VEKTOR Page1

BismillahirrohmanirrohiimMATEMATIKAWAJIB

VEKTORKompetensiDasar : 3.4 Menggunakan sifat-sifat dan operasi aljabar vektor dalam pemecahan

masalah

3.5 Menggunakan sifat-sifat dan operasi perkalian skalar dua vektor dalampemecahanmasalah

Indikator :1.Menjelaskanvektorsebagaibesaranyangmemilkibesardanarah

2. Mengenalvektorsatuan3. Menentukan operasi aljabar vektor: jumlah, selisih, hasil kali vektor dengan skalar,

danlawansuatuvektor4. Menjelaskansifat-sifatvektorsecaraaljabardangeometri5. Menggunakanrumusperbandinganvektor6. Merumuskandefinisiperkalianskalarduavektor7. Menghitunghasilkaliskalarduavektordanmenemukansifat-sifatnya8. Menentukanvektorproyeksidanpanjangproyeksinya9. Melakukankajianmenentukansudutantaraduavektor10. Menyelesaikan permasalahan sehari-hari yang mempunyai penyelesaian dengan

konsepvektorPenjiwaanAgama :”Dankamijadikanmalamdansiangsebagaiduatandalalukamihapuskantandamalamdan

kami jadikan tanda siang itu terang, agar kamumencari kurnia Tuhanmu, dan supaya kamumengetahuibilangantahundanperhitungan.Dansegalasesuatutelahkamiterangkandenganjelas.(Q.SAlIsra:12)

A. PENGERTIANVEKTOR1. Vektoradalahsuatubesaranyangmempunyaibesardanarah.2. Vektordapatdigambarkansebagairuasgarisberarah.3. Besarvektordinyatakandenganpanjanggarisdanarahvektordinyatakandenganarahpanah.4. Notasivektorbiasanyadenganmenggunakantandaanakpanahdiatasataubawahnyaataubisajugadengan

menggunakanhurufkecilyangtebal.5. Vektorposisiyaituvektoryangposisi(letaknya)tertentu.

Misalnya OA yaitu vektor posisi yang awalnya di titikpusatdanujungnyadititikA.Vektorposisi , ,OA OB OC dan seterusnya biasanya diwakili oleh vektor denganhuruf kecil misalnya cba ,, dan sebagainya. Jadi

cOCbOBaOA === ,, .

6. MenentukankomponenvectorMisalnya vektor a adalah vektor yangbertitik awal di titik ( )1 1 1x ,y ,P z danberujungdi titik ( )2 2 2x ,y ,Q z

maka:

2 1

2 1

2 1

atau x x x

a PQ vektor posisi ujung OQ vektor posisi awal OP y y yz z z

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

X

Y

O

C

BA

ab

c

VEKTOR Page2

a a−

Ø Syarat dua vektor yang sejajar

Ø Syarat 3 Titik A,B, C segaris à dst

7. MenuliskanKomponensuatuvector:Ø pasanganterurutbilanganreal(vectorbaris) ( )a x y= {vectordiR2}, ( )a x y z= {vectordiR3}

Ø vektorkolomx

ay

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

danx

a yz

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Ø ditulisdengannotasivectorsatuani,j,kyaitu a xi y j= + dana xi y j zk= + +

8. Besarvector a à 2 2a x y= + *vectorR2

2 2 2a x y z= + + *vectorR3

9. Vektor satuan dari vector a adalah vector yang panjangnya satu satuan dan searah dengan a yang

dinyatakandengan $ aaa

= , $a dibacaatopiatau $a biasaditulis e$

10. Duavectordikatakansamaapabilabesardanarahnyasama.

11. – a adalahvectoryangsamabesardengan a ,tapiarahnyaberlawanan

B. OPERASIPADAVEKTOR

1. KESAMAANVEKTOR

Jikavector1

1

1

xa y

z

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

dinyatakansamadenganvector2

2

2

xb y

z

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

maka1 2

1 2

1 2

x xy yz z

===

2. PERKALIANVEKTORDENGANSKALARJikaksuatubilanganrealmakak a adalahsuatuvektoryangpanjangnyakkali lipatpanjang a . Jikakpositifmakasearahdengan a dan jikaknegatifmakaberlawananarahdengana .

Secaraaljabarditulis:

Jikax

a yz

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

maka .x kx

k a k y kyz kz

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3. PENJUMLAHANdanPENGURANGAN(SELISIH)VEKTORSecaraAljabar:

Jika1

1

1

xa y

z

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

dan2

2

2

xb y

z

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

maka1 2

1 2

1 2

x x xa b y y y

z z z

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟± = ± =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

PenjumlahandanPengurangan(Selisih)SecaraGeometris:

Ø Penjumlahan 2 vektor dengan mempertemukan ujung vektor yang satu ( a ) dengan awal/pangkalvektoryang lain(b ),sehinggahasilpenjumlahankeduavektoradalahawalvektoryangsatu( a )keujungvektoryanglain(b ).

a

2a 3a−

VEKTOR Page3

Ø Jika adalah sudut antara vektor dan ,makapanjang dan

diselesaikandenganaturancosinesyaitu

Ø Jikatidakdiketahuisudutnyamakacaridulunilai dan barucaripanjangnya.

Ø INGAT:dan

Ø Selisihduavektor a dan b ditulis ba − dapatdipandangsebagaipenjumlahan a dengan-b (vektorinversb ).Jadi ba − = ( )ba −+

4. PERKALIANSKALARDUAVEKTOR

a) Jikadiketahuisudutantara2vektorHasil kali skalar dua vektor a dan b ditulis ba • yang didefinisikansebagaiberikut:

θcosbaba =• dimanaθ sudutantaravektora danb .

SIFAT-SIFATHASILKALISKALAR

Ø Duavektoryangsalingsejajar: bababa ==• !0cos atau

Ø Duavektoryangsalingtegaklurus: 090cos ==• !baba

Ø Duavektoryangberlawananarah: bababa −==• !180cos

Ø Bersifatkomutatif: abba •=•

Ø Bersifatdistributif: ( ) cabacba •+•=+•

b) PerkalianSkalarDuaVektorDalamBentukKomponen

Jika 1 1 1 2 2 2a x i y j z k dan b x i y j z k= + + = + + maka 1 2 1 2 1 2a b x x y y z z• = + +

c) SudutAntaraDuaVektor

Sudutantaravektor a danb adalah 1 2 1 2 1 2cos a b x x y y z za b a b

θ • + += =

θ

b

a

VEKTOR Page4

C. RUMUSPERBANDINGAN

MisalkantitikPpadagarisABdenganperbandinganAP:PB=m:n.Perhatikangambardibawahini!

nmanbmpanbmnmp

pmbmanpnnm

pbapnmPBAP

++=⇔+=+

−=−⇔=−−⇔=

)(

::

Jadi:nmanbmp

++=

Jadijikatitik ),,(),,( 1 BBBAAA zyxBdanzyxA makakoordinatP:

),,(nmnzmz

nmnymy

nmnxmxP BABABA

++

++

++

TitikPbisamembagiABdenganperbandingandidalamsepertidiatasataubisajugadenganperbandingandiluar, maksudnya titik P di luar ruas garis AB. Jika arah perbandingannya berlawanan harus denganmenggunakantandanegatif.

D. PROYEKSIORTOGONALSUATUVEKTOR

1. PROYEKSISKALARORTOGONALPerhatikangambardibawahini:

Panjang proyeksi vektor a terhadap b yaitua bcb•=

2. VEKTORPROYEKSI(PROYEKSIVEKTORORTOGONAL) Perhatikangambardibawahini:

Proyeksivektor a terhadapb adalah:

bb

bac 2

•=

ALHAMDULILLAH

O

A

B

mn

ap

b

a

θc b

O B

A

C

a

θc b

O B

A

C

VEKTOR Page5

INDIKATOR12:Menyelesaikanoperasialjabarbeberapavektordengansyarattertentu

1. Diberikantigavektor 3 2a i j k= − +r r r r

, 2 4 3b i j k= − −r r r r

,dan

2 2c i j k= − + +r r r r

,maka2 3 5a b c− −r r r

=....

A. 2 4i j k+ −r r r

B. 2 5i j k− +r r r

C. 5 2i j k+ −r r r

D. 5 2i j k− +r r r

E. 3 2i j k+ −r r r

2. Jika32a ⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

,

10b ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

dan54c −⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

,makapanjang

vektord=a+b–cadalah....A. 5 B. 2 13 C. 17D. 3 13 E. 2 41

3. VektorPQuur

=(2,0,1)danvektorPRuur

=(1,1,2).Jika12

PS PQ=uur uur

,makavektorRSuur

=.....

A. 3

0, 1,2

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠

B. 3

1,0,2

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

C. 3,1,0

2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

D. 1,0,1

2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

E. (1,-1,1)

4. Diketahui 3 2a i j= −r

, 4b i j= − +r

dan 7 8r i j= −r

.Jika

r ka mb= +r r r

,makak+m=....A. 3B. 2C. 1D. –1E. –2

5. TitikA(3,2,-1),B(1,-2,1),danC(7, 1p− ,-5)segarisuntuknilaip=....A. 13B. 11C. 5D. -11E. -13

6. DiketahuiΔABCdenganA(4,-1,2),B(1,3,-1),danC(1,4,6).KoordinattitikberatΔABCadalah....A. (2,2,2)B. (-3,6,3)C. (-1,3,2)D. (-1,3,3)E. (-3,6,6)

VEKTOR Page6

7. DiketahuititikA(1,–2,–8)dantitikB(3,–4,0).TitikPterletakpadaperpanjanganABsehinggaAP=–3PB.JikaPvektorposisiuntuktitikP,makap=....A. 4 5 4i j k− +

r r r

B. 4 5 4i j k− −r r r

C. 12j k− −r r

D. 3 12i j k− − −r r r

E. 5 2i j k− − −r r r

8. Diketahui ar, brdan a b−

r rberturut-turutadalah4,6

dan2√19.Nilai a b+r r

=....

A. 4 19 B. 19 C. 4 7 D. 2 7 E. 7

9. Perhatikangambar!

Pernyataanyangbenaradalah.....

A. →→→

−= cba D.→→→

−= acb

B. →→→

−= bca E.→→→

−= bac

C. →→→

+= cab

10. Pada segiempat OABC, S dan Tmasing-masing adalahtitik tengah OB dan AC. Jika OCwdanOBv,OAu === maka ruas garis berarah ST dapat dinyatakan dalam

...sebagaiwdan,v,u a. wvu 2

121

21 ++

b. wvu 21

21

21 ++−

c. wvu 21

21

21 +−

d. wvu 21

21

21 −+

e. wvu 21

21

21 −−

11. DiketahuipersegipanjangOACBdanDtitiktengahOA,CDmemotongdiagonalABdiP. Jika aOA

!= dan bOB

!=

maka AP dapatdinyatakansebagai....A. 2

1( a!+ b!)

B. 31 ( a!+ b!)

C. 32 a!+ 3

1 b!

D. 31 a!+ 3

2 b!

E. 21 a!+ 3

2 b!

12. Diketahui 34=a! , b

!=5dan ( ) ( )baba

!!!!+⋅+ =13. sudut

antaravektor a! dan b!adalah

vw

uO A

BC

VEKTOR Page7

INDIKATOR13:Menyelesaikanmassalahyangberkaitandenganbesarsudutataunilaiperbandingantrigonometrisudutantaraduavektor

13. Besarsudutantara324

a⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟⎝ ⎠

dan233

b⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟−⎝ ⎠

adalah....

A. 180oB. 90oC. 60oD. 30oE. 0o

14. DiketahuiA(5,7,4),B(2,9,3)danC(4,10,6).BesarsudutABCadalah....A. 30oB. 60oC. 90oD. 120oE. 150o

15. Diketahuivektor-vektor 3 2 5a i j k= + − ,b i x j k= − − dan

2 2c i j k= + − .Jikaa tegaklurus b ,maka ....b c+ =

A. 3 6 2i j k+ −

B. 3 6 2i j k+ +

C. 3 2 2i j k+ +

D. 3 2 2i j k− −

E. 3 2 2i j k+ −

16. Jikavektora danb membentuksudut60odan 4a = dan

3b = maka ( ). ....a a b− =

A. 2B. 4C. 6D. 8E. 10

17. Diketahuivektor 12

pa

⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟⎝ ⎠

,263

b⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟⎝ ⎠

danαadalahsudut

antaravektoradanb,nilai8

cos21

α = ,danpadalah

bilanganbulat.Makanilaipyangmemenuhiadalah....A. -3B. -2C. 1D. 2E. 3

18. Jika 15u = dan 13v = sedangkan . 75u v = − ,makanilaitangensudutantaravektorudanvadalah....

A. 512

−

B. 125

−

C. 512

D. 1213

VEKTOR Page8

E. 1312

19. Diketahui 2a = , 9b = , 5a b+ = .Besarsudut

antaravektora danvektor b adalah...A. 45oB. 60oC. 120oD. 135oE. 150o

20. Jika 2a = , 3b = ,danbesarsudut ( ), 120a b = °,maka

3 2 ....a b+ =

A. 5B. 6C. 10D. 12E. 13

21. Diketahui 6a = , ( ) ( ). 0a b a b− + = ,dan ( ). 3a a b− = .

Besarsudutantaravektora dan b adalah....

A. 6π

B. 4π

C. 3π

D. 2π

E. 23π

22. DiketahuibalokABCDEFGHdenganAB=2cm,BC=3cm,danAE=4cm.Jika AC

uuurwakildarivekturu danDH

uuurwakil

darivekturv ,makasudutantaravektoru danv adalah....A. 0oB. 30oC. 45oD. 60oE. 90o

23. DiketahuibalokABCDEFGHdengankoordinattitiksudutA(3,0,0),C(0, 7 ,0),D(0,0,0),F(3, 7 ,4)danH(0,0,4).BesarsudutantaravektorDHdanDFadalah....A. 15oB. 30oC. 45oD. 60oE. 90o

24. DiketahuisegitigaXYZdenganX(10,14,-10),Y(8,14,-6),danZ(4,14,-18).Jikau XY=

r uurdanv YZ=

r uur,makabesar

sudutantaraurdanv

radalah....

A. 30oB. 45oC. 75oD. 105o

VEKTOR Page9

E. 135o

25. DiketahuititikP(3,-1,2),Q(1,-2,-1),danR(0,1,1)membentuksuatusegitiga,makabesarsudutPQRadalah....A. 30oB. 45oC. 60oD. 90oE. 120o

26. Diketahuivektor 2 3a ti j k= − +r

, 2 5b ti j k= − + −r

,dan

3c ti tj k= + +r

.Jikavektor ( )a b+r

tegaklurus c makanilai

2t=....

A. –2atau43

B. 2atau43

C. 2atau 43

−

D. 3atau2E. –3atau2

27. Diketahui =4a , 3b = ,dan + =5a b .Jikaθ adalah

sudutantaravectoradanvectorb,makanilai θ =cos2 .... A. 1

B. 45

C. 0

D. − 12

E. –1

28. Diketahuivektor = + +2 3a i j k ,dan = + +2 3b i j k .Besar

sudutantaravector ( )a b+ danvector ( )−a b adalah....

A. π6

B. π4

C. π3

D. π2

E. π23

29. Diketahui = + −2a pi j k , = − +4 3 6b i j k dan = − +2 3c i j k

.Jikaa tegaklurusb ,hasildari ( )( )−2 3a b c adalah....

A. 171B. 63C. –63D. –111E. –171

VEKTOR Page10

INDIKATOR14:Menyelesaikanmasalahyangberkaitandenganpanjangproyeksiatauvektorproyeksi

30. Diketahuivektor 3 4 4a i j k= − − , 2 3b i j k= − + ,dan

4 3 5c i j k= − + .Panjangvektorproyeksiortogonal ( )a b+

pada c adalah....A. 3 2 B. 4 2 C. 5 2 D. 6 2 E. 7 2

31. Diketahuivektor245

a⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟⎝ ⎠

dan3

5b m

⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟−⎝ ⎠

.Jikaproyeksi

scalarorthogonalvektor b padaa samadengan3

55

,

makanilaimsamadengan....A. 4B. 5C. 6D. 7E. 8

32. Panjangproyeksiorthogonalvektor 3a i p j k= + + ,pada

vektor 3 2b i j pk= + + adalah32.Nilaip=....

A. 3

B. 23

C. 13

D. 13

−

E. 23

−

33. Sudutantaravektor a = xi +(2x+1)j- k3x danvektorb adalah 600. Jika panjang proyeksi a ke b sama

dengan 521 ,makax=......

A. 4atau21−

B. 1atau4C. 1atau2

D. 21 atau–1

E. 21− atau1

34. Sebuah vektor x dengan panjang 5 membuat sudutlancip dengan vektor y = (3, 4). Bila vektor xdiproyeksikan ke vektor y,maka penjang proyeksinya2,jadivektorxadalah......

A. (1,2)atau ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

511,

52

B. (2,1)atau ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

511,

52

C. (1,2)atau ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ − 5

53,5

54

VEKTOR Page11

D. (2,1)atau ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ 5

54,5

53

E. ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

511,

52 atau ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ − 5

53,5

54

35. DiketahuikoordinatA(-4,2,3),B(7,8,-1),danC(1,0,7).Jika AB

uurwakilu

rdan AC

uuurwakilv

r,makaproyeksi

orthogonalurpadav

radalah....

A. 6 12

35 5

i j k− +

B. 6 12

3 55 5

i j k− +

C. ( )95 2 4

5i j k− +

D. ( )175 2 4

45i j k− +

E. ( )95 2 4

55i j k− +

36. Diketahuivektoru i j k= − +r

, 2v i j k= + +r

dan 3w i k= −ur

.

Proyeksivektoru w+r ur

padavektoruradalah....

A. 4 4 43 3 3i j k− +

B. 2 2 2i j k− + C. 4 4 4i j k− +

D. 2 2 23 3 3i j k− +

E. 1 1 13 3 3i j k− +

37. DiketahuititikA(3,2,-1),B(2,1,0),danC(-1,2,3).Jika ABuur

wakilvektoru

rdan AC

uuurwakilvektorv

rmakaproyeksi

vektorurpadav

radalah....

A. ( )14

i j k+ +

B. i k− + C. ( )4 i k+

D. ( )4 i j k+ +

E. ( )8 i j k+ +

38. DiketahuisegitigaABCdengankoordinatA(2,-1,-1),B(-1,4,-2),danC(5,0,-3).Proyeksivektor AB

uurpada AC

uuur

adalah....

A. ( )13 2

4i j k+ −

B. ( )33 2

14i j k+ −

C. ( )13 2

7i j k− + −

D. ( )33 2

14i j k− + −

E. ( )33 2

7i j k− + −

39. DIketahuivektor = + +2 4a pi j k , = + +4 2 2b i j k dan

= + +4 2 6c i j k .Jikavectora tegaklurusbmakavector

proyeksia tegaklurus c =....

VEKTOR Page12

A. ( )+ +14 2 6

7i j k

B. ( )+ +24 2 6

7i j k

C. ( )+ +34 2 6

7i j k

D. ( )− + +24 2 6

7i j k

E. ( )− + +14 2 6

7i j k

40. Diketahui vektor-vektor 𝑢 = 9𝑖 + 𝑎𝚥 + 𝑏𝑘 dan 𝑣 = 𝑎𝚤 −

𝑏𝚥 + 𝑎𝑘. Sudutantara𝑢 dan𝑣 adalah𝜃 dengancos 𝜃 =!!!.Proyeksi𝑢pada𝑣 adalah𝑝 = −4𝚤 − 2𝚥 + 4𝑘.Nilaidari

𝑏 = ⋯A. 2B. 2C. 2 2D. 4E. 4 2