8. medan magnet tunak (statis)

29
6.1 Hukum Biot-Savart Diferensial intensitas medan magnetik, dH, merupakan hasil dari diferensi elemen arus I dl Medan magnetik berbanding terbalik terhadap kuadrat jarak, tidak bergantung pada medium di sekelilingnya, serta memiliki arah yang diberikan oleh perkalian silang antara I dl dan aR. di mana aR merupakan vektor satuan dalam arah R. Arah R adalah dari elemen arus ke titik di mana dH hendak dihitung. BAB 6. MEDAN MAGNETIK STATIS (TUNAK) ) / ( 4 2 m A R a dl I dH R

Upload: telcoma12

Post on 19-Feb-2015

375 views

Category:

Documents


28 download

DESCRIPTION

medan elektromagnetik

TRANSCRIPT

Page 1: 8. Medan Magnet Tunak (Statis)

6.1 Hukum Biot-Savart

)/(4 2

mAR

adlIdH R

Diferensial intensitas medan magnetik, dH, merupakan hasil dari diferensi elemen arus I dl

Medan magnetik berbanding terbalik terhadap kuadrat jarak, tidak bergantung pada medium di sekelilingnya, serta memiliki arah yang diberikan oleh perkalian silang antara I dl dan aR.

di mana aR merupakan vektor satuan dalam arah R. Arah R adalah dari

elemen arus ke titik di mana dH hendak dihitung.

• BAB 6. MEDAN MAGNETIK STATIS (TUNAK)

Page 2: 8. Medan Magnet Tunak (Statis)

Elemen-elemen arus tidak memiliki keberadaan yang saling terpisah. Semua elemen yang membentuk sebuah filamen arus lengkap akan berkontribusi terhadap H. Proses penjumlahan ini akan menghasilkan bentuk integral dari hukum Biot-Savart sebagai

Elemen arus yang menghasilkan diferensial intensitas medan magnetik dH

)/(4 2

mAR

adlIH R

Page 3: 8. Medan Magnet Tunak (Statis)

Sebuah filamen lurus arus I dengan panjang tak berhingga yang terletak di sepanjang sumbu z koordinat silindris ditunjukkan pada Gambar 3-2. Carilah H!

Penyelesaian:

Pada titik z = 0, zr zaraR

22 zrR 22 zr

zaraa zrR

Contoh Soal 1

dalam bentuk diferensial, dengan menggunakan persamaan

2/322 )(4

)(

zr

zaradzaIdH zrz

2/322 )(4 zr

dzarI

Page 4: 8. Medan Magnet Tunak (Statis)

Variabel integrasi adalah z. Oleh karena a tidak berubah terhadap z, maka dapat dikeluarkan dari integran sebelum proses integrasi dilakukan.

Hasil ini menunjukkan bahwa H berbanding terbalik terhadap jarak radial

a

r

Ia

zr

dzrIH

2)(4 2/322

Filamen arus I dengan panjang tak berhingga yang

terletak di sepanjang sumbu z.

Catatan!Arah intensitas medan magnetik adalah memenuhi aturan tangan kanan di mana jari-jari tangan kanan yang digenggamkan menunjukkan arah medan, sementara ibu jari menunjukkan arah arus.

Page 5: 8. Medan Magnet Tunak (Statis)

Integral garis komponen tangensial kuat medan magnetik di sekeliling lintasan tertutup adalah sama dengan arus yang dilingkupi oleh lintasan tersebut.

Persamaan di atas merupakan bentuk integral dari hukum Ampere.

dilingkupiyangIdIH

6.2 Hukum Ampere

Dalam penggunaan hukum Ampere untuk menentukan H,

maka dua kondisi berikut ini haruslah terpenuhi:

Di setiap titik lintasan tertutup komponen H adalah bersifat tangensial atau normal terhadap lintasan.

H memiliki nilai yang sama pada setiap titik lintasan di mana H adalah tangensial.

Page 6: 8. Medan Magnet Tunak (Statis)

Gunakan hukum Ampere untuk memperoleh H yang diakibatkan oleh filamen lurus arus I dengan panjang tak berhingga!

Penyelesaian!

Biot-Savart menunjukkan bahwa pada setiap titik dari lingkaran Gambar 3-2 H adalah tangensial serta memiliki magnituda yang sama besar. Maka,

1)2( rHdIH

Contoh Soal 2

Page 7: 8. Medan Magnet Tunak (Statis)

Dengan menyelesaikan integral di atas

Bentuk diferensial dari hukum Ampere dapat diturunkan yang juga akan menghubungkan medan magnetik statik H dengan arus elektrik konstan.

Sebelum mendefinisikan bentuk diferensial, akan dikenalkan terlebih dahulu curl dari sebuah vektor.

curl A dalam arah an didefinisikan sebagai

S

dIAaAaAcurl

Snn

0lim)(

a

r

IH

2

Page 8: 8. Medan Magnet Tunak (Statis)

Pendefinisian curl A

Dalam sebuah sistem koordinat, curl A secara lengkap dispesifikasi oleh komponen-komponennya di sepanjang vektor satuan koordinat.

Page 9: 8. Medan Magnet Tunak (Statis)

zy

dIAaA

zyx

0lim

Sebagai contoh, komponen x dalam koordinat Cartesian didefinisikan dengan mengambil kontur C sebagai sebuah bujur sangkar pada bidang datar x konstan melalui titik P seperti tampak pada Gambar.

Pendefinisian komponen x dari curl A.

Page 10: 8. Medan Magnet Tunak (Statis)

Jika A =Ax ax + Ayay +AZaZ pada sudut S yang paling dekat dengan titik pusat (titik 1), maka

z

A

y

AaA

yzx

2

1

3

2

4

3

1

4

zyz

A

y

A

zAyz

AAzy

y

AAyA

yz

zy

yz

zy

)()(

dan

Page 11: 8. Medan Magnet Tunak (Statis)

Komponen y dan z dapat ditentukan dengan cara yang sama Dengan menggabungkan ketiga komponen yang diperoleh, curl A

dalam koordinat Cartesian adalah

zxy

yzx

xyz a

y

A

x

Aa

x

A

z

Aa

z

A

y

AA

z

rzrr

z aA

r

rA

ra

r

A

z

Aa

z

AA

rA

11

a

A

r

rA

ra

r

rAA

ra

AA

rA rr

r

1

sin

11sin

sin

1

Untuk koordinat silindris

Untuk koordinat bola

Page 12: 8. Medan Magnet Tunak (Statis)

Dua sifat curl A yang seringkali digunakan ialah: Divergensi curl dari sebuah vektor adalah sama dengan nol

Curl gradien dari sebuah fungsi skalar adalah sama dengan nol

Sebagai contoh, dalam kondisi statik, medan elektrik VE

0 E

0 A

0 f

SehinggaIni merupakan bentuk uji lain terhadap sifat konservasi medan vektor, yaitu jika curl sama dengan nol, maka medan tersebut adalah medan konservatif

Page 13: 8. Medan Magnet Tunak (Statis)

Dalam sisi pandang hukum Ampere, persamaan yang mendefinisikan (curl H)x dapat ditulis sebagai

di mana Jx =dIx/dS adalah kerapatan arus dalam arah x Jadi komponen x dari (curl H)x dan kerapatan arus Jx adalah sama di

setiap titik. Untuk komponen y dan z, relasi yang diperoleh dalam serupa, sehingga

relasi secara keseluruhan dapat dituliskan sebagai

Persamaan di atas merupakan bentuk diferensial hukum Ampere untuk medan magnetik statis. Medan magnetik H tidak bersifat konservatif.

JH

xx

zyzyx J

zy

I

zy

dIHaH

00

limlim

Page 14: 8. Medan Magnet Tunak (Statis)

Sebuah konduktor panjang dan lurus memiliki penampang melintang dengan jari-jari a. Kuat medan magnetik di dalam konduktor (r < a) adalah H = (Ir/2a2)a dan H = (I/2a2)a untuk (r < a). Carilah kerapatan arus J untuk kedua daerah tersebut!Penyelesaian :Untuk daerah di dalam konduktor, dengan menggunakan persamaan

zzr aa

Ia

a

Ir

rra

a

Ir

zJ

22

2

2 2

1

2

022

zr aI

rr

Ia

r

I

zHJ

yang berkorespondensi dengan arus yang memiliki magnetuda I dalam arah +z yang terdistribusi secara merata pada penampang melintang dengan luas area a2.

Di luar konduktor

yang berarti bahwa arus hanya mengalir di dalam konduktor

Contoh Soal 3

Page 15: 8. Medan Magnet Tunak (Statis)

6.3 Kerapatan Fluksi Magnetik dan Hukum Gauss

Kuat medan magnetik H adalah bergantung pada muatan (muatan yang bergerak) semata dan tidak bergantung pada mediumnya

Medan gaya yang berasosiasi dengan H adalah kerapatan fluksi magnetik B yang diberikan oleh persamaan

di mana = 0r adalah permeabilitas medium Satuan untuk B adalah tesla di mana

Permeabilitas ruang hampa, 0, memiliki nilai sebesar 4 x 10-7 dengan satuan henry per meter, H/m

B=H

1 T = 1

mA

N

Page 16: 8. Medan Magnet Tunak (Statis)

Material non-magnetik memiliki permeabilitas relatif,.r yang mendekati satu, sementara material magnetik (misalnya besi,ferromagnetik) dapat memiliki r yang jauh lebih besar daripada satu.

Fluksi magnetik yang menembus suatu bidang permukaan didefinisikan sebagai

Fluksi magnetik, , dapat bernilai positif atau negatif bergantung pada pemilihan normal pada elemen permukaan dS.

Satuan untuk fluksi magnetik adalah weber, Wb.

S

dSB

1 T = 1 Wb/m2, 1 H = 1 Wb/A

Page 17: 8. Medan Magnet Tunak (Statis)

Carilah fluksi yang memotong bagian bidang datar = /4 dengan 0,01 < r < 0,05 m dan 0 < z < 2 m (lihat Gambar) di mana sebuah filamen arus 2,50 A diletakkan sepanjang sumbu z pada arah az!

ar

IHB

20

0

Penyelesaian:

Kerapatan fluksi magnetik adalah

Dari gambar

Fluksi magnetik yang melewati bidang permukaan persegi panjang adalah

dS = drdza

addar

Izr

2

0

05,0

01,0

0

2

WbWbI

61,11061,101,0

05,0ln

2

2 60

Contoh Soal 4

Page 18: 8. Medan Magnet Tunak (Statis)

Garis-garis fluksi magnetik merupakan kurva tertutup, tanpa titik awal dan titik akhir. Kurva seperti ini disebut sebagai kurva solenoidal

Jadi medan B tidak memiliki sumber (source) ataupun sink, yang secara matematis dinyatakan sebagai

B = 0

Catatan! Persamaan (9) dikenal sebagai hukum Gauss untuk medan magnetik.

Permukaan tertutup dengan kerapatan fluksi B.

Page 19: 8. Medan Magnet Tunak (Statis)

6.4 Induktansi

rasio atau perbandingan fluksi magnetik lingkup terhadap arus yang menghasilkan fluksi tersebut.

di mana : N adalah jumlah lilitan kumparan I adalah arus statis (atau arus dengan frekuensi rendah) adalah fluksi yang melewati sebuah loop tunggal

I

NL

Satuan L adalah henry di mana 1 H = 1 Wb/A. L akan selalu merupakan produk dari permeabilitas bahan dan faktor geometri dengan satuan panjang.

Page 20: 8. Medan Magnet Tunak (Statis)

Induktansi dapat juga dirumuskan sebagai

di mana :• , fluksi lingkup, N untuk kumparan dengan lilitan sejumlah N

IL

Fluksi lingkup untuk kumparan arus

Page 21: 8. Medan Magnet Tunak (Statis)

Carilah induktansi per satuan panjang dari sebuah konduktor koaksial seperti Gambar dibawah ini!

a

bIdrdz

r

Ib

a

ln220

1

0

0

= konstan

Penyelesaian:• Untuk daerah di antara konduktor,

medan magnetik dirumuskan sebagai

• arus di kedua konduktor dilingkupi oleh fluksi yang menembus permukaan = konstan. Untuk panjang l =1 m.

ar

IH

2

ar

IB

2

0

Contoh Soal 5

Page 22: 8. Medan Magnet Tunak (Statis)

induktansi per satuan panjang dari konduktor koaksial

mHa

bmeterperL /ln

20

Gambar nilai induktansi eksak dan atau pendekatan dari beberapa bentuk konduktor non-koaksial

Hr

raNL

1

22

0 ln2

Toroida dengan penampang melintang persegi.

r S Hr

SNL

2

20

Toroida dengan penampang S

(dengan mengasumsikan nilai kerapatan fluksi rata-rata pada jari-jari rata-rata sebesar r.)

Page 23: 8. Medan Magnet Tunak (Statis)

d

l

mHa

dL

aduntuk

mHa

dL

/ln0

,

/2

cosh 10

Konduktor paralel dengan jari-jari a.

Solenoida panjang dengan area penampang melintang S yang kecil.

HSN

L

20

Page 24: 8. Medan Magnet Tunak (Statis)

Konduktor silindris yang paralel dengan bidang datar pertanahan

mHa

d

mHa

dL

/ln2

/2

cosh2

0

10

Page 25: 8. Medan Magnet Tunak (Statis)

Hal-hal Penting untuk Diingat Medan magnetik H dan B akan mengelilingi sebuah kawat

penghantar beraliran arus I sesuai aturan tangan kanan. Dalam medium isotropik, B = H. Garis-garis fluksi megnetik adalah solenoid yang berarti

bahwa garis-garis tersebut merupakan kurva tertutup tanpa awal atau pun akhir.

Untuk suatu permukaan tertutup tertentu, fluksi magnetik total yang masuk ke permukaan tertutup adalah sama dengan fluksi magnetik total yang meninggalkan permu kaan tersebut.

Induktansi dari sebuah konduktor adalah fluksi magnetik lingkup per satuan arus.

Page 26: 8. Medan Magnet Tunak (Statis)

Soal-soal dan Penyelesaiannya

Soal 1Sebuah konduktor silindris tipis dengan jari-jari a dan panjang tak berhingga membawa arus I. Carilah H pada setiap titik dengan hukum Ampere!

02 dilingkupiyangIrHdH

Sedangkan untuk lintasan 2,IrHdH 2

Jadi, untuk titik di dalam cangkang silinder, H = 0 dan untuk titik-titik diluarnya H = (I/2r)a A/m. Untuk r > a, medannya adalah sama seperti medan dari filamen arus I sepanjang sumbu.

Cangkang silindris yang mengalirkan

arus I.

Penyelesaian :Hukum Biot-Savart menunjukkan bahwa H hanya memiliki komponen . Lebih lanjut, H merupakan fungsi dari r semata. Lintasan yang tepat untuk hukum Ampere adalah lingkaran konsentris. Untuk lintasan 1 yang ditunjukkan pada Gambar,

Page 27: 8. Medan Magnet Tunak (Statis)

Medan radial mAar

H r /cos1039,2 6

terdapat pada suatu medium ruang hampa. Carilah fluksi magnetik, , yang memotong permukaan -/4 /4, 0 z 1 m. Lihat Gambar!

Soal 2

Fluksi Magnetik yang melewati bidang

permukaan silinder.

Penyelesaian :

Kerapatan fluksi dalam medium ruang hampa adalah

Tar

HB r cos00,3

0

dan fluksi yang melewati permukaan dimaksud adalah

Wbdzadrar rr

24,4cos00,3

1

0

4

4

Page 28: 8. Medan Magnet Tunak (Statis)

Soal 3

Carilah induktansi per satuan panjang dari konduktor silindris paralel yang diperlihatkan pada Gambar, di mana d = 25 kaki dan a = 0,803 inci!

d

l

Konduktor paralel dengan jari-jari a.

Penyelesaian :Dengan menggunakan rumus-rumus pada

mH

a

dL/37,2

803,02

1225cos104

2cos 1710

Rumus pendekatan memberikan hasil

mHa

dL/37,2ln0

untuk d/a 10, rumus pendekatan dapat digunakan dengan kesalahan kurang dari 0,5%.

Page 29: 8. Medan Magnet Tunak (Statis)

Soal 4Asumsikan bahwa toroida dengan inti udara yang ditunjukkan pada Gambar memiliki 700 lilitan, jari-jari dalam 1 cm, jari-jari luar 2 cm dan tinggi a = 1,5 cm. Carilah L dengan menggunakan (a) rumus untuk toroida dengan penampang melintang bujur

sangkar; (b) rumus pendekatan untuk toroida biasa, yang mengasumsikan H yang seragam pada jari-jari rata-rata!

Toroida dengan penampang S

Penyelesaian :(a) Untuk penampang melintang bujur

sangkar,

mHr

raNL 02,12ln

2

015,0700104ln

2

27

1

22

0

(b) Dengan menggunakan rumus pendekatan dari Gambar

mH

r

SNL 98,0

015,02

015,001,0700104

2

2720

dengan jari-jari r yang lebih besar dibandingkan dengan luas penampang, maka kedua rumus di atas akan menghasilkan hasil perhitungan yang lebih mirip (lebih mendekati sama).

r S