесноймеханике, он не оставил результатов, подобных объяснениюбыстрого движения перигелия лунной орбиты или вычислению

266 Леонард Эйлер (1707 { 1783)

возмущенной орбиты кометы Галлея с предсказанием ее следую-щего возвращения, полученных Клеро. В арифметике Лежандр иГаусс нашли трудные доказательства существования первообраз-ных корней и квадратичного закона взаимности, высказанныхЭйлером.

В 1842 г. Якоби в письме к П. И. Фуссу отмечает важноесвойство математического наследия Эйлера: «В последнее вре-мя я вновь основательно изучал интегральное исчисление Эйлераи опять удивлялся, какой свежей сохранилась эта семидесяти-летняя книга, в то время как современную ей книгу Даламбе-ра совершенно невозможно читать. Причина, мне кажется, в егопримерах. Потому что эти примеры имеют не просто побочноезначение иллюстраций, они составляют все содержание, котороеимели в то время общие предложения». Эйлера упорно сравнивалис Даламбером при жизни; Якоби продолжает делать это после ихсмерти. В мае 1841 г. он пишет Фуссу: «Удивительно, что сейчасневозможно прочитать хоть строчку, оставленную Даламбером,в то время как лучшие работы Эйлера еще читают с восхищени-ем, а умерли они в один и тот же год. Кажется, что Даламберистощил все свое изящество в беллетристике». Вкусы у Якоби иФридриха II не совпадали, но к Даламберу Якоби определеннонесправедлив.

Эйлера ценили прежде всего те, кто изучал его труды, а неоценивал наследие по вершинам, кто учился у него и пользовалсяего провидческими идеями.

В заключение приведем один курьез, который, впрочем, боль-ше характеризует особенности академической «демократии» вРоссии, чем заслуги Эйлера. В последние годы XIX столетия пе-тербургские ученые загодя думали о праздновании предстоящегов 1907 году 200-летия великого ученого. 6 февраля 1899 г. наобщем собрании академии обсуждалось предложение отделенияфизико-математических наук о сооружении по международнойподписке памятника Эйлеру в Петербурге. Против этого предло-жения решительно выступил академик (по математике) Н.Я.Со-нин (1849 { 1915). Он говорил, что труды Эйлера устарели, чтоего значительно превзошли Лагранж и Гаусс, что «следы деятель-

Леонард Эйлер (1707 { 1783) 267

ности Эйлера практически заметены». В общем, памятники сле-дует ставить великим ученым, а Эйлер является разве что выдаю-щимся, а потому для него вполне достаточно бюста в конференц-зале, который и был уже установлен вскоре после смерти уче-ного. Было еще мнение, что непонятно, почему памятник надонепременно устанавливать в Петербурге, а не в Базеле, где Эй-лер родился, или в Берлине, где он работал почти так же долго,как в Петербурге. Вопрос был поставлен на голосование. Голо-са разделились поровну, а это, согласно академическому уставу,означало, что в памятнике Эйлеру отказано. Демократия побе-дила!

Сегодня в Петербурге имеется Математический институтимени Эйлера, но памятника пока нет.

ЖОЗЕФ ЛУИ ЛАГРАНЖ

Я занимаюсь геометрией спокойно и в тишине. А так как ме-ня никто и ничто не торопит, то я работаю больше для моегоудовольствия, нежели по должности; я похож на вельмож |охотников строиться: я строю, ломаю, перестраиваю до техпор, пока не выйдет что-нибудь такое, чем я останусь дово-лен. Лагранж

Письмо из Турина. В августе 1755 г. великий Эйлер (1707 { 1783)получил из Турина письмо от 19-летнего Лагранжа, который ипрежде писал ему. У Эйлера, несомненно, уже успело сложить-ся мнение, что его корреспондент является талантливым зрелымматематиком, несмотря на его молодость. И все же содержаниепоследнего письма поразило ученого.

С конца XVII века внимание математиков все более привлека-ли задачи, которые сейчас принято называть вариационными, атогда обычно называли изопериметрическими. Все началось с по-ставленной Иоганном Бернулли (1664 { 1748) задачи о брахисто-хроне| кривой наибыстрейшего спуска между двумя точками.Впрочем, задачи о кривых, обладающих теми или иными свой-ствами максимума-минимума, возникали и раньше: окружностьпри заданной длине ограничивает фигуру наибольшей площади(изопериметрическое свойство, отсюда и название класса задач),прямая | кратчайшее расстояние между точками и т. д. Числотаких задач росло, математики с удовольствием решали их, под-бирая свой «ключ с секретом» к каждой из них.

Однако стиль эпохи расцвета дифференциального и инте-грального исчисления требовал попытаться найти общий метод,развить исчисление для решения изопериметрических задач. За-мечательные математики, которые занимались этими задачами,

268

Жозеф Луи Лагранж (1736 { 1813) 269

Жозеф Луи Лагранж

интуитивно ощущали общие мо-менты в их решении. Многое сде-лал Якоб Бернулли (1654 { 1705).И все же картина оставалась до-статочно пестрой и для созданияобщего метода предстояло многопоработать.

Эйлеру было в точности19 лет, когда его учитель И. Бер-нулли поставил ему задачу обрахистохроне в среде с сопроти-влением. Потом еще добавиласьзадача о кратчайших («геодези-ческих») линиях на поверхностях.Вариационные задачи постоян-но в поле зрения у Эйлера, ик 1732 г. у него выкристалли-зовался общий метод решения

таких задач. Еще 12 лет ушло на совершенствование метода,и в 1744 г. выходит итоговый мемуар о решении «изопери-метрических задач в самом широком смысле». Метод иллю-стрируется на решении более 60 самых разнообразных задач.

Сегодня мы ясно понимаем, в чем была трудность в решениивариационных задач: в некотором смысле они были преждевре-менны в анализе XVIII века. В то время аналитики занимались восновном функциями от одного переменного, в меньшей степенифункциями от нескольких переменных. Однако кривые, фигури-рующие в вариационных задачах, не характеризуются конечнымнабором параметров. Фактически эти задачи имеют дело с функ-циями от бесконечного числа переменных, а это уже вотчинаанализа XX века (функционального анализа).

Основное наблюдение Эйлера состояло в том, что кривые,являющиеся решениями изопериметрических задач, отвечают ре-шениям некоторых дифференциальных уравнений. В выводе этихуравнений Эйлер и видит основную задачу. Он действует оченьосторожно, чтобы остаться в рамках привычного анализа: за-

270 Жозеф Луи Лагранж (1736 { 1813)

меняет кривые ломаными (ведь они зависят от конечного числапараметров, характеризующих вершины) и следит за изменени-ем фигурирующей в задаче величины при изменении только од-ной вершины. Искомое дифференциальное уравнение получает-ся, но путь к нему достаточно тернист. Как напишет Деламбр(1749 { 1822; не путать с Даламбером!), верный друг и биографЛагранжа, этот метод «не обладал всей той простотой, котораяжелательна в вопросе чистого анализа».

Эти слова, вероятно, отражают мнение Лагранжа. С реши-тельностью, присущей молодости, он отваживается провестиполностью схему, разработанную для функций, когда рассма-тривается главная линейная часть df приращения функции f(x),отвечающая приращению dx аргумента x, и ищутся x, в ко-торых df(x) = 0. Он рассматривает функции от кривых |функционалы (разумеется, специального вида) I(l), не пугаясь,что фактически это функции от бесконечного числа переменных;для фиксированной кривой l рассматривает произвольное малое«возмущение» �l, определяет главную часть соответствующегоприращения функционала | �I и для определения кривых, накоторых �I = 0, получает дифференциальное уравнение, к ко-торому Эйлер шел кружным путем, и которое ныне называетсяуравнением Эйлера{Лагранжа. Заметим, что Лагранж преду-смотрительно вводит новое обозначение �, которое похоже наобозначение дифференциала d, но отличается от него. Удачновведенное обозначение очень помогало делу.

Короткой информации Эйлеру было достаточно, чтобы оце-нить все преимущества усовершенствований Лагранжа. Начина-ется оживленная переписка, высокая оценка великого ученогоокрылила начинающего математика. В письмах обсуждаются всеусложняющиеся постановки задач: ведь сила нового метода долж-на быть продемонстрирована на решении новых задач, недоступ-ных старой технике. Письмо Лагранжа возродило и у самогоЭйлера интерес к экстремальным задачам. Уже в 1756 г. он дела-ет в Берлинской академии два сообщения, связанные с методомЛагранжа. В том же году Лагранж по представлению Эйлерабыл избран иностранным членом этой академии| редкая честь


для молодого ученого, который еще не успел опубликовать своихтрудов (впрочем, в то время такому избранию придавали меньшезначения, чем в наши дни).

Эйлер не спешит публиковать свои новые результаты, пре-доставляя своему молодому коллеге не торопясь подготовить кпечати свою работу. Он разъясняет свою позицию в письме от10 октября 1759 г.: «Твое аналитическое решение изопериметри-ческой проблемы содержит, насколько я вижу, все, чего толькоможно желать в этой области, и я чрезвычайно рад, что этатеория, которой после первых моих попыток я занимался едвали не один, доведена тобой до величайшего совершенства. Важ-ность вопроса побудила меня к тому, что я с помощью твоегоосвещения сам вывел аналитическое решение. Я, однако, решилскрывать это, пока ты не опубликуешь свои результаты, так какя никоим образом не хочу отнимать у тебя часть заслуженнойтобой славы». Замечательный пример научной этики!

Письмо Эйлера добавило решимости Лагранжу опубликоватьсделанное, и во II томе «Туринских записок» за 1761 { 1762 гг.появляется его мемуар «Опыт нового метода для определениямаксимумов и минимумов неопределенных интегральных фор-мул». В 1764 г. публикует свои результаты и Эйлер, предваряяпубликацию словами: «После того как я долго и бесплодно тру-дился над решением этого вопроса, я с удивлением увидал, что в

"Туринских записках\ задача эта решена столь же легко, как исчастливо. Это прекрасное открытие вызвало у меня тем большеевосхищение, что оно значительно отличается от данных мноюметодов и значительно их превосходит по простоте». Несколь-ко удивляет, что Эйлер не упоминает предшествовавшей пере-писки. Эйлер предлагает называть новый метод «вариационнымисчислением» по аналогии с дифференциальным исчислением (�Iназывается вариацией).

Таким был научный дебют Лагранжа. В одном отношении онуникален. Известны и другие примеры, когда великие матема-тики получали первые крупные результаты в том же возрасте,что и Лагранж. Однако при этом речь шла обычно о решенииконкретных задач. Интерес же к совершенствованию метода как


такового приходит с годами. Мы же видим, что уже в первойработе Лагранжа проявилось то, что будет всегда отличать егов дальнейшем: полное прояснение ситуации, совершенствованиеметода, поиск первопричины ценятся выше конкретных задач.

Джузеппе Луиджи. Мы рассказали о первой великой работе Ла-гранжа, но все же стоит сказать несколько слов о более раннихсобытиях его жизни. Жозеф Луи Лагранж родился 25 января1736 г. в Турине, в Италии. Впрочем, на родине его называлиДжузеппе Луиджи. Его прадед приехал из Франции и поступилна службу к герцогу Савойскому, а дед и отец продолжали слу-жить в должности казначея фабрик и строений. К рождениюбудущего математика семья разорилась. «Если бы я был богат,я, вероятно, не достиг бы моего положения в математике; а вкакой другой деятельности я добился бы тех же успехов?»| го-ворил впоследствии ученый. Впрочем, поначалу семейные планыпредназначалиЖозефу Луи карьеру адвоката, и в 14 лет он опре-деляется в Туринский университет. Однако вскоре он перешел вАртиллерийскую школу, что было связано с усилившимся инте-ресом к математике. В 19 лет он|профессор математики в этойшколе (по некоторым сведениям, еще раньше).

Первые попытки открыть новое в математике привели Ла-гранжа к открытию уже известного. Контакты с исключительнооригинальным итальянским математиком графом ди Фаньяно(1682 { 1766) помогли юноше понять, что серьезное изучение со-временной математики должно предшествовать самостоятельнойработе. И мы видели, что первые результаты Лагранжа|это несчастливая находка юного дилетанта, а результат напряженнойработы сложившегося профессионала. Умение всесторонне и кри-тически осмысливать и перерабатывать предшествующий опытотличало научную деятельность Лагранжа с первых его шагов.

Вокруг Лагранжа сложился кружок молодых математиков ифизиков, который позднее преобразовался в Туринскую акаде-мию наук. С 1759 г. начинают выходить «Философско-математи-ческие сборники частного Туринского научного общества», ко-торые привыкли называть просто «Туринскими записками». Мы


уже говорили, что во II томе записок появился мемуар Лагран-жа о вариационном исчислении, а I том содержал две его ра-боты, в том числе статью «Исследование о природе распростра-нения звука». В математическом плане здесь очень поучитель-ны комментарии к задаче о колебании струны. В 1747 { 48 гг.эта задача была рассмотрена тремя крупнейшими математика-ми того времени Даламбером (1707 { 1783), Эйлером и Дании-лом Бернулли (1700 { 1782). Между их толкованиями были суще-ственные расхождения. Даламбер, первым решивший уравнениеструны, считал, что начальное положение должно описыватьсяфункцией с единым аналитическим выражением (еще не былоясно, что это значит). Эйлер же настаивал, что эта функцияможет быть совершенно произвольной (как бы мы сказали, не-прерывной), и это был первый случай, когда в анализе появилисьфункции общего вида, задаваемые графиками, а не аналитиче-скими выражениями. Наконец, Бернулли рассматривал гармони-ческие колебания с разными частотами и утверждал, что про-извольное колебание разлагается в бесконечную суперпозициюгармонических колебаний, во что не верили ни Даламбер, ни Эй-лер.

Лагранж придумывает остроумный прием, рассматривая струнупостоянной плотности как предел невесомых струн с равномерно рас-пределенными одинаковыми грузами в конечном числе. Вопрос о коле-баниях такой струны с грузиками рассматривается элементарно. Делаяпредельный переход, Лагранж подтверждает мнение Эйлера. Позднее,повторяя это рассуждение в «Аналитической механике», он вспоминал:«Этим именно путем я в первом томе

"Туринских записок\ доказал

правильность построения Эйлера, которое не было достаточно обосно-вано». Вскоре Лагранж имел еще одну возможность убедиться в том,насколько прав был Эйлер, настаивая на необходимости пользоваться ванализе общими (неаналитическими) функциями: при изучении движе-ния воздуха в трубах постоянного сечения возникали кривые, которыев некоторой точке превращаются в прямые («смешанные» функции, потерминологии Эйлера). Те же рассмотрения с предельным переходомубедили Лагранжа в правоте Бернулли; он был близок к доказатель-ству возможности разложить произвольную функцию по гармоникам (вряд Фурье), но точного доказательства пришлось ждать еще сорок лет.


Мы уже видели, какое одобрение у Эйлера получили первыеработы Лагранжа. Работа о струне заставила обратить на неговнимание другого из его великих современников | Даламбера:«До свидания, сударь, Вы достойны, если я не ошибаюсь, игратьвеликую роль в науках, и я аплодирую началу Вашего успеха».Как скажет Деламбр, «среди этих знаменитейших геометров вне-запно выступает двадцатитрехлетний молодой человек, при томне только как им равный, но как арбитр между ними, который,чтобы прекратить трудную борьбу, указывает каждому из них, вчем он прав и в чем он ошибается, исправляет эти ошибки и даетистинное решение, которое хотя и было предугадано, но не мог-ло быть получено». Это наблюдение точно передает стиль статьиЛагранжа, а письма к нему Эйлера и Даламбера в самом делеотражают готовность воспринимать Лагранжа как арбитра.

Основания статики. Лагранж был душой Туринского кружка.Опубликованные в «Туринских записках» статьи его товарищейнесут отчетливый след сильного влияния Лагранжа. Особенноэто относится к статье Фонсене, который был, по-видимому,лишь соучастником предпринятого Лагранжем систематическо-го продумывания основ механики. Потом с сюжета этой статьиначнется его знаменитая «Аналитическая механика», и он оченьвыразительно демонстрирует, как основательно Лагранж взялсяза дело.

Речь идет о сопоставлении двух важнейших начал статики: прин-ципа рычага и принципа сложения сил, приложенных к одной точке.Архимед положил в основу этой теории рычага аксиому о равновесиирычага с равными плечами и грузами и о двойной нагрузке на точкуопоры в этой ситуации. Многие авторы пытались уточнить и допол-нить рассуждения Архимеда, но они, по словам Лагранжа, «нарушивпростоту, 〈: : :〉 почти ничего не выиграли с точки зрения точности».Лагранж отмечает, что первую часть аксиомы естественно считатьочевидной из соображений симметрии: «нельзя усмотреть основания, всилу которого один груз перетянул бы другой». Он, однако, не видитникаких логических оснований к тому, что нагрузка на точку опорыпри этом должна быть равна обязательно сумме весов грузов: «по-видимому, все механики рассматривали это допущение как результатповседневного наблюдения, которое учит нас, что тяжесть тела зави-


сит только от его массы, но ни в какой мере не зависит от его формы».Лагранж предлагает вывод второй половины аксиомы Архимеда из пер-вой. Он рассматривает однородную треугольную пластину ABC, где

A B

C

M N

E

F

Рис. 31.

основание AB равнобедренного треугольника го-ризонтально. Вершины A, B нагружаются равны-ми грузами P , а вершина C|грузом 2P . Пласти-на опирается на среднюю линию MN , параллель-ную AB (рис. 31). Она будет находиться в рав-новесии, что следует из рассмотрения пары рыча-гов AC, CB с точками опоры M , N в силу первойчасти аксиомы Архимеда. Но тогда в равновесиибудет и рычаг CF , где F | середина AB, точ-ка опоры E | середина CF (в ней пересекаютсяMN и CF ). Значит, нагрузка в точке F должнабыть равна грузу 2P в точке C (строго говоря,здесь применяется обращение первой части акси-омы Архимеда, которое легко выводится), а это вточности нагрузка на точку опоры в рычаге AB. Лагранж аккурат-но отмечает, что прием с рассмотрением равновесия плоской пластиныотносительно стержня он почерпнул у Гюйгенса.

Далее, Лагранж рассматривает принцип сложения сил, приложен-ных к одной точке, который легко обосновывается при помощи рассмо-трения сложения движений. Существенная разница в принципах состо-ит в том, что в одном случае силы прикладываются к разным точкам, ав другом|к одной. Тем не менее многие утверждения статики можновыводить как из одного принципа, так и из другого. Возникает жела-ние вообще отказаться от принятия принципа рычага за аксиому, ноЛагранжа настораживает, что все известные выводы аксиомы Архиме-да из закона сложения сил весьма искусственные: «Хотя, строго говоря,оба принципа рычага и сложения движений всегда приводят к одними тем же результатам, интересно отметить, что наиболее простой слу-чай для одного из этих принципов становится наиболее сложным длядругого».

Интуиция позволила Лагранжу безошибочно обнаружить тонкоеместо, хотя он и не смог до конца объяснить его. Оно связано с взаи-моотношением механики и геометрии. Дело в том, что закон сложениясил, приложенных к одной точке, не зависит от аксиомы параллельных,в то время как в пространстве Лобачевского нагрузка на точку опорырычага всегда превышает сумму весов приложенных грузов. В выводевторой половины аксиомы Архимеда используется утверждение о том,


что высота равнобедренного треугольника пересекается со средней ли-нией в ее середине, что опирается на аксиому параллельных и невернов геометрии Лобачевского. По-видимому, Лагранж еще не знал этого,хотя известно, что он размышлял над проблемой пятого постулата.

Принцип наименьшего действия. Во II томе «Туринских записок»вслед за мемуаром о вариационном исчислении была помеще-на статья Лагранжа «Приложение метода, изложенного в пре-дыдущем мемуаре, для решения различных задач динамики».И здесь Лагранж следует по стопам Эйлера. В 1744 г. Мопертюи(1698 { 1759) сформулировал очень общий и туманный принцип,согласно которому все в природе, включая механическое движе-ние, происходит так, чтобы некоторая величина | действие |достигала своего минимального значения. Эйлер для случая дви-жения точки в центральном поле превратил это неопределенноеутверждение в совершенно точное, определив действие в этомслучае как интеграл скорости по пути

∫v ds. Лагранж обобщил

принцип Эйлера на случай произвольной системы точек, междукоторыми имеются связи и которые взаимодействуют произ-вольным образом. Определив действие в этой общей ситуации,Лагранж, пользуясь разработанной им техникой вариационногоисчисления, решает разнообразные задачи динамики, включаягидродинамику. У него нет сомнений, что при помощи этогопринципа можно построить все здание механики. В «Аналити-ческой механике» он напишет: «Таков тот принцип, которому,хоть и не вполне точно, я даю название принцип наименьшегодействия и на который я смотрю не как на метафизическийпринцип, а как на простой и общий вывод законов механики. Вовтором томе

"Туринских записок\ можно увидеть применение,

которое я дал ему для разрешения многих трудных проблем ме-ханики. Это принцип, будучи соединен с принципом живых сили развит по правилам вариационного исчисления, даст тотчасже все уравнения, необходимые для решения каждой проблемы».

Как напишет Фурье (1768 | 1830), «Он сводит все законыравновесия и движения к одному принципу и, что не менее уди-вительно, он их подчиняет одному методу исчисления, изобрета-телем которого он сам является».


Первые астрономические работы. Мы видим, что деятельностьЛагранжа начала развиваться в рамках традиционных для мате-матики XVIII века вопросов, проблематики, находившейся в сфе-ре интересов его старших современников Эйлера и Даламбера.Логика эпохи неминуемо должна была привести его к необходи-мости попробовать свои силы в небесной механике. Не было болееживотрепещущей проблемы, чем проблема согласования наблю-даемого движения небесных тел с законом всемирного тяготения.Было необходимо выяснить, с одной стороны, объяснимы ли врамках этого закона несомненные отклонения от законов Кепле-ра, как тогда говорили, «неравенства», с другой стороны| чемвызваны различные дополнительные закономерности в небесноймеханике. Например, почему мы наблюдаем только одну сторонуЛуны? Объяснение этого феномена Парижская Академия науквыбирает в качестве темы для своей премии за 1764 г.

Надо сказать, что темы для академических премий в Парижевыбирались с большим вкусом, а получение такой премии мате-матиком, особенно молодым, было очень престижным. РаботаЛагранжа удостаивается первой премии и восторженного отзы-ва Даламбера: «Я прочел с большим удовольствием плоды Вашихпрекрасных работ о либрации, они достойны премии, которуюВам вручат».

Собственно законы движения Луны были очень точно выведены изнаблюдений Кассини (1626 { 1712): ось вращения Луны неподвижна от-носительно поверхности, период вращения и период обращения вокругЗемли совпадают, ось вращения имеет постоянный угол с плоскостьюэклиптики (земной орбиты) и, наконец, оси вращения Луны, эклиптикии лунной орбиты находятся в одной плоскости. Лагранж показывает,что из-за того, что поверхность Луны отклоняется от сферической,притяжение Земли постепенно выравнивает периоды собственного вра-щения Луны и вращения вокруг Земли. Лагранж близко подходит кобъяснению последнего закона Кассини, что не удавалось прежде Да-ламберу, но ошибается в оценках. Лишь в 1780 г. ему окончательноудается обосновать теорию Кассини.

Объяснение неравенств в движении спутников Юпитера вы-бирается в качестве темы Парижской Академии наук за 1766 г.Решение аналогичных вопросов для Луны принесло в свое время


славу Клеро (1713 { 1768) и Даламберу. В случае спутников Юпи-тера возникают дополнительные сложности, в частности, из-затого, что спутников несколько, а также из-за близости Сатурна.Эйлер удивлялся, что Лагранж смог справиться с этой задачейв работе, получившей премию: «Иррациональная формула, вы-ражающая расстояние от Юпитера до Сатурна, не может бытьпредставлена достаточно сходящимся рядом, и в этом состоитосновное препятствие. Я сильно сомневаюсь, чтобы его можнобыло преодолеть 〈: : :〉 Сейчас мне тем более интересно знать,каким образом г-н Лагранж преодолел те же трудности в сво-ей работе, получившей премию, и так как я не имею основанийсомневаться в успешности его решений, то можно льстить себянадеждой, что теоретическая астрономия в настоящее время до-ведена до наивысшей степени совершенства». Когда через 24 годаЛаплас (1749 { 1827) вернулся к проблеме спутников Юпитера,чтобы закончить начатое Лагранжем, он с восхищением говорило результатах своего предшественника, полученных при помощи«возвышенного (sublime) анализа».

Посещение Парижа. В 1766 г. Лагранжу исполнилось 30 лет. Этобыл важный рубеж в его жизни. Провинциальный Турин ста-новился тесен для научной деятельности Лагранжа. В личнойжизни он был непритязателен, отличался слабым здоровьем, егоскромность в общении с людьми нередко приобретала форму за-стенчивости и даже нелюдимости. Но общение с коллегами онумел ценить и использовать. Поначалу его удовлетворяли кон-такты с товарищами по туринскому кружку, в работу которыхон вкладывал много сил и души, но этих своих коллег он давноперерос. Не было у него систематических контактов с Фаньяно,который был стар, а в 1766 г. умер. Он вел обширную перепис-ку, но как много дает непосредственное общение с учеными, Ла-гранж имел возможность убедиться во время поездки в Парижв 1755 г. Лагранж сопровождал своего друга Карачиоли, назна-ченного посланником в Лондон. Впрочем, до Лондона Лагранж недоехал. «Опасно заболев после обеда у аббата Нолле, на которомНолле угощал его кушаньями, приготовленными на итальянский


лад, Лагранж не мог поехать в Лондон, а остался для леченияв Париже и по выздоровлении поспешил вернуться в Турин», |вспоминал Деламбр.

Дело было в том, что в северной Италии для приготовленияпищи используют касторовое масло, предварительно сильно про-жаренное. На кухне у Нолле, где решили приготовить обед «наитальянский лад», воспользовались касторовым маслом без необ-ходимой подготовки, и оно в полной мере проявило свои извест-ные лекарственные свойства. Однако в научном плане болезньбыла плодотворной. Лагранж много общается с крупнейшимифранцузскими математиками Даламбером (1717 { 1783), Клеро,Кондорсе (1743 { 1794), но и среди менее знаменитых ученых бы-ли такие, которые остались его друзьями на всю жизнь. Лагранжнеоднократно повторял, что эти полгода, проведенные в Париже,были самым счастливым периодом в его жизни.

В 1766 г. Эйлер уезжает из Берлина в Петербург, освобо-див место директора физико-математического класса Берлин-ской академии наук. Он предлагает Фридриху II в качестве сво-его преемника Лагранжа. Эта кандидатура была энергично под-держана Даламбером, с мнением которого король считался в ещебольшей степени. Лагранжу было послано приглашение с вырази-тельной мотивировкой: «необходимо, чтобы величайший геометрЕвропы проживал вблизи величайшего из королей». Быть может,в отношении себя Фридрих был прав, но вряд ли при живых иработающих Эйлере и Даламбере Лагранж воспринимался каквеличайший геометр Европы. Вероятно, король несколько успо-каивал свое уязвленное самолюбие, поскольку он не смог запо-лучить в свою академию Даламбера и должен был расстаться сЭйлером.

И все же несомненно, что к своему тридцатилетию Лагранжбыл допущен на математический Олимп. Он уже сложился какматематик; основы всего, что он будет делать, были заложены,стал ясен стиль его занятий, его сильные и слабые стороны. Ла-гранж начал свою математическую жизнь как ученик Эйлера иДаламбера в самом высоком смысле этого слова. Он продолжалразрабатывать начатые ими проблемы, находить в них новые


ракурсы, неведомые его учителям. Их восхищение было тому сви-детельством. Своеобразно преломилось у Лагранжа творчествоего учителей: он усваивает постановки задач, почти угаданныегениальной интуицией Эйлера, разрабатывает их до полной яс-ности, оттачивая необходимые понятия и технические средства,что было скорее характерно для Даламбера. И в дальнейшем си-ла Лагранжа будет прежде всего не в открытии новых путей,но в поразительной способности углубить, прояснить, дополнитьединственно нужными штрихами картину, которую до него пы-тались нарисовать другие. И никакие трудности на этом путиЛагранжу не были страшны.

Лагранж в Берлине. Том «Туринских записок» за 1766 { 69 гг. ещесодержит работу Лагранжа, восхитившую Эйлера: он сделал со-вершенно ясной природу некогда угаданной Эйлером формулыдля сложения эллиптических интегралов. И, как было уже од-нажды, Эйлер с энтузиазмом возвращается к уже оставленно-му сюжету. А уже в ноябре 1766 г. Лагранж в Берлине, хотякороль Сардинии неохотно расстался с ученым. Лагранж ока-зался в Академии не в лучшие ее дни. Здесь не было ни Эйле-ра, ни Даламбера, ни Мопертюи. Однако здесь работал оченьоригинальный математик Ламберт (1728 { 1777), доказавший вчастности, иррациональность числа �. У Лагранжа и Ламбертамного точек соприкосновения в математике, чем-то они напо-минают друг друга и по-человечески. Их дружба продолжаласьдесять лет до смерти Ламберта и была очень существенна дляних обоих. Нелегко было замкнутому Лагранжу приспособить-ся к жизни прусского двора. Но он, в отличие от Эйлера, смогэто сделать и избежать конфликтов. Лагранж ведет размерен-ную жизнь: внешние обязанности, встречи, переписка занимаютбольшую часть дня, но весь вечер после обязательной прогул-ки отдан занятиям наукой в тишине, за закрытыми дверями.Лагранж женился и в связи с этим произошел обмен письма-ми с Даламбером. Даламбер: «Я узнал, что Вы сделали опасныйскачок. Великий геометр должен прежде всего вычислить своесчастье. Я думаю, что результатом вычисления не было бы су-


пружество». Лагранж: «Я не знаю, хорошо ли, худо ли я вычи-слил, или лучше|я совсем не вычислял, потому что я поступилбы как Лейбниц, который не мог решиться на женитьбу. При-знаюсь, что я никогда не имел склонности к супружеству 〈: : :〉надо было сделать добро одной из моих родственниц; надо бы-ло, чтобы кто-нибудь имел попечение обо мне и моих делах». Новышло так, что Лагранжу вскоре пришлось ухаживать за же-ной, умиравшей от туберкулеза, и он безупречно выполнял свойдолг.

«Аналитическая механика». Лагранж провел в Берлине чуть боль-ше двадцати лет. Это была пора его зрелости, самый продук-тивный период его жизни. Есть несколько великих ученых, внаследии которых есть одна главная книга («Начала» у Ньюто-на, «Маятниковые часы» у Гюйгенса). У Лагранжа такой книгойбыла «Аналитическая механика». Она вышла в 1788 году, когдаЛагранж был уже в Париже. Но она вобрала в себя то главное,что было сделано в Берлине, а задумано еще в Турине.

Замысел книги лучше всего усвоить из слов самого автора:«Имеется уже несколько руководств по механике, но план этогосочинения совершенно новый. Я имел в виду привести всю тео-рию этой науки и искусство решения относящихся к ней задач кобщим формулам, простое развитие которых давало бы все необ-ходимые для решения всякой задачи уравнения. Я надеюсь, чтотот способ, которым я старался этого достигнуть, не оставитжелать ничего большего». «Это сочинение, кроме того, будет по-лезно и в другом отношении: оно объединит и представит с общейточки зрения различные до сих пор уже найденные принципы,служащие для решения вопросов механики, покажет их взаим-ную связь и зависимость и даст возможность иметь суждениеоб их верности и области их применимости.» Далее, об особен-ностях изложения: «В этом сочинении нет чертежей. Методы, внем излагаемые, не требуют ни геометрических построений, нимеханических рассуждений, для них требуются лишь алгебраиче-ские операции, подчиненные правильному и однообразному ходу.Любители анализа с удовольствием увидят, что механика стано-


вится новою его отраслью, и будут мне признательны за такоерасширение его области».

Итак, коротко говоря, Лагранж собирается показать, что чи-сто аналитических процедур достаточно для решения механиче-ских задач (чтобы подчеркнуть это, Лагранж демонстративно непользуется чертежами), что можно предложить «однообразные»(как мы бы сказали сегодня, алгоритмические) правила рассмо-трения таких задач и что имеются простые общие принципы, накоторых вся механика может быть построена. Насколько ориги-нальной была эта точка зрения? Можно вспомнить, что Эйлербыл первым, кто в своей «Механике» 1736 г. отказался от чистогеометрических рассмотрений Ньютона в пользу аналитическогометода, основанного на рассмотрении изменения координат и си-стем дифференциальных уравнений (Лагранж называет эту кни-гу «первой большой работой, в которой к учению о движении былприменен анализ»). С другой стороны, вышедшая в 1743 г. «Дина-мика» Даламбера предваряется словами: «В настоящем сочинениия поставил себе двойную цель: расширить рамки механики и сде-лать подход к этой науке гладким и ровным 〈: : :〉 Одним словом,я стремился расширить область применения принципов, сокра-щая в то же время их число». И Лагранж очень высоко оценилтрактат Даламбера: «В нем предложен прямой и общий метод, спомощью которого можно разрешить, или во всяком случае вы-разить в виде уравнений, все проблемы механики, какие толькоможно представить».

В чем же тогда новизна задуманного Лагранжем? В том, чтоон последовательно довел до конца намеченное его предшествен-никами, превратил их замечательные этюды в универсальныйрабочий аппарат. Он достаточно скромно оценивает свою про-грамму и ни в коей мере не сопоставляет себя с Ньютоном, «надолю которого выпало счастье объяснить мировую систему». Ла-гранж тщательно изучает и излагает на страницах «Аналитиче-ской механики» предшествующие работы. Исторические страни-цы являются украшением книги. Впрочем, Лагранжу ставили вупрек, что в этот обзор попали определения основных механиче-ских понятий и они оказались недостаточно проработаны.


Итак, начало своей механики Лагранж «собирает» из того, что ужесделали другие. Механика делится на статику и динамику. Мы ужеговорили о двух началах статики: принципах рычага и сложения дви-жений. К ним еще присоединяется принцип виртуальных (возможных)скоростей (его теперь чаще называют принципом виртуальных пере-мещений или виртуальных работ), который восходит к Галилею и раз-рабатывался Стевином, братьями Бернулли, Даламбером. Принцип со-стоит в том, что в условиях равновесия равна нулю работа всех силна любых бесконечно малых перемещениях, совместимых со связями,наложенными на элементы механической системы. Лагранж «лишь» за-писывает это условие в виде аналитического уравнения и стремитсядоказать не только работоспособность принципа, что уже было сдела-но другими, но прежде всего его универсальность, достаточность дляобоснования всей статики. «Получив эту общую формулу, Лагранж сискусством, едва ли не ему одному присущим и, может быть, доселенепревзойденным, развивает из этой формулы общие свойства равно-весия сил и дает решение главнейших задач статики» (А. Н. Крылов).Очень поучительно также предложенное в книге обоснование принципапри помощи рассмотрения системы блоков.

Переходя к динамике, Лагранж эксплуатирует идею Даламбера осведении динамики к статике. В несколько ином варианте ее на кон-кретных задачах разрабатывали Герман и Эйлер. Речь идет о том,что если отделить ту часть сил, которая не направлена на движение,а уравновешивается реакциями связей (Даламбер говорил о потерян-ных побуждениях к движению), то эти силы удовлетворяют условиюна силы, под действием которых тело находится в равновесии. Исхо-дя из этого Лагранж получает из основного уравнения для статикиосновное уравнение для динамики. Это эмоциональная вершина книги.Цель дальнейшего|продемонстрировать, что из основного уравнения(одной формулы!) может быть выведена вся механика.

Реализация этой программы начинается с вывода из основногоуравнения всех «начал механики»: закона сохранения энергии, законадвижения центра тяжести, принципа площадей. Кульминация этой ча-сти| вывод принципа наименьшего действия из основного уравнения.Лагранж понимает, что, в свою очередь, его уравнение можно вывестииз принципа наименьшего действия, и, возможно, его более ранниепланы состояли в построении аналитической механики на основе этогопринципа. Сегодня именно этот способ построения наиболее распро-странен, Лагранж же предпочел начинать с основного уравнения.Возможно, здесь сыграли роль тактические соображения: современ-


ники еще не были готовы к восприятию вариационного изложениямеханики.

Следующая задача Лагранжа|научить работать с основным урав-нением. Главное | учесть связи, наложенные на точки системы. Поэтой причине удобно перейти от декартовых координат точек, на ко-торые наложены соотношения, к каким-то обобщенным координатам,которые уже могут меняться независимо. Это может быть угол откло-нения маятника или широта и долгота точки, двигающейся по сфе-ре. Лагранж показывает, что для произвольных независимых коорди-нат уравнение движения записывается через кинетическую энергию Tи потенциальную энергию U системы, причем достаточно их разно-сти L = T − U |функции Лагранжа. Эти уравнения называют теперьуравнениями Лагранжа второго рода.

Уравнения первого рода относятся к случаю, когда связи не удаетсяили нежелательно разрешать до конца, т. е. остается несколько урав-нений на координаты. Лагранж показывает, как написать уравнениядвижения через уравнения связей, причем в эти уравнения входят вели-чины, которые можно интерпретировать как силы реакции отдельныхсвязей. Так впервые появились множители Лагранжа, вероятно, самыйпопулярный элемент его математического наследия (мы еще поговоримо них ниже).

Основная часть книги посвящена реализации разработанной схе-мы для ряда важных конкретных ситуаций: малые колебания, движе-ние тел под действием взаимного притяжения (в основном, небеснаямеханика), несвободные движения (в частности, маятники), движениетвердого тела.

Лагранж реалистически оценивает возможности разрабо-танной им программы. У него нет иллюзии, что редукциямеханических задач к рассмотрению дифференциальных урав-нений означает решение этих задач, поскольку «они (урав-нения | С. Г.) требуют еще интегрирований, которые зача-стую превышают возможности известного нам анализа». В свя-зи с этим он разрабатывает приближенные методы и с боль-шим вниманием относится к специальным случаям, когда ин-тегрирование может быть явно осуществлено (это очень со-звучно точке зрения современной математической физики).Под таким углом зрения он, вслед за Эйлером, рассматриваетзадачу о вращении твердого тела| «волчка».


Лагранж был целеустремлен в доказательстве возможностипревратить механику в главу анализа, вывести всю механику изпростого общего принципа. Идея дедуктивного построения меха-ники по образцу евклидовой геометрии не была новой. НедаромНьютон назвал свою книгу «Началами», а свои законы| аксио-мами. Но никто прежде не выполнял эту программу достаточ-но последовательно. Всякая последовательность сопряжена с са-моограничениями, которые кажутся курьезными по прошествиивремени, когда доказываемые предложения уже кажутся несо-мненными. В самом деле, зачем было Лагранжу совсем отказы-ваться от чертежей или во всех рассмотрениях «вести родослов-ную» от основного уравнения? Но такова логика развития науки.

Лучше других могли оценить Лагранжа те, кто продолжалего дело. Две стороны современной механики связаны с именамиЛагранжа и Гамильтона (1805 { 1865). Вот что писал Гамильтон:«Лагранж, может быть, сделал больше, чем все другие аналитики,для того, чтобы придать широту и гармонию таким дедуктив-ным исследованиям, показав, что самые разнообразные следствияотносительно движения системы тел могут быть выведены из од-ной основной формулы; красота разработанного таким образомметода, высокое качество результатов делают из этого великогопроизведения род научной поэмы».

Замечательная особенность конструкций Лагранжа заключалась втом, что они нашли применения далеко за пределами механики. Лагран-жевы уравнения появились в теории электромагнетизма. Как напишетПуанкаре, «Чтобы доказать возможность механического объясненияэлектричества, нет надобности искать это самое объяснение, достаточ-но составить лагранжевы функции T и U , представляющие обе состав-ные части энергии, по ним составить лагранжевы уравнения и сличитьзатем, согласны ли эти уравнения с законами, получаемыми экспери-ментально».

Труд Лагранжа был образцом для Максвелла (1831 { 1879) при со-здании аналитической теории электричества: «Лагранж поставил себецель свести динамику к чистому анализу. Он начинает с выраженияэлементарных динамических отношений между чисто алгебраически-ми величинами, и из полученных таким образом уравнений он выводитсвои окончательные уравнения путем чисто алгебраического процес-


са. Некоторые величины (выражающие взаимодействия между частямисистемы, поставленными в зависимость между собой физическими свя-зями) появляются в уравнениях движения составных частей систем, иисследование Лагранжа с математической точки зрения есть метод ис-ключения этих величин из конечных уравнений. Следя за постепеннымходом этих исключений, мы занимаемся вычислениями, оставляя в сто-роне динамические идеи».

Особенно эффективным средством экспансии идей Лагранжа запределы механики стал принцип наименьшего действия: «Все обрати-мые процессы, будь они по природе механического, электродинамиче-ского или термического характера, все они подчинены одному и томуже принципу, дающему однозначный ответ на все вопросы, касающи-еся хода процесса. Этот закон не есть принцип сохранения энергии,который хотя и приложим ко всем явлениям, но определяет их ход неод-нозначно; это принцип более общий|принцип наименьшего действия»(М. Планк).

Лагранж видел свое предназначение в создании универсальногоязыка механики. Ради этого он в максимальной степени абстрагиро-вался от специфики конкретных задач, столь привлекательных для еговеликих предшественников. Позднее Пуассон (1781 { 1840) писал: «Же-лательно, чтобы геометры пересмотрели основные вопросы механики сфизической точки зрения. Для того, чтобы раскрыть законы движенияи равновесия, их нужно было рассматривать с чисто отвлеченной точкизрения; и в направлении этих абстракций Лагранж пошел настолькодалеко, насколько это можно себе представить, когда он заменил фи-зические связи внутри тел уравнениями, связывающими координатыотдельных их точек; в этом и состоит сущность его аналитическоймеханики. Но наряду с этой замечательной концепцией можно было бывоздвигнуть теперь физическую механику».

Насыщать свою схему конкретным физическим содержани-ем Лагранж предоставил последующим поколениям. Разработан-ный им метод оказался прямо приспособленным к решению задачтехники, от которых он также полностью отвлекался при созда-нии аналитической механики. А. Н. Крылов перечисляет непо-средственно последовавшие применения лагранжевой механики:теория механизмов Понселе, инженерный расчет сооружений, вчастности, больших железных мостов, потребовавшихся в свя-зи с развитием железных дорог, баллистические задачи, возни-кающие с переходом от гладкоствольных к нарезным орудиям


(после Крымской войны), теория гироскопов. Он заканчивает:«В 1805 году под Трафальгаром корабли Нельсона громили с ди-станции пистолетного выстрела и сваливались на абордаж. ПодЦусимой стрельба велась на дистанцию около 7 000Í, в Ютланд-ском бою|на дистанцию от 14 000 до 18 000Í. С тех пор даль-ность боя орудий значительно увеличена, а при таких дально-стях, чтобы достигнуть меткости, необходим целый ряд сложныхгироскопических приборов|все они рассчитываются по лагран-жевым уравнениям.

Таких примеров из техники и физики можно привести неис-числимое множество, но и сказанного достаточно, чтобы видетьто значение, которое имеет знаменитое сочинение Лагранжа вобщем развитии науки и техники во всех их областях, и то, на-сколько Лагранж был прав, что, не останавливаясь на частно-стях, придал своему изложению самую общую аналитическуюформу; поэтому его методы одинаково приложимы и к расче-ту движения небесных тел, и к качаниям корабля на волнении,и к расчету гребного винта на корабле, и к расчету полета 16-дюймового снаряда, и к расчету движения электронов в атоме.Отсюда можно судить о необыкновенной гениальности создате-ля этих методов |Жозефа Луи Лагранжа». Эти строки былинаписаны в 1936 г.

Небесная механика. Среди нескольких типов механических за-дач, рассмотренных Лагранжем, несомненный приоритет имелизадачи небесной механики. Такова была система ценностей в ма-тематике XVIII века, и ни один крупный математик не мог прой-ти мимо задач, связанных с согласованием закона всемирноготяготения с результатами непосредственных астрономическихнаблюдений. Мы видели, что Лагранж начал заниматься этимизадачами еще в Турине и он энергично продолжил эти занятия вБерлине. В поле зрения Лагранжа все основные проблемы небес-ной механики. Он разрабатывает технику вычисления элементоворбит планет и комет по трем наблюдениям. И вновь характер-ная деталь: разработка метода не сопровождается ни одним кон-кретным вычислением орбиты. Лагранж видит свою роль лишь в


решении математической задачи, после чего метод передается вруки вычислителей: «Я воздержусь от всяких подробностей, но яльщу себя надеждой, что не найдется ни одного сколько-нибудьпонятливого вычислителя, который не был бы в состоянии при-менить к комете теорию, изложенную в этом труде». Создаетсявпечатление, что у Лагранжа не было вкуса к конкретным зада-чам. Метод, не опробованный на практике, разумеется, несмотряна всю его глубину, содержал слабые места. Существенная адап-тация метода к практике связана с именем Гаусса (1777 { 1855),который постоянно вычислял орбиты, причем ему приходилосьторопиться, чтобы наблюдатели успели найти потерянный асте-роид или чтобы его вычисления удалось использовать для непо-средственного наблюдения кометы. И соответствующий метод,в существенном созданный Лагранжем, связывается с именемГаусса.

Основная трудность заключалась в том, что, как выяснилось,достаточно точное описание движения небесных тел требует уче-та взаимодействия сразу нескольких тел: на движении Луны ре-ально сказывается взаимодействие не только с Землей, но и сСолнцем, в движении больших планет Сатурна и Юпитера долж-но проявляться их взаимное притяжение. Более того, сопоставляяданные наблюдения, начиная с древних времен, удалось выявитьустойчивые отклонения от законов Кеплера|«неравенства». Не-обходимо было выяснить, в самом ли деле эти «неравенства» объ-ясняются в рамках закона всемирного тяготения «вмешатель-ством» третьих тел. Пафос «Начал» Ньютона был не только втом, что он вывел законы Кеплера из закона всемирного тяготе-ния, но и в том, что ему удалось в рамках этого закона объяс-нить некоторые «неравенства» в движении Луны. Эстафету Нью-тона приняли Эйлер, Клеро, Даламбер. Объяснение неравенствоказалось делом трудным, и не раз отчаявшиеся ученые начина-ли сомневаться в универсальности закона всемирного тяготения.

Самое естественное было бы явно решить задачу трех тел:описать движение тройки тел, взаимодействующих согласно за-кону всемирного тяготения. Довольно скоро стало ясно, что, по-видимому, это сделать невозможно, но Лагранж в работе 1772 г.


максимально проясняет ситуацию. С огромным искусством онпоказывает, что исходную систему дифференциальных уравне-ний 18 порядка можно преобразовать к системе 6 порядка, новид этой системы уже не оставлял никаких надежд на дальней-ший успех. А затем он выделяет случаи, когда интегрированиеможет быть выполнено: в одном случае все три тела в начальныймомент времени находятся на прямой, в другом | в вершинахравностороннего треугольника при специальных соотношенияхна остальные параметры. Лагранж рассматривает эти уравне-ния ради чистой любознательности, но про них вспомнили, ко-гда выяснилось, что каждый из астероидов юпитеровой группыобразует вместе с Юпитером и Солнцем треугольник, близкий кравностороннему.

Следующая возможность заключалась в том, что в тройке те-ла обычно неравноправны, и естественно рассматривать парноевзаимодействие, на которое накладывается возмущение, исходя-щее от третьего тела. И Лагранж начинает систематически раз-рабатывать математическую теорию возмущений, основы кото-рой уже были заложены его великими предшественниками. Привозмущении естественно считать, что орбита остается эллипти-ческой, но несколько варьируются ее параметры. Выделяют дватипа возмущений: периодические и вековые. Периодические воз-мущения существенно зависят от положения тела на орбите, иони со временем в среднем компенсируются. Вековые возмуще-ния определяются лишь взаимным положением орбит в целом, онимогут накапливаться и приводить к неустойчивости Солнечнойсистемы. Именно последнее обстоятельство было причиной при-стального интереса к вековым возмущениям. С другой стороны,для изучения возмущений на сравнительно коротких отрезкахвремени (что необходимо в случае периодических возмущений)было еще недостаточно наблюдательного материала, в то времякак для изучения вековых возмущений реально воспользоватьсянеточными наблюдениями древних. Периоды возмущений могутсильно превышать периоды обращения, и долгопериодическиевозмущения могут выглядеть как вековые. Важнейшая задача|научиться различать их.


Лагранж, занимаясь проблемой вековых возмущений, отсту-пил от своей привычки и постоянно ориентировался на явныечисловые примеры. Этими проблемами он занимался параллель-но с более молодым, но уже зарекомендовавшим себя Лапласом(1749 { 1827). Они чрезвычайно отличались по стилю занятий на-укой. Для Лапласа ориентирами были совершенно конкретныезадачи небесной механики, и метод для него был лишь сред-ством достижения конкретных целей. Его никогда не привлекаловычленение метода в чистом виде, его совершенствование внепотребностей конкретных задач. При работе над близкими зада-чами выявлялись сильные и слабые стороны каждого из великихученых. Лаплас показывает, что в первом порядке отсутствуютвековые возмущения для больших полуосей орбит Юпитера и Са-турна (а кандидаты на эту роль оказались долгопериодическимис огромным периодом). Лаплас уверен в справедливости анало-гичного утверждения для всех планет, и, хотя это не означалобы доказательства устойчивости Солнечной системы (возмуще-ния рассматривались лишь в первом порядке), это несомненнобыл бы серьезный шаг в этом направлении. Лаплас безуспешнопытается найти общее доказательство, а Лагранж при помощисвоего общего метода получает доказательство, как выразилсяЯкоби, «росчерком пера».

А вот противоположный пример. Лагранж потратил многосил, пытаясь объяснить вековое ускорение среднего движенияЛуны, обнаруженное в 1693 г. Галлеем (1656 { 1742), первооткры-вателем значительного числа известных к тому времени «нера-венств». Лагранж пробует использовать свой излюбленный трюкс неполной сферичностью Луны, затем аналогичным свойствомЗемли. Попробовав все казавшиеся ему мыслимыми возможно-сти, Лагранж приходит к выводу, что либо наблюдения древнихсодержат принципиальные огрехи, либо вообще этот эффект не-объясним в рамках закона всемирного тяготения. Одновременноон разработал технику учета членов высшего порядка при рас-смотрении вековых возмущений. Он обнаружил, что в случаеЮпитера и Сатурна эти члены несущественны, и экстраполи-ровал это наблюдение на все остальные случаи. Лаплас, имевший


существенно больший вычислительный опыт, понял, что ситу-ация со спутниками из-за их быстрого вращения может бытьсущественно иной. Он вначале обнаружил, что члены, открытыеЛагранжем, дают существенный вклад для спутников Юпитера,а затем, проделав те же вычисления для Луны, получил ускорениеГаллея.

Плодотворное научное сотрудничество Лагранжа и Лапласане переросло в ссору лишь благодаря удивительной тактичностии выдержке Лагранжа. Честолюбивый, увлекающийся Лаплас не-однократно давал повод к обиде необоснованными претензиямии даже некорректными поступками. Характерный эпизод про-изошел в 1774 г., когда Лаплас, живший в Париже, ознакомилсяс посланной туда работой Лагранжа о вековых возмущениях доее опубликования. Он быстро увидел дополнительные возможно-сти и опубликовал свою статью, опередившую статью Лагранжа.Лаплас предваряет статью словами: «Я не взялся бы за это дело,если бы не прочитал превосходную работу г. Лагранжа, прислан-ную в Академию и имеющую появиться в следующих томах». Ондобавляет различные аргументы в пользу своей торопливости,говорит о желании поскорее познакомить публику со всеми воз-можностями метода Лагранжа, но его нетактичность сомненийне вызывает. А Лагранж. . . поблагодарил Лапласа за усовершен-ствование его метода, поскольку «от этого науки смогут лишьвыиграть». В 1779 году Лагранж писал Лапласу: «Я рассматри-ваю ссоры как совершенно бесполезные для преуспеяния науки икак ведущие только к потере времени и покоя». Всю свою жизньон неукоснительно следовал этому правилу.

Арифметические работы. Хотя во весь берлинский период меха-ника была главным делом Лагранжа, в его поле зрения попадаюти другие математические вопросы, в том числе несколько ариф-метических задач. Он занимался ими под несомненным влияниемЭйлера. Арифметике посвящено всего 9 небольших работ. Ониносят характер самостоятельных этюдов, это маленькие шеде-вры, за которыми не просматривается намерения создать боль-шое полотно (что было характерно для его занятий механикой).


Быть может, это были упражнения в часы отдыха от главногодела жизни. Итак, Лагранж идет по следам Эйлера: он доказы-вает, что в периодическую цепную дробь разлагаются квадра-тичные иррациональности и только они (утверждение Эйлера,оставленное без доказательства), продолжает исследование урав-нения Ферма-Пелля, занимается квадратичными вычетами, не-сколько продвинувшись в доказательстве квадратичного законавзаимности, сформулированного Эйлером. Поучительно доказа-тельство теоремы Вильсона ((p−1)!+1 делится на p для просто-го p), основанное на связи с малой теоремой Ферма и по существуиспользующее многочлены над конечным полем. Популярна тео-рема Лагранжа о приближении вещественных чисел рациональ-ными. Наиболее известный арифметический результат Лагранжаутверждает возможность представить любое натуральное числоможно в виде суммы не более четырех квадратов. Это утвержде-ние восходит к Ферма, и его, по-видимому, пытался доказатьЭйлер.

Алгебраические размышления. Проблемы алгебраических урав-нений и их систем занимали Лагранжа в разных аспектах. Неко-торые задачи были инспирированы его занятиями небесной меха-никой. Он интересовался и приближенным вычислением корней,и отделением корней, и исключением неизвестных из системы ал-гебраических уравнений. Но одна из работ Лагранжа, по словамКоши, знаменовала начало новой эры в алгебре.

В 1770{71 гг. вышел мемуар «Размышления об алгебраиче-ском решении уравнений», несомненно задуманный еще в Тури-не. Собственно, это целая книга, занимающая более 200 страниц.Наряду с «Аналитической механикой», это вершина творчестваЛагранжа.

В XVI веке подряд были открыты формулы для решения урав-нений 3 и 4 степеней, а потом два века не удавалось найти фор-мулу для уравнения 5 степени. Появлялось немало замечатель-ных задач, которые отвлекали математиков от этой загадочнойпроблемы. Однако немало достойных математиков, среди них|Лейбниц (1646 { 1716) и Эйлер, не теряли надежды. Все чувство-


вали, что хорошо бы вместо того, чтобы искусственно получатьформулу для каждой степени, как это было фактически, най-ти единый прием, который годится для всех степеней. Чирнгауз(1651 { 1708) сообщает своему другу Лейбницу, что ему удалосьпридумать универсальную подстановку, которая преобразует об-щее уравнение n-й степени в двучленное yn + a = 0 (а ведь этои нужно для решения в радикалах!). Эта подстановка дает из-вестную формулу для n = 3 и годится для n = 5. Лейбниц выну-жден огорчить друга: при n = 5 для нахождения коэффициентовподстановки придется решать уравнения более высокой степени,чем 5. Потом Эйлер обнаружил, что при n = 3 и n = 4 формулуудается получить, делая подстановки вида x = n

√A + : : : + n

√F ,

но продвинуться дальше и ему не удалось.Ситуация несомненно требовала более глубокого продумыва-

ния, и кому, как не Лагранжу, было взяться за это дело. Ведьон уже проявил себя непревзойденным мастером добираться доглубинного существа проблемы, выявлять общую структуру там,где другим видятся разрозненные ситуации. Он начинает с ис-следования формул при n 6 4, обращая особое внимание на вы-ражения, стоящие под знаками радикала n-й степени. Для ква-

дратного уравнения x2 + ax + b = 0 это ´ =a2

4− b, для куби-

ческого x3 + ax + b = 0 это ´± = − b

2±√(

b

2

)2+(a

3

)3(причем

x = 3√´++ 3

√´−). Величины ´± являются корнями квадратного

уравнения, коэффициенты которого рационально (т. е. при помо-щи арифметических операций) выражаются через коэффициентыисходного уравнения. Лагранж ищет выражение ´± через корниx1, x2, x3 и замечает, что ´ = x1 + x2" + x3"

2, где "|какой-токорень уравнения y3 = 1, отличный от 1.

Здесь следует остановиться и обсудить, какой же корень име-ет в виду Лагранж. Сегодня ответить на это вопрос не предста-вляет труда, поскольку имеются два комплексных корня "± =

= −1

2± i

√3

2, но Лагранж не имел возможности работать с ком-

плексными корнями (этому в нужном объеме научились позднее).


И все же он решительно оперирует с «воображаемыми» корнямив твердой уверенности, что у кубического уравнения всегда трикорня (с учетом кратностей). Н. Бурбаки пишет: «Лагранж, какЭйлер и все их современники, без всяких сомнений формальнооперирует с

"полем корней\ многочлена (или, говоря его язы-

ком, рассматривает"воображаемые корни\ этого многочлена),

хотя математика его времени не содержала ничего, что могло быоправдать такой способ рассуждений. Поэтому Гаусс, которыйс самого начала был решительным противником безудержногоформализма XVIII века, со всей силой обрушивается в своей дис-сертации на это злоупотребление».

Итак, два корня из 1 дают ´±. На самом деле мы не имеемвозможности различить заранее корни x1, x2 x3, но, как бы мыих ни занумеровали, функция ´(x1; x2; x3) = x1 + x2"+ x3"

2 прилюбых их перестановках (а их 3! = 6) будет принимать толькодва значения ´±. Это| решающее наблюдение Лагранжа! Дляквадратного уравнения ´ = (x1− x2)2 и вообще не меняется приперестановке корней. В случае уравнения 4 степени под радика-лом 4 степени возникают выражения вида x1x2 + x3x4, где xj |корни, и они при 4! = 24 способах нумерации корней могут при-нимать только три различных значения.

При этом легко проверяется, что если имеется функция, ра-ционально выражающаяся через корни уравнения n-й степени ипринимающая только q значений при всевозможных перестанов-ках корней, то эта функция является корнем уравнения степени q,коэффициенты которого рационально выражаются через ко-эффициенты исходного уравнения. Это наблюдение Лагранжназывает «истинным принципом и, так сказать, метафизикойуравнений 3 и 4 степени». Именно поэтому решение кубическогоуравнения сводится к квадратному, а уравнения 4 степени |к кубическому.

Выходит, надо искать рациональные функции от корней, ко-торые принимают q < n значений при всевозможных перестанов-ках. Но этому очень мешает быстрый рост числа перестановок сростом n. Прежде всего можно заметить, что коэффициенты ис-ходного уравнения являются рациональными функциями корней,


вообще не меняющимися при перестановках корней (q = 1), нонадо искать менее тривиальные возможности. Лагранж называетрезольвентами выражения x1 + x2" + : : : xn"

n−1, где " 6= 1| ко-рень из единицы, наподобие тех, что участвовали в формулах дляквадратного и кубического уравнения. Их отсутствие для биква-дратного уравнения естественно связать с непростотой числа 4.Можно было ожидать, что что резольвенты должны были бы по-явиться и в формулах для уравнений более высокой степени, новот что показывают вычисления: функция ´(x1; : : : ; xn) прини-мает при перестановках (n−1)! значений. Имеем (n−1)! < n приn 6 3. Итак, ´|корень уравнения степени (n− 1)! с коэффици-ентами, рационально выражающимися через исходные.

Можно видоизменить это утверждение для простого n: ´являются корнями уравнения степени n − 1, коэффициенты ко-торого, в свою очередь, суть корни уравнения степени (n− 2)! скоэффициентами, рационально выражающимися через исходные.В случае n = 5 коэффициенты уравнения 4 степени являютсякорнями уравнения 6 степени. Становится понятно, откуда воз-никали уравнения больших степеней в построениях Чирнгауза иБезу! Вывод Лагранжа: «Отсюда следует, что весьма сомнитель-но, чтобы методы, которые мы рассмотрели, могли дать полноерешение уравнения пятой степени».

Далее естественно не ограничиваться резольвентами и выяс-нить, нет ли других функций от корней, принимающих неболь-шое число q значений. Ради этого Лагранж исследует группу пе-рестановок, по существу закладывая основы теории групп. Кактолько появилась групповая терминология, ряд утверждений Ла-гранжа автоматически превратился в теоремы теории групп.Пусть функция �(x1; : : : ; xn) от корней принимает при переста-новках q значений; тогда имеется подмножество (подгруппа!)из n!=q перестановок, которые функцию � не меняют. Отсюдаследует, в частности, что q|делитель n!. Поэтому существен-но изучить подгруппы в группе перестановок. Если описать все«большие» подгруппы в этой группе, а именно подгруппы из 5!=qэлементов, где 1 < q < 5, то будут описаны все функции от кор-ней, принимающие q < 5 значений. Здесь Лагранж остановился.


Он не сомневается, что это единственный способ полученияформул, но окончательных результатов не получает: «Вот, если яне ошибаюсь, истинные принципы решения уравнений и анализ,наиболее пригодный, чтобы привести к решению; как мы виде-ли, все сводится к некоторому исчислению комбинаций, с помо-щью которого получаются априори результаты, которые следуетожидать».

Группу перестановок подробно исследовал Коши. Руффини(1765 { 1822) доказал отсутствие нетривиальных функций от кор-ней уравнений 5 степени, принимающих меньше 5 значений, бу-дучи уверен, что он доказал неразрешимость уравнения 5 степе-ни в радикалах. Однако оставалось доказать, что существованиетаких функций в самом деле необходимо для существования нуж-ной формулы. Полное доказательство неразрешимости дал Абель(1802 { 1829). А перед этим была работа Гаусса о построении пра-вильных многоугольников циркулем и линейкой или, что эквива-лентно, о выражении корней уравнения yn − 1 = 0 при помощиквадратных радикалов. В ней головоломные трюки с перестанов-ками корней позволили решить задачу двухтысячелетней давно-сти. Проблема разрешимости алгебраических уравнений нашлаокончательное решение в теории Галуа (1811 { 1832). Но первымбыл Лагранж. . . Впрочем, связь корней с перестановками при-мерно в то же время обнаружил Вандермонд (1735 { 1796). Хотяон и сделал меньше, он увидел главное, и несправедливо, чтов истории математики тень Лагранжа заслонила заслуги этогоученого.

Кризис. Математика была единственной страстью Лагранжа, иее было достаточно, чтобы заполнить всю его жизнь, доставитьему немало счастливых минут. Все было подчинено занятиям на-укой. Деламбр передает отношение Лагранжа к музыке: «Я ее лю-блю, поскольку она меня изолирует; я слышу первые три такта,на четвертом такте не различаю ничего, я предаюсь своим раз-мышлениям, ничто меня не прерывает, и тогда я решаю наиболеетрудные из проблем». Для Лагранжа было характерно, что вели-кие цели познания истины, мировой гармонии не переплетались у


него с личными амбициями, с желанием соревноваться, обгонятьсовременников. Если он узнавал, что кто-то успешно занимаетсяпроблемой, над которой он сам думал, он немедленно прекращалразмышления с искренним ощущением «освобождения от обязан-ности». Благодаря этому Лагранжу было присуще необычайноедушевное равновесие, дававшее силы стойко переносить тяготыжизни, не прекращать напряженных занятий.

Лишь одно могло поколебать Лагранжа|потеря ориентиров,неуверенность в выборе правильных целей. И это ощущение на-чинает появляться вскоре после переезда в Берлин. В 1772 г. онпишет Даламберу: «Не кажется ли Вам, что высшая геометрияблизится отчасти к упадку, ее поддерживаете только Вы и Эй-лер». Это пишет ученый, который находится в расцвете сил (ему36 лет), у которого начинает складываться его «Аналитическаямеханика», и который только что опубликовал алгебраическиймемуар, определивший развитие алгебры на 100 лет вперед!

Это высказывание заслуживает обдумывания. Разумеется,Лагранж видел, чем ему заниматься в ближайшие 10 { 15 лет,но более далекие перспективы представлялись ему сомнительны-ми. А возможно, стали сказываться особенности стиля занятийЛагранжа. Он наметил основные направления в молодости, сизвестной долей консерватизма следовал им, и не без основа-ний надеялся на выполнение поставленных задач в обозримомбудущем. Вероятно, ощущение конца математики не могло воз-никнуть у Эйлера, который всю свою долгую научную жизньактивно искал новые задачи, переходил от одной задачи к дру-гой, не боясь многое оставить незавершенным. Стоит обратитьвнимание, что Лагранж не решается поставить себя в один ряд сЭйлером и Даламбером. Это не проявление формальной скромно-сти. Характерно также, что он завидовал своим современникам,которые легко умели находить новые задачи, например, Монжу(1746 { 1818): «Этот черт Монж всегда полон новых и смелыхидей» или «Этот пострел со своей теорией образования поверх-ностей идет к бессмертию».

Ощущение заката математики не покидает Лагранжа. 21 сен-тября 1781 г. он опять пишет Даламберу: «Я начинаю чувство-


вать силу моей инерции, которая понемногу увеличивается, и яне могу сказать с уверенностью, что в течение будущего деся-тилетия я еще буду заниматься математикой. Я думаю также,что шахта становится слишком глубока, и что ее придется раноили поздно бросить, если не будут открыты новые рудоносныежилы. Физика и химия представляют ныне сокровища гораздоболее блестящие и более легко эксплуатируемые; таким образом,по-видимому, все всецело обратились в эту сторону, и возмож-но, что места по геометрии в Академии Наук сделаются когда-нибудь тем, чем являются в настоящее время кафедры арабскогоязыка в университетах».

Может возникнуть естественное недоумение. Что касаетсяаналитической механики, то намеченное близилось к концу, нов алгебре пока лишь был разработан язык, получены прикидоч-ные результаты, но программа еще была достаточно неопреде-ленной, и нужно было разворачивать работу. Но таковы законыпсихологии научного творчества: один человек не может двигать-ся по трудной дороге бесконечно далеко. Материал должен былотстояться, да и нужен был результат типа результата Гаусса,подтвердившего на примере высокую эффективность работы сперестановками корней. Для Абеля и Галуа принципиальна былаи работа Лагранжа, и работа Гаусса.

В Париже. Предчувствие не обмануло Лагранжа. В 1787 году,вскоре после смерти Фридриха II, он переехал в Париж и, посуществу, прекратил активные занятия математикой. Лагранжу51 год. В один 1783 год мир лишился и Эйлера, и Даламбера.Лагранжа восторженно встречают французские ученые, теперьон несомненно «первый геометр Европы», и лишь Лаплас мо-жет всерьез конкурировать с ним. К Лагранжу неравнодушныпри дворе. Он необычно легко отвлекается от геометрии в поль-зу занятий философией, химией, историей, медициной. Можетбыть, Лагранж надеялся начать новую жизнь в науке? Обстанов-ка в Париже располагала к разнообразной научной деятельности.Процветали научные кружки, были популярны контакты междуучеными разных специальностей. Особенно активен в установле-


нии таких связей был химик Лавуазье (1743 { 1794). Ученые ак-тивно интересовались общественными проблемами, ролью наукив жизни государства.

Лагранж не оставил математику: еще будут появляться егоработы, он будет активно интересоваться работами других, мыбудем еще говорить о его педагогической деятельности, об ори-гинальных учебниках, но пик его научной деятельности ужепрошел. К тому же вскоре наступило время, когда большин-ство французских ученых (за исключением, возможно, Лапласа)прервали свои обычные занятия.

Впереди была революция, в которой ученые приняли самоеактивное участие. Никогда прежде не представлялась для нихвозможность непосредственно влиять на жизнь страны. Они вхо-дят в муниципалитет, Учредительное и Законодательное собра-ния; астроном Байи становится мэром Парижа, математик ЛазарКарно возглавляет оборону Франции (его называли «организа-тором побед»), а Монж становится морским министром. Резкоактивизировалась и деятельность ученых, направленная на ре-шение практических задач.

Лагранж держится в стороне от политики. Закон 1793 г. пред-писывает иностранцам покинуть Францию, но специальный де-крет Комитета общественного спасения делает для Лагранжаисключение. В самые трудные дни он не покидает Франции, раз-деляя судьбу своих коллег. Участие в политической жизни стоиложизни Байи и Кондорсе. Лавуазье был казнен как откупщик.Лагранж пристально наблюдает за происходящим. Деламбр со-хранил слова Лагранжа, сказанные после гильотинирования Ла-вуазье: «Нужен был один момент, чтобы снести эту голову, и,может, будет недостаточно ста лет, чтобы появилась подобная».

Как ученый, Лагранж добросовестно выполняет все поруче-ния. Постепенно размножились многочисленные комиссии и бю-ро, в которые было принято включать ученых. Он занимаетсяпроблемами ремесленных промыслов, измерением долготы на мо-ре, оценивает запасы хлеба и мяса в стране, чтобы оценить веро-ятность возникновения голода. Пишет работу с расчетом взрыв-ной силы пороха в орудийном стволе (она не было опубликована


при жизни автора, возможно, это была одна из первых засекре-ченных научных работ).

Особенно энергично ученые были включены в работу Ко-миссии мер и весов. Сегодня непросто уяснить, почему вовремя голода и разрухи, при постоянной военной опасноститакое колоссальное внимание уделялось реформе системы мери весов. Разнобоем в системе мер объясняли многие беды, сбольшим эмоциональным накалом говорили о том, что несовер-шенство мер|средство эксплуатации народа. Еще одна сторонадела заключалась в том, что неудобство системы мер | про-блема интернациональная, и удачно созданная система моглабы послужить укреплению престижа революции на между-народной арене. С этой точки зрения важно было выбратьединицы, не связанные ни с какими национальными тради-циями. Епископ города Отена Талейран, будущий наполеонов-ский дипломат, предложил воспользоваться идеей, восходящейк Гюйгенсу, и взять за основу длину секундного маятника,т. е. маятника с периодом колебаний, равным одной секунде.Но восторжествовала идея принять за единицу длины долю ме-ридиана.

Работы были задуманы на высочайшем уровне. Лавуазье иГаюи измерили вес воды; начались геодезические измерения, накоторые не было средств, им мешали взаимоотношения с Испани-ей, да и положение на местах в самой Франции. Но революцион-ному конвенту не терпелось ввести систему мер «на все времена,всем народам» (девиз, позднее выгравированный на эталоне ме-тра). Проблемы метрической системы обсуждаются в Конвентев 1793 г. наряду с самыми острыми вопросами. Комиссия обви-няется в медлительности, и некоторые ее члены изгоняются «понедостатку республиканской добродетели и ненависти к тира-нам»|такого обвинения могло хватить для того, чтобы попастьна гильотину!

Обязанности Лагранжа в комиссии носили не столь острый,теоретический характер. Он занимался выбором базиса для но-вой системы и предлагал взять за основу простое число 11. Он


считал важным, чтобы какие-то доли основной единицы не пре-вратились со временем в самостоятельные единицы. В конечномсчете все было построено на основе десятичной системы.

Закрытая на время Академия возрождается в виде Институ-та Франции, и Лагранж стоит во главе физико-математическогоразряда.

Педагогическая деятельность. Революционная Франция в бур-ные, богатые переменами 1793 { 95 годы много внимания уделялареформе образования. «После хлеба просвещение есть важней-шая потребность народа» | провозгласил Дантон. О народномобразовании думали не меньше, чем о снабжении народа хле-бом. Организуются Нормальная школа для подготовки учителейи Политехническая школа (первоначально она называлась Цен-тральная школа общественных работ) для подготовки военныхинженеров. Никогда прежде не занимавшийся преподаваниемЛагранж с увлечением читает лекции в обеих школах. При егоинтересе к продумыванию основ, лекции | повод заново осмы-слить современную математику, ее фундаментальные понятия,связи между различными областями. Из лекций родились егокниги: «Теория аналитических функций» в 1797 г. и «Лекции поисчислению функций» в 1801 г.

Основной замысел Лагранжа красноречиво характеризуетполное название первой книги: «Теория аналитических функций,содержащая начала дифференциального исчисления, освобожден-ные от всякого рассмотрения бесконечно малых, исчезающих,пределов и флюксий и сведенные к алгебраическому анализуконечных величин». Дело в том, что почти два века математи-ки решительно пользовались бесконечно малыми, хотя понятиеэто оставалось расплывчатым и не существовало убедительныхобоснований правил работы с ними. Однако было несомненно,что разработанный формализм позволяет получать правильныерезультаты, которые на другом пути получать не удавалось, иотказаться от языка бесконечно малых (что предполагалось по-началу) было уже невозможно. Непозволительно долго ситуацияоставалась запутанной.


В 1784 г. Берлинская академия предлагает в качестве темыдля конкурса построить «ясную и точную теорию того, что вматематике называют бесконечным. Известно, что высшая гео-метрия постоянно принимает бесконечно большие и бесконечномалые. Однако древние геометры и даже аналисты тщательноизбегали всего, что касается бесконечного, и великие современ-ные аналисты признают, что выражение

"бесконечная величина\

противоречиво. Академия поэтому желает получить объяснениетого, как из противоречивого допущения было выведено столькоистинных теорем, и чтобы был указан верный, ясный, словом|подлинно математический принцип, который мог бы заменитьбесконечное, не делая слишком трудными или долгими произво-димые при помощи этого средства исследования». Инициаторомконкурса, несомненно, был Лагранж.

Его точка зрения заключалась в том, что понятие бесконеч-но малой в самом деле является противоречивым, но исчислениепостроено так удачно, что возникающие ошибки взаимно компен-сируются и всегда получается правильный ответ. Еще во II томе«Туринских записок» за 1760 { 61 г. Лагранж писал, что исчисле-ние «исправляет само собой принимаемые в нем ложные допуще-ния». Как писал Клейн (1849 { 1925), он «отказывался от анализакак от общей дисциплины, понимая под ним просто собраниеформальных правил, относящихся к частным специальным функ-циям», и «такое самоограничение устраняло для того времени це-лый ряд затруднений». Итак, точка зрения Лагранжа состояла втом, что сделать исчисление бесконечно малых содержательнымпринципиально нельзя, что нужно смотреть на него формально,каким-то образом убедиться, что ошибки в самом деле компен-сируются, и спокойно пользоваться исчислением.

Мы вновь сталкиваемся с готовностью математиков XVIII ве-ка иметь дело с чисто формальными процедурами (мы уже гово-рили о работе с «воображаемыми» корнями уравнений). В XX ве-ке аналогичная точка зрения возродилась в рамках программыГильберта обоснования математики, в которой бесконечностивоспринимаются как формальные объекты, и нужно лишь убе-диться в непротиворечивости правил обращения с ними с тем,


чтобы быть уверенными в правильности полученных при их по-мощи высказываний о конечных объектах.

Прогноз Лагранжа не оправдался. Содержательное обоснова-ние анализа на основе пределов было к тому времени уже далекопродвинуто Даламбером. Но Лагранж, как видно из названиякниги, отверг это обоснование вместе со всеми другими. Егозамысел очень интересен. Он замечает, что нет проблемы в по-строении правил дифференцирования для многочленов, и на та-ком же алгебраическом языке можно строить дифференциальноеисчисление для функций, разложимых в бесконечные степенныеряды. Лагранж, как и его предшественники, уверен, что вся-кая функция допускает такое разложение (лишь Коши опровергэто мнение). Лагранж опирается на свою интуицию аналитика-практика, которая подсказывала, что все функции, встречающи-еся в приложениях, допускают разложение в ряд. Через сто лет наэтом пути строил теорию аналитических функций комплексногопеременного Вейерштрасс, однако как способ обоснования ана-лиза вещественных функций эта программа оказалась несосто-ятельной. Н. Бурбаки пишет: «Монументальная работа Лагран-жа представляет попытку основать анализ на одной из наиболееспорных концепций Ньютона, именно на той, в которой спутаныпонятия производной функции и функции, разложимой в степен-ной ряд, и извлечь из него (ряда|С. Г.), рассматривая коэффи-циент первого порядка в ряде, понятие дифференцирования. Ра-зумеется, такой математик, как Лагранж, не мог не получить приэтом важных и полезных результатов, как, например (способом,не зависящим от исходного предположения, о котором мы го-ворили), общее доказательство формулы Тейлора с остаточнымчленом в виде интеграла и его оценкой посредством теоремы осреднем. Работа Лагранжа явилась к тому же исходным пунктомметода Вейерштрасса теории функций комплексного переменно-го, так же как и современной теории формальных степенныхрядов. Но с точки зрения его непосредственной цели она явля-ется скорее шагом назад, чем продвижением вперед».

Показательно, что Лагранж никогда не путал проблемы обо-снования анализа с построением собственно анализа, его при-


менениями. В предисловии ко второму изданию «аналитическоймеханики» (1811 г.) Лагранж пишет: «Мы сохранили обычныеобозначения дифференциального исчисления, так как они соот-ветствуют системе бесконечно малых величин, принятой в насто-ящем трактате. Если дух этой системы хорошо усвоен, и если вточности его результатов убедились с помощью геометрическогометода первых и последних отношений или с помощью анали-тического метода производных функций, то бесконечно малыевеличины можно применять в качестве надежного и удобногосредства для сокращения доказательств».

На страницах «теории аналитических функций» впервые по-явился знаменитый метод Лагранжа нахождения условного экс-тремума. При нахождении наибольшего и наименьшего значенияфункции от нескольких переменных, скажем, f(x; y), неминуемовозникает задача о нахождении экстремума при каком-то усло-вии на переменные, например, '(x; y) = 0, причем не всегдаудобно переходить к меньшему числу параметров. Нахождениеэкстремума функции одного переменного на отрезке сводится ксравнению значений функции во внутренних стационарных точ-ках и на концах. Для нахождения экстремума в областиD многихпеременных нужно сравнить значения f во внутренних стацио-нарных точках и значения на границе, но граница уже не состоитиз двух точек, и возникает задача об условном экстремуме награнице. Однако это только одна из многочисленных ситуаций,где возникает условный экстремум.

Лагранж замечает, что указанная выше задача сводится к нахожде-нию таких �, что функция f+�' имеет стационарные точки при ' = 0.Возникает система уравнений для нахождения этих точек. Аналогич-но рассматривается случай любого числа переменных и условий. «Ме-тод неопределенных множителей Лагранжа» был навеян результатамиЛагранжа о механических системах со связями. В приложениях мно-жители Лагранжа часто допускают содержательную интерпретацию.Сегодня сфера применения идеи Лагранжа расширилась. В частности,ее развитием является линейное программирование, а применительнок экономическим задачам множители Лагранжа часто удается интер-претировать на языке цен.


Последние годы. При директории и консулате положение Ла-гранжа упрочилось. В годы империи он становится графом,сенатором, кавалером ордена Почетного Легиона. Наполеон небыл равнодушен к математике и хорошо понимал истинную ценуЛагранжу. Будни императора оставляли ему мало времени дляпокровительства наукам. Он ограничивался раздачей наград дакороткими характеристиками, непосредственно предназначав-шимися для истории. Лагранжа он назвал «Хеопсовой пирамидойнауки».

10 апреля 1813 г. Лагранж умер. Деламбр вспоминает, с какимудивительным умиротворением встретил он свой последний час:

«Я почувствовал, что умираю; мое тело ослабело мало-помалу,мои духовные и физические способности незаметно угасают; я слюбопытством наблюдаю постепенный прогресс уменьшения сил,и я достигну конца без сожаления, без печали, ибо спуск оченьотлогий 〈: : :〉 Я завершил свой путь; я снискал некоторую извест-ность в математике. Я не питал к кому-либо злобы, я никому несделал плохого, и я хочу кончить свой путь».

В свой бурный век Лагранж смог прожить размереннуюжизнь. Современники затруднялись припомнить детали, кото-рые могли бы оживить его биографию. Про него не рассказывалианекдоты, как про Лапласа. А. Н.Крылов замечает, что историяс обедом на итальянский лад в Париже (рассказанная выше), воз-можно, была единственным приключением в жизни Лагранжа.Вспоминали, что Лагранж помог улучшить положение Ламбертав Берлине, что он не побоялся в грозном 1793 году заступитьсяза Деламбра, которого хотели выгнать из комиссии мер, что онтрогательно заботился о Пуассоне, когда тот был его ученикомв Политехнической школе, что он умел удивительно слушатьсобеседника. А иногда возникает маленький, но выразитель-ный штрих: все существо Лагранжа «было проникнуто тихойиронией».

И неожиданно именно этот скромный человек стал воспри-ниматься как образец великого ученого и человека, причем нетолько математиками. Гёте писал: «Математик совершенен лишьпостольку, поскольку он является совершенным человеком, по-


скольку он ощущает в себе прекрасное, присущее истине; толькотогда его творчество становится основательным, чистым, яс-ным, одухотворенным, действительно изящным. Все это требует-ся, чтобы уподобиться Лагранжу». И в другом месте: «Лагранжбыл безупречным человеком и именно поэтому и великим. Еслибезупречный человек наделен талантами, то он всегда становит-ся благом человечества, носителем счастья и благородства, будьто художник, исследователь природы, поэт или кто-либо другой».

Эйлер и Лагранж воспринимаются сегодня как величайшиематематики XVIII века, учитель и ученик, дарования которыхпоразительно дополняли друг друга. Эйлер, стремившийся загля-нуть как можно дальше вперед, говорить о вещах, для которыхеще нет подходящего языка, оставить потомкам задачи, которыедолго будут служить ориентирами, и Лагранж, во всем добирав-шийся до глубинных структур, стремившийся создать картину,лишенную белых пятен, передать последующим поколениям языки методы, которые долгое время будут достаточны для решенияновых задач.

ПЬЕР-СИМОН ЛАПЛАС

Канцлер императорского Сената, получавший более100 тысяч ливров годовой ренты, с неменьшим усер-дием, чем простой академик, Лаплас стремился увя-зать все неправильности и возмущения в движениисветил с принципом всемирного тяготения, распро-странить метод математического анализа на явленияземной физики и подчинить своим формулам явле-ния общественной жизни, в которых обыватель видиттайну или слепой случай. Араго

5 марта 1827 года в 9 часов утра умер маркиз Лаплас, пэрФранции, один из первых кавалеров ордена Почетного Легиона,удостоенный высшего отличия ордена|Большого Креста. «То,что мы знаем, так ничтожно по сравнению с тем, чего мы не зна-ем»|были последние его слова. Лапласа называли «французскимНьютоном»; умер он ровно через сто лет после смерти Ньютона,бывшего его кумиром.

Посмертные почести Лапласу отдавались с некоторой расте-рянностью. В речи Фурье говорилось: «Может быть, мне следо-вало бы упомянуть об успехах Лапласа на поприще политическойдеятельности, но все это несущественно: мы чествуем великогоматематика. Мы должны отделить бессмертного творца

"Небес-

ной механики\ от министра и сенатора». Окружающих смуща-ло, что Лаплас успел побыть республиканцем и монархистом,атеистом и католиком, получать почести при империи и послеРеставрации. (Впрочем, бывший якобинец Фурье тоже впослед-ствии стал бароном.)

Бомон { Париж, 1749 { 1789. Будущий маркиз родился 23 марта1749 года в семье крестьянина в маленьком Бомоне (Нормандия).

307

308 Пьер-Симон Лаплас (1749 { 1827)

Пьер-Симон Лаплас

Позднее он неохотно говорил о своемдетстве и после 21 года никогда невиделся с родителями. Благодаря не-известным покровителям Лаплас за-канчивает колледж Ордена бенедик-тинцев. В 17 лет он уже преподаетматематику в военной школе.Лаплас начинает интенсивно зани-маться математикой и механикой; в1770 году, запасшись рекомендатель-ным письмом к великому Даламберу,он отправляется в Париж. Ему дол-го не удается пустить в ход реко-мендации, пока не приходит в голо-ву счастливая идея| изложить своисоображения по механике письменно.Оригинальность мыслей юноши произвела сильное впечатлениена Даламбера: «Вы зарекомендовали себя сами, и этого мне со-вершенно достаточно. Моя помощь к Вашим услугам».

При помощи Даламбера Лаплас устраивается преподавателемвоенной школы, а потом занимает освободившееся после смертиБезу место экзаменатора в королевском корпусе артиллеристов.В 1784 году ему блестяще сдал экзамен молодой Бонапарт, очем Лаплас имел возможность вспомнить в 1804 году: «Я хочук приветствиям народа присоединить и свое приветствие импе-ратору Франции, герою, которому двадцать лет тому назад яимел счастливую привилегию открыть карьеру, осуществленнуюим с такой славой и с таким счастием для Франции».

В 1772 году Лаплас баллотируется в Академию наук1, на ме-

1В то время во Франции существовало пять академий. Отметим среди нихФранцузскую академию, основанную в 1635 году кардиналом Ришелье длясовершенствования французского языка и составления словаря, и Академиюнаук, созданную в 1666 году. Французская академия состоит из 40 пожизнен-ных членов. Новых членов выбирают на место умерших. Членов Французскойакадемии часто называют «бессмертными». Академию наук (L’academie dessciences) точнее было бы называть по-русски Академией естественных наук.

Пьер-Симон Лаплас (1749 { 1827) 309

сто адъюнкта (младшая должность) по геометрии2, но его невыбирают. По-видимому, одной из причин этого было не слишкомблагоприятное мнение французских ученых о молодом коллеге.Лагранж занимает более снисходительную и оптимистическуюпозицию: «Меня несколько удивляет то, что Вы мне пишете оЛапласе: кичиться первыми успехами | недостаток, свойствен-ный, главным образом, очень молодым людям. Однако при уве-личении знаний самонадеянность обычно уменьшается» (письмонепременному секретарю Академии наук Кондорсе). Лаплас ужеподумывает о переезде в Берлин, к Лагранжу, но в 1774 году онполучает место адъюнкта по механике.

Почти вся научная деятельность Лапласа была посвящена не-бесной механике (см. ниже). Но его интересы значительно шире.

Так, в 1779 { 1784 годах он сотрудничает с Лавуазье по самымразным вопросам (определение теплоемкости, проблема флоги-стона, атмосферное электричество): «Я, право, не знаю, какимобразом я дал себя вовлечь в работу по физике, и Вы найдете,быть может, что я лучше бы сделал, если бы воздержался от это-го; но я не мог устоять против настояний моего друга Лавуазье,который вкладывает в эту совместную работу столько приятно-сти и ума, сколько лишь я мог бы пожелать. Кроме того, таккак он очень богат, он не жалеет ничего, чтобы придать опы-там точность, необходимую при таких тонких исследованиях».Принимает Лаплас участие и в общественной жизни: он входитв комиссию Академии наук, обследующую больницы для бедных,санитарное состояние городских боен. Авторитет Лапласа ра-стет. В 1784 году он становится академиком (по механике).

Путь бомонского крестьянина не был уникален. К концуXVIII века во Франции почти половина членов Академии на-ук были простого происхождения. Например, Монж был сыномдеревенского точильщика, Фурье | сын портного, Пуассон |сын солдата. Участие высшего сословия в науке обычно огра-

2Геометрией в XVII веке называли всю математику. До сих пор воФранции математическое отделение Академии наук называют отделениемгеометрии.


ничивалось меценатством и почетным членством в Академии;Даламбер жалуется: «Меценатов в наше время развелось так мно-го, что нет возможности всех их должным образом восхвалятьи благодарить».

В 1788 году Лаплас женился. Через год у него родился сын.Размеренная, благополучная жизнь была прервана событиями,решительно изменившими жизнь страны.

Революция, империя, реставрация. Революционные события за-хватили значительную часть французских ученых. Друг Лапласаастроном Байи был первым мэром Парижа, Кондорсе| членоммуниципалитета, выдающийся математик Монж|морским ми-нистром. В 1791 году ряд академиков выдвинули свои кандида-туры в Законодательное собрание (Кондорсе, Лавуазье). В связис этим со страстным памфлетом «Современные шарлатаны» вы-ступил Марат. Заодно досталось и Лапласу: «К числу лучшихматематиков-академиков относятся Лаплас, Монж и Кузень: родавтоматов, привыкших следовать известным формулам и при-лагать их вслепую, как мельничная лошадь, которая привыкладелать определенное число кругов, прежде чем остановиться».

Лапласа вместе с Лагранжем, Монжем, Лавуазье привлекли кработе в Метрической комиссии, целью которой было созданиеединой системы мер. В период якобинской диктатуры Лапласаотозвали из комиссии ввиду «недостаточности республиканскихдобродетелей и слишком слабой ненависти к тиранам». В 1799 го-ду он вернулся в комиссию, и под его наблюдением были изгото-влены эталоны метра и килограмма.

Летом 1793 года по призыву Комитета общественного спасе-ния большая группа ученых занялась научными исследованиямидля организации обороны от ожидавшейся агрессии. Лапласа сре-ди них не было. Он удалился в тихий Мелен, где приступил кработе над многотомной «Небесной механикой»|главным деломсвоей жизни.

В 1793 году Конвент упразднил существовавшие академии.В 1793 { 1794 годах некоторые бывшие академики кончили своидни на гильотине. Вместе с депутатами-жирондистами был при-


говорен к смерти Кондорсе. По «Закону о подозрительных» былказнен как откупщик Лавуазье. На эшафоте погиб и Байи, кото-рого Лаплас пытался спрятать у себя в доме в Мелене.

Лаплас вернулся в Париж после термидорианского переворо-та осенью 1794 года. Наряду с Лагранжем и другими крупней-шими учеными он занял место профессора в Нормальной школе.Это учебное заведение нового типа было задумано еще при Кон-венте; оно было призвано готовить преподавателей и ученых длявсей Франции. Привлечение крупных ученых в качестве препо-давателей было новинкой. Позднее для подготовки инженеров настоль же высоком уровне была создана Политехническая школа.Лаплас читал лекции и там. Он становится президентом Палатымер и весов, активно сотрудничает в Бюро долгот, созданномдля упорядочения астрономо-геодезических измерений и службывремени.

В 1795 году Директория учредила Национальный институтнаук и искусств (во Франции его часто называют просто «Инсти-тут»). Институт делился на разряды. Первым был назван разрядфизических и математических наук.

Генерал Бонапарт всячески поддерживал контакты с Инсти-тутом, принимал активное участие в работе отделения геоме-трии. Во время Египетского похода свои прокламации он подпи-сывал: «Бонапарт, главнокомандующий, член Института».

В 1799 году вышли два первых тома «Небесной механики», иЛаплас|буквально за несколько дней до переворота 18 брюмера(12 ноября)|подарил первый том Наполеону. В ответе генераласказано: «С благодарностью принимаю, гражданин, присланныйВами экземпляр Вашего прекрасного труда. Первые же шестьмесяцев, которыми я буду иметь возможность располагать, пой-дут на то, чтобы прочесть Ваше прекрасное произведение».

После установления консулата Наполеон решает предоста-вить пост министра внутренних дел ученому. Выбор пал наЛапласа, вероятно, ввиду его большой известности и лично-го знакомства с Наполеоном. Однако деятельность Лапласа напосту министра была малоуспешной. В отличие от своих кол-лег по кабинету Талейрана и Фуше, Лаплас не сумел вовремя


сориентироваться, куда направлены помыслы консула, покро-вительствовавшего наукам. Не без наивности преследует онроялизм и религию: «Не упускайте ни одного случая доказатьвашим согражданам, что суеверие не больше роялизма выиграетот перемен, происшедших 18 брюмера» (из циркуляра министраЛапласа). Прошло немногим более месяца, и Наполеон заменилЛапласа своим братом Люсьеном. В воспоминаниях Наполео-на, написанных на острове св. Елены, сказано: «Первоклассныйгеометр вскоре заявил себя администратором более чем посред-ственным; первые его шаги на этом поприще убедили нас в том,что мы в нем обманулись. Замечательно, что ни один из вопросовпрактической жизни не представлялся Лапласу в его истинномсвете. Он везде искал тонкости, мелочи; идеи его отличались за-гадочностью; наконец, он весь был проникнут духом

"бесконечно

малых\, который он вносил и в администрацию».Тем не менее обмен любезностями между Бонапартом и Ла-

пласом не прекратился. Став Первым консулом, Наполеон на-значает Лапласа пожизненным членом «Охранительного сената».(Впрочем, никакой роли в политической жизни этот сенат неиграл.) С 1803 года Лаплас | канцлер сената. В числе немно-гих актов сената была отмена| по докладу Лапласа| револю-ционного календаря. Учреждается орден Почетного Легиона, иЛаплас| в числе первых его кавалеров. В 1808 году он| графимперии.

Тем временем Лаплас продолжает работать над «Небесноймеханикой». В 1802 году выходит третий том, посвященный На-полеону| «герою, умиротворителю Европы, которому Францияобязана своим процветанием, своим величием и самой блестящейэпохой своей славы». В ответе Наполеона говорится: «Истинносожалею, что сила обстоятельств удалила меня от ученого попри-ща». Несколько позже уже император Наполеон напишет: «Мнекажется, что

"Небесная механика\ возвышает блеск нашего ве-

ка». 12 августа 1812 года, находясь под Смоленском, Наполеонполучает «Аналитическую теорию вероятностей» и вновь сожа-леет: «В иное время, располагая досугом, я с интересом прочи-тал бы Вашу

"Теорию вероятностей\ ». И далее: «Распростране-


ние, усовершенствование математических наук тесно соединеныс благоденствием государства».

Наполеон активно вмешивается в деятельность Института.В 1801 году для членов Института ввели обязательную форму.Члены Института выстраивались после мессы в шеренгу в го-стиной Тюильри для представления первому консулу. В это вре-мя ему можно было передать научные труды и получить его«отеческие» наставления. Покровительствуя точным наукам, онс недоверием относился к гуманитарным. В 1803 году Наполе-он ликвидировал в Институте разряд моральных и политическихнаук. Когда до него дошли слухи, что в разряде французскогоязыка и словесности ведутся разговоры о политике, он заявилСегюру: «Вы председательствуете во втором разряде Институ-та. Я приказываю Вам передать ему, что я не желаю, чтобы назаседаниях говорили о политике. Если разряд не будет повино-ваться, я сломаю его, как негодную тросточку».

В 1814 году перед падением Парижа сенат проявил неожидан-ную активность: по инициативе Талейрана он призвал Бурбонов.Лаплас подписался под этим решением одним из первых. Во вре-мя «Ста дней» он не покидал провинции.

При Реставрации разряды Института снова получили наиме-нование академий. Академия наук безропотно удалила из сво-их рядов неугодных монархии Монжа и Карно. На Лапласа жепосыпались почести. В первый год правления Людовика XVIIIон становится маркизом и пэром Франции, получает БольшойКрест Почетного Легиона. В 1816 году он | президент бюродолгот и председатель комиссии по реорганизации Политехниче-ской школы, его выбирают в «Академию бессмертных»|редкоеотличие для представителя точных наук. Выступления Лапласав палате пэров были редкими, бесцветными и бескомпромиссномонархическими. Когда часть Института протестовала противвведения Карлом X цензуры, Лаплас в печати открестился отэтого протеста. Сен-Симон негодовал: «Господа, изучающие не-организованную материю, бесконечно малые величины, алгебруи арифметику! Кто дал вам право занимать теперь передовыепозиции? 〈: : :〉 Вы вынесли из науки только одно наблюдение,


именно, что тот, кто льстит великим мира, пользуется их бла-госклонностью и щедротами».

Сохранилось много рассказов о поведении Лапласа в Акаде-мии наук. Вот два из них.

Араго и Пуассон претендовали на одно место в Академии.Лаплас заявил, что надо отдать предпочтение более старшемуПуассону. Произошел резкий обмен мнениями.

Л а г р а нж. Но Вы сами, господин де Лаплас, были избраныв члены Академии, когда не сделали еще ничего выдающегося,подавали только надежды, и все Ваши великие открытия былисделаны уже позднее.

Л а п л а с. А я все-таки считаю, что на звание академика нуж-но указывать молодым людям как на будущую награду, чтобыпоощрять их усилия.

Г а л л е. Вы похожи на кучера, который привязывает клоксена к концу дышла своей повозки для приманки лошадей. Та-кая хитрость кончается тем, что лошади выбиваются из сил иоколевают.

Лапласу пришлось уступить.В другой раз, в 1822 году, Фурье и Био баллотировались на

должность непременного секретаря. Лаплас взял два бюллете-ня вместо одного. Его сосед увидел, что он на обоих написалимя Фурье. После этого Лаплас положил бюллетени в шляпу, по-просил соседа выбрать один из них, другой разорвал и громкозаявил, что он не знает, кому из кандидатов отдал свой голос.

После смерти Лагранжа в 1813 году влияние Лапласа в Ака-демии наук сделалось особенно сильным. В 1826 году, за годдо смерти Лапласа, в Париже появился юный Абель. Он пишет:«Итак,

"Небесная механика\ закончена. Автор такого труда мо-

жет с удовлетворением оглянуться на путь, который он прошелв науке». В другом месте: «Очевидно, что любая теория Лапла-са гораздо выше всего, что может создать какой-либо матема-тик меньшего масштаба. Мне кажется, что, если желаешь чего-нибудь достигнуть в математике, нужно изучать мастеров, а неподмастерьев».


Небесная механика. Начало научной деятельности Лапласа при-ходится на сложное время. Завершился большой этап в построе-нии анализа бесконечно малых. Задач, вокруг которых концен-трировались бы усилия крупнейших математиков, не было. Мно-гим казалось, что дни чистой математики сочтены. Даже разно-сторонний Лагранж, алгебраические работы которого опередилисвое время, в какой-то момент прекратил занятия математикой.«Не кажется ли Вам, что высшая геометрия близится отчасти купадку? Ее поддерживаете только Вы и Эйлер»,| писал он Да-ламберу в 1772 году.

В этих условиях центр интересов переместился в сторону при-кладной математики, где бесспорное первенство было за пробле-мой построения теории движения небесных тел на основе законавсемирного тяготения.

Предыстория этой проблемы такова. В начале XVII века Кеп-лер, продумывая с точки зрения теории Коперника скрупулез-ные наблюдения Тихо Браге, сформулировал три закона, кото-рым подчиняется движение планет вокруг Солнца. Гениальнаядогадка Ньютона заключалась в том, что эти законы являютсяследствием единого универсального закона всемирного тяготе-ния, который управляет и взаимодействием небесных тел, и зем-ным притяжением. Земная и небесная механика объединились.В рамках закона тяготения удалось объяснить движение Луны,приливы и отливы, предварение равноденствий и другие эффек-ты. Но теория Ньютона нелегко завоевывала признание. В неене верили Гюйгенс и Лейбниц. Иоганн Бернулли потратил многосил на объяснение эллиптичности орбит, не использующее законатяготения. Во Франции Ньютону противостояли последователиДекарта, имевшие противоположную точку зрения по большин-ству вопросов. Например, в рассмотрениях Ньютона было важно,что Земля сплющена, а измерения французских геодезистов (ока-завшиеся ошибочными) показывали, что она вытянута у полюсов.Вольтер шутил в 1727 году: «В Париже Землю считают вытяну-той у полюсов, как яйцо, а в Лондоне она сжата, как тыква».

В одном отношении позиция противников Ньютона была силь-ной. Тщательный анализ наблюдений показывал, что законы Кеп-


лера выполняются лишь приближенно, а небольшие отклонениямогут с течением времени накопиться и резко нарушить устой-чивость Солнечной системы. Ньютон не видит возможности ра-зобраться в этих «вековых» возмущениях: «Едва заметные не-равенства, могущие происходить от взаимодействия планет икомет 〈: : :〉, вероятно, будут увеличиваться в течение весьма дол-гого времени, до тех пор, пока, наконец, система не будет ну-ждаться в приведении ее в порядок руками Творца». В ответ наэто Лейбниц заметил: «Ньютон и его приверженцы имеют чрез-вычайно забавное представление о божественном творении. С ихточки зрения Бог должен время от времени заводить свои ми-ровые часы 〈: : :〉 Бог создал такую несовершенную машину, чтоон должен по временам очищать ее от грязи и даже чинить, какчасовщик исправляет свою работу». Математические трудностисостояли в том, что при выводе законов Кеплера из закона Нью-тона имеют дело с задачей двух тел (Солнце и планета). Желаниеучесть влияние хотя бы еще одного объекта приводит к задачетрех тел, решить которую в общей ситуации не удается по сейдень.

Деятельность Ньютона продолжили Эйлер, Клеро, Даламбер.Эйлер занимался возмущениями в движенииЮпитера и Сатурна.Все трое дали свой вариант теории движения Луны. Клеро вывелуравнения для задачи трех тел, но отступил со словами: «Пустьинтегрирует, кто сможет». Наиболее эффектным результатомбыло предсказание Клеро точного времени возвращения кометыГаллея. Ее ждали в 1758 году, но вычисления Клеро показывали,что под влиянием притяжения Юпитера она «задержится» болеечем на год. Эйлер и Клеро построили теорию движения Земли сучетом возмущающего действия других планет.

С 70-х годов XVIII века задачами об аномалиях в Солнечнойсистеме начинает интересоваться Лагранж. С них же начинаетмолодой Лаплас. Эйлер и Даламбер разобрались с рядом эффек-тов, связанных со взаимным притяжением Юпитера и Сатурна,но одно явление оставалось необъясненным. Это так называемые«большие неравенства», открытые в 1676 году Галлеем из со-поставления современных наблюдений с наблюдениями древних.


Оказалось, что движение Юпитера медленно, но систематическиускоряется, а Сатурна| замедляется.

Лаплас, как до него Эйлер и Лагранж, ищет приближен-ное решение задачи трех тел, рассматривая бесконечный рядвозмущающих членов. Для получения приближенной формулынадо решить, сколько членов в этом ряду оставить и каковапогрешность от отбрасывания остальных членов. Для простыхрядов такие упражнения проделывают студенты. К ряду длявозмущений непонятно было, как и подойти. Лаплас рассчи-тывает, что можно достигнуть успеха, подбирая нужное чи-сло членов и постоянно сопоставляя полученный результат сданными наблюдений: «Чрезвычайная трудность задач, отно-сящихся к системе мира, принудила геометров прибегнуть кприближениям, при которых всегда можно опасаться, как быотбрасываемые величины не оказали заметного влияния. Когданаблюдения указывали им на такое влияние, они снова обраща-лись к их анализу; при проверке они всегда находили причинузамеченных отклонений; они определяли их закон, открываянеравенства, которые еще не были указаны наблюдениями. Та-ким образом, можно сказать, что сама природа содействуетаналитическому совершенствованию теорий, основанных напринципе всемирного тяготения». В случае Юпитера и Сатур-на заметные аномалии возникают из-за того, что через каждые5 оборотов Юпитера и 3 оборота Сатурна планеты занимаютпочти то же самое положение и возмущения накапливаются.Все же, как показывают вычисления Лапласа, возмущения ненакапливаются неограниченно; они являются не «вековыми»,а периодическими с огромным периодом (913 лет). Итак, хо-тя компенсация происходит крайне медленно, наступит время,когда движение Юпитера начнет замедляться, а Сатурна|уско-ряться.

С загадкой Галлея о «больших неравенствах» удалось по-кончить к 1784 году. «Когда я выяснил эти неравенства иопределил с большим вниманием, чем это делалось до сих пор,те, которые были уже вычислены, я убедился, что все наблю-дения, древние и современные, представлены моей теорией во


всей их точности. Прежде они казались необъяснимыми припомощи закона всемирного тяготения; теперь же они служатодним из наиболее ярких его подтверждений. Такова судьбаэтого блестящего открытия: всякое затруднение, которое воз-никало тут, превращалось в его торжество, и это являетсявернейшим признаком его соответствия истинной системе при-роды».

Много усилий потребовалось от Эйлера, Даламбера, Клеродля построения теории движения Луны, согласующейся с наблю-дениями. Главный эффект, который требовалось объяснить, |это быстрое (на 41◦ в год) перемещение эллиптической орби-ты. Вычисления всех троих давали перемещение, не превыша-ющее 20◦. Лишь в 1849 году Клеро удалось уточнить вычисле-ния настолько, что получилось нужное перемещение (а уже все-рьез думали о поправочных членах в законе Ньютона!). Однакооставалась еще одна «мелочь», замеченная все тем же Галлеем в1693 году. Анализируя «Альмагест» Птолемея и средневековыесведения о затмениях, он достоверно показал, что движение Лу-ны ускоряется.

Эту загадку Лаплас разрешил в 1787 году. В ускорении оказа-лось повинно ранее обнаруженное долгопериодическое колебаниеэксцентриситета земной орбиты: когда эксцентриситет уменьша-ется (орбита становится более похожей на окружность), средняяскорость движения Луны увеличивается. Еще одно возмущение,казавшееся «вековым», оказалось долгопериодическим!

Лаплас не пропускает ни одной загадки астрономии. Он имелправо сказать: «Потомство, вероятно, с благодарностью увидит,что новейшие геометры не передали ему ни одного астрономи-ческого явления, не определив его законов и причины». Он по-казывает, что кольца Сатурна не могут быть сплошными, а са-ма планета сильно сжата (Гершель подтверждает это наблюде-ниями еще при жизни Лапласа). Лаплас существенно уточняеттеорию приливов, показывает при помощи теории возмущений,как наблюдения над Луной можно использовать для определенияастрономической единицы (расстояния от Земли до Солнца), дляуточнения формы Земли.


Разумеется, Лаплас не прошел мимо задачи о спутникахЮпитера, которая была традиционной для всех великих астро-номов с тех пор, как эти спутники были открыты Галилеем.В 1774 году эта задача была выбрана Академией наук в качестветемы для премии. В 1789 году Лаплас строит теорию движе-ния спутников Юпитера, учитывающую влияние Солнца и ихвзаимоxoдействия.

Главной задачей, волновавшей Лагранжа и Лапласа в течение1773 { 1784 годов, была задача устойчивости Солнечной систе-мы в целом. Были систематически исследованы возмущения длявсех планет, и хотя строгого доказательства устойчивости не бы-ло получено, согласование всех кажущихся аномалий с теориейтяготения было бесспорным. Доверие к теории возмущений бы-ло таково, что, когда обнаружились необъяснимые отклонения вдвижении Урана, Леверрье решился объяснить их существовани-ем новой планеты.

«Пять геометров: Клеро, Эйлер, Даламбер, Лагранж и Лапласразделили между собой тот мир, существование которого открылНьютон. Они исследовали его во всех направлениях, проникли вобласти, которые считались недоступными, указали множествоявлений в этих областях, которые еще не были открыты наблю-дением, и, наконец, | в этом их вечная сила, | они охватили спомощью одного принципа, одного-единственного закона, самыетонкие и таинственные явления в движении небесных тел. Такимобразом, геометрия осмелилась распоряжаться будущим, и ходбудущих событий подтвердит во всех подробностях заключениянауки» (Араго).

Публикации Лапласа делятся на два этапа: непосредственныесообщения о полученных результатах в 70 { 80-е годы и их си-стематизация и дополнение в пятитомной «Небесной механике».Для Лапласа характерно, что он с невероятной силой пробивалсяк решению конкретной задачи, не отвлекаясь на формированиеи систематизацию аппарата. Противоположностью ему был Ла-гранж, который тратил много сил на доведение метода до форма-лизма, пригодного для решения широкого круга задач. Поэтомусовременный учебник теоретической механики пестрит именем


Лагранжа, а имя Лапласа можно найти лишь в историческомочерке.

«Был ли то вопрос либрации Луны или проблема теории чи-сел, Лагранж, по большей части, видел лишь математическуюсторону дела; поэтому он придавал большое значение элегант-ности формул и обобщенности методов. Для Лапласа, наоборот,математический анализ был орудием, которое он приспособлялк самым разнообразным задачам, всегда подчиняя данный спе-циальный метод сущности вопроса. Быть может, потомство ска-жет, что один был великим геометром, а второй|великим фило-софом, который стремился познать природу, заставляя служитьей самую высокую геометрию» (Пуассон).

Отношения между Лапласом и Лагранжем были непростые.Честолюбивое желание Лапласа быть первым математикомФранции постоянно наталкивалось на высочайший авторитетЛагранжа, переехавшего в Париж в 1788 году. По многочислен-ным свидетельствам современников, Лаплас болезненно воспри-нимал похвалы Лагранжу. Поведение Лагранжа в самых трудныхситуациях было безупречным, в то время как многие поступкиЛапласа вызывали нарекания. Сохранение корректных отноше-ний между Лапласом и Лагранжем | в большой степени плодтерпимости Лагранжа. Характерно, что в посмертной речиФурье о Лапласе ничего не говорится о моральных качествахЛапласа; в то же время в ней, как ни странно, много говоритсяо высочайших человеческих качествах Лагранжа.

Торопливый, без попыток выделить внутренние пружиныстиль мог обмануть даже специалиста. В качестве курьеза мож-но привести мнение Пуансо, ученика Лапласа: «Лаплас никогдане видел истину, разве только случайно. Она прячется от этоготщеславного человека, который говорит о ней только в неясныхвыражениях. Однако он пытается превратить эту неясность вглубокомыслие, а своим затруднениям он придает благородныйвид вынужденной заботы, как человек, который боится сказатьслишком много и разгласить секрет, которого у него никогдане было». Про то, как часто у Лапласа встречается «легко ви-деть», ходили легенды. Био, читавший корректуры «Небесной


механики», и Боудич (переводчик на английский язык) расска-зывают о часах и днях, требовавшихся для заполнения пробелов,Самому Лапласу это тоже не всегда удавалось без напряженныхразмышлений (свидетельство Био).

Система мира. В Мелене Лаплас написал популярную книгу «Из-ложение системы мира», вышедшую в 1796 году. В этой книгеизлагалась гипотеза Лапласа о происхождении Солнечной систе-мы. Лаплас, последователь Ньютона, «не измышлявшего гипо-тез», предлагает свои соображения «с осторожностью, подоба-ющей всему, что не представляет результата наблюдений иливычислений». Лаплас описывает развитие Солнечной системы какзамкнутый процесс, не требующий вмешательства внешних сил.

Известна легенда о разговоре, состоявшемся между Наполео-ном и Лапласом, дарящим свою книгу:

Н а п о л е о н. Гражданин Лаплас, Ньютон в своей книге гово-рил о Боге. В вашей же книге, которую я уже посмотрел, я невстретил имени Бога ни разу.

Л а п л а с. Гражданин Первый консул, я не нуждался в этойгипотезе.

Слова Лапласа часто воспринимаются как демонстрация ате-изма, хотя, по-видимому, здесь речь идет и о том конкретномобстоятельстве, что построения Лапласа не нуждаются во внеш-них факторах ни в гипотезе о возникновении Солнечной системы,ни в вопросе об ее устойчивости.

По гипотезе Лапласа все начинается с газовой туманности,вращающейся вокруг оси; туманность, остывая, сначала сплю-щивается вдоль экваториальной плоскости, а затем рассыпаетсяна кольца на месте нынешних орбит планет (за счет уравно-вешивания центробежной силы и силы тяготения). Разнообраз-ные неустойчивости в движении частичек кольца, их взаимноепритяжение приводят к слипанию частиц в планеты. Аналогич-но происходит образование системы спутников планет, причемпример Сатурна показывает, что иногда слипание частиц коль-ца могло не произойти. Основные моменты модели Лапласа: всевращения происходят в одну сторону (отвечающую направле-


нию первоначального вращения туманности), траектории близкик круговым, а их плоскости близки к экваториальной плоско-сти туманности, по мере удаления от центра период вращенияувеличивается.

Первые удары по гипотезе Лапласа были нанесены Герше-лем еще при жизни Лапласа: у Урана обнаружились спутники с«обратным» направлением вращения и с плоскостями орбит, по-чти перпендикулярными плоскости орбиты планеты. Далее числопротиворечий стало быстро расти. Гипотезу многократно пыта-лись поправить, включить в более сложные построения.

Гипотеза Лапласа сыграла огромную роль в истории космого-нии как первая гипотеза, опирающаяся на большой объем точныхфактов механики и астрономии (предшествовавшие ей гипотезыБюффона и Канта этим требованиям не удовлетворяли, хотя име-ется много точек соприкосновения между гипотезой Лапласа инеизвестной ему гипотезой Канта). Еще в начале XX века Пуан-каре писал о гипотезе Лапласа: «Для ее возраста на ней не такуж много морщин».

«Уточненный здравый смысл». Так образно назвал Лаплас тео-рию вероятностей. Это вторая научная любовь Лапласа, которойон оставался верен в течение всей своей научной деятельности,начиная с первых работ 1774 года.

Стиль занятий Лапласа в этой области отличен от того, кото-рый был характерен для автора «Небесной механики». Здесь нетни одной большой задачи и много времени уделяется осмыслива-нию того, что было сделано прежде, начиная с задачи о дележеставок, стоявшей у истоков теории вероятностей.

В центре внимания находится закон больших чисел Я.Бернул-ли, состоящий в том, что при большом числе испытаний частотасобытия в некотором смысле приближается к его вероятности.Отправляясь от результата Муавра, Лаплас получает оценку ве-роятности того, что это отклонение велико. Это одна из цен-тральных теорем теории вероятностей| теорема Муавра { Ла-пласа. Ее доказательство использует средства математическогоанализа, что было новинкой для теории вероятностей.


Лаплас оценил и сделал достоянием науки результаты англий-ского священника Байеса об оценке вероятности конкурирующихгипотез, если известны результаты их проверок.

Результаты деятельности Лапласа были подытожены в его«Аналитической теории вероятностей», вышедшей при его жизнитремя изданиями (первое| в 1812 году). Здесь уделяется многоместа созданию аппарата, прежде всего|методу производящихфункций, применяющемуся ныне далеко за пределами теории ве-роятностей. От Лапласа идет «классическое определение» вероят-ности, при котором события определяются как множества рав-новероятных случаев: «Теория вероятностей состоит в сведениивсех событий одного и того же рода к некоторому числу равнове-роятных случаев, то есть случаев, относительно осуществлениякоторых мы в равной мере не осведомлены, и в определении числатех случаев, которые благоприятны для события, вероятность ко-торого мы ищем».

Наряду с книгой для «знатоков» Лаплас пишет книгу для ши-рокой публики. Это его «Опыт философии теории вероятностей»,выросший из лекций, читанных в Нормальной школе в 1795 году,и помещенный во второе издание «Аналитической теории веро-ятностей» (1814 год).

Лаплас был одним из первых авторов, который в книге потеории вероятностей приводил примеры не только из азартныхигр, но и из реальной статистики. Так, он приводит цифры, пока-зывающие, что число писем во Франции, не доставленных из-заотсутствия на них адреса, практически не меняется год от года.

Точка зрения Лапласа состоит в том, что вероятностные рас-смотрения нужны только там, где часть информации неизвестна:«МЫ должны рассматривать настоящее состояние Вселенной какследствие ее предыдущего состояния и как причину последую-щего. Ум, которому были бы известны для какого-либо данногомомента все силы, одушевляющие природу, и относительное по-ложение всех ее составных частей, если бы вдобавок он оказалсядостаточно обширным, чтобы подчинить эти данные анализу,обнял бы в одной формуле движения величайших тел Вселеннойнаравне с движениями мельчайших атомов: не осталось бы ниче-


го, что было бы для него недостоверно, и будущее, так же как ипрошедшее, предстало бы перед его взором. Ум человеческий всовершенстве, которое он сумел придать астрономии, дает нампредставление о слабом наброске того разума». Гипотетическоесущество, о котором говорится в цитате, называют сейчас демо-ном Лапласа.

Размышления Лапласа по теории вероятностей в значитель-ной степени стимулировались его занятиями астрономией и кос-могонией. Но его волновала также роль случая в общественнойжизни. Чаще всего его высказывания по этому поводу не содер-жат конкретных вычислений. Вот пример: «Не будем противо-полагать бесполезного и часто опасного сопротивления неизбеж-ным следствиям прогресса просвещения, но будем лишь крайнеосторожно менять наши учреждения и обычаи, к которым мыдавно уже применились. Мы хорошо знаем по опыту прошло-го те неудобства, которые они представляют, но мы не знаем,как велико будет зло, которое может причинить их изменение.При такой неизвестности теория вероятностей предписывает из-бегать всякого изменения; особенно следует избегать внезапныхизменений, которые в нравственном порядке, как и в физическом,никогда не происходят без большой потери живой силы».

Был один вопрос, на формализацию которого Лаплас рассчи-тывал, | применение теории вероятностей к судопроизводству.Отправной является точка зрения, что абсолютно достоверноерешение в суде невозможно, а нужно заботиться лишь о том,чтобы решение было правильным с наибольшей вероятностью.Она восходит к Кондорсе и тесно связана с практикой судопро-изводства при революции. Позиция Лапласа более осторожна, ивсе же он считает, что нужно вычислять вероятность «того, чторешение суда, который может осудить только при данном боль-шинстве, будет справедливо, то есть будет соответствовать ис-тинному решению поставленного вопроса», и поскольку «большаячасть наших суждений основана на вероятности свидетельскихпоказаний, очень важным является подчинить их исчислению».Предполагалось включить в оценки политические симпатии су-дей, степень запутанности дела, интеллектуальные характери-


стики судей и т.д.Жизнь показала ошибочность и общественнуюопасность таких исчислений.

В 1899 г. во время пересмотра дела Дрейфуса в военном судебыли представлены «доказательства» его виновности, основанныена вероятностных вычислениях некоего Бертильона. Заключе-ние об их достоверности дал Анри Пуанкаре: «Даже если бы этирасчеты оказались точными, в любом случае не было бы справед-ливого заключения, потому что применение исчисления вероят-ностей к моральным наукам является скандалом для математики,поскольку Лаплас и Кондорсе, которые умели хорошо считать,дошли до результатов, лишенных всякого здравого смысла!».

В тридцатые годы в Советском Союзе прокуроры школы Вы-шинского тоже говорили о вероятности преступления, но до вы-числения вероятностей, кажется, дело не доходило.

Мы не имели возможности остановиться на всех направлени-ях научной деятельности Лапласа. Многое осталось за пределаминашего рассказа: работы по капиллярности, звуку и свету, мате-матические результаты, связанные с «преобразованием Лапласа»и «уравнением Лапласа» и т. д.

Недавно ученые имели возможность еще раз оценить прозор-ливость Лапласа. В «Изложении системы мира» приводится до-казательство того, что «сила притяжения небесного тела моглабы быть столь велика, что от него не будет исходить свет». Этопроизойдет, если у тела будет та же плотность, что и у Зем-ли, а диаметр равен 250 диаметрам Солнца. Другими словами,первая космическая скорость в поле тяготения этого тела пре-вышает скорость света. Таким образом, Лаплас был первым, ктообратил внимание на возможность существования «черных дыр».

Жизнь Лапласа в значительной степени отражает сложностьэпохи, в которую он жил. Однако через всю своею жизнь онпронес верность науке, ни при каких обстоятельствах не преры-вая занятий. Роль Лапласа в истории науки трудно переоценить.

«Лаплас был рожден для того, чтобы все углублять, отодви-гать все границы, чтобы решать то, что казалось неразрешимым.Он кончил бы науку о небе, если бы эта наука могла быть окон-чена». (Фурье)

КОРОЛЬ МАТЕМАТИКОВ

Не считать ничего сделанным, если еще кое-что осталосьсделать. Гаусс

В 1854 г. здоровье тайного советника Гаусса, как его именова-ли коллеги по Геттингенскому университету, решительно ухуд-шилось. Не могло быть и речи о продолжавшихся в течение два-дцати лет ежедневных прогулках от Обсерватории до Литера-турного музея. Профессора, приближавшегося к восьмидесяти-летнему рубежу, удалось уговорить обратиться к врачу! Летомему стало лучше и он даже присутствовал на открытии железнойдороги Ганновер| Геттинген. В январе 1855 г. Гаусс соглаша-ется позировать художнику Геземану для медальона. По заказуГанноверского двора уже после смерти ученого в феврале 1855 г.по этому медальону была изготовлена медаль. На медали подбарельефом Гаусса было написано: Mathematicorum princeps (Ко-роль математиков). История всякого настоящего короля должнаначинаться с детства, овеянного легендами. Гаусс в этом смыслене был исключением.

1. Дебют Гаусса

«Упорство, с которым Гаусс следовал по избранному им пути,бурный юношеский натиск, с которым он каждый раз, не взи-рая ни на что, преодолевал самые крутые подъемы, ведущие кцели, все эти трудные испытания закаляли его силы и делалиего способным, после победы над препятствиями, уже устранен-ными другими, неудержимо идти вперед, опережая их. К этой

326

Дебют Гаусса 327

хвале творческой самодеятельности я должен присоединить дру-гое: похвалу юности. Я этим хочу сказать только то, что раз-витие математического гения подчиняется тем же законам, чтои развитие всякой другой творческой способности. Для гениаль-но одаренной личности годы юности, период, когда только что

Молодой Гаусс (1803 г.)

завершается процесс физическо-го роста, являются эпохой ве-ликих, в изобилии сменяющихдруг друга откровений; именнов эти годы гениально одаренныйдух создает те новые, ему од-ному принадлежащие ценности,которые им будут впоследствиипреподнесены миру» (Ф. Клейн).

Брауншвейг, 1777 { 1795. Гауссне получил свой титул по наслед-ству, хотя его отец Гергард Ди-дерих не был вовсе чужд мате-матике. Мастер на все руки, пре-жде всего фонтанный мастер, нотакже и садовник, как его отец,Гергард Дидерих был известенсвоими успехами в счетном ре-месле. Его услугами пользова-лись купцы во время ярмарок вБрауншвейге и даже Лейпциге,

а еще он имел постоянный заработок в самой большой похорон-ной кассе Брауншвейга (место, которое он передал по наследствусыну от первого брака Георгу|отставному солдату).

Карл Фридрих родился 30 апреля 1777 г. в доме Ђ 1550, чтостоял на канале Венденгребене в Брауншвейге. По мнению био-графов, он унаследовал от родных отца крепкое здоровье, а отродных матери яркий интеллект. Ближе других был к будущемуученому дядя Фридерихс|искусный ткач, в котором, по словамплемянника, «погиб прирожденный гений». Гаусс говорил о себе,

328 Карл Фридрих Гаусс (1777 { 1855)

что он «умел считать раньше, чем говорить». Самая ранняя мате-матическая легенда о нем утверждает, что в три года он следилза расчетами отца с каменщиками-поденщиками и неожиданнопоправил отца, причем оказался прав.

В 7 лет Карл Фридрих поступил в Екатерининскую народ-ную школу. Поскольку считать там начинали с третьего класса,первые два года на маленького Гаусса внимания не обращали.В третий класс ученики обычно попадали в 10-летнем возрасте иучились там до конфирмации (15 лет). Учителю Бюттнеру при-ходилось заниматься одновременно с детьми разного возрастаи разной подготовки. Поэтому он давал обычно части учени-ков длинные задания на вычисление, с тем чтобы иметь воз-можность беседовать с другими учениками. Однажды группеучеников, среди которых был Гаусс, было предложено просум-мировать натуральные числа от 1 до 100. (Разные источникиназывают разные числа!) По мере выполнения задания ученикидолжны были класть на стол учителя свои грифельные доски.Порядок досок учитывался при выставлении оценок. 10-летнийГаусс положил свою доску, едва Бюттнер кончил диктовать за-дание. К всеобщему удивлению, лишь у него ответ был прави-лен. Секрет был прост: пока диктовалось задание, Гаусс успелпереоткрыть формулу для суммы арифметической прогрессии!Слава о чудо-ребенке распространилась по маленькому Браун-швейгу.

В школе, где учился Гаусс, помощником учителя, основнойобязанностью которого было чинить перья младшим ученикам,работал некто Бартельс, интересовавшийся математикой и имев-ший несколько математических книг. Гаусс и Бартельс начинаютзаниматься вместе; они знакомятся с биномом Ньютона, беско-нечными рядами. . .

Как тесен мир! Через некоторое время Бартельс получит ка-федру чистой математики в Казанском университете и будетучить математике Лобачевского.

В 1788 г. Гаусс переходит в гимназию. Впрочем, в ней неучат математике. Здесь изучают классические языки. Гауссс удовольствием занимается языками и делает такие успехи,


что даже не знает, кем он хочет стать | математиком илифилологом. О Гауссе узнают при дворе. В 1791 г. его предста-вляют Карлу Вильгельму Фердинанду | герцогу Брауншвейг-скому. Мальчик бывает во дворце и развлекает придворныхискусством счета. Благодаря покровительству герцога Гаусссмог в октябре 1795 г. поступить в Геттингенский универ-ситет. Первое время он слушает лекции по филологии и по-чти не посещает лекций по математике. Но это не означа-ет, что он не занимается математикой. Приведем слова Фе-ликса Клейна, замечательного математика, глубокого иссле-дователя научного творчества Гаусса: «Естественный интерес,какое-то, я сказал бы, детское любопытство приводит впер-вые мальчика независимо от каких-либо внешних влияний кматематическим вопросам. Первое, что его привлекает, эточистое искусство счета. Он беспрестанно считает с прямо-таки непреоборимым упорством и неутомимым прилежани-ем. Благодаря этим постоянным упражнениям в действияхнад числами, например, над десятичными дробями с неверо-ятным числом знаков, он не только достигает изумительнойвиртуозности в технике счета, которой он отличался всю своюжизнь, но его память овладевает таким колоссальным число-вым материалом, он приобретает такой богатый опыт и такуюшироту кругозора в области чисел, каким навряд ли обла-дал кто-либо до или после него. Путем наблюдений над свои-ми числами, стало быть, индуктивным, «экспериментальным»путем он уже рано постигает общие соотношения и законы.Этот метод, стоящий в резком противоречии с современны-ми навыками математического исследования, был, однако, до-вольно распространен в XVIII столетии и встречается, на-пример, также у Эйлера 〈: : :〉 Все эти ранние, придуманныетолько для собственного удовольствия забавы ума являют-ся подходами к значительной, лишь позже осознанной цели.В том-то именно и заключается подсознательная мудрость ге-ния, что он уже при первых пробах сил, полуиграя, еще несознавая всего значения своих действий, попадает, так ска-зать, своей киркой как раз в ту породу, которая в глубине


своей таит золотоносную жилу. Но вот наступает 1795 год, окотором мы имеем более точные показания 〈: : :〉 С еще боль-шей силой, чем до сих пор (все еще до геттингенского пе-риода), его охватывает страстный интерес к целым числам.Незнакомый с какой бы то ни было литературой, он долженбыл все создавать себе сам. И здесь он вновь проявляет се-бя как незаурядный вычислитель, пролагающий пути в неиз-вестное. Гаусс составляет большие таблицы простых чисел,квадратичных вычетов и невычетов, выражает дроби 1=p отp = 1 до p = 1000 десятичными дробями, доводя эти вы-числения до полного периода, что в иных случаях требовалонесколько сотен десятичных знаков. При составлении послед-ней таблицы Гаусс задался целью изучить зависимость периодаот знаменателя p. Кто из современных исследователей пошелбы этим странным путем, чтобы получить новую теорему!Гаусса же привел к цели именно этот путь, по которому оншел с неимоверной энергией. (Он сам утверждал, что отли-чается от других людей только своим прилежанием.) Осенью1795 г. Гаусс переезжает в Геттинген и прямо-таки прогла-тывает впервые попавшуюся в его руки литературу: Эйлера иЛагранжа».

Открытие, которого ждали две тысячи лет. 1 июня 1796 г. в га-зете «Jenenser Intelligenzblatt» появилась заметка следующего со-держания:

«Всякому начинающему геометру известно, что можно геоме-трически (т. е. циркулем и линейкой) строить разные правильныемногоугольники, а именно: треугольник, пятиугольник, пятна-дцатиугольник и те, которые получаются из каждого из нихпутем последовательного удвоения числа его сторон. Это былоизвестно во времена Евклида, и, как кажется, с тех пор было рас-пространено убеждение, что дальше область элементарной гео-метрии не распространяется: по крайней мере, я не знаю удачнойпопытки распространить ее в эту сторону.

Тем более кажется мне заслуживающим внимания открытие,что, кроме этих правильных многоугольников, может быть гео-


метрически построено множество других, например семнадцати-угольник».

Под заметкой стоит подпись: К. Ф. Гаусс из Брауншвейга,студент-математик в Геттингене.

Это первое сообщение об открытии Гаусса. Прежде чем по-дробно рассказывать о нем, освежим в памяти то, что «известновсякому начинающему геометру».

О построениях циркулем и линейкой. Предполагается заданнымотрезок единичной длины. Тогда при помощи циркуля и линей-ки можно строить новые отрезки, длины которых получаются издлин имеющихся отрезков при помощи операций: сложения, вы-читания, умножения, деления и извлечения квадратного корня.

Последовательно проводя эти операции, при помощи цирку-ля и линейки можно построить любой отрезок, длина котороговыражается через единицу конечным числом операций сложе-ния, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратногокорня. Такие числа называются квадратичными иррационально-стями. Можно доказать, что никакие другие отрезки постро-ить при помощи циркуля и линейки нельзя.

Задача о построении правильного n-угольника, как легко по-нять, эквивалентна задаче о делении окружности радиуса 1 наn равных частей. Хорды дуг, на которые делится окружность,являются сторонами правильного n-угольника, и длина каждойиз них равна 2 sin(�=n). Следовательно, при тех n, для которыхsin(�=n) является квадратичной иррациональностью, можнопостроить правильные и-угольники циркулем и линейкой. Это-му условию удовлетворяют, например, значения n = 3; 4; 5; 6; 10.Для n = 3; 4; 6 это хорошо известно.

Покажем, что sin(�=10) | квадратичная иррациональность.Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, угол при верши-не B которого равен �=5 = 36◦, длина AB равна 1; пусть AD|биссектриса угла A. Положим x = AC = AD = BD = 2 sin(�=10).Имеем

BD

DC=AB

AC;

x

1− x=

1x; x =

√5− 12

:


Это число является квадратичной иррациональностью; тем са-мым мы можем построить сторону правильного 10-угольника.

Далее, из возможности деления окружности на p1p2 равныхчастей следует, конечно, возможность ее деления на p1 рав-ных частей (в частности, можно построить правильный пя-тиугольник). Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.Укажем два частных случая, когда оно все же справедливо.

1) Из возможности деления окружности на p равных частейследует возможность деления на 2kp равных частей для любого k.Это следует из возможности деления любого угла пополам припомощи циркуля и линейки.

2) Если мы умеем делить окружность на p1 равных частей и p2равных частей, где p1 и p2 взаимно просты (например, p1, p2 |различные простые числа), то окружность можно разделить наp1p2 равных частей. Это следует из того, что наибольшая общаямера углов 2�=p1 и 2�=p2 равна 2�=p1p2, а наибольшую общую ме-ру двух соизмеримых углов можно найти циркулем и линейкой.

В частности, 2�=15 =1

2(2�=3 − 2�=5), откуда следует возмож-

ность построения правильного 15-угольника.

"0

"1

"2

"3

"4

Несколько слов о комплексных числах.Нам нужно знать про комплексныечисла совсем немного: операции надними и геометрическую интерпрета-цию. Напомним, что комплексномучислу z = a + ib ставится в соот-ветствие точка с координатами (a; b)и вектор с концом в этой точке ис началом в (0; 0). Длина вектораz = a+ib называется модулем данногочисла z. Комплексное число z можнозаписать в тригонометрической фор-

ме: z = a + ib = r(cos' + i sin'); угол ' называется аргументомчисла z.

Сложению комплексных чисел соответствует сложение векто-ров; при умножении модули перемножаются, а аргументы скла-


дываются. Отсюда следует, что существует ровно n корней урав-нения zn = 1; обычно их обозначают через

"k = cos2�kn

+ i sin2�kn

; k = 0; 1; : : : ; n− 1: (17)

Легко показать, что концы векторов "k являются вершинами пра-вильного n-угольника. Если мы докажем, что "k | квадратич-ные иррациональности (т. е. что этим свойством обладают ихвещественные и мнимые части), то тем самым мы покажем, чтоправильный n-угольник можно построить при помощи циркуля илинейки.

Правильные n-угольники и корни из единицы. Преобразуем урав-нение zn = 1:

zn − 1 = (z − 1)(zn−1 + zn−2 + : : :+ z + 1) = 0:

Получим два уравнения: z = 1 и

zn−1 + zn−2 + : : :+ z + 1 = 0: (18)

Уравнение (18) имеет своими корнями "k при 1 6 k 6 n − 1.В дальнейшем мы будем иметь дело с уравнением (18).

При n = 3 получаем уравнение z2 + z + 1 = 0. Его корни:

"1 = −1

2+ i

√3

2, "2 = −1

2+ i

√3

2. При n = 5 дело обстоит сложнее,

так как мы получаем уравнение четвертой степени

z4 + z3 + z2 + 1 = 0; (19)

имеющее четыре корня "1, "2, "3, "4. Хотя и существует формулаФеррари для решения общего уравнения 4-й степени, пользовать-ся ею практически невозможно. В нашем случае помогает специ-альный вид уравнения (19). Чтобы решить его, разделим сначалауравнение (19) на z2. Получим

z2 +1z2

+ z +1z+ 1 = 0


или (z +

1z

)2+(z +

1z

)− 1 = 0:

Сделаем подстановку w = z +1

z:

w2 + w − 1 = 0: (20)

Отсюда

w1;2 =1±

√5

2

Далее можно найти и "k из уравнений

z +1z= w1; z +

1z= w2; (21)

но нам это не нужно; для построения достаточно знать, что удво-енная вещественная часть "1 равна

2 cos(2�=5) = "1 + "4 = "1 +1"1

= w1 =1 +

√5

2:

Из того, что w1|квадратичная иррациональность, следует, что"1 и "4 представляют собой квадратичные иррациональности.Для "2 и "3 рассуждаем в точности так же.

Итак, для n = 5 решение нашей задачи удалось свести к после-довательному решению двух квадратных уравнений: сначала ре-шается уравнение (20), корнями которого являются суммы "1+"4и "2 + "3 симметричных корней уравнения (19), а затем из урав-нений (21) находятся и сами корни уравнения (19).

Именно таким путем Гауссу удалось осуществить построениеправильного 17-угольника: здесь тоже выделяются группы кор-ней, суммы которых находятся последовательно из квадратныхуравнений. Но как искать эти «хорошие» группы? Гаусс находитудивительный путь ответить на этот вопрос. . .


Построение правильного 17-угольника. «30 марта 1796 года на-ступает для него (Гаусса) день творческого крещения 〈: : :〉 Гауссуже занимался с некоторого времени группировкой корней изединицы на основании своей теории «первообразных» корней.И вот однажды утром, проснувшись, он внезапно ясно и отче-тливо осознал, что из его теории вытекает построение семна-дцатиугольника 〈: : :〉 Это событие явилось поворотным пунктомжизни Гаусса. Он принимает решение посвятить себя не филоло-гии, а исключительно математике» (Ф.Клейн).

Остановимся подробнее на пути, по которому двигался Гаусс.Одна из математических игр юного Гаусса состояла в следую-щем. Он делил 1 на различные простые числа p, выписывая по-следовательно десятичные знаки, с нетерпением ожидая, когдаони начнут повторяться. Иногда приходилось ждать долго. Дляp = 97 повторение начиналось с 97-го знака, при p = 337 периодравен 336. Но Гаусса не смущали длинные прямолинейные вы-числения, он входил при их помощи в таинственный мир чисел.Гаусс не поленился рассмотреть все p < 1000 (ср. приведенноевыше высказывание Клейна).

Известно, что Гаусс не сразу попытался доказать периодич-ность получающейся дроби в общем случае (p 6= 2; 5). Но, вероят-но, доказательство не затруднило его. В самом деле, достаточнолишь заметить, что следить надо не за знаками частного, а заостатками! Знаки начинают повторяться после того, как на пре-дыдущем шагу остаток равнялся 1 (почему?). Значит, надо найтитакое k, что 10k−1 делится на p. Так как имеется лишь конечноечисло возможных остатков (они заключены между 1 и p− 1), длякаких-то k1 > k2 числа 10k1 , 10k2 при делении на p дадут одина-ковые остатки. Но тогда 10k1−k2 − 1 делится на p (почему?).

Несколько труднее показать, что в качестве k всегда мож-но взять p − 1, т. е. 10p−1 − 1 при p 6= 2; 5 всегда делится на p.Это частный случай теоремы, носящий название малой теоре-мы Ферма. Когда Ферма (1601 { 1655) открыл ее, он писал, чтоего «озарило ярким светом». Теперь ее переоткрыл юный Гаусс.Он всегда будет ценить это утверждение: «Эта теорема 〈: : :〉 за-служивает величайшего внимания как вследствие ее изящества,


так и ввиду ее выдающейся пользы». Гаусса интересует наимень-шее k, для которого 10k−1 делится на p. Такое k всегда являетсяделителем p − 1. Иногда оно совпадает с p − 1 (например, дляp = 7; 17; 19; 23; 29; 97; 337). До сих пор неизвестно, конечно илибесконечно число таких p. Гаусс заменяет 10 на любое число aи интересуется, когда ak−1 − 1 не делится на Ò при k < p − 1(предполагается, что a не делится на p). Такие a принято на-зывать первообразными корнями для p. Условие того, что a|первообразный корень, равносильно тому, что среди остатков отделения 1; a; a2; : : : ; Áp−2 на p встречаются все ненулевые остатки1; 2; : : : ; p−1 (почему?). Гаусс не знал тогда, что первообразнымикорнями интересовался уже Эйлер (1707| 1783), который пред-полагал (но не смог доказать), что для каждого простого числасуществует хотя бы один первообразный корень. Первое дока-зательство гипотезы Эйлера дал Лежандр (1752 | 1833); оченьизящное доказательство дал Гаусс. Но это было позднее, а покаГаусс манипулировал с конкретными примерами. Он знал, на-пример, что для p = 17 число 3 является первообразным корнем.В приводимой ниже таблице в первой строке стоят значения k, апод ними остатки от деления 3k на 17. Обратите внимание, чтовторой строке встречаются все остатки от 1 до 16, что и означаетпервообразность 3 для 17.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 151 3 9 10 13 5 15 11 16 14 8 7 4 12 2 6

Эти вычисления и легли в основу группировки корней уравнения

z16 + z15 + z14 + : : :+ z + 1 (22)

(с тем, чтобы свести решение его к цепочке квадратных урав-нений). Идея Гаусса состоит в том, что надо перейти к другойнумерации корней. Присвоим корню "k новый номер l (обознача-ется "[l]), если 3l при делении на 17 дает остаток k. При переходеот одной нумерации к другой можно пользоваться таблицей, на-ходя k во второй строке, а соответствующее l над ним в первойстроке,


0

1

23

456

7

8

9

10

1112 13

1415

16

0

141

12515

1110

2

3

713 4

96

8

Рис. 32.

но удобнее пользоваться рисунком,где по внешней стороне окружно-сти написаны старые номера, а повнутренней|новые. Именно эта ну-мерация позволила Гауссу, разбиваякорни (22) на группы, свести реше-ние (22) к цепочке квадратных урав-нений.

Именно, на первом шагу берут-ся �2;0, �2;1 | соответственно сум-мы корней "[l] с четными и нечет-ными l (в каждой сумме по 8 кор-ней). Эти суммы оказываются кор-

нями квадратного уравнения с целочисленными коэффициента-ми. Далее, берутся суммы �4;0, �4;1, �4;2, �4;3 четверок корней "[l],у которых l при делении на 4 дает фиксированный остаток. По-казывается, что эти величины являются корнями квадратныхуравнений, у которых коэффициенты арифметически выражают-ся через �2;0, �2;1. Наконец, образуются суммы �8;i пар корней "[l],у которых l при делении на 8 дает остаток i. Для них выписыва-ются квадратные уравнения с коэффициентами, просто выража-ющимися через �4;j . Имеем: �8;0 = 2 cos(2�=17) и из квадратичнойиррациональности �8;0 следует возможность построения правиль-ного 17-угольника циркулем и линейкой. Поучительно записатьразбиение корней на группы в старой нумерации. Согласитесь,что в таком виде угадать разбиение невозможно! Теперь реали-зуем только что описанный путь.

Подробные вычисления. Мы докажем квадратичную ирраци-ональность корней 17-й степени из единицы. Отметим, что"k"l = "k+l (если k + l > 17, то k + l заменяется остатком отего деления на 17), "k = ("1)k. Прежде всего заметим, что

"1 + "2 + : : :+ "16 = "[0] + "[1] + : : :+ "[15] = −1:

(В этом можно убедиться, например, рассматривая это выраже-ние как сумму геометрической прогрессии.)


Обозначим через �m;r сумму "[k] с теми k, которые дают оста-ток r при делении на m. Получаем

�2;0 = "[0] + "[2] + "[4] + : : :+ "[14];

�2;1 = "[1] + "[3] + "[5] + : : :+ "[15]:

Ясно, что

�2;0 + �2;1 = "[0] + "[1] + : : :+ "[15] = −1:

Можно показать, что

�2;0 · �2;1 = 4("[0] + "[1] + : : :+ "[15]):1

Теперь, воспользовавшись теоремой Виета, мы можем составитьквадратное уравнение, корнями которого будут �2;0 и �2;1:

x2 + x− 4 = 0; x1;2 =−1±

√17

2:

Чтобы различить корни, опять воспользуемся рисунком на с. 337.В каждую из сумм корни входят вместе со своими сопряжен-ными. Ясно, что �2;0 > �2;1 (в первом случае нужно сложить иудвоить вещественные части корней "1, "2, "4, "8, во втором| "3,"5, "6, "7). Итак,

�2;0 =

√17− 12

; �2;1 =−√17− 12

:

Рассмотрим суммы четверок корней:

�4;0 = "[0] + "[4] + "[8] + "[12];

�4;1 = "[1] + "[5] + "[9] + "[13];

�4;2 = "[2] + "[6] + "[10] + "[14];

�4;3 = "[3] + "[7] + "[11] + "[15]:

1В этом можно убедиться, проводя непосредственные перемножения иучитывая, что "k · "l = "k+l, причем удобно пользоваться рисунком на с. 337.Однако ниже будет указан способ избежать этих утомительных выкладок.


Имеем: �4;0+�4;2 = �2;0; �4;1+�4;3 = �2;1. Можно показать далее,что �4;0 · �4;2 = �2;0 + �2;1 = −1, а значит, �4;0, �4;2 | корниуравнения x2 − �2;0x − 1 = 0. Решая это уравнение и учитывая,что �4;0 > �4;2 (см. рис. на с. 337), получаем после несложныхпреобразований

�4;0 =14

(√17− 1 +

√34− 2

√17);

�4;2 =14

(√17− 1−

√34− 2

√17):

Аналогично показывается, что

�4;1 =14

(−√17− 1 +

√34 + 2

√17);

�4;3 =14

(−√17− 1−

√34 + 2

√17):

Переходим к заключительному этапу. Положим

�8;0 = "[0] + "[8] = "1 + "16;

�8;4 = "[4] + "[12] = "4 + "13:

Можно было бы рассмотреть еще шесть такого рода выражений,но нам они не потребуются, так как достаточно доказать ква-дратичную иррациональность �8;0 = 2 cos(2�=17), что уже позво-ляет построить правильный 17-угольник. Имеем �8;0+�8;4 = �4;0,�8;0 ·�8;4 = �4;1; из рисунка видно, что �8;0 > �8;4, а потому �8;0|больший корень уравнения x2 − �4;0 + �4;1 = 0, т. е.

�8;0 = 2 cos(2�=17) =12

(�4;0 +

√�24;0 − 4�4;1

)=

=18

(√17−1+

√34− 2

√17)+14

√17 + 3

√17−

√170 + 38

√17:


Мы несколько преобразовали непосредственно получаемое вы-

ражение для√�24;0 − 4�4;1, однако не будем утомлять читателя

воспроизведением этих простых выкладок.Пользуясь полученной формулой для cos(2�=17), построение

правильного 17-угольника можно выполнить при помощи эле-ментарных правил построения выражений, являющихся квадра-тичными иррациональностями. Разумеется, получится весьмагромоздкая процедура. В настоящее время известны довольнокомпактные способы построения. Один из них будет приведен(без доказательства) в приложении. В одном отношении формуладля cos(2�=17) не оставляет сомнения. Прийти к ней в рамкахтрадиционных геометрических идей времени Евклида невозмож-но. Решение Гаусса принадлежало другой эпохе в математике.Отметим, что наиболее содержательное утверждение | прин-ципиальная возможность построения правильного 17-угольника.Сама процедура построения не столь существенна. Для доказа-тельства возможности построения было достаточно убедиться,что на каждом шаге возникали квадратные уравнения с коэффи-циентами|квадратичными иррациональностями, не выписываяточных выражений (это становится особенно существенным припереходе к большим показателям).

В рассказанном решении уравнения (22) остался совершенноневыясненным вопрос о том, почему оказалось удачным разбие-ние корней, использующее нумерацию "[l], как можно было дога-даться положить ее в основу решения? Сейчас мы, по существу,еще раз повторим решение, обнажив ключевую идею| исследо-вание симметрий в множестве корней.

Симметрии в множестве корней уравнения (22). Прежде всего, за-дача о корнях из единицы тесно связана с арифметикой остатковот деления на n (по модулю n). Действительно, если "n = 1, то"k |также корень n-й степени из единицы, причем число "k за-висит только от остатка от деления k на n. Положим " = "1(см. формулу (17)); тогда "k есть просто " в степени k, поэтому"k · "l = "k+l, где сумма берется по модулю n (остаток от деленияна n); в частности, "k · "n−k = "0 = 1.


Задача 1. Если p|простое число и �|любой комплексный корень p-йстепени из единицы, то множество �k, k = 0; 1; : : : ; p− 1, содержит всекорни p-й степени из единицы.

Указание. Нужно доказать, что в этом случае для всякого 0 < m < pсреди остатков от деления чисел km, k = 0; 1; : : : ; p− 1 на Ò содержатсявсе числа 0; 1; : : : ; p− 1.

Обозначим через Tk следующее преобразование (возведение встепень k): Tk"l = ("l)k = "lk.Задача 2. Докажите, что если n = p | простое число, то каждоеиз преобразований ôk (k = 1; 2; : : : ; p − 1) осуществляет взаимнооднозначное отображение множества корней на себя (т. е. множе-ство {Tk"0; Tk"1; : : : ; Tk"p−1} совпадает с множеством всех корней{"0; "1; : : : ; "p−1}).

Задача 1 показывает, что для всякого 1 6 l 6 p − 1 множе-ство {Tk"0; Tk"1; : : : ; Tk"p−1} совпадает с множеством всех корней.Из задач 1 и 2 следует такой вывод: составим таблицу, в ко-торой на пересечении k-й строки и l-го столбца стоит Tk"l,1 6 k; l 6 p−1; тогда в каждой строке и каждом столбце стоятвсе корни "1; "2; : : : ; "p−1 в некотором порядке без повторений.Отметим, что Tp−1"l = "−l = ("l)−1. Тем, кто знает определениегруппы, советуем проверить, что преобразования Tk образуютгруппу относительно умножения Tk · Tl = Tkl.

Далее мы рассматриваем случай p = 17. Будем говорить,что множество корней M инвариантно относительно преобра-зования Tk, если Tk"l ∈ M для всех "l ∈ M . Относительновсех преобразований Tk инвариантно лишь множество всех кор-ней {"1; "2; : : : ; "16}.

Кардинальная догадка заключается в том, что группа корнейтем «лучше», чем большее число преобразований оставляет этугруппу инвариантной.

Введем для Tk еще одну нумерацию T[l], как это было сделанодля "k: T[l] = Tk, k = 3l. В новых обозначениях T[k]"[l] = "[k+l],T[m](T[k]"[l]) = T[m+k]"[l] (сумму в квадратных скобках надо братьпо модулю 16).

Читатель, конечно, обнаружит аналогию с переходом к лога-рифмам, что не удивительно, так как "[l] = "3l .

Задача 3. Доказать, что если некоторое множество корней инвари-


антно относительно некоторого T[k], где k нечетно, то это множествоинвариантно относительно всех преобразований T[m], т. е. если оно непусто, то совпадает с множеством всех корней.

Указание. Достаточно показать, что если k нечетно, то существуеттакое m, что km дает при делении на 16 остаток 1.

С другой стороны, имеются две группы корней, инвариант-ные относительно всех T[k] с четными k: корни "[l] с четными l икорни с нечетными l. Их суммы мы обозначили через �2;0, �2;1.

Ясно, что �2;0 + �2;1 = −1. Исследуем �2;0 · �2;1. Это произ-ведение является суммой попарных произведений "[k]"[l], где k|четное, l| нечетное, каждое из которых является некоторымкорнем "[m], а всего|64 слагаемых. Мы покажем, что среди нихкаждый из корней "[0]; "[1]; : : : ; "[15] встречается одинаковое числораз (четыре раза), а в результате �2;0 · �2;1 = −4. Воспользуем-ся тем, что преобразования Tk сохраняют группы корней при kчетном и переводят их одна в другую при k нечетном. Каждоеслагаемое в �2;0 · �2;1 однозначно представимо в виде "[m]"[m+r],где 0 6 m 6 15, r = 1; 3; 5; 7 (докажите!). Сгруппируем слагаемыес одинаковыми r. Полученные суммы будут иметь вид

"[0]"[r] + "[1]"[r+1] + "[2]"[r+2] + : : :+ "[15]"[r+15] =

= T[0]("[0]"[r]) + T[1]("[0]"[r]) + : : :+ T[15]("[0]"[r]) =

= T[0]"[r] + T[1]"[r] + : : :+ T[15]"[r] = "[0] + : : :+ "[15] = −1:

Мы воспользовались тем, что

T[m]"[k] · T[m]"[l] = T[m]("[k]"[l])

и уже упоминавшимися свойствами T[m].Значения �2;0, �2;1 найдены выше.Переходим к следующему шагу. Мы хотим ввести в рассмо-

трение новые, меньшие группы корней, инвариантные относи-тельно каких-нибудь T[k]. По аналогии с задачей 3 можно пока-зать, что при этом k обязательно должно делиться на 4. Поэто-му имеются четыре группы корней, инвариантные относительновсех T[4l] и меньшие, чем уже рассмотренные; запишем суммы


корней в каждой группе: �4;0, �4;1, �4;2, �4;3. Мы уже отмечали,что �4;0 + �4;2 = �2;0; �4;1 + �4;3 = �2;1.

Вычислим произведение �4;0 · �4;2; оно представляется ввиде суммы 16 слагаемых вида "[4k]"[4l+2]. Каждое такое сла-гаемое однозначно записывается в виде "[2m]"[2m+2r], r = 1; 3,m = 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Сгруппируем слагаемые с одним r и заме-тим, что "[0]"[2] = "1"9 = "10 = "[3], "[0]"[6] = "[1]"[15] = "[8]. Приr = 1 получаем сумму

T[0]"[3] + T2"[3] + : : :+ T[14]"[3] = �2;1;

при r = 3|сумму∑

k T[2k]"[8] = �2;0, т. е. �[4;0] ·�[4;2] = �2;0+�2;1 == −1. Решая квадратные уравнения, мы нашли �[4;0] · �[4;2].

На последнем шаге мы рассмотрим группы корней, инвари-антные относительно T[8]; их восемь. В частности, �8;0 + �8;4 == �4;0. Вычислим �8;0 ·�8;4. Учитывая, что "[0] ·"[4] = "1"13 = "[14] == "9, получаем �8;0 ·�8;4 = T[0]"[9]+T[4]"[9]+T[8]"[9]+T[12]"[9] = �4;1.Это позволило найти �8;0 = 2 cos(2�=17) и тем самым закончитьрешение.

Мы видели, что рассуждение Гаусса целиком построено наиспользовании преобразований, переставляющих корни. Первым,кто обратил внимание на роль таких преобразований в вопросахразрешимости уравнений, был Лагранж (1736|1813). Вероятно,Гаусс в этот период еще не был знаком с работами Лагранжа.Позднее Галуа (1811| 1832) положил изучение этих преобразо-ваний в основу замечательной теории, ныне носящей его имя. Посуществу для уравнения деления круга Гаусс построил теориюГалуа в полном объеме.

Возможные обобщения и простые числа Ферма. Если не стре-миться получить явное выражение для корней, а доказыватьлишь их квадратичную иррациональность, то выкладки можнопочти полностью опустить, обыгрывая лишь соображения инва-риантности. Именно, �2;0 · �2;1 | сумма каких-то корней "[l], апоскольку эта сумма переходит в себя под действием всех пре-образований T[k], все корни входят в нее одинаковое число раз, азначит �2;0 ·�2;1|целое число. Аналогично, �4;0 ·�4;2 не меняется


при всех преобразованиях вида T[2k], а потому является комби-нацией �2;j ; �8;0 · �8;4 сохраняется всеми T[4k], а значит, являетсякомбинацией �4;j .

Это сокращенное рассуждение позволяет выявить, на какиепростые p обобщается доказательство Гаусса квадратичной ир-рациональности корней p-й степени из 1. Анализ показывает, чтомы пользовались лишь тем, что p−1 = 2k (на каждом шаге груп-пы делились пополам), и нумерацией корней, опирающейся напервообразность 3 для простого числа 17. Для нумерации можнобыло пользоваться любым первообразным корнем. Как мы ужеотмечали, для любого простого p хотя бы один первообразныйкорень существует (кстати, можно показать (докажите!), что 3является первообразным корнем для всех p вида 2k + 1). Заме-тим также, что если p = 2k + 1 | простое число, то k = 2r.Итак, доказана возможность построения циркулем и линейкойправильного p-угольника для всех простых p вида 22

r

+ 1.Простые числа вида 22

r

+1 имеют свою историю. Эти простыечисла принято называть числами Ферма. Ферма предполагал,что все числа такого рода являются простыми. Действительно,при r = 0 получаем 3, при r = 1| 5, при r = 2| 17. Далее приr = 3 получается 257, при r = 4| 65 537. Оба эти числа про-стые. При r = 5 получается число 4 294 967 297. Ферма и у негоне обнаружил простых делителей, но Эйлер выяснил, что Ферма«просмотрел» делитель 641. Сейчас известно, что числа Фермаявляются составными при r = 6; 7; 8; 9; 11; 12; 15; 18; 23; 36; 38; 73(например, при r = 73 имеется простой делитель 5 · 275 + 1).Имеется гипотеза, что существует лишь конечное число простыхчисел Ферма.

Что касается правильных n-угольников для составного n, тов силу обстоятельств, отмеченных выше (с. 332), мы сразу по-лучаем возможность искомого построения для всех n > 2 вида2kp1p2 : : : pl, где p1; p2; : : : ; pl|различные простые числа Ферма.Замечательно, что других n, для которых возможно построение,вообще не существует. Доказательство этого утверждения Гауссне опубликовал: «Хотя границы нашего сочинения не позволяютпровести этого доказательства, мы думаем, что надо все же на


это указать для того, чтобы кто-либо не пытался искать ещедругих случаев, кроме тех, которые указаны нашей теорией,например, не надеялся бы свести на геометрические построе-ния (т. е. на построения циркулем и линейкой | С. Г.) делениеокружности на 7; 11; 13; 19; : : : частей и не тратил бы зря своеговремени». Из результата Гаусса следует принципиальная возмож-ность построения правильного p-угольника при p = 257 и 65537,однако вычисление корней, не говоря уже о явном описании по-строения, требует колоссальной, но совершенно автоматическойработы. Замечательно, что нашлись желающие ее провести нетолько при p = 257 (Ришело это сделал в сочинении из 80 стра-ниц; есть сведения, что это построение проделал и сам Гаусс),но и при p = 65537 (решение, полученное Гермесом, содержитсяв чемодане солидных размеров в Геттингене). Вот какую шуткупридумал по этому поводу английский математик Дж.Литтлвуд:«Один навязчивый аспирант довел своего руководителя до того,что тот сказал ему: «Идите и разработайте построение правиль-ного многоугольника с 65537 сторонами». Аспирант удалился,чтобы вернуться через 20 лет с соответствующим построением».

Заключительные замечания. Мы уже отмечали, что день 30 мар-та 1796 г., когда было найдено построение правильного 17-угольника, определил судьбу Гаусса. Ф. Клейн пишет:

«С этой даты начинается дневник 〈: : :〉 Перед нашими глазамипроходит гордый ряд великих открытий в арифметике, алгебреи анализе 〈: : :〉 И среди всех этих проявлений, мощных порывовгениального духа, можно сказать, трогательно находить до ме-лочей добросовестно выполненные ученические работы, от ко-торых не освобождены и такие люди как Гаусс. Мы находимздесь записи добросовестных упражнений в дифференцировании,и непосредственно перед делением лемнискаты здесь встречают-ся совершенно банальные подстановки в интегралах, в которыхдолжен упражняться любой студент».

Работа Гаусса надолго становится недосягаемым образцомматематического открытия. Один из создателей неевклидовойгеометрии Янош Бойяи (1802|1860) называл его «самым блестя-


щим открытием нашего времени или даже всех времен». Толькотрудно было это открытие постигнуть! Благодаря письмам народину великого норвежского математика Абеля (1802| 1829),доказавшего неразрешимость в радикалах уравнения 5-й степе-ни, мы знаем о трудном пути, который он прошел, изучая теориюГаусса. В 1825 г. Абель пишет из Германии: «Если даже Гаусс|величайший гений, он, очевидно, не стремился, чтобы все этосразу поняли». Он решает не встречаться с Гауссом, но позднеепишет из Франции: «Мне в конце концов удалось приподнять за-весу таинственности, окружавшую до сих пор теорию делениякруга, созданную Гауссом. Теперь ход его рассуждений ясен мне,как божий день». Работа Гаусса вдохновляет Абеля на построениетеории, в которой «столько замечательных теорем, что просто неверится». Он собирается в Германию, чтобы «взять Гаусса штур-мом». Несомненно влияние Гаусса и на Галуа.

Сам Гаусс сохранил трогательную любовь к своему первомуоткрытию на всю жизнь:

«Рассказывают, что Архимед завещал построить над своеймогилой памятник в виде шара и цилиндра в память о том, что оннашел отношение объемов цилиндра и вписанного в него шара|3 : 2. Подобно Архимеду Гаусс выразил желание, чтобы в па-мятнике на его могиле был увековечен семнадцатиугольник. Этопоказывает, какое значение сам Гаусс придавал своему откры-тию. На могильном камне Гаусса этого рисунка нет, но памятник,воздвигнутый Гауссу в Брауншвейге, стоит на семнадцатиуголь-ном постаменте, правда, едва заметном зрителю» (Г. Вебер).

Приложение. Приведем выдержку из книги Г. Кокстера «Введе-ние в геометрию» (М.: Наука, 1966, с. 49), содержащую рецептРичмонда для построения правильного 17-угольника: Соединимточку P0 с точкой J , лежащей на радиусеOB на расстоянииOB=4от центра. На диаметре, проходящем через точку P0, выберемточки E и F так, чтобы ∠OJE был равен четверти угла OJP0,а ∠FJE был равен 45◦. Пусть окружность, построенная на FP0

как на диаметре, пересекает OB в точке K и пусть окружностьс центром å и радиусом EK пересекает OP0 в точках N3 (между

Золотая теорема 347

P0

P1

P2

P3P4P5

P6

P7

P8

B

KJ

F E

N5 N3O

O и P0) и N5. Восставим перпендикуляры к OP0 в этих двух точ-ках до пересечения с первоначальной окружностью в точках P3

и P5. Тогда дуга P3P5 (и равная ей дуга P1P3) равна2

17окружно-

сти. В доказательстве несколько раз используется тот факт, чтокорни уравнения x2 + 2x · ctg 2�− 1 = 0 равны tg� и − ctg�.

2. Золотая теорема

Я случайно натолкнулся на одну изумительную арифметиче-скую истину, и, так как она не только показалась мне пре-красной сама по себе, но и навела на мысль, что она связанаи с другими выдающимися фактами, я со всей энергией взялсяза то, чтобы выяснить принципы, на которых она основыва-ется, и получить строгое ее доказательство. После того какэто желание, наконец, осуществилось, прелесть этих иссле-дований настолько увлекла меня, что я уже не мог их оста-вить. Гаусс

30 марта 1796 г., в день когда был построен правильный17-угольник, начинается дневник Гаусса| летопись его замеча-тельных открытий. Следующая запись в дневнике появилась уже8 апреля. В ней сообщалось о доказательстве теоремы, которуюон назвал «золотой». Ее частные случаи доказали Ферма, Эйлер,Лагранж. Эйлер сформулировал общую гипотезу, неполное до-казательство которой дал Лежандр. 8 апреля Гаусс нашел полноедоказательство гипотезы Эйлера. Впрочем, Гаусс еще не знал оработах своих великих предшественников. Весь нелегкий путь к«золотой теореме» он прошел самостоятельно!


Все началось с детских наблюдений. Иногда, глядя на оченьбольшое число, можно сразу сказать, что из него нельзя точноизвлечь квадратный корень. Например, можно воспользоватьсятем, что квадраты целых чисел не могут оканчиваться ни на 2,ни на 3, ни на 7, ни на 8. А иногда можно воспользоваться тем,что квадрат целого числа может либо делиться на 3, либо даватьостаток 1 (но никогда 2). Оба эти свойства имеют одну приро-ду, поскольку последняя цифра| это остаток от деления на 10.Гаусса интересует общая проблема: какими могут вообще бытьостатки от деления квадратов на различные простые числа. Ис-следуем и мы этот вопрос.

Квадратичные вычеты. Всюду ниже мы будем предполагать, чтоp|простое число, причем p 6= 2. Делить целые числа можно «снедостатком» или «с избытком». Иными словами, остатки можносчитать положительными или отрицательными. Условимся выби-рать остаток наименьшим по абсолютной величине.

Нетрудно доказать, что если p нечетно, то всякое целое чи-сло n единственным образом представляется в виде

n = pq + r; |r| 6 p− 12

; (23)

где q и r|целые.Будем называть r остатком от деления n на p или вычетом

числа n по модулю p. Это обозначается так:

n ≡ r (mod p):

Выпишем в табл. 1 вычеты1 для нескольких первых простых чи-сел p > 2. Нас интересует, какие вычеты (остатки) могут иметьквадраты целых чисел. Эти остатки мы будем называть квадра-тичными вычетами, а остальные|квадратичными невычетами.

Числа n2 и r2, где r|остаток числа n по модулю p, имеютодин и тот же остаток при делении на p. Поэтому, если мы хотим

1То, что мы называем вычетом (остатком), обычно называют абсолютнонаименьшим вычетом (остатком). Мы сократили название, так как другихвычетов нам не встретится. Обозначение n ≡ r (mod p) также используетсяобычно в более общей ситуации: оно означает, что n− r делится на Ò.


p k =p− 12

Вычеты (остатки) по модулю p

3 1 −1 0 15 2 −2 −1 0 1 27 3 −3 −2 −1 0 1 2 311 5 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 513 6 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 617 8 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Таблица 1.

p k =p− 12

Квадратичные вычеты и невычеты по модулю p

3 1 −1 0 1

5 2 −2 −1 0 1 27 3 −3 −2 −1 0 1 2 311 5 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 513 6 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 617 8 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Таблица 2.

найти квадратичные вычеты, то достаточно возводить в квадратлишь вычеты, т. е. целые числа r, |r| 6 k = (p − 1)=2. При этом,разумеется, достаточно рассматривать r > 0.

Проведем вычисления для простых чисел из предыдущей та-блицы. Составим новую таблицу, в которой «жирные» числа от-вечают квадратичным вычетам (табл. 2).

Попытаемся подметить некоторые закономерности и оценитьстепень их общности. Во-первых, в каждой строке есть в точ-ности k + 1 жирное число. Покажем, что так обстоит дело длявсех простых p > 2. Из сказанного выше следует, что для ка-ждого нечетного p (даже не простого) квадратичных вычетов


не больше k+1. Мы покажем, что их точно k+1, если убедимся,что все числа r2 (0 6 r 6 k) дают при делении на p различныеостатки. Если r1 > r2 и при этом r21 и r

22 дают одинаковые остат-

ки, то r21−r22 делится на p. Поскольку p|простое число, то r1+r2или r1 − r2 должно делиться на p, чего не может быть, так как0 < r1 + r2 < 2k < p. Здесь мы впервые воспользовались про-стотой p (покажите, что для составных чисел наше утверждениеневерно).

Теорема Ферма и критерий Эйлера. Далее, очевидно, что 0 и 1являются жирными во всех строчках. Что касается остальныхстолбцов, то сразу не видна закономерность, согласно которой вних появляются жирные числа. Начнем с a = −1. Оно являетсяжирным при p = 5; 13; 17; : : : и не является при p = 3; 7; 11 : : : .Вы, может быть, заметили, что простые числа первой группыпри делении на 4 дают остаток 1, а второй|остаток −1 (заметь-те, что простые числа p 6= 2 других остатков вообще давать немогут) . Итак, можно предположить, что −1 является квадратич-ным вычетом для простых чисел вида p = 4l+1 и квадратичнымневычетом для p = 4l − 1. Эту закономерность первым заметилФерма, однако оставил ее без доказательства. Попытайтесь най-ти доказательство самостоятельно! Вы убедитесь, что главнаятрудность в том, что не видно, как воспользоваться простотой p,а без этого предположения утверждение становится неверным.

Первое доказательство после нескольких неудачных попытокнашел в 1747 г. Эйлер. В 1755 г. Эйлер нашел другое, очень изящ-ное доказательство, использующее «малую теорему Ферма»: Еслиp|простое число, то для всякого целого a, 0 < |a| < p,

ap−1 ≡ 1 (mod p): (24)

Доказательство. При p = 2 утверждение очевидно, и можно счи-тать p нечетным. Рассмотрим p чисел 0;±a;±2a;±3Á; : : : ;±ka;k = (p−1)=2. Все эти числа при делении на p дают разные остат-ки, так как в противном случае r1a−r2a, r1 > r2, |r1| 6 k, |r1| 6 k,делится на p, но a не делится на p и r1 − r2 не делится на p, таккак 0 < r1 − r2 < p. Перемножим те из рассматриваемых чисел,


которые отличны от нуля; получим (−1)k(k!)2ap−1. Посколькусреди остатков сомножителей содержатся все ненулевые вычетыи учитывая правило вычисления остатка произведения, получа-ем, что произведение имеет тот же вычет, что и (−1)k(k!)2, т. е.(k!)2(ap−1−1) делится на p. Так как k! не делится на Ò (0 < k < p),то на p делится ap−1 − 1, и доказательство окончено.

Следствие (критерий Эйлера квадратичности вычета). Вычет b 6=6= 0 является квадратичным тогда и только тогда, когда

bk ≡ 1 (mod p); k =p− 12

: (25)

Доказательство. Необходимость условия (25) устанавливаетсялегко. Если a2 ≡ b (mod p), 0 < a < p, то a2k = ap−1 и bk должныиметь одинаковые вычеты, равные, в силу (25), единице. Доста-точность показывается сложнее. Мы выведем ее из следующейлеммы.

Лемма 1. Если P (x)|многочлен степени l, p|простое число иимеется более l различных вычетов r по модулю p, для которых

P (r) ≡ 0 (mod p); (26)

то (26) имеет место для всех вычетов.Доказательство будем вести индукцией по l. При l = 0 утвер-

ждение очевидно. Пусть оно справедливо для многочленов сте-пени не выше l − 1. Пусть далее r0; r1; : : : rl, 0 6 rj < p, удо-влетворяют сравнению P (r) ≡ 0 (mod p). Представим P (x) ввиде P (x) = (x − r0)Q(x) + P (r0), где Q(È) | многочлен степе-ни l−1, а P (r0) делится на p. Тогда, поскольку P (r0) делится на p,(rj−r0)Q(rj) делится на p при 1 6 j 6 l. Так как rj−r0 не можетделиться на p, то Q(rj) делится на p, а тогда по предположениюиндукции Q(r) будет делиться на p при всех r. Следовательно,P (r) делится на p при всех r.

Применим лемму к многочлену P (x) = xk − 1. Тогда соотно-шению (26) удовлетворяет k ненулевых квадратичных вычетов.Однако имеется вычет (r = 0), не удовлетворяющий (26); зна-чит, по лемме, все квадратичные невычеты должны не удовле-творять (26) и, следовательно, условие (25) достаточно.


Замечание. Для квадратичного невычета b имеем: b(p−1)=2 ≡ −1(mod p).Действительно, если b(p−1)=2 ≡ r (mod p), то r2 ≡ 1 (mod p), от-куда r = −1. (Сравнению r2 ≡ 1 (mod p) удовлетворяют толькодва вычета: r ≡ 1 (mod p), r ≡ −1 (mod p).)

Критерий Эйлера позволяет мгновенно решить вопрос о том,для каких p вычет −1 является квадратичным. Подставляя в (25)b = −1, получаем, что при p = 4l+1 соотношение (25) выполняет-ся (k|четно), а при p = 4l − 1|не выполняется (k|нечетно).Сформулированная выше гипотеза стала теоремой.

Задача 1. Доказать, что если p 6= 2 есть простой делитель числаn2 + 1, то p = 4l + 1.

Итак, мы доказали, что −1| квадратичный вычет для p == 4l + 1 и квадратичный невычет для p = 4l − 1.

Обсудим некоторые особенности приведенного доказатель-ства. Это утверждение состоит из двух частей: отрицательноеутверждение для p = 4l − 1 и положительное для p = 4l + 1.В первом случае естественно пытаться найти некоторое свой-ство, которому квадратичные вычеты удовлетворяют, а −1 неудовлетворяет, что и сделал Эйлер. Найденное свойство оказа-лось характеристическим, т. е. одновременно удалось доказать ивторую часть гипотезы. Если вы пробовали доказать эту частьутверждения самостоятельно, то вы, вероятно, пытались явнопостроить по p = 4l+ 1 число n2, дающее при делении на p оста-ток −1. Доказательство Эйлера неэффективно в том смысле, чтооно не дает явной конструкции для числа n по p, а лишь утвер-ждает его существование. Иными словами, гарантируется, чтоесли мы будем перебирать числа 1; 2; : : : ; 2l, возводить их в ква-драты, брать остатки от деления квадратов на p, то рано илипоздно мы получим −1. Остается открытым вопрос, нельзя лиуказать более явную конструкцию n и p, не использующую про-цедуры перебора. Положительный ответ дал Лагранж (1736 |1813) в 1773 г., используя следующую теорему.


Теорема Вильсона.1 Если p = 2k + 1 есть простое число, то

(−1)k(k!)2 ≡ −1 (mod p): (27)

Для доказательства этой теоремы воспользуемся леммой 1.Положим P (x) = (x2 − 1)(x2 − 4) : : : (x2 − k2), Q(x) = x2k − 1.Тогда R(x) = P (x) − Q(x)|многочлен степени не выше 2k − 1,который при x = ±1;±2; : : : ;±k делится на p (этим свойствомобладают P и Q). По лемме R(x) ≡ 0 (mod p) для всех x. Соб-ственно, новым фактом является лишь то, что R(0) ≡ 0 (mod Ò).Поскольку R(0) = (−1)k(k!)2 + 1, получаем (27).

Следствие Лагранжа. При p = 4l+1 имеем: [(2l!)]2 ≡ −1 (mod p).Задача 2. Доказать, что если (27) верно, то p|простое число.

Эта задача дает повод отметить, что в конструкции Лагран-жа простота p существенна.

Выяснив, когда a = −1 является квадратичным вычетом,Эйлер, используя огромный числовой материал, пытается най-ти аналогичные условия для других a. Он подмечает, что приa = 2 все зависит от остатка при делении p на 8; 2 оказываетсяквадратичным вычетом для простых p = 8l± 1 и невычетом приÒ = 8l ± 3 (простое число p > 2 при делении на 8 может даватьостатки ±1;±3). Далее, 3 является квадратичным вычетом приp = 12l ± 1 и квадратичным невычетом при p = 12l ± 5. Эйлервысказывает гипотезу, что и в общем случае все определяетсяостатком от деления p на 4a.

Гипотеза Эйлера.1 Число a одновременно является или квадра-тичным вычетом или квадратичным невычетом для всех про-стых чисел, входящих в арифметическую прогрессию 4aq + r,q = 0; 1; 2; : : :; 0 < r < 4a.

Ясно, что если 4a и r имеют общий делитель s > 1, то в ариф-метической прогрессии не будет ни одного простого числа. Еслиже первый член и разность прогрессии взаимно просты, то, какутверждает теорема Дирихле (1805 | 1859), в этой прогрессии

1Вильсон (1741| 1793)|юрист, изучавший математику в Кембридже.1Гаусс назвал ее «золотой теоремой».


а) 0 1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5

б) 012345

123

Рис. 33. а) p = 11 (k = 5), a = 7, � = 3; б) p = 7 (k = 3), a = −5, � = 2.

имеется бесконечное число простых чисел (обобщение теоремы обесконечности числа простых чисел в натуральном ряду).

Возвратимся к гипотезе Эйлера. Оказалось, что критерий Эй-лера, который сослужил нам добрую службу при a = −1, отка-зывает уже при a = 2. Эйлеру не удалось разобраться в этомслучае. Ему удалось доказать свою гипотезу, не считая a = −1,лишь при a = 3. Затем Лагранж, которого мы уже упоминали,доказал гипотезу при a = 2; 5; 7; Лежандр в 1785 г. предложилдоказательство гипотезы для общего случая, которое, однако, со-держало существенные пробелы.

Доказательство Гаусса. Вначале Гаусс, как и его предшествен-ники, замечает утверждение для a = −1, затем, уже угадаврезультат для общего случая, последовательно разбирает слу-чай за случаем, продвинувшись дальше других: им рассмотреныa = ±2;±3;±5;±7. Общий случай (гипотеза Эйлера) не под-дался первой атаке: «Эта теорема мучила меня целый год и неподдавалась напряженнейшим усилиям». Заметим, что это былото место, где Гаусс «догнал» современную математику: усилиякрупнейших математиков, пытавшихся доказать гипотезу Эйле-ра, были безрезультатными.

Наконец, 8 апреля 1796 г. он находит общее доказательство,которое Кронекер (1823|1891) очень метко назвал «пробой силгауссова гения». Доказательство проводится двойной индукциейпо a и p; Гауссу приходится придумывать существенно различ-ные соображения для рассмотрения восьми (!) различных случа-ев. Нужно было иметь не только поразительную изобретатель-ность, но и удивительное мужество, чтобы не остановиться наэтом пути. Позднее Гаусс нашел еще шесть доказательств «зо-


лотой» теоремы (ныне их известно около пятидесяти). Как эточасто бывает, после того как теорема доказана, удается найтидоказательства много более простые, чем первоначальное. Мыприведем здесь доказательство, мало отличающееся от третье-го доказательства Гаусса. В его основе лежит ключевая лемма,доказанная Гауссом не ранее 1808 г.

Лемма 2. Пусть p = 2k + 1|простое число, a|целое число,0 < |a| 6 2k; r1; r2; : : : ; rk|вычеты чисел a; 2a; : : : ; ka; �|числоотрицательных среди них. Тогда

ak ≡ (−1)� (mod p): (28)

Применяя критерий Эйлера, получаем такое следствие:

Критерий Гаусса квадратичности вычета. Вычет является ква-дратичным тогда и только тогда, когда фигурирующее в лем-ме 2 число � четно.

Доказательство леммы 2. Заметим, что все вычеты r1; : : : ; rkразличны по абсолютной величине. Это следует из того, что сум-ма и разность любых двух из них не делится на p: ri±rj = (i±j)a,i 6= j, |i ± j| < p, |a| < p. Таким образом, набор модулей |r1|,. . . ,|rk|| это числа 1; 2; : : : ; k в некотором порядке. В результатеa · 2a · : : : · ka = akk! при делении на p дает тот же остаток,что и r1 : : : rk = (−1)�k!. Учитывая, что k! не делится на простоечисло p, получаем (28).

Доказательство гипотезы Эйлера. Заметим, что в приводимомрассуждении уже не используется простота p|она в полной ме-ре использована в лемме Гаусса. Отметим на числовой оси точ-киmp=2, если a > 0, и−mp=2, если a < 0 (рис. 33а, б). Занумеруеминтервалы с концами в этих точках по номерам левых концов.Отметим теперь крестиками точки a; 2a; : : : ; ka; так как a|це-лое, не делящееся на p, то крестики не могут совпасть с ранееотмеченными точками, причем все крестики попадут в какие-тоиз построенных интервалов (|a|p=2 > |a|k). Легко заметить, чтофигурирующее в лемме число �|это число крестиков, попав-ших в интервалы с нечетными номерами (докажите!).


а) 0 1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 5;5

б) 0 1 2 3 4 5

1 2 3 3;5

Рис. 34.

Подвергнем теперь нашу картинку преобразованию подобияс коэффициентом 1=a (рис. 33 перейдет в рис. 34). При этом точ-ки mp=2 перейдут в точки, делящие отрезок [0; p=2] на |a| равныхчастей, а крестики|в целочисленные точки 1; 2; : : : ; k.

Нумерация интервалов теперь будет зависеть от знака a: приa > 0 они нумеруются номерами левых концов, при a < 0 |номерами правых концов; �|число целочисленных точек в ин-тервалах с нечетными номерами. Если мы увеличим p на 4al, тов каждый интервал добавится точно 2l целых точек. Это следу-ет из того, что при сдвиге интервала на целое число количествоцелых точек в нем не меняется, а на любом отрезке целочислен-ной длины n или интервале длины n с нецелочисленными концамиимеется ровно n целых точек (докажите!). Итак, при замене p наp+4al величина � изменится на четное число, а (−1)� не изменит-ся. Значит, для всех p в арифметической прогрессии p = 4aq + rзначение (−1)� одно и то же, и гипотеза Эйлера доказана.

Одновременно указан некоторый способ выяснить, являетсяли a квадратичным вычетом для p. Нужно взять остаток r от де-ления p на 4a (для удобства положительный); разделить (0; r=2)на |a| частей, занумеровав их номерами левых (правых) концов,если a положительно (отрицательно); сосчитать число � целыхточек, попавших в интервалы с нечетный номерами; a|квадра-тичный вычет в том и только в том случае, когда � четно.

Проделаем эти вычисления для a = 2, чтобы подтвердить на-блюдения Эйлера, о которых говорилось на с. 353. Пусть a = 2;тогда достаточно рассмотреть r = 1; 3; 5; 7, поскольку в осталь-ных случаях арифметическая прогрессия не будет содержатьпростых чисел. Как видно из рис. 35, число 2 является квадра-тичным вычетом для p = 8q + 1, p = 8q + 7, т. е. p = 8q ± 1.


012

0 0;5

0 1 2

0 1 1;5

0 1 2

1 20 2;5

0 1 2

0 1 2 3;5

Рис. 35. r = 1, a = 2, � = 0; r = 3, a = 3, � = 1; r = 5, a = 2, � = 1; r = 7,

a = 2, � = 2.

Упражнение. Покажите, что −2 есть квадратичный вычет дляp = 8q + 1, p = 8q + 3.

Аналогично рассматривается случай Á = ±3. Приведем итогивычислений (таблица для �):

r = 1 r = 3 r = 5 r = 7a = 3 0 1 1 2a = −3 0 1 2 3

Таким образом, 3 | квадратичный вычет при p = 12l ± 1(невычет при p = 12l ± 5), а (−3) | квадратичный вычет дляp = 12l + 1, p = 12l + 5.

Для случая a = 2; 3 вы, конечно, заметили еще одну закономер-ность: простые числа, имеющие при делении на 4a остатки, рав-ные по абсолютной величине, одновременно являются либо ква-дратичными вычетами, либо квадратичными невычетами. Этообстоятельство, разумеется, не осталось незамеченным для Эй-лера, и он сформулировал гипотезу в более сильной форме, чеммы ее привели.

Сформулируем теперь

Дополнение к гипотезе Эйлера. Пусть p и q|простые числа иp + q = 4a. Тогда a или является квадратичным вычетом и помодулю p, и по модулю q, или квадратичным невычетом и помодулю p, и по модулю q.

Доказательство. Выполним построения, указанные при доказа-тельстве гипотезы Эйлера, для интервалов (0; p=2), (0; q=2), a =


0 1 2 3 41234

0 1 2 3 4 5 5;5122;5

Рис. 36. p = 11, q = 5, a = (p+ q)=4, �(p) = 2, �(q) = 2.

= (p+ q)=4. Для удобства расположим интервалы так, чтобы ониимели точку 0 общей, находясь по разные стороны от нее; приэтом интервал (0; q=2) мы перевернем (рис. 36). Пусть �(p); �(q)|число целых точек в интервалах с нечетными номерами для p и qсоответственно. Нам достаточно доказать, что �(Ò)+�(q) четно.Пусть �j(p), �j(q) | число целых точек в соответствующих ин-тервалах с номерами j. Легко видеть, что �j(p) + �j(q) = 2 приj > 0, откуда и будет следовать нужный результат.

Действительно, на интервале между j-ми левой и правой точ-ками (j > 0) лежит 2j целых точек, поскольку, как мы ужеотмечали, на интервале длины 2j с нецелочисленными концамилежит 2j целых точек.

Квадратичный закон взаимности. В 1798 г. Лежандр указал оченьудобное утверждение, эквивалентное гипотезе,| квадратичныйзакон взаимности. Введем обозначение|так называемый символЛежандра:(

a

p

)=

{+1; если a|квадратичный вычет по модулю p,−1; если a|квадратичный невычет.

В силу критерия Эйлера (и замечания к нему, с. 352)(a

p

)≡ a(p−1)=2 (mod p): (29)

Отсюда сразу следует мультипликативное свойство символа Ле-жандра: (

ab

p

)=(a

p

)(b

p

): (30)


Отметим также, что символ Лежандра можно доопределить длявсех a, не делящихся на p, с сохранением (29), (30), полагая(

a+ p

p

)=(a

p

): (31)

Теперь мы можем сформулировать квадратичный закон вза-имности:Если p, q|нечетные простые числа, то(

p

q

)(q

p

)= (−1)

p−12· q−12 : (32)

Другими словами,

(p

q

)и

(q

p

)имеют противоположные знаки,

если p = 4l + 3, q = 4m+ 3, и совпадают в остальных случаях.Название закона связано с тем, что в нем устанавливается

«взаимность» между вопросами о том, когда p|квадратичныйвычет по модулю q и когда q|квадратичный вычет по модулю p.Доказательство. Всегда или p− q = 4a, или p+ q = 4a.

Случай 1. Пусть p−q = 4a, т. е. p и q имеют одинаковые остат-

ки при делении на 4. Тогда(p

q

)=(q + 4a

q

)=(4a

q

)=(a

q

)(мы воспользовались (31), (30) и тем, что

(4

q

)= 1 при всех q).

Далее,(q

p

)=(p− 4a

p

)=(−4ap

)=(−1p

)(a

p

). В силу уже до-

казанной гипотезы Эйлера(a

p

)=(a

q

), т. е.

(p

q

)=(q

p

)при(

−1p

)= 1 и

(p

q

)= −

(q

p

)при

(−1p

)= −1. Остается вспо-

мнить, что(−1p

)= 1 при p = 4l + 1,

(−1p

)= −1 при p = 4l + 3.

Случай 2. Пусть p+ q = 4a, т. е. p и q имеют разные остатки

при делении на 4. Имеем(p

q

)=(4a− q

q

)=(a

q

). Аналогично,


(q

p

)=(a

p

). В силу дополнения к гипотезе Эйлера

(a

p

)=(a

q

),

т. е.(p

q

)=(q

p

). Доказательство окончено. Нетрудно заметить,

что проведенные рассуждения можно обратить и вывести из ква-дратичного закона взаимности гипотезу Эйлера и дополнение кней (проделайте это!). Отметим еще, что формулы (30) { (32)

дают способ вычисления(p

q

)существенно более простой, чем

описанный выше комбинаторный способ. Проиллюстрируем этона примере:

(59

269

)=(269

59

)=(59 · 4 + 33

59

)=(3

59

)·(11

59

)= −1;

так как(3

59

)= −

(59

3

)= −

(2

3

)= 1;

(11

59

)= −

(59

11

)= −

(4

11

)=

= −1. Легко показать, что вычисление символа Лежандра всегдаможно свести к случаю, когда p или q равно 2.

Упражнение. Сосчитайте(37

557

),(43

991

).

В заключение отметим, что задача о квадратичных вычетахпослужила отправной точкой большой и плодотворной математи-ческой деятельности. Многочисленные попытки Гаусса получитьновые доказательства квадратичного закона взаимности далеконе в первую очередь диктовались желанием упростить доказа-тельства. Гаусса не оставляла мысль, что им по-настоящему невскрыты глубокие закономерности, следствием которых являет-ся закон взаимности. В полной мере это удалось сделать лишьпозднее, в рамках теории алгебраических чисел. Гаусс потратилмного сил на обобщение квадратичного закона на кубический ибиквадратный случаи, получив замечательные результаты. Этиисследования были продолжены, и изучение различных законоввзаимности остается одним из центральных вопросов теории чи-сел по сей день.

Королевские будни 361

3. Королевские будни

Мы подробно рассказали о двух первых великих открытиях Гаус-са, сделанных им в Геттингене, на протяжении 10 дней, за месяцдо того, как ему исполнилось 19 лет. Второе из этих открытийцеликом относилось к арифметике (теории чисел), а первое в су-щественном опиралось на арифметические рассмотрения. Теориячисел|первая любовь Гаусса.

Любимейшая наука величайших математиков. Это один из много-численных эпитетов, которыми Гаусс наделял арифметику (тео-рию чисел). К тому времени арифметика из набора изолирован-ных наблюдений и утверждений уже превратилась в науку.

Позднее Гаусс напишет: «Главным образом, более поздним ис-следователям, правда немногочисленным, но завоевавшим непре-ходящую славу,|таким, как Ферма, Эйлер, Лагранж, Лежандр,мы обязаны тем, что они нашли доступ к сокровищнице этойбожественной науки и показали, какими богатствами она напол-нена».

Одна из самых удивительных сторон «феномена Гаусса» за-ключается в том, что он в своих первых работах практически неопирался на достижения предшественников, переоткрыв за ко-роткий срок то, что было сделано в теории чисел за полторавека трудами крупнейших математиков.

Гаусс использует пребывание в Геттингене для изучениятрудов классиков, он переосмысливает их достижения, сопоста-вляет с тем, что он открыл сам. По его замыслу результатыэтой деятельности должны были быть подытожены во всеобъ-емлющем труде. К написанию этой книги Гаусс приступаетпосле возвращения в Брауншвейг в 1798 г. после окончанияуниверситета. В книгу должны были войти собственные ре-зультаты, все еще остававшиеся неопубликованными, если несчитать газетной заметки, в которой кстати обещалось: «Этооткрытие является собственно лишь следствием одной еще несовсем законченной большой теории. Как только она получитэту законченность, она будет предложена публике». На осуще-


ствление грандиозного замысла ушло четыре года напряженнойработы.

В 1801 г. вышли знаменитые «Арифметические исследования»Гаусса. Эта огромная книга (более 500 страниц крупного форма-та) содержит основные результаты Гаусса: квадратичный законвзаимности, задачу деления круга, вопрос о представимости це-лых чисел в виде am2 + bmn + cn2 (в частности, в виде суммыквадратов). Книга была издана на средства герцога и ему по-священа. В изданном виде книга состояла из семи частей. Навосьмую часть денег не хватило. В этой части речь должна былаидти об обобщении закона взаимности на степени выше второй, вчастности|о биквадратичном законе взаимности. Полное дока-зательство биквадратичного закона Гаусс нашел лишь 23 октября1813 г., причем в дневниках он отметил, что это совпало с рожде-нием сына.

Клейн писал: «В своих"Арифметических исследованиях\

Гаусс в полном смысле этого слова создал современную теориючисел и предопределил все ее дальнейшее развитие до нынешнегодня. Восхищение этим трудом возрастает еще больше, когда на-блюдаешь, как Гаусс без всякого внешнего побуждения с самогоначала черпает этот мир из самого себя».

За пределами «Арифметических исследований» Гаусс, по су-ществу, теорией чисел больше не занимался. Он лишь продумы-вал и доделывал то, что было задумано в те годы. Например,он придумал еще шесть разных доказательств квадратично-го закона взаимности. «Арифметические исследования» сильноопередили свое время. В процессе их создания Гаусс не имелсерьезных математических контактов, а вышедшая книга долгоне была доступна никому из немецких математиков. Во Фран-ции, где можно было рассчитывать на интерес Лагранжа, Ле-жандра и др., книге не повезло: обанкротился книготорговец,который должен был распространять книгу, и большая частьтиража пропала. В результате ученикам Гаусса приходилосьпозднее переписывать отрывки из книги от руки. Положениев Германии стало меняться лишь в 40-х годах, когда Дирихлеосновательно изучил «Исследования» и читал по ним лекции.


А в Казань | к Бартельсу и его ученикам | книга попала в1807 г.

«Арифметические исследования» оказали огромное влияние надальнейшее развитие теории чисел и алгебры. Отталкиваясь отработы Гаусса о делении круга, Галуа пришел к решению вопросао разрешимости уравнений в радикалах. Законы взаимности досих пор занимают одно из центральных мест в алгебраическойтеории чисел.

Гельмштадтская диссертация. В Брауншвейге Гаусс не имел ли-тературы, необходимой для работы над «Арифметическими ис-следованиями». Поэтому он часто ездил в соседний Гельмштадт,где была хорошая библиотека. Здесь в 1798 г. Гаусс подгото-вил диссертацию, посвященную доказательству «основной тео-ремы алгебры» | утверждения о том, что всякий многочлен скомплексными (в частности, с действительными) коэффициента-ми имеет комплексный корень (если хотеть оставаться в обла-сти действительных чисел, то основную теорему алгебры можносформулировать так: всякий многочлен с действительными коэф-фициентами раскладывается в произведение многочленов первойи второй степени). Гаусс критически разбирает все предшеству-ющие попытки доказательства и с большой тщательностью про-водит идею Даламбера. Безупречного доказательства все же неполучилось, так как не хватало строгой теории непрерывности.В дальнейшем Гаусс придумал еще три доказательства основнойтеоремы (последний раз|в 1848 г.).

Лемниската и арифметико-геометрическое среднее. Расскажемеще об одной линии в работах Гаусса, начавшейся в детстве.В 1791 г., когда Гауссу было 14 лет, его занимала следующаяигра. Он брал два числа a0, b0 и строил для них среднее арифме-тическое a1 = (a0 + b0)=2 и среднее геометрическое b1 =

√a0b0.

Затем он вычислял средние от a1, b1: a2 = (a1+b1)=2 , b2 =√a1b1,

и т. д. Гаусс вычислял обе последовательности с большим чи-слом знаков. Очень скоро он уже не мог различить an и bn |все вычисленные знаки совпадали. Другими словами, обе по-следовательности быстро стремились к общему пределу M(a; b)


(называемому арифметико-геометрическим средним). В те жегоды Гаусс много возился с кривой, называемой лемнискатой

x

y

O1O2

t

(или лемнискатой Бернулли),|множеством точек, произведе-ние расстояний каждой из кото-рых до двух фиксированных то-чек O1, O2 (фокусов) постояннои равно (O1O2=2)2. К система-тическому изучению лемниска-ты Гаусс перешел в 1797 г. Ондолго пытается найти длину лемнискаты, пока не догадывается,

что она равна2�

M(√2; 2)

O1O2. Мы не знаем, как Гаусс сообразил

это, но знаем, что было это 30 мая 1799 г. и что, не имея вначаледоказательства, он сосчитал обе величины с одиннадцатью (!) де-сятичными знаками. Гаусс придумал для лемнискаты функции,аналогичные тригонометрическим функциям для окружности.Например, для лемнискаты, расстояние между фокусами кото-рой равно

√2, лемнискатный синус sl t|это просто длина хорды,

соответствующей дуге длины t. Последние годы XVIII столетияу Гаусса уходят на построение теории лемнискатных функций.Для них были получены теоремы сложения и приведения, анало-гичные теоремам для тригонометрических функций.

От лемнискатных функций Гаусс переходит к их обобще-нию|эллиптическим функциям. Он понимает, что речь идет «осовершенно новой области анализа». После 1800 г. Гаусс уже несмог уделять эллиптическим функциям столько времени, сколькобыло необходимо для доведения теории до состояния, удовлетво-ряющего его своей полнотой и строгостью. С самого начала онотказался от регулярных публикаций, надеясь опубликовать всеразом, как это было с его арифметическими работами. Однакозаботы так никогда и не доставили ему необходимого времени.

В 1808 г. он пишет своему другу и ученику Шумахеру: «С кру-говыми и логарифмическими функциями мы умеем теперь об-ходиться как единожды один, но великолепный золотой родник,хранящий сокровенное высших функций, остается пока почти


terra incognita1. Я очень много работал над этим прежде и современем дам собственный большой труд об этом, на что я наме-кал еще в моих

"Арифметических исследованиях\. Приходишь в

изумление от чрезвычайного богатства новых и в высшей степе-ни интересных истин и соотношений, доставляемых этими функ-циями».

Гаусс считал, что может не торопиться с публикацией своихрезультатов. Тридцать лет так и было. Но в 1827 г. сразу двамолодых математика | Абель и Якоби | опубликовали многоеиз того, что было им получено.

«Результаты Якоби представляют часть моей собственнойбольшой работы, которую я собираюсь когда-нибудь издать.Она будет представлять исчерпывающий труд на эту тему, еслитолько небесам будет угодно продлить мою жизнь и дароватьмне силы и душевный покой» (письмо Шумахеру).

«Господин Абель предвосхитил многие мои мысли и примернона треть облегчил мою задачу, изложив результаты с большойстрогостью и изяществом. Абель шел тем же путем, что и я в1798 г., поэтому нет ничего невероятного в том, что мы получи-ли столь похожие результаты. К моему удивлению, это сходствораспространяется даже на форму, а местами и на обозначения,поэтому многие его формулы кажутся списанными с моих. Ночтобы никто не понял меня неправильно, я должен добавить, чтоне помню ни одного случая, когда я говорил об этих исследова-ниях с кем-нибудь из посторонних» (письмо Бесселю).

Наконец, в письме Креллю: «Поскольку Абель продемонстри-ровал такую проницательность и такое изящество в вопросахизложения, я чувствую, что могу совершенно отказаться от опу-бликования полученных мной результатов» (май 1828 г.).

Следует отметить, что замечание Гаусса в «Арифметическихисследованиях» о том, что теорию деления круга можно перене-сти на лемнискату, оказало большое влияние на Абеля.

С наступлением нового века научные интересы Гаусса реши-тельно сместились в сторону от чистой математики. Он много

1Неизведанная область (лат.).


раз эпизодически будет обращаться к ней и каждый раз получатьрезультаты, достойные гения. В 1812 г. он опубликовал работуо гипергеометрической функции. (Эта функция зависит от трехпараметров. Придавая им конкретные значения, можно получитьбольшинство функций, встречающихся в математической физи-ке.) Широко известна заслуга Гаусса в геометрической интер-претации комплексных чисел. О его геометрических работах мырасскажем ниже. Однако никогда математика уже не будет глав-ным делом его жизни. Характерный внешний штрих: в 1801 г.Гаусс прекращает регулярно вести дневник (хотя отдельные за-писи появляются до 1814 г.). Мы редко отдаем себе отчет, каккороток был «математический век» Гаусса | менее 10 лет. Приэтом большую часть времени заняли работы, оставшиеся неиз-вестными современникам (эллиптические функции).

Малые планеты. Расскажем теперь о новом увлечении Гаусса.Биографы много спорили о причинах, по которым Гаусс началзаниматься астрономией. Прежде всего надо иметь в виду, что,начиная с работ Кеплера, Галилея и Ньютона, астрономия быланаиболее ярким местом приложения математики. Эта традициябыла продолжена в трудах Эйлера, Даламбера, Клеро, Лагранжа,Лапласа. Предсказывая и объясняя небесные явления, математи-ки чувствовали себя как бы допущенными к тайнам мироздания.Гаусс, с его ранним интересом к конкретным вычислениям, немог, конечно, не попробовать своих сил на этом традиционномпоприще.

Впрочем, были причины и прозаические. Гаусс занималскромное положение приват-доцента в Брауншвейге, получая6 талеров в месяц. Пенсия в 400 талеров от герцога-покровителяне настолько улучшила его положение, чтобы он мог содержатьсемью, а он подумывал о женитьбе. Получить где-нибудь кафе-дру по математике было непросто, да Гаусс и не очень стремилсяк активной преподавательской деятельности. Расширяющаясясеть обсерваторий делала карьеру астронома более доступной.

Гаусс начал интересоваться астрономией еще в Геттингене.Кое-какие наблюдения он проводил в Брауншвейге, причем часть


герцогской пенсии он израсходовал на покупку секстанта. Онищет достойную вычислительную задачу, решая пока мелкие за-дачи. Так, он публикует простой способ вычисления времени пас-хи и других циклических праздников вместо чрезвычайно пута-ных рецептов, которыми пользовались раньше. Мысль о настоя-щей задаче появилась в 1801 г. при следующих обстоятельствах.

1 января 1801 г. астроном Пиацци, составлявший звездныйкаталог, обнаружил неизвестную звезду 8-й звездной величины.Пронаблюдав за ней 40 дней, Пиацци обратился к крупнейшимастрономам с просьбой продолжить наблюдения. По разнымпричинам его просьба не была выполнена. В июне эти сведениядошли до Цаха, издававшего единственный в то время астро-номический журнал. Цах высказал гипотезу, что речь идет «одавно подозреваемой между Марсом и Юпитером, а теперь,по-видимому, открытой, новой большой планете». Гипотеза Цахапоказалась правдоподобной, и надо было срочно искать «потерян-ную» планету. А для этого надо было вычислить ее траекторию.Определить эллиптическую траекторию по дуге в 9◦, которуюзнал Пиацци, было за пределами вычислительных возможно-стей астрономов. В сентябре 1801 г., оставив все свои дела,вычислением орбиты занялся Гаусс. В ноябре вычисления былизакончены. В декабрьском номере журнала Цаха они были опу-бликованы, а в ночь с 31 декабря на 1 января|ровно через годпосле наблюдений Пиацци|известный немецкий астроном Оль-берс, основываясь на траектории, вычисленной Гауссом, нашелпланету (ее назвали Церерой). Это была подлинная сенсация!

25 марта 1802 г. Ольберс открывает еще одну планету |Палладу. Гаусс быстро вычисляет ее орбиту, показав, что и онарасполагается между Марсом иЮпитером. Действенность вычи-слительных методов Гаусса стала для астрономов несомненной.

К Гауссу приходит признание. Одним из признаков этого бы-ло избрание его членом-корреспондентом Петербургской акаде-мии наук. Вскоре его пригласили занять место директора Петер-бургской обсерватории. Гаусс пишет, что ему лестно получитьприглашение в город, где работал Эйлер, и серьезно думает о пе-реезде. В письмах Гаусс пишет, что в Петербурге часто плохая


погода, а потому он не будет слишком занят наблюдениями, ибудет оставаться время для занятий. Он пишет, что 1000 рублей,которые будет получать, больше 400 талеров, которые он имеетсейчас, но жизнь в Петербурге дороже.

В то же время Ольберс предпринимает усилия, чтобы сохра-нить Гаусса для Германии. Еще в 1802 г. он предлагает кураторуГеттингенского университета пригласить Гаусса на пост дирек-тора вновь организованной обсерватории. Ольберс пишет приэтом, что Гаусс «к кафедре математики имеет положительноеотвращение». Согласие было дано, но переезд состоялся лишь вконце 1807 г. За это время Гаусс женился («жизнь представляетсямне весной со всегда новыми яркими цветами»). В 1806 г. умира-ет от ран герцог, к которому Гаусс, по-видимому, был искреннепривязан. Теперь ничто не удерживает его в Брауншвейге.

Жизнь Гаусса в Геттингене складывалась несладко. В 1809 г.после рождения сына умерла жена, а затем и сам ребенок. Вдо-бавок Наполеон обложил Геттинген тяжелой контрибуцией. СамГаусс должен был заплатить непосильный налог в 2000 франков.За него попытались внести деньги Ольберс и, прямо в Пари-же, Лаплас. Оба раза Гаусс гордо отказался. Однако нашелсяеще один благодетель, на этот раз | аноним, и деньги возвра-щать было некому (много позднее узнали, что это был курфюрстМайнцский, друг Гете). «Смерть мне милее такой жизни»,| пи-шет Гаусс между заметками по теории эллиптических функций.Окружающие не ценили его работ, считали его, по меньшей ме-ре, чудаком. Ольберс успокаивает Гаусса, говоря, что не следуетрассчитывать на понимание людей: «их нужно жалеть и им слу-жить».

В 1809 г. выходит законченная в 1807 г. знаменитая «Теориядвижения небесных тел, обращающихся вокруг Солнца по кони-ческим сечениям». Задержка произошла отчасти из-за опасенийиздателя, что книга на немецком языке не найдет спроса, а Гауссиз патриотических соображений отказался печатать книгу по-французски. Компромисс состоял в издании книги на латыни.Это единственная книга Гаусса по астрономии (сверх этого оннапечатал несколько статей). Гаусс излагает свои методы вычи-


сления орбит. Чтобы убедиться в силе своего метода, он повто-ряет вычисление орбиты кометы 1769 г., которую в свое времяза три дня напряженного счета вычислил Эйлер (по некоторымсведениям, потерявший после этого зрение). Гауссу на это потре-бовался час. В книге был изложен метод наименьших квадратов,остающийся по сей день одним из самых распространенных ме-тодов обработки результатов наблюдений. Гаусс указывает, чтоон знает этот метод с 1794 г., а с 1802 г. систематически им поль-зуется. (За два года до выхода «Теории движения» Гаусса методнаименьших квадратов был опубликован Лежандром.)

На 1810 г. пришлось большое число почестей: Гаусс получилпремию Парижской академии наук и Золотую медаль Лондонско-го королевского общества, был избран в несколько академий.

В 1804 г. Парижская академия выбрала в качестве темы длябольшой премии (золотая медаль весом 1 ËÇ) теорию возмуще-ний Паллады. Срок дважды переносился (до 1816 г.) в надежде,что Гаусс представит работу. Гауссу помогал в вычислениях егоученик Николаи («юноша, неутомимый в вычислениях»), и все жевычисления не были доведены до конца. Гаусс прервал их, нахо-дясь в тяжелой депрессии.

Регулярные занятия астрономией продолжались почти до са-мой смерти. Знаменитую комету 1812 г. (которая «предвещала»пожар Москвы!) всюду наблюдали, пользуясь вычислениями Гаус-са. 28 августа 1851 г. Гаусс наблюдал солнечное затмение. У Гаус-са было много учеников-астрономов (Шумахер, Герлинг, Нико-лаи, Струве). Крупнейшие немецкие геометры Мёбиус и Штаудтучились у него не геометрии, а астрономии. Он состоял в актив-ной переписке со многими астрономами, регулярно читал статьии книги по астрономии, печатал рецензии. Из писем астрономаммы многое узнаем и о занятиях математикой. Как не похож обликГаусса-астронома на представление о недоступном отшельнике,существовавшее у математиков!

Геодезия. К 1820 г. центр практических интересов Гаусса пе-реместился в геодезию. Еще в начале века он пытался восполь-зоваться результатами измерений дуги меридиана, предприня-


тых французскими геодезистами для установления эталона дли-ны (метра), чтобы найти истинное сжатие Земли. Но дуга оказа-лась слишком мала. Гаусс мечтал провести измерение достаточ-но большой дуги меридиана. К этой работе он смог приступитьтолько в 1820 г. Хотя измерения растянулись на два десятилетия,Гаусс не смог осуществить свой замысел в полном объеме. Боль-шое значение имели полученные в связи с геодезией исследованияпо обработке результатов измерений (к этому времени относятсяосновные публикации о методе наименьших квадратов) и различ-ные геометрические результаты, связанные с необходимостьюпроводить измерения на поверхности эллипсоида.

В 20-е годы обсуждался вопрос о переезде Гаусса в Берлин,где он должен был стать во главе института. Сюда должны бы-ли быть приглашены наиболее перспективные молодые матема-тики, прежде всего Якоби и Абель. Переговоры затянулись начетыре года; разногласия были по поводу того, должен ли Гауссчитать лекции, и сколько ему должны платить в год| 1200 или2000 талеров. Переговоры окончились безрезультатно, Впрочем,не совсем: в Геттингене Гауссу стали платить то жалование, накоторое он претендовал в Берлине.

Внутренняя геометрия поверхностей. Геодезии мы обязаны тем,что на сравнительно короткое время математика вновь стала од-ним из главных дел Гаусса. В 1816 г. он думает об обобщенииосновной задачи картографии | задачи об отображении однойповерхности на другую «так, чтобы отображение было подобноотображаемому в мельчайших деталях». Гаусс посоветовал Шу-махеру выбрать этот вопрос при объявлении конкурса на премиюКопенгагенского научного общества. Конкурс был объявлен в1822 г. В том же году Гаусс представил свой мемуар, в которомвводятся характеристики, позволяющие полностью решить про-блему, частные случаи которой изучались Эйлером и Лагранжем(отображение сферы или поверхности вращения на плоскость).Гаусс подробно описывает выводы из его теории для многочи-сленных конкретных случаев, часть из которых возникает из за-дач геодезии.


В 1828 г. вышел в свет основной геометрический мемуар Гаус-са «Общие исследования о кривых поверхностях». Мемуар посвя-щен внутренней геометрии поверхности, т. е. тому, что связаносо структурой самой этой поверхности, а не с ее положением впространстве.

Образно говоря, внутренняя геометрия поверхности|это то,что можно узнать о геометрии поверхности, «не покидая ее». Наповерхности можно измерять длины, натягивая нить так, что-бы она целиком лежала на поверхности. Возникающая криваяназывается геодезической (аналог прямой на плоскости). Мож-но измерять углы между геодезическими, изучать геодезическиетреугольники и многоугольники. Если мы будем изгибать по-верхность (считая ее нерастяжимой и неразрываемой пленкой),то расстояния между точками будут сохраняться, геодезическиебудут оставаться геодезическими и т. д.

Оказывается, «не покидая поверхности», можно узнать, кри-вая она или нет. «Настоящую» кривую поверхность ни при какомизгибании нельзя развернуть на плоскость; Гаусс предложил чи-словую характеристику меры искривления поверхности.

Рассмотрим около точки A на поверхности окрестность пло-щади ". В каждой точке этой окрестности проведем нормаль(перпендикуляр к поверхности) единичной длины. Для плоско-сти все нормали будут параллельны, а для кривой поверхностибудут расходиться. Перенесем нормали так, чтобы их начала ока-зались в одной точке. Тогда концы нормалей заполнят некоторуюфигуру на единичной сфере. Пусть '(") | площадь этой фигу-

ры. Тогда k(A) = lim"→0'(")

"дает меру кривизны поверхности

в точке A.Оказывается, ни при каком изгибании k(A) не меняется. Для

того, чтобы кусок поверхности можно было развернуть на плос-кость, необходимо, чтобы во всех точках A этого куска былоk(A) = 0. Мера кривизны связана с суммой углов геодезическоготреугольника.

Гаусс интересуется поверхностями постоянной кривизны.Сфера является поверхностью постоянной положительной кри-


визны (во всех ее точках k(A) = 1=R2, где R|радиус). В записяхГаусса упоминается поверхность вращения постоянной отрица-тельной кривизны. Потом ее назовут псевдосферой, и Бельтрамиобнаружит, что ее внутренняя геометрия есть геометрия Лоба-чевского.

Неевклидова геометрия. По некоторым сведениям, Гаусс интере-совался постулатом о параллельных еще в Брауншвейге в 1792 г.В Геттингене он много обсуждал проблему параллельных со сту-дентом из Венгрии Фаркашем Бойяи. Из письма 1799 г., адресо-ванного Ф.Бойяи, мы узнаем, насколько ясно понимал Гаусс, чтоимеются многочисленные утверждения, приняв которые, можнодоказать пятый постулат: «Я достиг многого, что для большин-ства могло бы сойти за доказательство». И вместе с тем: «Однакодорога, которую я выбрал, ведет скорее не к желательной цели, ак тому, чтобы сделать сомнительной истинность геометрии». От-сюда до понимания возможности неевклидовой геометрии одиншаг, но он все-таки еще не был сделан, хотя эта фраза часто оши-бочно воспринимается как свидетельство того, что Гаусс пришелк неевклидовой геометрии уже в 1799 г.

Заслуживают внимания слова Гаусса, что он не имеет воз-можности уделить достаточно времени этим вопросам. Харак-терно, что о проблеме параллельных нет ничего в дневнике. По-видимому, она никогда не находилась в центре внимания Гаусса.В 1804 г. Гаусс опровергает попытки Ф. Бойяи доказать посту-лат о параллельных. Письмо заканчивается так: «Однако я ещенадеюсь на то, что некогда, и еще до моего конца, эти подводныекамни позволят перебраться через них». Похоже, что эти словаозначают надежду, что доказательство будет найдено.

Вот еще несколько свидетельств: «В теории параллельных мыдо сих пор не опередили Евклида. Это позорная часть математи-ки, которая, рано или поздно, должна принять совершенно другойвид» (1813 г.). «Мы не продвинулись дальше того места, где былЕвклид 2000 лет назад» (1816 г.). Однако в том же 1816 г. онговорит о «пробеле, который нельзя заполнить», а в 1817 г. в пись-ме Ольберсу мы читаем: «Я все больше прихожу к убеждению,


что необходимость нашей геометрии не может быть доказана,по крайней мере, человеческим умом и для человеческого ума.Может быть, в другой жизни мы придем к другим взглядам наприроду пространства, которые нам теперь недоступны. До техпор геометрию следует ставить в ряд не с арифметикой, суще-ствующей чисто априори, а скорее с механикой».

Примерно в то же время к мысли о невозможности дока-зать пятый постулат пришел юрист из Кенигсберга Швейкарт.Он предположил, что наряду с евклидовой геометрией существу-ет «астральная геометрия», в которой постулат о параллельныхне имеет места. Работавший в Кенигсберге ученик Гаусса Гер-линг написал учителю о мыслях Швейкарта и приложил замет-ку последнего. В ответе Гаусс пишет: «Почти все списано с мо-ей души». Деятельность Швейкарта продолжил его племянникТауринус, с которым Гаусс обменялся несколькими письмами,начиная с 1824 г.

В письмах Гаусс подчеркивает, что его высказывания носятсугубо частный характер и их ни в коем случае не следует пре-давать гласности. Он не верит, что эти идеи могут быть вос-приняты, и боится заинтересованности толпы дилетантов. Гаусспережил немало тяжелых лет и очень дорожит возможностьюспокойно работать. Он предупреждает Герлинга, который соби-рался лишь упомянуть, что постулат о параллельных может ока-заться неверен: «Но осы, гнездо которых Вы разрушаете, подни-мутся над Вашей головой». Постепенно зреет решение записатьрезультаты, но не публиковать их: «Вероятно, я еще не скоросмогу обработать свои пространные исследования по этому во-просу, чтобы их можно было опубликовать. Возможно даже, я нерешусь на это во всю свою жизнь, потому что боюсь крика бе-отийцев1, который поднимется, если я выскажу свои воззренияцеликом» (письмо Бесселю 1829 г.). В мае 1831 г. Гаусс начи-нает систематические записи: «Вот уже несколько недель, как яначал излагать письменно некоторые результаты моих собствен-

1По преданию, жители Беотии славились в Древней Греции своей глу-постью.


ных размышлений об этом предмете, частично имеющих уже 40-летнюю давность, но никогда мною не записанных, вследствиечего я должен был 3 или 4 раза возобновлять весь труд в моейголове. Мне не хотелось бы, однако, чтобы это погибло вместе сомной» (письмо Шумахеру).

Однако в 1832 г. он получил от Фаркаша Бойяи небольшоесочинение его сына Яноша «Аппендикс» (название связано с тем,что оно было издано в виде приложения к большой книге от-ца). «Мой сын ставит на твое суждение больше, чем на суждениевсей Европы». Содержание книги поразило Гаусса: в ней полно исистематически строилась неевклидова геометрия. Это были неотрывочные замечания и догадки Швейкарта-Тауринуса. Такоеизложение собирался получить сам Гаусс в ближайшее время. Онпишет Герлингу: «Я нашел все мои собственные идеи и результа-ты, развитые с большим изяществом, хотя, вследствие сжатостиизложения, в форме, трудно доступной тому, кому чужда этаобласть 〈: : :〉; я считаю, что этот юный геометр Бойяи| генийпервой величины». А вот что написано отцу: «Все содержаниеработы, путь, по которому твой сын пошел, и результаты, ко-торые он получил,|почти сплошь совпадают с моими, которыея частично получил уже 30 { 35 лет тому назад. Я действитель-но этим крайне поражен. Я имел намерение о своей собственнойработе, кое-что из которой я теперь нанес на бумагу, при жиз-ни ничего не публиковать 〈: : :〉 я имел намерение 〈: : :〉, чтобы этимысли, по, крайней мере, не погибли со мной. Я поэтому чрез-вычайно поражен случившимся|оно освобождает меня от этойнеобходимости; и меня очень радует, что именно сын моего ста-рого друга таким удивительным образом меня предвосхитил».Никакой публичной оценки или поддержки Янош Бойяи от Гауссане получил. По-видимому, одновременно Гаусс прервал система-тические записи по неевклидовой геометрии, хотя сохранилисьэпизодические заметки, относящиеся к 40-м годам.

В 1841 г. Гаусс познакомился с немецким изданием работыЛобачевского (первые публикации Лобачевского относятся к1829 г.). Верный себе, Гаусс, интересуется другими публикация-ми автора, ограничиваясь высказываниями о нем в переписке с


близкими корреспондентами. Впрочем, по предложению Гаусса,в 1842 г. Лобачевского «как одного из превосходнейших матема-тиков русского государства» избрали членом-корреспондентомГеттингенского ученого королевского общества. Гаусс личноизвестил Лобачевского об избрании. Однако ни в представле-нии Гаусса, ни в дипломе, выданном Лобачевскому, неевклидовагеометрия не упоминалась.

О работах Гаусса по неевклидовой геометрии узнали лишьпри публикации посмертного архива. Так Гаусс обеспечил се-бе возможность спокойно работать отказом обнародовать своевеликое открытие, вызвав не смолкающие по сей день споры одопустимости занятой им позиции,

Следует отметить, что Гаусса интересует не только чисто ло-гический вопрос о доказуемости постулата о параллельных. Егоинтересует место геометрии в естественных науках, вопрос обистинной геометрии нашего физического мира (см. выше выска-зывание от 1817 г.). Он обсуждает возможность астрономическойпроверки, с интересом отзываясь о соображениях Лобачевско-го по этому поводу. При занятиях геодезией Гаусс не удержал-ся от измерения суммы углов треугольника с вершинами Высо-кий Гаген, Брокен, Инсельберг. Отклонение от � не превыси-ло 0;2◦.

Электродинамика и земной магнетизм. К концу 20-х годов Гаусс,перешедший 50-летний рубеж, начинает поиски новых для себяобластей научной деятельности. Об этом свидетельствуют двепубликации 1829 и 1830 гг. Первая из них несет печать размыш-лений об общих принципах механики (здесь строится «принципнаименьшего принуждения» Гаусса); другая посвящена изучениюкапиллярных явлений. Гаусс решает заниматься физикой, но егоузкие интересы еще не определились. В 1831 г. он пытается зани-маться кристаллографией. Это очень трудный год в жизни Гаус-са: умирает его вторая жена, у него начинается тяжелейшая бес-сонница. В этом же году в Геттинген приезжает приглашенныйпо инициативе Гаусса 27-летний физик Вильгельм Вебер. Гаусспознакомился с ним в 1828 г. в доме Гумбольдта. О замкнутости


Гаусса ходили легенды, и все же в Вебере он нашел сотоварищапо занятиям наукой, какого он никогда не имел прежде.

«Внутреннее различие этих людей достаточно выражалосьтакже и в их внешнем облике. Гаусс | приземистый, крепко-го телосложения, настоящий представитель Нижней Саксонии,малоразговорчивый и замкнутый в себе. Своеобразной проти-воположностью ему является небольшой, изящный, подвижныйВебер, чрезвычайная любезность и разговорчивость которогосразу же обнаруживали коренного саксонца; он был действитель-но родом из Виттенберга, этой страны

"саксонцев в квадрате\.

На геттингенском памятнике Гауссу и Веберу эта противопо-ложность из художественных соображений смягчена, и даже повозрасту они кажутся более близкими, чем это было в действи-тельности» (Ф.Клейн).

Карл Фридрих Гаусс

Интересы Гаусса и Вебера ле-жали в области электродинами-ки и земного магнетизма. Их де-ятельность имела не только те-оретические, но и практическиерезультаты. В 1833 г. они изо-бретают электромагнитный теле-граф (это событие запечатлено вих общем памятнике). Первый те-леграф связывал обсерваторию ифизический институт. По финан-совым причинам внедрить теле-граф в жизнь его создателям неудалось.В процессе занятий магнетизмомГаусс пришел к выводу, что си-стемы физических единиц надостроить, вводя некоторое количество независимых величин и вы-ражая остальные величины через них. Изучение земного магне-тизма опиралось как на наблюдения в магнитной обсерватории,созданной в Геттингене, так и на материалы, которые собиралисьв разных странах «Союзом для наблюдения над земным магне-

Карл Фридрих Гаусс (1777 { 1855) 377

тизмом», созданным Гумбольдтом после возвращения из ЮжнойАмерики. В это же время Гаусс создает одну из важнейших главматематической физики | теорию потенциала. Совместные за-нятия Гаусса и Вебера были прерваны в 1843 г., когда Веберавместе с шестью другими профессорами изгнали из Геттингеназа подписание письма королю, в котором указывались нарушенияпоследним конституции (Гаусс не подписал письма). Возвратил-ся в Геттинген Вебер лишь в 1849 г., когда Гауссу было уже 72года. Мы закончим наш рассказ о Гауссе словами Клейна: «Гаусснапоминает мне образ высочайшей вершины баварского горногохребта, какой она предстает перед глазами наблюдателя, глядя-щего с севера. В этой горной цепи в направлении с востока назапад отдельные вершины подымаются все выше и выше, дости-гая предельной высоты в могучем, высящемся в центре великане;круто обрываясь, этот горный исполин сменяется низменностьюновой формации, в которую на много десятков километров да-леко проникают его отроги, и стекающие с него потоки несутвлагу и жизнь».

Добавление. Задачи на построение, приводящие к кубическимуравнениям

В «Арифметических исследованиях» Гаусс сообщает без доказа-тельства, что нельзя построить циркулем и линейкой правильныеn-угольники для простых n, не являющихся простыми числамиФерма, в частности, правильный 7-угольник. Этот отрицатель-ный результат должен был удивить современников не меньше,чем возможность построения правильного 17-угольника. Ведьn = 7 | первое значение n, для которого, несмотря на мно-гочисленные попытки, построение правильного n-угольника неполучалось. Несомненно, что греческие геометры подозревали,что с этой задачей дело обстоит неблагополучно, и неспроста,скажем, Архимед предложил способ построения правильного n-угольника, использующий конические сечения. Однако вопрос одоказательстве невозможности построения, по-видимому, дажене вставал.


Надо сказать, что доказательства отрицательных утвержде-ний всегда играли в истории математики принципиальную роль.Доказательство невозможности требует так или иначе обозретьвсе мыслимые способы решения, построения или доказательства,в то время как для положительного решения достаточно указатьодин конкретный способ.

Доказательства невозможности в математике имели знамена-тельное начало, когда пифагорейцы (VI век до н. э.), стремившие-ся всю математику свести к целым числам, собственными рукамипохоронили эту идею: оказалось, что не существует дроби, ква-драт которой равен 2. Другая формулировка: диагональ и сторо-на квадрата несоизмеримы. Итак, целых чисел и их отношенийнедостаточно для описания очень простой ситуации. Это откры-тие удивило величайших мыслителей Древней Греции. Легендаутверждает, что боги покарали пифагорейца, сообщившего этотфакт людям (он погиб при кораблекрушении). Платон (429 { 348до н. э.) рассказывает о том, как поразило его существованиеиррациональных величин. Однажды Платон столкнулся с «прак-тической» задачей, заставившей его переосмыслить возможностигеометрии.

«Эратосфен рассказывает в своем сочинении"Платоник\, что

когда бог возвестил через оракула делийцам, что, дабы избавить-ся от чумы, они должны построить жертвенник вдвое большестарого, строители стали в тупик перед задачей построить тело,в два раза большее данного. Они обратились за советом к Плато-ну, и тот сказал им, что бог дал им это предсказание не потому,что ему нужен вдвое больший жертвенник, но что он возвестилэто в укор грекам, которые не думают о математике и не до-рожат геометрией» (Теон Смирнский). Платону не откажешь вумении использовать подходящий момент для пропаганды нау-ки! По свидетельству Евтония, аналогичная задача (об удвоениинадгробного камня Главку) фигурировала уже в одном вариантелегенды о Миносе.

Итак, речь идет о нахождении стороны куба с удвоеннымобъемом, т. е. о построении корня уравнения x3 = 2. Платоннаправил делийцев к Евдоксу и Геликону. Разные решения пред-


ложили Менехм, Архит и Евдокс, но никто из них не нашел по-строения при помощи циркуля и линейки. Позднее Эратосфен,построивший механический прибор для решения задачи об удво-ении куба, в стихотворении, высеченном на мраморной доске вхраме Птолемея в Александрии, квалифицирует решения своихпредшественников как слишком сложные: «Нужды тебе уж небудет в премудром цилиндре Архита, в конусе не для тебя вы-сек триаду Менехм, и с богоравным Евдоксом изогнутых линийне надо». Менехм заметил, что решаемая задача эквивалентназадаче о двух средних пропорциональных (для заданных a, b):a :x = x : y = y : b. Его решение использовало конические сечения.Об «изогнутых линиях» Евдокса мы ничего не знаем. Что каса-ется механического решения, то Эратосфен не был первым. Посвидетельству Плутарха, «сам Платон порицал друзей Евдокса,Архита и Менехма, которые хотели свести удвоение куба к ме-ханическим построениям; ибо они думали получить средние про-порциональные не из теоретических соображений, но ведь такимобразом уничтожается и гибнет благо геометрии, и этим путемгеометрия возвращается обратно к чувственному, вместо тогочтобы подыматься выше этого и твердо держаться вечных, нема-териальных образов, пребывающий в коих Бог есть вечный Бог».Впрочем, Евтоний приписывает самому Платону (по-видимому,ошибочно) некое механическое решение делийской задачи, ис-пользующее плотничьи угольники с пазами и подвижными рей-ками. Платону с его отвращением к «материальным вещам, ко-торые требуют длительной обработки недостойным ремеслом»(Плутарх) нередко противопоставляют Архимеда (287 { 212 дон. э.), прославившегося многочисленными изобретениями, в част-ности, машинами, примененными при обороне Сиракуз. Впрочем,тот же Плутарх утверждает, что Архимед лишь поддался угово-рам царя Гиерона «отвлечь свое искусство от абстракций 〈: : :〉,и осязательным образом заняться тем, чего требует действи-тельность», хотя и считал, что практика | «дело низкое и не-благородное; сам же он стремился лишь к тому, что по красотесвоей и совершенству находится далеко от царства необходимо-сти».


Наряду с делийской задачей греческая геометрия оставилаеще несколько задач, в которых построение не удавалось осуще-ствить циркулем и линейкой: трисекция угла (деление угла на триравные части), квадратура круга и задача о построении правиль-ного n-угольника, в частности, 7-угольника и 9-угольника. Связьнекоторых из этих задач с кубическими уравнениями сознавалигреческие и еще в большей степени арабские математики.

Задача о правильном 7-угольнике сводится к уравнениюz6 + z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0 (см. с. 333) или(

z3 +1z3

)+(z2 +

1z2

)+(z +

1z

)+ 1 = 0:

Переходя к переменной x = z +1

z, получаем уравнение

x3 + x2 − 2x− 1 = 0:

Мы покажем, что корни уравнений удвоения куба и семи-угольника не могут быть квадратичными иррациональностями,откуда и будет следовать невозможность построения циркулем илинейкой. Мы докажем результат, который обслуживает весьмаобщую ситуацию:

Теорема. Если кубическое уравнение a3x3+ a2x

2+ a1x+ Á0 = 0 сцелыми коэффициентами имеет корень, являющийся квадратич-ной иррациональностью, то оно имеет и рациональный корень.

Доказательство. Пусть x1|такой корень. Он получается из це-лых чисел при помощи арифметических операций и извлеченияквадратного корня. Проанализируем эту конструкцию. Вначалекорень извлекается из некоторого количества рациональных чи-сел:

√A1,

√A2,. . . ,

√Aa, затем из некоторых чисел, получающих-

ся при помощи арифметических операций из рациональных чисели√Ai (

√B1,

√B2,. . . ,

√Bb) и т. д.; на каждом шаге корень из-

влекается из каких-то чисел, арифметически выражающихся че-рез полученные на всех предыдущих шагах. Возникают «этажи»квадратичных иррациональностей. Пусть

√N | одно из чисел,


полученных на последнем шаге перед образованием x1. Сконцен-трируем внимание на том, как

√N входит в x1. Оказывается,

можно считать, что x1 = � + �√N , где

√N не входит в ква-

дратичные иррациональности � и �. Достаточно заметить, чтоарифметические операции над выражениями вида �+ �

√N при-

водят к таким же выражениям: для сложения и вычитания этоочевидно, для умножения проверяется непосредственно, для де-ления надо исключить

√N из знаменателя:

�+ �√N

+ �√N

=(�+ �

√N)( − �

√N)

2 − �2N:

Если теперь подставить x1 = � + �√N в уравнение и выпол-

нить действия, то получится соотношение вида P + Q√N = 0,

где P , Q|многочлены от �; �; ai. Если Q 6= 0, то√N = −P=Q,

и подставляя выражение для√N в x1, можно получить для

x1 представление, уже не содержащее√N . Если же Q = 0,

то проверяется, что x2 = � − �√N | также корень, а учи-

тывая, что −a2=a3 = x1 + x2 + x3 | сумма корней (теоремаВиета), получаем: x3 = −a2=a3 − 2�, т. е. опять-таки име-ется корень, являющийся квадратичной иррациональностью,выражающейся через

√Ai,

√Bi,. . . , как и x1, но без

√N . Про-

должая этот процесс дальше, мы избавимся в выражении длякорня уравнения ото всех радикалов поэтажно, начиная с по-следнего этажа. После этого получится рациональный корень,и доказательство окончено.

Остается проверить, что у интересующих нас уравнений нетрациональных корней. Предположим, что у уравнения старшийкоэффициент a3 = 1. Тогда всякий рациональный корень являет-ся целым: если подставить в уравнение x = p=q (p и q взаимнопросты) и умножить обе части на q3, то будет видно, что p3, азначит и p, делится на q, т. е. q = 1. Далее, если x| (целый)корень, то из равенства x3 + a2x

2 + a1x + Á0 = 0 вытекает, чтоx является делителем a0. Для интересующих нас уравнений лег-ко проверяется отсутствие таких корней, а значит, отсутствиекорней, являющихся квадратичными иррациональностями.

ФЕЛИКС КЛЕЙН

Славу великого математика Феликсу Клейну принесли работы,выполненные на протяжении одного десятилетия. Клейн прекра-тил активные занятия математикой в 33 года, но до конца днейоставался в центре научно-организационной жизни, полностьюпосвятив себя педагогической и литературной деятельности.

Рыцарские шпоры. Ф.Клейн родился в 1849 году в Дюссельдор-фе. Здесь он окончил гимназию; в 1865 году поступил в Боннскийуниверситет. Уже на следующий год профессор Юлиус Плюккер(1801 | 1868) привлек семнадцатилетнего студента в качествеассистента по физике. Плюккер начинал свою научную деятель-ность как геометр, но постепенно переключился на занятия экс-периментальной физикой. Однако в последние годы жизни, последвадцатилетнего перерыва, Плюккер возвратился к геометрии.«Этот поворот сыграл решающую роль в моем собственном раз-витии»| писал Клейн. Посмертное издание последнего мемуараПлюккера (1869 г.) было подготовлено Клейном. Возможно, этои послужило причиной тому, что его диссертация (1868 г.), кото-рой, по словам самого Клейна, он «заслужил рыцарские шпоры»,и его первая публикация (1869 г.) были геометрическими.

Лишившись учителя, Клейн становится «странствующим ры-царем». Он посещает основные математические центры Гер-мании (Геттинген, Берлин), устанавливает личные контакты сКлебшем, Вебером, Вейерштрассом. На подающего надежды мо-лодого ученого, который хочет и умеет учиться, сразу обращаютвнимание. Не менее важны контакты Клейна со сверстниками.Особенно счастливой была дружба Клейна с великим норвеж-

382

Феликс Клейн (1849 { 1925) 383

Феликс Клейн

цем Софусом Ли (1842 { 1899);они познакомились в 1870 го-ду в Берлине. С. Ли былна семь лет старше Клей-на, но в 1870 году делаллишь первые шаги в геоме-трии. Вскоре Клейн и Ли от-правляются в Париж. Здесьони знакомятся с приема-ми французских геометров,которые умели с удивитель-ной легкостью, «по возду-ху» (С. Ли), получать важ-ные геометрические резуль-таты. Особое значение длядальнейшей научной судьбыКлейна и Ли имели встре-чи с Камиллом Жорданом(1838 { 1922). Как раз в1870 году Жордан выпу-стил обширный труд по те-ории конечных групп, при-

влекший широкое внимание к работам Галуа (1811 { 1832).Возможно, «пропуском» к Жордану послужила для друзейпервая работа Клейна, посвященная геометрическому иссле-дованию так называемой поверхности Куммера, алгебраиче-ское исследование которой перед этим предпринял Жордан.

Покинуть Францию Клейна заставила франко-прусская вой-на. В самом начале войны Клейн заболел тифом; оправившись отболезни, он поселяется в Геттингене. Для Клейна наступает вре-мя великих свершений. Н. Бурбаки пишет, что Клейн завершил«золотой век» геометрии. Но прежде чем рассказывать о блестя-щем завершении этого века, вспомним о его начале.

«Золотой век» геометрии. Еще в XVII веке Дезаргу (1593 { 1662) иПаскалю (1623 { 1662) удалось при помощи центрального проек-

384 Феликс Клейн (1849 { 1925)

тирования получить замечательные геометрические результаты.Об этих результатах забыли почти на полтора века. На боль-шие возможности метода проектирования вновь обратил внима-ние Гаспар Монж (1746 { 1818); он рассказывал об этом в курсеначертательной геометрии, который читал в Политехническойшколе. От «Описательной геометрии» Монжа (1795) и отсчиты-вает Н. Бурбаки «золотой век» геометрии.

Среди слушателей Монжа был Виктор Понселе (1788 { 1867).«Черта, которая возвышает его над всеми предшественниками,|это новый вид геометрической интуиции,|

"проективное мыш-

ление\» (Клейн). Проективную геометрию Понселе создал в те-чение двух лет, проведенных им в плену в Саратове после вой-ны 1812 года. Свои результаты Понселе рассказывал товарищампо плену, также слушавшим Монжа в Политехнической школе.Опубликованы эти результаты были в 1822 году в «Трактате опроективных свойствах фигур».

Как и его предшественники, Понселе каждую прямую пополняетбесконечно удаленной точкой, считая, что все параллельные друг дру-гу прямые имеют общую бесконечно удаленную точку («пересекаются»в ней). Все бесконечно удаленные точки образуют бесконечно удален-ную прямую. На пополненной плоскости параллельность становитсячастным случаем пересечения и не требует специального рассмотре-ния (например, утверждение, что через точку вне прямой проходитединственная прямая, ей параллельная, превращается в утверждение,что через две различные точки, одна из которых обычная, а другая|бесконечно удаленная, проходит единственная прямая). При централь-ном проектировании конечная точка может не иметь образа («уйти набесконечность»), но на пополненной бесконечно удаленными точкамиплоскости это отображение уже взаимно однозначно.

Центральное проектирование переводит одну плоскость в другую;выполнив же несколько проектирований подряд, мы можем вернуть-ся на исходную плоскость, получив преобразование этой плоскости.К таким преобразованиям (их стали называть проективными) относят-ся перемещения, гомотетии, растяжения. Проективные преобразованиявзаимно однозначны (на пополненной плоскости) и переводят прямые впрямые (позднее выяснилось, что всякое преобразование с этими свой-ствами проективно). Проективные преобразования, переводящие в се-бя бесконечно удаленную прямую, называются аффинными; аффинные

Феликс Клейн (1849 { 1925) 385

преобразования взаимно однозначны на обычной плоскости. Понселеисследовал геометрические объекты, сохраняющиеся при проективныхпреобразованиях. Оказывается, при проективных преобразованиях ко-ническое сечение также переходит в коническое сечение (но, напри-мер, гипербола может перейти в параболу, а всякое коническое сечениепроективным преобразованием можно перевести в окружность). Чрез-вычайно плодотворным оказалось следующее наблюдение. Пусть A, B,

C, D| точки, лежащие на одной прямой, {A;B;C;D} =AC ·BDAD ·BC |

двойное, или ангармоническое отношение четырех точек. Пусть принекотором проективном преобразовании точки A, B, C, D перешли вточки A′, B′, C ′, D′ (они обязательно будут лежать на одной прямой).Тогда {A;B;C;D} = {A′; B′; C ′; D′}, то есть при проективных преобра-зованиях двойное отношение четырех точек сохраняется. Если одна източек, например, D|бесконечно удаленная точка, то {A;B;C;D} по-лагается равным

ACBC

, и мы получаем, что при аффинных преобразова-

ниях сохраняются отношения длин отрезков, лежащих на одной прямой(почему?).

Далее Понселе пытается устранить исключительные случаи взаим-ного расположения конических сечений. Почему, например, два эллипсамогут пересекаться в четырех точках, а пара окружностей| не болеечем в двух? На этот вопрос дается удивительный ответ. Кроме пары ве-щественных точек пересечения, у окружностей имеется универсальная(одна и та же для всех окружностей на плоскости!) пара общих точек,не замеченных из-за того, что они являются. . . мнимыми и бесконечноудаленными одновременно. Эти точки называются циклическими.

Теперь | несколько слов о четырех немецких математиках:Фердинанде Мёбиусе (1790 { 1868), Якобе Штейнере (1796 { 1863),Христиане фон Штаудте (1798 { 1867) и уже упоминавшемсяПлюккере. С их именами связана ожесточеннейшая борьба меж-ду аналитическим и синтетическим направлениями в геометрии.

Здесь слова «анализ» и «синтез» употребляются в нестандартномсмысле: аналитическая геометрия использует метод координат, в ре-зультате чего делается возможным применение алгебры и анализа вгеометрии; синтетическая геометрия оперирует с непосредственнымипространственными конструкциями.

Наиболее ожесточенным был поединок между аналитикомПлюккером и синтетиком Штейнером; Мёбиус (аналитик) иШтаудт (синтетик) держались в стороне от борьбы. Клейну

386 Феликс Клейн (1849 { 1925)

было очень легко оказаться вовлеченным в борьбу на сторонеаналитиков, но он сумел остаться над схваткой, возможно, руко-водствуясь правилом его знакомого физиолога Людвига: «Нужноудалиться на 600 километров от места споров и оттуда пересмо-треть отношения».

Деятельность аналитиков прежде всего требовала усовершен-ствовать метод координат. В плане синтетическом важно былодать бескоординатные определения объектов проективной геоме-трии, например, кривых второго порядка. Это сделал Штейнер|очень колоритная фигура в истории математики. Швейцарскийкрестьянин, до 19 лет ходивший за плугом, он начал заниматьсяматематикой в зрелом возрасте. Штейнер был решительно на-строен против мнимых величин в геометрии, называя их «при-зраками» или «царством теней». Впрочем, фон Штаудт показал,что с мнимыми объектами, возникающими в проективной гео-метрии, можно связать эквивалентные им чисто вещественныеконструкции. Другое важное достижение Штаудта состояло втом, что он сумел определить двойное отношение четырех то-чек непосредственно, без использования расстояний (которые несохраняются при проективных преобразованиях).

И наконец, еще одно имя | английского математика Арту-ра Кэли (1821 { 1895), долгое время занимавшегося математи-кой без отрыва от адвокатской практики. Мы остановимся наодном сочинении Кэли | знаменитом «Шестом мемуаре о фор-мах» (1859 г.). Кэли заметил, что евклидовы перемещения вы-деляются из всех проективных преобразований тем, что сохра-няют циклические точки. В результате, с использованием ци-клических точек, все объекты евклидовой геометрии (рассто-яния, величины углов и т. д.) можно определить через проек-тивные понятия (сохраняющиеся при проективных преобразова-ниях). Кэли называет проективную геометрию дескриптивной,а евклидову | метрической и пишет: «Метрическая геометрияесть, таким образом, часть дескриптивной, а дескриптивная гео-метрия|вся геометрия». Следует иметь в виду, что раньше по-ложение казалось прямо противоположным, а именно, что проек-тивная геометрия| сравнительно бедная часть евклидовой. Да-

Феликс Клейн (1849 { 1925) 387

лее Кэли замечает, что исходя из проективной геометрии можноввести расстояния, отличные от евклидова (метрики или мерооп-ределения Кэли): каждое такое расстояние на плоскости связы-вается с некоторой кривой второго порядка (вещественной илимнимой), так что это расстояние не меняется при всех проектив-ных преобразованиях, сохраняющих рассматриваемую кривую.

Модель Кэли{Клейна. В 1869 году Клейн познакомился с теори-ей Кэли, а в конце того же года | довольно поверхностно | сгеометрией Лобачевского. Тотчас же у него возникла мысль, чтоодна из метрик Кэли приводит к геометрии Лобачевского. Этобыла догадка, почти лишенная аргументации. Теория Кэли и те-ория Лобачевского радикально отличались внешне (вычисления сдвойным отношением у Кэли и аксиоматическое изложение у Ло-бачевского), а геометрии Кэли были еще недостаточно разрабо-таны для того, чтобы можно было проверять аксиомы геометрииЛобачевского. В феврале 1870 года Клейн, делая доклад по тео-рии Кэли на семинаре Вейерштрасса, решился обнародовать своюгипотезу. На этом семинаре было не принято обсуждать фан-тастические проекты: «зарвавшемуся» молодому человеку объяс-нили, что «это две далеко отстоящие друг от друга системы»;Клейн же был столь мало подготовлен к защите своей гипотезы,что «позволил переубедить себя». Позднее он жаловался на Вейер-штрасса, что у того «не было склонности распознавать с отдале-ния очертания еще не достигнутых высот». Но Клейн не пересталверить в свою гипотезу. Летом 1871 года он с помощью своегодруга Штольца уже основательно изучил неевклидову геометриюи убедился в справедливости своей догадки. Даже обладая дока-зательством, Клейну было нелегко убедить окружающих в своейправоте. Вероятно, наиболее досадно было Клейну то, что срединесогласных с его утверждением до конца своей жизни оставал-ся Кэли. «Состарившийся дух не в состоянии сделать выводы изсозданных им самим положений»,|писал Клейн.

Несколько слов о самой модели Кэли{Клейна. «Точками» вэтой модели являются внутренние точки круга (круг можно заме-нить областью, ограниченной любой кривой второго порядка), а

388 Феликс Клейн (1849 { 1925)

«прямыми»|хорды этого круга (без концов). Точки пересечения«прямых» определяются естественным образом; ясно, что через«точку» вне «прямой» проходит бесконечное число «прямых», непересекающих исходную, то есть налицо отрицание аксиомы па-раллельных из евклидовой геометрии. Надо еще убедиться в том,что все остальные евклидовы аксиомы для описанной модели вы-полняются: это и будет означать, что модель Клейна| это мо-дель геометрии Лобачевского. Сравнительно просто проверяют-ся аксиомы, касающиеся взаимного положения точек и прямых.Но когда дело доходит до проверки аксиом равенства, то пре-жде всего надо договориться, какие отрезки считать равными;унаследовать соответствующие понятия евклидовой геометриинельзя. Клейн, следуя Кэли, полагает длину отрезка AB равной| ln{A;B; �; �}|, где � и �|точки пересечения «прямой»AB с гра-ницей рассматриваемого круга (эту окружность называют аб-солютом). Проективные преобразования, сохраняющие абсолют,сохраняют так определенное «расстояние», т. е. являются переме-щениями в модели Кэли{Клейна геометрии Лобачевского.

Итальянский математик Эудженио Бельтрами (1835 { 1900) наме-тил другой путь к обоснованию геометрии Лобачевского еще в 1868 го-ду. Он обнаружил поверхность|псевдосферу,|кратчайшие линии накоторой (геодезические) ведут себя так, как прямые в геометрии Лоба-чевского. Затем Бельтрами отобразил некоторым образом псевдосферув круг и получил те же формулы, что позже и Клейн в своей теории.

Клейн исследовал другие неевклидовы геометрии, к которымприводят метрики Кэли, обнаружив, в частности, модель гео-метрии Римана (в геометрии Римана сумма углов треугольникабольше �, в геометрии Лобачевского она всегда меньше �).

Обсудим теперь, что же дает модель Кэли { Клейна для геометрииЛобачевского. Прежде всего|это отличный от аксиоматического спо-соб изложения, более наглядный. Клейн предваряет свою публикацию(1871 г.) словами, что его цель| «дать новое наглядное изложение ма-тематических результатов работ, относящихся к теории параллельных,и сделать их доступными ясному пониманию» (примерно так же фор-мулирует свою цель и Бельтрами). Однако построение модели решаетдалеко не только методическую проблему. Ныне модель Кэли { Клейнарассматривается прежде всего как средство доказательства непроти-

Феликс Клейн (1849 { 1925) 389

воречивости геометрии Лобачевского. В модели Кэли { Клейна объек-ты геометрии Лобачевского формируются на языке евклидовой геоме-трии, так что после перевода на этот язык теоремы геометрии Ло-бачевского превращаются в теоремы евклидовой геометрии, и, такимобразом, геометрия Лобачевского непротиворечива, если непротиворе-чива евклидова геометрия.

Клейн видел основное значение построенной им модели в другом.Он ставил во главу угла проективную геометрию, равноправными инезависимыми частями которой являются геометрии Евклида и Ло-бачевского. В этом плане подчеркивалась независимость построенноймодели геометрии Лобачевского от евклидовой геометрии, для чего,в свою очередь, была важна возможность строить проективную гео-метрию, не пользуясь евклидовой (по Штаудту). Именно этот моментвызывал у Кэли подозрения в существовании порочного круга. Клейнписал: «Вместо того чтобы внутри нашей метрической геометрии стро-ить образы неевклидовой геометрии, мы обосновываем свободную отвсяких метрическими представлений проективную геометрию, котораясодержит в себе как частные случаи, поддающиеся отчетливой класси-фикации, все известные геометрические системы».

Эрлангенская программа. Веками слово «геометрия» употребля-лось только в единственном числе. Но вот появилась геометрияЛобачевского, затем геометрия Римана, и наконец, математи-ки поняли, что существует много различных геометрий. Воз-ник естественный вопрос: что же такое геометрия? В 1872 годуКлейн высказал свою точку зрения в лекции, прочитанной им всвязи со вступлением в профессорскую должность в Эрлангене.Так появилась «Эрлангенская программа», по-видимому, самоеизвестное сочинение Клейна. По существу в нем нет новых ре-зультатов, все внимание сконцентрировано на поисках принципа,позволяющего систематизировать очень аморфное образование,в которое превратилась к тому времени геометрия.

По Клейну, основным атрибутом всякой геометрии явля-ется некоторый набор G взаимно однозначных преобразованийнекоторого множестваM . Преобразований должно быть доста-точно много для того, чтобы каждую точку множества M мож-но было перевести в другую некоторым преобразованием из G(в этом случае говорят, что G действует на M транзитивно).

390 Феликс Клейн (1849 { 1925)

Такая точка зрения была навеяна, конечно, проективной геоме-трией, в которой с самого начала первичными были некоторыепреобразования (центральные проектирования), в то время какв евклидовой геометрии (в традиционном изложении) первичныдругие объекты: прямые, отрезки, равные фигуры и т. д.

Следующее положение состоит в том, что набор преобразо-ваний G должен быть группой. Это означает, что любые двапреобразования из G, выполненные подряд, можно заменить од-ним преобразованием, также из G; кроме того, вместе с каждымпреобразованием g ∈ G в G входит и обратное к нему: g−1 (еслиg переводит x в y, то g−1 переводит y в x). Например, движенияплоскости или ее проективные преобразования образуют группу.

Итак, с каждой группой преобразований G связывается не-которая геометрия. Что же составляет содержание такой гео-метрии? Прежде всего| нахождение инвариантов группы G|свойств, которые сохраняются при действии преобразованийиз G (точнее, если какой-то объект нашей геометрии обладаетинвариантным свойством, то каким бы преобразованием из Gмы на него ни действовали, получится объект, также облада-ющий этим свойством). Для группы перемещений евклидовойгеометрии инвариантами являются все известные геометриче-ские свойства, так как мы не различаем положения фигур наплоскости. Однако и в традиционном курсе геометрии имеютсянетривиальные утверждения об инвариантах преобразований,не являющихся перемещениями. При гомотетиях сохраняютсяравенство углов, свойство кривой быть окружностью, отно-шение длин отрезков, отношение площадей. Имея некоторыйзапас инвариантных свойств, можно конструировать новые. От-носительно гомотетий инвариантными будут свойство прямойбыть биссектрисой угла, свойство кривой быть полуокружно-стью. Относительно осевых растяжений свойство кривой бытьокружностью уже не будет инвариантом, но будет инвариан-том свойство кривой быть эллипсом (а также гиперболой илипараболой); сохраняется отношение длин отрезков, лежащих наодной прямой (но не на разных), отношение площадей. Следстви-ем является инвариантность свойства точки делить отрезок в

Феликс Клейн (1849 { 1925) 391

данном отношении, свойства прямой быть медианой треуголь-ника. Можно показать, что всякое аффинное преобразованиеможно представить в виде композиции перемещений и осевыхрастяжений, а потому все указанные свойства инвариантны от-носительно аффинных преобразований (пример проективногоинварианта|двойное отношение|приведен на с. 385).

Выделение инвариантов|только первый слой геометрии. Ееосновное содержание составляюттеоремы о соотношениях меж-ду инвариантными свойствами (эти соотношения называют си-зигиями). Например, теорема о том, что медианы треугольникапересекаются в одной точке, которая делит их в отношении 1 : 2,сконструирована из аффинных инвариантов: быть точкой пере-сечения прямых, делить отрезок в данном отношении, быть ме-дианой треугольника. Именно поэтому, если она справедлива дляодного треугольника, она справедлива для его образа при аф-финном преобразовании, и ее достаточно проверить для одноготреугольника, например, равностороннего (аффинным преобра-зованием можно преобразовать любой треугольник в любой дру-гой). В теоремах о пересечении биссектрис и высот выводитсязависимость между инвариантами гомотетий.

На возможность использования геометрических преобразованийдля получения новых теорем обратил внимание в 1837 году Шаль:«Теперь каждый в состоянии взять какую-нибудь известную истину иприменить к ней различные общие принципы преобразований; так онполучит другие истины 〈: : :〉 Гений больше не является необходимымдля того, чтобы вносить свою лепту в построение величественногохрама науки». Однако если понимать рецепт Шаля буквально: взятьлюбую теорему и применить к ней произвольное преобразование, |то получится верное утверждение, но с такой корявой формулировкой,что у него будет мало шансов остаться в «храме науки». Подумайте,например, во что превратится теорема о пересечении биссектрис, еслисделать осевое растяжение. Как объяснить, в какую прямую перейдетбиссектриса? Клейн объясняет, что важно, напротив, понять, какие изпреобразований утверждения не меняют, подобрать преобразования,максимально упрощающие картину, и доказать утверждение в полу-ченной (более простой) форме. Вот традиционный пример. Аффиннымпреобразованием любой треугольник можно превратить в равносто-ронний, и поскольку в теореме о точке пересечения медиан речь идет о

392 Феликс Клейн (1849 { 1925)

соотношении между аффинными инвариантами, то эту теорему доста-точно проверить для равностороннего треугольника (что уже оченьпросто).

Эти соображения позволяют уточнить рецепт Шаля. Пусть подме-чено некоторое соотношение между аффинными инвариантами в рав-ностороннем треугольнике единичной площади: например, пусть �|площадь шестиугольника, образованного «тридианами»|прямыми, со-единяющими вершины треугольника с точками, делящими противопо-ложную сторону на три равные части. Тогда в любом треугольнике от-ношение площади шестиугольника, образованного тридианами, к пло-щади всего треугольника равно �. Теперь вы легко можете придуматьдругие теоремы такого рода.

Один из важнейших моментов в рассуждениях Клейна| этовыяснение взаимоотношения между геометриями, связанными сгруппами G1, и G2, если G1 ⊂ G2. (Говорят, что G1 |подгруп-па группы G2.) У большей группы G2 меньше инвариантов, чему G1, и все теоремы, связанные с группой G2, верны и для гео-метрии, связанной с меньшей группой G1.

Поэтому в каждой конкретной геометрии важно найти такиеутверждения, которые останутся справедливыми и для геоме-трий с более широкими группами преобразований. Иногда воз-можность «перенесения» утверждения в геометрию с более широ-кой группой преобразований становится ясной лишь после пере-работки формулировки утверждения.

Идеология Кэли на языке эрлангенской программы состоит в том,что можно двигаться обратным путем, рассматривая группу преобра-зований, сохраняющих некоторый фиксированный объект. При этомчасто инварианты для подгруппы можно конструировать при помощиинвариантов для группы (расстояния в евклидовой и неевклидовых гео-метриях| при помощи двойного отношения).

Инварианты для большей группы и соотношения между ними обыч-но описывать проще. В частности, для проективной группы задачунахождения инвариантов можно сделать полностью алгебраической ирешить.

«Эрлангенская программа» завершила «золотой век» классиче-ской геометрии. Число новых геометрий возрастает; постепенногеометрический язык пронизывает значительную часть матема-тики. «Классическая геометрия переросла себя и из живой са-

Феликс Клейн (1849 { 1925) 393

мостоятельной науки превратилась в универсальный язык совре-менной математики, обладающий исключительной гибкостью иудобством» (Н. Бурбаки).

Экстерн в школе Римана. После «Эрлангенской программы»Клейн обращается к теории алгебраических функций | обла-сти, в которой работали Гаусс, Лежандр, Абель, Якоби, Вей-ерштрасс, Риман. Наиболее близкими Клейну оказались идеиРимана (1826 { 1866), с которым он не был лично знаком. По сло-вам Клейна, он был «экстерном в школе Римана, 〈: : :〉 а экстерны,как известно, если берутся за какое-нибудь дело, то работают сособенным рвением, ибо к работе их побуждает только глубокийинтерес». Позднее Клейн писал, что видел свою задачу в сочета-нии Римана с Галуа, | то есть в проникновении теории группв геометрическую теорию функций комплексного переменного.По собственному мнению Клейна, это была главная область егонаучной деятельности.

К сожалению, об этой деятельности Клейна рассказать мыне сумеем, поскольку здесь уже нужно требовать от читателяспециальных знаний, далеко выходящих за рамки школьной про-граммы. Но все же об одном обстоятельстве мы упомянем.

Клейн занимался так называемой проблемой униформизации.Рассматривая важные частные случаи, он надеялся со временемразобраться и с общей задачей. Но в 1881 году Клейн обнаружилсерию статей никому не известного французского математикаАнри Пуанкаре (1854{1912), который по существу проблему уни-формизации решил1. Это драматическое событие Клейн встре-тил достойно. Он начал переписку с Пуанкаре; они обменялись26 письмами. Клейн, уже известный математик (хотя только на5 лет старший Пуанкаре), выступает в роли очень тактичногоучителя. Он знакомит Пуанкаре с теорией Римана, о которойтот не имел представления, но мгновенно усвоил. Клейн решаетсяна соревнование с Пуанкаре: улучшает доказательство основного

1Общая проблема униформизации еще фигурировала в числе проблемГильберта (1900 г.) и была полностью решена в 1907 году независимо Пу-анкаре и Кёбе.

394 Феликс Клейн (1849 { 1925)

результата и намечает его обобщение. Эта история окончиласьдля Клейна печально: «Цена, которую мне пришлось заплатитьза мои работы, была во всяком случае очень велика, так как моездоровье оказалось совершенно расшатанным 〈: : :〉 Только к осени1884 года положение несколько улучшилось, но прежней степе-ни творческой активности я уже не достиг никогда 〈: : :〉 Моясобственная творческая деятельность в области теоретическойматематики закончилась в 1882 году».

Последние 40 лет. Начиная с 1886 года Клейн работает в Гет-тингене. Благодаря Клейну этот город превратился в подлиннуюстолицу математики. По его инициативе в Геттинген приглаша-ются талантливые молодые математики (среди них|Гильберт).Клейн никогда не переставал интересоваться новыми идеями.Его лекционные курсы, частично записанные и изданные, по-священы самым разным областям математики, механики, физи-ки. Многогранна организационная и общественная деятельностьКлейна. 50 лет руководил он изданием одного из основных ма-тематических журналов «Mathematische Annalen». Своеобразнойлебединой песней Клейна были его «Лекции о развитии матема-тики в XIX столетии», читанные в 1914{1919 годах и изданныепосмертно его учениками Курантом и Нейгебауэром. Приведемвыдержку из их предисловия: «Эти лекции являются зрелым пло-дом богатой жизни, проведенной в центре научных событий, вы-ражением проникновенной мудрости и глубокого историческогопонимания, высокой человеческой культуры и мастерского дараизложения».

Значительную часть времени и сил тратил Клейн на разработ-ку проблем школьного преподавания математики и подготовкуучителей, чем, вероятно, до него не занимался ни один матема-тик такого масштаба. «Вряд ли есть предмет,|писал Клейн,|в преподавании которого царила бы такая рутина, как в пре-подавании математики. Курс элементарной математики вылилсяв определенные рамки и точно замер раз навсегда в установив-шихся пределах. Время от времени по тому или иному поводуодни задачи заменяются другими, исключаются одни параграфы

Феликс Клейн (1849 { 1925) 395

и вводятся другие; но по существу на всем материале школьнойматематики это почти не отражается. Новые учебники алгебрыносят отпечаток алгебры Эйлера, как новые учебники геометрииотпечаток геометрии Лежандра. Можно подумать, что матема-тика|мертвая наука, что в ней ничто не меняется, что в этойобласти знания нет новых идей, по крайней мере таких, кото-рые могли бы сделаться достоянием неспециалистов, предметомобщего образования».

Клейн стремится учесть в преподавании состояние современ-ной науки, связь математики и физики. Он рекомендует система-тически пользоваться преобразованиями в геометрии, отказать-ся от традиционного разбиения школьной математики на пред-меты. Школьный курс должен быть пронизан понятием функции;тщательно продумываются пути воспитания у учеников «функ-ционального мышления». Изложение геометрии, по мнению Клей-на, должно начинаться в неаксиоматическом варианте, а аксио-матический метод должен появляться уже тогда, когда ученикив состоянии его осознать.

С большим тактом поддерживал Клейн контакты с людьми,занимающимися школьной математикой, четко ограничив кругсвоей компетенции, никогда не вмешиваясь в вопросы, требовав-шие опыта непосредственной работы в школе. Клейн читал лек-ции для учителей, которые частично изданы. Наиболее известнаего «Элементарная математика с точки зрения высшей». Это нелекции по методике математики и не расширенный курс школь-ной математики. «Я хочу, чтобы настоящая книга оказалась по-лезной тем, что побудит иного учителя нашей средней школы ксамостоятельному размышлению о новом, более целесообразномизложении того учебного материала, который он преподает. Ис-ключительно с такой точки зрения надо смотреть на мою книгу,а не считать ее готовым учебным планом; разработку последнегоя всецело предоставляю тем, кто работает в школе. Если кто-нибудь предполагает, что я иначе понимал свою деятельность,то это недоразумение» (Клейн).

ВОЛШЕБНЫЙ МИР АНРИ ПУАНКАРЕ

Я описал воображаемый мир, обитатели которого неминуемодолжны были бы прийти к созданию геометрии Лобачевского.

А. Пуанкаре

Когда сегодня рассказывают историю геометрии Лобачев-ского, может сложиться впечатление, что докажи создатели не-евклидовой геометрии ее непротиворечивость | и она была быблагосклонно принята. Однако прежде всего критиков смущалоне отсутствие этого доказательства. Люди привыкли, что гео-метрия имеет дело с нашим реальным пространством, и что этопространство описывается евклидовой геометрией. Характерно,что Гаусс выделял геометрию среди остальных разделов матема-тики, считая ее, подобно механике, экспериментальной наукой.Но при этом Гаусс, так же как Лобачевский и Бойяи, понимал,что, во-первых, возможны логически стройные геометрическиепостроения, за которыми не стоит физическая реальность,|«во-ображаемые» геометрии, и, во-вторых, не столь бесспорно, чтов астрономических масштабах в нашем мире царит геометрияЕвклида. Однако то, что понимали лишь немногие математи-ки, было абсолютно недоступно непрофессионалам. Утверждениягеометрии Лобачевского они мерили на евклидов аршин своейгеометрической интуиции | и получали неисчерпаемый источ-ник для остроумия. Н.Г.Чернышевский писал сыновьям из ссыл-ки, что над Лобачевским смеялась вся Казань: «Что такое

"кри-

визна луча\ или"кривое пространство\? Что такое геометрия

без аксиомы параллельных линий?» Он сравнивает это с «возве-дением сапог в квадраты» и «извлечением корней из голенищ»,и говорит, что это столь же нелепо, как «писать по-русски без

396

Волшебный мир Анри Пуанкаре 397

глаголов» (здесь достается Фету: «шепот, робкое дыханье, трелисоловья», над которым, оказывается, тоже «хохотали до боли вбоках»).

Новый этап в развитии неевклидовой геометрии наступил,когда появились первые ее модели. Сейчас мы воспринимаем этимодели как средство для доказательства непротиворечивостигеометрии Лобачевского, но они были замечательны не толькоэтим. Даже при благожелательном взгляде геометрия Лобачев-ского казалась чересчур изощренной, не связанной с остальнойматематикой, а модель Кэли{Клейна показала, что она есте-ственным образом возникает на столбовой дороге проективнойгеометрии, очень популярной в то время! С другой стороны,рассмотрение модели, основные понятия которой конструиру-ются из образов привычной нам евклидовой геометрии, даваловозможность заменить формальное аксиоматическое изложениенеевклидовой геометрии более наглядным.

Еще одну модель придумал Анри Пуанкаре, занимаясь чи-сто аналитическими вопросами теории функций комплексногопеременного. Он неожиданно обнаружил, что появляющиеся унего преобразования можно интерпретировать как перемещенияв плоскости Лобачевского. Это открытие произвело на него на-столько сильное впечатление, что много лет спустя он вспоминал,как оно пришло ему в голову: «без всяких, казалось бы, предше-ствовавших раздумий», когда он поднимался на подножку омни-буса во время экскурсии в Кутанс. Через десять лет Пуанкаресделал замечательное дополнение к своей модели | подвел поднее «физическое» основание. Рассказу о модели Пуанкаре и по-священа эта глава.

Экскурс в физику. Наши геометрические представления имеютфизические предпосылки. Например, как прямые мы восприни-маем световые лучи. Идущий к нам световой луч продолжаетказаться прямым, даже если он преломился по дороге (например,войдя из воздуха в воду). Чтобы рассеять эту иллюзию, нуж-но поставить эксперимент или посмотреть на происходящее состороны.

398 Волшебный мир Анри Пуанкаре

Пусть у нас есть оптически неоднородная среда на верхнейполуплоскости (y > 0), в которой величина скорости света меня-ется по закону c(x; y) = y (независимо от направления луча). Изпринципа Ферма следует, что путь распространения света междудвумя точками есть такой путь, для прохождения которого све-ту требуется наименьшее возможное время. В нашей среде (гдеc(x; y) = y) свет между двумя точками будет распространятьсяпо таким кривым L (рис. 37), для которых

sin�(y)

y= k; (33)

�(y)

x

y

� �O

y

r

Рис. 37.

где �(y) | угол, который каса-тельная, проведенная к L в точ-ке с ординатой y, образует с вер-тикалью; k|фиксированное длявсех точек кривой L число (ср.формулу (11) на с. 156). Ясно,что условию (33) удовлетворяютвсе окружности с центрами наоси Ox (то есть перпендикуляр-ные этой оси); для каждой такой

окружности k =1

r, где r| ее радиус. При k = 0 мы получа-

ем вертикальные прямые. Можно показать, что других кривых,удовлетворяющих условию (33), нет; этому есть и физическоеобъяснение (например, такое: свет распространяется из задан-ной точки в заданном направлении по единственному пути).Окружности, перпендикулярные к оси Ox, и вертикальные пря-мые (вернее, их части, расположенные в верхней полуплоскости)и будут играть главную роль в нашем рассказе.

«Пуанкария» и ее геометрия. Мир Пуанкаре (назовем его в честьсоздателя Пуанкарией) представляет собой верхнюю полуплос-кость {(x; y); y > 0} без границы {y = 0} (это важно!)1. Суще-

1Можно было бы рассмотреть и «трехмерный» мир, но на плоскости про-ще рисовать картинки, и ради этого мы будем иметь дело с плоскими су-ществами.


ства, населяющие Пуанкарию (пуанкаряне), воспринимают как«прямые» верхние полуокружности с центрами на оси Ox (безконцов!) и вертикальные лучи (рис. 38). Будем называть эти пря-мые P -прямыми (читается «пэ-прямые»). P -прямые кажутся пу-анкарянам бесконечными (свет распространяется по ним неогра-ниченно долго), а концы P -прямых,|как и вся ось Ox,| неви-димыми. Итак, пуанкаряне считают, что их Пуанкария неогра-ниченна во все стороны. Назовем невидимые точки P -прямой еебесконечно удаленными точками; для луча одной из его беско-нечно удаленных точек будем считать точку ∞ (бесконечность).P -прямые однозначно определяются парой своих бесконечно уда-ленных точек (почему?); так мы их и будем различать и обозна-чать через L(�; �), где �, �|вещественные числа (одно из нихможет быть ∞) | координаты бесконечно удаленных точек наоси Ox.

Попробуем вместе с пуанкарянами построить геометрию ихпространства. Как и нам,| при жизни в евклидовом простран-стве,|некоторые утверждения кажутся пуанкарянам очевидны-ми, они принимают их без доказательства (аксиомы) и выводятиз них более сложные утверждения (теоремы). Для нас, смотря-щих на Пуанкарию со стороны, все эти утверждения будут вы-глядеть иначе, чем для пуанкарян (например, P -прямые для насполуокружности или лучи!), поэтому мы будем «переводить» фор-мулировки пуанкарян на свой «прозаический» евклидов язык идоказывать по-своему.

x

y

O

A

B

A

B

Рис. 38.

Например, пуанкаряне знают,что через две различные точ-ки проходит P -прямая и притомединственная. Для нас же этоозначает, что через две различ-ные точки полуплоскости про-ходит единственная полуокруж-ность, перпендикулярная к осиOx, или вертикальный луч (дока-жите!); см. рисунок 38. Заметим,что физическое объяснение этого


A′ A′′B′

B′′ A

B

C

Рис. 39.

утверждения, состоящее в том, что свет между двумя точкамираспространяется по единственному пути| одно и то же и дляпуанкарян, и для нас (впрочем, для геометрии это объяснениедоказательной силы не имеет). Нетрудно убедиться, что в Пуан-карии справедливы все аксиомы евклидовой геометрии, касающи-еся взаимного расположения точек и прямых и порядка точек напрямой. (Чтобы привыкнуть к Пуанкарии, разберитесь с P -от-резками, P -полуплоскостями, на которые P -прямая делит Пуан-карию так, что P -отрезки, соединяющие точки в одной P -по-луплоскости, не пересекают граничную P -прямую, а P -отрезки,соединяющие точки в разных P -полуплоскостях | ее пересека-ют; нарисуйте P -треугольники, P -многоугольники; подумайте оP -выпуклости, если вы знаете об «обычной» выпуклости. Вам по-может рис. 39.)

� �

A

Рис. 40.

Отличие геометрии Пуанка-рии от евклидовой проявляетсяпри рассмотрении взаимного рас-положения пары P -прямых. Мыуже знаем, что две различныеP -прямые могут пересекаться неболее чем в одной точке. Если жеони не пересекаются, то они име-ют общую бесконечно удаленнуюточку (невидимую!) или не име-ют общих точек даже на невиди-мой границе. В первом случае мы


будем называть такие P -прямые параллелями, а во втором |сверхпараллелями. Если имеется P -прямая L(�; �), то через точ-ку вне ее проходят только две параллельные L(�; �) P -прямые(отвечающие бесконечно удаленным точкам � и � соответствен-но; рис. 40) и бесчисленное множество сверхпараллельных, лежа-щих между параллелями. Таким образом, в Пуанкарии несправед-лива аксиома параллельных (нас, наблюдателей, впрочем, это неочень удивляет|ведь пуанкаряне не знают, что их «прямые»|«не настоящие»!); это позволяет нам надеяться на то, что геоме-трия Пуанкарии и окажется геометрией Лобачевского.

Главное, что теперь нам нужно сделать,| определить в Пу-анкарии расстояния и перемещения.

Расстояния и перемещения. С точки зрения оптики естественнеевсего в качестве расстояния между двумя точками A и B взять вПуанкарии время, за которое свет доходит из точки A в точку B:тогда P -прямые будут кратчайшими линиями между лежащимина них точками. Из физических соображений следует, что опре-деленное таким образом расстояние �(A;B) обладает обычнымисвойствами евклидова расстояния:

1) �(A;B) = �(B;A);2) если A, B, C лежат на одной P -прямой и B ∈ [AC], то

�(A;B) + �(B;C) = �(A;C) (свет распространяется из Aв C по P -прямой и пройдет через точку B);

3) для любых точек A, B, C: �(A;B) + �(B;C) > �(A;C) |неравенство треугольника, причем равенство имеет местолишь тогда, когда B ∈ [AC] (если бы это неравенство невыполнялось, то свету на путь по P -ломаной ABC понадо-билось бы меньше времени, чем на путь по P -прямой AC|наибыстрейшему пути, чего не может быть).

Для пуанкарян введенное расстояние � первично (заметим,что относительно этого расстояния свет распространяется с еди-ничной скоростью), и у них нет причин выражать � через что-тоеще; нам же естественно выразить � через наше евклидово рас-стояние. Это не просто: приходится иметь дело с неравномерным


движением света, и для вычисления времени, затраченного им,нужно считать интегралы. Поэтому приведем лишь окончатель-ный ответ:

�(A;B) = lnr′ + r

r′ − r; (34)

где r| евклидово расстояние между точками A и B, r′ | ев-клидово расстояние между точкой A и точкой B′, симметричнойточке B относительно оси Ox; логарифм берется по основанию e(при другом основании логарифма мы получим � с точностьюдо постоянного множителя). Евклидово расстояние замечательнотем, что имеется много преобразований плоскости, его сохраня-ющих; такие преобразования и называются перемещениями. По-смотрим, как выглядят перемещения в Пуанкарии (P -перемеще-ния) | преобразования, сохраняющие �, а значит, переводящиеP -прямые в P -прямые.

Начнем с преобразований, не оставляющих ни одной точкина месте. Это прежде всего | обычные параллельные переносывдоль оси Ox: Ta(x; y) = (x + a; y). Эти параллельные переносысохраняют и евклидово расстояние, и скорость света c(x; y) = y,а потому и время, которое требуется свету на путь между дву-мя точками A и B, то есть P -расстояние �(A;B), и, конечно,P -прямые переводят в P -прямые. С другой стороны, гомотетияFb(x; y) = (bx; by), b > 0, пропорционально изменяя и евклидоворасстояние, и величину скорости света c(x; y), также не меня-ет времени, затраченного светом, то есть P -расстояния �(A;B).Итак, то, что нам представляется гомотетией (с центром на осиOx), пуанкарянам кажется перемещением. С помощью указанныхP -перемещений можно любую точку перевести в любую. Напри-мер, точка (x0; y0) переходит в точку (0; 1) при P -перемещении(x− x0y0

;y

y0

). Относительно введенных P -перемещений|назовем

их P -сдвигами| P -прямые распадаются на два класса: отдель-но можно перевести друг в друга полуокружности, а отдельно|лучи (почему?).

Поясним сейчас, как, используя P -сдвиги и свойства введенногоP -расстояния �, можно просто получить формулу (34), выражающую


� через евклидовы расстояния, в том частном случае, когда обе точ-ки A и B находятся на оси y-ов: A = (0; y1), B = (0; y2). Положим�(A;B) = '(y1; y2), и найдем вид функции '. Поскольку � сохраняетсяпри евклидовых гомотетиях с центром в точке O, то

'(by1; by2) = '(y1; y2): (35)

Кроме того, если C = (0; y3)| третья точка на оси y-ов, то в силусказанного выше

'(y1; y2) + '(y2; y3) = '(y1; y3) (36)

Положим (z) = '(z; 1). Согласно (35)

'(y1; y2) = (y1=y2) = (z1);

'(y2; y3) = (y2=y3) = (z2);

'(y1; y3) = (y1=y3) = (z3):

Учитывая соотношение (36) и последние три равенства, получим

(z1 · z2) = (z1) + (z2);

откуда, в предположении, что | достаточно «хорошая» функция сположительными значениями, получаем, что (z) = k · ln |z|, где k|постоянный множитель, который вычисляется непосредственно.

Найденных P -перемещений еще недостаточно: у нас нет пре-образований, с помощью которых мы могли бы P -прямые одно-го типа (полуокружности) перевести в P -прямые другого типа(лучи). Добавим для этого P -симметрии относительно P -пря-мых. Для лучей | это обычная осевая симметрия, а для полу-окружностей|инверсия. (Например, P -симметрия относительноP -прямой L(−1; 1) | это инверсия относительно окружности сцентром O = (0; 0) радиуса 1; она переводит точку A, отлич-ную от центра O, в точку A′, лежащую на луче OA, такую, что|OA| · |OA′| = 1.) Мы знаем, что при инверсии окружности ипрямые переходят в окружности или прямые, причем величиныуглов сохраняются. На языке Пуанкарии это значит, что, напри-мер, при P -симметрии относительно P -прямой L(−1; 1) P -пря-мая L(�; �) переходит в P -прямую L

(1

�;1

�

). В частности, P -пря-


0 1413

12

23

1 32

2 3 4

Рис. 41.

мые L(�; 0), являющиеся при � 6= ∞ полуокружностями, перехо-

дят в P -прямые L(1

�;∞), являющиеся лучами. Итак, P -симме-

трии переводят Пуанкарию в себя, причем P -прямые переходятв P -прямые. Отдельно проверяется (мы эту проверку опускаем),что P -симметрии не меняют P -расстояния �. (Впрочем, в Пуан-карии всякое преобразование, переводящее P -прямые в P -пря-мые, сохраняет � (здесь нет гомотетий); в этом | важнейшееотличие геометрии Лобачевского от геометрии Евклида.)

P -перемещений, которые можно получить, комбинируяP -симметрии с P -сдвигами, уже хватает для того, чтобы любуюP -прямую перевести в любую P -прямую; более того, при этомлюбую заданную точку первой P -прямой можно совместить с за-данной точкой второй, и любой P -луч с другим P -лучом (докажи-те!). Значит, этими P -перемещениями можно совместить любыеP -отрезки равной P -длины, и мы получаем, что такие отрезкиP -равны. Можно показать, что все P -перемещения сводятся кописанным.

При P -перемещениях угол переходит в угол, равный ему вевклидовом смысле (поскольку это так для параллельных перено-сов, гомотетий, осевых симметрий и инверсий). Поэтому понятиеравенства углов в Пуанкарии не отличается от евклидова. С уче-том этого обстоятельства пуанкаряне, точно так же как и мы,докажут два признака равенства треугольников: по двум сторо-нам и углу между ними и по стороне и двум прилежащим к ней


углам. Сложнее обстоит дело с доказательством третьего при-знака равенства треугольников| по трем сторонам: ведь нашедоказательство этого признака использует тот факт, что окруж-ности пересекаются не более чем в двух точках. К счастью, ока-зывается, что P -окружности совпадают с евклидовыми (целикомлежащими в верхней полуплоскости), только P -центр у них не

�

�

�

� �

� − (�+ � + ) =

[� − (�+ � + �)] + � − (�+ � + )

Рис. 42.

совпадает с обычным (это|довольно непростой факт),а потому и с признаком ра-венства по трем сторонамв Пуанкарии все в порядке.Однако в Пуанкарии естьеще один признак равенстватреугольников: равны тре-угольники с попарно равны-ми углами! (Переведите этоутверждение на язык евкли-довой геометрии и попы-тайтесь доказать его; см.рис. 41 и задачу 4.) Значит, площадь треугольника в Пуанка-рии (как и сам треугольник) определяется величинами его углов�, � и . В геометрии Лобачевского сумма углов треугольни-ка меньше �. Величина � − (� + � + ) называется дефектомтреугольника. Можно заметить, что дефект треугольника ведетсебя так же, как площадь; точнее: если данный треугольник раз-резать прямой, проходящей через его вершину, то площадь егобудет равна сумме площадей получившихся треугольников; то жебудет справедливо и для дефекта всякого треугольника: он ра-вен сумме дефектов образовавшихся треугольничков (рис. 42).Отсюда можно вывести, что величина площади треугольника вгеометрии Лобачевского пропорциональна дефекту �−�−�− .

Несколько задач. 1. а) Убедитесь, что все P -прямые, перпендикуляр-ные к фиксированной P -прямой, сверхпараллельны (рис. 43).

б) Покажите, что для пары сверхпараллелей существует единствен-ный общий P -перпендикуляр (рисунки 44, а и б).

2. Проверьте, что P -биссектрисы P -треугольника пересекаются в


Рис. 43.

Á)

Â)

Рис. 44.

B

A1

A2

A3

C1

C2

C3

0

Рис. 45. Рис. 46.

одной точке| центре вписанной P -окружности. Подумайте, что мож-но сказать об описанной P -окружности | всегда ли она существует(см. рисунок 45: на этом рисунке P -треугольники AiBCi | равнобе-дренные, с осью симметрии L(0;∞); i = 1, 2, 3; на рисунке отмеченыперпендикуляры к P -серединам сторон этих треугольников)?

3. Убедитесь, что у тупоугольного (но не остроугольного) P -тре-угольника высоты могут быть сверхпараллельны (на рис. 46). Что мож-но сказать о медианах?

4. Покажите, что у равнобедренного P -треугольника углы приосновании равны, а биссектриса угла при вершине является медианой ивысотой. Докажите для этого случая четвертый признак P -равенстватреугольников.

5. Пусть L(�; �), L(�; �1), L(�; �2) | три параллельные P -прямые(рис. 47). Докажите, что существует P -перемещение, переводящееL(�; �) в себя, а L(�; �1)| в L(�; �2).

Отсюда следует, что в геометрии Лобачевского нельзя определить


� ��1 �2

L(�; �)

Рис. 47.

A'(x)Mx

L0

L1

Рис. 48.

расстояние между параллелями.6. Если P -прямая L1, пересекает P -прямую L0 или сверхпараллельна

ей, то она проектируется на L0 в виде конечного P -интервала; если жеL1, параллельна L0, то проекцией является P -луч.

7. Пусть P -прямая L0, перпендикулярна к L1, и пусть A|точка наL0, отстоящая от L1 на расстояние x (рис. 48). Проведем через точку AP -прямуюMx, параллельную L1, и обозначим через '(x) величину угла,который P -прямая Mx образует с L0. Найдите '(x) и покажите, что

'(x)→ �2при x→ 0 и '(x)→ 0 при x→∞.

Функция '(x) называется функцией Лобачевского; эта функциясвязывает величины углов и длины, и поскольку для углов существу-ет абсолютная единица измерения | полный угол, то в геометрииЛобачевского есть такая абсолютная единица измерения и для длин(она с помощью функции ' переносится с углов). В геометрии Евкли-

да '(x) ≡ �2, а потому аналогичной абсолютной единицы измерения

длины нет.

Твердые тела в Пуанкарии. Пока во всех наших геометрическихрассмотрениях мы руководствовались только оптическими пред-посылками. Здесь нужно подчеркнуть, что геометрия Пуанкареполучилась неевклидовой не из-за того, что в Пуанкарии иныезаконы оптики, чем наши: мы строим (моделируем) Пуанкариюв нашем собственном мире и законов физики не меняем! Оптиче-ские же иллюзии пуанкарян объясняются оптической неоднород-ностью их мира.

Хотя, безусловно, самой яркой реализацией прямой линииявляется световой луч, мы все же не измеряем длин при по-мощи времени распространения света | для этих целей у нас


есть линейка. Вероятно, стоит обзавестись линейкой и пуанка-рянам. Конечно же, пуанкаряне изготовят линейку «P -прямой»;но если пуанкарянин перенесет такую линейку из одного местав другое, то она «прямой» (P -прямой) ему уже не покажется.С точки зрения пуанкарянина при движении твердого тела ме-няется его форма. Как же пуанкарянин должен реагировать наэто? Ясно, что нужно как-то увязать понятие твердого тела сгеометрией Пуанкарии, иначе пуанкарянам придется поверитьв существование сверхъестественных сил. Анри Пуанкаре при-думал остроумный выход из этого, казалось бы, безнадежногоположения: он воспользовался явлением теплового расширениятел. Пусть в Пуанкарии у всех тел одинаковый коэффициент те-плового расширения и нулевая теплопроводность, а размеры телпропорциональны абсолютной температуре T . (Заметим, что вэтих условиях при помощи обычного термометра пуанкаряне немогут измерить температуру, поскольку такое измерение пред-полагает сравнение расширения тел с разными коэффициентамитеплового расширения.) Твердое тело характеризуется тем, чтопри движении в среде с постоянной температурой расстояниеr(A;B) (евклидово) между любыми двумя его точками A и Bсохраняется. Но если тело переместится из области с темпера-турой T1 в область с температурой T2, то расстояние междуего точками умножится на T2=T1 (другими словами, останетсяпрежним отношение r(A;B)=T ). А что будет, если тело сразуокажется в области с разными температурами?

Какая величина будет сохраняться в этих условиях? Пусть,например, достаточно большое твердое тело перемещается в сре-де, где по одну сторону от некоторой прямой m температура T1,а по другую| T2, пусть A|точка тела, находящаяся в областис температурой T1, а B|точка тела, находящаяся в области стемпературой T2. Возьмем ломаную с концами в точках A и B ивершиной C на прямой m. Обозначим |AC| = r1, |CB| = r2 и рас-смотрим величину r1=T1+r2=T2. Оказывается, что при движениив такой температурной среде сохраняется наименьшее значениевеличины r1=T1+ r2=T2, взятое по всем ломаным с вершинами напрямой m и с концами в двух данных точках A и B! Далее можно


в точности повторить те же рассуждения, что и при применениипринципа Ферма, например, к выводу закона преломления Снел-лиуса, и мы получим, что искомое наименьшее значение будет

отвечать ломаной, для которойsin�1

T1=

sin�2

T2, где �i|угол со-

ответствующего звена ломаной с нормалью к прямой m.Пусть теперь в Пуанкарии в точке x; y постоянно поддер-

живается абсолютная температура T (x; y) = y. Тогда за счетвыбранного температурного режима при движении твердых (внашем смысле!) тел будут сохраняться уже не евклидовы рас-стояния, а P -расстояния, и с точки зрения пуанкарян (ведь онине чувствуют разницы температур!) размер тела, движущего-ся в такой среде, сохраняется, то есть оно | P -твердое. Оста-лось позаботиться лишь о том, чтобы все предметы имели малыетеплоемкости и перемещались настолько медленно, чтобы нахо-диться в тепловом равновесии, и чтобы изменение температурыбыло для пуанкарян незаметно. В результате пуанкаряне не толь-ко не увидят границы мира, но и не смогут никогда добратьсядо нее: при приближении к границе температура стремится кабсолютному нулю, а потому будут стремиться к нулю и раз-меры предметов, без изменения пропорций между предметами.Анри Пуанкаре старался исключить для пуанкарян все возмож-ности узнать, что их неевклидов мир всего лишь сконструированв нашем евклидовом. Но все ли он предусмотрел? Если вы обнару-жите какие-либо неучтенные возможности пуанкарян, напишитенам об этом.

ЗАГАДКА РАМАНУДЖАНА

Рамануджан любил говорить, что формулы емувнушает во сне богиня Намаккаль. Интересноотметить, что действительно он часто, вставаяпо утрам с кровати, тут же записывал готовыеформулы. Сешу Айар и Рамачандра Рао

Письмо в Кембридж. В самом начале 1913 года профессор Кем-бриджского университета Г.Х.Харди получил письмо из далеко-го Мадраса. В свои 36 лет Харди был уже одним из крупнейшихспециалистов по анализу и теории чисел, автором ряда велико-лепных математических работ. Отправитель же письма, Срини-ваза Рамануджан, работал клерком в бухгалтерии почтового ве-домства Мадраса с более чем скромным окладом в 20 фунтов вгод. Он сообщал о себе, что не имеет университетского обра-зования и после окончания школы самостоятельно занимаетсяматематикой, не следуя принятой системе, а «избрав свою до-рогу». Математическое содержание письма выглядит достаточнонеуклюже|вполне можно принять автора за самоуверенного лю-бителя.

Само по себе такое письмо не могло произвести на Хардисильного впечатления. Но к письму было приложено некотороеколичество формул, которые предлагалось опубликовать, еслиони интересны, чего сам автор не мог сделать из-за своей бед-ности. Просмотр формул насторожил Харди: он понял, что име-ет дело с незаурядным явлением. Он заинтересованно отвечаетРамануджану, между ними завязывается интенсивная перепис-ка. Постепенно у Харди собирается около 120 разнообразныхформул.

410

Сриниваза Рамануджан (1887 { 1920) 411

Вставка 1. Пример бесконечной суммы, вычисленной Рамануджаном.

1− 5

(1

2

)3

+ 9

(1 · 32 · 4

)3

− 13

(1 · 3 · 52 · 4 · 6

)3

+ : : : =2

�

Эта удивительная формула | одна из приложенных Рамануджаном кпервому письму Харди. Каким образом сумма знакочередующегося ря-да a0 + a1 + a2 + : : : с общим членом

an = (−1)n(4n+ 1)

(1 · 3 · 5 · : : : · (2n− 1)

2 · 4 · 6 · : : : · 2n

)3

может вдруг оказаться равной 2=�, Харди долго не мог понять. В спра-ведливости этой формулы как приближенного равенства читатель мо-жет убедиться с помощью калькулятора. Доказательство точного ра-венства неэлементарно.

Формулы Рамануджана касались в основном соотношениймежду бесконечными радикалами (вставка 2), бесконечнымирядами, произведениями и цепными дробями (вставки 1, 3, 4),тождеств между интегралами. Прежде всего было ясно, что онидалеко выходят за пределы элементарной математики. Далеевозникает цепь вопросов: известны ли они; если да, то само-стоятельно ли получены автором письма; если нет, то верны лиони? Вскоре Харди понимает, что ситуация парадоксальна: он,несомненно, выдающийся специалист по современному анализу,имеет дело с россыпью неизвестных ему формул!

Большое впечатление на Харди произвели формулы с беско-нечными рядами (см. вставку 1). После их изучения он приходитк выводу: «В распоряжении Рамануджана должны быть какие-тоочень общие теоремы, которые он от меня скрывает».

Но особо удивили Харди соотношения с бесконечными цеп-ными дробями (одно из более поздних соотношений этого типапоказано на вставке 3): «Эти соотношения поставили меня полно-стью в тупик; я никогда не видел ничего подобного. Достаточнобросить на них один взгляд, чтобы убедиться в том, что они мог-ли быть написаны только математиком самого высшего класса».

412 Сриниваза Рамануджан (1887 { 1920)

Вставка 2. Бесконечно повторяющиеся радикалы.√1 + 2

√1 + 3

√1 + 4

√1 + : : : = 3:

Эту красивую формулу Рамануджан получил еще в школьные годы сле-дующим образом: он написал последовательность очевидных равенств

n(n+ 2) = n√1 + (n+ 1)(n+ 3) =

= n

√1 + (n+ 1)

√1 + (n+ 2)(n+ 4) = : : : ;

а затем подставил n = 1. Вопрос о законности перехода к пределуРамануджана не интересовал. Действуя так же, читатель может по-пробовать самостоятельно получить похожую формулу√

6 + 2

√7 + 3

√8 + 4

√9 + : : : = 4:

Чудо из Кумбаконама. Как же сложился математик, который такудивил Харди? Сриниваза Рамануджан Айенгор родился 22 дека-бря 1887 г. на юге Индии в селении Эрод. Его детство в основномпротекало в маленьком городке Кумбаконам (в 260 км от Мадра-са), где его отец работал бухгалтером в небольшой текстильнойлавке. Рамануджан принадлежал к касте браминов, но богатствоуже давно не было уделом его родственников. Его родители, амать особенно, были глубоко религиозны. Рамануджан получилвоспитание в традициях касты. Детство, проведенное в горо-де, где каждый камень связан с древней религией, в окружениилюдей, постоянно ощущающих свою принадлежность к высшейкасте, сыграло большую роль в становлении Рамануджана.

С 5 лет Рамануджан в школе, к 10 годам он заканчивает на-чальную школу. Он начинает проявлять незаурядные способно-сти, получает стипендию, обеспечивающую обучение в среднейшколе за половинную плату. В 14 лет студент из Мадраса даетему двухтомное руководство по тригонометрии Лони. Вскоре Ра-мануджан изучил тригонометрию, и студент имел возможность


Вставка 3. Числовое тождество с бесконечной суммой и цепной дробью.

1 +1

1 · 3+

1

1 · 3 · 5+

1

1 · 3 · 5 · 7+

1

1 · 3 · 5 · 7 · 9+ : : :+

+1

1 +1

1 +2

1 +3

1 +4

1 + : : :

=

√�e

2:

Это, возможно, самая красивая формула Рамануджана, истинное про-изведение математического искусства. Она неожиданно связывает бес-конечный ряд и бесконечную цепную дробь. Удивительно, что ни ряд,ни цепная дробь не выражаются через известные постоянные � и e, аих сумма непостижимым образом оказывается равной

√�e=2 !

пользоваться его консультацией в решении задач. К этому пери-оду относятся первые рассказы и легенды. Утверждается, что онсам открыл «формулу Эйлера о синусе и косинусе» и был оченьрасстроен, найдя эту формулу во втором томе Лони.

«Маленький брамин» полагает, что в математике, как и в дру-гих науках, следует искать присущую ей «высшую истину», рас-спрашивает учителей. Старшие дают маловразумительные ссыл-ки на теорему Пифагора, а то и на вычисления с процентами.

«Синопсис элементарных результатов чистой и прикладной мате-матики». Это двухтомное руководство английского математикаКарра, написанное в 1880 { 1886 гг., попало к Рамануджану в1903 г. | ему было тогда 16 лет. Эта книга сыграла огромнуюроль в формировании Рамануджана. В ней было собрано 6165 те-орем и формул, почти без доказательств, с минимальными пояс-нениями. В основном книга посвящена алгебре, тригонометрии,анализу, аналитической геометрии.

Книга Карра стимулировала мальчика к самостоятельномувыводу формул. Об этом говорят те, кто знал Рамануджана вэти годы. Постепенно меняется область его основных интересов:


магические квадраты, потом квадратура круга (он находит � сточностью, позволяющей вычислить длину экватора с ошибкой,не превышающей 1 { 2 м, гласит легенда) и, наконец, наступаеточередь бесконечных рядов. Это уже начало подлинной матема-тической жизни!

Книга Карра оказалась достаточно удачной для того, чтобысформировать математический мир Рамануджана. Но ориента-ция на эту книгу имела и другие последствия. Поскольку книгане содержала доказательств, а в лучшем случае|наводящие со-ображения, у Рамануджана складывается своеобразный методустановления математической истины. К тому же он лишен в Ин-дии подходящих руководств для того, чтобы проводить строгиедоказательства.

«Его понимание сущности математического доказательствабыло более чем туманным; он пришел ко всем своим результатам,как ранним, так и более поздним, как верным, так и неверным,при помощи странной смеси интуитивных догадок, индуктивныхсоображений и логических рассуждений».

Математическая судьба Рамануджана фактически полностьюрешилась в эти годы|направление научных поисков, способ ду-мать он уже никогда не менял. Здесь можно выразить сожаление,что Рамануджан формировался в тяжелых условиях. В нормаль-ных условиях он, несомненно, стал бы математиком с лучшей про-фессиональной подготовкой, но можно ли быть уверенным, чтоон был бы столь же уникален? Смог бы Рамануджан увидеть такмного, если бы с детства был обучен правилам поведения в мате-матике и доводил бы свои результаты до публикаций со строгимидоказательствами, строил бы свой математический мир на базевсего достигнутого человечеством, а не на сравнительно неболь-шом числе фактов?

От чисел к формулам. В формировании математического мираРамануджана было важно, что начальный запас математическихфактов (в основном почерпнутый из книги Карра) объединился унего с огромным запасом наблюдений над конкретными числами.Он коллекционировал такие факты с детства. Его школьный то-


варищ вспоминал, что Рамануджан знал огромное число знаковв разложениях e, � и других чисел в десятичные дроби. Он обла-дал поразительными способностями подмечать арифметическиезакономерности, терпеливо рассматривая огромный числовой ма-териал| искусство, которым виртуозно владели Эйлер и Гаусс,но которое было в значительной степени утрачено к XX веку.Многое в числовой кладовой открывалось при случайных обстоя-тельствах. Харди позднее вспоминал, как он навестил в больницеРамануджана и сказал, что он приехал на такси со «скучным»номером 1729. Рамануджан разволновался и воскликнул: «Хар-ди, ну как же, Харди, это наименьшее натуральное число, пред-ставимое в виде суммы кубов двумя различными способами!»(1729 = 13 + 123 = 93 + 103). В книге Харди о творчестве Ра-мануджана метко сказано, что «каждое натуральное число былоличным другом Рамануджана».

Рамануджан стремительно пополняет запас фактов, почерп-нутый у Карра. Он при этом с удивительной скоростью переот-крывает результаты Эйлера, Гаусса, Якоби. Так некогда юныйГаусс в Брауншвейге, лишенный литературы, реконструировал вкороткий срок то, на что у его великих предшественников ушлидесятилетия. Можно только удивляться, что реконструкции ма-тематики с такими скоростями возможны.

Постепенно коллекция наблюдений над конкретными числа-ми уходит у Рамануджана на второй план перед миром формул.Формулы для него | не вспомогательное средство для доказа-тельств или вычислений, но представляют самостоятельную цель.Внутренняя красота формулы имеет для Рамануджана бесконеч-ную ценность. Его формулы можно рассматривать как прекрас-ные картины.

Выбор профессии. В 1904 г. Рамануджан поступает в Мадрас-ский университет, делает первые успехи не только в математике,но и в английском языке. Однако математика начинает заниматьего целиком, и это не замедлило сказаться. Он не кончает дажепервого курса, странствует с другом, делает попытку вернуть-ся в университет, а затем закончить его экстерном (1907 г.). Но


все безуспешно. В 1909 г. он женится; его жене девять лет, иона доживет до наших дней, трогательно сохраняя память о ве-ликом супруге. Рамануджан вынужден думать о средствах нажизнь, но он не может найти подходящего занятия. В 1910 г. онпоказывает свои математические результаты Рамасвари Айару,основателю Индийского математического общества, затем Се-шу Айару, преподавателю Кумбаконамского колледжа, и Рама-чандра Рао, крупному чиновнику, получившему математическоеобразование; позднее они стали биографами Рамануджана.

Рао помогает ему из своих средств, а затем устраивает клер-ком в почтовое управление. В 1911 г. появляется в печати со-общение Сешу Айара о результатах Рамануджана, а затем и егособственная статья. В судьбе Рамануджана начинают приниматьучастие влиятельные английские чиновники; с 1 мая 1913 г. на двагода он обеспечен специальной стипендией в 75 рупий (5 фунтов)в месяц. Этого хватает на скромную жизнь, и Рамануджан оста-вляет карьеру клерка. Он становится «профессиональным мате-матиком».

Итак, Рамануджан встретил среди окружающих определен-ное признание, но не понимание. Мы помним, что в начале 1913 г.он пишет Харди. Чего он ожидал от Харди? Найти, наконец, че-ловека, способного понять и оценить его результаты, помочь инаправить его дальнейшие исследования? Скорее повод был бо-лее прозаическим: от внешнего мира ему требовались не слава ипризнание, но обеспечение возможности существовать.

Надо сказать, что в научном плане адресат был выбран ис-ключительно удачно: трудно было бы найти другого математикав мире, который смог бы так быстро и эффективно сориентиро-ваться в результатах Рамануджана. Очень скоро Харди понима-ет, что от него требуется не оценка результатов безвестного лю-бителя или младшего коллеги, но спасение огромного дарования.Одновременно его не оставляет мысль, что Рамануджан сооб-щает лишь немногое из того, что знает, что он обладает оченьобщими результатами, приводя лишь частные иллюстрации. Ноглавное|он не может реконструировать метод Рамануджана, иему не терпится узнать, каким путем двигался его удивительный


Вставка 4. Тождество Роджерса|Рамануджана.

Это тождество

1 +x

1− x+

x4

(1− x)(1− x2)+

x9

(1− x)(1− x2)(1− x3)+ : : : =

=1

(1− x)(1− x6)(1− x11) · : : : · (1− x4)(1− x9)(1− x14) : : :

Рамануджан нашел в 1911 году, но не сумел его доказать. Не сумел егодоказать и Харди. В 1917 году, просматривая журнальную литературу(что он делал довольно редко), Рамануджан наткнулся на оставшуюсянезамеченной статью английского математика Роджерса 1894 года, гдеэта формула была доказана. Оказалось, далее, что это тождество тесносвязано с числом p(n) разбиений на слагаемые (см. вставку 5). А совсемнедавно оно появилось в исследованиях. . . по статистической физике.

корреспондент. Неожиданно Рамануджан твердо отказываетсяописывать свой метод. В письме от 27 февраля 1913 г.: «Вы про-сите меня сообщить мои методы доказательств 〈: : :〉 Вот что яхочу Вам сказать: проверьте мои результаты, и если они совпа-дают с Вашими, то Вы должны, по крайней мере, согласиться стем, что в моих основных рассуждениях имеется какое-то зерноистины».

Харди подозревает, что Рамануджан боится, что его мето-дами могут воспользоваться, пытается рассеять опасения, но17 апреля получает ответ: «Ваше последнее письмо причиниломне боль 〈: : :〉 Я нисколько не опасаюсь того, что мои методыбудут использованы другими. Напротив, я работаю моими ме-тодами 8 лет и не нашел никого, кто бы понимал или оценил их.Как я уже писал в моем последнем письме, я нашел в Вас внима-тельного и понимающего друга и готов передать в Ваше полноераспоряжение те немногие результаты, которыми я располагаю.Только в силу новизны моих методов я не решаюсь даже сейчассообщить Вам мой путь вывода тех формул, которые я сообщилВам в моих предыдущих письмах».

Для Харди не было сомнений: для Рамануджана необходи-мы контакты с настоящими математиками. Обеспечить в Индии


это невозможно, и ему необходимо срочно перебраться в Ан-глию. Удалось договориться о стипендии в Кембридже. Однакопредстояло убедить в необходимости поездки самого Рамануджа-на, которого нынешнее положение вполне устраивало. К томуже против поездки категорически возражала мать, согласие ко-торой было для сына обязательным. Друзья пытаются сформи-ровать общественное мнение, активно действует кембриджскийматематик Невил, в начале 1914 г. посетивший Мадрас. Он обра-щается к ректору университета за поддержкой, но безуспешно.

То, что было не под силу ученым, легко осилила. . . богиня На-маккаль (согласно легенде, из ее уст во сне Рамануджан узнавалновые формулы). Мать увидела во сне сына, сидящего в большомзале в окружении европейцев, и богиня повелела не противить-ся отъезду. 17 марта 1914 г. Рамануджан отбыл в Англию. Онбудет два года получать стипендию по 250 фунтов стерлингов вгод. Из них 50 фунтов будет получать мать. По приезде вскорестипендия была еще увеличена на 60 фунтов.

В Кембридже. Рамануджану 27 лет. Лучшие годы для становле-ния математика прожиты в Индии без контакта с серьезнымиучеными, без доступа к математической литературе. В разныхстранах, в разные времена человек ощущает себя сложившимся вразном возрасте. Для Индии начала века, с очень низкой продол-жительностью жизни, 27 лет| возраст зрелого человека. ВдоваРамануджана вспоминала, что он любил составлять гороскопы,и его собственный гороскоп предсказывал ему смерть до дости-жения 35-летнего возраста.

Харди предстояло принять очень ответственное решение: на-до ли прервать занятия Рамануджана с тем, чтобы он смог осво-ить современную математику? Выбор Харди был, по-видимому,единственно возможным: не менять стиля и направлений иссле-дования Рамануджана, лишь по возможности корректируя их сучетом современной математики и стараясь объяснять новые ве-щи, обращая внимание на подходящую литературу. Харди писал:

«Его ум уже сложился, и он так и не стал"ортодоксаль-

ным\ математиком. Однако он еще был способен учить новые


Вставка 5. Теорема Харди { Рамануджана.Эта теорема дает оценку числа p(n) разбиений натурального чи-сла n на натуральные слагаемые. (Например, p(5) = 7, так как5 = 4+1 = 3+2 = 3+1+1 = 2+2+1 = 2+1+1+1 = 1+1+1+1+1.)Именно,

p(n) ∼ Ane

�

(vuut23

n−

124

!);

где An =1

2�√2

�√6(n− 1

24

) − 1

2(n− 1

24

)3=2| функция от n. На-

пример, при n = 200 «приближенная» формула Харди { Рамануджанадает p(200) = 3 972 999 029 388. Это | точный ответ! Наиболее зага-дочна в формуле для p(n) маленькая «поправочка» (−1=24), придуман-ная Рамануджаном. Никто | ни Харди, ни даже сам Рамануджан |не сумел объяснить, откуда она взялась. Опять вмешательство богиниНамаккаль? Так или иначе, именно эта таинственная поправка обеспе-чила точность оценки. Однако Харди и Рамануджан не ограничилисьприближенной формулой: впоследствии они получили точное равенстводля вычисления p(Ð).

вещи и делал это весьма хорошо. Было невозможно обучатьего систематически, но мало-помалу он воспринимал новыеточки зрения. В частности, он усвоил, что такое доказатель-ство, и его поздние статьи, при том, что в некоторых от-ношениях они оставались необычными и индивидуальными,воспринимались как работы хорошо информированного мате-матика. Однако его методы оставались по существу прежни-ми».

Работает Рамануджан очень интенсивно и плодотворно. У не-го много общих интересов с Харди. Фантастическая интуицияРамануджана, объединившись с рафинированной техникой Хар-ди, дает замечательные плоды. К Рамануджану приходит при-знание: в 1918 г. он становится профессором университета вКембридже; его выбирают в Королевское общество (английскуюакадемию наук). Никогда прежде индус не удостаивался такихпочестей.


Жилось Рамануджану непросто. Он строго следовал всем ре-лигиозным ограничениям, как и обещал родителям. В частности,он был вегетарианцем и был вынужден готовить себе сам. Он от-казывался нарушать правила, даже когда тяжело заболел в 1917 г.Вероятно, нерегулярность в питании ускорила болезнь (так счи-тал и сам Рамануджан, как вспоминала его вдова). Оставшиесядва года в Англии Рамануджан провел в больницах и санатори-ях, вынужденный ослабить интенсивность занятий математикой.

Непросто было вписаться Рамануджану в кембриджскуюжизнь, полную чуждых условностей и традиций. Природнаявежливость, стремление не быть источником для дискомфор-та окружающим, так присущие индийской культуре, помогалиРамануджану по крайней мере внешне приспособиться к универ-ситетской жизни.

Харди очень много делал для Рамануджана: следил за егозанятиями, стремился восполнить пробелы в его образовании,заботился о его положении в обществе и быте. Рамануджан допоследней минуты был полон трогательной признательности илюбви к нему. . .

Возвращение и смерть. Заболев, Рамануджан начинает думать овозвращении на родину. Лишь к началу 1919 г. его здоровье улуч-шилось настолько, чтобы совершить далекую поездку по морю.Ему было готово место в Мадрасском университете| слава егодостигла Индии. Рамануджан пишет ректору благодарственноеписьмо, извиняется за то, что последнее время болезнь не давалавозможности работать достаточно интенсивно. Но он так и несмог приступить к работе в университете. Жить на родине (ивообще жить) ему оставалось менее года. После трех месяцев вМадрасе Рамануджан перебрался в Кумбаконам. В январе 1920 г.он посылает последнее письмо Харди, где сообщает о работе надновым классом тэта-функций. Ни врачи, ни родные не могут уго-ворить смертельно больного ученого прервать работу. 26 апреля1920 г. Рамануджан умер. Ему еще не исполнилось 33 года.

Память. Весть о смерти Рамануджана потрясла его друзей и вИндии, и в Англии. Они чувствовали свой долг разобраться в том


удивительном явлении, каким был Рамануджан. Харди пишет:«Возможно, что великие дни формул окончились и Рамануджануследовало бы родиться на 100 лет раньше; но он был величайшимсоздателем формул своего времени».

Друзья и коллеги старались оценить место Рамануджана в со-временной математике. Они не сомневались в его удивительныхспособностях, фантастической красоте формул, но все сходилисьна том, что сам выбор сюжетов, которых настойчиво держалсяРамануджан, не позволяет ему занять достойное место в историиматематики.

Прошло более полувека, и сегодня мы отчетливо видим то,что не могли предвидеть Харди и его современники. Гений Ра-мануджана оказался созвучен не только прошлому, но и будущемуматематики. Арифметические формулы Рамануджана нередкооказывались ключевыми на новых этапах алгебраической теориичисел, и можно было только удивляться, как он смог увидеть их,не зная того, без чего их увидеть нельзя. А потом пришло воз-рождение интереса к конкретным явным формулам как внутриматематики, так и в сфере ее приложений. Современная матема-тическая и теоретическая физика обращаются порой к весьма аб-страктным разделам математики, и при этом очень изысканныеявные формулы играют важную роль. Вот два недавних примера,связанные с Рамануджаном.

Р. Бакстер, прославившийся построением точно решаемыхмоделей статистической механики, при исследовании модели«жесткого гексагона» неожиданно обнаружил, что постоянноимеет дело с тождествами Роджерса { Рамануджана (вставка 4на с. 417) и Рамануджана.

Нобелевский лауреат С.Вайнберг недавно вспоминал, как, за-нимаясь в начале 70-х годов очень популярной сейчас теориейструн, он столкнулся с задачей об оценке функции разбиений p(n)для больших n. Выяснилось, что нужные формулы получили Хар-ди и Рамануджан в 1918 г. (вставка 5 на с. 419)

Красота формул Рамануджана даровала им способность воз-рождаться при самых необычных обстоятельствах.

О ПОЛЬЗЕ КООРДИНАТ И ИСКУССТВЕСЦЕПЛЯТЬ ГИПЕРБОЛОИДЫ

Таким образом мы коротко и ясно изложили все, что остави-ли невыясненным древние относительно плоских и телесныхмест. П. Ферма

Я полагаю, что теперь ничего не пропустил из начал, необхо-димых для познания кривых линий. Р. Декарт

Пионерские идеи великих математиков претерпевают много-численные изменения, прежде чем попасть на страницы учебни-ков. В рафинированном виде их проще усваивать, яснее сфераих применимости, но что-то трудноуловимое при этом исчезает.Возможно, это логика открытия, ощущение материала, да и про-сто волнение перед открывающимися возможностями. Как раз-нятся энтузиазм создателей аналитической геометрии и ощуще-ния студента, изучающего ее сегодня! Мы вспомним здесь лишьнесколько эпизодов из истории создания аналитической геоме-трии, не пытаясь сколько-нибудь полно воссоздать эту историю,а закончим рассказ небольшим эпизодом в стиле аналитическойпроективной геометрии прошлого века, но на сравнительно со-временном материале. Очень соблазнительно попробовать рас-суждать так, как это умели делать сто лет назад! Именно, мыдокажем теорему о пяти гиперболоидах в пятимерном простран-стве. Два однополостных двумерных гиперболоида называютсясцепленными, если они имеют общую образующую и не лежатв одной трехмерной плоскости. Несколько гиперболоидов назы-ваются сцепленными, если они попарно сцеплены, причем обра-зующие сцепления принадлежат одному семейству образующих.Если прямые сцепления разных пар гиперболоидов различны, тосцепление называется невырожденным.

422

О пользе координат и искусстве сцеплять гиперболоиды 423

Теорема. Если в пятимерном пространстве невырожденносцеплены четыре однополостных двумерных гиперболоида, товсякий пятый гиперболоид, сцепленный с тремя из них, сцеплени с четвертым.

Важной компонентой профессионализма у математика явля-ется умение априори оценить трудность задачи. В некоторомсмысле математики верят, что существует закон сохранения «не-тривиальности», а потому у них заранее имеется предубеждениепротив легко решенной задачи, которую эксперты оценивали кактрудную. Одно из проявлений этой традиции|уверенность, чтолюбителю не по силам решить давнюю проблему. История мате-матики показывает, что, хотя и можно привести противоречащиепримеры, в среднем эти правила хорошо выполняются, по край-ней мере на отрезках времени, сравнимых с жизнью человека. Теже случаи, когда происходит резкая переоценка трудности за-дач, отвечают революционным изменениям в математике. Когдаони созревают в течение заметного времени (как было с алге-браической символикой или исчислением бесконечно малых), кним успевают привыкнуть. Иная ситуация возникает, когда но-вая возможность, приводящая к решительной переоценке ценно-стей, открывается неожиданно. Нередко даже возникает жела-ние объявить новые приемы незаконными. Выразительной иллю-страцией является реакция Гордана на решение Гильбертом егопроблемы конечности числа инвариантов: «Это теология, а не ма-тематика». Дело в том, что Гильберт вместо привычного тогданепосредственного построения инвариантов, что удавалось в от-дельных случаях с большим трудом, одним ударом доказал ихсуществование в общем случае.

Однако, вероятно, ни одна революция в математике не про-исходила так остро, как проникновение аналитических методовв геометрию. Рушились представления о трудности геометриче-ских задач, девальвировалась роль геометрической интуиции|гордости математиков. То, что требовало изысканных рассужде-ний, получалось в результате прямолинейных выкладок. В свя-зи с этим возникло консервативное течение, борющееся за ис-тинную геометрию, которую пытаются подменить скучной алге-

424 О пользе координат и искусстве сцеплять гиперболоиды

брой. Для сравнения заметим, что куда более безболезненным бы-ло создание аналитической механики, когда Эйлер и Лагранж, от-казываясь от геометрических методов Ньютона, превращали припомощи метода координат механику в раздел математическогоанализа. Ситуация в геометрии несколько напоминает переход кмашинному производству, когда искусство кустарей терялось воднообразном потоке автоматической деятельности. Сегодня мыясно видим, что аналитические методы не убили геометрическуюинтуицию, а напротив, позволяли «экономить» ее в сравнительнопростых ситуациях и создавать интуицию более высокого уров-ня. Однако нельзя отрицать, что многое из того, что делалось всинтетической геометрии (так называют традиционную геоме-трию, не использующую координат), безвозвратно утрачено.

Итак, в 30-х годах XVII века два крупнейших математикатого времени Ферма и Декарт открыли, что при помощи ко-ординат уравнению с двумя неизвестными можно поставить всоответствие кривую на плоскости. Это был неожиданный по-ворот воззрений, в частности, потому, что считалось, что разодно уравнение с двумя неизвестными имеет бесконечное числорешений, его нет смысла рассматривать (так и сейчас иногдаговорят в школе). Благодаря же геометрическому подходу этобесконечное множество неожиданно приобрело право граждан-ства. Не менее плодотворна и обратная возможность ставить всоответствие кривым задающие их уравнения. С этого и начина-ется аналитическая геометрия.

Решающее открытие состояло в том, что уравнениям первойстепени в плоскости отвечают прямые, а уравнениям второй сте-пени | конические сечения. Тем самым два основных объектагреческой геометрии оказались простейшими с аналитическойточки зрения. Мечта геометров того времени состояла в том,чтобы усвоить и превзойти теорию конических сечений Аполло-ния. Ферма и Декарт убеждаются, что большинство утвержденийна аналитическом языке получается удивительно просто. Декар-ту удается аналитически решить несколько недоступных грекамзадач на геометрические места точек. Как показывают выска-зывания, взятые в качестве эпиграфов, создатели аналитической


геометрии не видят пределов для ее возможностей (плоскими ме-стами греки называли прямую и окружность, а телесными|ко-нические сечения). Еще многое не прояснено (не рассматривают-ся отрицательные координаты, нет четкой теоремы о приведенииуравнения второго порядка к каноническому виду и т. д.), но всеоснования для оптимизма есть.

Прежде всего перед геометрией открываются новые гори-зонты, совершенно иной предстает ее структура. Не вызываетсомнений, что следующая еще не созданная глава геометрии |это теория кривых третьего порядка. Некоторые кривые этогокласса рассмотрел Декарт, но естественно было попытаться по-строить общую теорию столь же подробно, как в случае кривыхвторого порядка. Прежде всего предстояло дать классификациютаких кривых. Задача эта оказалась очень не простой, и ее ре-шил Ньютон в 60-е годы XVII века (рукопись была опубликованамного позже|в 1704 г.). О сложности задачи красноречиво гово-рит ответ: имеется 72 различных вида кривых третьей степени.Впрочем, ответ достаточно обозрим благодаря тому, что все ви-ды кривых распределяются по четырем типам

ÈÕ2 + ÓÕ = ò (È); ÈÕ = ò (È); Õ2 = ò (È); Õ = ò (È);

где ò |многочлен третьей степени от x.Здесь автоматически возникает вопрос о том, что означает

классификация. Для кривой, заданной уравнением в какой-то си-стеме координат, ищется система координат, в которой ее урав-нение выглядит особенно просто. Часто такую систему удаетсяфиксировать почти однозначно, и тогда соответствующее урав-нение естественно считать каноническим. Более общим образом,геометрию кривой составляют такие свойства ее уравнений, ко-торые не зависят от системы координат,|инварианты. Мы ви-дим, что на аналитическом языке очень рано начинает вырисовы-ваться определение предмета геометрии. На синтетическом язы-ке, вместо того чтобы менять систему координат, преобразуютсясами фигуры и, как стало ясно лишь к концу XIX века (эрланген-ская программа Клейна), изучаются их свойства, не меняющиеся


при преобразованиях. Итак, в аналитической геометрии различ-ные разделы отвечают различным классам систем координат, ав синтетической|группам преобразований.

Ньютон, занимаясь кривыми третьей степени, выяснил многообщих вещей, необходимых для того, чтобы вычленять геоме-трическую компоненту из алгебраических фактов об уравнениях.

1. Прежде всего нужно было выявить геометрический смыслисходной аналитической характеристики кривой|порядка (сте-пени задающего ее уравнения). Ньютон замечает, что порядоксовпадает с наибольшим числом точек, по которым прямая можетпересечь кривую (в случае кривой порядка n для их определениявозникает уравнение n-й степени от одного переменного). Тутпоявляются трудности с мнимыми точками пересечения, для рас-смотрения которых еще нет средств.

2. Упомянем важнейшее обобщение этого утверждения: есликривые порядков k и l пересекаются более чем в kl точках, то ониимеют бесконечное число точек пересечения. Иначе говоря, в по-следнем случае они имеют общую компоненту (алгебраическаякривая может распадаться на несколько компонент, например,кривая Q1Q2 = 0 распадается на Q1 = 0 и Q2 = 0). Если жев этом случае одна кривая в естественном смысле неприводима(не распадается на компоненты), то она целиком содержится вдругой. Эту теорему сформулировал Маклорен, младший совре-менник Ньютона, а доказал почти через сто лет Безу, именемкоторого она и называется теперь. Более точная формулировкавключает комплексные точки пересечения и точки пересечения,лежащие на бесконечности.

3. Ньютон имел много возможностей убедиться в эффектив-ности метода координат. Он продемонстрировал это в процес-се переноса на алгебраические кривые высокой степени различ-ных фактов о конических сечениях. Вот, например, как обстоитдело с теорией диаметров. Напомним, что если для коническо-го сечения, скажем для эллипса, провести хорды, параллельныенекоторому направлению, то их середины лежат на одной пря-мой, называемой диаметром. Если для кривой порядка n прове-сти пучок параллельных прямых и в пересечении каждой прямой


получится n точек x1; : : : ; xn, то рассмотрим их центры тяже-сти (x1 + : : : + Èn)=n (заметим, что они не зависят от выборакоординаты на прямой; как и Ньютон, мы не обсуждаем случаймнимых точек пересечения). Теорема Ньютона утверждает, чтовсе центры тяжести лежат на одной прямой.

В самом деле, выберем систему координат так, что параллель-ные прямые задаются уравнениями y = const. Пусть F (È; y) == 0|уравнение кривой в этой системе,

F (È; Õ) = axn + bxn−1y + cxn−1 + : : : :

Тогда точки пересечения x1; : : : ; xn являются корнями уравне-ния F (È; Õ) = 0 по È при фиксированном y. По теореме Виета(x1 + : : :+ Èn)=n = −(by + Ó)=an, т. е. все центры тяжести лежатна одной прямой anx+ by + c = 0|диаметре Ньютона.

4. Почти одновременно с созданием аналитической геометрииДезарг, а вслед за ним Паскаль заложили основы проективнойгеометрии. Исходное наблюдение состояло в том, что применениецентральной проекции позволяет упростить геометрические рас-смотрения (например, все конические сечения получаются одноиз другого проектированием). Возникает конкурирующий с ана-литической геометрией способ упростить и продвинуть теориюАполлония. Паскаль подготовил всеобъемлющий трактат, но онбыл утерян, и о работах по проективной геометрии забыли на столет. Видимо, не знал о них и Ньютон. Однако от него не ускольз-нуло, что использование проектирования (рассмотрение «тени отсветящейся точки») очень упрощает теорию не только кониче-ских сечений, но и общих алгебраических кривых. Важнейшеенаблюдение Ньютона состоит в том, что при проектированиисохраняется порядок кривой. Применительно к кривым третьегопорядка он устанавливает, что любая кривая может быть приве-дена проектированием к одной из кривых вида y2 = ò (È), гдеP |кубический многочлен. Это доказал позднее Клеро.

5. Геометрия кривых третьего порядка существенно бога-че геометрии кривых второго порядка. Прежде всего, могутпоявиться особые точки: двойные (точки самопересечения, как


(0; 0) у кривой y2 = x2(x + 1)) и точки возврата (как (0; 0) укривой y2 = x3). Далее, касательная в точке касания в общемслучае имеет двукратную точку пересечения (соответствующиймногочлен от одного переменного имеет двойной корень), номожет иметь и трехкратную точку пересечения (для уравненийбольшей степени она может иметь еще большую кратность). Та-кие точки называются точками перегиба ((0; 0) у кривой y = x3).У кривых третьей степени может быть до трех точек перегиба(точки (0; 0); (1; 0); (2; 0) у кривой y3 = x(x−1)(x−2)). Маклорензаметил, что в этом случае все эти точки обязательно лежат наодной прямой (в примере прямая y = 0). В XVIII веке алгебра-ические кривые, прежде всего третьей и четвертой степеней,были в центре внимания математиков. Эти вопросы излагалисьв первых учебниках аналитической геометрии. Однако многоеоставалось невыясненным. Становилось ясно, что для построе-ния гармоничной теории необходимо добавить точки, лежащиена бесконечности, а также мнимые точки, поскольку все времяприходится решать алгебраические уравнения высоких степеней(уже в 1717 г. Стирлинг упоминает кривую с двойной мнимойточкой на бесконечности).

Учесть эти два обстоятельства можно в рамках комплекснойпроективной геометрии, начало которой положил Понселе. Егопервое удивительное наблюдение состояло в том, что все окруж-ности пересекаются в двух бесконечных удаленных мнимых точ-ках. Эти точки, названные циклическими, управляют всей кон-формной геометрией плоскости. Другое великое открытие Пон-селе (он делит его с Жергонном)|это принцип двойственности,в силу которого каждое планиметрическое утверждение имеетдвойник, где прямые заменяются на точки и обратно. В связис этим естественно связывать с кривой не только множество ееточек, но и множество ее касательных. Возникает инвариант,двойственный порядку, | класс p. Это наибольшее число каса-тельных, проходящих через точку. Для неособой кривой третьейстепени p = 6. Общая формула для неособой кривой имеет сле-дующий вид:

p = n(n− 1): (37)


Удивительно, что замечательные открытия Понселе, знаме-новавшие создание нового типа геометрической интуиции, былисделаны на синтетическом языке, поскольку проективную геоме-трию еще не удалось объединить с аналитической. Еще не при-думали координаты, которые обслуживали бы все точки проек-тивной плоскости, включая бесконечно удаленные.

Такие координаты появились в 1827 { 1828 гг. у Мёбиу-са и Плюккера. Особенно простой и удобной является кон-струкция однородных координат Плюккера. Он ставит в со-ответствие точке проективной плоскости тройку чисел È == (x0; x1; x2) 6= (0; 0; 0) с точностью до постоянного множителя:(x0; x1; x2) = (�x0; �x1; �x2). Всякая прямая на проективной плос-кости P2 задается уравнением (�; x) := �0x0 + �1x1 + �2x2 = 0,где � 6= (0; 0; 0); � и �� соответствуют одной и той же прямой.Поэтому прямые на P2 естественно образуют другую проектив-ную плоскость P2

� с однородными координатами �. Прямым на P2�

соответствуют точки P2 = P2x. В результате совершенно нетри-

виальный на синтетическом языке принцип двойственности нааналитическом становится почти очевидным.

Общее проективное преобразование координат имеет вид —x ==∑

ajixi, где det(aji) 6= 0. Оно характеризуется тем, что взаим-но однозначны на P2 и переводит прямые в прямые.

Чтобы фиксировать аффинную структуру на P2, нужно неко-торую прямую, например È0 = 0 (но не обязательно ее), объявитьбесконечно удаленной. Вне È0 = 0 всегда можно выбирать ко-ординаты вида (1; ~x1; ~x2). Тогда ~x1 = x1=x0, ~x2 = x2=x0 будутдекартовыми. При аналитическом подходе с самого начала бес-конечно удаленная прямая ничем не выделена.

Отправляясь от предложенной Плюккером интерпретациипринципа двойственности, естественно наряду с кривой ` = `xна P2

x рассмотреть двойственную кривую `� на двойственнойплоскости P2

� : точкам `� отвечают касательные к `x. Класс `xсовпадает с порядком `�. Плюккер разрешил загадку, которуюне смог разгадать Понселе (парадокс Понселе). Дело в том, что,как легко видеть, формула (37) не является двойственной самой


себе. Плюккер обнаружил, что эта формула справедлива лишьдля кривых без особенностей. Например, если `|неособая кри-вая третьей степени, то двойственная кривая обязательно имеетособенности. Плюккер нашел такую формулу для класса кривойс особенностями:

p = n(n− 1)− 2d− 3r; (38)

Здесь d|число двойных точек, а r|число точек возврата. Этаформула уже является самодвойственной. Заметим, что двойныеточки двойственной кривой `� (пусть �|их число) соответству-ют двойным касательным к исходной кривой, то есть прямым,имеющим две точки касания с `. Точки возврата `� соответ-ствуют касательным в точках перегиба ` (пусть �|их число).Тогда n = p(p− 1)− 2� − 3�. Одновременно получается формуладля числа точек перегиба

� = 3n(n− 2)− 6d− 8r: (39)

В случае, когда особых точек нет, ее нетрудно получить непо-средственно, записывая условие того, что точка является точкойперегиба, в виде системы алгебраических уравнений, и применяятеорему Безу. В частности, если `| неособая кривая третьегопорядка, то p = 6, у нее нет двойных касательных и имеетсядевять точек перегиба, некоторые из которых могут оказатьсякомплексными.

Строго говоря, формула (38) верна, если у кривой нет более слож-ных особенностей, чем простейшие точки самопересечения и возвра-та, а формула (39) | если все точки перегиба являются простейши-ми (кратность касания равна трем) и никакая прямая не может кос-нуться кривой более чем в двух точках; полные формулировки болеегромоздки.

Плюккер глубоко продумал вопрос о комплексных особыхточках вещественных кривых. Собственно, приведенные форму-лы являются точными для комплексных особых точек и точекперегиба. Вопрос же о том, какие из этих точек могут быть веще-ственными, весьма нетривиален. Совсем не обязательно, чтобы


все точки перегиба, число которых задается формулой (39), бы-ли вещественны. Например, среди девяти точек перегиба кривойтретьего порядка без особенностей не более трех могут бытьвещественными. «Необходим новый взлет пространственной ин-туиции, чтобы охватить то, что во всех случаях мнимо и остаетсямнимым»,|писал Плюккер.

С Плюккером связан один из самых замечательных периодовв истории аналитической геометрии. Его ученик Клейн писал:«Целью Плюккера в геометрии и его достижением является но-вое построение аналитической геометрии. Он придерживался приэтом метода, возникшего из традиций Монжа: полного сращенияпостроения и аналитической формулы. . . В геометрии Плюккерапростое комбинирование формул переводится на язык геометри-ческих соотношений, и наоборот, последними направляются ана-литические операции. Вычисления у Плюккера по возможностиопускаются, но зато развивается и широко применяется доходя-щая до виртуозности острота внутреннего восприятия, геоме-трического истолкования имеющихся аналитических уравнений».

Плюккер оказался объектом нападок со стороны Штейнера,замечательного геометра, но агрессивного противника аналити-ческих методов в геометрии: использования уравнений, работыс мнимыми объектами. Атака Штейнера была столь энергична,что Плюккер более чем на 20 лет прервал занятия геометрией ивернулся к ним лишь незадолго до смерти.

Приведем несколько примеров геометрических конструкцийПлюккера. Однако прежде вспомним, что в уравнение n-й сте-пени от двух переменных входит (n + 3)n=2 + 1 коэффициен-тов, которые определены с точностью до постоянного множителя(это нетрудно доказать по индукции). Поэтому кривая порядка nопределяется заданием (n + 3)n=2 точек (для определения коэф-фициентов уравнения возникает нужное число линейных урав-нений). В частности, для определения прямой нужно задать дветочки, конического сечения|пять, кривой третьего порядка|девять. Однако эти точки должны быть общего положения, и сростом n это условие становится все более деликатным. Обратимвнимание, что по теореме Безу две кривые порядка n обычно пе-


ресекаются в n2 точках. Но n2 > n(n+3)=2 при n > 3, а через этиn2 точек проходит две (на самом деле бесконечное число) кривыхпорядка n. Это обстоятельство, получившее название парадоксаКрамера, очень волновало геометров от Маклорена до Эйлера, и,вероятно, лишь Плюккер в нем окончательно разобрался.

Посмотрим, как доказал Плюккер теорему Паскаля. Напо-мним, что шесть точек A1; A2; : : : ; A6 на коническом сечении Q == 0 последовательно соединяются в замкнутую ломаную| ше-стиугольник Паскаля (эта ломаная может иметь самопересече-ния). Пусть pi | это сторона AiAi+1, Li = 0 | уравнение пря-мой, проходящей через pi. Пусть B1; B2; B3|точки пересеченияпротивоположных сторон: (p1; p4); (p2; p5); (p3; p6) соответствен-но. Утверждается, что B1; B2; B3 лежат на одной прямой. Паскальсвел общий случай к случаю окружности, но и для окружностидоказательство не слишком просто.

А вот как рассуждал Плюккер. Он провел через девять то-чек {Ai; ÷j} кривые третьего порядка. В общем положении че-рез девять точек проходит единственная кривая, но {Ai; ÷j} неявляется общим набором (см. выше о парадоксе Крамера). Че-рез {Ai; ÷j} будут проходить все кривые из пучка кривых

L1L3L5 + �L2L4L6 = 0; (40)

зависящих от произвольного параметра �. Заметим, что для ка-ждой из точек Ai; ÷j в каждом из двух слагаемых есть мно-житель, аннулирующийся на ней. Пусть C | какая-либо точкакривой Q = 0, отличная от Aj ; подберем � так, чтобы коорди-наты C удовлетворяли (40). Мы фиксировали кривую третьегопорядка, но при ее пересечении с кривой второго порядка Q = 0или должно возникать не более 2 · 3 = 6 точек, или число точекпересечения бесконечно. Поскольку мы имеем, по крайней мере,семь точек пересечения á1; : : : ; A6; C, то число точек пересечениябесконечно и ввиду неприводимости кривой Q = 0 она должна це-ликом содержаться в кривой (40), то есть левая часть (40) должнаделиться на Q. После деления на Q возникает линейное выраже-ние M , и на прямой M = 0 должны лежать точки ÷1; ÷2; B3,


поскольку они не могут лежать на коническом сечении Q = 0(иначе бы какая-то из прямых Lj = 0 пересекала Q = 0 в трехточках).

Прием, в котором используются пучки кривых и выбор под-ходящей кривой из пучка, которая в силу теоремы Безу долж-на распадаться (в примере| на коническое сечение и прямую),очень характерен для Плюккера. Неопределенный множитель �постоянно присутствует в его рассмотрениях (его часто так иназывали| «плюккерово �»).

Плюккер по-новому ставит вопрос о приведении уравнениякривой к каноническому виду, стремясь к тому, чтобы уравне-ние выглядело попроще и его алгебраическая структура отра-жала непосредственно какие-то геометрические свойства кривойНапример, Плюккер показывает, что уравнение третьей степенивсегда может быть записано в виде

L1L2L3 −M3 = 0; (41)

где {Li;í}| линейные формы от координат. Для доказатель-ства возможности представления подсчитывается число незави-симых параметров, которые входят в (41). В линейной форме трикоэффициента, в четырех формах {Li;í} их 12, но (41) сохраня-ется, если L1; L2; L3 умножить на �1; �2; �3, а M |на 3

√�1�2�3.

Поэтому независимых параметров равно 12 − 3 = 9, а посколь-ку общее уравнение третьей степени, как мы видели, содержитдевять независимых параметров (на один меньше, чем число ко-эффициентов), то Плюккер сделал вывод, что общее уравнениевсегда можно преобразовать в равенство (41). К этим рассу-ждениям нужно еще добавить некоторые моменты, чтобы онистали строгим доказательством. Вероятно, это был один из пер-вых примеров, когда подсчет числа параметров использовалсякак эвристический прием и как средство доказательства.

Какая же геометрия стоит за представлением (41)? ПустьAj | точки пересечения прямых Lj = 0 и M = 0. Эти точкилежат на кривой, причем Aj | трехкратная точка пересечениякривой (41) и прямой Lj = 0. Это означает, что A1; A2; A3|точ-ки перегиба, a Lj = 0|касательные в этих точках. Кроме того,


M = 0|прямая, на которой лежат три точки перегиба A1; A2; A3

Такие прямые называют прямыми перегиба. Если перейти к рас-смотрению комплексных точек перегиба, то их, как отмечалось,для неособой кривой девять. Оказывается, что прямая (комплекс-ная), проходящая через любые две точки перегиба, обязательносодержит третью. Так что возникает двенадцать прямых пере-гиба. Эта конфигурация из девяти точек и двенадцати прямыхперегиба очень интересна, и она специально изучалась в проек-тивной геометрии.

Специальную структуру предложил Плюккер и для уравнениячетвертой степени

L1L2L3L4 − ˙2 = 0; (42)

где {Li}| линейные формы, a ˙| многочлен второй степени.Вспомним, что в общее уравнение четвертой степени входит 14независимых параметров. В квадратном многочлене шесть коэф-фициентов, так что в (42) участвует 3 ·4+6 = 18 коэффициентов.При этом можно умножить {Li} на числа {�i} и одновремен-но ˙ | на число

√�1�2�3�4. В результате число независимых

параметров равно 18− 4 = 14. Плюккер делает вывод, что пред-ставление (42) является общим.

Далее, точки пересечения каждой прямой Li = 0 с кониче-ским сечением ˙ = 0 являются двукратными точками пересече-ния с кривой (42). Таким образом, каждая прямая Li = 0 имеетдве точки касания с кривой (вместо четырех точек пересече-ния для общих прямых). Такие касательные называют двойными.Итак, в уравнении (42) участвуют четыре двойных касательных,причем восемь их точек касания лежат на одном коническом се-чении. С этим открытием Плюккера связан следующий курьез.У кривой четвертого порядка имеется, как нетрудно подсчи-тать, 28 двойных касательных (считая комплексные). Плюккерошибочно предположил, что точки касания любой четверки изних лежат на коническом сечении. На самом деле каждая парадвойных касательных входит лишь в пять четверок, обладаю-щих этим свойством. Ошибку Плюккера обнаружил не кто иной,


как Штейнер. Алгебраические кривые фактически возникали ив синтетической геометрии, а приведенный пример показывает,что представителям этой школы пока хватало геометрическойинтуиции, чтобы на равных соревноваться с аналитиками. Де-монстративный отказ от использования аналитических средствлишь постепенно выявил слабые стороны школы Штейнера.

Точки трехмерного проективного пространства P3, согласноПлюккеру, задаются четверками однородных координат È == (x0; x1; x2; x3) 6= (0; 0; 0; 0), x ∼ �x, � 6= 0. Плоскости в P3

составляют двойственное проективное пространство P3� , � ∈ P3

�

отвечает плоскость 〈�; x〉 = 0. В то же время многообразие пря-мых G является совершенно новым геометрическим объектом.Его изучение | одно из основных достижений Плюккера. Пря-мые в P3 задаются четырьмя параметрами, например, можнофиксировать две различные плоскости, и тогда почти все пря-мые задаются точками пересечения с этими плоскостями. Такимобразом, многообразие G четырехмерно. На G естественно вво-дятся координаты (Штифеля), которые можно восприниматькак обобщение однородных координат. Зададим прямую паройее различных точек x; y. Расположим x; y в матрицу è =

(xy

)с двумя строками и четырьмя столбцами. Прямая состоит източек вида z = �1x + �2y, � = (�1; �2) 6= (0; 0), то есть �|однородные координаты на ней. Матрица X определяется попрямой с точностью до левых умножений на невырожденнуюматрицу второго порядка: X 7→ gX (соответствует переходук другой паре точек на прямой). Положим X = (X1; X2), гдеX1; X2 | квадратные матрицы второго порядка. Тогда еслиdetX1 6= 0, то координаты можно выбрать так, что X1 = E|единичная матрица (берутся точки x с x0 = 1, x1 = 0 и yс y0 = 0; y1 = 1). На G возникает аффинная координатная кар-та с координатами X2 = (uij), ее замыкание совпадает с G.Плюккер перешел от матрицы X к ее минорам. Это знаменитыеплюккеровы координаты, которые очень удобны при постро-ении геометрии прямых. Рассмотрим две задачи, связанные сгеометрией прямых.


1. Представим пространство P3 в виде объединения попарнонепересекающихся прямых. Заметим, что если фиксировать аф-финную структуру в P3, то проективно пересекающиеся прямыепереходят либо в пересекающиеся, либо в параллельные (пере-секаются «на бесконечности»). В то же время непересекающим-ся прямым соответствуют скрещивающиеся прямые в аффинномпространстве. Поэтому на аффинном языке речь идет о пред-ставлении пространства в виде объединения попарно скрещива-ющихся прямых.

Мы явно укажем разбиение, а именно, рассмотрим прямые,соединяющие x с �(x) = (−x1; x0;−x3; x2) то есть X =

( x�(x)

).

Надо лишь проверить, что �(x) 6= �È, и что если y|точка та-кой прямой, то �(y) также лежит на этой прямой. Это следуетиз непосредственно проверяемого соотношения �(�0x+�1�(x)) == −�1x + �0�(x). Указанное свойство означает, что прямые илине пересекаются, или совпадают. В G возникает двумерное под-многообразие прямых.

2. Исследуем в пространстве P3 поверхности с двумя семей-ствами прямолинейных образующих. В аналитической геометрииучат, что среди поверхностей второго порядка в R3 имеется дватипа поверхностей, обладающих этим свойством: однополостныегиперболоиды (их уравнение приводится к виду x2 + y2 − z2 == 1) и гиперболические параболоиды (их канонические уравне-ния: z = x2− y2). Покажем, что даже в классе всех поверхностей(а не только второго порядка) других поверхностей с этим свой-ством нет. Разумеется, есть большое число поверхностей с однойсистемой образующих (развертывающиеся поверхности), однакоусловие существования двух систем оказывается очень жестким иоставляет лишь однополостный гиперболоид и гиперболическийпараболоид. Заметим, что в проективном пространстве однопо-лостные гиперболоиды и гиперболические параболоиды (проек-тивно) эквивалентны: в подходящих однородных координатах ихуравнение имеет вид x20+x21−x22−x23 = 0. Таким образом, с про-ективной точки зрения можно говорить лишь об однополостныхгиперболоидах.


Уточним используемые термины. Будем говорить, что на по-верхности S имеются два семейства прямолинейных образующих,если через каждую ее точку проходят по крайней мере две раз-личные прямые, целиком лежащие на S. Такая поверхность Sназывается неприводимой, если не существует меньшей поверх-ности S0 ⊂ S, на которой также лежат два семейства прямо-линейных образующих. Мы хотим избежать в дальнейшем об-суждения аналитических тонкостей, связанных с точным опре-делением понятия поверхности, и поэтому будем апеллироватьлишь к интуитивным представлениям о поверхностях. Эта частьнаших рассуждений не будет строгой, но те, кто владеют со-ответствующей техникой, без труда обнаружат, как превратитьэти рассуждения в строгие, скажем, для аналитических поверх-ностей.

Теорема. Всякая неплоская неприводимая (аналитическая) по-верхность в P3 с двумя семействами прямолинейных образующихявляется однополостным гиперболоидом.Доказательство. 1. Если указанная поверхность имеет плоскийкусок, то она совпадает с плоскостью. Грубо говоря, образую-щие, проходящие через точки плоского куска, порождают плос-кость.

2. Фиксируем на поверхности образующую l. Тогда все обра-зующие, пересекающие l, порождают поверхность. Очевидно, чтоточки объединения зависят от двух параметров, а аналитическиеуточнения мы договорились опускать.

3. Если имеются две непересекающиеся образующие l1, l2, тообразующие, пересекающие обе образующие l1, l2, также поро-ждают поверхность.

В самом деле, поскольку образующие, пересекающие l1, поро-ждают поверхность, то через каждую точку l2 проходит обра-зующая, пересекающая l1. Объединение этих образующих такжедолжно совпадать с поверхностью.

4. Аналогично для любого числа попарно непересекающихсяобразующих объединение образующих, их все пересекающих, со-впадает с поверхностью.


5. Для пары пересекающихся образующих l1, l2 почти всеобразующие, пересекающие одну из них, не пересекают другую.Действительно, пусть m|отрезок на l2. Через каждую точку mдолжна проходить образующая, отличная от l2. Если все онипересекают l1, то они порождают часть плоскости, проходящейчерез l1, l2.

Таким образом, на поверхности имеется бесконечное множе-ство попарно непересекающихся образующих. Нам достаточно,что есть три таких образующих.

6. Покажем, что поверхность, указанная в теореме, однознач-но определяется тройкой своих попарно непересекающихся обра-зующих. Она совпадает с объединением всех прямых в P3, пере-секающих все три фиксированные прямые.

В правдоподобности этого утверждения можно убедиться,пользуясь излюбленным приемом Плюккера с подсчетом числапараметров. Множество всех прямых зависит от четырех па-раметров. Пересечение с каждой прямой| это одно условие напараметры (иначе, через каждую точку пространства проходитдвухпараметрическое семейство, поэтому через точки прямойпроходит трехпараметрическое семейство прямых). Требуя пе-ресечения с тремя прямыми, мы накладываем три условия, такчто остается однопараметрическое семейство прямых, котороепорождает поверхность.

Для корректности нужно убедиться, что эти условия неза-висимы. Поэтому осуществим отбор прямых более эффективно.Пусть l1; l2; l3|попарно непересекающиеся прямые. Найдем пря-мые, их все пересекающие. Пусть A ∈ l1, тогда A =∈ l2. Проведемплоскость через A и l2. Эта плоскость пересечет l3 в некото-рой точке B. Дело в том, что в проективном пространстве P3

прямая, не лежащая в плоскости, пересекает ее, а прямая l3не может лежать в плоскости, поскольку l2 и l3 не пересека-ются. Прямая AB будет единственной прямой, пересекающейвсе три прямые l1; l2; l3 и проходящей через A. Итак, множе-ство прямых, пересекающих тройку попарно непересекающихсяпрямых, можно параметризовать точками пересечения с однойиз них.


7. Докажем, что объединение этих прямых является одно-полостным гиперболоидом. Проведем доказательство аналити-чески. Одновременно докажем, что через три попарно непере-секающиеся прямые проходит в P3 однополостный гиперболоид,причем единственный.

Пусть l1; l2; l3|три попарно непересекающиеся прямые в P3.Будем задавать прямые как пересечения плоскостей, то есть си-стемами двух линейных уравнений 〈�; y〉 = 0 и 〈�; y〉 = 0. Вы-берем однородные координаты так, чтобы l1 задавалась систе-мой y0 = 0; y1 = 0, а l2 | системой y2 = 0; y3 = 0. Это можносделать, поскольку они не пересекаются (и левые части задаю-щих их уравнений можно принять за координаты). Пусть тогдаl3 задается системой{

�0y0 + �1y1 + �2y2 + �3y3 = 0;�0y0 + �1y1 + �2y2 + �3y3 = 0

Векторы (�0; �1), (�0; �1) не могут оба быть нулевыми, посколькутогда бы l2 и l3 совпадали. Более того, эти векторы не могутбыть пропорциональны и, в частности, ни один из них не мо-жет быть нулевым. Действительно, если (�0; �1) = (��0; ��1), тоточка (−�1; �0; 0; 0) будет общей для l2 и l3. Аналогично показы-вается, что (�2; �3) и (�2; �3) не могут быть пропорциональными.Поэтому можно сделать следующую замену координат:

x0 = �0y0 + �1y1; x1 = �0y0 + �1y1;

x2 = �2y2 + �3y3; x3 = �2y2 + �3y3:

В силу сказанного выше о пропорциональности векторов такаязамена допустима. В этих координатах l1 задается уравнения-ми x0 = x1 = 0, l2 | уравнениями x2 = x3 = 0, и l3 | уравне-ниями x0 + x2 = x1 + x3 = 0. Однако все эти прямые лежат наоднополостном гиперболоиде

x0x3 − x1x2 = 0: (43)


Рассматриваемые три прямые входят в однопараметрическоесемейство образующих

�0x0 + �1x1 = 0;�0x2 + �1x3 = 0; (�0; �1) 6= (0; 0):

(44)

Второе семейство образующих состоит из прямых

�0x0 + �1x2 = 0;�0x1 + �1x3 = 0; (�0; �1) 6= (0; 0):

(45)

Напомним, что образующие одного семейства попарно не пересе-каются, а любые образующие из разных семейств пересекаются,так что через каждую точку проходит по образующей каждогосемейства.

Прямые в каждом семействе параметризуются точками про-ективной прямой P1

�, P1� (�; �|однородные координаты). С ка-

ждым гиперболоидом связываются на многообразии прямых Gдве кривые. Кривые, которые допускают взаимно однозначноеотображение на проективную прямую, называются рациональ-ными (допускающими рациональную параметризацию). Рацио-нальными кривыми являются не только прямые в проективномпространстве, но и кривые второго порядка. Таким образом, скаждым однополостным гиперболоидом в P3 связываются двезамечательные рациональные кривые на G. В духе геометриче-ского подхода Плюккера один и тот же геометрический объектпроявляется либо в виде однополостных гиперболоидов в точеч-ной геометрии P3, либо в виде простейших рациональных кривыхна многообразии прямых G (класс этих кривых можно описатьнепосредственно).

При переходе на аффинный язык могут встретиться две воз-можности: либо никакая образующая не лежит в бесконечно уда-ленной плоскости, и тогда мы получаем однополостный гипербо-лоид в аффинном смысле, либо такая образующая есть, и тогдамы получаем гиперболический параболоид. В последнем случае вбесконечно удаленной плоскости лежит на самом деле пара пере-секающихся образующих (по одной из каждого семейства). Это


связано с тем, что в любой плоскости, проходящей через образую-щую, лежит одна образующая, пересекающая первую. Сказанноеможно перефразировать следующим образом: если в трехмерномаффинном пространстве R3 имеется тройка попарно непересе-кающихся прямых, то на них можно натянуть однополостныйгиперболоид, если не существует плоскости, параллельной всемтрем, или гиперболический параболоид, если такая плоскостьсуществует. Бесконечно удаленная прямая этой плоскости при-надлежит второму семейству образующих. Иначе, для каждогосемейства образующих гиперболического параболоида имеетсяплоскость, им всем параллельная.

Доказанное утверждение об однополостных гиперболоидахможно интерпретировать как утверждение о «жесткости» по-верхностей, образованных двумя семействами прямолинейныхобразующих. Такую конструкцию нельзя «пошевелить», если за-фиксированы три прямые одного семейства. Это обстоятельствоиспользуется в реальных конструкциях из прямолинейных стерж-ней в виде гиперболоида, например, в знаменитой шуховскойрадиобашне в Москве.

Переходим к заключительной части, посвященной сцеплениюгиперболоидов. Центральный объект классической проектив-ной геометрии|различного рода конфигурации точек, прямых,плоскостей. В ней коллекционируются случаи, когда одни гео-метрические соотношения (например, тройка прямых проходитчерез одну точку, три точки лежат на одной прямой, шесть то-чек лежат на одном коническом сечении и т. д.) влекут другие:конфигурации Дезарга, Паскаля и т. п. Приведенный результатпозволяет исследовать конфигурации в многомерном проек-тивном пространстве, включающие двумерные однополостныегиперболоиды. Поскольку будут рассматриваться лишь двумер-ные гиперболоиды (то есть гиперболоиды в P3), то мы далееслово «двумерный» часто опускаем.

Точки n-мерного проективного пространства Pn будем зада-вать однородными координатами (x0; x1; : : : ; xn). Зафиксируемгеометрические соотношения для прямых в Pn. Через любые двенепересекающиеся прямые в Pn можно провести единственную


трехмерную плоскость. Для тройки попарно непересекающихсяпрямых возникает геометрическое соотношение: «лежать в однойтрехмерной плоскости». Для четверки попарно непересекающих-ся прямых, лежащих в одной трехмерной плоскости, возникаетсоотношение: «принадлежать одному (двумерному) однополост-ному гиперболоиду». Напротив, три попарно непересекающиесяпрямые, лежащие в одной трехмерной плоскости, всегда поро-ждают однополостный гиперболоид.

Как уже говорилось в начале, два двумерных однополостныхгиперболоида в Pn называют сцепленными, если они имеют об-щую образующую и не лежат в одной трехмерной плоскости.Несколько двумерных однополостных гиперболоидов в Pn назы-вают сцепленными, если они попарно сцеплены и прямые сцепле-ния на каждом из них принадлежат одному семейству образую-щих, которое называют отмеченным. Сцепление называется не-вырожденным, если каждая прямая сцепления принадлежит лишьдвум гиперболоидам.

Пусть в пятимерном проективном пространстве P5 имеетсячетверка невырожденно сцепленных двумерных однополостныхгиперболоидов. Задание такой четверки равносильно заданиючетверки трехмерных плоскостей в P5, находящихся в общем по-ложении. Расшифруем, что это означает. Напомним, что, какправило, k-мерная и l-мерная плоскости в Pn пересекаются по(k+ l−n)-мерной плоскости (а в вырожденной ситуации по плос-кости большей размерности). Тогда две трехмерные плоскостив P5 обычно пересекаются по прямой (3 + 3 − 5 = 1), а три |вообще не пересекаются (1 + 3 < 5). Итак, тройка трехмерныхплоскостей в P5 в общем положении не имеет общих точек. Следо-вательно, любые две из этих плоскостей пересекаются по прямой(если бы две из них пересекались по двумерной плоскости, то онав пересечении с третьей плоскостью дала бы точку: 2+3−5 = 0).

Соответственно, четверка плоскостей находится в общем по-ложении, если любые три из них не имеют общих точек, а следо-вательно, любые две пересекаются по прямым. В каждой такойтрехмерной плоскости возникает тогда тройка прямых, по ко-торым она пересекается с другими плоскостями. Эти прямые


попарно не пересекаются, и на них можно натянуть (двумерный)однополостный гиперболоид. Возникает четверка невырожден-но сцепленных гиперболоидов. С другой стороны, если имеет-ся четверка невырожденно сцепленных гиперболоидов, то поро-ждаемые ими трехмерные плоскости, очевидно, будут находить-ся в общем положении. Теперь можем сформулировать основноеутверждение, которое несколько сильнее, чем сформулированнаяв начале статьи теорема о пяти гиперболоидах.

Теорема. Пусть имеется четверка невырожденно сцепленныхдвумерных однополостных гиперболоидов в пятимерном проек-тивном пространстве P5. Тогда всякая трехмерная плоскость,пересекающая два из них по образующим из отмеченных се-мейств, пересекает два остальных гиперболоида также пообразующим из отмеченных семейств. Четверка прямых пе-ресечения с гиперболоидами на секущей плоскости лежит наодном однополостном гиперболоиде.

Следствие (о пяти гиперболоидах). Если имеется четверка невы-рожденно сцепленных однополостных двумерных гиперболоидовв P5, то всякий гиперболоид, сцепленный с тремя из них, сцеп-лен с четвертым.

Следствие имеет место в силу того, что плоскость пятогогиперболоида удовлетворяет условиям теоремы. Утверждение те-оремы является более сильным, чем следствие. Мы можем произ-вольно выбрать по одной образующей из отмеченных семействна двух гиперболоидах Они не будут пересекаться, и через нихпроходит единственная трехмерная плоскость. Эта плоскость пе-ресечется с плоскостями двух других гиперболоидов по прямым.Утверждается, что эти прямые лежат на гиперболоидах. Этоочень сильное утверждение, поскольку на трехмерной плоскостиимеется четырехпараметрическое семейство прямых, а мы утвер-ждаем, что прямая пересечения попадает на однопараметриче-ское подсемейство образующих гиперболоида. К этому добавим,что четыре прямых пересечения лежат на одном гиперболоиде.

Имеем двухпараметрическое семейство плоскостей, удовле-творяющих условию теоремы: их можно задавать, произвольно


выбирая по одной образующей из отмеченных семейств на двухгиперболоидах. На каждой плоскости возникает по гиперболои-ду. Все эти гиперболоиды (двухпараметрическое семейство) по-парно сцеплены в силу теоремы.

Вернемся к доказательству теоремы. Мы проведем его ана-литически, аналогично доказательству предыдущей теоремы.

Зададим трехмерные плоскости в P5 как пересечения гипер-плоскостей, то есть системой двух линейных уравнений 〈�; y〉 == 〈�; y〉 = 0 в однородных координатах. Пусть имеем четыретрехмерных плоскости l1, l2, l3, l4, из которых никакие три неимеют общих точек. Выберем однородные координаты так, что-бы l1 задавалась системой y0 = y1 = 0, l2|системой y2 = y3 = 0,l3 | системой y4 = y5 = 0. Это можно сделать, поскольку l1,l2, l3 не имеют общих точек, а следовательно, левые части урав-нений, задающих их, независимы (одновременно обращаются внуль лишь на нулевом наборе). Пусть l4 задается в этой системекоординат уравнениями

5∑i=0

�iyi = 0;5∑

i=0

�iyi = 0:

Векторы (�0; �1), (�0; �1) не могут быть одновременно нулевыми,поскольку это означало бы, что плоскости l2; l3; l4 имеют общуюпрямую y2 = y3 = y4 = y5 = 0, по которой пересекаются l2и l3. Покажем, что они не могут быть также пропорциональны-ми, в частности, ни один из них не может быть нулевым. Пусть(�0; �1) = (c�0; c�1). Тогда точка (−�1; �0; 0; 0; 0; 0) будет принад-лежать трем плоскостям l2, l3, l4, а мы предположили, что онине имеют общих точек. Аналогично можно показать, что па-ры векторов (�2; �3); (�2; �3) и (�4; �5); (�4; �5) непропорциональны.В результате сделаем замену координат

x0 = �0y0 + �1y1; x1 = �0y0 + �1y1; x2 = �2y2 + �3y3;

x3 = �2y2 + �3y3; x4 = �4y4 + �5y5; x5 = �4y4 + �5y5:

В этих координатах плоскости l1; l2; l3; l4 задаются соответствен-


но системами уравнений:

x0 = x1 = 0; x2 = x3 = 0; x4 = x5 = 0;x0 + x2 + x4 = x1 + x3 + x5 = 0:

Все эти четыре плоскости включаются в семейство трехмер-ных плоскостей

�0x0 + �1x2 + �2x4 = 0; �0x1 + �1x3 + �2x5 = 0: (46)

Обозначим плоскость, задаваемую (46), через ˚�. Параметрыестественно считать однородными координатами на двумернойпроективной плоскости P2: (�0; �1; �2) 6= (0; 0; 0); � и c� зада-ют одну и ту же плоскость. Плоскости l1; l2; l3; l4 соответствуютпараметрам (1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 1), (1; 1; 1).

Исследуем попарные пересечения ˚�∩˚�, � 6= c�. Это прямаяв P5, точки которой удовлетворяют системе четырех уравнений,полученных объединением (46) для � и �. При этом очевидно,что ˚� ∩ ˚� зависит лишь от прямой {�; �} на параметрическойплоскости P2, соединяющей точки � и �. Поэтому если фикси-ровать �, то прямым ˚� ∩ ˚� на параметрической плоскости P2

соответствуют прямые, которые проходят через �. На множествепрямых на проективной плоскости P2, которые проходят черезфиксированную точку, естественно вводится структура проек-тивной прямой. Исследуем прямые ˚�∩˚� при фиксированном �более конкретно. Пусть для определенности �0 6= 0 (это фак-тически не ограничивает общности,так как �0 можно заменитьдругим �j). В качестве однородных координат на ˚� возьмем на-бор (È2; x3; x4; x5). В этих координатах прямые ˚�∩˚� задаютсясистемой:

—x0x2 + —x1x4 = 0; —x0x3 + —x1x5 = 0;—x0 = �0�1 − �0�1; —x2 = �0�2 − �0�2:

(47)

Если �; � не пропорциональны, то —x = (—x0; —x1) 6= (0; 0). Такимобразом, ˚�∩˚� зависит лишь от прямой {�; �}. Из системы (47)


видно, что прямые ˚�∩˚� при фиксированном � являются семей-ством образующих некоторого однополостного гиперболоида H�

в трехмерной плоскости ˚�. Следовательно, мы получили семей-ство сцепленных гиперболоидов H�, зависящих от двух параме-тров � ∈ P2. Это сцепление является вырожденным, посколькучерез образующую ˚�∩˚� проходят все гиперболоиды H� , где �принадлежит прямой {�; �}.

Осталось доказать, что всякая трехмерная плоскость, пере-секающая два различных гиперболоида H�; H� по образующимиз отмеченных семейств, является одной из плоскостей семей-ства ˚�. Дело в том, что все плоскости семейства пересекают всегиперболоиды H� по образующим из отмеченных семейств, в томчисле и четверку исходных. Пусть теперь трехмерная плоскостьпорождается различными прямыми ˚� ∩ ˚�′ и ˚� ∩ ˚�′ , и � |точка на параметрической плоскости P2, являющаяся пересече-нием прямых {�; �′} и {�; �′} (они не могут совпадать). Тогда ˚�

содержит ˚� ∩ ˚�′ , ˚� ∩ ˚�′ , а потому совпадает с рассмотрен-ной плоскостью. (Фактически мы доказали разрешимость неко-торой системы линейных уравнений на �, которую можно былобы рассмотреть непосредственно.) Итак, доказательство теоре-мы о сцеплении гиперболоидов завершено.

КОМПЛЕКСНЫЙ МИР РОДЖЕРАПЕНРОУЗА

Нельзя придумать ничего столь странного и невероятно-го, что не было бы уже высказано кем-либо из философов.

Р. Декарт

На математическом конгрессе, который проходил в Хельсинкилетом 1978 г., Роджер Пенроуз сделал пленарный доклад «Ком-плексная геометрия реального мира». Основная идея Пенроузазаключалась в том, что точки четырехмерного пространства-времени Минковского или Евклида (в евклидовой теории поля)естественно интерпретировать как комплексные прямые в трех-мерном комплексном пространстве. Эта идея разрабатываласьПенроузом в течение ряда лет в рамках его «твисторной програм-мы» (твисторами он называет точки вспомогательного трехмер-ного комплексного пространства). Незадолго перед конгрессомпоявились первые результаты, которые уже нельзя было рассма-тривать как чисто интерпретационные (инстантонные решенияуравнения Янга{Миллса и комплексные автодуальные решенияуравнения Эйнштейна).

Что касается подхода Пенроуза, то он по существу не был но-вым: комплексная реализация пространства Минковского содер-жалась в теории однородных многообразий, восходящей к ЭлиКартану (1869 { 1951). Однако существенно не само по себе гео-метрическое наблюдение, а идея сделать его систематическимисточником аналитических конструкций, а именно интеграль-ных представлений для решений некоторых важных линейных инелинейных уравнений математической физики. По счастливойслучайности именно в это время в математике (алгебраическойгеометрии и теории функций многих комплексных переменных)

447

448 Комплексный мир Роджера Пенроуза

появился весьма неэлементарный аппарат, необходимый для ре-ализации этих планов (расслоения над проективным простран-ством, когомологии Коши{Римана. . . ).

Возвращаясь к геометрической идее Пенроуза, вероятно, не-льзя не удивиться тому, что при изучении совершенно веществен-ного объекта | пространства-времени | появляются комплекс-ные образования. Впрочем, геометрам второй половины XIXвека такая возможность не показалась бы удивительной. Кон-струкция Пенроуза связана с математическими идеями, которымболее ста лет и которые в последние десятилетия незаслуженно(быть может, из-за большой конкретности) стали забывать. Речьидет об идее Юлиуса Плюккера (1801 { 1868) рассматривать про-странство, элементами (точками!) которого являются прямые изобычного трехмерного пространства. Эта идея разрабатываласьПлюккером на протяжении многих лет и в окончательном видесодержалась в посмертно изданном в 1868 { 1869 гг. Ф. Клей-ном и Р. Клебшем мемуаре «Новая геометрия пространства,основанная на рассмотрении прямой линии в качестве про-странственного элемента». Размерность пространства прямыхравна четырем, и это, вероятно, первое четырехмерное про-странство, появившееся в науке. Кажется удивительным, чтов период появления четырехмерия в теории относительности ивсеобщего увлечения четырехмерными образованиями никто несопоставил четырехмерие Минковского с появившимся на 50 летраньше четырехмерием Плюккера. В некотором смысле это исделал Пенроуз (еще через 50 лет). Попытаемся и мы проследитьвозможный путь от Юлиуса Плюккера к Герману Минковско-му (1864 { 1909), но для этого припомним еще более ранниесобытия.

«Золотой век геометрии». Так Н. Бурбаки назвал XIX век| векразвития проективной геометрии с ее фантастическим полетомгеометрической интуиции и мощными аналитическими метода-ми. Ведущее место проективной геометрии в геометрии XIX векабыло бесспорным. Характерно, что признание неевклидовой гео-метрии многими математиками было связано с реализацией ее

Комплексный мир Роджера Пенроуза 449

как части проективной геометрии (интерпретация Клейна). Нозародилась проективная геометрия (ее называли еще новой гео-метрией) гораздо раньше. Лионский архитектор Жерар Дезарг(1593 { 1662) опубликовал в 1639 г. брошюру «Черновой набросокисследования того, что происходит при встрече конуса с плоско-стью». Дезарг строил теорию перспективы и изучал централь-ную проекцию одной плоскости на другую. Заметив, что приэтом на первой плоскости есть точки, которые никуда не про-ектируются, а на второй| точки, в которые не проектируютсяникакие точки, он решил исправить это, введя идеальные бес-конечно удаленные точки на плоскости. В модернизированномвиде его идея состоит в том, что все параллельные между со-бой прямые «пересекаются» в одной общей бесконечно удаленнойточке, а все бесконечно удаленные точки на плоскости образу-ют одну бесконечно удаленную прямую, которой следует допол-нить плоскость. На расширенной (проективной) плоскости всеутверждения о параллельности превращаются в частные случаиобычных утверждений о пересечении прямых, к тому же не име-ющие ограничений (любые две различные прямые пересекаютсяв единственной точке, быть может, бесконечно удаленной). Идеипроективной геометрии воспринимались с большим трудом, и ктому же Дезарг не смог придать им удобную для понимания фор-му. Среди участников кружка Марена Мерсенна (1588 { 1648)|предвестника Парижской Академии наук|он нашел лишь одно-го последователя. Это был 16-летний Блез Паскаль (1623 { 1662),доказавший знаменитую теорему о шестиугольнике, вписанном вконическое сечение. Техника проективной геометрии позволилаПаскалю свести общий случай к случаю окружности, так как поопределению любое коническое сечение получается из окружно-сти в результате центрального проектирования. Вообще, основ-ные планы Дезарга и Паскаля состояли в том, чтобы с помощьюпроективной геометрии пролить свет на теорию конических се-чений Аполлония | вершину греческой геометрии. Уже давноновая европейская математика, имевшая огромные успехи в ал-гебре и анализе, стремилась сразиться с великими греками на ихсобственной территории | геометрии. Казалось, что Дезарг и


Паскаль достигли успеха, но сочинений Дезарга никто не могпонять, а Паскаль так и не закончил своего всеобъемлющегосочинения по проективной геометрии, оставив потомкам лишьмаленькую афишу со своей теоремой о шестиугольнике. Об ихработах забыли на 200 лет, а когда благодаря Мишелю Шалю(1793 { 1880) вспомнили, большинство результатов было открытозаново.

Новая жизнь проективной геометрии началась в работах Гас-пара Монжа (1746{1818) и его учеников, среди которых был Вик-тор Понселе (1788 { 1867). В работах Понселе, по словам Фелик-са Клейна (1849 { 1925), появляется новый вид геометрическогомышления | проективное мышление. Находясь в плену в Сара-тове после похода Наполеона 1812 г., Понселе предавался буйнойгеометрической фантазии, делясь своими открытиями с товари-щами по Политехнической школе, учениками Монжа. Свои ре-зультаты он собрал в «Трактат о проективных свойствах фигур»,вышедший лишь через десять лет. К систематическим занятиямгеометрией он больше не вернулся: отвлекали государственныеи военные дела, преподавание, занятия фортификацией, теори-ей машин («водяное колесо Понселе»). К концу жизни он сновазанялся геометрией, но в основном огорчался, что не смог регу-лярно уделять внимание математике, что другие разрабатываютпроективную геометрию не так, как по его мнению следовало бы,и что Шаль некстати вспомнил о Дезарге.

Понселе исходит из того, что так как на проективной плоско-сти не бывает исключений во взаимном положении прямых, то недолжно быть исключений и во взаимном положении кривых вто-рого порядка. Но почему же тогда эллипсы обычно пересекаютсяв четырех точках, а их частный случай|окружности|только вдвух? И Понселе находит ответ: все окружности проходят черездве фиксированные точки (их называют циклическими). Одна-ко мы не замечаем этих точек, поскольку они, с одной стороны,являются бесконечно удаленными, а с другой|мнимыми. Так ввещественной геометрии впервые появились комплексные числа(к которым и в алгебре только начинали привыкать!). Цикличе-ские точки стали одним из основных объектов геометрии: с их


помощью можно объяснить все вещественные метрические соот-ношения на плоскости.

Другое поразительное открытие Понселе, честь которого онделит с Жозефом Жергонном (1771 { 1859), | это закон двой-ственности | новый способ получения геометрических утвер-ждений. Грубо говоря, он состоит в том, что в теореме овзаимном положении точек и прямых на проективной плоско-сти можно всюду поменять местами слова «прямая» и «точка» инесколько отредактировать текст (заменить «пересекается» на«проходит» и т. д.), чтобы сделать его осмысленным, после чегополучается новая теорема. Например, утверждение «Две различ-ные прямые имеют единственную общую точку» (пересекаются)переходит в новое утверждение «Через две различные точкипроходит единственная прямая».

Отныне проективизм становится господствующим методом вгеометрии. Впрочем, долгое время проективные идеи восприни-мались как некоторое устройство («черный ящик») для полученияевклидовых теорем. Бесконечно удаленные элементы восприни-мались как идеальные чужеродные элементы, упрощающие рас-смотрения (так сначала воспринимались и комплексные числа).Однако последовательный проективизм требует рассматриватьбесконечно удаленные точки как неотличимые от конечных и приэтом не интересуется, например, поведением кривых на бесконеч-ности (асимптотами и т. д.). Дискуссии об идеях проективнойгеометрии надолго заняли умы геометров. Это становится осо-бенно заметным, если обратиться к немецкой геометрии середи-ны XIX века, когда творили такие замечательные геометры, какФердинанд Мёбиус (1790{1868), Юлиус Плюккер, Якоб Штейнер(1796 { 1863), Кристиан фон Штаудт (1798 { 1867). Их деятель-ность проходила в обстановке ожесточенной борьбы между «ана-литиками» и «синтетиками», разногласия между которыми могутпоказаться сегодня не более аргументированными, чем противо-речия между остроконечниками и тупоконечниками у Свифта.Аналитики пользовались преимущественно координатным пред-ставлением геометрических образов, открывавшим возможностьдля использования методов алгебры и анализа. Синтетики счи-


тали, что эти методы лишают геометрию ее истинного духа,подлинной геометрической интуиции.

Среди синтетиков наиболее активен был Штейнер, крестьян-ский сын, который до 19 лет ходил за плугом, затем был учени-ком и сподвижником знаменитого педагога Иоганна Песталоцци(1746 { 1827), и лишь в зрелом возрасте обратился к математи-ке. Штейнер обладал удивительной геометрической интуицией,полет его пространственного воображения нельзя было передатьдаже чертежами, и он отказывался от них на лекциях, которыечитались в затемненных аудиториях, чтобы помочь слушателямсосредоточиться. Решительный протест вызывали у Штейнеракомплексные числа, эти «призраки», «царство теней в геометрии»,которыми так много пользовались аналитики. По мнению Клей-на, возможно, нетерпимость Штейнера была причиной того, чтоПлюккер (типичный аналитик) прекратил надолго занятия гео-метрией и возобновил их лишь после смерти Штейнера.

Проективные координаты. Аналитики ставили перед собой зада-чу такого введения координат на проективной плоскости, прикотором можно было охватить не только конечные, но и бесконеч-но удаленные точки. Здесь решающая конструкция (однородныекоординаты) принадлежит Юлиусу Плюккеру. Он предложил ха-рактеризовать точки проективной плоскости не двумя, а тре-мя числами (x0; x1; x2) 6= (0; 0; 0), но считать, что отличающиесяобщим множителем тройки (x0; x1; x2) и (�x0; �x1; �x2) соответ-ствуют одной и той же точке плоскости. Тогда можно считать,например, точки с x0 6= 0 «конечными» и для них всегда братьтройки с x0 = 1, т. е. (1; X1; X2), где X1 = x1=x0; X2 = x2=x0|не-однородные (декартовы) координаты. Точки с x0 = 0 составляютбесконечно удаленную прямую. Впрочем, эту прямую можно фик-сировать произвольно. Проективные преобразования плоскости,при которых прямые переходят в прямые, соответствуют линей-ным преобразованиям однородных координат. Прямые на проек-тивной плоскости задаются уравнениями �0x0 + �1x1 + �2x2 = 0,где (�0; �1; �2) 6= (0; 0; 0) определяется с точностью до скалярногомножителя. Это навело Плюккера на мысль считать (�0; �1; �2)


однородными координатами прямых, и тогда получается, чтопрямые образуют другой (двойственный) экземпляр проектив-ной плоскости. Такая интерпретация делает предельно прозрач-ным принцип двойственности Понселе{Жергонна.

С помощью однородных координат легко понять и теоремуПонселе о пересечении окружностей, которая в синтетическомварианте требует высокой геометрической интуиции. В неодно-родных координатах уравнения окружностей имеют вид X2

1 ++è2

2 + aX1 + bX2 + c = 0, или в однородных координатах

x21 + x22 + ax1x0 + bx2x0 + cx20 = 0:

Ясно, что на всех этих кривых лежит пара точек (0; 1; i); (0; 1;−i),т. е. это в самом деле мнимые бесконечно удаленные точки ({x0 == 0}|бесконечно удаленная прямая).

В трехмерном проективном пространстве точки характери-зуются четырьмя числами (x0; x1; x2; x3) 6= (0; 0; 0; 0), заданны-ми с точностью до пропорциональности. Можно считать, что{x0 = 0}|бесконечно удаленная плоскость. Плоскости задаютсяуравнениями x0�0 + : : : + x3�3 = 0, т. е. имеется двойственностьмежду проективным пространством точек и проективным про-странством плоскостей.

Многообразие прямых (плюккеровы координаты). Следующийестественный вопрос, который заинтересовал Плюккера, | этоконструкция совокупности прямых в проективном простран-стве P3. Оказалось, что в отличие от ситуации с плоскостями (и спрямыми на плоскости) мы приходим здесь к совершенно новомугеометрическому образованию. Множество прямых в P3 зависитот четырех параметров. В декартовых координатах X1; X2; X3

почти все прямые можно записать в виде X1 = �1X3 + �1,X2 = �2X3 + �2. Этой параметризацией не охвачены прямые,параллельны плоскости X1OX2, а есть еще и бесконечно удален-ные прямые.

Плюккер предлагает ввести координаты на всей совокупно-сти прямых. Он рассуждает следующим образом. Прямая опре-деляется парой своих различных точек, т. е. x = (x0; x1; x2; x3),


~x = (~x0; ~x1; ~x2; ~x3) (однородные координаты в P3), где x и ~x непропорциональны. Однако эти пары можно выбирать разнымиспособами. Чтобы избавиться от этой неопределенности, следу-ет рассмотреть выражения

pij = xi~xj − xj ~xi; (48)

уже не зависящие (с точностью до пропорциональности) от вы-бора точек. При этом pii = 0, pij = −pji. Назовем набор шестичисел p01, p02, p03, p12, p13, p23 плюккеровыми координатами пря-мой. Поскольку точки задавались однородными координатами,наборы {pij} и {�pij} соответствуют одной и той же прямой. Есливсе pij равны нулю, то x и ~x пропорциональны, что мы исключи-ли. В результате естественно рассматривать ненулевой набор изшести чисел {pij} с точностью до пропорциональности в каче-стве однородных координат точки в пятимерном проективномпространстве P5.

Итак, множество прямых оказалось естественно вложеннымв P5. Поскольку оно зависит от четырех параметров, числа pijдолжны удовлетворять еще одному соотношению. И действитель-но, можно проверить, что всегда выполнено тождество

p01p23 − p02p13 + p03p12 = 0: (49)

Нетрудно также убедиться, что других соотношений нет, а имен-но: по любому ненулевому набору чисел {pij}, удовлетворяющихсоотношению (49), можно найти x, ~x, удовлетворяющие усло-вию (48).

С геометрической точки зрения уравнение (49) задает в P5

поверхность второго порядка. Если перейти к координатам

p01 = u0 − u3; p23 = u0 + u3; p02 = u4 − u1;

p13 = u4 + u1; p03 = u2 − u5; p12 = u2 + u5;

то уравнение (49) запишется в виде

u20 + u21 + u22 − u23 − u24 − u25 = 0: (50)


Таким образом, множество прямых в трехмерном проективномпространстве P3 вкладывается, как поверхность второго поряд-ка («квадрика») (50) (или (49)), в пятимерное проективное про-странство P5. Это открытие Плюккера сыграло принципиаль-ную роль в формировании современных математических идей;оно устанавливало изоморфизм двух совершенно различных гео-метрических структур: многообразия прямых в P3 и квадрикив P5. После этого лучшие геометры Софус Ли (1842 { 1899), Фе-ликс Клейн, Эли Картан с любовью коллекционировали подобныеизоморфизмы. Но потом интересы сместились в сторону общеговзгляда на многообразия, когда работают лишь с координатами,не интересуясь геометрической природой точек.

Последователей Плюккера интересовал в первую очередь сле-дующий вопрос: если рассматривать уравнение квадрики в P5 нес тремя плюсами и тремя минусами (сигнатура (3; 3)), как в (50),а с сигнатурой (4; 2) или (5; 1), то будут ли допускать эти ква-дрики аналогичную геометрическую интерпретацию? Софус Лиобнаружил, что на множестве сфер в трехмерном пространствеможно таким естественным образом ввести однородные коорди-наты, что в P5 получится квадрика сигнатуры (4; 2) (геометриясфер Ли). Феликс Клейн ввел в четырехмерном пространстве не-которые довольно изысканные координаты, которые он назвал«гексосферическими», и эти координаты заполнили в P5 квадри-ку сигнатуры (5; 1).

Нас также будет интересовать эта задача, но мы рассмо-трим другой путь ее решения. Дело в том, что при переходе ккомплексному пространству исчезает различие между квадри-ками с различными сигнатурами, так как, умножая на i, все-гда можно перейти к координатам, в которых уравнение име-ет вид z20 + : : : + z25 = 0 (все вещественные квадрики являютсявещественными формами одной комплексной). Привычная логи-ка проективной геометрии заключается в том, что если мы хо-тим перейти от одной вещественной формы к другой, то нуж-но «окомплексить» задачу и осуществить переход в комплексномпространстве.


Комплексная картина. Пусть CP3 | комплексное проективноепространство, z = (z0; z1; z2; z3) | комплексные однородныекоординаты; через точки z; ~z проходит комплексная прямая,состоящая из точек вида �z + �~z. В множестве комплексныхпрямых вводятся комплексные плюккеровы координаты pij , удо-влетворяющие уравнению (49), которое приводится к виду (50),где uj комплексны.

На комплексной квадрике Q ⊂ CP5, задаваемой уравнени-ем (50), рассмотрим вещественные подповерхности. Если счи-тать все uj вещественными, то будем иметь случай, рассмотрен-ный выше. Однако u0, u1, u2, u5 можно считать вещественными,а u3 = iv3, u4 = iv4|чисто мнимыми, или только u3 = iv3 чистомнимым, а остальные координаты вещественными. Тогда полу-чим вещественные поверхности (u и v вещественны!):

u20 + u21 + u22 + v23 + v24 − u25 = 0; (S)

u20 + u21 + u22 + v23 − u24 − u25 = 0: (H)

Это соответственно сфера и однополостный гиперболоид (в од-нородных координатах). Поскольку эти вещественные поверх-ности лежат на комплексной квадрике Q, а точкам Q соответ-ствуют комплексные прямые, то естественно попытаться выяс-нить, какие комплексные прямые соответствуют точкам поверх-ностей (S) и (H).

Интерпретация вещественных квадрик на языке комплексных пря-мых (случай сферы). В случае (S) имеем:

p01 = u0 − iv3; p23 = u0 + iv3; p02 = iv4 − u1;

p13 = iv4 + u1; p03 = u2 − u5; p12 = u2 + u5:

Таким образом, точкам (S) соответствуют плюккеровы коорди-наты, удовлетворяющие условиям:

p23 = —p01; p13 = −—p02; Im p03 = Im p12 = 0: (51)

Этими условиями точки (S) полностью характеризуются. То-гда, если прямая с такими плюккеровыми координатами прохо-дит через z = (z0; z1; z2; z3), то можно считать, что второй точкой


будет ~z = (−—z3; —z2;−—z1; —z0). Итак, точкам вещественной квадри-ки (S) соответствуют комплексные прямые в CP3, проходящиечерез точки (z0; z1; z2; z3) и (−—z3; —z2;−—z1; —z0).

Чем примечательны эти прямые? Через каждую точку z ∈∈ CP3 проходит прямая такого вида, причем единственная.В результате все пространство CP3 разбивается в объединениенепересекающихся прямых. Это разбиение (расслоение) игра-ет важную роль в математике, и появилось оно не слишкомдавно, вне связи с рассмотрениями Плюккера. Если пересечьполученное расслоение CP3 с вещественным проективным про-странством P3, то получится расслоение P3 на прямые, соеди-няющие (x0; x1; x2; x3) и (−x3; x2;−x1; x0). На простом языкемы получаем разбиение обычного трехмерного пространствана попарно скрещивающиеся прямые (в таком виде задача былапредложена на Московской математической олимпиаде в 1979 г.).Реализация (S) в качестве расслоения CP3|это первая из основ-ных конструкций теории твисторов.

Реализация гиперболоида как семейства прямых. В случае (H)имеем:

p23 = —p01; Im p13 = Im p02 = Im p03 = Im p12 = 0: (52)

Пусть сначала для простоты p03 6= 0. Ввиду однородности ко-ординат можно считать p03 = 1 и выбирать точки на соответ-ствующей прямой с координатами z0 = ~z3 = 1, z3 = ~z0 = 0.После этого они находятся однозначно. Из условия (52) следует,что z = (1; a; c; 0), ~z = (0; c; b; 1), где a и b вещественны. Чем жепримечательны прямые, проходящие через данные пары точек?Непосредственно проверяется, что все точки, лежащие на этихпрямых (т. е. точки вида w = �z+�~z, �; � комплексные), должныудовлетворять условию

Im(w1 —w0 + w2 —w3) = 0: (53)

Если снять ограничение p03 6= 0, то окажется, что других пря-мых, все точки которых удовлетворяют условию (53), нет. Сле-довательно, условие (53) задает в CP5 поверхность N веществен-ной размерности 5 так, что все комплексные прямые, лежащие


на N , | это прямые, плюккеровы координаты которых удовле-творяют условию (52), а, стало быть, это прямые, соответствую-щие точкам вещественной поверхности (H). Заметим, что поверх-ность N полностью содержит вещественное проективное про-странство P3 и что, вообще говоря, семейство комплексных пря-мых, зависящее от четырех вещественных параметров, как сле-дует из подсчета размерностей, заполняет область в CP3. Поэто-му можно ожидать, что поверхность N обладает уникальнымисвойствами. Действительно, это единственная, с точностью допроективных преобразований, поверхность, на которой умеща-ется четырехпараметрическое семейство комплексных прямых.Этот результат имеет вещественный аналог. Имеется много ли-нейчатых поверхностей в трехмерном пространстве, на которыхлежит однопараметрическое семейство прямых, но лишь на одно-полостном гиперболоиде лежат два различных семейства (этимсвойством из неплоских поверхностей обладает еще гиперболиче-ский параболоид X3 = X2

1 −X22 , но с проективной точки зрения

он эквивалентен однополостному гиперболоиду).Подведем некоторые итоги. Мы начинали с квадрики веще-

ственных прямых в P3, затем перешли к квадрике комплексныхпрямых в CP3. Среди вещественных поверхностей второго по-рядка, лежащих на этой комплексной поверхности, имеются какповерхность вещественных прямых, так и два других типа по-верхностей: одни поверхности соответствуют расслоениям ком-плексного проективного пространства CP3 на комплексные пря-мые, а|другие пятимерным вещественным поверхностям в CP3,на которых имеется семейство комплексных прямых, зависящееот четырех вещественных параметров. На этом примере отче-тливо виден феномен, который «выстрадали» геометры XIX века.Во-первых, вещественные объекты часто допускают интерпре-тацию на комплексном языке. Во-вторых, если мы делаем веще-ственную задачу комплексной, а затем, обратно, смотрим, какиевещественные задачи приводят к той же комплексной, то частополучаем новые содержательные геометрические задачи.


Метрика в многообразии прямых. Плюккер и его последовате-ли занимались также изучением геометрии многообразия пря-мых Q ⊂ CP5. Они исследовали, как преломляются на языке Qразличные геометрические факты об исходном проективном про-странстве CP3. Точкам в CP3 соответствуют на Q двумерныеповерхности прямых, проходящих через эти точки, плоскостям|двумерные поверхности прямых, лежащих в этих плоскостях (двасемейства плоских образующих квадрики Q). Результативнымбыл и обратный путь, когда в CP3 рассматривались семействапрямых, плюккеровы координаты которых удовлетворяли одно-му соотношению (комплексы) или двум (конгруэнции). В каче-стве примера рассмотрим такой факт.

Прямые в трехмерном пространстве иногда пересекаются.Как выражается это в плюккеровых координатах? Оказывается,что если {pij} и {p′ij}|плюккеровы координаты двух прямых,то они пересекаются тогда и только тогда, когда

p01p′23 − p02p

′13 + p03p

′12 + p23p

′01 − p13p

′02 + p12p

′03 = 0: (54)

Мы выведем тождество (54) при упрощающем предположении(которое уже однажды делалось), что p03 6= 0, p′03 6= 0. Тогдаp03 = p′03 = 1, и прямые проходят соответственно через точ-ки (1; �1; �2; 0); (0; �1; �2; 1) и (1; �′1; �

′2; 0); (0; �

′1; �

′2; 1) (по суще-

ству мы перешли от однородных координат к неоднородным).В этом случае точки прямой p задаются уравнениями

z1 = �1z0 + �1z3; z2 = �2z0 + �2z3;

и аналогично для p′:

z1 = �′1z0 + �′1z3; z2 = �′2z0 + �′2z3:

Прямые пересекаются, если имеется общее решение (z0; z1; z2; z3)этой системы четырех уравнений или системы двух уравнений сдвумя неизвестными (z0; z3):{

z0(�1 − �′1) + z3(�2 − �′2) = 0;z0(�1 − �′1) + z3(�2 − �′2) = 0:

(55)


Таким образом, прямые пересекаются тогда и только тогда, ко-гда равно нулю выражение

�(�; �; �′; �′) = (�1 − �′1)(�2 − �′2)− (�2 − �′2)(�1 − �′1): (56)

Современный математик назвал бы выражение (56) «расстояни-ем». Правда, это выражение может быть равно нулю при p 6= p′, ивообще комплексно. Но это не смущало даже геометров ХIX ве-ка. Клейн вспоминает, как любили они пользоваться прямыми,расстояние вдоль которых равно нулю (изотропные прямые). Линазывал эти прямые «сумасшедшими» и говорил, что француз-ские геометры умеют с их помощью получать доказательства «повоздуху». Назовем и мы величину � расстоянием между прямымиp = (�; �) и p′ = (�′; �′).

Итак, расстояние � равно нулю тогда и только тогда, ко-гда прямые пересекаются. Этим условием расстояние определя-ется почти однозначно. Более строго, расстояние определяетсяс точностью до конформной замены (гомотетии). Это означает,что однозначно определяются углы и отношения расстояний вокрестности любой фиксированной точки с точностью до вели-чин, малых относительно расстояний до этой точки.

Свяжем с каждой точкой p ∈ Q множество точек Vp ⊂ Q, на-ходящихся от p на нулевом расстоянии (�(p; p′) = 0, прямые p; p′

пересекаются). Множество Vp называется конусом изотропии;оно совпадает с пересечением квадрики Q и касательной плос-кости к Q в точке p.

Расстояние на поверхностях (S), (H). Найдем след расстояния �на поверхности (S). Мы опять ограничимся точками, у которыхp03 6= 1. Тогда из условия (51) следует, что �1 = —�2, �2 = −�1, и вкачестве координат на (S) можно брать только пару комплексныхчисел (�1; �2). Следовательно,

�(S)(�;�′) = |�1 − �′1|2 + |�2 − �′2|2: (57)

Это расстояние уже лишено всех недостатков расстояния � в об-щем случае: оно неотрицательно и обращается в нуль только при


� = �′. Полученный факт согласуется с тем, что прямые, кото-рые соответствуют точкам (S), не пересекаются. Мы получилиобычное евклидово расстояние на четырехмерной вещественнойсфере в пятимерном евклидовом пространстве.

Теперь ограничим � на гиперболоид (H) и вновь возьмем точ-ки p03 = 1. Пусть M ⊂ (H) | множество таких точек на (H).Тогда, в силу условий (52), �1; �2 вещественны, a �1 = —�2. Сдела-ем замену: �1 = t − x1, �2 = t + x1, �1 = x2 + ix3, где все (t; x)вещественны. В результате выражение (56) примет вид

�(H)(t; x; t′; x′) = (t− t′)2− (x1−x′1)

2− (x2−x′2)2− (x3−x′3)

2: (58)

Это в точности метрика Минковского (она вещественна, но неположительно определена). Если пересечь конус Vp при p ∈ Mс поверхностью M , то получится световой конус с вершиной p.Итак, естественно возникающее из геометрии прямых расстоя-ние на квадрике Q индуцирует на сфере (S) евклидово расстоя-ние, а на гиперболоиде (H) расстояние Минковского.

ТочкамM ⊂ (H) соответствуют те прямые на поверхностиN ,которые не пересекают прямую z0 = z3 = 0. Многообразие (H)играет важную роль в физических теориях | это конформноерасширение пространства МинковскогоM . Оно получается изíприклеиванием на «бесконечности» светового конуса (подобнотому, как у евклидова пространства имеется расширение с помо-щью одной бесконечно удаленной точки, а не целой бесконечноудаленной плоскости, как в случае проективного расширения).Если рассматривать проективные преобразования простран-ства CP3, сохраняющие поверхность N , то они будут переводитьпрямые на N в прямые на N , пересекающиеся прямые | в пе-ресекающиеся прямые. Тем самым на (H) будут индуцироватьсяпреобразования, переводящие друг в друга световые конусы Vp.Таким образом получаются все конформные преобразованияпространства Минковского (движения, гомотетии, инверсии),относительно которых нередко инвариантны физические теории(безмассовые). Чтобы получить группу собственно движений(группу Пуанкаре), надо ограничиться преобразованиями, кото-рые сохраняют также и прямую z0 = z3 = 0. Итак, геометрия


пространства Минковского в полной мере возникает в рамкахгеометрии Плюккера пространства прямых.

Имеется ли естественный путь в обратном направлении? Как,исследуя пространство Минковского, обнаружить то вспомога-тельное трехмерное пространство (пространство твисторов поПенроузу), прямые в котором соответствуют точкам простран-ства Минковского? Это можно сделать с помощью световых ко-нусов Vp. Напомним, что точкам Vp соответствуют прямые, пе-ресекающие прямую p. Все прямые, соответствующие точкам,лежащим на одной образующей Vp (световой прямой), пересека-ют прямую p в одной и той же точке. В результате возникаетсоответствие между точками поверхности N и световыми пря-мыми; N можно рассматривать как множество световых прямыхна (H). Если перейти к комплексной картине, то точки CP3 ото-ждествляются с комплексными «световыми» прямыми на Q (по-ловиной двумерных образующих конусов Vp).

Замечание об аналитических приложениях. Поучительность изло-женной геометрической картины не вызывает сомнений. Но, какуже отмечалось, в рамках теории Пенроуза она лишь повод дляновых аналитических построений. К сожалению, мы имеем воз-можность лишь очень поверхностно остановиться на них. ИдеяПенроуза заключается в том что аналитическим объектам начетырехмерном многообразии M (в евклидовой теории на (S))должны соответствовать в некотором смысле эквивалентныеобъекты на N или CP3. Эти объекты должны быть проще, чем ихдвойники наí и (S), и значительная часть уравнений математи-ческой физики на í и (S) является просто следствием того, чтообъекты, первоначально заданные на трехмерном многообразии,каким-то путем переносятся на четырехмерное многообразие.Следует отметить, что многие дифференциальные уравнениявозникают как соотношения при переходе (интегральном пре-образовании) на многообразия большего числа измерений. Этоважный и пока недостаточно изученный источник полученияи решения уравнений. В простейшем примере, который при-надлежит Фрицу Йону, при интегрировании функции в трех-


мерном пространстве (вещественном) по прямым получаем начетырехмерном пространстве прямых решения некоторого (уль-трагиперболического) дифференциального уравнения второгопорядка. Пенроуз и его последователи сталкиваются с анало-гичными эффектами в более сложной комплексной ситуации.Поэтому приходится иметь дело не с функциями, а со значитель-но более сложным объектом | когомологиями. Оказалось, чтопри переходе от í и (S) к CP3 действительно получаются болеепростые и классические уравнения: какой-то вариант уравненийКоши{Римана из теории аналитических функций. При этом уда-лось рассмотреть не только линейные уравнения математическойфизики (Дирака { Вейля, Максвелла, линеаризованное уравнениеЭйнштейна), но и некоторые нелинейные (Янга {Миллса).

Автодуальные метрики. В заключение остановимся еще на одномнаправлении в исследованиях Пенроуза. Пока мы имели дело сплоским пространством-временем Минковского. В общей теорииотносительности интересуются искривленными четырехмерны-ми многообразиями, которые должны удовлетворять сильным не-линейным ограничениям (например, вакуумному уравнению Эйн-штейна). Построение решений уравнений Эйнштейна|труднаязадача. Пенроуз, исходя из реализации пространства Минков-ского как семейства прямых в CP3, ищет многообразия, кото-рые удовлетворяли бы уравнению Эйнштейна, как семейства кри-вых на каких-то трехмерных многообразиях. Метрика при этомдолжна получаться из условия пересечения кривых (пересека-ющиеся кривые находятся на нулевом расстоянии). Он с само-го начала ограничивается комплексной ситуацией. Для этого внеплоском случае имеются дополнительные причины: на много-образии кривых не бывает неплоской метрики Эйнштейна сиг-натуры (3; 1), как у метрики Минковского, но бывает римановасигнатуры (4; 0).

Переход к комплексным рассмотрениям замечательным обра-зом упрощает ситуацию, делает ее более геометричной. Ряд инва-риантов кривизны многообразия, которые в вещественном случаевводятся аналитически, в комплексном случае приобретает яс-


ный геометрический смысл (тензоры Риччи и Вейля). Пенроузпоказывает, что некоторый класс комплексных решений уравне-ния Эйнштейна (автодуальных) получается, если определеннымобразом возмутить комплексную структуру в окрестности однойпрямой в CP3 и рассмотреть некоторое семейство кривых, «близ-ких» к прямым. К сожалению, этот путь содержит чрезвычайнонеэффективный момент при нахождении семейства кривых. Од-нако в некоторых случаях вычисления удалось довести до явноговыражения для метрики.

Позднее появились некоторые другие геометрические идеи,как строить явные решения нелинейных уравнений, включаяуравнение Эйнштейна, пользуясь языком твисторов. Одна из нихсостоит в том, что в восьмипараметрическом семействе кривыхвторого порядка в CP3 описываются такие четырехпараметри-ческие подсемейства, что условия пересечения индуцируют наних метрики Эйнштейна. Таким образом получаются некоторыеизвестные решения, а также много новых. Эта идея | вполнев русле идеологии Плюккера: условие пересечения прямых даетплоскую метрику, а пользуясь кониками, мы строим неплоскиеметрики.

Идеи твисторной программы за последние годы получили су-щественное развитие, хотя, быть может, первоначальные наде-жды на роль твисторов в теоретической физике оказались слиш-ком оптимистичными. Внутри математики твисторы нашли за-мечательные применения в многомерном комплексном анализе,но прежде всего| в геометрии и топологии, где они привели креволюции в теории четырехмерных многообразий.

gindikin_rasskazy_o_fizikah_i_matematikah

Documents