bab 5 penggunaan turunan.doc

Bab 5.Penggunaan Turunan

Bab V

Penggunaan Turunan

Pembahasan yang lalu telah memberi kita pengetahuan dan ketrampilan menentukan

turunan fungsi, rumus-rumus turunan dan aturan untuk turunan sebuah fungsi. Pengetahuan

dan ketrampilan ini akan kita aplikasikan di bab ini. Khususnya pada masalah maksimum

dan minimum fungsi dan menggambar grafik fungsi.

Di berbagai bidang seperti ilmu sains, teknik dan ekonomi, banyak problem yang menuntut

kita untuk menemukan beberapa syarat tertentu agar suatu besaran yang berubah mencapai

nilai maksimum atau minimum. Misalnya saja, seseorang yang akan membuat kolam segi

empat untuk pembibitan ikan koi. Tentu saja dihadapkan pada masalah bagaimana

membuat kolam dengan volume tertentu agar bibit ikannya dapat tumbuh optimal tapi

menggunakan bahan paling sedikit. Contoh lain, untuk masalah intensitas cahaya dua buah

lampu yang menerangi suatu benda, tentu akan dicari jarak tertentu antara kedua lampu

dengan obyek tersebut agar intensitas cahaya yang diterima obyek tersebut seimbang.

Halaman : 147


Produksi sebuah barang tertentu dalam bidang ekonomi misalnya. Bagaimana syarat-syarat

yang terkendalikan harus disesuaikan agar diperoleh keuntungan yang paling besar.

Jika kita anggap besaran yang berubah itu sebagai fungsi real, maka turunan fungsinya

dapat menentukan nilai maksimum atau minimumnya. Persoalan-persoalan sejenis juga

dapat lebih disederhanakan jika kita dapat membuat grafik fungsi yang lebih teliti. Banyak

informasi mengenai perilaku fungsi dapat diperoleh. Sekali lagi, grafik fungsi yang lebih

teliti dapat kita buat dengan memanfaatkan pengetahuan dan ketrampilan akan turunan

fungsi. Untuk melengkapi kegunaan turunan akan diberikan pula dua teorema untuk fungsi

kontinu pada suatu selang yang didasarkan pada konsep nilai maksimum atau minimum

fungsi.

5.1. Maksimum dan Minimum

Misalkan kita punya fungsi dengan daerah asal , ada tiga hal utama yang perlu

ditanyakan tentang nilai-nilai maksimum (atau minimum).

1. Apakah fungsi mempunyai nilai maksimum pada ?

2. Jika fungsi mempunyai nilai maksimum, di mana dicapainya pada /

3. Jika fungsi mempunyai nilai maksimum, berapakah nilainya?

Bagaimana menjawab pertanyaan tersebut merupakan inti dari pembahasan ini.

Definisi

Misalkan adalah daerah asal fungsi yang memuat titik .Kita katakan bahwa :

(i) adalah nilai maksimum fungsi pada jika untuk semua di

(ii) adalah nilai minimum fungsi pada jika untuk semua di

(iii) adalah nilai ekstrim pada jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum

Dimana terjadinya nilai-nilai ekstrim? Untuk menjawab pertanyaan ini, kita

perhatikan teorema berikut :

Teorema 1 (Titik kritis

Misalkan f terdefinisi pada selang I yang memuat titik c. Jika adalah nilai ekstrim,

maka haruslah suatu titik kritis, yakni berupa salah satu dari

(i). titik ujung interval I,

(ii) titik stasioner dari , artinya jika adalah sebuah titik dimana

, maka disebut titik stasioner

Halaman : 148


(iii) titik singular dari . Artinya jika adalah sebuah titik dimana

tidak ada, maka disebut titik singular.

Contoh 1. Cari titik-titik kritis dari pada

Peyelesaaian

Titik-titik ujung adalah dan . Untuk mencari titik stasioner , kita pecahkan

, sehingga diperoleh . Tidak terdapat titik-titik

singular. Jadi titik-titik kritis adalah .

Untuk menghitung nilai maksimum atau nilai minimum suatu fungsi kontinu pada

selang tertutup , prosedurnya sebagai berikut :

Langkah 1 carilah titik-titik kritis dari fungsi pada .

Langkah 2 hitunglah fungsi pada setiap titik kritis. Yang terbesar adalah nilai

maksimum; yang terkecil adalah nilai minimum

Contoh 3 Misalkan fungsi g yang daerah definisinya adalah selang [-3,3] dan aturan

pengawanan g(x)= -x2+3x+4. Titik-titik kritisnya adalah titik-titik batas x = -3, x = 3, nilai

fungsi di titik ujung selang adalah g(-3)= -14, g(3)= 4. Titik kritis yang lain adalah pada

saat g’(x)=0, yaitu x=3/2. Nilai fungsi di titik tersebut adalah g(3/2)=25/4. Jadi Nilai

tertinggi adalah 25/4 dan nilai terendah adalah -14.

Latihan

Dalam soal-soal berikut , tentukan titik-titik kritis dan carilah nilai maksimum dan nilai

minimum

Halaman : 149

gambar 5.5. Grafik fungsi g(x) = -x2+3x+4 untuk selang [-3,3]


1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. Carilah dua bilangan tak negatif yang jumlahnya 10 dan yang hasil kalinya maksimum.

5.2 Kemonotonan dan kecekungan

5.2.1 Kemonotonan suatu fungsi

Jika f suatu fungsi yang terdefinisi pada sebuah selang sembarang I (terbuka, tertutup,

setengah tutup), maka besarnya kenaikan f antara dua titik berbeda x1 dan x2 pada I

adalah sebuah bilangan:

Berdasarkan kenaikan sebuah fungsi di sebuah selang, maka f dikatakan:

(i). monoton naik (increasing) pada I jika dan hanya jika x1, x2 I, dan

.

(ii). monoton turun (decreasing) pada I jika dan hanya jika x1, x2 I, dan

.

(iii). monoton tak turun pada I jika dan hanya jika x1, x2 I, dan

.

(iv). monoton tak naik pada I jika dan hanya jika x1, x2 I, dan

.

(v). (Kasus khusus) f konstan pada I jika dan hanya jika x1, x2 I, dan

.

Jika salah satu sifat di atas dipenuhi oleh f, maka dikatakan f monoton pada I. Untuk

memperjelas setiap kasus di atas diberikan gambar grafik kurva yang memenuhi kasus (i)

sampai (iv).

Halaman : 150

y

x

Ix1

x2

f(x1)

f(x2)

f monoton naik pada I

0x

y

Ix1 x2

f(x2)

f(x1)

f monoton turun pada I

0

x

Ix1

x2

f(x1)

f(x2)

f monoton tak turun pada I

0

y

xIx

1

x2

f(x2)

f(x1)

f monoton tak naik pada I

0

gambar 5.1. Kemonotonan fungsi f pada selang I


Ingat kembali bahwa f suatu fungsi satu-satu pada I bilamana untuk setiap pasang x1, x2

I, x1 x2 f(x1) f(x2) (lihat penjelasan mengenai fungsi satu-satu di bab 2). Ini

berarti bahwa jika f monoton naik (naik murni) pada I maka f adalah fungsi satu-satu

pada I, demikian pula kalau f monoton turun (turun murni) pada I maka f adalah fungsi

satu-satu pada I (lihat gambar 5.1).

Perhatikan kembali bentuk rasio:

,

untuk x2>x1. Jika x2 = x1+h, untuk h menuju ke nol maka bentuk hubungan di atas menjadi

bentuk turunan fungsi di titik x1,

,

asalkan bentuk limit tersebut ada. Sehingga sifat kemonotonan fungsi untuk selang I dapat

lebih memperjelas apa yang kita sebut kemonotonan fungsi melalui turunan pertama fungsi.

Halaman : 151


Teorema 1

Misalkan f fungsi kontinu pada selang sembarang I dan f terturunkan pada setiap titik

dalam I.

(i) Jika , maka f monoton naik pada I.

(ii) Jika , maka f monoton turun pada I.

Pandanglah sebuah fungsi f yang dapat diturunkan pada suatu selang I, maka ada cara

sederhana untuk menentukan pada selang mana fungsi f naik atau turun. Interpretasi untuk

penjelasan ini dapat dilihat pada gambar 5.2.

(i) Jika fungsi f dapat diturunkan pada selang I, maka setiap titik pada grafik f dalam

I dapat dibuat (ada) garis singgung pada titik tersebut.

(ii) Pada bagian grafik yang naik, tanjakan garis singgung di suatu titik pada grafik f

positif (arah garis singgung menunjuk ke kanan atas), maka nilai fungsi dititik

berikutnya akan lebih besar dari nilai fungsi di titik sebelumnya, sehingga fungsi f

monoton naik. Sebaliknya dalam hal tanjakan garis singgung di suatu titik pada

grafik f negatif, maka nilai fungsi f monoton turun.

(iii) Oleh karena tanjakan garis singgung pada sebuah titik (x,f(x)) adalah f’(x), maka

dapat disimpulkan bahwa:

1. f naik apabila f’(x) > 0

2. f turun apabila f’(x) < 0

3. f stasioner apabila f’(x) = 0

Penjelasan di atas dapat disimpulkan untuk menguji kemonotonan fungsi pada sebuah

selang.

Uji kemonotonan fungsi

(i). Jika pada suatu selang I, maka grafik f monoton naik pada I

(ii). Jika pada suatu selang I, maka grafik f monoton turun pada I

Halaman : 152

xVariasi naik turun

Perilaku Grafik f

f

A

B

C

D

Tanjakan ( - )

x1 x2 x3 x4

y

Turun Pada selang [x1,x2]f’(x)<0

Turun Pada selang [x1,x2]f’(x)<0

0

Tanjakan 0

Tanjakan ( + )

Tanjakan 0

Tanjakan ( - )

Naik Pada selang [x1,x2]f’(x)>0

gambar 5.2. Perilaku fungsi dengan tanjakannya


Contoh 1 f(x) = x2-2x mempunyai tanjakan secara umum f’(x)=2x-2, untuk setiap x dalam

domain fungsi. Tanjakannya positif ketika x > 1 tapi menjadi negatif untuk x < 1. Jadi

fungsi monoton naik setelah x =1 dan monoton turun sebelum x =1.

Contoh 2 Untuk fungsi dengan aturan f(x)=x3-12x+3, turunan pertamanya adalah f’(x)=3x2-

12, untuk setiap x. Diperoleh selang-selang monotonnya adalah f monoton naik pada selang

(-,-2) dan (2, ) karena pada kedua selang tersebut kita peroleh f’(x)>0. Untuk selang

Halaman : 153

gambar 5.3. Grafik fungsi f(x)=x2-2x


(-2,2) diperoleh f’(x)<0, maka f monoton turun.

Soal-soal Latihan

Untuk soal 1 s/d 5 tentukan semua selang kemonotonan fungsi.

1. f(x) = x2-4x+2

2. f(x) = 2x-x2

3. f(x) = x3-1

4. f(x) = 2x3+9x2-13

5. f(x) = x4+4x

Untuk soal 6 s/d 8 tentukan titik-titik kritis dan selang kemonotonan fungsi, jika daerah

definisinya dibatasi pada selang [-5,8]. Kemudian tentukan nilai fungsi di titik-titik

kritisnya.

6. f(x) = x2+2x+9

7. f(x) = 3x2-6x+7

8. f(x) = x3+12x+3

9. Diketahui (t)=2 t5-15 t4+30 t3-6. Buktikan adalah fungsi yang monoton naik.

10. Diketahui f(x)=(x2-6x)/(x+1)2. Tentukan selang fungsi f naik dan turun. Tentukan titik

kritis fungsi dan nilai fungsi di titik kritis tersebut.

Halaman : 154

gambar 5.4. Grafik fungsi f(x)=x3 -12x+3


5.2.2 Titik balik

Turunan kedua sebuah fungsi juga dapat digunakan untuk menyelidiki kecekungan kurva

fungsi. Turunan kedua dari fungsi f didefinisikan sebagai

.

Uji kecekungan (Test for Concavity)

Misalkan f terturunkan dua kali pada interval terbuka I

(i). Jika , maka f cekung keatas pada setiap titik dalam

I.

(ii). Jika , maka f cekung kebawah pada setiap titik

dalam I.

Hubungan antara turunan pertama, turunan kedua dan kecekungan diperlihatkan pada

gambar di bawah ini.

Jadi untuk contoh 10 di atas terlihat kurva cekung ke atas dengan turunan kedua f”(x)

senantiasa positif.

Perubahan kemonotonan suatu fungsi kontinu menghasilkan titik ekstrim relatif pada

grafik fungsi. Sedangkan perubahan kecekungan suatu fungsi kontinu menghasilkan suatu

titik balik (point of inflection) bilamana di titik tersebut terdapat garis singgung pada grafik

fungsinya.

Definisi 3

Halaman : 155

Cekung keatas

0)(' xf 0)(' xf0)(" xf

0)(' xfCekung kebawah

0)(' xf

0)(" xfgambar 5.17. Hubungan antara turunan pertama, turunan kedua dan kecekungan


Misalkan f suatu fungsi kontinu yang terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat c.

Titik (c,f(c)) dinamakan titik balik dari fungsi f jika kedua syarat berikut dipenuhi:

(i) Terdapat garis singgung pada grafik f di titik (c,f(c)).

(ii) Terdapat perubahan kecekungan dari fungsi f di sekitar titik x = c.

Syarat adanya garis singgung pada fungsi f di titik baliknya tidak ekivalen dengan fungsi f

mempunyai turunan di x = c. Perubahan kecekungan yang dimaksudkan adalah apabila ada

selang terbuka (a,b) yang memuat c sehingga f cekung ke atas pada (a,c) dan cekung

ke bawah pada (c,b) atau sebaliknya. Garis singgung di titik balik akan melintasi grafik

fungsi f, lihat gambar 5.18.

Teorema 9

Misalkan f terdiferensial pada selang I , dan misalkan c sebuah titik dalam I dan

misalkan pula kontinu di c. Jika titik (c,f(c)) adalah titik balik dari grafik f maka

.

Kebalikan teorema tersebut tidak benar, artinya jika , belum tentu (c,f(c))

merupakan titik balik fungsi f. Sebaliknya, titik (c,f(c)) dapat merupakan titik balik grafik

f meskipun tidak ada.

Contoh 11 Tentukan titik-titik balik fungsi dan gambar grafiknya.

Karena bentuk fungsi f didefinisikan oleh ,maka dan

akan tetapi titik (0,0) bukan titik balik karena , ini berarti

bahwa grafik fungsi f cekung ke atas untuk setiap x 0.

Halaman : 156

titik balik

garis singgung

a c bgambar 5.18. Titik balik fungsi dan garis singgungnya

gambar 5.19. Grafik fungsi


Contoh 12 Tentukan titik-titik balik fungsi dan gambar grafiknya.

Jika q didefinisikan oleh , maka dalam bentuk tidak mengandung nilai mutlak:

turunan pertamanya:

Jadi =0 ada, sehingga di titik (0,0) grafik fungsi q mempunyai garis

singgung. Selanjutnya,

Jadi grafik fungsi q cekung ke atas untuk x>0 dan cekung ke bawah untuk x< 0.

Sehingga titik (0,0) merupakan titik balik fungsi q. Dalam kasus ini q”(0) tidak ada.

Halaman : 157gambar 5.20. Grafik fungsi


Contoh 13 Tentukan titik-titik balik fungsi dan gambar

grafiknya. Perhatikan bahwa:

jadi dapat ditulis:

dengan turunan pertama dan kedua masing-masing :

Dari turunan kedua dapat ditarik kesimpulan bahwa F cekung ke atas pada (0,2). Dari

persamaan fungsinya, jelas bahwa F kontinu di x = 2, sehingga titik (2,1) adalah titik

balik F. Perhatikan pula bahwa di titik balik tersebut, grafik F tidak memiliki garis

singgung. Karena pada turunan pertama diperoleh di titik x = 2, turunan kiri tidak sama

dengan turunan kanan. Jadi tidak ada garis singgung di titik (2,1).

5.2.2. Maksimum dan Minimum lokal

Perhatikan gambar 5.13, fungsi f terdefinisi pada (a,b), (f tidak terdefinisi pada ujung-

ujung interval a dan b), sehingga meskipun seolah-olah titik A titik terendah dan titik B

titik tertinggi, namun keduanya bukan titik minimum dan maksimum. Titik-titik P, R, dan

T merupakan titik-titik maksimum lokal dari fungsi f, dan f(x1), f(x3), dan f(x5) merupakan

nilai-nilai maksimum lokal f. Titik-titik Q, S, dan U merupakan titik-titik minimum lokal

dari fungsi f, dan f(x2), f(x4), dan f(x6) merupakan nilai-nilai minimum lokal f.

Halaman : 158

A

P

Q

R

S

T

U

B

a x1 x2 x3 x4 x5 x6 bx

gambar 5.13. Nilai maksimum dan minimum fungsi di selang buka (a,b)


Definisi 2 (ekstrim lokal/Relatif)

(i) f(a) dinamakan nilai maksimum lokal fungsi f di x = a bilamana terdapat

selang terbuka I yang memuat a, sehingga:

dan titik (a,f(a)) dinamakan titik maksimum lokal dari fungsi f.

(ii) f(a) dinamakan nilai minimum lokal fungsi f di x=a bilamana terdapat selang

terbuka I yang memuat a, sehingga:

dan titik (a,f(a)) dinamakan titik minimum lokal dari fungsi f.

(iii) adalah nilai ekstrim lokal fungsi jika ia berupa nilai maksimum lokal atau

minimum lokal

Di mana nilai –nilai ekstrim lokal terjadi ? .Teorema titik kritis berlaku sebagaimana

dinyatakan, dengan ungkapan nilai ekstrim diganti oleh nilai ekstrim lokal. Jadi titik-

titik kritis (titik ujung, titik stasioner, titik singular) adalah calon untuk titik tempat

kemungkinan terjadinya ekstrim lokal. Kita katakan cal;on karena kita tidak menuntut

bahwa setiap titik kritis harus merupakan ekstrim lokal.

Teorema 1

(Uji turunan Pertama untuk ekstrim lokal). Misalkan fungsi kontinu pada selang

terbuka yang memuat titik kritis .

(i) Jika untuk semua dalam dan untuk semua dalam

, maka adalah nilai maksimum lokal fungsi

(ii) Jika untuk semua dalam dan untuk semua dalam

, maka adalah nilai minimum lokal fungsi

(iii) Jika bertanda sama pada kedua pihak , maka bukan nilai ekstrim

lokal fungsi

Halaman : 159


Contoh 1. Cari nilai ekstrim lokal dari . Pada

Peyelesaian

Perhatikan fungsi diatas adalah fungsi polinom, jadi fungsi tersebut kontinu dimana-

mana. Kemudian ada untuk semua . Jadi satu-satunya titi kritis untuk

fungsi adalah penyelesaian tunggal dari , yakni .

Karena untuk semua , maka fungsi turun pada

Dan karena untuk , maka fungsi naik pada . Karena itu ,

menurut uji turunan pertama , maka adalah nilai minimum lokal. Karena 3

adalah satu-satunya titik kritis , maka tidak terdapat nilai ekstrim lain.

Contoh 2. Cari nilai ekstrim lokal dari pada

Penyelesaian

Perhatikan . Dengan , maka titik

kritisnya adalah -1 dan 3. Kemudian bisa dilihat bahwa pada selang

dan dan pada selang . Menurut uji turunan

pertama, kita simpulkan bahwa adalah nilai maksimum lokal dan bahwa

adalah nilai minimum lokal.

Contoh 3. Carilah nilai ekstrim lokal dari pada

Penyelesaian

Perhatikan , .

0 dan adalah titik kritis, karena dan tidak ada. Kemudian dapat

ditunjukkan bahwa pada selang dan pada selang ,

sedangkan pada selang . Menurut uji turunan pertama kita simpulkan

bahwa adalah nilai minimum lokal dan adalah nilai maksimum lokal.

Halaman : 160


Terdapat uji lain untuk maksimum lokal dan minimum lokal yang kadang-kadang

lebih mudah diterapkan daripada uji pertama. Uji tersebut menyangkut perhitungan turunan

kedua pada titik stasioner, tidak berlaku pada titik singular.

Teorema 2

Misalkan f’ dan f” ada pada tiap titik dalam selang buka (a,b) yang memuat c sedemikian

sehingga f’(c)=0.

i) jika f”(c)<0, maka f(c) adalah nilai maksimum lokal

ii) jika f”(c)>0, maka f(c) adalah nilai minimum lokal

Contoh . Diketahui f(x)=x2-6x+5 definisi dari fungsi f. Gunakan uji coba turunan kedua

untuk menentukan nilai ekstrim lokal.

Turunan pertama f”(x)=2x-6, maka titik kritisnya adalah x=3, selanjutnya dengan turunan

kedua f”(x)=2. Ini berarti nilai f di titik x=3, f(3)=-5 merupakan nilai minimum f.

Contoh . Tentukan maksimum lokal dan minimum lokal fungsi F yang didefinisikan oleh

F(x)=2x3-3x2-12x+5.

Turunan pertama F’(x)=6x2-6x-12, turunan kedua F”(x)=12x-6. Untuk titik kritis x=-1 diuji

dengan turunan kedua, diperoleh F”(-1)=-18 maka F(-1)=12 merupakan maksimum lokal

F. Untuk titik kritis x=2 diuji dengan turunan kedua, diperoleh F”(2)=18 maka F(2)=-15

minimum lokal F.

Soal-soal Latihan

Untuk soal 1 s/d 5 tentukan bilangan kritis dan nilai-nilai ekstrim untuk selang I .

1. f(x)=(x – 3)2, I=[0,5]

2. f(x)=(x – 3)3 + 4; I=[1,4]

3. g(x)= ¼ (2x3 – 3x2 – 12x + 8); I=[-3,4]

4. g(x)=(x + 1)4, I=[-2,1]

5. H(x)= x2 + ; I=(0,)

Halaman : 161


Untuk soal 6 s/d 8 tentukan bilangan kritis dan nilai-nilai ekstrim lokal.

6. f(x)=x3 – 3x2 + 2

7. g(x)= ¼ x4 + 1

8. h(t)=2 – (t – 1)2/3

9. Gunakan uji turunan pertama dan kedua untuk menentukan ekstrim lokal fungsi f

yang didefinisikan oleh i) f(x)=x2 (x-1)2 ii) f(x)=x3 (x-1)2

Tentukan eksrim mutlaknya jika ada.

5.2. Menggambar Grafik Fungsi

Menggambar grafik fungsi dapat dilakukan dengan menguji persamaan fungsinya, apakah

simetri terhadap sumbu-sumbu koordinat atau terhadap titik asal. Bila memungkinkan dapat

pula ditentukan titik potong dengan sumbu-x dan sumbu-y, walaupun hanya perkiraan saja.

Pengetahuan tentang daerah asal dan daerah nilai fungsi dapat membatasi grafik fungsi

pada sebuah daerah yang terbatas pada bidang. Langkah-langkah dasar yang dapat

ditempuh untuk menggambar grafik fungsi adalah

Tentukan daerah asal dan bila mungkin tentukan pula daerah nilai fungsi, serta

tentukan titik-titik (daerah) pada bidang yang tak memuat grafik fungsi.

Tentukan kemungkinan adanya sifat simetri fungsi terhadap sumbu-sumbu

koordinat atau terhadap titik asal.

Tentukan titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat.

Untuk memberi visualisasi grafik fungsi yang lebih teliti dan informasi mengenai perilaku

fungsi. Langkah-langkah yang dapat dilakukan adalah menentukan:

Selang naik atau turun suatu fungsi (kemonotonan);

Titik-titik di mana fungsi mencapai nilai maksimum atau minimum;

Titik balik (Infleksi) dari grafik fungsi (jika ada);

Asimtot-asimtot grafik fungsi dan lain sebagainya.

Contoh 10. Gambarkan grafik fungsi f yang didefinisikan oleh f(x)= x2 – 6x + 9.

Turunan pertamanya adalah f’(x)=2x-6, titik kritisnya adalah x=3. Fungsi naik di selang

(3,) dan turun (,3). Jadi f(3)=-18 adalah nilai minimum fungsi. Dari informasi ini kita

dapat menggambar grafik fungsinya sebagai berikut:

Halaman : 162


5.3.2. Asimptot untuk Grafik Fungsi

. Ada 3 jenis asimptot fungsi yaitu asimptot tegak, asmptot datar dan asimptot miring.

Apa yang akan kita bahas di sini hanya berupa pemanfaatan jenis asimptot tersebut

dihubungkan dengan penggunaan turunan untuk mendapatkan grafik fungsi yang lebih

teliti.

Contoh 14 Gambarkan grafik fungsi

Perhatikan bahwa fungsi ini dibagi oleh x–1. Sehingga x=1 adalah asimptot tegak, dimana

f(x) menjadi tak hingga (infinite). Bentuk turunan pertama dan keduanya adalah

f(x) dan f”(x) adalah positif untuk x>1.Tanjakan adalah nol pada x=0 dan x=2. Apa yang

terjadi untuk x? Pembagian x2 oleh x–1, membuat persamaan itu suku dengan pangkat

tertingginya adalah x. Nilai fungsi menjadi sangat besar. Jadi kita memperoleh pula

asimptot miring y=x+1.

Halaman : 163

gambar 5.16. Grafik fungsi f(x)= x2 – 6x + 9


Untuk x suku terakhir persamaan di atas menuju ke nol. Fungsi mendekati bentuk

asimptot y=x+1. Grafik fungsinya diperlihatkan pada gambar 5.21.

Contoh 15 Gambarkan grafik fungsi

Perhatikan bahwa fungsi mempunyai bentuk pembagi 1–x2. Sehingga asimptot-asimptot

tegaknya adalah x=-1 dan x=1. Turunan pertama dan keduanya adalah

Untuk x, fungsi akan menuju ke -1. Jadi asimptot datar dari fungsi adalah y=-1. Gambar

grafiknya ditunjukkan oleh gambar 5.22.

Halaman : 164




Soal-soal Latihan

I. Untuk soal nomor 1 sampai nomor 34, pada setiap fungsi yang diberikan, tentukanlah:

a. Semua titik kritis fungsi

b. Nilai ekstrim relatif dan jenisnya

c. Selang-selang dimana fungsi tersebut monoton naik atau turun

d. Selang-selang fungsi cekung ke atas dan cekung ke bawah

e. Titik-titik balik fungsi bila ada

f. Asimptot-asimptot fungsi jika ada

g. Sketsa grafik fungsi

1. 18.

2. 19.

3. 20.

4. 21.

5. 22.

6. 23.

7. 24.

8. 25.

9. 26.

10. 27.

11. 28.

Halaman : 165


12. 29.

13. 30.

14. 31.

15. 32.

16. 33.

17. 34.

II. Untuk soal nomor 35 sampai nomor 37, selidiki apakah titik (0,0) adalah titik balik

dari grafik fungsi berikut, kemudian gambar grafik fungsi tersebut untuk memeriksa

kebenarannya.

35. a. b.

36. a. b.

37. a. b.

38. Tentukanlah konstanta a, b, c dan d agar supaya grafik fungsi f yang didefinisikan

oleh mempunyai ekstrim relatif di titik (0,3) dan titik belok di

(1,-1).

39. Gambarkan sebuah grafik fungsi yang memiliki karakteristik berikut:

a. f kontinu dimana-mana

b. f(2) = 3

c. f’(2) = 0; f’(6) = 3; f’(x) > 0 , untuk x 2

d. f’’(6) = 0; f’’(x) > 0, untuk 2 < x < 6 dan f’’(x) < 0, untuk x > 6

40. Gambarkan sebuah grafik fungsi yang memiliki karakteristik berikut:

a. f kontinu dimana-mana

b. f(-4) = -3; f(0) = 0; f(3) = 2

c. f’(-4) = 0; f’(3) = 0; f’(x) > 0 untuk x<-4 dan -4< x < 3, f’(x) < 0 untuk x>3

d. f’’(-4) = 0; f’’(0) = 0 ; f’’(x) > 0, untuk -4 < x < 0 ; f’’(x) < 0, untuk

x < -4 dan x > 0.

Halaman : 166


5.3. Penggunaan Turunan dalam Sains dan Rekayasa

5.5.1. Laju Berhubungan (Related Rates)

Misalkan y adalah fungsi dari waktu t dengan persamaan y = f(t), yang dapat diturunkan

maka menyatakan laju perubahan y terhadap waktu t. Dalam hal y menyatakan jarak,

maka merupakan kecepatan. Akan tetapi banyak masalah yang memuat peubah-peubah

x dan y, dan hubungan diantaranya merupakan persamaan yang tidak memuat waktu t.

Sedangkan x dan y adalah fungsi-fungsi dari t yang tidak diketahui. Kerapkali mungkin

dalam persoalan demikian untuk menghitung dan yang merupakan laju

perubahan/kecepatan sesaat x dan y terhadap waktu tanpa menyatakan x atau y secara

eksplisit sebagai fungsi dari t, bila salah satunya diketahui. Permasalahan seperti ini yang

Halaman : 167


diselesaikan dengan turunan implisit, dikenal sebagai “laju berhubungan” dan dapat

diselesaikan sebagai berikut :

1. Tentukan semua persamaan yang menghubungkan besaran-besaran yang terlibat

didalamnya.

2. Tentukan turunan implisit dari kedua ruas persamaan terhadap peubah t.

3. Gunakan hasil dari langkah kedua untuk menentukan laju perubahan yang tidak

diketahui.

4. Tetapkan titik asal O, ambillah arah positif ke kanan/ke atas, dan arah negatif ke

kiri/ke bawah. Bila partikel bergerak ke kanan atau ke atas maka positif, dan bila

bergerak ke kiri atau ke bawah maka atau bertanda negatif.

Contoh 20 Sebuah tangga yang panjangnya 5 m bersandar pada dinding tegak, dan ujung

bawahnya terletak pada lantai datar. Jika pada saat ujung atas tangga berada 4 meter di

atas lantai, kecepatan meluncurnya adalah 3 meter/detik. Tentukan kecepatan meluncur

ujung tangga di lantai pada saat itu lihat gambar 5.32.

Misalkan y meter menyatakan jarak ujung tangga bagian atas ke lantai dan x meter

menyatakan jarak ujung tangga bagian bawah ke dinding. Akan dihitung pada saat y = 4

meter, bila diketahui = -3 meter/detik (tanda negatif menyatakan arah ujung tangga

meluncur kebawah).

Halaman : 168

dinding

Tangga5 m

dtdx

xlantai

4m

y

gambar 5.32. Tampak samping posisi tangga


Karena panjang tangga = 5 meter maka persamaan yang menghubungkan x dan y

(menggunakan Phytagoras) adalah : x2 + y2 = 25 ……………….(1)

Turunan implisit terhadap t dari kedua ruas adalah

atau …………………(2)

untuk y = 4 meter maka dari pers.(1) diperoleh meter.

Karena = -3 m/dt maka dari pers.(2) diperoleh : .

Kecepatan meluncurnya ujung tangga di lantai pada saat kecepatan meluncurnya ujung atas

tangga 3 m/s ketika berada 4 meter di atas lantai adalah = 4 m/s.

Contoh 21 Sebuah mobil patroli bergerak kearah barat dengan kecepatan 120 km/jam dan

melintasi pos penjagaan pada pukul 06 pagi. Lima belas menit kemudian, sebuah mobil

ambulance bergerak ke arah selatan melintasi pos penjagaan dengan kecepatan 100 km/jam.

Tentukan laju perpisahan (kecepatan bertambahnya jarak) dari kedua mobil tersebut pada

pukul 08.15 (gambar 5.33).

Misalkan t = menyatakan waktu (jam)

x = jarak mobil patroli dari pos setelah pukul 06.15

y = jarak mobil ambulance dari pos setelah pukul 06.15

s = jarak posisi kedua mobil tersebut pada setiap waktu t.

Halaman : 169

B

Patrolix km

y kms km

30 km

pos

Sgambar 5.33. Jarak terpendek dari dua mobil yang bergerak ke Barat dan Selatan


Akan dihitung pada saat t = 2 jam, bila diketahui = 120 km/jam dan = 100

km/jam. Persamaan yang menghubungkan x dan y (dengan Phytagoras) adalah

s2 = ( 30 + x )2 + y2 ………..(1) atau …………(2),

dalam hal ini x, y, dan s menyatakan jarak sehingga laju ( , dan ) masing-masing

menyatakan kecepatan. Dari persamaan (1) diturunkan secara implisit terhadap t pada

kedua ruas diperoleh:

atau …………(3)

Waktu antara pukul 06.15 sampai dengan 08.15 adalah 2 jam ( t = 2 jam), dan diketahui

= 120 km/jam dan = 100 km/jam. Sedangkan “jarak = kecepatan kali waktu”, sehingga

diperoleh y = 100 . 2 =200 km dan x = 200 . 2 = 400 km, dari persamaan (2) diperoleh

. Selanjutnya disubtitusi pada pers. (3), diperoleh:

336,006 = (30 + 400).120 + 200 . 100, berarti =

Laju perpisahan kedua mobil tersebut pada pukul 08.15 adalah = 155, 95 km/jam.

Contoh 22 Sebuah kerucut lingkaran tegak berjari-jari alas 4 cm dan tinggi 12 cm. Kerucut

tersebut diisi cairan dengan laju (debit) tetap 5 cm3/detik, gambar 5.34. Tentukan laju

(kecepatan) naiknya permukaan cairan dalam kerucut tersebut pada saat ketinggian

permukaan cairan 3 cm.

Halaman : 170

gambar 5.34. Ketinggian air dalam kerucut tegak

12 cm

h cm

r

4 cm


Perhatikan gambar 5.33. Misalkan:

h = h(t) = ketinggian permukaan cairan dalam kerucut pada saat t sembarang

r = r(t) = jari-jari permukaan cairan pada saat itu

V = volume cairan dalam kerucut

Volume cairan dalam kerucut adalah V = cm3 akan dihitung pada saat tinggi

cairan 3 cm, bila diketahui = 5 cm3/dt. Dalam hal ini ada 3 peubah yaitu V, r dan h dan

hubungannya dinyatakan dalam bentuk V = . ………(1).

Rumus perbandingan “Segitiga Thales” memberikan r : h = 4 : 12 yang menghasilkan :

r = …………(2)

sehingga pers. (1) menjadi V = …………….(3)

dengan h dan V merupakan fungsi implisit dari t dan pers. (3) berlaku untuk setiap t positif.

Jika pers. (3) diturunkan secara implisit terhadap t, diperoleh :

……….(4)

untuk h = 3 cm dan = 5 cm3/dt, diperoleh

cm3/dt.

Laju naiknya permukaan cairan dalam kerucut pada saat tinggi cairan 3 cm dari bidang

alasnya adalah = 1,6 cm3/dt.

Contoh 23 Volume sebuah limas bertambah dengan laju tetap sebesar 30 cm3/dt. Luas alas

bertambah dengan laju tetap sebesar 5 cm2/dt. Tentukan laju bertambahnya tinggi limas

pada saat luas alas 100 cm2 dan tingginya 8 cm.

Halaman : 171

h

T

gambar 5.35. Volume limas dengan tinggi h


Perhatikan gambar 5.34, misalkan h = tinggi limas, A = luas alas Limas, maka volume

limas

V = ………(1).

Jika = laju pertambahan tinggi limas, = laju pertambahan luas alas limas dan =

laju pertambahan volume limas .

Akan dicari pada saat A = 100 cm2, h = 8 cm; =30 cm3/dt dan = 5 cm2/dt.

Karena V = , kedua ruas diturunkan secara implisit terhadap waktu t, diperoleh

= ………..(2)

dengan mensubstitusi unsur-unsur yang diketahui ke persamaan (2) diperoleh :

30 = cm/dt.

Laju bertambahnya tinggi limas pada saat luas alas 100 cm2 dan tinggi 8 cm adalah = ½

cm/dt.

5.5.2. Penggunaan Turunan Pada Masalah Ekstrim

Banyak masalah dalam kejadian sehari-hari atau dalam sains, teknik, geometri dan ekonomi

menentukan penentuan nilai maksimum (atau minimum) mutlak dari suatu fungsi kontinu.

Halaman : 172


Dalam contoh-contoh berikut akan diperlihatkan bagaimana cara menerjemahkan problem

yang tersamar ke dalam suatu model matematika dan kemudian menentukan nilai

ekstrimnya.

Ringkasan langkah-langkah yang diperlukan adalah :

a) Amati persoalan yang dihadapi dengan cermat, kemudian tentukan besaran yang

mana (atau fungsi yang objektif) yang akan dimaksimumkan (atau diminimumkan).

Nyatakan besaran ini dengan suatu huruf. Selanjutnya nyatakan besaran ini sebagai

“fungsi dari hanya satu peubah”. Seringkali kita berhadapan dengan dua persamaan

yang terdiri atas tiga peubah, jika demikian halnya, eleminasikan salah satu peubah

untuk memperoleh suatu persamaan (atau fungsi objektif) dengan satu peubah bebas

saja.

b) Tentukan turunan fungsi objektif yang diperoleh dari langkah a) dan andaikan

turunannya sama dengan nol, untuk mendapatkan bilangan-bilangan kritis fungsi.

Penyelidikan jenis ekstrim dapat dilakukan dengan salah satu uji coba yang telah

dibahas pada subbab terdahulu.

c) Tentukan nilai maksimum (atau minimum) fungsi dengan membandingkan nilai

ekstrim lokal yang nilai-nilai fungsi pada ujung-ujung selang daerah definisi

fungsinya.

Contoh 24 Sehelai karton berbentuk bujursangkar dengan luas 81 cm2. Pada keempat

ujung-ujung karton tersebut digunting bujursangkar yang ukurannya sama. Selanjutnya

karton tersebut dilipat keatas sehingga diperoleh sebuah kotak tanpa tutup. Tentukan

volume dos yang paling besar yang dapat dibuat dari karton tersebut.

Perhatikan gambar

Halaman : 173

LUAS= 81 cm2

9 cm

9 cm

9 - 2x

9 - 2x

x

x x

9 - 2x 9 - 2x

x

Gambar 5.36. Kotak yang dibangun dari sebuah segiempat


Misalkan x = ukuran sisi bujur sangkar yang dibuang pada ke 4 ujung karton (lihat gambar

5.35) V = Volume kotak yang akan dimaksimumkan. Ukuran (atau sisi) kotak yang akan

kita buat adalah Panjang = 9 – 2x cm, Lebar = 9 – 2x cm, Tinggi = x cm, dengan 0 x

9/2 (mengapa ? ). Maka volume kotak adalah:

V(x) = (9 – 2x)(9 – 2x). x,

merupakan fungsi terhadap peubah bebas x.

atau V(x) = 4x3 – 36x2 + 81x; 0 x 9/2 …….. (1).

Syarat agar V mencapai maksimum adalah V’ (x) = 0 atau V’ (x) tidak ada.

Karena V’ (x) = 12x2 – 72x + 81 maka kita selesaikan persamaan V’ (x) = 0 yaitu

3 (4x2 – 24x + 27) = 0 3 (2x – 3) (2x – 9) = 0 …… (2).

Karena V’ (x) ada untuk semua x R, maka dari (2) diperoleh bilangan kritis V adalah

atau , keduanya berada dalam selang tertutup .

Karena V kontinu dalam selang tutup maka V mempunyai nilai maksimum mutlak

dalam selang . Nilai ekstrim V dicapai pada bilangan kritisnya atau pada ujung-ujung

interval daerah definisinya; yaitu untuk x = 0 ; ; atau , sehingga dari persamaan

(1) diperoleh

; ; dan .

Volume maksimum kotak yang dapat dibuat dari karton tersebut adalah

cm3.

Untuk menguji volume maksimum kotak ini, dapat dilakukan uji turunan kedua yaitu

V”(x) = – 72 + 24x , sehingga V”(3/2) = - 72 + 24(3/2) = - 36 < 0

Jadi cm3 merupakan volume maksimum kotak.

Halaman : 174


Contoh 25 Sebuah kebun berbentuk persegi panjang akan dipagari dengan kawat berduri.

Pada bagian pojok kebun terdapat tembok siku-siku sepanjang 4 m dan 2 m, sehingga

bagian tersebut tidak perlu dipagari (lihat gambar 5.37 bagian a). Tentukan luas maksimum

kebun yang dapat dipagari oleh 30 meter pagar kawat.

Misalkan ukuran kebun yang akan dipagari mempunyai Panjang = x, lebar = y (keduanya

dalam meter, lihat gambar 5.37 bagian b). Maka keliling kebun adalah

K = x + y + (x – 4) + (y – 2) K = 2x + 2y – 6 …. (1)

Karena hanya tersedia 30 meter pagar kawat

30 = 2x + 2y – 6 x + y = 18 atau y = 18 – x ………….(2)

Karena ukuran terkecil dari x adalah 4 meter, maka x 4 dan ukuran terkecil dari y adalah

2, maka y 2. Akibatnya 18 – x 2 x 16. Di sini diperoleh 4 x 16. fungsi yang

akan dimaksimumkan (atau fungsi objektif) adalah luas:

L = x . y ………… (3),

yang merupakan fungsi dari dua peubah bebas x dan y. Dengan mensubtitusi y dari

persamaan (2) ke dalam persamaan (3), diperoleh fungsi satu peubah x saja yaitu:

L (x) = x . (18 – x) ; 4 x 16 ……….(4)

Syarat L mencapai maksimum adalah L’(x) = 0 atau L’(x) tidak ada.

L’(x) = 18 – 2x maka L’(x) = 0 18 – 2x = 0.

Diperoleh bilangan kritis L adalah x = 9 yang termuat dalam selang [4,16]. Karena L’(x)

ada untuk semua x R, dan karena L kontinu dalam selang [4,16] maka L dijamin

mencapai maksimum mutlak dalam selang [4,16]. Luas maksimum ini akan dicapai pada

bilangan kritis x = 9 atau pada ujung-ujung interval x = 4 dan x = 16. dari persamaan (4)

diperoleh L(4) = 56 ; L(9) = 81 ; L(16) = 32.

Halaman : 175

Pagar (y – 2) m

Tembok 2m

Kebun

Tembok 4m

Gambar 5.37. Kebun segiempat sebelum dan sesudah dipagari kawat

Pagar (x meter)

KebunPagar

(y meter)

Pagar (x – 4) m

Tembok 2m

Tembok 4m


Luas maksimum kebun yang dapat dipagari adalah L(9) = 81 m2. untuk menguji luas

maksimum ini, dilakukan uji turunan kedua yaitu : L”(9) = -2 < 0. jadi terbukti bahwa

L(9) = 81 m2 merupakan luas maksimum kebun yang dapat dipagari bila hanya tersedia 30

meter kawat.

Beberapa masalah ekstrim lainnya dapat kita lihat pada soal-soal latihan.

5.5.3 Penggunaan Turunan Dalam Ekonomi

Di dalam ilmu ekonomi, variasi (perubahan) suatu besaran (peubah) terhadap besaran

lainnya dapat dinyatakan (diekspresikan) dalam konsep rata-rata dan marginal.

Definisi 4

Pandang suatu fungsi y = f(x), maka

(i) Fungsi rata-rata didefinisikan sebagai hasil bagi peubah y terhadap peubah x yaitu:

……….(1)

(ii) Fungsi marginal y’ didefinisikan sebagai diferensial yaitu tak lain dari turunan

pertama f (jika limitnya ada ) yaitu :

……….(2)

Antara fungsi rata-rata dan fungsi marginal y’ terdapat hubungan bahwa fungsi

mempunyai garis singgung mendatar maka di titik itu kedua fungsi dan y’ mempunyai

nilai yang sama, yaitu bilamana : maka = y’.

Di sini diperlihatkan mengapa hal tersebut terjadi.

bila

.

Halaman : 1760 x

y

x

y

R

S

T Q

P(x,y)y = f(x)

gambar 5.38. Grafik fungsi dengan fungsi rata-rata dan marginalnya


Perhatikan gambar 5.38 di atas yang merupakan definisi . Nilai di suatu titik P

ditunjukkan dengan tangen sudut yang dibuat garis OP dengan sumbu x positif, karena:

. Tampak bahwa garis singgung OR memberikan sudut terbesar

dan garis singgung OQ memberikan sudut terkecil, sehingga fungsi rata-rata di R

maksimum dan fungsi rata-rata Q minimum. Selanjutnya fungsi elastisitas E didefinisikan

sebagai hasil bagi antara fungsi marginal y’ dengan fungsi rata-rata yaitu: yang

dapat dituliskan sebagai:

………(3)

Fungsi elastisitas ini meskipun jarang digunakan dalam matematika namun merupakan hal

sangat penting dalam ekonomi. Grafik elastisitas ditunjukkan dalam gambar 5.39.

Sekarang kita akan definisikan fungsi biaya total, fungsi biaya rata-rata, dan fungsi biaya

marginal.

Halaman : 177

0 xC

D

Ax

y

P(x,y)

y

y = f(x)

gambar 5.39. Grafik dengan fungsi elastisitas


Definisi 5

Misalkan x menyatakan banyaknya unit (satuan) barang (komoditi) tertentu yang

diproduksi, maka:

(i) Biaya total untuk memproduksi x satuan barang atau pengeluaran total untuk

memproduksi x satuan barang itu dan dituliskan sebagai:

……….(4)

Fungsi c disebut fungsi biaya total (total cost function)

(ii) Biaya rata-rata, yaitu biaya rata-rata untuk memproduksi satu satuan barang yang

dituliskan sebagai:

……….(5)

Fungsi Q disebut fungsi biaya rata-rata (average cost function).

(iii) Biaya Marginal, yaitu biaya untuk memproduksi secara tambahan satu satuan barang

yang dituliskan sebagai:

………(6)

jika limitnya ada, fungsi c’ disebut biaya marginal (marginal cost funtion).

Contoh 26 Misalkan c(x) menyatakan biaya total dalam rupiah untuk memproduksi x

satuan pensil HB (x 10) dan c(x) ditentukan oleh:

maka fungsi biaya rata-rata tiap satuan pensil adalah:

a. Fungsi biaya marginal adalah: .

b. Misalkan dalam satu minggu diproduksi x=500 satuan pensil maka biaya marginalnya

adalah: .

c. Biaya untuk memproduksi pensil yang ke 501 (satu pensil lebih) adalah:

Halaman : 178


,

perhatikan bahwa jawaban b dan c terdapat perbedaan sebesar Rp. 0,0002 hal ini

disebabkan karena biaya marginal merupakan biaya perubahan sesaat dari c(x). Dalam

hal ini c’(500) merupakan biaya pendekatan untuk memproduksi pensil yang ke 501

(satu pensil lebih).

d. Untuk memproduksi 5 batang pensil lebih adalah kira-kira:

Selanjutnya akan didefinisikan biaya rata-rata marginal sebagai berikut:

Definisi 6

Misalkan Q(x) menyatakan banyaknya biaya dalam rupiah untuk memproduksi satu unit

dari x unit barang (komoditi) tertentu, maka biaya rata-rata marginal untuk x = x1

didefinisikan sebagai Q’(x1) asalkan turunannya di x1 ada dan Q’ disebut fungsi biaya

rata-rata marginal.

Perhatikan bahwa :

Selanjutnya turunan kedua adalah:

.

Bila Q’(x) = 0, maka xc’(x) – c(x) = 0,

sehingga

.

Dalam ekonomi x umumnya positif, sehingga tanda Q’’(x) sama dengan tanda c’’(x)

dengan demikian:

Q’(x) = 0 dan c’’(x) > 0 maka Q(x) mencapai minimum

Q’(x) = 0 dan c’’(x) < 0 maka Q(x) mencapai maksimum

Selanjunya grafik dari fungsi biaya total, fungsi biaya marginal, dan fungsi biaya rata-rata

masing-masing kita namakan TC, MC, dan AM. Perhatikan gambar 5.40.

1. Fungsi biaya total linier ,

Halaman : 179


m harus positif karena fungsi c monoton naik dan b harus positif. Biaya marginal

diberikan oleh adalah garis lurus yang sejajar sumbu x. Jika Q merupakan

fungsi biaya rata-rata, maka

dan fungsi biaya rata-rata marginal adalah:

merupakan hiperbola umum.

2. Fungsi biaya total kuadrat

Bentuk umumnya adalah , dengan dan positif. Biaya

marginalnya adalah .

Bilangan kritis untuk c adalah , di sini ada 2 kasus yaitu 0 dan < 0.

Kasus 0, adalah negatif atau 0. Ini berarti puncak parabola terletak di sebelah

kiri sumbu-y atau pada domain x yang negatif. Selanjutnya karena domain c harus

positif, maka sketsa dari TC untuk b > 0 ditunjukkan pada gambar 5.40 b.

Kasus < 0, positif maka puncak parabola terletak di kanan sumbu-y atau pada

domain x>0, dan domain dari c adalah , sketsa TC untuk b < 0 ditunjukkan

pada gambar 5.40 c.

Halaman : 180

0

b

x

y

AC

TC

m MC

AM

y

c

x

TC

ab

2

b

MC

y

c

x

TC

ab

2

b

MC

gambar 5.40. Grafik fungsi biaya, dan fungsi biaya marginal


Contoh 27 Misalkan c(x) adalah biaya total untuk memproduksi 100x unit produksi

dengan persamaan

.

Tentukanlah:

a. Fungsi biaya rata-rata

b. Fungsi biaya marginal

c. Fungsi biaya rata-rata marginal

d. Hitung nilai minimum absolut untuk biaya rata-rata dan buat sketsa grafik biaya total,

fungsi rata-rata, dan fungsi biaya rata-rata marginal dalam satu sistem sumbu.

Untuk keempat soal di atas mudah diberikan jawabannya

a. Fungsi biaya rata-rata adalah

b. Fungsi biaya marginal adalah

c. Fungsi biaya rata-rata marginal adalah

d. Untuk Q’(x) = 0, diperoleh sehingga bilangan kritis untuk Q adalah 4

dengan

maka Q mencapai minimum relatif yaitu 2 pada saat x = 4.

Karena x > 0 maka Q(x) kontinu pada (0,), dan hanya ada minimum relatif pada (0,)

yaitu dicapai pada x = 4. Maka disimpulkan bahwa Q mempunyai nilai minimum absolut

pada x = 4 dan 100x = 400, maka nilai minimum absolut untuk biaya rata-rata unit adalah

Rp. 4,-. Jika 400 unit diproduksi.

Sketsa grafik TC, MC, dan AC ditunjukkan pada gambar 5.41.

Halaman : 181

2)(' xxcMC

ACx

xxQ 82)( 21

82)( 221 xxxc

TC

Gambar 5.41. Grafik fungsi TC, MC dan AC

y


Fungsi Pendapatan, Fungsi Keuntungan dan Fungsi Pendapatan Marginal

Harga satuan barang yang dapat dijual adalah fungsi permintaan. Fungsi permintaan

tersebut kita namakan p. Jika ada x satuan barang dapat dijual maka p(x) adalah harga

satuan barang yang telah terjual tersebut. Misalkan x banyaknya barang tertentu yang

diproduksi dan dipasarkan, Fungsi permintaan (penerimaan) total R, nilainya adalah R(x),

kalau x satuan terjual. Jadi R(x) = x p(x) atau

.

Keuntungan P(x) jika x satuan barang telah diproduksi dan terjual adalah selisih antara

pendapatan total dengan biaya total, yaitu:

Pendapatan marginal adalah laju kenaikan pendapatan (penerimaan) tiap satuan kenaikan

dalam penjualan, dan dinotasikan sebagai R’(x); sedang p’(x) adalah harga marginal dan

P’(x) adalah keuntungan marginal. Selanjutnya jika kedua ruas diturunkan diperoleh:

Jadi keuntungan marginal = pendapatan marginal – biaya marginal.

Contoh 28 Fungsi permintaan untuk suatu komoditi tertentu diberikan oleh:

Halaman : 182


Tentukan fungsi permintaan, fungsi pendapatan total, fungsi pendapatan marginal, dan

sketsa grafiknya.

Jika fungsi permintaan , maka . Untuk p(x) 0 diperoleh:

- ; Fungsi keuntungan

- ; Fungsi pendapatan total

- ; fungsi pendapatan marginal

Jika R’(x) = 0, diperoleh: 24 – 3x = 0, maka x = 8. Sketsa ketiga grafik ditunjukkan pada

gambar 5.42 berikut.

Contoh 29 Diketahui p fungsi permintaan dan c fungsi biaya adalah:

dengan x menyatakan jumlah barang (unit). Tentukanlah nilai x1 yang memberi keuntungan

maksimum dan tentukanlah nilai penjualan maksimum. Tentukan pula pendapatan marginal

dan biaya marginal apabila yang diproduksi dan dijual adalah x1.

Karena , sedangkan

Halaman : 183

y

Gambar 5.42. Grafik fungsi penerimaan total, penerimaan marginal dari fungsi permintaan

x

Penerimaan total

Fungsi Permintaan

Penerimaan marginal

y


Maka

sehingga

Bilangan kritis untuk P adalah x = 975, maka keuntungan maksimum adalah P(975) = Rp.

1601250. Jadi x1 = 975. Pendapatan (penerimaan) marginal adalah

maka , sedangkan biaya marginal adalah .

Catatan

Keuntungan P menjadi maksimum bila terpenuhi kedua syarat:

(i) ataupun (ii) ataupun

Contoh 30 Diketahui suatu fungsi permintaan sebagai:

dengan menyatakan jumlah barang (unit).a. Tentukanlah fungsi pendapatan total dan fungsi pendapatan marginal

b. Pada selang manakah pendapatan total naik

c. Untuk nilai x manakah, pendapatan marginal mencapai maksimum

Penyelesaian :

a. Pendapatan total adalah : dan pendapatan marginal

adalah .

b. Pendapatan total R naik jika R’(x) > 0, yaitu

diperoleh: R naik pada selang 0 x < 10 (karena x 0).

c. Pendapatan marginal R’ mencapai maksimum jika R’’(x) = 0, yaitu

.

Halaman : 184


Jadi R’ mencapai maksimum pada saat x = 4 dan

R’(4) = 20 + (8)(4) – (42) = 36.

Soal-soal Latihan

Untuk soal 1 s/d 10 adalah soal untuk Laju berhubungan.

1. Sebuah pesawat terbang Garuda, terbang kearah selatan dengan laju 400 mil/jam. Pada

pukul 12.30 pesawat Garuda melintasi kota A. ada pesawat Merpati terbang pada

ketinggian yang sama kebarat dengan laju 500 mil/jam dan melintasi kota A pada pukul

13.00. tentukan laju perpisahan kedua persawat tersebut pada pukul 14.00. (Petunjuk :

andaikan t = 0 pada pukul 13.00).

2. Sebuah balon bundar berbentuk bola dipompa, tentukan kecepatan perubahan luas

permukaan (kulit) balon terhadap jari-jarinya pada saat jari-jari balon r = 5 cm.

(Petunjuk : Luas permukaan bola adalah k = 4r2, akan dicari pada saat r = 5 cm).

3. Sebuah segitiga siku-siku dengan sisi siku-sikunya adalah x dan y. Jika panjang sisi x

bertambah dengan laju 3 cm/dt, sedangkan panjang sisi y berkurang dengan laju 2

cm/dt, tentukanlah laju bertambahnya luas segitiga tersebut pada saat panjang sisi x =

10 cm dan sisi y = 13 cm. (Petunjuk : luas segitiga adalah L = , dimana L, x dan

y adalah fungsi dari waktu t.

4. Sebuah kerucut lingkaran tegak terbalik berjari-jari 10 cm dan tingginya 20 cm berisi

penuh air. Jika air keluar dari puncak kerucut dengan laju 5 cm3/dt, tentukan laju

turunnya permukaan air di dalam kerucut pada saat tinggi air 5 cm dari bidang atasnya

( Jawab: = - , lihat gambar 5.46 a).

5. Sebuah jembatan layang jalan raya bersilangan tegak lurus dengan rel kereta api pada

ketinggian 15 meter seperti terlihat pada gambar 5.46 b. Jika suatu saat lokomotif kereta

api melaju dengan kecepatan 54 km/jam tepat berada pada sebuah mobil yang melaju

dengan kecepatan 36 km/jam, tentukanlah kecepatan berpisah antara lokomotif kereta

api dan mobil setelah 8 detik.

Halaman : 185


6. Pertanyaan serupa soal no. 5 tetapi ketinggian antara jembatan layang dengan rel kereta

api adalah 25 meter, kecepatan lokomotif 72 km/jam dan kecepatan mobil 36 km/jam.

7. Sebuah tangga panjangnya 8 meter bersandar pada dinding tegak. Kaki tangga bergeser

horizontal menjauhi dinding dengan laju 2 meter/detik, tentukan laju menurunnya

puncak tangga di dinding pada saat jarak antara kaki tangga dan dinding 4 meter.

8. Sebuah bak air berbentuk balok tegak dengan panjang 8 meter, lebar 2 meter dan

tingginya 4 meter. Bak tersebut diisi air dengan kecepatan 2 m3/dt. Tentukan laju

naiknya permukaan air pada saat tinggi air 1 meter dari dasar bak.

9. Seorang anak bermain layang-layang pada saat tinggi layang-layang dari tanah 90

meter, sedangkan angin meniupnya dengan laju 5 m/dt secara horizontal. Pada saat ada

150 meter benang antara anak dan layang-layangnya, tentukanlah laju bergesernya

benang yang melalui tangan anak tersebut.

10. Sebuah partikel P bergerak sepanjang kurva y = , x 2. jika absis dari gerakan

partikel P bertambah dengan kecepatan 5 satuan/detik, tentukan kecepatan

bertambahnya ordinat P pada saat x = 3 satuan.

Halaman : 186

20 cm

h

r

10 cm

dtcm

dtdv 3

5

y

P

Ry

Jembatan

15m

x

S

BRel k.Api

a b

Gambar 5.46. Bangun kerucut (a) dan jembatan laying vs kerta api


Untuk soal 11 s/d 20 adalah soal untuk masalah nilai ekstrim

11. a) Jika hasil kali dua bilangan adalah 16, tentukan kedua bilangan tersebut agar

jumlahnya sekecil mungkin.

b). Tentukan dua buah bilangan yang jumlahnya 12, dan hasil kalinya paling besar.

(jawab 6 dan 6)

c). hasil kali dua buah bilangan adalah -12. tentukan kedua bilangan itu agar “jumlah

kuadratnya” minimum.

(jawab: )

12. Keliling sebuh persegi panjang adalah 40 meter. Tentukan ukuran persegi panjang

tersebut agar luasnya maksimum.

13. Dalam sebuah segitiga sama kaki yang alasnya a satuan dan tingginya h satuan dibuat

persegai panjang. Jika salah satu sisi persegi panjang berimpit dengan alas segitiga dan

kedua titik sudut lainnya terletak pada sisi segitiga. Tentukan ukuran persegi panjang

yang luasnya maksimum.

14. selembar aluminium yang berbentuk persegi panjang, dengan panjang 32 cm dan lebar

20 cm. pada ujung-ujungnya dipotong bujur-bujur sangkar yang ukurannya sama.

Aluminium yang tersisa dilipat ke atas sehingga membentuk sebuah kotak tanpa tutup.

Tentukan volume maksimum kotak aluminium tersebut.

15. Sepotong kawat yang pajangnya 10 meter akan dibuat lingkaran dan bujur sangkar

dengan cara membagi kawat atas dua bagian. Tentukan ukuran bentuk-bentuk tersebut

agar

a. jumlah luasnya maksimum

b. jumlah luasnya minimum

16. Sebuah cermin terdiri dari gabungan persegi panjang dan setengah lingkaran sehingga

garis tengahnya berimpit dengan sisi persegi panjangnya. Jika keliling cermin 6 meter,

tentukan ukuran cermin yang luasnya terbesar.

17. Rancanglah sebuah lapangan yang berbentuk persegi panjang dengan luas tertentu

(diketahui) yang memerlukan sedikit mungkin pagar.

18. Sebuah pabrik minuman mengemas 250 CC hasil produknya dalam bentuk tabung

tegak.

Halaman : 187


a. Tentukan ukuran tabung yang bahan pembuatannya minimum

b. Jika biaya pembuatan bidang alas dan atas Rp. 10 per cm2 dan bidang

sisinya Rp. 15 per cm2 Tentukan ukuran tabung yang biayanya semurah

mungkin.

19. Di dalam sebuah bola berjari-jari 2 meter akan dibuat sebuah tabung tegak yang

lingkaran alas dan atasnya terletak pada permukaan bola. Tentukan ukuran tabung agar

volumenya terbesar.

20. Tentukanlah:

(i) Tentukan jarak terdekat

a. dari titik (0,3) ke parabola x = y2

b. dari titik (4,5) ke lingkaran x2 + y2 = 4

c. dari titik (5,0) ke hiperbola x2 – 4y2 – 4 = 0

(ii) Tentukan ukuran persegi panjang terbesar yang semua titik sudutnya terletak

pada lingkaran x2 + y2 = 25.

(iii) Tentukan ukuran persegi panjang terbesar yang semua titik sudutnya terletak

pada elips x2 + 4y2 = 4.

Untuk soal 21 s/d 25 adalah soal yang berhubungan dengan penggunaan turunan dalam

ekonomi

Halaman : 188

r

2

t

gambar 5.47. Tabung dalam Bola


21. Misalkan adalah fungsi biaya total dengan x

merupakan banyaknya satuan yang diproduksi dan dipasarkan. Tentukanlah:

a. Biaya rata-rata tiap satuan dan biaya marginalnya.

b. Jika tiap minggu diproduksi dan dipasarkan x = 200 satuan, tentukanlah biaya

rata-rata tiap satuan dan biaya marginal untuk memproduksi dan memasarkan

satu satuan lebih.

22. Biaya total untuk memproduksi dan menjual 100x satuan barang tertentu adalah:

Tentukanlah: a. Ketinggian produksi yang membuat biaya marginal minimum

b. Minimum biaya marginal

23. Diketahui fungsi permintaan .

Tentukanlah:a. Banyaknya satuan x1 yang membuat pendapatan total minimum.

b. Maksimum pendapatan total.

c. Berapakah pendapatan marginal apabila terjual x1 satuan barang?

24. Seorang pedagang kain merasa bahwa ia dapat menjual tiap bulan 4000 yard tekstil

tertentu apabila ia menjualnya dengan harga $ 6 tiap yard. Penjualan bulan ini akan

naik dengan 250 yard apabila ia memberikan potongan harga $ 0,15 tiap yard. Tuliskan

persamaan untuk p(x) dan tentukan harga tiap yard yang menghasilkan pendapatan

yang maksimal.

25. Manager pabrik meramalkan bahwa ia dapat menjual 500 satuan hasil pabriknya tiap

minggu, jika harganya $ 20 tiap satuan. Penjualan mingguan akan naik dengan 50

satuan apabila ia memberikan potongan $ 0,50 tiap satuan. Biaya pembuatan dan

penjualan barang tersebut tiap minggu adalah: ,

tentukanlah :

a. Fungsi permintaan

b. Besarnya produksi mingguan yang dapat menghasilkan keuntungan maksimum.

c. Harga satuan barang pada tingkat maksimum produksi.

d. Harga marginal pada tingkat maksimum produksi.

Halaman : 189

bab 5 penggunaan turunan.doc

Documents