copyofstatmatiiedit.docx

7/24/2019 CopyofSTATMATIIEDIT.docx

1/37

MATKUL :STATISTIKA MATEMATIKA II

Dosen : Istiqomah, S.Si, M.Sc.

Semsester 4

I.PELUANG1. Penah!"!an

D

alam kehidupan sehari - hari banyak kejadian yang terjadinya didasarkan pada peluang atau

probabilitas, misalnya peluang seseorang terkena jantung adalah 0,00001 , peluang hasil pertandingan

final sepak bola antara Perancis dan Brasilia adalah 3 - 2, dan lain sebagainya !ejadian - kejadian

seperti di atas sebenarnya tidak hanya terjadi sekarang saja, tetapi hal tersebut sudah terjadi sejak

ratusan tahun yang lalu, atau mungkin juga ribuan tahun yang lalu

"amun secara ilmu baru dirumuskan sekitar abad ke tujuh belas, yaitu ketika ada seorang penjudi kelas

kakap bernama #he$a"ier e Mere mengajukan pertanyaan kepada Pasca" dan mendiskusikan kepada

%ermat # 1$01 - 1$$%&

Dengan perumusan kedua orang tersebut maka lahirlah ilmu peluang yang tidak saja menja'ab

tentang perjudian , tetapi juga berkembang menjadi ilmu yang bermanfaat bagi ilmu pengetahuan,

khususnya statistika

1. &!an' sam(e" an Ke)aian

Pekerjaan statistika'an pada dasarnya adalah menafsirkan hasil yang mungkin dari suatu

eksperimen atau percobaan yang dirancang sebelumnya atau yang muncul dalam penelitian ilmiah

(isalnya dalam pelemparan satu mata uang logam sekali maka yang muncul adalah ( # muka & atau )

# gambar&, dalam pelemparan satu mata dadu yang setimbang maka yang muncul adalah angka 1, 2, 3,

*, %, atau $

De*inisi 1.1

+impunan semua hasil yang mungkin muncul dari suatu percobaan disebut ruang sampel , yang

dilambangkan dengan S.

De*inisi 1.+

+impunan bagian dari ruang sampel disebut e)aian, yang biasanya dilambangkan dengan huruf

besar

De*inisi 1.-

uatu kejadian yang hanya mengandung satu unsur dari ruang sampel disebut kejadian sederhana

STATISTIKA MATEMATIKA II_SEMESTER 4


2/37

uatu kejadian majemuk adalah kejadian yang dapat dinyatakan sebagai gabungan beberapa kejadian

1. Men'hit!n' titi sam(e"

alah satu problem yang dihadapi para peneliti adalah menentukan banyaknya anggota ruang sampel

dari suatu percobaan Dalam banyak hal penentuan anggota ruang sampel tidaklah mudah, tetapi

kadang-kadang juga sulit,

misalnya berapa banyaknya nomor kendaraan yang dapat dibuat jika ketentuannya sebagai berikut

Nomor enaraan terse!t ia/a"i en'an sat! h!r!*, ii!ti o"eh em(at an'a an iahiri o"eh

!a h!r!* en'an masin'0masin' an'a an h!r!* hana i'!naan sea"i an an'a no" tia

o"eh ie(an. Unt! mem!ahan (en'hit!n'an anana an''ota r!an' sam(e" a(at

i'!naan teorema0teorema sebagai berikut

Teorema 1.1

ika suatu operasi dapat dilakukan dengan n cara, dan jika pada setiap cara tersebut operasi kedua

dapat dilakukan dengan m cara, maka kedua operasi itu dapat dikerjakan bersama-sama dengan nm

cara

2!ti :

!arena setiap n dapat berpasangan dengan setiap m, maka banyaknya pasangan yang dapat terjadi

adalah nm cara

#ontoh :

(isalkan seseorang mempunyai 3 celana dengan 'arna berbeda dan * baju dengan 'arna yangberbeda pula .da berapa cara orang tersebut memakai pasangan baju dan celana dengan setiap

pasangan tersebut berbeda / # a'ab 3* 12 &

De*inisi 1.4

Permutasi adalah suatu susunan yang dapat dibentuk dari sekumpulan obyek yang diambil sebagian

atau seluruhnya

(isalnya ada tiga huruf ., B, dan maka susunan yang dapat dibuat adalah .B, .B, B.,

B., .B, dan B. usunan semacam di atas disebut permutasi penuh atau permutasi saja ecara

umum untuk n obyek yang berbeda terdapat n#n-1&321 susunan yang berbeda

Pergandaan semacam di atas biasanya dinotasikan dengan n 4 # dibaca n faktorial atau n fakultet &

Teorema 1.+

0 4 1

2!ti :

Dari definisi n4 n#n 5 1 n 5 2& 321 n # n 5 1 & 4 didapat # n 5 1 & 4 ika n 1

maka didapat 04 1

Teorema 1.-



3/37

Banyaknya permutasi dari n obyek yang berbeda adalah n 4

2!ti :

.nggap ada n tempat yang masing 5 masing tempat akan diisi satu obyek, sehingga tempat satu

dengan yang lain berisi obyek yang berbeda Dengan cara seperti di atas maka tempat pertama dapat

diisi dari pilihan n obyek sedangkan tempat ke dua dapat diisi dari n 51 pilihan, dan seterusnya

sebagaimana gambaran di ba'ah

n n-1 n-2 3 2 1

Dengan menggunakan teorema 11 didapat hasil pergandaan dari n#n-1&321 atau n4

#ontoh :

(isalnya dalam antrian loket untuk mendapatkan karcis pertunjukkan sepak bola terdapat % orang

.da berapa cara orang tersebut membentuk antrian yang berbeda / # a'ab % 4 %*321 120

cara &

Teorema 1.4

Banyaknya permutasi dari n obyek yang berbeda jika diambil r n adalah

n P r

2!ti :

.nggap ada r tempat dengan masing-masing tempat hanya dapat diisi dengan obyek yang berbeda,

maka didapat hasil seperti gambar di ba'ah

n n-1 n-2 n-r61

Dengan menggunakan teorema 11 didapat hasil pergandaan dari n#n-1n-r61& atau

#ontoh :

(isalnya ada 7 orang sebagai formatur yang dapat dipilih menjadi pengurus organisasi dengan susunan

pengurus sebagai berikut satu orang sebagai ketua, satu orang sebagai sekretaris, dan satu orang

sebagai bendahara .da berapa susunan pengurus yang berbeda dapat dibuat / # a'ab 7$% 210 &

Teorema 1.3

Banyaknya permutasi n obyek yang berlainan yang disusun melingkar adalah # n - 1 & 4

2!ti :

ika ada n obyek yang berbeda akan disusun melingkar pada n tempat maka tinggal n-1 tempat yang

bebas dapat ditempati n-1 obyek ehingga susunan berbeda yang dapat terjadi adalah # n-1& 4

#ontoh :

(isalnya ada $ orang membentuk konferensi meja bundar .da berapa cara susunan cara duduk ke 5

enam orang tersebut / # a'ab # $ 5 1 & 4 % 4 120 &

Teorema 1.

Banyaknya permutasi dari n obyek yang terdiri atas n1, , nkadalah



4/37

, dengan n

2!ti :

.nggap jika n obyek tersebut berbeda, maka susunan yang terjadi adalah n4 !arena setiap n i juga

membentuk susunan sebanyak ni4 8ang mestinya hanya dihitung satu (aka banyaknya susunan

berbeda yang terjadi adalah atau sama dengan

#ontoh :

(isanya dalam perayaan peringatan hari kemerdekaan yang akan dilaksanakan pada bulan yang akan

datang, didepan gang masuk kampung akan dipasang lampu hias yang terdiri 3 lampu 'arna merah, 2

lampu 'arna hijau, * lampu 'arna kuning, dan 1 lampu 'arna biru ika lampu 5 lampu tersebut

disusun secara berjajar, ada berapa susunan lampu hias yang dapat dibuat /

# a'ab &

Teorema 1.5

Banyaknya kombinasi dari n obyek yang berbeda jika diambil r n adalah

2!ti :

9ntuk kombinasi urutan .B B. ika dianggap urutan .B tidak sama dengan urutan B. maka

banyaknya urutan yang terjadi sama dengan kejadian pada teorema 1* yaitu !arena setiap r obyek

dapat menyusun r4 susunan yang berbeda maka banyak susunan yang terjadi dari kasus kombinasi

adalah

#ontoh :

(isalnya ada 7 orang sebagai formatur yang semuanya dapat dipilih untuk menjadi pengurus suatuorganisasi yang terdiri 3 orang .da berapa susunan pengurus yang dapat dibuat / # a'ab 7 %

3% &

1. Pe"!an' Ke)aian

Pada dasarnya tugas statistika'an adalah menyimpulkan atau menginferensi hasil suatu percobaan

yang mengandung ketidakpastian .gar kesimpulan tersebut dapat dipertanggung ja'abkan secara

ilmiah maka diperlukan pemahaman ilmu peluang 9ntuk dapat menja'ab dengan tepat hasil

pertandingan final sepak bola yang akan dilaksanakan diperlukan ilmu peluang tentang sepak bola

beserta analisisnya yang dapat dinyatakan sebagai peluang

Didalam merumuskan peluang suatu kejadian ada tiga cara yang dapat digunakan yaitu

1. #ara "asi

(isalnya banyaknya anggota ruang sampel adalah n dan banyaknya anggota kejadian . adalah m

maka peluang terjadinya kejadian . yang dinotasikan dengan P#.& adalah m:n (isalnya peluang

munculnya angka gasal pada pelemparan satu mata dadu yang setimbang adalah ;

edangkan peluang munculnya dua gambar pada pelemparan dua mata uang logam sekali adalah


5/37

1. #ara *re/ensi re"ati$e

ika suatu percobaan dilakukan sebanyak n # n & dan kejadian . yang diamati pada percobaan

tersebut terjadi sebanyak m maka P# . & (isalnya pada pelemparan mata uang dilakukan

sebanyak 1000 kali, dari pelemparan tersebut banyaknya muka muncul %0$ kali, maka peluang

munculnya muka adalah %0$ : 1000

0,%

-. #ara s!eti*

Banyaknya peluang dalam kejadian sehari - hari yang tidak dapat ditentukan dengan kedua cara di

atas, misalnya berapa peluang nanti sore akan hujan /

9ntuk menja'ab pertanyaan tersebut diperlukan seorang ahli yang dapat memperkirakan dengan

baik kapan terjadinya hujan Peluang yang ditentukan seperti di atas disebut peluang secara

subyektif

De*inisi 1.

ika . suatu kejadian dan merupakan ruang sampel, maka 0 P#.&1,

P #& 0, P # & 1

1. 2eera(a 6!!m Pe"!an'

Dalam banyak kasus yang terdiri atas beberapa kejadian, untuk menentukan nilai peluang yang satu

dapat ditentukan dengan peluang yang lain 9ntuk itu diperlukan teorema sebagai berikut

Torema 1.7

ika . dan B dua kejadian sebarang , maka P # .B & P # . & 6 P # B & - P # . B &

2!ti :

Dari teori himpunan diperoleh n # .B & n # .& 6 n # B & 5 n # . B & ika kedua ruas

dibagi dengan n # & maka didapat atau

P # .B & P # . & 6 P # B & - P # . B &

Aiat : ika . dan B saling lepas, maka P # .B & P # . & 6 P # B &

2!ti :

!arena . dan B saling lepas maka .B , sehingga P # . B & 0 dan

P # .B & P # . & 6 P # B &

Teorema 1.8

ika . dan .= kejadian yang saling berkomplemen, maka P # .= & 1 - P # . &

2!ti :

Dari teori himpunan diketahui ..= , dan ..= sehingga didapat

P #..= & P # . & 6 P # .= & P # & 1, yang berarti didapat P# .= & 1 5 P # . &

#ontoh :

(isalkan sebuah dadu ditos sekali Berapa probabilitas bah'a mata dadu yang keluar lebih besar

sama dengan 2 /



6/37

a'ab

(isalkan . kejadian mata dadu yang keluar lebih besar sama dengan 2, maka .= kejadian mata

dadu yang keluar satu Berarti P # .= & 1:$, sehingga P # . & 1 5 1:$ %:$

1. Pe!ah Aca

Dari percobaan pelemparan dua mata uang logam yang setimbang sebanyak sekali maka didapat

> ((, (), )(, )) ? (isalnya @ adalah fungsi dengan domain yang didefinisikan @ #((& 0 , @

#)(& @ #()& 1, dan @ #))& 2 Ani berarti @ merupakan fungsi bernilai real dengan domain

De*inisi 1.5

ungsi bernilai real yang domainnya ruang sampel disebut peubah acak atau Cariabel random

De*inisi 1.7

ika banyaknya nilai dari peubah acak berhingga atau sama dengan banyaknya bilangan asli maka

peubah acak tersebut disebut tipe diskret

De*inisi 1.8

ika banyaknya nilai peubah acak sama dengan banyaknya titik dari sepenggal garis atau sama

dengan banyaknya titik bilangan real maka peubah acak tersebut disebut tipe kontinu

1.5 Distri!si Pe"!an' Pe!ah Aca Disret

!adang - kadang dalam banyak kasus diinginkan bentuk distribusi dari suatu peubah acak, misalnya

jika seseorang mempunyai tiga anak, bagaimana distribusi peluang dari peubah acak banyaknya anak

laki - laki dari ketiga anak tersebut (isalnya @ banyaknya anak laki-laki , maka distribusi

peluangnya adalah sebagai berikut

@ 0 1 2 3

P # @ & 1:E 3:E 3:E 1:E

1.7 %!n'si Ke(aatan Pe"!an' 9 *( ; P* 9Proai"it Densit %!nction

De*inisi 1.1 : 1:k 3 - 1:k ? , k 1, 2, 3,

b .k > # , y & : 1:k 26 y 2* - 1:k ? , k 1, 2, 3,

21 ika .1, .2, merupakan himpunan-himpunan sehingga .k.k 6 1untuk k 1, 2, dan

didefinisikan sebagai interseksi dari .1.2.3 , maka tentukan jika

a .k > : 2 - 1:k2 ? , k 1, 2, 3,

b .k > : 2 G 2 6 1:k ? , k 1, 2, 3,

c .k > # , y & : 0 26 y 2 1:k ? , k 1, 2, 3,

1 (isalkan f # & :1% , 1, 2, 3, *, % dan nol untuk yang lain merupakan fkp dari peubah acak @

Ientukan a& P # @ 1 atau @ 2 & b & P # ; G @ G %:2 &

1 9ntuk setiap fkp di ba'ah ini hitung P #@ G 1 & dan P # @2G H &

a f # & 2:1E , -3 G G 3 , dan nol untuk yang lain

b f # & # 6 2 & : 1E , - 2 G G * , dan nol untuk yang lain

1 (isalkan f # , y & * y , 0 G G 1 , 0 G y G 1 ,dan nol untuk yang lain merupakan fkp bersama antara

@ dan 8 Ientukan P # 0 G @ G ; , < G 8 G 1 & dan P # @ 8 &

1 (odus dari distribusi suatu peubah acak @ adalah nilai yang memaksimumkan fkp f # & Dari fkp

berikut tentukan modusnya

a f # & # ; & , 1, 2, 3, ,dan nol untuk yang lain

b f # & 12 2# 1 - & , 0 G G 1 , dan nol untuk yang lain

c f # & # ; & 2e - , F 0 , dan nol untuk yang lain

1 (edian dari distribusi suatu peubah acak @ adalah nilai sehingga P # @ G & ; dan P # @ &

; Ientukan median dari masing - masing distribusi yang mempunyai fkp berikut

a f # & , 0, 1, 2, 3, *, dan nol untuk yang lain



11/37

b f # & 3 2, 0 G G 1 , dan nol untuk yang lain

c f # &

1 (isalkan f # & merupakan fkp dari peubah acak @ Ientukan fungsi distribusi # distribusi

komulatif & # & dan buat grafiknya dari fkp berikut

a f # & 1 , 0 , dan nol untuk yang lain

b f # & 1:3 , -1, 0, 1 , dan nol untuk yang lain

c f # & :1% , 1, 2, 3, *, % dan nol untuk yang laind f # & 3 # 1 - 2& , 0 G G 1 , dan nol untuk yang lain

e f # & 1:2, F 1 , dan nol untuk yang lain

f f # & 1:3 , 0 G G 1 atau 2 G G * , dan nol untuk yang lain

1 (isalkan f # & 1 , 0 G G 1 , dan nol untuk yang lain merupakan fkp dari @ Ientukan fungsi

distribusi dan fkp dari 8 @

1 (isalkan f # & :$ , 1, 2, 3 ,dan nol untuk yang lain merupakan fkp dari @ Ientukan fungsi

distribusi dan fkp dari 8 @ 2

2 (isalkan @ dan 8 mempunyai fkp f # , y & 1 , 0 G G 1 , 0 G y G 1, dan nol untuk yang lain Ientukan

fkp dari O @83 (isalkan peubah acak @ mempunyai fkp f # & # 6 2 & :1E , -2 G G * , dan nol untuk yang lain

Ientukan J # @ & , J K # @ 6 2 &2L, dan J K $ @ - 2 # @ 6 2 & 3L

* (isalkan fkp bersama antara @ dan 8 adalah f # , y & e - - y, F 0 , y F 0 , dan nol untuk yang lain

.mbil u # @ , 8 & @ , C # @ , 8 & 8, dan ' # @ , 8 & @8 Buktikan J Ku # @ , 8 & L J KC # @ , 8 & L

J K' # @ , 8 & L

% (isalkan peubah acak @ tipe kontinu mempunyai fkp f # & ika m adalah median yang tunggal dari @

dan b konstanta real , maka buktikan

J #@ - b& J #@ - m& 6 2

1 (isalkan peubah acak @ memenuhi sifat J K # @ - b & 2L ada untuk semua b Buktikan J K # @ - b & 2L

minimum jika b J # @ &

1 (isalkan peubah acak @ mempunyai mean dan Carians2sehingga J K # @ - & 3L ada maka J

K # @ - & 3 L: 3dinamakan ukuran kemiringan # ke'ness & Ientukan ukuran kemiringan dari

distribusi yang mempunyai fkp sebagai berikut

a f # & # 6 1 & : 2 , - 1 G G 1 , dan nol untuk yang lain

b f # & ; , -1 G G 1 , dan nol untuk yang lain

c f # & # 1 - & : 2 , - 1 G G 1 , dan nol untuk yang lain

1 (isalkan peubah acak @ mempunyai mean dan Carians2sehingga J K # @ - & *L ada maka J

K # @ - & * L: *dinamakan ukuran keruncingan # !urtosis & Ientukan ukuran keruncingan dari

distribusi yang mempunyai fkp sebagai berikut

a f # & ; , - 1 G G 1 , dan nol untuk yang lain

b f # & 3 # 1 - 2& : * , - 1 G G 1 , dan nol untuk yang lain



12/37

I. PELUANG 2E&S>A&AT DAN 2E2AS ST?KASTIK

1. Penah!"!an

D

alam kehidupan sehari-hari banyak dijumpai bah'a suatu kejadian tidak tunggal, tetapi mungkin dijumpai

beberapa kejadian yang satu dengan yang lain mungkin saling mempengaruhi atau yang satu dengan yang

lain saling bebas Demikian juga ada kejadian yang terjadinya terjadi setelah kejadian lain terjadinya

diketahui Pada bab ini akan dibahas tentang peluang bersyarat, teorema Bayes, distribusi marginal, distribusi

bersyarat, bebas stokastik, koCarians, dan korelasi

1. Pe"!an' 2ersarat

(isalkan . dan B kejadian yang terjadinya bersama-sama dengan kejadian B diketahui terjadinya

terlebih dahulu Peluang terjadinya . jika diketahui B terjadi dahulu disebut peluang bersyarat, yang

dinotasikan P # . : B &

De*inisi +.1

ika . dan B dua kejadian yang terjadi bersama-sama maka peluang terjadinya . dengan syarat B

yaitu

Dari pengertian kejadian yang saling bebas berarti jika . dan B dua kejadian yang saling bebas maka

P # . : B & P # . & maka dengan menggunakan definisi 21 didapat hubungan P # . B & P # . & P

# B &

Teorema 2aes

ika 1, , mkejadian yang saling lepas dan adalah kejadian yang merupakan subset

dari union 1, , m maka

1 P # & , i 1, 2, , m2 P # i: &

1. Distri!si Mar'ina" an 2ersarat

(isalkan f # ,y & merupakan fkp bersama dari peubah acak @ dan 8 maka fkp marginal dari @

adalah

f # & , untuk kasus diskret

, untuk kasus kontinu

edangkan fkp bersyarat dari @ jika 8 y diketahui adalah f # :y &

.da kalanya diinginkan untuk mengetahui nilai 8 jika @ diketahui +al ini dapat ditentukandengan menghitung nilai mean bersyarat yaitu J # 8 : & yang didefinisikan J # 8 : & , untuk



13/37

kasus diskret

, untuk kasus kontinu

dan Carians bersyarat Car # 8 : & J > K 8 - J # 8 : & L 2: ?

1. Koe*isien Kore"asi

Banyak dijumpai dalam kehidupan sehari-hari bah'a peubah acak yang satu dengan yang lain

mungkin saling mempengaruhi atau tidak (isalkan peubah acak @ dan 8 masing-masing mempunyai

mean1 dan2serta Carians12dan 2

2, maka J # @8 & -12disebut koCarians dari @ dan 8,

yang dinotasikan dengan coC # @ , 8 & , sedangkan koefisien korelasi dari @ dan 8 dinotasikan

yang didefinisikan

Teorema +.1

"ilai koefisien korelasi dari peubah acak @ dan 8 adalah - 11

9ntuk dua peubah acak @ dan 8 yang mempunyai fkp bersama f # , y & dapat ditentukan fungsi

pembangkit momennya yang didefinisikan J # et 6 sy& dengan - h G t G h dan - k G s G k, untuk h

kan k bilangan bulat positif

1. 2eas Stoasti

(isalkan @ dan 8 dua peubah acak yang mempunyai fkp bersama f # , y & dan fkp marginal masing

- masing f # & dan f # y & Dari definisi distribusi bersama f # , y & f # :y& f # y & dan misalkan f

# : y & tidak tergantung dari y maka didapat f # , y & f # & f # y &

De*inisi +.

(isalkan @ dan 8 dua peubah acak yang mempunyai fkp bersama f # , y & dan fkp marginal dari @

adalah f # & dan marginal dari 8 adalah f # y & Peubah acak @ dan 8 dikatakan saling bebas stokastik

jika f # , y & f # & f # y &

Teorema +.+

ika @ dan 8 peubah acak yang bebas stokastik dengan fkp marginal f # & dan f # y & maka P # a G

@ G b , c G 8 G d & P # a G @ G b & P # c G 8 G d & untuk setiap a G b dan c G d, dengan a, b, c, dan d

konstanta

Teorema +.-

(isalkan peubah acak @ dan 8 mempunyai fkp bersama f # , y & (aka @ dan 8 bebas stokastik

jika dan hanya jika f # , y & dapat dinyatakan sebagai hasil pergandaan fungsi non negatif dari dan

fungsi non negatif y, yaitu f # , y & g # & h # y &

Soa" 0 soa" "atihan :

1 ika P # 1& F 0 dan jika 2, 3, saling lepas maka buktikan P # 23

: 1& P # 2: 1& 6 P # 3: 1& 6

2 (isalkan @ dan 8 mempunyai fkp bersama f # , y & 6 y , 0 G G 1 dan 0 G y G 1 , dan nol

untuk yang lain Ientukan mean dan Carians bersyarat dari 8 jika diberikan @ , 0 G G 1

3 (isalkan f # : y & c : y 2, 0 , G y , 0 G y G 1 , dan nol utnuk yang lain , dan f # y & d y *, 0 G

y G 1 ,dan nol untuk yang lain masing -masing merupakan fkp bersyarat dan fkp marginal Ientukana konstanta c dan d

b fkp bersama antara @ dan 8



14/37

c P # < G @ G ; : 8 %:E &

d P # < G @ G ; &

1 (isalkan f # , y & 21 # y & 2, 0 G G y G 1 , dan nol untuk yang lain merupakan fkp bersama

antara @ dan 8 Ientukan mean dan Carians bersyarat dari @ jika 8 y , 0 G y G 1

1 ika @ dan 8 adalah peubah acak tipe diskret yang mempunyai fkp bersama f # , y & # 6 2

y & : 1E , # , y & # 1 , 1 & , # 1 , 2 & , # 2, 1& , # 2 , 2 & , dan nol untuk yang lain Ientukan mean danCarians bersyarat dari 8 jika diberikan @ untuk 1 atau 2

2 (isalkan @ dan 8 mempunyai fkp bersama

a f # , y & 1:3 , # , y & # 0 , 0 & , # 1 , 1 & , # 2 , 2 & , dan nol untuk yang lain

b f # , y & 1:3 , # , y & # 0 , 2 & , # 1 , 1 & , # 2 , 0 & , dan nol untuk yang lain

c f # , y & 1:3 , # , y & # 0, 0 & , # 1 , 1 & , # 2 , 0 & , dan nol untuk yang lain

Ientukan koefisisen korelasi dari peubah acak @ dan 8

1 (isalkan f # , y & 2 , 0 G G y , 0 G y G 1 , dan nol untuk yang lain merupakan fkp bersama dari

@ dan 8 Buktikan J # 8 : & # 1 6 & : 2 , 0 G G 1 dan J # @ : y & y : 2 , 0 G y G 1 ,

dan koefisien korelasi antara @ dan 8 adalah ;1 (isalkan @ dan 8 mempunyai fkp bersama f # , y & 1 , -1 G y G , 0 G G 1 dan nol untuk yang

lain Buktikan J # 8 : & merupakan garis lurus dan J # @ : y & bukan merupakan garis lurus

2 Buktikan peubah acak @ dan 8 yang mempunyai fkp bersama f # , y & 12 y

# 1 - y & , 0 G G 1 , 0 G y G 1, dan nol untuk yang lain merupakan independen stokastik

3 ika peubah acak @ dan 8 mempunyai fkp bersama f # , y & 2 e - - y, 0 G G y , y F 0 , dan nol

untuk yang lain Buktikan @ dan 8 independen stkastik

* (isalkan f # , y & 1:1$ , 1, 2, 3, * dan y 1, 2, 3, * dan nol untuk yang lain Buktikan @ dan

8 independen stokastik

% Ientukan P # 0 G @ G 1:3 , 0 G 8 G 1:3 & jika peubah acak @ dan 8 mempunyai fkp bersama f # ,y & * # 1 - y & , 0 G G 1 , 0 G y G 1 dan nol untuk yang lain



15/37

. D STR BUS HAMP RAN

D

alam bab sebelumnya telah dibahas tentang distribusi dari statistik yang diperoleh , misalkan 8 n

@i berdistribusi binomial b#n , p& jika @ iindependen stokastik berdistribusi bernoulli b# 1 , p &

Demikian juga n berdistribusi normal "# ,2:n & jika @imerupakan sampel acak dari distribusi

normal "# ,2&

Dari dua contoh di atas terlihat bah'a distribusi dari statistik yang diperoleh tergantung dari ukuran

sampel n Pada bab ini akan dibahas suatu distribusi dari statistik yang tidak tergantung dari n

Distribusi yang akan dibahas biasanya dinamakan distribusi hampiran # limiting distribution&

De*inisi :

(isalkan n#y& merupakan distribusi komulatif dari peubah acak 8nyang tergantung dari n,



16/37

dengan n bilangan bulat positif ika #y& merupakan distribusi komulatif

sehingga untuk n untuk setiap titik y , dan #y& kontinu, maka peubah acak 8n

dinamakan mempunyai distribusi hampiran dengan distribusi komulatif #y&

#ontoh :

(isalkan 8nadalah order statistik ke-n dari sampel acak @1, , @nyang berasal dari

distribusi dengan pdf f#& 1: , 0 G G , F 0 , dan nol untuk yang lain (aka

pdf dari 8nadalah gn# y & , 0 G y G dan nol untuk yang lain

)n# y &

maka

maka )#y&

De*inisi :

Distribusi komulatif )#y& dinamakan degenarate distributionpada nilai y c jika

)#y&

De*inisi :

Barisan peubah acak 81 , 82 , Dikatakan konCergen stokastik ke konstanta c jika

distribusi hampiran dari 8n adalah degenerate pada y c

Teorema :

(isalkan n#y& merupakan distribusi komulatif dari peubah acak 8n yang distribusinya

tergantung dari n (isalkan c adalah konstanta yang tidak tergantung dari n Peubah acak 8 n

dikatakan konCergen stokastik ke c jika hanya jika untuk F 0 berlaku

Teorema :

(isalkan 8nmempunyai distribusi komulatif n#y& dan fungsi pembangkit momen (# tN n&

ada untuk - h G t G h dan semua n ika terdapat distribusi komulatif #y& yang bersesuaian

dengan fungsi pembangkit momen (#t& sehingga maka 8nmempunyai distribusi hampiran

#y&

Teorema Limit P!sat :

(isalkan @1, , @nmerupakan sampel acak dari distribusi yang mempunyai mean



17/37

dan Carians 2 (aka peubah acak 8n mempunyai

distribusi hampiran normal baku

2!ti :

Definisikan (@-#t& m#t&


1 (isalkan @nberdistribusi gamma dengan parameter n dan , dengantidak tergantung dari n

(isalkan 8n @n: n , maka tentukan distribusi hampiran dari 8n

2 (isalkan Onberdistribusi !ai-kuadrat dengan derajat bebas n dan n On:n Ientukan distribusi

hampiran dari n

3 (isalkan Onberdistribusi Poisson dengan mean n Ientukan distribusi hampiran dari 8n #On- n & :

n* (isalkan n merupakan mean dari sampel acak berukuran n yang berdistribusi Poisson dengan mean 1

Ientukan dari mgf dari 8n n #n- 1& dan juga tentukan distribusi hampiran dari 8n

% (isalkan n adalah mean dari sampel acak berukuran n yang mempunyai pdf f#& e- , F 0 , dan nol

untuk yang lain Ientukan mgf dari 8n n #n - 1& dan tentukan distribusi hampiran dari 8n

$ (isalkan 100merupakan mean dari sampel acak berukuran 100 yang berdistribusi !ai-kuadrat dengan

derajat bebas %0 +itung P # *H G 100G %1 &

7 (isakan 12Eadalah mean dari sampel acak berukuran 12E yang berdistribusi gamma dengan parameter

2 dan * +itung P# 7 G 12EG H&

E (isalkan 8 berdistribusi binomial b# 72, 1:3& +itung P # 22 8 2E&

H +itung probabilitas dari mean sampel acak berukuran 1% yang mempunyai pdf f#& 3 2, 0 G G 1, dan

nol untukyang lain berada diantara 3:% dan *:%

10 (isalkan 8 berdistribusi binomial b#*00, 1:%& +itung P# 0,2% G 8:n&

11 (isalkan merupakan mean dari sampel acak berukuran 100 dari distribusi 2# %0 & +itung

nilai pendekatan dari P # *H G G %1 &

12 (isalkan adalah mean dari sampel acak berukuran 12E dari distribusi gamma dengan parameter 2

dan * +itung nilai pendekatan dari P # 7 G G H &

13 (isalkan diketahui peubah acak independen Oi, i 1, 2, , 1$ yang berdistribusi normal " # 0 , 1 &

dan adalah mean dari sampel Ientukan

a P # G ; & b P # O1 - O2 G 2 & c P # O1 6 O2 G 2 &

a P # G 32 & e P # G 2% &



18/37

I@. 2E2E&APA DIST&I2USI K6USUS

1. Penah!"!an

D

alam penerapan , seperti pada penelitian tidak semua distribusi dari suatu peubah acak dapat

digunakan , tetapi ada beberapa distribusi yang sering digunakan diantaranya adalah distribusi binomial,

Poisson, Jksponensial, "ormal, hi - Quare dan lain sebagainya Pada bagian ini akan dibahas tentang

distribusi-distribusi yang sering digunakan dalam penelitian

1. Distri!si Ti(e Disret

1. Distri!si sera'am 9 Uni*orm

Peubah acak @ tipe diskret dikatakan mempunyai distribusi seragam jika mempunyai fkp f # & ,

1, 2, , n

0 , yang lain

+. Distri!si 2erno!""i

Banyak kejadian dalam sekeliling kita yang hasilnya selalu dual yaitu R sukses R atau RgagalS

atu percobaan yang hanya menghasilkan sukses atau gagal saja dengan peluang sukses p dan

peluang gagal 1 - p disebut kejadian Bernoulli Peubah acak @ dikatakan mempunyai distribusi

Bernoulli jika mempunyai fkp f # &

ika sukses dilambangkan dengan 1 dan gagal dengan 0, maka fkp-nya biasanya dituliskan f #&

p# 1 5 p &1-, 0 , 1

0 , yang lain

1. Distri!si 2inomia"

(isalkan ada n barisan kejadian yang saling bebas dengan tiap kejadian merupakan kejadian

Bernoulli, maka jika @ merupakan banyaknya sukses dari barisan tersebut maka @ berdistribusi

binomial Peubah acak @ dikatakan mempunyai distribusi binomial jika mempunyai fkp

f # & , 0, 1, 2, , n N 0 G p G 1

0 , untuk yang lain

ika @ berdistribusi binomial dengan peluang sukses p, maka biasanya dinotasikan @ b

# n , p &



19/37

Teorema -.1

ika @ berdistribusi binomial b # n , p & maka J # @ & np dan Tar # @ & np# 1 - p &

Teorema -.+

ika @ berdistribusi binomial b # n , p & maka ( # t & K # 1 - p & 6 pet&n



20/37

1. Distri!si M!"tinomia"

ika pada distribusi binomial, populasi dibagi menjadi dua kategori maka pada distribusi

multinomial, populasi dibagi menjadi beberapa kategori (isal ada m kategori yaitu .1,

, .mdengan peluang p1, , pmdengan p16 6 pm 1 (isalnya

pada .1 terjadi 1kali, , pada .m terjadi m kali ungsi kepadatan peluang dari .1,

, .mdisebut distribusi multinomial, yang fkpnya dinyatakan sebagai berikut

P # @1 1, , @m m&

0 , untuk yang lain

1. Distri!si 6i(er'eometri

Distribusi hipergeometrik merupakan distribusi binomial jika dikerjakan dengan tanpa

pengembalian (isal ada " obyek yang terdiri atas ( obyek dan " - ( obyek (isal dari " obyek

tersebut diambil n obyek tanpa pengembalian, dan misal @ adalah banyaknya obyek yang terambildari (, maka @ berdistribusi hipergeometrik dengan fkp

f # & , 0, 1, 2, , n

0 , yang lain

Teorema -.-

ika pada distribusi hipergeometrik " besar sekali # " & dan # (: " & p,

dan sampling dilakukan dengan pengembalian, maka distribusi hipergeometrik menjadi distribusi

binomial

1. Distri!si Geometri

(isalkan terdapat barisan kejadian yang saling bebas dengan setiap kejadian menghasilkan

sukses atau gagal , dengan peluang sukses p dan peluang gagal 1 - p ika @ adalah banyaknya

kejadian sehingga diperoleh sukses yang pertama maka @ berdistribusi geometrik yang fkpnya

adalah

f# & # 1 - p & - 1p , 1, 2,

0 , untuk yang lain

1. Distri!si Ne'ati* 2inomia"

(isalkan ada barisan kejadian yang saling bebas dengan setiap kejadian hanya menghasikan

sukses atau gagal dengan peluang sukses p dan peluang gagal 1 - p (isalkan @ adalah banyaknya

sukses dengan kejadian terakhir sukses , maka @ berdistribusi negatif binomial, yang fkpnya adalah

f # & , 0, 1, 2 ,

0 , yang lain

1. Distri!si Poisson

Peubah acak @ dikatakan berdistribusi Poisson dengan parameter dengan #F 0 & jika

@ mempunyai fkpf # & , 0, 1, 2,

0 , yang lain



21/37

Teorema -.4

ika @ berdistribusi Poisson dengan parametermaka J # @ & dan Car # @ &

Teorema -.3

ika @ berdistribusi Poisson dengan parametermaka

( # t & atau ep ## et

- 1&&

1. Distri!si Ti(e Kontin!

1. Distri!si 'amma

Peubah acak @ dikatakan mempunyai distribusi gamma jika mempunyai fkp f# & , F 0

0 , untuk yang lain

Teorema -.

ika @ berdistribusi gamma dengan parameter danmakaJ # @ & , dan Car # @ &

2

1. Distri!si #hi0 Sq!are

ika distribusi gamma diketahui n:2 , dan 2 maka distribusi gamma dikatakan

menjadi distribusi hi- Quare ungsi kepadatan peluang dari distribusi ini adalah f # & , F 0

0 , untuk yang lain

Bentuk fkp seperti di atas disebut distribusi chi - sQuare dengan derajat bebas n

Teorema -.5

ika @ berdistribusi chi - sQuare dengan derajat bebas n maka J # @ & n dan Car # @ & 2n

Teorema -.7ika @ berdistribusi chi - sQuare dengan derajat bebas n maka ( # t & , t G ;



22/37

1. Distri!si Es(onensia"

ika distribusi gamma diketahui 1, dan 1: , maka distribusi gamma dikatakan

berdistribusi eksponensial dengan parameteryang fkp-nya adalah

f # & e- , F 0

0 , yang lain

Teorema -.8

ika @ berdistribusi eksponensial dengan parametermaka J # @ & 1:dan Car # @ & 1: 2

1. Distri!si 2eta

Peubah acak @ dikatakan mempunyai distribusi beta jika mempunyai fkp

f # & , 0 G G 1

0 , yang lain

1. Distri!si Norma"

Distribusi normal merupakan distribusi yang paling banyak digunakan oleh para pengguna

statistik, karena dengan distribusi ini akan didapat distribusi lain yang dikenal, misalnya distribusi

chi - sQuare ika peubah @ mempunyai distribusi normal dengan mean dan Carians2maka

fkp-nya adalah

f # & , -G G, -GG, dan2F 0

0 , untuk yang lain

Teorema -. 1 b # 2 ,& : 0 GG 1 ? lengkap

2 Buktikan bah'a setiap keluarga > f # N &: F 0 ? tidak lengkap dengan cara menemukan paling

sedikit satu fungsi tidak nol u # & sehingga J K u # @ & L 0 untuk setiap F 0

a f # N& 1: 2, -G G, dan nol untuk yang lain

b " # 0 ,&

1 ika @ 1, @ 2, , @ nmerupakan sampel acak dari distribusi diskret yang mepunyai fkp f # N

& # 1 - & 1 - , 0 , 1 , 0 G G 1 dan nol untuk yang lain Buktikan bah'a 8 @i

merupakan statistik lengkap untuk Ientukan fungsi tunggal dari 8 yang merupakan penduga terbaik

untuk1 (isalkan diketahui keluarga fkp > h # V N& :? , dengan h # V N& 1:, V F 0

a Buktikan keluarga tersebut lengkap untuk >:F 0 ?

b Buktikan keluarga tersebut tidak lengkap jika >:F 1 ?

1 Buktikan bah'a statistik order pertama 8 1dari sampel acak berukuran n yang mempunyai fkp f # N

& e - # -&, F 0 , -GG, dan nol untuk yang lain merupakan statistik cukup dan lengkap

untuk Ientukan fungsi yang tunggal dari statistik tersebut yang merupakan penduga terbaik untuk

1 (isalkan sampel acak berukuran n diambil dari distribusi yang mempunyai fkp f # N & 1:

, 1, 2, ,, dengan merupakan bilangan bulat positif yang tidak diketahui, dan nol untuk

yang laina Buktikan bah'a item terbesar katakan 8 dari sampel acak merupakan statistik cukup dan lengkap

untuk

b Buktikan bah'a K 8 n 6 1- # 8 - 1 & n 6 1 L : K 8 n- # 8 - 1 & nL merupakan penduga terbaik tunggal untuk

1. K"as Es(onensia" Dari %!n'si Ke(aatan Pe"!an'

Pada subbab di atas telah dibahas tentang keluarga fkp yang lengkap elain kriteria lengkap

sebagaimana tersebut di atas terdapat kriteria lain tentang keluarga fkp yaitu klas eksponensialPerhatikan keluarga > f # N& :? dengan >:GG? untukdan

konstanta diketahui, dan

* 9 B C eB( ( 9 K 9 B F S 9 B F q 9 , a H B H

< , untuk yang lain # X &

kp bentuk # X & dikatakan anggota klas eksponensial dari fkp tipe kontinu jika

a !onstanta a atau b tidak tergantung dari,GG,

b p # & fungsi kontinu non triCial dari,GG,

c etiap != # &0 dan # & fungsi kontinu dari , a G G b

edangkan untuk tipe diskret dengan syarat sebagai berikut,



29/37

a +impunan > : a 1, a2, ? tidak tergantung dari

b p # & fungsi kontinu nontriCial dari ,GG

c ! # & fungsi non triCial dari pada himpunan > : a 1, a2, ?

Teorema :

(isalkan f # N & , G G merupakan fkp dari klas eksponensial (aka jika @ 1 , @ 2 ,

, @ nsampel acak dari distribusi dengan fkp f # N & dengan 8 ! #@i&

merupakan statistik cukup untuk dan keluarga fkp dari 8 yaitu > g # y N & :

GG? lengkap, atau 8 merupakan statistik yang cukup dan lengkap untuk


1 Iulis fkp f # N & # 1: $ 2& 3e- : , F 0 , F 0 dan nol untuk yang lain dalam bentuk

eksponensial ika @ 1 ,@ 2 , , @ n sampel acak dari distribusi dengan fkp di atas maka

tentukan statistik cukup dan lengkap 8 untuk , dan cari fungsi # 8 & tunggal yang merupakan

penduga terbaik untuk

2 (isalkan @ 1,@ 2, , @ nsampel acak dari distribusi dengan fkp f # N & e -

, F 0 , F 0, dan nol untuk yang lain Buktikan 8 @ Amerupakan statistik cukup untuk

dan # n - 1 & : 8 merupakan penduga terbaik untuk

3 (isalkan @ 1,@ 2, , @ nsampel acak dari distribusi dengan fkp f # N &

- 1, 0 G G 1 , F 0 , dan nol untuk yang lain

a Buktikan bah'a mean geometrik #@ 1 @ 2 @ n & 1: ndari sampel merupakan statistik

cukup dan lengkap untuk

b Ientukan (WJ dari, dan periksa apakah merupakan fungsi dari mean geometrik1 (isalkan mean dari sampel acak @ 1 ,@ 2, , @ ndari diatribusi gamma dengan parameter

F 0 dan F 0 +itung J K @1: L

1 (isalkan @ sampel acak dengan fkp anggota klas eksponensial Buktikan J K ! # @ & L - Q M #& : p M

#&

2 ika f # N& ep K! # & 6 # & 6 Q #& L , a G G b danGG, maka buktikan ( # t &

dari 8 ! # @ & adalah ( # t & ep K Q #& - Q #6 t & L, untuk G6 t G

3 ika diketahui J # 8 & J K ! # @ & L , maka buktikan 8 berdistribusi normal " #, 1 &



30/37

1. Pertiasamaan &ao 0 #ramer

Pada subbab ini akan dibahas tentang batas ba'ah Carians dari peduga parameter yang unbias,

yang dinyatakan dalam pertidaksamaan Uao - ramer sebagai berikut

(isalkan @ 1,@ 2, , @ n merupakan sampel acak dari dari daistribusi dengan fkp f

# N& , > : G G ?, dengan dan diketahui (isalkan 8 u #@ 1,@ 2,

, @ n & merupakan penduga unbias untuk , maka Crians dari 8, katakan

2 8, yang memenuhi

28

9ntuk menjelaskan pertidaksamaan di atas digunakan kasus kontinu seperti di ba'ah ini (isalkan g # y

N& merupakan fkp dari statistik unbias 8 u #@ 1,@ 2, , @ n&,

sehingga didapat

1 ! f # iN& dA, untuk i 1, 2, , n

dan

!y g # y N& dy

!!!u # 1, 2, , n& f # 1N& f # nN& d1 dn

ika kedua persamaan di atas diturunkan terhadap maka didapat

0 dan

1

f # 1N& f # nN& d1 dn

f # 1N& f # nN& d1 dn

Definisikan peubah acak O K"ln f # @ AN & : "L, yang berarti J K O L 0 Yleh karena O

merupakan jumlahan n independen peubah acak dengan mean nol maka O mempunyai Carians nJ > K"

ln f # @ AN& :"L2?

!arena 8 u #@ 1,@ 2, , @ n& dan O K"ln f # @ AN& : "L maka didapat J

K 8O L 1 Dilain pihak J K 8O L J K 8 L J K O L 6 8Odenganmerupakan korelasi antara 8

dan O Yleh karena J #8 & dan J #O & 0 maka didapat 1 0 6 8Oatau 1 :8

O !arena - 1 1 atau 2 1 maka #1 :8O&

21 atau # 1:2O&

28 atau

82

De*inisi :

(isalkan 8 penduga unbias untuk parameter tatistik 8 dinamakan penduga efisien untuk jika

Carians dari 8 sama dengan batas ba'ah pertidaksamaan Uao - ramerSoa" 0 soa" "atihan :

1 Buktikan bah'a@ yang merupakan mean sampel acak dari distribusi normal " #, 2&STATISTIKA MATEMATIKA II_SEMESTER 4


31/37

merupakan peduga efisien untuk

2 Buktikan bah'a@ yang merupakan mean sampel acak dari distribusi binomial b # 1, & , 0 G

G 1 merupakan penduga yang efisien

3 Diberikan f # N & 1 : , 0 G G dan nol untuk yang lain dengan F 0 +itung n J dan

bandingkan dengan Carians # n 6 1 & 8 n : n dengan 8 nmerupakan item terbesar dari sampel acak

berukuran n yang berdistribusi seperti di atas* Diberikan fkp f # N& Buktikan Bah'a batas ba'ah Uao - ramer nya adalah 2: n , dengan n

adalah ukuran sampel

% Buktikan bah'a J - J



32/37

@. ESTIMASI

1. Estimasi Titi

(isalkan peubah acah @ mempunyai pdf f#N& dengan tidak diketahui +impunan

dinamakan ruang parameter !arena tidak tunggal , maka untuk setiap nilai , dengan

berkorespondensi dengan salah satu anggota keluarga pdf "otasi keluarga pdf adalah > f#N & N

? dan anggota dari keluarga pdf dinotasikan dengan f#N& , untuk

Dari keluarga pdf adalah > f#N& N? akan dipilih satu anggota pdf f#N& yang akan

diperlukan untuk mengestimasi parameter 9ntuk keperluan itu ambil sampel acak @1, ,

@nyang berasal dari suatu distribusi dengan pdf f# N & (asalahnya sekarang adalah memilih 8 u

#@1, , @n& , sehingga jika 1, , nmerupakan nilai obserCasi dari @1, , @nmaka

nilai dari y u #1, , n& merupakan penduga terbaik dari

alah satu metode yang digunakan untuk menentukan estimasi titik adalah metode maximum

likelihood Prinsip dari metode ini dapat diuraikan sebagai berikut (isalkan @1, , @n

merupakan sampel acak dari suatu distribusi dengan pdf f#N & , untuk Pdf bersama antara

@1, , @nadalah f# 1N & f#2N & f#nN & ika pdf bersama

tersebut dinyatakan sebagai fungsi terhadap maka dinamakan fungsi likelihood yang dinotasikan W

atau ditulis W #N 1, , n& f# 1N& f#2N & f#nN &, Dari fungsi iniditentukan fungsi u #1, , n&, sehingga jikadiganti dengan u # 1, , n& didapat W #

N 1, , n& maksimum tatistik u #@1, , @n& dinamakan maximum likelihood estimator

De*inisi 4.1:

embarang statistik yang mempunyai harapan matematik sama dengan parameter dinamakan unbias

estimator dari parameter

De*inisi 4.+ :

embarang statistik yang conCergen stokastik ke parameter dinamakan penduga konsisten dari

parameter

elain metode maximum likelihood ada metode lain yaitu metode moment Prinsip metode ini dapat

diuraikan sebagai berikut (isalkan @1, , @nmerupakan sampel acak berukuran n dari suatu

distribusi dengan pdf f# N 1, r&, #1, r& Jkspektasi J # @k& sering dinamakan

moment ke - k dari suatu distribusi , k 1, 2, 3, umlahan (k dinamakan moment ke - k dari

sampel, k 1, 2, 3, elanjutnya samakan J # @k

& dengan (k dimulai dengan k 1 danseterusnya sehingga didapat sejumlah persamaan untuk mendapatkan penyelesaian tunggal dari 1,



33/37

r, katakan hi# (i, &, i 1, 2, , r yang bersesuaian


1 (isalkan @1 , @ 2, , @ nmerupakan sapel acak dari suatu distribusi yang mempunyai fkp

seperti di ba'ah Ientukan estimator maksimum likelihood # (WJ & dari parameternya

a f # ,& e -: 4 , 0, 1, 2, N0 ,dan nol untuk yang lain

b f # ,& e- 1, 0G , 1 ,F 0 dan nol untuk yang lain

c f # ,& ; e-# -#, -G G, -GGdan nol untuk yang lain

d f # ,& # 1:& e- :, F 0 ,F 0 , dan nol untuk yang lain

e f # ,& e- # -& , , -GG, dan nol untuk yang lain

1 (isalkan @1 , @ 2, , @ nmerupakan sapel acak dari suatu distribusi yang mempunyai fkp

f # , , $& # 1:$& e- # -& :$, , - GG ,$F 0 Ientukan (WJ daridan $

1 (isalkan 81G 8 2G G 8 nmerupakan order statistik dari sampel acak uang mempunyai fkp f

# ,& 1 , - ; 6 ; , - G G, dan nol untuk yang lain Buktikan bah'a setiap

statistik u # @ 1 , @ 2, , @ n& memenuhi 8 n- ; u # @ 1 , @ 2, , @ n& 816 ;2 Distribusi Pareto sering dipakai pada model studi pemasukan # incomes & yang mempunyai fungsi

distribusi # , , $& 1 - #: & $ , , dengan F 0 , dan $F 0 ika @ 1, @ 2 ,

, @nadalah sampel acak dari distribusi tersebut maka tentukan mle dari dan $

3 (isalkan 8 nmerupakan statistik sehingga dan 0 Buktikan bah'a 8nkonsisten terhadap

1. Mes!ares o* !a"it o* Estimators

Dalam bagian ini akan dibahas beberapa kriteria atau sifat dari estimator, misalnya unbiased

minimum Carians estimator # umCe &, atau estimator minima

De*inisi 4.- :

9ntuk n bilangan bulat positif , 8 u # @ 1, @ 2, , @ n& dikatakan unbiased minimum Carians

estimator # umCe & dari suatu parameter jika 8 unbias yaitu J # 8 & dan jika Carians dari 8

lebih kecil atau sama dengan dari Carians setiap estimator unbias untuk

ebagai gambaran dapat dijelaskan sebagai berikut, misalkan @ 1, @ 2, ,@ H merupakan sampel

acak dari distribusi normal " # , 1 & , - G G , maka berdistribusi normal " # , 1:H & dan

merupakan statistik yang unbias untuk Di lain pihak @1juga berdistribusi normal " # , 1& yang

berarti juga merupakan statistik unbias untuk Ietapi jika diperhatikan ternyata mempunyai Carians

yang lebih kecil jika dibanding dengan @1

!riteria lain yang biasa dipakai untuk menentukan suatu estimator baik didasarkan dengan adanya

fungsi kerugian, seperti uraian berikut (isalkan @ 1, @ 2, ,@ nmerupakan sampel acak

berukuran n dari suatu distribusi yang mempunyai fkp f # , & (isalkan 8 u # @ 1, @ 2, , @ n&

merupakan statistik yang diharapkan merupakan estimator dari , dan ' # y & merupakan fungsi dari

hasil pengamatan , yang dinamakan fungsi keputusan ungsi yang teridiri atas parameter dan keputusan

dinamakan fungsi kerugian # loss function & ,dinotasikan L# , '#y& & atauL.Jkspektasi dari fungsi

kerugian dinamakan fungsi risiko # risk function &, yang dinotasikan U # , ' &



34/37

#ontoh :

(isalkan @ 1, @ 2, ,@ nmerupakan sampel acak dari distribusi normal " # , 1 &, - G

G, dan 8 merupakan mean dari sampel (isalkan L# , # ' # y & & K- ' # y & L 2

ika '1# y & y dan '2# y & 0 maka U #, '1& J K- 8 L2 1: 2% dan U #, '1&

J K- 0 L 2 2 Dari hasil tersebut berarti '1# y & merupakan statsitik yang mempunyai risiko lebih

kecil dibanding '2# y &


1 Buktikan bah'a mean sampel yang berasal dari distribusi dengan fkp f # ,& # 1:& e - # : &,

F 0 ,F 0 , dan nol untuk yang lain merupakan estimator unbias dan mempunyai Carians2: n

2 (isalkan @ 1, @ 2,,@ nmerupakan sampel acak dari distribusi normal dengan mean nol dan Carians

,F 0 Buktikan bah'a merupakan estimator unbias untukdan mempunyai Carians 22: n

3 (isalkan 8 1G 82 G 83merupakan order statistik dari sampel acak berukuran 3 yang mempunyai fkp f

# ,& 1 :, 0 G G, F 0 Buktikan bah'a * 81, 2 82, dan # * : 3 & 83merupakan unbias

estimator untuk Ientukan Carians dari semua unbias estimator tersebut

* (isalkan 81dan 82merupakan independen stokastik unbias estimator untuk , katakan Carians 81

sama dengan Carians 82 Ientukan konstanta k dan l sehingga

k 81 6 l 82 merupakan unbias estimator dengan Carians lebih kecil dibanding Carians 81

1 (isalkan @ 1, @ 2, ,@ nmerupakan sampel acak dari distribusi Poisson dengan parameter , F

0 (isalkan 8 dan L K, ' # y & L K- ' # y & L 2 ika ' # y & berbentuk b 6 # y : n & , dengan b

suatu konstanta yang tidak tergantung pada y , maka buktikan U #, ' # y & & b 26 #: n &

1 (isalkan @ 1, @ 2, ,@ nmerupakan sampel acak dari distribusi normal " # ,& ,F 0 , dan

tidak diketahui (isalkan 8 dan misalkanL K, ' # y & L K- ' # y & L 2 ika ' # y & berbentuk b

y , dengan b suatu konstanta yang tidak tergantung pada y maka buktikan U #, ' # y & & # 2: n

2& K # n 2- 1 & b 2- 2n # n - 1 & b 6 n 2L

1. Se"an' Ke(ercaaan ari Parameter

Dalam sub bab di atas estimasi dari suatu parameter hanya dinyatakan sebagai satu nilai saja yang

biasanya dinamakan estimasi titik .da kalanya penggunaan estimasi titik terhadap parameter kurang

memadai, sebagai contoh misalnya ada seseorang yang mengatakan bah'a produksi telor di a'a Iimur

pada saat ini adalah *HE7*%$ butir +al ini kurang tepat karena pada saat orang menghitung produksi

telur yang satu ada kemungkinan yang lain sudah bertelur, maka untuk itu estimasi yang lebih tepat

adalah dengan mengatakan bah'a produksi telor di a'a Iimur adalah antara *7EH3%$ dan %000000

Jstimasi seperti yang terakhir ini dinamakan selang kepercayaan

9ntuk menentukan selang kepercayaan dari parameter dapat dilakukan sebagai berikut

1 Ientukan estimasi titik darisebut

2 Ientukan distribusi dari

3 Bentuk peubah yang terdiri atasdan yang dinamakan piCot

* Ientukan distribusi dari piCot



35/37

% Ientukan selang kepercayaan dari

#ontoh :

(isalkan @ 1 , @ 2, ,@ nmerupakan sampel acak dari dsitribusi normal " # , 2 &,

dengan tidak diketahui dan 2diketahui .kan ditentukan selang kepercayaan sebesar 1 - untuk

Dari langkah - langkah di atas didapat

1 Penduga dari adalah

1 Distribuai dari adalah normal " #,2: n &

1 Definisikan O

2 Distribusi dari O adalah normal " # 0 , 1 &

3 Berdasarkan * , berarti P # - V: 2G O G V: 2& 1 -atau

P #- V: 2G G V: 2& 1 - % P # - V: 2 G G 6 V: 2 & 1 -

yang berarti selang kepercayaan sebesar 1 -untukadalah

- V: 2 G G 6 V: 2


1 (isalkan nilai obserCasi mean dari sampel acak berukuran 20 yang berdistribusi normal " #, E0 &

adalah E1,2 Ientukan selang kepercayaan sebesar H% Z untuk

2 (isalkan merupakan mean dari sampel acak berukuran n dari distribusi normal " #, H & Ientukan

n sehingga P # - 1 GG 6 1 & 0,H0

3 (isalkan sampel acak berukuran 17 dari distribusi normal " # , 2& diketahui *,7 dan s 2

%,7$ Ientukan selang kepercayaan H0 Z untuk mean* (isalkan merupakan mean dari sampel acak berukuran n dari distribusi yang mempunyai mean dan

Carians2 10, dan mgf Ientukan n sehingga dengan peluang sebesar 0,H%* interCal # - 1: 2 , 6 1 : 2

& memuat

% (isalkan @ 1, @ 2, ,@Hmerupakan sampel acak berukuran H dari distribusi normal " # ,

2&

a ikadiketahui , tentukan panjang H% Z selang kepercayaan untuk jika interCal itu didasarkan

pada sampel acakH # -& :

b ikatidak diketahui , tentukan nilai ekspektasi panjang H% Z jika didasarkan pada sampel acak

E # -& :

c Bandingkan dua ja'aban tersebut

1 (isalkan @ 1, @ 2, ,@ n 6 1merupakan sampel acak berukuran n 6 1 , n F 1 dari sampel acak

yang berdistribusi normal " #,2& (isalkan dan 2 Ientukan konstanta c sehingga c # - @n

6 1 & : berdistribusi t ika n E , tentukan k sehingga P # - k G @HG 6 k & 0,E0

1 (isalkan 8 berdistribusi binomial b # 300, p & ika nilai obserCasi dari 8 adalah y 7% , maka

tentukan selang kepercayaan H0 Z untuk parameter p

2 ika merupakan mean dari sampel acak berukuran n yang mempunyai distribusi normal " # ,2& ,

dengan 2 diketahui Dengan menggunakan tabel daistribusi normal " # 2 & - " # -2 & 0,H%*

tentukan , c1#& , c 2#& sehingga P #c 1#& G G c 2# && 0,H%* , untuk c



36/37

1#& dan c 2#& merupakan fungsi naik dari

3 (isalkan merupakan mean dari sampel acak berukuran 2% dari distribusi gamma dengan * dan

F 0 )unakan teorema limit pusat untuk menentukan interCal kepercayaan 0,H%* dari , yaitu mean dari

distribusi gamma

* (isalkan dua sampampel acak masing-masing berukuran 10 terambil dari distribusi normal "# 1,2

& dan " # 2 , 2 &, dengan *,E N s12 E,$* N y %,$ dan s22 7,EE Ientukan selang

kepercayaan H% Z untuk1 ,2

% (isalkan 8 dan @ dua peubah acak independen dari distribusi binimial dengan parameter n m 100,

dan p1, p 2 Dari hasil pengamatan diketahui y %0 dan *0 Ientukan selang kepercayaan H0 Z

untuk p1- p2

$ Ientukan selang kepercayaan sebesar 1 - untuk selisih mean1-2dari dua distribusi normal jika

Carians12dan2

2diketahui dan keduanya tidak sama

7 ika@ dan 8 keduanya merupakan mean dari dua independen sampel acak yang masing-masing

berukuran n , dari distribusi normal "# 1, 2 & dan " # 2 ,

2&, dengan Cariansnya diketahui

Ientukan n sehingga P #@ -8 -: % G 1-2G @ 68 -

: % &

E ika E,$ N 7,H N E,3 N $,* N E,* N H,E N 7,2 N 7,E N 7,% merupakan hasil obserCasi dari sampel acak berukuran

H dari distribusi normal " # E , 2& Ientukan selang kepercayaan H0 Z untuk 2

H (isalkan @ 1 , @ 2, ,@ nmerupakan sampel acak dari distribusi normal " # , 2 &

(isalkan 0 G a G b Buktikan bah'a ekspektasi matematik panjang dari interCal acak K # @ A-&2:

b ,# @A-&2: a L adalah # b - a & # n 2: ab &

10 ampel acak berukuran 1% dari distribusi normal " # , 2 & diketahui 3,2 dan s 2 *,2*

Ientukan selang kepercayaan H0 Z untuk 2

11 (isalkan 2merupakan Carians dari sampel acak berukuran n yang diambil dari distribusi normal "#

, 2& dengan dan 2keduanya tidak diketahui (isalkan g #V& adalah fkp dari O n 2: 2

yaitu 2# n - 1 & (isalkan a dan b suatu konstanta sehingga interCal pengamatan # n s 2: b , n s 2: a &

merupakan selang kepercayaan sebesar H0 Z untuk 2 ika panjang n s2# b - a & : ab minimum , maka

buktikan a dan b memenuhi a 2g # a & b 2g # b& Petunjuk jika ) #V & merupakan fungsi distribusi dari O

maka deriCatifkan ) # b & - ) # a & 0,H%

12 Ientukan selang kepercayaan sebesar 1 - untuk perbandingan 12 : 22 dari dua sampel acak

distribusi normal jika1,2diketahui

13 (isalkan @ 1, @ 2, ,@$merupakan sampel acak berukuran $ dari distribusi gamma dengan

parameter 1 danF 0 Ientukan selang kepercayaan sebesar HE Z untuk

1* (isakan 12dan 22merupakan Carians dari sampel acak berukuran n dan m yang diambil dari distribusi

normal "#1,2 & dan " # 2,

2& )unakan kenyataan bah'a # n 126 m 2

2& :2berdistribusi

2# n 6 m - 2 & untuk menentukan selang kepercayaan dari 2

1. Estimasi 2aes

Dari uraian - uraian didepan terlihat bah'a untuk menentukan estimasi suatu parameter hanya

melibatkan hasil obserCasi atau sampel saja, sedangkan parameter dianggap suatu besaran tetap yang



37/37

tidak diketahui nilainya alah satu cara selain cara di atas untuk menentukan estimasi parameter adalah

dengan menganggap bah'a parameter merupakan peubah acak yang mempunyai distribusi, yang

biasanya dinamakan distribusi prior dengan notasi h # & ehingga untuk menentukan estimasi dari

parameterselain memanfaatkan informasi sampel juga memanfaatkan informasi distribusi prior

(isalkan @ 1, @ 2, ,@nmerupakan sampel acak dari distribusi @ dan 8 merupakan statistik

yang merupakan fungsi dari @ 1 , @ 2, ,@ $, maka fkp dari 8 untuk setiap adalah fkp

bersyarat dari 8 jika&diberikan , yang dinotasikan g # y : & Berarti fkp bersama antara 8 dan

&adalah k # y , & h #& g # y : & edangkan fkp marginal dari 8 adalah k

1# y & , sehingga fkp bersyarat dari &jika diberikan 8 y adalah k # : y & yang dinamakan

distribusi posterior ikaL # , ' # y & & merupakan fungsi kerugian dengan ' # y & adalah estimator

yang diambil, maka penyelesaian Bayes adalah ' # y & yang meminimumkan fungsi kerugian ika L

# , ' # y & & # - ' # y & & 2 maka ' # y & merupakan mean dari k # : y &, dan jika

L #, ' # y & & # #- ' # y & maka ' # y & merupakan median dari k # : y &


1 (isalkan @ 1, @ 2, ,@nmerupakan sampel acak dari distribusi normal " # ,2& dan 8

@ merupakan sampel dari mean .mbil fungsi kerugian L#, ' # y & # #- ' # y & &

# ikaberdistribusi normal " # ,' 2& dengandiketahui Ientukan penyelesaian Bayes '

# y & sebagai estimasi titik untuk

2 (isalkan @ 1, @ 2, ,@nmerupakan sampel acak dari distribusi Poison dengan mean F 0

(isalkan 8 @Adan fungsi kerugian adalahL #, ' # y & & #- ' # y & &2 ika h #& -

1 e-::(#&,F 0 Ientukan penyelesaian Bayes sebagai estimasi titik untuk

3 (isalkan 8nmerukan order statistik ke n dari sampel acak berukuran n yang mempunyai fkp f # & 1:

, 0 G G , dan nol untuk yang lain (isalkan fungsi kerugian yang digunakan adalah L # , '

# y & & #- ' # y & &2dan h # & :6 1, G G Ientukan

penyelesaian Bayes sebagai estimasi titik untuk

copyofstatmatiiedit.docx

Documents