bab 12 -...
TRANSCRIPT
Bab 12Turunan Fungsi Dua Peubah
12.1 Fungsi Dua Peubah
Beberapa Jenis Fungsi
Berdasarkan range:
Fungsi bernilai skalar
Fungsi bernilai vektor
Berdasarkan peubah bebas:
Fungsi satu peubah
Fungsi dua peubah
Akan dipelajari fungsi bernilai skalar dengan dua peubah
Fungsi bernilai skalar dengan dua peubah, = , , adalah fungsi yang memadankan setiap pasangan terurut (, ) di bidang dengan tepat satubilangan .
dan disebut peubah bebas, sedangkan peubah tak bebas.
Himpunan disebut domain dari fungsi . Jika domain tidak diberikan, diambildomain asli, , yaitu semua himpunan semua (, ) di mana terdefinisi dan memberikan nilai real.
Range dari fungsi adalah himpunan nilai fungsi di domainnya.
Contoh:
1. , = 2 + 32
2. , = 2
3. , = tan1
4. , =2
2+(1)2
Fungsi Dua Peubah
Grafik Fungsi Dua Peubah
Grafik fungsi dua peubah merupakan permukaan di ruang.
Contoh: Sketsa grafik fungsi =1
336 92 42
Bidang horisontal = akan memotong grafik fungsi = , dalamsebuah kurva. Proyeksi kurva ini ke bidang disebut kurva ketinggian.
Koleksi dari kurva-kurva ketinggian disebut peta kontur.
Contoh: Gambarkan peta kontur dari fungsi =1
336 92 42.
Kurva Ketinggian dan Peta Kontur
Perpotongan Kurva Ketinggian
Suatu kurva ketinggian adalah proyeksi dari perpotongan bidang = dengan grafik permukaan fungsi = , .
1. Mungkinkah dua kurva ketinggian yang berbeda berpotongan?
2. Mungkinkah dua kurva ketinggian yang tidak berpotongan memilikikonstanta yang sama?
Fungsi Tiga Peubah
Fungsi tiga peubah, = , , , adalah fungsi yang memadankan setiappasangan terurut (, , ) di ruang dengan tepat satu bilangan .
Contoh:
1. , , = 2 + 2 + 2
2. , , = + 2
3. , , = 2 2
Kurva ketinggian dari fungsi tiga peubah , , merupakan permukaan , , = .
12.2 Turunan Parsial
Turunan Parsial
Misalkan adalah fungsi dua peubah.
Jika kita memilih = 0 (konstan), maka menjadi fungsi satu peubah dengan peubah bebas .
Fungsi ini dapat diturunkan terhadap dan dinamakan turunan parsial dari terhadap peubah , .
, 0 = lim0
+ , 0 , 0
Dengan cara yang serupa, diperoleh turunan parsial dari terhadap peubah , .
0, = lim0
0, + 0,
Contoh: Tentukan semua turunan parsial dari:
1. , = ln 2 + 2
2. , = 23 + 2
Notasi dan Interpretasi Geometri
Misalkan = , . Maka
, =
=
(,)
dan , =
=
(,)
0, 0 =
0,0dan 0, 0 =
0,0
Contoh: Misalkan adalah kurva yang merupakanperpotongan bidang = 3 dan permukaan =3 + 3 9 + 27. Tentukan persamaan garissinggung pada di titik (0, 3,0).
Turunan Parsial Kedua
Misalkan = , . Maka
=
=
2
2 =
=
2
=
=
2
=
=
2
2
Contoh: Tentukan semua turunan parsial kedua dari:
1. , = ln 2 + 2
2. , = 23 + 2
12.3 Limit dan Kekontinuan
Limit Fungsi Dua Peubah
Apakah arti lim(,)(,)
, = ?
Secara intuitif: nilai , akan semakin mendekati pada saat (, )mendekati (, ).
Definisi Limit Fungsi Dua Peubah
lim(,)(,)
, = bermakna untuk setiap > 0 terdapat > 0
sehingga 0 < , (, ) < , < .
Definisi Limit Fungsi Dua Peubah
lim(,)(,)
, = bermakna untuk setiap > 0 terdapat > 0
sehingga 0 < , (, ) < , < .
Definisi Limit Fungsi Dua Peubah
lim(,)(,)
, = bermakna untuk setiap > 0 terdapat > 0
sehingga 0 < , (, ) < , < .
Limit Polinom dan Fungsi Rasional
1. Jika (, ) adalah polinom, maka lim(,)(,)
, = , .
2. Jika , = ,
,adalah fungsi rasional, maka:
a. lim(,)(,)
, = , untuk lim(,)(,)
, 0
b. lim(,)(,)
, tidak ada untuk lim(,)(,)
, 0 dan
lim(,)(,)
, = 0.
Contoh: Tentukan limit berikut.
1. lim(,)(1,2)
3
(++1)2
2. lim(,)(1,2)
332+323
2
Menunjukkan Limit Tidak Ada
Bagaimana dengan
lim(,)(0,0)
22
2+2?
Contoh
Tentukan limit berikut.
1. lim(,)(0,0)
2+2
44
2. lim(,)(0,0)
(2+2)2
3. lim(,)(0,0)
2
4+2
Kekontinuan
, dikatakan kontinu di (, ) jika lim(,)(,)
, = (, ).
, dikatakan kontinu pada himpunan jika , kontinu di semuatitik anggota .
Contoh. Berikan himpunan terbesar sehingga , =1
1++kontinu di
.
Kekontinuan fungsi komposisiMisalkan , kontinu di (, ) dan kontinu di (, ). Maka f( , ) juga kontinu di (, ). Contoh. Jelaskan kekontinuan fungsi , = cos(3 32 + 32).
12.4 Diferensial
Turunan Fungsi Satu Peubah
= lim0
+ ()
memiliki turunan di jika memiliki garis singgung yang tidak vertikal di .
Garis singgung ini mengaproksimasi nilai fungsi di sekitar .
hampir linear di .
Linear Lokal
Fungsi satu peubah dikatakan linear lokal di jika terdapat konstanta sehingga + = + + ()
dengan () fungsi yang memenuhi lim0
() = 0.
Apakah ? + = + + ()
Apa makna lim0
() = 0?
linear lokal di jika dan hanya jika memiliki turunan di
Analog untuk fungsi dua peubah adalah
Fungsi dua peubah dikatakan linear lokal di 0 = , jika
0 + = 0 + 0 , 0 + ()
dengan = 1, 2 , = 1 1, 2 , 2 1, 2 dan lim0
() = 0.
Turunan Fungsi Dua Peubah
memiliki turunan di jika linear lokal di .
, disebut gradien dari di titik dan dinotasikan dengan( ).
memiliki turunan di jika dan hanya jika
+ = + ( ) + () dengan lim0
() = 0.
Kekontinuan, Keterdiferensialan, dan Bidang Singgung
Jika terdiferensialkan di 0maka
0 + = 0 + (0) + () dengan lim0
() = 0.
0 + 0 + (0)
Misalkan = 0 + , maka fungsi
= 0 + (0) ( 0)
merupakan hampiran yang baik untuk fungsi pada saat dekatdengan 0.
Karena merupakan suatu bidang, maka dinamakan bidangsinggung.
Jika (, ) memiliki turunan parsial , dan , yang kontinu pada daerah di
sekitar (, ) maka (, ) terdiferensialkan di (, ).
Contoh
1. Misalkan , = + 2.1. Tunjukkan terdiferensialkan di mana-mana.
2. Hitung gradien fungsi .
3. Tentukan persamaan bidang singgung dari permukaan z = , di titik(0,0).
2. Tentukan semua titik (, ) di mana bidang singgung terhadappermukaan = 3 horisontal.
Aturan Turunan
Operator gradien memiliki sifat:
1. + ( ) = + ( )
2. =
3. ( ) = ( ) + ( )
12.5 Turunan Berarahdan Gradien
Turunan Parsial dan Arah
( ) = , = lim0
+ , ,
= lim
0
+
( ) = , = lim0
, + ,
= lim
0
+
Jika vektor dan diperumum menjadi vektor satuan sebarang, makadiperoleh
( ) = ( ) = lim0
+
yang disebut turunan berarah dari di pada arah (jika limitnya ada).
Makna Geometris
Aplikasi
Menghitung Turunan Berarah
Misalkan memiliki turunan di .
+ = + ( ) + () dengan lim0
() = 0. +
= ( ) + ()
lim0
+
= lim
0( )
( ) = ( )
Contoh. Misalkan , = 42 + 32. Tentukan (2,1)(a) pada arah =< 4,3 >(b) pada arah menuju titik (5,3)
Contoh Lain
Adi sedang mendaki lereng Gunung Bromo. Bila Adi mendaki ke arahUtara, laju perubahan ketinggian adalah 0,7 m/detik; sedangkan bila iamendaki ke arah Barat, lajunya adalah 0,5 m/detik.
Tentukan laju perubahan ketinggian jika Adi bergerak ke arah Timur Laut.
Turunan Berarah Maksimum dan Minimum
( ) = = cos Kapan ( ) maksimum? Kapan ( ) minimum?
Suatu fungsi akan bertambah paling cepat di suatu titik pada arah yang searah gradien di titik tersebut dan berkurang paling cepat pada arah yang berlawanan dengan gradien di titik tersebut.
Contoh. Suhu pada titik (x,y) di suatu lempengan diberikan oleh , =42 + 32. Seekor serangga berada pada titik (1,2). Pada arahmanakah serangga tersebut harus bergerak agar penurunan suhunyaterbesar?
Turunan Berarah dan Kurva Ketinggian
Misalkan adalah kurva ketinggian dari fungsi = (, ) yang melewati titik (0, 0).
Misalkan pula adalah vektor singgung pada di titik .
Jika objek bergerak pada permukaan = (, ) di arah , maka objek tidak mengalami perubahan di arah . Akibatnya
0 = 0, 0 = 0, 0
atau tegak lurus dengan .
Contoh. Diberikan fungsi =2
4+ 2. Tentukan gradien di titik
(2,1), kemudian sketsa kurva ketinggian yang melewati titik(2,1) beserta gradien pada titik tersebut.
Contoh
12.6 Aturan Rantai
Aturan Rantai
Jika = () dan = (), maka
=
Untuk fungsi dua peubah = (, ), terdapat 2 jenis Aturan Rantai.
1. Jika = () dan = (), maka
=
+
2. Jika = (, ) dan = (, ), maka
=
+
dan
=
+
Contoh
1. Misalkan = 3 dengan = 2 dan = 2. Tentukan
.
2. Jari-jari alas suatu silinder adalah 10 cm dan tinggi 100 cm. Silindertersebut dipanaskan sehingga memuai dengan laju pertambahanjari-jari alas 0,2 cm/jam dan laju pertambahan tinggi 0,5 cm/jam. Tentukan laju pertambahan volume silinder tersebut.
3. Misalkan = 3 dengan = 2 + 7 dan = 5. Tentukan
dan
.
Penurunan Fungsi Implisit denganAturan RantaiMisalkan (, ) = 0 adalah fungsi satu peubah yang diekspresikansecara implisit.
Berarti, = dan = ().
Dengan menggunakan Aturan Rantai 1, turunkan (, ) = 0 terhadappeubah .
=
Penurunan Fungsi Implisit denganAturan Rantai (2)Misalkan (, , ) = 0 adalah fungsi dua peubah yang diekspresikansecara implisit.
Berarti, = , = , dan = (, ).
Dengan menggunakan Aturan Rantai 2, turunkan secara parsial(, , ) = 0 terhadap peubah dan .
=
dan
=
Contoh
1. Tentukan
dari 3 + 2 104 = 0.
2. Tentukan
dan
dari 3+ sin( ) = 0.
12.7 Bidang Singgung dan Aproksimasi
Bidang Singgung pada Permukaan = (, )
Misalkan = (, ) terdiferensialkan di 0 = (, ).
Maka = 0 + (0) ( 0) merupakan bidang singgung pada = (, ) di titik 0 = (, ).
Bidang Singgung pada Permukaan , , =
Pandang permukaan , , = .
Misalkan adalah kurva pada permukaan yang melewati titik 0, 0, 0 .
Jika persamaan parameter untuk kurva adalah = + +(), maka (), (), () = .
Dengan Aturan Rantai,
=
+
+
= 0.
= 0
Jadi, bidang singgung pada permukaan , , = di titik 0, 0, 0adalah bidang yang melalui titik 0, 0, 0 dengan vektor normal 0, 0, 0 , yaitu 0, 0, 0 0 + 0, 0, 0 0 + 0, 0, 0 0 = 0
Contoh
1. Tentukan persamaan bidang singgung pada permukaan 2 + 2 +22 = 23 di titik (1,2,3).
2. Tentukan persamaan bidang singgung pada permukaan = 2 +2 di titik (1,1,2).
3. Tentukan persamaan bidang singgung yang sejajar dengan bidang- pada = 2 2 2 8 + 4
Diferensial dan Aproksimasi
Bidang singgung pada permukaan , , = di titik 0, 0, 0 adalah 0, 0, 0 0 + 0, 0, 0 0 + 0, 0, 0 0 = 0
Jika = (, ) maka 0 = 0, 0 0 + 0, 0 0atau = 0, 0 + 0, 0 .
Contoh
1. Misalkan = 23 + 3. Tentukan dan pada saat (x,y) berubah dari (2,1) ke (2.03,0.98) .
2. Gunakan diferensial untuk menghampiri (3.9)(9.1)
12.8 Maksimum dan Minimum
Ekstrim GlobalMisalkan fungsi dengan domain dan 0 titik di .
1) ( 0) adalah nilai maksimum global dari pada jika ( 0) ( ) untuk setiap di .
2) ( 0) adalah nilai minimum global dari pada jika ( 0) ( ) untuk setiap di .
3) ( 0) adalah nilai ekstrim global dari pada jika ( 0) merupakan nilai maksimum atauminimum global.
Jika ketidaksamaan berlaku pada dengan merupakan daerah di sekitar 0, diperolehdefinisi ektrim lokal.
Eksistensi Titik Ekstrim
Nilai ektrim (baik global maupun lokal) tidak selalu ada.
Jika fungsi kontinu pada himpunan tertutup dan terbatas , maka memiliki nilaimaksimum dan minimum.
Misalkan fungsi dengan domain dan 0 titik di . Jika ( 0) adalah nilai ektrim, maka0 adalah titik kritis, yaitu salah satu dari:
1) titik batas dari , atau
2) titik stasioner dari , atau
3) titik singular dari .
Contoh. Carilah nilai maksimum dan minimum lokal dari , = 2 2 +2
4.
Uji Turunan Parsial Kedua
Misalkan 0 adalah titik stasioner dari fungsi dan memiliki turunanparsial kedua yang kontinu di sekitar 0. Jika
0 = 0 0 2( 0)
maka:
1) jika > 0 dan 0 < 0, maka 0 adalah nilai maksimumlokal,
2) jika > 0 dan 0 > 0, maka 0 adalah nilai minimum lokal,
3) jika < 0 maka 0 adalah titik pelana,
4) jika = 0 maka tidak ada kesimpulan.
Contoh
1. Tentukan titik ekstrim dari = 2
2+
2
2.
2. Tentukan titik pada 2 = 2 + 4 yang jaraknya paling dekat ke titik asal.
3. Tentukan titik esktrim dari , = 2 + 2 + 2
pada daerah = , |2 +2
4 1 .
12.9 Metoda Pelipat Lagrange
Masalah Ekstrim dengan Kendala
Dua jenis masalah ekstrim:
1. Masalah ektrim bebas
2. Masalah ekstrim dengan kendala
Metoda Pelipat Lagrange
Akan dicari nilai ekstrim dari fungsi (, ) dengan kendala , = 0.
Pandang kurva ketinggian , = dan kurva , =0.
Apa arti memaksimumkan dengan kendala , = 0?
Apa arti meminimumkan dengan kendala , = 0?
Di titik ektrim, kurva , = 0 menyinggung kurvaketinggian dari . Artinya, sejajar dengan .
, = , ,
dengan konstanta yang disebut pelipat Lagrange.
Titik yang memenuhi = merupakan titik kritis.
Contoh
1. Tentukan titik esktrim dari , = 2 + 2 + 2
pada kurva 2 +2
4= 1.
2. Tentukan titik pada 2 = 2 + 4 yang jaraknya paling dekat ke titikasal.
3. Harga bahan alas sebuah kotak Rp. 6,000/2 yang adalah tiga kali lipat harga bahan sisi-sisi lainnya. Jika dana yang tersedia untukmembuat kotak adalah Rp. 120,000, tentukan volume maksimumkotak yang dapat dibuat.