STATISTIK DESKRIPTIF:UKURAN SEBARAN

Rohani Ahmad Tarmizi - EDU5950 1

UKURAN-UKURAN SEBARANJULAT

SISIHAN MIN

VARIANS

SISIHAN PIAWAI

UKURAN SEBARANSetelah mempelajari ukuran kecenderungan

memusat UKURAN TAHAP , maka persoalannya seterusnya adalah bagaimanakah skor-skor itu bersebar sama ada tersebar-sebar atau terkumpul-kumpul.

Ini membawa kepada konsep UKURAN SEBARAN IA ITU suatu indeks atau petunjuk sejauh mana skor-skor dalam taburan tersebar.

Ukuran kecenderungan memusat dan ukuran sebaran merupakan petunjuk yang sangat penting untuk data kuantitatif, oleh itu sangat kerap digunakan oleh penyelidik dan dilaporkan dalam sesuatu penulisan.

JULAT - ukuran paling mudah tetapi kasar

SISIHAN MIN - ukuran purata beza mutlak bagi skor-skor daripada min

VARIANS - purata hasil tambah kuasa dua sisihan skor-skor daripada min

SISIHAN PIAWAI - punca kuasa dua bagi purata hasil tambah kuasa dua sisihan skor-skor daripada min

UKS - JULATJulat adalah skor beza antara skor tertinggi

dan terendah

Set A: 21 22 23 24 25 26 27 6

Set B: 15 18 21 24 27 30 33 18

JULATUkuran yang paling mudah ia itu dengan

menentukan beza antara skor tertinggi dengan terendah.

Skor yang tinggi (SET B = 18) memberi gambaran bahawa ukuran sebarannya lebih besar daripada (SET A = 6).

Dengan itu kita dapat memperkatakan sungguhpun min kedua-dua set adalah sama tetapi sebarannya berbeza.

Ini menggambarkan kompsisi skor-skor dalam taburan tersebut.

Walau bagaimanapun kegunaan julat adalah terlalu terhad oleh kerana ia mengguna dua skor dalam sesuatu set.

Oleh itu, ia hanya diguna untuk mendapat gambaran yang cepat.

SISIHAN MINSisihan min merupakan ukuran purata bagi

perbezaan skor-skor daripada min.Untuk mengira sisihan min

L1: Tentukan min bagi taburanL2: Tentukan sisihan bagi setiap skor

daripada min taburan tersebutL3: Tentukan nilai mutlak bagi setiap nilai

sisihan- sisihanL4: Jumlahkan kesemua sisihan-sisihanL5: Bahagikan jumlah tersebut dengan

bilangan skor dalam taburan tersebut

Set A: 21 22 23 24 25 26 27

X 21 22 23 24 25 26 27

SM -3 -2 -1 0 1 2 3

SM 3 2 1 0 1 2 3

Set B: 15 18 21 24 27 30 33

X 15 18 21 24 27 30 33

SM -9 -6 -3 0 3 6 9

SM 9 6 3 0 3 6 9

VARIANSVarians ditakrifkan sebagai purata

hasil tambah kuasa dua sisihan-sisihan daripada min.

Untuk mengira varians L1: Tentukan min bagi taburanL2: Tentukan sisihan bagi setiap skor

daripada min taburan tersebutL3: Tentukan nilai kuasa dua bagi

setiap nilai sisihan-sisihanL4: Jumlahkan kesemua sisihan-

sisihan yang telah dikuasakan duaL5: Bahagikan jumlah tersebut dengan

bilangan skor dalam taburan tersebut.

UKS - VARIANSX 21 22 23 24 25 26 27

X- -3 -2 -1 0 1 2 3

(X-)2 9 4 1 0 1 4 9

X 15 18 21 24 27 30 33

X- -9 -6 -3 0 3 6 9

(X-)2 81 36 9 0 9 36 81

SISIHAN PIAWAISisihan piawai pula ditakrif sebagai punca

kuasa dua nilai varians Ini bermakna setelah menentukan varians,

anda boleh kirakan sisihan piawai dengan menentukan nilai kuasa dua bagi varians.

Nilai sisihan piawai adalah kecil dan dikatakan dalam unit yang diukur manakala nilai varians adalah besar oleh kerana ia merupakan hasil kuasa dua sisihan-sisihan.

Oleh itu, nilai sishan piawai lebih cekap bagi menggambarkan sebaran

PENGIRAAN VARIANS DATA BERKUMPULKELAS FREK. X TT (X TT – )2 f(X TT – )2

5-9 2 7 103.63 207.26

10-14 11 12 26.83 295.13

15-19 26 17 0.03 0.78

20-24 17 22 23.23 394.91

Min = 962/56

= 17.1785

= 17.18

KELAS FREK. X TT (X TT – )2 f(X TT – )2

5-9 2 7 103.63 207.26

10-14 11 12 26.83 295.13

15-19 26 17 0.03 0.78

20-24 17 22 23.23 394.91

S2 = 898.08/56 = 16.04

S = 4.0046

S = 4.00

KELAS FREK. X TT (X TT – X)2 F(X TT – X)2

5-9 2 7

10-14 11 12

15-19 26 17

20-24 17 22

25-29 8 27

RINGKASANUkuran kecenderungan memusat dan ukuran

sebaran merupakan ukuran yang paling popular digunakan untuk pemerihalan data disamping menyaji data secara jadual/carta atau graf.

UKM menunjukkan tahap (level) manakala UKS menunjukkan kebolehubahan (homogeneity/heterogeneity)

UKM yang paling kerap digunakan adalah min manakala UKS yang disertai adalah sisihan piawai.

Cuba anda beri sebab kenapa min dan sisihan piawai kerap digunakan.

TAFSIRAN UKURAN SEBARANUkuran yang besar menunjukkan

sebaran/serakan/variasi yang besar.Ukuran yang besar mennunjukkan skor-skor

adalah heterogen (jauh berbeza-beza).Ukuran yang yang kecil menunjukkan

sebaran/serakan/variasi yang kecilUkuran yang kecil menunjukkan skor adalah

homogen (hampir sama).

RINGKASANUkuran kecenderungan memusat dan ukuran

sebaran merupakan ukuran yang paling popular digunakan untuk pemerihalan data disamping menyaji data secara jadual/carta atau graf.

UKM menunjukkan tahap (level) manakala UKS menunjukkan kebolehubahan (homogeneity/heterogeneity)

UKM yang paling kerap digunakan adalah min manakala UKS yang disertai adalah sisihan piawai.

Cuba anda beri sebab kenapa min dan sisihan piawai kerap digunakan.

PBL Approach Traditional Approach 56 33 56 42 57 48 58 52 61 57 63 67 63 67 67 77 67 82 67 90

Mean = 61.5Median =62Mode= 67

Mean = 61.5Median =62Mode= 67

Lets look at the following set of data from two groups of students undergoing two different approaches in learning The mean, the median and the mode for each were as follows

Closely alike

Very different

Nota Tambahan

Measures of Variability/Dispersion

Measure or index which convey about the degree to which the scores differ from one another.

Measures that reflect the amount of variation in the scores of a distribution.

Nota Tambahan

Measures of Variability/Dispersion

♠ Provides a measure of the dispersion of your data♠ Measures include:

i) Range – presented as the lowest to the highest valuesii) Variance – the average of squared deviations from meaniii) Standard deviation – provides a measure of deviation from mean which is calculated as square root of the variance

♠ Amongst the three measures of dispersion, standard deviation is the most frequently used.

Nota Tambahan

Range of scores for Set A = 67 - 56 = 11

Range= Maximum value-Minimum value

Range of scores for Set B = 90 - 33 = 57

The range only uses 2 numbers from a data set, therefore it is only a rough and quick measure.

Measures of Variability

Nota Tambahan

Population Variance: The sum of the squares of the deviations,

divided by N.

Population Variance

N

x 22 )(

Nota Tambahan

56 -5.5 30.25 56 -5.5 30.25 57 -4.5 20.25 58 -3.5 12.25 61 -0.5 0.25 63 1.5 2.25 63 1.5 2.25 67 5.5 30.25 67 5.5 30.25 67 5.5 30.25

x 2)( x

188.50Sum of squares

85.1810

50.1882

SET A (PBL APPROACH) - Variance

N

x 22 )(

Nota Tambahan

33 -28.5 812.25 42 -19.5 380.25 48 -13.5 182.25 52 -9.5 90.25 57 -4.5 20.25 67 5.5 30.25 67 5.5 30.25 77 15.5 240.25 82 20.5 420.25 90 28.5 812.25

x 2)( x

2988.25Sum of squares

825.29810

25.29882

SET B (TRADITIONAL APPROACH- Variance

N

x 22 )(

Nota Tambahan

34.485.18

Population Standard Deviation The square root of

the population variance.

2

The population standard deviation for students in the PBL group is 4.34

Nota Tambahan

287.17825.298

Population Standard Deviation The square root of

the population variance.

2

The population standard deviation for students in the Traditional group is 17.29

Nota Tambahan

944.209

5.1882 s

Sample Variance (Set A)

To calculate a sample variance divide the sum of squares by n-1.

1

)( 22

n

xxs

Nota Tambahan

03.3329

25.29882 Bs

Sample Variance (Set B)

To calculate a sample variance divide the sum of squares by n-1.

1

)( 22

n

xxs

Nota Tambahan

58.494.20 s

Sample Standard Deviation (Set A)

1

)( 22

n

xxs

The sample standard deviation, s is found by taking the square root of the sample variance.

2ss

Nota Tambahan

22.1803.332 s

Sample Standard Deviation (Set B)

1

)( 22

n

xxs

The sample standard deviation, s is found by taking the square root of the sample variance.

2ss

Nota Tambahan

Summary

Population Standard Deviation

N

x 22 )(

2

Sample Variance1

)( 22

n

xxs

Sample Standard Deviation2ss

Range= Maximum value-Minimum value

Population Variance

Nota Tambahan

Board DemonstrationCalculate range, variance and std dev for the 3 data set

1. Raw data♠ Range = 9 – 3♠ Variance (s²)

Before you can solve for variance, you need to determine:

n = 15 ΣΧ = 96

ΣΧ² = 652

♠ Std dev (s)

s = √s²

s = √2.686

s = 1.639

s² = ΣΧ² - (ΣΧ)²

n n - 1

s² = 652 - (96)²

15 15 - 1

37.614 s² =

= 2.686

Data set 1:

5 89 76 86 77 65 37 84

Nota Tambahan

Board DemonstrationCalculate range, variance and std dev for the 3 data set

1. Raw data♠ Range = 16 – 3♠ Variance (s²)

Before you can solve for variance, you need to determine:

n = 15 ΣΧ = 146

ΣΧ² = 1868

♠ Std dev (s)

s = √s²

s = √31.924

s = 5.65

s² = ΣΧ² - (ΣΧ)²

n n - 1

s² = 1868 - (146)²

15 15 - 1

446.93314 s² =

= 31.924

Data set 2:

15 89 716 816 77 615 37 814

Nota Tambahan

…Cont.

2. Frequency distribution♠ Range = 45 – 25

= 20♠ Variance (s²)

Before you can solve for variance,you need to determine:n = 71ΣfΧ = 2,434ΣfΧ² = 85,810

♠ Std dev (s)s = √s²s = √33.357 = 5.776 = 5.78

s² =

ΣfΧ² - (ΣfΧ)²n

n

s² = 85810 - 2434²

71 71

2368.37 71 s² =

= 33.357

Data set: X f fx__

25 6 150 28 9 252 30 12 360 34 17 578 38 15 570 43 8 344 45 4 180

Total 71 2434

Nota Tambahan

…Cont.

3. Grouped Frequency distribution♠ Range Not relevant♠ Variance (s²)

Before you can solve for variance,you need to determine:

Xmidpt = 25.5, 35.5 and 45.5n = 71

Σf Xmidpt = 2,370.5Σf Xmidpt ² = 82,727.75

♠ Std dev (s)s = √s²s = √50.466 = 7.104

Data set:

group f 21 – 30 27

31 – 40 32 41 – 50 12Total

71

Nota Tambahan

Grouped Data

Class f Midpt x*f

67- 78 3 72.5 217.5

79- 90 5 84.5 422.5

91- 102 8 96.5 772

103-114 9 108.5 976.5

115-126 5 120.5 602.5

30 2991

To approximate the mean of the data in a frequency distribution, treat each value as if it occurs at the midpoint of its class. Class midpoint = x.

n

fxx

)( n = f 7.99

30

2991x

Nota Tambahan

Grouped DataTo approximate the standard deviation of the data in a frequency distribution, use class midpoint = x.

1

)( 2

n

fxxs n = f 7.99x

67- 78 3 72.5 739.84 2119.52

79- 90 5 84.5 231.04 1155.20

91- 102 8 96.5 10.24 81.92

103-114 9 108.5 77.44 696.96

115-126 5 120.5 602.5 3012.50 30 7061.1

69.151414.24629

1.7138s

Class f2)( xx fxx *)( 2Midpoint

Nota Tambahan