penghampiran pi archimides

PENGHAMPIRAN ARCHIMEDES

Disediakan oleh :ABDUL HALIM BIN ROSELI

MOHAMAD AYUB BIN MOHD NOORMUHAMMAD SYAFAAT BIN MUHAMMAD NASIR

KENALI ARCHIMEDES 287 S.M – 212 S.M (65 tahun) di

Syracuse, Sicily (Italy). Tokoh terkenal dalam ilmu Matematik,

Fizik, Mekanikal dan Astronomi.

Terima kasih atas

sumbangan

Archimedes’ Screw

Claw of Archimede

s

Prinsip Archimede

s

Penghampiran nilai pi

Penentuan luas

bulatan

PENGHAMPIRAN OLEH ARCHIMEDES Pi ( Π , π ) Merupakan huruf ke-16 dalam sistem

aksara Greek.

Pi adalah konstan iaitu 22/7. Nilainya ialah nisbah lilitan sebuah

bulatan kepada diameternya.

FORMULA YANG DIGUNAKAN Theorem

Pythagoras

c ² = a ² + b ²

• Angle bisektor

BD:CD=BA:AC

• Petua Sinus

a

c

b

ca

b

a

Sin A=

b

Sin B=

c

Sin C

Cara Archimedes menentukan nilai π Panjang lilitan dan

diameter dikaitkan dengan formula, C = πd.

Jika diameter = 1, penghampiran archimedes bagi panjang lilitan menghasilkan penghampiran bagi π.

Idea Archimedes menggunakan poligon terterap lilit (circumscribed polygon) dan poligon terterap dalam (inscribed polygon).

Pertamanya, Archimedes mengatakan bahawa kawasan luar bulatan bulatan adalah lebih besar daripada kawasan poligon yang dilakarkan di dalam. Dalam rajah di bawah, heksagon sekata telah dilakarkan di dalam.

Untuk mencari nilai pi, archimedes mengambil poligon bersisi enam (heksagon sekata) sebagai eksperimen awal. Heksagon awal terdiri daripada enam buah segi tiga sama sisi.

Maka, kita keluarkan satu bahagian daripada segitiga tersebut.

Daripada rajah 5 di atas, kita dapat mengetahui bahawa OCB ialah segitiga bersudut tegak. Kita juga tahu bahawa OB=OD=BD kerana segi tga OBD ialah segi tiga sama kaki. BD kita wakilkan sebagai L. Jadi, BC=CD iaitu 2. 𝐿

Katakan Li ialah poligon dalaman (inscribed polygon), Maka, ungkapannya boleh jadi seperti berikut:

Seterusnya, Archimedes turut melakar heksagon di luar bulatan (circumscribed polygon) dan membuat pengiraan luas heksagon tersebut.

Sama juga seperti poligon dalaman, kita juga akan mengeluarkan satu bahagian daripada poligon luaran.

Kemudian, kita katakan pula sebagai 𝐿𝑐poligon luaran (circumscribed polygon), maka ungkapannya seperti berikut:

Maka, daripada kedua-dua persamaan ini, kita dapat menyimpulkan bahawa

Dimana,

Setelah mendapatkan formula ini, kita akan mengambil heksagon sebagai poligon percubaan yang pertama

Berdasarkan hasil yang diperolehi dengan menggunakan poligon heksagon, maka kita bahawa nilai 𝜋ialah di antara 3.0 hingga 3.464.

Untuk meneruskan pencarian Archimedes menggunakan poligon dengan sisi yang lebih banyak iaitu poligon bersisi 12,24,48 dan 96.

Kesemua dapatan direkodkan dalam jadual di bawah.

Archimedes menentukan bahawa nilai π kurang daripada 22/7 tetapi lebih besar daripada 223/71.

Nilai ini bersamaan dengan 3.1429 dan 3.1408. Nilai ini sangat-sangat hampir dengan nilai

3.1416 (bundarkan menjadi 3.142) yang digunakan sehingga sekarang.

22/7 > π > 223/71

SEMAKIN BERTAMBAH SISI POLIGON, SEMAKIN POLIGON ITU MEMBENTUK BULATAN.

PERIMETER POLIGON TERTERAP LILIT (CIRCUMSCRIBED POLYGON) DITUNJUKKAN DI ATAS RAJAH. PERIMETER POLIGON TERTERAP DALAM (INSCRIBED POLYGON) DITUNJUKKAN DI BAWAH RAJAH.

http://demonstrations.wolfram.com/topic.html?topic=Approximation+Methods