medan elektromagnetik 2

115

Click here to load reader

Upload: sinta-novita

Post on 28-Jul-2015

550 views

Category:

Education


85 download

TRANSCRIPT

Page 1: Medan elektromagnetik 2

MEDAN ELEKTOMAGNETIK

Disusun oleh :

Ir. Jaja Kustija, Msc

Page 2: Medan elektromagnetik 2

DAFTAR ISI

BAB I SISTEM KOORDINAT

1.1 Sistem Koordinat Kartesian ................................................................... 1

a. Vektor Satuan (Unit Vektor) dalam Koordinat Kartesian ................. 2

b. Volume Diferensial Elemen-elemen Permukaan dan Garis pada

Sistem Koordinat Kartesian .............................................................. 3

1.2 Sistem Koordinat Silinder (Cylindrical Coordinates) ........................... 5

a. Vektor Satuan Dalam Koordinat Silinder dan Hubungannya Dengan

Koordinat Kartesian .......................................................................... 6

b. Volume Diferensial, Elemen-Elemen Permukaan dan Elemen Garis

Dalam Koordinat Silinder ................................................................. 10

1.3 Sistem Koordinat Bola (Spherical coordinates) ................................... 10

a. Vektor Satuan Pada Sistem Koordinat Bola dan Hubungangya Dengan

Vektor Satuan pada Sistem Koordinat Kartesian ................................ 11

b. Volume Diferensial, Elemen-Elemen Permukaan pada Koordinat

Bola .................................................................................................... 13

Contoh Soal ........................................................................................... 14

Soal-Soal Latihan dan Penyelesaiannya ................................................ 16

BAB II TURUNAN BERARAH (GRADIEN) DAN DIVERGENSI

2.1 Turunan Berarah (gradien) .................................................................... 18

a. Untuk Koordinat Kartesian ............................................................. 19

b. Untuk Koordinat Silinder ................................................................. 20

Contoh soal ....................................................................................... 21

c. Untuk Koordinat Bola ....................................................................... 22

Page 3: Medan elektromagnetik 2

Contoh soal ........................................................................................ 23

2.2 Divergensi dan Makna Fisisnya ............................................................. 24

a. Operator Divergensi Pada Sistem Koordinat Kartesian ................... 25

Contoh soal ....................................................................................... 26

b. Operator Divergensi Pada Sistem Koordinat Silinder .................. 27

c. Operator Divergensi Pada Sistem Koordinat Bola ........................... 28

Contoh soal .......................................................................................... 30

2.3 Teorema Divergensi Gauss ................................................................... 32

Contoh soal ........................................................................................... 32

Makna fisis divergensi Gauss ................................................................ 33

Soal-soal dan Penyelesaiannya .............................................................. 34

BAB III CURL (ROTASI) DAN MAKNA FISISNYA

Contoh Soal ........................................................................................... 37

Soal-soal dan Penyelesaiannya ............................................................. 41

BAB IV GAYA COULOMB DAN INTENSITAS MEDAN LISTRIK

4.1 Hukum Coulomb ................................................................................... 43

Contoh Soal ........................................................................................... 45

4.2 Intensitas Medan Listrik ........................................................................ 47

Contoh Soal .......................................................................................... 48

4.3 Medan Listrik Oleh Muatan-Muatan Titik ............................................ 49

Contoh Soal ........................................................................................... 49

4.4 Medan Listrik Oleh Disribusi Muatan Kontinu ................................... 50

Contoh Soal ........................................................................................... 51

Page 4: Medan elektromagnetik 2

4.5 Medan Listrik Akibat Muatan Berbentuk Lempeng ............................. 53

Contoh Soal ........................................................................................ 54

BAB V FLUKS LISTRIK DAN HUKUM GAUSS

5.1 Medan Skalar dan Medan Vektor ......................................................... 55

5.2 Fluks Listrik .......................................................................................... 57

5.3 Hukum Gaus .......................................................................................... 57

5.4 Hubungan Antara Kerapatan Fluks dan Kuat Medan Listri ................. 58

5.5 Distribusi Muatan .................................................................................. 59

5.6 Pemakaian Hukum Gauss ..................................................................... 60

5.7 Teorema Divergensi Gauss ................................................................... 62

Soal-soal dengan Penyelesaian ............................................................. 64

BAB VI ENERGI DAN POTENSIAL

6.1 Energi yang Diperlukan untuk Menggerakan Muatan Titik Dalam

Medan Listrik ....................................................................................... 69

6.2 Integral Garis ........................................................................................ 70

6.3 Definisi Beda Potensial dan Potensial ................................................... 72

Contoh Soal ........................................................................................... 73

6.4 Medan Potensial Sebuah Muatan Titik ................................................. 75

6.5 Medan Potensial Akibat Distribusi Muatan .......................................... 76

a) Medan Potensial Akibat Muatan Titik .............................................. 76

b) Medan Potensial Akibat Distribusi Muatan Kontinu ........................ 76

6.6 Gradien Potensial .................................................................................. 78

6.7 Kerapatan Energi dalam Medan Elektrostatik (Listrik Statis) .............. 80

Contoh Soal ........................................................................................... 81

Page 5: Medan elektromagnetik 2

BAB VII MEDAN MAGNET TUNAK (STEADY)

7.1 Medan Magnet Oleh Arus Listrik ......................................................... 87

Contoh Soal ........................................................................................... 89

7.2 Besaran Induksi Magnetik ..................................................................... 91

7.3 Hukum Integral Ampere ....................................................................... 93

7.4 Medan Magnet Dalam Kumparan ......................................................... 95

7.5 Hukum Maxwel Tentang Induksi Magnet ............................................ 97

Teorema Maxwel (umum) .................................................................. 98

a) Hukum Gauss ............................................................................... 98

b) Bentuk Lain dari Hukum Faraday ................................................ 99

c) Hukum Maxwel Tentang Induksi Magnet ................................... 99

d) Hukum Integral Ampere .............................................................. 100

BAB VIII PERSAMAAN POISSON DAN LAPLACE

8.1 Bentuk-Bentuk Explisit Persamaan Laplace dan Poisson ..................... 101

8.2 Teorema Keunikan ................................................................................ 103

Contoh Soal ........................................................................................... 103

Page 6: Medan elektromagnetik 2

BAB I

SISTEM KOORDINAT

Untuk mengetahui posisi benda dalam dimensi ruang dikenalkan

beberapa model sistem koordinat diantaranya adalah : sistem koordinat

kartesian, sistem koordinat silinder dan sistem koordinat bola.

1.1 Sistem Koordinat Kartesian

Dalam sistem ini dikenal dengan kaidah tangan kanan seperti nampak

pada gambar :

Z y

(0, 0, 0 )

y atau (0, 0, 0 )

x

x z

Dari gambar terlihat jika arah sumbu x diputar kearah sumbu y dengan

sudut paling kecil akan menghasilkan arah sumbu z yang serupa dengan kaidah

tangan kanan dengan dengan ibu jari menggambarkan sumbu z dan arah lipatan

keempat jari lainnya merupakan arah putaran dari sumbu x ke sumbu y.

Menggambar letak suatu titik P(x, y, z) langkah-langkahnya sebagai

berikut : tentukan titik-titik x, y dan z pada masing-masing sumbu x, sumbu y, dan

sumbu z; kemudian buatlah garis melalui x dan y yang masing-masing sejajar

dengan sumbu y dan sumbu x, maka diperoleh titik P1 (x, y) pada bidang x 0 y,

juga dapat disajikan sebagai titik P1 (x, y, 0) yang berarti harga z = 0. Selanjutnya

hubungkan titik asal 0 dengan titik P1, kemudian buatlah garis melalui z yang

sejajar dengan garis P1 dan melalui titik P1 juga dibuat garis sejajar dengan sumbu

z, maka didapat titik P (x, y, z).

Gambar 1. Sistem koordinat kartesian dengan sistem putaran

tangan kanan

Page 7: Medan elektromagnetik 2

Contoh :

Gambarkan posisi titik : A(1, 2, 3)

Penyelesaian :

Z

3

A(1, 2, 3)

2 Y

1

X

a). Vektor Satuan (Unit Vektor) dalam Koordinat Kartesian

Sebagaimana kita ketahui vektor adalah suatu besaran yang mempunyai

harga dan arah. Dalam sistem koordinat kartesian ditulis dalam simbol:

zzyyxxAaAaAaA ˆˆˆ

Ax = harga vektor pada sumbu x

Ay = harga vektor pada sumbu y

Az = harga vektor pada sumbu z

Vektor satuan adalah vektor yang mempunyai harga absolut (panjang)

satu, hal itu bisa diperoleh dengan cara membagi vektor itu dengan nilai

absolutnya :

A

Az

Ay

Ax

Z

Y

X

Gambar.2 Vektor satuan dalam sistem koordinat

Page 8: Medan elektromagnetik 2

A

Aa

A

ˆ

A

a = vektor satuan dalam arah A

A

= vektor A

A = nilai (harga absolut)vektor tersebut

222

zyxAAAA

dari zzyyxx

AaAaAaA ˆˆˆ

dan pengertian vektor satuan, dapat kita lihat bahwa

zyxaaa ˆ,ˆ,ˆ masing-masing adalah vektor satuan dalam arah sumbu x, sumbu y,

sumbu z.

Contoh :

Carilah vektor satuan dari :

zyxaaaA ˆ5ˆ4ˆ3

yang pangkalnya di titik (0,0,0)

Penyelesaian :

222543A

25A

A

a = zyx

zyx

aaaaaa

ˆ25,0ˆ24,0ˆ23,025

ˆ5ˆ4ˆ3

125,024,023,0ˆ222

Aa

b). Volume Diferensial Elemen-elemen Permukaan dan Garis pada Sistem

Koordinat Kartesian

Elemen garis (dl)

Elemen garis dl adalah diagonal yang melalui P, yaitu:

zyxadzadyadxdl ˆˆˆ atau

2222dzdydxdl .

Elemen permukaan (ds)

Elemen permukaan adalah suatu bagian yang terbentuk dari elemen-elemen

garis (dl), yaitu 21

dldldS .

Page 9: Medan elektromagnetik 2

dalam hal ini:

-Permukaan depan : dy ây dz âz = dy dz âx

-Permukaan samping : dz âz dx âx = dz dx ây

-Permukaan alas : dx âx dy ây = dx dy âz

Elemen Volume (dV)

Elemen volume adalah suatu bagian yang terbentuk dari elemen-elemen

permukaan (dS), yaitu : 321

dldldldV

Ambil dS permukaan depan yaitu dS = dy dz âx maka dV =dx dy dz

Demikian pula permukaan-permukaan lain, didapat dV = dx dy dz

Contoh :

Hitunglah B

dVyzx 2 , dengan B adalah kotak dengan batas-batas

21,10,21:,, zyxzyxB

Penyelesaian :

2

1

2

1

0

2

2

1

3

2

2

1

1

0

2

0

2

2

1

2

1

3

1

zyx

dzdydxyzxdVyzx

B

dx

dz

dy

Y

X

Z dS =dx dy âz

dS = dx dz ây

dS = dy dz âx P´(x+dx, y+dy, z+dz) P (x, y, z)

Gambar 3. Elemen-elemen permukaan dS dan volume dV

Page 10: Medan elektromagnetik 2

4

7

2

3

2

1

3

7

122

101

2

112

3

1 22233

1.2 Sistem Koordinat Silinder (Cylindrical Coordinates)

Suatu permasalahan dalam sistem koordinat akan lebih mudah

diselesaikan bila kita mengetahui cara penyelesaiannya dalam sistem koordinat

yang sesuai. Berikut ini akan dipaparkan mengenai salah satu koordinat lain

setelah koordinat kartesian, yaitu sistem koordinat silinder. Mari kita lihat

hubungan antara sistem koordinat silinder dan kartesian.

Jika dalam sistem koordinat kartesian dikenal dengan adanya sumbu x,

sumbu y, sumbu z, maka dalam sistem koordinat silinder diperkenalkan variabel-

variabel : r, , dan z. untuk menggambarkan suatu posisi titik. Sebagai contoh,

posisi titik A lazimnya ditulis dengan A(r, ,z).

Perhatikan gambar :

Dengan menggunakan ilmu ukur sudut sederhana dapat dicari hubungan antara (x,

y, z) dan (r, , z).

X = r cos ; Y = r sin ; z = z

Y

X

Z

P (r, ,

z)

âr

â

âz

Gambar 4. Posisi titik P dalam koordinat

silinder

Page 11: Medan elektromagnetik 2

a). Vektor Satuan Dalam Koordinat Silinder dan Hubungannya Dengan

Koordinat Kartesian

Seperti pada sistem koordinat kartesian yang dimaksud vektor satuan

yakni vektor yang mempunyai harga absolut sama dengan satu. Dalam sistem

koordinat silinder ada tiga komponen vektor satuan yakni :

zra

r

ra ˆ;a ; ˆ

âr = vektor satuan pada komponen r (arahnya sesuai dengan arah penambahan

harga).

â = vektor satuan pada komponen (arahnya sesuai dengan arah penambahan

harga).

âz = vektor satuan pada komponen z (arahnya sesuai dengan arah penambahan

harga).

Perhatikan gambar (1), hubungan antara kartesian dan silinder sebagai berikut:

sinˆcosˆ rararyx

sinˆcosˆ ˆyxr

aar

ra

Untuk menjelaskan vektor satuan kearah a atau ditulis a mempunyai

beda fasa sebesar 2

dengan arah r

a dengan sudut a > sudut r

a , sehingga:

a ˆ ˆcos sin2 2

x ya a

cosˆsinˆyx

aa

Dan arah a sama persis dengan a pada sistem koordinat kartesian.

Secara keseluruhan hubungan vektor satuan pada sistem silinder dan sistem

kartesian adalah sebagai berikut :

zz

yx

yxr

aa

aaa

aaa

ˆˆ

cosˆsinˆˆ

sinˆcosˆˆ

Page 12: Medan elektromagnetik 2

Dapat dituliskan dalam bentuk matrik :

z

y

x

z

r

a

a

a

a

a

a

ˆ

ˆ

ˆ

100

0cossin

0sincos

ˆ

ˆ

ˆ

Untuk mendapatkan hubungan balikannya maka kita mesti

menggunakan “inverse matrik” dari hubungan diatas.

Perhatikan bahwa harga determinan dari matrik tersebut adalah satu (1)

maka inverse matrik diatas sama dengan transposenya.

z

r

z

y

x

a

a

a

a

a

a

ˆ

ˆ

ˆ

100

0cossin

0sincos

ˆ

ˆ

ˆ

Matrik-matrik ini sangat diperlukan sekali untuk memahami operator

gradien ( ), operator divergensi( ) operator curl ( ) dan ada satu lagi bekal

yang harus disiapkan adalah pemanfaatan teorema turunan parsial. Disini akan

dibahas secara sekilas misalnya r (x, y, z), artinya r merupakan fungsi x, y, z

maka diferensial terhadap r didefinisikan sebagai berikut :

zr

z

yr

y

xr

x

r

Begitu pula (x, y, z)

z

z

y

y

x

x

Dan z (x, y, z)

zz

z

yz

y

xz

x

z

Terapkan turunan parsial ini pada

X= r cos ; Y = r sin ; Z= z

Page 13: Medan elektromagnetik 2

yxr

yr

xr

yx

zz

ry

rx

yx

yx

zrz

rry

rrxr

cossin1

cossin

0cossin

sincos.2

sincos

0sincos

sincos.1

z

z

zzz

rzy

rzxz

00

sincos.3

Maka dapat ditulis dalam bentuk matrik:

z

y

x

z

r

x

100

0cossin

0sincos1

Dengan cara inverse matrik seperti ; inverse matrik sebelumnya:

z

r

x

z

y

x

1

100

0cossin

0sincos

Page 14: Medan elektromagnetik 2

Contoh :

Tentukan posisi titik koordinat kartesius dari titik A (10; 53,13°; 5) dan posisi titik

koordinat tabung dari titik B (-5, -5, 2).

Penyelesaian :

a) Menentukan posisi titik A (kartesius) dari titik A (10; 53,13°; 5).

8

13,53sin10

sin

6

13,53cos10

cos

rY

rX

Jadi, titik koordinat cartesius dari (10; 53,13°; 5) adalah (6; 8; 5)

Menentukan posisi titik B (tabung) dari titik B (-5, -5, 2)

25

50

5522

22yxr

45

1tan

tan

1

5

5

tan

inv

inv

x

y

Jadi, titik koordinat B adalah .2,4

,25

.2,4

,25

X

Y

Z

(6; 8;

5)

X

Y

Z

Page 15: Medan elektromagnetik 2

b). Volume Diferensial, Elemen-Elemen Permukaan dan Elemen Garis

Dalam Koordinat Silinder

Elemen garis (dl)

dl = dr r

a + r d a + dz a

dl2 = dr

2 + r

2 d

2 + dz

2

Elemen-elemen permukaan (dS)

Selimut : rr

adzdradzdr ˆ ˆ

Atas : zr

addrradadr ˆ ˆ r ˆ

Bawah : zr

addrradradr ˆ ˆ ˆ

Elemen volume diferensial (dV)

dV = (dr)( r d )(dz)

dzddrrdV

1.3 Sistem Koordinat Bola (Spherical coordinates)

Sistem koordinat bola mempunyai variabel-variabel r, , . untuk

menentukan posisi titik P dalam koordinat bola adalah seperti dalam gambar :

P’(r+dr, +d ,

z+dz)

dz

r dr

d

r dr

d

P (r, ,z)

dr

dr

d

r

Gambar 5. Elemen Volume (dV) dalam

koordinat silinder

X

Y

Z

Page 16: Medan elektromagnetik 2

a). Vektor Satuan Pada Sistem Koordinat Bola dan Hubungangya Dengan

Vektor Satuan pada Sistem Koordinat Kartesian.

Dari gambar x = r sin θ cos φ ; y = r sin θ sin φ ; z = r cos θ

zayaxarzyx

ˆˆˆ

cos ˆ sin sin ˆcos sin ˆ rarararzyx

cosˆsin sinˆcos sinˆˆzyxr

aaa

r

ra

r co

s

r sin cos

r sin

r sin

r

P

X

Y

Z

ra

a

a

P (r, , )

z

y

x

r

Z

Y

X

x = r sin cos

y = r sin sin

z = r cos

Gambar 6. Posisi titik P (r, , ) dalam sistem

koordinat bola

Page 17: Medan elektromagnetik 2

Perhatikan gambar vector satuan r

a dan a . a mempunyai sudut

mendahului 2

dari r

a sehingga a menjadi :

sinˆsin cosˆcos cosˆ

2cosˆsin

2sinˆcos

2sinˆˆ

zyx

zyx

aaa

aaaa

dan arah a , mempunyai 2

dan sudut untuk a mendahului 2

terhadap r

a ,

sehingga a menjadi :

0cosˆsinˆ

2cosˆ

2sin

2sinˆ

2cos

2sinˆˆ

yx

zyx

aa

aaaa

Di tulis dalam hubungan matriks sebagai berikut :

z

y

xr

a

a

a

a

a

a

ˆ

ˆ

ˆ

0cossin

sinsincoscoscos

cossinsincos sin

ˆ

ˆ

ˆ

matrik transpose :

a

a

a

a

a

ar

z

y

x

ˆ

ˆ

ˆ

0sincos

cossincossinsin

sincoscoscos sin

ˆ

ˆ

ˆ

Terapkan aturan diferensial Parsial pada system koordinat Bola

z

z

y

y

x

x

z

z

y

y

x

x

zr

z

yr

y

xr

x

r

Page 18: Medan elektromagnetik 2

dimana x = r sin θ cos φ ; y = r sin θ sin φ ; z = r cos θ maka :

0 cos sinsin

1atau

0 cossin sinsin

sinsincoscoscos1

sin sin cos coscos

cos sinsincossin

yxr

yr

xr

zyxr

zr

yr

xr

zyxr

Dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut :

z

y

r

r

r x

0cossin

sinsincoscoscos

cossinsincossin

sin

1

1

dengan inverse matriks = transpose (karena determinan = 1 ) maka

sin

1

1

0sincos

cossincossinsin

sincoscoscossinx

r

r

r

z

y

b). Volume Diferensial, Elemen-Elemen Permukaan pada Koordinat Bola

ds=r2 sin d d dr

r sin

r sin d

r d

r

d

d

Z

X

Y

Gambar.7 Elemen volume pada sistem koordinat bola

Page 19: Medan elektromagnetik 2

Elemen garis diferensial :

2222222 sin

ˆ sin ˆ ˆ

drdrdrdl

adradradrdlr

Elemen-elemen permukaan diferensial sebagai pasangan elemen-elemen

garis:

addrradradr

adrdradradr

addradradr

r

r

r

ˆ ˆ ˆ

ˆ sin ˆ ˆ sin

ˆ sinˆ sin ˆ 2

Volume diferensial

dV =(dr)(r d )(r sin d )

dV = r2 sin dr d d

Contoh:

1. Buktikan bahwa volume bola adalah 3

3

4rV dengan batas-batasnya

adalah 20;0;0 rr

Penyelesaian :

3

4

223

1

cos3

1

sin

sin

3

3

2

00

0

3

0 0

2

0

2

2

r

r

r

dddrrV

dddrrdV

r

r

r

Page 20: Medan elektromagnetik 2

2. Gunakan sistem koordinat bola untuk menetapkan luas jalur pada

permukaan bola dengan jari-jari a (gambar dibawah) dan dengan batas-

batasnya ;20;0 ar . Apa hasilnya bila = 0, dan

= ?

Penyelesaian :

dS = r2 sin d d φ maka

coscos 2

sin

2

2

0

2

a

ddaA

Kalau = 0 dan = , A = 4 a2 yakni

seluruh permukaan bola itu.

Z

X

Y

Page 21: Medan elektromagnetik 2

Soal-Soal Latihan dan Penyelesaiannya

1. Tentukan vektor A dari posisi (2, -4, 1) sampai (0, -2, 0) pada sistem koordinat

kartesian dan tentukan pula vektor satuannya.

Kunci Jawaban :

zyxA

zyx

aaaa

aaaA

ˆ3

3

3

2

ˆˆ2ˆ2

2. Gunakan sistem koordinat silinder untuk menentukan luas daerah yang diarsir

dari gambar silinder dibawah ini dengan r = 2 m, h = 5 m dan 3

2

6

Kunci Jawaban :

25 mA

3. Tentukan sudut antara zy

aaA ˆ2ˆ10 dan zy

aaB ˆ5,0ˆ4 dengan

menggunakan dot product dan cross product.

Kunci Jawaban :

5,161

4. Tentukan sudut antara zy

aaA ˆ55,1ˆ8,5 dan zy

aaB ˆ4ˆ93,6 dengan

menggunakan dot product dan cross product.

Kunci Jawaban :

135

5. Tentukan volume sebuah bola menggunakan sistem koordinat bola dengan

batas-batas .2

02

0,21 danmr

Kunci Jawaban :

3

6

7mV

6

3

2

X Y

Z

5 m

Page 22: Medan elektromagnetik 2

6. Diketahui zyx

aaaA ˆ3ˆ4ˆ2 dan yx

aaB ˆˆ , tentukan BA dan BA .

Kunci Jawaban :

zyxaaaBA

BA

ˆ6ˆ3ˆ3

2

7. Tentukan jarak antara 0,6

,2 m dan 2,,1 m dengan sistem koordinat

silinder.

Kunci Jawaban :

md 53,3

8. Gunakan sistem koordinat bola untuk menentukan luas permukaan bola

dengan batas 0 dan jarak a meter. Berapakah hasilnya jika 2 .

Kunci Jawaban :

maA

makajika

maA

2

2

4

:,2

2

9. Transformasikan vektor zzyyxx

aAaAaAA ˆˆˆ ke dalam bentuk sistem

koordinat silinder.

Kunci Jawaban :

zzyxryzaAaAAaAAA ˆˆcossinˆsincos .

10. Transformasikan vektor r

arF ˆ1 pada sistem koordinat bola ke dalam

sistem koordinat kartesian.

Kunci Jawaban :

222

ˆˆˆ

zyx

azayaxF

zyx

Page 23: Medan elektromagnetik 2

BAB II

TURUNAN BERARAH (GRADIEN) DAN DIVERGENSI

2.1 Turunan berarah (gradien)

Kita perhatikan fungsi dua variabel f(x,y) turunan parsial fx (x,y) dan fy

(x,y) mengukur laju perubahan (kemiringan garis singgung) pada arah sejajar

sumbu x dan y, sasaran kita sekarang dalah mempelajari laju perubahan f pada

sembarang arah menuju konsep turunan berarah yang kemudian menjelaskan

makna gradien.

yy

yxFyyxFx

x

yxFyxxF

yxFyyxFyxFyxxF

FFFyx

,,,,

,,,,

untuk x dan y menuju nol

dyadxay

Fa

x

FadF

dyadxaay

Fa

x

F

yy

Fx

x

F

yy

yxxFyyxxFx

x

yxFyxxFF

yxyx

yxyx

yxx

ˆˆˆˆ

ˆˆˆˆ

),(),(lim

),(),(lim

00Δ

0lim0y

),( yxF

),( yx

Sb x

sb y y

yyxx ,(

),( yxx

),( yxxF

yyxxF ,(

Fy

Fx

Fx

x

Page 24: Medan elektromagnetik 2

gradiendisebutd

Fd

y

Fya

x

dFxa

d

Fd

dF

Fya

x

FxaFd

ˆˆ

.ˆˆ

Keterangan :

x

Fa

xˆ turunan parsial F terhadap x dengan y konstan pada arah sb. X

y

Fa

yˆ turunan parsial F terhadap y dengan x konstan pada arah sb. Y

y

ax

ayx

ˆˆ

dinamakan operator gradien dibaca DEL atau NABLA

A. Untuk koordinat kartesian

za

ya

xa

zyxˆˆˆ

Contoh :

Diketahui :

Untuk sistem koordinat kartesian

21

222

ˆˆˆ

zyxr

r

QkV

VE

za

ya

xa

zyx

Tentukan E ?

Penyelesaian :

Page 25: Medan elektromagnetik 2

3

3

2

3

222

2

3

2222

3

2222

3

222

21

222

ˆˆˆ

22

1ˆ2

2

1ˆ2

2

ˆˆˆ

r

rkQE

r

rkQ

zyx

zayaxaKQ

zzyxayzyxaxzyxaKQ

zyx

kQ

za

ya

xa

r

QkE

zyx

zyx

zyx

Makna fisis dari operator adalah perubahan terdekat dari fungsi F ke segala

arah (operator deferensial vektor).

B. Untuk koordinat silinder

ra

ra

ra

za

rraa

rraa

za

ya

xa

z

r

r

x

y

x

a

a

a

a

a

a

rr

zr

r

zyx

z

r

z

y

x

cossinˆ1

cossinˆcosˆ

ˆ1

sincoscosˆsinˆ

1sincos)sinˆcosˆ(

ˆˆˆ

1

100

0cossin

0sincos

ˆ

ˆ

ˆ

100

0cossin

0sincos

ˆ

ˆ

ˆ

2

Page 26: Medan elektromagnetik 2

za

ra

ra

za

ra

ra

za

ra

ra

ra

ra

ra

zr

zr

z

rr

ˆ1

ˆˆ

ˆ1

)cos(sinˆ)sin(cosˆ

ˆ1

cossinˆ

cosˆ1

sinˆcossinˆ1

sinˆ

2222

222

Operator gradien untuk koordinat silinder :

za

ra

ra

zrˆ

1ˆˆ

Contoh :

Diketahui : sin10 zV

Tentukan E ?

Penyelesaian :

ar

zE

ar

zE

z

za

za

rr

zaE

zz

aarr

aE

VE

zr

zr

ˆcos10

0ˆcos10

0

sin10ˆ

sin10ˆ

1sin10ˆ

sin10ˆˆ1

ˆ

Page 27: Medan elektromagnetik 2

C) Untuk koordinat bola

sin

1

1

0sincos

cossincossinsin

sincoscoscossin

ˆ

ˆ

ˆ

0sincos

cossincossinsin

sincoscoscossin

ˆ

ˆ

ˆ

r

r

r

z

y

x

a

a

a

a

a

ar

z

y

x

rraa

rrr

aaa

rrr

aaa

za

ya

xa

r

r

r

zyx

1sincossinˆcosˆ

sin

1cos

1sincossinsin

cosˆsincosˆsinsinˆ

sin

1sin

1coscoscossin

sinˆcoscosˆcossinˆ

ˆˆˆ

Page 28: Medan elektromagnetik 2

sin

1ˆˆ

sin

1cossinˆ

1sincossincosˆ

00cossincossinˆ

1sinˆcossinˆ

1sincosˆcosˆ

sin

1cosˆ

1sincoscosˆsinsincosˆ

sin

1cossincosˆ

1sincosˆsinsincosˆ

sin

1cossinsinˆ

1cossinsinˆsinsinˆ

sin

1sinˆ

1coscossinˆcossinsinˆ

sin

1sincoscosˆ

1coscosˆsincoscosˆ

sin

1sincossinˆ

1coscossinˆcossinˆ

22

2222

2222

22

2

222

222

2

222

222

ra

ra

ra

ra

ra

ra

ra

ra

ra

ra

ra

ra

ra

ra

ra

ra

ra

ra

ra

ra

ra

ra

ra

ra

ra

ra

ra

ra

r

r

rr

rrr

rrr

operator gradien untuk sistem koordinat bola adalah :

sin

1ˆˆ

ra

ra

ra

r

Contoh :

Diketahui :

sin

1ˆˆ

ra

ra

ra

r

QkV

VE

r

Tentukan E ?

Page 29: Medan elektromagnetik 2

Penyelesaian :

3

2

2

dimˆ

00ˆ

sin

1ˆˆ

r

rkQE

r

raranaa

r

kQE

kQraE

r

Qk

ra

ra

raE

r

QkE

r

r

r

2.2 DIVERGENSI DAN MAKNA FISISNYA

Operator lain yang penting yang pada dasarnya merupakan turunan

adalah operator divergensi. Divergensi suatu vektor didefinisikan sebagai berikut :

Divergensi suatu vektor adalah linit integral permukaan per satuan volum kalau

volum yang terlingkupi oleh permukaan tersebut mendekati nol.

Lambang dari divergensi adalah (dot product) dari V

dengan satu vektor.

Arti fisisnya adalah mencari nilai fluks tiap satu satuan volume :

volume

permukaanluasmasukanjumlahpermukaanluaskeluaranjumlah(

Secara matematik operator divergensi didefinisikan sebagai :

zzyyxxzyxAaAaAa

za

ya

xaA ˆˆˆˆˆˆ

Untuk sembarang vektor A

zyxA

zA

yA

xA

Page 30: Medan elektromagnetik 2

a). OPERATOR DIVERGENSI PADA SISTEM KOORDINAT

KARTESIAN

Jika vektor A mempunyai komponen pada sb. X : Ax; pada sb. Y : Ay dan pada sb.

Z :Az melewati suatu ruang seperti pada gambar sebagai berikut :

volume

PenampangLuasmasukanPenampangLuaskeluaranA

dimana elemen volume = zyx

z

A

y

A

x

AA

z

zyxAzzyxA

y

zyxAzyyxA

x

zyxAzyxxAA

z

zyxAzzyxA

y

zyxAzyyxA

x

zyxAzyxxA

zyx

yxzyxAyxzzyxA

zyx

zxzyxAzxzyyxA

zyx

zyzyxAzyzyxxA

A

zyx

zz

z

yy

y

xx

x

z

y

x

zz

yyxx

zz

yyxx

v

,,,,lim

,,,,lim

,,,,lim

,,,,

,,,,,,,,

,,,,

,,,,,,,,

0

00

0

0

0

0

lim

operator divergensi pada sistem koordinat kartesian :

z

A

y

A

x

AA zyx

dengan demikian terbukti bahwa :

volume

PermukaanLuasmasukannilaiPermukaanLuaskeluarannilaiA

z y

x

Ax

Az

Ay

(x, y, z) (x + x, y, z)

(x, y+ y, z)

Page 31: Medan elektromagnetik 2

listrikfluksKerapaD

magnetfluksKerapaB

tan

tan

Untuk mendapatkan operator divergensi pada sistem koordinat lain maka operator

di dot kan (perkalian skalar) dengan vektor yang akan dicari kerapatannya.

Contoh

1. Diketahui : zyx

axyayzaxA ˆˆˆ2

Tentukan A. ?

Penyelesaian :

zxxyz

yzy

xx

A 2.2

2. Diketahui :yx

ayaxD ˆ200ˆ102

Tentukan : D dititik (1,2,3)

Penyelesaian :

yx

yx

ayaD

ay

ya

x

xD

z

Az

y

Ay

y

AxD

ˆ400ˆ10

ˆ200

ˆ10

2

D dititik (1,2,3) adalah 810240010D

3. Diketahui :zyx

xazayaeA ˆ4cos10ˆ5ˆ10

22

Tentukan D dititik (1,2,0)

Penyelesaian :

zyx

x

az

za

dy

ya

x

eA

z

Az

dy

Ay

x

AxA

ˆ4cos10

ˆ5

ˆ10

22

zyx

xazayaeA ˆ4sin40ˆ10ˆ20

2

A dititik (1,2,0) adalah

20202

eA

Page 32: Medan elektromagnetik 2

b) OPERATOR DIVERGENSI PADA SISTEM KOORDINAT SELINDER

Operator divergensi juga digunakan pada sistem koordinat silinder,

sebagai berikut :

zzrrzrAaAaAa

za

ra

raA ˆˆˆˆ

1ˆˆ.

Dari pembahasan sebelumnya

sinˆcosˆˆyxr

aaa

cosˆsinˆˆyx

aaa

zzaa ˆˆ

aa

aaa

ar

aar

ar

r

yxr

r

yxr

ˆˆ

sinˆcosˆˆ

sinˆcosˆˆ

r

yx

yx

aa

aaa

aaa

ˆˆ

sinˆcosˆˆ

cosˆsinˆˆ

ˆˆ

z

zz

az

aaz

Oleh karena itu diferensial parsial dari unit vektor mempunyai harga r

aa ˆˆ

dan aar

ˆˆ selain itu semua berharga 0.

Maka :

Page 33: Medan elektromagnetik 2

zr

zzzzzzzzrrzrrz

zzzz

rrrr

zzrzzrrrrrrrrr

zzrrzr

Az

Ar

Arrr

A

az

AaAz

aaaz

AaAz

aaaz

AaAz

aa

ar

AaAr

aa

ar

AaAr

aaar

AaAr

aa

ar

AaAr

aaar

AaAr

aaar

AaAr

aaA

AaAaAaz

ar

ar

aA

11

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

ˆ1

ˆ1

ˆˆ

ˆ1

ˆ1

ˆˆˆ1

ˆ1

ˆˆ

ˆˆˆˆˆ.ˆˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆ.ˆ1

ˆˆ

Operator divergensi pada sistem koordinat silinder :

z

AA

rAr

rrA

z

r

1.

1

c). OPERATOR DIVERGENSI PADA SISTEM KOORDINAT BOLA

Operator divergensi juga digunakan pada sistem koordinat bola, sebagai

berikut :

AaAaAar

ar

ar

aArrr

ˆˆˆsin

1ˆˆ

dari pembahasan sebelumnya didapat :

0cosˆsinˆˆ

sinˆsincosˆcoscosˆˆ

cosˆsinsinˆcossinˆˆ

yx

zyx

zyxr

aaa

aaaa

aaaa

Page 34: Medan elektromagnetik 2

sinˆcosˆˆ

ˆ

cosˆsinsinˆcossinˆˆ

cosˆcossinˆsinsinˆˆ

ˆ

sinˆsincosˆcoscosˆˆ

yx

r

zyx

zyxr

zyxr

r

aaa

a

ar

a

a

aaaa

ar

aaaa

a

aaaa

ar

Ar

Ar

Arrr

ar

AaAr

aaar

Aa

Ar

aaar

AaAr

aa

ar

AaAr

aa

ar

AaAr

aaar

AaAr

aa

ar

Aa

Ar

aaar

AaAr

aaar

AaAr

aa

AaAaAar

ar

ar

aA

r

rrrr

rrrr

r

rrrrrrrrr

rrr

sin

1sin

sin

11

ˆsin

sin

1ˆˆˆ

sin

sin

1ˆˆˆ

sin

sin

1ˆˆ

ˆ1

ˆ1

ˆˆ

ˆ1

ˆ1

ˆˆˆ1

ˆ1

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆsin

1ˆˆ

2

2

Page 35: Medan elektromagnetik 2

Operator divergensi pada sistem koordinat bola adalah :

Ar

Ar

Arrr

Ar

sin

1sin

sin

11 2

2

Contoh

1. Diketahui : zr

azararA ˆ2ˆcos2ˆsin2

Ditanya : ?A

Penyelesaian : :

z

z

zz

rr

rrr

A

4

4sin2sin2

2cos21

sin1

.22

2. Diketahui : 2

3

ˆ4

10

mca

rD

r

Tentukan : D

Penyelesaian :

2

3

4

3

40

4

104

1

)4

10(

1

)4

10(

1

1)(

1

rD

rr

D

rrr

D

rrrr

D

Dz

Dr

rDrr

Dzr

3. Diketahui : r

arD ˆ4

10 3 20;100;25 zmr

Tunjukan ruas kiri dan kanan dari teorema divergensi

dvDsdD

Pennyelesaian :

Page 36: Medan elektromagnetik 2

4050

10234

10

4

10

10

10

10

4

101

1

4

10

0

2

0

5

2

4

3

10

0

2

0

10

0

5

2

2

2

0

10

0

2

4

z

r

rz

zr

dzddrr

dzrdrdrDdv

r

rrr

rDrrr

D

KananRuas

10

0

10

0

2

0

3

2

0

3

10

0

2

0

3

321

ˆˆ4

10ˆˆ

4

10ˆˆ

4

10

ˆˆˆ

z z

zrzr

z

rr

zzr

adrrdaradrrdaradzrdar

adrrdDadrrdDadzrdD

sdDsdDsdDs

KiriRuas

4050

350

2550

:52

50

1024

10

4

10

4

4

4

4

10

0

2

0

4

sdD

makarkarena

r

r

zr

Page 37: Medan elektromagnetik 2

2.3 TEOREMA DIVERGENSI GAUSS

Seperti telah dijelaskan dalam pembuktian makna fisis divergensi bahwa

divergensi adalah nilai kerapatan fluks, sekarang akan kita buktikan teorema

divergensi gauss yang di definisikan :

v s

sdAdvA

s

sdA

= integral permukaan tertutup

v

dv. = integral volume

Contoh

1. Diketahui : ,ˆsin5ˆsin5 aaA

Tentukan A. di 4

;4

;5.0 = ?

Penyelesaian :

aa

aaA

makarkarena

ar

ar

ar

ar

rrr

Ar

Ar

Arrr

Ar

ˆ10ˆ10

ˆ4

cos

4sin5.0

4cos

4sin

5.0

10

:4

,4

,5.0

ˆcossin

5ˆcossin

100

ˆsin5sin

1sinˆsin5

sin

10

1

sin

1sin

sin

11.

2

2

2

2

2. Diketahui : 2

4

5

mcarD

r

)(sin

1)sin(

sin

1)(

1 2

2D

rD

rDrr

rr

Ditanya : Buktikan bahwa ruas kiri sama dengan ruas kanan dari persamaan

berikut dvDsdD

Page 38: Medan elektromagnetik 2

Penyelesaian :

Ruas kanan

2

3125

cos4

5

sin5

sin5

5

4

51

)(1

.

2

0

2

0

5

0

4

3

2

0

2

0

5

0

2

4

2

2

2

r

drddr

drddrrdvD

r

rrr

Drrrr

D

r

Ruas kiri

2

3125

cos4

5

sin4

5

ˆsinˆ4

5

2

0

2

0

5

0

4

4

2

0

2

0

5

0

22

r

ddr

addrarsdD

r

rr

Makna fisis divergensi Gauss

Dari hukum Gauss :

QsdD

s

untuk satu satuan volume v

v

Q

v

sdD

Ds

dan diambil volume menuju nol .0v

Page 39: Medan elektromagnetik 2

v

Q

v

sdD

Dv

s

v 00

limlim

maka v

D. .................................................................(i)

subtitusikan vol

vdvQ ke hukum Gauss

maka s vol

vdvdsD ....................................................(ii)

dari (i) dan (ii) didapatkan hasil akhir bentuk divergensi Gauss :

svol

dvDdsD

Makna fisis persamaan diatas adalah :

Integral komponen normal dari setiap medan vektor pada seluruh permukaan

tertutup sama dengan integral divergensi vektor tersebut dalam seluruh volume

yang terlingkung oleh permukaan tertutup tersebut.

Soal-soal dan Penyelesaiannya

1. Diketahui zyx

axyayzaxA ˆˆˆ2 , tentukan A .

Penyelesaian :

zxA 2

2. Diketahui x

ax

xA ˆ2

sin52 , tentukan A jika x = 1.

Penyelesaian :

101x

A

3. Diketahui x

ayxA ˆ2

1

22 , tentukan A pada posisi (2, 2, 0).

Penyelesaian :

2

0,2,21084,8A

4. Diketahui 22ˆ3cos1

mCar

r

QD

r dalam system koordinat bola,

tentukan rapat muatannya.

Page 40: Medan elektromagnetik 2

Penyelesaian:

323sin

3

mCr

r

Q

5. Dalam system koordinat bola diketahui 2

4

ˆ102

mCa

rD

r dengan

batas mr 10 , dan 22

4

ˆ104

mCa

rD

r dengan batas mr 1 .

Tentukan rapat muatan untuk kedua batas tersebut.

Penyelesaian :

Untuk mr 10

32

4102

mC

r

untuk mr 1

0

6. Diketahui 2ˆcos2ˆsin10

mCaaD

r, tentukan rapat muatannya.

Penyelesaian :

3

2cot218

sin

mC

r

7. Buktikan bahwa divergensi dari E sama dengan nol

jikaz

aar

E ˆ40ˆ100

.

8. Dalam system koordinat silinder diketahui ro

ar

arD ˆ

2

22

dengan

batas bra , dan ro

ar

abD ˆ

2

22

dengan batas br . Untuk

ar maka 0D . Tentukan pada setiap batas tersebut.

Penyelesaian :

Untuk bra , D = 0

Untuk br , o

D

Untuk ar , D = 0

Page 41: Medan elektromagnetik 2

9. Diketahui aaAr

ˆsin5ˆ10 , tentukan A .

Penyelesaian :

rA

10cos2

10. Diketahui r

rarre

rD ˆ2211

10 22

2 dalam system koordinat bola,

tentukan rapat muatannya.

Penyelesaian :

3

240

mCe

r.

Page 42: Medan elektromagnetik 2

BAB III

CURL (ROTASI) DAN MAKNA FISISNYA

Secara matematis operator curl ditulis dalam bentuk simbol )( . Operasi

curl ini jika diterapkan pada vektor akan mendapatkan vektor baru.

Misal kita terapkan )( kepada vektor A

atau ditulis sebagai )( Ax

zzyyxxzyxAaAaAa

za

ya

xaA ˆˆˆˆˆˆ

dalam bentuk matriks :

Z

z

Y

y

X

x

A

z

a

A

y

a

A

x

a

A

ˆˆˆ

xyzxzyyzxA

yA

xaA

zA

xaA

zA

yaA ˆˆˆ

Arti fisis:

Curl atau rotasi dari vektor adalah mencari jumlah kerja lintasan tertutup

persatuan luas

Kerja yang dilakukan dalam lintasan tertutup permukaan y z permukaan

samping)

Lintasan 1 = Ay (x,y,z) y

Lintasan 2 = Az (x,y+ y,z) z

Lintasan 3 = -Ay (x,y+ y,z+ z) y

Lintasan 4 = - Az (x,y,z+ z) z

z y

x Ax

Az

Ay

(x, y, z) (x + x, y, z)

(x, y+ y, z)

(x, y, z + z) Az

Ay

Ax

( x,y,z )

Page 43: Medan elektromagnetik 2

zzzyxAzzyyxAyzzyyxAyzyxA

jaTotal

zzyy,,,,,,,,

:ker

sehingga jumlah seluruh kerja pada lintasan tertutup muka samping persatuan luas

( y z) adalah:

y

zzyxAzzyyxA

z

zzyyxAzyxA

zy

zzzyxAzzyyxA

zy

yzzyyxAzyxAjaTotal

zzyy

z

y

ZZyy

z

y

,,(),,(),,(),,(lim

,,,,,,,,ker

0

0

0

0

Jika permukaan atas dan permukaan depan diselesaikan seperti diatas dan

kemudian semuanya dijumlahkan dengan permukaan samping maka kita

dapatkan:

Total kerja dalam lintasan tertutup persatuan luas A , yaitu:

xyzzxyyxxA

yA

xaA

xA

zaA

zA

yaA ˆˆˆ

dengan demikian terbukti bahwa makna fisis dari rotasi suatu vektor adalah

mencari kerja total yang dilakukan oleh vektor tersebut dalam lintasan tertutup

dibagi oleh luas permukaan dalam lintasan tertutup tersebut.

Untuk curl A dalam koordinat silinder dan bola dapat diturunkan dengan

cara yang sama seperti koordinat kartesian

zr

zr

Z

rrZ

r

Z

AAA

zrr

aaa

matriksara

silinderaA

r

rA

ra

z

A

r

Aa

z

AA

rA

1

ˆˆˆ

sec

)(ˆ1

ˆˆ1

Page 44: Medan elektromagnetik 2

AAr

A

rrr

aar

a

matriksara

bolaarA

r

rA

ra

rA

r

rA

rra

AA

rA

sin

11

ˆˆˆ

sec

)(ˆ1

ˆsin

11ˆ

sin

sin

1

Catatan:

Arah rotasi (curl) sesuai dengan kaidah tangan kanan. (cros product dari vektor).

Dari pengertian makna fisis Curl, total kerja dalam lintasan tertutup

persatuan luas permukaan lintasan, dapat dituliskan dalam hubungan matematis

sebagai berikut:

S

ldAA

A

S

0

0ΔS

lim

ΔS

tertutuplintasan dalam Kerja Totallim

Definisi diatas mempunyai konsekuensi matematis dalam bentuk lain yang

dirumuskan oleh Stokes.

Stokes Theorem:

ldAdsA

*Teorema Stokes

Catatan : Teorema Integral Stokes ini banyak digunakan pada persoalan Hk.

Ampere, Hk. Maxwell untuk medan magnet.

Contoh

Diberikan medan faktor umum zyx

ayzayzxaxzA ˆ2ˆ2ˆ23 dalam koordinat

kartesian. Carilah curl A pada titik (1, -1, 1).

Page 45: Medan elektromagnetik 2

Penyelesaian:

zy

zy

2

x

24

zy

2

x

24

z

32

y

34

x

24

423

zyx

z

4

y

2

x

3

zyx

a4a3

a1114a113a11212xA

1,1,1dixA

axyz4axz3ayx2z2

axzy

yzx2x

axzz

yz2x

ayzx2z

yz2y

yz2yzx2xz

zyx

aaa

ayz2ayzx2axzxaz

ay

ax

xA

Diberikan medan vektor umum zr

arzarazrA ˆ4ˆsin5ˆ3322 dalam

koordinat silinder Carilah curl A di titik (3; /2;2) ?

Penyelesaian :

za10a76

za10a10832

za2/sin3103

1a

3322

324

2,2/,3xA

zasinr10

r

1a

2r3z2

3z40

za

2z

2r3

r

sinr5r

r

1a

z

2z

2r3

r

r3

z4

ra

z

sinr5r3

z4

r

1

zaAr

r

rA

r

1a

z

Ar

r

Azra

z

AAz

r

1xA

Page 46: Medan elektromagnetik 2

Soal-soal dan Penyelesaiannya

1. Diketahui medan vector z

arA ˆsin5 dalam system koordinat silinder,

tentukan curl A pada posisi (2, , 0).

Penyelesaian :

raA ˆ5

0,,2

2. Diketahui medan vector aA ˆsin10 dalam system koordinat bola.

Tentukan curl A pada posisi 0,2

,2 .

Penyelesaian :

aA ˆ50,

2,2

3. Buktikan bahwa curl dari

2

3

222

ˆˆˆ

zyx

azayaxzyx

sama dengan nol.

4. Diketahui medan vector aeAz

ˆ2

1sin

2 dalam system koordinat

silinder, tentukan curl A pada posisi 500,0;3

;800,0 .

Penyelesaian :

zraaA ˆ230,0ˆ368,0

500,0;3

;800,0

5. Buktikan bahwa curl dari ar

ar

Ar

ˆsin

ˆcos2

33 adalah nol.

6. Diketahui medan vector zr

raaeA ˆcos5ˆcos5 dalam system

koordinat silinder, tentukan curl A pada posisi 0,2

3,2 .

Penyelesaian :

zraaA ˆ34,0ˆ5,2

0,2

3,2

Page 47: Medan elektromagnetik 2

7. Diketahui vector aaA ˆ5ˆ5,2 dalam system koordinat bola, tentukan

curl dari A pada posisi 0,6

,2 .

Penyelesaian :

aaaAr

ˆ25,1ˆ5,2ˆ33,40,

6,2

8. Diketahui vector aaAr

ˆsinˆsin dalam system koodinat bola,

tentukan curl dari A pada posisi 0,2

,2 .

Penyelesaian :

00,

2,2

A

9. Buktikan bahwa curl dari sebuah gradient adalah nol.

10. Diketahui vector aA ˆ2sin dalam system koordinat silinder, tentukan

curl dari A pada posisi 0,4

,2 .

Penyelesaian :

zaA ˆ5,0

0,4

,2

.

Page 48: Medan elektromagnetik 2

BAB IV

GAYA COULOMB DAN INTENSITAS MEDAN LISTRIK

4.1 HUKUM COULOMB

Dari hasil empiris didapatkan bahwa antara dua muatan listrik (Q1 dan Q2)

yang berjarak d dalam ruang yang permitivitas listriknya terdapat gaya interaksi

sebesar:

d

ad

QQF ˆ

4

1

2

21

d = jarak antara Q1 dan Q2

da satuan yang menunjukan arah gaya

(d jauh lebih besar dari ukuran benda yang bermuatan Q1 dan Q2)

213

21

21

12

212

21

21

12

4

1

4

1

rr

rr

QQF

rr

rr

QQF

dimana : 21

rr

adalah vektor satuan yang arahnya dari Q2 ke Q1.

12F

= adalah gaya pada muatan Q1 oleh muatan Q2.

zyx

zyx

zyx

azzayyaxxrr

azayaxr

azayaxr

ˆ)(ˆ)(ˆ)(

ˆˆˆ

ˆˆˆ

21212121

2222

1111

12F

21rr

Q1

Q2

1r

2

r

X

Y

Z

Page 49: Medan elektromagnetik 2

Dengan demikian kita bisa tuliskan F

yang merupakan gaya pada muatan Q2 oleh

muatan Q1 yaitu :

122

12

21

21ˆˆ

4

1rr

rr

QQF

atau :

2112FF

yang merupakan gaya aksi reaksi.

= o r

o = permitivitas vakum

mFmFx /36

10/10854,8

9

12

r = permitivitas relative.

Dari penjelasan diatas dapat diturunkan bahwa :

vakum

r

mediumFF 1

didalam udara F

harganya hampir sama dengan di vakum.

Gaya pada satu muatan Q yang disebabkan oleh banyak muatan ditulis dalam

bentuk hubungan matematik

N

ii

i

R

rr

rrQQF

1

3

1ˆˆ

4

1

Gaya interaksi akibat muatan-muatan listrik ini ada yang tarik menarik (jika jenis

muatannya berbeda) dan tolak-menolak jika jenis muatannya sama.

Page 50: Medan elektromagnetik 2

Q2

Q1

2r

1r

12F

-

Y

Z

Contoh

1. Hitung gaya di Q1 jika diketahui :

Q1 = 2 mC pada posisi (3,-2,-4);

Q2 = 2 C pada posisi (1,-4,2)

Penyelesaian :

NewtonF

F

F

aaaF

aaaF

rr

rrQQKF

rr

aaarr

zyx

zyx

zyx

04,2

174,4

)848,1()616,0()616,0(

ˆ8484,1ˆ616,0ˆ616,0

)ˆ6ˆ2ˆ2(

44

10.510.2109

)(

44622

ˆ6ˆ2ˆ2

12

12

222

12

12

3

63

9

12

3

21

212!

12

222

21

21

2. Empat muatan masing-masing

Q1= -2 C pada posisi (0,3,0) m;

Q2= 1 C pada posisi (1,4,0) m;

Q3= 3 C pada posisi (4,0,0) m;

Q4= -1 C pada posisi (0,-3,0) m.

Tentukan besar gaya interaksi

pada muatan Q3 jika muatan-muatan

tersebut terdapat pada ruang

vakum/udara.

X

ZX

Y Q

4

Q

3

Q

2

Q

1

32F

31F

34

F

Page 51: Medan elektromagnetik 2

Penyelesaian : 2

2

9

0

.109

4

1

Coulomb

mNewton

yxaarr ˆ3ˆ4

13

mrr 5)3(422

13

yx

aarr ˆ4ˆ323

yxaarr ˆ3ˆ4

43

mrr 53422

43

3

43

4343

3

23

2323

3

13

1313

3

)()()(

rr

rrQQK

rr

rrQQK

rr

rrQQKRF

3

9

3

9

3

9

35

)ˆ3ˆ4).(1.(3.109

5

)ˆ4ˆ3.(1.3.109

5

)ˆ3ˆ4).(2.(3.109

yxyxyxaa

xaa

xaa

xRF

)ˆ3ˆ4(216000000)ˆ4ˆ3(216000000)ˆ3ˆ4(4320000003 yxyxyx

aaaaaaRF

yxaaRF ˆ10216ˆ101944

66

3

2626

310216101944RF

NewtonRF6

31096319,1955

Page 52: Medan elektromagnetik 2

4.2 INTENSITAS MEDAN LISTRIK

Medan listrik adalah suatu besaran yang mempunyai harga pada tiap titik

dalam ruang ( medan adalah seuatu yang merupakan fungsi kontinu dari posisi

dalam ruang ).

Dalam membahas suatu medan dipakai istilah kuat medan. Untuk medan

gaya Coulomb intensitas medan listrik ( kuat medan listrik = electric field

intensity ) adalah vektor gaya coulomb yang bekerja pada satu satuan muatan

yang kita letakan pada suatu titik dalam medan gaya ini dengan simbol rE .

Misal kita mempunyai muatan sumber Q berupa titik dan ingin kita test harga

medannya dengan muatan 0t

Q maka )(rE

harus sama dengan :

)(

'4

)(

'

'4

1),()(

1

3

0

2

0

rr

rr

QrE

rr

Qrr

QQ

Q

QrFrE

t

t

t

t

dimana: )(21

rr

adalah vektor satuan yang arahnya dari Q ke Qt (arah menjauhi

muatan sumber).

12F

1

rr

Q (sumber)

Q

(test)

1r

r

X

Y

Z

Page 53: Medan elektromagnetik 2

Satuan Intensitas Medan Listrik

Satuan intensitas medan listrik diukur dalam satuan Newton per Coulomb

(gaya per satuan muatan) atau volt per meter, karena volt = Newton meter per

Coulomb.

Contoh :

Hitung E pada Q2 pada titik (3,-4,2) yang disebabkan oleh muatan Q1 = 2

nC di titik (0,0,0).

Penyelesaian :

)(4

29

243

ˆ2ˆ4ˆ3

123

12

1

12

222

12

2

rrrr

QE

rr

rr

aaar

o

zyx

zyxaaaE ˆ2ˆ4ˆ3

29

102109

3

9

9

zyxaaaE ˆ2ˆ4ˆ3

2929

18

zyxaaaE ˆ2ˆ4ˆ3115,0

mNaaaEzyx

/)ˆ230,0ˆ460,0ˆ345,0(

22223,0)46,0(345,0E

mNE /619,0

Page 54: Medan elektromagnetik 2

4.3 MEDAN LISTRIK OLEH MUATAN-MUATAN TITIK

Karena gaya coloumb adalah linier, intensitas medan listrik yang

disebabkan oleh dua muatan titik Q1 di r1 dan Q2 di r2 adalah jumlah gaya pada

muatan Qt yang ditimbulkan Q1 dan Q2 yang bekerja sendiri-sendiri atau :

3

20

202

03

10

101)(

4

1)(

4

1)(

rr

rrQ

rr

rrQrE

Jika kita tambahkan lebih banyak muatan pada kedudukan lain, medan

yang disebabkan oleh muatan titik adalah :

)()(

1

rErE

N

i

atau

N

ii

ii

rr

rrQrE

1

3

)(

4

1)(

Contoh :

Hitung E pada titik A0 jika diketahui : A0 = (1,1,1), A1 = (1,1,0), A2 = (-

1,1,0), A3 =(-1,-1,0), A4 = (1,-1,0) dan Q1 = Q2 = Q3 = Q4 = 3 nC

Penyelesaian :

512

ˆˆ2

11

ˆ

22

20

20

2

10

10

rr

aarr

rr

arr

zx

z

E1 (ro)

E0 (ro)

E1 (ro)

Z

X

Y

1r

0r

2r

Q1

Q

2

Q

E

Page 55: Medan elektromagnetik 2

12F

'rr

r

'r

X

Y

Z

512

ˆˆ2

3122

ˆˆ2ˆ2

22

30

40

222

30

30

rr

aarr

rr

aaarr

zy

zyx

mNE

E

aaaE

aaaE

aaaaaaE

aaaaaaE

aaaaaaaaE

rr

rr

rr

rr

rr

rr

rr

rrQE

zyx

zzx

zyxzyx

zyxzyx

zyzyxzxz

/24,34

84,3284,684,6

ˆ84,32ˆ84,6ˆ84,6

675

ˆ96,820ˆ96,170ˆ96,17027

25

ˆ48,4ˆ48,4ˆ48,4

27

ˆ28ˆ2ˆ227

25

5ˆ2ˆ2ˆ2

27

ˆ28ˆ2ˆ227

5

ˆˆ2

3

ˆˆ2ˆ2

5

ˆˆ2

1

ˆ103109

)()()()(

4

222

3333

99

3

40

40

3

30

30

3

20

20

3

10

'

10

0

4.4 MEDAN LISTRIK OLEH DISTRIBUSI MUATAN KONTINU

Jika sumber listrik tidak lagi merupakan muatan titik melainkan dalam

suatu bentuk dan ukuran tertentu yang terdistribusi secara kontinu bisa berupa

ruang, bidang ataupun garis, maka intensitas medan listriknya adalah :

v

v

i

rr

dvrrrE

rr

rrdqEd

3'

'

3'

'

)(

4)(

)(

4

1

(muatan sumber berbentuk ruang)

3'

'')(

4)(

rr

dsrrrE

s

s

Page 56: Medan elektromagnetik 2

p

muatan sumber berbentuk permukaan.

l

l

rr

dlrrrE

3'

'')(

4)(

muatan sumber berbentuk garis.

Contoh :

Muatan tersebar secara merata pada garis lurus yang panjangnya tak

berhingga dengan kecepatan l tentukan E

disuatu titik p sejauh r dari muatan

garis.

Penyelesaian : Gunakan sistem koordinat silinder

'

'

2'

2

1

22'

'

'

4

)(

ˆ

ˆ

'

rr

rr

rr

dqEd

dzld

zrrr

drr

arr

azr

dzdrdq

o

r

z

ll

2/122

2/12222

)(4

)ˆˆ(

)(

)ˆˆ(

)(4

zr

azardzEd

zr

azar

zr

dzEd

o

zrl

zr

o

l

karena pada setiap dq pada z ada dq pada –z sehingga komponen z saling

menghilangkan maka :

dE

dE

r 1 = z

r 1 = -z

r – r’

r

Page 57: Medan elektromagnetik 2

r

o

l

o

rl

o

rl

r

z

zo

r

o

l

o

rl

ar

E

r

ar

zr

z

zr

zarE

a

zrr

zra

zr

dzrE

zr

ardzEd

ˆ2

2

4

ˆ)(

4

ˆ

ˆ4

ˆ)(4

.

)(4

)ˆ(

222

~

~

222

~

~

2/122

2/122

Contoh :

Pada garis lurus yang ditentukan oleh x = 2 m, y = -4 m tersebar muatan

secara bersamaan dengan kerapatan = 20 nC/m. Tentukan kuat medan listrik E

di (-2,-1, 4) m.

Penyelesaian :

yx

zyx

aar

aaar

ˆ4ˆ2'

ˆ4ˆ1ˆ2

zyxaaarr ˆ4ˆ3ˆ4'

41434'222

rr

3

2

'

rr

rrE

o

41

ˆ43ˆ4

1085,814,32

1020

12

9

zyxaaa

E

12

9

1087,355

10ˆ8060ˆ80zyx

aaaE

mNaaaE

zyxˆ8,2246,168ˆ8,224

Page 58: Medan elektromagnetik 2

4.5 MEDAN LISTRIK AKIBAT MUATAN BERBENTUK LEMPENG

Terapkan ungkapan

)'(.

4

1

3'

1

0

rr

rr

dlEd

Zazr ˆ

rarr ˆ

'

rddsdl

karena simetris dza r saling

meniadakan.

Muatan tersebar merata dalam bidang datar tak berhingga dengan kerapatan S.

Tentukan besar medan (intensitas medan) akibat muatan tersebut.

)(4

1 '

3'

0

rr

rr

dqEd

222

2

1

22

0)0()..()0(

ˆˆ...

4

1

zdrdrr

zr

arazdrd

Ed

rz

S

)ˆˆ(

)(

..

4

1

2

3

220

rz

Saraz

zr

drdrEd

karena simetris komponen radial saling meniadakan.

z

Saz

zr

drrdEd ˆ

)(4

1

2/322

0

0

2

0

2/322

0

2/322

0

ˆ)(4

)(4

1

r

z

S

z

Sa

zr

rdrzaz

zr

drrdE

lihat tabel

zr

az

zra

zE

zS

z

S 11

2

ˆ

)(

20

2/122

0

z

SaE

02

'r

r

'rr

Ed

Ed

Z

X

Y

Page 59: Medan elektromagnetik 2

Contoh

Tentukan E disemua titik jika diketahui lempeng seluas 100 cm2 yang

mengandung distribusi muatan yang serba sama sebesar C9

10. Tentukan medan

listrik disekitar muatan tersebut.

Penyelesaian :

o

o

o

E2

1036

1

1094

1

9

9

dimana : S

Q

mV

E

mC

o

5

9

4

2

4

4

6

104

5

1036

12

109

10

2

109

10

10100

109

10

Page 60: Medan elektromagnetik 2

BAB V

FLUKS LISTRIK DAN HUKUM GAUSS

5.1. MEDAN SKALAR DAN MEDAN VEKTOR

dikatakan medan skalar jika terdefinisi suatu skalar di setiap titik

dalam ruang, yaitu φ (x,y,z ) atau (suatu fungsi yang mengaitkan suatu bilangan

dengan tiap titik didalam ruang). Medan u dikatakan medan vektor jika :

Terdefinisi suatu vektor u disetiap titik didalam ruang atau ditulis dalam

hubungan ruu

atau suatu fungsi u yang berkaitan dengan tiap titik r

diruang.

Dalam koordinat kartesian :

zyx ,, medan scalar

zyxzuzazyxyuyazyxxuxau ,,ˆ,,ˆ,,ˆ (medan vektor)

Dalam koordinat silinder :

zr ,, medan skalar

,zr,zuza,zr,ua,zr,rurau ˆˆˆ (medan vektor)

Dalam koordinat bola :

,,r medan skalar

,,ˆ,,ˆ,,ˆ ruaruarrurau (medan vektor)

Kita lihat, suatu medan vektor adalah ekuivalen dengan 3 komponen

medan skalar ini karena u ekuivalen dengan komponen

Bolarururu

Silinderrururu

Kartesianrururu

r

zr

zyx

,,

,,

,,

Dari pengertian definisi medan skalar dan medan vektor terlihat bahwa :

Medan vektor berkaitan dengan sumber medan berupa fungsi bernilai vektor.

Contoh : medan gaya coulomb, medan gaya magnet, medan gaya gravitasi, dan

sebagainya.

Page 61: Medan elektromagnetik 2

Medan skalar berkaitan dengan sumber medan berupa fungsi bernilai

bilangan.

Contoh : fungsi yang memberikan suhu pada tiap titik diruangan.

Suatu visualisasi medan skalar adalah dengan jalan melukiskan sistem

“permukaan-permukaan tutupnya”. Permukaan-permukaan ini adalah tempat

kedudukan titik-titik dengan nilai yang sama dan biasanya digambarkan dengan

beda harga , yang sama antara setiap permukaan yang berdekatan.

Cara melukiskan medan vektor salah satunya adalah dengan cara

melukiskan garis medan dalam medan gaya, garis medan ini disebut garis gaya.

Garis gaya listrik dilukiskan sehingga arah medan listrik menyinggung garis gaya

tersebut.

Kuat lemahnya medan listrik ditentukan oleh kerapatan garis gaya

tersebut. Perhatikan gambar dibawah ini.

Keterangan :

Garis gaya keluar dari muatan positif menuju ke muatan negatife.

permukaan tetap

3

1

2

E (Q)

E (P)

Q

P

+

( b )

+ +

( c

) (a

)

Page 62: Medan elektromagnetik 2

Untuk muatan positif yang tidak ada pasangan muatan negatifnya, garis gaya

menuju ke tempat tak berhingga.

Untuk muatan yang sejenis garis gayanya saling menjauhi.

5.2 FLUKS LISTRIK

Fluks listrik didefinisikan sebagai jumlah garis gaya yang menembus

permukaan yang saling tegak lurus. Dengan demikian muatan satu coulomb

menimbulkan fluks listrik satu coulomb. Maka Ψ = Q Coulomb.

Jika fluks Ψ adalah besaran skalar, maka kerapatan fluks listrik (density of electric

flux) D adalah medan vektor.

Gambar dibawah memperlihatkan distribusi muatan ruang kerapatan muatan ρ

yang ditutupi oleh permukaan S.

Maka untuk elemen kecil permukaan ds, kita memperoleh differensial fluks yang

menembus ds sebagai berikut :

cos

ˆ

dsD

sdnD

sdDd

Ini karena D tidak selalu dalam arah normal terhadap permukaan dan misalkan

adalah sudut antara D dengan normal permukaan dan d s adalah vektor elemen

permukaan yang mempunyai arah na (normal).

Kerapatan Fluks listrik (Density of Electrical Flux) D

D adalah medan vektor yang arahnya sama dengan arah garis gaya.

2/ˆ mCa

dA

dD

n ( n

a adalah unit vektor dari D)

5.3 HUKUM GAUSS

“Flux total yang keluar dari suatu permukaan tertutup adalah

sama dengan jumlah muatan di dalam permukaan tersebut.”

D

ρ

na

Page 63: Medan elektromagnetik 2

Fluks total yang menembus permukaan yang tertutup didapat dengan

menjumlahkan differensial yang menembus permukaan ds.

sdD

sehingga bentuk matematik hukum gauss sebagai berikut :

Q dilingkupi yangmuatan sdD

Muatan yang dilingkupi bisa terdiri dari :

Beberapa muatan titik

Distribusi muatan garis

Distribusi muatan permukaan (tidak perlu permukaan tertutup)

Distribusi muatan volume

5.4 HUBUNGAN ANTARA KERAPATAN FLUX DAN KUAT

MEDAN LISTRIK

Kita pandang suatu muatan Q positif yang terletak di pusat bola yang

berjari-jari r, dari definisi garis gaya yang terjadi akibat muatan Q ini akan menuju

tak hingga (~) sehingga DaDr

ˆ (berarah keluar sesuai dengan arah ra ).

Gunakan hukum Gauss

ddraDasdDQrr

sinˆˆ2

Z

X

Q Y

dsadsasdrn

ˆˆ

Page 64: Medan elektromagnetik 2

dimana ra dan

na sejajar sehingga r

a .n

a = l

Untuk permukaan bola = 0 s/d

= 0 s/d 2

Sehingga Dr2

4 Q

2

..4 r

QD

r

a

r

QD ˆ

..42

Kita tahu intensitas medan listrik radial oleh sebuah muatan titik dipusat

bola dalam vakum adalah :

rr

QE

o

ˆ..4

2

Maka EDo. berlaku untuk ruang vacuum dan umumnya untuk setiap medium

yang mempunyai permitivitas listrik ED

5.5 DISTRIBUSI MUATAN

a) Muatan ruang

Jika muatan tersebar dalam suatu volume, rapat muatan didefinisikan

sebagai 3m

C

dv

dQ atau

dvQ

v

dvdQ atau dapat ditulis v

dvQ . .

b) Muatan permukaan

Jika permukaan tersebar dalam suatu lembaran permukaan s

dsQ . begitu pula

dengan muatan garis s

dlQ .

Contoh

Tentukan jumlah muatan yang ada didalam bola yang ditentukan oleh

1 r 2 m dan kerapatannya adalah 24

2cos5

mC

r

Penyelesaian :

Page 65: Medan elektromagnetik 2

Coulomb

r

dddrr

dddrrr

dvQ

r

r

10

025

2sin4

1

2

1cos

5

cossin.5

sincos5

2

0

0

2

1

2

0 0

2

1

2

2

2

0 0

2

1

2

4

2

5.6 PEMAKAIAN HUKUM GAUSS

a) Beberapa distribusi muatan

Hukum Gauss sdDQ

Pemecahannya akan mudah jika dipilih permukaan tertutup yang memenuhi syarat

sebagai berikut :

DS normal terhadap permukaan sehingga dsDsdDss

dan juga

menyinggung permukaan sehingga 0dsDs

Pada harga 0sdDS

, DS adalah suatu konstanta.

Contoh :

Muatan titik dipusat koordinat bola, kita pilih permukaan tertutup yang memenuhi

kedua syarat tersebut, yaitu permukaan bola yang pusatnya dipusat koordinat dan

jari-jarinya r.

Penyelesaian :

Arah DS di setiap titik pada permukaan adalah normal terhadap permukaan

tersebut, dan besar DS di setiap titik adalah sama.

2

2

2

0

2

0

4

4

sin.

r

QD

atau

rD

ddrDdsD

sdDQ

s

s

ss

Ss

Karena harga r diambil sembarang

DS mempunyai arah radial keluar

Page 66: Medan elektromagnetik 2

Maka r

a

r

QD ˆ

.42

Tinjau distribusi muatan garis dengan kerapatan muatan serba sama ρD.

Misalkan distribusi muatan tersebut memanjang sepanjang sumbu z dari

(- ~) ke (~).

Penyelesaian :

Kita pilih permukaan tertutup yang memenuhi kedua syarat tersebut yaitu

permukaan silinder. Besar D

tetap dan arahnya selalu tegak lurus terhadap

permukaan silinder di setiap titik pada permukaan tersebut datarbidangD

.

Sehingga :

321sdDsdDsdD

sdDQ

Karena untuk tutup atas dan tutup bawah sdDS

sehingga harga 0sdDS

r

l

Lz

z

ar

D

maka

lQrlD

dzrdDQ

ˆ2

2

2

00

Kabel koaksial

Kita pilih permukaan Gauss yang memenuhi syarat yaitu permukaan

tabung dengan panjang L dan jari-jari a<r<b.

Dari hukum Gauss, sdDQ

Sehingga :

Q = Ds (2 r L) Ds =Lr

Q

..2

Muatan total pada konduktor dalam (r = a)

dengan panjang L :

b r

a

+~

- ~

D

D

D

ds

ds

ds

ρL

Page 67: Medan elektromagnetik 2

ss

L

z

aLdzdaQ .2

2

00

Sehingga ss

r

aD atau

rssa

r

aD ˆ (a < r < b)

Jika konduktor dalam panjangnya menjadi 1 m, maka r

LLa

rar

aD ˆ

22

(sama dengan muatan garis tak berhingga).

Karena tiap garis fluks listrik :

Berawal dari muatan positif pada tabung dalam ( inner surface) ke muatan negatif

tabung luar (outer surface).

Maka :

Q (tabung luar) = -Q (tabung dalam)

ss

ss

sehingga

aLbL

'

'22

Jika dipilih r > b untuk permukaan Gauss, maka Qtotal = 0 (karena ada muatan

yang besarnya sama tapi tanda berlawanan).

Sehingga Ds = 0 (r > b)

Demikian juga untuk r < a, untuk Ds = 0

5.7 TEOREMA DIVERGENSI GAUSS

Seperti telah dijelaskan dalam pembuktian makna fisis divergensi bahwa

divergensi adalah nilai kerapatan fluks, sekarang akan kita buktikan teorema

divergensi Gauss yang didefinisikan :

dsA integral permukaan tertutup

dvA integral volume dari divergensi A

untuk membuktikan teorema di atas kita lihat dalam koordinat yang paling kita

kenal “kartesian”.

Page 68: Medan elektromagnetik 2

Dipilih suatu kubus kecil dengan sisi x, y, z yang sejajar dengan sb x, y, z

sepeti pada gambar :

misal titik P dengan posisi (x, y, z)

yang dimaksud integral permukaan

tertutup adalah :

dsA harus diungkapkan

untuk ke-6 muka kubus sehingga :

bawahataskanankiriblkdepans

dsAdsAdsAdsAdsAdsAdsA654321

Ambil muka kiri dan kanan (dengan memperbesar gambar) :

kiri

yzxyAdsA )(

kanan

yzxyyAdsA )(

Gunakan deret Taylor zxyy

AyAzxyyA

y

yy)(

Sehingga :

z

x

y y

x

P

z

ds

A(x, y, z)

z

y

x

A (x, y+ y, z)

ds

z

y

x

Page 69: Medan elektromagnetik 2

zyxy

AdsAdsA

y

kanankiri

43

zyxx

AdsAdsA

x

belakangdepan

21

zyxz

AdsAdsA

z

atasbawah

56

atau : zyxz

A

y

A

x

AdsA

zyx

Dengan membagi ruas kiri dan kanan oleh ( V) di mana V = dx dy dz dan

membuat V menuju nol maka didapat :

Maka : AdivA

v

sdA

v

..

lim0

Soal-soal dengan penyelesaiannya

1. Tentukanlah muatan total dalam volume yang didefinisikan oleh

mx 10 , my 10 dan mz 10 , kalau yx2

30 . Bagaimana

pula hasilnya kalau pembatasan y diubah menjadi my 01 ?

Penyelesaian :

karena dQ = ρ dv

Coulomb

zyx

dzdydxyxQ

5

1

2

110

2

1

3

30

30

1

0

1

0

2

1

0

3

2

1

0

1

0

1

0

untuk batas-batas y yang diubah,

Page 70: Medan elektromagnetik 2

Coulomb

zyx

dzdydxyxQ

5

1

2

110

2

1

3

30

30

1

0

0

1

2

1

0

3

2

1

0

0

1

1

0

2. Tetapkanlah jumlah muatan dalam volume yang ditentukan oleh mr 21

dalam koordinat bola. Kerapatannya adalah 4

2cos5

r

Penyelesaian :

Coulomb

r

drddrr

Q

10

25

cos2sin4

1

2

15

sincos5

0

2

0

2

1

2

4

22

10

2

0

3. Tiga muatan titik Q1 = 30 nC, Q2 = 150 nC dan Q3 =-70 nC, dikelilingi oleh

permukaan tertutup S. Berapa besarnya fluks netto yang melalui S ?

Penyelesaian :

Karena fluks listrik didefinisikan sebagai bersumber dimuatan positif dan

brakhir dimuatan negaatif, sebagian fluks dari muatan-muatan itu berakhir di

muatan negatif.

nCnetQnet 1107015030

4. Berapa fluks netto melalui permukaan tertutup S di gambar 1 yang berisi

distribusi muatan dalam bentuk lempeng berjari-jari 4 m dengan kerapatan

zsa

rD ˆ

2

sin2

C/m2dan

zaddrrsd ˆ

Penyelesaian :

r

Page 71: Medan elektromagnetik 2

Tesla

r

drdrar

a

dsDQ

zz

2

2

2

12sin

4

1

2

1

ˆ2

sinˆ

4

0

2

0

24

0

2

0

5. Dua muatan yang sama besar tapi berlawanan tanda dilingkupi oleh

permukaan S apakah fluks dapat melalui permukaan itu ?

Penyelesaian :

fluks dapat melalui permukaan itu, sepeerti ditunjukkan di gambar 2, tapi

fluks total yang dari S adalah nol, asalkan jumlah muatan didalam S adalah

nol.

6. Suatu piringan bulat berjari- jari 4 m dengan rapat muatan sin12D

dikelilingi permukaan tertutup S. Berapa fluks total yang melalui S ?

Penyelesaian :

Tesla

r

drdr

dsDQ

r

192

2812

cos

2

112

sin12

2

0

4

0

2

2

0

4

0

7. Muatan titik Q = 30 nC terletak di titik asal suatu koordinat katesian.

Tentukan kerapatan fluks D di ( 1, 3, -4 ) m.

Penyelesaian :

Page 72: Medan elektromagnetik 2

2

3

3222

3

9

9

222

2

2

2

2

000

1078,91

10725418

10725418

43018,0

43

14,1665

1030

26

43

264

1030

26

431

ˆ

4

4

sin

ˆˆ

mC

aaa

aaa

aaa

aaaD

r

a

r

QD

QrD

QddrD

QdsaDa

QdsD

zyx

zyx

zyx

zyx

r

r

r

rr

8. Jika diberikan D = 10 xax ( C/m2) tentukan fluks yang melalui luas 1 m

2

yang normal pada sumbu x di x = 3 m.

Penyelesaian :

karena D konstan dan tegak lurus pada permukaan itu

maka :

C

ax

ADQ

x

30

1310

110

9. Suatu konfigurasi muatan dalam koordinat silindris diberikan oleh

3

25

mCre

r . Pakai hukum gauss untuk menetapkan D.

Penyelesaian :

Page 73: Medan elektromagnetik 2

Karena ρ bukan fungsi Ø atau z, maka fluks adalah semata-mata radial.

Juga bahwa pada r yang tetap harga D pastilah konstan. Maka permukaan

gauss khusus yang sesuai untuk hal ini adalah silinder lingkaran yang

tegak. Integral pada permukaan ujung-ujung silinder itu hilang, sehingga

hukum gauss menjadi

2

2

2

2

0

2

00

2

2

0

2

00

2

00

ˆ115

2

1110

11102

152

5ˆˆ

mCa

r

er

rl

erlD

erlrlD

zerrlD

dzdrdrredzdraDa

QdsD

r

r

r

r

lrr

r

r

r

l

z

rr

l

z

enc

10. Volume dalam koordinat bola yang ditentukan oleh r ≤ a , dimana a jari-

jari bola. Berisi muatan dengan kerapatan yang serba sama. Pakai hukum gauss

untuk menentukan D. Berapa besarnya muatan dititik asal yang akan

menghasilkan medan D yang sama untuk r > a ?

Penyelesaian :

22

3

32

32

0

2

0

3

3

44

3

4sinˆˆ

mC

r

aD

arD

addraDa

QdsD

rr

enc

kalau suatu muatan titik Q = (4/3) пa3 ρ diletakkan dititik asal, medan D untuk r >

a, yang dibangkitkannya akan sama besar dengan bola yang bermuatan yang

berdistribusi merata

Page 74: Medan elektromagnetik 2

BAB VI

ENERGI DAN POTENSIAL

6.1 ENERGI YANG DIPELUKAN UNTUK MENGGERAKKAN MUATAN

TITIK DALAM MEDAN LISTRIK.

Muatan Q dalam medan listrik E akan mengalami gaya interaksi Coulomb

sebesar : QEFE

(Newton), jika ingin menggerakkan Q dengan arah melawan E

diperlukan gaya yang melawan E

F .

QE

FFEpakai

pakaiF sama dengan

EF dan arahnya berlawanan. Dengan demikian jika kita ingin

memidahkan Q sejauh dl dengan arah melawan medan harus menyediakan energi

(dilakukan usaha) sebesar:

dldanEantarasudutdlQEdW

vektorduadariproductdotdlQEdW

cos

Untuk memindahkan Q pada jarak tertentu (berhingga) harus ditentukan dengan

mengintegrasikan:

ldW

akhir

awal

ABE

dimana :

bolaadrardadrdl

silinderadzardadrdl

kartesianadzadyadxdl

r

zr

zyx

ˆsinˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆ

Usaha yang dilakukan untuk memindahkan muatan titik dari titik awal (B) ke titik

akhir (A) dalam medan listrik E serba sama, pada setiap lintasan tertutup adalah

nol.

StatisMedandlE 0

medan vektor dengan sifat tersebut disebut medan konservatif.

Page 75: Medan elektromagnetik 2

6.2 INTEGRAL GARIS

Persamaan akhir

awal

dlEQW merupakan contoh integral garis. Integral

garis diatas dalam medan (E) yang serba sama tidak bergantung pada lintasan

yang dipilih, hal inipun berlaku untuk medan yang tidak serba sama, tetapi pada

umumnya tidak berlaku untuk E yang merupakan fungsi waktu.

Sebagai contoh kita lihat gambar dibawah ini kita pilih kedudukan awal titik B

dan kedudukan akhir diberi tanda A dalam medan listrik yang serba sama lintasan

dibagi dalam segmen-segmen kecil .....L,L,L4321

1EL proyeksi E pada

1L

2EL proyeksi E pada

2L

3EL proyeksi E pada

3L

4EL proyeksi E pada

4L

Besarnya kerja yang diperlukan dari B ke A adalah :

)(44332211

LELLELLELLELQWAB

atau dengan memakai notasi vektor

)(44332211

LELELELEQWAB

EL1

EL2

EL3

EL4

E1

E2

E3

E4

B

A

1L

2L

3L

4L

Page 76: Medan elektromagnetik 2

Karena kita menjumlahkan terhadap medan yang serba sama

EEEEE4321

)LLLL(QEW4321

Penjumlahan 4321

LLLL merupakan penjumlahan vektor

(penjumlahan jajaran genjang) yang hasilnya merupakan vektor yang mempunyai

arah dari titik awal B ke titik akhir A, LBA (tidak tergantung lintasan yang dipilih).

BALQEW . (E serba sama)

Bentuk integral dari penjumlahan di atas :

BA

A

B

A

B

QEL

samaserbaEdlQE

dlEQW

................

.

dengan dl adalah elemen panjang, ditulis dalam bentuk sebagai berikut :

bolaadrardadrdl

silinderadzardadrdl

kartesianadzadyadxdl

r

zr

zyx

ˆsinˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆ

Pada pembicaraan interaksi Coulumb dan intensitas medan listrik, kuat medan

listrik yang diakibatkan oleh muatan garis lurus adalah

Medan listrik sekitar muatan garis

adalah arah radial

r

o

ar

E ˆ2

untuk memindahkan muatan dari 1

r

ke 2

r diperlukan kerja.

Y

X

Z

r1

r2

Page 77: Medan elektromagnetik 2

2

1

2

1

2

2

2

ˆˆˆˆ2

21

r

r o

r

r o

akhir

awal o

zrr

akhir

awal o

akhir

awal

rQ

drr

Q

drr

Q

dzardadraar

Q

dlEQW

1

2ln

2

2

2

1

r

rQ

rQ

o

r

r o

1

2

21ln

2 r

rQW

o

Jika ingin memindahkan Q dalam arah z

a dan arah a tidak memerlukan

usaha, sebab dlE (ingat aturan dot pruduct dari vektor).

6.3 DEFINISI BEDA POTENSIAL DAN POTENSIAL

Kerja yang diperlukan oleh gaya luar untuk memindahkan muatan Q dari

satu titik ke titik lain dalam medan listrik _

E :

dlEQW

akhir

awal

Beda potensial didefinisikan sebagai energi (yang dikerjakan oleh sumber luar)

untuk memindahkan satu satuan muatan dari satu titik ke titik lain dalam medan

listrik, atau dalanm bentuk matematik.

Beda potensial

akhir

awal

dlE

Q

WV

Page 78: Medan elektromagnetik 2

ABV didefinisikan sebagai kerja yang diperluka untuk memindahkan satu satuan

muatan dari B ke A atau AB

V adalah perbedaan potensial antara titik A dan B.

A

B

BAABdlEVVV

satuan yang dipakai adalah volt yang identik dengan dengan (joule/Coulumb)

Contoh

1. Disekitar muatan garis panjang dengan kerapatan jika kita ingin

memindahkan muatan Q dari 2

r ke 1

r diperlukan energi sebesar ?

Penyelesaian :

1

2

1

2

ln2

ln2

r

rQW

QVWr

rQW

o

o

jadi beda potensial 1

2

12ln

2 r

r

Q

WV

o

Bukti :

Unsur diferensial dl dipilih dalam koordinat tabung dan lintasan radial yang

dipilih mengharuskan dz dan dradldr

ˆ;0

Sehingga

1

2ln

2

2

ˆˆ2

1

2

r

rQ

r

dr

rQ

adrar

W

o

r

r o

rr

akhir

awal o

jadi beda potensial 1

2

12ln

2 r

rV

o

Z

r1

r2 l

Muatan garis tak terhingga

Page 79: Medan elektromagnetik 2

2. Disekitar muatan titik jika kita ingin memindahkan 2 dari titik B ke A

diperlukan energi sebesar ?

Penyelesaian :

A

B

AB

A

B

ldEQ

WV

ldEQW

.

BA

s

BAAB

BA

s

A

B

s

r

r

A

B

AB

r

Q

r

QVVV

rr

Q

r

drQ

drardadrar

aQV

00

0

2

0

2

0

44

)11

(44

sinˆˆˆˆ.

4

1

Jika AB

rr beda potensial 0AB

V , secara fisis berarti : diperlukan

energi oleh sumber luar untuk membawa muatan Q positif dari B

r ke A

r (karena 2

muatan yang sejenis selalu tolak-menolak). Kalau kita membicarakan potensial

mutlak (bukan beda potensial) maka harus dipilih suatu acuan potensial nol,

misal:

Acuan nol diperlukan bumi (eksperimental/empiris)

Acuan nol dititik tak berhingga (teoritis)

Untuk persoalan simetri tabung, misal dalam kabel koaksial, konduktor

luarnya bisa dipilih sebagai acuan potensial nol.

Beda potensial di titik A dan B adalah beda potensial di titik A relatif terhadap

beda potensial di titik B. Jika potensial dititik A adalah A

V dan potensial dititik B

adalah B

V maka beda potensial titik A dan titik B adalah :

BAABVVV

Page 80: Medan elektromagnetik 2

6.4 MEDAN POTENSIAL SEBUAH MUATAN TITIK

Dari contoh di atas VAB = VA – VB = BA

rr

Q 11

40

walaupun titik A

dan B mempunyai , yang berbeda hasil VAB hanya ditentukan oleh

rekapitalisasi rA dan rekapitalisasiB, tidak ditentukan oleh lintasan yang diambil.

komponen , dan tidak berpengaruh karena E berarah radial EaEr

ˆ .

jika titik potensial nol didefinisikan sebagai titik terjauah tak hingga maka

potensial di titik A adalah

Ar

AoAo

Aaor

Qdr

rr

QVVV

~

24

1

4)0(

sehingga VA = A

r

Q

04

sama halnya dengan potensial di titik B B

Br

QV

04

atau biasa ditulis: r

QV

04

cara menyatakan potensial tanpa memilih acuan nol diperoleh dengan

mengindetifikasikan rekapitalisasi rA sebagai r dan B

r

Q

04

sebagai konstan,

sehingga: Cr

QV

04

C dipilih supaya V = 0 pada r tertentu.

Atau kita bisa memilih acuan V = V0 pada r = r0, karena beda potensial bukanlah

fungsi dari C.

Definisi permukaan equipotensial

Permukaan Equipotensial adalah permukaan yang mirip tempat kedudukan

semua titik yang mempunyai potensial yang sama. Untuk memindahkan sebuah

muatan pada permukaan equipotensial tidak diperlukan kerja. Permukaan

equipotensial dalam medan potensial sebuah muatan titik adalah bola yang

berpusat pada muatan titik tersebut.

Page 81: Medan elektromagnetik 2

6.5 MEDAN POTENSIAL AKIBAT DISTRIBUSI MUATAN.

a) Medan Potensial Akibat Muatan Titik

Untuk mencari medan potensial akiabat muatan-muatan titik, sama seperti

mencari medan gaya yang diakibatkan oleh muatan-muatan titik berlaku cara

superposisi. Titik yang ingin diketahui medan potensialnya yaitu titik titik P.

Titik yang ingin diketahui

medan potensialnya yaitu titik P.

n

ii

rrπε

iQ

(r)V

nrrπε

nQ............

rrπε

Q

rrπε

Q

rrπε

Q

(r)V

10

4

04

304

3

204

2

104

1

b) Medan Potensial Akibat Distribusi Muatan Kontinu

Medan potensial yang diakibatkan oleh muatan terdistribusi kontinu

caranya sama seperti ketika kita mencari medan gaya listrik. Untuk muatan

berbentuk ruang dipakai rumus :

1

(r)4

)'(V

rr

dvr

o

Untuk muatan terdistribusi kontinu dalam bidang:

s o

s

rr

dsr

4

)'(V

1

(r)

r1 r2

r3

r

Q1 Q2 Q3

P

Y

Z

X

Page 82: Medan elektromagnetik 2

Dan untuk muatan yang terdistribusi kontinu dalam garis :

l o

s

rr

dlr

1

r4

)'(V

Hasil-hasil di atas didapat dengan memilih titik acuan (medan potensial = 0) pada

titik ~ (tak hingga) atau :

A

dlE

~

AV

A

B

dlEAB

V

Seperti yang telah dijelaskan dimuka bahwa integrasi di atas tidak

bergantung pada lintasannya hanya melihat titik awal dan akhir saja, dengan

demikian maka jika kita pilih lintasan tertutup akan menghasilkan harga

statismedanuntukdlEV 0

KirchoffpernyataandengansesuaidlEV

C

0

Berlaku 0dlEV dalam lintasan tertutup medan potensialnya sama dengan

nol.

C

D E

Page 83: Medan elektromagnetik 2

6.6 GRADIEN POTENSIAL

Perhatikan rumusan medan potensial: dl E.-V atau dapat ditulis dalam

bentuk 0)L( L-V E

Jika antara berlakuakan maka sudutmembentuk Ldan E

atau cos

V

Lcos -E.V

E

dl

d

Persamaan terakhir ini akan mempunyai nilai maksimum jika (arah

perubahan potensial berlawanan dengan arah pertambahan jarak).

E

dl

dVmax

(a) Besar E sama dengan harga maksimum perubahan potensial terhadap jarak.

(b) Pertambahan jarak berlawanan arah dengan arah pertambahan potensial.

max

max

V-E

dl

d

Dari rumus : L-EV

Pada bidang yang mempunyai harga potensial sama (sepotensial bidang =

bidang equipotensial) pada bidang ini 0.V

0LE dimana harga E dan L tidak nol dengan demikian L E . Dalam

hal ini L mempunyai arah menyinggung bidang sepotensial maka E tegak lurus

bidang sepotensial (arah pertambahan potensial terbesar adalah tegak lurus pada

permukaan sepotensial yaitu dalam arah potensial bertambah).

Jika n

a merupakan arah normal dari permukaan sepotensial (dan mempunyai arah

ke potensial yang lebih besar) maka :

n

mak

adl

dE ˆ

V_

Menunjukan bahwa besarnya E sama dengan laju perubahan maksimum V dan

arah E adalah normal terhadap permukaan sepotensial (dalam arah

pengurangan potensial)

dn

d

dl

d

mak

vV

Page 84: Medan elektromagnetik 2

Karena laju perubahan V yang maksimum terjadi untuk arah yang sama dengan

arah E, maka :

na

dn

dE ˆ

V_

kartesian .ˆˆˆ_

Vz

ay

ax

aEzyx

atau

na

E

ˆ

n

V-

V

_

na merupakan vektor satuan yang normal terhadap permukaan sepotensial, dan

arah normalnya dipilih dalam arah pertambahan harga V.

ingat : kartesian ˆˆˆˆz

ay

ax

aan

zyxn

dimana zyx

VE ;

VE ;

VE

zyx

atau

bolaV

r

a

r

a

r

aV

silinderV

z

a

r

a

r

aV

kartesianV

z

a

y

a

x

aV

r

zr

zyx

sin

1ˆˆ

ˆ1

ˆˆ

ˆˆˆ

Page 85: Medan elektromagnetik 2

6.7 KERAPATAN ENERGI DALAM MEDAN ELEKTROSTATIK

(LISTRIK STATIS)

Sekarang kita tinjau usaha untuk memindahkan 3 buah muatan, muatan

demi muatan (satu demi satu) pada ruangan yang mula- mula bebas

muatan.perhatikan gambar sebagai berikut:

~

Dari definisi energi QVdLEQW

Misalkan urutan pemindahan muatan adalah Q1,Q2, Qn maka :

011

dLEQW

(karena pada saat Q1 datang, ruang belum ada medan)

01011

VQW

1tan2212122

muaolehdisebabkandititikpotensialVVQW

313232123VVQVQW

1........................................................32313212

321

VVQVQ

WWWWE

Jika urutan pemindahan muatan dibalik mula-mula Q3 kemudian Q2 dan Q1 maka

2...........................................................013121232

123

VVQVQ

WWWWE

Jika pers (1) dan pers (2) dijumlahkan maka :

3231323212131212 VVQVVQVVQW

E

Jika kita ingat kembali cara mencari potensial oleh distribusi muatan titik maka:

32313

23212

13121

VVV

VVV

VVV

Page 86: Medan elektromagnetik 2

Dengan demikian kita akan dapatkan

VQVQVQW

VQVQVQW

E

E

32211

332211

2

1

2

Dapat kita simpulkan energi dalam medan listrik statis oleh muatan n buah

ditulis:

JouleQWn

n

nE

12

1

Untuk distribusi muatan kontinu dalam bentuk ruang :

vol

EdVVW

2

1

Dapat ditunjukan bahwa :

v

E

v

E

v

E

dVEDW

VdD

W

dVEW

2

2

2

2

1

2

1

2

1

Bukti:

3..........................................................

2...............................................................

1................................................................2

1

VDVDDV

VDDVVD

D

dVVW

v

E

dengan menggunakan koordinat bola

Terapkan pers 1, 2, dan 3

Volume Bola

Page 87: Medan elektromagnetik 2

0

2

1

2

1

2

1

2

1

)(2

1

2

1

dSVDRuntuk

dVEDdSVD

dVVVDdVVDV

dVVD

dVVW

volR

vol vol

vol

vol

E

vol

E

vol

E

vol

E

dVEWdandVD

Wdidapat

EDkansubstitusi

terbuktidVEDW

maka

2

2

2

1

2

1

2

1

:

Contoh

1. Hitunglah usaha yang dilakukan dalam memindahkan muatan +2 C dari

(2,0,0) m ke (0,2,0) m melalui lintasan garis lurus penghubung kedua titik

mV ˆ4a2

x yayxE .

Penyelesaian :

usaha diferensial adalah

ydyxdxdW

adzadyadxayaxdW

QEdldW

zyxyx

84

)ˆˆˆ)(ˆ4ˆ2(2

lihat gambar:

Persamaan bagi lintasan adalah 2yx dimana dxdy

( 2, 0, 0 )

( 0, 2, 0 )

X

Y

Page 88: Medan elektromagnetik 2

Sepanjang lintasan itu, maka :

).1111(

24)164(

)164())(2(84

2

0

JCmCN

mvingat

JouledxxW

dxxdxxxdxdW

2. Sebuah muatan titik 1,6 nC diletakan di titik asal dalam ruang hampa. Carilah

potensial pada r = 0,7 m jika :

a). Acuan nol di tak berhingga

b). Acuan nol di r =0,5

Penyelesaian :

a). Pada r = ~

2

212

108548

11

4

NmC,dengan ε

rrπε

QV

o

BAo

AB

Volt,V

rhingga)bab tak be (se,V

~,

,V

AB

AB

AB

5520

05520

1

70

1

10854,814,34

1061

12

9

b). Pada r = 0,5

VoltV

V

V

rr

QV

AB

AB

AB

BAo

AB

2215,8

78,2855,20

5,0

1

7,0

1

10854,8()14,3()4(

106,1

11

4

)12

9

Page 89: Medan elektromagnetik 2

3. Berapa potensial di titik P jika diketahui :

nCQQ

aaar

ar

aar

zyx

z

yx

6,1

ˆ10ˆ8ˆ6

ˆ10

ˆ8ˆ6

21

2

1

Penyelesaian :

1086

101086

1010

861086

44

22

2222

2

2

22222

1

2

2

1

1

rr

rr

rr

Q

rr

QrV

oo

VoltV

V

xxV

x

x

x

xV

r

r

r

r

88,2

44,144,1

206,111

106,1

206,111

106,1

1010854,814,34

106,1

1010854,814,34

106,1

22

12

9

12

9

Q1

Q2

P

Z

Y

X

Page 90: Medan elektromagnetik 2

4. Diketahui medan potensial 222050 yyzxV volt dalam ruang hampa.

Carilah :

a. V pada (1,2,3)

b. EP

Penyelesaian :

a. P (1,2,3) disubstitusikan pada 222050 yyzxV

volt

V

380

2203215022

b.

mVaaaE

ayxayzxaxyzE

adz

dVa

dy

dVa

dx

dVE

VE

zyxP

zyxP

zyxP

P

ˆ100ˆ230ˆ600

ˆ)50(ˆ)4050(ˆ)100(

ˆˆˆ

22

5. Diberikan fungsi potensial yxV 42 yang berada dalam vacum, tetapkan

energi yang tersimpan dalam volume 1 m3 yang berpusat dititik asal. Periksa

pula volume-volume lain yang besarnya juga 1 m3 .

Penyelesaian :

mV

E

mVaa

yxaz

ay

ax

VE

yx

zyx

20

42

ˆ4ˆ2

42ˆˆˆ

22

Medan ini konstan dalam besaran m

VE 20 dan arahnya ke seluruh

ruang, maka energi total yang tersimpan adalah tak berhingga besarnya. (medan

ini bisa berupa medan didalam sebuah kapasitor pelat sejajar yang tak berhingga

ukurannya. Diperlukan suatu usaha yang besarnya tak berhingga untuk memuati

kapasitor seperti itu ).

Page 91: Medan elektromagnetik 2

Walaupun demikian adalah mungkin berbicara mengenai kerapatan energi

untuk medan ini dan medan lainya.

dvEWE2

2

1

Menyarankan suatu cara yang mendukung bahwa dengan setiap elemen volume

dV terkait kandungan energi sebesar w dV dimana

2

2

1EW

Bagi medan yang sekarang ditinjau kerapatan energi itu konstan, maka :

3

8

36

1020

1

mJ

oW

o

Sehingga setiap volume 1 m3 mengandung

3610

8

Joule energi.

Page 92: Medan elektromagnetik 2

BAB VII

MEDAN MAGNET TUNAK (STEADY)

Medan adalah daerah disekitar sumber medan yang masih memiliki/

mendapat pengaruh dari sumber medan. Sejauh ini telah dikenal adanya dua

medan, yaitu medan magnet dan medan listrik. Muatan-muatan yang merupakan

sumber medan menimbulkan gaya terukur yang bekerja pada muatan lainnya yang

dapat dianggap sebagai muatan detektor. Kenyataan bahwa pemberian sifat medan

pada sumber muatan dan penentuan efek medan pada muatan detektor, maka hal

ini dapat diartikan bahwa telah terjadi pembagian persoalan dasar menjadi dua

bagian.

Medan magnet dapat ditimbulkan oleh distribusi arus (Hk. Ampere, Biot

Savart). Hukum Ampere menyatakan bahwa integral garis kuat medan magnetik

H sepanjang lintasan tertutup sama dengan arus I yang mengalir di sepanjang

lintasan tersebut. Atau:

IdLH

Hukum Biot Savart menyatakan bahwa diferensial kuat medan magnet dH

didapat dari hasi bagi antara cross product IdL and ar dibagi dengan jarak

kuadrat. Atau:

mA

r

adlidH

r

24

ˆ

Hukum Biot Savart kadang-kadang disebut hukum Ampere untuk unsur

arus.

Hubungan antara medan magnet tunak (steady) dengan sumbernya lebih

rumit daripada hubungan antara medan elektrostatik dengan sumbernya.

7.1 Medan Magnet oleh Arus Listrik

Sumber medan magnetik dapat merupakan sebuah magnet permanen,

suatu medan listrik yang berubah secara linier terhadap waktu atau dari suatu arus

searah. Biot Savart telah mengembangkan hubungan antara medan magnet yang

ditimbulkan oleh unsur diferensial arus searah dalam ruang hampa. Unsur arus

diferensial yang dikembangkan oleh Biot Savart dibayangkan sebagai bagian kecil

dari filamen konduktor yang dialiri arus yang filamennya merupakan limit dari

tabung konduktor berpenampang lingkaran yang jejarinya menuju nol

Page 93: Medan elektromagnetik 2

. Hukum Biot Savart menyatakan bahwa pada setiap titik P, besar

intensitas medan magnetik yang ditimbulkan oleh unsur diferensial berbanding

lurus dengan perkalian arus, besar panjang diferensial, dan sinus sudut antara

filamen dengan garis yang menghubungkan filamen tersebut ke titik P. Besar

intensitas medan magnetic berbanding terbalik dengan dengan jarak kuadrat r.

Atau secara matematis, hukum Biot Savart dituliskan dengan notasi:

mA

r

adlidH

r

24

ˆ

di mana:

dH = diferensial intensitas medan magnet

i dl = elemen diferensia arus

âr = unit vektor r

r = jarak antara elemen arus dengan titik yang ditinjau besar medannya.

Atau secara umum dapat ditulis dengan persamaan matematis sebagai berikut:

3'

'

4rr

rrdliodB

catatan:3

'

''ˆˆ

rr

rrrr

P (titik yang ingin diketahui

besar medannya)

Penghantar yang dialiri arus idl

r

idl r-r’

r r’

( 0, 0, 0 )

P

Page 94: Medan elektromagnetik 2

Contoh :

1. Medan listrik akibat arus searah pada penghantar yang panjang dan berjarak r

dari penghantar ke titik yang ditinjau seperti pada gambar:

Gunakan kordinat silinder, sumber terletak di z

azr ˆ'

sedang r

arr ˆ

dan zr

azarrr ˆˆ'

. Sehingga:

2

322

ˆˆˆ

4

zr

zazrarzaidz

π

oμBd

2

3

22

ˆ

4zr

aidzrB

o

2

3

22

ˆ4

zr

dza

iro

232

ˆ4 zrr

za

iro

zr

z

zr

za

iro

22ˆ

4

ar

i

ra

irB

oo ˆ2

42

ar

iB

o ˆ2

i dl = i dz

r - r’ r’

r ( 0, 0, 0 ) P

I

Page 95: Medan elektromagnetik 2

2. Besarnya induksi magnetik akibat penghantar yang berbentuk lingkaran

dengan jari-jari r.

3

'

'

4 rr

rrdliBd

o

2

322

ˆˆˆ

4

zr

rarzazxadrio

Bd

2

322

ˆ2

ˆ

4

zr

zadriradrioBd

Karena simetris, komponen z saling menghilangkan.

2

322

ˆ2

4

zr

zadri

oBd

za

zrπ

πrio

μ

B ˆ

2

3

224

22

2

02

3

22

2

4

ˆd

zr

ariB

zo

z

oa

zr

riB ˆ

4

2

2

3

22

2

untuk r<<z, maka;

za

z

rioB ˆ

34

22

za

z

iroB ˆ

34

22

za

z

moB

za

z

AioB

ˆ3

2

4

ˆ3

4

2

r’

r r – r’

i dl

Page 96: Medan elektromagnetik 2

E

P

r2 r1

r

q -q

d

ER

catatan:

Aim

7.2 Besaran Induksi Magnetik

za

z

moB ˆ

3

2

4

dapat digambarkan sebagai berikut:

Analog dengan medan listrik akibat dua

muatan titik yang berjarak d seperti gambaran

berikut:

3

2

4

1

r

pE

o

3

cos2

4

1

r

pE

o

r

3

sin2

4

1

r

pE

o

Aim

Page 97: Medan elektromagnetik 2

Sehinga besaran B di atas dapat diuraikan menjadi komponen r dan θ

BaBraB ˆˆ

3

cos2

4 z

morB

3

sin

4 z

moB

Lihat kembali medan

akibat dua muatan yang terpisah sejauh d dan d<< r. Untuk menyelesaikan

masalah ini, cari terlebih dahulu potensialnya dengan cara sebagai berikut:

2144 r

q

r

qV

oo

p

cos

2

cos

1

dr

Ar

PAPCr

o

cos

2

cos

002

dr

OBr

POr

21

11

4,

rr

qrVVp

o

sin2

1

cos2

1

4,

dr

dro

qrVVp

2cos

sin2

cos2

4,

dr

dr

dr

o

qrVVp

B

Br

D C

r

r1 r2

P

Y

Z

A q -q ( 0, 0, 0 )

Page 98: Medan elektromagnetik 2

rd

karena

r

d

o

qrVVp

2cos

2

;2

cos

4,

24

cos,

ro

PrVVp

qdp disebut momen dipol listrik dan ,, rVr

rEr

adalah

koordinat polar, maka:

34

cos2,

ro

prrE , ,

1, rV

rr

rE

3

sin

4

1,

r

p

o

rE

Ingat: ,1

,,, rV

r

rV

r

rVrE

A. Hukum Integral Ampere

Persoalan elektrostatik sederhana dapat dengan mudah dipecahkan dengan

menggunakan hukum Coulomb. Tetapi bila persoalan elektrostatik tersebut

membutuhkan tingkat kesimetrian yang tinggi, maka akan lebih mudah bila

menggunakan hukum Gauss. Prosedur pemecahan masalah dalam medan

magnetik baik dengan menggunakan hukum Coulomb atau hukum Gauss adalah

sama. Dan dengan prosedur yang sama pula pemecahan masalah elektrostatik

akan jauh lebih mudah bila menggunakan hukum integral Ampere (Ampere’s

Circuital Law) atau kadang-kadang disebut sebagai hukum kerja Ampere.

Ampere’s Circuital Law merupakan penurunan dari hukum Biot Savart.

Hukum integral Ampere menyatakan bahwa integral garis kuat medan

magnet H sepanjang lintasan tertutup sama dengan arus yang dilingkupi oleh

lintasan tersebut. Atau secara matematis dapat ditulis:

ildH

Page 99: Medan elektromagnetik 2

Arus i dikatakan positif bila arah alirannya searah putaran jarum jam. Dan

sebaliknya adalah negatif. Gambar berikut memperlihatkan pernyataan ini.

Pemakaian hukum Gauss adalah mencaari muatan total yang dilingkupi

oleh permukaaan tertutup. Sedangkan pemakaian hukum integral Ampere adalah

mencari arus total yang dilingkupi oleh lintasan.

Meskipun penggunaan hukum integral Ampere lebih memudahkan dalam

perhitungan kuat medan elektrostatik, ada beberapa syarat tertentu yang harus di

penuhi terlebih dahulu, yaitu:

1. H

harus normal atau tangensial pada tiap titik lintasannya.

2. Jika H

tangensial, maka besarnya harus konstan.

Misalkan lintasan arus berbentuk lingkaran dan berjejari r, makaberlaku

hukum integral Ampere:

ar

iH

irH

idraHadlH

ˆ2

2

ˆˆ

2

0

Misalkan induksi magnetik akibat penghantar panjang yang dialiri arus

searah:

2

2

0

2

2

ˆˆ

mW

r

iB

irB

idraBa

idlB

o

o

o

o

dl

i

positif

dl

i

negatif

S = r d

B

I

r

d

Page 100: Medan elektromagnetik 2

Arah B dapat ditentukan dengan menggunakan kaidah tangan kanan. “Arah ibu

jari merupakan arah arus i dan merupakan arah lipatan empat jari lainnya

menunjukkan arah B

.” Untuk pernyataan ini berlaku:

aπr

ioμB ˆ

2

7.4 Medan Magnet dalam Kumparan

Ada dua macam kumparan yang sering digunakan, yaitu solenoida dan

toronoida (cincin).

Solenoida

Pada bagian tengah solenoida, medan magnet serba sama pada bagian tepi

yaitu menyebar (tak homogen). Untuk lilitan yang cukup rapat, kebocoran fliks

sangat kecil sehingga induksi magnetic di luar kumparan dianggap nol. Jika

kumparan cukup panjang, maka medan magnet di tengah solenoida dianggap

homogen.

( b )

d c

b a

1

( a )

Page 101: Medan elektromagnetik 2

Untuk mencari besarnya induksi magnet B dengan menggunakan hukum

Ampere seperti pada gambar b adalah sebagai berikut:

ildB0

ab bc cd da

ildBldBldBldB0

ilB0

l

iB

o

Jika tiap lilitan dialiri arus sebesar I dan rapat lilitan L

Nn , maka

disepanjang l terdapat arus sebesar lL

NIi . Sehinga

L

NIB

0

Toroida

r

iB

irB

irdaBa

idlB

o

o

o

o

2

2

ˆˆ

2

0

Sehingga untuk toroida berlaku:

r

NiB

o

2

Kosong tanpa

bahan

r

Page 102: Medan elektromagnetik 2

7.5 Hukum Maxwell tentang Induksi Magnet

Sampai saat ini belum ditemukan adanya monopole magnet, maka jumlah

garis gaya magnet total yang keluar dikurangi yang masuk pada suatu permukaan

tertutup selalu sama dengan nol. Atau secara matematis dapat ditulis:

s

sdB 0

Dari hukum integral divergensi diperoleh:

0dvBsdB

; (berlaku untuk semua volume)

maka:

0B

v

dsBB

secara fisis :

volume

masukanflukskeluaranfluksB

untuk fluks magnetic selalu sama dengan nol.

Page 103: Medan elektromagnetik 2

TEOREMA MAXWELL

(UMUM)

Persoalan-persoalan elektromagnetik adalah persoalan yang menyangkut

atau yang berhubungan dengan medan magnetik dan medan elektrik. Medan-

medan tersbut adalah berupa besaran-besaran vector yang telah ditetapkan melalui

hukum-hukum yang disebut Persamaan-persamaan (teorema) Maxwell.

A. E

; Hukum Gauss

Perhatikan hukum Gauss:

QsdD

v

dvsdD

; Hukum Maxwell (dalam bentuk integral)

Dari teorema divergensi Gauss:

v

dvDsdD

v v

dvD

sehingga:

ρD

karena:

ED

maka:

E

B. t

BE

; bentuk lain dari hukum Faraday

Hukum Faraday:

Page 104: Medan elektromagnetik 2

te

s

sdBt

e

dlEfmee

s

dsBdlE ; bentuk integral dari hukum Maxwell-Faraday

dengan teorema integral Stokes:

dsEdlE

s

maka:

s

dsBt

dsE

karena terjadi pada permukaan yang identik, maka:

Bt

E ; bentuk titik Faraday-Maxwell

C. Hukum Maxwell tentang Induksi Magnet

Dengan beranggapan bahwa di dunia ini tidak ada monopole magnetic,

maka netto garis gaya yang melalui suatu permukaan tertutup selalu sama dengan

nol.

0

s

dsB

Bentuk Maxwell dalam integral yang menyatakan ketidakadaan monopole.

Jika diterapkan teorema divergnsiGauss, maka:

vs

dvBdsB 0

v

dvB 0

Dan berlaku untuk sembarang volume, maka:

0B

Ini juga bias ditafsirkan dari arti fisis divergensi:

Page 105: Medan elektromagnetik 2

volume

permukaanluasmasukgayagarispermukaanluaskeluargayagarisB

netto

fluks magnetik dari permukaan tertutup selalu nol.

D. Hukum Integral Ampere

menyatakan bahwa integral garis H sepanjang lintasan tertutup dengan arus searah

yang dilingkupi oleh lintasa tersebut.

idlH

Dari definisi fluks HoμB (dalam vakum), maka:

idlB0

(vakum)

untuk definisi fluks di dalam suatu lintasan :

IldH

sdt

FJldH

sdt

FJsdH

t

FJH

Page 106: Medan elektromagnetik 2

BAB VIII

PERSAMAAN POISSON DAN LAPLACE

Persamaan Poisson dan Laplace didapat dari persaman Maxwell dan

pernyataan bahwa medan listrik adalah negatif gradien potensial sebagai

berikut :

1. E

2. VE

dari pers. (1) dan (2) didapat :

V

V

divergensi dari gradien ditulis VV2

V2

disebut persamaan Poisson untuk daerah yang bebas muatan =0; maka

persamaan diatas akan menjadi 02V

8.1 Bentuk-Bentuk Explisit Persamaan Laplace dan Poisson

Simbol bisa diuraikan dalam berbagai bentuk sistem koordinat yakni

dengan cara mencari divergensi dari gradien dalam sistem koordinat tersebut

untuk sistem koordinat kartesian.

z

V

zy

V

yx

V

x

z

Va

y

Va

x

Va

za

ya

xaV

zyxzyxˆˆˆˆˆˆ

maka persamaan laplace dalam koordinat kartesis adalah :

02

2

2

2

2

2

z

V

y

V

x

V

Sedang persamaan Poisson adalah :

2

2

2

2

2

2

z

V

y

V

x

V

Page 107: Medan elektromagnetik 2

Pada sistem koordinat lain didapat dengan cara yang sama untuk koordinat

silinder

z

Va

V

ra

r

Va

zaa

ra

VV

zrzrˆ

1ˆˆˆˆˆ

2

Yang perlu diperhatikan dalam hal ini adalah operator sebelah kiri, jika dikerjakan

ke suku yang ada dikanannya harus dioperasikan sebagai operasi diferensial

seperti :

Dot product antara dua unit vektor yang tidak sejenis menghasilkan harga nol

(tidak berharga) sehingga hasil akhir untuk koordinat silinder adalah :

2

2

2

2

22

2

2 11

z

VV

rr

V

rr

VV

Atau :

2

2

2

2

2

2 11

z

VV

rr

Vr

rrV

Maka persamaan Laplace untuk sistem koordinat silinder adalah :

011

2

2

2

2

2

2

z

VV

rr

Vr

rrV

Dan persamaan Poissonnya adalah :

2

2

2

2

2

11

z

VV

rr

Vr

rr

Dengan metoda yang sama dapat diturunkan persamaan Laplace dan Poisson

dalam koordinat Bola.

2

2

222

2

2

2

sin

1sin

sin

110

0

V

r

V

rr

Vr

rr

V

sehingga dapat diperoleh persamaan Laplace untuk system koordinat bola adalah

0sin

1sin

sin

11

2

2

222

2

2

2 V

r

V

rr

Vr

rrV

Dan persamaan Poisson dalam kordinat Bola adalah:

2

2

222

2

2sin

1sin

sin

11 V

r

V

rr

Vr

rr

Page 108: Medan elektromagnetik 2

mmr 11

mmr 202

8.2 Teorema Keunikan

Penyelesaian persamaan Laplace atau Poisson harus menghasilkan

jawaban yang unik, untuk itu diperlukan syarat-syarat batas yang lengkap. Dua

jawaban dari persamaan Laplace atau Poisson, keduanya harus memenuhi syarat

batas yang sama maka kedua jawaban harus identik satu sama lain.

Perhatikan contoh soal di bawah ini yang menggambarkan persoalan lengkap

dengan syarat-syaratnya .

Contoh :

1. Tetapkan fungsi potensial dan identitas medan listrik di dalam ruangan di

antara dua silinder tegak yang konsentris, jika V=0 pada r=1 mm dan V = 150

Volt pada r =20 mm, abaikan efek-efek sisi.

Penyelesaian :

Dari syarat batas potensial dalam persoalan ini konstan tehadap perubahan y

dan z maka persamaan Laplace dalam bentuk koordinat silinder hanya dipakai

komponen r nya saja :

01

dr

dvr

dr

d

r

Karena deferensial tidak tergantung pada Q dan Z maka akan menjadi

deferensial biasa dan kalikan kiri kanan dengan r maka

0dr

dvr

dr

d

Integralkan kiri kanan akan menjadi

taKonsccdr

dvr tan

Page 109: Medan elektromagnetik 2

Maka :

r

drcdv

r

cdrdv

Maka

BrCV ln

Terapkan syarat batas :

V = 0 ; untuk r = 1 mm = 1x 10-3

m

V = 150 V ; untuk r = 20 mm = 2x 10-2

m

2,346

91,61,50

10ln

13

3...........................50,1C

102ln10ln

150-C

150102ln10lnC

150.102lnC

010lnC

:21

2..........102lnC150

150 VUntuk

1.................10lnC0

0 VUntuk

3

2-3-

2-3-

2-

3-

2-

3-

CB

perskeperskansubstitusi

B

B

danpersdari

B

B

Sehingga

voltrV 2,346ln1,50

Untuk mendapatkan E gunakan hubungan

mvolta

r

rz

ar

ar

a

VE

r

zr

ˆ1,50

2,346ln1,50ˆ1

ˆˆ

Page 110: Medan elektromagnetik 2

2. Dua plat paralel seperti pada gambar dimana daerah diantara kedua plat bebas

muatan ( =0). Tentukan V dan E ?

Penyelesaian :

Dari gambar terlihat bahwa :

pada Y = 0 V = 200 Volt

Y = d V = 0 volt

Karena =0 , maka :

takonsBBCyV

takonsCCy

V

y

V

V

tan

tan

0

0

2

2

2

berdasarkan syarat batas :

1.....................200

2000

B

voltVy

voltyd

V

adalahVpersmaka

dC

didapatdanpersdari

BCy

voltVdy

200200

200

:21

2.................0

0

d

200 volt

Page 111: Medan elektromagnetik 2

untuk menentukan E digunakan hubungan :

mvolta

d

ydz

ay

ax

a

VE

y

zyx

ˆ200

200200

ˆˆˆ

3. Jika efek sisi diabaikan dan sumbu z diisolasi, carilah V dan E diantara

permukaan keping dalam gambar dibawah ini ?

Penyelesaian :

Karena potensial konstan terhadap r dan z , persamaan laplace menjadi

takonsBBAV

takonsAAV

V

d

Vd

r

tan

tan

0

01

2

2

2

2

Dengan syarat batas

1.........................0

00

00

B

BA

V

2..........400

400

BA

V

dari pers (1) dan (2) diperoleh :

400

400

A

A

V= 400 volt

Page 112: Medan elektromagnetik 2

sehingga persamaannya menjadi :

voltV400

untuk menentukan harga E digunakan hubungan :

mVa

r

za

ra

ra

VE

zr

ˆ400

400ˆ

1ˆˆ

4. Dalam koordinat bola V = 0 ; untuk r = 10 cm dan V = 95 Volt untuk r = 2 m.

Carilah V dan E diantara kedua permukaan bola tersebut .

Penyelesaian :

Syarat batas :

takonsBBr

CV

r

C

r

V

takonsCCr

Vr

tan

tan

2

2

0

01

0

:

295

1,0100

2

2

2

2

r

Vr

r

r

Vr

rr

V

adalahLaplacenyapersamaan

mrV

mcmrV

Page 113: Medan elektromagnetik 2

d

Y

X

Z

V=250 volt

V= 100

volt

v

2.............................2190

2

195

295

1............................100

1,0100

BC

BC

mrV

untuk

BC

mcmrV

untuk

dari pers (1) dan (2) didapat :

3..................................05,9

19021

1902

0202

11902

2010

C

C

CB

CB

CB

CB

substitusi pers (3) ke pers (1)

5,90

10

B

CB

maka persamaannya menjadi :

voltr

V 5,9005,9

untuk menentukan E gunakan hubungan :

mVar

rra

ra

ra

VE

r

r

ˆln05,9

5,9005,9

sin

1ˆˆ

5. Dua piringan seperti pada gambar dibawah ini dipisahkan sejauh 5 mm,

tentukan V dan E diantara piringan tesebut dengan menganggap ρ = 0

Page 114: Medan elektromagnetik 2

Syarat Batas :

dZvoltV

ZvoltV

250

0100

Persamaan laplacenya adalah ;

takonsBBAzV

takonsAAz

V

z

V

V

tan

tan

0

0

2

2

2

berdasarkan syarat batas

2.....................250

250

1...............................100

0100

0100

BdA

dZvoltV

B

BA

ZvoltV

dari pers (1) dan (2) diperoleh :

voltzd

V

maka

dA

100150

150

Untuk menentukan E gunakan hubungan :

mVa

d

zdz

ar

ar

a

VE

z

zr

ˆ150

100150

ˆ1

ˆˆ

Page 115: Medan elektromagnetik 2

DAFTAR PUSTAKA

1. Boas, Mary L. Mathematical Methads in The Physical Sciences. 1983, Jhon

Wiley & Sons. Inc

2. Edminister, Josep A. Theory And Problems Of Electromagnetics (Schaum

Series). 1984, Mc Graw – Hill. Inc

3. Feymen, Richard. The Feymen Lecturey on Physics Mainly

Electromagneticsm and Matter. 1966. Addis on-Wesly Publishing

Company.

4. Sadiku, Mathew N. O. Elements Of Electromagnetics. 1989, Saundres

College Publishing.

5. Spiegel, Murray R. Theory And Problems Of Vektor Analysis (Schaum

Series). 1959, Mc Graw- Hill. Inc