soal dan pembahasan kalkulus matematika lanjut schaum vektor integral garis integral permukaan dan...

Tugas MK. Matematika Lanjut

Semester Ganjil 2013/2014

Vektor, Integral Garis, Integral Permukaan dan Teori Integral

Oleh :

Nama : Aswad H. Mangalaeng

NIM : H11 112 276

Dosen : Prof. Dr. Moh. Ivan Azis, M.Sc

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Hasanuddin

Makassar

2013

7.46. Jika diketahui sebarang dua vektor A dan B, gambarkanlah secara geometri kesamaan

4A+3 (B-A)=A+3B

Jawab :

Dari gambar dapat dilihat bahwa 4 A + 3 (B - A) = A + 3 B

7.47. Tentukanlah sebuah vektor satuan dalam arah vektor resultan A=2i-j+k, B=i+j+2k, dan

C=3i-2j+4k.

Jawab:

Vektor resultan = A+B+C =6i -2j +7k

Vektor satuannya adalah

√

√

7.53. Hitunglah jika

Jawab:

(A+B) )+( )=

(A-B)= )-(

7.54. Buktikanlah konsistensi hukum cosinus untuk sebuah segitiga.

Jawab:

4 A

3 (B – A)

4 A + 3 (B – A)

A

3 B

A + 3B

Misalkan C=A-B, dan adalah sudut antara A dan B

=

| | | | …………………………………………………………..………..(1)

Karena | || | | | dan | || | maka persamaan (1) sama dengan

| | | | | | | || | (Terbukti)

7.55. Tentukanlah a sehingga dan saling tegak lurus.

Jawab:

Saling tegak lurus berarti =90 ,

7.56. Jika . Tentukanlah proyeksi dari

A+C dalam arah B.

Jawab:

Proyeksi skalar A+C dalam arah B adalah (

| |)

(

√ )

(

√ )

√

7.57. Sebuah segitiga memiliki puncak-puncak pada A(2,3,1), B(-1,1,2), C(1,-2,3). Tentukanlah

(a) panjang median yang ditarik dari B ke sisi AC dan (b) sudut lancip yang dibentuk median ini

dengan sisi BC.

Jawab:

a) Panjang median yang ditarik dari B ke sisi AC

Misalkan median yang ditarik dari B ke sisi AC adalah BD.

AC=C-A=(-1,-5,2)

BA=A-B=(3,2,-1)

CB=B-C=(-2,3,-1)

| | | | √

| | | | √

| | | | √

Karena | | | | √ maka segitiga ABC adalah segitiga sama sisi, dimana | | adalah

tinggi segitiga ABC yang tegak lurus terhadap sisi AC sehingga | |

| | dan sudut

BDC=90 sehingga segitiga BDC adalah segitiga siku-siku.

Dengan menggunakan Theorema Phytagoras, maka | | √| | | |

√ √ (√

)

√

√

(b) sudut lancip yang dibentuk median ini dengan sisi BC

Karena telah diperoleh dari (a) bahwa Segitiga BDC adalah segitiga siku-siku, maka dengan

menggunakan hukum cosinus :

| | | | | | | || |

| | | | | |

| || |

√

√

(√ )

(√ ) ( √ )

√

√

√

7.58. Buktikanlah bahwa diagonal-diagonal dari sebuah belah ketupat adalah tegak lurus satu

sama lain.

Jawab:

Misal segiempat KLMN belah ketupat, maka KLMN jajaran genjang. Karena KLMN jajaran

genjang, maka KL = MN dan KN = LM. Sedangkan KLN adalah segitiga sama kaki dengan KL

= KN, maka dapat disimpulkan KL =MN = LM = KN artinya sisi-sisi suatu belah ketupat

berukuran sama atau sama panjang, sehingga apabila kita membuat garis lurus dari K ke M dan

dari L ke N yang berpotongan di O, maka dapat disimpulkan KO = LO = MO = NO dan sudut

KOL = sudut LOM = sudut MON = sudut KON =

, sehingga KO tegak lurus terhadap

LN, LO tegak lurus terhadap KM, MO tegak lurus terhadap LN, dan NO tegak lurus terhadap

KM, ini artinya diagonal-diagonal belah ketupat dalam hal ini KM dan LN saling tegak lurus

satu sama lain.

7.59. Buktikanlah bahwa vektor (AB+BA)/(A+B) merepresentasikan bisector dari sudut antara A

dan B.

Jawab:

7.60. Jika A=2i-j+k dan B=i+2j-3k, tentukanlah .

Jawab:

K L

M N

O

| | ||

||

| |

√

√

√

√

7.63. Tentukanlah luas segitiga dengan titik-titik puncak (2,-3,1), (1,-1,2), (-1,2,3).

Jawab:

Misalkan A=(2,-3,1), B=(1,-1,2), dan C=(-1,2,3)

( )

( )

Luas Segitiga

| |

||

||

‖ ‖

√

√

7.65. Jika A=2i+j-3k, B=i-2j+k, dan C=-i+j-4k, tentukanlah (a) (b) (c)

(d)

Jawab:

(a)

=

= 20

(b)

(c)

j

(d)

7.67. Tentukanlah persamaan untuk bidang yang melewati (2,-1,-2), (-1,2,-3), (4,1,0).

Jawab:

Misalkan ketiga titik puncak tersebut berturut-turut adalah A, B, dan C

Misalkan dan

|

| |

| |

|

tegak lurus terhadap dan sehingga tegak lurus pula terhadap bidang dimana kedua

vektor tersebut berada. Bidang yang melalui titik (2,-1,-2) dengan garis normal

mempunyai persamaan :

7.69. Buktikanlah bahwa

Jawab:

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

( )

}

(Terbukti)

7.70. Sebuah partikel bergerak disepanjang kurva ruang .

Tentukanlah besar (a) kecepatan dan (b) percepatan pada sebarang waktu t.

Jawab:

a) Kecepatan

Besar kecepatan pada sebarang waktu t adalah

| |

√

√

√

√

√

√ √

b) Percepatan

Besar percepatan pada sebarang waktu t adalah | |

√

√

√

√

√ √

7.74. Jika dan tentukanlah (a)

dan (b) pada titik (1,-1,2).

Jawab:

(a)

pada titik (1,-1,2)

|

| ( ) ( ) ( )

(( ) ( ) ( ) )

( )

Pada titik (1,-1,2) = (2(-1)(2))i+(3

(b) |( )| pada titik (1,-1,2)

|

| ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

|( )| | |

|( )| pada titik (1,-1,2) ( )

7.75. Jika , tentukanlah pada titik (2,1,-2).

Jawab:

Dititik (2,1,-2)

=

7.76. Jika U,V,A,B memiliki turunan-turunan parsial kontinu, buktikanlah bahwa:

(a)

Jawab:

(a)

(

) (

)

(b)

( )

(

)

(

)

(Terbukti)

(

) ( )

||

||

(

) (

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

) (

) (

)

(

) (

)

(

)

((

) (

) (

) )

((

) (

)

(

) )

(

) (

)

(Kontradiksi/Tidak Terbukti)

7.81. Tentukanlah sebuah satuan normal terhadap permukaan pada

titik (2,1,-1).

Jawab:

Sebuah vektor normal terhadap permukaan adalah

pada titik (2,1,-1)

Vektor satuan normal terhadap permukaan pada titik (2,1,-1) adalah

√

√

√

√

7.85. Nyatakanlah (a) grad (b) div A, (c) dalam koordinat-koordinat sferis.

Jawab:

Dalam koordinat-koordinat sferis dan

(a) grad

(b) div A

div A

(c)

= Laplacian dari

[

(

)

(

)

(

)]

10.35 Hitunglah disepanjang (a) parabola , (b) garis lurus, (c)

garis lurus dari (1,1) ke (1,2) dan kemudian ke (4,2), (d) kurva

Jawab:

(a) parabola

Pada parabola , integral garis tersebut sama dengan

=

=

=

= ) )

=

=

(b) garis lurus

Garis lurus pasti berbentuk

Pada titik (1,1) persamaan garis lurus tersebut menjadi ………..…………...………(1)

Pada titik (4,2) persamaan garis lurus tersebut menjadi ……………………………(2)

Dengan mengeliminasi persamaan (1) dan (2), diperoleh , sehingga persamaan

garis lurusnya adalah dan . Dengan demikian, integral garis tersebut sama

dengan

=

=

=

=

=

= 11

(c) garis lurus dari (1,1) ke (1,2) dan kemudian ke (4,2)

Sepanjang garis lurus dari (1,1) ke (1,2), dan integral garis tersebut sama dengan

Sepanjang garis lurus dari (1,2) ke (4,2), dan integral garis tersebut sama dengan

Dengan demikian, nilai yang dicari adalah

(d) kurva

Karena pada (1,1), pada (4,2), integral garis

tersebut sama dengan

10.36 Hitunglah disepanjang keliling segitiga dalam

bidang dengan titik-titik sudut (0,0), (3,0), (3,2) yang dilintasi dalam arah berlawanan arah

jarum jam.

Jawab:

Dari (0,0) ke (3,0), dan integral garis tersebut sama dengan

∫ [ ]

( ) ( )

Dari (3,0) ke (3,2), dan integral garis tersebut sama dengan

∫ *

+

(

) (

)

Dari (3,2) ke (0,0),

dan integral garis tersebut sama dengan

∫ (

) ( (

) )

∫ (

)

∫ (

)

[

]

(

) (

)

Dengan demikian nilai yang dicari adalah

10.37 Hitunglah , dimana C adalah kurva dalam bidang jika diketahui

dan s adalah parameter panjang busur, dari titik (3,4) ke (4,3) disepanjang lintasan

terpendek.

Jawab:

Karena = , maka

diperoleh

10.42 Periksalah berlakunya Teorema Green dalam bidang untuk

dimana C adalah kotak dengan titik-titik sudut (0,0), (2,0),

(2,2), (0,2) dan memiiki orientasi berlawanan arah jarum jam.

Jawab:

Dengan menggunakan Teorema Green dimana dan . Maka

∮ ∬ (

)

∬ ( ( )

( )

)

∬

∫ ∫

∫ [ ]

∫

[ ]

10.47 Periksalah berlakunya Teorema Green dalam bidang untuk ∮ ( )

,

dimana C adalah batas dari daerah yang dibatasi oleh lingkaran dan

Jawab:

Dengan menggunakan Teorema Green dimana P = ( ) dan Q = . Maka

∮ ∬ (

)

∬ ( ( )

( )

)

∬ ( )

, atau dalam koordinat polar

∫ ∫

∫

10.53 Tentukanlah luas permukaan dari bidang yang terpotong oleh

Jawab:

√

√ (

)

a)

∫ ∫

∫ *

+

∫

*

+

(b)

∬

atau dalam koordinat polar

∫ ∫

∫ *

+

∫

[ ]

10.55 Tentukanlah luas permukaan kerucut yang terpotong oleh paraboloida

.

Jawab:

( ) √

√

√

√

√(

√ )

(

√ )

√

√

Perpotongan dan adalah dan (√ √ ),

sehingga Luas Permukaan kerucut yang terpotong oleh paraboloida

adalah

∫ ∫ (√

)√

√

∫ ∫ (√

)

√

√

∫ ∫ √

√

∫ [ ] √

√

∫ √ √

[ √ ]

√

10.60 Periksalah berlakunya Teorema Divergensi untuk A= untuk

daerah yang dibatasi oleh

Jawab:

Permukaan : n=i, x=3. Maka

∬

∫ ∫

∫

Permukaan : n=-i, x=0. Maka

∬

∫ ∫

∫

Permukaan : n=j, y=3. Maka

∬

∫ ∫

Permukaan : n= -j, y=0. Maka

∬

∫ ∫

Permukaan : n=k, z=6. Maka

∬

∫ ∫

Permukaan : n=-k, z=0. Maka

∬

∫ ∫

Maka ∬

∭

∫ ∫ ∫

10.61 Hitunglah ∬

dimana dan S adalah permukaan daerah

yang dibatasi oleh dan bidang .

Jawab:

Permukaan : n=i, x=3. Maka

∬

∫ ∫ ( )

∫ ( )

Permukaan : n=-i, x=0. Maka

∬

∫ ∫ ( )

∫

Permukaan : n=j, y=2. Maka

∬

∫ ∫

Permukaan : n= -j, y=0. Maka

∬

∫ ∫ (( ) )

Permukaan : n=k, z=4. Maka

∬

∫ ∫

Permukaan : n=-k, z=0. Maka

∬

∫ ∫ ( )

Maka ∬

.