CALCULO DIFERENCIAL E

INTEGRAL

Ing. Jorge Yaya Cruzado

SESION 6

TEMARIO

INTEGRAL DEFINIDA.

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL

INTERPRETACION GEOMETRICA.

TEOREMA DEL VALOR MEDIO

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO

REGLA DE BARROW

METODO DEL CAMBIO DE VARIABLE

CALCULO DE AREAS DE REGIONES

Por que surgió el calculo de integrales

Surgió por la necesidad de calcular el área de figuras planas en especiallas irregulares

A= l^2

l

lA=l*a

l

a

h

b

𝐴 =𝑏 ∗ ℎ

2

Como calcular el área de:

Método Griego

Consiste en intentar calcular el área

de un circulo mediante la inserción

dentro del mismo triángulos cada

vez mas pequeños:

La suma de las áreas de los

triángulos seria aproximadamente

igual al área del circulo.

Área del circulo es el

limite de las áreas de los

triángulos

Mientras mas triángulos insertemos en el

circulo, mas exacto será el calculo del

área

Esta idea se traslado al calculo de áreas de otras figuras irregulares : Al área

de una figura compleja se calcularía intentando transformar la figura

irregular en formas regulares

Imaginemos esta función:

f(x)= 𝑒−2𝑥

Como obtener de manera indirecta el área de la función entre 0 y 2 ???

A1

A2

A1

An

Así surge el concepto de Integral:

Es una suma de las áreas de infinitos rectángulos es decir la suma de infinitos términos

Por lo tanto lo que buscamos es convertir una figura irregular en

una composición de figuras regulares que nos permitieran aplicar formulas matemáticas sencillas

Por lo tanto, una integral definida es una suma de infinitos términos

El símbolo de integración es un S alargada

La Suma de las áreas de un conjunto de rectángulos cuyas alturas

vienen dadas por los valores de una función y cuyas bases tienen

longitudes infinitesimales

La Suma de las áreas de un conjunto de rectángulos cuyas alturas

vienen dadas por los valores de una función y cuyas bases tienen

longitudes infinitesimales

El Área total será:

En resumen:

Si para una integral definida de una función continua f(x) elegimos dos

valores a y b que pertenezcan a su dominio

Ejemplo:

Se llama integral definida por que obtenemos un valor numérico definido.

Operativamente, primero se halla la integral indefinida (omitiendo la

constante C) y después se sustituyen los limites de integración (Primero el

limite superior y se resta el limite inferior

Propiedades fundamentales

1.- si a > b, entonces:

2.- si f(a) existe, entonces:

3.- Si K es una constante cualquiera, entonces:

4.- si una función f es integrable en [a,b] y k es una constante arbitraria,

entonces:

5.- Si las funciones f y g son integrables en [a,b], entonces: f ± g es integrable

en [a,b].

6.- Si la función f es integrable en [a,b], [a,c], [c,b] y a < c < b, entonces:

7.- Si la función f es integrable en [a,b] y f(x) ≥ 0, entonces:

8.- Si las funciones f y g son integrables en [a,b] y f(x) ≥ g(x), para todo x Є [a,b] entonces:

9.- Simetría: Sea f una función continua sobre el intervalo [–a, a]

9.1.- si f es par, entonces: −𝑎

𝑎

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 2 0

𝑎

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

9.2.- si f es impar, entonces:

−𝑎

𝑎

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =0

10.- sea f continua en [a,b]. Si m es el valor mínimo absoluto y M es el máximo absoluto de f en [a,b] y m ≤ f(x) ≤ M, a ≤ x ≤ b, entonces

m(b−a)≤ 0𝑎𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≤ M(b-a)

Geométricamente la propiedad 10 nos indica:

Como f(x) ≥ 0, para todo x Є

[a,b], el área de la región bajo

la curva f(x) , encerrada entre

las rectas x=a y x= b y el eje x

esta dada por la integral

definida:

𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 …… (1)

El área de la región rectangular

cuyas dimensiones M y (b-a) es

mayor que el área dada por (1)

y el área de la región rectangular cuyas dimensiones

son m y (b-a) es menor que el

área dada por (1)

Interpretación Geométrica de la Integral

Interpretación geométrica (para funciones positivas) Entre los rectángulos abB'A (rojo) y abBA‘(azul) existe un rectángulo intermedio (verde) que tiene la misma área que el áreadel recinto R(f; [a, b]). La altura de este rectángulo es precisamente f(c).

Por tanto R1 = R2

Enunciado: Si f es continua existe c[a,b] en el que

b

a

cfabdxxf )()·()(

Puesto que f es continua en [a, b] toma todos los

valores entre m y M. Por tanto existe un c [a, b] tal que:

1

b – a

ab f(x) dx = f(c)

Si multiplicamos por (b – a) se obtiene la función integral

Enunciado:

Si f es continua en el intervalo [a, b], existe c [a, b] en el que

ab f(x) dx = (b – a) f(c).

m (b – a)

a

b

f(x) dx M (b – a)

m 1

b – a a

b f(x) dx M

a b

m

M

1

b – a

a

b

f(x) dx

c¡¡Atención!! Puede haber varios puntos, en los que la función alcanza el valor medio.

Teorema del valor medio para integrales

Demostración: área pequeña < A.curva < área grande

x x+h

Teorema fundamental del cálculo. Interpretación geométrica

Sea f una función continua, positiva y creciente en el intervalo (a,b).

Sea F la función que mide el área sombreada hasta x. En el límite

cuando h tiende a cero, F’(x) coincide con f(x)

( ) ( )( ) ( )

F x h F xf x f x h

h

Sea ( , ) y 0.x a b h

( )f x

( )f x h( ) ( )F x h F x

( ) ( ) ( )h f x F x h F x ( )h f x h

X

Y

área pequeña < A.curva < área grande

Teorema fundamental del cálculo

Enunciado: Sea f una función continua, positiva y creciente en el

intervalo (a,b). La función F que mide el área sombreada hasta x, es la

primitiva de f, es decir F’(x) = f(x).

h

dt)t(fdt)t(flim

h

dt)t(fdt)t(flim

h

)x(F)hx(Flim)x('F

hx

a

a

x

0h

hx

a

x

a

0h0h

Dem.:

)x(f)c(flimh

h)c(flim

h

)xhx)·(c(flim medio valor del teoremaelpor y

h

dt)t(flim

0h0h

0h

hx

x

0h

a c b

Si h tiende a 0 c tiende a x por lo que f(x)=F’(x)

Regla de Barrow

Si f(x) es una función continua en [a, b] y G(x) es una primitiva de f(x)

en [a, b], entonces

a

b f(x) dx = G(b) – G(a).

• Como F(x) (función de áreas) es también una primitiva de f(x) en [a, b], F(x) y G(x)

se diferencian en una constante: por tanto F(x) = G(x) + C.

• Como F(a) = 0 C = – G(a). Por tanto F(x) = G(x) – G(a).

• Para x = b, F(b) = G(b) – G(a).

Que también se puede poner así: b

adxxf )( = G(b) – G(a) =

F(x) ba

Demostración:

Por tanto F(b) = = G(b) - G(a)b

adxxf )(

CALCULO DE AREA DE REGIONES PLANAS

AREAS BAJO UNA CURVA

Como hemos revisado, hemos visto que para calcular el valor del área bajo una curva, se particiona la región plana y luego se hace la suma infinita de las áreas de las particiones, lo cual equivale a una integral definida.

En resumen, considerando solo una partición representativa, que es el rectángulo diferencial que representa cualquier partición de la región plana, gráficamente :

y = f(x)

dx

dA = f(x)dx

b

a

f(x)dxA

f(x)

dx

y

x0 a bx

dy

y

x0

dyx = g(y)

d

c

d

c

g(y)dyA

dA = g(y)dy

g(y)

AREA ENTRE CURVASSi se tiene una región plana es de la siguiente forma:

dx

y

x0 dx

y = f(x)

y = g(x)

f(x)

- g(x)

b

a

dxg(x)-f(x)A

dA =[f(x) - g(x)]dxba

Pasos a realizar la obtención de áreas:

Paso 1: Bosqueje la región.

Paso 2: Córtela en pedazos delgados (tiras); marque una pieza

representativa.

Paso 3: Aproxime el área de esta pieza representativa como si fuese un rectángulo.

Paso 4: Sume las aproximaciones a las áreas de las piezas.

Paso 5: Tome el límite cuando el ancho de las piezas se aproxima a cero,

obteniendo así una integral definida.

Ejemplos: