Bab VIII Aspek Kosmologi Teori Skalar-Vektor-Tensor

VIII.1 Pendahuluan

Kemungkinan invarian Lorentz dilanggar pada energi-energi tinggi dalam teori 4-

dimensi dengan konsekuensi yang dapat diuji (Mattingly dan Vucetich, 2005)

telah menjadi sebuah subjek riset yang sangat menarik akhir-akhir ini. Hasil-hasil

tentatif dari gravitasi kuantum dan teori string menunjukan bahwa ada sebuah

keadaan dasar (ground state) yang tidak invarian Lorentz. Teori string juga

memprediksikan bahwa alam semesta dengan koordinat non komutatif (Connes,

dkk., 1998) menuju sebuah pelanggaran invarian Lorentz (Carrol, dkk., 2001).

Dari observasi astrofisika menunjukan bahwa keberadaan sinar kosmik energi

tinggi disekitar ambang Greisen-Zatsepin-Kuzmin (GZK) dapat dijelaskan melalui

pelanggaran invarian Lorentz (Chrisholm dan Kolb, 2004). Dari kebanyakan riset

yang mengeksplorasi kemungkinan pelanggaran Lorentz terfokus pada fisika non

gravitasional, yaitu ruang-waktu datar. Dalam ruang-waktu datar, pelanggaran

Lorentz digambarkan oleh kopling konstan dari tensor yang tidak memenuhi

simetri Lorentz. Untuk memformulasikan pelanggaran invarian Lorentz dalam

ruang-waktu lengkung tanpa melanggar prinsip-prinsip kovariansi dari tensor

maka tensor tersebut dipandang sebagai medan dinamik yang memenuhi

persamaan-persamaan medan efektif.

Bab ini bertujuan untuk memberikan sebuah implementasi pelanggaran Lorentz

dalam fisika gravitasional dengan meninjau sebuah medan vektor yang memiliki

nilai ekspektasi vakum yang tidak lenyap dan mengkopel medan vektor dengan

gravitasi atau medan-medan materi. Jika medan-medan materi adalah sebuah

medan skalar maka teori yang dihasilkan adalah teori gravitasi skalar-vektor-

tensor pelanggaran Lorentz. Kasus khusus dari teori ini tanpa medan skalar

pertama kali diperkenalkan oleh Kostelecky dan Samuel (1989). Dalam konteks

berbeda, Bekenstein (2004) juga mengkaji teori gravitasi dengan sebuah medan

vektor untuk menjelaskan efek dari materi gelap. Medan vektor dapat menentukan

sebuah kerangka universal pada setiap titik di dalam ruang-waktu dan setiap

162

medan-medan materi yang terkopel dengan medan ini akan mengalami

pelanggaran invarian Lorentz lokal (Colladay dan Kostelecky, 1998).

Di dalam bab ini pula dipelajari beberapa akibat kosmologi dari pelanggaran

Lorentz dalam konteks skalar-vektor-tensor. Pertama dibahas formulasi umum

dari teori skalar-vektor-tensor pelanggaran Lorentz dengan meninjau kopling

antara medan skalar dan medan vektor adalah bergantung waktu. Evolusi waktu

dari parameter-parameternya dapat dipandang sebagai sebuah konsekuensi dari

dinamika medan skalar. Kemudian dengan menggunakan persamaan-persamaan

dinamika, diturunkan persamaan keadaan dalam ungkapan parameter vektor

kopling. Konsekuensi kosmologi dari medan skalar menggelinding yaitu inflasi

dibahas untuk beberapa model yang diberikan. Akhirnya, titik-titik kritis dari

sistem global ditinjau untuk mempelajari stabilitas sistem.

VIII.2 Teori Gravitasi Skalar-Vektor-Tensor

Di dalam sub bab ini dibahas skema dari teori skalar-vektor-tensor dengan

meninjau alam semesta 4-dimensi di mana ada derajat kebebasan non-

gravitasional dalam kerangka kerja teori gravitasi skalar-vektor-tensor

Asumsikan bahwa ada simetri Lorentz yang dilanggar secara spontan dengan nilai

ekspektasi dari sebuah medan vektor diberikan oleh .

Tinjau sebuah aksi sebagai jumlah dari tiga aksi yang berbeda

(VIII.1)

di mana aksi untuk medan tensor, , medan vektor, , dan medan skalar, ,

berturut-turut diberikan sebagai berikut:

(VIII.2)

(VIII.3)

(VIII.4)

163

Disini ( ) adalah parameter sembarang dan adalah rapat

Lagrangian medan skalar dinyatakan sebagai fungsi dari metrik dan medan

skalar . λ adalah sebuah pengali Lagrange yang memberikan kendala medan

vektor menjadi serupa waktu. Selanjutnya aksi (VIII.1) dapat dipandang sebagai

sebuah aksi yang menggambarkan teori gravitasi skalar-vektor-tensor. Pada

persamaan (VIII.3), oleh nilai ekspektasi vakum, medan vektor memenuhi sebuah

kendala

(VIII.5)

Selanjutnya pula, telah diambil medan vektor sebagai sebuah vektor tak

berdimensi dan akibatnya parameter memiliki dimensi kuadrat massa. Dengan

kata lain, memberikan deskripsi skala massa pada perusakan simetri. Secara

prinsip, kerangka acuan diam khusus pada setiap titik dalam ruang-waktu

ditentukan oleh medan vektor yang melanggar simetri Lorentz.

Solusi persamaan gerak dapat diperoleh dengan mengasumsikan bahwa alam

semesta memiliki sifat homogen dan isotropik. Untuk itu, metrik ruang-waktu

dapat dipilih metrik Friedmann-Robertson-Walker:

(VIII.6)

Faktor skala dari alam semesta ditentukan oleh . Karena adalah medan

vektor yang dinamik maka persamaan kendala (VIII.5) menghasilkan

(VIII.7)

Variasi aksi persamaan (VIII.1) terhadap metric menghasilkan persamaan

medan Einstein berikut ini:

(VIII.8)

di mana adalah tensor energi-momentum total, . dan

berturut-turut menyatakan tensor energi-momentum medan vektor dan medan

skalar yang didefinisikan melalui perumusan standar

(VIII.9)

Komponen waktu dan komponen ruang dari tensor energi-momentum total

diberikan oleh

164

(VIII.10)

di mana rapat energi dan tekanan dari medan vektor adalah

(VIII.11)

Sebagai catatan bahwa kopling parameter tidak memberikan kontribusi

dinamik. Di dalam persamaan (VIII.11), tanda aksen menyatakan turunan dari

setiap kuantitas terhadap , sehingga dihubungkan dengan turunan terhadap

waktu oleh persamaan berikut:

(VIII.12)

Kuantitas menyatakan parameter Hubble. Dari persamaan (VIII.11) dapat

dilihat bahwa persamaan energi untuk medan vektor diberikan oleh

(VIII.13)

Untuk mempertahankan hukum kekekalan energi total,

(VIII.14)

maka persamaan energi untuk medan skalar memenuhi

(VIII.15)

Persamaan energi total (VIII.14) dapat diperoleh melalui ketidakdivergenan secara

kovarian tensor energi-momentum total sebagai akibat dari lenyapnya divergensi

tensor Einstein secara geometrik yaitu dari kontraksi geometrik identitas Bianchi.

Ruas kanan persamaan (VIII.13) dan persamaan (VIII.14) dipandang sebagai

sebuah suku interaksi antara medan vektor dan medan skalar sebagai akibat dari

kopling parameter yang bergantung pada medan skalar dan tentunya juga terhadap

waktu.

Dengan memanfaatkan komponen waktu dan komponen ruang persamaan

(VIII.10) dan persamaan Einstein (VIII.8), dapat diperoleh dua buah persamaan

bebas yang dinamakan sebagai persamaan Friedmann sebagai berikut:

165

(VIII.16)

(VIII.17)

Kedua persamaan Friedmann di atas dapat ditulis kembali dalam bentuk yang

lebih sederhana:

(VIII.18)

(VIII.19)

Suku kedua pada ruas kanan persamaan (VIII.19) adalah sebuah akibat dari

medan vektor kopling yang tidak konstan. Jika , tanpa medan vektor,

persamaan (VIII.18) dan persamaan (VIII.19) tidak lain adalah persaman gerak

untuk teori skalar-tensor. Sedangkan, jika , persamaan tersebut

menjadi persamaan yang telah dipelajari oleh Carrol dan Lim (2004).

Dengan menggunakan persamaan (VIII.18) dan persamaan (VIII.15) dapat

diperoleh tiga buah persamaan berikut:

(VIII.20)

(VIII.21)

(VIII.22)

di mana

(VIII.23)

dan adalah persamaan keadaan dari medan skalar. Dapat pula dilihat

bahwa persamaan-persamaan (VIII.20) – (VIII.22) memenuhi kendala:

(VIII.24)

dan juga oleh persamaan Friedmann (VIII.19). Solusi dari sistem persamaan

(VIII.21) – (VIII.23) dan (VIII.24) bergantung pada model yang ditinjau dan jenis

166

materi yang ada dalam alam semesta. Solusi umum persamaan-persamaan tersebut

adalah:

(VIII.25)

(VIII.26)

(VIII.27)

Jika fungsi-fungsi dan diberikan, maka dapat diperoleh evolusi parameter

Hubble dalam pelanggaran Lorentz. Misalnya, konstanta kosmologi adalah suatu

fluida yang memiliki persamaan keadaan konstan . Sehingga persamaan

di atas memiliki solusi: , dan di mana dan

masing-masing merupakan fungsi dari . Jika merupakan parameter konstan

dari suatu bentuk fluida dan diberikan, persamaan (VIII.25) - (VIII.27) dapat

digunakan untuk menentukan kopling vektor dan rapat energi medan skalar

, kemudian potensial dari medan skalar dapat ditentukan.

VIII.3 Persamaan Dinamika Medan Skalar

Jika bentuk Lagrangian dari sebuah medan skalar diberikan di dalam ruang-waktu

FRW, maka dapat diperoleh persamaan gerak untuk medan skalar dengan

memanfaatkan persamaan-persamaan (VIII.15) dan (VIII.20) – (VIII.22). Untuk

itu, tinjau sebuah rapat Lagrangian dari sebuah medan skalar yang memiliki

potensial di dalam persamaan (VIII.1),

(VIII.28)

di mana dan untuk medan skalar biasa. Sedangkan

untuk medan skalar phantom. Dengan asumsi bahwa medan skalar adalah

homogen, sebagai fungsi dari waktu, maka maka rapat energi dan tekanan

dapat diperoleh, yaitu

(VIII.29)

(VIII.30)

167

Dari kedua persamaan di atas, parameter persamaan keadaan diberikan oleh

(VIII.31)

Substitusi persamaan (VIII.29) ke dalam persamaan (VIII.18), maka persamaan

Friedmann dapat dinyatakan kembali dalam bentuk

(VIII.32)

Kemudian dengan mengambil turunan persamaan (VIII.18) terhadap serta

menggunakan persamaan (VIII.15), dapat diperoleh persamaan gerak untuk

medan skalar:

(VIII.33)

Selanjutnya, turunan terhadap dari persamaan (VIII.32) dan dengan

memanfaatkan persamaan (VIII.33), persamaan gerak medan skalar menjadi

(VIII.34)

Substitusi (VIII.34) ke dalam persamaan Friedmann, menghasilkan ungkapan

untuk potensial medan skalar

(VIII.35)

Di dalam persamaan di atas, parameter Hubble, , dinyatakan sebagai fungsi dari

medan skalar , . Dari persamaan (VIII.20), persamaan keadaan

untuk medan skalar dapat ditulis kembali dalam bentuk

(VIII.36)

Persamaan-persamaan (VIII.34) dan (VIII.36) adalah dua buah persamaan yang

dapat digunakan untuk memperoleh solusi medan skalar dan persamaan

keadaannya . Hal ini dapat dikerjakan jika parameter Hubble dan vektor

kopling diketahui. Dengan menentukan kedua parameter tersebut, dapat

diperoleh solusi eksak persamaan-persamaan (VIII.34) dan (VIII.36). Persamaan-

persamaan tersebut dapat dimanfaatkan untuk memperoleh kuantitas-kuantitas

fisis berikut: potensial , energi kinetik ( ), rapat energi ( ) dan tekanan ( ),

168

(VIII.37)

VIII.3.1 Solusi Eksak dan Evolusi Medan Skalar

Pertama diselesaikan persamaan-persamaan (VIII.34) dan (VIII.36) untuk , ,

, dan , yang memerlukan dua buah kuantitas harus diketahui. Berikut ini dicari

solusi-solusi eksak dari persamaan keadaan medan skalar untuk kopling vektor

kudratik medan skalar. Zlatev, dkk., (1999) telah mempelajari persamaan keadaan

medan skalar dalam konteks kosmologi dengan medan skalar sebagai medan

tracker serta ditinjau pula beberapa jenis potensial yang menghasilkan dinamika

persamaan keadaan.

Tinjau sebuah model berikut ini:

(VIII.38)

di mana dan adalah parameter-parameter konstan. Setelah mengintegrasi

persamaan (VIII.34) maka persamaan evolusi untuk medan skalar diberikan oleh:

(VIII.39)

Di dalam persamaan di atas adalah sebuah konstanta. Kemudian

persamaan keadaan medan skalar menjadi

(VIII.40)

Evolusi dari potensial, energi kinetik, rapat energi dan tekanan berturut-turut

adalah

(VIII.41)

Solusi-solusi yang diberikan pada persamaan di atas sepenuhnya terkait dengan

pelangggaran Lorentz yang dinyatakan oleh kopling parameter . Dari model

yang diberikan oleh persamaan (VIII.38), evolusi kosmik dimulai dari faktor skala

169

yang konstan kemudian bertambah secara eksponensial, . Vektor

kopling mulai dari medan skalar yang konstan, , kemudian menurun secara

eksponensial untuki medan skalar biasa dan untuk kasus medan phantom evolusi

dari vektor kopling menjadi menurun. Sedangkan potensial, energi kinetik, rapat

energi dan tekanan adalah fungsi-fungsi eksponensial terhadap waktu dan

kuantitas tersebut menurun untuk medan skalar biasa. Untuk medan phantom

potensial dan rapat energinya bertambah secara eksponensial. Energi kinetik dan

tekanan untuk medan skalar biasa mulai dengan besaran negatif. Persamaan

keadaan menjadi besaran yang tidak dinamik dan hanya bergantung pada nilai

dari parameter kopling baik untuk medan skalar biasa maupun medan phantom.

Agar ekspansi yang dipercepat dapat terjadi maka parameter kopling

memiliki nilai untuk medan skalar biasa. Dari hasil observasi,

persamaan keadaan memiliki nilai lebih kecil dari . Jadi nilai dapat

dipilih sesuai dengan hasil observasi. Untuk kasus di mana dan

, juga diperoleh persamaan keadaan yang konstan,

(VIII.42)

Syarat bagi alam semesta yang dipercepat atau menghasilkan

(VIII.43)

Untuk model di atas diperoleh ekspansi fungsi pangkat yang memiliki bentuk

(VIII.44)

di mana pangkatnya didefinisikan oleh

(VIII.45)

Evolusi dari medan skalar diberikan oleh

(VIII.46)

170

VIII.3.2 Dinamika Persamaan Keadaan

Tinjau sebuah model di mana vektor kopling diberikan dalam bentuk fungsi

pangkat dari medan skalar

( )0 , ,nH H m nβ φ φ= = 2> . (VIII.47)

Disini , m dan n adalah parameter-parameter konstan. Dengan mengikuti

langkah-langkah penurunan sebelumnya, evolusi dari medan skalar diperoleh

sebagai berikut

0H

( )( ) ( ) ( )

01 22

0 0 01 2 2nn

tmnH n t t

φφη φ

−−=⎡ ⎤+ − −⎣ ⎦

, (VIII.48)

dan vektor kopling diberikan oleh

( )( ) ( ) ( )

022

0 0 01 2 2

n

n nn

mtmnH n t t

φβη φ

−−=⎡ ⎤+ − −⎣ ⎦

. (VIII.49)

Sedangkan persamaan keadaan (VIII.36) menghasilkan

( ) ( ) ( )2 2

02

0 0

4 311 2 2

n

nmnt

mnH n t tη φω

η φ

−

−= − ++ − 0−

. (VIII.50)

Potensial, energi kinetik, rapat energi dan tekanan medan skalar memilki solusi

( ) ( ) ( )2 2

2 2 00 0 2

0 0 0

2 33 11 2 2

n

nmnV t mH

mnH n t tη φφ

η φ

−

−

⎡ ⎤= − ×⎢ ⎥+ − −⎣ ⎦

( ) ( ) ( )220 0 0

1

1 2 2n nnmnH n t tη φ

−−×⎡ ⎤+ − −⎣ ⎦

, (VIII.51)

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

210 0

2 1 220 0 0

2

1 2 2

n

n nn

mnHK t

mnH n t t

η φ

η φ

−

− −−=⎡ ⎤+ − −⎣ ⎦

, (VIII.52)

( )( ) ( ) ( )

20 0

220 0 0

3

1 2 2

n

n nn

mHtmnH n t t

φρη φ

−−=⎡ ⎤+ − −⎣ ⎦

, (VIII.53)

( ) ( ) ( )2 2

2 2 00 0 2

0 0 0

4 33 11 2 2

n

nmnp t mH

mnH n t tη φφ

η φ

−

−

⎡ ⎤= − + ×⎢ ⎥+ − −⎣ ⎦

( ) ( ) ( )220 0 0

1

1 2 2n nnmnH n t tη φ

−−×⎡ ⎤+ − −⎣ ⎦

. (VIII.54)

171

Dari solusi-solusi di atas bahwa model (VIII.47) menggambarkan dinamika

evolusi yang dimulai dari faktor skala yang konstan kemudian naik secara

eksponensial, . Vektor kopling juga mulai dari nilai yang

konstan

0 0( ) exp[ ( )]a t a H t t= 0−

20mφ . Persamaan keadaan menjadi dinamik baik untuk medan skalar

biasa maupun medan phantom. Kemudian, potensial, energi kinetik, rapat energi

dan tekanan menurun untuk medan skalar biasa sedangkan untuk medan phantom

potensial dan rapat energi bertambah besar.

VIII.4 Skenario Inflasi Pelanggaran Lorentz

Pelanggaran Lorentz di dalam skenario inflasi dapat dibedakan menjadi dua

bagian: daerah gelindingan perlahan (slow-roll) pelanggaran Lorentz, 8 1Gπ β >> ,

dan daerah gelindingan perlahan standar, 8 1Gπ β << . Kasus pertama terkait

dengan β β= pada persamaan (VIII.23) dan kasus kedua terkait dengan 1(8 )Gβ π −= yang menggambarkan inflasi standar.

Di dalam sub bab ini ditinjau skenario inflasi medan skalar yang didasarkan atas

teori skalar-vektor-tensor. Vektor kopling dan potensial diberikan sebagai model

dan dinamikanya digambarkan oleh persamaan Friedmann dan persamaan gerak

medan skalar. Dari hasil yang diperoleh pada sub Bab VIII.2, persamaan-

persamaan dinamika tersebut adalah

( )2 2 21 13 2

H H Vφ φβ⎡ ⎤′= +⎢ ⎥⎣ ⎦

, (VIII.55)

21 02

HH

φ ββ β

′ ′ ′+ + = , (VIII.56)

,,23 3

VHH H

φφ

φ φ φ β′

′′ ′ ′+ + + + = 0 . (VIII.57)

Persamaan-persamaan dinamika di atas menghasilkan nilai kritis dari medan

skalar (lihat Gambar VIII.1) yang didefinisikan oleh

( )8 cGπ β φ 1= . (VIII.58)

Sebagai contoh, parameter kopling dengan bentuk 2nβ φ= maka persamaan

(VIII.58) menghasilkan

172

8pl

c

Mn

φπ

= . (VIII.59)

Gambar VIII.1 Sebuah titik kritis di mana kopling antara vektor pelanggaran

Lorentz dan medan skalar menjadi tidak efektif (Kanno dan Soda, 2006).

Misalkan iφ menyatakan nilai awal dari medan skalar. Dengan mengambil

~ 3i plMφ , syarat i cφ φ> menghasilkan parameter kopling 1/(72 ) ~ 1/ 226n π>

agar terjadi inflasi pelanggaran Lorentz. Sedangkan jika i cφ φ< , efek dari

pelanggaran Lorentz dapat diabaikan. Berikut ini ditinjau sebuah model vektor

kopling yang diberikan oleh

( ) mnβ φ φ= , (VIII.60)

dengan m dan n adalah parameter-parameter. Untuk model ini, nilai kritis dari

medan skalar adalah 12

8

m

plc

Mn

φπ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

, dan ( )

2

8 3pl

m

pl

Mn

Mπ> . (VIII.61)

Ada beberapa tipe potensial yang dapat menghasilkan inflasi dalam kosmologi

standar. Di dalam skenario teori scalar-vektor-tensor, inflasi dapat terjadi tanpa

potensial (Kanno dan Soda, 2006). Pada pasal berikut ini ditinjau dua tipe

potensial yaitu potensial fungsi pangkat kebalikan (inverse power-law potential)

173

dan potensial fungsi pangkat (power-law potential). Solusi dan analisanya dibahas

untuk masing-masing daerah inflasi.

VIII.4.1 Potensial Fungsi Pangkat Kebalikan

Tinjau sebuah potensial dalam bentuk

( ) 4V ν νφ μ φ+ −= . (VIII.62)

Disini μ dan ν adalah konstanta-konstanta. Model potensial fungsi pangkat

kebalikan dalam kosmologi standar dapat menghasilkan perturbasi tensor untuk

fluktuasi medan skalar skala-invarian (Barrow, 1990) dan juga dapat dihasilkan

dalam model supersimetrik QCD (Binetruy, 1999).

VIII.4.1.1 Daerah Gelindingan Perlahan Pelanggaran Lorentz

Untuk nilai medan skalar φ yang cukup besar, fungsi kopling β(φ) dan fungsi

potensial V(φ) keduannya memberikan kontribusi dalam model yang ditinjau.

Selama inflasi, efek pelanggaran Lorentz terhadap dinamika inflasi juga besar.

Dalam daerah pelanggaran Lorentz persamaan Friedmann dan persamaan gerak

medan skalar diberikan oleh

( )2 2 21 13 2

H H Vφ φβ⎡ ⎤′= +⎢ ⎥⎣ ⎦

, (VIII.63)

21 02

HH

φ ββ β

′ ′ ′+ + = , (VIII.64)

,,23 3

VHH H

φφ

φ φ φ β′

′′ ′ ′+ + + + = 0 . (VIII.65)

Ketika terjadi inflasi, faktor skala menghasilkan sebuah percepatan dan medan

skalar berevolusi lebih lambat dibandingkan dengan ekspansi alam semesta.

Sehingga medan skalar memenuhi syarat menggelinding perlahan 2 2H φ′ << V, φ′′<<φ′ , 2φ′ << β dan β ′ <<β . (VIII.66)

Dengan syarat ini persamaan (VIII.63) – (VIII.65) menjadi

2H ~3Vβ

, φ′ ~ , ,VV

φ φββ

β⎛ ⎞

− +⎜⎝ ⎠

⎟ . (VIII.67)

Dari model yang diberikan, potensial oleh persamaan (VIII.62) dan kopling vektor

oleh persamaan (VIII.60), maka dapat diperoleh

174

(4

2

3mH

n

ννμ φ

+− += ) , (VIII.68)

( ) ( )1mn mφ ν φ −′ = − − . (VIII.69)

Solusi dari medan skalar sebagai fungsi dari faktor skala dapat diperoleh dengan

mengintegrasi persamaan (VIII.69),

( ) ( )( )( ) ( )1 22 2 ,mm

i in m m m m2,φ α φ ν α α− −−⎡ ⎤ ν= + − − − ≠ ≠⎣ ⎦ , (VIII.70)

dengan ( )1 iφ α α φ= ≡ adalah suatu konstanta. Persamaan Friedmann menjadi

( )( )( ) ( ) ( )4 22 2 23

m mmiH n m m

n

ν νμ φ ν α α+

i

+ −−⎡= + − − −⎣ ⎤⎦ . (VIII.71)

Agar solusi yang diberikan oleh persamaan (VIII.70) memenuhi syarat

gelindingan perlahan (VIII.66) selama terjadi pelanggaran Lorentz, maka pangkat

m dari kopling vektor memenuhi karena: 2m >

2φ′ (~ ( ) ( )2 1 2m mα− − − )<<β (~ ( )2m mα − ), (VIII.72)

β ′ (~ ( ) ( )2 1 2m mα− − − )<<β (~ ( )2m mα − ). (VIII.73)

Ekspansi alam semesta yang terjadi pada daerah pelanggaran Lorentz diberikan

oleh evolusi faktor skala,

( ) ( )( )( )1 1

11 1exp 1 , 0

D

iDi

a t B AC D t t Ca C C B

− −

−

⎧ ⎫⎪ ⎪⎛ ⎞= − + − − − ≠⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

, (VIII.74)

dengan A, B, C dan D adalah konstanta-konstanta yang didefinisikan sebagai

berikut:

( )( ) ( )4

2, , 2 ,3 2

mi

mA B C n m m Dn m

ν

2μ νφ ν

+− +

= = = − − =−

. (VIII.75)

Dengan memanfaatkan persamaan-persamaan (VIII.70), (VIII.71) dan (VIII.74)

maka evolusi waktu dari kuantitas-kuantitas medan skalar, parameter Hubble dan

kopling vektor berturut-turut adalah

( ) ( )( )( )( )1 1 2

11 1

D m

iDt AC D t tB

φ− −

−⎛= − − −⎜⎝ ⎠

⎞⎟ , (VIII.76)

( ) ( )( )( )1

11 1

D D

iDH t A AC D t tB

− −

−⎛= − − −⎜⎝ ⎠

⎞⎟ , (VIII.77)

175

( ) ( )( )( )( )1 2

11 1

m D m

iDt n AC D t tB

β− −

−⎛= − − −⎜⎝ ⎠

⎞⎟ . (VIII.78)

Evolusi dari rapat energi medan skalar diberikan oleh

( ) ( )( )( )( ) ( )( )2 2 1 2

21

13 1m D m D m

iDt V nA AC D t tB

ρ− − − −

−⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟⎝ ⎠

. (VIII.79)

Persamaan (VIII.77) menunjukkan bahwa parameter Hubble menurun selama

terjadi inflasi, hal ini adalah sebuah konsekuensi dari pelanggaran Lorentz.

Setelah mensubstitusikan persamaan (VIII.60) ke persamaan (VIII.67) maka

untuk 2, 2m ν= ≠ evolusi dari medan skalar diberikan oleh

( ) ( )( )2 inie

ν α αφ α φ − − −= , (VIII.80)

dengan ( )i iφ α α φ= ≡ . Agar solusi ini memenuhi syarat gelindingan perlahan

maka

( )21

2n

ν<

−. (VIII.81)

Sehingga kisaran dari parameter n di mana inflasi pelanggaran Lorentz terjadi

adalah

( )21 1

226 2n

ν< <

−. (VIII.82)

Parameter Hubble sebagai fungsi dari faktor skala diberikan oleh

( ) ( )(2 42 2 iniH H e )ν α α

α− − −

= , (VIII.83)

di mana

( )

42

23ii

Hn

ν

ν

μφ

+

+= . (VIII.84)

Faktor skala juga dapat diungkapkan sebagai fungsi dari medan skalar

( ) ( ) ( )1 2n

i i

a t ta

νφφ

−⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

. (VIII.84)

Sehingga evolusi waktu dari kuantitas-kuantitas fisis dapat dirangkum sebagai

berikut:

176

( ) ( ) ( ) ( )212 24n

i ii

a tn H t t

aν

ν4−

⎡= − −⎣⎤⎦ , (VIII.85)

( ) ( ) ( )( )1 22 24 i i

i

tn H t t

νφν

φ+

⎡= − −⎣⎤⎦ , (VIII.86)

( ) ( )( )22 4 ii

H tn t

Hν t= − − , (VIII.87)

( ) ( ) ( )( )2 22 2

2 4 i ii

tn H t t

nνβ

νφ

+⎡= − −⎣

⎤⎦ . (VIII.88)

Dan evolusi dari rapat energi medan skalar adalah

( ) ( ) ( )( )4 22 24 i i

i

t n H t tν ν νμρ ν

φ

+ − +⎡= − −⎣

⎤⎦ . (VIII.89)

VIII.4.1.2 Daerah Gelindingan Perlahan Standar

Setelah medan skalar melewati nilai kritis cφ , dinamika inflasi ditentukan oleh

potensial V. Untuk daerah gelindingan perlahan standar persmaan Friedmann dan

persamaan gerak medan skalar menjadi

2 2 28 13 2GH Hπ φ V⎡ ⎤′= +⎢ ⎥⎣ ⎦

, (VIII.90)

24H GH

π φ′

′+ 0= , (VIII.91)

,23

VHH H

φφ φ φ′

′′ ′ ′+ + + = 0 . (VIII.92)

Syarat gelindingan perlahan standar menghasilkan persamaan gelindingan

perlahan

2H ≈ 83G Vπ , φ′ ≈ ,1

8

V

G Vφ

π. (VIII.93)

Untuk potensial fungsi pangkat kebalikan, persamaan evolusi dari medan skalar

inflaton dan parameter Hubble sebagai fungsi dari faktor skala adalah

( ) (2 2

4c G)c

νφ α φ α απ

= + − , (VIII.94)

( ) ( )2

2 4 283 4cGH

G c

ννπ να μ φ α α

π

−+ ⎡ ⎤= + −⎢ ⎥⎣ ⎦

. (VIII.95)

177

Solusi untuk faktor skala diperoleh

( ) ( )( 2 24exp cc

a t G ta

π φ φν )⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦

. (VIII.96)

Ketika syarat gelindingan perlahan dilanggar maka inflasi pada daerah standar

berakhir dan alam semesta mulai dengan periode pemanasan kembali (reheating).

Persamaan-persamaan evolusinya diberikan oleh

( ) ( )( )( ( ))1 111exp 1s

sDDs

s s s s cc s s

a t B B A C D t ta C C

++⎧ ⎫= − + + + −⎨ ⎬

⎩ ⎭, (VIII.97)

( ) ( )( )( ) ( )1 2 11 1s

sDD

s s s s ct B A C D t tφ++= + + − , (VIII.98)

( ) ( )( )( ) ( )11 1s s

sD DD

s s s s s cH t A B A C D t t++= + + − . (VIII.99)

( ) ( )( )( ( ))2 213 1

8s s

sD DDs s

s s s s cs

A Ct B A C D t tD

ρ1++⎛ ⎞

= + + −⎜ ⎟⎝ ⎠

, (VIII.100)

di mana

4 28 , , ,3 4s s c sGA B C

Gν

4sDπ ν νμ φπ

+= = = = . (VIII.101)

Berbeda dengan daerah inflasi pelanggran Lorentz pada daerah gelindingan

perlahan standar, parameter Hubble bertambah besar selama evolusi. Kuantitas

lain yang dihitung selama fasa inflansi adalah jumlah e-folding. Jumlah e-folding

total diberikan oleh

( )( )( )1 1

11 1 1

D

c iDBN AC D tC C B

t− −

−⎛ ⎞= − + − − −⎜ ⎟⎝ ⎠

( )( )( ) ( )1 111 1s

sDDs

s s s s e cs s

B B A C D t tC C

++− + + + −

( ) (2 2 2 21 4 ,m mc i e c

GC )πφ φ φ

ν− −= − + −φ . (VIII.102)

untuk 2,m mν> ≠ dan

( ) ( ) ( )2 2

2

1 log 44 i c iN n H

nν

νt t⎡ ⎤= − −⎣ ⎦−

( )( )( ) ( )1 111 1s

sDDs

s s s s e cs s

B B A C D t tC C

++− + + + −

178

( ) ( 2 21 4log ,2

ie c

c

Gn

φ π )φ φν φ ν

⎛ ⎞= +⎜ ⎟− ⎝ ⎠

− (VIII.103)

untuk 2, 2m ν= ≠ . Di dalam persamaan-persamaan di atas, suku pertama adalah

kontribusi dari daerah inflasi pelanggaran Lorentz dan suku kedua adalah

kontribusi dari daerah inflasi standar. Sebuah contoh, jika nilai-nilai parameter

diambil sebagai berikut: N = 70, n = 10-2, m = 2 dan ν = 1. Jika eφ ~ 0.3 Mpl

adalah besaran medan skalar pada akhir inflasi maka diperoleh nilai kritisnya cφ

~ 2 plM dan besaran ini masih lebih kecil dari iφ ~ 2.5 plM . Sehingga kontribusi

dari akhir inflasi masih relevan.

VIII.4.2 Potensial Fungsi Pangkat

Pada pasal ini ditinjau untuk potensial fungsi pangkat, dibatasi hanya pada

pangkat dua, yaitu

( ) 2 212

V Mφ φ= . (VIII.104)

VIII.4.2.1 Daerah Gelindingan Perlahan Pelanggaran Lorentz

Untuk model potensial yang diberikan oleh persamaan (VIII.104) dan

memanfaatkan syarat gelindingan perlahan, maka persamaan gelindingan perlahan

pada daerah pelanggaran Lorentz adalah

( )2

22

6mMH

nφ− −= , (VIII.105)

( ) ( )12 mn mφ φ −′ = − + . (VIII.106)

Solusi untuk medan skalar diberikan oleh

( ) ( )( )( )1 22 2 4

mmi n mφ α φ α α

−−⎡= + − −⎣ i

⎤⎦ , (VIII.107)

untuk dan 2m ≠

( ) ( )4 inie

α αφ α φ − −= , (VIII.108)

untuk . Skenario untuk kasus 2m = 2m = telah dikaji oleh Kanno dan Soda

(2006), diperoleh bahwa parameter Hubble menjadi konstan selama inflasi daerah

179

pelanggaran Lorentz. Disini akan dibahas untuk kasus 2m ≠ dan parameter

Hubble diberikan oleh

( ) ( )(2

2 2 2 46

mi

MH n mn

)iα φ α− α⎡ ⎤= + − −⎣ ⎦ , (VIII.109)

dan solusi untuk faktor skala diberikan oleh

( )( ) ( )2 22

1 1 1exp4 m m

i i

a ta tn m φ φ− −

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= ⎜⎜−

− ⎟⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦. (VIII.110)

Seperti juga dalam kasus sebelumnya, untuk efek pelanggaran Lorentz

dapat terjadi. Evolusi waktu dari persamaan (VIII.110) adalah

2m >

( ) ( )2

1 21 12i

bt b dc tc c

α α it⎡ ⎤= − + + −⎢ ⎥⎣ ⎦

, (VIII.111)

di mana

( )2

2 2, 4 , ,6

mi

Mb c n m d mn

φ −= = − = 2> . (VIII.112)

Dengan memanfaatkan solusi (VIII.111) maka diperoleh

( ) ( )2

1 21 1exp2 i

i

a t b b dc t ta c c

⎧ ⎫⎪ ⎪⎡ ⎤= − + + −⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭, (VIII.113)

( ) ( )( )2 2

1 2 12

m

it b dc t tφ− −

⎡= + −⎢⎣ ⎦⎤⎥ , (VIII.114)

( ) ( )1 2 12 iH t d b dc t t⎡ ⎤= + −⎢ ⎥⎣ ⎦

, (VIII.115)

( ) ( )( )2 2

1 2 12

m m

it n b dc t tβ− −

⎡ ⎤= + −⎢ ⎥⎣ ⎦, (VIII.116)

( ) ( )( )4 2

2 1 2 132

m

it nd b dc t tρ− −

⎡= + −⎢⎣ ⎦⎤⎥ , (VIII.117)

di mana b, c, dan d adalah konstanta-konstanta positif. Hasil yang signifikan

adalah parameter Hubble dan faktor skala bertambah besar selama inflasi

pelanggaran Lorentz untuk . Sedangkan untuk 2m > 2m = parameter Hubble

adalah konstan. Pada pasal berikut ini dapat dilihat bahwa parameter Hubble

menurun dalam daerah gelindingan perlahan standar. Sehingga selama periode

inflasi dapat dihasilkan spektrum dengan spektrum awal biru dan kemudian

180

spektrum warna merah. Hal ini dapat menjelaskan spektrum daya CMB pada

skala besar yang diamati oleh WMAP (Bennet, dkk., 2003). Secara kualitatif

dapat dijelaskan sebagai berikut. Ketika parameter Hubble bertambah besar maka

medan skalar memiliki energi yang tinggi selama periode inflasi pelanggaran

Lorentz dan dapat menghasilkan spektrum warna biru. Sebaliknya, dalam daerah

gelindingan perlahan standar, parameter Hubble menurun yang berarti energi

medan skalar menurun dan kemudian menghasilkan spektrum warna merah.

VIII.4.2.2 Daerah Gelindingan Perlahan Standar

Berikut ini ditinjau skenario inflasi chaotic dalam daerah gelindingan perlahan

standar. Persamaan Friedmann dan persamaan gerak diberikan oleh persamaan

(VIII.90) – (VIII.92). Dengan asumsi syarat gelindingan perlahan standar

dipenuhi maka persamaan gelindingan perlahan diberikan oleh

2H ≈ 2 243G Mπ φ , (VIII.118)

φ′ ≈ 114 G

φπ

− . (VIII.119)

Persamaan-persamaan evolusi sebagai fungsi dari faktor skala adalah

( ) (2 2 12c G

)cφ α φ α απ

= − − , (VIII.120)

(2

2 24 13 2c

GMHG

π φ απ

⎛= − −⎜⎝ ⎠

)cα⎞⎟ . (VIII.121)

Integrasi persamaan (VIII.121) menghasilkan

( ) ( )2

1 21 12

sc s s s

s s

bt b d c tc c

α α ct⎡ ⎤− = − − −⎢ ⎥⎣ ⎦

. (VIII.122)

Dengan memanfaatkan hubungan ini, dinamika evolusi dari alam semesta

digambarkan oleh persamaan berikut:

( ) ( )2

1 21 1exp2

ss s s c

c s s

a t b b d c t ta c c

⎧ ⎫⎪ ⎪⎡ ⎤= − − −⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭, (VIII.123)

( ) (1 2 12

)s s s ct b d c t tφ = − − , (VIII.124)

181

( ) ( )1 2 12s s s s cH t d b d c t t⎡= − −⎢⎣ ⎦

⎤⎥ , (VIII.125)

( ) ( )2

1 23 14 2s s

s s s cc dt b d c t tρ ⎡= − −⎢⎣ ⎦

⎤⎥ , (VIII.126)

di mana 2

2 1 4, ,2 3s c s s

GMb c dG

πφπ

= = = . (VIII.127)

Sebagaimana telah disebutkan sebelumnya, parameter Hubble menurun dalam

daerah gelindingan perlahan standar. Untuk kasus potensial chaotic, jumlah total

e-folding adalah

( ) ( )2 2

1 21 21 1 1 12 2

sc i s s s e c

s s

b bN b dc t t b d c tc c c c

⎡ ⎤ ⎡= − + + − + − − −⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣t ⎤⎥⎦

( ) ( ) (2 2 22

1 24

m mc i c eG

n m)2φ φ π φ− −= − +

−φ− . (VIII.128)

di mana eφ adalah nilai medan scalar pada akhir inflasi. Kembali suku pertama

muncul dari inflasi pada daerah pelanggaran Lorentz.

VIII.5 Analisis Ruang Fasa

VIII.5.1 Sistem Dinamik

Metode sistem dinamika dapat digunakan sebagai analisis kualitatif dari sebuah

model kosmologi yang terdiri dari persamaan-persamaan diferensial biasa.

Interpretasi fisis untuk melengkapi sistem dinamik dipahami dari definisi-definisi

variabel yang diberikan. Sebagai contoh, tinjau sebuah sistem yang terdiri dari

tiga buah derajat kebebasan yaitu terdiri dari tiga buah variabel: u, v dan w, untuk

menggambarkan sistem. Maka dinamika dari sistem dapat dinyatakan oleh

persamaan-persamaan diferensial biasa yang terkopel:

( , ,du )f u v wdt

= , (VIII.129)

( , ,dv g u v wdt

= ) , (VIII.130)

( , ,dw h u v wdt

= ) . (VIII.131)

182

Fungsi-fungsi f, g, dan h tidak meliputi waktu sehingga sistemnya adalah

outonomous. Bentuk dari persamaan-persamaan sistem dinamik di atas dapat

dimanfaatkan untuk mengidentifikasi titik-titik tetap dari sistem. Titik-titik tetap

didefinisikan sebagai titik-titik di mana turunan waktu dari variabel-variabel

lenyap, untuk kasus di atas adalah

( ), , 0f u v w = , (VIII.132)

( ), , 0g u v w = , (VIII.133)

( ), , 0h u v w = . (VIII.134)

Titik-titik tetap yang diperoleh menentukan trayektori dari sistem. Sebagai contoh,

untuk sistem 1-dimensi, persamaan dinamikanya adalah

( )dx f xdt

= . (VIII.135)

Maka titik-titik tetap diperoleh dengan mengambil ( ) 0f x = .

VIII.5.2 Sistem Dinamik Medan Skalar

Pada pasal ini dibahas struktur global dari dinamika sistem melalui analisis bidang

fasa dan menghitung evolusi kosmologi secara numerik. Dengan memperkenalkan

variabel-variabel berikut:

2,36

Vx yH

φ ,ββ

′≡ ≡ (VIII.136)

,1 2,

VV

, ,φ φβλ λ β

β≡ ≡ − (VIII.137)

,1 22

, ,

,VVV

,2

φφ φφ

φ φ

βββ

Γ ≡ Γ ≡ . (VIII.138)

maka persamaan gerak medan skalar (VIII.56) dan (VIII.57) dapat dinyatakan

sebagai sistem bidang-autonomous:

( ) ( )21 2

33 12

2x x x yλ λ′ = − − + + , (VIII.139)

( )1 2332

y x xλ λ⎡ ⎤

′ = − +⎢⎣ ⎦

y⎥ , (VIII.140)

183

21 1 1

162

xλ λ ⎛′ = − Γ −⎜⎝ ⎠

⎞⎟ , (VIII.141)

2 12 2 2

2

6 12

xλλ λλ

⎡ ⎤⎛ ⎞′ = − Γ − −⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦. (VIII.142)

Sebuah aksen menyatakan turunan terhadap logaritme dari faktor skala, ln aα = .

Fungsi-fungsi 1( )λ φ dan 2 ( )λ φ masing-masing menentukan vektor kopling dan

potensial. Persamaan Friedmann (VIII.55) menjadi 2 2 1x y+ = . (VIII.143)

Persamaan keadaan medan skalar dapat diungkapkan dalam varibel-variabel baru

2 2

2

p2

x yx y

φφ

φ

ωρ

−= =

+. (VIII.144)

Ungkapan 2x mengandung informasi untuk ekspansi oleh energi kinetik medan

skalar dan 2y oleh potensial dalam skenario pelanggaran Lorentz.

Dalam sistem autonomous, persamaan-persamaan (VIII.139) – (VIII.142) dapat

dinyatakan dalam bentuk x’ = f(x) di mana x(x, y, 1λ , 2λ ), dan titik-tritik tetap

yang dinamakan dengan titik-titik kritis x0 adalah solusi dari sistem persamaan

f(x0) = 0. Untuk menentukan stabilitas dari sistem, gangguan dilakukan disekitar

titik-titik kritis dalam bentuk x = x0 + u dan menghasilkan persamaan gerak u’ =

M u, di mana

0

iij

j x

fMx∂

=∂

. (VIII.145)

Untuk persamaan-persamaan dinamika (VIII.139) – (VIII.142), u adalah sebuah

vektor kolom yang terdiri dari gangguan x, y, 1λ , 2λ . Jadi ijM adalah sebuah

matrik 4 x 4. Stabilitas dari titik-titik kritis ditentukan oleh nilai-nilai eigen iμ

dari matrik M pada titik kritis. Titik kritis dikatakan stabil jika nilai-nilai eigen

dari M adalah riil negatif Re( ) 0iμ < dan tidak stabil jika Re( ) 0iμ > dan jika

tidak memenuhi keduannya, titik kritis dikatakan titik balik (saddle point).

Berikut ini ditinjau model yang sederhana

184

( ) ( )2 1,2

m V M 2 2β φ φ φ= = φ , (VIII.146)

dengan m dan M adalah parameter-parameter. Substitusi persamaan ini ke

persamaan-persamaan (VIII.137) dan (VIII.138) menghasilkan

1 2 1 212 ,2

mλ λ= = − Γ = Γ = . (VIII.147)

Dan secara trivial dipenuhi untuk persamaan-persamaan (VIII.141) dan (VIII.142).

Persamaan (VIII.139) dan persamaan (VIII.140) dapat diyatakan dalam

persamaan tunggal

( ) ( )21 2

33 12

x x xλ λ⎡ ⎤

′ = − − + −⎢ ⎥⎣ ⎦

( )23 2 6 1x m x⎡ ⎤= − + −⎣ ⎦ . (VIII.148)

Solusi-solusi pelanggaran Lorentz dapat diperoleh dari persamaan

213 6H x x

Hλ

′= − + . (VIII.149)

Suku kedua ruas kanan persamaan ini muncul akibat dari pelanggaran Lorentz.

Titik-titik kritis 0 0( , )x y dari sistem adalah

, (1,0) ( 1,0)− dan ( 8 / 3, 1 8 / 3m m− − ) . (VIII.150)

Titik-titik kritis (1 atau ,0) ( 1,0)− berhubungan dengan solusi-solusi didominasi

oleh suku kinetik pelanggaran Lorentz dan titik kritis ( 8 / 3, 1 8 / 3m m− − )

berhubungan dengan solusi potensial-kinetik pelanggaran Lorentz. Dengan

mengintegrasi persamaan (VIII.149), solusi untuk parameter Hubble diberikan

oleh

expHpα⎛

∝ −⎜⎝ ⎠

⎞⎟ . (VIII.151)

Solusi ini berhubungan dengan alam semesta mengembang dengan faktor skala

diberikan oleh

( ) ~ pa t t , 2 20 1 0 0

1 13 6 3 2 6

p0x x x mxλ

≡ =− +

. (VIII.152)

Sehingga titik kritis menghasilkan dan titik kritis 0x = ±1 1/ 6m > 0x 8m= − /3

menghasilkan . 1/16m <

185

Gangguan linier disekitar titik 0 1x + = + dan

0 1x − = − berturut-turut menghasilkan

nilai-nilai eigen 6 4 6mμ+ = + dan 6 4 6mμ− = − . Jadi untuk nilai m positif,

selalu tidak stabil dan 0 1x + = + 0 1x − = − adalah stabil untuk tetapi tidak

stabil untuk .

3/8m >

3/8m <

0.2

0

x

10.50-0.5-1

y

1

0.8

0.6

0.4

Gambar VIII.2 Bidang fasa solusi dominasi kinetik pelanggaran Lorentz.

0.2

0

x

10.50-0.5-1

y

1

0.8

0.6

0.4

Gambar VIII.3 Bidang fasa solusi potensial-kinetik pelanggaran Lorentz.

186

Kemudian gangguan liniear disekitar titik potensial-kinetik pelanggaran Lorentz

menghasilkan nilai eigen 8m 3μ = − , dan memberikan solusi stabil untuk

. Gambar VIII.2 dan Gambar VIII.3 menunjukan kurva bidang fasa

untuk dan . Trayektori dibatasi di dalam lingkaran .

3/8m <

3/8m > 3/8m < 2 2 1x y+ =

Dalam model (VIII.146), persamaan keadaan medan skalar diberikan oleh

1613m

φω = − + , (VIII.153)

yaitu ditentukan oleh parameter m dari vektor kopling, dan selalu memenuhi

1φω > − untuk m positif.

VIII.6 Rangkuman

Dalam bab ini telah diperoleh perumusan kosmologi dari teori gravitasi skalar-

vektor-tensor dengan medan vektor serupa waktu. Dengan asumsi bahwa medan-

medan adalah homogen, rapat energi dan tekanan dari medan skalar diperoleh dan

persamaan (VIII.20) – (VIII.22) bersama-sama dengan persamaan Friedmaan

dapat digunakan untuk menggambarkan solusi-solusi kosmologi.

Di dalam sub Bab VIII.3, solusi eksak persamaan keadaan diperoleh dari model

parameter Hubble dan vektor kopling fungsi pangkat. Persamaan keadaan non

dinamik diperoleh untuk n = 2 dan n > 2 menjadi dinamik. Untuk kasus ini medan

skalar terkait dengan pelanggaran Lorentz dan persamaan keadaan dari medan

skalar ditentukan oleh parameter kopling vektor.

Inflasi pelanggaran Lorentz yang dibahas di dalam sub Bab VIII.4 menunjukkan

bahwa untuk potensial fungsi pangkat kebalikan, evolusi parameter Hubble

menurun pada daerah pelanggaran Lorentz dan bertambah besar pada daerah

gelindingan perlahan standar. Untuk kasus potensial fungsi pangkat, potensial

chaotic, evolusi parameter Hubble menurun pada daerah pelanggaran Lorentz dan

bertambah besar pada daerah gelindingan perlahan standar.

187

Vektor kopling kuadratik dan potensial chaotic berhubungan dengan nilai-nilai

konstan 1 2 2 mλ λ= = − dan 1 2 1/ 2Γ = Γ = . Untuk kasus sebaliknya jika 1λ dan

2λ dibuat konstan, ditemukan bahwa bentuk vektor kopling masih dalam fungsi

kuadratik dari medan skalar sedangkan potensial sebagai fungsi dari medan skalar

adalah fungsi pangkat 2~V γφ dan 1 1/ 2Γ = , 2 1 1/(2 )γΓ = − di mana 2 1/γ λ λ= .

Di dalam sub Bab VIII.5, dipelajari perilaku atraktor dari medan skalar penyebab

inflasi dalam konteks pelanggaran Lorentz. Diperoleh bahwa ada solusi-solusi

stabil dari evolusi alam semesta. Ada tiga buah titik kritis yang diperoleh yaitu:

dua buah solusi ketika suku kinetik menjadi dominan dan satu buah solusi ketika

suku kinetik-potensial menjadi dominan. Bergantung dari kopling parameter, jika

salah satu dari titik kritis adalah stabil maka titik kritis yang lain menjadi tidak

stabil. Alam semesta kemudian berevolusi dari keadaan yang tidak stabil menuju

ke salah satu titik kritis yang stabil.

188