Download - KEBARANGKALIAN & STATISTIK
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 1/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 2/466
K E B A R A N G K A L I A ND A NS T A T IS T IK
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 3/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 4/466
K E B A R A N G K A L I A ND A NS T A T IS T IK
M a n s o r J u s o hMA. Statistic Ph.D. (Economics)Jabatan Statistik EkonomiFakuiti Ekonomi Univarsiti Kebang,aan Malaysia
Dewan Bahasa dan Pustaka
Kementerian Pelajaran MalaysiaKuala Lumpur1986
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 5/466
KK.310—3243 4 1 0 1
Hakcipta terpelihara. Tidak dibenarkan mengeluar ulang mana-rnana bahagian, artikel,ilustrasi, is i kandun~nboku m i dalam a pa juga bentuk dan dengan apa cara pun samaada secara elektronk, fotokopi, mekanik, rakaman atau lain-lain sebelum mendapat izinbertulis daripada Ketua Pengarah, Dewan Bahasa den Pustaka. Perundingan tertakiukkepada perkiraan royalti atau honorarium.
©Hakcipta MansorJusoh 1986Cetakan Pertama 1986
Oiaturhuruf oleh Dewan B ahasa dan PustakaRupataip Teks: T/Roman Mono (Kod 327-6801)Saiz TaipTeks: 10/12 pain.
Dicetak olahPercetakan Dowan Bahasa dan Pustaka
Lot1037, Mukim P erindustsian PKNSAmpang/Hulu KelangSelangor.
$ 2 0 . 0 0
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 6/466
Prakata
Penulisan buku m i timbul dan hasrat untuk menyediakan buku teks
yang sesuai dalam bahasa Malaysia bagi bidang kebarangkalian danstatistik. Ia dirasakan amat sesuai untuk peringkat pengenalan dan pe-ringkat pertengahan bagi kursus-kursus dalam kedua-dua bidang m i . Di
samping itu, buku m i juga botch digunakan untuk peringkat pengenalan
bagi kursus statistik matematik.
Adalah menjadi tujuan utama buku m i untuk memberikan penge-
tahuan asas bagi pelajar-pelajar yang mengkhusus di bidang statistik, disamping tidak menyekat penggunaannya bagi pelajar-pelajar di bidang
lain yang mengambil kursus statistik sebagai mata pelajaran pilihan. Bukum i juga tidak melupakan pengguna kaedah statistik yang memerlukan
penjelasan teori terhadap apa yang digunakan di dalam praktik. Dengan
cara demikian pemahaman terhadap apa yang digunakan adalah lcbih
jelas dan Iebih bererti. Jadi untuk tujuan-tujuan tersebut buku m i cubaseboleh-boleh untuk menjauhkan penggunaan matematik yang tinggi,
tanpa menghilangkan keupayaan untuk memberi penjelasan sistematik
yang diperlukan di dalam bidang statistik.Pembahagian buku m i dibuat kepada dua peringkat yang merang-
kumi bab-bab yang memberikan penjelasan asas terhadap konsep ke-
barangkalian dan statistik untuk membolehkan pemahaman yang lebih
baik terhadap bidang statistik. Ia juga memberikan taburan-taburankebarangkalian khusus yang kerap dijumpai di dalam penggunaan
statistik. Peringkat yang kedua memberikan konsep asas teori persam-pelan berserta dengan bidang yang sangat penting dalam penggunaan sta-
tistik iaitu inferens statistik. Di dalam inferens statistik, penekanan hanya
diberi kepada teori klasik yang merupakan asas pemahaman konsep in-ferens statistik. Aplikasi dalam bidang m i juga tidak dilupakan denganmemasukkannya sebagai bab-bab yang berasingan. Begitu juga dengankaedah inferens statistik yang kerap digunakan. Analisis regresi dan
analisis varians diberikan dalam bentuk gabungan teori-teori asas danaplikasi mudah untuk menambahkan pemahaman pengguna kaedah ter-
V
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 7/466
sebut apabila berhadapan dengan masalah yang lebih rumit di dalam
praktik.Terangkum dalam buku m i , kita perhatikan, percubaan untuk meng-
gunakan penjelasan yang lebih mudah untuk tujuan para pelajar dan pe-
nyelidik yang menggunakan buku m i sebagai asas teori terhadap peng-gunaan statistik yang digunakan dengan tidak meluputkan keupayaanuntuk menyediakan keperluan asas pelajar-pelajar bidang statistik yang
ingin melanjutkan pemahaman konsep dan teori-teori statistik yang Iebih
tinggi.
Mansor Jusoh
vi
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 8/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 9/466
BAB1PENGENALAN
Bidang ilmu kebarangkalian dan statistik walaupun kadang-kadang
dikaji s~araberasingan tetapi adalah merupakan bidang-bidang yang
aniat sukar untuk dipisahkan. Kita dapati agak sukar untuk mengkaji
salah satu daripadanya tanpa melibatkan fahaman atau penggunaan
konsep-konsep daripada bidang yang satu lagi. Kajian bidang statistik
tidak akan lengkap tanpa penggunaan pemahaman konsep-konsepkebarangkalian. Begitu juga, pengkajian bidang kebarangkalian semata-
mata,dianggäptidak Iengkap jika tidak dihubungkan dengan bidang yang
satu lagi iaitu statistik, atau sekurang-kurangnya dapat dianggapkanbahawa kajian dalam bidang kebarangkalian akan akhirnya membawa
kita kepada penggunaannya di bidang statistik.
Apa yang amat ketara daripada hubungan kedua-dua bidang m i ialah
s~araumumnya kajian bidang statistik itu amat perlu disertakan denganpemahaman dalam bidang kebarangkalian. Dan apa yang akanditekankan dalam buku m i adalah aspek tersebut, yakni kajian bidang
kebarangkalian diberikan untuk penggunaan dalam pemahaman bidang
statistik. Walaupun demikian tidaklah dinafikan bahawa kebarangkalian
juga boteh digunakan secara tersendiri.
1 .1 Persoalan Umum dalam StatistikMasalah utama yang dibincang dalam statistik adalahberkait
dengan cara mempersembah dan meramalkan ukuran-ukurantertentu. Ia merupakan satu bidang ilmu yang bukan sahaja
melibatkan dengan memungut data dan mernpersethbahkannya
dalam bentuk carta atau jadual atau ukuran-ukuran tertentuberkenaan data tersebut, tetapi juga merupakan ramalan terhadap
sesuatu yang dikaji (populasi) berdasarkan sebahagian atau ke-semua data yang diamati. Malah secara lebih umum, ia melibatkan
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 10/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
masalah keseluruhan membuat keputusan berdasarkan perkara-
perkara yang tidak pasti. Masalah melihat pendapatan penduduk
Malaysia misalnya, bukan sahaja terhad kepada mempersembahkan jadual-jadual untuk menunjukkan taburan pendapatan danbilangan penduduk yang berpendapatan tertentu atau mengira
ukuran-ukuran tertentu seperti mengira purata pendapatan atausebagainya, tetapi juga mungkin melibatkan ramalan terhadappendapatan penduduk Malaysia pada masa-masa akan datang.
Begitujuga dalam masalah melihat bilangan pesakit kencing manis
di Malaysia. Mungkin kita akan melihat hanya sebahagian kecil
penduduk Malaysia umpamanya yang menerima rawatan di
Hospital Besar Kuala Lumpur dan dan sini, membuat keputusanatau ramalan terhadap bilangan pesakit m i di seluruh Malaysia.Atau lebih lanjut mungkin setelah dijierhatikan beberapa aspek
tertentu seperti kadar penggunaan gula, jenis-jenis makanan yangdiminati oleh rakyat Malaysia atau sebagainya, mungkin kita akanmeramalkan bilangan pesakit m i dalam masa lima atau sepuluh
tahun akan datang.
Kita perhatikan bahawa dalam pendekatan ml untuk mencapaipersembahan atau ramalan yang memuaskan, kita tidak boleh lepas
daripada menganggap masalah yang dikaji sebagal satu bentuk percubaan yang keputusan atau kesudahannya masih belum pasti.Percubaan m i mungkmn dalam bentuk percubaan yang paling
ringkas sebagaimana memerhati keputusan daripada satu duit
syiing yang dilambung sekali atau mungkmn boleh diperluaskankepada percubaan yang Iebih sukar yang ditemui dalam keadaanhan-han. Dan percubaan yang hanya mempunyai duakemungkiuan kesudahan seperti “kepala” dan “ekor” dalammelambung duit syiling sekali atau “sakit kencing manis” dan “tidak
sakit kencing manis” dalam melihat seorang penduduk Malaysiahinggalah kepada percubaan yang mempunyai banyak kesudahanseperti kemungkinan pendapatan bulanan, dan $0 hingga Sa
tertentu seorang penduduk Malaysia. Danipada percubaan m i,pengukuran boleh dibuat danipada pengamatan yang diperolehi.
Percubaan-percubaan tersebut boleh diulang untuk menun-
jukkan suasana tertentu supaya unsur-unsur tidak pasti tadi
dapat diperhatikan. Misalnya di dalam percubaan melambung duitsyiling sekali, kita akandengan pasti dapat menentukan bahawa dua
kesudahan “kepala” atau “ekor” yang akan rnuncul. Apabila duitsyiling yang sama dilambung berkali-kali baharulah dapat di-
2
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 11/466
PENGEN ALAN
putuskan kesudahan manakab yang sening muncul. Maka dansinilah dapat diramalkan dengan lebih pasti “kelakuan” kesudahandanipada percubaan tersebut. Begitu juga dengan masalah melihat
pesakit kencing manis. Jika hanya seonang yang dilihat, kita hanyadapat tentukan sama ada dia sakit ataupun tidak tanpa dapatmenggambarkan suasana sebenar penduduk Malaysia. Sekiranya
1000 orang yang ditihat dan diketahul bitangan onang yang sakit,maka dapat kita ramalkan suasana sebenan penduduk Malaysia.
Daripada penhatian yang dmbuat tenhadap ulangan pencubaanm i akan dapat dikumpulkan pengamatan yang merupakan data bagi
percubaan tensebut. Inilah yang akan menupakan gambanan ukunan
kepada masalah atau populasi yang dikaji. Dan kajian statistik adalah benusaha, dengan menggunakan kaedah-kaedahnya yang
berbagai, untuk mempersembah, menganalisis data m i untuk memperolehi ketenangan benkenaan data itu sendini dan juga
populasi atau masatah yang dikaji. -
1.2 Statistik Berperihalan dan Statistik AruhanDalam kebanyakan masatah mengguna kaedah-kaedah
statistik kita umumnya boleh membahagikan kepada dua bidang
yang sating berkaitan, iaitu statistik benperihalan dan statistik anuhan. Jika kita hanya berminat kepada pensembahan data yang
dipenolehi setakat menjelaskan kedudukan himpunan data tadi,
tanpa melihatkan penjelasan umum tenhadap himpunan yang leblK
besar di mana data tadi menjadi sebahagian danipadanya maka kita
benada dalam bidang statistik benperihalan. Jika olahan datamelibatkan juga usaha membeni ketenangan umum tenhadap
himpunan yang lebih besan atau ramalan-namatan terhadapkeadaan akan datang, maka kita tenmasuk dalam bidang statistik
anuhan. Sebagai misalannya, katalah kita mempunyai himpunannilai yang menunjukkan bilangan pelajan Univensiti KebangsaanMalaysia (U.K.M) yang ponteng kuliah dalam satu minggu.
Sebanang nilai yang menenangkan data tersebut sepenti peratuspelajan yang ponteng, bilangan pelajan penempuan yang ponteng
atau nisbah pelajar perempuan dan lelaki yang ponteng bagi pelajan-pelajan U.K.M dan dalam minggu tersebut adalah berkait dengan
statistik benpenihatan. Manakala, jika membuat kesimpulanterhadap seluruh pelajan univensiti di Malaysia atau terhadap
pelajan-pelajar U.K.M sendmni untuk satu semester adalahmenupakan bidang kajian statistik anuhan.
3
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 12/466
KEBARANGKALIAN DAN 5TATi5TIK
Dalam bidang statistik anuhan secara umumnya penggunaan
kebanangkalian tidak dapat dielakkan.
m i memandangkan
kebanyakan kajian statistik aruhan tenlibat dengan usur-unsuntidak pasti. Oleh itu, untuk mencapai tingkat pemahaman yang lebih
jelas mengenai niasalah dalam statistik aruhan m i wajanlah
diketahui terlebih dahulu bidang kebarangkalian itu sendini. Oleh
kenana hubungan di antana kedua-dua bidang ml amat napat dansukar untuk diasingkan, maka kebanyakan konsep dan penjelasankadang-kadang tenpaksa dihuraikan secana senentak.
1.3 Statistik dan Keharangkalian
Walaupun kedua-dua bidang m i dihubungkan dengan konsep
pencubaan tetapi penekanan terhadap masatah yang dibincangkanmembezakan kedua-duanya. Jika, sebagal contoh, kita ambil
percubaan melambung duit syiling sepuluh kali dan ingin me-menhatikan apakah “peluang” atau kebanangkalian tidak adasatu pun “kepala” yang keluar, maka masalah yang dibincangkanadalah masalah kebanangkalian. Tetapi jika kita ingin menentu-
kandanipada 1 0 lambungan tadi adakah kebanangkalian tidak men-dapat satu pun “kepala” adalah 010, maka kita benhadapan denganmasalah statistik. Begitu rumitnya penbezaan kedua-duanya
menyebabkan sukar untuk kedua-duanya dikaji secana berasingan.
Bagaimanapun secana ningkas, penkana utama yanigmembezakan bidang-bidang m i adalah masalah yang cubadiselesaikan. Dalam bidang kebanangkalian bmdang masalah yang
dihadapi ialah apabila dibeni kebarangkalian kesemua penistiwa
tertentu dan cuba menyelesaikan masalah meneani kebanangkalian
terhadap penistiwa-penistiwa yang benkaitan dengan penistiwa yang
telah pun dibeni. Dalam mencari kebarangkalian tadi mungkin
dalam bentuk nilal tepat, penghampiran ataupun batas-batasnyasahaja. Manakala dalam statistik pula kita diberi satu keluargakebanangkalian yang salah satu atau sebahagiannya boleh mewakili
perkana yang• dikaji. Dan tugas utama adalah memilih danipada
kesemua kemungkinan m i ahli keluanga yang benan-benan boleh
mewakili penkara tensebut, bendasankañ keputusan percubaan yangtelah dijalankan. Jadi masalah yang benkaitan mungkin
thenggunakan keputusan m i, untuk membeni keterangan tentang
perkara yang dikaji atau mungkin untuk membuat namalan.
Oleh kenana pemahaman tenhadap teoni-teoni kaedah statistik
memenlukan pemahainan konsep dan teonm kebarangkalian terlebih
4
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 13/466
PENGEN ALAN
dahulu, maka di sini kita akan terlebih dahulu kemukakan bab-bab
yang berkaitan dengannya. Selepas itu baharulah konsep dan teoni
m i dihubungkan dengan masalah statistik dalam bab-bab
berikutnya.
Untuk mcmudahkan pemahaman yang benkaitan dengankebarangkalian, kita mulakan perbincangan dengan mempelajani
konsep dan fahaman tenhadap teori set tenlebih dahulu. Bab 2 danbab-bab seterusnya hingga 7 akan dibincangkan hal-hal yang
berkait dengan kebarangkalian, manakala Bab 8 dan setenusnya
mengenai perbincangan bidang statistik. Di samping itu aspek gunaan terhadap teonl dan kaedah statistik tadi juga disentakan
secana ningkas.
5
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 14/466
BAB2SET DAN KEBARANGKALIAN
Konsep asas adalah penting untuk mempelajani dan memahami
statistik dan kebarangkalian, khususnya ialah konsep set. Konsep ml
memberikan satu “bentuk bahasa” yang membolehkan kita menyelami
konsep-konsep dan teoni-teoni yang benkaitan di dalam bidang tensebut
dengan lebih mudah dan jelas. Untuk maksud itu, tenlebih dahulu kitaperturunkan sebahagian danipada teoni-teoni set yang difikirkan
berkaitan. Selepas m i bahanulah kita mulakan penbincangan mengenal
kebarangkalian.
2 .1 Set dan Snbset
Satu set adalah boleh difikinkan sebagai satu himpunan objek
atau entiti. Himpunan tensebut hanuslah ditaknifdenganjelas supayaboleh ditentukan apa yang tenkandung dan apa yang terkeluan dani
himpunan tensebut.
Definish 2.1
Set adalah himpunan yang bentaknif dengan jelas bagi objek -
objek.
Sebagai misalan, himpunan ibu negeri di Malaysia, sungai-sungai dinegeni Selangon, nombonbulat positif atau himpunan nombor nyatadi antara sifan dan sepuluh adalah menupakan contoh-contoh set.
Untuk mencatat set selalunya hunuf besar sepenti A, B,CX dansebagainya digunakan. Sementara objek yang menganggotai set
dicatat dengan huruf kecil sepenti a, be dan sebagainya. Objek yangmenganggotai set m i dipanggil unsun atau ahli kepada set tensebut.
Jika s adalah unsun kepada set S . maka kita tutis
5 ES
6
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 15/466
SET DAN KEBARANGKALIAN
Sebaliknya jika a adalah bukan unsur kepada S kita tulis
a4 S
Untuk menunjukkan hubungan di antara unsun-unsun di dalamset beberapa cara boleh digunakan untuk menggambankannya.
Misalnya,jika A adalah merupakan set yang mengandungi unsun 3 ,4 , 5 , 6 dan 7 maka A boleh ditulis sebagai
A = {3,4,5,6,7}.
atauA = {xlx=3,4,5,6,7}.
Jika set B pula adalah menupakan kesemua kesudahan bila satu duit
syiling dilambung sekali,dan jika kita taknifkan k sebagai kesudahan“kepala” yang keluar danesebagai kesudahan “ekor” yang keluan, B
boleh dicatat sebagai
B = {k,e}
Sekiranya set C pula adalah set yang mengandungi semua nombonnyata positif, maka C ditulis sebagai
C = {x; 0 < x C
Set juga boleh ditulis dalam bentuk kenyataan sepenti
D = {(x, y); x + y = 4}
yang benenti set D adalah set yang mengandungi pasangan titik (x, y )
supaya titik tersebut memenuhi syanat bahawa jumlahnya adalahsama dengan 4 .
Dani bebenapa contoh di atas kita penhatikan bahawa set boleh
tendini danipada unsur-unsur yang boleh dibilang dan yang tldak dibilang. Set-set m i masing-masing dipanggil set finit dan set infinit.
Set-set finit adalah sepenti A. B dan C sementana set-set infinit adalah
C dan D.
Definisi: 2.2
Dua set A dan B dikatakan sama, dan ditulis A = B , jika setiap
unsun di dalam A terdapat di dalam B, dan setiap unsun di dalam B
7
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 16/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
juga tendapat di dalam A . Jika tidak, set A dan B adalah tidak sama
dan dicatat sebagai A
B .
Contoh: 2.1Jikatendapattigaset,A = [J,2,3},B = {3,2, l}danC = {l,2,3,
4} makaA=B
teta p 1A # C dan B C
Kadangkala semasa memerhati set, kita hanya tertanik kepadasebahagian danipada u~sur-unsurset tensebut. Sebahagian danipada
unsun-unsun m i juga adalah merupakan set. Set m i dinamakan subset
kepada set tersebut.
Definisi: 2.3Satu set A adalah subsetkepada set Bjika setiap unsun di dalam
A adalah juga unsun kepada set B . Subset dicatat sebagai A c B .
Contoh: 2,2
JikasetA = {2,3,4,5,6}dansetB = {3,5}makaB c AdanA A, begitu juga B = B .
Bendasankan definisi dan cqntoh di atas, tennyata setiap set jugamerupakan subset kepada set itu sendini. Sebarang subset yang
bukan set itu sendiri dinamakan subset sempunna, iaitu dalam
contoh 2 .2 , B adalah subset sempurna bagi A oleh kenana B = A
tetapi B A.
Jikalau satu set mengandungi kesemua kemungkinan unsun
atau subset yang ingin dibmncangkan i a dinamakan set universal danselalunya dicatat sebagai S atau U. Untuk kemudahan kita set
universal m i juga dipan~gilsebagai set bagi nuang sampel, iaitu set
yang mengandungi kesemua kemungkinan kesudahan (unsur) hasil
danipada satu-satu percubaan rawak.
Satu set yang tidak mengandungi sebarang unsur dinamakanset nul atau set kosong dan dicatat 4 . Ternyata set 4 ’ = { } adalahsubset kepada sebarang set.
Con toh : 2.3
Jika S = {s 1, ~2’ s 3} adalah set universal maka subset yang
8
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 17/466
SET DAN KEBARANGKALIAN
terkandung di dalamnya ialah {s 1 } , {s2}, {53}, {s,, sj} {s~,s3}, {s2, s3},
{si’ s2, S3} dan { 4 ’ } .2.2 Operasi Set
Penggunaan set juga boleh melibatkan usaha mengoperasikan
set untuk membentuk set baharu. Beberapa set boleh digabungkansupaya membentuk set baharu. Ini diperlukan dan adalah sangatmustahak untuk tujuan kita. Sekarang kita kemukakan bebenapa
bentuk operasi set yang selalu dijumpai.
Untuk membantu kita menjelaskan operasi m i, boleh di-gunakan satu jenis ilustrasi yang dinamakan gambarajah Venn. Di
dalam gambarajah Venn, set universal selalunya digambankandengan segiempat tepat dan subset-subset bagi set universal
ditunjukkan oleh kawasan (selalunya bulatan) di dalam segiempat
tepat tersebut. Contoh gambarajah Venn dibenikan sepenti
gambanajah 2.1.
Gambara jah 2.1: Gambarajah Venn bag i set U dan
subset A, B , C , dan D .
Definki 2.1: PeIei~kapJika A adalah subset kepada set universal 5, maka pelengkap
bagi A, ditulis A ’ atau N, adalah set yang mengandungi semua unsur
di dalam S tetapi bukan kepada A.
Secara simbol, definisi 2.1 boleh ditulis sebagai
A’= {s:sesdans*~4}
atau dengan menggunakan gambarajah Venn, A’ ditunjukkan oleh
kawasan benlonek.
U
9
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 18/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
C o n t o h : 2 .1Katalah S = { 0 , 1,2,3,4,5,6,7, 8,9} dan subset A .= {0,1,2,3,7}
maka pelengkap b,agi A ialah A = {4,5,6,8,9}.
Definisi 2.2: Kesatuan
Katalah A dan B ialah dua set. Kesatuan A dan B, dicatat Au B,
adalah set yang mengandungi unsur-unsur yang terkaridung didalam A atau B atau kedua-duanya sekali.
Secara simbol kesatuan A dan B ialãhAuB={x:xeAatauxEB}.
A u B ditunjukkan sebagai kawasan
gambarajah Venn di bawah.
benlorek di dalam
Gambarajah 2.3~A ~ B
Gambarajah 2.2: Pelengkap A
S
10
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 19/466
SET DAN KEBARANGKALIAN
Con toh : 2.2Katalah set-Set A = { 1 , 2 , 3} dan B = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5}, maka
kesatuan antara A dan B ialah set A u B = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5} .Dengan menggunakan definisi atau gambarajah Venn, adalah
tidak sukar untuk menunjukkan bahawa:
Au S=S A uA’=SAu4’= A
Konsep kesatuan bagi dua set bol~hdikembangkan untuk merangkumi kesatuan bagi beberapa set. Jika terdapat set-set A
1,
A2 A, maka kesatuan set tersebut ditakrif sebagai
UA~= A, u A2 u.. u
= {x;x E A1 atau xe A~atau ... atau xeA~
Kesatuan bagi tiga Set A1. A2 dan A3 ditunjukkan sebagai kawasan
berlorek dalam gambarajah Venn 2 .4 .
Definisi: 2.3 Persilangan
Katalah A dan B adalah dua set. Persilangan bagi set A dan B
ditulis A r~ B, adalah set yang mengandungi unsur-unsun yangterkandung di dalam A dan juga di dalam B.
Secara simbol ia boleh ditunjukkan sebagal
A ~ B = {x: xeAdanxEB}.
Gambarajah 2.4: A, ~ A, ~ A, =
1 1
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 20/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
A ~ B = {2 , 4}
Manakala dengan gambanajah Venn A r~B ditunjukkan sebagai
kawasan berlonek dalam gambarajah 2.5.
S
G am ba r aJa h 2.5: Kawasan berlorek menunjukkanBetA nB
Contoh: 2.3Katalah A = {1, 2 , 3 , 4, 5 } dan B = {2 , 4, 6 , 8 , 1 0} maka
persilangan A
dan B
ialah set
Definisi 2.3 boleh dikembangkan untuk mengambilkira
pensilangan bagi beberapa set. Jika A1 , A 2 A~ialah set-set maka
persilangan Set-set tensebut ialah set yangmengandungi unsur yang
menjadi ahli kepada kesemua set tersebut.
n A~= A1 n A2 n ... nA~xe A~dan x C A2 dan ... dan x
Berdasarkan definisi persilangan adalah tidak sukar untuk menunjukkan bahawa
AnS= A
A n A’ = 4 ’
Definisi 2.4: Tak Bercantum
Jika persilangan dua set A dan B tidak mengandungi sebarangunsur, A n B = 4 ’ . maka set A dan B dikatakan tak bercantum.
Berdasarkan definisi di atas, ternyata set A dan pelengkap bagi
A adalah dua set yang tak bercantum oleh kerana A n A’ = 4 ’
12
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 21/466
SET DAN KEBARANGKALIAN
00G am bara jah 2.6: Se t A dan Badalah tak bercantum
Jika dua set A dan B tak bercantum maka set A dan B jugadipanggil saling bereksklusif.
Definisi 2.5: BezaanKatalah terdapat dua set A dan B . Bezaan A daripada B, dicatat
A — B, adalah set yang mengandungi unsunyang terdapat di dalam A tetapi tidak dalam B.
G am bara jah 2.7: K a w a s a n ber lorek lalal,
set A — B .
Bezaan A dan B sebenannya dapat digambarkan juga oleh
konsep operasi yang telah dibenikan sebelum m i iaitu
A—B=AnB
Konsep operasi set sebenarnya boleh dikembangkan untuk melibat gabungan operasi set. Set-set bahanu yang terjadi hasil
S
A
1 3
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 22/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
campuran pelengkap, kesatuan dan persilangan dapat dijelaskan
dengan menggunakan gambarajah Venn. Di sini diberikan beberapabentuk operasi yang selalu ditemui untuk latihan. Diharapkanpelajar-pelajar mencuba dan tunjukkan dengan melukis gambarajahVenn serta melorekkan kawasan-kawasan berkenaan.
A u B = B u A dan A n B = B n A
(A u B) u C = A u (B u C)(A n B) n C = A n (B n C)
A n (B u C) = (A n B) u (A n C)A u (B n C) = (A u B) n (A u C)
(A’)’ = A(A u B)’ = A’ n B ’ (A n B)’ = A’ u B ’
A n (A u A’) = A(A n A) u (A n A’) = A
2.3 Percuhaan Rawak dan Ruang Sampel
Dalam kajian teori kebarangkalian kita tidak boleh Ian dan
menganggap keadaan han-han yang berlaku sebagai hasil dan satupencubaan yang belum tentu kesudahannya. Keadaan~sepertiseorang pelajar mengambil pepeniksaan misalnya adaiah tentakiuk
kepada kemungkinan lulus atau tidak lulus. Seorang individu dipilih
dan diperhati berat badannya,juga mempunyai kemungkinan beratyang masih belum tentu. Keadaan-keadaan sebegini dalam kajian
kebanangkalian adalah dianggap sama pnosesnya sebagai percubaanmelambung duit syiling dan memerhati kesudahannya. Sama ada“ekor” atau “kepala” yang muncul adalah masihbelum pasti selagi
pencubaan itu belum selesai. Jadi di sini kita benhadapan denganbentuk percubaan yang benunsur tidak pasti akan kesudahannya.
Percubaan sebegini dinamakan percubaan rawak.
Definisi: 3.1Percubaan rawak ialah sesuatu yang dilakukan dalam keadaan
tertentu di mana kesudahannya adalah tidak pasti.Danipada konsep percubaan rawak yang mudah ml kita akan
dapat menghayati keadaan atau “percubaan” yang benlaku
sebenarnya.Di dalam memerhati konsep percubaan rawak tadi kita
bertemu dengan beberapa kemungkinan, hash daripada percubaan
14
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 23/466
SET DAN KEBARANGKALIAN
tersebut. Hasil daripada satu-satu percubaan m i dinamakankesudahan bagi satu percubaan rawak. Kesemua kesudahan
m iadalah merupakan satu set yang jika dihubungkan dengan konsepdan seksyen 2 .1 Ia adalab merupakan set universal.
Definisi 3.2: Ruang Sampel
Set yang mengandungi kesemua kemungkinan kesudahandaripada satu-satu percubaan rawak dinamakan set bagi ruangsampelatau ringkasnya ruang sampel dan dicatat sebagai S .
Sebagai contoh dalam percubaan~melambung duit syiling
sekali, kepala ‘K ’ dan ekor ‘E ’ adalah merupakan kesemuakemungkinan kesudahan percubaan tersebut. Set S = {K, E} mladalah merupakan nuang sampel.
Sebagai ingatan, harus kita perhatikan juga bahawa ruangsampel itu sebenarnya bukan sahaja ditentukan oleh percubaan. Ia
juga ditentukan oleh tujuan percubaan itu sendini. Katalah, sebagai
misalan, percubaan melambung dua duit syiling sekali. Kemung-kinan kesudahan adatah set
S = {KK, KE, EK, EE}.
Tetapi jika kita hanya berminat kepada bilangan “kepala” yang
keluar, maka cuma tiga kesudahan sahaja yang menjadikan ruangsampel iaitu
S = {0 , 1 , 2}.
2.4 Peristiwa
Kita perhatikan bahawa di dalam nuang sampel terkandungunsur yang terdiri danipada beberapa kemungkinan kesudahan.Tiap-tiap kesudahan m i juga dinamakan titik-titik sampel ataupenistiwa mudah. Sebarang kombinasi penistiwa mudah yang
menjadi minat kita adalah merupakan subset kepada ruang sampel.
Subset m i kita namakan peristiwa.
Definisi 4.1: Peristiwa
Penistiwa adalah merupakan subset kepada ruang sampel.
Kemungkinan penistiwa hanya merupakan subset yang
mengandungi satu titik sampel adalah jelas dan definisi diatas. Penistiwa begini adalah dipanggil peristiwa mudah. Penistiwayang mengandungi kombinasj penistiwa mudah dipanggil penistiwa
majmuk. Manakala penistiwa yang mengandungi kesemuapenistiwa
1 5
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 24/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
d m dalam ruang sampel dipanggil peristiwa benar. Sementara
peristiwa yang tidak mengandungi sebarang unsur dipanggilperistiwa nul.
Defrnisi 4.2: Peristiwa Saling Bereksklusif
Dua peristiwa A dan B adalah saling bereksklusif jika
pensilangan di antara A dan B adalah penistiwa nul.
Definisi 4 .2 memberi gambaran bahawajika A dan B adalah duaset, silangan set m i ialah set nul; iaitu A n B = 4 ’ . Atau dengan katalain set A dan B adalah tak bercantum.
Dengan bahasa yang Iebih mudah, penistiwa A dan B adalahsaling bereksklusif jika sekiranya penistiwa tidak boleh benlaku
secara serentak.
Contoh: 4.1
Bincangkan percubaan melambung dua duit syiling sekali.Kemungkinan kesudahan:
S = {KK, KE, EK, EE}
= {S~,~2’ 53, 54= {KK}, ~2 = {KE}, 53 = {EK} dan 54 {EE} adalah titik-titik
sampel atau penistiwa mudah.
Jika kita taknifkan A sebagai peristiwa untuk mendapatkan satu K maka A adalah penistiwa yang mengandungi titik-titik sampel, ~2
dan 53 atau A = {KE, EK}.
Jika B adalah peristiwa untuk mendapatkan dua K, maka
B = {KK}.
adalah penistiwa mudah.
Penistiwa untuk mendapatkan sekurang-kurangnya satu K adalahmerupakan kesatuan penistiwa A atau penistiwa B iaitu
A u B = {KE, EK, KK}.
Contoh: 4.2
Perhatikan pereubaan mencampak dua buah dadu sekali.Katalah kita berminat kepada jumlah “.“ yang keluar. Kemungkinankesudahan ialah
S = {2 , 3,4,5,6,7, 8,9, 10 , 1!, 12} .
16
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 25/466
Kandungan
Muka Surat
Prakata
BAR 1
Pengenalan 1
BAR 2Set dan Kebarangkalian 6
BAR 3
Taburan Pembolehubah Rawak 52
BAB 4
Set-set Beberapa Pembolehubah Rawak 86
BAR SJangkaan Matematik 1 .3 0
BAB 6Taburan-taburan Khusus: Diskrit 1 7 4
BAB 7Taburan-taburan Khusus: Selanjar 207
BAR STeori Persampelan 233
BAR 9
Teori Penganggaran 258BAR 10
Ujian Hipotesis: Teori 295
BAR 11Ujian Hipotesis: Penggunaan 3 31
BAR 12
Analisis Varians 369
BAR 13
Regresi 404
Senarsi Istilah 449
vi’
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 26/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 27/466
KEBARANGKALIAN DAN STATI5TIK
Kita perhatikan unsur-unsur dalam set S adalah nilai-nilai dan 13
hingga 2 yang tak holeh dibilang. Titik-titik sampel sebenarnyatidak tertakrif pada satu-satu titik tetapi pada satu selang tertentu.
Begitu juga dengan ruang sampel S .
S = {x; 3 < x c 8}.
Dan contoh-contoh yang telah dikemukakan kita dapat
membuat kesimpulan bahawa ruang sampel boleh dibahagikankepada tiga kategori. laitu ruang sampel yang mengandungi unsur-
unsur yang boleh dibilang yang dipanggil ruang sampel finit, ruangsampel yang infinit terbilang seperti contoh 4.3 dan ruang sampel
yang ditakrif di atas selang iaitu ruang sampel tak terbilang
sebagaimana contoh 4 . 4 .Dalam kebanyakan kes ruang sampel finit dan infinit terbilang
tidak diasingkan dan dipanggil ruang sampel diskrit. Sementara
ruang sampel tak terbilang dipanggil ruang sampel selanjar.
2.5 Mengira Titik Sampel
Satu masalah dalam memerhatikan kesudahan percubaanràwak ialah menentukan jumlah unsur di dalam ruang sampel ataupenistiwa. Masalah m i akan menjadi lebih besar bila percubaanadalah sukar dan menghasilkan titik sampel yang banyak. Konsep-
konsep yang digunakan untuk mengira jumlah unsur diberikansecara ningkas di sini.
Teorem: 5.1Jika satu operasi boleh dijalankan dengan n
1 cara danjika dan
setiap cara operasi kedua boleh dijalankan dengan n 2 cara, makakedua-dua operasi boleh dilakukan bersama dengan n, x n2 cara.
Contoh: SiBerapa banyak titik sampel jika dua dadu dicampak serentak.Dadu pentama ada 6 unsur 1 , 2, 3, 4 , 5 , 6
Dadu kedua ada 6 unsur 1 , 2, 3, 4 , 5 , 6
Jadi pasangan yang boleh dibentuk dan kedua-dua dadu ialah1 dengan 1 , 2,..,, 62 dengan 1 , 2,..., 6
1 8
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 28/466
SET DAN KEBARANGKALIAN
6 dengan I, 2 6
yakni 6 x 6 cana.Pninsip-pninsip dani teorem 5 .1 di atas bolch dikembangkan
kepada openasi yang melibatkan lebih dad dua set.
Teorem: 5.2
Jika A,,...,A~ set-set openasi yang masing-masing mengandungi
in,. in 2 . . . , in~cana maka n — pasangan openasi bersama bolch
dilakukan dengan in 1 x x . . . x m~cana
Contoh: 5.2
Tendapat 5 jenis sabUn, 3 jenis ubat gigi dan 2 jenis syampu
dijual di sebuah kedai. Seorang suni numah ingin membeli satubanang bagi tiap-tiap jenis. Ada berapa cara ia dapat membelinya.
Sun numah m i mempunyai 5 cara untuk memilih sabun.
Dani tiap-tiap satu jenama sabun ia boleh memilih 3 jenis ubatgigi.
Dani kedua banang m i tendapat 5 x 3 cara.
Dan tiap-tiap kombinasi sabun dan ubat gigi dia boleh memiih2 jenis syampu.
Jadi kesemua cana ialah 5 x 3 x 2 cana.
Analisis PilihaturKadang-kadang dalam mengina unsun dalam ruang sampel kita
hanya benminat kepada set yang mengandungi unsur-unsur yangdisusun mengikut aturan. Yakni satu titik itu dianggap sama jikaobjek yang terkandung adalah sama; begitujuga dengan aturan atau
kedudukan objek itu juga hanus sama.Sebagai contoh A, B, C adalah tidak sama dengan B, C, A kerana
aturannya tidak sama. Cara untuk mendapat junilah aturan ml
dinamakan analisis pilihatun.
Definisi: 5.1Analisis pilihatur ialah susunan bagi kesemua atau sebahagian
dan set bagi objek-objek.
1 9
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 29/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 30/466
SET DAN KEBARANUKALIAN
Jika kita gunakan teonem 5 .3 dengan senang kita boleh
tunjukkan ia sama dengan 720 cana iaitu
to p 3 = = 10 . 9. 8 = 720.
Teorem: 5.4Jumlah piihatur yang benbeza bagi n objek yang terdini dani n,
n . , 1 jenis yang benlainan ialah
n,!n2! . . .
Contoh: 5.5Dengan benapa canakah dapat dmsusun 3 lelaki dan 2
perempuan untuk memegang 5 jawatan yang berlainan?
Penyelesaian:
Jumlah susunan yang benbeza ialah
5 !
laitu terdapat 10 cara susunan.
Kadangkala kita memenlukanjuga pengiraanjumlah pilihatur nobjek diambil I c setiap kali bila objek yang sama dibenarkanberulang. Keadaan m i menyebabkan pemiihan pertama danpilihan seterusnya adalah dan n objek, sehingga kita mendapat
n.n...n ~,~-~1 = Ilk k- kali
cara pemilihan.
Contoh: 5.6
Satu uncang mengandungi 5 biji bola A, B, C , D danE. Katalah
kita ingin mengambil 3 biji bola yang dipilih satu lepas satu.
Kes A : Apakah jumlah pilihatur jika bola yang diambil tidak
dimasukkan semula ke dalam uncang.
Penyelesaian:
Cabutan pertama terdapat 5
pilihatur A, B, C, D dan E. Untuk cabutan kedua cuma terdapat 4 pilihan oleh kerana satu danipada
bob tersebut sudah diambil. Cabutan yang ketiga cuma terdapat 3
21
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 31/466
KEBARANGKALIAN DAN 5TATISTIK
pilihan olch kenana 2 bola sudah diambil. Otch ,tu tendapat 5 x 4 x
3 = 6Ocara untuk memilih 3 biji bola yang diambil satu pensatujika
gantian tidak dilakukan.Kes B : Apakah jumlah pilihatun jika bola yang diambil
dimasukkan halik ke dalam uncang.
Penyelesaian:
Cabutan pentama tendapat 5 piihan. Begitujuga cabutan keduadan ketiga. Oleh itu tendapat 5 x 5 x 5 = 53 = 125 cana memilih 3
biji bola dan 5 jikalau gantian dibenankan.
Analisis Gabungan
Jika dahulu, di dalam analisis pilihatur susunan objek adalahdianggap mustahak, maka di dalam analisis gabungan ia dilupakan.Yakni jika (A , B, C ) adalah satu susunan maka Ia dianggap sama
dengan Susunan (B , C, A ) atau (A , C, B ). Apa yang dikira, di sini, ialahobjek di dalam susunan walaupun atunan atau kedudukan objeknya
benbeza.
Definisi 5.2Gabungan ialah penyusunan n objek kepada dua set yang
masing-masing mengandungi r dan n — r unsur.
Teorem: 55
Jumlah gabungan n unsur yang berbeza diambil r Setiap kali
ialah
I 1=r!(n —
Perhatikan bahawa analisis gabungan m i adalah benhubung
dengan analisis piihatur dalam bentuk
= PICk
m i adalah diperolehi oleh kenana pilihatur n objek diambil k setiap
kali dapat dianggap sebagai memiih gabungan objek kemudianmengaturnya mengikut susunan. Jumtah susunan yang boleh dibuat
tenhadap I c objek ialah kPk = k!. Dengan teonem 5 .1 kita akan dapatkeputusan di atas.
22
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 32/466
SET DAN KEBARANGKALIAN
Contob: 5.7
Danipada 8 lelaki dan 2 penempuan dapatkan jumlah jawatankuasa benlainan yang boleh dibentuk jika jawatankuasatensebut hanus mengandungi 2 lelaki dan I penempuan.
Penyelesaian:
Jumlah cana memilih 2 danipada 8 lelaki ialah
= = 28
Jumlah cana memilih I perempuan dan 2 penempuan ialah
= 2 ! = 2Danipada tiap-tiap ahli jawatankuasa penempuan tendapat 28 canauntuk memilih ahli lelaki. Jadi tendapat 2.28 jawatankuasa berlainanyang boleh dibentuk dan 8 lelaki dan 2 penempuan.
2.6 Kebarangkalian
Danipada pencubaan rawak kita telah menemui konsep set bagi
ruang sampel S dan subset atau kelas bagi subset yangmengandungisebahagian danipada S . Sekanangkita penhatikan pula hubungan di
antara set dan subset dalam bentuk hubungan angka. Kitapenhatikan bahawa jika A adalah satu penistiwa yang digambankan
oleh subset A, dan S adalah nuang sampel, maka kemungkinan
benlakunya penistiwa A adalah bengantung kepada t i t ik - t i t ik sampeldi dalam subset A. Oleh itu untuk mengetahui kenapnya berlaku
penistiwa A adalah wajar jika dibandingkan titik-titik di dalam A
dengan titik-titik sampel di dalam S. Penbandingan m i melahmnkan
konsep yang dinamakan k ebanangkalian.
Definisi: 6.1
Kebarangkalian bagi sebanang penistiwa A ialah jumlah unsuryang tendapat dalam A benbanding dengan jumlah unsur yang
tendapat dalam S. Atau ditulis
P(A) =
di mana ‘~menggambankanjumlah unsur di dalam set benkenaan.
23
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 33/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 34/466
SET DAN KEBARANGKALIAN
Katalah C adalah penistiwa mendapatkan jumlah genap.C = {(t, 1),(l,3),(2,2),(3, 1),(t, 5),(2,4),(3,3)
(4, 2), (5, t), (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2 )(4, 6), (5, 5 ) , ( 6 , 4 ) , ( 6 , 6 )}
Oleh itu
IC ~ 18P(C) = w = =
Definisi 6 .1 yang dikenali juga sebagai model kebanangkalian
kiasik adalah melibatkan pengiraan jumlah unsun dalam penistiwa
dan nuang sampel. Syarat utama tiap-tiap unsun atau titik sampeladalah dianggap mempunyai peluang yang sama untuk benlaku.
Atau dengan kata lain, kebanangkalian bagi satu-satu titik sampel
adalah sama sehingga untuk mengetahui kebarangkalian bagi satu-
satu penistiwa dalam kes m i kita hanya penlu tahu kebanangkalian
b a g i t it ik-.t it ik sampel tensebut.
C o n t o h : 6 .3Satu dadu dibaling dan dipenhatikan jumlah’.’ yang muncul.
S = {t, 2 , 3,4, 5 , 6}
S = {Sl.52.53,S4.S5.Se}
maka
IS i} I= iw ~‘
Jika kita taknilkan A sebagai penistiwa untuk mendapatkan nombongenap, maka
P ( A ) = P({52}) + P({S4}) + P({56})
t I t t
= 2
Jika B adalah penistiwa untuk mendapatkan sekurang-kurangnya 2
makaP(B) = P({51}) + P({52})
1 t 1=
25
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 35/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 36/466
SET DAN KEBARANGKALIAN
11 1P(A) = =
Katalah satu lagi penistiwa, B adalah penistiwa mendapatkan
sekunang-kunangnya satu ekor. Maka B = (KE, EK, EE}
Dan
21 t 2 11P(B) = 1,1 + + E~’I
5
9
Kita perhatikan bahawa definisi6.2 adalahlebih umum dan 6.t.
Ia boleh digunakan untuk kes titik sampel yang mempunyai sama
peluang untuk berlaku iaitu dengan mengambil pembenat yang
sama bagi setiap titik. Sebagai contoh, satu pencubaanmenghasilkan n titik sampel yang sama peluang untuk berlaku.
Dengan mengambil sebagai pemberat, kita akan dapat mengina
kebanangkalian bagi sebanang penistiwa. Jika penistiwa A
mengandungi4unsunmakaP(A) = ! +! +! + = ~.iaitusama
seperti menggunakan definisi 6.t.
Bagaimanapun dalam pnaktiknya’kita tidak dapat menentukanpeluang bagi satu-satu titik sampel untuk benlaku. Untuk mengatasimasalah m i pemberat boleh dianggarkan dengan memerhati
bilangan kekerapan kesudahan, hasil dan percubaan berkenaanyang diulang beberapa kati. Pemberat yang diperolehi dengankaedah m i dinamakan kekenapan nelatif.
Contob: 6.6
Satu duit syiing dilambung n kali dan dipenhatikan bilangan
kepala yang keluar. Katatah keputusan adalah seperti jadual 6.1.
n K K f/K)5 2 3 2/5
10 3 7 3/1020 7 13 7/20
27
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 37/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
50 18 32 18/50200 105 95 105/200
5 0 0 2 5 3 24 7 2 5 3 / 5 0 0
Jadual 6 .1 : Keputusan danipada percubaan melambung duit syiing n
kali.
Danipadajadual 6 .1dm atas kekenapan nelatif yang dicatatf/K)adalah menggambarkan bilangan K yang muncul berbandingdengan jumlah bilangan n kali.
Bagi sebanang penistiwa A kekenapan nelatmf bagi A di dalam ii
pencubaan ialah
f~(A)= — x (Jumlah kekerapan A benlaku).
Definisi: 6.3
Kebanangkalian bagi sebarang penistiwa A ialah
P(A) = had f (A)U—. ~
Had dalam definisi 6.3 diwujudkan supaya P(A) dapat
didefinisikan. Definisi jelas menunjukkan 0 < fjA) < 1 bagi
sebanang nilai it. maka P(A) memenuhm syarat(i ) 0 ~ P(A) ~ 1
(ii) E(Ø) = 0
( i m m ) P(S) = 1
Definisi di atas dinamakan definisi bagi kebarangkalian kekerapan
nelatif.
2.7 Aksinm Keharangkalian
Adalah nyata danipada ketiga-tiga definisi yang telahdibincangkan, bahawa hanya percubaan yang menghasilkan ruangsampel diskrit sahaja yang boleh diselesaikan. m i adalah tidak
mencukupi kenana masalah kebarangkalian juga boleh melibatkankes-kes selanjar. Juga masalah penginaan ruang sampel akan
28
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 38/466
SET DAN KEBARANGKALIAN
semakin sukan bila pencubaan menjadi semakin rumit bentuknya.
Begmtu juga untuk mengulang pencubaan berkali-kali adalah, dalamkebanyakan kes, tidak mungkin. Daripada masalah-masalah m itimbul model kebanangkalian matematik yang bebas dani syaratpenggunan yang telah disebutkan tetapi boleh digunakan untuk kesemua keadaan.
Definisi: 7.1
Satu ukunan kebarangkalian ialah satu fungsi P yangmemadankan unsun-unsun dalam nuang sampel 5, kepada nombon
nyata di mana aksiurn-aksium benikut dipenuhi:(i ) PM) ~ 0 bagi sebarang A c S
(ii) P(S) = 1
( i i i ) jika A1. A2, . . . adalah subset di dalam S dan ia tak
bencantum maka
P( t’4~~= f p(A)
Bendasankan definisi m i ternyata kebarangkalian adalah nilal-nilai nyata bagi fungsi set P yang d ip a n g g il ukuran kebarangkalian
atau ningkasnya kebanangkalman. Aksium-aksium (i ) dan (ii)menentukan yang ukunan kebarangkalian adalah bukan negatifdannilainya di antana 0 dan 1 . Aksium ( i i i ) menunjukkan bahawa
kebarangkalian bagi gabungan penistiwa yang saling beneksklusif
adalah jumlah kebarangkalian bagi setiap penistiwa sebagaimana
yang dijelaskan oleh d e f i n m s m sebelum m i .Harusdiingat definisi 7 .1 tidak membeni tahu apakah bentuk
fungsi kebarangkalian P dan seterusnya kebanangkalman bagi satu-
satu penistiwa. Tetapi ia menghadkan fungsm P kepada syanat-syarat
tertentu dan setenusnya cara-cana untuk mendapatkan ukurankebarangkalian.
2.8 Hukum Kebarangkalian
Sifat-sifat fungsi set kebanangkalian yang timbul dan aksium-aksium boleh disenaraikan dengan menggunakan teonem-teorem
berikut.
Teorem: 8.1Jika A dan A’ adalah dua penistiwa dan A’ adalah pelengkap
bagi A makaP(A’) = 1 — PM)
29
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 39/466
KERARANGKALIAN DAN STATISTIK
P(A’)= I — P(A)
Jika A, dan A2 adalah subset kepada S di mana A, ~ A2
maka P(A1) ~ P(A2)
Bukti~Gunakan gambanajah Venn.
A2 = A, u (A’1 ~ A~)dan A1 ~ (A’1 r~ A2) = 4 ’
maka dengan Definisi 7 .1 (iii)
A2
Bukti
Olehkerana S = Au A’danA r~A ’ = 4 ’
maka P(S) = P(A u A’)= PM) + P(A’)mengikut Definisi 7 .1 (iii)
1= PM) + PM’)
Teorem: 8.2
P(4~)= 0
Bukti
dengan Teonem 1 ambil A = 4 ’ supaya A’ = S maka
P(4’) 1 — P(S)=0
T eo rem : 8.3
A’, (mA2
30
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 40/466
SET DAN KEBARANGKALIAN
Oleh kerana
dan
P(~4 2)= P(A~)+ P(A~n A2)
OIeh kerana P(A1 r~ A2) ?~0 [dan 7.1(i)] maka
P(A2) ~ P(A~)
Teorem: 8.4
Jika A dan B adalah sebarang peristiwa ditaknif di dalam ruangsampel maka
P(A u B ) = P(A) + P(B) — P(A n B )
Bukti: Perhatikan gambarajah Venn.
V / i / A CAns)
dan (ii) P(A~r~ B) = P(B) — P(A ~ B)
gantikan dalam (i )
P(A u B) = P(A) + P(B) — P(A r~ B)
Perhatikan jika A dan B adalah saling bereksklusif maka P(A u B) = P(A) + P(B)
Contoh: 8.1(a ) Katalah sepasang dadu dicampakkan serentak apakah keba-
rangkalia~bagi peristiwa-peristiwa berikut
AuB= Au(A’r~B)dan
B = (A r~ B) u (A r~ B)
Ar (A’ rB)= q5dan(ArB)n(A’r
P(A u B ) = P(A) + P(A’ r B)— (i ) P(B) = P(A r B) + P(A’ n B) (ii)
B)= ~maka
31
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 41/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
(a ) mendapatkan titik 3
(b) mendapatkan jumlah 7 atau 1 1
(c ) mendapatkan jumlab sekurang-kurangnya 3?
Penyelesaian:(a ) Katalah A peristiwa mendapatkan titik 3 . Titik 3 boleh diperolehisama ada dan dadu pertama atau dadu yang kedua. Katalah A
1 peristiwa
mendapatkan titik 3 dan satu dadu dan A2 penistiwa mendapatkan titik 3
dan dadu lain maka
6 6 1 1 1
P(A) = + — =
(b) Katalah A dan B ialah masing-masing penistiwa untuk men-
dapatkan jumlah 7 dan jumlah 11 . Untuk mendapatkan jumlah 7 ,terdapat 6 titik sampel iaitu (1, 6), (2, 5 ), (3, 4), (4, 3), (5,2) dan (6, 1). Danuntuk mendapat jumlah sebelas terdapat 2 titik (5, 6 ) dan (6, 5). Jadi
P(A u B) = P(A) + P(B) — P(A n B)
6 2=
2
9
Peristiwa A n B = 0 oleh kerana tidak ada penistiwa yang boleh
mendapatkan 7 dan 1 1 secara serentak.
( c ) Katalah C adalah penistiwa mendapatkan jumlah sekunang-
kurangnya 3 .
Untuk mengira P(C) adalah agak sukar oleh kerana harus dikirakebarangkalian mendapatkanjumlah 3,4,5 dan seterusnya. Adalah lebihsenang jika ditakriflcan penistiwa C iaitu penistiwa mendapatkan jumlahkurang dan 3 yang terdini dan hanya satu titik (1, 1 ) sahaja.
P(C) =
oleh itu
1 P(C) = 1 — P(C’) = 1 —
35
36
32
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 42/466
SE T DAN KEBARANGKALIAN
Contoh: 8.2
Katalab dan satu kajian mengenai isi rumah di Malaysia, didapatLkebarangkalian untuk si suami merokok ialah 0.8 dan kebarangkalian siisteri merokok ialah 0 .4 . Katalah juga keharangkalian kedua-dua suanu
isteni merokok ialah 0.6. Dapatkan(a) Kebarangkalian kedua-dua suami isteni tidak merokok.
Penyelesaian:
Katalah H penistiwasuami merokok dan Wperistiwa isteni merokok.
Maka
P(H) = 0.8, P(W) = 0.4dan P(H n W) = 0.6
(a) Peristiwa kedua suami isteri tidak merokok ialah
H’nW’= (HuH’)’P(HuW)’= 1—P(IIuW)
= 1—0.6
= 0.4
2.9 Kebarangkalian BersyaratDalam kebanyakan kes kita juga berminat mengetahui
kelakuan peristiwa atau penistiwa-penistiwa, selepas benlakunya
peristiwa itu. Benlakunya penistiwa m i adalah terpengaruh oleh
peristiwa yang benlaku sebelumnya. Sebagai contoh, di Malaysia
setelah beberapa han panas terik akan diikuti pula oleh han hujan
jadi kebarangkalian untuk hujan pada satu han adalah sangatdipengaruhi oleh sama ada han-han sebelumnya panas tenik
ataupun tidak. Keadaan m i membuat kita ingin memerhatikankebanangkalian satu-satu penistiwa, selepas penistiwa itu telah pundiketahui benlaku.
Definisi: 9.1
Katalah A dan B adalah dua penistiwa; kebarangkalianbersyarat bagi B, dibeni A adalah ditaknif sebagai
P (B IA ) =P(A) P(A) # 0 .
33
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 43/466
KEBARANGKALIAN D A N STATISTIK
Perhatikan P(BIA) adalah kebarangkalian berlakunya penistiwa Bsetelah diketahui penistiwa A sudah pun berlaku. Dalam kes m l kita
seolah-olah menghadkan penbincangan kita kepada penistiwa-penistiwaselepas benlakunya penistiwa A. Ruang sampel adalah
dikunangkan kepada titik-titik yang tenkandung dalam subset
kepada nuang sampel asal. Subset m i hanya mengandungi unsur-unsur yang berkemungkinan selepas A telah benlaku. Kita
perhatikan contoh benikut.
Con toh t 9 .1Pencubaan melambung duit syilihg dua kali
Ruang sampel S .= {KK, KE, EK, EE}.
Katalah penistiwa A ialah “kepala”keluar pada lambungan pertama.Kesudahan seterusnya hanya bergantung kepada kesudahan dalamlambungan yang benikutnya iaitu
5 ’ = {K, E}.
S sekanang akan menjadi nuang sampel yang baru setelahbenlakunya penistiwa A. Untuk mencani kebanangkalian penistiwabenikutnya, kita hanya penlu membincangkan S. Sebagaicontoh,jika B peristiwa mendapatkan “kepala” pada lambungan kedua maka
P(K pada lambungan kedua) = =
Penhatikan jika kita gunakan definisi, kita akan mendapatkeputusan yang sama.
PBA — P(AnB)P(K,K)
P(A) — P(K)
41
12
2
di mana P(A n B) dan P(A) diperolehi dengan menggunakan nuang
sampel yang asal.
Con toh : 9.2Katalah danipada keputusan banci penduduk kita dapati
34
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 44/466
Umur Menganggur Bekeija Jumlah
10,000 10,500lelaki Iebthd a n 30 tahun
500
lelaki antara20-30 tahun
1,000 10,000 11,000
kiaki kurang
dan 20 tahun 5,000 5,000 10,000
Jumlah 6,500 25,000 31,500
Katalah seonang penduduk lelaki pekan itu dipilih secana nawak dandidapati dia berumur 25 tahun. Apakah kebarangkalian seonang
penganggur?Katalah P penistiwa seonang benumur 20 - 30 tahun, dan M
penistiwa seonang lelaki bekenja. Maka kebanangkalian penistiwa
benkenaan ialah
P(M n P) — 1000/31,500P(MIP) = P(P) — 11000/31,500
1 1
Perhatikan jika kita gunakan nuang sampel yang tinggal selepas
peristiwa P benlaku
1000 .P(MIP) = 11000
1 1
sama sepenti keputusan dahulu.
Teorem: 9.1Jika dalam satu percubaan, penistiwa-peristiwa A dan B botch
berlaku, maka
P(A n B ) = P(A) - P (B IA )
35
S E T DAN KEBARANGKALIA~
tabunati tenaga buruh di sebuah pekan ken! ada!ah sepenti benikut.
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 45/466
KEBARANGKALIAN DAN 5TATISTIK
Teonem 9.1 dipeno!ehi dengan mendarabkan kedua pihak dani
definisi 9.! dengan P(A).Definisi 9.! bo!eh ditulis bagi kes yang !ebih umum. Jika A
1, A2, Ak adalah k penistiwa-penistiwa maka kebanangka!ian bersyanat
A~dibeni A1. A2 Ak_ hen!aku ia!ah
P(A1 n A2 ... nAn)P(AkIAI. A2 A%1) = ~ A2 ... n
dan kebanangka!ian kesemua A1, A2 ..., A,~ben!aku bo!eh ditu!issebagaiP(A~nA2...nAk) = P(A1)P(A2IA~)P(A3~A1nA2)...P(Ak
IAlnA2...nAk~l)
2.10 Peristiwa Tak Bersandar
Da!am seksyen !epas kita perhatikan keadaan di manabenlakunya satu-satu penisti~ayang mempenganuhi kebanangkalian
penistiwa-penistiwa set epasnya. Tendapat juga kes di mana satu-satupenistiwa yang benlaku tidak mempenganuhi penistiwa lain
~e1epasnya. Keadaan begini menimbulkan konsep ketak -bersandanan yang menggambarkan hubungan kebanangka!ian
antana penistiwa-penistiwa.
Definisi: 10.1
Dua penistiwa A dan B ada!ah tak bensandanjika dan hanyajikaP(A n B) = P(A) P(B)
Definisi di atas bo!eh juga ditu!is da!am bentuk P(A B) = P(A)
dengan menggunak~ndefinisi kebarangkalian bensyanat.
Perhatikan bahawa persamaan di atas ada!ah menunjukkan
penistiwa A takbensandar kepada penistiwa lain B jika
kebanangkalian ben!akunya tidak bergantung kepada sama adabenlaku atau tidaknya penistiwa B. Juga kita dapat penhatikan
dengan menggunakan hubungan
P(A n B) = P(B) P(A] B ) = P(A) P(B)
36
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 46/466
SE T DAN KEBARANOKALIAN
P ( B ) P(A B ) = P ( A ) P ( B )
benenti P ( B ) = P(A B )
bahawa jika A takbensandar kepada B , maka B juga takbensandarkepada A .
Contoh 10 .1Sepasang duit syi!ing di!ambungkan sebanyak 2 kali. Apakah
kebanangka!ian untuk mendapat 2 kepa!a atau 2 ekon?Katalah A~,A
2 , B 1 . 82 ada!ah menupakan penistiwa-penistiwa
untuk mendapatkan 2 kepa!a pada !ambungan pertama, 2 kepa!apadalambungankedua, 2 ekon pada lambungan pertama dan 2 ekonpada !ambungan kedua. Untuk mendapatkan dua kepala dan duaekon kita harus mendapat 2 kepa!a pada !ambungan pertama dan 2
ekor pada !ambungan kedua atau 2 ekon pada !ambungan pentama
dan 2 kepala pada lambungan kedua yakni
(A~n B2) u (‘42 ~ 83
Kita perhatikan A 1 dan B2 senta A2 dan B~adalah masing-masingtak bentanda kerana !ambungan pentama tidak mempengaruhikeputusan lambungan kedua o!eh itu
n B2) u (A 2 n BI)] = P (A1) . P (B2) + P(A2) P,(B1)
(i\ (i\ (~\ (1
= ~) ~4J+
8
[Penistiwa A 1 n B2 dan A 2 n B1 adà!ah saling bereksklusifl]Dan definisi 10.1 kita boleh bentukkan definisi yang lebih
urnum yang melibatkan k peristiwa, iaitu A 1 , A2 A 1 adalah tak
bersandan jika dan hanya jika
P(A1 n A 2 ... n A 1) = P(A1) - PM2) ~. P(A,j
Sebagai ingatan kita seharusnya dapat membezakan antana
penistiwa saling beneksk!usif dan penistiwa tak bensandan. Penistiwasaling bereksk!usif kebanangka!ian bagi kesatuan ialah jum!ah
37
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 47/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTII(
kebanangkalian tiap penistiwa, sementana bagi penistiwa tak bersandan kebanangkalian bagi sa!ing tindak ada!ah hasil darab
kebanangka!ian setiap penistiwa.
2.1! Hukum BayesDa!am keadaan sebenan, penistiwa yang benlaku sela!unya
bergantung kepada penistiwa yang ben!aku di peningkat
pertengahan. Pengetahuan berkenaan kebanangka!ian penistiwa
peningkat pentengahan m i membolehkan kita mendapatkankebanangka!ian penistiwa yang dik ehendaki. Sebagai contoh
kebanangkalian seonang pelajan !u!us satu-satu pepeniksaan adalahbenkait napat dengan penistiwa ia najin menalaah ataupun malas.
Jika kita mempunyai pengetahuan berkenaan kebanangkalian
untuk ‘najin’ dan kebanangkalian urituk ‘malas’ berserta dengankebarangka!ian untuk !u!us bagi petajan yang najin dan kebarang-
kalian untuk !u!us bagi pe!ajan yang ma!as, maka danipada kenyata-
an m i dapat kita k ina apakah kebanangka!ian seseonang pe!ajan !ulus.Jika A ada!ah penistiwa seonang pe!ajan !ulus serta B dan B ’ masing-masingnya adalah penistiwa najin dan malas, maka
(A) = (A n B) u (A n B ’)
di mana A n B ialah penistiwa pelajan najin dan lulus pepeniksaan
dan A rB’ ia!ah penistiwa pelajan ma!as dan !ulus.
(A) = PM n B) + P(A n B ’)
dan menggunakan definisi kebanangkalian bensyarat da!am seksyen
lepas maka
PM) = P(B) - P (A IB ) + P(B”) P (A IB ) .
Dengan pengetahuan P(B), P(B’), P (A IB ) dan P(A~B)dapat kita kinakebanangkalian untuk peristiwa A.
Keadaan di atas dapat kita sanankan dalam bentuk teorembenikut.
Teorem: 11.1
Jika B~, B2, ... B , ~ ialah penistiwa-pensitiwa saling bereksklusif
dan P(B1) 0, maka bagi sebarang penistiwa A
38
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 48/466
SET DAN KEBARANGKALIAN
P ( A ) = I P(B) P(AIB~)
Contoh: 11 .1Perjalanan sebuahjentena bengantung kepada keadaan harang
gantinya sama ada da!am keadaan haik, kunang baik atau rosak.
Katalah kebarangka!ian jentena benjalan !ancar jika dipasang
dengan barang ganti baik, kunang baik dan nosak adalah masing-masing • 8 , 6 dan 1 . Jika 81, B
2 dan B3 ia!ah peristiwa-peristiwa
barang ganti da!am keadaa’n baik. kunang baik atau rosak dan
mempunyaikebanangka!ianP(B1) = -9,P(B2) = 08, P(B3) =O2dan A ialah penistiwa jentera benja!an lancar. MakaP(A~B3= 8 , P (A~B2)
= 6 dan P(A~B3)= - 1 . Keadaan di atas bo!ehditunjukkan denganmenggunakan gambarajah ranting sepenti benikut:
P (B ,) P(AIB1)
P(82) P(A/B2)
P(83) P(A/6~
Dengan menggunakan teoremP(A) = (-9) ( -8) + (‘08) (6) + (.02) (1)
= :77
Perhatikan PM) juga dipero!ehi dengan menambahkankebanangkalian-kebarangkalian di hujung ‘ranting’ bagi gambarajahranting di atas.
Contoh: 11.2Katalah bola-bola berwanna di dalam 4 buah uncang adalah
berkedudukan sepenti berikut
39
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 49/466
KEBARANOKALIAN DAN STATISTIK
Merah (M)
Bini (B)
Bola Putih (F)
Hitam ( I - I )
Satu uncang dipilih secara rawak dan uncang yang tenpilih, dipiih
satu biji bola. Apakah kebanangkalian mendapatkan bola menah?
Penyelesaian;
P(M) = P ( U 1 ) . P ( M j U1 ) + P ( R 2 ) P(MIU2) + P(U3) . P ( M [ U 3 )
+ P(U4) P (MIU4)
1(2\ i(s\ i(i\ 1(3
= ~i”jo) + + +
= 0.244
Dengan menggunakan gambanajah ranting di muka sunat 41 kita
dapati
P(M) dipenolehi dengan menambah kebarangkalian di hujung
ranting yang bertanda M.
Katalah kita benminat untuk mengetahui kebanangkalian penistiwa
sebelum satu penistiwa tertentu telah pun benlaku. Misalnya dan
contoh pelajar tadi, katalah sekumpulan pelajan telah pun lulus satu
pepeniksaan. Dani pelajar yang lulus m i kita ingin tahu apakahkebanangkalian ia najin; iaitu jika A penistiwa untuk lulus, B dan B ’
adalah masing-masing penistiwa najin dan malas kita ingin dapatkanP(BIA) . Dalam contoh di atas mungkin kita ingin tahu apakah yangmenyebabkan seonang pelajan itu lulus; mungkin kenajinannya atau
mungkin kenana ufisun-unsun nasib baik atau kelemahanpepeniksaan itu sendini.
Uj U2 U3 Ui,
2 5 1 3
3 1 4 2
2 4 2 6
3 2 1 1
40
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 50/466
SET DAN KEBARANGKALIAN
M
4(10
0 1cr~‘10
Li 1/SI
~1o
“4112
0 11~1~4(12
P
H I(~2)
•‘ 1,1418
114B 418
112P 4(8
111
~ 418
M 1(~)
B
p ~
4(12
H
14
41
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 51/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
Teorem: 11.2Jika B
1, B2 B 1 ia!ah peristiwa-peristiwa sa!ing bereksklusif,maka bagi sebanang penistiwa A di mafia PM) 0
P ( B , I A ) = P(B3.P(/~BL - ; r = 1 , 2,..., k
~ P(B~)- P(AIB~)
Teorem: 11.2 dikenali sebagai hukum Bayes. Perhatikan bahawa
teorem di atas boleh juga ditulis sebagai
________ P(B A)P(B~IA)= P(B1nA)±P(B2nA) + .. + P(B1nA)
Bukti:Perhatikan gambarajah Venn berikut.
A
Peristiwa A ada!ah gabungan penistiwa sating bereksklusif B 1 r~A,B 2 n A, .~B 1 iaitu
~B~n A ) 0 (B 2 n A ) u ... o(B~ A)
maka
Dengan menggunakan definisi 9.1
P(B,IA)= P(B,.nA)
42
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 52/466
SE T DAN KEBARANOKALIAN
— ___ P(BrflA) ___
— Pr(BIflA)+...+P(BkflA)
_____ P(Br) P(AIBr) ____
— P,(B,) P(AIB,) + ... + P (B ,,) P(AIBk)
P(Br) . P(AIB, )
— E P(B1 ) P(AIBI)
Contob: 11.3
Katalah dalam kalangan onang yang berumun 35 tahun Iebihterdapat 15 penaTtus yang mengidap keneing manis. Katalah seorang
dokton benjaya mengecam dengan betul, 90 penatus dani pengidapsebagai mengidap penyakit tensebut dan membuat pengecamansatah sebanyak 3 peratus dani bukan pengidap sebagai mengidappenyakit tersebut. Katalah seonang yang benumun 40 tahun telah
dicam oleh dokton tadi sebagai mengidap kencing manis. Apakah
kebanangkalian beliau bukan benan-benan pengidap penyakit
tensebut?
Penyelesaian:Katalah A, dan A2 masing-masing adalah peristiwa doktonmengecam sebagai mengidap dan bukan sebagai pengidap kencing
manis m iKatalahjuga P, adalah penistiwa seorang mengidap dan P2 sebagai
penistiwa bukan mengidap kencing manis.
Kebanangkalian yang dipenlukan ialah: P(P,1A1)
Dengan menggunakan teorem 11.2
PP A — P(P;)P(A,IP,)I ~ P(PI)P(A1~Pd+P(P2)P(AIIP2)
— (15) (9)
— (15) (9) + (85) (03)
135
2605
= 52
Latilnn Bfl 2
2.1 Senanaikan unsun-unsun yang tenkandung di dalam set-set berikut.(a) Set yangmengandungi nombor bulat positif di antana — lOdan10.
43
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 53/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
(b) Set yang mengandungi nombon bulat di antara — 10 dan 10 .
(c ) Set A = {x: x adalah nombon bulat positif supaya 0 -c x -c10}.
(d) SetB = {x:xadalahnomborbulatpositifsupayax2 —2 = 2}.
(e ) SetC = {x:adalahnomborpositifsupayax2 + 50— 1 1 = 0}.
2.2 Jika set S = {0 , 2 , 4};(a ) Senaraikan:
(i ) Semua subset kepada S(ii) Semua subset jati kepada S .
(b) Jika set A = { x : 0 c x c 2} adakah A satu subset kepada 5?
(c ) Jika satu set B = {x: nombon bulat positif di antara 0 dan 2}adakah B subset kepada S?
2.3 Tentukan set manakah yang boleh dikatakan sama:
A = {1 , 3}B = {1 , 2, 3}
C = {x : — 4x + 3 = 0} D = {Bilangan kepala yang keluar bila 3 duit syiling di lambung
senentak).
2.4 Jika set sejagat S = {1 , 2,3,4,5,6,7,8) dan set A = {1 , 3,5, 7}, B ={ 1,2,3,5, 7 }, C = {2 , 4,6,8) dan D = {3 , 4}. Senanaikan semua ujisuryang terdapat dalam set-set benikut:
(a)AuS (b)AnB (c)C’ (d)(C’nD)uB
(e)(SuC)’ (9AnCnD’(g) (A n C)’ n 1 7 (h ) A’ u 1 7
25 Dapatkan A u B dan A n B bagi set-set A dan B di mana
(a ) A= {x:x>0}, B= {x:x=2,3,4,5}(b) A={x=0<x<3}, B={x:1<x<5}(c ) A={x:x>0}, 8 {x:x2—5x+4= 0)
26. Gunakan gambanajah Venn untuk membuktikan bahawa:(i ) A n (A u A’) = A
(ii) (A n B )’ = A’ u B’
(iii) (A u B )’ = A’ h B’
(iv) A n (A u B) A
(v ) (AnA)u(AnA’)=AA n(B u C) = Mn B)uMn C )
44
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 54/466
SE T DAN KEBARANGKALIAN
(vii) A u (B n C) = (A u B) n (A u C )(viii) (A u B ) = A u (A n B ’)
2.7 Buktikan bahawa jika A n B = A maka A n B’ = 4 dan jika A u B = A maka A’ n B= 4 ’ .
2.8 Buktikan bahawa
(a ) AuB=(AnB)u(Anff)u(A’nB)(b) A—B=AnU
2.9 Dan 200 pelajar didapati 60 mengambil matematik, 1 50 mengambil
sejarah dan 30 mengambil kedha-duanya sekali. Benapakah
bilangan pelajar-pelajar yang:
(a ) Tidak mengambil sejarah atau matematik.
(b) Mengambil matematik tetapi tidak mengambil sejarah.
2J0 Katalah dan 1000 orang yang diperiksa didapati 35 mengidap
penyakit darah tinggi, 20 mengidap kencing manis dan 15 mengidaplemah jantung. Juga didapati 8 mengidap darah tinggi dan kencing
manis, 6 mengidap danah tinggi dan Iemah jantung dan 5 mengidap
kencing manis dan lemah jantung. Dua orang didapati mengidap
ketiga-tiganya sekali. Dapatkan bilangan:(i) mengidap lemah jantung sahaja.
(ii) mengidap lemah jantung dan darah tinggi sahaja.
(iii) tjdak mengidap sebarang penyakit.(iv) mengidap kencing manis atau lemah jantung tetapi tidak
mengidap darah tinggi.
(v) tidak mengidap kencing manis atau lemah jantung.(vi) mengidap sekunang-kunangnya dua dan penyakit tersebut.
(vii) mengidap tidak lebih dan satu penyakit sahaja.
2 .11 Dalam percubaan melambung dua dadu enam muka senentak,
senaraikan
(a ) Unsur-unsun dalam ruang sampel.
(b) Unsur-unsun dalam penistiwa
(i ) A di mana A ialah penistiwa mendapat jumlah nombor
permukaan adalah 6 .(ii) B ialah peristiwa di mana jumlah permukaan adalah
genap.
(iii) C ialah penistiwa di mana nombor 1 keluar pada salahsatu dadu.
45
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 55/466
KEBARANGKALIAN D A N 5TATI5TIK
2.12 Satu pencubaan melambung duit syiling benkali-kali sehinggakepala keluar. Senaraikan (jelaskan):
(a ) Unsur-unsun yang tendapat dalam nuang sampel.(b) Unsur-unsun dalam penistiwa A di mana A ialah penistiwa yang
memenlukan sekunang-kunangnya 5 lambungan.
(c ) Unsun-unsun penistiwa B di mana 2 ekor keluar.(d) Unsur-unsun penistiwa C di mana 2 kepala keluan.
2.13 Satu duit syiling dilambung benturut-turut sebanyak 3 kali. Senanai-
kan unsun-unsun kepada:
(a) Kesemua kemungkinan kesudahan.
(b) Penistiwa mendapat 3 kepala.(c ) Penistiwa mendapat kepala pada lambungan yang pentama dankedua.
(d) Penistiwa sekurang-kunangnya satu ekon keluan.
2.14 Dalam satu pertandingan bakat tendapat 10 pesenta di peningkat
akhin. Nyatakan berapa cana untuk memilih
(i ) Johan dan satu naib johan.(ii) Johan, naib johan dan dua pemenang ketiga.
215 Satu bahagian pepeniksaan objektif terdapat 10 soalan. Tiap-tiap
soalan mengandungi 4 piihan jawapan. Dalam benapa earakah satu jawapan yang betul boleh disusun bagi tiap-tiap soalan?
2.16 Dalam satu penmainan judi terdapat 10 angka 0, 1 , 2,..., 9 yang
disusun untuk membentuk 1 nombor 4 angka. Terdapat benapa cana
untuk:
(a) Membentuk 1 nombon untuk hadiah pertama.
(b) Membentuk 1 nombon hadiah pentama dan 2 nombor hadiah
kedua.
2.17 Dalam satu uncang tendapat 1 0 biji bola yang bertanda 0 , 1 , 2 9 .Benapa canakah untuk memilih 4 biji bola jika bola tensebut dipilih
satu-satu dengan bola yang tenpiih dimasukkan balik ke dalam
uncang? Tendapat benapa cara jika bola yang telah dipiih tidak lagi
dimasukkan ke dalam uncang?
2.18 Dalam satu kotak tendapat 5 nekod lagu Melayu ash, 6 rekod lagu
kenoncong dan 3 nekod lagu pop Melayu. Tendapat benapa cara
untuk memilih:
(a ) 4 nekod dani kotak tensebut.
(b) 2 nekod Melayu a sh dani 4 yang dipiih.(c ) 2 nekod Melayu a sh dan 2 nekod kenoncong dani 4 yang dipihih.
46
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 56/466
SET DAN KEBARANOKALIAN
(d) 2 nekod Melayu ash, t rekod keroncong dan 1 rekod popMelayu dan 4 yang dipilih, dan
(e ) Selebih-hebihnya 2 hagu pop Melayu dan 4 yang dipihih.
2.19 Dalam benapa cara dapat disusun 10 nekod di atas satu rak? Berapacanakah jika dalam susunan tersebut dipenlukan 5 lagu ash, 3 lagu
kenoncong dan 2 lagu pop Melayu berada bersama-sama jenisnya?
2.20 Danipada 200 tong buah yang diimport terdapat 4 tong yang
mengandungi buah yang rosak. Ada berapa cana untuk memihih 4
tong supaya
(i ) Tidak terdapat tong yang rosak.(ii) Tendapat hanya h tong nosak.
(iii) Terdapat selebih-lebihnya h tong yang rosak.
2.21 Terdapat 2 pemohon helaki dan 2 pemohon wanita untuk mengisi jawatan A dan B. Jawatan B diisi dengan memihih dan pemohon-
pemohon yang tak berjaya mendapat jawatan A. Tendapat benapa
cana untuk
(a ) Kedua-dua jawatan.
(b) Jawatan A diisi oheh seorang helaki.(c ) Salah satu dan jawatan diisi oleh seonang lelaki.
(d) Kedua-dua jawatan difsi oleh wanita.
2.22 Daham satu uncang terdapat 20 bola putih yang bennombon dan 1
hingga 20, 10 biji bola hijau bennombon h hingga 10 , 40 bola hitambennombon 1 hingga 40 dan 10 bola binu bennombon 1 hingga 10.
Katahah satu bola dipihih secara nawak apakah kebanangkahian
mendapat:
(a) Bola benwanna hitam atau binu.
(b) Bola bennombon 1 , 2 , 3 atau 4 .(c ) Bola bennombon 39 atau 40.
(d) Bola berwarna hijau atau putih dan bennombon 1 , 2 atau 3 .(e ) Sama ada benwama hitam dan bennrnnbon kunang dani 10 atau
benwanna putih dan bennombor kunang dan 10 .
2.23 Kebarangkahian seonang pelajan mendapat gned A, B, C, D dan E
ialah masing-masing 0-h, 0-3, 0-4, 0 -h dan 0-1. Jika E dianggaptidak hulus apakah kebanangkahian seonangpehajar yang mengambil
pepeniksaan:
(a ) Akan huhus .(b) Mendapat gned sekunang-kunangnya C.
47
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 57/466
KEBARANUKALIAN DAN 5TATI5TIK
(c ) Mendapat gned setingginya C.
(d) Mendapat sama ada gred B atau C.
2.24 Jika dalam satu kotak tendapat 15 batang paku yang terdini dan 10yang baik dan 5 yang rosak. Jika 4 paku diambil senentak, apakahkebarangkahian untuk mendapatkan:
(i ) 2 paku rosak.
(ii) Tiada yang nosak.(iii) Selebih-lebihnya 2 paku nosak.
2.25 Jika satujawatankuasa yang mengandungi 3 orang dibentuk denganmemilih dan 5 orang Mehayu, 4 onang Cina dan 2 onang India,
apakah kebarangkahian(a) Seonang Mehayu tenpilih dalam jawatankuasa.(b) Sekurang-kunangnya 2 onang Cina tenpihih.
(c ) Dua onang Melayu dan 1 onang India tenpilih.(d) 2 orang India tenpiih ke daham jawatankuasa; dan(e ) Kesemua bangsa diwakihi daham jawatankuasa.
2.26 Seorang pemandu keneta yang rabun ayam apabiha memandu di
waktu maham mempunyai kebanangkahian -4 untuk melanggan
keneta lain dan kebanangkahian - 3 untuk dilanggan oheh kendenaan
lain. Jika diandaikan seorang nabun ayam memandu di waktu mahamapakah kebanangkahian
(i ) Tenhibat dengan pehangganan.(ii) Tidak tenhibat dengan pehangganan.
Andaikan kedua-dua jenis pehangganan tidak boleh benlaku
senentak.
2.27 Dua buah dadu enam muka dicampak senentak. Apakah
kebanangkalian untuk mendapatkan:
(a) Jumhah penmukaan adahah 4(b) Jumlah penmukaan sekunang-kunangnya 4
(c ) Jumhah permukaan adahah genap(d) Satu dan dadu menunjukkan nombon 2 atau empat(ê ) Jumhah penmukaan genap dan salah .satu dan dadu
menunjukkan nombor 2.
2.28 Biankan S adahah nuang sampeh. Katahah C dan D adaiah duapenistiwa di mana C u D = 5, P(C) = 5 dan P(D) = 8 . Dapatkan
(a) P(C n D)
(b) P(C u D)(c ) P(CjD)
42
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 58/466
SE T DAN KEBARANGKALIAN
Adakah C dan D tak bersandan? Jehaskan.
2.29 Jika A dan B adahah dua penistiwa sahing benekskhusif di mana PM)= 5 dan P(B) = -3 . Dapatkan
(i ) PM’) (ii) P(B’)
(iii) PM u B) (iv) P(A’ n B ’)
(v) P(A’ n B) (vi) PM’ n B ’)
2.30 Jika dibeni P(A) = -6 3 P(B) = -5 2 dan PM n B) = 4, dapatkan
(i ) PM u B ) (ii) PM n B ’)(iii) PM’ u B ’) (iv) PM’ n B ’)
(v) P (A IB ) (vi) P (B IA )2.31 Katalah kebanangkalianseonang pehajan huhus 1,2,3,4,5 atau 6 mata
pelajaran dalam satu pepeniksaan iahah masing-masing - 08 , -2, -4, - 15 ,-0 8 dan 0-02. Jika hanya tendapat 6 mata pelajanan apakahkebanangkahian
(a) Pelajar gagal kesemua mata pelajanan
(b) Lulus sekurang-kurangnya dua mata pelajanan
(c ) Luhus di antana 2 hingga 5 mata pehajanan
(d) Gagah sehebih-hebihnya 3 mata pelajaran.2.32 Buktikan kenyataan-kenyataan berikut:
(a) P(AIB) + PM’IB) = 1 jika P(B) # 0(b) Jika A dan B adalah dua peristiwa bebas maka
P(AIB’) = P(A)
(c ) PM) = P(B). P(AIB) + P(B’) P(AIB’) dengan benpandukan
gambanajah Venn.
2.33 Andaikan sebuah sekohah berasrama penuh mempunyai
kebanangkalian -8 untuk mencapai kehulusan 100% di dalam
pepeniksaan S.R.P. Andaikan juga bahawa setelah mencapaikehulusan 100% kebanangkahian mencapai kehulusan 100% di tahunbenikutnya ialah -7 dan kebarangkahian mendapat kehuhusan 100% didua tahun berikutnya iahah 0-6
(a) Apakah kebanangkalian sekohah tersebut mencapai kelulusan100% di tiga tahun bertunut-turut?
(b) Apakah kebanangkahian mencapai kehulusan 100% di dua
tahun bentunut-tunut?2.34 Dani ahhi-ahhi sebuah jawatankusa kampung yang terdini dan 4
onang Mehayu, 2 onang Cinadan 3 onang India, 3 onang dipilih secananawak untuk berjumpa pegawai daenah. Dapatkan kebanangkalian:
49
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 59/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 60/466
SE T DAN KEBARANGKALIAN
benih kehapa
behian adalah
~d) Saw benih nosak jika diketahui ia datang dani pusat penye-
lidikan A.
mengidap hemah jantung dan hainnya tidak mengidap kedua-duapenyakit tensebut. Sementana dani kahangan tekanan danah biasa
didapati 2% mengidap kencing manis. 6% mengidap hemahjantung.Jika seorang helaki dewasa dipeniksa apakah kebarangkahian
(i) ia mengidap kencing manis
(ii) mengidap hemah jantung dan kencing manis
(hi) tidak mengidap sebarang penyakit.Jika seorang yang tehah dipeniksa dan didapati tidak mengidap
kedua-dua penyakit apakah kebanangkahian behiau mempunyai
tekanan danah tinggi?
2.40 Seorang pakar tanaman memeniksa mutu bekalan
sawit dan 4 pusat penyehidikan. Hasil pemeriksaansepenti benikut:
Mutu Benib h~~t ~A B C D
Jumlah
Baik
Botch disclasnatkan
Musnah
1200 800 6 0 0 1 0 0 04 00 300 200 300
io o so 40 30
5600
1200
200
Jumlah 1700 1130 840 1330 5000
Dapatkan kebanangkahian
(a) Satu benih pokok yang dipilih datang dani pusat penyehidikan
A dan masih boleh disehamatkan.
(b) Satu benih pokok dihasil oheh pusat penyelidikan B .
(c ) Satu benih pokok yang masih boheh disehamatkan.
51
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 61/466
BAB3TABURAN PEMBOLEHUBAH RAWAK
3 .1 Pembolehubah Rawak
Di dalam bab satu kita tidak menghadkan titik-titik sampehsupaya mengambil nihai danipada aspek tententu. Kesemua ke-
mungkinan kesudahan bagi pencubaan nawak adalah dianggap
menjadi ahli kepada ruang sampeh. Sama ada ia ruengambil nilai
bennombon atau nihai bukan nombon adalah tidak dipensoalkan.
Ruang sampeh, S boheh dalam bentuk S = {1 , 2, 3,4, 5 , 6} ataupundaham bentuk 5= {K, E}.
Walaupun tidak ada syarat supaya nuang sampeh hanus tendini
danipada unsur tertentu, namun adahah mudah jika kita tumpukanpenhatian kepada nuang sampeh yang tenhad kepada unsun-unsun
daham bentuk nombon. Oleh kerana itu, adahah menjadi satu
kepenhuan untuk menukankan atau menaknif kembahi setiapkesudahan supaya tendini danipada niai-nilai nombon. Sebagaicontoh, di daham pencubaan mehambung duit syiing tiga kahi, titik -titik dalam nuang sampel ialah:
S = {KKK, KKE, KEK, KEE, EKK, EKE, EEE}.
Jika kita tentanik kepada bilangan kepala yang muncuh, maka nilai-
nilai
{0 , 1 , 2, 3}
yang boheh dipadankan kepada setiap titik d i daham S akan menjadi
ruang sampel yang bahanu.
Dalam memberikan nilai nombon kepada setiap Øtik sampelasal, kita tehah mentakniflcan satu fungsi kepada titik-titik tersebut.
Fungsi tersebut membentuk apa yang dinamakan pembohehubah
rawak.
52
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 62/466
TABURAN PEMBOLEHUBAH RAWAK
Definisi: 1 .1Jika X ialah satu fungsi nilai nyata yang ditaknif di atas titik-titik
daham nuang sampel, 5, maka X dipanggih pembohehubah rawak.Penhatikan bahawa kita akan sentiasa menggunakan X atau
sebanang hunuf besar hainnya sebagai fungsi kepada semua titik
sampeh dan X(S) atau sebagainya untuk fungsi kepada satu titik sampeh tententu. Jadi, X, ii .. adahah digunakan untuk mencatat
pembohehubahnawakdanhurufkecilx,y,...dimanax = X(S),y =
Y(S) digunakan untuk mencatat nihai-nilai yang diambil olehpembohehubah nawak tensebut.
Contoh: 1 .1Satu duit syihing dilambung dua kahi. Taknifkan X sebagai
pembolehubah rawak bagi bihangan kepaha K yang muncul. Maka:
Ruang sampeh S = {KK, KE, EK, EE}
niai pembolehubah nawak: 2 11 0
atau X(KK) = 2 , X(KE) = 1 , X(EK) = 1 dan X(EE) = 0
Ruang bagi X. A~= {x; x = 0, 1 , 2}
C o n t o h : 1 .2Dua buah dadu enam muka dicampak senentak. Takriflcan Y
sebagaijumhah ‘.‘ yang keluan, maka .Ymengambi nihai-nilai 2 , 3,411 , 12 . Jika Z ditaknif sebagai jumhah ‘.‘ yang genap maka Z hanyamengambil nihai 2, 4, 6 , 8 , 1 0 , 1 2 .
Dani kedua-dua contoh di atas kita penhatikan bahawa
benbagai fungsi boheh ditaknifkan tenhadap titik sampel. Penentuantentang apakah pembolehubah rawak yang sesuai adahah
bengantung kepada tujuan atau minat di daham menjahankanpencubaan tensebut.
Ruang bagi pembolehubah nawak yang dicatat A~sekarang
adalah tendini dani nombon nyata dan dipanggih domain atau daenah.
Sementana kesemua niai yang boheh diambi oheh pembohehubah
nawak tensebut dipanggih julat. Hubungan keduanya sehahu ditulis
sebagai
A~ = {x; xe R)
di thana R adahah set nombon nyata.Di daham penbincangan setenusnya kita akan menumpukan
53
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 63/466
KEBARANGKALIAN DAN 5TATISTIK
terus kepada pembolehubah nawak dan menggunakan domain bagipembolehubah nawak tensebut sebagai asas anahisis tanpa
mempendulikan kesudahan atau ruang sampeh asal.
3.2 Peristiwa daham Pembolehubah Rank dan KebarangkalianKita tahah pun membeni definisi kebanangkahian bagi satu-satu
penistiwa sebagai fungsi set yang membenikan nilai di antara 0 dan 1
kepada subset bagi nuang sampeh. Sekanang kita cuba puhamen~hubungkan konsep yang sama dengan penistiwa yangditaknifkan ke atas pembolehubah nawak yang mempunyai domain
Ar
Katahah X adahah pembohehubah nawak yang ditakniftenhadapnuang sampeh S dan katakan domain bagi X iahah A~.Satu penistiwa
A, A c A~adalah pembohehubah nawak X mengambih nilai-nihai di
daham set A, iaitudituhis [Xe A]. Oheh kerana pembohehubah nawakX menaknilkan nombon nyata kepada titik-titik di daham S maka
sudah tentu penistiwa [XE A] benkaitan dengan penistiwa C, C c S.Jika S adalah titik-titik di daham S maka [XeA] boheh dipadankandengan penistiwa C dalam bentuk hubungan benikut.
[XeA] =
{s:seSdanX(s)eA} =
C
Yakni C adahah subset yang mengandungi titik-titik s yang mana
pembohehubah nawak X mempunyai niai-njhai di dalam set A.Kebarangkahian bagi peristiwa A, P(XeA). Oleh itu adalah
sehanusnya sama dengan kebarangkahian bagi peristiwa C, P(C).
P(XeA) = P~(A) = P(seS dan X(s$A}) = P(C)
Kebanangkahian P~(XeA) atau juga ditulis P~(A) adahah
bergantung kepada fungsj kebarangkahian P. Jadi tentunya fungsi P1adahah fungsi yang bernilai di antara 0 dan 1 yang dipadankankepada set A. Juga dengan pentaknifan pembolehubah nawak X, kita
perhatikan bahawa kita memindahkan kebarangkalian dani ruang
sampel S kepada domain A~yang bahanu.
Adahah tidak sukar untuk menunjukkan bahawa P1 adalahfungsi kebanangkalian yakni memenuhi syarat a, b dan c dalam
definisi 1 .1
(i ) P~(A)= P(C) >0
(ii) P~(A~)= P(S) = 1
54
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 64/466
TABIJRAN PEMBOLEHUBAH RAWAK
maka
P(A1uA2)= P({s:s eSdanX(s)eA3}) -I - P({s:seS
dan X(s)eA2})
= P~A1) + P(A2)
P~(A) atau ningkasnya P(A) adalah juga dipanggihkebanangkalian teraruh. Tetapi di daham penggunaan kita, kita akanhanya menggunakan panggilan kebarangkahian sahaja.
Contoh: 2.1
Katalah S mengandungi 5 titik sampel iaitu
di mana
P({s1}) = p1
P({s3}) = p~P({s5}) = Ps
P({s2}) = P2
P(~s4})=
i~1
— 1
Taknifkan sam pembohehubah rawak X di mana
X (~L = X (53) = 0
X(s2) = X(s4) = 1
X (s~)= 2
Katalahpenistiwa-penistiwa A0, A 1 danA2 ditaknifsebagai A 0 = {s.seSdanX(s) = 0},AI = {s:eSdanX(s) = h}danA2 = {s:seSdanX(s) = 2}.MakaP(A0) = P i + p3.P(A1) = P2 + p4danP(A2) = P5.
Contok 2.2Satu duit syihing dicampak tiga kahi. Katalab X adahah
(iii) Jika A1 dan A2 sahing beneksklusif maka
u A2) = P({s,’seSdanX(s)eA1 u A2})oleh kerana:
{s:seSdanX(s)eA1 uA2} = {s:seSdanX(s)eA1}ti
{s ~5 eS dan X Is) e A2}
S = {s~,~2, S3, S4, s~}
dengan kebanangkahian bagi setiap titik iahah
55
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 65/466
KEBARANGKALIAN D A N STATISTIK
s X(s) p,
KKK 3 18
KKE 2 ‘8
KEK 2 8
KEE 1 ‘8
EKK 2 ‘8
EKE 1 ‘8
ELK 1 ‘8
LEE 0 8
(a )
Jadua l 2.1: (a) titik s ampe l d o n kebarangka l i an(b) P em b o l eh ub ah rawak d a n kebarangka l i an
Perhatikan bahawa:
S = {KKK, KKE, KEK, KEE, EKK, EKE,EEK, EEE} dan K = {0,1 , 2 , 3}
di mana
[X =0] ={s:seSdanX(s) = 0} = {EEE][X = 1 ] ={s:seSdanX(s)= 1 ) = ~KEE,EKE,EEK}
[X = 2] = {s:sESdanX(s)= 2} = {KKE,KEK,EKK}
[X =3] ={s:seSdanX(s)= 3} = {KKK}
Daham kedua-dua contoh yang tehah dibincangkan, kita
menggunakan catatan [X = x] untuk menandakan peristiwa {s seSdan X(s) = x}. Keadaan m i benan jika nuang sampel adalah diskrit
dan pembohehubah rawak X mengambih nilai nombor-nomborbuhat. Untuk kes yang hebih umum, yang juga mengambil kira kesselanjar, kita hanus taknifkan penistiwa-penistiwa benikut:
[Xçxj = {s:seSdanX(s) C x]
[X<x] = {s:seSdanX(s) > x]
[a < X < b ] = {s:seSdana c X(s) < (b)J
pembolehubah nawak yang menunjukkan bilangan kepala yang
muncul.
Hubungan titik sampeh dan kebanangkahian dengan nilaipembolehubah nawak X dan kebanangkalian tenanuh ditunjukkandalam jadual 2 .1 di bawah.
px
0
2
3
(b)
56
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 66/466
TABURAN PEMBOLEHUBAH RAwAK
dan sebagainya. Penistiwa [X~x] benenti pembolehubah nawak Xmengambih nilai kunang atau sama dengan x, dan P(X ~x) benenti
kebanangkalian bagi pembohehubah rawak X mengambil nilai didaham penistiwa tensebut.
Sekarang kita perhatikan puha penjehasan yang lebih hengkap
tentang apa yang dikatakan pembolehubah nawak disknit danpembohehubah nawak sehanjan.
Jika satu domain mengandungi sejumhah titik sampel yang finit
atau infinit terbilang maka domain tensebut dipanggih domain
disknit. Pembohehubah yang boleh ditaknifkan di daham domain
disknit dipanggih pembohehubah disknit.
Jika satu domain mengandungi unsun-unsun infinit, ia dipanggildomain sehanjan, dan pembolehubah rawak yang ditaknif di atasnya
dipanggil pembohehubah rawak sehanjan.
3.3 Taburan Kebarangkalian DiskritPembohehubah nawak X disknit jika x adalah nombon buhat dan
kebanangkahian pada setiap titik [X = x] adahah wujud. Taburanbagi nilai-nilai x dan kebarangkahian yang berhubungan, dipanggi
taburan kebarangkahian atau fungsi kebarangkahian disknit.
Definisk 3.1
Fungsi kebarangkahian disknit adahah satu fungsi (sama adadalam bentuk jaduah atau formula) yang membenikan ke-
banangkahian f(x) kepada setiap nombon nyata x yang ditaknif
dalarn domain bagi pembohehubah rawak X.
Contok 3.1Dapatkan fungsi kebarangkahian bagi pembohehubah nawak X
dimana X iahah jumlah ‘.‘ yang keluanbila dua dadu dieampak secaraserentak:
Domain bagi X; A = {2 , 3,4,5,6,7,8,9, 10, 11 , 12} dan fungsi
kebarangkalian ditunjukkan daham jaduah benikut.
2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2
1(x) 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36
Contob: 3.2Satu uncang mengandungi 6 bola merah, 2 bola hijau dan 2 bola
57
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 67/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 68/466
TABURAN PEMBOLEHUBAH RAwAK
(a) Apakah 1(x) benar-benan fungsi kebarangkalian(b) Dapatkan P(X = 2 )(c ) Dapatkan P(X <2)
Penyelesaian:(a) Ax) adalah fungsi kebarangkalian jika
fix) = 1x=o
4 /4\ /1\x hl\4-xiaitu 1 (\x)t\
2)
(~~)x0
1°(i~i4
2 k~2)
= 1
I’l’\’ (hV+4l~) k,j)
(~\2f~\2
+6~) ~) /h\~(Al+4~) ~
(b) P(X=2)=x2 fix) = fi2)
(4’\ (1’~2(1’\2
= k2) k2) k2)
6 _3
16 8
(c) P(X<2)= LAx)xC2
1 /4 /1\4—x= L ( ) G Y wx0 \x
(1\4(1\o+ ~)~)
= + 4 + 6 + 4 + 1 ]
Ternyata f(x) adalah fungsi kebarangkalian.
59
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 69/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
- (4~(1~4
~o)~i,,2)5
16
(4’\ (1’~’(i\~+ ~‘)~)
~)
3.4 Taburan Kebarangkalian Selanjar
Bagi pembohehubah nawak selanjar kebarangkahian di atas satu
titik dalam domain adalah tidak tertaknif. Defrnisi 3 .1 tidak boheh
digunakan. Bagaimanapun denganmenggunakan konsep yang sama
sepenti kes disknit kita boheh taknifkan tabunan kebarangkaliansehanjar atau juga disebut fungsi ketumpatan kebarangkahian
sebagai benikut.
DefirnsR 4 .1
Fungsi bukan negatif f(x) dipanggil fungsi ketumpatankebanangkahian bagi pembolehubah nawak X jika bagi Ax adalahdomain bagi X maka
$ 1(x) dx 1
A,
dan jika A adalah subset kepada A~maka
P(A) = ff(x)dx. JA
Oleh kenana pembotehubah nawak X ditaknif di atas nuangselanjar, makaf(x) juga adalah merupakan satu kelok yang selanjar.
Syanat supaya kamilan di atas A~adalah satu menentukan luas
Kelok tu n9 s i ketumpaten keborangka l ion
f(x)dan F ra ~X gb).
x
f(x)
a
Gamb.raj.h 4.1:
b
60
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 70/466
TABURAN PEMBOLEHUBAH RAWAK
kawasan di bawah kelokf(x) dengan paksi x adalah sama dengansatu. Sementara kebarangkalian bagi satu subset A adalahdigambarkan dengan luas kawasan di bawah kelokf(x) dengan paksi
x di antara kawasan yang diambil oleh subset A . Sebagai contoh,
jika A adalah subset di mana X mengambil nilai antara a dan b makaP(A) dapat digambarkan dengan kawasan berlorek dalamgambarajah 4 .1 .
C o n t o h : 4.1Katalah X adalah pembolehubah rawak yang di takr i f lcan di
dalam domain A~= {x; 0 .c x ~}. Katalah satu fungsi
f(x) = xe A1
adakahf(x) fungsi ketumpatan kebarangkalian bagi X? Dapatkan
P(MdimanaA= {X;0<xc2}
Penyelesaian:
(a) Untuk menunjukkan f(x) adaIaJ~ fungsi ketumpatan
kebarangkalIan bagi N harus ditunjukkan I f(x) dX = 1 .
J A,
5 f(x) dx = J e~dxA,
= — C1
0
= —0+1= 1
Oteh itu f(x) adalah fungsi ketumpatan kebarangkalian bagi
pembolehubah rawak X.(b) P(A) = P(0 c X c 2 )
= ff(x)dx .1.4
= ~e_1dx
Jo
= 1 — C2.
61
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 71/466
XEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
P(A) = P(X = a) = J:f(x)dx = 0
Keadaan m i tidak sedemikian bagi kes-kes
pembolehubah rawak diskrit.
Comok 4.2Katalah pembolehubah
ketumpatan kebarangkalian(1I — —1<x<1
f(x)=,~i 2
di lain-lain
yang melibatkan
Dapatkan (a) P(XCx) dan (b) P(X<02)
Penyelesaian:
= jjdx
1= ~ -1
1 1= ~x +
Perhatikan bahawa oleh kerana kebarangkalian pada satu titik
bagi pembolehubah rawak, selanjar adalah sifar, yakni jika A =
{x; x = a}.
maka
maka kita dapat membuat kesimpulan berikut:
P(a z ç X c b ) = P(X = a) + P(a < X c b ) + P(X = b )= 0 + P(a < X cb) + 0= P(a cX < b )
rawak X mempunyai fungsi
(a) P(X C x ) = fix) dx.Jx~x
62
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 72/466
TABURAN PEMBOLEHUBAH RAwAK
(b) P(X -c 02) = P(X ~ 2 )
= (2) +
= I + -5=6
Walaupun setakat m i kita membezakan pengertian fungsikebarangkalian bagi pembolehubah rawak diskrit dan fuiigsiketumpatan kebarangkalian bagi kes selanjar, namun penggunaankeduanya boleh ditukar ganti. Untuk tujuan kita, penggunaan fungsi
ketumpatan kebarangkalian akan digunakan untuk kesemua kessa m a ada diskrit atau selanjar.
Harus juga kita perhatikan bahawa fungsi ketumpatankebarangkalian selalunya ditulis dalam bentuk
c f ( x ) x E A~.f(x)=~
o di lain-lain
m i menggambarkan fungsi ketumpatan kebarangkalian bagi
pembolehubah rawak X adalah ditakrif pada semua domain nombor
nyata Tetapi fungsif(x) adalah sifar di luar domain sebenar yang
ditakrif oleh pembolehubah rawak X iaitu A~
Contoh: 4.3
Katalah X adalah pembolehubah rawak yang ditakrif di dalamdomain A~= {x : 0 < x < 2}. Katalah juga satu fungsi
1(x) = cx. x e
di mana c adalah pemalar.
(a) Apakah nilai c supaya f(x) adalah fungsi ketumpatankebarangicalian bagi X.
(b) DapatkanP(—1<Xcl)
Penyelesaian:
(a) 1(x) adalah fungsi ketumpatan kebarangkalian jika
f f(x)dx= 1
. 3 A,
63
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 73/466
KE BA RA N GK A LIA N DAN STA TISTIK
Oleh itu
1= cxdxJo
cx2 2
2~
= 2c
1yang bererti c =
Jadi fungsi ketumpatan kebarangkalian bagi X ialah:
~ix O<x2
~ o di lain-lain
(b) P(—1X-cl)= P(—1X-cO) + P(O.cXcl)
to
= I ~dx+ —xdx
= 0 + !x24
1
4
3.5 Fungsi Taburan
Kita telah pun memberi definisi kebarangkalian bagi peristiwadi mana pembolehubah rawak X mengambil nilai tertentu. Satu
daripada peristiwa dan kebarangkalian berkenaan yang menarik
perhatian kita ialah peristiwa [X E x] dankebarangkalian P( [X (x]). Bagi sebarang nilai x di dalam domain bagi X ternyata P(X ~
x) adalah juga bergantung kepada nilai x. Kebarangkalian bagi
pembolehubah rawak X mengambil nilai kurang atau sama denganx m i dipanggil fungsi taburan longgokan atau ringkasnya fungsitaburan. Fungsi taburan selalunya dicatat F(x) atau F
1~~
Definisi: 5.1
Fungsi F(x) adalah dipanggil fungsi taburan bagi
pembolehubah rawak X jika
F(x) = P(X ~C 4 — ~ .cx < ~
64
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 74/466
TABURAN PEMBOLEHUBAH RAWAK
Jikalau pembolehubah rawak X adalah diskrit dan mempunyai
fungsi ketumpatan kebarangkalian fix) maka
F(x) = ~ f(w)w~x
Sementara jika X adalah selanjar maka
F(x) =
Contoh: 5.1Katalah pembolehubah rawak diskrit X adalah mempunyai
fungsi ketumpatan kebarangkalian
fix)= I i x=0,1,2,3
0 di lain-lain
Maka fungsi taburan F(x) bagi X dapat ditunjukkan sebagaimana
gambarajah 5 .1
F(x)
1 I F(x)
¾ __
½ ______
I I I
1/4 I II
I I
— I1 2 3 4
Gambara jah 5.1: F(x) bagi pembolehubah rawak X dalam contoh 5. 1
Gambarajah 5 .1 adalah diperolehi dengan penyelesaian berikut:Pada titik-titik sebelum x = 0 kita dapatif(x) = 0 sehingga
F(0) = P(X < 0 ) = 0
Pada titik x = 0
F(0) = P(X ~ 0 ) = P(X <0) + P(X = 0) =
65
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 75/466
KEBARANOKALIAN DAN ST A TISTIK
Pada titik 0 .c X .c 1 , F(x) masih sania dengan F(0)
Pada titik x = 1
F(l)= P(X ~ 1 ) = P(X <1) + PR = 1 ) = + =
Begitu juga titik-titilc seterusnya sehingga F(x) boleb ditulis dalam
bentuk formula berikut:
~ U x<01
- Ocx<1
1Cx2
2~x<3
1 3Cx
Apabila formula F (x) di alas
dapat gambarajah 11.
Contoh: 5.2
Katalah pembolehubah rawak selanjarketumpatan kebarangkalian
f(x) = {e~
0
Maka fungsi taburan bagi x ialah
F(x) = P(X C x) =
JJ~e_wdw
1I4~Odw
5 i~eX
10
digambarkan dalam graf kita akan
x mempunyai fungsi
0<x<cc
di lain-lain
Jf(w)dw
0<x<co
xCO
0 < x < ~
xCO
66
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 76/466
TA BUR A N PEM BO LEH UBA H R A W A K
Fungsi taburan F(x) ditunjukkan dengan gambarajah 5 .2 .
F(x)
Gambara jah 5 .2: Fungsi taburan Fx bagi contoh 5.2
3.6 Sifrt-sifrt Fuiwsi Taburan
Fungsi taburan F(x) mempunyai beberapa sifat terten;u yanglahir secara langsung daripada sifat fungsi kebarangkalian yang
telah dipelajari, sifat-sifat tersebut diberikan di sini
(a) 0 C FN C 1 bagi — ~ < x < ~.
Keadaan m i dapat ditunjuk dengan mudah oleh kerana F(x) juga adalah satu fungs~kebarangkalian, yakni
0 C F(x) = P(X C x ) C 1
(b) F(x) adalah tak menurun bagi x. laitu jika x1 C x2
maka F ( x1) C F (x2)
Bagi x1 C x2 {X C x2} boleh ditulis sebagai
{X C x2} = {X C x1} u (x1 <X ~ x2}
Olehkerana{X C x1}dan{x1 <X C x2}salingbereksklusifmaka
P({X C x2}) = P({X C x1}) + P({x1 < X C x2})
F(x2)= F(x1) + P(x1 -c X C x2)
yakni
F(x2) ) F(x1)
Oleh kerana P(x1 < X C x2) ? 0
67
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 77/466
KE BA RA N GK A LIA N D A N STA TISTIK
(c ) ~ F(x) = F(+ciJ) = 1 , F(x) = F(—co) = 0
Jika x +~ maka ~R C x) mendekati P(X C ~) = 2’.
Begitujugabilax—’ — ~makaP(X C x)~.P(X C — ~) = P(s)=0
(d) F ( 13 adalah selanjar dan kanan pada setiap titik x . Sifat m i boleh
ditulis sebagaiI F(x) = F(x0)
x
Bagi sebarang nilai h > 0 maka x0 C x0 + I i
P(x C x0 + h ) = P(X C x0) + P(x0 <X C x0 + h )
atau
F(x0 + h ) — F(x0) = P(x0 < X C x0 + h )
Bila h —. 0 maka { xo -c X C x0 + h} —. {~}
sehingga
P(x0 C X C x0 + h ) = 0
Oleh itu
~ [F(x0 + h ) — F(x0)] = ~ P(x0 < X C x~+ h ) = 0
yakni
~ F(x, + h ) = ~ F(x0)
atau
F(4) = F(x0)
F(x4) adalah had kanan bagi F(x) pada titik x = x0. Oleh itu
F (x) adalah selanjar dan kanan. -
Syarat untuk keselanjaran dan kin adalah tidak semestinya
untuk semua keadaan. Dan contoh 5 .1 iaitu x disknit F(x)merupakan garis yang melompat pada titilc-titilc x = 0, 1,2 dan 3 . Di
lain-lain ia selanjar. Bagaimanapun sifat selanjar dan kanan adalah
68
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 78/466
TABURAN PEMBOLEHUBAH RAWAK
masih dipenuhi. Bagicontoh 5 .2 kelok F(x) adalah selanjar di mana-
mana, iaitu dani kin dan juga dan kanan pada setiap titik. Keadaan
m i membolehkan kita membuat kesimpulan iaitujika F(x) adalahselanjar maka X adalah selanjar. Jika F(x) mempunyai bentuk yang
melompat dan selanjar dan kanan maka X adalah pembolehubahrawak disknit. Dan jika F(x) menupakan gabungan kedua-dua sifat
m i, iaitu pada beberapa titik tertentu ia melompat sedangkan di lain-
lainnya selanjar X adalah pembolehubah rawak jenis bercampur. Jul
boleh ditunjukkan seperti contoh benilcut.
Contob: 6.1
Katalah pembolehubah nawak X mempunyai fungsi tabunan:
F(x) = ~ ~ +
11 x>~
Graf bagi F (x)
bolch ditunjukkan sepenti gambarajah 6 .1 .F(x)
— axo ½
GambaraJah 6.1: F(x) bagl contoh 6 .1
Kita dapati F(x) selanjar pada setiap nilai x kecuali pada titik x = 0.
Padatitikx = OF(0) = OsementaraF(0) = ~.mthberertiPIX <Q)
= 0 danP(X <0) = sehingga P(X = 0) = ~. Dan kenyataan m i
kim dapati kebanangkalian adalah tertaknif pada titik x = 0 yangmembawa pengertianX bukan pembolehubah rawak selanjar. Path
69
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 79/466
KE BA RA N GK A LIA N D A N STA TISTIK
titik-titik lain ia selanjan. Jadi X tidak boleh dikelaskan sebagai
benan-benar selanjan atau benan-benar diskrit.
Bagaimanapun syarat keselanjanan yang diterangkan di atastidaklah cukup. Kim akan bincangkan di seksyen benikutnya secana
lebih mendalam.
3.7 Pengiraan Kebarangkalian daripada Fungsi Taburan
Penhatikan dalam membukti sifat (b) F (x) dalam seksyen 3.6
kita dapati jika a < b maka
{X C b} = {x C a} u {a < x C b}
P{X C b} = P{X C a} + P{a C X C b}.F(b) = F(a) + P{a C X C b}.
iaitu formula
P{a C X C b} = F(b) — F(a)
boleh digunakan untuk menentukan kebanangkalian bagi kesemuaselang dalam bentuk {a C X C b}.
Dengan menggunakan keputusan m i juga kita dapati bagih >0.
P{b — h C X C b} = F(b) — F(b — h )
dan jika diambil had bila h 0
~ F{b - h C X C b} = ~ jF(b) — F(b -
Bila h 0 had bagi set {b — h C X C b} adalah set {x = b}sehingga
had P{b — h C X C b} = P(~= b )
yakni
P(X = b ) = F(b) — F(b)
di mana F(b) ialah had k in bagi F(x~bila x = b Berdasarkan m l jika F (x ) melompat pada titik x = b maka P(X = b ) ialah tinggilompatan dan F (b — 1 ) dan F ( b ) :
PR = b ) = F(b) — F(b — 1) bagi X disknit.
Sementara b a g m F(x~yang juga selanjar dan k in F(b) = F(b)makaP(X = b ) = 0 bagi x selanjan.
7 0
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 80/466
TA BUR A N PEM BOLE HUBA B RA W A K
Berdasarkan dua keputusan di ataskebarangkalian dapat diselesaikan
menggunakan fungsi taburan.
Contoh: 7.1Katalah pembolehubah
sepenti berikut:
F(x)= {~+i
bebenapa masalah mencani
secara langsung dengan
rawak X mempunyai fungsi taburan
xC 1
1CxC2
x>2F(x)
2/3
1(3
2 3
G.mb.r,iah 7 .1: Grit F(s) b~icontoh 7 .1
(a) P(X = 1 ) = F(1) — F(1)
= F(1) — F(0) = — 0
(b)
2
~
7 1
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 81/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 82/466
TABIJRAN PEMBOLEHUBAH RAWAK
bahawa kebanangkalian bennilai bukan sifar hanya wujud pada titik -titik X = x di mana x = 0, I, dan 2 . Kebarangkalian masing-masing
ialah sama dengan tinggi lompatan iaitu ~-. Jadi dapat ditaknifkan
fungsi ketumpatan kebarangkalian
F(x)
2 ____
— x
I 2 3
Gambarajah 7.2: G ra f bagi Fix) untuk contoh 7.2
bagi pembolehubah nawak X sebagai
f(x)= P(X = x) = x = 0,1,2
dan /(x) = 0 di lain-lain
Dan contoh 7.2 di atas dapat diperhatikan hubungan di antarafungsi tabunan F(x) dengan fungsi ketumpatan kebanangkalmanfix)
yang benkaitan bagi pembolehubah nawak disknit. Yakni
fix) = F(x) — F(x — I), I/x eA~
Bagi fungsi tabunan F(x) adalah selanjan hubungan di antara
F(x) dan fungsi ketumpatan kebarangkalian fix) dan kaitannyadengan keselanjanan bagi pembolehubah rawak X dapat ditun-
jukkan dengan memerhatikan definisi berikut.
Definisi: 7.1Pembolehubah nawak X adalah selanjan jika sekinanya fungsi
taburannya F(x) adalah
(a ) F(x) selanjan.
73
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 83/466
KEBARANGKALIAN DAN S TA TISTIK
XC1
F(x)
1
(b) Tenbitan pentama F’(x) = adalah wujud dan
dx F(x) = fix)
pada setiap titik x .(c ) F~(x)adalah selanjar sesecebisan.
Berdasarkandefinisi 7 .1 adalahjelas bahawa fungsi ketumpatankebanangkalian bagi pembolehubah rawak selanjanboleh dipenolehi
dan terbitan pentama bagi F(x), F~(x)di dalam domain yang
berkenaan.
Contoh: 7.3Fungsi tabunan bagi pembolehubah nawak X adalah
(0F(x)=
x
Gambar~J~h7.3: Grof bag i Fix) contoh 7.3
Fungsi ketumpatan kebanangkalian gx) boleh dipenolehi dengan
membezakan fungsi F(x):
(0 x<i
fix)=F~(x)~= ~dx i 2
1CxC~
Contoh: 7.4
Anggap fungsi F(x) dibeni sebagai
0
74
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 84/466
TA BUR A N PEM BO LEI IUBA H RA W A K
atau
fix) = dF(x)
x<0
0~x< 1
1 z~x
0 x<0
O~x<l
0 l~x
f(x) =
ix 0 1 C x < I
di lain-lain
Dalam kes-kes tertentu tendapat juga taburan di mana fungsitaburan adalah sukar untuk dipensembahkan dalam bentuk mudahsepenti contoh-contoh lepas. Kes-kes sedemikian, sebagai contoh,pembolehubah rawak yang mempunyai fungsi ketumpatan
kebarangkalian
{1 fix) = ~ exp{ -
0
— ~XJC x C ~
di lain-lain
iaitu X bertabunan normal, maka fungsi taburan boleh ditulis dalam
bentuk
r~ 1
F(x)= j1_ex~
ygw~~2
1 . ~ a ) } — t C x C X~
Sebaliknya jika fungsi taburan adalah seperti bentuk di atas yakni
F(x) =
F(x) =
{ x~
Fungsi ketumpatan kebarangkalian bagi X ialah
75
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 85/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
maka fungsi ketumpatan kebanangkalmanJ(w) boleh dipenolehi dan
tenbitan pentama F ’ (x) adalah fungsi f itu sendini.
3.8 Taburan bagi Fungsi kepada Peinbolehubah Rawak
Katalah X adalah satu pembolehubah nawak yang bentabunan f~(x).Maka, dalam keadaan tententu kita bukan sahaja benminat
kepada X tetapi juga kepada satu pembolehubah nawak lain, Yyang
merupakan fungsi kepada X. m i benenti, jika hubungan Ydan X
adalah dalam bentuk:
Y= cb(X)
maka kita ingin mengetahui tabunan bagi V Penentuan tabunan bagi
Y , tennyata bengantung kepada fungsi 4 ) dan taburan bagi X oleh
kerana sebarang kesudahan s yang menentukan nilai X pada titik s, X(s), juga menentukan nilai Y pada titik s iaitu
Y(.s) = 4)(X(s))
Jadi tabunan bagi pembolehubah rawak baharu Yboleh dipenolehi
berdasankan pengetahuan tentang tabunan bagi pemboleubah
nawak X.
Dalam seksyen m i , kita akan bincangkan kaedah yang
digunakan untuk mendapatkan taburan bagi Y dengan meng-
gunakan fungsi ketumpatan kebanangkalian bagi X. Pene-
kanan hanya akan dibeni kepada bebenapa fungsi penting yang
selalu digunakan dalam praktik.Sekarang, katalah kita andaikan
Y = 0(X)
Maka, fungsi ketumpatan bagi Ydipenolehi dengan tenlebih dahulumendapatkan fungsi tabunan bagi Y . F
9(y). Rita dapati
F}4y) = P(YC y) = P(çb(X) C y)
atau
{J
{0(x) C ~.G(x) dx bagi X selanjan
Fy(y)
.I~ (x) bagi X disknit{4)(x) C y~
76
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 86/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 87/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 88/466
TA BUR A N PEM BO LEH UBA H RA W A K
kita dapati domain bagi pembolehubah rawak Yadalah terdiri dansemua nilai y supaya y = ax + b dan x adalah nilai di dalam domain
bagi X.Fungsi taburan bagi Yadalah
Fy(y) = P(Y C y ) = P(aX + b C y)
I y—h
= PI,~X C
— b = Fx(~)
Untuk mendapatkan fungsi ketumpatan kebanangkalian bagi Ybagikes disknit kita boleh gunakan kenyataan-kenyataan bahanu jika
F~y)= — b)
maka
=
Sementana bagi kes selanjar kita boleh gunakan teorem benikut:
Teorem: 8 .1 .Jika fungsi ketumpatan bagi pembolehubah rawak X ialahfix)
danfungsiy = ax + badalahbolehdibezamakafungsiketumpatankebarangkalian bagi Yialah
dF~y) (y—b\dx (y—b\~
dy —fx~ a )~fx\~~ a
jika
7Coutoh: 8.3
Katalah X mempunyai fungsi ketumpatan kebarangkalian
1 1 1 fx_p’~2
.f~(x)= exp~—I . 2\ tYJ —~CxCcc
Biarkan Y = X—p Dapatkan fungsi ketumpatan kebarangkalian
bagi 1 ’ .
79
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 89/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 90/466
TABURAN PEMBOLEHUBAH RAWAK
Sementana -
Fy(y) = P(YC y) = P(X 2 C y )= P(—\/~CXC~/~) j&ay>0= F~(~)- F~( —
Fungsi ketumpatan bagi Y ialah
MY) = ix(~J~) — f~( — ~/I;)
Oleh kenana — . . , / i ~ C 0 makaf
1(— fj)= 0 maka
MY) = -02~/~
atau
~ 2../
0 di lain-lain
Penhatikan bahawa contoh 8.4 adalah benbeza dan contoh 8.3
dani segi fungsi 4 ) adalah bukan linear.Tetapi boleh dijadikan kepadadua fungsi linear, dan teorem 8 .3 boleh digunakan.
Sebenannya teorem 8.3 boleh dijadikan lebih umum supayamengambil kina fungsi bukan linear. Tetapi syarat yang hanus
dipenuhi ialah fungsi 4 )
adalah benhubungan satu dengansatu. Jika kita anggapkan
Y = 0(X)
maka hubungan nilal y dan x ialah
y = 0(x)
dan fungsi songsangnya ialah
x = w(y)
maka fungsi ketumpatan bagi Yadalah diberi sebagai
81
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 91/466
KEBARANGKALIAN DAN ST A TISTIK
= ~wtv))
Contoh: 8.5Pembolehubah rawak X mempunyai fungsi ketumpatan
kebarangkalian ~, — x > 0 —
(~ di lain-lain
Katalah Y = + ~~/iDapatkan fungsi ketumpatan bagi V
Penyelesaian:
3)=]x =‘-x=y 2
dan dx= 2ydy
ma ka
fy(y) = .fx(y2) 2yj
= 2ye~
atau - 2
— t2ye’ 0<xCcC1
1(y) —di lain-lain
Latihan Bab 3
3 .1 Satu duit syiling dicampak berturut-turut sebanyak empat kali.
Senataikan kesemua kemungkinan kesudahan. Senaraikan jugatitik-titik sampel yang terdapat dalam penistiwa C di mana sekunang-
kurangnya dua kepala muncul. Jika ditaknilkan X sebagaipembolehubah nawak yang menunjukkan bilangan kepala yang
keluan padankan kesemua titik sampel dengan nilai-nilai bagi X.Nyatakan penistiwa C sebagai padanan kepada penistiwa yang
melibatkan pembolehubah rawak X.
3.2 Satu uneang mengandungi 3 biji bola menah yang bertanda 1,2 dan 3dan 2 bola putib yang bertanda 1 dan 2 . Jika 2 biji bola dipilih
senentak secara rawak senaraikan kesemua titik-titik dalam ruang
sampel. Jika pembolehubah nawak X ditaknifsebagai bilangan bola
merah yang terpiih.
82
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 92/466
TABURAN PEMBOLEHUBAI - I RAWAK
(i ) padankan setiap titik sampel dengan X
(ii) senaraikan domain yang boleb diambil oleh X.
Dapatkan kebarangkalian bagi
( i ) setiap titik dalam wang sampel(ii) setiap nilai yang diambil oleh pembolehubah rawak X.
3.3 Dua buah dadu enam muka dicampak serentak. Jika pembolehubahrawak X adalahjumlah permukaan kedua dadu, senaraikan domain
bagi X. Jika peristiwa A adalah peristiwa di mana X mengambil nilai
nombor genap senaraikan nilai-nilai yang diambil oleh X di dalam
A. Dapatkan taburan kebarangkalian bagi X Jan tentukan P(A).3.4 Satu duit syiling dicampak 4 kali. Dapatkan taburan kebarangkalian
bagi pembolehubah rawak berikut:
(a) X ialah bilangan ekor yang muncul
(b) X ialah bilangan ekor yang muncul dibalingan pertama dan
k edua
(c) X ialah bilangan ekor yang muncul jika balingan pertama
menghasilkan kepala.3.5 Dapatkan taburan kebarangkalian bagi pembolehubah rawak X di
mana x adalah bilangan paku rosak yang diperolehi apabila 5 paku
dipilih secara rawak dan satu bakul yang mengandungi 100 paku, 15daripadanya adalah rosak.
3 . 6 Dapatkan tabunan kebarangkalian bagi pembolehubah rawak X dimana x adalah bilangan orang Melayu yang menganggotai ~atu
jawatankuasa 5 orang jika jawatankuasa tersebut dipilih secara
rawak dan 10 orang Melayu, 8 orang Cina dan 7 orang India.
3.7 Bilangan pelanggan yang membeli di sebuah kedai berlian dalamsaw han didapati mempunyai taburan kebarangkalian seperti
berikut:
Bilangan pelanggan (xi) : 0 I 2 3 4 5 6P(X = x 1 ): 05 • 1 •1 5 ~25 - 3 1 05
Dapatkan
(a ) Kebarangkalian sekurang-kurangnya 4 pelanggan membeli dikedai tersebut dalam satu han
(b) Kebarangkalian kedai tersebut tidak dapat menjual sebarang jualan dalam satu han
(c ) Kebarangkalian di antara 1 hingga 4 orang yang membeli dikedai tersebut dalam satu han.
3.8 Jika saw fungsi adalah dalam bentuk
83
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 93/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 94/466
TA BUR A N PEM BOLE HUBSH R A wA K
Apakah nilai a supaya /(x) adalah fungsi kebarangkalian bagi
pembolehubah rawak X. Dapatkan(a) P(X = 2 )( b ) P(X = 2 atau 3 )
rawak X mempunyai fungsi ketumpatan
10 fix)= ) ax OCxC2
a(4—x) 2CxC4
(a) Apakah nilai a supaya fix) benan-benan fungsi ketumpatankebanangkalian bagi X.
(b) Dapatkan kebanangkalian
( i ) P(X ~ 2 )
(iii) P(0 C X C 5 )
(ii) P(X C 3 )
(iv) PU C X C 3 )
3.14 Katalah X adaiah pembolehubah nawak yang mempunyai fungsikebanangkalian sepenti benikut
x=x 0
1 ( x ) 08
1 2 3 4 5
2 ~4 1 5 1 2 -0 5
Jika penistiwa A = {F C X C 4), B = {X = 2 } dan C = {2 C X C
3 } .Dapatkan
( i ) P(A)
(iii) P (A u B)
(ii) P(B)
(iv) P(A u C )
El
f(x) =~ ~
3.13 Pembolehubahkebarangkalian
xCO
0 x>4
3.15 Pembolehubah nawak X mempunyai fungsi ketumpatankebanangkalian
0 C
x C
di lain-lain
85
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 95/466
KEBARANOKALIAN DAN STATISTIK
Dapatkan
(i ) PR = 0 ) (ii) PR > 0 )(iii) P(X C x) (iv) P(l c X ~ 5 )
3.16 Dan fungsi ketUmpatan dalam soalan 2 .11 dapatkan dan lakarkanfungsi tabunan bagi X.
3.17 Lakankan fUngsi taburan F (x) bagi fungsi ketumpatan keba-rangkalian dalam soalan 3.11.
3.18 Dapatkan dan lakankan fungsi taburan bagi X dalam soalan 3.13.
3.19 Dapatkan dalam bentuk formula fungsi taburan bagi pembolehubah
nawak X yang mempunyai fungsi ketumpatan kebarangkalian
0CxC~1(x) = 2
0 di lain-lain
Lakarkan graf bagi F (x)
3.20 Diberi fungsi tabunan bagi pembolehubah nawak X sebagai
(a ) 10 xCO
OCxC2
1 x~2
(b) F(x)=J~ xCO
I — e~ x > 0
Dapatkan:
(i ) P(X = 0 ) (ii) P(X C 2 )
(iii) PU C X c 3 ) (iv) PR > 3 )
(v ) P(X=2) (vi) PU CXC2)
3.21 Jika fungsi taburan bagi pembolehubah rawak X adalah sepenti
gambanajah di sebelah
86
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 96/466
1 2 3 4 5 6
(i ) P(X C 2 )
(iii) PU C X C 3 )
(v ) P(1CXC2)
(ii) PR > 3 )
(iv) PR = 2 )
(vi) PR > 5 )
3.22 Pembolehubah rawak X adalah mempunyai fungsi ketumpatankebanangkalian
(i)~ 3- x = 0, 1 , 2 , 3
di lain-lain
Lakarkan fungsi taburan F(x) bagi x dan
Dapatkan
(i ) PR = 0 )
(iii) P(X = 3 )
(ii) PR > 0 )
(iv) PR C x)
(0
~1
F(x)=
J3(,i
87
3/4
1/2
1/4
C
TABURAN PEMBOLEHUBAH RAWAK
F(x)
F(x)
Dapatkan:
3.23 Satu pembolehubah nawak X mempunyai fungsi taburansebagaimana benikut
xCO
OCxC1
lCx<2
x~2
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 97/466
XEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
Dapatkan fungsi ketumpatan kebarangkalian fix) bagi X.
3.24 Jika dibeni fungsi tabunan adalah
(a) (0
F(x)=
(•0
F(x)= (1
Dapatkan fungsi ketumpatan kebanangkalian fix) bagi setiap kes.
3,25 Satu pembolehubah rawak disknit X adalah mempunyai fungsiketumpatan kebanangkalian
Jika ditaknifkan pembolehubah nawak Y = 2X. tentukan domain
bagi Ydan dapatkan fungsi ketumpatan kebanangkalian bagi 1 ’ .
3.26 Pembolehubah nawak X mempunyai fungsi ketumpatan keba-
nangkalian
f(x) =
Jika ditaknifkan Y = X2. Dapatkan (a) Domain bagi Ydan (b) fungsi
ketumpatan bagi Y .
3.27 Pembolehubahnawak Yadalahditaknifsebagai Y= 2X + 3,dimanaXmempunyaifungsiketumpatanf(x) = e~0C x C co;f(x) = 0,di
lain-lain. Dapatkan fungsi ketumpatan kebanangkalian bagi 1 ’ .
3.28 Jika X me~punyai~ju~gsikebanangkalian
P(X = x) = (xx)”” — p)4~X x=0, 1,2, 3,4
= 0 di lain-lain
Dapatkan fungsi kebarangkalian bagi Ydi mana Y = 2X — 1 .
(I,)
xCO
OCXC1
x>0
xCO
— x > 0
nx — 0
çtl e
0
x = 0, 1 , 2, 3 ,
di lain-lain
—2CxC2
di lain-lain
88
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 98/466
BAB4SET-SET BEBERAPA PEMBOLEHUBAH
RAWAK4.1 Pengenalan
Setakat m i kita telah menghadkan perbincangan kepada kesyang melibatkan ruang sampel domain yang mempunyai hanya s a m
dimensi. Kesudahan dianggap hanya membentuk satu
pembolehubah nawak sahaja. Dalam keadaan tententu kita jugapenlii membincangkan bebenapa pembolehubah nawak yang ditaknif
di atas satu nuang sampel yang sama. Sebagai contoh, kita
perhatikan percubaan mernilih seorang kanak-kanak lelaki daniluar bandan. Danipada kumpulan kanak-kanak m i, yang menupakan
set bagi nuang sampel, kita mungkin penlu mengetahui dua hal,
katakan tinggi dan j.uga berat badan mereka. Jika kita taknitkan Xmewakili tinggi dan Ymewakili benat badan, maka X dan Yadalah
dua pembolehubah rawak yang ditaknif ke atas setiap kanak-kanak tersebut. Kita penhatikan domain bagi X dan Ybukan lagi domain
satu dimensi.
OIeh kerana kes dua atau lebib pembolehubah nawak m imerupakan lanjutan kepada satu kes pembolehubah rnaka konsepdan penjelasan yang sama danipada kes tersebut masih boleh
digunakan.
Dalam bab m i, penumpuan akan hanya dibeni kepada kes yang
melibatkan dua pembolehubah nawak sahaja walaupun tendapat juga kepenluan membincangkan kes-kes yang melibatkan lebibdanipada dua pembolehubah. m i kenana konsep-konsep m i boleh
dengan senang dikembangkan untuk mengambil kira kes banyak
pembolehubah.
4.2 Pasangan Pembolehuhah Rawak dan Penistiwa
Jikalau, katalah, X dan Y adalah dua pembolehubah rawak
8 9
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 99/466
KEBARANOKALIAN DAN STATISTIK
maka X adalah satu fungsi nilai nyata yang memadankan tiap-tiaptitik sampel s e S kepada nilai-nilai di dalam domain yang bahanu.
Begitu juga pembolehubah rawak Y yang dipadan ke atas s e S tensebut. Jadi domain bagi kedua-dua pembolehubah nawak X dan Y
adalah domain dua-dimensm di mana setiap titik s ; se S dipadankankepada unsur nyata x, y di mana x = X(s) dan y = )js). Setiap
pasangan (X. Y) adalah merupakan padanan daris :seS kepada titik
(x, y). Sebagaicontoh, perhatikan pencubaan melambung duit syiing3 kali. Ruang sampel S ialah
= ~ KKK, KKE, KEK, EKK, EKE, LEK, EKK, EEE ~2 S
3 54 55 S~ 57
Jika kita taknifkan pembolehubah rawak sebagai:
X = bilangan kepala yang muncul pada dua lambungan yang
mula-mula.Y = bilangan kepala yang keluan pada lambungan terakhmr
maka X akan mengambil nilai-nilai { 0 , 1,2) dan Yakan mengambil
nilai-nilai {0 , l}. Padanan dan titik-titik sampel s 6 S denganpasangan (X , Y) boleh ditunjukkan sebagai jadual benikut.
s~ S~ $3 $4 $5 ~6 S~ S~
X(s) 2 2 1 1 1 0 1 0
Y(s ) 1 0 1 1 0 1 0 0
Dan jadual di atas kita penhatikan bahawa titik ~i dipadankan
kepada titik (2,1), ~2 kepada (2,0) dan seterusnya. Atau secara umumdomain bagi (X. Y) dicatat ~ adalah domain yang terdini dan (x. y)
iaitu
= {x. y: x = 0, 1,2 dany = 0, l}.
Dengan menggunakan konsep yang sama peristiwa bagipembolehubahrawak (X. Y) boleh ditaknifkan. Jika A adalah subset
di dalam A~,maka peristiwa [(X, Y) e A] adalah padanan kepadapenistiwa C yang ditaknif atas ruang sampel s di mana C = {s SE S
dan X (s)e A dan Y(s) EA}. Sebagaicontoh, penistiwa (X = 0, Y = 1 )adalah padanan dan titik-titik sampel di mana {s :s ES danX (s) = 0
dan Y(s) = 1 } iaitu ~6 dan eontoh di atas. Penistiwa (X C 1 dan Y =
90
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 100/466
SET-SET BEBERAPA PEMBOLEHUBAH RAWAK
0 ) adalah padanan dan { s s eS dan X ( s ) ~ 1 dan Y(s) = 0} iaitu
titik-titik 55, 57 dan s3 . Dan seterusnya.
Sekarang, katalah kita anggapkan X dan Y adalab duapembolehubah rawak. Taburan kebarangkalian bagi berlakunya X
dan Ysecara serentak, ditulisf(x. y ) adalab fungsi kebarangkalianmaka seharusnya ia memenuhi syarat:
(i ) 0 ~f(x.y) ~ I
(ii) f(x.y) = flf(x,y) = 1 xy
atau
=
bagi kes diskrit
bagi kes selanjar.
4.3 Fungsi Ketumpatan Bersama
Jikalau X dan Yada!ah pembolehubah rawak diskrit maka X
dan Y hanya mengambil nilai-nilai nombor bulat. Maka taburan
kebarangkalianf(x, y) = P(X = x. Y = y ) cuma tertakrif pada titik -titik di dalam ~
Definisi: 3.1
Jadual atau
kemungkinan (x, y )kebarangkalian f(x,
bersama atau fungsidan Y .
Contob 3.1
formula yang menyenaraikan kesemua
bagi pembolehubah rawak X dan 1 ’ , dan fungsi
y) adalah dipanggil taburan kebarangkalian
ketumpatan kebarangkalian bersama bagi X
Perhatikan percubaan lambung duit syiling 3 kali, dan X
ditakrif sebagai bilangan kepala yang muncul daripada dualambungan mula-mula dan Y sebagai bilangan kepala yang keluarpada lambungan ketiga. Maka, domain bagi X, Y ialah
~ = { (0 , 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (2, 0), (2, 1 ) }
Kebarangkalian untuk setiap titik berkenaan dapat ditunjukkan
seperti jadual di muka surat 92.
91
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 101/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
ftx,y)
‘C
0 1 2
0
If
1
28 8 8
1 18 8 8
12P(A) = f(O,O) +f(1,O) = + I
Katalah B = L X C 1 ]
PeristiwaB = [X C 1 ] bolehditulissebagaf[X C 1 dan Y= Oatau
1 ]
OIeh itu,
P(B) = P(X C 1 dan Y= OatauX C idan Y= 1 )= P(X C 1 dan Y= 0 ) + P(X C 1 dan Y= 1 )
= 1(0,0) +f(1,O) +f(0,1) +f(1, 1 )
1 1226=
Fungsif(x, y ) adalah memenuhi syarat
Ef(x.y) =
4,,
2 1
E Ef(x,y)=1x=o y~o
1 2 1 12 1iaitu, =I+I+I+I+_+I=1
Katalah, A = [X Cl, Y= 0]maka
A= {(O,O),(i,0)}
Dan
3
8
92
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 102/466
SET-SET ~EBERAPA PEMBOLEHUBAFI RAWAK
Katalah, C = [X 2, Y= 1 ] maka
P(C) = P(X = 2 , Y= 1 ) =f(2, 1 ) =
Definisi: 3.2Fungsi bukan negatif f(x, y ) dipanggil fungsi ketumpatan
kebarangkalian bersama bagi pembolehubah rawak selanjar X dan
Yjika bagi domain, ~ maka
y) dx dy 1
dan jika A <A~~maka
P(A) = I fi~x.y) dx dj~JAJ
Definisi 3.2 di alas memberikan pengertian bahawa fungsif(x,y) adalah merupakan permukaan di atas satah — (x, y ) di mana jika
satu subset A yang digambarkan oleh kawasan dalam satah — (x, y)maka P(A) = P(X, Y~ A) ialah isipadu yang dibatasi oleh tapak A
dan permukaanf(x, y).
x
I (x,y)
f (x, y )
VA
Axy
O.mb~~.hal: .A~yden f(x. y)
93
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 103/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
Dalam penentuan kebarangkalian satu-satu peristiwa ternyata
melibatkan penentuan tapak dalam•satah — - (x. y ) di daiarn domain
As,.. Jadi adalah penting jika kita terlebih dahulu memerhatikankawasan yang ditakritkan oleh satu-satu peristiwa sebelum kita
tentukan apakah kebarangkalian. Keadaan m i akan lebih ketara jika peristiwa tersebut adalah rumit bentuknya. Sebagai contoh kita
perhatikan beberapa peristiwa berikut dengan bantuan gambarajah:
Gambarajah 3.2a: Kawasan berlorak menunjukkan
peristiwa [a~X cb y ~ Vt]
GambersjthS.Z,: K a w a s a n berlorek menunjukkan-peristiwa h i c
y
y 1
VA0 a
x
y
rssA /////~~/////////////// K
94
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 104/466
SET-SET BEB ERAPA PEMBOLEHUBAR RAWAIC
0
Gambarajah 3.2c~ Kawasan ber~orek menunjukkafl peristiwa [aC XCb.c <y < d]
‘ C
Kawasarl berlorek menunjukkanperistiwa (~? y)
Katalah X, Yadalah dua pembolehubah rawak selanjar yangmempunyai fungsi ketumpatan bersama
y
C
a b
y
y=x
Gambarajah 3 .2 d :
Contob: 3.2
95
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 105/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
< x < -i , y~~) j’~J’f(x.y)dyax =
f 5 ’ I dy dx
=
x < ~, o < y < jJf(x. y) dy dx
= 5 ~ f~1 dy dx
4
x
f(xy)=
(0
o < x < 1,0 < y < I
di lain-lainDapatkan
(a)
(c )
<X <~, Y C
<x
(b) <x <~, o < y <
(d) P(X ~ Y)
y
0,2
1.1
Penyelesaian:
Domain bagi ~
< . v < ~ 0 < y <
(a )
(b) ~(o <
0, 02, 0 1,0
96
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 106/466
SET-SET BEBERAPA PEMBOLEHUBAH RAWAK
(c )
[o ii r
<~ = <x , o < y <
atau kawasan berlorek dalam gambarajah 3 .3 .
fjf(x. y) dx dy
= JJ~1dxdy
1
2
y
0 ,1 1, 1
0,0 1,0 x
Ialah peristiwa[O ~ X < fl Gambarajah 3 .3 a : ______
OIeh itu
(d) P(X ~ Y)
97
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 107/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
________ i&ah pe~istiw~[X ~‘ Y 1
(PX~ Y)= P(X~y,O<y< 1 )
1 1 C l
= J J ldxdy
=
Contoh: 3.3
Katalah X, Y adalah dua pembolehubahmempunyai fungsi ketumpatan bercantum
f(xy)={2 .di lain-lain
y=x
(ii)
x
G~mb~~~jah3.3b~
rawak selanjar yang
0<x<y<2
Domain bagi X, Y A~,adalah.ditunjukkan sebagai kawasanberlorek
dalam gambarajah di bawah.
: ~02,O
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 108/466
SET-SET BEBERAPA PEMBOLEHUBAH RAwAKr ‘ ii
L°c X C—, Y C
3.4
A dalam gambarajah
256
Sementara peristiwa [x < adalah sama dengan peristiwa
[X .c 1 , x < Y < 2 ] dan
P(X<fl= JJ~1dydx
4.4 Fungsi Taburan Bercantum
1’( x~’\ = I Ix—----ldx
Jo\ 4j
Katalah X dan Yadalah dua pembolehubah rawak denganf(x,y) sebagai fungsi ketumpatan bercantum. Jika kita takrifkan
peristiwa [X C x, Y ~ y] maka
P(X E x, Y~y) = F(x,y)
adalah dipanggll fungsi taburan bercantum bagi pembolehubahrawak X dan Y
Bagi X dan Ydiskrit maka
f(x.y)= ~X~Cx Y~y
Sementara bagi X dan Yselanjar
f(x, y)
(x Iy f(x,y)= J • J
-~ ~a)
f(x, y) dy dx
/ 1 1\ 1fI’~xy Pt~0<X c~,Y<~,)= J
0J0-ydxdY
3 ‘ 2= I
Jo “
7
16
99
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 109/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
Contoh: 4 .1
Katalab X, Ymempunyai fungsi ketumpatan bercantum.
ma k a
berikut:
ffr,y)
Jf
0 1
0
‘ C 1
2
18 I I
2 28 S
I8
8
F(0, 1)= 1(0,0)
F(1,0)= 1(0,0)
+ f(0.1) = +
+ 1(1,0) = + =
F(l, 1)= f(O,O) +1(0,1) +1(1,0) +1(1,1)6
8
F(2,0)= 1(0,0) 4
+ f(1, 0 ) + f(2, 0) = —
8
F(2,2)= f(0,0) +1(0,1) +f(1,0) +f(1, 1 )
+fl2,0)+fl2,1)
ata~iboleh diperhatikan sebagai jadual di sebelah:
fungsi taburan bercantum, F (x, y) boleb diperolehi seperti
F(0,0) = f(0,0) =
100
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 110/466
S ET - S ET B E B E R A PA PEMBOLEHUBAH RAWAK
V
F(x,y) o 1
0
x 1 I
8 8
24 ~ 1
Contoh: 4.2Katalah f(x, y) adalah dua pembolehubah rawak selanjar
dengan fungsi ketumpatan bercantum
maka
4xy f(x. y) = { 0
0 < x c 1,0 c y C 1
di lain-lain
rx r~F(x,y)= I I 4xydydx
Jo Jo
= 1 : 2xy2 dx
= y2 x2
Si6t Fungsi Taburan Bercantum
Sifat-sifat fungsi taburan bercantum F (x,y) adalahmempunyai
ciri-ciri persamaan sebagai fungsi taburan, F (x) bagi satu
pembolehubah rawak. Di sini dicatat secara ringkas sifat-sifat yang
inustahak.
(a) OCF(x.y)C1bagi—aJcx<cxD,—aDcy<~~
mi adalah jelas oleh kerana F (x, y ) adalah fungsikebarangkalian.
1 0 1
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 111/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
(ii) had F(x, y) = F(— cc, y) = 0
(iii) had—
F(x, y) = F(x, cc) = 0
F(x~,y2) —
(d) (i ) F(x, y) = F(a. y)
had(it) ~ F(x,y) = F(x.b)
(e ) Jikaa C bdanç CdmakaF(a,c) — F(a,d) — F(b,c) + F(b,d) ) 0
Keadaan m i boleh ditunjukkan seperti berikut:
F(a,c) — F(a,d) — F(b,c) — F(b,d) =
P(a c X C b.c -C Y C d)
OlehkeranaP(a <X C b,c -c YC d)) Oketidaksamaan
di atas adalah berlaku.
- had( 0 ( 0
F(x,y)= F(cc,y) = Fy(y)
had( i i ) y—.r
F(x, y) = F(x, cc) = F~(x)
Di mana F4y) dan F~(x)ialah masing-rnasing fungsi taburanbagi peinbolehubah rawak Ydan fungsi taburan bagi pembolehubah
raWak X. Fungsi taburan F~(y)dipangglll fungsi taburan margmna)
bagi Ydan diperolehi dengan mendapatkan had bagi F(x. y) bila x
(b) Jika x1 C x2 dan y1 C Y 2 maka F(x, y)
atau F(x. y) adalah fungsi tak menurun.
(c ) ( 1 ) had F(x. y) = F(cc,cc) = I
y -,
102
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 112/466
S ET - S ET B EB E R A PA PE M B OL E HU B A I -1 RAWAK
mendekati infinit atau bersamaan dengan mendapatkan P(X C x, Y
c cc). Fungsi taburan marginal bagi X, F,(x) juga diperol ehidengan
cara yang sama.
4.5 Fungsi Ketumpatan Marginal
Katalah kita diberi fungsi ketumpatan bercantum bagi dua
pembolehubah rawak X, Y sebagai f(x, y). Fungsi ketumpatan
kebarangkalian Ix (x~= g(x) bagi satu pembolehubab rawak X
adalah dipanggil fungsi ketumpatan marginal bagi X. Juga fungsif~(y) = h(y) adalah dipanggil fungsi ketumpatan marginal bagi Y .
Fungsi g(x) (atau h(y)) m i adalah fungsi kepada hanya x (atau y )
sahaja. Oleh kerana fungsi ketumpatan marginal adalah satu fungsiketumpatan kebarangkalian, maka ia memenuhi syarat fungsikebarangkalian.
Fungsi ketumpatan marginal bagi kes X dan Y diskrit boleh
diperolehi dengan formula berikut:
g(x) = tf(x,y)y
dan
/z (y ) ~ f(x, y)
Semeritara bagi X dan Y selanjar maka
g(x) = J -~ f(x, y) dy
dan
h(y ) = f(x, y) dx
Contoh: 5 .1
Katalahf(x, y ) bagi dua pembo]ehubah rawak X, Yadalah
x+y x= 1,2,3dany= 1;2
f(x,y)= 21
0 di lain-lain
103
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 113/466
0
Fungsi ketumpatan marginal bagi X ialah seperti gambarajah dibawah. x 1 2 3
5792
yang diperolehi dengan menggunakan formula g(x) = 1 f(x, y)
Z j~y 2 3 5g(1) = ,~i 21 = + —
g(2)= ~
2~~=3 4 7
Y=i 213+y4 5 9
21 21+2121
7=1
Dengan cara yang sama fungsi ketumpatan marginal bagi Ydapatdiperolehi sebagai:
y 1 2
KEBARANGKAL1AN DAN STATISTIK
Fungsif(x, y ) ditunjukkan dalam gambarajah di bawah.
2 3
21
~3,2)
4
2 1 2 1
2
21
1 (3 , I)
3
21 21
2 3
iaitu
9 12
21 21
1 04
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 114/466
SET-SET BEBERAPA PEM BO LEH UBA H R A W A K
Contoti: 5.2
Katalahf(x,y) = e’’;O C X < (13,0 C y < 03
ketumpatan bersama bagi X dan Y
Maka fungsi ketumpatan marginal bagi X ialah
adalah fungsi
atau
g(x) : I . : - ; f(x. y ) dy =
e~ dy
g(x) = {e~ o < <di lain-lain
Fungsi ketumpatan marginal bagi Yialah
atau
h&) = dx
= C’
hW= {C’ O<y<03
di lain-lain
Oleh kerana fungsi ketumpatan marginal adalah fungsiketuinpatan kebarangkalian bagi satu pembolehubah, maka sudah
tentu ia botch digunakan untuk rncndapatkan kebarangkalian bagi
peristiwa-peristiwa yang ditakrif di atas pembolehubah rawak tersebut. Sebagai misalan perhatikan contoh berikut.
Contoh: 5.3Katalahf(x, y) adalah sebagaimana contoh 5.2. Dapatkan P(0
<X1 ic 1 )
Penyelesaian:
P(O cX1 < 1 ) =
g(x) dx
=
I e~dx Jo
= 1 — C1
1 05
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 115/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 116/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 117/466
KEBARANUKALIAN DAN STATISTIK
Yaknif(x, y) adalah fungsi ketumpatan kebarangkalian. Bagi kesdiskrit dapat ditunjukkan dengan cara yang sama.
Untuk mendapatkan kebarangkalian bersyarat fungsiketumpatan bersyarat boleh digunakan sebagaimana biasa. Sebagai
misalan,
P(a < X < b/Y= y) = ff(x/y)dx
bagi kes selanjar atau
P(a<X<bJYy) Ef(x/y)
bagi kes diskrit.
x=o
Contoh: 6.1Katalah pembolehubah rawak X
ketumpatan bersama
1xy
fix, y) = 20
dan Y mempunyai fungsi
Ocx<y<2
di lamn-lain
Maka, fungsi ketumpatan marginal bagi X. g(x) ialah:
Fungsi ketumpatan bersyarat bagi Ydiberi X = x ialah
f(y/x) = =
0 — 4—x
2’
=0
/(x — ç )cx<2, x<y<2
di lain-lain
g(x) = J -~f(x, y) dy
bagi 0<x-c2
di Ilin-lain
108
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 118/466
SET-SET B E B E R A P A PEMBOLEHUBAH RAWAK
Fungsi ketumpatan bersyarat bagi X diberi Y = y ialah
f(x/y) = ~Cj) = f~i /( y3/4)
atau
Contoh: ~2
y2
(2x
f(x/y) =~ 1
(0
o < y < 2 ; 0 c x c y
0 < y < 2 ; 0 c x c y
d i lain-lain
Dengan menggunakan keputusan dad contoh 6.1. Dapatkan:
(a ) P(0 < X < 1/Y= y)
( b ) X <~/Y =
(c ) P(YC1/Xczl)
(a) P(0<X<1/Y=y)a
2x
:rit
Penyelesaian:
I f(x/y) dxJo
( b )
0
1
<x <~/Y=1)=
2x — i - dx y
f(x/y = 1 ) dx
109
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 119/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
(c ) P(YC l/X <1)
lintuk mengira kebarangkalian peristiwa m i kita harus gunakan
persamaan
P(Y< ldanX <1) P(Y < 1 / X < 1 ) =
P(X < 1 )
Peristiwa ~‘ < 1 , X < i~dan < iJ ditunjukkan sebagai kawasanberlorek dalam gambarajah berikut.
jJf(x. y) dy dx
— II ~~xy — I I —dxdy
Jo Jo 2 C ’ y3
= J~d~
11 6
(0,0) (10) (2,0) x
[X < 1] = [X
ly < 1 , X
<
1]
1,0< Y < 2];
P( Y < 1 , X < 1 ) =
1 1 0
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 120/466
SET-SET BEBERAPA PEMBOLEHUBAH RAWAK
P(X C 1 ) = P(X c 1~OC YC 2 ) =
< 1 , X C 1 )
PR < I)
16
7
16
Contob: 6.3
Katalahmempunyai
berikut:
X dan Y ada dua pembolehubah rawak diskrit yang
fungsi ketumpatan bersama, sebagaimana jadual
flx,y) y1 2 3
5(x )
i
x 2
3
1 2 I
ii
2 3 1—1 2 ii
1 1 0 —
12 1 2
4
1 2
6
1 2
2 —1 2
h(y) 4 6 2 — — —
12 1 2 1 2
fJ~±di~dx
y) dy dx
(x — - 4 - ) dx 1 ’Jo
7
1 6
Oleh itu
P(YC 1/iCc I) =
1
7
iii
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 121/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 122/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 123/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
Perhatikan bahawa penggunaan istilah jika dan hanya jika di
dalam definisi adalah untuk menunjukkan bahawa hubunganselisihnya juga berlaku. Yakni jika
f(x, y) = g(x). h(y) V(x. y) e
maka pembolehubab rawak X dan Y adalah ketakbersandaranstokastik.
Adalah tidak sukar untuk menunjukkan bahawa definisi bagiketakbersandaran stokastik adalah lahir daripada konsep
lcetakbersandaran bagi peristiwa-penistiwa. Katalah terdapat dua
penistiwa A dan B. Peristiwa A dan B adalah tak bersandarjika danhanya jika
P(A n B) = P(A). P(B)
Sekarang anggapkan A = [X C x] dan B = [Y C y] maka
P(A n B) = P(X C x, YC y) = P(X C x). P(Y C y )
atau
F(x,y) = F(x).F(y)
Yaknijika X dan Ytak bersandar malta fungsi taburan bersama bagi
X dan Y boleh ditulis sebagai hasil darab fungsi taburan marginal
bagi X dan fungsi taburan marginal bagi Y Jika A ’ dan Yadalah diskrit maka
F(x,y) = F(x).F(y)
ditakrif pada semua titik dalam domain bagi X dan Y bererti
P(X = x, Y = y) = P(X = x). P(Y = y)
atau
f(x, y) = g(x) . h(y).
Jika A ’ dan Yselanjar, terbitan pertama bagi F(x, y), F (x) dan F ( y)
adalah wujud di atas domain X dan Ysehingga
ÔF(xy) ÔF(x) 5F(y)
Uxôy ax
atau f(x,y) = g(x).h(y). -
1 1 4
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 124/466
SET-SET BEBERAPA PEMBOLEHUBAH RAWAK
Berdasarkan definisi 7 .1 juga dapat ditunjukkan bahawa fungsi
ketumpatan bersyarat adalah sama dengan fungsi ketumpatanmarginal bagi pembolehubah rawak tersebut, iaitu jika X dan Y
adalah ketakbersandaran stokastik maka
f(x/y) = g(x)
Dengan kata lain, m i bererti fungsi ketumpatan bersyarat bagi Y
diberi X = x (atau X dibeni Y = y) adalah tidak bergantung kepadakelakuan kebarangkalian pembolehubah rawak X (atau 1 1 .
Katalah X dan Ymempunyai fungsi ketumpatan bercantum
x = 0, 1
f(x.y) fxNfy(y); x = 0,1, y = 0,1
Oleh itu X dan Yadalah ketakbersandaran stokastik.
Contob: 7.2Dua pembolehubah rawak A ’ dan Y mempunyai fungsi
ketumpatan bercantum
f(x.y) =
(~0
(x, y) = {( 0 , 0 ) , (1 , 0 ) , (1 , 1 ) , ( 2 , 0 ) }
di lain-lain
dan f(y/x)= ii(y)
Contoh: 7 .1
f(xy) = ~ ~ (x,y) = {(O,O),(1,0),(0, 1),(l,1)}
0 di lain-lain
Fungsi ketumpatan marginaPialah:
t-0
=
I IMaka didapati
di lain-lain
y = 0, 1
di lain-lain
1 1 5
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 125/466
KE BA RA N GK A LIA N D A N STA TISTIK
maka X dan Y adalah pembolehubah bergantung (kebersandaran
stokastitc). mi dapat ditunjukkan dengan mengambil satu titik katalah (x, y) = (0, 0).
Contob: 7.3
1f(0~0) =
g(0)= P(x = 0)
h(0)= P(Y = 0)
iaituf(0, 0 ) g(0). h (0 )
Katalah dua pembolehubah rawak selanjarketumpatan bersama
= I (x+y)dy Jo
1=
1
43
4
makag(x)h(y)= (x +
f l (y + 0 < x < 1 ,
O<y<1
mempunyai fungsi
O<xcl,Ocyc10 di lain-lain
adalah X dan Ytakbersandar.
Penyelesaian:
g(x = Jf(xy)dy
=
0<x<1
O<y< 1
y) dxC ’
= I (x +Jo
1=
116
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 126/466
SET-SET BEBERAPA PEMBOLEHUBAN RAWAK
Jadi X dan Y adalah bersandar kerana f(x, y) g (x) h (y).
Dengan pengetahuan bahawa A ’ dan Ytak bersandar pengiraankebarangkalian bagi satu-satu peristiwa biasa akan lebih senang. midapat dilakukan dengan menggunakan teorem berikut.
Teorem 7.1Jika A ’ dan Yadalah dua pembolehubah rawak tak bersandar
dengan fungsi ketumpatan marginal masing-masing ialah g (x) dan
/1 (y) bagi setiap a <. b dan c c d maka
Bukti
P(a <A’ c b , c - C Y -c d) = P(a -cX <b).P(c -c Y -c d)
Jika A ’ dan Ytak bersandar makaf(x, y) = g (x).h(y). Oieh itu
P(a cA’ -cb, c < Y -c d) = f J g (x) h (y ) dy dx
= f~x)dx.Jh&)dy
= P(a -cX -c b).P(c
< Y-c d)
Pembuktian bagi kes disknit adalahdigantikan dengan tanda jumlah.
Contob: 7.4
sama, cuma tanda kamilan
Fungsi ketumpatan bersama bagi A ’ dan Y adalah
I ~
f(x,y)=
1 ~ 0
0 < x < ~, 0 C y C
di lain-lain
X dan Yadalah tak bersandar oleh kerana
dan
g(x) =
h(y)= e”
f(x. y) = g(x) h (y )
0 < x C
0<y<oo
Katalah kita ingin mencani P(0 < X < 1 , 0 < X < 2). Denganmenggunakan fungsif(x, y);
117
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 127/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
n r2P(0 <A’ <1,0 C Y< 2) = I e_x_Ydydx
Jo Jo
= I — e~JO e_xdx
= ( 1 — e2).(1 — e’)
Dengan menggunakan teorem 7 .1
P(0<A’<1)= e~dx Jo
= I —
( ‘ 2P(0 C Y< 2)= e~dy
Jo
= 1 —
OlehituP(0 C A ’ < 1,0 C YC 2 ) = ( 1 — e~)(1 — C2)
Sebenarnya pengetahuan berkenaan dengan ketakber-
sandaran dua pembolehubah rawak akan memberi kemudahan
dalam perbincangan kes dua pembolehubah rawak atau lebih.Teorem-teorem yang berkaitan, bagaimanapun akan ditangguh
sehingga bab-bab yang akan datang.
4.8 Beherapa Pembolehubah Rawak
Konsep-konsep yang diperbincangkan bagi kes dua pem-
bolehubah rawak dalam seksyen-seksyen lepas boleh dengan senang
dikembangkan kepada kes banyak pembolehubah. Seksyen mimemberikan sedikit sebanyak pengembangan bagi konsep-konsep
tersebut.Katakan A’,, A ’
2 A ’ , adalah n pembolehubah rawak ditakrif d i atas ruang n — dimensi. Fungsi taburan bersama bagi A ’,, A ’ 2A ’ , yang mempunyai fungsi ketumpatan bercantumf(x, x,,..., A’ ,)adalah
F(x,. x2 x,,) = P(X, C x,, A ’2 C x2 A ’ , C x ,,)
F(x,,x2 x,) =
yakni
x,) x, x2 ...
1 1 8
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 128/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 129/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
Bagaimanapun harus diingat di sini bahawa jika keperluan di atas
dipenuhi A ’ , ... A ’, adalah dipanggil ketakbersandaran bercantum. m a
harus dibezakan dengan ketakbersandaran berpasanganiaitu setiappasangan bagi A ’ A ’ , adalah takbersandar. Jika setiap pasangan
adalah takbersandar tidak semestinya ketakbesandaran bercantum
dicapai.
4.9 Fungsi kepada Beberapa Pembolehubah Rawak
Jilca A ’ dan Yadalah dua pembolehubah rawak dan katakan ~adalah satu fungsi kepada A ’ dan Y Maka
Z =
~(A’, Y)adalah merupakan satu pembolehubah raWak baharu yang ternyatanilainya bergantung kepada nilai-nilai X dan Y~Bentuk demikian
yang lebih umum mungkin melfbatkan lebih dan dua
pembolehubah rawak iaitu
Z=Ø(A’,,A’2,..~A ’,.)
Fungsi taburan bagi Z iaitu Fz(z) = P(Z C z) boleh diperolehidengan menentukan jumlah atau nilai kamilan bagi fungsiketumpatan bercantum bagi A ’, ... X, di atas domain bagi X A ’, di
mana ~(x1 ... x,). C z. Yakni:
Fz(z) = P(Z C z) = P(44X1 ... A’,) C 2 )
= £nEfx1~..A’Jx,...x.J
bagi kes disknit, atau
= ~ ...~, (x, ...xjdx,dx2 ... dx,
bagi kes selanjar, di mana
B = {x, ...x,eR 4(x x,) C z}.
Penentuan jumlah atau kamilan di .atas adalah sukar untuk
dilakukan. Untuk tujuan kita, kita akan hadkan kepada kes duapembolehubah rawak sahaja. Dan bentuk fungsi 4 i yang kita akanbincangkan adalah fungsi linear dalam bentuk jumlah.
Andaikan
Z=X+ Y
120
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 130/466
SET-SET B E B E R A P A PEMBOLEHUBAH RAWAK
di mana X dan Ymempunyai fungsi ketumpatan bercantumfxy(x, y).
Untuk mendapatkan fungsi taburan bagi Z kita boleh gunakan
formula
Fz(z) = P(Z ~ z)= P(X + Y~ z)
= j jf(xY)dxdY
X+ycz
Kawasan bagi kamilan di atas ditunjukkan sebagai kawasan
berlorek dalam gambarajah 9 .1
F~(z)= 1 1x* y~2
8 r—~
x
G ambara jah 9.1:
Oleh itu
Kawasanx + y ~z
f(x. y) dx dy
f(x. y ) dx dy
121
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 131/466
KEBARANOKALIAN DAN STATISTIK
Dengan melakukan pembolehubab iaitu anggap x = t — y maka
Fz(Z) = j-, J -‘ j(r—;~y) dt dy
= i: J 1.tu_Y.YdYdt
Untuk mendapatkan fungsi ketumpatan kebarangkalian bagi Z kita
harus bezakan FA:) berdasarkan Z:
dF,(z) fi fz(z) = = I
dzDengan menyelesaikan kamilan berdasarkan y kita akan perolehi
fungsi ketumpatan kebarangkalian bagi Z.Jikalau X dan Yadalah ketakbersandaran stokastik maka
f7(z) = — y) .f1(y)dyKeputusan bagi kes diskrit adaIah sama seperti yang telah
diperolehi kecuali tanda kamilan digantikan dengan tanda jumlah.Yakni
f7(z) = P(Z = z) = ~ f(x — y. y) y
atau bagi X dan Y takbersandar:
fz(z) = — y)fy(y)
C o n t o h : 9.1
Katalah X1 dan X2 adalah d u a pembolehubah rawak tak bersandar masing-masing bertaburan
f(x1) = x~> 0
andaikan S = X 1 + X2. Dapatkan fungsi ketumpatan bagi S .
Penyelesaian:
Fungsi ketumpatan bagi S ialah
s(s) = — x2)f~2(x2)dx2
122
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 132/466
SET-SET BEBERAPA PEMBOLEHUBAH RAWAK
olehkeranaX1 ~ OdanX2 >Omakaf~2(x2)= Okeeualijikax2 ~ 0 .
Begitu juga F~(s — x 2) = 0 kecuali s — x2 ~ 0 . Maka
t~(s)= j0txi(s — x2) f~(x2)dx2.
— f~I (sx )/2 —x IA
— 2 2
Jo/t /t
= e~ e~2M e~2~dx2
= e~ 1A d x
2
= s e~ s > 0
Taburan bagi jumlah beberapa pembolehubah rawak
diperolehi dengan mengembangkan formula yang diperolehi untuk
duapembolehubah.YaknijikaZ = X1 + X2 + ... + X~makafungsiketumpatan bagi Z diperolehi dan:
f~(z)= J ...J’f(z — — ... — x~,x2,x3,...
dx2 d x 3 ... d x 4
Bagaimanapun dalam praktiknya adalah sukar untuk diselesaikan.
Kaedah yang lebih senang akan dibincangkan di dalam bab yang
akan datang.
Latihan Bab 4
4 .1 Dua duit syiling lambung serentak sebanyak dua kali. Senaraikankesemua kemungkinan kesudahan. Jika ditakrifkan pembolehubahrawak X dan Ysebagai masing-masing, bilangan kepala yang keluarpada lambungan pertama dan kedua, tentukan domain bagi Xdan Y
Dapatkan taburan kebarangkalian bersama bagi X dan Y .
4.2 Dan satu uncang yang mengandungi 5 biji bola merah dan 3 biji bola
hijau, 3 biji bola dipilih secara rawak. Jika ditakrifkan X sebagai
123
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 133/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
bilangan bola merah dan Y sebag-ai bola hijau yang terpilih,
dapatkan
(a~ Domain bagi X, Y (b) Taburan kebarangkalian bersama bagi X dan Y
(c) P(X = 0 , Y= 3 )
4 .3 Dab satu jawatankuasa yang terdiri dan 4 orang Melayu, 3 orangCina dan 2 orang India, 3 orang dipiih secara rawak. Jika X dan Y
adalah bilangan orang Mclayu dan bilan~anorang India terpilih,
masing-masing, dapatkan
(a ) Taburan kebarangkalian bagi X dan Y (b) P(X = 2 , Y= 1 )( c ) P(X ~ 2, Y= 1 )
4.4 Andaikan pembolehubah rawak X dan Y
ketumpatan kebarangkalian bersama sebagai
mempunyai fungsi
y
1 2 3
1
x2
.1 .2 .1
.3 .15 .15
DapatkanP(X = 2 , Y= 3),P(X <2,0< Y< 3),P(X = 1 , Y= 0 )dan P(X ~ x, Y= 1 )
0 1 2 3
084
12~
jj
84 84
1 -~--
8424~
12L~ 0
2 84
4
n 0 0
4.5 Katalah X dan Y
bersama sebagai:
mempunyai fungsi ketumpatan kebarangkalian
124
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 134/466
SET-SET BEBERAPA PEMBOLEHUBAH RAWAK
Dapatkan(a) P( Y < 2.5)(b) P( Ymengambil nilai genap)
( c ) P(X -c 3/Y= 3 )(d) P(X -c 1 )
4.6 X dan Yadalah dua pembolehubah rawak yang mempunyai fungsiketumpatan bersama
f e -(x*y) 0 < x < c~,0 < y < f(x.y)= ~ .
~ 0 di lain-lain
Dapatkan
(a ) P(X > 1,Y> 1 )(b) P(X > 1 )(c ) P(Y> 1/X >1)(d) P(X > 2 , Y= 1 )(e ) P(X > 1,Y>0)
4.7 Katalah X dan Ymempunyai fungsi ketumpatan bersama f(x,y)= 8xy 0<x<y<l
= 0 di lain-lain
(a) Lakarkan domain bagi X dan Y
(b) Dapatkan kebarangkalian:
1 1
(‘ ) [0< Xc ~, Y-c
(ii) [x c
(iii) [Y < ~/X <~
4.8 Bagi kes-kes berikut tentukan nllai a supayaf(x, y) adalah fungsiketumpatan bersama bagi X dan Y
(a ) f(x,y) = axy;0 cx <2,0< y <2(b) f(x,y) = ax(t — y);O < x < 1,0 < y < 1
125
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 135/466
KEBARANGKAL1AN DAN 5TAT1STIK
( c ) f(x,y) = ax2y30 cxc y < I
(d) f(x,y) = a(x +~y);y = 1,2,3,x = 1,2
4.9 Bagi kes-kes dalam soalan 4.2 dan 4 .3 dapatkanf(y/x),f(x/y) danfungsi ketumpatan marginal g(x) dan h(y).
4.10 Dua pembolehubah rawak mempunyai fungs~ketumpatan bersama
flx,.y)=!xy 0<xcy<3
= 0 di lain-lain
(a ) Lakarkan domain bagi X dan Y
(b) Tentukan nilai a supaya f(x, y) adalah benar-benar fungsi
ketumpatan bersama.( c ) Dapatkan fungsi ketumpatan marginal bagi X dan bagi V
(d) Adakah X danYtak bersandar?
4 .11 Dan fungsi ketumpatan bersama latihan 4.4 dan 4 .5 , dapatkan
(a ) P(X = x/y)danP(Y= y/x)
(b) P(X = x)danP(Y= y)( c ) Adakah X dan Yketakbersandaran stokastik. Jelaskan.
4.12 Dan fungsi ketumpatan bersama latihan 4.8, dapatkan fungsi
ketumpatan marginal g(x) dan h(y). Dapatkan juga fungsi taburanF (x, y), F~(x)dan F~(y).
4.13 X dan Ymempunyai fungsi ketumpatan
‘~TN?~0 i 2
0i
U2U
Li2
12
12 121
1
2 L12 i
~i~1 0
126
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 136/466
SET-SET BEB ERAPA PEMBOLEHUBAH RAWAK
Dapatkan
(a ) F(x,y)(b) Fx(x)
(c ) Fy(y)(d) Adakah X dan Ytak bersandar?
4.14 Jika fungsi taburan bersama bagi X dan Ydiberi stbagai
Tentukan
%~NN~:.N0 1 2
0
1
48 8 8
18 8
(a) P(0 <
X <2,0< Yc 2 )(b) P(X = 1 , Y= 1 )
(c ) F~(x)dan Fy(y)
bagi dua pembolehubah rawak X
Fx(x) dan Fy(y)Fungsi ketumpatan bersama f(x, y)
Adakah X dan Y tak bersandar? Jelaskan.
4.16 Dua pemboleh rawak X1 dan X2 adalah tak bersandar dan masing-
masing mempunyai fungsi ketumpatan kebarangkalian
f(x) = a x > 0
= 0 di lain-lain
4.15 Jika diberi fungsi taburan bersama
dan Yi•alah
1 ( 1 — e~)( 1 —
F(x,y) = 10
Dapatkan
x > 0, y > 0
di lain-lain
(a )(b)
( c )
127
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 137/466
KEBARANGKALiAN DAN STATIST1K
Dapatkan
(a ) F(x,y)(b) f(x, y)
(c ) P(X < 1 , Y< 1 )
(d) P(X < 2/Yc 2 )
4.17 Bagi kes-kes berikut tentukan adakah X dan Yketakbersandaranstok astik.
(a )
( b )
(H
f(x. y)
(0
(1 f(x.y) =.~ ~
10
6xy 2
(c ) f(x.y) =~ 0
x+y
( d ) f(x.y) =~ 2 1
(~0
( x , y) = ( 0 , 0 ) , ( 0 , 1 ) ( 1 , 1 )
di lain-lain
;(x;y) = (1,O),(— 1,0),(0, 1),(0, — 1 )
di lain-lain
: 0 c x < 1 , 0 < y - c 1
di lain-lain
x = 1,2,3,
di lain-lain
y = 1 , 2
4.19 X dan Ymempunyai fungsi ketumpatan bersama
J(xy) {x+y x= 1,2,3
0 di lain-lain
4.18 Katalah X1, X2 dan X3 adalah 3 pembolehubah rawak t a k
bersandar, masing-maSing mempunyai fungsi ketumpatan
0<x<4
= 0 di lain-lain
Dapatkan
(a ) P(X1 < 1,X2> 1 , 1 cX3c2) -
(b) F(x1x2,.~c3)( c ) Fx2 x3(x2 x 3 )
Y= 1 , 2
1 2 8
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 138/466
SET-SET BEBERAPA PEMBOLEHIJBAH RAWAK
J i k a d i t a k r i f k a n Z = X + Y dapatkan
P(Z = 3 )
P(Z ~ 3 )
F u n g s i k e t u m p a t a n b a g i Z .
4.20 Katalah X dan Yadalah dua pembolehubah rawak tak bersandard a n m a s i n g - m a s i n g mempunyai f u n g s i k e t u m p a t a n
c ~
fix y) = 2
J i k a d i t a k r i f Z = X + Y da~atkan
( a ) P(Z ~ 2 )
( b ) F u n g s i k e t u m p a t a n k eb a r a n g k a li a n bagi Z.
(a )(b)
( c )
0 < x < ç c 2
d i l a i n - l a i n
129
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 139/466
BAB5
JANGKAAN MATEMATIK
Dalam menggambarkan k e l - a k u an k eb a r a n g k a l i a n s a t u - s a t u pem-
bolehubah rawak kadangkala kita hanya memerlukan satu pengukuran
yang ringkas. Gambaran ringkas m i seboleh-bolehnya dapat menerangkans i f a t - s i f a t p e m b o l e h u b a h r a w a k t e r s e b u t s e b a g a i m a n a j u g a f u n g s i ketum-
patan kebarangkalian ataupun fungsi taburan. Di sini kita akan bincang-
kan penggunaan satu nombor yang boleh dianggap sebagai memberigambaran pusat di mana pembolehubah rawak tersebut tersebar. Pe-
numpuan akan hanya diberikan kepada teknik yang dipanggil jangkaanmatematik. Pengukuran lain seperti median atau mod tidak akan disen-
tub secara langsung.
5 .1 J a n g ka a n bagi Sa tu Pembolehubab R aw akDelinisi 1 .1
Jika X adalah pembolehubah ra~s~k,maka nilai jangkaan bagi
X, E(X) adalah ditakrifkan sebagai
j E xf(x) bagi X
E(X) / J xf(x) dx bagi X selanjar
8~~~-~
d i mana ( a ) E Ixjf(x) < ~ atau (b)J IxIf(x) dx c t.
Sy ar at- s ya r at ( a ) dan (b ) dalam definisi di atas adalahmenentukan jumlah atau kamilan adalah bertumpu secara mutlak
s u pay a E (X) adalah wujud. Jika tidak maka E (X) dianggap tak tertakrif. -
130
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 140/466
JANGKAAN MATEMATiK
(~ (4\\
f(x) =
0
E(X) = ~ xf(x)
o(~)+1 (~)+2 (~ )+3 (~)+4(1)
Ja d i mm b a g i p e m b o l e h u b a h r a w a k X i a l a h 2 .
Cof l toh : 1 .2Katalah X adalah pembolehubah rawak
fungsi ketumpatan kebarangkalian
2e2~c
f(4=
E(X)= J xf(x)dx= J0x2e-2xdx
I ue~du Jo
Nilai jangkaan E (X) juga dike:nali sebagai m m bagi
pembolehubah rawak X atau juga sebagai momen pertama bagi X.
Contoh: 1 .1Satu duit syiling dicampak 4 kali dan katalah X adalah
pembolehubah rawak yang menunjukkan bilangan kepala yang
muncul. Apakah jangkaan bagi X?
Penyelesaian:Fungsi ketumpatan kebarangkalian bagi X ialah
4
x = 0 , 1 , 2 , 3 , 4
di lain-lain
yang mempunyai
Maka0
0~xccc
d i l a i n - l a i n
1
2
1
di mana u = 2 x
1 31
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 141/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
5 .2 J a n g ka a n bagi Fungs i K e p a d a Pembolehubab R aw akDalam keadaan tertentu kita juga mungkin tertarik kepada
jangkaan bagi pembolehubah rawak yang berhubungan denganp e m b o l e h u b a h rawak l a i n yang diketahui kelakuan kebarang-
ka li an n ya . m i b e r e r t i , j i k a
( aE(X)+b E(aX±h)= ~
( aE(X)—b atau
E(aX ± I, ) = aE(X)±h .
C o n t o h : 2 .1Katalab pembolehubah rawak X mempunyai fungsi
ketumpatan kebarangkalian
f(x) = C)G~x) x =0,1,2
Takrilkan Y = 2X — 1 , apakah LV
Penyelesaian:
2
E( 1 ’ ) = ( 2 x — 1 ) f ( x )
— 1 ] ~ + [2(1) — 1 ] -~ + [2(2) — 1 ]
atau dengan menggunakan keputusan
E[aX — bJ = aE(X) — b
kita dapati E(2X — 1 ) = 2 E(X) — 1Jangkaan bagi X ialah
1 3 2
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 142/466
JANGKAAN MATEMATIK
F (X ) = ° G L 0 )
+ l(~)+ 2(~)
Oleh itu
E(Y)= 2Q~)_
C o n t o h : 2.2X adalah pembolehubah rawak selanjar dengan fungsi
ketumpatan kebarangkalian
( e~f(x) =
0 di lain-lain
Y berhubungan dengan X dalam bentuk Y = 4’(X) kita ingin
mengetahui apakah nilai jangkaan bagi Ydengan menggunakan m m
bagi X. Teknik untuk mendapatkannya dijelaskan oleh definisiberikut.
D e f i n i s i : 2.1
Jangkaan bagi Y = 4 ~ (X) adalah diberi sebagai
E 0(x) f(x) bagi X diskrit E(Y) = E[4(X)] = I r~
( j 0(x) f(x) dx bagi X selanjar-
di mana f(x) adalah fungsi ketumpatan kebarangkalian bagi
pembolehubah rawak X.
Syarat untuk wujudnya E[0( X)] adalah sama seperti dahuluiaitujumlah atau kamilandi dalam domain X harus bertumpu secara
mutlak.Fungsi 0 yang paling senang dan selalu digunakan ialah fungsi
linear dalam bentuk 0(X) = aX + b di mana a dan b adalah
133
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 143/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 144/466
1 46
10
135
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 145/466
KEBARANGKAi~IANDAN STATISTIK
Hukti: lni tclah dibcrikan dalam seksyen 4.2.
E k o r a n ( i ) :
N i l a i k a n jan g kaan b a g i pemalan b ; P 2 (b ) = b .
B u k t i :
Dengan teorem 3 . 2
E(aX + h ) = a E(X) + b
m e n g a m b i l a = 0 maka
E(h) = h
E k o n a n ( i i )
N i l a i j a n g k a a n b a g i aX, L(aX) = a E( X)
B u k t i :
Dengan teonem 3 .1 dan mengambil b = 0, maka
E(aX) = c i P2(X) .
Teorem: 3.2
N i l a i j a n g k a a n b a g i jumlah atau perbezaan bagi dua fungsikepada p e m b o l e h u b a h n a w a k X adalahjumlah atau penbezaan bagi
n i l a i j a ngk a a n m a s i n g - m a s i n g : -
E[q(X) ±h(X)] = E[g(X)] ± E[h(X)]
B u k t i : kes d i s k r i t .
E [g ( X)±h ( X)] = [g(x1)±h(xJ] f(x~)
[g(xjf(x1) ±h(xjf(xJ]
= g(xjf(x1)±h(xjf(xJ
= E[g(X)] ± E[h(X)]
U n t u k k e s s e l a n j a r g a n t i k a n t a nd a j um l a h d e n g a n k a m il a n dan k i t a
akan dapat keputusan yang sama.Teorem 32 boleb dikembangkan untuk mengambil kira
keadaan y a n g I e b i h umum i a i t u
1 3 6
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 146/466
JANGKAAN MATEMATIK
= EE[gi(X)]
di mana fungsi g1 boleh jadi dalam bentuk positif atau negatif.
Contoh: 11Katalah pembolehubah nawak X mempunyai fungsi
ketumpatan kebarangkalian
OcxcO
0 di lain-lain
Katalah Y = (X — 1)2 . Dapatkan E( Y ) .
Penyelesaian:
(X — 1)2 b o l e h d i t u l i s s eb a g a i X2 — 2X + 1
maka
E(X — 1 )2 = E(X2 — 2X + 1 )
= P2 (X2) —
E(2X) + P 2 (1 )= P2 (X2) — 2 P2(X) + I
E( X) dan E( X2) ialah:
E(X)= Jlxftx)dx
U
E(X2)= x2f(x) dx
13 7
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 147/466
Oleh itu
C o n t o h : 3.2
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
E[(X — If] = — 2G) + 1
= — (023
— 30 + 3 )
Katalah pembolehubah rawak disknit X
ketumpatan kebarangkalian
Dapatkan E[X (X — 1 )]
(3 \ J(x) = (~x) p7 (I —
mempunyai f u n g s i
x = 0, 1 , 2 , 3
O<p< I
Penyelesaian:
tetapi:
E[X(X — I)] = E[X2 — X] = E(X2) — P2(X)
P2(X) = ~x(~)P~(I —
= 0.(I — p)3 +
= 3p
I.3p(1 — p)2 +2.3p2(I — p)
+ 3.1.p3
3
P2(X2) = £ x2( )p~(l — p)3~X
x~o
= 0 (1 — p)3 + l.3p(l — p )2 + 4.3p2(1 — p)
= 3 P + 6p2
+ 9 p3
Olehitu P2[X(X — 1)]= 3p + 6 p2 — 3p
= 6p2
5 .4 M om en: M m dan VariansDengan mengambil fungsi 0 dalam seksyen 2 sebagi fungsi
138
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 148/466
JANGKAAN MATEMATIK
ku as a; 0 (X ) = X~maka nilai jangkaan bagi fungsi m i adalab
dinamakan momen ke-r bagi pembolehubah rawak K. Yakni:
L x’7(x) . bagi X diskrit
~J xrf(x) dx . bagi K selanjardi mana r = 1 , 2 ,
Momen yang pentama p ’1 ialah nilai jangkaan atau m m bagi X,
iaitu
= P2(X) = P2(X) = p
Sementara momen yang kedua ialah P2 = P2(X2), dan setenusnya.
Con toh : 4.1
Katalah X mempunyai fungsi ketumpatan kebanangkalian
f
0 di lain-lain
MakaCr ~ 1
Ph = I If(x)dx = IJ—r JO 5
5k
k+1
atau momen ke-k bagi X ialah p’~=
Untuk mendapatkan m m bagi X gantikan I c = 1 iaitu
5 ’ 5
momen yang ke-2 ialah:
~2 25
13 9
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 149/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
M m bagi X
a2 = E[(X — p)2]
= E(X2 — 2pX + p 2 )
EX2 — 2pE(X) + p2
= EX2 — 2~+ p2
= E(X2) — p2
E(X) =
3
7=0
3
E(X2)= Ex=o
xf(x) = o(~)+
=2
x2 f(x) = o(~)+
(3’\ (4
+2~) + 3~
+
~)+ 9(a)
25 E(X2) =atau
Varians
Jika fungsi 0 diambil sebagai 0(X) = (X — p ) 2 di mana padalah momen yang pertama atau m m bagi X maka E[0( K)] =
E[(X — pf] dipanggil vanians bagi pembolehubah nawak X, dandicatat sebagai:
a2x = a2 = E[( X — p)2]
Teorem: 4.1
Vanians bagi pembolehubah nawak X adalah dibeni sebagai= ~2 — p2
1 = P2(X
2) — [E(X)]2
Bukti:
= P’2 — p’~2atau P2(X2) — [E( X )]2
C o n t o b : 4.2Katalah X adalah pembolehubah rawak yang mempunyai
taburan kebarangkalian seperti berikut.
x 0
fix)
1 2 3
10 10
Apakah m m dan varians bagi X?
10 10
140
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 150/466
JANGKAAN MATEMATIK
=5
= E(X 2) — p2— 5 — 22
= 1
Dengan menggunakan definisi 2.1.
a 2 = E(X —
= E(x—p)2f(x)= (O_2)2.~+(1_2)2.(~)+
2 — 22_ + 3 — 22 —
4 2 4= i_o+io+o+io
Kita perhatikan varians adalah merupakan purata kepadakuasa dua sisihan nllai-nilai X dan minnya sendini. T a
menggambarkan jarak ukuran-ukuran nilai pembplehubah dan
m i n n y a a t a u d e n g a n k a t a l a i n , n i l a i - n i l a i X a d a la h bersebaran d isekitar minjika a2 adalah kecil dan bersebaran jauh dad minjika a2
besar nilainya.
Punca kuasa dua positif bagi varians, a2 dipanggil sisihan
piawai, iaitu
a = ~/vanians
Contoti: 4.2Katakan X adalah pembolehubah rawak yang mempunyai m m
d a n vanians c2. Andaikan pembolehubah rawak Y = aX + h adalah
jiingsi kepada X. Dapatkan van ians bagi Y .
Penyelesaian:
Var (Y) = E[(Y —
= E[(aX + b — aE(X) _b)]
= E(aX ± b) = a E (X) + b telah ditunjukkan dalam contohlepas] jadi
141
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 151/466
KEBARANGKALIAN DAN STATiSTIK
Var(Y) = P2[{a(X —
= P2[a2(X — p ) 2 ]
= a2 P2(X — p ) 2= a2 Var(X)
Dan contoh di atas kita dapati penambahan pemalar b tidak
membeni kesan kepada vanians atau sisihan piawai bagi satu
pembolehubah nawak. Sementara penukanan pembo!ehubah dalam
bentuk hasil darab, a. menukarkan vanians dengan a2 kali.
5 .5 Ketidaksamaan Chebyshev
Kita perhatikan bahawa a2 adalah menggambarkan sebananukuran pembolehubah rawak X di sekitan m m p. Jika nilai a2 adalah
k e c i l k i t a akan m e n j a n g k a k a n bahawa n i l a i - n i l a i b a g i X a d a la h
berkumpul berhampinan dengan m m bagi X atau sebaliknya. Jadinilai kebarangkalian pembolehubah rawak tersebut mengambil
n m l a i - n i l a i d i k a w a s a n t e n t e n t u adalah bergantung kepada nilai
vanians a2 bagi X. Untuk mengukur kebanangkalian pembolehubahnawak X m i berada diantana jarak tententu dan m m kita kemukakan
teonem yang dmnamakan ketidaksamaan Chebyshev.
Teorem: 5.1Katalah pembolehubah rawak X mempunyai m m p dan
varians a2. Maka bagi sebanang nombon positif I c
P(IX — p~~ ka) ~ 1 —
Teonem di atas yang juga boleh ditulis sebagai
P(p — ka < X <p + ka) ~ 1 —
membenikan gambaran bahawa kebarangkalian sebanang
pembolehubah rawak X benada di antara k s i s i h a n p i a w a i dan mm
adalah sekurang-kunangnya 1 — ~ Ta membolehkan kita niengira
batas bawah kebanangkalian b a g m peristiwa tententu bagi sebarang
tabunan. Bagaimanapun oleh kerana batas yang dipenolehi tidak semestinya hampir kepada nllai sebenar, ia janang digunakan untuk
1 4 2
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 152/466
JANGKAAN MATEMATiK
menganggan ukuran kebarangkalian, tenutamanya jika tabunan
pembolehubah nawak tersebut diketahui. Batas atas kebarangkalian
boleh juga dikina dengan menggunakan teorem di atas. hi timbul
oleh kenana ketidaksamaan di atas boleh juga ditulis dalam bentuk
1 P(]X — p~~ ka) ~
y a n g m e m b e n i k a n k e b a n a n g k a l i a n p e m b o l e h u b a h n a w a k X
mengambil nilai di luan I c sisihan piawai dan m m sebagai selebih-
lebihnya
Contoh: 5.1
Katalah satu pembolehubahketumpatan kebarangkalian
4
(0
rawak X mempunyai fungsi
2<x<6
d i l a i n - l a i n
Dapatkan angganan bagi P(3 < X < 5 ) .
Penyelesaian:
M m dan vanians bagi X ialah masing-masing
p= 4
P ( 3 <X
2a
5 ) boleh ditulis sebagai
P(4 — 1 <X < 4 + 1 )
Dengan menggunakan ketidaksamaan Chebyshev
P(4 — I c <X < 4 + k
dengan mengambml k = 41 didapati
1
k 2
P(4 - cX ~+ k~) = P ( 3 < K < 5 ) ~ 1 —
v~2
2
143
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 153/466
KEBARANOKALiAN DAN STATISTiK
atau4 1
P(3 < K < 5 ) ~ 1 — =
Batas bawah bagi P(3 < K < 5 ) i a l a h
Sementana ukunan kebanangkalian sebenan ialah:
P(3 < X < 5 ) = I : ~dx
2
Dan contoh d~atas tennyata penbezaan di antara nilai
kebarangkalian yang sebenar dengan angganan Chebyshev adalahbesar. m i adalahdijangkakan oleh kenana penganggaran Chebyshev
adalah konsenvatif dalam enti kata ia adalah benlaku untuk semua
j e n i s t a b u r a n .
Sebagaimana yang telah disebutkan pengangganan Chebyshev
adalah tidak digunakan untuk pengangganan ukuran ke-banangkalian.Tetapi penggunaan teorem m i adalah mustahak untuk
tujuan lain — yang akan ditemui nantm.
5 .6 Jangkaan bagi Fungsi kepada Dna Pembolehubah Rawak
Konsep nilai jangkaan bagi fungsi kepada satu pembolehubah
nawak boleh dikembangkan untuk mengambil kmra fungsi kepadadua atau lebih pembolehubah rawak. Definisi 2 .1 boleh
diubahsuaikan untuk mengambil kina dua pembolehubah nawak
yang mempunyai fungsi ketumpatan bensama f(x, y) atau npembolehubah nawak X
1, K2 K 0 yang mempunyai fungsiketumpatan bensamaf(x1 x2 ... xj.
Seksyen m i akan menumpukan perhatian hanya kepada fungsidua pembolehubah nawak. Bagi kes banyak pembolehubahpenbincangan akan diberi secana ningkas sebagai lanjutan kepadakes dua pembolehubah. Fungsi yang kita akan bineangkan juga
tenhad penekanannya kepada fungsi linear maitu fungsi yang paling
senang tetapi banyak penggunaannya di dalam pnaktik.
Katalah X dan Y adalah dua pembolehubah rawak denganfungsi ketumpatan bersamafi x, y). Katalah 0 adalah fungsi kepada
14 4
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 154/466
JANGKAAN MATEMATIK
dua pembolehubah rawak m i , maka
Z = 0(X. Y)adalah menupakan satu pembolehubah nawak bahanu yang nilainya
bengantung kepada nilaiK dan Y(perhatikan seksyen bab 4). Untuk
m e n d a p a t k a i i j a n g k a a n b a g i Z (atau 44X, Y))kita boleh gunakanf(x,y), yakni sebagaimana definisi berikut.
Definisk 6.1
Katalah X daft Y adalah dua pembolehubah nawak denganfungsi ketumpatan bensamaf(x, y). Maka nllai jangkaan bagi Z =
0 ( X, Y) ialah
P2(Z) = P2[0(X, Y)] = J -~J~0(x. y)f(x. y) dx dy
bagi X, Yselanjar, atau
P 2 ( Z ) = E(X, Y) = fl 0(x. y)f(x, y)7~~
bagi X, Y adalah d i s k r i t .
Definisi 6.1 boleh dikembangkan untuk menjadi lebih umumiaitu jika
Z = 0(Xi ... X,j
maka
P2(Z) = E[Ø(X 1 ... X0)] = f~n~ii fir 0(xi ... xj.
f ( x 1 ... x 0 ) dx1 ... dx0
di manaf(x1 ... x , , ) ialah fungsi ketumpatan bersama bagi X1 ... X0.
Jika K1 ... X0 adalah diskrit, tanda kamilan ditukankan kepada tanda jumlah.
M m bagi Fungs i Linear kepada Dua Pembolehubab Rawak
Teonem: 6 .1Jika K dan Yadalah dua pembolehubah nawak dengan fungsi
ketumpatan bensamaf(x, y ) dan jika 0 (K, Y ) = X + Ymaka
P2(X + Y) = P2(X) + P2(Y)
145
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 155/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
Bukti: kes selanjan:
P2(K + Y) = Jf(x + y)f(x,y)dxdy
= J~I: xf(x, y ) dx dy +
I: J : r yf{x, y) dx
=
J~x [ J ~ f(x, Y ) dy] dx +
JTr ~[J:r f(x, Y) d:] dy
= J xf~(x)dx + f yf~)dy-r -r
di manaf~(x)danf 1(y) adalah fungsi ketumpatan marginal bagi K
dan bagi 1 ’ .
Oleh itu E(K + Y)= E(K)+ E(Y)
Pembuktian untuk kes disknit adalah sama kecuali tanda kamilan
ditukar dengan tanda jumlah.
Teorem: 6.2Jika K dan Yadalah dua pembolehubah rawak dengan fungsi
ketumpatanf(x, y ) maka jika 0(X, Y) = aX + b1~a dan b adalah
pemalar, E(ax + hi) = a P2(K) + b E(Y)
Teorem 6.2 adalah merupakan ekoran kepada teonem 6 .1 danmenggunakan keputusan Teonem 3 .1 Ekonan i i .
Contoh: 6 .1
Katalah K dan Yadalah dua pembolehubah rawak dengan m m
masmng-masing malah p~dan pt-. Taknmfkan Z = K — Ymaka
P2(Z) = P2[K + (— 1 ) F ] = E(X) + — 1 P 2 ( Y )
= E(K)—P2(Y)
= P x — Pr
14 6
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 156/466
JANGKAAN MATEMATIK
C o n t o h : 6.2A nd ai ka n K , d an X
2 merupakan d u a p e m h o le h u h a h rawakd e ng a n f u n g s i ketumpatan keharangkalian m a s i n g - m a s i n g i a l a h
~
f(xÔ= j ~Taknilkan Z = (X1 + K2). Dapatkan m m bagi Z.
Penyelesaian:
P2(Z) = ~P2(K1 + K2) = ~P2(K1) + P2(X2)
0 < x, < 2
di lain-lain
Tetapi1 2
P2(K1) = I x/(x)dxJ o
123= —x
3dxJ o S
3
dan
P2(K
2)= x~dx
Oleh itu
P2(Z)=
Ja n g ka a n kepada thai! DarabSekarang jika fungsi adalah benbentuk hasil danab 0( K, Y) =
KY~j a n g k a a n b a g i 0( K, } ) adalah sepenti di muka s u n a t 1 4 8 .
14 7
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 157/466
KEBARANOKALIAN DAN STATISTIK
E(XY)=
I: J~ xyf(x,y)dxdy
bagi kes selanjar, atau
P2(KY)= Etxyf(x.y)
bagi kes disknit.
Jikalau kita membincangkan kes khusus di mana K dan Y
adalah ketakbersandaran stokastik iaitu
f i x, y ) =fx(x).fy(y)
maka jangkaan E(KY) boleh dmsimpulkan dengan teonem benikut.
Teorem: 6.3
A n d a i k a n K dan Y a d a l a h d u a p e m b o l e h u b a h r a w a k
takbersandar, maka
E(KY)= P 2 ( K ) . P 2 ( Y )
Buk tm: kes selanjar.
E(KY)=
oleh kerana K dan Ytakbersandan maka
E( KY) = C C xyf~(x).fy~)dx dy
= J~xfx(x)dxf Yfr&) dy
= P2(K).P2(Y)
Pembuktian bagi kes disknit adalah sama sahaja.
Harus dmingat hubungan sebaliknya b a g m teorem d~atas adalahtidak benlaku. Yakni jmka
E(KY) = E(K).E(Y)
tidak semestinya K dan Yadalah ketakbersandaran stokastik.
Sebagai ekoran dan teorem di atas Ia juga boleh ditulis dalam
bentuk:P 2 [ g 1 ( K). g2( Y )J = E[91(K )].E[92( Y)]
14S
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 158/466
JANGKAAN MATEMATIK
di mana g~dan 92 adalah fungsi linear kepada K dan Y .
Varians bagi Fungs i Linear kepada Dua Pembolehubah Rawak
Sekarang kita penhatmkan pula varians bagi fungsi kepada K danYyang benbentuk
Z=K+Y.
M m bagi Z kita dapati dengan menggunakan teonem 6.1 iaitu
P2(Z)= P2(K)+P2(Y)
Pz /~x + 1-
ty
OIeh itu vanians bagi Z ,
V ( Z ) = a~= P2[(Z — pj2]= E[(K + Y Px —
= E[{(K — Px) + (Y —
= E[(K — p)2 + (Y — p~)2+2(K — 1 - tx) (Y — t2y)]
= E[(K — p)2] + E[( — p~)2] ÷
2 E[(K — 1 - tx) (Y — pr)]
= a~+ aj’ + 2axr
11 mana a21 dan 0
2y ialah masing-masing vanians bagi K dan Y .
Sebutan ~xy adalah dipanggil kovarians bagi K dan Y . Yakni
Cov(K, Y) = a1y = P2[(K — Px) (1’— Pill
Jadi kesimpulannya ialah varians bagi jumlah dua pembolehubahrawak malah jumlah bagi varmans pembdlehubah rawak tersebut.
ditambah dengan dua kali kovanians.
Adalah tidak sukan untuk menunjukkan bahawa Coy(K, Yfluga
boleh ditulis sebagai formula benikut:Cov(K, Y ) = P2(KY) — PxPr
m i dapat dmtunjukkan dengan mengembangkan (K — Px) ( Y — Pr)
(K — p1)(Y— py) = KY— p~K — Px Y+ PxIfr
sehingga bila dmambil jangkaan didapati
E[(X — p1)(Y— Ity)] = E(KY) — #rP2(K) — PxP2(Y) + Pxlty= E(KY) — PyPx — 1 x1
1y + PxPy= P2(KY)—p~p,
149
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 159/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 160/466
JANGKAAN MATEMATIK
fix. s ’ ) =
+ .1o < < 1.0 <
di lain-lain
Dapatkan kovarians dan pekali kore a s i bagi X dan Y
Penyelesaian:
= E(X) =
ft ft
in Jo
7
1 2
r r E(X
2j= J J 060
144
E(fl=
E(Y2)=
x (x + v ) dx ( IV
x2 (x + y) dx dy
— 60 49 —
— 1 4 4 — 1 4 4
y(x + y)dxdy =
II
44
dan
o~=E(Y2) — /4
E(XY)= Ir1
Jo o
II
1 4 4
= E(XY) — Ux I 1y
48 7 7
= 144 1212
1
144
Pxy
= ER2) — 1L~
7
60 y2(x + y) dx dy =
mak a
48xy(x + y)dxdy =
144
151
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 161/466
Contoli: 6.4
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
1
1 1
Andaikan X dan Yadalah dua pembolehübah rawak dengan
fungsi ketumpatan bersama
/(xy) = { ‘;x=l,2,3,4,y~l,2,3,4
16
0 di lain-lain
— 1 2 0 1 0 0
—
16 16
4 4V(Y)= L y2——
16
100
16
y= 1
1 2 0
1 6
2016
Dapatkan varians bagi Z = X + T iC
Penyelesaian:
X dan Yadalah ketakbersandaran stokastik keranafx(x) =
f~v)= danf(x, y ) = fx(x)fy(v).
Oleh ituV(X + 2Y) = V(X) + 4 V(Y)
Tetapi
4 4 4 412
E x2__~z x—jx1 1 6 x~i 1 6
[4 4]2
dan I ~Lx1 1 6
20
16
1 5 2
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 162/466
JANGKAAN MATEMATIK
maka
20 2 0
V(X + 2Y) = + 4.-~-~
100
1 6
25
4
Harusjugadiingat bahawaolehkeranaZ = X — Ybolehditulis
dalambentukZ =
X + —(1Y)makavariansbagiZ =
X —
Yada-lah
V(X — Y) = V(X) + (~~2 11 (Y)
= 11 (X ) + 1 1 (Y )
yakni varians bagi perbezaan dan pembolehubah rawak
takbersandar adalah jumlah bagi varians kedua-dua pembolehubahrawak tersebut.
Teorem: 6.6Jika X dan Yadalah dua pembolehubah rawak dan Z = aX±bYmaka
11(Z) = a 2 a;~ + b 2 a~ ± 2aba~~.
Dan jika X dan Yketakbersandaran stokastik maka
11(Z) = a 2 a~+ b 2 c~
5.7 J a n g ka a n bagi Fungs i Linear kepada Pem bolehubah Rawak
Konsep-konsep bagi kes dua pembolehubah rawak yang telahdibincangkan, dengan senang dapat diperkembangkan kepada kes
banyak pembolehubah.
Jika X1, X2 ... X, adalah n pembolehubah rawak dengan fungsi
ketumpatanbersamaf(x1 x,Jmaka fungsikepadaX1 ...X~boleh
ditulis:
Y=çb(X1...X~)
Dan jika 0 adalah linear maka Yboleh berbentuk
‘I
E a1X1
1 5 3
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 163/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
= a 1 X1 + a 2 X2 + .~ + ~
Teorem: 7.1
Jika X 1 ... X~adalah n pembolehubah rawak maka bagi a1, a2
a~pemalar dan Y = a1 X1 + a2X2 + ... + a~X~
dan
E(Y) = L a~E(X1)1=1
EL11(Y) = L af 11(Xa + 2 c a1a~Cov
11 I 3(X, X~)
Keputusanyang menarik dan teorem m i ialah apabila X1,
X~adalah takbersandar sehingga Coy (X1, X~)bila I ~ j adalah sifar.
Teorem: 7.2
Jika X1 ... adalah ii pembolehubah rawak takbersandar dan
jika Y = E a1X~maka
dan
E(Y) = E a1 E(XJ 1=1
Contob: 7.1
V(Y) = E a~V(X1)
Andaikan X1 ... X~adaIahn pembolehubah rawak takbersandar
dan masing-masing mempunyai m m p dan varians p(1 — p ) Katalah
Y = L Xe/n. maka m m dan varians bagi Yialah masing-masing p
dan p (1 — p)/n
Bukti:
maka
E(X,) = p dan V(XJ = — p )
“1 E(Y)= E -E(X1)
1=1 fl
154
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 164/466
JANGKAAN MATEMATIK
=-L pfl 1=1
np
n
= p .
= i~t (1)2
= —~ E 1 1 (X 1 )1=1
1= —1np(l — p )
n
= — p)U
Contoli: 7.2
Pembolehubah rawak X1, X2 ... X~adalah takbersandar
dengan m m dan varians masing-masing malah ~zdan a2. Jika
Y = X X1 , apakah m mn dan varians bagi F?
Penyelesaian:
E(X1) = V(J(~)= cr2
oleh itu
E(Y) = E(LXJ = E(X1)
= i~1 ~
flu
dan
V( Y) = V(EX1) = ~ V(XJ
155
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 165/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
= L1=1
= n c r 2
M m dan varians bagi Y = E X1 ialah masing-masing np dan ncr
2
5.8 Hukum Nombor ResarKita Ielah memerhatikan m m danvarians bagi kombinasi linear
beberapa pembolehubah rawak takbersandar. Bentuk kombinasi
linear k = L X~nadalah mempunyai kepentingan tersendiri
dalam analisis statistik. Jadi di sini kita perhatikan kelakuan
kebarangkalian X yang mempunyai purata bagi ii pembolehubah
rawak tak bersandar berhubungan dengan m m dan varians bagi K.Masalah yang kita akan perbincangkan di smni,jika x I x~adalab a
pembolehubah rawak tak bersandardan X, = ~ X /n apa akanjadi
pada X bila a mendekati m n fi n it . Penyelesaian asas terhadap
masalah m i boleh dijelaskan dengan bantuan ketidaksamaanChebyshev.
Teorem: 8.1
Katalah X, = I ~ X di mana X, ... X, adalah n
pembolehubah rawak tak bersandar dengan E(X~= p dan varians
V(XJ = a2. Maka bagi sebarang nilai > 0 maka
1
Bukti:
—
V(X3 = -‘ L 11(X 1)
i1
n
Dengan menggunakan teorem Chebyshev
P(!X. — p~)~ kcr4 ~ I —x x k
156
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 166/466
JANGKAAN MATEMATIK
atau
P(IX~-~ 1-
ka a. .Jn Dengan mengambil e = atau k =
U
Maka
P(IX. — z~a ) ~ 1 —
4 —Bila diambil had; n —. cc, maka
hadP(Ik~~—i~ct)= ~1~(i —~~)=I
atau
had P ([X , — p~c a ) 1
Sebagai kesimpulan daripada teorem di atas kita boleh katakanbahawa purata bagi pembolehubah rawak takbersandar yang
mempunyai m m dan varians yang sama adalah mendekati m m bagi
pembolehubah rawak tersebut. Ia akan lebih dekat bila semakmn
besar bilangan pembolehubah rawak tersebut diambil, atau dengankata lain X, adalah mendekati m m u dengan kebarangicalian satu.
Jmka lau X~mendakati m m p bila n bertambah atau teorem 7 .2ber1akuk~jugadikatakan bertumpu secara stokastik ke arah satu
pemalar p.
Pengetahuan tentang penumpuan stokastik atau keputusanHukum Nombor Besar m i adalah mustahak di dalam perbineanganberkenaan dengan inferens statistik di dalam bab-bab yang akan
datang.
Contob: 8.1
Katalah Y~= E X1 di mana X1,..., X~adalah n pembolehubah
rawak takbersandar dengan m m dan varians masing-masing ialah ,i
dan a2. Tunjukkan bahawa } tidak bertumpu stokastik ke arah satu
pemalar.
157
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 167/466
KE BA RA N O KA LIA N D A N STA TISTIK
Penyelesaian:
E(X 1) = p, dan 11(X1) = a2
Maka
= np dan V(Y~)= n cr2
— np~<k ~ a) ~ 1 —
a= kfncr makak =
1
( L
“ ( I ‘~ — np~ < a ) ? 1 —
bila ii —~ cc, maka
had P(lç — c a ) = ~ (i — ncr)
Kesimpulannya, jumlah bagi n pembolehubah rawak takbersandar
adalah tidak mendekati minnya sendiri, atau Y~tidak bertumpustokastik ke arah np.
5.9 Fungsi Penjana MomenDalam perbincangan lepas kita perhatikan bahawa momen
b a g m satu-satu pembolehubah boleh diperolehm dengan membuatkamilan atau jumlah secara langsung. Sekarang kita cubamembincangkan satu teknik yang membolehkan kita mengira
momen dengan menggunakan kaedah yang dinamakan penjana
momen. Kaedah m n m dalam keadaan tertentu boleh memudahkanpengiraan.
Dengan menggunakan teorem Chebyshev
Ambil
OIeh m t u
atau
— npj < a) ~ 1
158
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 168/466
JANGKAAN MATEMATIK
Delinisi: 9.1Katalah ea adalah fungsi kepada pembolehubah rawak X,
maka nilai jangkaan bagi er’. jika wujud bagi nilai t yang tertentu,
adalah dipanggil fungsi penjana momen bagi X (atau bagi taburankepada X).
r r~
I
i_cc e”f(x) dx
EetX f(x) bagi kes diskrit
x
Contob: 9.1Katalah X pembolehubah rawak
ketumpatan kebarangkalian
Fungsi penjana momen bagi X
yang mempunyai fungsi
0 < x c cc
di lain-lain
M(t) = E[etX] = a e°’dx
“cc
= a I e~0’ dx
Jo
a E
1= — et~ j
a—t
t —a
1
— 1 — t/a
Harus diingat M(t) tidak semestinya wujud iaitu bukan setiaptaburan mempunyai fungsi penjana momen tersendiri. Tetapi jika ia
wujud, fungsi penjana momen adalah menerangkan taburan bagipembolehubah rawak tersebut.
M~(t)= E(ëX)
bagi kes selanjar
Peringatan:M~(t)jugaditulis M(t) jika kita tidak perlu membezakanantara fungsi penjana momen dengan pemboleh-
ubah.
f(x)5 a
~l~o
159
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 169/466
KE BA RA N GK A LIA N D A N
Perhatikanjika kita kembangkan e”~mengikut sin MacLaurin:
t 2X2 t’X’
= 1 + tX + + ... + — +2 !
maka
1 t2x2 t’ x’
E(eL~~) E[1 + tx + -~— + ... + +
= Ef(x) + t ~ xf(x) + Z x2f(x) + ...+
L ~ x’f(x) +
t2 t
= 1+p’1t+p’2~+...+p’,-~+...
Yakni momen i4 ; r = 1 , 2, ... boleh diperolehi dengan
mengembangkan M(t) dalam bentuk kuasa bagi t. Momen ke-r
boleh diperolehi dengan melihat kepada peka lm bagi sebutan
Bagaimanapun jika kita dapatkan terbitan secara berturutanbagi M(t) dan dmni lamk an pada t = 0 kita akan mendapatnya denganlebih senang.
Perhatikan:
t
2 C
M(t) l+1/1t+/t2F+...+Pr~T
M’(O)= p ’1 = E(X)
M 2(0)= P’2 = E(X2)
dan set.erusnya. Dalam bentuk yang lebih umum M(m) (0) iaitu
terbitan ke-m dmnilaikan pada t = 0 bagi M(t) boleh ditulis
Mm(0) = E (Xm)
Con toh : 9.2
Kataiah X mempunyai fungsi penjana momen M(t) = 1
t < a ; dapatkan m m dan varians bagi K.
160
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 170/466
JANGKAAN MATEMATIK
Penyelesaian:
1 -.
I — 1/a
= M’(r)= + 1(1 — t)~2
1 0- ( I — )-2
a a
p = E(X)= -a
M”(t)= 4(1 —
M”(O) = 42
E(X 2) = -y
Var(X)= E(X2) — p2
2 1
= a2 — a2
1
a2
Oleh itu m m dan varians bagi X ialah masing-masing dan 4 .
Sifat Fungsi Penjana MomenPenggunaanfungsi penjana momen dapat diperluaskan kepada
fungsi kepada pembolehubah rawak dengan menggunakan
beberapa teorem berikut.
Teorem: 9 .1
Jika a dan b adalah pemalar dan M~(t)adalah fungsi penjana
momen bagi pembolehubah rawak K maka
(a ) Mx+a(t) = = e” M~(t)
161
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 171/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 172/466
.JANGKAAN MATEMATIK
1222
= ~ ~ + C I
/1/ + i~ 2,2
=e
Kita perhatikan dalam contoh di atas bentuk fungsi penjana
momen bagi Yadalah sama dengan bentuk bagi K. Dan p~= apx +
b serta C2y =a2cr2 adalah menyetujui keputusan m m dan varians bagi
fungsi linear bagi satu-satu pembolehubah rawak dan seksyen lepas.
Sebenarnya Y = aX + b adalah mempunyai taburan yang sama
sebagaimana X kecuali m m dan varians sahaja yang berbeza. Untuk mi kita perturunkan satu teorem yang tidak dibuktikan di sini.
Teorem: 9.2Jika dua pembolehubah rawak mempunyai fungsi penjana
momen yang sama maka mereka adalah dan taburan yang sama.Teorem mi menyatakan sifat bagi fungsi penjana momen adalah
unik. Tidak ada dua pembolehubah rawak yang mempunyai fungsipenjana momen yang sama melainkan keduanya mempunyai fungsiketumpatan yang sama. Keputusan mi adalah mustahak dalam
penentuan taburan bagi fungsi kepada pembolehubah rawak atau
pembolehubah-pembolehubah rawak yang fungsi penjana
momennya wujud.
5.10 Fungsi Penjana Momen kepada Beberapa Pembolehubab Rank Katalah x dan Y adalah dua pembolehubah rawak dengan
fungsi ketumpatan bersamaf(x. y), maka fungsi penjana momen bagi
K dan Yadalah ditaknif sebagai
12) = E(ehl + 1
2Y)
di mana bagi nilai h1 dan h 2 tertentiz — h 1 .c t1 <h1 dan — h2 < t2c h2, maka jangkaan tersebut adalah wujud.
Fungsi penjana momen M(t1. t2 ) mi jika wujud menentukanbukan sahaja taburan bersama bagi pembolehubah rawak X dan Y tetapi juga taburan marginal bagi K dan taburan marginal bagi 1 ’ .
Yakni:
= E[e’J =
dan M(01) = E[e 2 ] =
M7(t1) dan M1(t2) ialáh masing-masing fungsi penjana momen bagi
X dan Y
163
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 173/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 174/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 175/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 176/466
JA N G K A A N M A TE M A TIK
C cc lx ix + +i:t
= j ..n—kali .. j e 1+ 2 ‘j(x
1...xjdx1 dx2...dx,
Jika K1 ... K, takbensandar makaf(x1 ... xJ = fxj(x1) ...f*(x~)
Oleh itu
cc aI tx a
— e I fX1(xl) dx1 3 e 2 .f~2(x2)dx2 ... Ja -cc
tX,X dx,
Ele I I ... LIe 1 Mx1(t) ... A1~jt)
M~(t)
Contoh: 11.1
Katalah K1 ... K, adalah n pembolehubahdengan fungsi penjana momen
M~~t)= ( 1 — flt)2
(a) Jika Y = K 1 maka
MAt) = H M~.t)
= rI(1—pt)2
= ( 1 — flt)”
(b) Jika I = Kmaka dengan menggunakan teonem 9.1
M~(t)= Mx(t) = M 14~)
= (1— fl~)-fl~
atau
Mx(t) = (1 —
16 7
nawak tak bebas
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 177/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
Jika kita perhatikan bahagian (b) contoh 11 .1 , kita dapatiteorem 11.1 boleh dikembangkan untuk mengambilkina fungsi
linear kepada beberapa pembolehubah rawak tak bensandar.Keputusan mi berserta teorem 9.2 berkenaan uniknya fungsipenjana momen adalah sangat mustahak dalam menentukan
taburan bagi kombinasi linear beberapa pembolehubah rawak.Penggunaan teknik m i akandibincangkan dalam teoni pensampelan
dan infenens statistik nanti.
Latihan B ab S
5 .1 Dalam satu tong tendapat 10% buah-buah yang nosak. Jika 3 bijibuah dipilih secara rawak dan andaikan K sebagai bilangan buahrosak yang terpilih maka K adalah pembolehubah rawak yang
mengambil ni!ai x = 0 , 1,2,3. Tentukan fungsi kebanangkalian bagi
K dan dapatkan jangkaan bilangan buah rosak yang terpilih.
5.2 Dibeni fungsi ketumpatan kebanangkalian
(a ) f(4= x=0,1,2,3
(b) f(x)= C ) (.2 )x (.g)2x x = 0, 1,2
(c ) f(4= ~ C ) (2x) x = 0, 1,2,3,4
(d) 1(4= (1)x-1 ( 0 x = 1,2,
Dapaikan m m dan van ians bagi setiap kes .
5 .3 Diberi fungsi ketumpatan kebarangkalian
(a ) f(x)=~ lcx<k+1
(b) f(4= 3 x2 0<x<l
(c ) f(9= ~e~2 x >0
(d) f(9= 641 — x)0 < x < I
Dapatkan m m dan varians masing-masing.
5 .4 Dapatkan jangkaan bilangan nekod lagu Melayu yang ter~iih
168
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 178/466
JA N G KA A N M A TE M A TIK
apabila 4 rekod dipilih dan satu rak yang mengandungi 5 rekod lagu
Melayu, 3 rekod lagu Cina dan 2 rekod lagu Hindustan.
5.5 Katalah Y adalah pembolehubah rawak bagi jumlah permukaandadu yang keluar bila dua buah dadu 6 muka dicampak serentak.Dapatkan E(Y).
5.6 Seorang pemain judi dibayan dalam ninggit 2 kali dan nombor
permukaan yang keluar apabila satu dadu 6 muka dicampakkan.Jika untuk bertaruh sekali (melakukan satu campakan) beliau harus
membayar $3, apakah jangkaan penolehan jika ia bentaruh 3 kali.
5.7 Andaikan bilangan pelanggan yangmemasuki satu kedai dalam satu
han di bandar Kajang boleh digambankan sebagai nilai bagi
pembolehubah rawak K yang mempunyai fungsi ketumpatan
f(x) = e~ 5, x > 0
Apakah jangkaan bilangan pelanggan kedai tersebut dalam satu
han?
5.8 Katalah pembolehubah rawak K mempunyai fungsi ketumpatan
(a ) f(9= ~x x=0,1,2,3
(b) f(9=~x 0<x<3
Dapatkan
(a) E(K) dan E[K(K — 1 ) ]
(b) 11 (K)
Jika Y= 2Kdapatkanmindanvariansbagi Ydenganmenggunakan(a) teonem 3 .1 dan (b) mendapatkan fungsi ketumpatan Yterlebih
dahulu.
5.9 K dan Yadalah dua pembolehubah nawak selanjar yang mempunyai
fungsi ketumpatan bensama
f(x,y)= 1 Ocxcl,0<y<l
= 0 di lain-lain
Dapatkan E(Z) di mana Z = 2K2 + Y — 1 .
169
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 179/466
KE BA RA N GK A LIA N D A N STA TIST IK
5.10 Jika fungsi kebarangkalian bagi K dan Yadalah seperti benikut.
Dapatkan
(a) E(K + 1 )(b) E(XY 2)( c ) E(K)danE(Y)
5 .11 KatalahK1,K2 danK3 pembolehubah nawak tak bersandan masing-
masing bertaburan
(a ) Dapatkan E (K1) , E [S 1 (K1 — 1 )] dan gunakan keputusannyauntuk mendapatkan varians bagi K 1
(b) Jika I = (K, + K 2 + K3 ) dapatkan E(I) dan V(X).
5.12 K dan Y adalah dua pembolehubah nawak takbersandar masing-
masing bertaburan
f(w) = 1
5 .13 Katalah K dan Y mempunyai fungsi
sebagaimana soalan 5.10. Dapatkan
ketumpatan bersama
~iCh
f(x1) = (4)(1)x1x = 1,2,..
lcw<2
Dapatkan
(a ) E(~K -
(b) E(2KY)
(c ) EU/K)
= 0 di lain-lain
y) dan K — y)
17 0
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 180/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 181/466
KE BA RA N G RA LIA N D A N 5TA TISTIK
(a ) Dapatkan ~(i < K c
(b) Dengan menggunakan ketidaksamaan Chebyshev dapatkanbatas bawah kebanangkalian tensebut.
5.18 Katalah K i,..., K 0 adalah n pembolehubah rawak takbersandar
masing-masing mempunyai m m 0 dan vanians 00 — 0) . Tunjukkan
bahawa I, = adalah mendekati 0 dengan kebarangkalian satu.
5.19 Bagi fungsi ketumpatan dalam soalan 4.3 dapatkan fungsi penjana
momen bagi tiap-tiap kes.
520 Bagi fungsi ketumpatan dalam soalan 52 dapatkan fungsi penjana
momen masing-masing.
5 .21 Jika K1, K2, K3 adalah 3 pembolehubah rawak tak bensandarmasing-masing mempunyai fungsi penjana momen
M1.(t) = [(1 — p ) + p e]
Jika ditaknilkan Y = K1 + K 2 + K 3 , dapatkan fungsi penjana
momen bagi Ydan tentukan m m dan vanians bagi Y.
5.22 K mempunyai fungsi ketumpatan
f(9=p’U _p)l~X x=0,1
Dapatkan fungsi penjana momen bagi K. Jika Y = 3K — 1 apakah
m m dan vanians bagi 1?
5 .23 K adalah pembolehubah rawak selanjar dengan fungsi k etumpatan
f(x) = — ~ 0 c x .c cc
Dapatkan fungsi penjana momen bagi Y = 2K dan gunakannyauntuk mencari mmn dan vanians bagi 1 1
5.24 Fungsi penjana kebarangkalian bagi K adalah ditaknif sebagai
~4t) = E(~)
Dapatkan fungsi penjana kebarangkalian bagi kes-kes benikut
172
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 182/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 183/466
BAB6TABURAN-TABURAN KHUSUS: DISKRIT
6 .1 Pengenalan
Dalam bab mi perbincangan akan dmtumpukan kepada
bebenapa bentuk khusus taburan kebarangkalian diskrit yang sening
dijumpai dalam praktik. Penekanan akan diberi kepada peng-gunaan konsep dan kesimpulan yang dipenolehi dan Bab 3 hingga
Dab 5 . Kajian terhadap taburan-taburan khusus mi adalah
dipenlukan oleh kerana banyak kes dalam praktik boleh diwakii
sebagai satu bentuk percubaan yang mempunyai ciri-ciri yang sama.Sebagai contoh, bilangan pelajar yang akan lulus dan 100 pelajar
‘samapandai’ yangmenduduki satu pepermksaan adalah mempunyaisifat-sifat yang sama dengan percubaan mendapatkan bilangan
kepala apabila satu duit syiling dicampak 100 kali. Pembolehubahrawak yang ditakrif bagi kedua-dua percubaan tensebut bolehdianggap sebagai satu pembolehubah nawak untuk mendapatkanbilangan sukses dan n ulangan percubaan. Jadi adalah wajar untuk kita mengkaji taburan-tabunan khusus yang boleh menjelaskankelakuan kebanangkalian pembolehan nawak yang timbul dan
keadaan han-han.Sebelum penbincangan dilanjutkan, satu konsep baru yang
harus dikemukakan di sini, iaitu parameter bagi taburan. Parameterbagi taburan atau parameter bagi pembolehubab rawak yang
mengambil taburan tersebut boleh difahamkan sebagai kuantitiyang tak diketahui, sekunang-kurangnya sebelum percubaan selesai,yang membezakan kelakuan kebanangkalian pembolehubah nawak
dan satu taburan tertentu.
6.2 Taburan SeragamTaburan kebarangkalian yang paling mudah ialah yang
17 4
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 184/466
TABURAN-TABURAN KHUSUS: DISKRIT
dinamakan taburan senagam. Ia timbul apabila pembolehubahrawak boleh mengambil semua nilai yang tertaknif untuknya dengan
kebarangkalian yang sama.Jika pembolehubah nawak K bolehmengambil nilai-nilai x
1, x2,
; maka, jika
x=x1,x2,..~
f(x, k) = di lain-lain
K dikatakan bentaburan seragam dengan parameter k.
Perhatikan bahawa kita gunakan f(x, k) sebagai ganti f(x)
untuk menunjukkan bahawa tabunan senagam tensebut adalahbergantung kepada nilai k.
Contob: 2.1
Katalah K menunjukkan bilangan ‘.‘ yang muncul bila satu
dadu enam muka dicampak sekali. K boleh mengambil nllai 1,2, 3,4,
5 dan 6 dengan kebarangkalian ~. mi boleh ditunjukkan dengan
lebih kemas sebagai:
f(x, 6) = x = 1 , 2 , 3 , 4, 5 , 6.
6.3 Taburan Bernoulli
Jika satu percubaan rawak boleh menghasilkan hanya duakemungkinan kesudahan yang benbeza — yang selalunya disebut‘sukses’ atau gagal — dengan kebanangkalian masing-masing p danq; p + q = 1 , maka pencubaan tersebut dipanggil percubaan
Bernoulli. Dan pembolehubah rawak K yang menunjukkanbilangan sukses yang benlaku dikatakan bentaburan Bernoulli.
Pembolehubah rawak K adalah mempunyai fungsi ketumpatankebarangkalian
I x 1—x~p q x=0,l
f(x.p)= ~ .
1 o di lain-lain
Kita perhatikan bahawa pembolehubah rawak K hanya mengambil
dua nilai iaitu 0 bila gagal dan 1 bila sukses.
Contob: 3.1Dalam percubaan melambung duit syiing sekali, jika kita
175
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 185/466
KE~ARANGKALIAND A N STATISTIK
anggapkan mendapatkan ekon sebagai gagal iaitu 1 — p dan
mendapatkan kepala sebagai sukses dengan kebarangkalian p ,
maka pembolehubah nawak K yang menunjukkan bilangan suksesadalah bertaburan Bernoulli dengan parameter p . Dan fungsiketumpatan bagi K ialah
( P’u—pi~ ‘ ~ = 0 , 1 f(x,p) = ) . . -
0 di lain-lain
M m dan vanians bagi K ialah:
P = E(K) = 0(1 — p) + l.p = p
E(K 2) = 020 — p ) + 12(p) = p
= V(K) = E(K2) — p2 = p — p2 = ~1 — p )
6.4 Tahuran Binomial
Katakanlah satu pencubaan rawak boleh menghasilkan hanya
dua kemungkinan kesudahan iaitu sukses dan gagal. Andaikankebarangkalian untuk sukses ialah p dan kebanangkalian untuk
gagal ialah q , di mana p + q = 1 . Katakanlah percubaan Bernoullim i dilakukan mengikut kekerapan yang tak bensandar sebanyak nkali. Dalam setiap kekerapan percubaan diandaikan p adalah tmdakberubah. Jika kita taknifkan pembolehubah rawak K sebagai
bilangan sukses d m dalam n kekenapan percubaan tak bersandarmaka K adalah bertabunan binomial dengan parameter n dan p dandicatat b (n, p ) ’ Fungsi ketumpatan kebarangkalian bagi K ialah
b(x;n,p) = ~flpxqn-x x=0,1,2~ 0 di lain-lain
(n\ n ! dimana! 1=
\xj x! (n—x)!
Fungsi ketumpatan kebanangkalian bagi K adalah dipenolehi
dan penjelasan benikut:
S~tupercubaan nawak mempunyai dua kesudahan, sukses dangagal dengan P(sukses) = p dan P(gagal) = q . tJntuk mendapatkan
kebanangkalian x sukses dan it kekenapan percubaan kita hanus
penhatikan kebarangkalian x sukses dan it —
x gagal. Oleh keranakekenapan pereubaan adalah tak bersandar maka kebarangkalian
176
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 186/466
TA BUR A N -TA BUR A N KHUStJS:
untuk mendapatktht x sukses dan n — x gagal ialah ~‘ q ” ‘.
Sementana susunan mendapatkan x sukses dani ii kekerapan boleh
berlaku dengan (n) cana. Oleb itu keharangkalian untuk mendapat
x sukses dan it kekenapan percubaan boleh dmdapati dengan
menjumlah (n) unsur yang masing-masing mempunyai
kebarangkalian p~qfl~X Jadi
p (x sukses dan it kekenapan) = ( ) pX qfl~X
Danjmka kita taknmfkan K supaya mengambil nilai-nilai x = 0, 1,2
it iaitu jumlah kemungkinan sukses dalam it kekerapan percubaan
maka
P(K=9=b(xn,p)=(~pxq~x=Q,l,...,
Fungsm ketumpatan kebarangkalian bagi bebenapa nilai p
ditunjukkan dalam gambanajah 4 .1
C o n t o h : 4.1
Katalah satu duit syiling dmcampakkan sebanyak 10 kali.
Apakah kebarangkalian dua danipada campakan menghasilkan
kepala.
Penyelesaian:
Dalam satu campakan kita mempunyai dua kesudahan iamtu
kepala dan ekon dengan kebarangkalian ~. Campakan tensebut
diulang 10 kali secana tak bensandan dengan kebanangkalian kepala
dan ekon adalah kekal. Jika ditaknifkan K sebagam bilangan kepala
yang keluar dan it campakan maka K adalah bentabunan binomial
dengan panameter 10 dan ~. Perhatikan d i sini sukses ialah
mendapatkan kepala dan gagal ialah ekon.
Untuk mendapatkan kebanangkalian K =
2 k m ta bolehgunakan fungsi ketumpatan kebanangkalian bagi K. Yakni
177
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 187/466
KE BA RA N GK A LIA N D A N STA TISTIK
P(K ‘= 2 ) =
I 10 /1 2 1\~b(2; l0,~)= (2)~) (~)
Contolt 4.2
— 1 0 ! u 1 V 0— 2 ! 8 ! \2)
90Ii
2
Katajah K bertaburan bmnommal dengan parameten 20 dan
iaitu ditulis K b(x; 20, ~).Dapatkan
(a ) P(K ;~5 )(b) P(2 c K <6)
Penyelesaian:
(a ) P(K ~ 5 ) = I — P(K C 5 )
= I _Eh(x;20~~)
= I — .4148
= .5852
4
(b) P(2 ( K < 6 ) =
x~2 b(x; 20,
= t b~x;
x~o
20,
= .6172 — .0243
.5929
— x~ob(~20~~)
Penhatikan nilai I b(x; it, p) boleh diperolehi dan jadual tabunantao
binomial (lihat Lampiran).
M m dan Varians
Sebelum dibmncang Iebih lanjut perhatikan pengembangan
binomial sebelah:
178
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 188/466
Gambarajah 4.1: Fungsi ketumpatan kebarangkalian taburan binomial untukn = 10 dan beberapa nilal p.
‘7 = 10
p=.5
f(x)
.5 —
.4 -
.3
.2 -
I I0 1 2 3 4
f(x) /1=5.5 -
.4 -
.3
.2
.1 . T
I t5 6 7 8 9 10
npq =ff~
n = 10
p = .2
T0 1 23 4 5 6 7 8 9
.5
.4
.3
.2
10
(7 = 10
. p.=.8
. t T I I1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
179
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 189/466
KF BA RA N G KA L1A N D A N STA TISTIK
(a ) M m bagi b (x: n, p)
p=E(X)= I xb(x;n,p)xao
= I x(~) px q~X
x 0
n ! = x pXqfl~X
~=, x! (n —
° n(n—1)! =
x = i (x— 1)! (it— x)! p~px
(n—I)! = np I
~i (x—1)! (n—x)! px-I qnx
E(K) = n p ~=,, y! (in—y)! j9 q”~’
= tip (p + q Y ”
oleh kerana p + q = t maka
E(X) = np
(b) Vanians bagi K it b (it. p)
Perhatikan fungsi K (K — 1)
(p + q)’ = (0) pX qfl~X = x~,I h (x; it, p)
Persamaan ml akan sentiasa digunakan dalam membmncangkan
tabunan binomial.
Teorem: 4.1
Jika K bentaburan binomial dengan parameter it dan p . maka.
m m dan varians bagi K ialah
p=np dan c2=itpq
Bukti:
C
andaikanx—1 = ydanm = n—I maka
180
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 190/466
TABURAN-TABtJRAN KHUSUS: DISKRIT
E[X (X—1)] = (x—l) x~’(n—x)!pX qfl~X
— ~ x(x_Y21L(!lcJ)uiL2JL p2 qX~2q?l~X
— ~ x(x— 1 ) (x—2)! (n—x)!
2 (n—2)!= n(n—l)p S ~—-—
7p qx2 (x—2)! (n—x).
andaikanx—2 = ydann—2 ,nmakam
E[X (X — I)] = n(n— 1) p
2 5 y!(m—v)! ~
= n (n — 1 ) p2 (p + q Y ”
= n(n—1)p2
Untuk mendapatkan varians bagi X perhatikan bahawa
a2 = E(X2) — [E(X)]2 = E[X(x—1)] +.E(X) — [E(X)]2
= n(n — 1)p2 + rip — n 2p2
= np — r i p 2
= np (1 — p)
= npq
Oleh itu m m dan varians bagi X adalah masing-masing rip dan npq.
Contoh: 4.3
Katalah X pembolehubah rawak mempunyai fungsiketumpatan kebarangkalian
f(x) = 5(1s)~)x~yz_x x = 0,1,2 15t di lain-lain
Dapatkan m m dan varians bagi X.
Penyelesaian:
Kita perhatikan X adalah bertaburan binomial dengan
parameter n = 15 dan p = ~. Oleh itu m m dan varians bagi X adalah
181
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 191/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
masing-masing np dan npq.
(a) ~t = E(X) np
=
(b) ~2 = npq
— 15h1\h1’\ 15 \~2)k~2) 4
Yakni X mempunyai m m dan varians
Fungsi P en j a n a Momen bagi Tabwan Binomial
Kesukaran dalam menentukan momen bagi taburan binomialdengan menggunakan definisi dapat d ia t as i jika kita dapatkan fungsi
penjana momen haginya.
Teorem: 4.2Fungsi penjana momen bagi taburan binomial yang
mempunyai parameter ii dan p ialah
M 1fl) [(1 — p ) + pe’]”
Bukti:
Mx(t) = Efe”] = exi (~)p1 qJt~X
= ~ (e’ p)X qfl~X = (e’p + q)”= [(l—p) + e’pJ’
Dengan mendapatkan terbitan ke-m bagi M(t) dan mengambil
= 0 , kita akandapat momen yang ke-m bagi taburan binomial iaitu
M,’ (t) = tipS [1 + p (e’ —
E(X) = M,’ (0 ) = np
18 2
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 192/466
TABLJRAN-TABURAN KHUSIJS: DISKR!T
M~”(t) = ripe’ [1 + p(e’ — l)]~~_1+ n(n — 1)p2 e2 ’
[1 + p(e’ —
E(X2) = M~(O) = np(1 — p + r ip)
dan varians bagi X
a2 = E(X2) — [E(X)]2= np(l — p + np) — n2p2
= np(l — p)
Kita dapati keputusan yang sama dengan teorem 4 .1 .
Contoh: 4.4
Katalah fungsi penjana momen bagi X diberi sebagai
(4 1 \‘ M(t) = +
maka X adalah bertaburan binomial dengan parameter n = 7 dan p
= ~. M m bagi x, E(X) = rip = 7 Q ) = dan varians bagi X.
Var(X) = =
6.5 Taburan Multinomial
Bentuk yang lebih umum bagi taburan binomial ialah apa yang
dinamakan taburan multinomial. Jika dalam percubaan yang
menghasilkan taburan binomial kita mempunyai hanya duakemungkinan kesudahan, maka taburan multinomiat adalah lahir
daripada percubaan yang mempunyai Iebih dan dua kemungkinankesudahan. Keadaan yang lebih terpeninci dan mana taburan
multinomial berlaku, boleh dijelaskan seperti benikut:
Katalah satu percubaan rawak boleh menghasilkan mkemungkinan iaitu K
1, K K,, , dengan kebarangkatian masing-
masing p1~ P2 Pm - Katalah percubaan tersebut mengikutkekerapan ii kali secara tak bersandar, maka percubaan m i bolehmenghasilkan taburan multinomial. Yakni jika kita takrifkan
pembolehubah rawak X1, X2 X_ sebagai tnenggambarkanbilangan berlakunya K1, K2, ..., K,,, maka taburan kebarangkalianbagi pembolehubah rawak tersebut boleh ditulis sebagai
183
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 193/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
x x I
I?. I 2 In
fix .. Xm; fl P ! P2 Pm ) = P i P2 P m
x 1!x2! Xm!
di mana x1 = ri dan E =
Fungsif(x1 X~,ri: Pi P2 . ~m) adalah fungsi ketumpatanbersama bagi in pembolehan rawak X1, X2 ... Xm dan proses
memperolehinya boleh dijelaskan sebagaimana mendapatkanfungsi ketumpatan kebarangkalian bagi taburan binomial.
Contoh: 5.1Katalah kebarangkalian bahawa satu kemalangan kereta boleh
menyebabkan kematian, kecederaan berat, kecederaan ningan, dantidak cedera adalah masing-masing 0-05, 0-3, 0-4 dan 025. Katalah
dalam satu han tententu tendapat 8 kemalangan kereta. Apakah
kebarangkalian bahawa dan lapan kemalangan, 2 menyebabkankematian, 2 kecederaan berat, 3 kecederaan ningan, dan 1 tidak
teicedera.
Penyelesaian:
Terdapat 4 kesudahan dan satu kemalangan. Katakan:
K1 = kemalangan menyebabkán kematianK2 = kemalangan menyebabkan cedena berat
K3 = kemalangan menyebabkan cedena ningañK4 = kemalangan tidak menyebabkan sebanang kecedenaan.
Makap, =P(K,) = °°
5’P2 =P(K 2) = 3,p~= P(K3) = -4dan
724 = (K4) = 25.
Taknilkan X1, X2, X3 dan X4 sebagai bilangan kemalangan yang
menyebabkan kematian, cedena benat, cedera ningan dan tidak adakecedenaan, maka X1, X2. X3, X4 adalah bertaburan multinomial.
Dan kebanangkalian yang dikehendaki ialah P (X, = 2, X2 =2 , X3
= 3 , X4 = 1) iaitu
f(2,2,3,1,8, 05,-3,-4,-25) = 2!2!3!1! (~5)2 (.3)2 (.4)3 (25)’
= 0 0 6
6.6 Taburan Hipergeometri
Jikalau n kekenapan pencubaan dilakukan tenhadap percubaan
18 4
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 194/466
TABURAN-TABIJRAN KHUSUS: DISKRIT
Bernoulli adalah bensandan maka kita tidak akan lagi menghasilkantabunan binomial. Sebaliknya percubaan tensebut akan meng-
hasilkan taburan yang dinamakan tabunan hipergeometri.Andaikan satu set mengandungi N unsur yang boleh dibahagi
kepada k unsun sukses dan N-k unsur gagal. Katalah kita
mengambil ii unsur danipada N secana rawak; atau dengan kata lain
melakukan n kekerapan pencubaan. Dan, kita benminat untuk mengetahui kebarangkalian x sukses danipada n kekenapanpercubaan in Untuk mendapatkan x sukses danipada n maka hanus
kita mendapat n-x gagal. Jika kita taknilkan pembotehubah nawak X
sebagai bilangan sukses danipada ii kekerapan maka X adalah
bertabunan hipengeometni.Fungsi ketumpatan bagi X dipenolehi dengan memerhatikan
kebarangkatian X mengambil nilai x di mana x = 0, 1 n , iaitu
bitangan sukses. m i dapat dijelaskan sebagaimana benikut:
Untuk memilih n danipada N unsuntendapat (‘~)cana.Oleh itu
kebarangkalian bagi setiap unsur ialah i/(N). Untuk memiih x
daripada ktendapat (/c) cara. Dan untuk memitih n—x dan N—k
tendapat ( ‘)cara. Oleh itu tendapat ( ) ( ) cara untuk \fl—XJ \,x \n—x
memilih x dan ii — x danipada n . Kebanangkalian bagi tiap-tiap cana
iatah i / ( 7 ) . Dan itu kebanangkalian untuk mendapatkan x sukses
(dan n—x gagal) dani n kekerapan pencubaan ialah dengan- - . /‘k\IN-k
menjumlahkan kebarangkalian setiap cara sebanyak I II\xJ \fl—x
kali. Yakni
(k~ (N — k
—
(N ‘ii
Jadi fungsi ketumpatan kebanangkalian bagi pembolehubah nawak
X yang menunjukkan bilangan sukses danipada n kekerapanpencubaan ialah
18 5
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 195/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
-
f(x,N,n.k) = X = 0,1,..~n
~n)
Contob: 6.1
Dalam sebuah uncang tendapat 15 biji bola; 1 0 bola menah dan 5
bola putih. Katalah 2 biji bola dipilih satu lepas saw dengan bola
yang tenpiih tidak lagi dimasukkan ke dalam uncang. Dapatkankebarangkatian bagi bilangan bola putih yang terpiih.
Penyelesaian:Anggapkan penistiwa mendapat bola putih sebagai sukses dan
mendapatkan bota menah sebagai gagal. Jadi k = 5 dan N-k = 1 0 .
Maka untuk mendapat 0 sukses (dan 2 gagal) terdapat ( ~ )(~)Oleh itu P (0 sukses) = = ~ 1 0
Untuk mendapatkan 1 sukses Wan 1 gagal)tendapat (3G3cana
maka PU sukscs) = =
Sernentara mendapatkan2sukses (dan Ogagat) terdapat ( ~ )Q °~ )cana iaitu P(2 sukses) = ~ =
k~2)
Ringkasnya
(5)(10)
P(xsukses) =
18 6
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 196/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 197/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
kesudahan, sukses dan gagal yang kekenapannya tak bersandan.
Jikalau kita memerhatikan bilangan sukses danipada n kekerapanyang ditetapkan kita akan mendapat tabunan binomial. Tetapisekarang katalah kita melihat danipada sudut lain iaitu kita ingin
memerhatikan bilangan kekerapan percubaan sehingga suksespertama benlaku. Maka percubaan m i akan menghasilkan taburangeometni. Jika kita takniflcan pembolehubah rawak X sebagai
bilangan kekenapan sehingga sukses pentama berlaku maka X
adalah pembotehubah rawak geometni. Dan X boleh mengambil
nilai-nilai danipada 1 hingga infinit.Fungsi ketumpatan kebanangkalian bagi X boleh dipenolehi
dengan melihat penistiwa mendapatkan sukses pentama pada ke-kerapan ke x, x = 1 , ...~. Penistiwa mendapatkan sukses pentama
pada kekenapan ke x adalah penistiwa mendapatkan sukses pada
kekenapan ke x dan gagat pada kekenapan sebelumnya.
Kebarangkalian mendapatkan sukses pada kekerapan ke x ialah p
dankebanangkalianmendapatkangagal padakekerapanke x - 1 , x-2,1 ialah masing-masing i-p. Oleh kenana kekenapan adalah tak
bersandar maka kebarangkalian peristiwa tersebut ialah p(i —
p)~’. Maka kebarangkalian mendapat sukses pertama pada
kekerapan ke x ialah
p(X=x)=p(1—p)~ x=O,1,...
Beberapa contoh fungsi ketumpatan kebanangkalian tabunan
geometri dapat ditihat dalam gambanajah 7 .1 .
f ( x )
.5
.3
-2
x
-4. p- .5
0 2 3 4 5 6 7 8
188
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 198/466
TABURAN-TABURAN KNUSUS: DISKRIT
1 ( x )
‘5
4 p=25
.3, I !
Gambarajah 7.1: Fungsi ketumpatan bagi taburan
geometri.
Contob: 7 .1
Katalah satu duit syiing adalah pincang di mana kebarang-
kalian untuk kepala keluar ialah ~- dan ekor ~‘. Jika syiling tersebut
dicampak berulang-ulang sehingga ekor keluar, apakah kebarang-
kalian mendapatkan ekor padacampakan ke-2 dan pada campakank e-5 .
Penyelesaian:
Takrilkan X sebagai pembolehubah rawak yang menunjukkan
bilangan campakan hingga ekor keluar. Maka X adalah bertaburan
geometri dengan parameter p =
Oleh itu
P(X = 2) = p(1—p)’ = =
dan p(X = 5)= p(1—p)4 = ~ ~fl4= 243
Intern: 7.1
M m dan varians bagi taburan geometri dengan parameter pialah masing-masing
189
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 199/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 200/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 201/466
KEBARANUKALIAN DAN STATISTIK
Contoh: 7.2
Katalah seonang pemain tenis mempunyai kebanangkalian 04untuk menang dalam satu-satu penlawanan. Andaikan setelah
bermain 5 kali beliau kalab kesemuanya. Apakah kebanangkalianbeliau mencapai kemenangan pentama di penlawanan yang ke-7.
Penyelesaian:
Taknifkan Ysebagai bilangan penlawanan selepas 5 penlawanan
di mana pemain tensebut mencapai kemenangan pentama. Maka
penistiwa menang yang pertama di perlawanan ke-7 ialah [Y = 2].
Oleh ituP(Y 2) =
= (-4) (-6)’= 24
Kebarangkalian pemain m i mencapai kemenangan pentama dipenlawanan ke-7 setelahkalah dalam S penlawanan mula-mula ialah
0-24.
6 .8 Tahuran B inom ia l NegatilJikalau dalam tabunan geometni kita memenhatikan b i langan
icekenapan untuk mendapatkan sukses yang pertama, maka
sekanang kita ingin metihat kekenapan di mana sukses yang ke-k benlaku. Jadi sebagai ganti kepada mencani kebanangkalian sukses
yang pertama pada k ek enapan k e-x kita luaskan konsep kita k epada
mencani kebanangkalian mendapatkan sukses ke-x pada kekenapanke-x. Taknilkan pembolehubah nawak X sebagai bilangan di maria
sukses yang ke-k. Oleh itu X akan mengambil nilai-nilai k, k+ 1 , k
+2Uniuk mendapatkan tabunan kebanangkalian binomial negatif
penhatikan penistiwa sebelum k sukses dalam x kekenapan. Peristi-wa m i boleh benlaku jika tendapat k-i sukses dan x-k gagal datamkekenapan pertama hingga ke x-I. OIeh kerana kekerapan adalahtak bersandan maka kebarangkalian k-i sukses dan x-kgagal,tanpamengira susunan, ialah /~‘ (i—p)””; p adalah kebanangkalian
untuk sukses. Tetapi penistiwa k—i sukses dan x-k gaga l dan x-i
kekenapan boleh berlaku dengan(~)cana. Jadi kebanangkalian k -1 sukses datam x-i kekenapan iatah
1 9 2
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 202/466
TABURAN-TABtJRAN KHUSUS: DISKRIT
(x- I’\ b(x-1; k-I, p) = ~k-i) ~ (1-p)~
Untuk mendapatkan sukses yang ke-k pada kekenapan x haruspada kekenapan tensebut benlaku satu lagi sukses dengan kebarang-
kalian p . Dan itu kebanangkalian mendapatkan bilangan kekerapanx supaya sukses ke k benlaku ialah
f(x; k , p) ( : D ’ (1 _p)X-k x = k, k+ 1 ,
Maka pembolehubah nawak X yang mempunyai fungsiketumpatan kebarangkalian sepenti di atas adalah bentaburan
binomial negatif.
Penhatikan juga bahawa bila k = 1 taburan binomial negatif menjadi tabunan geometni dengan fungsi ketumpatan kebarang-
kalian
f(x,p) = p(1~p)~x = 1.2,
Contob: 8.1
Seonang pakan perubatan mementukan 2 orang pesakit banah
untuk dicuba sejenis ubat banu. Beliau memenilcsa seonang demiseonang pesakit di hospital untuk menentukan siapa yang benan-
benan mengidap banah tensebut. Jikalau danipada pesakit-pesakit
tersebut kebanangkalian mengidap banah iatah apakah
kebanangkalian 8 onang pentu dipeniksa sebelum betiau mendapat 2
orang yang dikehendaki.
Penyelesaian:Masalahdi sini adatah sama denganmendapatkan 8 kekenapan
supaya sukses ke-2 benlaku.
Taknilkan X sebagai bilangan kekenapan sehingga sukses ke-2
benlaku, maka X adalah bentaburan binomial negatif dengan
parameter k = 2 p =
Jadi
7 i~56 P(X=8)=
( ‘ ) (~ )91 9 3
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 203/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
= ~
U I= -065
Yakni kebanangkalian dokton tensebut penlu memeniksa 8 orangpesakit ialah -065.
Penginaan kebanangkalian bagi tabunan binomial negatifdapat
dipenmudahkan d engan menggunakan formula
flx; k. p ) = b(k. x. p )
di mana b(k; x. p ) adalah kebanangkalian pembolehubah rawak Xmengambil nilai k dan X adalah bentaburan binomial denganpanameten n = x dan p .
Coutob: 8.2
Dan contoh 8 .1 kita dapati:
P(X=8) = ~b(2.8~~)
= (-2376) = -065
nilai b(2. 8 , ~)= (2376) dipenolehi dan jaduat tabunan binomial.
Teorem: 8 .1
M m dan van ians bagi tabunan binomial negatif yang
mempunyai fungsi ketumpatan kebanangkalian
f(x,k.p) = — p)x~k x = k,k + 1,...
masing-masing iatah
k 2 k(i—p)p=—danc
p p P
Coutob: 8.3Penhatikan masalah dalam contoh 8 .1 . Katalah kita ingin
mengetahui secana punata benapa orang penlu dipeniksa oleh doktor
194
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 204/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 205/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 206/466
TABURAN-TABURAN Ki- IUSUS: DISKRIT
Penyetesaian:
Katatah X adatah bilangan tikus dalam satu ekan. Maka Xadatah bentaburan Poisson dengan parameter p = 10 .
Kebanangkalian satu ekan sawah mengandungi kunang danipada 4
ekon tikus boleh ditulis sebagai:3
P(X < 4) = E f(x, 10) x~o
= ~ e~°lo x
,~
r 102 1~= r’°[I + 10 + +
= -0103 .
PenhatikanbahawaP(X <4) = P(X (3)botehdidapatidanijadualtabunan Poisson.
Contoh: 9.2
Katalah kebanangkalian bahawa seorang pengidap penyakitmerbahaya untuk sembuh ialah 0-4. Jika terdapat 20 onang
pengidap, apakah kebanangkalian sekunang-kunangnya 10 akansembuh?
Penyetesaian:
Anggapkan X sebagai bitangan pesakit yang sembuh. X adalahbentabunan binomial dengan parameter n = 20 dan p = - 4 .
P(X) 10) = 1 — P(X -c 10)
9
= 1— E b(x;20,4) x=o
= 1 — -7553
= -2447
Jikalau kita menggunakan angganan Poisson, X adalah bertabunan
Poisson dengan parameter p = np = 8 , atau
e
8
8~b (x; 20, -4)
197
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 207/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 208/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 209/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
Jika X adalah bentaburan binomial, b(n, p) maka fungsi
penjana momen bagi X ialah
M~(t)= [(l—p) + p et] ”
= [1 + p(e’ —
atau boleh ditulis
= [I +
Andaikan tip = p maka
M~(t) = + p(e’—
bila n mendakati infinit
I p(et — 1)i~hadj I + ~- = —I)
it j
Jadi
had Mx(t) =e’~’~= M~(t)
M~(t) = 1) adalah fungsi penjana momen bagi tabunan
Poisson dengan parameter p. Jadi dengan menggunakan teonembahawa fungsi penjana momen adalah unilc (teonem 4 : 8.2) X adalah
bertaburan Poisson dengan panameterp bila it mendekati infinit. mimenunjukkan bahawa taburan binomial boleh dianggankan dengan
menggunakan taburan Poisson bila n cukup besan.
Contob: 9.3
Katalah satu pembolehubah rawak X mempunyai fungsi
penjana momen sebagai M~(t)= - ‘~. Dapatkan m m dan vanians
bagiXdanP(X = 2).
Penyelesaian:
Jika M~(t)= “ maka X adalah bentaburan Poisson
200
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 210/466
TABURAN-TABURAN KJIUSU5: DISKRIT
dengan parameter p
4 , a2 = 4
= 4 . Oleh itu m m dan vanians bagi X iatah p =
Latihan Bab 6
P(X = 2) = f(2 :4)
— C442
2 !
= 8 e4
= 0-147
6 .1 (a) Buktjkan bahawa
b (x; n , 6) = b (n—x; it , 1—0)
di mana
h(i; it 0 ) adalah P(X = i ) dan X h(n, 0 )
(b) Dapatkan, dengan menggunakan keputusan di atas,
P(2 ~ X ~ 5 ) jika K bUS, 9)
6.2 Jika g(x, p) adalah P (X = x) di mana X adalah bentaburan
Geometni dengan parameter p tunjukkan bahawa
g(x;p) = ~b(1;x,p)
Gunakan persamaan di ata~untuk mengira
(i) g ( 20 ; -3 )(ii) g ( 15 ; -8 )(iii) P (2 < X ~ 6 ) d i mana X adatah bertaburan geometri
dengan parameter p = -35.
6.3 Dibeni X adalah pembolehubah rawak binomial.
Dapatkan
(a ) b (5 ; 10 , - 25)
201
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 211/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
(b) b (5 ; 10 , - 7 5 )5
(e ) L b (i; 10 , - 7 5 )
(d) S b(~9 , -35)5
(e,~ PU c X C 6 ); X h(15, . 55 )
(I) P(X < 2 atau X > 8)di mana X b (10, 25)
6.4 Katalah Ybertaburan Poisson dengan parameter
(a) 25 (b) 6 (c ) 5
Dapatkan( i) P(X=3)
(ii) P(3 < X ~ 10 )
(iii) P(X C 9)
dv) P (X > 10 )
(v ) P(X = 5 atau 6)
6.5 Katalah satu teoni genetik mengatakan bahawa jika lembu merahdikacuk dengan lembu hitam akan menghasilkan lembu-lembu
merah, hitam, dan cokiat dengan kadar 5 : 3 : 2. Dapatkankebarangkalian bahawa danipada 9 ekor anak tembu kacukan 5
adalah menah, 3 hitam dan 1 coklat. Apakah jangkaan bilangan anak lembu merah yang akan dihasilkan?
6.6 Katalah satu duit syiling adalah berat sebelah dalam mana
kebanangkalian kepala dan ekon keluar dalam satu-satu campakan
adalah dan ~-. Jika syiing tensebut dicampak (a) 10 kali dan (b) 15
kali apakah kebarangkalian kurang danipada enam kepala akankeluar?
6.7 Satu dadu 6 muka dicampak sebanyak 10 kali, apakah keba-
nangkalian 1 nombor 1 , 2 nombon 2, 3 nombon 3 dan 4 nombor 4
keluar? Apakah kebarangkalian semuanya nombon 1 keluar?
6.8 Danipada saw kajian didapati 10% dan kemalangan jalan raya
adalah disebabkan keletihan pemandu 70% disebabkan cuai, 5%kerosakan kereta dan 15% lain-lain. Jika dalam satu han tendapat 5
202
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 212/466
TABURAN-TABURAN KHU5US: DISKRIT
kematangan jalan raya apakah kebarangkalian 1 disebabkankeletihan, 3 kenana cuai, 1 kerana kerosakan keneta dan 1 atas lain-lain sebab?
6.9 Ke dalam sebuah kolam telah dilepaskan anak-anak ikan yang
terdinidanipad-a 500 jenis kap rumput dan 1000 jenis tongsan. Setelah
sebulan, katatah kita ingin memerhati perubahan berat badan ikan-ikan tersebut. Jika 50 ekon ikan ditangkap apakah bilangan ikankaprumput yang dijangka dapat ditangkap (andaikan tiada ikan yang
mati).
6.10 Datam satu komuniti bandar 2%-dan kalangan wanita telah pernah
melakukan pengguguran. Jika dan 20 orang wanita bandar tersebutyang dipilih secara rawak tentukan:
(a) Jangkaan bitangan wanita yang pernah menggugunkan anak.
(b) Kebarangkalian di antara 1 hingga 5 onang pernahmenggugurkan anak.
(c ) Kebanangkalian sampet yang dipilih tidak mengandungi wanita
yang pennah melakukan pengguguran.
6.11 Katalah satu duit syiling dicampak benkati-kali sehingg~satu kepatakeluan. Apakah kebanangkalian bahawa:
(a) 5 campakan dipenlukan?(b) Kunang dan 5 campakan diperlukan? dan(c ) Lebih dani 5 campakan dipenlukan?
6.12 Satu buah dadu 6 muka dicampak berkali-kali sehingga nombor 6
keluar. Apakah kebarangkalian 6 campakan dipentukan? Apakah
kebanangkalian hany~satu campakan dipentukan? Tuliskan satuformula untuk menunjukkan jangkaan bilangan campakan yang
dipenlukan.
6.13 Katalah seorang pelajar memandu mempunyai kebarangkalian -4untuk tulus satu-satu ujian memandu. Apakah kebarangkatian
pelajar tensebut (a) lulus pada ujian yang ke-4? (b) tulus pada ujianyang ke-lO? Jika setelah 4 kali mengambit ujian tersebut ia masihlagi gagat, apakah kebanangkatian ia lulus pada ujian yang ke-lO?
614 Mengikut satu kajian,didapati 10% danipada setinggan di KualaLumpur mempunyai pendapatan di bawah ganis kemiskinan. Jika 50
onang dipiih secara nawak apakah jangkaan bilangan setingganyang mempunyai pendapatan di bawah ganis kemiskinan? Dapatkan
kebarangkalian bahawa separuh danipada yang dlpilih adalahbenada di bawah ganis kemiskmnan.
203
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 213/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 214/466
TABURAN-TABURAN KHU5US: DISKRY~
6.19 Bagi taburan-taburan berikut dapatkan m m dan vanians masing-
masing.
(a) Hipegeometni dengan parameter it = 5 , k = 10 dan N = 100(b) Binomial negatifdengan parameter k = 3, p = -7 5(c ) Geometni dengan parameter p = 6
(d) Poisson dengan parameter 5 -3
6.20 Pembolehubah rawak X mempunyai fungsi penjana momen
(a) MO) = — ~
(b) M (t) = ~et (i — 1)1
Dapatkan
(a ) M m dan varians bagi X
(b) Kebarangkalian
0 ) P(X C 3 )(ii) P(X = 5 )
(iii) P(2 C X < 6 )6 .21 Fungsi penjana momen bagi taburan Binomiat negatif parameter k
dan p adatah
M~(t)= jI ( 1 — ( 1 — p) ehyk
Dapatkanterbitan pentama dan kedua bagi M(t) berdasarkan t. Dangunakan keputusan m i untuk menunjukkan bahawa m m dan vaniansbagi taburan tersebut ialah k/p dan k(1 — p)/p
2.
6.22 Katalah X1 dan X2 adalah tak bersandar dan masing-masing
mempunyai fungsi penjana momen
Mfl) = ~2~
t 1)
Apakah fungsi penjana momen bagi Y= X 1 + X2? Apakah tabunan
bagi Y? Dapatkan P( Y = 3 ) dan P(2 C X C 6 )
6.23 Jika X adalah bertaburan Poisson dan P (X = 4) = P (X = 5),apakah m m dan vanians bagi X. Dapatkan P (X = 2).
6.24- Katalah X b(3~
~)dan Y = ~ Dapatkan domain bagi Ydan
E(Y).
2 0 5
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 215/466
KEBARANOKALIAN DAN STATISTIK
6.25 Katalah X dan Yadalah dua pembolehnbah rawak tak bersandar
masing-masing bertaburan b(3,~)dan b(5. ~).
Dapatkan
(a) P(X C 2 , Y C 4 )
(b) P(X C 2/Y= 0 )(c ) P(Y C 2 )(d) E(X + Y)dan V(X + Y)
(e) E(XY)
6.26 (a) Buktikan bahawajika X1..., X ,, adalahit pembotehubah rawak
tak bensandar masing-masing bertabunan Poisson dengan
parameter ~ maka 1 ’ = L X 1 adalah juga bertabunan Poisson
dengan parameter p = S 2~.i~I
(b) Buktikan bahawa jika X .., X~adalah npembotehubah rawak
tak bersandar masing-masing bertaburan Bernoulli dengan
parameter p maka Y = ~ X1 adalah bertabunan b(n, p).
&27 Katatah secara purata 20 danipada 10,000 orang dewasa adalahmengidap penyakit darah tinggi. Apakah kebarangkalian danipada
1000 orang yang dipiih dan kalangan orang dewasa akanmengandungm kurang daripada 5 onang yang mengidap penyakit
tersebut?
206
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 216/466
BAB7TABURAN-TABURAN KHUSUS: SELANJAR
Sekarang kita perhatikan puta beberapa taburan selanjar khususyang selalu ditemui di dalam analisis statistik. Penumpuan akan dibeni
kepada penggunaan konsep dalam bab-bab sebelumnya terhadaptabunan-tabunan tersebut.
71 Taburan SeragamTaburan yang paling mudah dan selalu digunakan sebagai
contoh untuk menjelaskan aspek-aspek teoni statistik adalah
dinamakan taburan senagam. Pembolehubah nawak X dikatakanbentabunan seragam jika ia mempunyai fungsi ketumpatankebarangkalian yang tepat di dalam satu-satu selang, iaitu
aCxCb
f(x) - ç b—a
0 di lain-lain
di mana a dan b adalah pemalan dan a < b.
Fungsi ketumpatan kebarangkalian f(x) dan fungsi taburan
kebarangkalian F (x) ditunjukkan di dalam gambarajah 1.1.~‘x)
‘C
• 1
‘lx’— 1
a b
207
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 217/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
F (x )
Gan~barajahii F~ng~iketurnpatan don fungsitoburan bag i taburan seragam
7.2 Tabunan Normal
Taburan yang sangat penting dan sangat luas penggunaannyadalam bidang statistik ialah taburan normal. Ia juga dikenali sebagai
taburan Gauss mengambil sempena nama salah seonang pengkaji
awalnya Karl Gauss (1777-1855). Satu ciri yang paling ketara bagi
taburan normal m i ialah bentuk fungsi ketumpatannya yang simetrik
di sekitan satu danipada parameternya.
G~mbaraj~h2.1: Graf bagi fungsi kethmpatontaburan normal
1
I
2 c
di lain-lain
‘C
Satu pembolehubah rawak, katakan X,yang mempunyai fungsiketumpatan kebarangkalian seperti gambarajah 21, atau
f(x; p,a2) =
l,.0
adatah dikatakan bentáburan normal dengan parameter p dan a2.
Taburan bagi X adalah bengantung kepada dua parameter p dan a2yang masing-masing menupakan m m dan varians bagi X. Jadi X juga
— ~ -C X-C
208
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 218/466
TABURAN-TABURAN KHUSIJS: SELANJAR
disebut bertaburan normal dengan m m p dan varians a2 dan dilulis
n(p, a2) atau ringkasnya X n(p, a2).
Parameter p — p C ~, dipanggil juga parameter lokasioleh kerana ia menerangkan kedudukan pusat di mana nilai-nilai
pembolehubah rawak normal benada di sekitarnya secara simetnik.
Sementara a2 a2> 0, adalah dipanggil parameter sebaran iaitumembezakan bentuk keluk bagi fungsi ketumpatan. Ia
menerangkan sama ada nilai-nilai tersebar di sekitar atau lersebar jauh dan parameter p . Untuk menggambankan keadaan m iperhatikan gambarajah 2.2 a, b.
Gambarajah 2.28: ~1 = ~2 tetap, a~ = a
Gambarajah 2.2b: ~ =,~ tetapi 2 2
Kita dapat tunjukkan bahawa bagi sebanang p dan a2 luas
kawasandi bawah keluk taburan normal adalah bernilai satu. Yakni
kamilan bagi fungsi ketumpatan kebarangkalian di atas domain bagipembolehubah rawak normal adalah bernilai satu, memenuhi syarat
fungsi ketumpatan kebanangkalian.
Untuk menunjukkan m i terlebih dahulu perhatikan kamilandi muka sunat 210.
a2
x
ala
P2
2 0 9
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 219/466
1= 1~e)1~dx •1 -~
I = I e’12 dy
4 J -~
r~ rz 2 2
j2= I +~)/2 dxdy J-~J-c~
Dengan menukarkan kepada koordinat polar iaitu mengambil y r
kos 0 dan x = r sin 0 maka
j2 = ,f2; . 1 : r e_r2/2 dr d O
r2g
=
$ d O Jo
= 2n
I=~
Dengan menggunakan keputusan m l maka, jika f(x; p, c2)
adalah fungsi ketumpatan bagi n(p, a2 ) kita dapati
r~ 1 2 2
I f(x; JL, a2) dx = J /2e dx
= __!_ I ez212d
KEBARANOKALIAN DAN SIATISTIK
Takrilkan,
Oleh itu juga
sehingga
= I e~x2/~ dx J -~r
2J C’12dy -
atau
di mana z = —~
C
=1
2 10
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 220/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 221/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 222/466
TABURAr~-TABURANKHUSUS~SELANJAR
I ax
1 .6
Gambarajah 2.3: P (O .~ Z .~ 1 6 )
P(0 < Z < 16) juga boleh ditulis dalam bentuk
P(0 < Z < 16) = P(Z < l ’6) -. P(Z <0)
Dengan menggunakan jadual taburan normal maka
P(0 <Z < l6)= 94 5 ---5000= .445
Contoh: 2.2Katalah sejenis tayar secara hitung panjang boleh tahan untuk
50,000 kilometer perjalanan dengan sisihan piawai 2000 kilometer.
Andaikan ketahanan tayar adalah bertaburan normal, apakahkebarangkalian bahawa satu tayar jenis tersebut boleh tahansekurang-kurangnya 45000 kilometer perjalanan.
Penyelesaian:
Takrifkan X sebagai hitungan kilometer ketahanan tayar, maka
X n(50,000, 45,000). Apa yang diperlukan di sini ialah P(X ~45,000).
P (X > 45000) = ~ (X — ~ > 45000_50000)
1 5000
= P~z~ -
= P(Z ~ 25)
di mana Z — n(0, 1 )
1(x)
. 1
,~=0
213
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 223/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
x
Gambara ja l i : 2.4p ( z >— 2.5)
Dan jadual didapati
P(Z > — 25) = •9938
Jadikebarangkalian tayartersebut tahansekurang-kurangnya45000kilometer perjalanan ialah 99
Couitoh: 2.3
Katalah X — n(p, u2)~Dapatkan P( ~ — ~I~2a).
Penyelesaian:
P (IX — = P(X — p < 2adanX — p > — 2a)
= P(— 2a < X — C 2c)
= P(— 2 < Z <2)
X—p
dimanaZ = — n(0, 1 )
= P(X <2) — P(Z < — 2 )= 977 — 023
= .954
Fungal Penjana Momen bagi Taburan Normal
Teerein: 2.2Fungsi penjana momen bagi pembolehubah rawak X yang
bertaburan normal m m p dan varians a2 ialah122
M 1(t) =
Bukti
M1(t) E[e”] = e’~f(x)dx
.2 .5 0
214
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 224/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 225/466
KEBARANOKALIAN DAN STATISTIK
sesuai untuk beberapa taburan tertentu terutama taburan-taburanyang juga simetrik atau hampir simetrik. Di sini kita akan
bincangkan penganggaran normal terhadap taburan binomial dantaburan Poisson.
Teorem: 3.1KatalahX bertaburanbinomialdenganparameterndanp.Min
dan varians bagi X ialah p = np dan a2 = npq. Maka,
pembolehubah rawak
z — —
adalah mendekati taburan normal piawai bila n mendekati infinit.
Teorem 3 .1 mi membolehkan kita menggunakan taburanpiawai sebagai anggaran kepada taburan binomial bila n adalah
cukup besar. Yakni dengan melakukan ‘piawaian’ terhadappembolehubah rawak tersebut kita akan memperolehipembolehubah rawak yang mendekati taburan normal. Nilai n yang
cukup besar adalah tidak dapat ditentukan dengan jelas. mi adalah
oleh kerana jika p dekat dengan maka kelok taburan binomialadalah hampir sekata dan penganggaran normal adalah hampir
walaupun n tidak berapa besar. Sementara bila p menghampiri 0atau I penganggaran yang baik hanya diperolehi bila n sangat besar.
Langkah yang selalunya diambil ialah jika p adalah mendekati
maka taburan normal akan digunakan sebagai anggaran. Manakala jika p mendekati 0 atau 1 dan ii tidak berapa besar maka taburanPoisson (penjelasan telah pun diberi dalam bab 6) adalah lebih sesuai
digunakan.
Contoh: 3.1
Katalah K adalah bertaburan b(20. 4). Dapatkan (a) P(X = 10)
(b)P(10 ( X ~ç 15)(c)P(10 c K ~ 1 5 ).
Penyelesaian:
(i ) Menggunakan anggaran normal.
/2 = tip = 8 a = = = 219
216
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 226/466
TABURAN.TABURAN KHUSU5: 5ELANJAR
(a) P(X = 10) = P(95 < X c 105)
/9•5 —
8= ~ 219
= P~685 .c Z < 1141)= 8729 — 7533 = 1196)
(b) P(10 C K C 15) = P(95 < X < 155)
— 8
2~1915•5 — 8
2~19= P(685 < Z < 3425)= .9997 .7533
= 2464
(c ) P(10 < X C 15 ) = P(1G5 ~ X < 15~5)
=
\ 21915•5 — 8
2 • 19
= P(1141 < Z c 3425)= P9997 —
= 1268
(ii) Dengan menggunakan jadual binomial
(a)P(X = 10 ) = ~ll72
15 9 (b) P(10 ~ X C 15) = E b(x;20,4) — L b(x;20,~4~
x=o
= .9997 — .7553
= P2444
x0
15
~c) P(10 C X C 15) = b(x 20, ~
= 9997 — 8725
= 1172
10
— b(x; 20, A)
(iii) Dengan mengguna anggaran Poisson.p = tip = 8
K — tipC C i0•5 — 8219
217
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 227/466
ICEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
(a ) P(X = 10) = 0993
(b) P(IOCX C 15)=2752
(c ) P(10 < X C 15) = 1759
Kita perhatikan penganggaran normal adalah Iebih hampir kepadakebarangkalian sebenar sebagaimana yang dijangkakan bila p
adalah dekat dengan
Sebagai ingatan, kita harus perhatikan bahawa dalammenganggar taburan binomial dengan taburan normal kita telah
menukar pembolehubah rawak diskrit kepada pembolehubah
rawak selanjar. Untuk mengambilkira penukaran tersebut kita
harus mencampur atau menólak daripada batas atas dan batas
bawah bagi satu-satu peristiwa. Kaedah yang berkenaanditerangkan denganjelas dalam contoh 3 .1 yang telah dibincangkan.
Teorem: 3.2
Katalah X adalah bertaburan Poisson dengan parameter A ; miff
d~nvarians bagi X ialah p = A dan a
2 = A . Maka, pembolehubah
rawak
X-A /-
adalah menghampiri taburan normal piawai bila A menghampiri
infinit.
Teorem 3.2 membolehkan penganggaran normal dilakukanterhadap taburan Poisson bila m m bagi taburan Poisson adalahcukup besar. Dalam mengatasi masalah tukaran pembolehubahrawak diskrit kepada pembolehubah rawak selanjar, qara yang sama
sebagaimana kes binomial adalah digunakan.
Contob: 3.2Katalah X adalah bertaburan Poisson dengan A = 16 .
Dapatkan (a) P(X = 15) (b) P(10 C X C 20).
Penyelesaian:
Dengan menggunakan penganggaran normal:
218
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 228/466
TABURAN.TABURAN KI-IUSUS: SELANJAR
X — 16
z= — n ( 0 , l )
~tig mak a:(a) P(X = 10) = P(145 C X C 15~5)
/14~s — 16 15~5 — 16= ~ C Z < -—-____
P(— 0375 C Z < — 0125)04502 — &353900963
(b) P(10 C X < 20) = P(9~5c X C 195)
— 16 195 — 16
4 <ZC—4
= P(— 1625 C Z c — 0875)= 08092 — 0-0521
= 07571
Sementara kebarangkalian sebenar dengan mengguna jadual
Poisson didapati(a) P(X = 15) = 00992
(b ) P(10 C K < 20 ) = &7689
Didapati penggunaan penganggaran normal memberi keputusanyang hampir dengan kebarangkalian sebenar.
7.4 Taburan Gamma
Sebelum kita membincangkan taburan Gamma perhatikan
dahulu keputusan da n bidang matematik yang dipanggil fungsi
Gamma. Fungsi Gamma, yang ditulis f adalah ditakrif sebagai:
= I : y~1e’ dy
Dengan mendarab bahagian demi bahagian dapat kita tunjukkanbahawa
F(a) = — 1J: r2 e’ dy
= (a — 1)f(~—1)
219
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 229/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
Di mana bila ~ adalah nombor bulat positif maka
f(~)=
(~ — 1 ) (~
— 2)... 3 . 2 . 1 = (~ — 1 ) !
Dan bagi ~ = I ditakrifkan sebagai
F(1) = I : e’ dy = 1
Sekarang dengan menggunakan keputusan fungsi Gamma kita
boleh bincangkan taburan Gamma.Pembolehubah rawak selanjar K yang ditakrifdi dalam domain
0 C x C ~ dikatakan bertaburan Gamma dengan parameter ~ dan
fi jika ia mempunyai fungsi ketumpatan kebarangkalian
1 ~
f(x:~,fl) =~ F(~)/3~
(0
di mana ~ > 0, fi > dan 1’(~)> 0.Beberapa bentuk fungsi ketumpatan kebarangkalian bagi
taburan Gamma untuk beberapa nilai ~ dan f i dilakarkan dalam
Gambarajah 4 .1
f(x)
OCx< ~‘
di lain-lain
~= 1, ~= 1
4~f3 = ½
~= 4, f i = 1
0
Gambarajah 4.1: Fungsi ketumpatari probabiliti taburanGamma bagi beberapa nilai ~ dan ~3
x
220
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 230/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 231/466
KEBARANOKALIAN DAN 5TATISTIK
Le_42 ;0 C XC ~
f(x) <2(o di lain-lain
Dapatkan fungsi penjana momen, m m dan varians bagi X.
Penyelesaian: X adalah bertaburan Gamma dengan parameter a = 1 dan/i =
2 . Maka fungsi penjana momen ialah
M(t) = (1 — 2t)’ ; t C
M m dan varians bagi X ialah
p = a/i = 2
a/i2 = 4
Beberapa kes khusus bagi taburan Gamma adalah sangat
mustahak dalam bidang-bidang tertentu. Satu daripadanya ialahtaburan Chi-kuasa dua yang sangat penting di dalam inferens
statistik. Taburan Chi-kuasa dua yang ditulis X2(,) adalah taburan
Gamma bila a = r/2; r adalah nombor bulat positif dan $ = 2.Parameter r juga dipanggil darjah kebebasan bagi taburan Chi-
kuasa dua.Fungsi ketumpatan kebarangkalian bagi taburan Chi-kuasa
dua dengan r darjah kebebasan, K2( , ) adalah
1 I/21 e~12-
f(x;r)=.~r(r/2)2hi2 ‘ OC XC ~
di lain-lain
Fungsi penjana momen bagi X2( , ) boleh diperolehi secaralangsung dan fungsi penjana momen bagi taburan Gamma denganmenggantikan a = r/2 dan/i = 2 iaitu
- M 1(t) = (1— 2t~”
2 ;t C
Begitu juga m m dan varians bagi X2 ialah masing-masing:
p = a/i = r g2~ a/i2 = 2r
222
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 232/466
TABURAN-TABURAN K1-IUSU5: SELANJAR
Saw ciii yang menarik bagi taburan Chi-kuasa dua ialah
taburan Gamma boleh ditukarkan kepada taburan mi berdasarkan
teorem berikut.
Teorem: 4.2
Andaikan K bertaburan Gamma dengan parameter a = r/2; r
nombor bulat positif, dan / 3 > 0, maka pembolehubah rawak
Y= 2X//1adalah bertaburan Chi-gandadua dengan r = 2a darjah kebebasan.
Contob: 4.2
Katalah X adalah bertaburan Gamma dengan parameter a =
2 -5 dan $ = 4. Dapatkan P(2-3 -C X C 222).
Penyelesaian:
/2(2-3) 2X 2(22-2)P(23CXC22-2)= P~—~---C—
4—C 4
= P(115 C YC 114)
2Xdi mana Y =
Dan jadual f~5~maka didapati
Pft15 C Y C 11 -1 ) = 0-95 — 0-05=90
Jadi P(2-3 C K C 22-2) ialah 090Perbincangan tentang kegunaan taburan Chi-kuasa dua dalam
inferens statistik akan ditangguhkan sehingga kita mempelajari
taburan pensampelan. Taburan Chi-kuasa dua akan dibincangkanlagi di dalam Bab 8 nanti.
7 .5 Taburan EksponenSatu lagi kes khusus bagi taburan Gamma ialah taburan
eksponen. Taburan eksponen mi mempunyai penggunaannya yang
tersendiri di dalam menggambarkan taburan hayat bagi satu-satukomponen. Bagaimanapun penggunaannya di bidang teori reliabiliti
(kebolehan-paraan) mi tidak akan dibincangkan di sini.Pembolehubah rawak K yang ditakrif di dalam domain 0 C x
C ~ adalah bertaburan eksponen jika fungsi ketumpatan
kebarangkalian bagi X adalah berbentuk
223
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 233/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK A e~’
f(x,A) = 0
di mana A > 0
Adalah tidak sukar untuk menunjukkan bahawa taburan
Gamma dengan parameter a = 1 dan /3 = adalah taburan
eksponen dengan parameter A .
Bentuk fungsi ketumpataneksponen untuk beberapa nilai
gambarajah 5 .1 .Fungsi penjana momen bagi taburan eksponen berserta m m
dan varians dapat diperolehi dengan menggunakan keputusandaripada taburan Gamma. Fungsi penjana momen bagi taburanGamma parameter a dan / 3 ialah
F (x)
GambaraJah 5.1: Fungsi ketumpatan kebarangkalian taburan
ekspOnen.
1Oleh itu bila a = 1 dan / 3 = maka
x
;0 Cx < ~
di lain-lain
kebarangkalian bagi taburan A adalah ditunjukkan dalam
I M 1(t) =
( 1 —
X=22
1 X= 2
2
x =1
224
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 234/466
TABURAN-TABURAN KHUSUS: SELANJAR
M~(t)=
( 1 —
= (1
Jadi fungsi penjana momen bagi taburan eksponen dengan
parameter A ialah M(t) = (1 —
M m dan varians bagi taburan eksponen dengan parameter A
dapat diperolehi dengan menggantikan ~ = 1 dan f i = kepada m m
dan varians bagi taburan Gamma parameter ~, /3 iaitu:
dan
1
p = ~fi= 1. =
f1\2= c c f i
2 = 1(~~A)=
;O C x < ~
di lain-lain
P(2 c X C 5).
adalah mempunyai fungsiContob: 5.1
Anggapkan pembolehubah rawak X
ketumpatan kebarangkalian
f(x) =
(~o
Dapatkan fungsi taburan F (9 dan apakah
Penyelesaian:
F(x) = P(X C x) = jf(w) dw
C x 1=
1
= 1 —
225
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 235/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 236/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 237/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 238/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 239/466
KEBARANGKALIAN DAN STATI5TIK
(a ) PUS C X C 30 )(b) P(0 C K C $0 )
(c ) PR = 10)(d) PR > 20)
7.7 Tentukan niiai bagi kamilan-kamilan berikut.
(a ) J I e~ dx
50 I/x_50’\ 2
(b) j -~ r2\9~) dx
rio i 1 2
(c ) I (x— 6) dx J34~
7.8 Jika K n(5, 1 6 ) dapatkan nilai b supaya P( — b C K C b ) = -95
7.9 Anggapkan K satu pembolehubah rawak yang mempunyai fungsi
ketumpatan kebarangkalian
—ccCxCco
Tentukan mm dan varians bagi K dan dapatkan P (K C — 2 )
7.10 Berat purata sekampit beras keluaran sebuah syarikat pengilangpadi ialah 5 .6 kilogram. Jika berat bagi sekampit adalah bertaburannormal dengan sisihan piawai 0.5 kilogram, apakah kebarangkalian
satu kampit berasakan mempunyai berat(a ) Kurang daripada 5 -5 kilogram
(b) Di antara 5 -3 dan 5 -7 kilogram.
(c ) Melebihi 6 kilogram atau kurang daripada 5 kilogram.
7 .11 Dan pengalaman lepas didapati 30% dan pelajar yang menduduki
satu peperiksaan akan gagal. Jika dan 1 0 0 pelajar yang menduduki
peperiksaan tersebut apakah kebarangkalian(a) Kurang daripada 20 akan gagal
(b) Di antara 50 hingga 70 akan lulus
230
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 240/466
TABURAN-TABURAN KHU5US: SELANJAR
7.12 Katalah bilangan kemalangan dalam sat.u han adalah bertaburanPoisson. Jika purata kemalangan dalam satu han ialah 25 apakah
kebarangkalian(a) 20 kemalangan berlaku satu han
(b) Kurang daripada 25 kemalangan berlaku dalam satu han.
7.13 Daripada satu kajian didapati 20% dan penduduk kampung
menggemari lagu keroncong. Jika dan satu 1 0 0 0 orang penduduk kampung yang ditanya apakah kebarangkalian kurang dan 1 0 0 akanmenyatakan gemar lagu tersebut?
7.14 Katalah berat badan bayi yang baharu lahir ada!ah bertaburannormal dengan m m 1 -3 kilogram dan sisihan piawai -4 kilogram.Jikasatu bayi ditakdirkan lahir apakah kebarangkalian Ia mempunyai
berat badan
(a) Di antara 1 dan 1 -5 kilogram
(b) Kurang dan -8 kilogram
(c ) Melebihi dan 2 kilogram
7.15 Jika K dan Y
adalah d u a
pembolehubah rawak takbersandarmasing-masing bertaburan ii (5, 16 ) dan ii (~3, 9 ) apakahkebarangkalian(a) [K C 5,Y>3]
(b) [3ZKC5.YC3]
(c ) [K + Y> 10]
(d) [K — IC 1J
7.16 Pembolehubah rawak K mempunyai fungsi ketumpatan
k ebarangkalian f(x)=4xC
2’ OCXCcC
Apakah m m dan vanians bagi K?
7.17 Jika fungsi penjana momen bagi K ialah 1
1 -~ tC~ M(t) = (1— ;t)
apakah m m dan vanians bagi K? Apakah m m dan varians bagi Y =
2K!- 5
231
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 241/466
KEBARANOKALIAN DAN STATISTIK
7.18 Buktikan teorem 4.2 dengan menggunakan kaedah fuj~gsipenjanamomen.
7.19 Anggapkan K adalah bertaburan Gamma dengan paranietera = 2.5
dan / 3 = 2 . Dapatkan
(a) PR C 0-8312)
(b) PR > 1508), dan
(c ) P(0-8312 C K C 15 -08)
7.20 Jika K adalah bertabunan Gamma dengan a = 5 dan / 3 = 6 apakahPR > 54 -92) dan P(6-42 C K C 6 .1-45) .
7 .21 Tunjukkan bahawa K K~adalah n pembolehubah nawak tak bersandar masing-masing bentaburan eksponen dengan m m 0 maka
=~• K, adalah bertaburan Gamma denganparameter a = n dan $
7.22 Tunjukkan bahawa m m n dan varians bagi taburan Beta a, j I ialahmasing-masing
d — _______
a+/3 an — (a$)2(a+$—1)
Panduan: Gunakan keputusan bahawa
f K~’( 1 — x)’1 dx = r(a) [‘(/3)
Jo [‘(a+$)7.23 Katalah panjang hayat satu komponen elektronik adalah bertabunan
eksponen. Jika purata panjang hayat komponen tensebut adalah 5
nibu jam apakah kebarangkalman satu komponen boleh tahan(a) Kurang dan 5 nibu jam
(b) Melebihi 6 n i b u jam
(c ) Di antana 4 hingga 5 -5 ribu jam
Jika satu lagi komponen telah pun digunakan selama 4 ~ jam
apakah kebanangkalian ia tahan 1 nibu jam lagi?
232
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 242/466
BAB8
TEORI PENSAMPELAN
8 .1 Pengenalan
Dalam setiap percubaan yang dilakukan keputusan-keputusanyang didapati merupakan pengamatan bagi pembolehubah rawak yang menerangkan percubaan tersebut. Jika pencubaan mi diulang
benkali-kali kita akan mendapat satu himpunan pengamatan bagi
pembolehubah rawak benkenaan. Misalnya, di dalam memerhatitinggi pelajar di sebuah universiti; setiap pelajar adalah merupakankekerapan percubaan yang menghasilkan pengamatan dalam
bentuk ketinggian masing-masing. Dalam percubaan lambung duitsyiling berkali-kali dan ditaknifkan satu pembolehubah rawak
sebagai bilangan kepala yang keluan pada satu-satu lambungan,
maka bilangan kepala yakni 0 atau 1 bagi semua lambungan
merupakan pengamatan bagi pembolehubah rawak tensebut.Kesemua pengamatan yang berkenaan mi membentuk apa yang
dinamakan populasi. Jadi, dalam masalah tinggi pelajar, tinggi
selunuh pelajar di universiti tersebut adalah membentuk satu
populasi. Sementana dalam kes melambung duit syiling sehingga tak
terkina, bilangan lambungan, satu hingga infinit, adalah merupakansatu populasi.
Setiap pengamatan dalam satu populasi merupakan nilai bagi
pembolehubah rawak berkenaan yang mempunyai fungsiketumpatan tertentu. Misalnya, dalam memerhati setiap lambungan
duit syiing, setiap pengamatan adalah berkemungkinan mengambilnilai 0 atau 1 dan taburan Bernoulli. Jadi, bila kita katakan, satu
populasi adalah populasi normal atau umumnya bertaburan f(x),maka setiap pengamatan dalam populasi adalah mengambil nilai-
nilai bagi pembolehubah nawak normal atau pembolehubah rawak yang bentaburanf(x). Begitu juga dengan parameter bagi populasi.
233
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 243/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
Ia menupakan parameter bagi pembolehubah rawak berkenaanDalam praktiknya tabunan bagi populasi,f(x) selalunya tidak
diketahul. Tetapi untuk tujuan analisis statistik ia diandaikandiketahui terlebih dahulu. Hanya parameter yang menentukanbentuk tabunan f(x) sahaja yang masih belum diketahui. Jadi didalam menentukan taburan bagi populasi hanyalah parameter bagi
taburan sahaja yang harus dicari. Untuk mencani parameter bagi
populasi mi memerlukan kita mempelajani teori pensampelan.
8.2 Sampel dan Statistik Untuk memerhatikan kesemua pengamatan di dalam populasi
adalah mustahil terutama jika bilangan pengamatan atau jugadinamakan saiz populasi adalah besar. Jadi hanya sebahagian, yang
merupakan subset bagi populasi sahaja yang diambil. Subset bagi
populasi atau sampel yang dipilih mi seharusnya boleh mewakili
populasi dalam erti kata boleh menjelaskan sifat-sifat tabunan
populasi tersebut. Sampel yang memenuhi kehendak-kehendak ml
dinamakan sampel rawak.
Deilnish 2.1
Sampel rawak bersaiz n adalah satu sampel di mana setiapsubset yang tendiri dani n pengamatan danipada populasi adalahmempunyai peluang yang sama untuk terpilih.
Proses pemilihan sampel nawak bensaiz n danipada populasi
boleh dijelaskan dalam bentuk taburan bagi pembolehubah rawak
sebagaimana benikut:
Anggapkan ii pengamatan dipilih daripada populasi yangbertaburanf(x). Maka K
1, ~ K,, adalah n pembolehubah rawak
yang masing-masing bentaburan f(x). Jadi K1. K2 K ,, adalahmempunyai fungsi ketumpatan bersamaf(x1, x2 xJ. Jika sampel
yang dipiih adalah sampel rawak maka K i,..., X ,, adalah tak bensandar sehingga
f(x~ ... x,,) = f(x3.f(x2) ...f(x,,)
Pembolehubah-pembolehubah rawak K1 .. K ,, dikatakanmembentuk sampel rawak bersaiz n dan p op u la s i yang bertaburan
f(x).
Sekarang jika kita taknifkan Y sebagal fungsi kepada sampel,
yakni Y = p4K1 ... K,). Maka Y ternyata adalah merupakan satupembolehubah rawak di mana nilainya bergantung kepada nilai-
234
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 244/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 245/466
adalah dipanggil sisihan-piawai bagi sampel.
Sisihan piawai bagi sampel yang juga dikenali sebagai ralat
236
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 246/466
TEORI PENSAMPELAN
piawai adalah merupakan punca kuasa dua positif bagi vanians
sampel.
8 .3 Taburan Pensampelan
Oleh kerana statistik Y = p4K1, K2 ... K~)adalah berbeza dan
sampel ke sampel, maka Yadalah satu pembolehubah nawak yang
mempunyai tabunannya yang tensendmrm. Bagaimanapun taburanbagi Ybengantung kepada taburan bagi K K ,, iaitu taburan bagipopulasi dan mana sampel d i ambml . Tabunan kebanangkalman bagi
sebarang s tatmstmk adalahdipanggml taburan pensampelan.
Contoh: 3.1
Katalah satu sampel nawak bersaiz n diambil darm satu populasi
yang bertabunan Poisson dengan parameter p. JIka ditaknifkan
statistik Y sebagai
Y= K 1 + K2 + ... + K ,, = ~ K,
Apakah tabunan pensampelan bagi 1 ’?
Penyelesaian:K, adalah bentabunan Poisson denganparameter p. maka fungsipenjana momen bagi K, ialah
= — 1)
Fungsi penjana momen bagi Y = ~K, ialah
M~(t)= Mzx,(t) = E[e j
Oleh kerana K, dan sampel rawak adalah tak bersandar maka
M1(t) = E(e~x1) E(e”2) ... E(e”~n)
= e”~ ~ 1)4 .+ pIe’— 1)
= e~’~l)E l~
= e~”~1)
Di mana ~ 1) adalah fungsi penjana momen bagi taburan Poisson
dengan parameter np. Jadi ternyata Y = S K, adalah bertabunan
237
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 247/466
KEBARANGKALIAN DAN 5TATI5TIK
Poisson dengan parameter np.
Penhatikan bahawajika K1 ... K,, adalah sampel rawak bersaiz it
yang diambil dan populasi bertaburan f(x) maka K,, I = 1 , ... it
adalah masing-masing bertaburanf(x). K,, i = 1 , 2 it juga adalahtak bersandan dan mempunyai parameter yang sama. Dalamkeadaan mi K1, K2, ... K ,, dikatakan tak bersandar dan serupa. Jadi
kita dapati dengan mengambil sampel rawak membolehkan kita
menentukan taburan pensampelan dengan lebih senang.Bagaimanapun kaedah untuk menentukan taburan pensampelan
bagi statistik tidak akan dibincangkan secana mendalam di sini.
Cuma satu danipada kaedah tersebut iaitu penggunaan fungsipenjana momen bagi mendapatkan taburan bagi statistik tertentusahaja ya.ng akan dibenikan.
8.4 Taburan Pensampelan bagi M m Sampel, X Salah satu danipada statistik yang selalu digunakan ialah m m
sampel yang ditakrifkan sebagai
= S K,/n
di mana K,, K2,..., K ,, adalah pembolehubah rawak daripada sampel
rawak bersaiz it.
Nilai jangkaan dan varians bagi X dapat disimpulkan sebagai
teorem benikut:
Teorem: 4 .1Jika K1, K2, ..., K ,, adalah sampel rawak bensaiz it yang diambil
dani populasi yang mempunyai m m p dan variansa
2 (K
1 .. K ,, adalahtak bersandar dan serupa) makajika ditaknifkan m m sampel sebagai
= ) K, rn :
E(X) = pdan V(X) = —
it
Bukti:
E(X)=E[” ]238
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 248/466
TEORI PENSAMPELAN
1~= - E E(K,)
it 1=1
1’
it 1=1
V(X)= V(S K,/n)
= V(K,)
1~= E V(K,)
it i—i
1”
it i—I
it a2
it2
a2it
Sebagai kesimpulan teorem 4 .1 membenikan keputusanbahawa jangkaan bagi m m sampel adalah sama dengan m m bagi
populasi dan vanians bagi m m sampel ialah vanians bagi populasi
dibahagikan dengan saiz sampel. Keputusan mi benlaku tidak mengira apakah taburan bagi populasi berkenaan.
Taburan bagi statistik Ybagaimanapun tidak dapat ditentukandengan senang. Ia bengantung kepada taburan asal populasi dath
masa sampel diambil. Sebagai contoh penhatikan K K,, yang
diambil daripada tabunan Poisson (contoh 3.1). Jika I adalah m m
sampel maka E(2) = p dan vanians bagi I 11(1) = = oleh
kerana vanians bagi K ialah p. Taburan bagi X adalah bukan lagi
bentabunan Poisson oleh kerana m m dan vanians bagi I adalah tidak
sama.
8.5 Teorem
Ha d PintKesukaran di dalam menentukan tabunan pensampelan bagi
239
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 249/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 250/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 251/466
KEBARANOKALIAN DAN STATISTIK
Oleh kerana kebanyakan taburan memenuhi syarat-syarat
yang membolehkan penggunaan teorem had pusat makapenganggaran normal piawai boleh digunakan. Jadi adalahmunasabah jika kita tumpukan perhatian kita kepada pensampelan
yang melibatkan taburan normal.
8.6 Taburan Pensampelan NormalAndaikan bahawa populasi normal adalah andaian yang paling
wajar dan kerap digunakan. m i kerana kebanyakan keadaan han-
han boleh dianggap sebagai bertaburan normal atau mendekatinormal bila bilangan pengamatan adalah besar seperti taburan
binomial atau Poisson (Bab 7). Juga berdasarkan teorem had pusat, jika saiz sampel adalah besar, m m sampel yang dipiawai adalahmempunyai taburan had normal.
Teorem: 6.1
Jika X adalah m m sampel bagi sampel rawak bersaiz n dan
taburan normal dengan m m p dan varians a2 maka X adalah
bertaburan normal dengan m m p ~ p dan vanians ff~=
Bukti:
Fungsi penjana momen bagi X1 —~ (p, ~2) iaJah
M11(t) e ju-s-
4e2r2
Maka fungsi penjana momen bagi Xialah:
M~(t)= M’” ~)=
= E[e x] E[e X] ... E[e~ ~]‘~ • 1 2 /‘,\2.
= fle’5~i”
1 2 1= exp~—E ~z÷—z -i E g2
2 n 1=1
02
=
242
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 252/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 253/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 254/466
TEORI PENSAMPELAN
/(x)
Teorem: 7.2
Jika X1, X2 X~adalah pembolehubah rawak masing-masing
bertaburan Chi-kuasa dua dengan darjah kebebasan r1, r2 r~
maka jika Y = E X~,Yadalah bentaburan Chi-kuasa dua dengan i ’
= E r , darjah kebebasan.1=1
Bukti~
Jika Y’= E X~maka
= (1 — 2ty’1~2
l W ’ ~(t) = I M~.(t)=1
= H ( 1 — 2t)~’/2
= ( 1 — 2t)_~12 di mana V = i~I ~
Yakni fungsi penjana momen bagi x2~.
Oleh itu Y = ~ X~adalah bentaburan X2(~).
1=1
Dengan menggabungkan teorem 7 .1 dankeputusan dalam bentuk teorem di muka surat 246.
7.2 kita dapat
r~4
r=8
0
Gambarajah 7.1: Fungsi ketumpatari bag i
245
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 255/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 256/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 257/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 258/466
TEORI PENSAMPELAN
Oleh itu
P(S 2 ~
728 =
1 )5 (728) (25))
= P(X2(25 , ~ 3641)
05
Kebarangkalian vanians sampel mengambil
kurangnya 728 ialah &05.nilai sekurang-
8.8 Taburan t
Taburan t adalah digambarkan dengan fungsi ketumpatank ebarangkalian
f[(r + 1)/2] 1 + ~-fr+1if2 ~ < x <~
f(x) =~(,J~F(r/2) r
t 0 di lain-lain
di mana pembolehubah rawak X yang mempunyai fungsiketumpatan seperti di atas dikatakan mempunyai taburan tdengan r
darjah kebebasan, ditulis t(~)•Keluk bagi fungsi ketumpatan kebarangkalian bagi tabunan tfr)
adalah simetrik di sekitar 0 dan bentuknya adalah ditentukan oleh
parameter r .
0
Kelokbagi f(x)taburan t
x
Untuk tujuan kita taburan t adalah dmgambarkan sebagai
nisbah di antara dua pembolehubah rawak normal piawai dan Chi-kuasa dua.
Gambarajah 8.1:
249
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 259/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 260/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 261/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 262/466
TEORI PENSAMPELAN
Contoh: 9.1
Katalah S~dan S~adalah varians sampel bagi dua sampel rawak
bersaiz n 1 = 16 dan n 2 = 1 1 yang diambil daripada dua populasi
yang bertaburan nQi, 10 ) dan n(p2, 30). Apakah kebarangkalian
supaya nisbah S~/S~kurang dan 095?
Penyelesaian:Pembolehubah rawak
adalah bertabunan F (1 5 , io).
Oleh itu
30 \ < .95) = ~fS~/a~ < ~
~S~/a~
P(F < 285)
di mana F F(15 10)
Kebarangkalian tersebutdalam gambanajah 9.1
ditunjukkan sebagai kawasan berlonek
Untuk mendapatkan kebarangkalian berkenaan dapat dilihat dan jadual taburan F dengan r1 = is dengan r2 = 10 darjah kebebasan,
iaitu
5~ /a~F —
0
1 5 , 10)
Gambarajali 9.1: P(F < 2 .8 5 )2.85
253
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 263/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
P(F < 285) = 1 — & 0 5= .95
Jadi kebarangkaian nisbah S~/S~2kurang darm 95 ialah 95.
Latihan Bab 8
8 .1 Katalah satu populasi mengandungi 3 unsun iaitu 2, 4 dan 6 . X1 danX2 adalah dua pengamatan yang dipilih satu lepas satu, iaitu yang
terpiih benpeluang untuk dipilih kali kedua (sampel dengan gantian)dapatkan jadual tabunan pensampelan bagi X.Tunjukkan bahawa
E (11= p dan V(I) = d m mana p dana2 adalah m m dan varians
populasi.
8.2 (a) Satu populasi bentabunan normal dengan p = 5 dan a2 = 16 .
Jika sampel bersaiz 1 dipilih, apakah kebarangkalian sampeltersebut bennilai di antana 4 dan 6. Apakah jangkaan nilai
sampel tensebut?
(b) Jika diandaikan mm n bagi populasi tidak diketahui apakahpenganggar yang sesuai untuk menganggarkan mm?
8.3 Jika satu sampel bersaiz 10 dan satu populasi membenikan nalat
piawai 5 , apakah saiz sampel yang diperlukan untuk mengedilkan
ralat piawai kepada 25?
8.4 Satu populasi mengandungi pengamatan 5 , 4, 3 , 3 , 6 dan 10 . Satusampel bersaiz 2 dipiih dengan gantian dan didapati
pengamatannya ialah 6 dan 10 . Dapatkan m m dan vanians populasi,dan m m dan vanians sampel.
t5 Satu sampel bensaiz 25 dipiih dati n(70, 25). Satu lagi sampel bensaiz
3 6 dipiih dati taburan n(80, 25). Carl kebanangkalian m m sampel
kedua melebihi m m sampel pertama di antara 75 dan 125.
8.6 Buktikan teorem 62 di dalam seksyen 8~6.
8.7 Katalah X X,, dan Y1 ... Y, adalah dua sampel rawak tak
254
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 264/466
TEORI PENSAMPELAN
bersandar dan taburan n(p, a~dan nQs, at). Tunjukkan bahawa
‘~n in
adalah bentaburan n(0, 1).
8.8 Jika satu sampel bensaiz 16 dipiih daripada satu populasibertaburan i420, 25), apakah kebarangkalian mendapat sampel yang
mempunyai m m yang berada di antara p —
196 a; dan p —
196 U;.
8.9 Katalah XL ... X~adalah sampel yang diambil danipada populasi b(i,
U ). Jika ditakrif y = i~1 X 1
(a) Apakah taburan bagi 1? ________
(b) Apakah taburan bagi (Y — nO)/,,/~(1 — 0) bila ii cukup besar?
8.10 Katalah X L ... X~adalah sampel bensaiz n danipada taburan
eksponen dengan m m ~. Tunjukkan bahawa
z=
adalah bertaburan n(0, 1 ) bila ii mendekati infinit.
8 .11 Satu sampel bersaiz 100 diambil dan satu populasi yang mempunyai
m m p = 8 dan vanians a2 = 16 . Dapatkan penghampiran bagi P (6 <
I c 20).
8.12 Jika XL .... X64 adalah sampel rawak dan taburan Poisson dengan
1”parameter A = 9 dan ditaknif I = — z x1 apakah kebarangkalian
64 I berada di antara &25 dan 975?
8.13 Katalah pembolehubah rawak X mempunyai fungsi ketumpatanOcx<1
fix) =S
~ di lain-lain
255
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 265/466
KEBARANGKALIAN D A N sTATISTLK
(iooDapatkan P X
1 ) 55) di mana X 1 tak bensandar dan masing-masing mempunyai fungsi ketumpatanf(x).
8.14 Katalah X adalah bentaburan n(0, 1). Jika ditaknif Y= X 2 dapatkan
fungsi taburan bagi Yiaitu F(y). Dengan menggunakan F(y) yangdipenolehi, tunjukkan bahawa Y adalah bertabunan X2u) (teorem7.1).
8.15 Buktikan bahawa jika X .., X~adalah sampel nawak dani n(p, a2 )maka
= I~L(X 1 —
adalah bentaburan X2(n)~
Jika p = 5 dan a2 = 9 tunjukkan bahawa m m dan vanians bagi Y
adalah masing-masing bernilai 9 dan 162/n.
8.16 Jika dibeni X X2u0) apakah nilai a, b , c dan d supaya
(a ) P(X > a) = 05
(b) P(b c X c c) = 95
(c ) P(X > d) = ‘975
8.17 Dani satu sampel bensaiz 16 dan tabunan normal dengan m m 50 ,
didapati m m dan vanians sampel adalah 45 dan 60. Apakah
kebanangkalian mm sampel bernilai
(a ) Di antana 1097 dan 50.
(b) Kunang dan 7012
8.18 Jika X adalah pembolehubah rawak bentabunan F apakah
kebanangkalian
(a ) P(F > 115) jika F — F(1, 1 5 )(b) P(F < 1046) jika F F(5, 7 )~c) P(F > 415) jika F —~ F(6, 8 )(d) P(162 < F < 453) jika F F(6, 4)
8.19 KatalahS~danS~adalah vanians sampel bagi dua sampel rawak tak
bensandan masing-masing bersaiz n1 = 15 dan n 2 = 9 yang diambil
dani dua populasi normal dengan vanians a~= 12 dan a~= 6.
Dapatkan P(S~/S~> 5 -4) .
256
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 266/466
TEORI PENSAMPELAN
8.20 Andaikan X1 ... X~dan Y Y~adalah dua sampel nawak tak
bensandar masing-masing diambil dan taburan n(p,, a~)dan n(p2, a~).Jika p~dan P2 diketahui apakah taburan bagi
(X —
i1 (Z — p2)/a2
257
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 267/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 268/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 269/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
Tunjukkan bahawa X 1 iaitu objek pertama bagi sampel dan X
adalah penganggar tak pincang bagi 0 .
Penyelesaian:
f(x; 0 ) adalah fungsi ketumpatan bagi tabunan eksponendengan
A = ~. Oleh itu X adalah bertaburan eksponen dengan m m ü .
Perhatikan statistik X1,Oleh kerana X 1 bentabunan eksponen maka X1 juga bentaburan
eksponen. Oleh itu
E(X1) = p = 0
Yakni X L adalah penganggar tak pincang bagi 0 .
Perhatikan statistik X,
—
E(X) = - E E(XJ fl I
1”
=-E01 1 I
n O
n
=0
Yakni X juga menupakan statistik tak pincang bagi 0 .Dan contoh 3 .1 di atas kita dapati ada beberapa penganggar tak
pincang bagi satu-atu parameter. Jadi untuk menentukan apakahstatistik yang baik adalah tidak cukup dengan hanya memerhatikansifat tak pincang satu-satu penganggar berkenaan.
9.4 Penganggar CekapJika terdapat dua penganggar tak pincang bagi satu parameter,
tentunya penganggar yang mempunyai vanians tenkecil akanmenjadi penganggan yang lebih baik. mni adalah k&ana vanians yang
lebih kecil menggambarkan penumpuan penganggar tersebutadalah di sekitar minnya~Jadi kita-boleh jangkakan penganggar m iakan memberi anggaran yang lebih hampir kepada parameterberkenaan. Oleh itujika terdapat satu penganggar tak pincang yang
260
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 270/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 271/466
KEBARANGKALIAN DAN STATI5TIK
Oleh kerana batas bawah Rao-Cramer membenikan vaniansminimum bagi sebanang penganggar tak pincang jika satu statistik tak pincang Y memenuhi syanat definisi 4.2 maka varians bagi Y
adalah minimum. m n i berenti jika satu penganggar itu adalahpenganggan cekap maka ia adalah juga penganggan tak pincangterbaik. Hubungan sebalik adalah tidak semestinya.
Oleh kenana sebanang statistik tak pincang mempunyai vanians
lebih besan atau sama dengan batas bawah Rao-Cnamen, maka
nisbah di antara vanians dan batas bawah menupakan pengukur yang
baik bagi satu-satu penganggar. Pengukuran tersebut dinamakankecekapan relatif bagi satu-satu penganggar. Jika Y adalah satu
penganggar maka kecekapan nelatifbagi Yuntuk menganggankan 0ialah
V( Y)
Nilai E adalahkurang atau sama dengan 1 bergantung kepada sama
ada varians bagi Ylebih besar dan 8(0) atau sama dengan B (0 ) . Jikakecekapan relatifbagm Y adalah E = -9, maka Y dikatakan 90 penatus
cekap. Manakala jika E = 1 maka penganggar tersebut dikatakan100% cekap atau merupakan penganggar cekap.
Contob: 4.1
Katalah X~..., X,, adalah sampel rawak bersaiz n dad tabunan
normal dengan m m 0 dan vanians a2. Katalah X diambil sebagai
penganggar bagi 0. Apakah X penganggan cekap.
Penyelesaian: —
E(X) = p = 0
X adalah penganggar tak pincang.
11 (X ) = a2
Sekanang perhatikan batas bawah Rao-Cramer
1 L fx—O’\’
f(x, 0 ) = ,—
eiC)v2ir a
262
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 272/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 273/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 274/466
TEORI PENGANGGARAN
Oleh itu batas bawah Rao-Cramer ialah
I 2a4
1
Kecekapan nelatif bagi ~2 ialah
B(a2) — 2a4/nE = V(S2) — 2a4/n — 1
n—i
n
Jika n —. cc maka F adalah mendekati 1 . Maka ~2 adalahpenganggan cekap secara asimptotik bagi varians a2.
9~.5 Penganggan K onsistenKadang-kadang dalam proses pengangganan kita dapat
menentukan pengangganan cekap bagi satu-satu panameten. m n i
timbul oleh kenana tidak semua taburan mempunyai batas bawah
Rao-Cramen. Jadi untuk mengatasi masalah mi kita cuma dapat canisatu penganggan yang membeni anggaran yang hampir kepadaparameter tensebut, sekunang-kunangnya apabila saiz sampel
dijadikan cukup besan. Penganggan yang memenuhi sifat demikian
tidak kina Ia pincang atau tidak pincang, dipanggil penganggarkonsisten.
Deflnisi: 5.1Sebarang statistik Y = u(X i,..., Xn) adalah statistik konsisten
bagi 0 jika bagi sebarang a > 0 makahadP(iYoi)o
Jika statistik Y memenuhi definisi di atas maka } juga
dikatakan bentumpu secara stokastik ke anah 0 (lihat bab 5 seksyen5.8). Pengertian dan definisi mi boleh disimpulkan sebagai bila saiz
sampel dibesarkan maka statistik iç akan mendekati parameter yanghendak dianggankan.
Jika statistik }, tak pincang maka untuk menentukan satu
265
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 275/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 276/466
TEORI PENGANGGARAN
penganggar yang baik, sekanang, manilah kita perhatikan bebenapakaedah yang selalu digunakan untuk mendapat penganggar
tersebut. Kaedah yang kita akan bincangkan ialah kaedahkebolehjadian maksimum dan kaedah momen.
9.6 Kaedah Kebolehjadian Maksimum
Kaedah mi merupakan saw kaedah yang digunakan secara
meluas dalam mendapatkan penganggar bagi satu-satu parameter.Dengan kaedah mi kita cuba mencani satu fungsi kepadapembolehubah rawak supaya nilai bagi fungsi tersebut menjadikanfungsi ketumpatan kebanangkalian bagi sampel adalah maksimum.
Katalah X1 ... X~adalah sampel rawak bensaiz n danipada
taburanf(x; 0). Ketumpatan bersama bagi X 1 ... X~ialah
L(0) = rIJ(x; 0 )
Fungsi L yang bergantung kepada parameter 0 dinamakan fungsi
kebolehjadian. Maka penganggan kebolehjadian maksimum ialahsatu statistik 0 = u(X1 ... X~)yang memaksimumkan fungsi L(0) padatitik p0).
Bagi kebanyakankes adalah lebih sesuai untuk fungsi loganitma jati bagi Ldigunakan. Penubahan mi tidak menjejaskan keputusanoleh kerana 0 yang memaksimumkan L(0) juga akanmemaksimumkan In L(O).
Contob: 6.1Katalah X1 ... X ,, adalah sampel nawak daripada tabunan
n(0, a2). Dapatkan penganggar kebolehjadian maksimum bagi 0 dan
a2 .Penyelesaian:
Fungsi kebolehjadian L(0, a2) ialah
L(0, 02) = fm j , e~C :0)2
= ( ~exp~_~E(x_0)2~. 2a ~
atau
n 1”
lnL(0,a2)= _~1na2__ln2it__j E (x1—0)22 2 2a ~=i
267
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 277/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 278/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 279/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
maksimum adaiah cekap secara assimptotik.
Penhatikan bahawa syarat biasa tidak dijelaskan di sini. Untuk pengetahuan lanjut benkenaanmi boieh dipenhatikan di daiam buku
statistik yang lebih tinggi.
Teorem 6.1 walaupun tidak mbnyatakan bahawa pengànggarkebolehjadman boieh mengha~ilkanpenganggar terbaik tetapi iameyakinkan kita bahawa jika penganggar tensebut wujud ia boleh
dipenolehi dengan kaedah i. Jadi apa yang penlu dibuat ialah
dengan mendapatkan penganggan kebolehjadian maksimum dantentukan adakah Ia memenuhi syanat-syarat penganggan tenbaik.Manakala teorem 6.2 menentukan bahawa jika penganggar cekap
tidak wujud, kita masih boleh mendapatkan penganggan cekapsecana assimptotik dengan kaedah in Jadi sebagai kesimpulankaedah pengangganan keboiehjadian maksimum membenikan asas
untuk mendapatkan penganggar tenbaik.
9.7 Kaedah Momen
Masalah akan timbul di dalam menggunakan kaedahkebolehjadian maksimum jika taburan tidak diketahui terlebih
dahulu atau jika ia meiibatkan kesukanan penginaan. Sebagaimisalan penhatikan X~... X ,, yang diambil danipada tabunan Gammadengan panameten ~ dan f i . Fungsi L(cc, f i ) ialah
L(~, II) = H p~Ffr) X~ e~’~
atau
lnL(a,fl) = — in infl — In[’(i) + ( c z — i) mx — x/fl
Jika kita bezakan in L(; / 3 ) berdasankan ~dan / 3 dan samakandengan0 kita akan dapat dua persamaan senentak yang sukan untuk diselesaikan. Untuk mengatasi masalah mi, satu kaedah lagi
digunakan untuk menganggarkannya.Jika kita dapatkan m m dan vanians bagi tabunan tensebut dan
samakan dengan m m dan vanians bagi sampel kita dapat pensamaan
benikut.
—
ccfl=Xdan2fl2= E /
1=1 fl
270
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 280/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 281/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 282/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 283/466
KEBARANGKALIAN DAN STA TISTIK
I yang benbeza sehingga menghasilkan selang yang berlainan.Sebahagian daripada selang m i mengandungi p dan sebahagian lagi
tidak. Tetapi selang di atas menentukan bahawa dalam jangkapanjang, daripada 100 sampel yang diambil, 95 daripadanya
memberikan selang yang mengandungi p.Selang keyakinan juga boleh dmanggap sebagai memberi 95%
keyakinan bahawa selang yang diperolehi daripada satu sampel
(x — 196 X + 1~96 adalah mengandungi parameter p.
Panjang selang, iaitu 2(F96} memberikan gambaran
tentang ketepatan penganggaran titik bagi parameter tersebut. Jika
panjang selang yang dihasilkan adalah lebih pendek kita
berkeyakinan bahawa anggaran titik adalah lebih tepat.Pemilihan darjah keyakinan, ditulis (1 — a) 100% selang
keyakinan adalah terserah. Bagaimanapun dalam praktiknya I — a
mengambil nilai 95 atau 99 atau 90, yakni membenikan 95%, 99%atau 90%~selangkeyakinan.
Berdasarkan penjelasan yang telah diberikan, sekarang kita
perhatikan beberapa selang keyakinan bagi parameter-parameteryang kemp digunakan dalam analisis statistik.
9.9 Sètang Keyaldnan bagi M mKes A : Pensampelan dan taburan n(p, c2) dengan ~2 diketaliui.
Katalah x1 , x2 x, adalah sampel rawak bersaiz ii dan
n(p, g2) dengan pengamatan masing-masing x1. x2 ,ç. Katalah
juga varians a2 diketahui tenlebih dahulu.
Penganggar titik bagi m m p ialah X di mana X merupakanpenganggar terbaik bagi p. Jadi sewajarnya penganggar selang bagi
p adalah berdasarkan statistik X in Bagaimanapun oleh kerana
diketahui sebagai bertaburan n(0, 1 ) maka adalah lebih baik untuk kita gunakan Z sebagai asas pengiraan penganggar selang.
( 1 — a) 10 O % selang keyakinan bagi p diperolehi dengan
mencari a dan b supayaP(a < Z < b ) = 1 — a
274
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 284/466
T E O R I PE N G A N G O A RA N
oleh kerana n(0, 1 ) adalah simetrik maka a = — b dan selalunya kita
gunakan Z~,2di mana
< z < z~12)= 1 — a
Kebarangkalian m i ditunjukkan dalam gambarajah 9.1.
z
Gambarajah 9.1: ~(_ Z~12< Z < 1 — a
Untuk penyelesaian, kebarangkalian tersebut boleh ditulis
sebagai
<p< I 1 —a
Maka (1 — a) 100% selang keyakinan bagi p ialah
a - aX — — < ~4 < X + Z~
Setelah pengamatan bagi sampel diketahui sebagai x1, x2
maka anggaran bagi ~ ialah ~ =~—~ anggaran bagi (1 — a) 100%
selang keyakinan ialah
~_Z~5~=<P< ~+Z~~I2~=
Contoh: 9.1
Katalah sampel rawaic bersaiz n = 16 diambil daripada taburann(p, 25). Andaikan pengamatan daripada sampel memberikan
= 4245. Dapatkan 95% selang keyakinan bagi p.
z. 0
275
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 285/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 286/466
T E O R I PE N G A N G GA RA N
— ti/ 2 <~ < ~ + = 1
Maka (1 — a) 100% selang keyakinan bagi p ialah
I — t212 < p c I + r2 1 2
Jika pengamatan dan sampel bagi x dan S2 ialah masing-
masing ~ dan s2 , maka anggaran selang bagi (1 — a) 100% selang
keyakinan ialah
— S — S x — t,
12 -.—, x + t~12 fn
Contoh: 9.2Katalah sampel rawak bersaiz n = 16 diambil daripada taburan
n(p, a2). Andaikan pengamatan bagi m m sampel ialah I = 4 2 4 5 dan
bagi varians sampel ialah s2 = 25. Anggarkan 95% selang keyakinan
bagi p.
Penyelesaian:N ilai t,
25 supaya
c T< = 95
di mana T= bertaburan t(1$) ialah t.25 = 213
Oleh itu, 95% selang keyakinan bagi p ialah
I — 2~13 <p < I + 213
Daripada sampel didapati ~ = 4245, s2 = 25 dan ‘ r = 16 .
Oleh itu anggaran bagi 95% selang keyakinan ialah
42~45 — 213 ( ~ )< p < 4245 + 213 ( ~ )3979 c p < 4511
Jadi anggaran bagi 95% selang keyakinan bagi p ialah (3979, 45 11 ) .
277
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 287/466
KEBARANGKALIAN DAN STA TISTIK
Dengan membandingkan contoh 91 dan 9-2 didapati selang
keyakinan yang diperolehi apabila a2 tidak diketahui adalah lebih
lebar daripada selang yang diperolehi bila a2 diketahui. m i adalahmunasabah oleh kerana kita kehilangan ketepatan di dalam
penganggaran bagi parameter a2.
Kes C: Pensampelan dan sebarang taburan bila saiz sampel cukupbesar.
Di dalam kes A telah ditunjukkan bahawa bagi pensampelandaripada taburan normal, selang keyakinan boleh diperolehibenasaskan taburan normal piawai. Bagi pensampelan daripadataburan bukan normal juga dapat kita tunjukkan bahawa taburantersebut boleh digunakan dengan syarat saiz sampel adalah eukupbesar. m i adalah lahir daripada keputusan teorem had pusat yang
dibincangkan di seksyen 5 Bab 8 .Jika X
1 ... X~adalah sampel rawak yang diambil daripada satu
taburan yang m m dan vanians wujud, maka pembolehubah nawak
z—I—p
adalah mendekati taburan n(0, 1 ) (Teorem had pusat). Berdasarkankenyataan m i, bila n adalah cukup besar maka kuantiti Z yang
bertaburan n(0, 1 ) boleh digunakan untuk mendapatkan ( 1 — a)100% selang keyakinan bagi m m p. Yakni kita dapat mencari nilai
Z~112supaya
z~<z < = 1 — a
Setelah diselesaikan untuk p, kebarangkalian di atas boleh ditulis
sebagai
P(x — z~ <~< I + z~ = 1 — a
Dan ( 1 — a) 100% selang keyakinan ialah
I — 4/2 <p < I + Z~
Bagaimanapun anggaran bagi selang m i, ‘— z~,2 fn
278
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 288/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 289/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 290/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 291/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 292/466
TEO RI PE N GA N GO A RA N
parameter yang tidak diketahui ialah p. Jadi penganggaran titik ataupenganggaran selang adalah bertujuan untuk memberi anggaranbagi parameter p tersebut.
Anggapan X1 ... X~adalah sampel rawak bensaiz n dan b(t, p );
0 < p < 1 . Katalah Y = ~X1 maka penganggar kebolehjadian
maksimum bagi p ialah p = ~. m i dapat ditunjukkan dengan senang
seperti berikut:
f(x~)= pXiU — p)’Th
maka~ 1—x
L(p)= H p’(l —p)
= ~ZX1 (1 — p)Il—ZXI
atau
In L(p)= Ex~ In p + (ii — Exj ln(1 — p)
~ I n L(p) tx~ — n —
op 7 i—p
Dengan menyamakan denganOdan menyelesaikan untuk p
maka p = = —. Penganggar p dapat ditunjukkan sebagatI, ii
penganggar terbaik bagi p . Jadi adalah wajar digunakan untuk mengira selang keyakinan bagi p.
Bagairnanapun disini kita hanya berminat untuk mendapatkanselang keyakinan bagi p bila n adalah cukup besar di mana taburannormal piawai boleh digunakan. Teorem had pusat memberikan
adalah bertaburan n(0, 1). Jadi bagi Z~dapat ditentukan
< z < z~,2)= 1 — a
283
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 293/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 294/466
TEORI PENGANGGARAN
atau
0184 < p < 0216
sebagal kesimpulan dapat dikatakan bahawa kita mempunyai 95%
keyakinan bahawa nisbah sebenar penuntut yang mengalami
kerosakan gigi ialah di antana 01 84dan2 1 6 a t a u d i an t ar a 1 8 h i n g g a
21 peratus daripada seluruh penuntut.
9 . 1 2 S e l a n g K e y a k i n a n b a g i Varian a2
J i k a l a u X X~adalah sampel rawak daripada taburan n(p,a2), maka penganggar bagi a2 i a l a h S 2 . Sekiranya x
1 ...
x~a d a la hpengamatan bagi sampel, maka s2 adalah anggaran titik bagi
c r12
varians.Untuk mendapatkan selang keyakinan bagi a2 kita boleh
gunakan statistik S 2 . Oleh kerana pembolehubah rawak
(n — 1 ) S2
a2
adalah bertaburan ~201_~ maka taburan X2~~-I b o l e h d i g u n a k a n
s e b a g a i as as p e n g i r a a n .
( 1 — a ) 1 0 0 % s e l a n g k e y a k i n a n b a g i a 2 b o l e h d ip e r o l e h id e nga nmendapatkan nilai X21-~,2dan X2i/2 s u pay a
—i/2
Gambara jah 12.1: P (f1 _ , jz < <
x
f (x)
(n — 1)S 2 x2~/2)= l—a
<a2
0
~i
285
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 295/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 296/466
TEORI PENGANGGARAN
adalah bertaburan F dan V 1 = — 1 dan V 2 = m — 1 darjah
kebebasan. Jadi pengiraan selang keyakinan bagi a~/a~bolehberdasarkan taburan F(V1, l’~).Yakni boleh dicarif1_~12danf~,2supaya
(Vi. V 2) < F < f~(~. Vi)) = i — a
Gambara jah 12.1: P(f1_~,2(V1.V 2 ) < F <f~(~. V2)) = 1~—a
Oleh kerana J~12(V1 . V 2 ) tidak boleh didapati daripada jadualtabunan F maka kita harus menggunakan formula
1.1 1 — i/ 2 (V1 . V2) =
f~/2(V2. V 1 )
untuk rnemperolehinya.
Maka persamaan kebarangkalian di atas boleh juga ditulis
s e b a g a i
i \ ~
(jc12(V~V1))<a21S~ <i~,2(vi~= 1 — a
Dan menyelesaikan untuk a~/a~kita akan dapat ( 1 — a) 1 00% selang
keyakinan bagi nisbah a~/c~.Yakni
I a~ S~
S~f~/2(V 2 , V 1 ) ~ < —~f~,2(V1,V 2 )
x )
F(V1 , V2)
/2
‘i.O~/2
287
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 297/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
Contob: 13 .1Katalah dan satu sampel rawak bersaiz 1 6 danipada satu
taburan normal didapati vanians sampel s~= 30. Satu lagi sampelbersaiz 1 1 diambil dan taburan normal didapati s4 = 10 . Andaikankedua sampel adalah tak bersandar, dapatkan 95% s e l a n g
F = — F~10.15)a~S~x
k e ya k ina n b a g i n i s b a ha,
Penyelesaian:
20 . - C xJadi 95,,~selang keyakinan bagi —~
Cy
F~0,Is) iaitu supaya
atau
PY~o 1 5 ) a~S~
<F C I~,f025(15, 1 0 )
boleh diasaskan kepada taburan
<1025(10, 15)) = -9 5
/025(10, = -9 5
Danipada jadual taburan F d i d a p a t i f 0 2 ~(10, 1 5 ) = 3-06 danf025( 15 ,1 0 ) = 3-25.
Dan itu 95% s el an g keyakinan bagi ialah
-85 < < 9-18
s?~ 1 a~ S~S~152 < -r <—j— ( 3 -06 )
Danipada sampel didapati s~= 30 dan S~= 10 . OIeh itu anggaran95% selang keyakinan ialah
30 / 1 \ 10~152)<
atau
I L C (3-06)Cy 10
288
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 298/466
TEORI PENGANGGARAN
Latjhan B a b 9
9.1 Anggapkan X~dan X2 adalah sampel yang diambil daripada
tabunan b(l, p). Apakah penganggar tak pincang bagi p? Apakah
kemungkinan nilai pengamatan bagi penganggar tersebut? Danapakah jangkaan nilai penganggar tersebut?
9.2 Bagi taburan-taburan yang mempunyai fungsi ketumpatan berikut:
(a ) f(x; 0 ) = e /20
(b) f(x; 0 ) = 0 e°’O~e°
(c ) f(x;0)= x=0,I 0>0x /
dapatkan penganggar tak pincang bagi 0 ; j i k a X 1 ... X~adalahsampelrawak bersaiz n daripada taburan-taburan tersebut.
9.3 Tunjukkan bahawa Y = S X 1 di mana X X~adalah sampel
rawak bersaiz n dan b(1,p), adalah penganggar pincang bagiparameter p.Jika a Yadalah statistik tak pincang bagi p, apakah nilai
a?
9.4 Katalah X1,..., X~adalah sampel rawak bersaiz n danipada taburann(0 , a
2). Tunjukkan bahawa ~X~/n adalah penganggar tak pincang
bagi a2 dan mempunyai vanians 2a4/n.
9 . 5 Pembolehubah r a w a k X mempunyai f u n g s i k e t u m p a t a n
0<x<0
A n d a i k a n X1 , X 2 , X3 adalah sampel bersaiz 3 dan taburan tersebut.
(a) Bagi statistik-statistik berikut
(i ) X (ii) 2X
(iii) .X (iv) 2X
(v ) (vi) + x2)
tentukan statistik tak pincang bagi 0 .
— c c < x C cc; 0 C 0 < cc
0 < x C cc; 0 > 0
289
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 299/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 300/466
T E O R I PENGANOGARAN
(c ) f(x;0) =(~)(F(1 — x = 0, l,2,3;0 C 0<1
(d) f(x;0)=0x_l(1 —0) x= l,2,..4OCOC i
Bagi setiap kes dapatkan
(i) Penganggar kebolehjadian maksimum bagi 0
(ii) Penganggar momen bagi 0
9.13 Tentukan bagi setiap kes dalam soalan 9.12 adalah U yang diperolehi
dan (i) dan (ii) merupakan penganggar tak pincang bagi 0? Adakah 0
cekap?
9.14 Sam sampel rawak bersaiz n diambil daripada taburan Poissondengan parameter 1 . Dapatkan penganggar kebolehjadianmaksimum dan penganggar momen bagi varians taburan tersebut.
Bandingkan kedua-dua penganggar dan tentukan sama ada kedua
penganggar tersebut cekap?
9.15 Katalah purata tinggi bagi 50 orang pelajar U.K.M yang diambil
sebagai sampel.adalah 1.4 meter dengan ralat piawai 0.3 meter:
(a) Dapatkan 95% selang keyakinan bagi tinggi sebenar pelajar di
U.K.M.
(b) Dapatkan 99% selang keyakinan bagi tinggi sebenar pelajar diU.K.M; dan
(c ) Apakah yang dapat disimpulkan daripada dua keputusantersebut?
9.16 Anggapkan hasil keluaran sejenis padi adalah bertaburan normal
dengan sisihan piawai 40 gantang seekar. Dan satu sampel rawak yang terdiri daripada 30 ekar yang ditanam dengan padi tersebut,hasil purata ialah 780 gantang seekar. Dapatkan 95% selang
keyakinan bagi hasil sebenar padi tersebut. Jika diingini bahawa kitamempunyai 95% keyakinan supaya m m sampel adalah di antara 10
gantang dan m m hasil sebenar berapa ekarkah hams dipilih sebagai
sampel?
9.17 Katalah dan satu sampel rawak bersaiz 16 daripada n(p, 100)
didapati ~ = 120 dan ~2 = 250. Dapatkan 95% selang keyakinanbagi m m p.
291
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 301/466
KEBARANGKAIIAN DAN SIATISTIK
9.18 Danipada sampel nawak bersaiz 20 daripada tabunan normal
didapati m m sampel ialah 152 dan ralat piawai ialah 65. Dapatkan99% selang keyakinan bagi m m taburan tersebut.
9.19 Daripada 1000 teksi yang diperiksa di Kuala Lumpur, didapati 6
pe r at u s m e n g e l u a r k a n a s a p berlebihan. Dapatkan 90% selangk e ya k ina n b a g i n i s b a h s eben ar teksi yang mengeluarkan asap
h er l e b i h a n d i s e k i t a r K u a l a Lumpun.
9.20 Satu mesin pembungkus gula dikawal supaya sisihan piawai berat
sekampit gula adalah 005 kilogram. Jika daripada 1 6 kampit gula
didapati berat punata ialah 6155 kilogram, dapatkan 99% selang
keyakinan bagi berat sebenar sekampit gula keluaran mesin tensebut.Andaikan berat sekampit adalah bertaburan normal.
9.21 X1 ... X~adalah sampel nawak daripada taburan Poisson dengan m m
2 . Dapatkan 95% selang keyakinan bagi A . Jika bagi sampel bersaiz100 d i d a pa t i t = 7 dans
2 = 15 dapatkan 95% selang keyakinan bagi
2 . Panduan: Gunakan keputusan bahawa
X -2
adalah mendekati tabunan n(0, I).
9.22 Misalkan X1 ... X100 adalah sampel rawak daripada n(p, 9) dan Y 1
~‘100 a d a l a h . sampel r a w a k d a r i p a d a nQt , 16). Dapatkan
k e b a r a n g k a l i a n s e I a n g ~ ( X + Y — l),~(X+ Y + I ) m e n g a n d u n g i
9 . 2 3 D a r ip a d a dua sampel tak bersandan bersaiz n1 = 1 6 dan n2 = 9
d a r i p a d a d u a t a b u n a n n o r m a l d i d a p a t i ~ 1 = 35~~= 40,s~= 49dan4 = 64. Dapatkan 95% selang keyakinan bagi p1 — #2 jika
diandaikan a~= a~.
9.24 Sebuah pusat penyelidikan pertanian ingin menguji ketuaran 2jenis
padi. Padi A ditanam di kawasan seluas 10 ekan dan didapatikeluaran puratanya ialah 700 gantang seekar dengan ralat piawai 50
gantang. Padi B ditanam di kawasan seluas IS ekar dan didapatimenghasilkan 650 gantang seekar dengan ralat piawai 30 gantang.Dapatkah 95% selang keyakinan bagi perbezaan hasil purata kedua
292
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 302/466
TEORI PENGANGGARAP~
jenis padi tensebut. Adakah selaQg tersebut mengandungi nilai 0?
Apakah kesimpulan yang anda fikir sesuai terhadap keputusantersebut?
9.25 Katalah X .., X~adalah sampel rawak daripada n(p. a2). Jika p
diketahui, bina 100(1 — ~)% selang keyakinan bagi a2. Jika darmpada
1 ‘°
satu sampel bersaiz lOdidapati j~~ (x1 — = 1232 dapatkan 95%
selang keyakinan bagi a2.
9.26 Sebuah mesin pengetin nenas dikatakan rosak jika sisihan piawai
bagi berat setin yang dikeluarkan oleh mesin tersebut daripada had
yang ditetapkan. Jika daripada 25 tin yang dipilih didapati purataberat setin ialah 250 gm dengan ralat piawai 5 gm. Apakah 95%
selang keyakinan varians sebenar bagi berat setin yang dikeluankanoleh mesin tensebut? Jika mesintensebut dianggap rosak jika sisihan
piawai adalah 2 gm apakah boleh dianggap mesin tersebut adalah
rosak dengan 95% tingkat keyakinan?
9.27 Satu kajian sosio-ekonomi dibuat untuk mengkaji perbezaan
taburan pendapatan penduduk kampung pantai barat dan timun
Semenanjung Malaysia. Untuk tujuan tersebut penyelmdmk mimemerhatikan perbezaan m m dan vanians sebenar pendapatan di
kedua kampung. Daripada 30 penduduk yang dipilih danipada
setiap kampung, didapati m m dan varians sampel adalah sepertib er i k u t
P a n t a i B a m a t P a n t a i T i m u m
= $350 X
2 = $270
s~=$250 4=550(a ) Dapatkan 95% selang keyakinan bagi perbezaan di antana m m
pendapatan kedua kampung.
(b) Dapatkan 95% selang keyakinan bagi nisbah di antara vanians
pendapatan penduduk kedua-dua kampung.
9.28 KatalahX1 ...X~danY 1 ... 1~ada1ahduasampe1rawaktakbersandarmasing-masing diambil dan n(5, a~)dan n(10, a~).Dapatkan 100(1 —
a)% selang keyakinan bagi nisbah a~/a~.Jika pengamatan daripadasampel pertama ialah 5,7,9,4,6 dan bagi sampel kedua ialah 6,15,9,
7 , 11,6 dapatkan anggaran bagi 95% s el an g k e ya k ina n bagi a~/a~.
293
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 303/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
9.29 Danipada 1000 penduduk di kawasan bandar didapati 20%
mengidap penyakit darah tinggi. Manakala danipada 1000
penduduk luar bandar hanya 15% mengidap penyakit tersebut.Dapatkan 95% selang keyakinan bagi perbezaan sebenar nisbah
pengmdap penyakit tersebut d~bandar dan luar bandar.
294
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 304/466
BAB 10UJIAN HIPOTESIS: TEORI
Satu lagi bmdang yang mustahak di dalam mnferens statistmk ialah apayangdinamakan ujian hipotesis. Masalah yang dihadapi di dalam ujian
hipotesis berbeza daripada masalah penganggaran dan segi keperluannya
untuk membuat pilihan tentang parameter atau tabunan sebenar yang
boleh mewakili populasi. Semasa penganggar kita gunakan sampel untuk menentukan nilai sebenar parameter populasi. Untuk ujian hipotesis pubkita gunakan sampel untuk menentukan kenyataan tentang populasi yang
harus diterima sebagaibenar. Jadi di dalam bab m i kita cuba membincang-
kan beberapa konsep dan aspek teori yang penting di dalam memahamidan menjalankan ujian hipotesis.
10.1 Hipotesis Statistik dan Ujian Hipotesis
Definisi: 1.1
Hipotesis statistik adalah satu andaian atau kenyataan tentang
populasi yang mungkin benar atau mungkin tidak.
Untuk menjelaskan apa yang boleh difaham danipada definisimi, kita perhatikan masalah berikut.
Andaikan satu populasi digambarkan oleh pembolehubahrawak X yang bertaburan f(x, 0). Katalah daripada pengetahuanlepas kita tahu bahawa nilai 0 ialah 0~.Setelah beberapa perubahan
berlaku terhadap populasi kita menasakan 0 sebenar bukan Iagi
bernilai 0. tetapi adalah 0~.Tetapi bagaimanapun kita tidak dapattentukan dengan pasti. Kenyataan 0 = 0~dan 0 = 0~adalahmerupakan k e nya t a a n terhadap pop u las i. Keduanya adalah
h i p o t e s i s s t a t i s t i k . Sebagai misalan yang lain andaikan sejenis padiyang ditanam tanpa baja, boleh mengetuarkan hasil pumata kurang
295
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 305/466
KEBARANUKALIAN DAN STATISTIK
dan 1 0 0 0 k i l o g r a m s e h e k t a r . K4talah s e j e n i s b a j a d mg u n a k a n .
T e n t u n y a k i t a akan menjangkakan hasml purata akan bertambah
melebihi nilai tersebut. Kenyataan hasil purata sehektar ~ 1000 dan~ 1000 adalah merupakan hipotesis statistik benkenaan keluaranpadi tersebut.
Danipada kedua-dua kes di atas kita perhatikan, tendapat duakenyataan berkenaan populasi. Kita catatkan kenyataan yang mula-
mula b a g m H 0 kedua-dua kes sebagam H0: 0 = 0~cjan H0: hasil purata
sehektar C 1000. Hipotesis H0 m i dmnamakan hipotesis nul.Sementara kenyataan kedua bagi kedua-dua kes~dinamakan
hmpotesms alternatif dan dicatat sebagai H1 :
0 =
0, dan H, :
h a s i lp u r a t a s eh e k t a r ~ 1000, m a s mn g - m a s m n g .
Definisi: 1.2
.Jm ka hipotesis statistmk menentukan tabunan secara tepat, ia
dmnamakan hipotesis mudah. Jika tidak ia dmnamakan hmpotesms
gubahan.
Danipada kedua contoh yang telah dibincangkan setakat m i,didapati kes pertama kedua-dua hipotesms H0: 0 = 0~dan H, :0 = 0,
menentukan dengan tepat tabunan b a g m populasm berkenaan. Jadi iaadalah merupakan hipotesms-hipotesis mudah. Manakala dalam kes
kedua, nilai hasil purata di bawah H 0 boleh mengambil danipada 0hingga 1000, yakni tidak dinyatakan nilai sebenar b a g m populasi.
Maka H0 : hasil punata sehektar C 1000 dinamakan hmpotesms
gubahan. Begitu juga dengan hipotesis alternatif dalam kes m m ; ia
merupakan hmpotesis gubahan.Setelah ditetapkan hipotesis berkenaan, iaitu hmpotesis nul dan
hipotesis alternatif bagi satu-satu populasm, apa yang tinggal sebagai
masalah ialah menentukan hipotesis mana yang benar-benarmenunjukkan populasi sebenar. Yakni, menentukan hipotesis yang
harus ditenima sebagai benar.
Definisi 1.3
Ujian hipotesis statistik ialah satu hukum di mana bila nilai
danipada sampel diperolehi, membolehkan menolak atau menerimah i p o t e s i s b er k en a a n .
Penentuan sama ada kita harus menenima atau menolak satu-
s at u h i p o t e s i s b e r ga nt ung k e p a d a m a k l u m a t s a mp el . J i k a l a uk e p u t u s a n d a r i p a d a sa m p e l adalah k on s i s t en d e n g a n h i p o t e s i s n u l ,
296
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 306/466
UJIAN HIPOTEStS: TEORI
k m t a botch menerima H 0 sebagam benar. Dan jika ia tidak konsisten
d e n g a n h m p o t e s m s i m , k i t a cendenmg u n t u k m e n o l a k H0 atau
m e n e r i m a h m p o t e s m s a l t e r n a t m f H,. Sebag ai mi s a la n , d i d a l a m
percubaan metambung d u i t s y m l m n g 1 0 0 0 k a l i d an k i t a i n g i n m e n g u j i
H0:p = ~5denganH,:ps 5 . J m k a la u 9 o k e p a d a y a n g m u n c u l s u d a h
t e n t u k m t a c e n d e r u n g u n t u k m e n o l a k h i p o t e s m s n u l ( a t a u m e n e n i m a H1). Manakala,jikalau k ep a la y a n g k e l u a r i a l a h 50, s u d a h t e n t u k i t a
c e n d e r u n g u n t u k m e n e n i m a H0.B a g a i m a n a p u n s e t a k a t mi, k m t a m a sih b e l u m d a p a t t e n t u k a n
g a n i s p e m i s a h d i mana j i k a k e nya t a a n sa m p e l t e r j a t u h d i d a t a m s at u
k a w a s a n menyebabkan k i t a m e n e r i m a H 0 d a n j i k a d i k a w a s a n s at u
l a g i h a r u s m e n o l a k H0. Sebag ai m m s a la n d i d a l a m k e s melambung
d u i t s y i l i n g 1 0 0 k a l i t a d i , j i k a k a t a l a h k ep a la y a n g k e l u a r m a l a h . 6 o ,
s u d a h t e n t u s u k a n u n t u k m e n e n t u k a n s a m a ada h a n u s d i t o l a k a t a u
d i t er i m a H0.
Dehnisi 1.4
Katalah C adalah s u b s e t kepada r u a n g s a m p e l d i mana j i k a
k e p u t u s a n d a r i p a d a sa m p e l t e r j a t u h d i d a l a m C membawa kepada
p e no l a k a n h i p o t e s i s n u l , maka C adalah d i p a n g g i l k a w a s a n g en t i n g
b a g i u j i a n t e r s e b u t .
A n d a i k a n k i t a mempunyai p op u la s i y a n g b e r t a b u r a n f ( x , 0): 0
eQ , d i mana 0 adalah r u a n g parameter bagi taburan tersebut.
Katalah kita mngin menguji H0: 0 ~ 0~dan H, : 0 > 0~.Dengan s e t
hipotesis tersebut kita telah membahagikan 0kepada dua bahagian
iaitu (2~dan 0, di mana °0 menunjukkan ruang parameter yang
diambil oleh 0 di bawah H0 dan 0, menunjukkan ruang parameteryang diambil oleh parameter 0 di bawah H1. Jadi jika sampel bersaiz
n diambil danipada taburan tersebut, X1 X, dan pengamatannyax,, x2 x~kita akancuba bahagikan sampel kepada dua bahagian
yang saling bereksklusif, C dan C* sppaya jika (x x 0 ) e C kita
boleh membuat kesimpulan bahawa 0 berada di dalam L]~,ataumenolak H0. Sementara jika (x1 ... x 0 ) C~kita menyimpulkan
bahawa 0 Q~,atau menerima H0. Hukum yang s e d emmkmandinamakan ujian hipotesis dan kawasan C pula dinamakan kawasangenting bagi ujman tersebut.
Sebagai penjelasan selanjutnya kita perhatikan kes berikut:
Katalah satu sampet rawak bersaiz n = 25 diambil danipada
taburan n(O, a
2), dan kita mengujm H 0: 0 ~ 5 dengan H, : 0 > 5 .
Andaikan C adalah satu subset supaya
297
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 307/466
KEBARANOKALIAN DAN 5TATI5rIK
C = { ~, ... x~);L xJS > i~}
atau ringkasnya C = > 15}.
J i k a p e n g a m a t a n d a r m p a d a sa m p e l £ berada d i d a l a m C kita menolak
H~a t a u j i k a c t e r k e l u a r d a r i p a d a C k i t a m e n e n i m a H 0, C di katakan
k a w a s a n g en t i n g b a g i u j i a n H0: 0 ~ 5 d e n g a n H~:0 >5. S u b s e t C*
y a n g merupakan s e t pelengkap b a g m C adalah C* = x C l 5 } y a n g
merupakan ka w a s a n p e n er m ma a n b a g i u j i a n t e r s e b u t . - r m t m k y a n g
m e m i s a h k a n C d a n C* mi i a m t u c = 1 5 d m n a m a k a n t i t i k g e n t i n g .
S e t a k a t m m kita telah pun jelaskan konsep-konsep penting did a l a m u j i a n h i p c c t e s m s . S e k a r a ng k i t a b e r a l i h pu la kepada I a n g k a h -
l an g k ah y a n g h a r u s dilaksanakan u n t u k m e n j a l a n k a n u j ia n b a g i
h m p o t e s i s s t a t i s t i k .L a n g k a h p e r t a m a adalah sewajarnya m e n e n t u k a n hipotesis nul
dan hipotesis alternatif yang akan digunakan. Pemilihan hipotesis
nul dan hipotesis atternatmf m m bergantung kepada tujuan kita
menjalankan kajman. Bagaimajiapun, jangkaan atau agakan yang
dinasakan benar oleh penyelidik selalunya dijadikan hipotesms
alternatif. Dan hipotesis nul merupakan kenyataan yang akan cubaditolak.Langkah kedua, yang merupakan kandungan utama bab m n i ,
adalah menentukan kawasan gentmng bagi set hmpotesis yang telahditetapkan. Penentuan kawasan genting m i mustahak kerana iamempengaruhm keputusan sama ada untuk menerima atau menolak
H0 apabila maklumat daripada sampel diketahui nanti. Prosesmembuat keputusan berdasarkan sampel m i merupakan langkah
terakhir dan perbincangann~a akan dibuat di dalam bab akan
datang.
10 .2 Ralat Jenis I dan Ralat Jenis II
Telah disebutkan di awal bab m i bahawa kebenaran atau
kepatsuan hipotesis s t a t i s t i k t i d a k d i k et a h u m d e n g a n t e p a t k e c u a l m
jika kita memeniksa keseturuhan populasm. OIeh itu kurang
munasabah jika kebenaran hanya berdasarkan kenyataan danipada
sampel. Jadi tentunya keputusan yang dibuat adalah tertakluk kepada ralat-ralat tertentu yang timbul danipada membuat
keputusan yang sudah. Satu danipada ralat tersebut timbul daripadakesalahan menolak H0. Sementara satu lagi mungkin timbut
298
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 308/466
UJIAN HIPOTESIS: TEORI
danipada kesalahan menerima ‘~o. Kedua-dua ralat m n m masing-
masing dinamakan ralat jenis I dan ratat jenis II.
Definisi: 2.1
R a la t j e n i s I i a l a h k e s a l a h a n d a l a m m e n o l a k H 0 sedangkan H 0
a d a l a h b e n a r .
D e f l n i s b 2 . 2
Ra la t j e n i s I I i a l a h kesalahan d a l a m m e n e r m m a H0 s e d a n g k an
H1 a d . a l a h b e n a r .
Contok: 2.1
Katalah danipada satu sampel bersaiz n = 25 yang diambil
d a r i p a d a n(p, 25) kita i n g i n m e n g u j i s e t h i p o t e s i s H,, : p = 5 dengan
H, : p = 1 0 . K a t a k a n k a w a s a n g e n t i n g b a g i u j i a n m i diperolehisebagai
C = (2 > 665}.
Maka ralat jenis I berlaku bila km ta membuat keputusan X > 665
sedangkan p sebenar ialah 5 Sementara nalat jenis II berlaku bilakita memutuskan bahawa .2 C 665 sedangkan p sebenar ialah 10 .
Definisi 2.3
Kebarangkalian melakujtan ralat jenis II dipanggil aras
keertian bagi ujian dan selalGnya dicatat sebagai ~.
Contob: 2.2
Dengan menggunakan masalah dalam contoh 2.1 (a) Dapatkan
aras keertian bagi ujian tersebut. (b) Dapatkanjuga kebarangkalmanmelakukan ralat jenis H.
Penyelesaian:
(a) P(melakukan ralat jenis I) =
= P(X > &65/H0 adalah benar)
= P(2 >
6 .6 S /p = 5 )
OIeh kerana jika p = 5
299
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 309/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 310/466
UJIAN HIPOTESIS: TEORI
tidak menerima dengan senang satu-satu kenyataan yang baharuterhadap populasi. Jadi !angkah yang diambil ialah menetapkan aras
keertian pada tingkat yang munasabah terlebih dahulu, dankemudiannya hukum membuat keputusan adalah ditentukan oleh
kawasan genting yang menghasilkan kebarangkalian melakukanralat jenis II yang minimum.
10.3 Ujian Terbaik bagi Set Hipotesis Mudab
Berdasarkan kesimpulan di atas kita telah pun bersedia untuk membentuk kawasaai genting yang sesuai bagi menguji set hipotesis
mudah. Bentuk umum ujian bagi set hipotesis mudah m i bila kitaingin menguji:
H 0: 0 = 0.
dengan H1 0 =
Dalam kes m i ruang parameter hanya mengambil dua nilai iaitu 0~
bila H0 adalah benar, dan 0~apabila H 1 adalah benar.
Sekarang katalah X1 ... X, adalah sampel rawak bersaiz n
dengan pengamatan x x~yang diambil dan taburanf(x. 0), 06
fl Taburan bersama bagi pembolehubah rawak m i hanya tertakiuk
kepada dua fungsi, L 0 (X1 ... X 0 ) = R fN 0o): oo 61~yakni taburan
bila H 0 adalah benar, dan L1 (X1 ... X 11 ) = flf(x1. Od: 0~eQ, yakni
taburan di bawah H1. Setelah pengamatan x1 ... ; digantikan di
dalam L0 dan L1 kita dapat L 0 (x1 ... xj dan L1 (x1 ... x,1 ) . Nilai L0 dan L1 m i nampaknya boleh digunakan sebagai asas menentukan sama
ada 0~dan 0 1 lebih sesuai untuk mewakili nilai 0 yang sebenar.
Sekiranya L 1 (x1 ... xjcukup besar berbanding dengan L 0 (x1 ... x~)maka L1 dikatakan menjelaskan data dengan lebih baik dan L0,
ataupun dengan kata lain kenyataan sampel adalah lebih konsistenkepada kenyataan di bawah H1 sehingga kita cenderung untuk menerima H 1 sebagai benar (atau menolak H0) . Jika L, lebih besardan L1 adalah sebaliknya.
Berdasarkan kesimpulan m i kita perkenalkan satu definisi yang
dinamakan ujian nisbah kebolehjadian yang memberikan titik
pembahagian di antara kawasan penolakan dan penerimaan.
Delinisi: 3.1
Misalkan terdapat satu nilai C, supaya
301
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 311/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 312/466
UJIAN HIPOTESIS: TEORI
L(X~... Xj = f(x 1. 0 )
‘I / ~= uc -~----P
[Ta2
— / 1 ~‘~n/2
\~2Ha2)
exp (x - 0)2}
in
exp ~—~---~ ~ (x~ 0)2 }Di bawah H
0 : 0 = 0 0
Maka, nisbah keboleh)adian:
oleh itu
) exp
exp {~~½i& (x1 — Oo)2}
E (x 1 — 9)2
= ex~[~’ 2a2
E (x1 — 032
2a2
= exp {~!-~~x~(0~ — 0~) — ii (0~ —
Daripada ujian nisbah kebolehjadian, kita harus menolak H ,, jika
—
0 ,,) L —
n(0~ —
0*)1=l
] } >
C,
2 [Ia2 — 0,,)2}
DibawahH1:0=01 maka
( 1 \n/2
\~2Ha2)
L,, (X1 ...
/ 1 \“12 I= ~,,2ira2) e~~
(x~ — o~)2
~ \ii/2(~—~~) exp {—~ i#1 (x~ — Oi)2}
303
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 313/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
di mana
P(exp{~[(0i — 0~)E — n(0~ — 0~)]}> C 8) = a
Bagaimanapun lebih senang jika
exp {~2-~ [~ — 0~)E — n (0~ — 0~)]}ditulis sebagal
—n (0~ — 0~)+ )x~(0~ — 0~)> 2 a2 In C
8
atau
~ (0~ — 0 ,,) > 2 a2 In C, + n(0~ — 0~)
Oleh kerana 0 1 — 0 ,, > 0 maka boleh juga ditulis
- 2a2InC, 0~ —
x > -~- —~+ ~ =
Jadi ujian nisbah kebolehjadian ialah menolak H 0 jika
~ >
di mana
P (X> k,) = a
Kesimpulannya didapati ujian terbaik bagi m m taburan normal
ialah dengan menggunakan pengamatan bagi m m sampel iaitu I Sebenarnya kawasan genting bagi ujian di atas masih sukar
untuk diperolehi. Adalahsukar untuk mencari nilai k supaya P (~>
k,) = a oleh kerana X di bawah H,, adalah bertaburan normala
2dengan m m o ,, dan varians —. Untuk menyenangkan pengiraan k,
nadalah lebih sesuai jika digunakan pembolehubah rawak
= £ -0.
yang bertaburan n(0, 1 ) .
Hukum membuat keputusan bagi ujian di atas ialah menolak
H,, jika dan hanya jika
304
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 314/466
UJ IA N HIPOTESIS: T E O R I
di mana
1—0 Z = —--~ > d,
P (Z > d,) = a
Nilai d, dengan senang diperolehi daripada jadual taburan normalpiawai setelah adik etahul nilainya.
Contoh: 3.2
Katalah X
1 ...
X25 adalah sampet rawak yang diambil daripadan (p, 1 ) dengan pengamatan x x25. Katalah kita ingin menguji sethipotesis
H,,:= 1
dengan H~:= 0
dengan menggunakan a =
bagi ujian m i.
Penyelesaian:
05. Dapatkan kawasan genting terbaik
Fungsi kebolehjadian bagi X1 ... X25 ialah
L(X ... X,,) =
/ 1 ~25/2
k~2it) exp{
125 —— E ( x 1
2 ~
— ~)2}
Di bawah H,,: = 1 maka
1 25/2 L,,(X,...X~=(~)
exp{
125 —— S ( x 1
2 ~
— 1)2}
Sementara di bawah H1: ~ = 0 L1 ialah
/ 1 \25/2 1 25 L1(X1 ...X~)= ~~—) exPI_.~S
i~1 j
Nisbah L1/L, ialah
= exp —
0
25Sx~+
305
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 315/466
KEBARANOKALIAN DAN 5TATISTIK
Jadi ujian nisbah kebolehjadian memberikan keputusan menolak H ,, jika
L1 j25 — = exP~-~-—Sx1,)>C.
di mana
P(~1>C) = a
Setelah dipermudahkan didapati kita harus menolak H ,, jika
— X > ~1n’C, —!
atau
X <‘In C, + =
di mana
P (2 <k) = a
Oleh kérana di bawah H ,, p = I maka
n (0, 1)
Jadi bagi ujian bersaiz a = -0 5 kita harus menolak H,,jika sekiranya
2-1<k~5
di mana p (2—1 < k.05) = -05
Daripada jadual n (0, 1 ) didapati k .05 = — 1645
Maka kita harus menolak H ,, jika
— 1-645
Contoh: 3.3
Dengan menggunakan masalah ujian .dalam contoh 3.2
dapatkam kebarangkalian melakukan ralat jenis II.Penyelesaian:
306
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 316/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 317/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 318/466
UJIAN HIPOTESIS: TEORI
di mana Z ~ n(0, 1).
Daripada jaduat taburan normal piawai boleh diperolehi K (0) bagi
sebarang nilai 0 . Misalnya
K(6) = P(Z
K (7-645) = P (Z > — 1645) = -975
K(4-04) = P(Z >196) = -05
dan seterusnya.
Keluk K (0 ) diberikan sebagai gambarajah 41
0
Katalah H ,, : 0 e ~,, adalah hipotesis nul yang diuji denganhipotesis alternatif H 1 : 0 (~. Araskeertian a bagi ujian m i ialah
nilai maksimum bagi fungsi kuasa bila H ,, adalah benar. Atau
=
mak ~ (Tolak H ,,/H,, adalah benar}0 e
Perhatikan bahawa aras keertian a bagi hipotesis nul mudah
H,,: 0 = 0 ,, a~alahfungsi kuasa pada titik 0 ,, itu sendiri.
Dellnisi: 4.3
Katalah K(0) adalah fungsm kuasa bagi menguji hipotesis H,,: 01,, dengan H 1 : 0 ~L~,maka nilai fungsi kuasa pada nilai sebenar bagi
0 dipanggil kuasa bagi ujian tersebut.
Contoh: 4.2Dengan berpandukan masalah yang diberi datam contoh 4.1,
K(O)
½
K ( 0 )
0
Deflnisi: 4.2G am bara jah 4.1: Keluk K(0)
309
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 319/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 320/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 321/466
KEBARANGKALIAN DAN 5TATISTIK
di mana P (X > k~)= a
Oleh itu kawasan genting {~> k~)adalah kawasangenting terbaik
bersaiz a bagi menguji set hipotesis mudah H ,,: 0 = 0 ,, dengan H 1: 0
= 0~.Sekarang, jika diambil sebarang Oil> 0 ,, kita dapati kawasan
genting {~t> k,} adalah masih lagi kawasan genting terbaik bagi
menguji set hipotesis H,,: 0 = 0~dengan H~:0 = 0~. Malah bagi
sebarafig nilai 0 , 0 > 0 ,, didapati kawasan genting m i masih kawasan
genting terbaik bersaiz a. Jadi kawasan genting {~> k,} adatah
merupakan kawasan genting paling berkuasa seragam bersaiz a bagi
menguji H ,,: 0 = 0 ,, dengan H 1: 0 > 0 , , .
Dengan menggunakan keputusan yang diperolehi dan contoh3.1 dapat ditunjukkan bahawa hukum bagi ujian di atas juga boleh
ditulis dalam bentuk menolak H ,, jika
Z = ~ >
di mana = X 0 ,, > 4 ,) = a dan Z adalah bertaburan
normal piawai.
Contoh: 5.2
Katalah X1 ... X~ adalah sampel rawak daripada n(0, a2), ~2
adalah ketahui. Maka tidak terdapat ujmanpaling berkuasa seragambagi menguji set hipotesis H,,: 0 = 0,, dengan H, : 0 0 , , .
Penyelesaian:
Anggapkan 01 adalah nilai 0 # 0 , , . Jadi set hipotesis boleh
ditulis sebagaimenguji H ,,: 0 = 0 ,, dengan setiap set hipotesis mudah H
1 : 0 = °1; 0~ 0 , , .
Sebagai contoh 5 .1 kita dapati hukum membuat keputusan bagi
menguji set hipotesis mudah H ,, : 0 = 0 ,, dengan H, : 0 = 0 1 ialah
menolak H,, jika
L1 (X1 ... X,,) — 1 ~ o ~— 0 ,,) Lx, + n (0~ —
L,,(X1 ...X,) — exP[-~--~- 202 j > C 2
atau (01 — 0 ,,) ~ > 2c2 In C ,, — n(0~— 0 2 ,,)
Di bawah H 1 , 8~boleh mengambil nilai ‘ C 0, atau > 0 , , . Jadi ujian
bersaiz a ialah menolak H0 jika
312
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 322/466
UJIAN H IPOTE5 I5: Th O R!
— 2a2lnC,,—n(0f —0~)— 0 0
jikalau 0~> 0 , , . Sementara jika 01 c 0 ,, ujian bersaiz a iatah menolak
H ,, jika
- 2a2InC,, — n(0~— 0~)
0 1 — 0 ,,
oleh kerana 0~— 0 ,, adalah negatif.
Jadi terdapat kawasan genting terbaik bersaiz a yang berbeza untuk
setiap 0~ 0 , , . Ternyata dalam kes mi tidak terdapat ujian palingberkuasa seragam.
Coutob: 5.3 Ujian satu hujung mengenai nisbah
Katalah kita mengambil sampel bersaiz n daripada taburanb (1 ,p) dan didapati pengamatan bagi X
1 ... X~ialah x1, x2 x,. Kita
ingin menguji set hipotesis
H, : p = p,,dengan H 1: p < p,,
Maka terdapat ujian paling berkuasa seragam bagi ujian m i.
Penyelesaian:
Andaikan P 1 .cp,, maka H 1 boleh ditulis sebagai H 1 : p = Pi-Ujianterbaik bagi menguji H ,,: p = p,,dengan H 1 : p = Pt bagi setiap
Pi < p,, ialah menolak H, jika
“ Lx, n—fl, L1(x1,..x~)
11Pi (1 Pi)> C,
L, (x1 ... x,,) Lx, (1 — J n—fl,
atau
L1 (Pi~jLx,(i —
—=1—IL,,. \p,,/ \1 — p,/
313
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 323/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 324/466
UJIAN IIIPOTESIS: TEORI
pada tingkat aras keertian a.
Kawasan genting paling berkuasa seragam bagi ujian mi boleh
diperolehi dengan mendapatkan kawasan genting terbaik bagi
menguji set hipotesis mudah H,, : a2 = a~dengan H 1 :
= a~a~> a~.
Nisbah kebolehjadian L1 (X ...X,,)/L,,(X~ ...X,)ialah
— (a,,~
—
expT_~i (x~—
t
2Co = 1
Inp)2 — -~ L (x,
2a~— p)2}
Maka ujian terbaik bersaiz a ialah menolak H,, jika
2 — ~— tO —~-—~—~ > C,
2a~a1 j
Jadi kawasan genting terbaik bersaiz a ialah
atau
exp {,~1 (x, —
p~2(Cl —
2a~a~) > C
n (al—a~\
L (x, — ;j)2 k. ~ )
‘0
L exp~E (x ,0 OI
Di mana IL
1> C2) = a
> 2Ink+2nIn(!±)
Jikalau al > a~didapati kawasan genting mi tidak berubah bagi
semua nilai al. Jadi kawasan genting
~ ( x 1 — p)2 > k,
adalah merupakan kawasan genting paling berkuasa seragam bagi
menguji H ,, : al = a~dengan H~: al >
Jika H ,, benar pembolehubah rawak
3 1 5
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 325/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 326/466
LilIAN HIPOTESIS: TEORI
X, di bawah H 1 : 0 0~ialah L(X1 ... X,, Q~) = H f(x,, 0 ); 0 eQ~.
Nisbah
_____ — L(X1 ... X ,. f2~)
L(Q,,) — L(X1 ... X,,; U,,)
m i, adalah dipanggil nisbah kebolehjadian dan boleh digunakanuntuk membentuk ujian bagi menguji H,,: 6eQ, dengan H1 :0 01.Bagaimanapun L(U 1) dan L(U,,) tidak dapat ditentukan secara tepatsebagaimana dalam menguji set hipotesis mudah. Langkah yang
diambil untuk mengatasi masalah m i ia menggantikan ~1 dengan ~yang memaksimumkan L(U) dan Q~ dengan O~ yang
memáksimumkan L(t0). Nisbah
L(fl) =
L(X1 ... X,, (1,,)seterusnya digunakan sebagai asas pengajian.
Definisi: 6.1
Satu ujian bagi menguji H,,: 0 a 0,, dengan H1 : 0 e ~ yang
berbentuk; menolak H,, jika dan hanya jika
L(X1...X~,ñ)
L(x1 ... x, U,,)
di mana k adalah pemalal dan L(X1 ... x~,0) dan L(x1 ... x~0,,) adalahnilai maksimum bagi fung~i L(X ... X~, Q~) dan L(X1 ... X,, U,,) dan
IL(x1 ... X,,, 0) Pj > k/H,,adalahbenarj ~ a
X,, U , , )
adalah dipanggil ujian nisbah kebolehjadian bersaiz a.
Di dalam menentukan nilai U dan U,, yang memaksimumkan
fitngsi L(U) dan L(U,,~ kita telah tunjukkan bahawa penganggaran
kebolehjadian maksimum adalah boleh digunakan.
Contoh: 6.1 Ujian normal dua hujung
Katalah X 1 ... X~adalah sampel rawak bersaiz n dan n (0, g
2); ~
diketahui, dengan pengamatan x x~.Katalah kita ingin menguji
set hipotesis
H,: 0 = 0 ,,
dengan H
1 : 0 0 ,,
317
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 327/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
Dalam kesmi kita dapati set 1 ) = {0 ; — c c < ü < cc } sementara
0,, = {0,,] dan 01 = {0 ; — c c < 0 c c c dan 0 ~ 0,,}. Fungsi
ketumpatan bersama bagi X1 ... X, ialah
= L(X~... X,; 0) = ~ exp[_ ~ (x1 — 0)2]
Di bawah H ,, :0 = 0,,jadi L(f ,,) ditentukan denganjelas iaitu
L(XI ... X,; 0,,) = (~~-i) exp [— ~ L (x1 — 032]
Tetapi di bawah H 1,L(Q 1) tidak ditentukan dengan tepat oleh kerana0 masih belum diketahui. Penganggar kebolehjadian maksimumharus .didapatkan untuk mendapatkan 0 yang memaksimumkan
fungsi L(01). Yakni dengan men~eIesaikanpersamaanê In 1 1 1 1 ) = L (x, — 0 ) = 0
a
didapati
Dengan menggantikan U di dalam 1 4 1 1 ) kita dapati 140) adalah
- / 1 ‘ y u 2 [ 1 “ — 2
L(X1 ...Xn;x) =~~-) exp[— ~ L(x, —x)
Jadi nisbah L(O) / L fZ~)ialah
L(X1 ... X,. 0 ) 1 1 2 - 2
L(X ... ~ = exp S ~j— 1i1 (x, — 0 ,,) —~ (x, — x)
Maka hukum menguji hipotesis mi ialah menolak H,, jika
(x,—Og)— X(x,_i42] > k 2a ,=i ‘-I
atau
> 2lnk = d 2
318
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 328/466
UJIAN HIPOTESIS: TEORI
yang boleh dipermudahkan kepada— ())2 >
( j 2
a2 /ii
atau
— 0 ,>d
I ?
Bagi ujian bersaiz a maka kita harus menolak H, jika sekiranya
= > 4,
di mana
P (~ Z~ > d ,7 2 )
Pembolehubah rawak Z = X — j~adalah bertaburan normal1 1
piawai. Jadi nilai sebenar d,72 diperolehi dengan menggunakan
jadual taburan normal piawai.
Contoh: 6.2 Ujian t dua hujung
Andaikan X adalah pembolehubah rawak bertaburan n (0, ~2)
di mana a2 adalah tidak diketahui. Kita ingin menguji
H,, : 0 = 0 ,,
dengan H 1 : 0 0 ,,
Katalah X1 ... X,, adalah sampel rawak bersaiz n dad taburantersebut dengan pengamatan x~...
kuang parameter 1 1 adalah set yang mengandungi {0, a2 — cc
c 0 < cc ’ a2 > 0J. Fungsi kebolehjadian bagi X1 ... X, ialah
L( O, ~2, x, ... X,,) = (~~~T)exp ~ (x, — 0)2}
Di bawah H,, 0 = 0 ,, dan a2 > 0 tidak diketahui. Jadi L(Q) ialah
L(0,, a2 X1 ... X~)= exp {— ~ L (x, — 0)2}
319
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 329/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 330/466
TEO RI
— [z (x, — ~ + I — o,,~21n/2
~L (n—US 2 j — [(n — I) ~2 + n (I — 0,,)1~2
(n—1)52 i1 i /i—_o,,\ 1n12
7-]
L n—l\S,ç/~
Hukum membuat keputusan bagi ujian m i ialah tolak H, jika
sekiranya
r r~—0~\1nI2 11+ I II > k [ n—1\5/~/~JJ
atau
(1—0)2 > n (n — 1) (k~— 1 ) =
atau boleh juga di tulms sebagai
1— 0 ,,5/f > d
Maka ujian bersaiz a dapat diperolehi berdasarkan statistik X — 0,S/f
dan taburan (~ ~.
Ini adalah timbul danipada kenyataan bahawa
T= ~ — 0 ,,
s/f
adalah bertaburan t dengan n — I darjah kebebasan. Sebagai kesim-
pulannya, ujian tersebut menentukan bahawa kita harus menolak
H,, pada tingkat aras keertian a jika
d s/f
321
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 331/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 332/466
W IA N HIPOTESIS:
+ _J~ (x — o~)2]n/2 > k bila ~ >
L n—~ S/f dan
I > k bila I ~ 0
atau boleh dipermudahkan kepada
(I_0~)2 > (n_I)(k
2m~1) = d2~ > 0,
S/f
dan 0 >
Jika diambil punca gandadua kita dapati bentuk di atas boleh ditulis
sebagai:
1—0,, -
> d x > 0 ,S/f
dan 0>d I ~ 0 ,,
di mana jika digabungkan kita dapati kita harus menolak H, jika
1—0,, d
Ujian nisbah kebolehjadian bersaiz a boleh diperolehi dengan
berdasarkan statistik X — 0, yang bertaburan t(0_ Yakni bagi
s/f
ujian bersaiz a kita harus menolak H,, jika
I — 0 ,,> d,
s/f
dimanaP(X —0,, > d2) = a
s/f
Contoh: 6.4 Ujian F bagi perbezaan beberapa m m
323
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 333/466
KEBARANGKALIAN DAN 5TATIST1K
Katalah X1, X2 dan X3 adalah tiga pembolehubah rawak tak
bersandar yang masing-masing bertaburan n (Pi, a
2), n (P2’ a2) dan ii
(ps, a2). Andaikan tiga sampel rawak tak bersandar bersaiz ii diambildan X
1. X2 dan X3 dan didapati pengamatan ialah x 11 . x12. ... Xhi ,
x 2 1 , x 2 2 , ... x2, dan x31. x 32 ... x3,. Kita ingin menguji
H, , : p1 = #2 = #3 =
dengan H1 : sekurang-kurangnya salah satu tidak sama.
Penyelesaian:
Ruang parameter ialah 1 1 = {PI, #2’ #3, a 2}
Dan fungsi kebolehjadian L(Q) ialah
1 3n/2 1~~ L(Q) = (—i) exp {- ~ E (xu - pJ2}
Di bawah H
0 : p~= po; i = 1, 2, 3 maka
1 3a12 1 ~‘
L(0,,) = ~ exp {- ~ Z S (xu —
Penganggar kebolehjadian maksimum bagi p ,, dan a2 ialah:
if
3N
= S (x
1~ —
Sementara di bawah H1 penganggar bagi p,; i = 1, 2, 3 dan a2 ialah
jz=~i_= i fi~~ n
dan
3 N
E E (x1f—~~)2/3n
1=1 i—I
Jadi nisbah kebolehjadian
324
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 334/466
(x~I -, -~
[x E (x~~ii
x x (x U —
ii >k
S E (xu —
Sekarang perhatikan sebutan E £ (x,~— fl2. Ini boleh ditulis
sebagaiii
2
xx (X~~— R .. )2/~2adalah x (3(,,— 1) )ii
dan (Xc , — X
1 . )~/a2adalah X2(3(n— ID
maka nE (K — X)2/a2 adalah
Jadi kawasan penolakan
boleh ditufis sebagai
E E (x1~ —
xz (ic,~—
nE (x~ — x)
>k—1=d
—
ii
di mana fadalah nilai bagi pembolehubah rawak
UJIAN H IPOTE5 IS : TEORI
L(O ,,)
— ~)2 13~2e3~2
—
Sehingga kita harus menolak H ,, jika
E (xu — = E x~ —
I iiii. + 3— ~ 2
oleh kerana
3
= x t(xu — x-)2 + n E (ii:— fl2I I
325
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 335/466
KEBARANGKALIAN DAN SJATISTIK
—
F=
S S (X1~—
yang mempunyai taburan F dengan 3—1 dan 3 (n—i) darjah
kebebasan. Ujian adalah berdasarkan nilai statistik F dan taburan F
(2, 3 (n — 1)) . Yakni bagi ujian bersaiz a kita harus menolak H, jika
sekiranya
n x ( x1 . —
>f,(2,3(n—1))S S (x~~ — x)2
dimana F, (2, 3 (n—I)) dipilih daripada jadual F 2, 3(n — 1) supaya
P(F >L(2,3(n—l)) = a
Ujian bagi hipotesis yang lebih umum iaitu bagi k populasinormal akan dibincangkan penggunaannya di bawah tajuk analisis
varians. -
Latihan Bab 10
10.1 Katalah satu sampel rawak bersaiz 12 diambil daripada taburan n
(p, 3 ); dan kita ingin menguji
H,, : p = 15
dengan H 1 : p = 10
(a ) Jika kawasan genting ialah
C = {x 1 ... ; x c iO’348}
dapatkan kebarangkalian melakukan ralat jenis I dan ralat jenis II.
(b) Jika kawasan genting ialah
C= {x1 ... x12 x < 12-436)
Apakah kebarangkalian melakukan ralat jenis I dan jenisII?
326
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 336/466
UJIAN HIPOTESIS: TEOR!
102 Anggapkan X 1 ... X ,, adalah sampel rawak danipada ;,(0, 4).
Dapatkan kawasan genting terbaik bagi menguji hipotesis
H,: 0 = 3
H : 0 = 4 -
10.3 Dan masalah 10.2 katalab daripada saw sampel bersaiz n = 1 6
didapati x= 4 . Dapatkah anda menolak H,, pada tingkat 5% aras
keertian.
10.4 Katalah X 1 ... X,, adalah sampel bersaiz n daripada taburan h(1, 0~.
Jika ingin menguji H0 0 = dengan H 1 : 0 = tunjukkan bahawa
statistik yang boleh digunakan sebagai asas ujian adalah ~ X~.
10.5 Anggapkan XI ... X, adalah sampel daripada taburan Poisson
parameter 0 dan kita ingin menguji H,, :0 = 0 ,, dengan H1 :0 = 0 1 ;
0 1 > 0,,.Tunjukkan bahawa statistik ujian ialah S X1. Jika n = 100
dapatkan kawasan genting terbaik bagi ujian tersebut. Gunakanteorem had pusat bahawa
n~
adalah menghampid taburan n(0, 1 ) .
10.6 - X~ ... X,, adalah sampel rawak daripada n(0 , 25). Tunjukkan bahawa
C = {x 1 ... x , jc~> c ] adalah kawasan genting terbaik untuk
menguji H,,: 0 = 15 dengan H 1 : 0 = 20. Dapatkan nilai c dan n
supaya
P C ’ ? ? c/H,,) = 05, dan
P(X ~ c/HI) = -90.
10.7 Katalah X X, adalah sampel rawak danipada taburan ;40, a2 ).
Jika kita ingin menguji set hipotesis
H, , : a2 =
dengan H 1 : a
2 = a~ di mana >
327
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 337/466
KEBARANOKALIAN DAN STATISTIK
Tunjukkan bahawa statistik ujian harus berdasarkan E X~.
Tunjukkan juga bahawa ujian boleh diasaskan kepada taburanChi-kuasa dua.
10 .8 Katalah masalah sama seperti soalan 10 .7 . Kita ingin menguji
H,, a 2 = 5
dengan a, a2 = 10
TiIhjukkan bahawa kawasan genting terbaik bagi ujian m i ialah C
= {x
1 X15 L 4 > kl.
Bagi saiz sampel adalah n ~ 15 dapatkan nilai k supaya aras
keertian bagi ujian tersebut adalah 005.
10.9 Katalah X1 ... X25 adalah sampel danipada n(0, 25). Andaikankawasangentingx > 7digunakanuntukmengujiH,:0 = 5,dengan
H1 : 0 > 5 . Dapatkan fungsi kuasa bagi ujian m i dan lakarkan.A pak ah kebarangkalian melakukan ralat jenis I? Apakah kuasa
bagi ujian m i jika (a ) 0 sebenar ialah 6 dan (b) 0 sebenar ialah 8?
10.10 Satu sampel rawak bersaiz 25 diambil daripada taburan n(0, 4 ) dankita ingin menguji
H,, : 0 = 5
d e n g a n H1:0#5
Jika kawasan genting yang digunakan ialah x c 4 atau x> 6,
lakarkan ke luk liingsi kuasa K(0). Dapatkan aras keertian a dankuasa bagi ujian m i jika 0 sebenar adalah 3 .
10 .11 Dapatkan kawasan genting paling berkuasa seragam bagi menguji
H, :0 = 50 dengan H1 : 0 -c 50 jika X X100 adalah sampeldanipada taburan n(0, 64). Apakah K (0) bila 0 sebenar ialah 5 0 .
10.12 Jika X1 ... X15 adalah sampel danipada taburan Bernoulli
parameter p. tunjukkan bahawa kawasan genting paling berkuasa1 1
seragam bagi menguji H,: p = dengan H1: p > — adalah 1/15 \2 i-i) c . Tentukan nilai c supaya I c/H0) = -0591,
i—i
328
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 338/466
UJIAN HIPOTESIS: TEORI
10 .13 Satu sampel bersaiz 25 diambil danipada n(0, 100). Tunjukkan
bahawa kawasan genting paling berkuasa seragam bagi mengujiH,,
:0 = 7 0 dengan H :0 >70 pada tingkat l~anas keentian ialah x74-65.
10.14 Jika X X,, adalab sampel rawak hensaiz ii danipada taburan n (0,
I) dan kita ingin menguji H,,:0 = 0 dengan H 1:0 0. Dapatkan
ujian nisbah kebolehjadian bagi menguji hipotesis m i.
10.15 Katalah X X ~ adalah sampel rawak bersaiz 25 diambil dan
taburan n(0, 100). Tunjukkan bahawa kawasan genting bagi ujiannisbah kebolehjadian di dalam menguji H,,:0 = 70 dengan H I :0 $70 adalah —
x > 70 + 2d,,2 atau x c 70 — 2d,~
Jika diperlukanP(Tolak H1/H,,) = .05
apakah nilai d42?
10.16 Tunjukkan bahawa ujian dua-hujung dalam contoh 62 bolehjuga
dibentuk dengan menggunakan ujian F, yakni berdasarkan taburanF dengan I dan ii — I darjah kebebasan.
10.17 X1 ... X,, adalah sampel rawak dan n(p, a2). Tunjukkan bahawa
kawasan genting bagi menguji H,:a~=a~dengan H 1 : a
2 a~, jika
ptidakdiketahuiadalah S (X...x)2 ~ C.Tunjukkanjuga bahawa
ujian m i boleh didasarkan kepada tabunan Chi-kuasa dua dengan ii
— I danjah kebebasan.Jika ii = l5dan kita ingin menguji H,,: a2 = l0denganH
1 : a
2 10
dapatkan kawasan genting bagi ujian ber~aiza = -05.
10.18 Andaikan X1 ... X,, dan Y Y,~adaiah dua sampel rawak tak
bensandar danipada taburan n(p, 9) dan “(#2~ 16) . Dapatkan
kawasan genting bersaiz a bagi menguji hipotesis
H1 : #2 — #1 # 0
Dengan H1:p2—p1#0
10.19 Bagimasalah yang sama sebagaimana soalan 10.18 katalah vanians
329
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 339/466
KEBARANOKALIAN DAN STATISTIK
bagi kedua-dua populasi tidak diketahui tetapi diandaikan sama.
Dapatkan kawasan genting bersaiz a bagi menguji hipotesis
H,: #2 = Ptdengan H
1 : #2 #
1020 Jika X, X16 dan Y i’1 6 adalah dua sampel rawak tak bersandardarmpada n(p1, 9 ) dan n(p2, 16 ) . Dapatkan kawasan genting bersaiza
= -05 bagi menguji
H,: #2 — Pi = 0
dengan H1:p2—p1>0
330
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 340/466
BAB 1 1UJIAN HIPOTESIS: PENGGUNAAN
Kita telah membincangkan beberapa kaedah untuk mendapatkankawasan genting dan menentukan hukum membuat keputusan di dalam
menguji set-set hipotesis statistik. Bahagian itu merupakan aspek-aspek
teori di dalam ujian hipotesis. Sekarang kita akan memerhatikan pula
aspek terakhir yang melibat penggunaan makiumat sampel terhadapkeputusan yang telah diperolehi itu. Berdasarkan keputusan sampel m i ,dapat kita tentukan satu-satu hipotesis itu harus diterima atau ditolak dalam keadaan sebenarnya. Aspek m i merupakan penggunaan dalam
ujian hipotesis.
11 .1 Ujian Satu-H~ingdan Ujian Dua-HujungHipotesis statistik boleh mengambil berbagai bentuk,
umpamanyahipotesis boleh berbentuk mudah atau gubahan. Begitu juga halnya dengan hipotesis alternatif. Bentuk hipotesis alternatif yang digunakan membawa kesan terhadap kawasan genting danseterusnya hukum membuat keputusan bagi ujian tersebut. Jadi di
sini diberikan pembahagian umum ujian hipotesis berdasarkanbentuk hipotesis alternatif.
Jika hipotesis alternatif berbentuk satu-hujung, yakni jika kita
ingin menguji parameter 0 maka H 1 adalah H1: 0 > 0 0 atau H1: 0 c
0~atau H1 :0 = ~~di mana 0 1 > 0, atau 0~< 0~maka ujian yang
,digunakan untuk set hipotesis m i dinamakan ujian satu-hujung.Konsep m i lahir oleh kerana kawasan genting bagi menguji hipotesis
m i terletak di satu hujung satu taburan tertentu. Misalnya jika kita
menguji H0: 0 = 0~dengan H1 :0 > 0, maka kawasan genting bagiujianmniialahC = {xi ... x ,, t 4 x1 ... xJ > k}.Jikadiperhatikancontoh
331
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 341/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 342/466
UJIAN HIPOTESIS: PENGGIJNAAN
= > z~ . .2
c l i mana Z~12dipi lmh daripada jadual taburan normal p iawam supaya
P (IZ I > Z~) =
Bagaimanapun bentuk di atas adalah lebih sesuai jika ditulis sebagai
menolak H0 jika
x — p 0 _____
> atau ~ — ~0 —
di mana P(Z < — Z~2)= P(Z > Z~12)= ~/2.
Kawasan penolakan diberikan sebagai kawasan yang benlorek
di dalam gambarajah 2 .1
0
Kawasan genting bag i ujian Hipotesis
H0: ~ ~ dengan H,
:f~~
z
Dan gambarajah 2.1 did~patmbahawa jika ~ adalahjatuh
di kin dan — atau di kanan dan Z~2, maka membawa kita
menolak hipotesis nul. Jika terjatuh di atas atau di antara nilai —
Z~,2dan Z~2maka kita harus menenima H0.Sebagai ingatan kaeda1~ujian yang dijelaskan m i adalah sama
dengan mendapatkan ( 1 — ~ 100% selang keyakinan bagi p dengan
menggunakan pengamatan x . Kita akan menolak H0 jika p~beradadi luar selang tersebut.
/2 1 — ~
0 1 /2
G~mb~r~j~h2.1:
3 3 3
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 343/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 344/466
UJIAN HipoTEsis: PENGGUNAAN
Dapatkah kita menolak H 0 pada tingkat = • O 1
Penyelesaian:Jikax =Olmaka 1 —~ = 99
99% selang keyakinan bagi p ialah
— <p < I + ~~oos7
di mana bagi Z — n(O, 1 )
P(— Z.005 < Z c = 99
Daripada jadual taburan n(0, 1 ) didapati Z.005 = 258
Jadi g9% selang keyakinan bagi p ialah
486 — 258 < p < 4•86 + 258
4~344 / < p < }376
Oleh kenana p0 = 5 terjatuh di dalam selang tersebut kita tidak boleh menolak H0.
Bagi menguji hipotesis nut dalam bentuk H 0 : p = p0 denganhipotesis alternatifdalam bentuk H 1: p > p. atau H ~:p .c p. statistik
ujian yang hams digunakan ialah g: Hukum membuat keputusanbagi menguji H,, dengan ~ : p > p0 ialah menolak H0 jika
:~~> k
ateu bagi ujian bensaiz ~ keputusan di atas adalah sama dengan menolak
H,, jika
= — r~>a,jn
di mana P(Z = X — p0 > Z,) = a Z adalah bertaburan normal
piawai. Bagi menguji H, , dengan H 1: p <p°maka ujian bensaiz~ ialah
menolak H,, jika
Z — — d
335
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 345/466
KEBARANOKALIAN DAN STATISTIK
di manad~ditakrif seperti dahulu. Jadi bagi kedua bentuk H 1 di atas
Katalah daripada satu sampel bersaiz 9 yang diambil daripadan(p, 9) didapati Y c 4 . Kita ingin menguji
H 0 : ~ 5
dengan H,: p > 5
Dapatkah kita menolak H,, pada 5% aras keertian.
Penyelesaian:
Andaikan z — —
u~ianharus didasarkan kepada n iLa i
piawai
0
( a )
x — Po dan taburan normal
z
z
a
0
(b)
G~mbar~h2.2:
Contob: 2.3
Kawasen gent ing b a g i menguj i H0
dengan h ipotes is &ternatif (a ) H 1 : p >uoda n (bI H j ~< p~
336
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 346/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 347/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTII(
— 7.4z = < — 1645
Daripada sampel didapati V = 72 maka
72 — 74Z = = — 048
Oleh kerana Z = — 048 > — 1645 maka kita tidak boleh menolak
H,, pada tingkat 5 % aras keertian. Jadi persatuan pengguna tidak boleh menyangkal dakwaan syarikat tersebut.
Dalam pnaktiknya a
2 yang digunakan dalam ujian-ujian setakat
m i adalah tidak diketahui dan harus dianggankan denganmenggunakan vanianssampel S2 . Jika ~2 digunakan sebagai ganti a2
yang kita dapati dalam bab 10 , ujian statistik yang harus digunakanialah
T= ~ —
5/f~
di mana Tadalah bertaburan t dengan n — 1 darjah kebebasan. Jadi
ujian bagi hipotesis berkenaan, m m adalah berdasarkan statistik T dan tabunan t(n — 1).
Umumnya bagi menguji hipotesis H,,: p = p,, dengan hipotesis
altematif H~:p ,~p,,. maka ujian bersaiz ~ ialah menolak H,, jika
I — p,,= r >~
0l2
s/sin
di mana c,2 dipilih danipada taburan t(~_ j) supayaP(T.c — = P(T> ç1~)= 8/2
Bagi menguji H 0 : p p,, dengan H,:p >p0 maka kita harus menolak
H ,, pada tingkat c c aras keertian jika
t = > t2
di mana
P(T> ç) =a
338
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 348/466
UJiAN HIPOTESIS: PENGGUNAAN
Sementara bagi menguji H 0 yang sama dengan H,: p < p,, maka
harus menolak H,, jikaI — p0
di mana P(T < — tc,.) =
Contoh: 2.5Danipada satu sampel bersaiz 16 yang diambil danipada taburan
normal m m p didapati I = 4 dan ~2 = 9 uji hipotesis
H ,,: p = 5
dengan H1: p < 5
dengan menggunakan 5% aras keertian.
Penyelesaian:
Kawasan genting bagi ujian bersaiz ~ = 05 ialah
I —
= s/,~/~< — 05
Danipada jadual t~5, didapati t05 = 1753. Maka kita harus
menolak H0 jika t < — 1753.
Danipada sampel didapati I = 4 dan . s = 3. Jadi
= = - 1333
Oleh kerana = — 1333 > — 1753 maka kita tidak boleh menolak
H 1 1 .
Contoh: 2.6Sebuah syanikat pengeluan rokok telah mengeluarkan sejenis
rokok baru yang didakwa mempunyai kandungan tar purata 20
miligram bagi setiap batang rokok. Danipada 25 batang nokok yangdipilih secara rawak didapati kandungan purata far ialah 23
miligram dengan r aTh t piawai 6 miligram. Uji kebenaran dakwaantersebut dengan menggunakan 5 % aras keertian. Andaikankandungan tar bentabunan normal.
Penyelesaian:Di sini kita ingin menguji
339
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 349/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 350/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 351/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 352/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 353/466
344
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 354/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 355/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 356/466
UJIAN HIPOTESIS: PENGGUNAAN
-~ ~ f r , (n — I,m — 1 )SI
atau menerima H,: of C of jika
~ f,(m — 1 , n — 1 )
pada tingkat 8 aras keertian.f,(n — 1 . in — 1) danf,(m — 1 , n — I)
dipilih danipada jadual taburan F supaya P(F(n — I, m — 1 ) > f,(n — 1,m — 1 ) = 8danP(F(m — 1,n — 1 ) >fr,(m — l,n — 1 ) ) = 8
Contoh: 4.2Katalah danipada dua sampel rawak tak bensandan daripada
dua taburan normal dengan vanians of dan of didapati
n,=lO 4=15 n2=16 4=10
uji hipotesis
H ,,: of = of
dengan H,: af of
dengan menggunakan 5% aras keentian.
Penyelesaian:
Danipada jadual tabunan F didapati .t?025(9, 1 5 ) = 312 dan
1025(15,9) = 3.77
Jadi ujian bensaiz 5% bagi ujian m i ialah menolak H,, jika
sf/sf ~ 3~12 jika sf ~ 4atau
sf/sf ~ 3.77 jika sf < sf
Danipada sampel didapati sf = 15 > sf = 10 oleh itu
= 15/10 =
Oleh kerana sf/sf = 15 C 312 kita tidak boleh menolak H,,. Jadi
sebagai kesimpulan dapat dikatakan bahawa vanians bagi kedua-duapopulasi adalah tidak berbeza.
347
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 357/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
11 .5 Ujiau Mengenai Nisbah
Ujian mengenai nisbah diperlukan bila kita berhadapan dengan
populasi yang mempunyai hanya dua kemungkinan kesudahan.Yakni yang melibatkan pensampelan daripada taburan binomial.Sebagai misalan, kita boleh lihat dalam pengujian nisbah sebenarpengidap penyakit denggi di kalangan penduduk luar bandar. Ujian
berkenaan nisbah juga timbul bila sebuah syanikat ingin mengetahul
sama ada nisbah penggeman barang keluanannya berbeza di antana
kategori penduduk yang berbeza, atau sebagainya.
Sebagai kes yang pertama kita akan bincangkan ujian yang
hanya melibatkan satu populasi, yakni menguji nisbah bilangan
sukses sebenar di dalam taburan binomial. Bentuk hipotesis nul yangakan digunakan ialah H
0 : p = p,,. Sementara hipotesis altennatif
adalah H,: p ~ p,, dan H,: p p,,.
Jika X, ... X ,, adalah sampel nawak bersaiz n daripada tabunan
b(1, p ) dengan pengamatan x, ... x , , . Maka statistik ujian yang boleh
digunakan ialah ,~, X, dan ~ = LX,/n.
Bagi ujian bersaiz 8, kita harus menolak H,, dan menerima H,:
p 3 & p ,, jika
> p0 dan p(LX ~ L x,/H,, adalah benar) C 8/2
atau
p C p . dan P (LX, ~ Lx,/H,, adalah benan) < 8/2
Di mana LX, adalah bertaburan b(n. p , , ) sehingga 8/2 boleh didapati
danipada jadual taburan binomial.
Untuk ujian ~,kita harus menenima H,: p > p 0 jika f r > p0 dan P(LX, ~ fl,/H,, adalah benar) C 8
sementara jika
C p,, dan P (LX, ~ Lx,/H,, adalah benar) C 8
maka kita akan memilih H,: p C p ,,
Di mana LX, adalah bertaburan b (n . pj.
Contoh: 5.1
Sebuah mesin dianggap nosak jika nisbah barang tidak sempurna yang dikeluarkan melebihi 1 0 peratus. Katalah pada satu
34S
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 358/466
UJIAN HIPOTESIS: PENGGUNAAN
ketika 15 banang keluaran mesintersebut diperhatikan dan didapati3 danipadanya adalah tidak sempunna. Dapatkah kita katakan mesin
tersebut telah rosak? Gunakan 5% aras keentian.
Penyelesaian:Di sini kita ingin menguji
H ,,: p = 01 atau mesin tidak nosak
dengan H,: p > 01 atau mesin adalah rosak.
3 15
Daripada sampel didapati r~=.•— = 02; L x , = 3 dan L X, adalahIS ,~,
bertaburan b(15, 1).Danipada jadual binomial didapati
P(LX, ~ 3/p = 4) = 01841
Oleh kerana P (LX, ~ 3/p = 1 ) = 01841 lebih besan daripada 005,kita harus menenima H ,,. Kita dapat katakan bahawa mesin tensebut
adalah tidak nosak.
Jika saiz sampel ii cukup besar adalah lebih sesuai jika kita
gunakan penghampiran normal terhadap ujian tersebut. Statistik
ujian yang boleh digunakan ialah
= LX,—np,, — p,,)/n 7np,,(1 — p,,)
di mana Z adalah bertaburan normal piawai. Ujian normalsebagaimana seksyen 10.2 boleh digunakan untuk menguji nisbah
sebenan populasi.
Contoh: 5.2Dengan menggunakan masalah di dalam contoh 6.1, katalah
barang yang diperiksa ditambah kepada 30 dan didapati 6
daripadanya tidak sempurna. Adakah mesin tersebut rosak?
Gunakan 8 = 005.
Penyelesaian: H ,,: p = 0~1
H,: p > 01
Daripada jadual taburan normal nilai Z.05 supaya
34 9
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 359/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 360/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 361/466
KEBARANGKALIAN DAN STATI5TIK
-
p0 = ~ + ~2+
Di dalam pengangganan bagi p ,, kita kehilangan satu darjah
kebebasan sehingga
2 ~< (X, —
x=L -n,pjl — p , , )
adalah bertabunan x 2 (k — 1 ) .
Jadi ujian bersaiz 8 ialah menolak H,, jika
= ~ n,p,,,) > y22(k — 1 )
, n,p,,(l — p 0 )
di mana x 2~(k — 1 ) dipenolehi danipada jadual taburan x 2 ( k — I)
supaya
P(x2 > x2 2(k — 1 ) ) = 8
Contob: 5.3
Katalah sebuah syanikat ingin memasankan sejenis barang yang
diberi label yang benlainan A dan B dengan tujuan mendapatpasaran yang lebih baik di Juar bandar dan di bandar. Setelah sekianwaktu dipasarkan syanikat tersebut ingin mengetahui sama adapolisi tensebut berkesan atau tidak. Danipada satu sampel yang
tendiri dan 400 sun numah di luar bandar didapati 250 menggemarilabel A. Sementara danipada 200 suni numah di bandar 110
menggemani label A. Adakah terdapat penbezaan kegemaran di
antara kedua-dua label di kalakigan penduduk luan bandar danbandar. Gunakan 8 = .05.
Penyelesaian:
Katalah p, dan P2 adalah masing-masing nisbah sebenar sun
rumah di luan bandan dan bandar yang menyukai label A. Jadi set
hipotesis yang hendak diuji ialah
H ,,: Pi = P2 = P 0
H,: p, P2
Oleh kenana p0 tidak diketahui, harus dianggarkan dengan
.352
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 362/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 363/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 364/466
UJIAN HIPOTESIS: PENGGUNAAN
Bagi ujian bersaiz 8 kita hanus menolak H ,, jika
/ > x2~(v)
di mana / 2(v) adalah nilai daripada jadual tabunan Chi-kuasadua
dengan v danjah kebebasan supaya
> x2A~))= 8
Contoh: 6.1
Katalah satu buah dadu dicampak 18 0 kali dan didapati
kekerapan bagi setiap kesudahan adalah sepenti benikut:
Nilaidianiat
Kesudahan
1 2 3 4 5 6
25 30 85 40 15 35
Ujikan hipotesis tersebut bahawa itu tak menggunakan 5% anas keertian.
Penyelesaian:
H,, : p{l} = ~p{2} = f . . . p{6} =
pincang dengan
H : dadu tensebut adalah pincang
Nilai yang diamat o, dansebagai jadual berikut
nilai yang dijangka e , boleh dibenikan
1 2 3 4 5 6
25 30 8 5 40 15 3 5
t~~I 30 30 30 30 30 30
Oleh itu nilai ~2 ialah
— (25_—_30’\2x2 ~ 30 )
(30 — 3Q’\2
30 ) +
355
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 365/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 366/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 367/466
KEBARANGKALIAN DAN 5TATI5TIK
(5 — 3.5)2
+ 3 .5
= 1064
Kerana dua set digabungkan jadi bilangan set ialah 7 . Bilangan
parameter yang dianggan ialah 2. Jadi ujian harus dibandingkandengan /(4).Jika 8 = 005 maka /.~~(4)= 949
OIehkerana x 2 = 1064 > 949 kita hanus menolak H,,. Sebagai
kesimpulan, taburan benat badan bayl bukanlah bentaburan normal.
Sebagai ingatan hanus diperhatikan bahawa di dalam ujian x 2adalah Iebih sesuai jika setiap set yang mempunyai kekerapan
kunang daripada 5 digabungkan dengan set yang berhampiran.
11.7 Ujian Chi-kuasa Dua untuk Kehotnogenan
Ujian x 2 yang telah dibinâangkan dalam seksen 11.6 dan 11.7bolehjuga digunakan untuk menguji kehomogenan bagi I t populasi.
/ < populasi dianggap homogen jika kesemuanya boleh dianggapsebagai satu populasi yang sama. Sebagai misalan, katalah kita ingin
mengkaji samada tendapat perbezaan dan tabunan bagi jumlah han
ponteng kerja di antana pekerja penempuan dan pekenja lelaki. Jikabilangan han ponteng digolongkan kepada tiga kategoni iaitu daii 0
hingga 7 , 8 — 14 dan 15 — 21 maka jika kedua populasi adalah
homogen, nisbah ponteng kenja bagi setiap kategoni adalah sama
bagi pekenja perempuan dan pekenja lelaki. Jikalau satu sampel
diambil danipada setiap populasi, keputusan pengamatan boleh
dipensembahkan sebagai jadual 7 .1 .
P e k e r j a l e l a k i
Kategori j Jumlah
0— 7 8— 14 1 5 —21
n
11451 20 p 1 1 20 p12 5 p13
Pckei~apeermpuan 90 p21 15 p2 2 5 p23 n2 110
Jumlab c1210 c235 c310 N255
Jadual 7.1: Jadual kontingensi 2 x 3
358
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 368/466
UJIAN HIPOTESIS: PENGGUNAAN
Jadual 7 .1 dikenali sebagai jadual kontingensi 2 x 3 . Bentuk yang lebih umum bagi jadual kontigensi ialah k x e di mana k adaiah
bilangan bans dan c adalah bilangan lajun.Flipotesis bahawa populasi dalam masalah yang telah
dikemukakan adalah homogen boleh ditulis juga sebagai
H 0: Pu = P 2 1 , P12 = P22’ P,3 = P23;
dan hipotesis alternatif ialah
H, : sekunang-kurangnya satu daripada persamaan di atas tidak
benlaku.
Ujian bagi x2 dapat ditujukan bahawa boleh didasankan kepada
kuantiti
x 2 =‘= 1 j= 1 e,j
di mana bagi kes m i c = 3 dan k = 2.
Nilai e,~adalah nilai jangkaan bagi set, i,j dan dipenoleh danipada
penginaan
e,~= ~-L~= 1,...k j=1,2,...c
di mana n , adalah jumlah nilai pengamatan bagi bans I dan c, adalah jumlah nilai pengamatan bagi lajur j dan N adalah jumlah besan
semua nilai pengamatan.
Sebagai penjelasan nilai yang diamat dan nilai yang dijanglcabagi masalah yang telah dikemukakan diberi dalam jadual 7 .2 .
Kategori
PekeijaPerempuan
0—7 8—14 15—21
120 1119.41 20 [19.9] 5 1 5 . 7 ]
Pekexjalelaki 90 [90.6] 15 [15.1] 5 [4.31
Jadual 7 .2 : Nilai diamat dan nilai dijangka (dalam [ ])
Ujian bensaiz 8 bagi ujian kehomogenan adalah hanus menolak
H,,jika
x 2 > x2~(k— i ) (c — i)
359
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 369/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
di mana z2Ak — — I) dipilih danipada jadual ~2(J< — 1)(c — 1 )supaya
>72jk—1)(c—l) = 8
Pengiraan daripada jadual 8.2 didapati
(120 — 119.4)2 20 — 9.9)2 (5 — 4.3)2
= 1194 + l~9 -+ +
= 0208
Daripada jadtial 72(2 — 1)13 — I) didapati nilai 72(2) = 599.
OIehkerana / =0208 < 599 kita harus menenima H,, pada tingkat
5% aras keertian. Tidak ada perbezaandisegi tabunan ponteng kenja
di antara pekerja lelaki dan perempuan.
-11.8 Ujian Chi-kuasa Dua untuk Ketakbersandaran
Saul lagi hentuk ujian Chi-kuasa dua ialah apabila kita ingin
menguji ketakbersandaran bagi I t populasi. Sebagai misalan katalahkita ingin mengetahui sama ada bilangan anak bagi satu-satukeluarga bergantung kepada pendapatan keluarga tensebut atau
pun tidak. Katalah 460 keluarga dipilih secan,a rawak danipada
kalangan keluarga yang telah benkahwin 10 tahun atau Iebih.
Keputusan danipada sampel, boleh dikelaskan kepada kategonimengikut namai anak, 0, 1,2, 3 dan lebih daripada 3 dan mengikut
pendapatan keluarga; bawah $500, $500 hingga $1500 dan melebihi$1500 sebulan. Sampel yang diamati boleh dipensembahkan sebagai
jadual kontingensi 3 x 5 .
Bilangan anak
0 1 2 3 leblh Jumlah
dan 3
< $500
Fe ndapa tan
bulanan $500-$1500
>11500
3(p
11) 32(p12) 48(p13) 42(p14) SO(p15) ri~= 175
?(p21) 60(p22) 56(p23) 43(p24) 26(p25) n2 = 192
10(p31)
41(p
32) 12(p33) lO(p34)
2O(p
35) n3 93
Jumlah c120 c2
138 c
3116 c495 c596 N =460
Jadual 8 . 1 : Jadual kontingensi 3 x 5
360
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 370/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 371/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 372/466
UJIAN BIPOTESIS: PENGGUNAAN
11.3 Sejenis ubat nyamuk lingkaran didakwa bahawa keberkesanannyaboleh tahan sekurang-kurangnya 10 jam. Jika daripada 1 00lingkaran ubat nyamuk tersebut dicuba dan didapati puratakeberkesanannya ialah 9.5 jam dengan ralat piawai 15 jam, adakahboleh diterima dakwaan tersebut pada tingkat 5% aras keertian.
11.4 Dan sampel rawak yang mengandungi 225 kotak minumandidapati kandungan purata ialah 260 ml. dengan ralat piawam 10 ml.
Uji hipotesis bahawa kandungan sebenar ialah 250 ml. denganhipotesis alternatif bahawa kandungan sebenar tidak sama dengan250 mi:Gunakan 1% aras keertian.
11.5 Daripada 15 buah kereta yang dipilih untuk ujian ekonomi
didapatm purata penggunahn minyak ialah 3 km/liter dengan ralat
piawai 5 km/liter. Uji hipotesis bahawa penggunaan minyak keretajenis tersebut adalah 35 km/literdenganhipotesis alternatilpenggunaan sebenar kurang; daripada kadar tersebut. Andaikankadar penggunaan adalah bertaburan normal.
11.6 Sebuah syarikat pengeluar bola pingpong mendakwa bahawa
garispusat bola keluarannya adalah 765 sm. Jmka daripada 21 bolayang diukur garispusatnya didapati panjang secara purata ialah 76sm. dengan ralat p m a w am 02 sm. Jmka panjang garispusat bertaburannormal dapatkah anda katakan bahawa panjang sebenargarispusat adalah berbeza darm yang didakwa?
11 .7 Satu sampel rawak bersaiz n1 = 25 diambil daripada satu taburan
normal dengan sisihan p m aw a m i55 yang mempunyai mmn Y~= 820.
Satu lagi sampel bersaiz 16 diambil daripada taburan normaldengan sisihan p m aw am 102 dan didapati m m sampel Y 2 = 790. Uji
hipotesis
H, : M i = P2
dengan H1 Mi #pada 5% aras keertian.
11 .8 Sebuah syarikat rokok mendakwa bahawa rokoknyamengandungi 10% kurang daripada rokok-rokok lain di pasarandan segi kandungan nikotinnya. Jika satu sampel bersaiz 10
diambil daripada rokok keluaran syarikat tersebut didapati purata
36 3
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 373/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
kandungan nikotin ialah 162 mg dengan ralat piawai II mg.Sementara sampel yang terdiri daripada 20 bungkus rokok lain
memberikan purata 188 mg dengan ralat piawai IS mg. Jikakandungan nikotin bertaburan normal dan diketahui bahawa m m
sebenar rokok lain ialah 18 mg. adakah dapat diterima dakwaantersebut?
11.9 Sejenis ubat barah dikatakan berjaya di peringkat awal jika iaboleh menyembuhkan sekurang-kurangnya .90% daripada tikus-
tikus yang dikenakan dengan penyakit tersebut. Daripada 20 ekor
tikus kajian yang diberi ubat tersebut didapati 17 ekor telah
sembuh. Dapatkah dikatakan bahawa ubat tersebut telah berjayadi peringkat awal? Gunakan 5% dan i% aras keertian.
11.10 Kedai-kedai di Kajang biasanya ditutup pada han Ahad. Sebuah
kedai bercadang untuk membukanya jika didapati sekurang-
kurangnya 25% dan pelanggan tetapnya menyatakan sanggup
untuk membeli-belah han Ahad. Satu kajiselidik dibuat terhadap50 isi rumah di sekitar Kajang. Daripada 50 didapati hanya 18%
sahaja dapat dianggap sebagai pelanggan tetap kedai tersebut.
Daripada bilangan mi cuma 7 sahaja menyatakan sanggupmembeli-belah pada han Ahad.
(a ) Haruskah kedai mimenjalankan perniagaanpada han Ahad?
(b) Dapatkan 95 % selang keyakinan bagi nisbah sebenar
pelanggan tetap kedai tersebut.
( c ) Uji hipotesis bahawa nisbah sebenar pelanggan tetap kedai
tersebut adalah melebihi 45% daripada penduduk di sekitarKajang.
11.11 Seorang calon wakil rakyat wanita ingin mengetahui sama adaterdapat perbezaan peratus penyokong wanita dan lelaki di dalamkawasan pilihanraya beliau. Untuk maksud tersebut beliau
meninjau (secara rawak) 1 00 wanita dan 1 00 lelaki yang layak
mengundi. Daripada tinjauan tadi didapati 70 wanita dan 60 lelaki
menyatakan sokongan terhadap beliau. Adakah terdapatperbezaan di segi peratus di antara wanita dan lelaki yang
menyokong beliau?
11.i2 Sebuah mesin pengetin dikatakan rosak jika sisihan piawai
364
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 374/466
UJIAN HIPOTESI5; PENGGUNAAN
kandungan tin-tin keluaran mesin tersebut melebihi 5 ml setin.Daripada 21 tin yang disiasat didapati purata kandungan setinialah 250 ml. Jika diperolehi juga varians sampel sebagai 45 mlsetin, adakah mesintersebut masihdalam keadaan baik? Andaikankandungan setin adalah bertaburan normal.
11.13 Daripada satu sampel rawak bersaiz 25 dan taburan n (4 u , a
2)didapati ? = 198, s2 = 250. Uji hipotesis
H, : a2 = 225dengan H
1 : a2 ~ 225
dengan menggunakan 5% aras keertian.
11.14 Katalah, mengikut satu teori genetik, kacukan di antara lembu
merah dan lembu hitam akan menghasilkan lembu-lembu merah,hitam, coklat dan lain-lain yang berkadar 4:2: 5 : 1 . Jika daripada 50
anak lembu kacukan didapati lembu merah, hitam, cokiat danwarna lain adalah berjumlah iS, 10 , 20 dan 5 . Adakah dapatditerima teori tersebut? Gunakan 1% dan 5 % aras keertian.
11.15 Untuk mengetahui sama ada wujud persamaan di antara taburanpendapatan penduduk setinggan di bandar dengan penduduk luar
bandar, seorang ahli kajiselidilc menggunakan varians pendapatansebagai ukuran. Katalah daripada 31 penduduk setinggan didapatim m dan varians sampel ialah $350 dan $250 sebulan. Sementara
daripada 30 penduduk luar bandar didapati m m dan varians ialah
$200 dan $210 sebulan. Dapatkah dikatakan bahawa terdapat
berbezaan dan segi taburan pendapatan kedua-dua penduduk?
11.16 Daripada 1000 sampel rawak, 500 di bandar, 300 dan pekan kecildan 200 dan luar bandar didapati bilangan peminat lagu
keroncong di kawasan-kawasan tersebut ialah masing-masing 50,
30 dan 30. Apakah terdapat perbezaan nisbah peminat lagu
tersebut di ketiga-tiga kawasan?
11.17 Adalah dipercayai bahawa bilangan kemalangan jalan raya dalamsatu jangka waktu di Selangor adalah bertaburan Poisson. Jika
daripada satu data yang dikumpul selama 130 han didapatibilangan kemalangan jalan raya adalah seperti di sebelah.
365
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 375/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
Bilangan
kemalangan 0 1 2 3 4 5 6 ~7
Ulangankemalangan 5 1 0 30 40 1 5 20 10 0
Bolehkah dikatakan bilangan kemalangan sebagai bentaburanPoisson?
11.18 Satu duit syiling dilambung berkali-kali sehingga kepala keluar.Jika X adalah bilangan campakan, adakah X bertabunan Geometri
dengan parameter p = sekiranya daripada 14 0 lambungan kita
perolehi keputusan berikut
Xx
Ulangan
1 2 3 4 5 6 7
90 30 10 6 2 1 1
Gunakan 5% aras keertian.
11.19 Bagi masalah dalam contoh 6.2 uji hipotesis bahawa berat badan
bayi adalah bertaburan normal dengan m m 7 lb.
11.20 Bagi masalah dalam contoh 6.2 uji hipotesis bahawa berat badanbayi adalah bertaburan r 47 , 4 ).
11.21 Darip~adasatu sampel rawak yang terdiri daripada 200 anak muda,keputusan dapat dikelaskan mengikut kategori berikut:
Tidak Merokok
Merokok $tcarascdethana
Uji hipotesis bahawa kedudukan ekonomimempengaruhi tabiat merokok.
keluarga adalah tidak
Kuatmerokok
Dan keluarga 20 50 10bench
Dan kehjargamiskin 40 70 10
366
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 376/466
UJIAN HIPOTESIS: PENGGUNAAN
11.22 Dua kaedah mengajar, kaedah A dan kaedah B telah dicuba
terhadap dua kumpulan yang mengandungi 50 orang pelajar tiap-flap sekumpulan. Selepas tiga bulan satu ujian diberi kepadakedua-dua kumpulan. Kumpulan dalam bentuk “kepujian”, “lulus”atau “gagal” bagi pelajar-pelajar yang mengikuti kaedah A dan B
diberikan sebagai berikut.
Uji sama ada kedua-dua kaedah membeni kesan yang sama
terhadap pencapaian pelajar. Gunakan 5% aras keertian.
11.23 Tong-tong buah yang diimport boleh dikelaskan mengikut iebih
daripada 50% rosak, kurang danipada 50% rosak atau tiada
sebarang kenosakan. Dalam satu pemeriksaan terhadap 200 tongyang diimpont dan negara A, 1 00 tongdan negara B dan 100 tong
dan negara C didapati keputusan seperti bermkut.
Adakah nmsbah kerosakan bagi ketiga-tiga negara adalah sama
sahaja?
11:24 Katalah 400 tong buah yang diimport diperiksa untuk menentukannmsbah ketosakan dan hubungannya dengan negara pengimport.
Keputusan pemeriksaan tensebut diberi sebagaimana jadual dalam
soalan 10.23. Uji sama ada wujud pentalian di antara nisbahkerosakan dan negara pengimport.
Kepujian Lutus Gagal
KacdaliA 25 20 5
Kacdah B 20 23 7
>50%nosak <50% rosak Tiada kerosakan
A 20 100 120
NeganaB 1 0 40 50
C 20 30 40
367
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 377/466
KEBARANGKALIAN D A N 5TATI5TJK
11.25 Katalah daripada satu percubaan rawak didapati data benikut:
0 1 2 3 4 5
10 40 60 50 15 5
(a) Uji adakah X adalah bertaburan b(5, p)
(b) Uji adakah X bertaburan Poisson.
368
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 378/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 379/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
Pengelasan pengamatan berdasankan satu fakton sepertimengikut jenis padi adalah dinamakan pengelasan-satu cara.
Pengamatan yang dikelaskan mengikut dua faktorseperti jenis padidan jenis baja dinamakan pengelasan-dua cana. Kita akanbincangkan kedua-dua bentuk pengelasan mi satu pensatu.
12.2 Pengelasan Satu CanKatalah kita mempunyai k populasi bertabunan normal dengan
minp1, #2, ., j~dan vanians yang sama Q2~Walau bagaimanapun a
2adalah tidak diketahui. Andaikan X
1~,X2~ X~;j = 1 k adalah
sampel rawak bersaiz n~yang diambil daripada populasi j, dankatalah kita ingin menguji set hipotesis
dengan
= #2 = = /4 =
H1 : sekurang-kunang satu ji~benbeza.
Jika diandaikan x0 sebagai pengamatan ke-i bagi sampel danipada
populasi j maka pengamatan tersebut boleh dipensembahkan didalam jadual 2 .1 benikut.
Faktor
x n2
2 nkk
J ad ua l 2.1: P e n g a ma t a n bagi * s a m pe l rawak
1 2 k
X11 X12 .... xk
XII x22
an’
Jumlali T T T T•2
Miii k, “ O k
370
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 380/466
ANALISIS
Danipada jadual 2 .1 , T~,~ ~adalah masing-masing jumlah danm m bagi penganiatan sampel j, iaitu
Tj= ZX1~ ; J 1,2,..., k
dan
i~=TIn]; J= 1,2,..., k
Sementara 7 7 . jumlah kesemua pengamatan dan x adalah m m bagi
kesemua pengamatan:
nj I c
7 7 , = z ~ j
Ic
dan k. = TJE n~ j=
Oleh kenana m m bagi setiap sampel adalah p~maka setiap x1~
boleh ditulis sebagai
= ji~+ e~
di mana ;~adalah selisih pengamatan ke-i dan #~,m m sampel bagi
sampel j.Jika ditakniikan p, m m bagi kesemua populasi sebagai
Ic
= E j= 1
maka setiap pengamatan x1~boleh ditulis sebagai
= [t + a~+ f~Erz~= 0
di mana ~ adalah selisih di antana m m p, dan m m keselunuhan j~.ri~
menggambankan kesan perbezaan akibat faktorj.
Set hipotesis yang telah dibenikan dahulu, dengan itu boleh
ditulis sebagai
H0 :a’ = 22 = = = 0
H, : sekunang-kurangnya saw dan 2~tidak sama dengan sifar, — Jika H0 benar maka ~ = u sehingga penganggar bagi jz ~ialahx... Maka penganggar bagi varians ialah
37 1
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 381/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 382/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 383/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 384/466
ANALISIS VARIANS
Punca vanlasi JuSal.kuasa din
Darjabkebeba.an
Miii kuasa dua f
Olahan
taint
JKO
JKR
k — I
X nj — k
MKOk— I
MKR JKR
Lnj-t
MKO
MKR
Total JKT
J a d u a l 2.2: Jadua l an al is is va r lans
Contob: 2.1Katalah sebuah syarikat mengeluarkan sejenis minuman ningan
yang diisikan di dalam 3 bentuk ‘packing’ iaitu botol, tin dan kotak kertas~syanikat tensebut ingin mengetahui sama ada bentuk ‘packing’ memberi kesan tenhadap juala~minuman tersebut ataupun tidak. Untuk tujuan tersebut ketiga-tiga bentuk ‘packing’tersebut dijual dmsebuah kedai dan dicatatkan bilangan yang laku
pada tiap-tiap han selama 5 hani. Keputusan ditunjukkan dalam jadual 2 .3 . Dapatkah dikatakan bentuk packing mempengaruhi
jualan? Gunakan 5% aras keentian.
Botol Tin Kotak kertas
10 13 15
20 50 10
5 5 20
40 50 60
12 17 22
87 135 127
17.4 27 25.4
J ad ua l 2.3: K eputusan jua lan bog i 5 h a n penjualan.
T
x.J
349 = T
23.27 = x
375
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 385/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
Set hipotesis yang hendak diuji ialah:
H 0: 1~, = #2 = #3
H,: Sekurang-kunangnya dua tidak
3492
15
Penginaan darmpada sampel:
JKT = 102 + 132 + ... + 172 + 222 —
= 4440.93
(87)2 1352 1272 3492
JKO=
= 264.53
JKR= 4440.93 — 264.53 = 4176.4
Keputusan pengiraan dibenikan di dalam jadual analisis vanians
benikut:
Puncavanuasi
Jumlal.Kuasa dii.
Da4ahKCbCbSUE
P4.Kia dii.
f
Olalian
Ralat
264.53
417640
2
12
132~26
34803
.3~Q2
Total 4440.93 14
Jadual 2.4: Jadua l anai ls is va r i ans urituk contob 2 .1
Danipadajadual tabunan F (2, 1 2 ) didapatif.05 = 3~89.Oleh keranaf = •38o2 < 389 kita hanus menenima H,,. Sebagai kesimpulan dapat
dikatakan bahawa bentuk packing adalah tidak mempengaruhi
jualan.
12.3 Inlerens Berkenaan Kesan FaktorJika ujian F menunjukkan bahawa H,, ditolak, yakni m m bagi
fakton benbeza, biasanya kita cuba pula untuk membuat inferensbenkenaan kesan bagi fakton tensebut. Inferens mi melibatkan
376
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 386/466
ANALISIS VARIANS
penganggaran atau ujian hipotesis. Biasanya ia melibatkan m mdan perbezaan di antana dua m m — #1 ;j = 1,...
Anggaran titik bagi m m #~dipenolehi dengan menggunakan
= x _ f
Di mana penganggar k, mi adalah penganggan tak pincang bagi ~
E(X.~)=
dan mempunyai vanians
V(X~)= —
it)
Angganan bagi V(X~)boleh diperolehi dengan menggantikan ~2
dengan MKR, iaitu
= MKR
- ni
Oleh k enana x~adalah bentaburan nQi~, —)
maka dapat ditunjukkanbahawa -
T = —
S(X))
adalah bertabunan t dengan n~, — k danjah kebebasan. Keputusan
mm boleh digunakan untuk membentuk (1—2) 100% selang
keyakinan bagi P~bendasankan taburan t. Angganan bagi selang
tersebut dapat ditunjukkan sebagam
— t,12 S(X.~ c c xi + t11~S(X)
di mana t,~2diperolehi danipada taburan t(Xn) — k ) supaya P(T>ta/2) = a/2.
Penganggaran bagi penbezaan antara dua m m secana
benpasangan selalunya dmgunakan untuk menentukan m m yang
mana yang bentanggungjawab menyebabkan perbezaan kesan
fakton. Penbandingan sebegini dinamakan penbandingan secarabenpasangan.
377
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 387/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
Angganan titik bagi perbezaan di antara dua m mn d = — #1
diperolehi dengan menggunakan
3 = x~ — xJ
Penganggan D = X -j — X.J mi adalah penganggan tak pincang bagi
— 1~idan mempunyai variàns
V(D)= V(X~)+ V(X~)
(1 1= ~2 — +
\fl~ n~
Angganan bagi V(D) mi boleh didapati dengan menggantikan ~2
dengan anggaran bagi a2 iaitu MRK,~yaknm
/1 1S2(D) = MKR ( — +
\iti ~
oleh kerana pembolehubah rawak
(X.~—X.~’) — (#i—#J)
T= S(X.~— X])
adalah bertabunan t dengan E — k darjah kebebasan, maka
inferens tenhadap penbandingan berpasangan boleh didasarkankepada taburan t.
Anggaran bagi (1—8)100% selang keyakinan bagi p~ — p J dapatditunjukkan sebagai
— x~) — t,~ 2 S(D) < iii — < X.j — X.J ÷ 6/2 S(D)
di mana P (T> t112) = a/2
Bagi menguji hipotesis bahawa terdapat perbezaan yang
bermakna di antara dna pasangan m m iaitu
H,, : — pJ = 0
dengan
Maka nilai anggaran bagi selang keyakinan bagi ~ — p, bo-
leh digunakan sebagai kawasan penenimaan. Bagi ujian bersaiz
378
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 388/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 389/466
KEBARANOKALIAN DAN STATISTIK
Keputusan penginaan selanjutnya dibenmkan dalam jadual berikut:
Puncanriasi
Jumlahkuasa din
Danjalikebebasan
NSakuasa dun
f
Olahan
Ralat
19-554
18-246
2
12
9-777
1-521
6-43
Total 37-80 14
J ad ua l 3.2: J a d u a l analisisvarIanscontoh 3.1
jadual taburan F (2,12) nilaif 05(2, 1 2) = 3.89. Oleh kenana
> 3.89 kita harus menolak H,, pada tingkat 5% anas
Kesmmpulannya, dapat dikatakan bahawa tendapatperbezaan yang bermakna di antana ketiga-tiga m m pengeluaranhasml padm.
Sekarang kita ingin melihat pula pasangan yang mana yangmenyebabkan penbezaan tensebut. Kemungkinan pasangan ialah diantara basil tanpa baja dengan baja A dan dengan baja B, dan di
antana baja A dan baja B. Anggaran bagi setiap perbezaan tersebut
#2 — /4i = ~2 — = 0~6
#3 — #5 — = 12-4
#3 — #2 ~.3 — = 11-8
Oleh kerana saiz sampel sama anggaran vanians bagi X
sama laitu
— 1) = MKR (~+
~—k ~ia1ah
OIeh itu
2(1-521) -
= = 0-6084
S(X~ — I) = = 0~7800
95% selang keyakinan bagi ~ — #1 malah
(x~ — i~) — t025(0~7800) C — #1 < ~ — ~J) +.025(07800)
Danipada f = 6.43
keertian.
ialah
380
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 390/466
ANALISIS VARIANS
Danipada jadual t(12) didapatm t.025 = 2-179 maka angganan 95%
selang keyakinan bagi ~ —
malah(x~— x~1) — 16996 < — #1 < (k~— ~J) + 1-6996
Jadi selang keyakinan bagi pasangan perbezaan tensebut ialah
— 1-0996 < — #1 -c 2-299610-7004 < #3 — #1 < 140996
1 0 - 1004 < #3 — #2 < 13-4996
Daripada selang keyakmnan di atas didapati tendapat penbezaan
yang benmakna di antana punata hasil pengeluaran p ad m yang
dibubuh baja B dengan tidak berbaja dan di antana puratapengeluanan padi yang dibubuhbaja B dengan yang dibubuh baja A.
Hasil punata padm yang dibubuh baja B tidak benbeza daripada hasil
padi yang tidak berbaja1 Daripada kenyataan m m dapat disimpulkanbahawa baja B membeni kesan yang positif dalam menambah
pengeluaran padi tersebut.
12.4 Pengelasan Dun Cant Tanpa Saling Tindak
Jika pengelasan pengamatan boleh dibuat mengikut dua faktor
m a m t u setiap pengamatan ~ boleh dmpensembah sebagai jadual 4 .1benikut.
Bans 1,2,..., a dan lanjun 1.2 b menggambankan tingkat bagi
fakton A dan thkton B . Setiap pengamatan X~adalah menupakan
pengamatan bagi tingkat i faktor A dan tingkatj faktor B . .T , dan ~,
adalah jumlah pengamatan dan m m sampel bagi tingkat i faktor A
dan T~dan ~ adalah jumlah pengamatan dan m m n bagi sampeltmngkatj faktor B . T.. dan i. adalah masing-masing jumlah dan m m
bagi kesemua pengamatan.Andaikan se tmap Xv menupakan pengamatan bagi
pembolehubah nawak X1~yang bertabunan normal dengan m m Pi)
dan varians ~2 maka se tmap pengamatan-x,~boleh ditulis sebagai
U~j+ ~
di mana a,~adalah selisih nilai pengamatan daripada minnya.
Jika kita taknifkan j~,.sebagai m m bagi fakton A maka
= E
begmtu juga m m bagi fakton B malah
381
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 391/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
Faktor A
1 2 ... j ... bJumlah
bailsMiiibans
1 ~ “12 ~Ij “lb
2 x21 “22 “2~•• “2b
~ ~fl “12
a x it K. xal .2 a j ab
T 1
T2
T.
Ta.
i~
k
k
a .
lajur T1 T2 T. TbT
lajur ~i “.2 ~bk
Jadual 4.1: Pen9snatan bag i ab sampel
P.) = E #if/~
Punata bagi kesemua ab m m ialah
= £ E u1~/abii
Untuk menguji perbezaan di antara m m bagm fakton A set hipotesis
yang benkaitan malah
= p4 = 1,2,...a
H1: tidak semua p~
Untuk menguji penbezaan di antana m m bagi fakton B maka set
hmpotesms yang patut diuji ialah H,,:p.f= p. j= 1,2,...b
382
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 392/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
dengan H 1 Sekunang-kunangnya dua m m tidak sama.
Sebagai bentuk altennatif kepada model yang telab dikemu-kakan m m p,~boleh dipensembahkan dalam bentuk
= p + a1 + /3 )
di mana a1 adalah kesan bagi tingkat i fakton A danbagi tingkat j fakton B.
Jika dikenakan kekangan supaya
= 0 dan E f3~ = 0I j
maka dapat ditunjukkan bahawa m m bagi fakton
adalah boleh ditulis sebagai
dan= p + a1
p3= /2 + fl~
1= 1,2,...a
J= 1,2,...b.
/ 3 , adalah kesan
A dan fakton B
Kedua-dua set h ipotesms yang tetah dibenikan boleh ditulis sebagam
H,,a1=0 1=1,2,..., a
dengan H1: sekurang-kunangnya satu
dengan sifan.
bagm menguji perbezaan m m fakton A. ‘Ian
H,,:fl~=O j= 1,2,..., b
dengan H1: sekunang-kurangnya satudengan sifan.
bagi mengujm perbezaan m m faktor B.
dan a~tidak sama
dan fl~ tmdak sama
Berdasankan model mi dan set hipotesis yang dibermkan, dapatkita membentuk ujian hipotesisberkenaan. Bagaimanapun langkah-
langkah lengkap b a g m kaedah tensebut tidak akan dibmncangkan di
smni.
Sekanang penhatmkan vaniasi total iaitu jumlah kuasa dua total,
JKT yang boleh dipecahkan kepada tiga komponen, iaitu
— x..)2 = bE(i
1 — x)
2 + aE(i~ — x)2 +
E E(Xu — — Xf +
383
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 393/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
atau
JKT = JKA + JKB + JKR
di mana JKA = b L(i; — ~)2 adalah jumlah kuasa dua fakton A,
JKB = ~ — )2adalahjumlahkuasaduafaktorBdanJKR =
E ~(x~ — — Yc~+ ~ j~adalah jumlah kuasa dua nalat.
Kesemua komponen m n m menupakan nilal bagi pembolehubahnawak tak bensandan yang masing-masing apabila dibahagm dengan
a2 adalah bentaburan Chi-kuasa dua. Dapat ditunjukkan bahawa
JKT bertaburan x2(ab— 1 )
JKAbertabunan x 2 (b — 1 )
bentabunan x2(a — 1 )
dan
JKR —i-- bertaburan ~(a — lXb — 1)
a
Ujian bagi setiap set hipotesis yang dmkemukakan bendasarkan
angganan bagi vanmans a2 di bawah hipoteis nul dan hipotesis
alternatmf. Angganan-angganan mi, dapat ditunjukkan bensamaan
dengan komponen-komponen yang dmbenikan.
Sekanang kita penhatikan angganan kebolehjadian maksimum
bagi a2 dalam bentuk umum, iaitu apabila
= p + 8~+ /Ij
ataupun apabila H 1 bagi kedua set hipotesis adalah benan. Angganan
bagi p ialah ~. bagm a~ialah ~ — ~. dan bagi fl~adalah ~ —
sehingga anggaran bagi m 1 ialah ~ + ~ — ~. Maka angganan bagi
a2 ialah
Z X(x1~— — ~ + ~)2/ab
384
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 394/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 395/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
= 0, ~ = 1,2,..., b H
1: tidak semua /3, sama dengan 0 .
Kaedah yang sama boleh digunakan. Angganan bagi ~ = p + ;
malah ~u= ~ + (~I — = ç. Dan anggaran b a g m a2 ialah
atau
I I (Xv — x1)
2/ab
(JKB + JKR)/ab.
Dapat ditunjukkan bahawa ujian bagi hipotesis tensebut ad,alah
bendasankan nisbah
MKB — JKB/(a—i)
1 2 = MKR — JKR/(a—lXb—1)
dan taburan F dengan a — 1 dan (a — 1 ) (b — 1 ) danjah kebebasan.
Bagi u jman bensaiz a kita hanus menolak H 0 jika
f2>f~
di mana P(F[a —1 , ( a — 1)(b— 1)] > L) =
Penginaan untuk ujian-ujian di atas adalah lebih sesuai jika
dipensembahkan dalam bentuk jadual analisis vanians:
Punavantasi
Jumlabkant. dv.
Daijahkebebasan
M mkane due
Pcnglsaaaf
FaktorA
FaktorB
Ralat
JKA
JKB
JKR
b-I
a-I
(a-1)(b-i)
JKAMKA—
b-i
JK BMK8
a-I
JKRMICR
(a- i)(b-i)
MELfs’~R
MRBf-a———
141CR
J a d u a l 4.2: J ad ua l an al is is va r lans pengelasan dut cart
386
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 396/466
ANALISIS VARIANS
Sementana penginaan jumlah kuasa dua lebih sesuai denganmenggunakan formula-formula berikut:
dan
T 2 JKTflx~~ ab
T2 T2 JKA= z~~__u_
b ab
T2 T2 JKB= ~ — —n
~ a ab
JKR= JKT — JKA — JKB
Cositob: 4 . 1
Katalah syanikat pengeluan minuman ningan di dalam contoh2.1 di samping ingin mengetahui kesan benbezaan bungkusan yangberlainan, ingin juga melihat kesan jualan akibat jenis kedai yang
benbeza. Untuk tujuan tensebut 3 kedai yang tendini dan kedai
nuncmt, kedai makan dan .kedai pasan raya dipilih dan dipenhatikan jumlahjualandalam satu mmnggu . Keputusanjualantensebut dicatatsebagai benikut:
Faktor B
Botol Tin Kotak T~
Kertas
Kedairuncit
Kedalunakan
Faktor Paaarraya
A
F ,
1
~
50 30 100 180 60-00
100 60 30 190 63-35
140 170 160 470 15&67
290 260 2 9 0 T = 840
96-67 86-67 96•67 93-33
Jadual 4 .3
387
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 397/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 398/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 399/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
km ta menghadkan supaya kesan fakton A dan kesan faktor B adalah
bentambahan. Yakni penbezaan di antana tingkatj dan! bagi faktonB sama bagi setiap tingkat fakton A dan perbezaan di antara tingkat i
dan i ’ bagi fakton A adalah sama bagi setiap tingkat fakton B.Keadaan mi tidak semestinya benan. Sebagal misalan dalam contoh4 .1 mungkin penbezaan jualan minuman dalam botol dan kotak kentas adalah lebih tmnggi di kedai makan benbanding denganpenbezaan d m kedai nuncit atau sebagamnya. Keadaan mi membawa
kmta kepada pengkajian satu lagi unsun iamtu unsur saling tindak diantana fakton A dan fakton B. Jikalau tendapat unsun saling tindak di
antana fakton A dan faktor B maka analisis fakton A dan analisisfakton B secana berasmngan akan membawa kepada kesimpulan yang
salah.
Jikalau bentuk ujikaji yang dibeni dalam seksyen 12-4diulang nkali, yakni setiap kombinási tmngkat fakton A dan fakton B diambil n
pengamatan, maka unsun saling tindak di antana dua fakton m n i
bolehlah dimasukkan ke dalam model. Jika /2,j adalah m m bagi
tingkat I fakton A dan tingkatj fakton B maka model dengan saling
tindak ialah
j2~~= p + a~+ $~+ (afl),~
di mana
E a, = ~ /3, = 0 dan ~ (a$)u = £ (a$)~~= 0
j I
Dalam ujian hipotesis model mi selalunya set hipotesis
i= 1,...a,j= 1,...b
H
1 : sekunang-kunangnya satu afl,~tidak kosong
diuji tenlebih dahulu. Jika tendapat unsun saling tindak yang
benmakna (H0 ditolalç) maka ujian selanjutnya tenhadap kesan tiap-
tiap fakton tidak boleh dijalankan. Infenens tenhadap m m adalahbendasankan m m /iji bagi setiap kombinasi tingkat fakton A dan
tingkat Iakton B .
J i k a l a u t i d a k t e n d a p a t unsun s e l a n j a r yang benmakna (H0dmten ima) bahanulah ujian tenhatlap kesan setiap fakton diteruskan.
Ujian mi adalah dalam bentuk menguji
.Ft~:a~=0 1= i,2,~.adengan H1: sekunang-kunangnya satu 81 t i d a k kosong
390
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 400/466
ANALISIS VARIANS
atau
H0:fl~=O j=1,..., b
dengah H1: sekurang-kurangnya satu fl~tidak kosong
dan inferens bagi kesan tingkat faktor dijalankan seperti biasa bagi
faktor yang mempunyai kesan perbezaan yang bermakna.Sekarang katalah pengamatan bagi nab sampel daripada
populasi adalah sebagaimana jadual 5.1 di mana adalah
pengamatan ke-k, k = 1,2,... n bagi tingkat I faktor A dan tingkatjfaktor B. i~dan . adalahjumlah pengamatan dan m m sampel bagi
kombinasi I f . 7~dan i. adalah jumlah pengamatan dan m m bagitingkat I faktor A. T~dan i,. .adalah jumlah pengamatan dan m m
sampel bagi tingkatj faktor B. Dan T dan~ adalahjumlah dan m m
sampel bagi kesemua pengamatan daripada sampel.
Jika dipecahkan jumlah kuasa dua total kepada komponen-
komponen yang berkaitan dapat ditunjukkan bahawa
JKT = JKA + JKB + JK(AB) + JKR
di mana
JKT = S S S (xi, — ~)2 adalah jumlah kuasa dua total.
I jk
JKA = bn S (~ — ~)2 adalah jumlah kuasa dua fajctor A.
JKB = an S (~ — adalah jumlah kuasa dua faktor B .
JK(AB) = n S S — — — ~ adalahjumlah kuasaif
dua bagi saling tindak faktor A dan faktor B .
dan
JKR = S S S (x1fr — adalah jumlah kuasa dua ralat
I jlc
Darjah kebebasan bagi komponen-komponen berkenaan adalah
39 1
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 401/466
J a d u a l 5.1: P e n g a ma t a n b a g i nob sampel
392
Faktor B
1 2
x111 x121
x112 x122
Total M mb
Xlbl
b2
xlbn
Tib
b.
X1 ln
T11
~l 1 .
x1 2n
T12
~l 2.
T1..
xl..
FaktorA
x211 x221 x2b1
x212 x222x2b2
2 . . .
~!T21 T22
41.
~aT2b
“2b.
T2
x 2
a
xall
xa21
xabl
xa12
xa22
xab2
‘am x~ Xabn
Tal.
Ta2.
Tab.
‘sal. Xa2 . ‘ab.
Ta..
xL.
Total T1 T2 T.b.T
Mbi W .1. .2. .b. i...
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 402/466
ANALISIS VARIANS
ab n —1 = (a—i) + (b—i) + (a — 1)(b — 1) + ab(n —1)
dan jika jumlah kuasa dua dibahagikan dengan darjah kebebasan
masing-masing kita akan dapat m m kuasa dua bagi tiap-tiapkomponen; yakni
MKA = JKA/a — 1
MKB = JKB/h — 1MK(AB) = JK(AB)/(a — 1 ) (h — 1 )
dan MKR = JKR/ab(n — 1 )
Untuk menguji H,: (aJ3)~~= 0 I = 1,..., a j = 1 , .., b kita
harus menolak H, pada tingkat a jika
= MK(AB) >f,[(a — i)(b — 1),ab(n — 1)]
dimanaf 2[(a — fl(b — 1),ab(n — 1)]adalahnilaidarijadualFdengan
(a — I) (b — 1 ) dan ah(n — 1) darjah kebebasan supaya P(F> j~[(a — 1)(h — 1), ah(n — 1)]) a.
Bagi menguji H,:a~=
0, I =
1 a kita harus menolak H, padatingkat a jika
MKA= MKR > f,[a — 1 , ab(n — 1 )]
di mana f,[ (a — 1 ) (b — 1), ab(n — 1)] adalah nilai dan jadual F
dengan (a — 1 ) ( b — 1 ) dan ab(n — 1 ) danjah kebebasan supaya P(F
> J’~[(a — 1)(b — 1), ab(n — 1)11) = a .
Sementara bagi menguji H,: $~ = 0,] = 1 b , ujian bersaiz aialah menolak H, jika
MKB
MKR > fa [b — 1 , ab(n — 1)]di manaL[b — 1 , ab(n — 1 )] diperolehi danipada jadual taburan F
denganb — ldanab(n — 1)darjahkebebasansupayaP(F >JJb —
1 , ab(n — 1)]) = a .
Pengiraan di dalam analisis vanians adalah lebih sesuai jika
diringkaskan sebagai jadual di muka surat 394.
393
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 403/466
KEBARANOKALIAN DAN STAflSTIK
Puncavariasi Jumlalikuasa dua
Daijabkcbcbasan
Mliikuasa din
Pcngtraau f
Faktor A
FaktorB
Silangan
Ralat
JKA
JKB
JK(AB)
JKR
a—i
b—i
(a—I) (b—I)
ab(n—i)
MKA
MK B
MK(AB)
MKR
f 2 ~
f3~~MKR
~1= MK(AB)
MKR
Total JKT abn—i
Jadual 5.2: Jadual analisis varians pengelasandua-cara dengan saling tindak
Sementara pengiraan bagi jumlah kuasa lebih sesuam jikadigunakan formula-formula berikut:
JKT = E ~ E —
uk
T
2---ab n
JKA=T2 p 2
EL~r bit ab n
JKB =
T2 T2 —
an a b n
JK(AB) =
T2 E Z —
uj it
T 2 ~
bit — E
u
T2 T2 —~ +
an ab n
JKR = JKT — JKA — iKE — JK(AB)
Contob:5.1
Katalah syarikat di dalam contoh 4.1 dalam usaha untuk mengetahui kesan bentuk ‘packing’ dan jenis kedai yang benbezatelah memilih dua buah kedai runcmt , dua buah kedai makan dan 2
buah pasar raya dan diperhatikan jumlah jualan dalam masa duahan. Keputusan adalah seperti jadual 5 .3 . Jalankan analisis vanians
terhadap keputusan sampel tersebut.
dan
394
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 404/466
ANALISIS VARIANS
Faktor A
Jadual 5.3:
Faktor B
Pengamatan bagi 1 8 pengamatan sampel
Danipada jadual 5 .3 kita dapat membentuk jadual yang
mengandungijumlah pengamatan lj,. +bagi setiap kombinasi fakton
Betel Tin Kotak Total Mliikate. T. a
L
Kecial macit
Kedal makan
Kedampasarraya
50 30 100 180 3000
100 60 30 190 31-67
i40 i7~ 160 470 78~33
Total T. 290 260 290 T = 840
bun 48~33 43.33 48•33 46•67
Pengmraan jumtah kuasa dua dan sampel
8402JKT= 2 02 +302 + 152 ~+ 1152
= 56300 — 39200 = 17100
1802 1902 4702JKA= + —~— + —~
= 48233~33 — 39200 = 9033~33
2902 2602 2902 &~2JKB=-~—+—~-+--~-- —~j-
Kedairuncit
Botol Tin Kotak kertas
2030
1515
7525
Kedaimakan
3070
2040
1020
Kcdaipasarraya
6575
70100
11545
Jadual 5.4: Jadual jumlah pengamatan T ; 1
840 2
18
395
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 405/466
KEBARANGKALIAN D A N STATISTIK
5 0 2 3 0 2 1702 1 6 0 2JK(AB) = -~—+ + ... + + —~
oleh itu
— 48233-33 — 39300 + 39200
= 51000 — 4823333 — 39300 + 39200 = 266667
JKR= 17100 — 9033-33 — 100 — 2666-67 = 5300
keputusan penginaan selanjutnya dibenikan sebagai jadual 5 .5 .Set hipotesis yang ingin diuji ialah
= 0 I = 1,2,3,dengan H
1: tidak semua a / 3 u j sama dengan
Ujian bensaiz a = 0.05 adalah tolak H, jika
MK(AB)= >f
0.05(4,9)
Puncav a r i a s i
Jumlab
k i n . . dnaDaij ab
k e b e b a s a n
M l i i
kit... dnaP a i g h s a n
f
Faktor A
Faktor B
Sal m u g
Tmdak
903&33
100~00
266&67
2
2
4
4516-66
50~00
666~67
=767
=0.085
=1-132
Ralat 5300-00 9 58&89
Total 17100.00 1 7
Jadual 5.5: Jadual anallsisvarianscontoh 5.1
Dengan keputusan m i kita boleh teruskan ujian terhadap kesantiap-tiap faktor. Danipada jadual taburan F (2, 9) didapati [5(2, 9)= 426.
= 39300 — 39200 = 1 00
I = i, 2, 3
kosong.
fl
MKR
Danipada jadual F(4, 9)Oleh kenanaf1 = 1~132Kesimpulan ialah unsur
didapatif05 (4,9) = 3.63.
< 3-53 maka kita tidak boleh menolak H0.
saling tindak adalah tidak penting.
396
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 406/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 407/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
Latihan Bab 12
12.1 Bagi model analisis vanians satu cana tunjukkan jumlah kuasa duatotal dan jumiah kuasa dua olahan boleh juga ditulis sebagam
T ..2
JKT = L —
Lu
1
dan
T~ T ..2
JKO = L —~— — -~
I Ilj
12 .2 Bagi model analisis vanians dua cara tanpa saling tindak denganfaktor A dan faktor B buktikan bahawa
T2JKT = L E x
1 12 —
u ab
T2 T2JKA= E_!~~_~r_
h ab
dan T2 T2JKB=E_L__~
u a ab
12 .3 JikadidalamanalisisVanianssatucara,dibenimodelx~ = p + a1 +
~ di mana L a1 = 0, tunjukkan bahawa
a1 = p 1 — p
dan angganan bagi a1 ialah= _ x J — i.
12.4 Bagi model ~u = p + a, + $~ La, = L $ , = 0 tunjukkan bahawa
ujian hipotesis bagi p, = 0 bagi semua I adalah sama dengan
menguji bahawa semua a, = Ov,. Sementara menguji p~= 0V1adalah sama dengan menguji fi~ = O P’1 .
12 .5 Bagi model ana lmsis vanm ans dua cara tanpa sa lmng tindak tunjukkanbahawa
398
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 408/466
ANALISIS VARIANS
L L ( x,1 — i.)
2 = hE (~,— i )2 + a L(x1 — i.)
2 +
E L(x, — — x1 + x)
2
12 .6 Bagi model anal isms varians
= p + a, + ~ + a/I,1
tunjukkan bahawa jika a/I,1 = 0 V~maka bagi E a, = L fl~ = 0I
benerti
p.1 = p + /I~dan
= p + a,
12 .7 Jika dibeni satu set pengamatan:
A, A2 A3
3 3 42.5 3 5 .5
5 6 44 3.5 5
6.5 4 7.52.5 5 5
(a ) Dapatkan jadual ana lmsis vanians
(b) Uji hipotesis
H,: Mi = P2 = P 3
dengan H1: Tidak semua p , adalah sama.
12.8 Sejenis minuman dalam tin dijual di tiga jenis kedam untuk memenhati kesan perbezaan jenis kedai terhadap kelanisan
minuman tersebut. Bebenapa buah kedai danipada ketmga-tiga jenis
kedai dipiih dan diperhatikan jualannya dalam satu han.Keputusan jualan dibenikan sebagai benikut:
Restoran 4 1 0 12 5 16 7 4
Kcdainzncit~ 10 0 1 2 3 5 1 5
Kelabnialaml 13 ii 9 1 0 8
399
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 409/466
KEBARANGKALIAN D A N S T A T I S T I K
Uji sama ada terdapat perbezaan kelanisan di ketiga-tiga jenis
kedai tersebut. Gunakan 5% dan 1% aras keertian.
12 .9 Danipada satu sampel bensaiz 5 yang diambil dan 4 jenis olahansatu jadual analisis vanians yang masih belum lengkap dibenikan
sebagai benikut
Jumlak
kin.. dna
Darjahkebebasan
(a ) Penuhkan jadual analisis varmans tersebut(b) Uji sama ada m m kesemua olahan adalah .sama dengan
rnenggunakan (i ) 5% dan (ii) 1% anas keentian.
12.10 Di dalam satu kajian tenhadap kandungan nikotin dalam sebatangnokok bagi 4 jenama nokok, kita penolehi keputusan benmkut :
Jeaaaia Rokok
Pengamatan:
Saiz sainpel:
Jumlah pengaunatan:
x11 K12 K13 K14
n16 025 n38 n47
T1 = 1 8 T2 3 5 T5’ 18 T:4=66
Jikadiperolehibahawa zz~Yi= 1035
1 ~J
(a) Bentukkan jadual ana l isms vanians
(b) Uji sama ada terdapat penbezaan kandungan nikotmn se-
batang nokok bagi keempat-empat jenama rokok.
12.11 (a ) Danipada data soalan 12.7 dapatkan 95% selang keyakinanbagi kesemua perbezaan benpasangan bagi olahan A,,A2 dan
A 3.(b) Dan soalan 12.8 dapatkan 95% selang keyakinan bagi
Punca
JKO 1 108~33 3
JKR — —
JKT 2108-33 —
A B C D
400
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 410/466
ANALISI5 VARIANS
kesemua penbezaan berpasangan bagi m m jualan ketmga-tiga
jenis kedai.
(c ) Benikan kesimpulan tenhadap keputusan (a) dan (b) di atas.
12.12 Bagi masalah dalam soalan 12.9 dan 12.10 tentukan apakahpasangan m m yang benbeza pada tingkat 95% anas keyakinan.
12.13 Dalam kajian tenhadap basil keluaran bagi 3 jenis p a d m yang
dikenakan 3 jenis baja yang berlainan hash keluanan punata (dalamratus gantang) seekan dibenikan sebagai benikut:
(a ) Dapatkan jadual analmsLs vanians bagi data m i .(b) Uji sama ada tendapat perbezaan hasil bagi ketiga-tiga jenis
padi.(c ) Uji sama ada tendapat penbezaan hasil akibat dani
penggunaan baja yang berlainan.
( c i ) Bagi faktor yang benbeza tentukan tingkat fakton manakahyang menyebabkan perbezaan tensebut.
Punca Jumlab Darjah M m
v a i l . . 1 kuasa d u n k e b c b . s a n kuasa d u n
JKA 1150 3
JKB 350 2
JKR
JKT 3780
(b) Uji sama ada terdapat penbezaan bagi m m fakton A.
(c ) Uji sama ada tendapat perbezaan bagi m m fakton B.
Jenis Path
Malinja Mah.uri
8, 68 46
Baja; Bu 46 55
B
3 43 38
Mat Candu
54
46
42
12.14 (a) Penuhkan jadual analisis vanians benikut:
175-5
12.15 Satu keputusan ujikaji adalah sepenti di sebelah:
4 01
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 411/466
KEBARANGKALIAN DAN 5TATI5TIK
Faktor A
A, A2 A3 A4
B2 1 2 24 20 1 8
FaktorB B2 35 1 6 36 1 9
B3 40 30 28 22
(a ) Jalankan analisis Vanians tenhadap data di atas.
(b) Dapatkan 95% selang keyakinan bagi penbezaan benpasang-an bagi fakton yang benbeza.
12.16 Dalam satu ujmkaji untuk mengetahui kesan penggunaan jumlahbaja yang benlainan tenhadap hasH keluanan lada pengamatan
benikut dipenolehm
Penggui.aan Baja Pcnggunaan Racun HasU (d.lam ton)
act
(a ) Uji sama ada terdapat kesan sa lmng tindak di antarapenggunaan baja dan penggunaan racun rumput rampai.
(b) Uji sama ada terdapat kesan penggunaan kuantmti baja yangbenlainan terhadap hasH pengeluaran lada.
(c ) Apakah keputusan dalam (b) mem benm enti?
12.17 Danipada masalah d~dalam soalan 12.16, jika kita tenlebih dahulumengandaikan bahawa tidak tendapat unsur sa lmng tindak di antana
kuantmti penggunaan baja dengan penggunaan nacun, apakah
model yang hanus digunakan. Jalankan analisis vanians tenhadap
model m i .
12.18 Dan satu ujilcaji yang melibatkan 3 fakton A dan 2 fakton B, 2
sampel dmambml bagi setiap kombinasi tingkat fakton. Jumlahpengamatan bagi setiap sampel dibenikan sebagai jadual di sebelah.
1 kampit seckar tanpa uacundengan racun
2 kampit scekar
3 kainpit acekar
tanpa racundengan racun
tanpa racundengan racun
10 1 2 15 8 513 20 1 8 1 7 12
1 1 1 5 8 13 1 124 25 19 15 1 2
1 7 20 1 0 14 91 7 16 1 8 10 1 5
402
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 412/466
ANALISIS VARIANS
A1 A2 A3
B1 1 2 2 4 20
82 35 1 6 56
12.19 (a ) Dapatkan 95% selang keyakinan bagi kesemua
kemungkinan penbezaan benpasangan bagi m m kombinasifakton.
(b) Dapatkan 95% selang keyakinan bagi kesemuakemungkinan penbezaan benpasangan bagi m m faktor A danm m fakton B .
12.20 Katalah tendapat dua fakton A yang mengandungi 4 tingkat dan Byang mengandungi 2 tingkat. Danipada tiap-tiap kombinasi tingkatfakton 2 pengamatan diambil dan keputusan jadual analisis Vanians
bagi keputusan tensebut adalah sepenti benikut:
Punca Jumlab Daijab Miiivarlali kuasa dna kebcba.an kuasa dun
(a ) Penuhkan jadual analisis vanians di atas.
(b) Uji sama ada terdapat kesan saling tindak dan B .
di antana fakton A
(c ) Uji sama ada tendapat kesan yang benenti di antana tingkatfakton A.
(d) Uji sama ada tendapat kesan yang berenti di antana tingkatfakton B .
322
Jika diperolehi juga bahawa E L L4Jk = 1381 di mana Xijk ialah
pengamatan ke-k bagi kombinasi fakton i dan j, dapatkan jadual
analisis vanians dan jalankan analisis Vanians tenhadap keputusantensebut.
FaktorA 16
Faktor B 27~25
Faktor AR
Ralat 12~00
Jumlah 65~75
403
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 413/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 414/466
REGRE5!
tendapat bebenapa kemungkinan nilai y,, maka y, adalab sebenarnyanilai bagi pembolehubah nawak Y pada titik x atau ditulis Y /x
1 .Pembolehubah nawak Y /x1 m l menggambankan kelakukanpembolehubah nawak 1~.Jadi dalam menentukan Y kita hanus
melihat hubungannya dengan pembolehubah nawak yang dianggaptetap iaitu X.
Adalah wajan untuk menganggankan nilai pembolehubahnawak Y/x, dengan E(Y/x1) iaitu nilai jangkaan bagi pembolehubab
nawak tensebut. Jadi dalam masalah negresi masalah sebenan ialah
menentukan E(Y/x) bendasankan pengamatan (xe, yJ dad sampel.
Selalunya dalam analisis negnesi stnuktun bagi E(Y/x) ditentukantenlebih dahulu, sehingga hanya panameten yang menentukandengan tepat stnuktun itu sahaja yang masih belurn diketahui.Bentuk stnuktun m i biasanyadipilih bendasarkan pengetahuan lepas
atau bendasarkan teoni-teoni benkaitan benkenaan denganhubungan di antana Y dan X. Kadang-kadang bentuk m i juga
ditentukan bendasankan gambanajah tabunan pengamatan (x, , y,)
danipada sampel.Dalam penbincangan kita, stnuktun yang akandibeni penekanan
hanyalah tenhad pada hubungan linear kepada panameten, iaitubenbentuk
E(Y/x) = ~ + fix.
Di sini, ~ dan $ adalah panameten-panameten yang menentukanhubungan antana Ydan X. Jika tabunan bagi Yadalah dibeni, maka
dapat ditentukan apakah penganggan yang baik bagi panameten-
panameten m i. Untuk tujuan kita Y adalah dianggap sebagai
bentabunan normal.
13.2 Regresi Linear
Anggapkan (Y1, X1), (Y2. X2) ... (}~.X,j adalah n pasang
pembolehubah nawak tak bensandan. Andaikan ~‘1, Y2,..., ìç adalahmasing-masing bentabunan nonmal dengan m m ~ + fix, dan vanians
yang sama c2. Keadaan m i boleh dianggap sebagai mengambil
sampel nawak bensaiz n danipada Yyang bentabunan normal di mana
E(Y/x,) = ~ + $x,
dan
V(Y/x,) = =
4 05
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 415/466
KEBARANGKALIAN DAN STAIISTI1(
hagi semua nilai x.Hubungan di antara nilai pembolehubah rawak dan andaian
yang dibenikan dapat digambarkan sebagai gambarajah 2 .1
Lakaran bagi masalahregresi linear
Daripada gambarajah 2 .1 kita perhatikan bahawa E(Y/x,~adalahtetap pada satu-satu nilai x , tetapi berbeza bagi benlainan nilai x.
Ganis E (Y/x) = ~ + fix, yang menyambung kesemua m m bagi Y
pada setiap nilai x, dipanggil keluk regresi.Jika ganis m i adalah linearsebagaimana ~x+ fix, keluk regnesi adalah linear dan analisis negresiyang berkaitan dipanggil regresi linear. Jika tidak Ia dipanggil regnesi
bukan linear. Parameter ~ dan fi adalah parameter yang menentukanbentuk sebenar keluk regresi dan adalah menupakan kuantiti yang
belum diketahui. Jadi, sebagai langkah yang pertama dalam analisis
regresi ialah untuk mendapat anggaran bagi parameter-parameterm i, bendasarkan pengamatan danipada sampel.
13.3 Penganggar Keholehjadian Maksimum
Anggankan Y1’Y2’ ..Y~adalah pengamatan bagi pembolehubahrawak Y
1 , Y 2 Y~yang masing-masing bentabunan normal denganm m ~ + fix~,i = 1 n dan varians a2. Fungsi ketumpatan bersamabagi 1~.Y
2 Y~ialah
yl
I
E(lY/x1~) 2 + /1~
x1
Gambarajah 2.1:
~x2
406
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 416/466
\nj2
L(~, /3 , ç2) =
n
R E G R E SI
exp ~ — (~+ uixJ]2}
in
In L(~, /3 , ~2) = — -i in 2ita2 — ~ [_vi— (~ + fixJ]2
Dengan membezakan in Lberdasarkan ~, /3 dan a2 dan samakandengan sifar kita dapati
i3inL
=
[y~ — (~ + fixJ] = 0
[y~ — (~ + fix)] x
1 = 0
älnL n
=
[y~ — (~ + fixJ]2 = 0
atau boich dipermudahkan sebagai
(I) E y 1 — c m — /3 E x1 = 0
(ii) Ex~y1—cxEx1—fiEx~ =0
dan ~
(iii) — tic
2 + L [y~ — ( c m + fi;)]2 = ()
Penyeiesaian bagi persamaan serentak (i) dan (ii) memberikananggaran kebolehjadian maksimum bagi c m dan /3 , iaitu
dan
f l= ; ~ (x~—~)(y~—~)t=i E(x~—
= —
atau
5 in L
op
in
~?
407
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 417/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
di mana ~ dan y ’ ditaknitlcan sebagai
L yjn dan ~ = L x,/n
Sementara dan persamaan (iii) dengan menggantikan a dan /1dengan a dan $ anggaran kebolehjadian maksimum bagi a
2 ialah
,, [y, — ( & + $x32
= L1=1 ‘1
Anggaran bagi kelok regresi dapat diperolehi dengan menggantikan
parameter-parametera dan/I dengan anggaran masing-masing, iaitu
E(Y/x,) = & + fix,
13.4 K a e d a b K u a s a Dna Terkecil
Satu lagi kaedah penganggaran yang sening digunakan, ter-
utama apabila andaian bahawa 1 ’, , ~‘2 .. ~i,adalah normal dipenuhi,adalah yang dinamakan kaedah kuasa dua terkecil. Kaedah m imerupakan pendekatan empirik dalam erti kata Ia mencani
penyelesaian berdasarkan hanya pengamatan bagi sampel, tanpamengira taburan bagi populasi dan mana sampel diambilBagaimanapun jika populasi normal, dapat ditunjukkan bahawa
anggaran kuasa dua terkecil adalah sama dengan anggaran keboleh-
jadian maksimum.
Andaikan bahawa kelok regresi bagi populasi adalah
berbentuk
E(Y/x) = a + fix.
Maka setiap nilai y, bagi pembolehubah rawak Y , boleh ditulis
sebagai
= a + fi~!~+ e,
di mana e , adalah selisih di antara nilai sebenar y dan m m bagi Z.
Dengan andaian bahawa Z;i = 1,2 n adalah tak bersandaran danbertaburan normal m m a + fix, dan varians a2 maka e, = — ( a +
fix,) adalah nilam bagi pembolehubah nawak E, yang bertaburannormal m m 0 dan vanians a2. Jadi pembolehubah rawak 1 ’ , boleh
ditulis dalam bentuk -
= a + fix, + E,
4 08
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 418/466
REGRESI
y
di mana
— —
Gamb.s.jah 3.1
—~ x
( x~,y4 )
( x~,y 6 )
(x7, y1) (x3, y3)
{
a
E(Y/x,) = a + fix,
danE, bertabunan n(0, a2)
Setiap pengamatan dan sampel (y,, x -) memenuhi syanat
= a + fix, + e,
dan kaedah kuasa dua terkedil adalah menentukan supaya pemi-lihan a dan $ supaya jarak di antara pengamatan sebenan daripadaganis regresi adalah tidak jauh penbezaannya. Keadaan m i digam-
barkan dengan gambarajah 3 .1
E( Y /x,) = a + ~
Jarak menegak e, di dalam gambarajah 3 .1 menggambarkan selisih
di antara pengamatan dengan garis regresi pada titik x,. Dalampenentuan selisih adalah kecil, kaedah kuasadua tenkecil mengambil
kuantiti jumlah kuasa dua ralat laitu L ei adalah minimum. Jadi
dalam kaedah m i kita harus memilih a dan fi supaya jumlah kuasadua ralat, yang boleh ditulis sebagai
L e,2 = i~1
[y, — (a + fix,)]2
( ~ )‘ 2 )
( ~5’ y5 )
( X~7)
409
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 419/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 420/466
REORE5I
adalah nilai bagi penganggar tak pincang bagi varians.
Bagaimanapun untuk tujuan pengiraan adalah Iebmh sesual untuk
menggunakan formula
= (s2y —
di mana
- — ~\2 ~ 1x —
s2= E “ “ dans~2=S’’i=1 n—i 1=1 n—i
dan n adalah saiz sampel.
Contob: 3.1Katalah daripada 12 orang kanak-kanak yang dipiih secara
nawak didapatm umur dan berat badan adalah seperti jadual 3 .1 .
Dapatkan kelok regresi bagi menunjukkan hubungan di antaraberat badan dan umur kanak-Icanak tensebut.
Umur(dalasnbulan) 10 21 27 25 17 13 20 27 15 32 19 29
Bcrat(dalamlb) 14 27 38 34 2 1 18 26 36 25 42 2 7 41
Jadual 3 .1 : Berat badan dan umur bagi
12 orang kanak-kanak.
Penyelesaian:Andaikan Y dan X menggambarkan benat badan dan umur
setiap kanak-kanak. Langkah untuk penginaan kelok regresi.
E(Y/x,) = a + fi x
1
dibenikan sebagai jadual berikut.
2y I y
14 10 140 100 19627 21 567 441 72938 27 1026 729 144434 25 850 625 115621 17 357 289 441
18 13 2 3 4 169 32426 20 520 400 67636 27 972 729 1296
4 11
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 421/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 422/466
REGRESI
= 46750
Jadm anggaran bagi a2 ialah
= 8281 1 — P304 (46750)
= 3648
Jika diperhatikan anggaran bagi a dan /3 sama ada denganmenggunakan kaedah penganggar kebolehjadian maksimum ataukaedah kuasa dua terkecil adalah diperolehm dengan formula yang
sama. Keadaan m i tidak semestinya bagi kesemua keadaan. Jikalauandaian normal adalah tidak dipenuhi penganggar kebolehjadianmaksimum akan membenikan anggaran yang berlainan. Sedangkankaedah kuasa dua terkecil menunjukkan bahawa anggaran tensebut
tidak bergantung kepada andaian terhadap pembolehubah rawak Y .
Bagaimanapun, oleh kerana dalam praktiknya andaman normalkerap dmgunakan, maka kaedah kuasa dua tenkecil adalah selalu
digunakan. Tambahan pula untuk kesenangan di dalam inferens
terhadap parameter dan kelok regresi berkenaan, andaian normal
harus digunakan.
13.4 Sifat-silit Penganggar Kuasa D ua Terkecil
Untuk menjelaskan beberapa sifat pentmng bagi penganggar
kuasa dua terkeell maka di sini diberikan beberapa teorem yang
berkamtan. Harus diingat bahawa di sini, kita hanya membmncangkanpensampelan danipada taburan normal.
T eo rer n : 4.1
Sebarang penyetesaman bagi persamaan kuasa dua terkecil
normal adalah meminmmumkan fungsi ,=, [y, — (a + fixj]2.
Teorem: 4.2
Penyelesaian & dan $ di dalam kaedah kuasa dua terkecil
adalah penganggar-penganggar tak pincang bagi parameter-parameter a dan / 3 .Bukti:
Penyelesaian untuk /3 ialah
413
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 423/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 424/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 425/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
penganggar tersebut. Taburan bagi; dan f t boleh diperolehi denganmempersembahkan a dan fi sebagai kombinasi linear
pembolehubah rawak Y ,. Oleh kerana I C , bertaburan n (a + fix,, a 2 )dapat ditunjukkan bahawa taburan bagi kombinasi linear bagi I C ,
juga bertaburan normal.
Teorem: 5.1
Jika IC
1 , I C 2 I~adaiah tak bersandar dan bertaburan n(a +
fix,, a2) maka f i , iaitu penganggar kebolehjadian maksimum atau
kuasa dua terkedil bagi /3 adalah bertaburan normal dengan m m $
dan vanians a2/5(x, — x)2
Bukti:
ft boleh dipersembahkan sebagai
— E(x, — Y c ) ~
P E(x, — x)
iaitu kombinasi linear bagi Y~daiam bentuk
fl= t c~I C , di manac, =
Oleh kenana Y~normal maka f = S c , I C , juga adalah bertaburan
normal. M m bagi ~telah pun ditunjukkan daiam teorem 42 sebagai
fi. Manakala vanians bagi $ ialah
4) = V[Ec, IC ]
= E[V(c, YJ]
= 5[c,2 V(Y,)J
= i#1 c,2 ~
iaitu
v’~ — ______ I —21=1 LE(x, — x )
— 2 ________
— ~ ~(x, —
416
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 426/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 427/466
KEBARANGKAL!AN DAN STATISTIK
—
1i ‘x —x~ 1 2V(a)= a251——’ I
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 428/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 429/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 430/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 431/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
taburan t dengan 1 0 darjah kebebasan. Daripadajadual taburant~o~
didapati t.025 = 2228. Anggaran bagi 95% selang keyakinan bagi ~
ialah
1366 — 2228(1873) c y .c 1366 + 2228(1873)
atau
—2806 c ~ < 5539.
Anggaran bagi 95% selang keyakinan bagi f i ialah
1304 — 2 228 (O •0842 ) .c fi < 1304 + 2•228(O•0842)
atau
1116 < f i < 1492 .
Bagi menguji H 0 : ~ = 0 dengan H 1: i # 0 maka kita harus menotak
H0 jika t c — t~2atau t > ç 1 2 di mana
= & — O = 1366 = 07291873
Bagi ujian bersaiz ~ = &05 didapati t .025 = 2228. OIeh kerana i t =
&729 < i t .0 25 kita harus menerima H0. Sebagai kesimpulan dapatdikatakan bahawa parameter ~ adalah tidak berbeza dan 0.
Bagi menguji H0: f i = 0 dengan H1 f i 0 maka ujian bersaiz a =
005 maka kita harus menolak H0jika i t — it.025 atau i t > it.025 dimana
Daripada pengiraan didapati it = ff0842 = 1548.
OIeh kerana it.025 = 2228 maka it = 1548 > it.025. Jadi kita harus
menolak H0 pada tingkat 5% aras keertian.
Sebagai peningatan, ujian bagi hipotesis yang diberikan botch juga menggunakan selang keyakinan yang telah diperolehi. Jikalauselang tersebut mengandungi nilai sifat maka hipotesis nut adalahditerima, dan jika tidak H0 terpaksa ditolak. Bagi set hipotesisberbentuk lain kaedah mi tidak botch digunakan.
4 2 2
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 432/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 433/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 434/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 435/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 436/466
REGRESI
atau
1592 < c 18 -09Anggaran bagi 957~setang keyakinan bagi Y
1 2 iatah
C 1 12 — 21-25 — 2.228(1-9O9)~jl + + 51425 < Y ’2 < y’2 +
2-228(1-909) . f + 1 ~+ 12—2125
atau17 -01 — 4~39< y
12 < 17~0l+ 439
atau
12 -62 .c c 21-40
Jadi dapat dikatakan bahawa 95% setang keyakinan bagi m m benat
badan bita umun I tahun ialah di antara 1592 dan 18 -09 paun.
Sementana 957~setang keyakinan berat badan seorang kanak-kanak bib umur kanak-kanak 1 tahun iatah di antana 12 -62 hingga 21-40
paun.
13.8 Analisis Varians dalam Regresi
satu model regresi linear mudah
benkenaan dengan parameter-
kita perhatikan pula pendekatanyang berlainan iaitu cuba memecahkan variasi ìç di sekitan m m ykepada komponen-komponen sebagaimana yang dibenikan dalamkes analisis varians.
Variasidi antara pengamatan y, di sekitan m m yadalah diukundengan jumlah kuasa dua total iaitu
JKT = E U ’ —
Bila kita kenakan pendekatan negresi terhadap y, maka variasi di
sekitar y, dan kelok regresi adalah
—
di mana
= & + fix,
Kita telah pun membentuk dan membincangkan inferens
parameter benkenaan. Sekanang
4 2 7
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 437/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
Ukunan bagi variasi m i adalah menupakan ukunan bagi nalat yang
timbul dan nilai sebenan yang benbeza daripada nilai yang dianggaroleh kelok regnesi. Ukunan vaniasi m i dibenikan oleh jumlah kuasadua ralat, JKR yang ditaknif sebagai
JKR = —
Jika JKR m i adalah sifarmaka kesemua nilai y, adalah jatuh di atas
kelok negnesi.Satu lagi vaniasi yang timbul adalah di antana m m sebenan bagi
y, iaitu
3Tdengan titik-titik di atas ketok negresi. Ulkunan bagi vaniasim i dibenikan oleh jumlah kuasa dua regresi, JKR~dan ditaknif
sebagai
JKRe boleh dianggan sebagai pengukuran vaniasi Y~benhubung
dengan kelok regnesi setelah nalat bagi Y~dihapuskan. Jika semakinbesan nilai JKRe berbanding dengan JKT~maka tebih besan kesanketuk regresi dalam menjelaskan varisi total dalam pengamatan Y,-
Hubungan di antana ketiga-tiga komponen tadi botch
ditunjukkan sebagai
— 9 = — ~ + Y~ —
dan jumlah kuasa dua bagi tiap-tiap selisih adatah
- 9~2= ~ ( 9 , - )2 + E — 9 , )atau
JKT= JKRe + JKR
Pemecahan bagi danjah kebebasan bagi tiap-tiap komponenyang berkaitan boleh dilakukan dengan eana yang sama. Darjahkebebasan bagi JKTadalah ii — 1 oteh kerana satu daripadanya
hilang di dalam membeni kekangan bahawa L(y, — j)2 = 0. Danjah
kebebasan bagi JKR tetah pun ditunjukkan dalam seksyen lepassebagai n — 2. Dua danjah kebebasan hilang di datammenganggarkan parameter a dan f i . Sementara danjah kebebasanbagi JKR~ialah perbezaan di antana darjah kebebasan JKTdan JKR iaitu 1 .
4 28
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 438/466
REGRESI
Jikatau komponen jumlah kuasa dua di bahagikan dengandarjah kebebasan masing-masing maka kita akan dapat m m kuasadua bagitiap-tiap komponen, yakni
MKRe = JKR,.
MKR =
n— 2
Keputusan-keputusan m i adatah lebih sesuai jika diningkaskan
dengan menggunakan jadual anatisis vanians
Punca variasiJumlah
San duadaijab
kebebasanMi.
kin,. dat.Janglcaan
bagiMi. kuasa dua
RcgrS
Ralat
JKRC
JKR
1
n—2
MKRC
MKR
O 2+fl(x~—x}
a2
Total •JKT n—i
J a d u a l 8.1: J ad ua l an al is is va r i ans untuk masa lah regresi
Penginaan bagi jumlah kuasa dua botch diperotehi denganmenggunakan formula-formula benikut.
Ey,2 JKT= LY, —
n
JKRe = fl2E(x —
‘I 2
JKR= ~ [~— ( & + fixa] = (n — 2)~
Analisisvanians ke atas regresi boleh digunakan untuk menguji
H 0 fi = 0
H~ fi 0
set hipotesis
Ujian terhadap hipotesis m i diperolehi dengan membandingkan MKKe dan MKR datam bentuk benikut:
4 2 9
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 439/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
— MKReF MKR
Asas bagi penbandingan m i botch dilihat dan perbandingan jangkaan bagi MKRC dan MKR. Jika fi bukan sifar maka nisbah F
akanlebihbesardanipadasatuotehkenana E(MKR,) = a2 + fi2E(x,
— k)2adalahlebih besardanipada a2.Jadijika nilaiF adatah besar
kita akan cenderung untuk menotak hipotesis nul bahawa f i = 0 .Untuk mendapatkan E(MKR,,) dan E(MKR) dan seterusnya
taburan yang digunakan untuk ujian tersebut kita terpaksa gunakankenyataan bahawa JKR~dan JKR bertabunan Chi-kuasa dua
dengan danjah kebebasan masing-masing ialah I dan ii — 2.Seterusnya dapat ditunjukkan bahawa ujian bagi set hipotesis
di atas adatah berdasarkan tabunan F dengan 1 dan n—2 darjahkebebasan. Hukum membuat keputusan bagi ujian bersaiz a iatahharus menotak H, jika
F >f 2(l,n—2)
di manafjl, n— 2) diperolehi danipada jadual F(l, n—2) supaya
P(F >f,(1,n—2) = a
Contoh:8.1Berdasarkan pengiraan datam contoh 3 .1 , gunakan anatisis
vanians untuk menguji hipotesis
H, fi = 0
H1 fi 0
Penyetesaian:Penginaan danipada sampet memberikan:
(~)2
JKT= E U ’ — ~2 = EYE
2 —
3492
= 1106! —
= 91092
JKRe = $2 1 E (x — ~)2 = 13042 [Ex2 — (Ex~2]
= 1.3042 (51425)
4 30
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 440/466
RaGRE5I
= 874-44
.JKR = (12 — 2 ) d 2 = 36-48
Puncavariasi
JUInIaIIkuan dii.
Darjalikebeba.an
Ml.kuan dua
Pcngiraan f
Regresi
Ralat
87444
36-48
1
1 0
87444
3.648
2397
Total 910-92 ii
Jadual 8.2: Jaclual analisis varians contoh 8. 1
Bagi ujian bensaiza = 0-05 nitaiJ’,05(1, 1 0 ) = 4-96.Olehkenanaf=
239~7 > 496 maka kita harus menotak H,. Sebagai kesmmpulandapat dikatakan bahawa f i bukan sifan. Tendapat hubungan regresi
yang benmakna di antara Ydan X.
Katau dipenhatikan analisis varians bagi regresi linear mudahadalah menghasilkan keputus,an yang sama dengan ujian i t terhadap
parameter fi . Dalam keadaan yang tebih umum keadaan mi tidak
semestinya. Kita akan dapat penhatikan perbezaan dengan lebih jelas apabita kita membincangkan regnesi. benbilang pembolehubahnanti.
13.9 Regresi Berbilang Pembolehubah
Bentuk yang tebih umum datam masatah regnesi iatah apabila
kita ingin menganggar atau menamalkan nilai pembotehubah rawak Ybendasarkan set nilai pembotehubah yang dianggap tetap X1, X2,...X~.Misatnya,didalam meramalkan berat badankanak-kanak kita
mungkin harus memerhatikan bukan sahaja umur kanak-kanak tersebut tetapi juga berat badannya semasa lahin. Di datam kes m ikita menghadapi masalah mencari hubungan negnesi di antana benat
badan Ydengan set dua pembotehubah yang dianggap tetap iaituumun, X1 dan berat badan masa lahir, X2.
Jika satu sampel nawak bersaiz ii danipada satu poputasi
pengamatan bagi sampel tensebut botch digambankan dengan set{x,, x2 , ... x, ; y, } ; i = 1, 2,..., n . Setiap nilai Y~adalah nilai bagi
431
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 441/466
KE BA RA N GK A LIA N D A N STA TI5T IK
pembolehubah nawak Y yang tak bersandan dan masing-masing
hentabunan normal dengan m m
E(Y) = E(Y/~.x,2, ...xk) = /3 , + /3 , x,~+ /~2 x,2+ + fi~
3Q k
dan mempunyai vanians yang sama a 2 . Parameter / 3 , , $~.., fi~adalahparameter regresi yang menentukan hubungan di antara Ydan X
1,X2 .. . X~,dan harus dianggarkan dengan menggunakan pengamatansampel.
Dalam pengafiggaran bagi parameter-parameter regresi m i,kaedah yang sama seperti kes regresilinearmudah bolehdigunakan.Bagaimanapun untuk tujuan penjelasan bagi masatah regresi
berbilang pembolehubah mi kita hanya membincangkan kes dimana hanya terdapat k = 2 pembotehubah tetap denganmenggunakan kaedah kuasa dua terkeeil.
Ada baiknya jika diingatkan di sini bahawa kes berbilangpembolehubah adalah lebih sesuai jika kita menggunakan
pendekatan matniks. Pendekatan m i, bagaimanapun tidak akandibineangkan di sini.
Jika hubungan regnesidiantara Ydandua pembolehubah tetapX1 dan X2 adalah datam bentuk linear
E(Y,) = / 3 , + /3, x ,1 + #2
maka setiap pengamatan danipada sampel botch ditutis sebagai
= fib + fl~ x ,1 + /~2X,2 + C 1
di mana e , adalah selisih di antara nilai sebenar Y~dan kelok regresi.Penganggaran dengan kaedah kuasa dua terkecil memerlukan
supaya
# = (y~ — (3, — fi~ x a — /~2 x1 2) 2
adatah minimum. Dengan menggunakan terbitan separaberdasankan / 3 , , fi~dan $2 dan menyamakan dengan sifarkita akandapat tiga persamaan serentak linear:
— nfl, — $1 Ex,1 — fl~tx,2 = 0
E Y , x,, — fi~ Lx,, — fi~tx,12 — $2 Ex,~ x,, = 0
L Y , x, 2 — (3,Ex,2 — fi~ Lx,, x,2 — $2 tx,2
2 = 0
4 32
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 442/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 443/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 444/466
R E G R E S I
/ 349x255’\/ 255><69 — - 1 2 )~1494 —
/ 255 x 69\2
— 1 2 )
= —~ = 0-00436558
— L3041 ~ — 0~0043(?-;) = 13465
OIeh i t u anggaran bagi ketok regresi iatah
y = L3465 + 1 - 3 0 4 1 X , , + 0-0043 X 2
Sebagai p e r h a t i a n h a r us d i i n g a t k a n di sini bahawa formula
yang telah digunakan untuk penganggaran /3,, /3~dan f~2yang telah
dibeni adalah sukar untuk digunakan. Adalah tebih mudah jika
tertebih dahulu setiap pengamatan bagi Y , X1 dan X2 d i t u k a n k a n ke
datam b e n t u k yang serupa sisihan danipada m m sampet masing-masing. Yakni jika ditaknif
dy’, = Y~ — Y
dX,,= x, , i,
dX21= x ,2 —
maka p e n y e l e s a i a n untuk penganggar-penganggar bagi / 3 , , /3 , dan $2
akan menjadi
— (Ed~y,dX,3(EdX2?) — (Edy, dX21) (LdX,, dX21)
— (ZdX~)(LdX~) — (EdX~,dX21)2
p = (Edy, dX 21 ) (EdX,~) — (Ldy, dx,,) (EdX,, dX21)
2 (tdX,2) (EdX~) — (LdX
1, dX2J 2
$0 = Y — —
Formula di a t a s a d a l a h lebib senang diingati dan digunakan untuk
tujuan pengiraan.
435
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 445/466
KEBARANGKALIAN D A N STA TISTIK
C o n t o h : 9.2Berdasarkan d a t a dalam contoh 9 . 1 l a n g k a h - I a n g k a h p e n g i r a a n
k e l o k r e g r e s i
= 1 3 0 + 1 3 ~ x ,1 + $2 x1 2
adalah sepenti benikut:
Jadual 9.2: Langkah-Iangkah pengiraan anggaran parameter-contoh
Oleh i t u anggaran b a gi /3 , , /3 , dan $2 ialah
(670—75) (14-22) — (36-25) (27 -76)$1 =
(514-22) (1422) — (27.76)2
(36 -25) (51422) — (67075) (2776) —
$2 = 0 -0031(514-22) (1422) — (27.76)2 —
= 29-08 — 1-3042(21-25) — 0-0031(5-75) = 1 -3479
dy dx, dX2 dydXj dydX2 dX1dX2
yj x1-~1 x2- t 2
dx! dx!
— 1 5- 08 — 1 1 - 2 5 — 0 - 75 1 6 9 - 6 5 1 1 - 3 1 8-44 1 2 6 5 6 0- 56 — 2 - 0 8 — 0 - 2 5 — 1 - 7 5 0 - 5 2 364 0- 06 0 . 0 6 8 - 0 6
8 - 92 5 - 7 5 1 . 2 5 5 1- 29 1 1 ~ 1 5 7 - 1 9 33- 06 1 5 64- 92 3 . 7 5 1 - 2 5 1 8 - 4 5 6 - 1 5 4- 69 1 4- 06 1 - 5 6
— 8 - 0 8 — 4- 25 0 - 2 5 8 4 - 34 — 2 - 0 2 — 1 - 0 6 1 8 - 06 0- 06
— 1 1- 08 — 8 - 2 5 0- 25 ? 1 . 4 1 — 2 - 7 7 — 2 - 0 6 6 8 - 06 0- 06
— 3- 08 — 1 - 2 5 — 0 - 7 5 3 - 8 5 2 - 3 1 0- 94 1 - 5 6 0- 56
6- 92 5 - 7 5 1 - 2 5 39~79 8 - 6 5 7 1 9 33- 06 1 - 5 6 — 4- 08 — 6 - 2 5 — 1 - 7 5 2 5- 50 7 - 14 1 0 - 9 4 39- 06 3- 06
12~92 1 0 - 7 5 — 0 - 7 5 1 3 8 - 8 9 —9~69 — 8 - 0 6 1 1 5 - 5 6 0 - 5 6
— 2 ~ 0 8 — 2 - 2 5 1 - 2 5 4- 68 — 2-60 — 2 - 8 1 5 - 0 6 1 - 5 6
11 - 92 7 - 7 5 0 ~ 2 5 92- 38 2 - 9 8 1 - 9 4 6 0 - 0 6 0- 06
670-75 36-25 27-76 5 1 4 - 2 2 1 4 - 2 2
= 1-3042
Diperhatikan bahawa anggaran bagi parameter berkenaan adalahhampin sama sebagaimana yang didapati datam contoh 91.
Perbezaan yang sedikit mi lahir danipada kesilapan menggenap
angka-angka di dalam pengiraan.
Untuk menguji sama ada wujudnya hubungan regresi linearyang benmakna di antara Ydan X1, X2 kita botch menggunakan
4 36
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 446/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 447/466
KE BA RA N GK A ILIA N D A N STA TISTIK
Untulc tujuan pengiraan jumlah kuasa dua yang benkenaan
adalah lebih sesuai jika digunakan formula-formula benikut:
JKT = .ty,2 —
JKR = Ly,2 — &ty, — fl,Ex,,y, — $2tx,2y,
Contoh:9.2 JKR~= JKT— JKRBerdasarkan masalah datam contoh 9 .1 u j i samaada terdapat
hubungan regresi linear yang bermakna di antara berat badandengan umur dan berat masa lahin,Penyelesaian:
Model:
= / 3 , + $,x,1 + /32x,2i n g i n menguji
H,: /3, = 0 dan #2 = 0
dengan H, : salah satu tidak bernilai sifan.
Katalah ~ = -05 makaf05(2, 9) = 4 -26
Pengiraan dan sampel:3492
JKT= 11061 — 2 = 910-92
JKR= 11061 — 1 -3465 (349) — 1-3041 (8087) —0-0043(2043)
= 3&03
JKE= 910-92 — 36 -03
= 874-89
Keputusan benikut dibenilcan sebagai jadual analisis vanians:
F - PuncanSgl
Juntlikuasa dun
Darjahkebebasan
M m
Sass dunPengkaan
f
Regresi
Ralat
Total
8 7 4 - 8 9
36- 03
9 1 0 - 92
2
9
1 1
4 3 7 - 4 5
4- 00
1 0 9 - 36
Jadual 9.3: Jadual analisis varians bag i contoh 9. 1
438
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 448/466
REGRESI
Keputusan:
Oieh kenanaj = 1 0 9 - 3 6 > J~(2 , 9 ) = 4 -26 maka kita harus
menolak H, pada tingkat 5% a r a s k e e r t i a n . Dan kesimpulannya
i a la h terdapat hubungan r e g r e s i l i n ea r yang bermakna di antaraberat badan dengan umur dan berat masa l a h i r .
1 3. 1 0 R e g r e s i L i n e a r Bagi Hubungan Bukan L i n e a r
Jika hubungan di antara pembolehubah rawak denganpembotehubah ditetap adalah menunjukkan tanda-tanda bukanl i n e a r maka a d a i a h tidak sesuai jika dikenakan kelok regresi linear
bagi hubungan tersebut. Seharusnya bentuk asal hubungan tensebuta d a t a h d i k e k a l k a n . Di dalam penentuan bentuk-bentuk tersebuts e t a t u n y a k i t a berpandukan t e o n i - t e o n i yang b e r k ai t a n a t a u pu n
dengan memerhatikan gambanajah seakan bagi data danipada
sampet. Jilca hubungan regresi telah dapat ditentukan maka kaedah-
kaedah kuasa dua terkecil atau kebolehjadian maksimum
dikenakan bendasankan bentuk hubungan tersebut, di datam
pengangganan b a gi parameter-parameter berkenaan. Bagai-
manapun a d a l a h agak sukar untuk menentukan penganggan ter-
sebut di dalam kes bukan linear.Datam pada i t i r t e r d a p a t j u g a k e s - k e s bukan l i n e a r yang boleh
d i j a d i k a n l i n e a r dengan senang melatui transformasi tenhadap
hubungan i t u . Sebagai misatan hubungan bukan linear yang
berbentuk
E(Y) =
dapat d i ja d i lc a n hubungan l i n e a r dengan mengambil l o g a n i t m a j a t i
bagi kedua-dua belah pihak; yakniIn E(Y~)= in ~ + x, in/I
K i t a p e rh at i k an bahawa hubungan mi adalah linear dan segi
parameter j i k a hubungan tersebut dianggap sebagai
di mana
* — /4,, — ~ + f3~x,
= In E(Y3, f = In ~ dan / 3 * = I n $
439
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 449/466
KEBARANGKALIAN D A N STA TISTIK
Sekarang jika k i ta mempunyai pengamatan ( x , , y , ) I = 1,2,..., nmaka kelok r e g r e s i yang memenuhi hubungan tersebut ialah
E(Y,) = 2$Xj
a t a u dalam b e n t u k l o g a r i t m a j a t i
/4~,= 2* + /j* x1
Seti~ppengamatan b o l e h d i t u l i s s e b a g a i
d i mana
— 2~+ 1 3 * xi—
*
yl = i n y~
Bentuk hubungan di atas adalah linear di antara y~dan x,. Jadi
kaedah kuasa dua tenkedil boleh dilakukan terhadap model misebagaimana biasa. Anggaran-anggaran bagi & * dan $* boleh
diperolehi sebagaimana di dalam kes negnesi linear mudah yang
t ela h d i b e n i k a n d i s e k s y e n lep a s dengan menggunakan set data In y,,
x , ) I = 1 , 2 n . Angganan bagi kelok regresi dipenolehi denganmenggantikan p dan $* ke dalam bentuk asal, iaitu
di mana
= &$Xi
~=e dan $ = I
Contolr 10.1Katalah kita mempunyai data
z~ 2 4 1 0 3 5 6
y1 7 1 2 2 0 6 1 0 1 5
Gunakan kaedah kuasa dua terkecil untuk mendapatkan anggarankelok regresi yang berbentuk E(Y,) = ~ x(.
440
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 450/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 451/466
KE BA RA N GK A IJA N D A N STA TISTIK
Oieh kerana
a t a u
2* = ln2
2 =
maka angganan bagi ~ ialah
2 =
=
= 3-5909.
Jadi angganan bagi kelok regresi ialah
= 3-5909 x~°7384
Flarus diingat bahawa d i daiam melakukan tnansformasitenhadap pembolehubah rawak ì ç , d i dalam k e s d i a t a s d i t u k a r k a n
kepada logaritma, taburan bagi transformasi tensebut bukan lagi
n o r m a l . Ja d i kaedah penganggaran k e b o l é h j a d i a n maksimum
adalah berbeza daripada yang teiah diberikan untuk taburannormal. Begitu juga dengan masalah inferens terhadap parameter-
parameter berkenaan. Ia harus diperhatikan dengan lebih teliti.
Latihan Bab 13
1 3 . 1 Katalah pengamatan benpasangan dua
a d a l a h s ep er t i b er i k u t :
pemboiehubah rawak X, Y
(a) Dapatkan kelok regresi linear bagi hubungan py = 2 + fix,
( b ) Dapatkan k e l o k r e g r e s i l i n e a r b a g i hubungan Px = ‘~+ fl)’~
x
y
K
2 6 8 4 5 6 3
y
7 - 3 5 1 2 - 8 17 8-7 1 0 - 8 1 3 - 1 5 6 - 9
7 6
1 4 - 8 1 3 • 2
4 4 2
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 452/466
R E G R E S I
(c ) Dapatkan anggaran vanians bagi 1 ’ .
(d) Dapatkan angganan varians bagi 2 dan ft
13.2 Data d i bawah adalah menunjukkan umur dan benat badan bayi
b a g i 9 b a yi yang dipiih secara rawak.
Umurdalambulan 1 5 1 0 1 3 1 1 2 0 1 6 1 1 1 5 1 8
B er a t d a l a ml b . 4 3 4 0 4 1 2 0 5 0 4 5 25 4 6 5 0
( a ) Dapatkan k e l o k r e g n e s i linear bagi hubungan benat badandengan umur bayi.
(b) Uji sama ada pekali pintas iaitu 8 adalah lebih besar danipada4 .
(c ) Dapatkan 95% selang keyakinan bagi kedua-dua parameterregresi.
13 .3 Daripada sampel yang mengandungi 1 00 pasang pengamatan (y,,
xj d id a p a t i
Lx, = 50 Lxf = 60 Ey~ = 400
E y , = 1 50 Ex,y, = 120
Dapatkan angganan bagi kelok regresi linear bagi hubungan Y
dengan X. Dapatkan juga anggaran vanians bagi (a) Y(b) Han (c )
p~di mana Y adalah penganggar regnesi linear bagi Y .
13.4 Daripada data yang diberi dalam soalan 12 .1 ;( a ) Dapatkan 95% se l a ng keyakmnan b a gi penganggar mm r e g r e s i
b a gi Y .(b) Uji s et hipotesis
JI,:fl=0 H 1:fl ,‘ 0
( c ) Vu s et hipotesis H, a = 0
H1:a >0
( d ) Uji sama ada dakwaanbahawa jika x = 55 maka p~= - 1 3
a d a l a h t id a k benar dengan menggunakan 5% aras keertian.
443
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 453/466
KEBARANGKALIAN D A N STA TISTIK
1 3 . 5 M e r u j u k le ep a d a d a t a s o a l a n 1 3 .2 .(a ) Dapatkan angganan titik dan anggaran selang bagi benat
b a d a n b i l a seorang bayi itu berumur (i) 1 0 b u l a n (ii) 2 tahun~( b ) D a p a t k a n a n g g a r a n titik dan anggaran selang bagi purata
berat badan seonang bayi yang baharu dilahirkan.
Dalam k e d u a - d u a k e s g u n a k a n 95% selang keyakinan.
1 3 . 6 B a g i d a t a d a l a m s o a l a n 1 3 . 1 b i n a ja d u al a n a l i s i s v a r i a n s dan u j i
h i p o t e s i s s a m a ada t e n d a p a t h u b u n g a n n e g n e s i l i n e a r d i antara Y
d a n X . B a n d i n g k a n k e p u t u s a n u j i a n mi d e n g a n k e p u t u s a n 1 3 . 4 b .
13.7 B a g i d a t a d a l a m soalan 13.2 bina jadual analisis varians dan uji
s a m a ada t e r d a p a t hubungan linear di antara berat badan danumur b a y i .
1 3 . 8 Untuk p e n g a n g g a r a n d en g a n k a ed a h k u a s a d u a t e r k e c i l l e b i h
b e r m a k n a maka h a r u s d ia nd a ik a n Y 1 adalah bertaburan normal.
B i n c a n g k a n .
1 3 . 9 Katalah Y~adalah bertaburan Poisson dengan m m p~= a + fix,.J i k a n p a s a n g p e n g a m a t a n ( y , . x , ) : I = 1 , 2 , ... n d i a n i b i l d a n i p a d a
taburan tersebut dapatkan penganggaran bagi kelok r&gresi
Y = a + fix, + E 1
dengan menggunakan (a) kaedah kuasa dua terkecil dan (b) kaedahk eb o l e h j a d i a n maksimum.
1 3 . 1 0 Ji ka h u b u n g a n d i a n t a r a Ydan X adalah d a l a m b e n t u k= fix,
dapatkan anggaran bagi / 3 dengan menggunakan kaedahkuasa duaterkedil. Anggapkan kita mengambil n pasang pengamatan (y1, x,)
d a n i p a d a s at u taburan n o r m a l .
J i k a p e n g a m a t a n adalah s e b a g a i m a n a d a l a m s o a l a n 1 3 . 1 , dapatkan
a n g g a r a n b a g i k el ok r e g n e s i m i.
1 3 . 1 1 Katalah h u b u n g a n di a n t a r a Ydan X adalah berbentuk
Mi = fi~
444
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 454/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 455/466
KE BA RA N GK A LIA N D A N 5TA TISTIK
13.15 Katalah seorang abli ekonomi ingin mengetahui hubungan diantara tabungan dengan jumlah pendapatan bulanan bagi
keluarga yang berpendapatan rendah. Bagi pendapatan di antara300 h i n g g a 600 ninggit sebutan tiga keluaran dipilih dan dicatat jumlah tabungan masing. Keputusan adalah seperti jadual dibawah.
Pendapatan aebulan Tabungan aebulan
300 50 100 035 0 50 60 50
400 100 20 30450 15 0 100 80
50 0 100 15 0 80
55 0 15 0 110 120
600 100 80 200
( a ) D a p a t k a n k el ok r e g r e s i b a g i h u b u n g a n t a bu n g an d an
pendapatan.
(b) Jatankan ujian keertian bagi parameter-parameter regresi.(c ) Ramalkan purata simpanan bulanan bagi seorang yang
berpendapatan $410 dengan mendapatkan 95% selang
keyakinan.
(d) Dapatkan 95% selang keyakmnan bagi jumlah tabungan
bulanan bagi seorang yang berpendapatan $250 s eb u la n .
13.16 Bagi hubungan-hubungan benikut:
( a ) p ~ , = 1/(fl0 + f i 1 x)
1
(b) is~= P.,— ~
p, p2 p( c ) p ~ , = fi0x, x2 x3
x, +x2+x3(d) p~-= fi0fi~
( e ) ~ = /3 . ,
D a p a t k a h i a d i p e r s e m b a h k a n s e b a g a i m o d e l r e g r e s i linear?
13.17 Hasil tangkapan ikan tahunan di Pantai Timur Malaysia bagi 10tahun adalah seperti di sebelah.
44 6
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 456/466
REGRESI
Talrnn 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Jumlahtangkapan 1 2 0 1 4 2 2 0 1 1 9 0 100 9 0 1 0 5 1 8 0 1 0 0 1 4 0( ‘ 0 0 0 tan)
(a) Dapatkan kelok regnesi linear bagi tangkapan -tahunan.(b) U ji sama ada terdapat aliran menurun bagi hasil tangkapan
tahunan.
(c ) Ramalkan jumlah tangkapan di tahun yang ke-12.
J3.l8 Menujuk kepada data soalan 13.17 jika hubungan jumlahtangkapan dan tahuii ial-ah
E(1) = a + fl~t + fi~t 2
di mana Yadalah jumlah tangkapan dan t adalah tahun, dapatkankelok regresi bagi data tensebut.
(a) U ji s a m a ada $2 = 0
(b) Ramalkan jumlah tangkapan di tahun yang ke-12 denganmenggunakan model m i.
1 3 . 1 9 Dan 1 5 pasangpengamatan bagi ( 1 ’ , X) didapati keputusan berikut:E,= 220 Ex
1= 360 Ex2= 440
Ex1y = 64710 Ex2y = 709660 Ex,x2 = 1141910
Ex~= 106760 Ex~= 13906340
Dapatkan anggaran bagi k el ok r e g r e s i py = fl, + fi~X1 + $~X2
1 3 . 2 0 Bagi data di dalam soalan 13.1 dapatkan kelok regresi bagihubungan
13.21 Merujuk kepada data dalam soalan 13.2. Katalah diandaikan
bahawa hubungan di antara berat badan dan umur adatahberbentuk
Pr a e’°°~
( a ) D a p a t k a n a n g g a r a n b a g i kelok r e g r e s i t e r s e b u t .
(b) Ramalkan berat badan bagi bayi yang berumur 2 tahun.
44 7
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 457/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 458/466
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 459/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
bersyarat
bertumpubertumpu secana stokastik
Beta, taburan
bezaan
Binomial, taburan
Binomial negatif
Cekap
cekap secara asimptotik
Chi-kuasa dua
d o m a i n
darjah kebebasan
deskriptif
t a k b e r c a n t u m
d i s k n i t
conditional
convergeconverge stochastically
— Beta distribution
d i f f e r e n c e
— Bi n omi al d i s t r i b u t i o n
negative Binomial
— e f f i c e n t
— assymptotically efficient
Chi-square
— domain
— degree of freedom
— d e s c r i p t i v e
— disjoint
— discrete
eksponen — exponential
f u n g s i k e t u m p a t a n
kebarangkalian
fungsi kuasa
fungsi nilai sahihfungsi penjana momen
function
— Gamma function
— likelihood function
density function
— joint density function
conditional density function
— marginal density function
— pr ob ab i li ty d e n s i t y f u n c t i o n
— power function
— real-valued function — moment generating function
fun gsi
f u n g s i Gamma
f u n g s i k e b o l e h j a d i a n
fungsi ketumpatan
f u n g s i k e t u m p a t a n b e r s a m a
fungsi ketumpatan bersyarat
f u n g s i k e t u m p a t a n m a r g i n a l
450
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 460/466
SENARAI ISTILAH
k e s a t u a n
g ambarajah r a n t i n gg ambarajah V e n n
Gamma, taburan
ganis regresi
Geometni, taburan
had
h a d k a n a n
had k i n
hasildarab
Hipergeometri, taburan
hipotesis
h i p o t e s i s
hipotesis
h i p o t e s i s
h i p o t e s i s
hipotesms
hubungan
hukum Bayes
hukum nombor besar
induktif
inferens
i n f i n i t ( t a k t e r h i n g g a )
— u n i o n
—
t r e e d i a g r a m — V e n n d i a g r a m
— Gamma distribution
— regression line
— Geometric distribution
— l i m i t
— r i g h t - h a n d l i m i t
— left-hand limit
— p r o d u c t
— hypengeometric distribution
— hypothesis
— alternative hypothesis
— composite hypothesis
— s i mp le h y p o t h e s i s
— n u l l h y p o t h e s i s
— s t a t i s t i c a l h y p o t h e s i s
— relation
— B a y e s ’s rule
— low o f l a r g e number
— inductive
— i n f e r e n c e
— infinite
f u n g s i k eb a r a n g k a li a n — probability function
fungsi set kebarangkalian — probability set functionfungsi taburan — distribution function
fungsi taburan bersama — joint distribution function
f u n g s i t a b u r a n bensyarat — conditional distribution function
fungsi taburan longgokan — cumulative distribution function
a l t e r n a t i f
majmuk
mudah
n u l
statistik
451
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 461/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
i n f i n i t t e r b i l a n g
jan g kaan
jangkaan matematik
j u l a t
kaedah
kaedah kebolehjadian
maksimum
kaedah kuasa dua terkecil
kaedah momenkamilan
k a w a s a n g en t i n g
kawasan genting paling
berkuasa seragam
k a w a s a n g en t i n g terbaik
k a w as a n p e n en i m a an
kawasan penolakan
tak bersandarank e b a r a n g k a l i a n
(probabititi)
kecekapan r e l a t i f
kehomogenan
k elo k n e g r e s m
k e n d a l i a n set ( o p e r a s i )
b e za k a n ( k e r b e d a )k e sud a h a n
— countably i n f i n i t e
— expectation
— mathematical ex pe ct a t i on
— r a n g e
— sum s q u a r e
— t r e a t m e n t sum square
— method/technique
maximum likelihood technique
— l e a s t s q u a r e t e c h n i q u e
—
method o f moment — i n t e g r a t i o n
— c r i t i c a l r e g i o n
— u n i f ormly m o s t p o w e r f u l
— c r i t i c a l r e g i o n
— b e s t c r i t i c a l r e g i o n
— a cc ep t a n ce r e g i o n
— r e j e c t i o n r e g i o n
— i n depen den ce p r o b a b i l i t y
— r e l a t i v e efficiency
— hemogenemty
— re g re s s io n c u r v e
— set op er a t i on
— d i f f e r e n t i a t e
— outcome
kuasa dua
kuasa dua olahan
j um l a h
jumlah
jumlah
j um l a hj um l a h
kuasa
k ua sak ua sa
dua ralat
dua regresid u a t o t a l
— e r r o r sum s qu a r e
— regression sum square — t o t a l sum s qu a r e
452
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 462/466
5ENARAI ISTILA H
kombinasi
konsisten
korelasi
kovarians
k u a s a
k u a s a b a g i u j i a n
maksimum
m m
m m k u a s a d u a t o t a l
m m sampel
minimum
momen
momen pertama
momen ke-k
multinomiat
nisbah
n-kali
nulnombor sahih
normal, taburan
normal piawai
— combination
—
consistent — correlation
— covaniance
— power
— power of the test
— maximum/maxima
— mean
— mean square
— mean s q u a r e
— mean s qu a r e
— mean s qu a r e
— mean s qu a r e
— sample mean
— m i n i m u n / m i n i m a
— moment
— first moment
— k t h moment
— m u l t i n o m i a l
— propotion
— n-tuple
— n u l l
— real number
— normal distribution
— standard normal
olahan — treatment
parameterparameter lokasi
— parameter — location parameter
m m kuasa dua
m m k u a s a d u a o l a h a n
m m k u a s a d u a r a l a t
m m k u a s a d u a r e g r e s i
treatment
error
regression
total
453
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 463/466
KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK
pelengkap
pemberat (wajaran)p e m b o l e h u b a h
pembolehubah rawak
pembolehubah rawak
t a l c b er s a n d a r
pembolehubah rawak
bergantung
p e m b o l e h u b a h r a w a k
diskrit
pembolehubah rawak
selanjur
penganggar
penganggar cekap
penganggar cekap
secara asimptotik
penganggar kebolehjadianmaksimum
penganggar konsisten
penganggar kuasa dua
terkecil
penganggar pincang
penganggar talc pincang
penganggar tak pincang
terbaik
penganggar terbaik
penganggar titik
pengan ggaran
pengangganan selang
pengangganan t i t i k
pengelasan dua cara
pengelasan dua caradengan sating tindak
— complement
—
w e i g h t a g e — v a r i a b l e
— random v a r i a b l e
— independent random
— variable
— dependent random
v a r i a b l e
— d i s c r e t e random
variable
continuous random
v a r i a b l e
— estimator
— efficient estimator
— a s s imp to t ic a l l y
efficient estimator
— maximum likelihoodestimator
— consistent estimator
— least square estimator
— biased estimator
— unbiased estimator
— best unbiased estimator
— best estimator
— point estimator
— estimation
— interval estimation
— p o i n t e s t i m a t i o n
— two way classification
— two way classificationwith interaction
454
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 464/466
5ENARAI ISTILAH
pengelasan dua cara
t a n p a s a l i n g t i n d a k
p e n g e l a s a n s a t u ca r a
pelengkap
p e n g h a m p i r a n
p e n g a n g k a
penumpuan stokastik
penyebut
percubaan
percubaan Bernoulli
percubaan rawak
peristiwa
p e r i s t i w a t a k b er s a n d a r
peristiwa kompoun
penistiwa mudah
penistiwa nul
penistiwa pastipelihatur
p i n c a n g
pintasan
Poisson, taburan
kebarangkalian
kebarangkalian bersyarat
kebarangkalian teraruhkebarangkalian kekerapan
relatif
r a l a t
ralat jenis I
r a l a t j e n i s I I
r a l a t p i a w a i
ralat ujikaji
— two way classification
w i t h ou t i n t e r a c t i o n
— on e way c l a s s i f i c a t i o n
— complement
— approximation
— num e r a t o r (pe n g at as )
— stochastic convergence
— d e n o m e n a t o r
— t r i a l / e x p e r i m e n t
— Bernoulli trial
— random experiment
— ev en t
— independent event
— compound event
— simple/elementary event
— null event
— s u r e ev en t
— permutation
— b i a s
— i n t e r c e p t
— Poisson distribution
— probability
— conditional probability
— induced probability — relative frequency
probability
— error
— t y p e I e r r o r
— t y p e 1 1 e r r o r
— standard error
— experimental error
455
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 465/466
KEBARANGKALIAN DAN STATI5TIK
rama I an
regresiregresi berbitang
pembolehubah
regresi linear
ruang parameter
ruang sampel
ruang sampet
ruang sample
ruang sample
ruang sample
s a h i h , nombor
saling bereksklusif
sating bereksktusif
selang
selang keyakinan
setanjar
selanjar secebisan
set
subset
s e t f i n i t
set i n f i n i t
set kosong
s e t n u t
s e t u n i v e r s a l
sifat pelupa
s a t i n g t i n d a k
s i s i h a n
sisihan piawaistatistik
— prediction
—
regression — multiple regression
— linear regression
— parameter space
— sa m p l e s pa ce
— d i s c r e t e sample s p a c e
— finite sample space
— infinite sample space
— c o n t i n u o u s sa m p l e s p a c e
— r e a l number
— r e a l number
— mutual exclusive
— i n t e r v a l
— confident interval
— c o n t i n u o u s
— piecewise continuous
—set
— subset
— f i n i t e set
— i n f i n i t e s e t
— e m p t y s e t
— n u l l s e t
— u ni v er s al s e t
— forgetfulness/memoriless
p r op er t y
— interaction
— d e v i a t i o n
— standard devmation — statistik
disk nt
f i n i t
i n f i n i t
selanjar
456
8/10/2019 KEBARANGKALIAN & STATISTIK
http://slidepdf.com/reader/full/kebarangkalian-statistik 466/466
SENARAI ISTILAH
t a b u r a n
taburan
t a b u r a n
taburan
t a b u n a n
t a b u r a n
t a b u r a n
t a b u r a n -
t a b u r a n
taburantaburan
— Deseniptive stat
— inductive s’tat
— efficient statistic
— biased statistic
— unbiased statistic
— best statistic
— distribution
— B e rn o u l l i d i s t r i b u t i o n
— B i n o m i a l d i s t r i b u t i o n
— negative Binomial distribution
— Beta distribution
— Chi-square distribution
— exponential distribution
— F - d i s t r i b u t i o n
— Gamma distribution
— G e o m e t r ic d i s t r i b u t i o n — l i m i t i n g d i s t r i b u t i o n
statistik
statistik
statistik
statistik
statistik
statistik
berpenihalan
aruhan
cekap
pincang
t a k p i n c a n g
terbaik
B e rn o u l l i
B i n o m i a l
Binomial negatif
Be t a
Chi-kuasa d u a
eksponen
F
Gamma
Geometrihad