VII. MAKSIMUM DAN MINIMUM

VII.A. NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM Tinjau fungsi z = F(x, y) yang kontinu di suatu daerah D. Fungsi tersebut dikatakan

mempunyai nilai maksimum di titik (x0, y0) jika F(x0, y0) mempunyai nilai lebih besar daripada atau sama dengan nilai-nilai F(x, y) untuk (x, y) yang terletak di lingkungan titik (x0, y0). Hal ini dapat dikatakan sebagai berikut. Fungsi F(x, y) mencapai nilai maksimum di titik (x0, y0), jika ada bilangan kecil d > 0 sedemikian rupa sehingga

F(x0 + h, y0 + k) £ F(x0, y0) untuk h < d, k < d

Demikian juga dapat kita katakan bahwa fungsi F(x, y) mencapai nilai minimum di titik (x0, y0), jika ada bilangan kecil d > 0 sedemikian rupa sehingga

F(x0 + h, y0 + k) ³ F(x0, y0) untuk h < d, k < d

Nilai-nilai maksimum dan minimum ini dinamakan nilai-nilai ekstrim. Pertanyaan yang muncul sekarang adalah, persyaratan apa saja yang diperlukan oleh nilai-nilai ekstrim ini. Untuk menjawab pertanyaan ini kita ambil y = y0 (lihat Gambar VII.1). Bidang ini akan memotong permukaan z = F(x, y) menurut lengkungan z = F(x, y0). Karena y0

adalah konstanta, maka z = F(x, y0) adalah fungsi satu variabel x. Jadi untuk nilai maksimum atau minimum dari z, berlaku

z

x x y

0 0, = 0 atau

F

x x y

0 0, = 0

Dengan cara yang sama dapat kita peroleh,F

yx y

0 0,

= 0

Gambar VII.1

Jadi untuk nilai-nilai ekstrim di titik (x0, y0) untuk fungsi z = F(x, y) berlaku,

DND

68

F

x

= 0 dan

F

y

= 0

di titik tersebut. Persyaratan ini tidak dapat dibalik, Jadi jika F

x x y

0 0, = 0 dan

F

yx y

0 0,

= 0

tidak selalu F(x0, y0) merupakan nilai ekstrim. Sebagai contoh misalkan fungsi F(x, y) = x2y. Untuk fungsi ini,

F

dx

0 0,

2 00 0

xy,

dan F

dyx

0 0

20 0

0,

,

Akan tetapi F(0, 0) = 0 bukan nilai ekstrim, karena pada setiap lingkungan (0, 0) untuk F(x, y), ada nilai positif (untuk y > 0) dan ada nilai negatif (untuk y < 0). Jadi persyaratan

F

x x y

0 0, = 0 dan

F

y x y

0 0, = 0

untuk nilai ekstrim adalah perlu, tetapi tidak mencukupi. Semua yang memungkinkan berlakunya ketentuan

F x y

x

( , )0 0 = 0 dan

F x y

y

( , )0 0 = 0

disebut titik kritis.Untuk memenuhi syarat cukup pada nilai-nilai ekstrim perlu diperkenalkan

diskriminan F(x, y) di titik (x0, y0) yaitu,

2

2

2

2

2 2F

x

F

y

F

x y

Apabila,

Π> 0 dan

20 02

F x y

x

( , ) < 0 atau

20 02

F x y

y

( , ) < 0, maka F(x0, y0) adalah nilai

maksimum.

> 0 dan

20 02

F x y

x

( , ) > 0 atau

20 02

F x y

y

( , ) > 0, maka F(x0, y0) adalah nilai minimum.

Contoh VII.1Diketahui fungsi F(x, y) = x3 + y3 3x 27y + 30. Tentukanlah nilai-nilai maksimum dan minimum fungsi tersebut dan untuk (x, y) yang manakah semua nilai ekstrim tercapai ?

Jawab :F(x, y) = x3 + y3 3x 27y + 30

Untuk nilai ekstrim harus berlaku F

x

= 0 dan

F

y

= 0

F

x = 3x2 3 = 0 atau x = ± 1

F

y = 3y2 27 = 0 atau y = ± 3

Jadi titk-titk kritisnya adalah (1, 3), (1, 3), (1, 3) dan (1, 3)

Karena

2

2

F

x = 6x,

2

2

F

y = 6y dan

2F

x y = 0, maka

DND

69

2

2

2

2

2 2F

x

F

y

F

x y

= 6x(6y) 0 = 36xy

Pada titik (1, 3), = 36(1)(3) = 108 > 0 dan

2

21 3

F

x

,

= 6(1) = 6 > 0. Jadi pada titik (1,

3) terdapat nilai minimum dan nilai minimum tersebut adalah,

F(1, 3) = (1)3 + (3)3 3(1) 27(3) + 30 = 1 + 27 3 81 + 30 = 26

Pada titik (1, 3), = 36(1)( 3) = 108 < 0. Jadi di titik (1, 3) tidak terdapat nilai ekstrim.

Pada titik (1, 3), = 36(1)( 3) = 108 < 0. Jadi di titik (1, 3) tidak terdapat nilai ekstrim.

Pada titik (1, 3), = 36(1)( 3) = 108 > 0 dan

2

2

1 3

F

x

,

= 6 (1) = 6 < 0. Jadi pada

titik (1, 3) terdapat nilai maksimum dan nilai maksimum tersebut adalah,

F(1, 3) = (1)3 + (3)3 3(1) 27(3) + 30 = 1 27 + 3 + 81 + 30 = 86

Contoh VII.2Sebuah kotak berbentuk balok yang terbuka di bagian atasnya, mempunyai volume 108 m3. Berapakah ukuran kotak itu supaya luas seluruh kotak mempunyai nilai minimum.

Jawab :Misalkan panjang, lebar dan tinggi kotak adalah, x, y dan z meter. Jadi volume kotak adalah,

V = xyz = 108

atau z = 108

xy (x > 0, y > 0, z > 0) (i)

Luas seluruh kotak adalah,

L = xy + 2xz + 2yz = xy + 2x108

xy

+ 2y

108

xy

= xy +

216

y +

216

xAgar L mempunyai nilai ekstrim harus berlaku :

L

x = y

2162x

= 0 atau y = 216

2x(ii)

L

y = x

2162y

= 0 atau x = 216

2y(iii)

Subtitusikan (ii) ke (iii) diperoleh,

x =

216

2162

2

x

= x4

216 atau x3 = 216 atau x = 6 m

Dengan memasukan harga x ke persamaan (ii) diperoleh,

y = 216

62 = 6 m

Untuk memperoleh harga z, masukan harga x dan y ke persamaan (i),maka diperoleh,

z = 108

6 6( )( ) = 3 m

DND

70

Selanjutnya kita selidiki apakah untuk x = 6 m, y = 6 m dan z = 3 m luas L benar-benar mencapai nilai minimum.

2

2

L

x =

x

yx

2162 =

4323x

= 432

63 = 2 > 0

.

2

2

L

y =

y

xy

2162 =

4323y

= 432

63 = 2 > 0

2 L

x y =

x

xy

2162 = 1

Jadi,

2

2

2

2

2 2L

x

L

y

L

x y

= 2(2) (1)2 = 4 1 = 3 > 0

Dari hasil ini dapat kita simpulkan bahwa untuk x = 6 m, y = 6 m dan z = 3 m, luasnya mencapai minimum.

Contoh VII.3Tentukan nilai ekstrim dan jenis ekstrimnya untuk fungsi F(x, y, z) = xy2z3 dengan persyaratan x + y + z = 6

Jawab :Dari persyaratan diperoleh,

x = 6 y z (i)Jika harga x ini disubtitusikan ke dalam F(x, y, z) maka diperoleh,

H(y, z) = (6 y z)y2z3 = 6y2z3 y3z3 y2z4

H

y = 12yz3 3y2z3 2yz4 = 0

atau yz3(12 3y 2z) = 0

atau 12 3y 2z = 0atau 3y = 12 2z (ii)

H

z = 18y2z2 3y3z2 4y2z3 = 0

atau y2z2(18 3y 4z) = 0atau 18 3y 4z = 0atau 3y = 18 4z (iii) Dari (ii) dan (iii) diperoleh,

12 2z = 18 4zatau z = 3 (iv)Jika harga z ini dimasukan ke persamaan (ii) diperoleh,

y = 2 (v)Subtitusikan (iv) dan (v) ke (i) diperoleh,

x = 1Jadi titik kritisnya adalah (1, 2, 3). Pada titik ini

2

2

H

y= 12z3 6yz3 2z4 = 12(33) 6(2)(33) 2(34)

= 324 324 162 = 162 < 0

DND

71

2

2

H

z = 36y2z 6y3z 12y2z2 = 36(22)(3) 6(23)(3) 12(22)(32)

= 432 144 432 = 144 < 0

2H

y z= 36yz2 9y2z2 8yz3 = 36(2)(32) 9(22)(32)

8(2)(33)= 648 324 432 = 108

Jadi

2

2

2

2

2 2H

y

H

z

H

y z

= (162)( 144) (108)2 = 11664 > 0

Dengan demikian pada titik (1, 2, 3) terdapat nilai maksimum dan nilainya adalah,

F(1, 2, 3) = (1)(22)(33) = (1)(4)(27) = 108

VII.B. MULTIPLIKATOR LAGRANGE

Dalam Contoh VII.2 diperlihatkan penentuan nilai ekstrim untuk fungsi dengan tiga variabel yaitu L(x, y, z) = xy + 2xz + 2yz dengan syarat tambahan xyz 108 = 0. Cara lain untuk menentukan nilai ekstrim untuk fungsi dengan tiga variable F(x, y, z) dan syarat tambahan pada x, y dan z yang harus memenuhi syarat G(x, y, z) = 0 adalah dengan menggunakan multiplikator Lagrange.

Syarat G(x, y, z) = 0 menentukan z sebagai fungsi x dan y atau z = f(x, y). Jika z ini disubtitusikan ke dalam F(x, y, z) maka diperoleh F(x, y, f(x, y)), dan ini adalah fungsi dengan dua variabel x dan y. Untuk nilai ekstrimnya diperlukan persyaratan bahwa turunan parsial pertama terhadap x dan y adalah nol. Jadi

Œ

F

x

F

z

z

x 0

F

y

F

z

z

y 0

dengan F

z0.

Karena G = (x, y, z) = 0, maka berlaku

Ž

G

x

G

z

z

x 0

G

y

G

z

z

y 0

dengan G

z0. Jika

z

x dieliminasikan dari Œ dan Ž, maka diperoleh

F

x

G

z

F

z

G

x 0. Jika

z

y dieliminasikan dari dan , maka didapatkan

‘

F

y

G

z

F

z

G

y 0

Hasil dan ‘ juga dapat kita peroleh sebagai berikut.Misalkan F x y z G x y z( , , ) ( , , ) , dan adalah suatu konstanta. Jika kita eliminasikan x

= 0 dan y

= 0 dengan memisahkan z

= 0, maka persamaan Œ, , Ž dan setara

dengan,

DND

72

’

F

x

G

x 0

“

F

y

G

y 0

”

F

z

G

z 0

dan G(x, y, z) = 0Konsatanta dinamakan multiplikator Lagrange. Dengan memakai multiplikator Lagrange ini kita hanya dapat menentukan koordinat x, y dan z dari titik ekstrim dan bukan untuk menentukan jenis ekstrim (maksimum atau minimum). Untuk menentukan jenis ekstrim, kita tetap memerlukan turunan parsial kedua fungsinya sendiri.

Contoh VII.3 (Soal sama dengan Contoh VII.2)Sebuah kotak berbentuk balok yang terbuka di bagian atasnya, mempunyai volume 108 m3. Berapakah ukuran kotak itu supaya luas seluruh kotak mempunyai nilai minimum.

Jawab :Luas kotak adalah L = xy + 2xz + 2yz dan pembatasnya adalah G(x, y, z) = xyz 108 = 0.

L + G = (xy + 2xz + 2yz) + ( xyz 108)

L

x

G

x = (y + 2z) + (yz) = 0 atau z =

y

y2 (i)

L

y

G

y = (x + 2z) + (xz) = 0 atau z =

x

x2 (ii)

L

z

G

z = (2x + 2y) + (xy) = 0 (iii)

xyz = 108 (iv)Dari (i) dan (ii) diperoleh

x = y (v) Apabila hasil ini disubtitusikan ke (iii) maka akan diperoleh,

4x + x2 = 0 atau 4 + x = 0 atau = 4

x (karena x 0) (vi)

Subtitusikan hasil ini ke persamaan (ii) maka akan didapat,x = 2z (vi)

Jika hasil ini disubtitusikan ke (v), diperolehy = 2z (vii)

Persamaan (vi) dan (vii) subtitusikan ke persamaan (iv) maka didapat(2z)(2z)z = 4z3 = 108 atau z = 3

Dengan memasukan harga z ini ke persamaan (vi) dan (vii) diperoleh, x = 6 dan y = 6

Untuk menentukan titik-titik maksimum dan minimumnya sama dengan Contoh VII.2. Pada soal ini tampak bahwa cara dengan multiplikator Lagrange lebih panjang dari cara biasa, akan tetapi dalam beberapa hal perhitungannya bisa lebih sederhana. VII.C. SOAL LATIHANTentukanlah titik-titik kritis dari fungsi-fungsi dalam soal 1 - 6. Kemudian tentukanlah jika ada titik-titik dan nilai-nilai ekstrimnya.

1. F(x, y) = x2 + 4y2 4x 2. F(x, y) = x2 + 4y2 2x + 8y 1

3. F(x, y) = 2x3 6x + 3y2 9y 4. F(x, y) = xy2 6x2 3y2

DND

73

5. F(x, y) = x3 + y3 6xy 6. F(x, y) = xy + 2

x +

4

y

7. Tentukan titik-titik kritis, dan juga nilai-nilai maksimum dan minimumnya jika ada dari fungsi F(x, y) = 3x3 + y2 9x + 4y.

8. Sebuah tangki logam persegi panjang dengan bagian atas terbuka dipakai untuk penyaringan 256 meter kubik cairan. Berapa ukuran tangki tersebut yang memerlukan sedikit bahan dalam pembuatannnya

9. Tentukan jarak minimum antara titik asal dan permukaan z2 = x2y + 4

10. Tentukan jika ada , nilai-nilai ekstrim z pada permukaan 2x2 + 3y2 + z2 12xy + 4xz = 35.

DND

74