1.0 PARADOX ZENO

Menurut , Zeno merupakan seorang ahli Ahli falsafah dan ahli logikal. Beliau lahir di

Elea iaitu sebuah tanah jajahan Greek di selatan itali. Ahli sejarawan

membuat andaian bahawa Zeno lahir pada 490 s.m.

Zeno merupakan anak murid setia Parmedis. Sepanjang hidupnya,

beliau memainkan peranan penting dalam sejarah politik kota Elea. Beliau

juga ada mengarang beberapa buah buku yang dikarangnya pada usia muda,

tetapi kesemua buku-buku beliau sudah pupus dan tidak dapat dijumpai lagi.

Dalam buku ini, beliau banyak menerangkan tentang paradox-paradoxnya

iaitu seperti paradox dikotomi, paradox anak panah, paradox Archilies dengan

kura-kura serta paradox stadium.

1.1 Definisi

Menurut paradoks bermaksud sesuatu yang bertentangan dengan pendapat

yang diterima umum. Dengan kata lain, Paradoks merupakan sesuatu yang

dikatakan benar, tetapi sebenarnya tidak setelah dibuktikan dengan kajian

tertentu.

Paradoks Zeno merupakan satu set masalah falsafah yang dicipta oleh

seorang ahli falsafah Yunani yang bernama Zeno sekitar 490 S.M. ia

merupakan sebuah paradoks yang terkenal dalam sejarah Yunani dan juga

Matematik. Ianya terkenal kerana orang Yunani gagal menjelaskan paradoks

ini.

1.2 Paradox Dikotomi

Paradox ini dikenali sebagai dikotomi kerana ia melibatkan proses

membahagikan jarak kepada dua bahagian berulang-ulang kali.

Pembahagian ini dilakukan secara berterusan dan bersifat tak terhingga.

Menurut Zeno, pergerakan itu hanyalah ilusi. Beliau berpendapat begitu

kerana menyangka bahawa jika pergerakan objek itu boleh dibahagikan,

maka ia sebenarnya pergerakan itu tidak wujud.

1

Contoh 1: Hujah Zeno

Berikut merupakan situasi yang menerangkan paradox Dikotomi:

i. Sebelum pakcik ini boleh boleh tiba di bas yang pegun, dia mesti sampai separuh daripada jarak antara dia dengan bas tersebut.

ii. Selepas itu, dia perlu menghabiskan bahagian satu perdua yang pertama daripada jarak yang tinggal tadi dan sebagainya.

iii. Dengan kata lain, pakcik ini dikehendaki untuk berlari sebanyak satu perdua daripada jarak yang tinggal dahulu, kemudian satu perempat, seterusnya satu perlapan dan sebagainya.

iv. Oleh itu, terdapat langkah-langkah yang tidak terhingga yang perlu dilakukan oleh pakcik tersebut sebelum dia boleh mencapai bas.

v. Maka, Zeno akan menyimpulkan bahawa pakcik tersebut tidak mungkin berpeluang untuk mencapai bas yang pegun itu.

Contoh 2

i. Katakan seorang pakcik mahu menaiki sebuah bas dalam keadaan pegun.

ii. Sebelum dia boleh sampai ke sana, dia mesti sampai ke separuh daripada perjalanan tersebut.

iii. Sebelum dia boleh tiba ke separuh daripada perjalanan, dia mesti melalui satu perempat perjalanannya.

iv. Sebelum jarak perjalanan selama satu perempat dilakukan, dia mesti berjalan satu perlapan; sebelum satu perlapan, satu per enam belas; dan sebagainya

v. Zeno menyimpulkan bahawa keadaan ini menyebabkan seseorang perlu menyelesaikan tugas yang tidak terhingga, maka perjalanan pakcik tersebut juga tidak dapat dimulakan

Perbandingan Dengan Realiti

Dalam realiti kehidupan sebenar, kita akan dapat memulakan perjalanan kita

dan dapat menuju ke sesuatu destinasi dengan mudah. Prkara ini berlaku

tanpa perlu memikirkan bahawa ia merupakan satu tugas yang tidak

terhingga kerana kita mempunyai matlamat yang jelas. Hal ini akhirnya telah

2

12

18

14

dibuktikan melalui kewujudan kalkulus dengan konsep tentang limit atau

infiniti

Penyelesaian contoh 1

12+ 14+ 18+ 116…

Menggunakan rumus s∞ =

a

1−r1

a= ½ , r = ½

s∞ = 1/2

1−12

1

=1

Penyelesaian contoh 2

Katakan A=

12+ 14+ 18+ 116…

2A =1+12+ 14+ 18+ 116…

Maka 2A- A =¿) –( 12+ 14+ 18+ 116…)

A = 1

Intrepretasi daripada penyelesaian contoh 1 dan 2

3

Contoh 1

Apabila n semakin infiniti,

½

12+ 14=34

12+ 14+ 18=78

dan seterusnya juga semakin mendekati nilai 1. Jadi, pada

akhirnya pakcik berkenaan akan dapat menaiki bas pegun yang terletak di

nilai 1

Contoh 2

1+ 12+ 14+ 18+ 116…

1 ,12,12

2

,12

3

,12

4

,…

Apabila n semakin mendekati infiniti, nilainya akan semakin mendekati

nilai 0. Semakin besar n, perbezaan antara 1/2n dan 0 akan menjadi semakin

kecil. Pada akhirnya, pakcik berkenaan akan dapat memulakan perjalanannya

yang berada di titik mula bernilai 0.

• Konsep had dan infiniti dalam kalkulus dapat menerangkan hujah Zeno

seperti berikut:

Jika anda menambah bilangan nombor yang tak terhingga, maka anda

pasti akan mendapat infiniti tidak kira apa nombor-nombor tersebut.

• Walau bagaimanapun, kita telah berjaya membuktikan bahawa hujah ini

adalah tidak tepat apabila kita mengurangkan penambahan tak terhingga

kepada satu nilai had urutan.

Rumusan

Konsep had dan infiniti dalam kalkulus dapat menerangkan hujah Zeno

seperti berikut:

4

Jika anda menambah bilangan nombor yang tak terhingga, maka anda

pasti akan mendapat infiniti tidak kira apa nombor-nombor tersebut.

Walau bagaimanapun, kita telah berjaya membuktikan bahawa hujah ini

adalah tidak tepat apabila kita mengurangkan penambahan tak terhingga

kepada satu nilai had urutan.

2.0 PENGANGGARAN π DAN LUAS PERMUKAAN BULATAN ARCHIMEDES

2.1 Latar Belakang Archimedes

Menurut Dijksterhuis (1879), Archimedes adalah seorang ahli matematik, ahli

fizik, jurutera, ahli astronomi, dan ahli falsafah Yunani. Beliau dilahirkan di

bandar pelabuhan tanah jajahan Syracuse, Sicily, Itali.

Beliau juga dianggap sebagai salah seorang daripada ahli-ahli

matematik kuno yang terbilang dan terkenal. Tokoh matematik kuno yang

sama-sama terbilang sepertinya ialah seperti Sir Isaac Newton dan Ferdinand

Eisenstein.

Selain daripada sumbangan-sumbangan teori asasnya kepada matematik,

Archimedes juga membentuk bidang-bidang fizik dan kejuruteraan amali, dan

telah dirujuk sebagai "ahli sains yang teragung”. Beliau banyak menghasilkan

teori-teori dan rumus matematik yang terhasil sewaktu beliau menyelesaikan

masalah harian serta semasa menjadi ahli pemikir kerajaan bapa

saudaranya.

Rajah 1: Wajah Archimedes Dan Hasil Ciptaannya Yang Diabadikan

Pada Sekeping Stem

5

2.2 Penganggaran π

2.2.1 Apa Itu Pi?

Menurut , π atau disebaut sebagai Pimerupakan satu pemalar

matematik. Pi merupakan nisbah ukur lilit sebuah bulatan kepada

diameternya, cd

. Ia juga dikenali sebagai pemalar Archimedes dan

nombor Rudolph. Nilai bagi Pi (π ¿ ialah 3.14159.....

2.2.2 Kegunaan Pi

Pi digunakan untuk mengira beberapa rumus matematik seperti lilitan

bulatan, luas bulatan, luas permukaan sfera dan isipadu sfera.

2.2.3 Nilai Penghampiran Pi

Menurut Archimedes, Pi boleh dikira melalui nisbah antara lilitan

bulatan kepada diameter bulatan tersebut.beliau telah mendapatkan

nilai Pi bedasarkan pembuktian dengan melukis poligon yang lebih

besar daripada sebuah bulatan dan poligon yang lebih kecil dalam

bulatan tersebut.

Sebelum membuat penisbahan, beberapa langkah perlu

dijalankan seperti: a) Perimeter bulatan adalah lebih besar daripada perimeter poligon

yang dilakarkan di dalamnya.

b) Poligon di luar bulatan perlu menyentuh lilitan

Apabila membuat penisbahan, beberapa syarat perlu dipatuhi

terlebih dahulu. Syarat-syaratnya ialah:

a) Kedua-dua poligon adalah poligon sekata.

b) Jika pengiraan berdasarkan perimeter, diameter bulatan

sentiasa dikira sebagai 1 unit, tidak kira sama ada nombor yang

mewakili 1 inch, 1 cm, 1 kaki atau 1 tahun cahaya sekali pun.

6

c) Manakala jika pengiraan berdasarkan luas, jejari bulatan

sentiasa dikira sebagai 1 unit, tidak kira sama ada nombor yang

mewakili 1 inch, 1 cm, 1 kaki atau 1 tahun cahaya sekali pun.

Jika syarat-syarat yang diberikan diatas berjaya dipatuhi,

barulah boleh meneroka nilai Pi melalui perimeter atau luas.

2.2.4 Penerokaan Nilai Pi Melalui Perimeter

Contoh 1: poligon 6 sisi

Petunjuk:

Perimeter poligon dalam = 6(AB)

<BOA = 600

Mencari perimeter poligon di dalam bulatan

Segitiga AOB

Sin 300 = TH

Sin 300 = x1/2

X = ¼

Jika x = ¼

AB = 2x

= 2 (¼)

= ½

Jadi, perimeter poligon ialah:

6(AB) = 6 X ½

= 3 unit

Mencari perimeter poligon di luar bulatan

7

Segitiga COD

Tan 300 = Ts

Tan 300 = y1/2

Y = ½ Tan 300

= ½ (1/3)

= 0.288

CD = 2y

= 0.57735

Jadi, perimeter bagi poligon luar bulatan ialah:

6(CD) = 6 (0.57735)

= 3.4641 unit

Perbandingan perimeter heksagon luar dan dalam

3 < C < 3.4641

Jadual ringkasan perbandingan perimeter poligon luar dan dalam

2.2.5 Penerokaan Nilai Pi Melalui Luas Poligon

Petunjuk:

Perimeter poligon dalam = 6(AB)

<BOA = 600

Mencari luas poligon di dalam bulatan

8

Segitiga <OAM

Sin 300 = oH

Sin 300 = x1

X = ½

Sin 600 = z1

z = 0.866025403

luas < OAM = ½ x ½ x 0.866025403

= 0.21650635

Jadi luas poligon dalam ialah:

12 x 0.8660254035 = 2.598076

Mencari luas poligon di luar bulatan

Segitiga <OCN

Tan 600 = 1y

y = 0.577350269

luas <OCN = ½ x 1 x 0.557735269

= 0.288675134.

Jadi luas bagi poligon luar bulatan ialah:

12 x 0.288675134 = 3.464102 unit.

Perbandingan luas heksagon luar dan dalam

2.598076 < C < 3.464102

9

Jadual ringkasan perbandingan luas poligon luar dan dalam

2.2.6 Kesimpulan

Kesimpulan yang boleh dibuat melalui penerokaan-penerokaan nilai PI

melalui luas dan perimeter ialah semakin banyak sisi pologon, semakin

kecil jurang diantara kedua-dua poligon. Oleh yang demikian, nilai yang

diperolehi semakin baik dan menghampiri nilai Pi. Nilai Pi yang

biasanya dgunakan pada masa kini ilah 22/7 atau 3.1429.

2.3 Luas Permukaan Sesuatu Bulatan

Masalah untuk mencari luas bulatan merupakan cabaran yang besar dalam

matematik Pada masa kini, kita telah mengetahuai bahawa luas permukaan

bulatan ialah bedasarkan rumus

Namun begitu, bagaimanakah pada zaman dahulu Archimedes boleh

menghasil kan rumus berkenaan? Oleh yang demikian, sebagai bakal guru,

kita bukan sahaja harus tahu menggunakannnya tetapi harus juga tahu

bagaman rumus ini terbentuk

2.3.1 Bagaimana Archimedes Menemui Luas Permukaan Bulatan

A. Konsep Exhaustion

Kaedah exhaustion (kepenatan) ni merupakan teknik yang digunakan oleh

ahli matematik Greek Klasik untuk membuktikan sesuatu keputusan.Ia

bedasarkan pemikiran awal Integral calculus. Maklumat-maklumat seperti

ini dirujuk dari Kitab XII Elemen, maklumat yang boleh dirujuk dalam kitab

ini ialah maklumat yang berkaian dengan luas bulatan, tetrahedron, dan

sfera.

Dalam kaedah ini, Archimedes menyimpulkan bahawa luas bulatan

merupakah had luas maksimum poligon yang berada didalam bulatan.

10

Luas poligon yang berada didalam bulatan ini hendaklah dibuktikan

dengan bilangan sisi poligon sehingga infinity.

Luas poligon yang digunakan dengan sisi n (n-gon) yang dilukis didalam

bulatan yang hendak dikira luasnya. Luas poligon ini akan meningkat

menghampiri luas bulatan apabila nilai n meningkat. Perimeter poligon

juga akan semakin menghampiri perimeter bulatan apabila sisi poligon

meningkat.

B. Squaring The Circle

Squaring The Circle merupakan Satu kaedah dimana cara mencari luas

menggunakan percubaan luas poligon yang menyamai luas bulatan

dengan jejari tertentu

C. Cubaan Pertama - Segi Empat

Segiempat sama dilukis di dalam bulatan. Ini bermakna segi empat

tersebut adalah sepadan dan bucu menyentuh bulatan.

Berdasarkan gambarajah di atas:

AC = diameter kepada bulatan panjang AC = 2r.

Oleh kerana ABC merupakan segi tiga sama kaki, maka

panjang AB = BC.

Dengan menggunakan AC (2r) sebagai hipotenus, panjang AB dan BC

dapat ditentukan seperti berikut:

Jadikan AB = BC = a, maka nilai a dicari menggunakan teorem

Phytagoras:

a2 + a2 = (2r)2

2a2 = 4r2

11

a2 = 2r2

a = √2 r

Didapati panjang AB dan BC ialah √2 r

Luas segiempat, A ialah:

= panjang x lebar

= √2 r x √2 r= 2r2

Luas segi empat, A = 2r2

Walaubagaimanapun, ianya masih belum menghampiri luas bulatan yang

sebenar

D. Cubaan Kedua- Heksagon

Pada percubaan kedua, Archimedes telah menggantikan segi empat sama

dengan poligon sisi enam iaitu heksagon. Archimedes percaya bahawa

percubaan ini akan mendapat keputusan yang lebih baik berbanding

sebelumnya.

Untuk menentukan penghampiran luas bulatan dengan heksagon,

Archimedes telahmembahagikan heksagon kepada enam bahagian segi

tiga. Luas heksagon hanya boleh didapati setelah luas satu segi tiga

berjaya diperolehi.

Bedasarkan rajah, Panjang AB = r.

Pengiraan bagi menentukan tinggi satu segi tiga:

12

Jadikan tinggi sebagai h

h2+( r2)2

=r2

h2+ r4

2

=r2

h2=4 r2−r4

2

h2=3 r4

2

h=√ 3 r4 2❑

h=√3 r2

❑

Setelah mendapat nilai tinggi segi tiga iaitu

h=√3 r2

, maka luas heksagon di dalam bulatan dapat ditentukan:

luas heksagon, A

Gantikan h=√3 r2

ke persamaan:

¿6( 12×r× √3 r

2)

¿3√3 r22

¿2.59 r2

Jadi, luas hexsagon, A ¿2.59 r2

Setelah nilai yang diperolehi diteliti dengan mendalam, luas heksagon

adalah leih baik daripada luas segi empat sama. Walaupun begitu, nilai itu

masih jauh dari nilai luas bulatan yang sebenar.

E. Percubaan ketiga

13

Percubaan demi percubaan menambahkan sisi poligon, beliau cuba

menentukan luas bulatan menggunakan poligon dengan di mana bilangan

sisi poligon ditingkatkan sehingga menjadi sisi n

Maka luas bagi poligon sisi n adalan n kali luas satu segi tiga seperti

dibawah:

A=n (luas segitiga )=n 12hb

Apabila bilangan n-sisi bertambah,

A=n 12hb=1

2h (nb)

(n b) adalah perimeter poligon, dimana apabila n semakin meningkat, ia

menghampiri lilitan bulatan (circumference of the circle) iaitu 2πr .

Archimedes telah membuat pencerapan bahawa sekiranya poligon

tersebut mempunyai sisi n, maka setiap segitiga dikira sebagai 1n

daripada

lilitan bulatan. Selain itu, tinggi segi tiga , h, juga menghampiri jejari

bulatan, r

Semakin bertambah bilangan segitiga, luas poligon akan menghampiri dan

memenuhi luas bulatan. Sehubungan dengan itu, Archimedes telah dapat

menentukan luas bulatan seperti berikut:

A=12h (nb )=1

2r (2πr )=π r2

F kesimpulan

14

• Semakin bertambah nilai n-polygon semakin menghampiri nilai dan luas

poligon akan menghampiri luas bulatan jika jejarinya ialah 1, r=1

• Luas bulatan = luas segitiga bersudut tegak . Jika n meningkat sehingga

perimeternya menghampiri lilitan bulatan

15

RUJUKAN

Dijksterhuis E. J. (1987). Archimedes. Princeton: Percetakan Universiti Princeton,

Bertens. K. (1999) Sejarah filsafat Yunani : dari Thales ke Aristoteles.

Yogyakarta: Penerbit Kanisius

16