capitulo i rm

8/16/2019 Capitulo I RM

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MECÁNICA DE MATERIALES ING. RICHARD F. QUISPE MEJIA

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CAPITULO I

INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DE MATERIALES

1.1. GENERALIDADES

Los cuerpos absolutamente rígidos, indeformables, con los que se ha tratado en la cátedra

de ESTÁTICA, no existen en la realidad. Las deformaciones de los cuerpos, debida a la

acción de cargas, en realidad son pequeñas y en general pueden ser detectadas solamente

con instrumentos especiales. Las deformaciones pequeñas no influyen sensiblemente sobre

las leyes del equilibrio y del movimiento del sólido, por lo que la Estática prescinde de

ellas. Sin embargo, sin el estudio de estas deformaciones sería imposible resolver un

problema de gran importancia práctica como es el de determinar las condiciones para las

cuales puede tener lugar la falla de una pieza, o aquellas en las que la misma puede servir

sin tal peligro. Para entender mejor esto se propone el siguiente ejemplo:

Se quiere levantar un cuerpo de 100 kg de peso, y para hacer menor el esfuerzo a realizar,

se utiliza una barra, que a través de un apoyo intermedio ubicado en O , se usara una

palanca. Se desea en un principio calcular el esfuerzo P que se desea aplicar en el extremo

de la barra.

P

100 kg

O

1 m 2 m


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2

Fig. 1.1.a

Suponiendo la barra utilizada como rígida, es la mecánica la que resuelve el problema, así

por las ecuaciones de equilibrio:

Pero la barra en realidad, es un sólido deformable y como tal, podría ocurrir que se

rompiese o que se deforme demasiado y por lo tanto no nos sirviese para elevar el peso 100

kg.

100 kg

O La barra se rompe P

1 m 2m

Fig. 1.1.b.

100 kg

La barra se deforma demasiado P

O

1 m 2 m

Fig. 1.1.c.

Será precisamente la MECÁNICA DE MATERIALES la que nos ayude a dimensionar la

barra a utilizar, para evitar que se rompa o que se deforme demasiado.

Las fuerzas exteriores que aplicamos sobre los cuerpos provocan en ellos fuerzas interiores

o tensiones que se oponen a las exteriores. Ellos es debido porque las fuerzas exteriores

alteran las posiciones de reposo que mantenían las partículas elementales del interior del


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cuerpo y se desarrollan entonces fuerzas internas que tratan de recuperar las posiciones

iníciales de las mismas.

Fext Fext

EE

Fig. 1.2.

Al aumentar las fuerzas exteriores aumentara el valor de las fuerzas interiores y ello

sucederá así hasta que éstas llegan a su valor límite y ya no pueden crecer más. A partir de

aquí solo se romperá.

F 1 int

F 1 ext

F 2 int > F 1 int

F 2 ext > F 1 ext

F 3 int = F int max > F 2 int

F 3 ext > F 2 ext

La barra se rompe

F4 ext > F3 ext

Fig. 1.3.

Se denomina resistenci a mecánica de un cuerpo a las fuerzas internas máximas o

tensiones que es capaz de desarrollar dicho cuerpo. Dependerá de las dimensiones del

mismo y del material que este hecho.

En el ejemplo grafico anterior, se observa que a medida que va aumentando la fuerza

externa, el cuerpo se va deformando más. Se tendrá que controlar que los sólidos no se

deformen demasiado y dejen de ser útiles.

En reposo Fint Fint


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4

De lo expuesto anteriormente denominaremos a la rigidez de un cuerpo “a la resistencia

que ofrece a deformarse”

Podremos entonces tener nuestras primeras conclusiones de lo que nos permitirá calcular la

mecánica de materiales:

- Las fuerzas internas o tensiones (A través de ellas se controlara que los cuerpos no se

rompan)

- Las deformaciones (A través de ellas se controlará que los cuerpos no se deformen

demasiado)

1.2. PRINCIPIOS GENERALES EN LOS QUE SE BASA LA MECÁNICA DE

MATERIALES.

1.2.1. PRINCIPIO DE LOS PEQUEÑOS DESPLAZAMIENTOS.

Según este principio, se admite que al aplicar las fuerzas exteriores sobre los cuerpos, los

desplazamientos que se originan, son en la mayoría de casos pequeños en relación con la

dimensión de los mismos. Ello nos permitirá que las ecuaciones de equilibrio de la Estática

la podremos aplicar sobre el cuerpo en su posición inicial. Es decir sin haberse deformado.

Ejemplo: Sea una estructura formada por dos cables que soportan una carga, se desea

calcular las tensiones en los cables.

β

α

O

P

Fig. 1.4.a.

Al considerar la estructura deformable, las ecuaciones de equilibrio de fuerzas, se deberían

plantear, en rigor, en la estructura ya deformada. Es decir cuando los extremos inferiores


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de las cuerdas y por lo tanto la carga P se ha trasladado al punto O . establecido pues, las

ecuaciones de equilibrio en el punto Oʼ .

F2

β + Δβ F1 β + Δβ

α + Δα α + Δα

O

x

Oʼ Oʼ

P P

F ig. 1.4.b.

Con estas ecuaciones de equilibrio no se podrá obtener los valores de F 1 y F 2 pues se

desconocen las variaciones Δβ y Δα que ha sufrido la inclinación de los cables.

Si se supone ahora que la deformación de los cables van a ser pequeñas y aplicamos “El

Principio de los Pequeños Desplazamientos”, las ecuaciones de equilibrio se aplican ahora

a la estructura de cables aun sin deformar (en el punto O ) y se podrá resolver fácilmente el

valor de las tensiones en ambos cables.

y

F2

F1

β α β

α

x

O

P P


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Con estas ecuaciones se pueden obtener los valores de F 1 y F 2.

OBSERVACIONES.

Los valores de F1 y F2 no serán exactamente los reales, pero tendrán una aproximación suficiente paraconsiderarlos como valido. A partir de ellos se podrá estudiar la deformación de estructuras.

Si los desplazamientos de la estructura no fuesen tan pequeños, los resultados así obtenidos no serianvalidos y no se podría aplicar este principio.

Este principio se podrá aplicar en la mayor parte de problemas que resuelve la Mecánica de Materiales, yaque generalmente trabajara con pequeñas deformaciones.

1.2.2. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN DE EFECTOS.

Este principio dice que “Los efectos producidos por varias cargas actuando sobre un

cuerpo (fuerzas internas o tensiones y deformaciones), se puede obtener, siempre que

las deformaciones producidas sean pequeñas, como suma de los efectos producidos

por cada una de las cargas actuando separadamente”

P1 P2 P1 P2

= +

(1) (2)

Tensiones = Tensiones (1) + Tensiones (2)

Deformaciones = Deformaciones (1) + Deformaciones (2)

OBSERVACIONES.

Este principio es de gran utilidad y se aplicara también a muchos problemas de la Mecánica de Materiales, dado que permite dividir el caso de una solicitación general de cargas, que puede ser

compleja, en casos sencillos que resultan haciendo actuar por separado dichas cargas y así enmuchos casos poder utilizar los prontuarios que dan soluciones para dichos casos simples decargas.

Si las deformaciones producidas fuesen grandes este principio no se podría aplicar. Este sería elcaso, por ejemplo, de una viga de gran esbeltez (vigas de longitudes grandes y de pequeñas secciones) sometidas a cargas de compresión y otra de flexión


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F F

P ≠ P +

(a) (b) (c)

P actuando sola → la viga se acorta (b)

F actuando sola → la viga se flexiona (c)

P y F actuando juntas → F(flexiona la viga) y P(acorta la viga y la flexiona aun mas) (a)

1.2.3. PRINCIPIO DE SAINT VENANT.

Este principio dice “Si se sustituye el sistema de fuerzas que esta actuando sobre un

cuerpo por otr o equivalente a él, los efectos que ambos sistemas producen (tensiones o

deformaciones) serán similares en todos los puntos del cuerpo, salvo en aquellos que se

encuentran en la zona próxima a donde estaban aplicadas las fuerzas”

F2 R = F1 + F2 + F3 F1

F3

(a) (b)

Según este principio las tensiones y deformaciones producidas en las cargas en (a) son las

mismas que aparecerán en (b), salvo en la zona rayada, próxima a donde actúan las cargas,

que serán diferentes.

En la zona rayada: tensiones y deformaciones (a) serán diferentes a las tensiones y

deformaciones de (b).

En el resto: tensiones y deformaciones (a) serán iguales a las tensiones y deformaciones de

(b).


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Así, se podrá aplicar este principio a problemas de Mecánica de Materiales en donde la

superficie que actúa la carga, es pequeña en relaciona las dimensiones de la pieza, pues en

este caso la zona afectada por el cambio (zona rayada) tendría poca consideración.

R = Σ F

Sí

(a)

R = Σ F

No

(b)

Como se observa en la figura (a) la zona rayada (donde se van a producir las alteraciones

en el estado de tensiones y deformaciones), es pequeña, con lo cual la sustitución del

sistema de fuerzas por sus resultantes, apenas va a suponer la alteración de dicho estado en

la viga. No ocurre lo mismo en el caso (b) donde la zona rayada es grande y por lo tanto la

zona donde se van a dar las alteraciones en el estado de tensiones y deformaciones, al

sustituir el sistema de fuerzas por su resultante, es muy amplia, con lo cual no se podrá

hacer dicha sustitución, pues se cometerían errores graves de cálculo.

1.3. REVISIÓN DE ESTÁTICA.

1.3.1. CALCULO DE REACCIONES. Para el cálculo de reacciones primero hay que

revisar los conceptos previos al análisis, tal como el cálculo de reacciones, tipos de

cargas, etc.

1.3.1.1.Tipos de soportes o apoyos. Hay que notar que sobre las reacciones que

normalmente que se aplican en los apoyos, estas son las restricciones que ofreceel piso o la superficie al libre desplazamiento de la barra en el eje Y o eje X.


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a) Articulación. En las articulaciones solo se presentan solo cargas axiales.

PASADORES

RB

A

b) Apoyo móvil o rodillo. En los apoyos móviles solo se puede denotar la la acción de

una reacción en el sentido del apoyo.

RODILLO 90°

RA RODILLOS

c) Apoyo fijo o pasadores. En los apoyos fijos se denota la presencia de dos reacciones cada

una de ellas en la dirección de los ejes coordenados en el plano.

=

RAx PASADOR RAx APOYO FIJO

RBy RBy

d) Empotramiento. En el caso de los empotramientos se puede observar que sumado a la

presencia de las reacciones presentes existe un momento resistente en el punto deempotramiento.

MA

RAx

RAy

B VIGA

A VIGA VIGA A

A VIGA A VIGA

A VIGA


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1.3.2. TIPOS DE CARGAS

1. Cargas concentradas o cargas puntuales.

P P

A B = A B

W

RAx

RAy RBy

2. Cargas uniformemente distribuidas.

CARGA

W(kg/cm²)

=

A B A B

RAx

RAy L RBy

3. Cargas uniformemente variables.

CARGA W(kg/cm²)

=

A B

RAx

OBSERVACIÓN. Para el cálculo de las reacciones en los apoyos, la carga uniformemente distribuida es sustituida por una fuerzaconcentrada equivalente W igual al area de la figura geométrica de la carga y que pasa por el centroide de la sección.

W


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RAy L RBy

1.3.3. CLASIFICACIÓN DE VIGAS.

1. Simplemente apoyada.

P W(kg/cm²)

L L

2. Biempotrada.

P

L

3. Empotrada-apoyada.

P

L

4. En voladizo.

W(kg/cm²)

L

OBSERVACIÓN. Para el cálculo de las reacciones en los apoyos, la carga uniformemente variable es sustituida poruna fuerza concentrada equivalente W igual al área de la figura geométrica de la carga y que pasa

por el centroide de la sección.


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5. En voladizo en sus extremidades.

P

W(kg/cm²)

L

1.3.4. CÁLCULO DE REACCIONES EN VIGAS.

Ecuaciones de equilibrio estático (fuerzas aplicadas en un plano)

Ejemplo. Calcular las reacciones de la viga que se muestra en la figura, despreciar el peso

de la viga.

100 kg 160 kg

200 kg.m

1,5m 1,5m 1,5m 1,5m

Diagrama de cuerpo libre (DCL)

100 kg 160 kg

A 200 kg.m B

RAx

1,5m 1,5m 1,5m 1,5m

RAy RBy


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OBSERVACIÓN. Ningún momento es transmitido en una junta articulada, apenas las fuerzas verticales y horizontales están presentes véase la siguiente figura.

L/2 P ARTICULACIÓN

A B C

L a

Diagrama de cuerpo libre:

L/2 P

A P/2 P/2 MC = P/2a

P/2 L a P/2

1.3.5. DIAGRAMA DE FUERZAS CORTANTES, AXIAL Y DE MOMENTO

FLECTOR.

Los diagramas de esfuerzos internos son trazados para determinar la evolución de las

fuerzas cortantes, axial y de momento flector a lo largo de la viga respectivamente

1.3.5.1. FUERZA CORTANTE EN VIGAS.

La fuerza cortante V, es perpendicular al eje de la viga, debe ser introducida en la sección:

A-Apara satisfacer la ecuación de equilibrio La fuerza cortante es definida positiva cuando hace girar la sección en sentido antihorario.

a a

+ V + V

b b

Fig. Fuerza cortante

1.3.5.2. FUERZA AXIAL EN VIGAS (P)

La fuerza axial P, paralela al eje de la viga y que pasa por el centroide de la sección, debe

ser introducido en la sección A-A para satisfacer la ecuación de equilibrio


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La fuerza axial es definida positiva o de tracción cuando sale de dentro hacia afuera de la

sección y negativa o de compresión en caso contrario.

a a

+P +P

b b

Fig. Fuerza axial

1.3.5.3. MOMENTO FLECTOR. (M)

El momento flector M, que gira en torno de un eje perpendicular al plano que contiene la

viga. Debe ser introducida en la sección para satisfacer la ecuación de equilibrio para esto, los momentos provocados por las fuerzas es normalmente calculadaen torno al punto de intersección de V y P.

El momento flector es definido positivo cuando se tracciona la parte interior de la viga y

se comprime la parte superior de la viga, y negativo en caso contrario.

a a

+M +M

b b

1.3.5.4. MÉTODO DE LAS SECCIONES

El método de las secciones establece procedimientos para la determinación de los esfuerzos

internos a lo largo de la longitud de la viga. El concepto de equilibrio de las partes de uncuerpo es utilizado cuando el cuerpo como un todo está en equilibrio.


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a

W1 P1 W2

P2

RAX

RAy RBy

P2 P

M

V

W1 P1 W2

M

P RAX

V RAy RBy

Fig. Esfuerzos internos en vigas, donde P es la fuerza axial, V es la fuerza cortante y M es el momento flector.

PROBLEMAS RESUELTOS

Ejemplo 01. Trazar los diagramas de fuerzas cortante, fuerza axial y de momento flector

para la viga que se muestra en la figura, sujeta a una fuerza inclinada de P = 5 Ton

despreciar el peso de la viga.

P=5Ton

4

A 3 B

5m 5m


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a. Determinamos las reacciones en los apoyos (Diagrama de cuerpo libre, DCL).

4 Ton

RAx 3 Ton

5 m 5 m

RAy RBy

Verificando:

b. Determinar las fuerzas cortante y axial y momento flector en secciones entre dos fuerzas

concentradas. Sección c-c (0 < x < 5)

c 4 Ton

3 Ton

3 Ton

2 Ton 5m 5m 2 Ton

c

M P

3 Ton

2 Ton x V


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4 Ton

3 Ton 3 Ton

2 Ton 5m 5m 2 Ton

M

P

x V 2 Ton

c. Trazar los diagramas de fuerza axial, fuerza cortante y momentos flectores.

4 Ton

3 Ton

3 Ton

2 Ton 2 Ton

4 Ton

3 Ton

10 Ton m


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Ejemplo 02. Trazar los diagramas de fuerza cortante y momento flector para la viga que se

muestra en la figura, sujeta a una fuerza distribuida y a un momento concentrado.

M=8 Ton m

A B

2m 2m 2m

a.-Determinamos las reacciones en los apoyos D.C.L.

M=8 Ton m

A B

2m 2m 2m

Verificación:

b.- Determinamos las fuerzas cortantes y el momento flector en secciones entre fuerzas y

momentos concentrados y a lo largo de la carga distribuida.


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Sección c-c (0 < x < 2)

M=8 Ton m

A B

M

P

x

V

Sección d-d (2 < x < 4)

dM=8 Ton m

A B

d

M

P

x

3 t V


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Sección e-e (4 < x < 6):

e M=8 Ton m

A B

e

x M

P

V


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c.- Trazar los diagramas de fuerza cortante y de momento flector.

e M=8 Ton m

A B

e

3 t

1 t

V

M

Conclusiones importantes Punto de momento concentrado → Discontinuidad en eldiagrama de momento flector igual al momento concentrado.

Ejemplo 03. Los skis soportan a un hombre de 80 kg. Si la carga de nieve en la superficie

inferior del ski es trapezoidal como se muestra en la figura, determine la intensidad w y

trace los diagramas de fuerza cortante y de momento flector para el ski, considere P = 80 kg

1m

A B C D E

W

0,5m 1m 0,5m


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Tramo AB

x M

V

⁄ ⁄

⁄ ⁄

Tramo BC:

0,5 x M

V

⁄ ⁄

( )


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⁄ ⁄

Debido a la simetría se puede obtener:

P = 400 N

A B C D E

W

200

66,67

V

-66,67

-200

77.78

11,11

M


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24

Ejemplo 04. Determine los diagramas de fuerza cortante y de momento flector para la viga

que se muestra en la figura:

4t 1t

0,5 m 2,5 m

A B C D E F G

3m 0,5m 2,5m 1,25m 3,75m

Diagrama de cuerpo libre (DCL)

Viga CDE:

4t 1t

0,5m 2,5 m

5 t

2,5 t m

C D E = C D E

2,5m 2,5m

Viga ABC:

6 t

A C

3m 0,5m


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Viga EFG:

1t

E F G

1,25m 3,75m

Viga ABC:

Tramo AB ( 0 < x


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⁄

⁄ Momento máximo

Tramo BC (0 < x < 0,5):

⁄ ⁄

⁄ ⁄

Viga CDE

Tramo CD (0 < x < 0,5):


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27

⁄

⁄

⁄ ⁄

Tramo DE ( 0 < x < 2 ):

⁄

⁄

⁄ ⁄

Viga EFG

Tramo EF (0 < x < 1,25):


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28

⁄

⁄

⁄ ⁄

Tramo FG (0 < x < 3,75):

⁄ ⁄

⁄

⁄


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29

Viga ABC:

Viga CDE:

Viga EFG:


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30

1.3.5.5. MÉTODO DE LAS SUMATORIAS:

1.- Ecuaciones diferenciales de equilibrio.

y

w(x)

x

x

y w(x)

M A M+∆M x

V V+∆V

∆x

∆x


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Por las condiciones de equilibrio de las fuerzas verticales ( ) y de los momentos( ) se puede obtener:

Las ecuaciones 2.1 y 2.3 son evaluadas en el límite, cuando ∆x0, ofrecen dos ecuacionesdiferenciales básicas:

∫

y

∫

Ejemplo: Trazar los diagramas de fuerza cortante y de momento flector para la viga que se

muestra en la figura usando el método de las sumatorias.

a.- Determinamos las reacciones en los apoyos DCL.

De la ecuación (2,3), sabiendo que w(x) = 0 constante = V. De la ecuación (2.4), como V es

constante, la ecuación de momento flector en el tramo es de la forma: M(x) = -Vx + C2.


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b.- trazar los diagramas de fuerzas cortantes y de momentos flectores.

Ejemplo: Construir los diagramas de fuerza cortante y momento flector para la viga que se

muestra en la figura, aplicando el método de las sumatorias.

a.- Determinamos las reacciones en los apoyos:


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⁄ Fuerza axial P = 0

Tramo A - D

∫

∫

∫

⁄ ⁄

Tramo D - B

∫

∫

∫

⁄ ⁄


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Tramo B - E

∫

∫

∫

⁄

⁄

Tramo E - F

∫

∫

⁄

⁄

∫

∫

⁄

⁄


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No existen fuerzas y momentos concentrados V = 0, M = 0 y P = 0.

Trazar los diagramas de fuerzas cortante, axial y momentos flectores.

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