dasar teori kapal, mekanika teknik, dan elemen hingga untuk struktur

KL 4099 Tugas Akhir Analisa Struktur Kapal Kayu Menggunakan Metode Elemen Hingga dan Peraturan Biro Klasifikasi Indonesia Lukki Priantomo Raharjo / 15509009 II-1

BAB II

TINJAUAN KEPUSTAKAAN

II.1 Dasar Struktur Kapal

Kapal merupakan moda transportasi laut yang digunakan manusia sejak dahulu kala. Pada

dasarnya kapal adalah benda yang dapat mengapung di air, mampu untuk membawa barang/muatan,

serta memiliki kemampuan untuk menggerakkan dirinya (thrust). Untuk melakukan fungsinya,

sebuah kapal wajib memenuhi kriteria-kriteria teknis dasar yaitu:

- Kekuatan struktur

- Kestabilan

- Kemampuan bermanuver dan bergerak

- Layak laut (seaworthiness)

Pada awal masa peradaban, pengetahuan akan kekuatan struktur kapal didasari oleh

pengalaman dari pemakaian kapal tersebut. Berbagai perbaikan dan inovasi muncul oleh karena

kejadian-kejadian maupun fenomena dari kapal-kapal yang sudah dipakai untuk melaut.Perbaikan

serta perbedaan dalam mendesain banyak terjadi oleh karena kecelakaan dari kapal sehingga secara

konsep pergeseran dari desain suatu jenis kapal terus mengalami perubahan demi perbaikan dari

kemampuan dari kapal itu sendiri. Pada akhirnya, suatu struktur kapal yang baik akan didapatkan

dari pengetahuan yang dapat diterapkan oleh pendesain yang dapat memakai teori yang baik.

Untuk menghindari kegagalan suatu struktur kapal, dalam desain terdapat empat jenis

keadaan batas (limit states) yang biasa dipakai dalam perancangan kapal, yaitu:

- Serviceability Limit State;

- Ultimate Limit State;

- Fatigue Limit State;

- Accidental Limit State.

Sebuah kapal merupakan sebuah struktur yang kompleks yang terbuat dari elemen-elemen

konstruksi yang membentuk suatu bagian fungsional yang berbeda-beda dari kapal tersebut. Tata

cara dalam mendesain setiap bagian diatur dalam klasifikasi-kasifikasi yang berlaku dalam suatu

lingkup area yang memiliki peraturan serta rekomendasi untuk setiap tipe kapal yang didesain. Di

Indonesia, hal ini diatur oleh Biro Klasifikasi Indonesia (BKI) dan untuk kapal kayu sendiri diatur

khusus dalam peraturan BKI Buku Peraturan Klasifikasi dan Konstruksi Kapal Laut yang terbit pada

tahun 1996.

Namun disamping menerapkan peraturan yang berlaku, perancang kapal juga wajib

melakukan analisa-analisa pada struktur menggunakan teori-teori serta tata cara yang berlaku. Hal

tersebut dilakukan untuk memastikan bahwa dari desain yang dibuat dapat secara valid dapat

dinyatakan layak untuk digunakan.

II.1.1 Jenis-jenis Kegagalan pada Struktur Kapal dan Grounding

Kegagalan suatu struktur kapal adalah kondisi ketika salah satu/beberapa bagian dari

struktur berubah kondisi sedemikian rupa sehingga fungsi dasar dan tujuan pemakaian dari kapal


tersebut tidak dapat dijalankan. Menurut jenis kondisi yang terjadi, kegagalan struktur lazim

diklasifikasi menjadi kegagalan struktur dalam kondisi statis dan dinamis. Sehingga, dalam praktik di

industri, proses desain maupun analisa kekuatan suatu struktur dari kapal turut dibagi menjadi

kedua jenis di atas.

Analisa kekuatan struktur dalam kondisi statis yaitu kondisi ketika suatu beban berubah

apabila berat keseluruhan suatu kapal berubah. Kondisi tersebut biasa terjadi ketika:

- Berat dari struktur kapal berubah;

Contoh: perubahan gaya apung suatu kapal akibat modifikasi struktur kapal, perubahan

mesin, maupun perubahan tangki kapal tersebut.

- Berat dari muatan kapal berubah;

- Beban terkonstentrasi yang muncul akibat grounding maupun dry docking.

Selain itu suatu beban dengan siklus kejadian 1000-10.000 kali selama umur pakai kapal juga dapat

digolongkan sebagai beban statis.

Kondisi muka air merupakan hal penting dalam analisa statis oleh karena pada dasarnya

berat dari suatu kapal seluruhnya ditumpu oleh tekanan hidrostatis dari air tempat kapal tersebut

berada. Reaksi dari perairan terhadap kapal seperti yang disebutkan merupakan gaya apung.

Penyebaran dari distribusi gaya apung dan distribusi beban kapal yang tidak merata menyebabkan

terdapat 2 kondisi khusus yang terjadi pada kapal sehingga struktur keseluruhan kapal tersebut

berpotensi mengalami kegagalan. Kondisi tersebut dikenal dengan sebutan sagging (gambar 2.1.1a)

dan hogging (gambar 2.1.1b).

Gambar 2.1.1 Sagging dan Hogging

(sumber: Ringsberg, J. Bahan Kuliah. University of Chalmers. 2012)

Gelombang yang terjadi pada perairan dapat menyebabkan kondisi sagging dan hogging yang

lebih ekstrim oleh karena distribusi gaya apung pada kapal mengikuti elevasi muka air yang terjadi

(gambar 2.1.2). Pada kasus nyata, perubahan dari elevasi muka air merupakan kondisi dinamik

(bervariasi terhadap waktu).Akan tetapi dalam analisa kekuatan struktur kapal, kondisi ini dapat

diasumsikan sebagai kondisi statis (suku inersia diabaikan) karena kapal dianggap sebagai benda

kaku yang bergerak pada gelombang dan percepatan dari kapal diabaikan.


Gambar 2.1.2 Sagging dan Hogging Akibat Pengaruh Gelombang Air Laut


Pada kasus-kasus yang terjadi, mengacu pada Prof. J. Ringsberg, penyebab kejadian gagalnya

(failures) suatu struktur kapal dibagi menjadi:

- Kebakaran dan ledakan;

- Tabrakan;

- Grounding;

- Korosi;

- Ketidaksempurnaan/kesalahan fabrikasi;

- Gelombang ekstrim;

- Keruntuhan tenggelam;

- Operasi pada suhu rendah yang ekstrim;

- Kargo yang bersifat cryogenic.

Gambar 2.1.3 Statistik Penyebab Kegagalan Struktur Kapal


Kebakaran dan Ledakan, 15%

Tabrakan, 15%

Grounding, 24%

Keruntuhan Tenggelam, 27%

Lainnya, 19%

muka air tenang


Grounding (gambar 2.1.4) merupakan kondisi kapal ketika bagian lunas bawah maupun

lambung kapal mengenai dasar periran atau dapat dikatakan beban kapal keseluruhan tidak

sepenuhnya ditanggung oleh gaya apung akibat tekanan hidrostatis. Hal ini dapat terjadi oleh karena

pasang surut yang terjadi pada perairan maupun karena kapal mengalami kelebihan muatan pada

saat kegiatan muat di pelabuhan. Berbeda dengan kasus impact/contact yang menyebabkan kapal

bersinggungan dengan dasar perairan dalam waktu yang sangat singkat, kasus grounding dapat

digolongkan menjadi kasus statik oleh karena perubahan arah dari, lokasi terjadinya, maupun besar

dari beban yang terjadi pada kapal dianggap sangat kecil sehingga komponen inersia/percepatan

yang terjadi dapat diabaikan (neglected).

Gambar 2.1.4a Kasus Grounding pada Kapal Gambar 2.14b Kasus Grounding pada Kapal

sehingga Terjadi Reaksi Vertikal sehingga Terjadi Reaksi Horisontal

II.1.2 Dimensi pada Kapal

Dimensi-dimensi dari suatu kapal pada dasarnya meliputi panjang, lebar, tinggi, serta ukuran

volumetrik maupun berat dari kapal serta koefisien-koefisien penting lainnya yang merupakan

turunan dari geometri bentuk kapal.

Sebelum memasuki dimensi-dimensi penting dari suatu kapal. Perlu diketahui bahwa

terdapat beberapa titik-titik maupun garis-garis penting dari kapal ketika melakukan suatu analisa

struktur, yaitu:

Garis yang menunjukan perpotongan tegak lurus bagian haluan kapal yang bersinggungan

dengan muka air yang disebut dengan Forward Perpendicular (FP).

Garis yang menunjukan perpotongan tegak lurus bagian buritan kapal yang bersinggungan

dengan muka air atau garis tegak lurus poros kemudi pada kapal dengan sirip kemudi belakang

disebut dengan After Perpendicular (AP);.

Titik tengah dari kapal yang menunjukkan posisi tepat di tengah antara AP dan FP biasa

disebut midship dari kapal. Namun pada kapal tradisional, midship ditunjukan oleh penampang

melintang paling penuh/terbesarnya. Midship biasa diberi/ditunjukkan dengan notasi .

Dimensi panjang kapal keseluruhan (Length Overall) atau yang biasa disingkat dengan LOA

merupakan ukuran panjang keseluruhan dari haluan kapal terluar hingga buritan kapal terluar.

Sedangkan panjang kapal pada garis air (Length on Waterline) atau biasa disingkat dengan LWL

merupakan panjang kapal yang diukur pada bagian sumbu memanjang kapal yang berada pada

permukaan air.Sedangkan length between perpendicular merupakan jarak horisontal antara garis AP

dan FP (gambar 2.1.5).

Secara umum, tinggi suatu kapal (gambar 2.16) dibagi menjadi sisi sarat/draft (draught),

tinggi bebas permukaan (freeboard), dan tinggi keseluruhan (depth). Draft diukur dari lunas luar

dari kapal sampai ke garis muka air (WL). Pengukuran draft biasa dilakukan pada titik lunas


terbawah, FP, AP, serta midship. Tinggi bebaspermukaan diukur dari dek luar pada tingkat pertama

sampai garis muka air. Sedangkan tinggi keseluruhan merupakan penjumlahan dari draft dan tinggi

bebas permukaan.

Ukuran yang dimaksudkan untuk menunjukkan ukuran dari lebar kapal biasa ditunjukkan

oleh lebar kapal (breadth).Lebar kapal diukur pada penampang melintang terbesar (midship).

Selain panjang, lebar, dan tinggi kapal.Besaran geometri lainnya yang cukup penting

ditunjukkan oleh kurva area penampang (curve of areas) (gambar 2.1.7).Kurva ini merupakan grafik

yang menunjukkan hubungan luas kapal dengan panjang dari kapal.Dari kurva area penampang,

dapat diketahui letak titik apung (center of buoyancy/CB) dari kapal pada sumbu

memanjang.Sedangkan letak titik apung pada sumbu tinggi kapal ditentukan dengan tes kemiringan

pada saat konstruksi.

Gambar 2.1.5 Dimensi-dimensi Panjang Kapal

(sumber: Tawekal, Ricky L. Diktat Kuliah KL-4131 Dasar-Dasar Teknik Perkapalan. Institut Teknologi Bandung. 2012)

LBP

LWL

LOA


Gambar 2.16 Draft Kapal, Tinggi Keseluruhan Kapal, dan Tinggi Bebas Atas

(sumber: Tawekal, Ricky L. Diktat Kuliah KL-4131 Dasar-Dasar Teknik Perkapalan.Institut Teknologi Bandung. 2012)

Gambar 2.1.7 Kurva Area Penampang


Selain ukuran-ukuran dasar, terdapat ukuran turunan yang merupakan suatu koefisien tak

berdimensi (non-dimensional coefficients) yang menunjukkan karakteristik dari suatu geometri

kapal yang ditunjukan oleh koefisien bidang air/Coefficients of Waterplane (CWP) (gambar 2.1.8)

yang menunjukkan perbandingan antara luas permukaan basah/Area of Waterplane (AWP),

sedangkan perbandingan antara area tengah kapal/area of midship dengan luas sisi sarat lunas

terbawah ditunjukan oleh koefisien bidang tengah kapal/Coefficient of Midship (CM) (gambar 2.1.8),

koefisien blok/Block Coefficient (CB) (gambar 2.1.9) menunjukan perbandingan volume

basah/volume displacement dari kapal dengan sisi sarat dikalikan luas permukaan basah (T x AWP),

sedangkan koefisien prismatik/longitudinal prismatic coefficient, CP menunjukkan perbandingan

antara volume basah dengan luas penampang midship dikalikan dengan LBP, dan CVP (Vertical

Luas Penampang

Panjang Kapal

draft

tinggi keseluruhan (depth)

freeboard


Prismatic Coefficient) menunjukkan perbandingan volume basah dengan luas permukaan basah

dikalikan dengan sisi sarat (gambar 2.1.10).

Gambar 2.1.8 Koefisien Penampang Basah (CWP) dan Koefisien dari Midship (CM)


Gambar 2.1.9 Koefisien Blok (CB)


Gambar 2.1.10 Koefisien Prismatik (CP)



II.1.3 Bagian-bagian Kapal

Bagian-bagian kapal secara garis besar dibagi menjadi dek dan lambung. Lambung kapal

memiliki fungsi untuk memberikan gaya apung dan kestabilan pada suatu kapal. Sedangkan dek

sendiri secara dasar memiliki fungsi sebagai tempat untuk memuat barang, orang, maupun sumber

penggerak dari kapal. Semakin kompleks dan besar suatu struktur kapal maka komponen-komponen

struktural dari kapal tersebut akan semakin kompleks. Kapal dapat digolongkan menjadi struktur

semi-monoqoque oleh karena kulit dari kapal memiliki fungsi sebagai komponen struktural dan

terdapat rangka-rangka yang memberikan dukungan terhadap kulit tersebut

Pelat lambung kapal merupakan bagian terluar dri struktur lambung kapal. Oleh karena

fungsinya yang telah disebutkan di atas, lambung kapal memiliki peranan utama dalam membangun

suatu integritas struktur kapal. Sehingga dalam beberapa desain, pelat lambung kapal dirancang

berganda.

Gading kapal merupakan rangka dari kulit suatu kapal. Gading kapal memiliki fungsi untuk

mempertahankan bentuk dari lambung kapal dan memberikan dukungan terhadap pelat kapal dalam

menanggung beban luar. Serupa dengan gading, namun dalam arah memanjang, galar pada dasarnya

merupakan balok yang mendukung kekuatan dari struktur kapal. Oleh karena pelat lambung kapal

seringkali tidak didesain sebagai komponen struktur utama yang menanggung beban lentur dan torsi,

gading dan galar kapal merupakan komponen struktur yang penting dalam menanggung beban luar

lokal tersebut.

Lunas adalah komponen struktur kapal utama yang memiliki fungsi dalam memberikan

integritas/kekuatan struktur secara keseluruhan/makro dalam arah memanjang. Lunas merupakan

tempat bersimpulnya berbagai komponen struktur kapal.Kemampuan suatu lunas dalam menahan

suatu beban luar yang bersifat makro/keseluruhan menyebabkan lunas memiliki persyaratan-

persyaratan perancangan yang cukup ketat.

Linggi merupakan komponen struktur yang hampir menyerupai lunas dalam fungsinya,

namun letaknya berada pada bagian haluan dan buritan kapal. Selain itu fungsi utama dari linggi

adalah memberikan kekuatan pada bagian buritan dan haluan kapal sehingga dirancang tahan

terhadap beban-beban impak seperti tabrakan maupun slamming. Linggi juga merupakan

perpanjangan dari lunas kapal sehingga memiliki fungsi lain untuk memberikan dukungan pada lunas

dalam menghadapi beban.


Gambar 2.1.11 Penampang Melintang Kapal dan Bagian-Bagian Struktur Kapal

(sumber: Stettler, J. W. Bahan Kuliah EN 358 Ship Structures. . 2010)

II.2 Material Teknik

Setiap benda padat (solid) memiliki properti dan sifat yang membangunnya.Dalam

mekanika, hal-hal tersebut diperlukan untuk menentukan hubungan antara tegangan dan regangan,

kuantifikasi beban-beban non-mekanis (panas, elektris, magnetis, dan sebagainya), serta penurunan

hubungan antara regangan dan perpindahan. Apabila dilakukan klasifikasi menurut perilaku

elastisitasnya, material dibagi menjadi tujuh kelompok yaitu material anisotropis, material

monoklinik, material ortotropis, material tetragonal, material isotropis transersal (transverly

isotropic), material kubik, dan material isotropis.Lebih spesifik lagi, penggolongan material tersebut

ditentukan oleh jumlah tensor elastisitas (Eijkl) yang independen.Dalam teori tegangan-regangan

linier, tensor elastisitas adalah variabel yang menunjukkan hubungan antara tegangan pada suatu

arah dengan regangan yang terjadi pada setiap arah. Secara umum, hubungan kondisi tersebut

dengan menerapkan Hukum Hooke yang Berbentuk Umum (Generalized Hookes Law) dapat

dituliskan dalam bentuk matriks

gading

galar

dek kapal

pelat lambung

lunas


{

}

[

]

{

}

(2.1)

* + [ ]{ }

dimana : tensor tegangan pada sumbu-m ke arah sumbu-n

: tensor regangan pada sumbu-p ke arah sumbu-q

: tensor elastisitas

dengan

[ ] [ ]

oleh karena pertimbangan energi

karena pertimbangan geometri

dan dari hukum pertama termodinamika, maka

sehingga total terdapat 21 tensor elastisitas yang independen (6 pada diagonal dan 15 pada diagonal

atas/bawah). Harus diingat bahwa konstanta 2 di depan tensor regangan merupakan ketentuan dari

penulisan antara regangan teknik (engineering strain) dan tensor regangan (strain tensor):

yang penurunannya akan dijelaskan pada sub-bab teori elastisitas.

II.2.1 Hukum Hooke

Pada awal sub-bab ini telah disinggung mengenai Hukum Hooke. Hukum Hooke adalah

hubungan antara komponen dari tegangan dengan komponen dari regangan yang didapatkan dari

penelitian oleh Hooke. Penelitian tersebut melibatkan eksperimen tarik maupun tekan material pada

laboraturium.Kesimpulan dari eksperimen yang dilakukan, untuk material tertentu, saat material

tersebut diberikan tegangan normal pada suatu arah dan material tersebut masih dalam kondisi

elastisnya, Hooke membuat teori bentuk umum dari hubungan komponen tegangan dengan

komponen regangan yang bersifat linier (gambar 2.2.1)untuk mempermudah pekerjaan analisa

struktur.


(2.2)

dimana

: komponen tegangan pada sumbu-i dengan arah-i

: komponen regangan pada sumbu-i dengan arah-i

: modulus elastisitas material

= 1, 2, 3

Kondisi elastis benda adalah kondisi ketika setelah benda berdeformasi karena diberikan

beban lalu beban tersebut hilang, benda tersebut akan kembali ke formasi/bentuk awalnya. Bila pada

saat beban dihilangkan benda tetap mengalami deformasi, benda tersebut sudah berada pada kondisi

plastisnya. Saat/kondisi yang menunjukkan batas dari kondisi elastis material biasa disebut dengan

kekuatan luluh (yield strength). Sedangkan saat/kondisi suatu benda ketika mengalami

kegagalan/putus adalah titik kekuatan terbesar (ultimate strength).

Gambar 2.2.1 Grafik Hubungan Tegangan-Regangan

II.2.2 Rasio Poisson

Dalam mempermudah penjelasan tentang Rasio Poisson, diambil suatu kasus ketika suatu

benda berbentuk ramping (slender) berpenampang tetap diberikan gaya tarik yang merata pada satu

sisi penampang benda dan sisi yang berlawanannya ditumpu/ditahan secara merata. Benda tersebut

akan mengalami perubahan panjang sesuai dengan arah gaya tarik yang diberikan. Pada saat yang

bersamaan, penampang dari benda mengalami perubahan. Hal tersebut terjadi oleh karena material

benda tersebut tersusun dari partikel-partikel yang saling berkaitan satu sama lain. Perbandingan

dari besar regangan dalam suatu sumbu dengan sumbu lainnya merupakan Rasio Poisson. Setiap

material memiliki Rasio Poisson yang relatif berbeda satu dengan yang lain. Selain itu suatu material

dapat memiliki Rasio Poisson yang lebih dari satu, namun khusus untuk material isotropis, besar

Rasio Poisson untuk setiap sumbu dan arah tensor gaya adalah sama sedangkan untuk material

anisotropis, nilai Rasio Poisson berbeda untuk setiap sumbunya.


II.2.3 Material Kayu

Kayu merupakan material anisotropis, namun untuk penyederhanaan perhitungan, dalam

referensi yang diberikan oleh Forest Product Laboratory, kayu dapat dianggap sebagai material

ortotropis oleh karena memiliki 9 variabel independen yaitu:

- 3 modulus elastisitas, yang terdiri dari:

o Modulus Elastisitas Longitudinal

o Modulus Elastisitas Transversal

o Modulus Elastisitas Radial

- 3 rasio poisson, yang terdiri dari:

o Modulus Geser Longitudinal dalam Bidang

o Modulus Geser Longitudinal keluar Bidang

o Modulus Geser Transversal keluar Bidang

- 3 modulus bulk, yang terdiri dari:

o Poisson Rasio Major

o Poisson Rasio Minor

o Poisson Rasio Transversal

Sedangkan 12 variabel lainnya diabaikan karena tidak terlalu signifikan dalam menentukan

perilaku mekanis dari kayu.Material ortotropis merupakan material yang memiliki properti mekanis

yang tergantung arah seratnya. Sehingga dalam pemakaiannya, konfigurasi penampang dengan arah

serat dari kayu yang dipakai untuk suatu elemen struktur menjadi penting untuk diperhatikan dan

ditentukan.

Selain bersifat ortotropis, kayu juga merupakan material yang bersifat higroskopik, yaitu

material yang memiliki sifat untuk menyerap moisture dari lingkungannya.Kelembaban dan

temperatur dari udara/lingkungan serta kandungan air pada suatu kayu dalam suatu keadaan

tertentu mempengaruhi properti dan performa dari suatu kayu. Hal ini merupakan variabel yang

sangat penting untuk menentukan kekuatan struktural dari suatu kayu. Hubungan dari keadaan ini

biasa disebut dengan kadar air dari kayu. Kadar air biasa dituliskan dalam persentase dan secara

makro dapat dihitung dari persamaan:

(2.3)

dimana mbasah : massa suatu spesimen kayu

mkering : massa suatu spesimen kayu yang telah diproses dengan oven

Kadar air dari suatu kayu yang baru saja ditebang berkisar dari 30% sampai lebih dari 200%.

Dalam suatu struktur kapal, dimana banyak bagian kayu yang langsung bersinggungan dengan air,

kadar air dalam suatu kayu dapat berubah secara cepat sehingga menyebabkan kadar air dari kayu

tersebut melebihi titik jenuh serat (fiber saturation). Hal tersebut menyebabkan udara dalam sel-sel

kayu digantikan oleh air yang bersinggungan langsung dengan kayu tersebut. Penyerapan cairan


akan terus berlangsung sampai mencapai kadar air maksimum dari kayu tersebut. Semakin tinggi

kadar air dalam suatu kayu menyebabkan perubahan yang berbeda dalam setiap properti mekanis

dari kayu.

Kenaikan kadar air menyebabkan turunnya nilai dari modulus (modulus of rupture),

modulus elastisitas, energi pada beban maksimum (work to maximum load), kuat tekan sejajar serat,

dan kekerasan sisi kayu. Sehingga dapat dikatakan bahwa peningkatan kadar air kayu membuat

kekuatan dari kayu tersebut berkurang.

Karakteristik kekuatan kayu berbeda setiap spesiesnya. Selain itu dalam spesies yang sama,

karakteristik kekuatan juga dapat berbeda. Oleh karena itu, dalam praktiknya, sistem klasifikasi kelas

kuat kayu digunakan. Suatu batang dari kayu yang memenuhi karakteristik secara kasat mata

maupun diukur dengan peralatan pada laboraturium digolongkan pada suatu kelas kuat untuk

keperluan praktis. Pada prinsipnya, kelas kuat suatu kayu dapat ditentukan oleh 3 properti utama:

- Kekuatan lentur;

- Modulus Elastisitas;

- Berat jenis.

Dalam tugas akhir ini, menurut salah satu industri kayu pada daerah Kawasan Industri

Makassar (KIMA), jenis kayu yang dipakai adalah kayu bitti (vitex cofassus). Kayu bitti merupakan

bagian dari tanaman Bitti yang merupakan pohon yang banyak tumbuh pada daerah Sulawesi hingga

Kepulauan Maluku dan Pulau Irian. Berikut properti dari kayu bitti:

Properti Dikeringkan Tidak

Dikeringkan Satuan Keterangan

Massa Jenis 700-800 kg/m3 pada kadar air 12%

Kekuatan SD3 - lihat tabel 2.xx

Kelas Struktural F27 - lihat tabel 2.xx

Keuletan (Izod) 7.3 15 Joule nilai Izod: pengukuran dari kemampuan menahan impak akibat beban yang tiba-tiba

Kekerasan (Janka) 5.6 5.1 kN kekerasan Janka: resistance of wood to denting

Kuat Tekan Mutlak 64 42 MPa -

Modulus Elastisitas Longitudinal 14 12 GPa -

Kuat Lentur Mutlak 133 80 MPa -

Sumber: Eddowes, Peter J. Solomon Island Timber. Asia Pasific Timber Consultants Queensland. Australia.

Besar suatu properti dari suatu jenis kayu bervariasi oleh karena berbagai variabel yang

mempengaruhinya seperti kondisi penanaman, umur, kelembaban, suhu, cara penebangan, cara

pengolahan, dan lainnya. Hal tersebut akan mempengaruhi suatu desain dari struktur yang akan

dibangun. Agar analisa dari desain suatu struktur dapat cukup valid, dalam praktik, perancang

sebaiknya melakukan pengujian dengan sampel dari kayu yang akan digunakan, lalu nilai-nilai

lainnya dapat dihitung dari relasi-relasi antara properti mekanis yang dicari dalam pengujian dengan

properti mekanis yang dibutuhkan. Contohnya seperti yang dimuat pada literatur yang dibuat oleh


Forest Product Laboratory. Dalam penelitian yang oleh Kuilen-Ravenshorst (2002), didapatkan

hubungan antara massa jenis dengan kuat lentur mutlak dari kayu bitti (gambar 2.2.2).

Gambar 2.2.2 Hubungan Massa Jenis dengan Kuat Lentur Mutlak Beberapa Jenis Kayu Hardwood

(Sumber: Kuilen Ravenshorst. Bending Strength and Stress Wave Grading of Hardwoods Joint Committee on Structural Safety.

2002)

II.2.4 Kegagalan oleh karena Beban Statis

Pada sub-bab sebelumnya diketahui bahwa kekuatan merupakan properti atau karakteristik

dari suatu elemen mekanis. Properti tersebut merupakan hasil dari identitas material, perlakuan

maupun pemrosesan ketika proses pembentukan, maupun pembebanan, dan hal tersebut berada

pada lokasi kritis pada suatu struktur.

Telah dijelaskan sebelumnya, bahwa beban statis merupakan beban yang tidak berubah arah

maupun besar serta lokasi terjadinyapada suatu bagian struktur dalam variabel waktu.Selain itu

suatu kondisi beban dianggap statis ketika efek dari inersia diabaikan.Menurut teori elastisitas, suatu

beban statis dapat menghasilkan beban tarik maupun tekan aksial, beban geser, beban lentur, beban

tori, maupun kombinasinya.Pertimbangan hubungan antara kekuatan suatu material dengan beban

statis dengan maksud membuat keputusan sehingga suatu struktur/benda dapat memenuhi aspek

fungsional, aspek keamanan, aspek keterpercayaan (reliability), aspek manufaktur, serta aspek

pemasarannya.

Kegagalan merupakan kondisi suatu bagian (part) yang terpisah menjadi dua bagian atau

lebih; telah terganggu secara permanen sehingga menmbuat kacau geometrinya; telah menurunkan

aspek keterpercayaannya (reliability); maupun membuat benda tersebut sulit dalam menjalankan

fungsinya.Pada dasarnya teori kegagalan fokus dalam memprediksi distorsi maupun separasi

permanen dari suatu material.


Suatu kegagalan dalam material benda padat tidak dapat ditentukan oleh suatu teori

kegagalan yang universal/berlaku untuk semua oleh karena secara garis besar, setidaknya pada

material logam, jenis material diklasifikasikan menjadi getas dan daktail.Namun suatu material yang

digolongkan sebagai material daktail juga dapat gagal seperti material getas. Penentuan klasifikasi

material ini dapat didasari oleh energi yang dapat diterima ketika terjadi regangan (pada kurva

tegangan-regangan ditunjukkan oleh luas area yang berada di bawah kurva) maupun nilai regangan

maksimum(f). Material daktail biasanya memiliki nilai f 5 dan memiliki kuat luluh (yield

strength, Sy) yang dapat diidentifikasi yang nilainya biasanya sama pada keadaan tekan maupun tarik

(Syt=Syc=Sy). Material getas f< 0,05, tidak memiliki kuat luluh yang dapat diidentifikasi, dan

biasanya hanya diklasifikasikan oleh kuat tarik mutlak (Sut) dan kuat tekan mutlak (Suc). Teori

kegagalan yang biasa dipakai untuk kedua jenis material tersebut adalah:

- Material Daktail (didasari oleh kriteria luluh/yielding)

o Tegangan Geser Maksimum (TGM)/Tresca/Maximum Shear Stress

o Energi Distorsi (ED)/Von-Mises/Distortion Energy

o Coulomb-Mohr Daktail (CMD)/Ductile Coulomb-Mohr

- Material Getas (didasari oleh kriteria hancur/fracture)

o Tegangan Normal Maksimum (TNM)/Maksimum Normal Stress

o Coulomb-Mohr Getas (CMG)/Brittle Coulomb-Mohr

o Mohr yang Dimodifikasi (MD)/Modified Mohr

II.3 Teori Elastisitas

Mekanika merupakan cabang ilmu yang berkonsentrasi pada perilaku dari benda fisik ketika

diberikan gaya atau perpindahan dan efek lebih lanjut dari benda tersebut terhadap lingkungannya.

Secara teori mekanika, antara beban eksternal yang terjadi pada suatu benda dengan perilaku/reaksi

dalam hal ini adalah perpindahan (displacements) dihubungkan dengan gaya dalam struktur,

tegangan (stress), dan regangan (strain).

Pada gambar 2.3.1, bagian keterangan pada garis penghubung di antara elips menunjukkan

jembatan antara dua kondisi yang terjadi. Jembatan tersebut merupakan kondisi yang harus dipenuhi

sehingga hubungan antara kedua hal yang ada dapat diketahui.

Dalam melakukan analisa suatu struktur, dengan adanya syarat batas (boundary condition)

yang berupa beban eksternal maupun perpindahan dengan jumlah yang sama atau lebih dari derajat

kebebasan (degree of freedom) struktur tersebut, maka kondisi tegangan-regangan, perpindahan,

dan gaya dalam di setiap bagian dari struktur dapat ditentukan. Apabila syarat batas yang ada tidak

memenuhi kondisi tersebut, maka struktur berada pada kondisi dinamis yang berarti komponen

inersia dari benda harus diperhitungkan agar persamaan yang ada konvergen dan dapat diselesaikan.


Gambar 2.3.1 Hubungan antara Perpindahan (Displacements) dengan Beban Eksternal (External Loads)

(sumber: Vable, M. Intermediate Mechanics of Material)

Dalam mekanika sistem yang ditinjau berlaku Hukum Newton I untuk komponen gaya maupun

momen:

dimana

r = jarak tegak lurus dari titik O ke garis aksi F

F = gaya

M = momen

n = sumbu (ruang vektor) ke-n

Untuk suatu sistem struktur tiga dimensi, maka berlaku

Sehingga dari kesetimbangan yang ditunjukkan di atas, dapat ditentukan hubungan antara

beban eksternal dengan beban internal.

Selanjutnya, karena hukum Newton II,

Beban Luar

(External Loads)

Gaya Dalam

(Internal Forces

and Moments)

Tegangan

(Stress)

Regangan

(Strain)

Perpindahan

(Displacements)

Kesetimbangan

(Equilibrium)

Kinematik

(Kinematics)

Keseimbangan Statis

(Static Equivalency)

Model Material & Hukum Hooke

(Material Models & Hookes Law)


(2.4)

dimana,

m : Massa dari struktur

: Percepatan dari struktur

I : Gaya Internal pada struktur

P : Gaya Luar yang diberikan

dan untuk momen

(2.5)

dimana,

I : Inersia dari struktur

: Percepatan sudut dari struktur

I : Momen Internal pada struktur

P : Momen Luar yang diberikan

Untuk mengetahui perilaku dari material padat (solid), terutama pergerakannya (displacement) dan

perubahannya (deformation) karena aksi dari gaya luar, perubahan temperatur, perubahan fasa, dan

agen eksternal maupun internal lainnya, mekanika benda padat merupakan cabang ilmu yang

mempelajarinya. Pada tugas akhir ini, diterapkan teori elastisitas teori dalam mekanika benda

padat oleh karena diasumsikan perubahan struktur masih pada daerah elastisnya, yaitu keadaan

ketika setelah terjadi regangan pada struktur masih dapat kembali ke bentuk awalnya. Dari teori

elastisitas, akan diturunkan persamaan diferensial dari perilaku benda dan tegangan yang terjadi

pada benda tersebut sehingga perilaku dari keseluruhan benda akibat beban eksternal dapat

dianalisa.

II.3.1 Tegangan

Tegangan merupakan gaya yang terjadi disetiap luas permukaan suatu benda/struktur.

Tegangan yang terjadi pada suatu penampang elemen dari benda dapat dibagi menjadi dua jenis

menurut arah kerjanya terhadap potongan penampang dari elemen benda yang ditinjau. Tegangan

normal (gambar 2.3.2) merupakan tegangan yang bekerja pada arah normal (tegak lurus dengan

penampang) dari elemen yang diambil. Tegangan geser (gambar 2.3.3) merupakan tegangan yang

bekerja pada arah sejajar dengan penampang elemen yang diambil.

Dalam mekanika benda padat terdapat tiga persamaan dari teori elastisitas yang menjadi

acuan untuk mengetahui perilaku suatu material akibat beban luar, yaitu persamaan diferensial

keseimbangan tegangan pada benda, persamaan diferensial regangan/perpindahan, persamaan

kompatibilitas, dan hubungan tegangan-regangan.


Gambar 2.3.2 Tegangan Normal Gambar 2.3.3 Tegangan Geser

II.3.2 Persamaan Diferensial Keseimbangan Benda

Persamaan diferensial keseimbangan benda diperlukan untuk mengetahui kondisi tegangan

yang terjadi pada suatu elemen dari benda yang ditinjau. Untuk menyederhanakan penurunan awal,

keseimbangan dari suatu elemen bangun datar persegi dengan panjang sisi dx dan dy yang diberi

tegangan normal dan (dalam besaran gaya per satuan luas) pada setiap sisi, tegangan geser

(dalam besaran gaya per satuan luas) pada setiap sisi, dan gaya dalam dan (dalam besaran

gaya per satuan luas) yang dapat berupa gaya berat, elektrostatis, dan sebagainya pada titik pusat

dari persegi (titik C) dikaji dengan besar dan arah dari tegangan yang terjadi pada setiap sisi

diasumsikan konstan. Namun, besar dan arah tegangan pada suatu sisi dengan sisi yang berhadapan

dengannya berbeda (gambar 2.3.4). Pada bab ini, penurunan mengenai teori elastisitas akan merujuk

pada Timoshenko-Goodier, 1951.

Operasi penjumlahan gaya pada arah sumbu-x adalah sebagai berikut

(

) 4

5

( )

( )

(2.6)

Operasi tersebut dilakukan juga pada sumbu-y, sehingga didapatkan

(2.7)

Karena yang ditinjau adalah bidang datar, tiga kondisi keseimbangan dari Hukum Newton I harus

terpenuhi. Sehingga persamaan ketiga adalah keseimbangan momen pada arah sumbu normal dari

sumbu-x dan sumbu-y (sumbu-z) yang bekerja pada titik pusat dari elemen (titik c) (MZC) adalah

normal

geser


(( )

.

/

) 4( )

.

/

5

(( ) .

/)

4( ) .

/5

(( ) .

/) 4( ) .

/5

.( ) ( )/ .( ) ( )/ 4.

/ .

/5

maka

(2.8)

Gambar 2.3.4 Elemen Kecil Suatu Benda Padat (Solid) dengan Tegangan di Setiap Sisinya

Ketika penurunan yang sama dilakukan untuk elemen tiga dimensi dengan tegangan yang

bekerja pada setiap sisi elemen tersebut seperti yang diperlihatkan pada gambar 2.3.4, didapatkan

persamaan keseimbangan

(2.9)

c


dan

(2.10)

II.3.3 Hubungan Regangan Perpindahan

Hubungan antara regangan dengan perpindahan atau yang biasa disebut dengan hubungan

diferensial kinematis untuk benda tiga dimensi, didapatkan dari tinjauan suatu elemen dua dimensi

yang dapat dilihat pada gambar 2.3.5.

Gambar 2.3.5 Elemen Kecil Suatu Benda Padat

(sumber:http://en.wikipedia.org/wiki/File:2D_geometric_strain.svg)

Dengan meninjau elemen garis ab pada arah sumbu-x, dapat dilihat garis ab berubah menjadi

garis ab setelah berdeformasi. Perpindahan (displacements) pada sumbu x dan y ditunjukkan

dengan notasi u dan v. Sesuai dengan definisi regangan normal teknik (engineering normal strain)

yaitu perubahan panjang dibagi dengan panjang awal, maka


ditinjau dari gambar 2.3.5 yang merepresentasikan garis ab dan ab

( ) .

/

.

/

cos

cos .

/

( )

Besar sangat kecil ( ), maka

cos

.

/

( )

( ) .

/

.

/

.

/

Apabila hal yang sama dilakukan dengan garis AD, maka didapatkan

Regangan geser ( ) merupakan penjumlahan antara sudut antara garis ab dengan ab

(gambar2.3.5) dan garis ac dengan ac (gambar 2.3.5). Adapun besarnya sudut adalah

sin (

)

.

/

Karena sangat kecil,

sin

maka

(

)

.

/

Besar sudut adalah:

sin .

/

(

)

karena sangat kecil,

sin

maka

.

/

(

)

Definisi dari regangan geser teknik (engineering shear strain) adalah


sehingga

.

/

(

)

(

)

.

/ (2.11)

dengan asumsi linier

.

/

.

/

Sehingga dapat berlaku teori regangan sangat kecil (infinitesimal strain theory) dan persamaan

(2.11) menjadi

(2.12)

Maka untuk suatu elemen tiga dimensi dengan volume didapatkan hubungan antara tegangan

dengan regangan yang terjadi adalah:

(2.13)

II.3.4 Persamaan Kompatibilitas

Seiring dengan persamaan regangan/perpindahan (strain/displacement), dibutuhkan

persamaan kompatibilitas (compatibillity equations) untuk memastikan komponen perpindahan , ,

dan merupakan fungsi tunggal sehingga pada elemen-elemen tidak muncul nilai yang tumpang

tindih. Secara sederhana, persamaan kompatibilitas menentukan ada atau tidaknya celah atau

tumpang tindih antara satu bagian elemen dengan elemen lainnya karena asumsinya setiap volume

dari elemen benda yang ada terhubung dengan elemen tetangganya. Perlu digarisbawahi bahwa

enam komponen regangan di setiap titik ditentukan seluruhnya oleh tiga fungsi , , dan . Dari

enam persamaan regangan/perpindahan, diambil tiga persamaan untuk menjadi acuan penurunan

persamaan lainnya, jenis penurunan pertama dilakukan dengan menurunkan komponen regangan

geser terhadap y dan x

komponen regangan normal-x diturunkan2 kali terhadap y sebagai berikut


komponen regangan normal-y diturunkan 2 kali terhadap x sebagai berikut

sehingga

(2.14)

Selanjutnya, dilakukan penurunan/perumusan kedua dengan menurunkan komponen

regangan normal terhadap y dan z sebagai berikut

(2.15)

Selanjutnya, persamaan 2.15 dikalikan dengan 2 menjadi

(2.16)

komponen regangan geser-xy diturunkan terhadap z sebagai berikut

(2.17)

komponen regangan geser-yz diturunkan terhadap x sebagai berikut

(2.18)

komponen regangan geser-xz diturunkan terhadap y sebagai berikut

(2.19)

dan persamaan 2.17, 2.18, dan 2.19 dioperasikan sehingga

.

/ .

/ .

/

(2.20)

persamaan 2.20 diturunkan terhadap sehingga

.

/

(2.21)

persamaan 2.20 dan 2.21 digabungkan menjadi

.

/ (2.22)


Untuk empat komponen regangan normal dan geser lainnya diturunkan dengan tata cara yang serupa

dengan dua perumusan diatas sehingga menghasilkan enam persamaan kompatibilitas

.

/

.

/ (2.23)

.

/

II.3.5 Hubungan Tegangan dan Regangan

Dengan asumsi di awal bahwa material struktur/benda yang ditinjau bersifat linier, yang

berarti perpindahan (displacement) yang terjadi pada benda relatif kecil dan regangannya masih

berada pada daerah elastis, maka Hukum Hooke berlaku:

Dengan berlakunya hukum Hooke, maka regangan yang terjadi pada suatu titik pada struktur dapat

ditentukan dari tegangan yang terjadi pada titik tersebut. Sedangkan hubungan antara modulus

elastisitas material (E) dengan modulus bulk material tersebut (G) adalah:

( )

Sehingga hubungan antara tegangan dengan regangan dari suatu elemen pada benda padat (solid)

isotropis linier secara 3 dimensi dapat dituliskan dalam bentuk matriks sebagai berikut:

[

]

( )( )

[

]

[

]

[

]

[

( )

( )

( )]

[

]


Pada sub-bab sebelumnya telah dibahas bahwa kayu merupakan material komposit anisotropis

(orthotropis) yaitu material dengan kekuatan tarik dan tekan yang berbeda tergantung dengan arah

tegangan terhadap arah seratnya.Perbedaan ini ditunjukan dengan nilai properti mekanis (modulus

elastisitas dan rasio poisson) yang berbeda di setiap sumbunya. Sehingga hubungan antara tegangan

dan regangan untuk elemen benda padat orthotropis linier adalah

[

]

[

]

[

]

(2.24)

II.3.6 Teori Elastisitas Nonlinier

Pada dasarnya, ketidaklinieran pada teori elastisitas timbul oleh karena 3 hal, yaitu:

Ketidaklinieran Geometris (Geometric Non-linearity) yang disebabkan oleh besarnya

regangan ataupun deformasi yang terjadi;

Ketidaklinieran Material (Material Non-linearity) yang disebabkan oleh hubungan antara

regangan dan tegangan;

Ketidaklinieran pada Kondisi Batas (Boundary Non-linearity) yang disebabkan oleh kontak

benda/struktur yang ditinjau dengan benda lain (termasuk gesekan).

Pada bagian ini, tidak akan dibahas mengenai ketidaklinieran material (sudah dibahas pada sub-bab

II.2.1). Ketidaklinieran geometris dibagi menjadi ketidaklinieran karena regangan yang besar dan

ketidaklinieran karena perpindahan besar. Pertama, akan dibahas mengenai ketidaklinieran

geometris akibat regangan yang besar. Terdapat suatu elemen kecil dari benda padat seperti pada

sub-bab II.3.3 maka definisi dari regangan teknik (engineering strain) adalah sebagai berikut

(2.25)

ditinjau dari gambar 2.3.5 yang merepresentasikan garis ab dan ab

( ) .

/

.

/

( ) .

/

.

/


Sehingga persamaan 2.25 menjadi

(.

/ (

)

)

4.

/ .

/

5

4

.

/ .

/

5 (2.26)

pada penurunan dengan teori regangan sangat kecil pada sub-bab sebelumnya, persamaan 2.13

menunjukan hubungan

sehingga persamaan 2.26 dapat ditulis menjadi

4 ( ) .

/

5 (2.27)

( ) ( ) .

/

( ) .

/

( ) .

/

(2.28)

Untuk mendapatkan definisi formal dari tensor regangan, dari persamaan 2.27

4 ( ) .

/

5

( ( ) (

)

)

karena

maka

4 ( ) .

/

5

kuadratkan kedua ruas di atas sehingga

( ( ) .

/

)

( ( ) .

/

) (2.29)

sehingga dari persamaan 2.29 didapatkan definisi formal dari tensor regangan dengan mengabaikan

komponen regangan berorde dua ( ) dan .

/

( ) ( ) (2.30)


Batasan lainnya berurusan dengan perpindahan, maka dari itu pertimbangan akan

perpindahan yang besar dan regangan non-linear harus diketahui. Dalam hal ini dipakai definisi

tensor lagrangian untuk mengetahui hubungan yang terjadi.

untuk i = 1, 2, 3,......, n

dimana

: posisi akhir partikel-i suatu benda padat

: posisi awal partikel-i suatu benda padat

: perpindahan partikel-i suatu benda padat

dengan adalah panjang busur di antara dua partikel pada posisi akhir benda padat dan adalah

panjang busur di antara dua partikel pada posisi awal benda padat yang sama, maka

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

(2.31)

dimana

untuk ( )

dengan mengganti suku menjadi pada persamaan 2.31, didapatkan

( ) ( ) ({

( )

( )}

)

4.

/ (

)

5

(

)

(

)

(

) (2.32)

dimana

maka dari persamaan 2.32 dapat diketahui tensor regangan yaitu

(

) (2.33)

dimana


Apabila persamaan 2.32 digunakan untuk mendeskripsikan regangan pada elemen di gambar 2.3.5,

maka

( ) ( ) .

/

( ) ( ) (

.

/ .

/

)

( ) ( ) ( ( ) .

/

) (2.34)

dapat dilihat bahwa persamaan 2.34 sama dengan persamaan 2.29 sehingga penurunan rumus dan

asumsi-asumsi sebelumnya valid untuk digunakan.

II.4 Metode Elemen Hingga

Pada dasarnya, langkah awal pada setiap simulasi menggunakan elemen hingga adalah

membagi (to discritize) geometri dari struktur sesungguhnya menggunakan sekumpulan elemen-

elemen yang berhingga. Sekumpulan titik nodal dan suatu elemen hingga disebut dengan mesh.

Banyaknya elemen per satuan panjang, area, atau pada suatu mesh disebut dengan mesh density.

Pada suatu analisa statik mekanika benda padat (solid), perpindahan (displacements) dari

titik nodal adalah variabel dasar yang akan dikalkulasi oleh analis (dengan bantuan perangkat lunak).

Tegangan, regangan, gaya dalam, serta gaya luar dapat ditentukan setelah perpindahan pada setiap

titik nodal diketahui.

Suatu analisa menggunakan elemen hingga merupakan analisa pendekatan sehingga hasil

yang didapatkan bukanlah suatu hasil analitis/tepat. Terdapat ketidaksesuaian (error) dari hasil

yang didapat dengan hasil yang seharusnya. Namun terdapat suatu batasan yang dapat ditoleransi

sehingga hasil dari analisa menggunakan elemen hingga dapat dinyatakan valid. Faktor yang

mempengaruhi error yang timbul pada perhitungan adalah:

Faktor perhitungan matematis yang disebabkan pendekatan secara numerik;

Faktor penurunan rumus yang disebabkan oleh asumsi-asumsi/penyederhanaan dari

persamaan maupun teori yang berlaku;

Faktor geometri yang disebabkan oleh akurasi penggambaran benda maupun pembagian

benda menjadi elemen-elemen hingga pada komputer/perangkat lunak.

Untuk menghindari/memperkecil error yang timbul terdapat beberapa hal yang harus

diperhatikan, yaitu:

Tipe analisa kasus (dinamika/statika);

Pendeskripsian masalah linier/non-linier;

Penentuan jenis elemen (rangka batang, balok, membran, cangkang, pelat tipis, pelat datar,

benda padat 3 dimensi, titik massa, per, peredam, dan sebagainya);

Penentuan derajat kebebasan pada titik nodal (translasi, rotasi, warping, tekanan, potensial

listrik, temperatur);

Jumlah titik nodal pada suatu elemen (linier atau kuadratik);

Metode interpolasi, integrasi, dan diferensiasi numerik yang dipakai.


Perihal tentang statika dan dinamika telah dijelaskan pada awal bab ini. Untuk masalah ke-

liniear-an suatu struktur ditentukan oleh efek dari perpindahan yang besar (Geometric Non-

liniearity); ketidaklinieran properti material (Material Non-linearity); ketidaklinieran pada kondisi

batas benda yang ditinjau (Boundary Non-liniearity). Contoh: friksi dan kontak. Sedangkan untuk

empat faktor lain yang berkontribusi dalam terjadinya error akan dijelaskan pada penjelasan-

penjelasan berikutnya.

II.4.1 Pendekatan Variasi untuk Teori Elemen Hingga (Variational Approach to Finite Element Theory)

Perumusan suatu perhitungan kondisi struktur ditentukan oleh penurunan-penurunan dari

teori-teori yang ada. Dalam metode elemen hingga, terdapat beberapa cara penurunan rumusan

perhitungan:

- Metode Kekakuan Langsung (Direct Stiffness Method);

- Prinsip Kerja Semu (Virtual Work Principles) atau bisa juga disebut dengan Prinsip Energi

Potensial Minimum (Minimum Potential Energy Principles);

- Prinsip Tegangan Semu (Virtual Stress Principles) atau bisa juga disebut dengan Prinsip

Energi Komplementer Minimum (Minimum Complementary Energy);

- Prinsip Energi Potensial Termodifikasi (Modified Potential Energy Principles);

- Prinsip Energi Komplementer Termodifikasi (Modified Complementary Energy Principles);

- Prinsip Variasi Reissner (Reissners Variational Principles).

Enam jenis penurunan di atas memiliki perbedaan pada asumsi pada setiap elemennya, kondisi di

sepanjang batas antar elemennya, dan variabel yang tidak diketahui (unknown) pada rumus

akhirnya. Pada praktiknya masih terdapat jenis-jenis penurunan yang lainnya. Namun pada tugas

akhir ini, jenis pendekatan variasi yang akan dibahas hanya prinsip kerja semu (Virtual Work

Principles) oleh karena jenis pendekatan tersebut yang banyak dipakai pada masalah-masalah

analisa struktur dan merupakan jenis pendekatan yang dipakai oleh perangkat lunak yang dipakai

pada penelitian tugas akhir ini.

II.4.2 Prinsip Kerja Semu

Pertama, untuk mempermudah penurunan, diambil sebuah kasus sistem dari gaya yang

setimbang pada suatu titik (gambar 2.3.4) dalam kasus dua dimensi. Apabila gaya

setimbang, maka dapat ditulis

dan

dimana adalah komponen pada sumbu-x dan adalah komponen pada sumbu-y. Setelah itu

kalikan persamaan diatas dengan fungsi perpindahan dan yang sembarang nilainya sehingga

( ) ( )


Apabila kita anggap dan sebagai perpindahan semu yang muncul pada kondisi suatu sistem

yang memiliki gaya setimbang, maka persamaan di atas dapat dilihat sebagai persamaan dari suatu

kerja yang dilakukan oleh sistem tersebut. Sehingga

( ) ( ) (2.35)

adalah persamaan kesetimbangan.

Pada setiap titik pada benda diketahui dari persamaan 2.6 dan 2.7:

Dengan memasukkan persamaan tersebut pada persamaan 2.35 maka

0 .

/ .

/1 (2.36)

Persamaan 2.36 merupakan kasus 2 dimensi sehingga diperlukan untuk memakai bentuk dari

Teorema Green (Greens Theorm) agar persamaan tersebut dapat diturunkan menjadi bentuk kerja

virtual.

Pertama dimulai dengan teorema divergen yang menyatakan integral dari divergen dari

sebuah vektor f pada suatu volume V sama dengan fluks dari f pada suatu area A yang membatasi

volume V tersebut

( )d

( )

bentuk persamaan di atas juga dapat menyatakan integral dari divergen dari sebuah vektor f pada

suatu area A sama dengan fluks dari f pada suatu garis C yang membatasi area A tersebut

( )d

( )

(2.37)

selanjutnya untuk mendapatkan Teorema Green kita buat subtitutsi

dimana dan merupakan fungsi skalar dari dan . Sehingga persamaan 2.37 menjadi

( )d ( ) (2.38)

untuk mendapatkan bentuk yang lebih sederhana dari persamaan 2.38, pada sisi kiri dibentuk

.

/

sedangkan sisi kanan dari persamaan 2.38 dibentuk menjadi

.

/

.

/

.

/


dimana

cos

sin

Apabila persamaan 2.38 disubtitusi dengan bentuk-bentuk di atas, maka persamaan tersebut menjadi

4

.

/5d

4 .

/5

.

/ d

4 .

/5 d

4 .

/5

(2.39)

Tinjau persamaan 2.36 dan dijabarkan menjadi

( )

Pada bagian pertama persamaan di atas

dilakukan subtitusi

sehingga

( .

/) d ( ( ) )

untuk bagian kedua persamaan di atas

dilakukan subtitusi

sehingga

4 .

/5d ( ( ) )

untuk bagian ketiga persamaan di atas

dilakukan subtitusi

sehingga

4 .

/5 d ( ( ) )

untuk bagian ketiga persamaan di atas


dilakukan subtitusi

sehingga

( .

/) d ( ( ) )

( .

/) d ( ( ) ) 4 .

/5 d ( ( ) )

4 .

/5 d ( ( ) ) ( .

/) d ( ( ) )

( )

6( .

/) 4 .

/5 4 .

/5 ( .

/)7 d (

)d [( )( ) ( )( )] (2.40)

diketahui dari teori regangan sangat kecil (infinitesimal strain theory)

.

/

.

/

.

/ .

/ 0.

/ .

/1 ( )

dan dengan memunculkan variabel baru yang menunjukan gaya yang terjadi pada permukaan dan

dimana

Sehingga persamaan 2.40 dapat ditulis menjadi

[( ) ( ) ( )]d ( )d [ ( )

( )]

(2.41)

dan dengan bentuk umum

( , - )* +

, - [

]

, - [

]

(2.42)

Bentuk pada persamaan 2.42 merupakan bentuk persamaan kerja semu untuk kasus dua

dimensi. Penurunan yang sama dapat juga dilakukan dengan langkah-langkah yang sama untuk kasus

tiga dimensi sehingga menghasilkan bentuk persamaan kerja semu

( , - )* +

, - [

]

, - [

]

(2...)


dengan ( , - )* +

, - [

]

, - [

]

maka

(2.43)

dimana

: perubahan dalam energi regangan akibat tegangan yang terjadi

: kerja yang dilakukan oleh gaya benda (gaya berat,

elektromagnetik, maupun magnetik) akibat perpindahan semu

: kerja semu dari beban permukaan

Perlu diingat, batas daerah (A) pada persamaan 2.42 adalah daerah permukaan dengan kondisi

tegangan yang terdeskripsi yang mana kondisi perpindahannya tidak dideskripkan. Persamaan di

atas merupakan persamaan yang selanjutnya akan dipakai untuk melakukan analisa tegangan pada

suatu struktur.

II.4.3 Fungsi Perpindahan

Langkah selanjutnya adalah menentukan fungsi perpindahan (displacement function) dari

setiap nodal yang ada pada elemen-elemen benda. Diketahui, untuk kasus dua dimensi, terdapat

komponen perpindahan yang menunjukan perpindahan pada sumbu-x dan yang menunjukan

perpindahan pada sumbu-y pada titik-n dimana n adalah nama titik, n=i,j,k,l,...,n

Fungsi dari perpindahan ( ) dimisalkan dengan bentuk-bentuk

( )

( )

Sehingga dapat ditulis dalam bentuk matriks:

( ) , - 6 7 , ( )- , -

dan untuk setiap titik dari i sampai dengan n,

[

] [

] [

]

atau

, -( ) , -( ), -


untuk perpindahan ( ) dilakukan penurunan yang serupa sehingga untuk perpindahan pada

kasus dua dimensi didapatkan

( ) , ( )- , - , - [ ( )]

, -( )

( ) , ( )- , - , - [ ( )]

, -( )

Dari keempat persamaan di atas dapat dibentuk menjadi suatu matriks

[ ( )

( )] [

, ( )-

, ( )- ] 0

1

[, ( )-

, ( )- ] 6

, -( )

, -( )7

6, -( )

, -( )7 (2.44)

6, ( )- [ ( )]

, ( )- [ ( )] 7 6

, -( )

, -( )7

dengan

, ( )- [ ( )] [ ( )]

, ( )- [ ( )] [ ( )]

Maka didapatkan fungsi perpindahan (displaement function)

[ ( )

( )] [

[ ( )]

[ ( )] ] 6

, -( )

, -( )7

dalam bentuk yang lebih sederhana dapat ditulis

* + , -* + (2.45)

Komponen dari regangan diturunkan dengan teori regangan sangat kecil (infinitesimal strain theory)

dimana dari persamaan 2.33 diketahui untuk komponen tensor g dan h

(

)

sehingga untuk kasus dua dimensi pada sumbu x dan y dapat ditulis

dan dalam bentuk matriks:

[

]

[

]

[

]

, ( ) ( )-


subtitusikan komponen ( ) dan ( ) dengan persamaan 2.44 sehingga

* +

[

]

[, ( )-

, ( )- ] 6

, -( )

, -( )7

6, -( )

, -( )7

* +

[ , ( )-

, ( )-

, ( )-

, ( )-

]

6, -( )

, -( )7

6, -( )

, -( )7

bila

* +

[ , ( )-

, ( )-

, ( )-

, ( )-

]

6, -( )

, -( )7

maka

* + * +* + (2.46)

Sehingga perubahan regangan semu (virtual displacements) * +, seperti yang terdapat pada

persamaan kerja semu 2.42 dapat ditulis

* + * + * + * + (2.47)

II.4.4 Tegangan pada Metode Elemen Hingga

Dengan mengasumsikan hubungan regangan-tegangan yang terjadi berbentuk linier seperti

yang ditunjukkan pada persamaan 2.2

{ } [ ]{ }

[ ] { } { }

[ ]{ } { }

maka komponen tegangan , dimana notasi dan enunjukkan komponen sumbu dapat ditulis

( )

( )

( )

sehingga dalam dapat ditulis dalam bentuk matriks

[ ]{ } 2( ) ( ) 3


[ ] { } 2( ) ( ) 3

{ } [ ] 2( ) ( ) 3

{ } [ ] 2( ) ( ) 3

variabel ( ) , ( ) , dan ( ) menunjukkan regangan awal (initial strains) yang secara spesifik

diakibatkan perbedaan termal dan aksi mekanis.

Sehingga perubahan dalam energi regangan akibat tegangan yang terjadi, , dapat disubtitusi

( , - )* +

( , - ), -* +

* + * + , -* +* +

* + * + , -* +

* + . * + , -* +

/ * + * + . * + , -* + / (2.48)

Selanjutnya akan diturunkan persamaan kerja semu yang disebabkan beban permukaan ( ) yang

memiliki komponen ( ) dan ( ) dapat dimisalkan dengan bentuk-bentuk polinomial seperti

( )

( )

Sehingga dapat ditulis dalam bentuk matriks

( ) , - [

] , ( )- , -

dan untuk setiap titik dari i sampai dengan n,

[

] [

] [

]

atau

, -( ) , -( ), -

dan

( ) , ( )- , - , - [

( )] , -

( )

( ) , ( )- [ ( )]

, -

( )

dan untuk komponen pada sumbu y

( ) , ( )- [ ( )]

[ ]

( )

sehingga dapat digabungkan dalam bentuk matriks

[ ( )

( )] [

, ( )-

, ( )- ] 0

1

[, ( )-

, ( )- ] 6

, -( )

, -( )7

[, -

( )

[ ]( )

] (2.49)


6, ( )- [ ( )]

, ( )- [ ( )] 7 [

, -( )

[ ]( )

]

[ ( )

( )] 6

, -( )

, -( )7 [

, -( )

[ ]( )

]

Sehingga nilai beban permukaan pada titik-titik nodal

, ( )- , -* +( ) (2.50)

Dari persamaan 2.43 diketahui kerja semu akibat beban permukaan adalah

, - [

]

, ( )- , ( )-

dengan melakukan subtitusi persamaan tersebut dengan persamaan 2.45 dan 2.50

* + , - , -* +( )

* + , - , -* +( )

(2.51)

dengan adalah vektor gaya yang terhubung dengan perpindahan titik nodal dari titik nodal

pada permukaan elemen yang diberi beban

, - . , - , -

/ * +( ) (2.52)

maka persamaan 2.51 dapat disederhanakan menjadi

* + , - (2.53)

Untuk surface point loads dapat diperhitungkan dengan memunculkan fungsi delta (delta function)

sehingga persamaan 2.52 menjadi

, - , - , - (2.54)

Selanjutnya akan dilakukan penurunan komponen-komopnen kerja yang dilakukan oleh

gaya benda (gaya berat, elektromagnetik, maupun magnetik) akibat perpindahan semu, . Fungsi

beban dari gaya-benda ( ) dengan komponen untuk gaya-benda pada sumbu-x dan untuk

gaya-benda pada sumbu-y. Dengan melakukan penurunan yang sama dengan penurunan persamaan

2.50, didapatkan

, ( )- , -* +( ) (2.55)

Sehingga kerja virtual yang disebabkan gaya-benda

, ( )- , ( )-

menjadi

* + , - , -* +( )

* + , - , -

* +( )

* + , - (2.56)

dimana

, - . , - , -

/ * +( )


Sehingga keseluruhan persamaan kerja semu

dapat dituliskan

* + (* + , -* +

) * + * + (* + , -* +

) * + , - * + , -

* + . * + , -* +

/ * + * + . * + , -* + / * + , - * +

, -

. * + , -* +

/ * + . * + , -* + / , - , - (2.57)

dan dengan menuliskan

. * + , -* +

/ , - ; , - : matriks kekakuan

. * + , -* + / , - ; , - : beban awal (initial loads)

, - , - , - , - ; , - : beban global pada titik nodal

Maka persamaan 2.57 dapat dituliskan menjadi persamaan umum analisa tegangan statis

menggunakan metode elemen hingga, yaitu

, -* + , - (2.58)

dimana

* + : matriks perpindahan global (global displacements) untuk setiap titik

, - : matriks kekakuan global (global stiffness) untuk setiap titik

, - : matriks beban total global (global stiffness) untuk setiap titik

, - . * + , -* +

/

* +

[ , ( )-

, ( )-

, ( )-

, ( )-

]

6, -( )

, -( )7

, ( )- , -

, ( )- , -

, -( ) [

]

, -( ) [

]


II.4.5 Elemen dalam Metode Elemen Hingga

Pada dasarnya, dalam menganalisa suatu geometri menggunakan metode elemen hingga

adalah membagi geometri menjadi elemen-elemen kecil dengan suatu jumlah tertentu/berhingga

(finite). Selain itu, setiap bentuk dari elemen tersebut memiliki/mengadaptasi teori elastisitas sesuai

dengan jenisnya. Menurut dimensinya, jenis elemen hingga dalam analisa struktur dibagi menjadi 4,

yaitu:

- Elemen 0 dimensi (0D)




Elemen 0 dimensi biasa digunakan untuk merepresentasikan suatu titik yang memiliki

properti seperti massa, redaman, maupun per (spring).

Elemen 1 dimensi biasa digunakan untuk merepresentasikan suatu struktur yang

diasumsikan memiliki perilaku elastisitas batang (truss/rod), balok (beam), maupun gabungan

keduanya (bar).


diasumsikan memiliki perilaku elastisitas membran (membrane), pelat tipis (thin shell), maupun

pelat tebal (thick shell).


diasumsikan memiliki perilaku elastisitas benda padat 3 dimensi (3D solid).

Secara garis besar perbedaan dari setiap jenis dan sub-jenis dari elemen di atas terdapat

pada hubungan antara gaya-luar yang terjadi pada struktur dengan perpindahan yang terjadi,

sehingga apabila dua benda yang serupa secara geometri serta properti dan gaya luar yang terjadi

pada kedua benda sama dimodelkan dengan jenis elemen yang berbeda maka gaya dalam, regangan,

tegangan, dan perpindahan yang terjadi pada masing-masing struktur akan berbeda. Contoh kasus

tersebut dapat dilihat pada gambar 2.4.1, dimana suatu pelat yang memiliki lubang pada sisi tengah

atas dan bawah dimodelkan dengan luas elemen yang sama namun berbeda jenis memiliki besar

tegangan Von-Mises yang berbeda di beberapa daerah.

Gambar 2.4.1 Tegangan Von Mises pada Pelat Berlubang yang Dimodelkan dengan Elemen Pelat Tipis (kiri) dan Elemen 3D

(kanan)


Oleh karena itu dalam menganalisa struktur menggunakan metode elemen hingga

diperlukan justifikasi yang tepat dalam menentukan asumsi yang terjadi pada struktur sehingga

dapat menentukan jenis elemen yang dipakai. Namun apabila dinilai sulit untuk menentukan jenis

elemen yang dipakai untuk analisa, elemen 3 dimensi dapat dipilih oleh karena jenis elemen tersebut

hanya memiliki asumsi linier dalam penurunan teori elastisitasnya.

Setiap elemen terdiri dari titik nodal dan sisi elemen. Adapun jumlah titik nodal minimum

untuk setiap elemen ditunjukkan oleh tabel 2.1.

Jenis Elemen

Jumlah Titik Nodal Minimum dalam

Satu Elemen

0D

1

1D

2

2D Segitiga 3

2D Persegi 4

3D Prisma Segitiga 6

3D Limas Segitiga 4

3D Heksagonal 8 Tabel 2.1 Jumlah Titik Nodal Minimum untuk Setiap Elemen

Selain itu setiap elemen dapat juga memiliki jumlah titik nodal yang lebih dari jumlah minimumnya

dengan suatu ketentuan. Namun hal ini tidak akan dibahas dalam tugas akhir ini.

Setiap titik nodal berguna untuk mendefinisikan gaya luar maupun dalam, dan perpindahan

yang terjadi, sedangkan setiap elemen berguna untuk mendefinisikan regangan dan tegangan yang

terjadi.

Berikut akan dijelaskan mengenai beberapa jenis elemen yang akan dipakai dalam tugas

akhir ini beserta perbandingannya satu dengan yang lain.

II.4.6 Elemen 1 Dimensi

II.4.6.1 Elemen Rangka Batang (Truss/Rod)

Elemen struktur berupa rangka batang biasa dipakai ketika suatu struktur dapat dianggap

hanya mengalami perpindahan dan regangan pada arah sumbu tegak lurus penampang. Hal tersebut

terjadi oleh karena pada elemen batang, Prinsip St.Vernant berlaku (panjang batang > 2 x luas

penampang) (faktor konsentrasi tegangan diabaikan) yaitu ketika faktor konsentrasi tegangan pada

suatu penampang struktur diabaikan sehingga gaya yang berlaku pada satu titik pada penampang

batang dianggap berlaku pada keseluruhan penampang. Lebih lanjut lagi, hal tersebut menyebabkan

dalam penurunan matriks kekakuan yang pada dasarnya merupakan energi regangan, perpindahan

yang diperhitungkan hanya perpindahan dalam sumbu tegak lurus penampang. Oleh karena kedua

alasan tersebut, tegangan maupun perpindahan yang didapatkan dari hasil perhitungan hanya

merupakan tegangan dan perpindahan tegak lurus sumbu penampang.


Pada kasus-kasus pembebanan suatu struktur yang hanya melibatkan gaya aksial yang

berupa gaya tarik maupun gaya tekan, pemakaian elemen ini cukup valid untuk digunakan dan dapat

mengurangi biaya dan waktu perhitungan. Pada bagian-bagian struktur yang dirancang hanya untuk

menahan beban tarik maupun tekan, elemen rangka batang valid untuk digunakan.

II.4.6.2 Elemen Balok (Beam)

Elemen struktur berupa balok biasa dipakai ketika suatu struktur dapat dianggap hanya

mengalami perpindahan pada arah sumbu tegak lurus penampang dan rotasi pada sumbu normal

bidang yang tegak lurus penampang. Sesuai dengan flexure formula, perpindahan tersebut

menyebabkan timbulnya gaya dalam dengan arah tegak lurus dan sejajar penampang. Elemen balok

memiliki geometri lurus dalam arah memanjang dan bentuk penampang yang tetap. Pada elemen

balok, apabila terjadi beban terdistribusi, beban tersebut akan dipindah ke titik nodal terdekatnya

dengan kata lain beban tersebut diubah menjadi reaksi ujung tetap. Selain itu, lokasi dari sumbu

utama relatif terhadap penampangdianggap tetap setelah berdeformasi dan penampang dari elemen

tidak mengalami warping sehingga flexure formula dapat berlaku.

Gambar 2.4.2 Elemen Rangka Batang (Truss/Rod) Gambar 2.4.3 Elemen Balok (Beam)

II.4.6.3 Elemen Batang (Bar)

Pada dasarnya, elemen batang (bar) yang dimaksud berbeda dengan elemen rangka batang

(truss/rod).Elemen batang merupakan penggabungan antara elemen rangka batang dengan elemen

balok. Sehingga perpindahan, tegangan, regangan, asumsi-asumsi, batasan, hingga perumusannya

mengikuti/sama dengan dua elemen lain yang membangun elemen batang.Elemen batang biasa

ditemui pada kasus-kasus portal/frame.

II.4.7 Elemen 2 Dimensi

II.4.7.1 Elemen Cangkang Membran

Suatu elemen membran memiliki karakteristik seperti elemen rangka batang

(truss/rod).Artinya, elemen membran 2 dimensi hanya diasumsikan memiliki kekakuan dalam arah

di dalam bidangnya (in-plane). Sehingga hal tersebut menyebabkan struktur hanya mengalami

tegangan aksial ke-3 sumbu utama lokal. Apabila terjadi suatu beban luar yang dapat menyebabkan

lentur pada elemen maupun geser pada penampang elemen, hal tersebut tidak diperhitungkan

sehingga tidak memberikan pengaruh terhadap perpindahan pada titik nodal pada elemen tersebut.

II.4.7.2 Elemen Pelat/Cangkang Tipis (Thin Shell/Kirchoff Plate Theory)

Pada dasarnya, elemen pelat tipis memiliki kekakuan seperti elemen balok (beam), sehingga

pada elemen pelat, perpindahan yang diakibatkan gaya yang menyebabkan gaya geser dan momen


internal diperhitungkan. Namun pada elemen pelat tipis, ketika pelat mengalami deformasi,

penampang dari pelat tersebut tetap tegak lurus sumbu utamanya. Hal ini membuat penurunan dari

persamaan yang dibutuhkan untuk menghubungkan gaya luar dengan perpindahan menjadi lebih

sederhana. Namun, penggunaan asumsi ini memiliki suatu batas. Dari penelitian yang banyak

dilakukan, batasan dari penggunaan asumsi pelat tipis merupakan variabel dari geometri/ukuran

penampang.Selain itu tegangan normal pada sumbu keluar bidangnya (out of plane) dianggap tidak

mempengaruhi regangan dalam arah normal in-plane.

II.4.7.3 Elemen Pelat/Cangkang Tebal (Thick Shell/Reissner-Mindlin Plate Theory)

Elemen cangkang tebal merupakan elemen yang hampir mendekati elemen 3

dimensi.Namun, dalam penurunan rumusnya masih terdapat kesamaan dengan elemen pelat tipis

ditambahkan dengan fleksibilitas geser transversal dan interpolasi orde kedua (elemen

kuadratik).Namun regangannya tetap dianggap bernilai kecil.

Gambar 2.4.4 Elemen Membran LST (Linear Strain Triangle) Gambar 2.4.5 Elemen Cangkang

II.4.8 Fungsi Bentuk

Pada dasarnya, pada elemen hingga, setiap titik nodal pada suatu elemen memberikan

pengaruh/kontribusi pada perpindahan yang terjadi pada suatu titik di dalam elemen tersebut.

Variabel yang menunjukkan hubungan antara suatu titik nodal dengan titik-titik yang berada di

dalam elemen disebut dengan fungsi bentuk (shape function) yang biasa direpresentasikan dengan

lambang Nn, dimana n merupakan identitas titik yang dicari perpindahannya..

dimana u : perpindahan pada suatu titik pada elemen

un : perpindahan pada titik nodal-n

Nn : fungsi bentuk titik nodal-n

Apabila ditelaah lebih teliti, bentuk tersebut merupakan operasi numerik interpolasi. Lebih tepatnya

metode interpolasi numerik polinomial lagrange.Pada perhitungan metode elemen hingga,

interpolasi merupakan hal yang penting, oleh karena, suatu perpindahan yang terjadi pada suatu titik

tanpa kondisi batas perpindahan dianggap dihitung dengan mengasumsikan fungsinya terlebih

dahulu sebelum pada akhirnya diturunkan.Terdapat beberapa cara lain seperti weighted residual

methods, Metode Galerkin, Metode Newton-Rhapson, dan sebagainya.

II.4.9 Integrasi Numerik

Pada sub-bab II.4.3 diketahui persamaan yang dipakai untuk metode elemen hingga

diturunkan dari prinsip kerja semu yang memiliki komponen integrasi.Oleh karena perhitungan

elemen hingga yang lazim menggunakan komputer, maka diperlukan metode numerik untuk


menyelesaikan fungsi integrasi yang ada. Salah satu metode integrasi numerik yang cukup sedehana

dan memiliki error yang relatif kecil adalah metode trapesium,

( )

( )

dimana fn : nilai fungsi ke-n

fn+1 : nilai fungsi pada titik n+1

a : titik a

b : titik b

II.5 Mekanika Gelombang Air Laut

Pada perairan di laut, karena beberapa hal seperti pengaruh angin yang berhembus di

sepanjang perairan, pengaruh gravitasi, pengaruh rotasi bumi, pengaruh gempa/pergeseran lempeng,

pengaruh pergerakan suatu benda pada perairan, pada suatu perairan terjadi gelombang.Seperti

yang telah dijelaskan pada awal sub-bab kegagalan struktur pada kapal, kondisi struktur kapal dapat

mengalami pengaruh yang cukup signifikan oleh karena adanya variasi tinggi muka air akibat

terjadinya gelombang.Terdapat beberapa teori yang mendefinisikan tentang tinggi muka air pada

perairan yang terjadi gelombang, salah satunya teori gelombang linier. Teori gelombang linier

mengasumsikan bahwa tinggi elevasi muka air ( )memiliki bentuk

( )

cos( ) (2.60)

dimana H : amplitudo gelombang (m)

x : lokasi titik tinggi elevasi muka air pada sumbu-x (m)

t : waktu (s)

L : panjang gelombang (m)

: frekuensi gelombang (rad/s)

T : periode gelombang (s)

Panjang gelombang (L) dan periode (T) merupakan variabel yang saling mempengaruhi satu

sama lain dan dengan kedalaman perairan (h). Hubungan ini ditunjukan oleh persamaan yang

didapatkan oleh CERC (Coastal Engineering Research Center), yaitu:

tanh (2.61)

dimana g: percepatan gravitasi (m/s2)

L : panjang gelombang (m)

: frekuensi gelombang (rad/s)


T : periode gelombang (s)

h : kedalaman perairan (m)

Dari Dean-Dalrymple, 89/1991, didapatkan rumus untuk menghitung tekanan hidrostatis

pada gelombang progressif, yaitu

( ) (2.62)

dimana, p : tekanan hidrostatis

g : percepatan gravitasi

Kp : faktor respon gelombang = ( )

: tinggi muka air =

cos( )

k : konstanta gelombang =

: frekuensi gelombang =

L : panjang gelombang

T : periode gelombang

x : posisi titik yang ditinjau pada sumbu-x

z : posisi titik yang ditinjau pada sumbu-z

t : waktu tinjauan

Pada model yang akan dianalisa, dianggap model berada pada perairan yang sangat dalam

relatif terhadap sarat air dari model (z h) dan kondisi analisa adalah kondisi statis (t = konstan),

sehingga dapat diasumsikan

cosh ( )

cosh

cosh

cosh

dan apabila dipakai t = 0, maka

cos( ) cos

Sehingga persamaan 2.62 dapat dituliskan menjadi

.

cos(

) / (2.63)

dasar teori kapal, mekanika teknik, dan elemen hingga untuk struktur

Documents