UJM 1 (2) (2012)UNNES Journal of Mathematicshttp://journal.unnes.ac.id/sju/index.php/ujm

2012 Universitas Negeri SemarangISSN 2252-6943

Info Artikel Abstrak

Abstract

MODEL EPIDEMI SEIR PADA PENYEBARAN PENYAKIT CAMPAKDENGAN PENGARUH VAKSINASISiti Kholisoh , St. Budi Waluya, dan Muhammad KharisJurusan Matematika, FMIPA, Universitas Negeri Semarang, IndonesiaGedung D7 lantai 1 Kampus Sekaran, Gunungpati, Semarang, 50229

Sejarah Artikel:Diterima Juli 2012Disetujui Agustus 2012DipublikasikanNopember2012

Campak adalah suatu penyakit akut yang sangat menular yang disebabkan olehvirus campak golongan Paramyxovirus. Penyakit campak tersebut dinilaiberbahaya karena dapat menyebabkan komplikasi, kerusakan otak dan organtubuh lainnya, cacat seumur hidup, kelumpuhan dan bahkan kematian. Dalamtulisan ini akan dikaji model matematika untuk penyebaran penyakit campakdengan pengaruh vaksinasi. Model matematika yang digunakan berupa modelepidemi SEIR dengan laju kelahiran diasumsikan sama dengan laju kematian.Dalam model ini terdapat pula dua titik kesetimbangan, yakni titikkesetimbangan bebas penyakit dan titik kesetimbangan endemik. Analisis yangdilakukan menghasilkan angka rasio reproduksi dasar . Setelahdianalisis kestabilan pada titik kesetimbangan, titik kesetimbangan bebas penyakitakan stabil asimtotis untuk . Sedangkan titik kesetimbangan endemikakan stabil asimtotis untuk . Untuk mengilustrasikan model tersebutmaka dilakukan simulasi model dengan menggunakan program Maple. Untukvaksinasi yang dilakukan belum berhasil membuat penyakit menghilangkarena nilai . Untuk berhasil membuat penyakit menghilangdari populasi karena nilai

Alamat korespondensi:E-mail: lilis.mat@gmail.com

Keywords:Measles; SEIR epidemic;equilibrium point;vaccination.

Measles is an acute highly contagious disease caused by Paramyxovirus. Measlesis considered as a dangerous disease because it cause complications, brain andother organs damage, lifelong disability, paralysis and even death. This paperstudies a mathematical model for the spread of measles by vaccination effect.Mathematical model which is used is SEIR epidemic model where birth rate isassumed equal to mortality rate. In this model, there are two equilibrium points;they are disease-free point and endemic point. The analysis showed the numbersof basic reproduction ratio. Having analyzed the stability of the equilibriumpoint, the disease-free equilibrium point will be asymptotically stable toWhile the endemic equilibrium will be asymptotically stable to . Toillustrate the model, simulation model was carried out using the program Maple.For , the vaccination had not been able to make the diseasedisappear because the value is . In successfully make thedisease disappear from the population because of the value is

111

S Kholisoh et al/ UNNES Journal of Mathematics 1 (2) (2012)A.PendahuluanCampak adalah suatu penyakit akut

yang sangat menular yang disebabkan oleh viruscampak golongan Paramyxovirus. Penyakit iniditandai dengan gejala awal demam, batuk,pilek, dan konjungtivis yang kemudian diikutidengan bercak kemerahan pada kulit (rash)(Widoyono, 2005: 71). Kinbaby (2008)menyatakan bahwa penyakit campak(measles) tersebut dinilai berbahaya karenadapat menyebabkan komplikasi, kerusakanotak dan organ tubuh lainnya, cacat seumurhidup, kelumpuhan dan bahkan kematian.

Perkembangan ilmu pengetahuan dibidang matematika juga turut memberikanperanan penting dalam mencegah meluasnyapenyebaran penyakit campak (measles)(Castellli & Romanelli, 2009). Peranantersebut berupa model matematika yangmempelajari penyebaran penyakit. Modelmatematika juga dapat membantu dalamprediksi pengendalian epidemi di masamendatang agar tidak terjadi endemik.Penyebaran penyakit campak dapat dibentukmenjadi sebuah model epidemi. Model epidemiyang dimaksud yaitu model SEIR. Tessa (2006)menyebutkan bahwa pada model SEIR,populasi dibagi menjadi empat kompartemanyakni populasi rentan (susceptibles), populasilaten (exposed), populasi terinfeksi(infectious), dan populasi kebal penyakit(recovered).

Berdasarkan data dari WHO,penyebaran penyakit campak dapat ditekandengan program vaksinasi. Sampai saat ini,program vaksinasi masih dipercaya sebagai carayang paling efektif dalam menekan penyebaranpenyakit campak. Oleh karena itu, vaksinasiperlu diperhatikan dalam model sebagai upayauntuk mencegah meluasnya penyakit.

Dari latar belakang tersebut, makapenulis merumuskan beberapa permasalahanyaitu bagaimana menurunkan model epidemiSEIR pada penyebaran penyakit campakdengan pengaruh vaksinasi, bagaimanamenentukan titik kesetimbangan dan analisiskestabilan pada penyebaran penyakit campakdengan pengaruh vaksinasi, dan bagaimanasimulasi model pada penyebaran penyakitcampak dengan pengaruh vaksinasimenggunakan program Maple.

Sejalan dengan rumusan masalah,tujuan penulisan ini adalah untuk mengetahui

penurunan model epidemi SEIR padapenyebaran penyakit campak dengan pengaruhvaksinasi, mengetahui titik kesetimbangan dananalisis kestabilan pada penyebaran penyakitcampak dengan pengaruh vaksinasi, danmengetahui simulasi model pada penyebaranpenyakit campak dengan pengaruh vaksinasimenggunakan program Maple.

B. Pemodelan MatematikaPenyakit campak (measles) mempunyai

periode laten (latent period). Adanya periodelaten ini menjadi alasan pembentukan modelSEIR, yakni muncul kelas ekspose (Exposed).Fakta ini telah diperhatikan oleh beberapapeneliti diantaranya Zhang & Ma (2003), Li &Jin (2005, 2006), Juan (2006), Tessa (2006),Zhang & Teng (2007), dan Li & Fang (2009).Dari beberapa penelitian tersebut belum adayang membahas tentang pemodelanmatematika pada penyebaran penyakit campakdengan pengaruh vaksinasi menggunakanmodel epidemi SEIR dengan populasi konstan.Berdasarkan keadaan tersebut akan dibahasmodel epidemi SEIR pada penyebaran penyakitcampak dengan pengaruh vaksinasi.

Dalam pembentukan model ini dibatasioleh beberapa asumsi. Asumsi-asumsi yangdigunakan dalam model penyebaran penyakitcampak sebagai berikut. (1) Jumlah populasidiasumsikan cukup besar. (2) Laju kelahirandan laju kematian diasumsikan sama, sehinggatotal populasi diasumsikan konstan. (3)Populasi diasumsikan tertutup (tidak adaimigran dan emigran). (4) Semua bayi yangbaru lahir diasumsikan rentan terhadappenyakit campak. (5) Populasi diasumsikanbercampur secara homogen yang berarti setiapindividu mempunyai kemungkinan yang samadalam melakukan kontak dengan individu lain.(6) Penyakit campak memiliki periode laten. (7)Individu yang terinfeksi penyakit campak dapatsembuh. (8) Diasumsikan hanya terdapat satupenyakit yang menyebar dalam populasi.

Selanjutnya, asumsi yang digunakanterhadap vaksinasi dalam model ini adalahsebagai berikut. (1) Vaksin hanya diberikanpada individu yang baru lahir. (2) Keampuhanvaksinasi adalah 100%. (3) Kekebalan yangterjadi karena vaksin bersifat permanen. Haltersebut berarti individu yang mendapat vaksintidak dapat terinfeksi oleh penyakit yang samasampai waktu yang tidak terbatas.

S Kholisoh et al/ UNNES Journal of Mathematics 1 (2) (2012)

112

Secara skematis proses penyebaranpenyakit campak dengan pengaruh vaksinasi

dalam suatu populasi dapat disajikan dalamdiagram transfer pada Gambar 1.

Model matematika dari diagram transferdiatas selengkapnya dapat diekspresikan sebagaiberikut.

Denganmasing - masing menyatakan jumlah individuyang rentan, laten, infeksi dan sembuh saat t.Dengan parameter-parameter yang digunakansebagai berikut. Parameter menyatakanlaju kelahiran dan laju kematian tiap individupada populasi, merupakan peluang individurentan menjadi individu laten setelahberinteraksi dengan individu terinfeksi,menyatakan laju transfer dari laten menjaditerinfeksi, menyatakan laju kesembuhantiap individu dan proporsi vaksinasi.Semua parameter tersebut bernilai positif danuntuk bernilaiDari sistem (1) diperoleh sehingga

untuk k bilangan real. Karenakonstan, sistem (1) dapat diskala dengan totalpopulasi N untuk menyederhanakan sistem (1)dan memudahkan analisis yang dilakukan.Proporsi banyaknya individu pada masing-masing kelompok dapat dinyatakan

Dari persamaan (2), diperoleh

Oleh karena itu, sistem (1) ekivalen dengansistem berikut

Sistem (3) merupakan sistem persamaandiferensial nonlinear yang lebih sederhana darisistem (1) yang mempresentasikan modelepidemi SEIR dengan pengaruh vaksinasi.

C. Analisa ModelTitik kesetimbangan diperoleh denganmenjadikan persamaan dari sistem (3) samadengan nol. Saat diperoleh titik kesetimbanganbebas penyakit yaitu

dan untuk diperoleh titikkesetimbangan endemik

Selengkapnya diberikan dalamteorema berikut ini:Teorema 1

Dari sistem persamaan (3) di atas. Berdasarkannilai tersebut diperoleh1. Jika maka sistem persamaan (3)

Gambar 1. Diagram Transfer Penyebaran Penyakit Campakdengan Pengaruh Vaksinasi

(1)

(2)

(3)

113

S Kholisoh et al/ UNNES Journal of Mathematics 1 (2) (2012)hanya mempunyai 1 titik kesetimbanganyaitu titik kesetimbangan bebas penyakit

2. Jika maka sistem persamaan (3)mempunyai 2 titik kesetimbangan yaitu titikkesetimbangan bebas penyakit

dan titikkesetimbangan tidak bebas penyakit atauendemik dengan

Bukti:Titik kesetimbangan dicari dengan

membuat nol diperoleh

sistem (4) sebagai berikut.

Penentuan eksistensi titikkesetimbangan bebas penyakit tidak tergantungdari syarat sehingga dapat langsungditentukan dari sistem (4) yaitu denganmembuat yang disubstitusikan pada

persamaan diperoleh dan

Sehingga saatdiperoleh titik kesetimbangan bebas penyakit

. Maka sistem(3) pasti mempunyai titik kesetimbangan bebaspenyakit untuk segala kondisi .

Penentuan titik kesetimbanganendemikdilakukan dengan mencari nilaidan mensyaratkanDari persamaan pertama, ketiga dan

keempat pada sistem (4) diperoleh:

Substitusikan ke persamaan kedua pada sistem(4) diperoleh nilai atau.

Saat , diperoleh

Dipunyai .Jelas nilaiSehingga saat diperoleh titikkesetimbangan tidak bebas penyakit atauendemik

dengan

Karena penentuan titik kesetimbangan bebaspenyakit tidak tergantung dari syarat danpenentuan titik kesetimbangan endemiktergantung dari syaratJadi untuk diperoleh 2 titik kesetimbanganyaitu titik kesetimbangan bebas penyakit

dan titik kesetimbanganendemik

Teorema 21. Jika maka titik kesetimbangan

stabil asimtotik lokal2. Jika maka titik kesetimbangan

tidak stabil dan titik kesetimbangan endemikstabil asimtotik lokal.

Bukti :Matriks jacobian model penyebaran penyakitcampak dengan pengaruh vaksinasi adalah

(4)

S Kholisoh et al/ UNNES Journal of Mathematics 1 (2) (2012)

114

Untuk dandengan

Untuk kasus , diperoleh semua nilai eigennegatif apabila dan ada satu nilaieigen yang positif apabila . Dengan katalain jika maka titik kesetimbanganstabil asimtotik lokal dan jika makatitik kesetimbangan tidak stabil.Untuk kasus diperoleh persamaankarakteristiknya

dengan

Diperoleh nilai eigen yaitu Jelasnilai positif danpositif saat . Denganmenggunakan kriteria Ruth Hurwizt untukpolinom pangkat 3 diperoleh simpulan bahwa

mempunyai akar-akardengan bagian real negatif. Maka titikkesetimbangan endemik stabilasimtotik lokal.

D. Simulasi ModelSimulasi dilakukan dengan memberikan

nilai-nilai untuk masing-masing parameter

sesuai dengan kondisi dengan teorema yangtelah diberikan di atas. Simulasi ini diberikanuntuk memberikan gambaran geometris dariteorema eksistensi dan kestabilan dari titik-titikkesetimbangan model ini.

Berdasarkan penjelasan makna nilai-nilai parameter, nilai menyatakan rata-ratajumlah individu yang lahir dan jumlah individuyang meninggal tiap satuan waktu,menyatakan rata-rata proporsi jumlah kontakyang menyebabkan individu rentan menjadilaten setelah melakukan kontak dengan individuyang terinfeksi, menyatakan rata-rata masalaten atau masa inkubasi,menyatakan rata-ratamasa terinfeksi danmenyatakan rata-rata proporsi vaksinasi. Nilai-nilai parameter yang diberikan untuk membuatsimulasi dari model penyebaran penyakitcampak, disajikan dalam Tabel 1.

Kondisi awal rasio jumlah penduduk pada kelassusceptibles, exposed, infectious, dan recoveredmasing-masing adalah 0.8, 0.1, 0.1 dan 0.

Jika penyakit tersebut tidak dicegahdengan program vaksinasi maka nilai p = 0.Proporsi individu susceptibles, exposed,infectious, dan recovered untuk p = 0 dapatditunjukkan pada Gambar 2.

Pada kondisi setimbang tersebut,penyakit akan selalu ada sampai waktu tak

Tabel 1. Nilai Parameter untuk SimulasiModel

Gambar 2. Proporsi individu susceptibles s(t),exposed e(t), infectious i(t), danrecovered r(t).

115

S Kholisoh et al/ UNNES Journal of Mathematics 1 (2) (2012)terbatas. Kondisi setimbang dicapai saat

Titiktersebut merupakan titik kesetimbanganendemik karena nilai Selanjutnya,akan ditentukan kestabilan dari titikkesetimbangan endemik . Besarnya rasioreproduksi dasar pada saat adalahNilai mengakibatkan keempat nilaieigen matriks Jacobian pada model ini berupabilangan real negatif. Oleh karena itu, titikkesetimbangan endemik bersifat stabilasimtotis.

Selanjutnya, program vaksinasidilakukan untuk mencegah meluasnya penyakit.Vaksinasi dianggap berhasil jika pada waktutertentu penyakit akan menghilang daripopulasi. Rasio reproduksi dasar dapatdigunakan untuk menentukan apakah penyakit

tersebut akan menghilang dari populasi ataubersifat endemik. Penyakit akan menghilangdari populasi pada waktu tertentu jika ,sedangkan penyakit akan tetap ada sampaiwaktu yang tidak terbatas jika

Jika dilakukan program vaksinasi, makatingkat vaksinasi minimumnya adalahBesarnya rasio reproduksi dasar pada saat

adalah maka nilai .Untuk nilai parameter yang tetap, akandiselidiki bagaimana pengaruh vaksinasi jikatingkat vaksinasi yang dilakukan lebih kecil daritingkat vaksinasi minimum yaituGambar 3 menunjukkan proporsi individuinfectious untuk tingkat vaksinasi yangbervariasi yang lebih kecil dari tingkat vaksinasiminimum.

Dengan demikian, jika makapenyakit tidak akan menghilang dari populasisampai waktu yang tidak terbatas. Kondisikesetimbangan yang dicapai merupakan titik

kesetimbangan endemik. Titik kesetimbangandan rasio reproduksi dasar untuk

disajikan pada Tabel 2.

S Kholisoh et al/ UNNES Journal of Mathematics 1 (2) (2012)

116

Tabel 2 menunjukkan bahwa semakintinggi tingkat vaksinasi maka rasio reproduksidasar akan semakin menurun.Namun, untuk vaksinasi yang

dilakukan belum berhasil membuat penyakitmenghilang karena nilai sehingga penyakitakan selalu ada sampai waktu yang tidakterbatas.

Agar penyebaran penyakit dapatdicegah dengan sukses, maka tingkat vaksinasiyang dilakukan harus cukup lebih besar daritingkat vaksinasi minimum. Oleh karena itu,selanjutnya dilakukan simulasi untuk

Gambar 4 menunjukkan proporsiindividu infectious dengan tingkat vaksinasiyang bervariasi untuk

Berdasarkan Gambar 4 untukartinya penyakit akan menghilang dari

populasi dalam waktu tertentu. Semakin tinggitingkat vaksinasi, penyakit akan menghilangdari populasi dalam waktu yang semakin cepat.Titik kesetimbangan dan rasio reproduksi dasaruntukdisajikan pada Tabel 3. Tabel 3 menunjukkan bahwa untuk

kenaikan tingkat vaksinasimenyebabkan nilai semakin menurun.

117

S Kholisoh et al/ UNNES Journal of Mathematics 1 (2) (2012)Karena untuk nilai makapenyakit secara berangsur-angsur akanmenghilang dari populasi. Pada titikkesetimbangan untuk proporsiindividu susceptibles bernilai nol. Hal inimenunjukkan bahwa semua individu telah kebaldari penyakit campak dan memasuki kelompokrecovered. Titik kesetimbangan yang dicapaiadalah titik kesetimbangan bebas penyakitkarena

E. SimpulanBerdasarkan jika

semakin tinggi tingkat vaksinasi maka rasioreproduksi dasar akan semakinmenurun. Namun, untukvaksinasi yang dilakukan belum berhasilmembuat penyakit menghilang karena nilai

. Agar penyebaran penyakit dapatdicegah dengan sukses, makakarena nilai sehingga penyakit secaraberangsur-angsur akan menghilang daripopulasi. Semakin besar tingkat vaksinasi makasemakin cepat penyakit menghilang daripopulasi.

F. Daftar PustakaCastellini, H. & Romanelli L. 2009. On thePropagation of Social Epidemic in Sosial.Networks under SIR Model, 70: 40-53.

Hethcote H W. 2000. The Mathematic ofInfectious Diseases. SIAM Review, 42.No.4 5599-653.Juan, Z., L. Jianquan, & M. Zhien. 2006. GLOBALDYNAMICS OF AN SEIR EPIDEMICMODEL WITH IMMIGRATION OFDIFFERENT COMPARTMENTS. ActaMathematica Scientia. 26B(3): 551-567Kinbaby. 2008. Imunisasi: Past and present.Lancet, 54: 75-80.Li, G. & Z. Jin. 2005. Global stability of an SEIRepidemic model with infectious force inlatent, infected and immune period. Chaos,Solitons & Fractal, 25: 1177 1184.Li, G., W. Wang, & Z. Jin. 2006. Global stability ofan SEIR epidemic model with constantimmigration. Chaos, Solitons & Fractal, 30:1012 1019.Li, X.Z. & B. Fang. 2009. Stability of an Age-structured SEIR Epidemic Model withInfectivity in Latent Period. Applicationsand Applied Mathematics. 4: 218 236.Tessa, O.M. 2006. Mathematical model for control ofmeasles by vaccination. Proceedings of MaliSymposium on Applied Sciences. Niger:Abdou Moumouni University.Widoyono. 2005. PENYAKIT TROPISEpidemiologi, Penularan, Pencegahan &Pemberantasannya. Jakarta: Erlangga.WHO. 2011. Measles.http://www.who.int/mediacentre/factsheets/fs286/en/ [diakses 19-02-2012].Zhang, J. & Z. Ma. 2003. Global dynamics of anSEIR epidemic model with saturatingcontact rate. Mathematical Biosciences, 185: 1532.Zhang, T & Z. Teng. 2007. On a NonautonomousSEIRS Model in Epidemiology. Bulletin ofMathematical Biology. 69: 25372559.