bilangan prima dan tfm ( teori & aplikasi )
TRANSCRIPT
NUMBER THEORY
Oleh : Takwa Tri Subekti
Indikator :Memahami Definisi Bilangan Prima
Memahami beberapa teorema dalam bilangan prima
Memahami teorema fundamental aritmetika
Mengaplikasikan teorema fundamental artimetika
terhadap soal olimpiade
Definisi :
Suatu bilangan bulat p > 1 disebut bilangan primajika p tidak mempunyai faktor positif kecuali 1 dan p itu sendiri.
Selanjutnya bilangan bulat q > 1 disebut bilangan komposit (tersusun) jika q bukan bilangan prima.
Bilangan asli dengan elemen yaitu 1 disebut unit
Akibat : “himpunan bilangan asli terbagi menjadi 3 bagian himpunan yang saling lepas”
Himpunan bilangan unit = { 1 }
Himpunan bilangan prima = { 2, 3, 5, 7, ... }
Himpunan bilangan komposit = { 4, 6, 8, 9,...}
BILANGAN PRIMA
Apakah (-2), (-7), (-13) suatu
bilangan prima ?
bilangan komposit ? atau
bukan keduanya ?
“Melihat pemandangan terkadang memunculkanide untuk menganalisa”
KETUNGGALAN BILANGAN PRIMA
Teorema 1 :
Jika p bilangan prima dan p | ab, maka p | a atau p | b.
Bukti :
Karena p bilangan prima maka p hanya mempunyai faktor 1 dan p, sehingga (a,p) = 1 atau (a,p) = p untuk bilangan bulat a sebarang.
Jika (a,p) = 1 dan p | ab, maka p | b
Jika (a,p) = p, maka p | a
Jadi p | a atau p | b
Akibat (perluasan) teorema 1 :
Jika p bilangan prima dan p | a1a2 .. an, maka p | a1 atau p | a2 atau ..... p | an
PERGANDAAN BILANGAN PRIMA
Teorema 2 :
Pemfaktoran suatu bilangan bulat positif yang lebihbesar dari 1 atas faktor – faktor prima adalahtunggal, kecuali urutan dari faktor – faktornya.
Bukti :
kita sudah punya teorema 1,, selanjutnya ;
Ambil bilangan bulat positif n > 1
*Jika n bilangan prima maka n adalah bilanganprima itu sendiri..
*Jika n suatu bilangan komposit dan diandaikanbahwa pemfktoran n atas faktor – faktor prima adalah tidak tunggal, misalnya ;
n = p1 p2 p3 … pt dan n = q1 q2 q3 … pr
Lanjutan pembuktian :
dengan pi qj adalah bilangan prima untuk i = 1, 2, 3, 4, … t danj = 1, 2, 3, 4, … r
serta p1 ≥ p2 ≥ p3 ≥ … pt dan q1 ≥ q2 ≥ q3 ≥ … pr dengan t ≥ r
pandang ke n = p1 p2 p3 … pt
dengan sifat sifat yang dipenuhi diatas maka :
p1 | n sehingga p1 | q1 q2 ... qr
Contoh :
900 = 5 . 5 . 3 . 3 . 2 . 2 .
5 | 900 sehingga 5 | 5 . 3 . 2
Pencarian bilangan primaTeorema Euclides :
“Pembentukan bilangan prima N sebagai hasil kali semua bilangan prima ditambah 1.
Aplikasi:
N1 = 2 + 1 = 3 (prima)
N2 = 2 . 3 + 1 = 7 (prima)
N3 = 2 . 3 . 5 + 1 = 31 (prima)
N4 = 2 . 3 . 5 . 7 + 1 = 211 (prima)
N5 = 2 . 3 . 5 . 7 . 11 + 1 = 21311 (prima)
N6 = 2 . 3 . 5 . 7 . 11 . 13 + 1 = 30031(bukan prima)
karena merupakan hasil kali 59 dengan 509
Teorema Fermat :
Bilangan prima dapat dihasilkan dari : 122
n
np
Rumus ini efektif ketika n (bilangan bulat tak nol) =
1, 2, 3, tapi tidak efektif pada bilangan n = 5 karena
menghasilkan bilangan komposit.
p0 = 3 p1 = 5 p2 = 17
p3 = 257 p4 = 65537
p5 = 4294967297 (bukan prima)
karena bilangan tersebut merupakan hasil kali
bilangan 641 dengan 6700417
Saringan Eratosthenes :
Pembuatan tabel (daftar) 100 atau berapapunbilangan asli dan mencoret bilangan – bilangankomposit atau mencoret kelipatan bilangan primasehingga membentuk bilangan prima.
merupakan teknik pencacahan pencarian bilanganprima.
Berapa yah jumlah
bilangan prima antara
10 sampai 20 ??
Teorema Fundamental Aritmetika.
"Setiap bilangan bulat positif yang lebih besar atau
sama dengan 2 dapat dinyatakan sebagai perkalian
lebih atau satu bilangan prima"..
Bentuk ka
k
aaappppn ....321
321
Merupakan representasi n sebagai hasil kali
bilangan-bilangan prima, sering pula bentuk itu
disebut bentuk kanonik nContoh :
90 = 2.3.3.5 = 21.32.51
Akibat :
maka banyaknya pembagi positif dari n adalah
)1(....)1()1()1(321 k
aaaa
Contoh :
Banyaknya faktor pembagi positif pada 13 dan 63 adalah ?
Jawab :
13 = 131
banyaknya faktor pembagi positif ;(1 + 1) = 2 => {1 & 13}
63 = 32 . 71
banyaknya faktor pembagi positif ;
(2 + 1) (1 + 1) = (3)(2) = 6
=> {1, 3, 7, 9, 21, 63}
Soal – soal1. Ubahlah bilangan komposit berikut kedalam bentuk fundamental
aritmetika :
a). 1638 b). 6776
2. Jumlah faktor prima dari bilangan set (a) dapat dinyatakan dalam (x)
dan jumlah faktor prima dari set (b) dapat dinyatakan dalam (y).
Tentukan x2 – y2.
3. Seleksi olimpiade SMA tingkat kabupaten tahun 2008 ;
Tentukan banyaknya faktor (pembagi) positif dari bilangan 2008.
4. Takwa’s challenge ;
137200 = ad . be . cf
maka ;
dimana p dan q saling prima, tentukan nilai dari q – p.
Pembahasan
1). a). 1638 = 21 . 32 . 71 . 131
b). 6776 = 23. 71 . 111
2). x = 2 + 3 + 7 + 13 = 25
y = 2 + 7 + 11 = 20
x2 – y2 = (x + y)(x – y) = (25 + 20)(25 – 20) = (45)(5) = 225
3). bilangan 2008 = 23. 2511
banyaknya faktor pembagi positif dari bilangan 2008 adalah
(3 + 1)(1 + 1) = (4)(2) = 8
jadi banyaknya faktor pebagi positif bilangan 2008 adalah 8.
PENCACAHAN => {1, 2, 4, 8, 251, 502, 1004, 2008}
4). Takwa’s Challenge
DAFTAR PUSTAKA
B.K. Noormanidiri . 2004 . Matematika SMA kelas X .
Erlangga : Jakarta
A Abdul . L , Wiji . 2012 . Olimpiade Matematika SMP
. ANDI : Yogyakarta
Sukarman H. 1994 . Teori Bilangan . Universitas Terbuka :
Jakarta
Nama : Takwa Tri Subekti
E-mail : [email protected]
HP : 085327018726
NIM : 40311020
Prodi : Pend. Matematika
Sekolah : STKIP Islam Bumiayu
Fanspage FB : Math Legend
SEMOGA BERMANFAAT