pembinaan tutorial menggunakan perisian bergrafik
Post on 16-Jan-2017
242 Views
Preview:
TRANSCRIPT
PEMBINAAN TUTORIAL MENGGUNAKAN PERISIAN BERGRAFIK
INTERAKTIF KMPLOT
SITI NURADIBAH BINTI HAJI EDROS
Laporan projek ini dikemukakan sebagai memenuhi sebahagian daripada syarat
penganugerahan ijazah Sarjana Pendidikan (Matematik)
FAKULTI PENDIDIKAN
UNIVERSITI TEKNOLOGI MALAYSIA
NOVEMBER 2007
iii
Dengan nama Allah Yang Maha Pemurah Lagi Maha Penyayang
Terima kasih yang tak nilai
untuk
mak & ayah yang tersayang
&
Terima kasih untuk semua..
iv
PENGHARGAAN
Dengan nama Allah Yang Maha Pemurah Lagi Maha Penyayang. Selawat
serta salam ke atas junjungan besar Nabi Muhammad SAW dan ahli keluarga
baginda serta sahabat-sahabat baginda. Semoga Allah mencucuri rahmat ke atas roh
mereka. Segala puji dan kesyukuran kepada Allah SWT kerana dengan limpah
kurnia dan keberkatan-Nya, saya dapat penyiapkan Projek Sarjana ini. Syukur
Alhamdulillah.
Setingg-tinggi penghargaan ditujukan kepada Profesor Madya Dr. Zaleha
binti Ismail selaku penyelia projek kerana banyak membantu saya dalam menyiapkan
laporan projek ini dan tidak jemu dengan kerenah dan masalah yang dihadapi oleh
saya. Terima kasih juga ditujukan kepada beliau kerana memberi tunjuk ajar dan
bimbingan beliau yang sangat komited terhadap saya.
Terima kasih saya ucapkan buat keluarga terutama mak dan ayah yang
banyak memahami keperluan saya, bersabar dengan kerenah saya untuk menyiapkan
projek ini selain banyak memberikan sokongan dan semangat terhadap saya. Kepada
sahabat, terima kasih di atas dorongan, perbincangan dan sokongan yang telah
diberikan. Semoga segala usaha saya beroleh kejayaan dan diredhai olehNya.
Amin…
Akhir sekali penghargaan ini ditujukan kepada semua yang terlibat sama ada
secara langsung atau tidak langsung dalam membantu menyiapkan laporan projek
ini.
v
ABSTRAK
Projek ini bertujuan untuk menghasilkan tutorial perisian bergrafik interaktif
KmPlot dengan berteraskan teori pembelajaran penemuan. Kajian yang lepas banyak
menunjukkan bahawa penggunaan teknologi komputer memberikan banyak
kelebihan kepada pelajar antaranya meningkatkan pencapaian pelajar dan menambah
minat pelajar terhadap matematik. Tutorial yang dibangunkan untuk dilaksanakan
dalam makmal komputer yang dilengkapi dengan sistem pengoperasian Linux.
Dengan adanya tutorial ini sekali gus dapat menambahkan penggunaan perisian
sumber terbuka, kerana perisian ini adalah percuma. Untuk memastikan tutorial yang
dihasilkan mempunyai ciri-ciri teori pembelajaran penemuan, setiap aktiviti di dalam
tutorial dirancang supaya pelajar dapat bergiat dalam pelbagai operasi kognitif.
Umumnya tutorial ini difokuskan kepada pelajar menengah atas. Topik yang dipilih
di dalam tutorial ialah graf fungsi linear, fungsi kuadratik, fungsi kubik, fungsi
salingan, persamaan serentak dan pembezaan. Sebagai tambahan, tutorial ini
dimuatkan aktiviti graf fungsi parametrik dan graf fungsi polar. Pada setiap aktiviti
mempunyai latihan untuk memperkukuhkan kefahaman pelajar. Manakala bagi
aktiviti yang melibatkan penyelesaian masalah, pelajar dijangka dapat menyelesaikan
masalah berkenaan dan seterusnya meneroka untuk mendalami masalah dengan
bantuan perisian KmPlot. Oleh itu diharap pembinaan tutorial perisian bergrafik
interaktif KmPlot ini dapat memberikan output yang baik kepada guru dan pelajar
kerana perisian ini juga mempunyai fungsi yang baik dan setanding dengan perisian
komersial lain yang terdapat di pasaran.
vi
ABSTRACT
The purpose of this project is to develop tutorial of Kmplot graphical
interactive software based on discovery learning theory. Previous studies had shown
that the use of computer technology gave more benefits to students such as increase
their academic achievement and attracting their interest towards mathematics. The
developed tutorial will be implemented in a computer laboratory that completed with
the Linux operation system. This tutorial can also increase the number of open
source software user because this software is free and it’s easy to get. To ensure this
tutorial is applied of discovery learning theory, each activity in this tutorial was
planned so that students can involve in various cognitive operations. The target users
of this tutorial are upper form students. The chosen topics in this tutorial are graph of
linear function, graph of quadratic function, graph of reciprocal function, graph of
cubic function, simultaneous equation and differentiation. In addition, this tutorial is
included with graph of parametric function and graph of polar function. The
exercises are provided for every activity to reinforce students’ understanding. For
exercise that involving problem solving, the students are expected to solve the
problems and by using the KmPlot, they can explore and extend the problems. It is
hoped that this tutorial can give benefits to teachers and students because KmPlot
software is compatible with with the others software in the current commercial.
vii
KANDUNGAN
BAB PERKARA HALAMAN
DEDIKASI iii
PENGHARGAAN iv
ABSTRAK v
ABSTRACT vi
KANDUNGAN vii
SENARAI JADUAL xi
SENARAI RAJAH xiii
SENARAI SINGKATAN xiv
SENARAI LAMPIRAN xv
1 PENGENALAN
1.1 Pendahuluan 1
1.2 Latar Belakang Masalah 3
1.2.1 Implikasi Teknologi dalam Pendidikan Matematik 4
1.2.2 Cabaran Mengintegrasikan Teknologi dalam
Pendidikan Matematik
5
1.2.3 Penggunaan Perisian Sumber Terbuka 6
1.3 Penyataan Masalah 8
1.4 Objektif 8
1.5 Kerangka Konsep 9
1.6 Skop Projek 11
1.7 Kepentingan Projek 11
1.8 Definisi Operasi 12
viii
1.9 Penutup 13
2 SOROTAN KAJIAN
2.1 Pendahuluan 15
2.2 Teknologi dan Pendidikan Matematik 16
2.3 Perisian Sumber Terbuka/Perisian Bebas dan Linux 17
2.3.1 Kelebihan dn Faedah FOSS 21
2.3.2 Organisasi yang Menggunakan FOSS 23
2.4 Perisian Matematik Bergrafik KmPlot 24
2.5 Teori Konstruktivism Bruner 25
2.6 Teori Pembelajaran Penemuan (Discovery Learning) 28
2.6.1 Kelebihan Pembelajaran Penemuan 32
2.6.2 Ciri-ciri Pembelajaran Penemuan di dalam Kelas 33
2.7 Kajian Berkaitan Pembelajaran Matematik Interaktif 39
3 METODOLOGI
3.1 Pendahuluan 42
3.2 Rekabentuk Sistem Pengajaran Model ADDIE 42
3.2.1 Fasa Pertama: Analisis 44
3.2.2 Fasa Kedua: Rekabentuk 45
3.2.3 Fasa Ketiga: Pembangunan 47
3.2.4 Fasa Keempat: Perlaksanaan 48
3.2.5 Fasa Kelima: Penilaian 49
3.3 Penutup 49
4 HASIL PROJEK
4.1 Pendahuluan 50
4.2 Hasil Projek 50
4.2.1 Tutorial 1: Graf Fungsi Linear 51
4.2.1.1 Aktiviti 1.1: Memahami Graf fungsi Linear 52
4.2.1.2 Aktiviti 1.2: Menyiasat Ciri-ciri Graf Fungsi
Linear
55
4.2.1.3 Aktiviti 1.3: Kedudukan Titik Relatif 56
ix
terhadap Graf Linear
4.2.1.4 Aktiviti 1.4: Penyelesaian Masalah
Melibatkan Graf Linear
57
4.2.2 Tutorial 2: Graf Fungsi Kuadratik 58
4.2.2.1 Aktiviti 2.1: Memahami Graf Fungsi
Kuadratik
58
4.2.2.2 Aktiviti 2.2: Mengkaji Ciri-ciri Graf Fungsi
Kuadratik
60
4.2.2.3 Aktiviti 2.3: Membanding Graf Kuadratik
dengan Nilai a dan c yang Berbeza
61
4.2.2.4 Aktiviti 2.4: Penyelesaian Masalah
Melibatkan Graf Fungsi Kuadratik
63
4.2.3 Tutorial 3: Graf Fungsi Kubik 63
4.2.3.1 Aktiviti 3.1: Graf Fungsi Kubik 64
4.2.3.2 Aktiviti 3.2: Mengkaji Ciri-ciri Graf Fungsi
kubik
66
4.2.3.3 Aktiviti 3.3: Membanding Graf Kubik
dengan Nilai b yang Berbeza
67
4.2.3.4 Aktiviti 3.4: Penyelesaian Masalah
Melibatkan Graf Kubik
68
4.2.4 Tutorial 4: Graf Fungsi Salingan 69
4.2.4.1 Aktiviti 4.1: Memahami Graf Fungsi
Salingan
69
4.2.4.2 Aktiviti 4.2: Mengkaji Ciri-ciri Graf Fungsi
Salingan
71
4.2.4.3 Aktiviti 4.3: Membandingkan Graf Fungsi
Salingan dengan Nilai a yang Berbeza
72
4.2.4.4 Aktiviti 4.4: Penyelesaian Masalah
Melibatkan Graf Fungsi salingan
73
4.2.5 Tutorial 5: Penyelesaian Persamaan Serentak 73
4.2.5.1 Aktiviti 5.1: Menyelesaikan Persamaan
Serentak dengan Dua Anu
74
74
x
4.2.5.2 Aktiviti 5.2: Penyelesaian Masalah
Melibatkan Persamaan Serentak
4.2.6 Tutorial 6: Penyelesaian dalam Pembezaan 75
4.2.6.1 Aktiviti 6.1: Memahami Graf Fungsi
Terbitan Pertama
76
4.2.6.2 Aktiviti 6.2: Nilai Terbitan Pertama terhadap
Fungsi y=axn
76
4.2.6.3 Aktiviti 6.3: Terbitan Pertama sebagai
Tangen Kecerunan
77
4.2.7 Tutorial 7: Penerokaan Graf Fungsi Parametrik 78
4.2.7.1 Aktiviti 7.1: Mengkaji Graf Fungsi
Parametrik
78
4.2.8 Tutorial 8: Penerokaan Graf Fungsi Polar 79
4.2.8.1 Aktiviti 8.1: Mengkaji Graf Fungsi Polar 80
4.3 Penutup 81
5 KESIMPULAN DAN CADANGAN
5.1 Pendahuluan 82
5.2 Perbincangan 83
5.3 Cadangan untuk Mengatasi Kelemahan Hasil Projek 85
5.4 Masalah Sepanjang Pembangunan Projek 85
5.5 Cadangan Penambahbaikan Projek 87
5.6 Penutup 87
RUJUKAN 88
LAMPIRAN A - J 94
xi
SENARAI JADUAL
NO. JADUAL TAJUK HALAMAN
4.1 Perbincangan mengenai perubahan nilai pemalar pada graf
linear
53
4.2 Perbincangan mengenai perkaitan nilai pemalar dengan graf
linear
54
4.3 Perbincangan mengenai perubahan pola graf linear dengan
perubahan nilai x
54
4.4 Perbincangan mengenai bentuk graf linear berpandukan nilai a 55
4.5 Perbincangan mengenai kecerunan dan punca graf linear 56
4.6 Perbincangan mengenai kedudukan koordinat terhadap graf
linear
57
4.7 Perbincangan mengenai perubahan bentuk graf kuadratik
dengan perubahan nilai x
60
4.8 Perbincangan mengenai bentuk graf kuadratik berpandukan
nilai a
61
4.9 Perbincangan mengenai nilai punca graf kuadratik 61
4.10 Perbincangan mengenai nilai minimum atau maksimum dan 62
xii
garis simetri graf kuadratik
4.11 Perbincangan mengenai perubahan bentuk graf kubik dengan
perubahan nilai x
65
4.12 Perbincangan mengenai bentuk graf kubik berpandukan nilai a
66
4.13 Perbincangan mengenai nilai punca graf kubik 67
4.14 Perbincangan mengenai bentuk graf kubik dengan nilai a dan b
yang berbeza
68
4.15 Perbincangan mengenai perubahan bentuk graf salingan dengan
perubahan nilai x
70
4.16 Perbincangan mengenai bentuk graf salingan berpandukan
nilai a
71
4.17 Perbincangan mengenai nilai punca graf salingan 72
4.18 Perbincangan mengenai bentuk graf salingan dengan nilai a
yang berbeza
72
4.19 Perbincangan terhadap perubahan keputusan nilai dxdy dengan
perubahan nilai x
77
4.20 Perbincangan mengenai graf fungsi parametrik 79
4.21 Perbincangan mengenai graf fungsi polar 80
4.22 Kesimpulan penghasilan projek 81
xiii
SENARAI RAJAH
NO. RAJAH TAJUK HALAMAN
1.1 Kerangka Teori Projek 10
2.1 Antara muka perisian KmPlot 24
3.1 Rekabentuk Pengajaran ADDIE 44
xiv
SENARAI SINGKATAN
CD - Compact Dick
FPK - Falsafah Pendidikan Kebangsaan
ICT - Information and Communication Technology
IT - Information Technology
KBSM - Kurikulum Bersepadu Sekolah Menengah
P&P - Pengajaran dan Pembelajaran
xv
SENARAI LAMPIRAN
LAMPIRAN TAJUK HALAMAN
A Buku Panduan Perisian KmPlot 94
B Manual Pengguna Perisian KmPlot 122
C Tutorial 1: Graf Fungsi Linear 133
D Tutorial 2 : Graf Fungsi Kuadratik 149
E Tutorial 3 : Graf Fungsi Kubik 164
F Tutorial 4: Graf Fungsi Salingan 178
G Tutorial 5 : Persamaan Serentak 191
H Tutorial 6 : Pembezaan 198
I Tutorial 7 : Graf Fungsi Parametrik 209
J Tutorial 8 : Graf Fungsi Polar 213
BAB 1
PENGENALAN
1.1 Pendahuluan
Teknologi dalam pendidikan bukan lagi suatu isu yang baru untuk
dibincangkan. Pengajaran berasaskan teknologi seperti komputer, kalkulator
saintifik, perisian dinamik bergrafik mahupun media teknologi maklumat sering
digunakan dalam proses pengajaran dan pembelajaran. Ini selaras dengan kehendak
objektif kurikulum matematik sekolah menengah, iaitu memperkasakan kebolehan
pelajar menggunakan teknologi yang bersesuaian untuk membina konsep, menguasai
kemahiran dan menyelesaikan masalah serta meneroka ilmu matematik
(Kementerian Pendidikan Malaysia, 2000).
Berteraskan kepada kurikulum sekolah menengah yang disemak semula, juga
mementingkan kebolehan para pelajar menggunakan teknologi dengan cara yang
berkesan dalam pembelajaran. Ini jelas menunjukkan dalam era perkembangan
teknologi ini, penggunaan teknologi seperti komputer, kalkulator saintifik, perisian
pembelajaran interaktif dan dinamik, merupakan elemen yang penting dalam
pengajaran dan pembelajaran. Ia bertujuan untuk mempersiap dan memperkasakan
pelajar dalam menghadapi cabaran di masa hadapan. Selaras dengan kandungan dan
harapan Falsafah Pendidikan Kebangsaan, iaitu memperkembangankan potensi
individu secara menyeluruh dari aspek intelek, rohani, emosi dan jasmani yang
bertujuan melahirkan masyarakat yang berilmu pengetahuan, berketrampilan,
berakhlak mulia, bertanggungjawab dan berkeupayaan dalam mencapai
kesejahteraan diri dan seterusnya memberikan sumbangan terhadap keharmonian dan
2
kemakmuran keluarga, masyarakat dan Negara. (Kementerian Pendidikan Malaysia,
2000).
Terdapat beberapa strategi pembelajaran yang boleh digunakan oleh guru
untuk mengaplikasikan teknologi dalam proses pengajaran dan pembelajaran.
Antaranya menggunakan paparan multimedia, internet dan perisian interaktif yang
kaya dengan teknologi terkini. Untuk memastikan teknologi digunakan di dalam
kelas, maka guru perlu mempunyai persepsi dan kesediaan terhadap teknologi yang
digunakan. Ini kerana persepsi guru terhadap teknologi maklumat memainkan
peranan yang penting sebagai faktor yang menentukan keberkesanan penggunaan
komputer dalam pengajaran dan pembelajaran matematik (Yushau, 2006). Dalam
Pelan Rancangan Malaysia Kesembilan juga memberi perhatian terhadap
kepentingan teknologi dalam pengajaran pendidikan, iaitu
Kurikulum bagi latihan perguruan juga akan dikaji semula, antaranya untuk
menambah baik kandungan mata pelajaran, meningkatkan kemahiran pedagogi dan
membolehkan penggunaan ICT yang lebih meluas dalam bidang pendidikan.
(RMK 9, 2006, p. 31)
Menyedari kepentingan penggunaan ICT pada masa kini, maka guru
digalakkan mengukuhkan penggunaan teknologi dalam proses pengajaran. Antara
usaha untuk membentuk satu proses pengajaran supaya pelajar memahami sesuatu
konsep adalah dengan mengintegrasikan penggunaan teknologi dalam bentuk yang
boleh difahami oleh pelajar. Untuk menjadikan suasana pembelajaran lebih
bermakna dengan mengintegrasikan teknologi di dalam pengajaran ini juga, guru
perlu mempunyai kesediaan dan pengetahuan mengenai teknologi yang akan
digunakan. Terutamanya memberi perhatian terhadap bagaimana dan bila teknologi
dapat digunakan dengan berkesan di dalam kelas matematik (Powers & Blubaugh,
2005). Penggunaan teknologi sebagai bahan bantu mengajar juga dapat
menggalakkan pembelajaran secara penemuan dan bereksperimen.
3
1.2 Latar Belakang Masalah
Teknologi dijadikan sebagai suatu bahan pengajaran yang digunakan dengan
kaedah yang berbeza (Garofalo et. al., 2000). Antara strategi pengajaran dapat
dipelbagaikan dengan menggunakan teknologi seperti komputer, internet dan
kalkulator saintifik. Dengan menjadikan teknologi sebagai bahan bantu mengajar
secara langsung dapat meningkatkan kualiti pengajaran di dalam kelas, serta
meningkatkan minat dan motivasi pelajar. Oleh itu, penggunaan teknologi dalam
pendidikan boleh membawa kepada pengajaran yang lebih efektif dan meningkatkan
prestasi pelajar (Garofalo et. al., 2000). Ini selaras dengan pendapat Shamatha, et. al.,
(2004) iaitu tranformasi teknologi adalah perlu dalam pengajaran dan pembelajaran
matematik. Bermaksud inovasi dan penciptaan perisian atau aplikasi teknologi
terkini dapat membantu aktiviti pengajaran dan pembelajaran menjadi lebih aktif,
bermakna dan mencabar. Komputer telah digunakan dalam pendidikan sejak
beberapa dekad yang lepas, dan sekarang ini ianya dapat diterima tanpa pertikaian
atau tanpa syarat sebagai sebahagian daripada sistem pendidikan (Yushau, 2006). Ini
disokong dengan pendedahan penggunaan komputer dalam proses pengajaran dan
pembelajaran dalam sukatan pelajaran matematik.
Dengan pemerhatian secara tidak langsung yang dilakukan oleh membangun
projek terhadap setiap buku teks matematik sekolah menengah, terdapat beberapa
topik menyediakan satu ruangan pembelajaran menggunakan teknologi seperti
komputer sebagai alat bantu pembelajaran. Antara teknologi yang digunakan adalah
seperti Geometer’s Sketchpad, perisian interaktif dan internet. Walau bagaimana pun,
kebanyakkan perisian yang digunakan kebanyakkannya perlu dibeli dengan kos yang
tinggi. Selain itu, terdapat beberapa perisian yang mempunyai kos yang mahal ini
tidak dapat dimiliki oleh setiap pelajar sebaliknya perisian ini hanya terdapat di
sekolah dan sekiranya pelajar yang ingin menggunakan perisian tersebut, mereka
hanya boleh digunakan di waktu persekolahan sahaja. Dengan adanya penggunaan
teknologi yang mudah dan murah untuk dimiliki oleh pelajar seperti perisian sumber
terbuka, maka penggunaan teknologi dapat diaplikasikan dan diintegrasikan dengan
lebih meluas semaksima yang mungkin.
4
1.2.1 Implikasi Teknologi dalam Pendidikan Matematik
Penggunaan teknologi dalam pendidikan telah diperkenalkan di negara-
negara Amerika dan Eropah sejak tahun 60-an. Penciptaan mikro komputer pada
awal tahun 70-an serta penggunaan "spreadsheet" di sekolah menengah pada tahun
80-an telah memberi kesan mendalam kepada penggunaan teknologi dalam
pendidikan di Malaysia. Teknologi juga memberi kesan yang kuat dalam banyak
aspek terutamanya dalam kehidupan seharian (Ferber & Trkman, 2003). Atas alasan
inilah maka terjelmanya konsep sekolah bestari di Malaysia dan pada hari ini warga
pendidik banyak bercakap tentang penggunaan teknologi terutaman teknologi
maklumat dalam pendidikan. Rasional perkaitan penubuhan sekolah bestari dengan
teknologi adalah mewujudkan masyarakat pelajar saintifik dan progresif dengan
bertumpukan teknologi maklumat.
Mengintegrasikan teknologi dalam pendidikan dengan berkesan dapat
membentuk suasana dan persekitaran pembelajaran yang bermakna, berpusatkan
pelajar dan guru sebagai fasilitator. Teknologi banyak membantu pelajar dalam
pendidikan. Sebagai contoh pelajar menggunakan maklumat daripada sumber
internet sebagai alat kognitif untuk mendapatkan sesuatu maklumat, mengintegrasi
idea baru kepada pengetahuan sedia ada untuk mempertingkatkan pengetahuan.
Dengan penggunaan komputer untuk menjalankan aktiviti di dalam kelas dan
kemudian berkomunikasi untuk menyampaikan apa yang mereka perolehi di dalam
aktiviti juga dapat membentuk suasana pembelajaran yang aktif. Penggunaan
teknologi yang bersesaian, suasana pembelajaran yang bermakna dan pelajar terlibat
secara aktif secara langsung dapat menyumbang ke arah mencapai matlamat dan
objektif pembelajaran.
Pengintegrasian teknologi dalam pendidikan matematik banyak mendorong
dan memberi perhatian kepada pengkaji-pengkaji menjalankan kajian. Pengkaji
berpendapat bahawa teknologi banyak memberi kesan kepada pencapaian pelajar.
Menurut Schacter (1999), lebih 700 kajian empirikal yang dilakukan oleh pengkaji
menunjukkan bahawa pencapaian pelajar yang menggunakan teknologi dalam
5
pembelajaran meningkat dengan peratusan yang tinggi jika dibanding dengan pelajar
yang tidak menggunakan teknologi.
Selain itu, penggunaan teknologi juga memberi kesan terhadap sikap dan
atitud pelajar di dalam kelas matematik. Kajian yang diakukan oleh Yushau (2006)
menunjukkan bahawa wujudnya atitud positif pelajar terhadap penggunaan komputer
di dalam aktiviti pembelajaran. Pelajar menunjukkan perubahan yang positif
terhadap sikap dan kebolehan kendiri mereka dalam menggunakan pelbagai jenis
teknologi ketika membuat pembentangan di dalam kelas (Willis & Raines, 2001).
Peningkatan positif sikap pelajar terhadap penggunaan teknologi, telah menjadikan
suasana pembelajaran lebih efektif dengan komunikasi dua hala antara pelajar-pelajar
dan pelajar-guru. Ini menyokong pendapat (Flores, et. al., 2000) iaitu apabila
menggunakan teknologi yang sesuai ia dapat membantu pelajar dalam pembangunan
pengetahuan pelajar. Ia boleh menjadikan proses pendidikan lebih bermakna, hebat
dan terhubungkait antara satu sama lain.
1.2.2 Cabaran Mengintegrasikan Teknologi dalam Pendidikan Matematik
Penggunaan peralatan atau medium teknologi dalam pengajaran dan
pembelajaran (P&P) masih lagi terhad. Aplikasi yang digunakan dalam kelas
matematik kebanyakkannya bukan daripada perisian sumber terbuka (open source).
Perisian atau peralatan ini perlu dibeli antara perisian yang digunakan dalam
pendidikan ialah CAD (Computer Aided Design) berperanan menghasilkan reka
bentuk grafik, GSP (Geometer’s Sketchpad) membantu proses pengajaran dan
pembelajaran dalam penghasilan gambar rajah geometri dan boleh mengukur lilitan,
sudut-sudut dalam bulatan dan sebagainya. CAI (Computer Assissted illustrations)
pula dapat meringankan beban guru dan pentadbiran sekolah dalam pemeriksaan
jawapan objektif, penyusunan jadual serta menyimpan rekod guru dan pelajar.
Perisian atau peralatan ini perlu dibeli untuk tujuan pembelajaran, pengurusan dan
sebagainya. Sementara itu, pemerhatian yang dilakukan oleh pembangun projek
mendapati bahawa kandungan buku teks matematik sekolah menengah tidak banyak
menggunakan perisian sumber terbuka yang dijadikan sebagai bahan bantu mengajar.
6
Terdapat banyak cabaran dalam mengintegrasikan teknologi dalam
pendidikan matematik. Bukan sahaja melibat kepada kesesuaian perisian yang
digunakan, malah juga melibatkan sikap guru. Guru perlu bersedia menerima
perubahan ini dengan fikiran terbuka dan positif serta berusaha menangani
perubahan dalam proses pengintegrasian teknologi ini. Guru perlu menyesuaikan diri
dengan alat teknologi dan menguasai pedagogi untuk mengurus kelas. Ini
menyokong pendapat Yushau (2006) iaitu untuk memastikan komputer digunakan
secara meluas dalam kelas matematik, guru perlu membina sikap positif terhadap
teknologi. Dalam situasi pembelajaran, guru perlu membuat perkaitan yang eksplisit
atau jelas antara teknologi dan pengetahuan professional mereka sebagai kaedah,
atau kandungan subjek yang diajar. Guru perlu menghubungkan penggunaan
teknologi dengan konsep yang diajar (Hughes, 2004).
1.2.3 Penggunaan Perisian Sumber Terbuka Bebas (Free Open Source
Software)
Umumnya, perisian sumber terbuka bebas atau FOSS adalah suatu program
yang memberi kebebasan kepada pengguna untuk menggunakan program ini dengan
pelbagai tujuan. Antaranya bertujuan untuk mempelajari dan membaikpulih program,
serta mengedarkan semula salinan samada yang tulen atau yang telah dibaikpulih.
Semua aktiviti ini adalah tanpa bayaran. FOSS telah menjadi fenomena
antarabangsa, beralih dengan drastic dalam tempoh yang singkat, daripada peringkat
yang kabur kepada peringkat yang sering diperdepatkan (Wong & Sayo, 2004).
Di Malaysia, kerajaan telah memberi sokongan terhadap FOSS semenjak
tahun 2001. Pada tahun 2002, PIKOM telah membuat kertas cadangan iaitu Malaysia
secara rasminya menerima perisian sumber terbuka (Wong & Sayo, 2004). Dengan
menyahut seruan kerajaan dalam menggunakan perisian sumber terbuka (open
source software), menjadikan tunjang kepada projek ini dibangunkan. Antara
kelebihan penggunakan perisian sumber terbuka ini ialah kita boleh mendapatkan
kod sumber (source code), tidak kawalan oleh vendor dan kandungan standard
perisian ini adalah lebih lengkap (Izwan, 2006). Untuk memperolehi penyelesaian
7
dalam teknologi maklumat dan komunikasi, kerajaan menyedari bahawa perisian
sumber terbuka mempunyai banyak kebaikan, kos perisian pula murah dan paling
penting adalah memberikan kita kebebasan untuk belajar, membuat pembaharuan
dan mencipta sesuatu yang baru (Izwan, 2006). Oleh itu kerajaan telah bersetuju
dengan syarikat DRM-Hicom Information Technologies Sdn Bhd (BHIT),
membekalkan komputer menggunakan sistem pengoperasian Linux di sekolah-
sekolah kerajaan. Dalam laporan tersebut, menteri kewangan bersetuju bahawa
komputer yang menggunakan sistem pengoperasian Linux ini lebih efektif dan sudah
semestinya lebih murah (Utusan, 2003).
Bagi mengembangkan pemikiran dan minda pelajar khususnya, pendekatan
pengajaran dan pembelajaran teknologi maklumat di sekolah perlu menitikberatkan
kepada pemikiran penyelidikan, mengumpul maklumat, menganalisis data ke arah
menggalakkan kreativiti dan motivasi pelajar. Pendekatan pengajaran secara
tradisional secara pemberian nota-nota seharusnya dikikis dari pemikiran guru, dan
sebaliknya guru-guru perlu dibekalkan pengetahuan dan kemahiran ke arah
mendapatkan maklumat melalui teknologi.
Dengan kesedaran yang ada ini juga telah membuatkan pembangun projek
ingin membina tutorial perisian bergrafik interaktif dengan menggunakan perisian
KmPlot dalam persekitaran Linux. tutorial yang akan dibangunkan ini diharap dapat
menjadikan sebagai satu landasan kepada guru-guru matematik untuk meningkatkan
kualiti pengajaran dan seterusnya mempunyai usaha dan inisiatif dalam
membangunkan tutorial atau modul pembelajaran atau menjadikan perisian sumber
terbuka sebagai fokus utama dalam menggunakan teknologi.
Projek yang dibangunkan ini bertujuan untuk memberi satu lagi peluang
kepada pendidik untuk mengeksplotasi teknologi dengan lebih efektif lagi dalam
proses pengajaran dan pembelajaran. Perisian KmPlot ini merupakan perisian
interaktif dalam topik persamaan fungsi matematik yang dilaksanakan dalam sistem
pengoperasian Linux. Kmplot dapat digunakan untuk memplot berbagai fungsi
secara serentak dan menggabungkan fungsi-fungsi tersebut membentuk satu fungsi
yang baru. Selain digunakan sebagai alat memplot graf, ia juga dapat digunakan
dalam topik pembezaan.
8
1.3 Penyataan Masalah
Pemerhatian dan kesedaran terhadap peri pentingnya kesan, implikasi dan
cabaran penggunaan teknologi dalam pendidikan matematik dan penggunaan
perisian sumber terbuka kepada generasi muda, khususnya pelajar, ditambah pula
dengan kekurangan pendedahan penggunaan perisian terbuka di dalam kelas
matematik. Maka projek pembangunan tutorial perisian bergrafik interaktif KmPlot
ini diharap dapat membantu dalam memperkasakan penggunaan aplikasi perisian
sumber terbuka.
Untuk tujuan pengajaran dan pembelajaran (P&P) matematik, manual dan
buku panduan perisian yang digunakan ini memenuhi keperluan minima. Oleh itu
untuk kemudahan guru dan juga pelajar, tutorial yang dibangunkan ini menyajikan
pelbagai aktiviti yang menarik dan bermakna adalah sangat berguna sebagai satu
langkah untuk memperluaskan penggunaan teknologi berperisian sumber terbuka.
1.4 Objektif
Dalam memastikan projek ini dapat dijalankan dengan jelas, pembangun
projek telah menentukan objektif. Ini supaya di sempanjang menyiapkan projek ini,
pembangun akan sentiasa menjadikan objektif projek sebagai panduan. Objektif bagi
projek ini ialah menghasilkan tutorial perisian bergrafik interaktif KmPlot dengan
berteraskan penemuan dalam pembelajaran untuk tujuan penguasaan konsep dan
penyelesaian masalah. Selain itu bertujuan untuk memberi pendedahan kepada
pelajar tentang teknologi komputer dan aspek penerokaan dalam matematik.
9
1.5 Kerangka Konsep
Projek ini menekankan pembentukan tutorial perisian bergrafik interaktif
yang mana dianggap boleh memberi manfaat kepada individu sasaran, iaitu pelajar.
Fokus projek ini adalah untuk membangunkan tutorial perisian bergrafik interaktif
KmPlot yang menekankan teori pembelajaran penemuan (discovery learning).
Pembelajaran penemuan juga dikenali sebagai pembelajaran inkuiri (inquiry
learning).
Teori pembelajaran penemuan ini diilhamkan oleh Jerome Bruner pada
sekitar tahun 1960-an. Pembelajaran penemuan menggalakkan pelajar menggunakan
intuisi (gerak hati), imaginasi dan kreativiti secara aktif. Pendekatan ini
menggunakan pemikiran induktif (inductive reasoning) iaitu bermula dengan sesuatu
yang khusus dan kemudian beralih kepada umum. Dalam pengajaran, guru boleh
membentuk pemikiran induktif dengan menggalakkan pelajar membuat andaian
terhadap bukti yang tidak jelas dan kemudian membuat pengesahan atau penafian
terhadap andaian tersebut secara sistematik.
Guru memberikan beberapa permasalahan yang memberikan satu atau lebih
jawapan yang sesuai dan memberikan penemuan kepada konsep-konsep tertentu. Ia
merupakan pendekatan yang memberi peluang kepada pelajar untuk membuat
keputusan, menyelesaikan masalah atau juga membuat inisiatif tertentu. Matlamat
pendekatan pembelajaran ini ialah menggalakkan pembelajaran yang lebih
mendalam, menggalakkan kemahiran metakognitif seperti kemahiran penyelesaian
masalah, kemahiran pemikiran aras tinggi dan kreatif, menggalakkan penglibatan
pelajar dalam pengajaran dan pembelajaran, memupuk perasaan ingin tahu
dikalangan pelajar, membentuk kemahiran pembelajaran sepanjang hayat dan juga
menggalakkan motivasi dikalangan pelajar dengan memberi peluang kepada pelajar
untuk mengkaji, dan menemui sesuatu yang bermanfaat kepada diri mereka. Rajah
1.1 di bawah menunjukkan kerangka teori dalam projek ini.
10
Pembelajaran Penemuan
Pembelajaran bermakna
Psikologi Kognitif
Teori Pembelajaran
Bruner
Operasi Kognitif idea Monsston (1972)
Penyediaan tutorial perisian bergrafik interaktif KmPlot
Rajah 1.1 : Kerangka Teori Projek
11
1.6 Skop Projek
Pembinaan tutorial perisian bergrafik interaktif KmPlot ini merujuk kepada
topik matematik yang berkaitan graf fungsi, persamaan serentak dan pembezaan.
Bahan pengajaran yang dibina ini meliputi tutorial untuk pelajar. Proses pengajaran
dilakukan di dalam makmal komputer yang dilengkapi dengan sistem pengoperasian
Linux atau pun Live CD Linux. Selain itu, pembinaan tutorial ini memberi tumpuan
kepada kefahaman konsep dan penguasaan kemahiran dalam pemplotan graf. Pelajar
akan didedahkan dengan pengetahuan yang melibatkan beberapa jenis graf fungsi,
persamaan serentak dan pembezaan. Daripada pendedahan konsep ini, akan
membentuk penguasaan topik yang dipelajari dan seterusnya pelajar akan
didedahkan dengan latihan yang melibatkan penyelesaian masalah sebagai
pengukuhan dalam topik tersebut. Tutorial yang dibangunkan adalah berpandukan
kepada teori pembelajaran penemuan idea Bruner dan idea operasi kognitif Monsston
(1972).
1.7 Kepentingan Projek
Kepentingan projek ini ialah:
i. Diharap dapat membina satu tutorial perisian bergrafik interaktif KmPlot
dan pada masa yang sama ia membantu guru dan pelajar dalam proses
pengajaran dan pembelajaran.
ii. Membekalkan hasil projek yang berguna kepada guru dalam merancang
strategi yang berkualiti untuk menerapkan kaedah pembelajaran yang
berbantu komputer dalam proses pengajaran dan pembelajaran.
iii. Penggunaan perisian sumber terbuka (open source) dalam sistem
pendidikan di Malaysia masih dianggap baru, maka ia memerlukan projek
berterusan dan penglibatan yang aktif. Oleh itu, diharap projek ini dapat
membangkitkan usaha para guru untuk mengkaji perisian terbuka ini dan
12
sekaligus menjadikan perisian ini sebagai fokus utama dalam
menggunakan teknologi dalam pengajaran dan pembelajaran.
1.8 Definisi Operasi
Terdapat beberapa takrifan yang digunakan oleh pembangun projek dalam
menerangkan projek yang dijalankan. Beberapa istilah yang digunakan dalam projek
ini mempunyai makna yang tersendiri.
1. Perisian Sumber Terbuka Bebas (Free Open Source Software)
Merupakan perisian yang mempunyai sumber kod (bahasa
pengaturcaraan) yang diedarkan secara percuma dengan memberikan
kebenaran untuk mengubah kod aturcara, dan kos penghasilannya murah
dan munasabah. Program yang memberi kebebasan kepada pengguna
untuk menggunakan program ini dengan pelbagai tujuan, untuk
mempelajari dan membaikpulih program, dan mengedarkan semula
salinan samada yang tulen atau yang telah dibaikpulih
2. Linux
Sistem operasi yang mengawal komputer, dan ia merupakan perisian yang
percuma. Ia memberikan kebebasan kepada pengguna untuk mempelajari,
menyalin, mengubah dan mengedar semula kepada umum.
3. KmPlot
Perisan fungsi pemplot matematik untuk KDE-Desktop dalam
persekitaran Linux. Ia merupakan perisian pemplotan yang membolehkan
kita membina pelbagai fungsi plot secara serentak dan menggabungkan
fungsi-fungsi tersebut membentuk satu fungsi yang baru
4. Pembelajaran Penemuan (discovery learning)
Pendekatan pembelajaran ini berasaskan kaedah pembelajaran inkuiri.
Matlamat pendekatan pembelajaran ini ialah menggalakkan pembelajaran
13
yang lebih mendalam, menggalakkan kemahiran metakognitif seperti
kemahiran penyelesaian masalah, kemahiran pemikiran aras tinggi dan
kreatif, menggalakkan penglibatan pelajar dalam pengajaran dan
pembelajaran, memupuk perasaan ingin tahu dikalangan pelajar,
membentuk kemahiran pembelajaran sepanjang hayat dan juga
menggalakkan motivasi dikalangan pelajar dengan membenarkan peluang
kepada pelajar untuk mengkaji, dan menemui sesuatu yang bermanfaat
kepada diri mereka
5. Tutorial
Bahan seperti buku, kelas atau langkah-langkah kebiasaannya melibatkan
arahan secara individu yang menyediakan pengajaran spesifik dalam
bidang-bidang tertentu. Tutorial mempunyai beberapa ciri:
• Persembahan kandungan, kebiasaanya beserta dengan contoh-
contoh dan dibahagikan kepada modul-modul atau bahagian-
bahagian tertentu.
• Mengandungi latihan pengukuhan untuk menguji kefahaman
kandungan yang terdapat di dalam modul atau bahagian.
• Sebagai tambahan kepada pengajaran yang sedia ada.
1.9 Penutup
Penggunaan teknologi banyak memberi manfaat yang positif dalam pelbagai
bidang. Mengintegrasikan penggunaan teknologi yang bersesuaian dengan berkesan
di dalam pengajaran dan pembelajaran dapat memberikan hasil yang mengagumkan
kepada pelajar. Ini termasuklah meningkatkan pencapaian pelajar dalam keputusan
ujian, meningkatkan sikap, minat, dan semangat pelajar di dalam kelas.
Guru dan pentadbir sekolah perlu memahami cabaran yang mungkin dihadapi
yang membolehkan teknologi diintegrasi secara berkesan dalam pengajaran dan
pembelajaran matematik. Guru harus bersedia untuk menangani perubahan yang
bakal timbul daripada pengintegrasian teknologi ini termasuklah dari segi masa,
14
latihan guru, sumber dan juga sokongan. Guru juga harus menyesuaikan diri kepada
alat teknologi pengajaran yang baru seperti komputer dan internet di mana alat
teknologi ini berbeza daripada alat pengajaran yang lama dan mengubah kaedah
mengajar.
Teknologi secara tabiinya adalah abstrak. Pembelajaran akan menjadi lebih
bermakna jika mengintegrasikan teknologi di dalam kelas. Di samping memastikan
perisian yang digunakan bersesuai dan mempelbagaikan penggunaannya.
BAB 2
SOROTAN KAJIAN
2.1 Pendahuluan
Mata pelajaran Matematik merupakan mata pelajaran teras bagi setiap pelajar
samada sekolah menengah mahupun sekolah rendah. Pendidikan matematik
bukanlah satu mata pelajaran yang asing dikalangan pelajar dan masyarakat
Malaysia. Penguasaan dalam matematik ini adalah amat penting kerana ia antara
salah satu syarat bagi pelajar-pelajar untuk melanjutkan pelajaran pada peringkat
yang lebih tinggi iaitu memerlukan keputusan kredit dalam matapelajaran matematik.
Dengan itu, pelajar perlu sentiasa mempersiapkan diri mereka untuk menguasai
konsep dan kemahiran dan mengaplikasikannya dalam matapelajaran ini.
Dari masa ke semasa, corak pendidikan di Malaysia sentiasa dikemaskini dan
diolah bertujuan untuk meningkatkan kualiti pendidikan itu sendiri. Bermula dari
proses pengajaran dan pembelajaran menggunakan pensil dan kertas, berpusatkan
guru, sehinggalah kepada pembentukan kurikulum yang baru. Dengan adanya
kurikilum ini, menjadikan teknologi sebagai modul atau bahan pengajaran. Ia
bertujuan untuk memastikan perkembangan pendidikan di Malaysia seiring dengan
perkembangan teknologi dan sekaligus memastikan pendidikan Malaysia seiring
standard atau piawai negara membangun atau negara maju yang lain.
Dalam bab sorotan kajian ini, bukan hanya tertumpu kepada perbincangan
hasil yang diperolehi daripada kajian-kajian yang lepas yang berkaitan dengan projek
yang dibangunkan ini. Tetapi ia juga meliputi perbincangan mengenai pendidikan
16
dan teknologi, aplikasi perisian sumber terbuka berserta sistem operasi linux.
Perisian Kmplot juga dibincangkan di dalam bab ini, termasuk juga perbincangan
mengenai pembelajaran penemuan yang berkaitan dengan penyelesaian masalah,
matematik bereksperimen dan penyiasatan, penerokaan dan penemuan dalam
matematik. Bahagian terakhir dalam bab ini akan menyentuh mengenai perbincangan
kajian terdahulu.
2.2 Teknologi dan Pendidikan Matematik
Teknologi pada asasnya memberi fokus kepada capaian pengesahan dan
pemprosesan maklumat. Teknologi juga membawa maksud melibatkan perpindahan
atau aliran dan penyimpanan maklumat terutamanya pembangunan, pemasangan,
perlaksanaan dan pengurusan dalam sistem komputer antara syarikat, institut
pendidikan dan organisasi lain. Selain itu juga, teknologi boleh didefinisikan seperti
berikut:
The technology involved with the transmission and storage of information, especially
the development, installation, implementation, and management of computer systems
within companies, universities, and other organizations.
The American Heritage Science Dictionary
Era teknologi maklumat semakin berkembang pesat dan untuk memastikan
supaya pembentukkan sistem pendidikan di sekolah tidak ketinggalan dengan
perkembangan teknologi maklumat, maka penggunaa teknologi diserap dalam
pendidikan. Para pelajar dituntut untuk menguasai teknologi maklumat supaya ia
dapat dimanfaatkan kelak. Ini kerana pelajar atau generasi muda merupakan
penggerak kepada pembangunan negara yang akan datang dan sekaligus menjadikan
negara yang membangun ini sebagai sebuah negara maju. Ini secara tidak langsung
menyokong pendapat yang dinyatakan oleh Tamrin Anuar (2003) bahawa kemajuan
dunia dan adunan baru dalam sistem pendidikan akan mebawa rakyat ke era
teknologi maklumat. Tengku Mohd Azzman (2001) pula berpendapat bahawa,
17
... teknologi mahupun insfrastruktur yang dihasilkan bukanlah penggerak
utama. Nadinya ialah maklumat dan ilmu yang menggerakkan revolusi ilmu semasa.
Manusia pula merupakan medan dan punca utama maklumat dan ilmu tersebut.
Ia membawa maksud bahawa dalam konteks pendidikan, guru merupakan
penggerak kepada pendedahan penggunaan teknologi kepada pelajar-pelajar. Dengan
adanya sikap dan kesediaan para guru dalam mengeksplotasi teknologi ini akan
menjadikan pelajar lebih tersedia dan dilengkapi dengan penguasaan teknologi
maklumat.
2.3 Perisian Sumber Terbuka/Perisian Bebas dan Linux
Sebagaimana yang telah nyatakan dalam bab satu, perisian sumber terbuka
(open source software-OSS) atau perisian terbuka (free software-FS) juga dikenali
sebagai perisian sumber terbuka bebas (free open source software-FOSS). Ia
merupakan suatu program yang memberikan kebebasan sepenuhnya kepada
pengguna untuk pelbagai tujuan, untuk mengkaji, untuk mengubah kandungan
program dan untuk mengedarkan semula salinan samada ianya dalam bentuk yang
asal atau pun yang telah ada perubahan.
FOSS diibaratkan kenderaan yang efektif tinggi dalam pemindahan yang
besar daripada dunia perindustrian kepada pembangunan negara (Leonard &
Andrew, 2001). Kebanyakkan produk FOSS seperti Red hat, SuSE, Debian dan
sebagainya boleh diperolehi dari internet tanpa sebarang bayaran. Tetapi dalam kos
perlesenan, aplikasi FOSS adalah lebih murah berbanding perisian hak milik. Kos
perlesenan ini bukan hanya tertumpu kepada kos pekej perisian atau prasarana. Ia
juga melibatkan kos individu, keperluan perkakasan, kos lapangan dan kos latihan,
dikenali sebagai jumlah kos pemilikan (Total Cost Ownership-TCO)
18
Terdapat dua istilah dalam FOSS iaitu asas perisian bebas (free software
foundation-FSF) dan inisiatif atau daya usaha sumber terbuka (open source
inisiative-OSI).
FSF adalah berkaitan tentang melindungi kebebasan pengguna, di mana:
i. Bebas menggunakan program atau aturcara dalam pelbagai tujuan.
ii. Bebas mengkaji bagaimana program berfungsi dan menyesuaikan
kepada keperluan pengguna. Mencapai kod aturcara adalah prasyarat.
iii. Bebas untuk mengedarkan salinan, dengan ini ia membantu pengguna-
pengguna lain.
iv. Bebas untuk memperbaiki program dan membenarkan pengguna lain
menggunakan program yang telah diperbaiki. Oleh itu kebenaran untuk
mencapai kod sumber adalah prasyarat.
OSI pula mempunyai ciri berikut:
i. Idea asas di sebalik perisian terbuka adalah mudah iaitu apabila
pengaturcara (programmer) boleh membaca, mengedar, dan
membaikpulih kod sumber untuk sesuatu perisian, maka perisian
tersebut akan berkembang dan semakin bertambah baik.
ii. OSI fokus kepada nilai teknikal untuk menjadikannya lebih hebat,
perisian yang boleh dipercayai dan lebih mesra-pengguna berbanding
FSF. Ianya kurang memberi tumpuan kepada isu-isu moral perisian
bebas dan ia memberikan kelebihan kepada pengedaran pembangunan
FOSS.
19
Walau pun FSF dan OSI berbeza, kedua-duanya mempunyai ciri-ciri yang
sama dalam persekitaran pembangunan perisian, usaha terhadap hak milik perisian,
dan juga bentuk perisian. FSF dan OSI boleh diibaratkan sebagai dua parti politik
dalam komuniti yang sama (Wong & Sayo, 2004).
Perisian sumber terbuka atau pun dikenali sebagai Open Source software
adalah perisian yang mempunyai kod sumber (source code) yang diedahkan secara
percuma dengan mengubah kod, dan pengedaran semula adalah tidak terbatas.
Perisian terbuka bukan hanya bermaksud mencapai kepada kod sumbernya, tetapi
istilah terhadap pengedaran sumber terbuka mempunyai ciri-ciri seperti berikut
(Open Source Competency Center, 2004):
1. Pengagihan bebas (Free distribution)
Kebenaran atau lessen tidak terhad kepada mana-mana bahagian jualan
atau himpunan pengagihan perisian yang mengandungi pelbagai aturcara
daripada sumber yang berbeza. Kebenaran tersebut tidak memerlukan
royalti atau sebarang bayaran yang dianggap sebagai jualan.
2. Kod Sumber (Source code)
Program perlu mengandungi kod sumber, dan membenarkan pengedaran
dalam bentuk kod sumber begitu juga dalam bentuk penyusunan atau
compile. Kod sumber boleh dimodifikasi oleh pengaturcara.
3. Hasil Perolehan (Derived works)
Membenarkan membuat modifikasi dan diedarkan dalam terma yang
sama sebagai lessen yang asal.
4. Integriti Kod Sumber Pengarang/Pencipta (Integrity of the author’s
source code)
Kebenaran kod sumber mungkin terhad daripada diedar dalam bentuk
yang telah diubah
20
5. Tiada diskriminasi antara individu perseorangan atau kumpulan (No
discrimination againsts persons or groups)
Tiada diskriminasi dalam menggunakannya samada secara perseorangan
atau berkumpulan.
6. Tiada Diskriminasi antara Lapangan Percubaan (No discrimination
against fields of endeavor)
Kebenaran tidak terhad kepada penggunaan perseorangan atau kumpulan.
Ia buleh digunakan untuk urusan perniagaan atau dijadikan sebagai bahan
kajian.
7. Pengedaran Lesen (Distribution of license)
Tidak memerlukan kebenaran tambahan untuk mengedarkan program.
8. Kebenaran tidak Khusus kepada Produk (License must not be specific to a
product)
Kebenara program tidak semestinya bergantung kepada sebahagian
daripada pengedaran perisian. Jika program yang diekstrak daripada
edaran, dan digunakan atau diedar semula, semua bahagian dalam
program tersebut perlu mempunyai kebenaran yang sama dengan perisian
yang asli (belum diubah)
9. Lesen tidak Terhad kepada Perisian Lain (The license must not restrict
other software)
Kebenaran tidak terhad terhadap perisian lain yang diedarkan dengan
kebenaran perisian. Contohnya, kebenaran tidak semestinya semua
program diedarkan dalam bentuk yang sama itu adalah OSS.
10. Lesen Perlu Berteknologi –Neutral (Lecense must be technology-neutral)
Tiada persediaan kebenaran yang dijangkakan terhadap teknologi atau
gaya antaramuka.
21
2.3.1 Kelebihan dan Faedah FOSS
FOSS juga mempunyai banyak kelebihan selain daripada kosnya yang
rendah. Kelebihan FOSS banyak memberi faedah kepada individu atau organisasi
yang menggunakan FOSS. Antaranya ialah:
1. Jaminan keselamatan (Security)
Kod sumber yang boleh dicapai menjadikan pembangun sistem dan
pengguna memperbaiki ketidaksempurnaan sebelum ia diexploitasikan.
Kebanyakkan ketidaksempurnaan diperbaiki dalam peringkat audit.
Selain itu FOSS lebih memberi fokus kepada keteguhan dan kefungsian
berbanding mudah untuk diguna. Sebelum sesuatu ciri ditambah ke dalam
aplikasi FOSS, keselamatan akan dipertimbangkan dahulu kerana ia
adalah penting dan ciri tersebut akan ditambah hanya jika dikenalpasti
bukan untuk mengkompromi sistem kawalan.
2. Kebolehpercayaan dan kestabilan (Reliability/ Stability)
Red Hat Linux, Caldera System OpenLinux dan Microsoft’s Windows
NT Server 4.0 with Service Pack 3 telah diuji oleh Zdnet untuk melihat
kebolehpercayaannya selama 10 bulan. Hasil ujian mendapati NT
mengalami masalah sekali setiap enam minggu, tetapi sistem FOSS tidak
berlaku sebarang masalah sepanjang 10 bulan pengujian tersebut (Nicols
V., dan Steven J. 1999). Pada tahun 1995, ujian kegagalan sistem
mensimulasi data terhadap tujuh sistem komersial dan sistem GNU/Linux
dilakukan. Hasil ujian mendapati sistem komersial mengalami purata 23%
kegagalan manakala Linux 9% dan GNU mengalami kegagalan sebanyak
6%. Kajian dilakukan pada tahun seterusnya mendapati kesemua
kegagalan yang dihadapi oleh GNU/Linux dapat diatasi, pada sistem
komersial tiada perubahan (Wheeler & David, 2003).
22
3. Piawai terbuka dan vendor bebas (Open standard and vendor
independence)
Standard terbuka memberi pengguna (individu atau organisasi), fleksible
dan bebas untuk mengubah antara pekej perisian, platform dan vendor.
Menggunakan sistem FOSS untuk tujuan meningkatkan kebebasan
vendor semakin bertambah dalam pelbagai bidang. Laporan yang
dilakukan oleh kerajaan UK mendapati bahawa kewujudan perlaksanaan
bahan OSS yang semakin cekap, telah mencadangkan kerajaan
menggunakannya dalam sistem pentadbiran.
4. Mengurangkan kebergantungan kepada bahan import
Insentif utama Negara membangun ialah menerima sistem FOSS
disebabkan oleh kos yang besar terhadap lesen perisian hak milik. Hampir
semua perisian yang diimport menggunakan pembayaran mata wang
asing yang tinggi. Maka dengan itu, dengan menggunakan sistem FOSS
yang lebih murah boleh menggantikan peruntukkan tersebut kepada
perbelanjaan matlamat pembangunan yang lain.
5. Keupayaan perkembangan perisian tempatan
Aplikasi FOSS adalah amat mudah dah fleksibel bukan sahaja dari segi
inovasi malah juga dari askpek pengedarannya.
6. Cetak rompak, harta intelek (Intellectual Property Rights-IPR),
pertubuhan perdagangan sedunia (World Trade Organization-WTO)
Cetak rompak dan undang-undang yang tidak ketat boleh mendatangkan
masalah yang besar bagi sesebuah negara. Sesebuah megara yang
mempunyai pelindungan harta intelek yang lemah akan menyebabkan
pelabur asing kurang yakin untuk melabur.
7. Penumpuan/penempatan (Localization)
Pengguna boleh membuat perubahan FOSS supaya ia bersesuaian dengan
budaya, situasi atau kehendak di mana ia akan digunakan.
23
2.3.2 Organisasi yang Menggunakan FOSS
Dengan mengetahui bahawa FOSS mempunyai banyak kelebihan dan faedah,
makan banyak organisasi di seluruh dunia menggunakannya untuk urusan rasmi.
Walaupun usaha untuk menggunakan kelebihan FOSS ini masih lagi dalam
peringkat permulaan, tetapi permintaan terhadap penggunaan FOSS di dalam sektor
kerajaan semakin tinggi. Sebagai contoh Negara Asia Pasifik seperti China, India,
Taiwan, Thailand dan Malaysia juga mengambil keuntungan daripada penggunaan
FOSS.
Kerajaan Malaysia telah menyokong FOSS semenjak November 2001 lagi.
Pada 2002, PIKOM telah menghasilkan kertas kerja mencadangkan bahawa
Malaysia secara rasminya menerima OSS. Komnas pula telah menghasilkan Linux
versi tempatan seperti web browser dan utility lain. Pada tahun 2003, Negara China
merupakan Negara yang paling banyak menggunakan FOSS di mana penggunaan
Linux semakin berkembang sehingga 175 peratus (Wong & Sayo, 2004). Manakala
di India pula menggunakan FOSS dengan meluasnya. Sebanyak 1000 komputer di
Jabatan Pusat Latihan telah ditukarkan kepada Linux. Di sekolah-sekolah India pula
telah menggunakan 6000 komputer yang mempunyai sistem operasi Linux Red Hat.
Di Negara Taiwan telah melancarkan “National Open Source Plan” pada
tahun 2003. Pelan dua tahun ini adalah untuk membina industri yang boleh
menggantikan kesemua sistem hak milik perisian di sektor kerajaan dan sekolah.
Kelebihan FOSS yang telah membawa banyak faedah telah mendorong kementerian
ICT di Negara Thailand membuat sasaran pada akhir tahun 2003 iaitu menggunakan
sistem operasi Linux sebanyak lima peratus di dalam sistem kerajaannya.
Linux adalah nama bagi kernel yang dicipta oleh Linus Torvalds. Kernel
ialah pusat sistem operasi yang mengawal penggunaan CPU, mengurus memori dan
peralatan perkakasan. Linux juga dikatakan sebagai klon kepada Unix. Linux
memiliki semua ciri-ciri yang dimiliki oleh Unix antaranya multitasking, virtual
memory, shared libraries, demand loading dan rangkaian. Linux diedarkan oleh
GNU General Public License. Iaitu pemilik program tetap memegang hak ciptanya
24
tetapi ia boleh diedar, dimodifikasi atau menjual kembali program tersebut oleh
individu lain dengan syarat kod sumbernya tetap disertakan di dalam program.
2.4 Perisian Matematik Bergrafik KmPlot
KmPlot adalah perisian pemplot dua dimensi fungsi matematik untuk desktop
KDE. KmPlot merupakan sebahagian daripada projek KDE-EDU. KDE atau K
Desktop Environment adalah rangkaian kontemporari persekitaran desktop untuk
UNIX. Huruf ‘m’ yang terdapat pada KmPot adalah bermaksud mathematical
function. KDE berusaha untuk memenuhi keperluan dalam kemudahan menggunakan
desktop UNIX. Projek KDE-EDU ini memberi fokus kepada pelajar-pelajar berusia 3
hingga 18 tahun. Kmplot mempunyai parser binaan dalam yang hebat. Ia boleh
digunakan untuk memplot berbagai-bagai fungsi dalam masa yang sama dan
menggabungkan fungsi-fungsi tersebut membentuk fungsi yang baru.
Rajah 2.1 : Antara muka perisian KmPlot
25
KmPlot juga mempunyai banyak kelebihan yang lain. Perisian ini
menyokong fungsi parametrik dan fungsi polar. Selain itu, ia juga menyediakan
beberapa ciri-ciri numerik dan visual seperti mengisi dan mengira luas antara plot
dengan paksi, mendapatkan nilai minimum dan maksimum, mengubah parameter
fungsi dan memplot fungsi pembezaan. Rajah 2.1 menunjukkan antara muka perisian
KmPlot.
Antara muka KmPlot mempunyai tujuh menu utama iaitu File, Edit, Plot,
Zoom, Tools, Settings dan Help. Sebagai panduan, Lampiran A menunjukkan buku
panduan perisian KmPlot yang diperolehi dari laman web KDE.. Di dalam buku
panduan ini mengandungi penerangan penggunaan KmPlot. Lampiran B pula adalah
manual penggunaan perisian KmPlot yang dihasilkan oleh pembangun. Manual
penggunaan perisian KmPlot boleh digunakan bersama-sama dengan buku panduan
perisian KmPlot untuk meningkatkan pemahaman dalam mengaplikasikan perisian
ini. Untuk tujuan pengajaran dan pembelajaran (P&P) matematik, manual dan buku
panduan ini memenuhi keperluan minima. Oleh itu tujuan kemudahan guru dan juga
pelajar, tutorial yang menyajikan pelbagai aktiviti yang menarik dan bermakna ini
adalah sangat berguna.
2.5 Teori Konstruktivism Bruner
Jerome Bruner merupakan pelopor kepada pembangunan teori pengajaran
konstruktivisme. (Snelbecker, 1974). Konstruktivisme adalah terma yang digunakan
oleh ahli psikologi kognitif untuk menerangkan pendekatan ini dalam pembelajaran
(Borich & Tombari, 1997). Konstruktivisme adalah suatu keyakinan iaitu pelajar
secara aktif membentuk pengetahuan mereka sendiri berasaskan kepada pengetahuan
atau pengalaman yang lepas. Dalam proses ini pelajar mengadaptasikan pengetahuan
yang mereka terima dan pengetahuan yang lepas untuk membentuk satu pengetahuan
yang baru (Norjoharudeen, 2003). Pelajar memilih dan memindahkan maklumat,
membina hipotesis, dan membuat keputusan, berpandu kepada struktur kognitif.
Struktur kognitif (seperti skema, model mental) memberikan makna dan organisasi
untuk dialami dan membenarkan seseorang individu bergerak ke arah maklumat
26
yang diberikan (Kearsley, 1999). Ia menekankan penglibatan aktif pelajar semasa
proses pembelajaran dengan menghubungkan pelajar dengan aktiviti yang bermakna
(Karakirik and Durmus, 1999).
Teori pengajaran yang dicadangkan oleh Bruner ini mempunyai empat aspek
iaitu pengaruh ke arah pembelajaran, cara bagaimana pengetahuan distrukturkan
supaya mudah difahami oleh pelajar, urutan yang efektif dalam mempersembahkan
bahan pengajaran dan cara yang sesuai untuk memberikan ganjaran atau hukuman
(Kearsley, 1999). Konstruktivisme mendorong pelajar bergerak ke hadapan dalam
proses pengajaran. Matlamat utamanya ialah untuk membentuk semula amalan
pengajaran supaya ia terancang dan berstruktur untuk menggalakkan pelajar
menggunakan pengalaman mereka untuk membina pemahaman mereka sendiri.
Amalan pengajaran kontruktivisme dalam pelbagai bidang ilmu seperti
bidang matematik, sains, dan sebagainya mempunyai ciri-ciri seperti berikut (Borich
& Tombari, 1997):
i. Pengajaran dan pembelajaran diorganisasikan dalam persekitaran idea
yang penting.
ii. Mengetahui kepentingan pembelajaran yang lepas (maklumat dan
pengetahuan sedia ada).
iii. Mencabar keupayaan pengetahuan pelajar.
iv. Melengkapkan kekaburan dan keraguan
v. Mengajar pelajar bagaimana untuk belajar
vi. Menganggap pembelajaran sebagai hubungan kognitif
vii. Menilai pengetahuan yang diperolehi oleh pelajar semasa proses
pengajaran.
Konstruktivisme juga memberi kesan kepada pembelajaran matematik.
Pelajar perlu membina kefahaman mereka terhadap setiap konsep matematik yang
dipelajari. Dengan itu peranan utama pengajaran bukan hanya menyampai,
menerangkan atau pun mencuba untuk memindahkan pengetahuan matematik, tetapi
mewujudkan situasi yang membolehkan pelajar memupuk pembinaan mental
(Norjoharudeen, 2003).
27
Antara kesan kepada pengajaran dan pembelajaran matematik ialah:
i. Pengajaran dan pembelajaran berpusatkan pelajar.
ii. Guru berperanan sebagai fasilitator, membantu pelajar membina
pengetahuan dan menyelesaikan masalah.
iii. Guru berperanan sebagai perekebentuk pengajaran yang melengkapkan
pelajar berpeluang untuk membina pengetahuan baru
iv. Pengetahuan yang diperolehi oleh pelajar adalah hasil aktiviti pelajar,
bukan daripada pengajaran yang diterima secara pasif.
Semasa proses pengajaran dan pembelajaran, guru boleh menggalakkan
pelajar bertanya dan memberikan idea, menggalakkan proses inkuiri (penyiasatan),
memberi peluang kepada pelajar membina pengetahuan baru dengan melibatkan diri
pelajar kepada situasi sebenar dan menjadikan proses pembelajaran berkepentingan
yang sama dengan hasil pembelajaran.
Pembelajaran berasaskan kontruktivisme ini memberikan kelebihan dalam
aspek pemikiran, pemahaman, pengekalan (retention), dan keyakinan. Semasa proses
membina pengetahuan baru, pelajar akan terdorong untuk berfikir apabila mereka
menyelesaikan masalah, menghasilkan idea, dan membuat keputusan yang bijak
dalam menghadapi cabaran. Dengan melibatkan diri secara aktif ketika membentuk
idea baru, pelajar akan memahami sesuatu konsep dan idea yang mereka pelajari
dengan mendalam. Dengan pemahaman yang mendalam ini membolehkan pelajar
mengaplikasikan apa yang dipelajari pada masa hadapan. Apabila pelajar diberikan
kuasa untuk membina pemahaman mereka berpandukan kepada pengetahuan yang
lepas, maka mereka akan lebih berkeyakinan dalam menghadapai cabaran atau
menyelesaikan masalah. Konstruktivisme juga memberi kesan kepada kemahiran
sosial iaitu pelajar dapat menguasai dan meningkatkan kemahiran sosial yang
diperlukan apabila berkerja dalam kumpulan.
28
2.6 Teori Pembelajaran Penemuan (Discovery Learning)
Pembelajaran penemuan telah dipelopori oleh Jerume Bruner pada tahun
1966. kaedah pempelajaran penemuan memerlukan penglibatan pelajar dalam
membuat pelbagai keputusan mengenai apa, bagaimana dan bila sesuatu akan
dipelajari dan juga memainkan peranan yang penting dalam membuat sesuatu
keputusan (Snelbecker, 1974). Ia merupakan organisasi pengetahuan mengenai asas-
asas dan prinsip-prinsip berbanding fakta yang diskrit (Borich & Tombari, 1997).
Pembelajaran penemuan menggunakan psikologi kognitif sebagai asas, iaitu
melibatkan pendekatan pengajaran menerusi interaksi pelajar dengan persekitaran
mereka melalui cara menyiasat dan memanipulasi sesuatu, berhadapan dengan
persoalan dan kontroversi, atau pencapaian eksperimen (Conway J., 1997).
Pembelajaran penemuan meliputi model dan strategi pembelajaran yang
memberi fokus kepada pembelajaran aktif, pembelajaran kendiri pelajar-pelajar
(Castronova, 2002). Ia merujuk kepada proses untuk mendapatkan pengetahuan
dengan usaha individu. Di dalam kelas, pembelajaran penemuan boleh berlaku
apabila aktiviti di dalam kelas memerlukan pelajar untuk memanipulasi, menyiasat
dan menyelidik sesuatu perkara atau bahan yang boleh membentuk mereka ke arah
menemui prinsip-prinsip atau hubungan yang penting. Maka dengan itu pelajar tidak
didedahkan terus dengan konsep-konsep, sebaliknya memerlukan pelajar
memformulasi konsep tersebut.
Bruner percaya bahawa pembelajaran yang terbaik adalah dengan cara
penemuan dan pelajar bertindak sebagai penyelesai masalah di mana pelajar
berinteraksi dengan pengujian hipotesis persekitaran dan membentuk suatu
generalisasi atau suatu kesimpulan umum. Bruner juga berpendapat bahawa
matlamat pendidikan seharusnya berteraskan pembangunan intelektual,
mengukuhkan pembentukan kemahiran penyelesaian masalah menerusi inkuiri dan
penemuan.
29
Mengetahui (knowing) adalah merupakan suatu proses, berbanding
menghimpunkan kebijaksanaan sesuatu ilmu yang dipersembahkan di dalam buku
teks. Untuk mempelajari sesuatu konsep dan menyelesaikan masalah, pelajar perlu
didedahkan dengan pelbagai situasi yang berbeza-beza (Kearsley, 1999). Dengan
adanya bimbingan motivasi intrinsik, kemahuan pelajar untuk menyelesaikan sesuatu
masalah akan terbentuk sekali gus pembelajaran penemuan akan wujud di dalam
kelas.
Pembelajaran penemuan mengandungi tiga ciri utama, iaitu (Bicknell-Holmes
& Hoffman, 2000, lihat Castronova, 2002):
i. Menerusi penyelidikan dan penyelesaian masalah, pelajar mencipta,
menggabung dan mengeneralisasi pengetahuan.
ii. Kebolehan pelajar, aktiviti yang menarik yang mana pelajar
mengenalpasti perkaitan sesuatu pengetahuan yang diperolehi.
iii. Aktiviti yang menggalakkan penggabungan antara pengetahuan baru
dengan pengetahuan pelajar yang sedia ada.
Lima perkara yang membezakan pembelajaran penemuan dengan
pembelajaran tradisional ialah (Bonwell, 1998; Mosca & Howard, 1997; Parpert,
2000, lihat Castronova, 2002):
i. Pembelajaran adalah aktif berbanding pasif.
ii. Pembelajaran adalah berteraskan proses berbanding berteraskan fakta.
iii. Kegagalan adalah penting.
iv. Tindak balas adalah perlu.
v. Pemahaman adalah penting.
Guru mengaplikasikan pembelajaran penemuan di dalam kelas untuk
mengukuhkan beberapa tujuan pengajaran. Antaranya untuk memastikan pelajar-
pelajar tahu bagaimana untuk berfikir secara aktif dan mendapatkan idea dan
maklumat daripadanya berbanding hanya bergantung kepada maklumat yang
disampaikan oleh guru. Selain itu, memastikan bagaimana pelajar mendapatkan
pengetahuan dan maklumat hasil daripada aktiviti di dalam kelas. ia bermaksud
30
melatih pelajar mendapatkan pengetahuan dengan mengumpul, menyusun, dan
menganalisis maklumat untuk mendapatkan kesimpulan. Guru juga menggunakan
kedah pembelajaran penemuan untuk menggalakkan kemahiran pemikiran aras tinggi
di kalangan pelajar seperti menganalisis, mengsintesis dan menilai.
Pembelajaran penemuan mempunyai beberapa ciri-ciri yang tertentu. Iaitu
peranan guru bukanlah sebagai penyampai pengetahuan sebaliknya mencipta
pengalaman suasana kelas dengan menghubungkaitkan penemuan pengetahuan dan
pelajar. Guru menggalakkan pelajar berfikir secara mendalam disamping pelajar
menitegrasikan inkuiri dalam pembelajaran. Pelajar menerima cabaran untuk
mendapatkan maklumat dengan sendiri tanpa menerima maklumat dengan pasif
daripada guru. Pembelajaran penemuan juga melibatkan penglibatan dan interaksi
pelajar yang eektif, banyak pendapat diberikan dan menerima banyak maklumat hasil
daripada pembelajaran penemuan di dalam kelas.
Teori kognitif ini dibina dalam persekitaran idea pengkategorian
(categorization) dan pengorganisasian (organization). Bruner percaya bahawa setiap
maklumat yang diperolehi, minda akan mencuba untuk memudah dan menyesuaikan
dengan sesuatu situasi. Pengkategorian adalah bagaimana minda memudahkan
maklumat yang simpan di dalam ingatan jangka pendek. Manakala pengorganisasian
pula melibatkan penyusunan maklumat dalam bentuk sistem kod. Contoh sistem kod
ialah sepertu penyusunan sesuatu dalam hierarki yang mana bentuk yang umum
terletak di atas hierarki dan diikuti dengan yang lebih spesifik di bahagian bawah
heirarki tersebut. Bruner juga berpendapat bahawa minda manusia mengorganisasi
maklumat secara spontan dalam gaya heirarki dengan mengorganisasi sesuatu
pengetahuan tersebut di dalam ingatan jangka panjang. Beliau juga percaya bahawa
semua perkara mempunyai persamaan struktur, iaitu fakta disokong oleh konsep dan
kemudian disokong oleh generalisasi (Borich & Tombari, 1997).
Dalam proses pengajaran, generalisasi, konsep dan fakta perlu diorganisasi
atau disusun dengan cara yang bersistematik supaya proses pengajaran dan
pembelajaran di dalam kelas dapat dilaksanakan dengan baik. Pengajaran yang baik
adalah dengan membantu pelajar melakukan penemuan dengan sendiri perkaitan
31
sesuatu generalisasi (umum) dengan konsep dan fakta berbanding menyampaikan
kandungan pengajaran secara terus kepada pelajar.
Inti sari dalam pembelajaran penemuan ialah fakta yang penting, konsep dan
generalisasi sesuatu bidang ilmu yang tidak disampaikan kepada pelajar di awal
pengajaran dalam bentuk yang tersusun, sebaliknya ia diajar bagaimana pelajar
menemui perhubungan di antara fakta, konsep dan generalisasi dan distruktur atau
disusun dalam ingatan jangka panjang mereka. Pembelajaran penemuan
membolehkan pelajar mengingati apa yang dipelajari dalam jangka masa yang
panjang.
Dalam mengaplikasikan teori pembelajaran penemuan di dalam kelas, ia
perlu mempertimbangkan lima ciri asas iaitu set pengajaran, set motivasi, asas
pengetahuan, pelbagai contoh dan hierarki kurikulum tersusun. Set pengajaran ialah
matlamat atau objektif yang diterangkan oleh guru di dalam kelas di awal sesi
pengajaran. Dalam pembelajaran penemuan, guru menerangkan kepada pelajar
objektif pembelajaran yang bersesuaian untuk aras perkembangan pelajar. Set
motivasi melibatkan apa yang akan guru lakukan untuk merangsang, mendorong atau
membangkitkan pelajar untuk mencapai objektif pembelajaran. Asas pengetahuan
merujuk kepada keluasan deklaratif pelajar dan pengetahuan yang relevan dengan
kandungan pembelajaran. Pelajar dianggap dapat melihat kepentingan hubungan dan
menemui kepentingan prinsip dan generalisasi yang penting sekiranya mereka
memperolehi maklumat yang bersesuaian. Pelbagai contoh bermaksud memberi
pelbagai contoh atau situasi yang sebanyak mungkin yang berkaitan dengan sesuatu
subjek yang sedang mereka pelajari. Hierarki kurikulum tersusun menekankan
bahawa kurikulum perlu disusun bersama dengan hierarki generalisasi, konsep dan
fakta. Guru perlu merancang pembelajaran dengan memahami struktur hierarki
maklumat yang perlu mereka sampaikan. Dengan ini pelajar akan didedahkan dengan
fakta tertentu daripada konsep yang pelajar temui dan seterusnya melalui peringkat
generalisasi.
32
2.6.1 Kelebihan Pembelajaran Penemuan
Pembelajaran penemuan memberikan banyak kelebihan dalam proses
pengajaran dan pembelajaran di dalam kelas. Bruner juga ada menyenaraikan
kelebihan-kelebihan penggunakan kaedah pembelajaran penemuan di dalam kelas.
antaranya ialah pertama, ia dapat meningkatkan potensi intelektual pelajar. Pelajar
lebih terdorong untuk mendapatkan pola dalam penyelesaian masalah, belajar
bagaimana memindah dan mengorganisasi maklumat supaya mereka memperolehi
maklumat tambahan daripada maklumat yang sedia ada. Dengan menggalakkan
pembelajaran penemuan di dalam kelas, pelajaran akan bekerja dan berusaha dengan
bebas untuk mendapatkan pengetahuan baru tanpa mengharapkan bantuan yang
sepenuhnya daripada guru.
Kedua ialah peralihan daripada ganjaran ekstrinsik kepada intrinsik.
Pembelajaran sesuatu konsep atau prinsip dengan menemukan perkaitan terhadap
contoh-contoh, berbanding memberikan penyataan yang analitik mengenai sesuatu
konsep, boleh memberi rangsangan kepada kepuasan pelajar dalam proses
pembelajaran dan ia memupuk sikap yang memberikan ganjaran intrinsik.
Disamping itu, pelajar juga akan mahir terhadap sesuatu yang mereka alami dan
meningkatkan keupayaan pelajar. Selain itu, pembelajaran penemuan juga dapat
membentuk kemahiran pelajar dalam menyelesaikan masalah dan berfikiran kreatif.
Ketiga, mempelajari heuristik atau strategi untuk membuat penemuan akan
datang. Bermaksud dengan amalan prosedur penemuan yang efektif akan
menghasilkan pembelajaran yang terbaik terhadap bagaimana menemui maklumat
yang baru. Terakhir sekali iaitu pengekalan dan penemuan semula maklumat.
Menurut Bruner, maklumat yang terdapat pada pelajar dan struktur kognitif pelajar
(ingatan) boleh menjadikan maklumat lebih berguna dan berupaya memindahkan
kepada situasi yang baru.
Kelebihan pembelajaran penemuan juga memberi kesan kepada kebolehan
memotivasikan pelajar, pengekalan (retention), dan pencapaian (Castronova, 2002).
Pembelajaran penemuan juga mengganggap bahawa kesilapan dalam menyelesaikan
33
masalah adalah penting. Dengan kesilapan ini, dapat meningkatkan sikap
tanggunjawab pelajar terhadap kesalahan yang mereka lakukan dan berusaha untuk
memperbaikinya. Oleh itu, mereka akan lebih bersedia untuk menyelesaikan masalah
apabila menghadapi masalah yang sama atau hampir sama.
Dengan pembelajaran penemuan, ia memberi peluang kepada pelajar untuk
memanipulasi, menyiasat dan menyelidik sesuatu yang dikaitkan dari luar
persekitaran pembelajaran. Sekali gus menjadikan pembelajaran lebih menarik
(Castronova, 2002). Kajian yang dilakukan oleh Hardy (1967) menunjukkan bahawa
pelajar yang diajar menggunakan pendekatan pembelajaran penemuan memberikan
keputusan yang positif dalam ujian selepas (post-test) dan ujian sebelum (pre-test)
berbanding pelajar yang diajar dengan kaedah berpusatkan guru (Castronova, 2002).
Pembelajaran penemuan mempunyai sedikit persamaan dengan pembelajaran
tradisional dalam konteks pengekalan maklumat. Iaitu pelajar mengingat kembali
aktiviti yang melibatkan pengalaman pembelajaran. Tetapi dalam konteks ini,
umumnya pelajar lebih mengingat kembali pengalaman pembelajaran penemuan
berbanding pembelajaran tradisional. Pembelajaran penemuan juga telah
mempengaruhi pencapaian pelajar dalam pembelajaran.
2.6.2 Ciri-ciri Pembelajaran Penemuan Berlaku di dalam Kelas.
Castronova (2002) telah menerangkan bahawa terdapat tiga sifat utama yang
terkandung di dalam pembelajaran penemuan iaitu pelajar mencipta, menggabung
dan membuat generalisasi terhadap penyelidikan dan penyelesaian masalah, aktiviti
yang menyeronokkan akan menarik minat pelajar untuk belajar dan mengaitkan
antara pengetahuan sedia ada dengan pengetahuan yang baru mereka perolehi
daripada hasil pembelajaran. Dengan atribut ini sekaligus dapat membezakan
suasana pembelajaran penemuan amat berbeza dengan suasana pembelajaran
tradisional.
34
Pembelajaran penemuan merupakan pembelajaran yang aktif, proses
pembelajaran lebih penting, memerlukan interaksi dua hala antara guru-pelajar dan
pelajar-pelajar, pemahaman dianggap penting berbanding mengingati maklumat yang
diterima oleh pelajar dan kesilapan dalam menjalankan aktiviti untuk mendapatkan
keputusan atau jawapan yang betul tidak dianggap sebagai kelemahan pelajar,
sebaliknya ia dijadikan sebagai panduan untuk pelajar berfikir lebih mendalam dan
sentiasa membuat refleksi dalam proses mendapatkan maklumat dan keputusan yang
tepat.
Ormrod (1995) berpendapat bahawa pembelajaran penemuan akan berlaku di
dalam kelas apabila pelajar memiliki kemahiran pemikiran aras tinggi, kreatif dan
pembelajaran kendiri dalam menyelesaikan masalah di dalam aktiviti kelas. selain
itu, dengan menggalakkan pembelajaran penemuan, pelajar menjadi lebih berminat
dan seterusnya pembelajaran akan menjadi lebih efektif. Dengan memiliki
pengetahuan sedia dan relevan pelajar sudah pasti menerima banyak faedah daripada
pembelajaran penemuan. Mereka dapat melakukan interpretasi daripada pemerhatian
yang mereka lakukan dalam sesuatu eksperimen.
Ormrod (1995) juga yakin bahawa pembelajaran yang bermakna hanya akan
berlaku apabila pelajar memiliki pengalaman dan pengetahuan sedia ada dan mereka
boleh membuat perkaitan pengalaman dan pengetahuan mereka dengan maklumat
yang baru mereka perolehi.
Slavin (2003) berpendapat bahawa beberapa ciri perlu ada dalam menjadikan
suasanakan pembelajaran berteraskan kepada pembelajaran penemuan. Antaranya
ialah:
i. Dengan penglibatan secara aktif oleh pelajar, mereka dapat mempelajari
sesuatu pengetahuan dengan lebih luas mengenai konsep dan prinsip
sesuatu ilmu. Pelajar mengalami dan membentuk eksperimen dengan
galakan daripada guru untuk mendapatkan sendiri sesuatu konsep dan
prinsip.
35
ii. Mengetahui (knowing) dianggap sebagai sesuatu proses dan bukannya
hasil.
iii. Pelajar mempunyai sikap ingin tahu dan dimotivasikan oleh guru
supaya mereka berusaha untuk mendapatkan jawapan.
iv. Pelajar membuat analisis, memanipulasi maklumat dan berfikir secara
kritikal untuk menyelesaikan masalah.
Dalam membentuk suasana pembelajaran penemuan, Gibson (1980) juga
mencadangan beberapa ciri yang perlu ada di dalam kelas.
i. Pelajar dapat membentuk pemahaman yang lebih baik terhadap
maklumat atau idea asas dan konsep sesuatu ilmu yang dipelajari.
ii. Pelajar dalam mengaplikasikan maklumat yang diperolehi dan
kemudian dipindahkan kepada situasi pembelajaran yang baru atau
dalam kehidupan seharian mereka.
iii. Pelajar mempunyai usaha dan berkeupayaan untuk berfikir dan bekerja
dengan bantuan yang minimum oleh guru.
iv. Pelajar boleh berfikir secara intuitif, membentuk dan menguji hipotesis
mereka. Dengan itu mereka dapat menghadapi berbagai situasi dan
samada dalam proses pembelajaran atau pun dalam kehidupan seharian
mereka.
Pembelajaran penemuan adalah berteraskan kepada teori kognitif. Oleh itu,
kebanyakkan apa yang disifatkan oleh teori kognitif juga terkandung di dalam
pembelajaran penemuan (Parsons, 2001). Beliau berpendapat bahawa pembelajaran
penemuan meletakkan pengukuhan yang terbaik terhadap motivasi dan kepuasan
pelajar (learner satisfying). Pembelajaran penemuan akan berlaku di dalam kelas
apabila pelajar membuat andaian berdasarkan maklumat yang tidak lengkap di dalam
sesuatu aktiviti dan guru pula merangsang pelajar untuk menyelesaikan masalah
36
dengan pelajar menggunakan strategi mereka sendiri. O’Donnell et. al., (2007)
mencirikan pembelajaran penemuan sebagai penaakulan induktif atau pun abstrak
prinsip umum daripada gabungan berbagai contoh-contoh.
Pelajar melakukan pengkelasaan dan kategori terhadap pengetahuan atau
maklumat yang mereka perolehi di dalam kelas dan kemudian membentuk suatu
konsep. Daripada pengetahuan prinsip-prinsip, pelajar dapat membuat generalisasi
terhadap konsep yang mereka perolehi daripada aktiviti di dalam kelas.
Selain daripada itu, aktiviti menganalisis, mensintesis, menilai,
mengorganisasi dan mentafsir merupakan kemahiran pemikiran aras tinggi. Ia juga
dikenali sebagai metakognitif. Pelajar bekerja tanpa terlalu bergantung kepada guru.
Mereka membuat analisis, mensintesis terhadap sesuatu masalah dan berfikir untuk
menentukan strategi yang bersistematik dalam menyelesaikan masalah. Berinteraksi
sesama pelajar atau guru juga boleh mendorong dan merangsang pelajar berfikir
dengan lebih mendalam untuk mendapatkan penyelesaian sesuatu masalah.
Dengan adanya maklumat dan pengetahuan yang sedia ada, pelajar dapat
membuat perkaitan dengan maklumat baru yang mereka terima dan
mengintegrasikan kesemua maklumat tersebut untuk tujuan menyelesaikan sesuatu
masalah. Dengan adanya aktiviti yang melibatkan penyemakan dan penjanaan
maklumat, pelajar akan membuat andaian terhadap maklumat yang tidak tepat untuk
mereka menguji hipotesis yang telah mereka bentuk dalam usaha untuk mendapatkan
keputusan yang tepat. Dengan aktiviti yang menarik dan merangsang minda, pelajar
terdorong untuk menyelesaikan masalah. Pelajar akan berusaha untuk menjawab
persoalan yang mereka, rakan atau guru bangkitkan mengenai aktiviti yang mereka
lakukan dan mempunyai motivasi intrinsik untuk menyelesaikannya. Pembelajaran
menjadi lebih bermakna apabila pelajar memahami sesuatu konsep dengan
menjalankan aktiviti secara praktikal.
Tahap pengetahuan pelajar juga penting untuk membantu dalam mewujudkan
suasana pembelajaran penemuan. Dimensi pengetahuan ini berfungsi sebagai
panduan dalam proses pembelajaran. Ia juga membantu pengajaran menjadi lebih
berstruktur, terancang, dan mempunyai hubungan yang jelas antara objektif
37
pembelajaran dan proses pengajaran. Tahap pengetahuan ini terdiri daripada empat
jenis dimensi pengetahua iaitu (Amer, 2006):
i. Pengetahuan Fakta.
Elemen asas yang perlu pelajar ketahui dalam sesuatu disiplin atau
menyelesaikan masalah.
a. Pengetahuan terhadap istilah.
b. Pengetahuan terhadap ciri-ciri dan elemen-elemen khusus.
ii. Pengetahuan Konsep.
Hubung kait di antara elemen-elemen asas di dalam struktur yang luas
yang membolehkan ianya berfungsi
a. Pengetahuan terhadap pengkelasan dan pengkategorian.
b. Pengetahuan terhadap prinsip-prinsip dan generalisasi.
c. Pengetahuan terhadap teori-teori, model-model dan struktur-
struktur.
iii. Pengetahuan Prosedur.
Melibatkan aktiviti bagaimana melakukan sesuatu. Ia melibatkan inkuiri,
dan kriteria dalam menggunakan kemahiran, algoritma, teknik dan
kaedah.
a. Pengetahuan terhadap kemahiran dan algoritma.
b. Pengetahuan terhadap teknik dah kaedah.
c. Pengetahuan terhadap kriteria untuk mengenalpasti penggunaan
prosedur yang tepat dan bersesuaian.
iv. Pengetahuan Metakognitif.
Pengetahuan kognitif secara umum dan juga kesedaran dan pengetahuan
kognitif individu.
a. Pengetahuan strategik.
b. Pengetahuan mengenai tugasan kognitif, termasuk kesesuaian
kontekstual dan syarat pengetahuan.
c. Pengetahuan kendiri (self-knowledge).
38
Daripada huraian pengkaji dan penyelidik terhadap atribut dan ciri
pembelajaran penemuan, dapat disimpulan bahawa pembelajaran penemuan
mempunyai ciri-ciri yang terkandung di dalam operasi kognitif (Mosston, 1972 lihat
Edutechwiki, 2007). Dengan adanya ciri-ciri ini, dapat memberi panduan dan
membantu perekabentuk pengajaran dalam membangunkan suasana pengajaran
berteraskan pembelajaran penemuan dengan dan menjadikan pembelajaran yang
lebih bermakna kepada pelajar.
i. Mengecam (Recognise)
Mengenalpasti sesuatu sebagaimana yang pernah dilihat atau
diketahui.
Mengenalpasti daripada pengetahuan sesuatu ciri-ciri tertentu.
ii. Menganalisis (Analysing).
Memecahkan atau mengasingkan sesuatu bahan atau abstrak
kepada elemen-elemen yang lebih terperinci atau khusus.
iii. Mensintesis (Synthesizing).
Menggabungkan elemen-elemen yang khusus atau sub-elemen
daripada sumber yang berasingan kepada satu unit yang lebih
besar.
iv. Membanding (Comparing) dan Membeza (Contrasting).
Membanding: Mengkaji dua atau lebih objek atau perkara
untuk mendapatkan persamaan atau perbezaan.
Membeza: Perbandingan yang menunjukkan sesuatu perkara
atau objek tidak mempunyai persamaan atau berbeza.
Mempunyai ciri-ciri yang berbeza dan bertentangan.
v. Membentuk kesimpulan (Drawing conclusions).
Bahagian terakhir pada sesuatu kajian atau ujian.
Kebiasaannya ia adalah ringkas, mengandungi kenyataan
pendapat keputusan yang dicapai.
39
vi. Membentuk hipotesis (Hypothesizing).
Suatu penyataan, usul atau pendapat yang dikemukakan
sebagai suatu penjelasan sesuatu fenomena atau situasi samada
ianya benar atau andaian yang mendorong kepada penyiasatan.
vii. Mengingat (Memorizing).
Mengingat kembali fakta-fakta atau konsep yan diperolehi
daripada pengalaman dan pengetahuan yang lepas.
viii. Inkuiri (Inquiring).
Keinginan dalaman atau pencarian terhadap kebenaran sesuatu
maklumat atau pengetahuan.
Pencarian maklumat hasil daripada pertanyaan atau
penyiasatan.
ix. Mencipta (Inventing).
Mencipta atau mewujudkan sesuatu hasil daripada
kebijaksanaan atau kepintaran seseorang.
x. Menemui (Discovering).
Penghasilan sesuatu yang baru hasil daripada gabungan
sesetengah maklumat atau sesuatu yang sedia ada. Lanjutan
maklumat daripada maklumat atau hasil yang sedia ada.
2.7 Kajian berkaitan Pembelajaran Matematik Interaktif
Dalam era teknologi yang begitu pesat berkembang dengan setiap hari ada
sahaja teknologi baru yang diinovasi dan dihasilkan, banyak memberi kesan kepada
corak kehidupan masyarat. Impak daripada kederasan perkembangan teknologi ini
tanpa mengira masa telah menyedarkan kelompok pendidik bahawa betapa
pentingnya melengkapkan diri pelajar dengan penguasaan pengetahuan dan
kemahiran yang seiring dengan teknologi. Di dalam konteks matematik, pengajaran
40
dalam kebanyakan topik perlulah diselaraskan dengan teknologi dan inovasi yang
baru dan terkini supaya pelajar mendapat memberikan kebaikan yang optimum
kepada kehidupan seharian mereka (Noraini, 2006)
Tiwari (2007) telah membuat kajian keberkesanan penggunaan perisian
interaktif Matematica terhadap dua kumpulan pelajar iaitu kumpulan kawalan dan
kumpulan eksperimen dalam mengukuhkan pengetahuan konsep dan kebolehan
menyelesaikan masalah bagi topik pembezaan. Kumpulan kawalan tidak
menggunakan perisian interaktif Matematika dan kumpulan eksperimen pula
menggunakan perisian interaktif Matematica. Hasil kajian mendapati kumpulan
eksperimen menunjukkan markah yang lebih tinggi berbanding pelajar dari
kumpulan kawalan. Hasil kajian Tiwari menunjukkan bahawa penggunaan komputer
khususnya perisian interaktif berfungsi dengan begitu efektif dalam menvisualkan
hubungan antara fungsi dan fungsi pembezaannya, dan pembolehubah. Penyelesaian
abstrak terhadap kebanyakkan aplikasi masalah memberi makna kepada pelajar.
Kurz, et. al., (2005) berpendapat bahawa komputer berperanan sebagai tutor,
peralatan dan totee. Pelajar dibantu oleh komputer untuk menjalankan aktiviti di
dalam kelas, pelajar menggunakan komputer sebagai alat pembelajaran, dan pelajar
bertindak sebagai tutor kepada komputer menerusi bahasa atau arahan. Penggunaan
teknologi dalam proses pembelajaran menyokong proses kognitif dengan
mengurangkan beban ingatan pelajar dan menggalakkan kesedaran terhadap proses
penyelesaian masalah. Penggunaan teknologi juga dapat membantu pelajar
menjimatkan masa pelajar dalam proses pengiraan. Ini kerana pelajar tidak perlu
melakukan pengiraan dengan menggunakan kaedah tradisional. Teknologi
menggalakkan pelajar memperkembangkan kebolehan pelajar dalam
mengaplikasikannya dengan lebih meluas dan bukan tertumpu di dalam kelas sahaja.
Sesetengah perisian interaktif juga menggalakkan proses taakulan logik dan
pengujian hipotesis dengan menggalakkan pelajar menguji andaian dengan mudah.
Teknologi menggalakkan pelajar menemui hubungan matematik menerusi
eksperimen yang dilakukan. Perisian interaktif spreedsheet menggalakkan pelajar
memanipulasikan maklumat dengan cepat dan membentuk model andaian atau
pengujian visual, seterusnya mendapatkan pola atau generalisasi sesuatu maklumat
41
Drier 2001). Pelajar boleh menyiasat masalah matematik dan membuat penemuan
konsep matematik daripada eksperimen maklumat yang diperolehi dan mendapatkan
hasil yang sah.
Kajian yang dilakukan Kulik (1994) terhadap pelajar sekolah menengah
mengenai penggunaan komputer di dalam pengajaran memberikan keptusan yang
memuaskan terhadap sikap, minat dan pencapaian pelajar. Pencapaian pelajar yang
menggunakan teknologi di dalam kelas meningkat berbanding pelajar yang tidak
menggunakan teknologi. Kajian Kulik juga menunjukkan pelajar memerima
pengetahuan lebih banyak dalam masa yang singkat apabila mengintegrasikan
teknologi di dalam kelas.
BAB 3
METODOLOGI
3.1 Pengenalan
Pengajaran adalah suatu set peristiwa yang memberi kesan kepada pelajar-
pelajar dengan cara bagaimana pengajaran dilaksanakan. Salah satu daripada
kepentingan dalam merekabentuk sistem pengajaran adalah membezakan kandungan
dan strategi. Kandungan bermaksud maklumat yang telah dikenalpasti dan
didokumentasikan, kandungan pengajaran diskrit. Strategi adalah rentetan khusus set
komponen dalam konteks pilihan media untuk tutorial pengajaran.
Pengajaran merupakan suatu usaha yang bertujuan untuk membantu individu
belajar. Walaupun pembelajaran boleh berlaku tanpa sebarangan pengajaran, tetapi
kesan pengajaran itu swndiri dalam pembelajaran kebiasaannya memberi banyak
kelebihan dan mudah untuk diperhatikan. Apabila pengajaran dibentuk untuk tujuan
memenuhi sesuatu objektif pembelajaran, ia boleh jadi samada objektif pembelajaran
itu berjaya atau sebaliknya.
3.2 Rekabentuk Sistem Pengajaran Model ADDIE
Model ADDIE adalah model yang generik. Ianya merupakan suatu
pendekatan sistematik dalam proses merekabentuk pengajaran. Model ini membantu
43
untuk memastikan hasil pengajaran adalah efektif dan proses-proses yang kreatif
menjadi lebih efisyen sebagaimana yang diharapkan oleh objektif pengajaran. Model
ADDIE ini juga dikenali sebagai rekabentuk pengajaran yang sistematik. Rekabentuk
pengajaran memberi fokus kepada pengajaran dan pembelajaran yang lebih
berpusatkan pelajar. Dengan itu pembelajaran efektif dapat menggantikan suasana
pembelajaran tradisional seperti pengajaran dan pembelajaran yang berpusatkan
guru. Setiap komponen dan kandungan dalam pengajaran berpandukan kepada hasil
atau objektif pembelajaran. Hasil pembelajaran ini dikenalpasti menerusi analisi
terhadap keperluan pelajar-pelajar.
Model ADDIE ini mengandungi lima fasa iaitu analisis (analysis),
rekabentuk (design), pembangunan (development), perlaksanaan (implement) dan
akhir sekali penilaian (evaluation). Umumnya analisis bermaksud proses
mengenalpasti apa yang perlu dipelajari oleh pelajar. Rekabentuk mewakili proses
yang khusus bagaimana pelajar mempelajari sesuatu pengajaran yang disampaikan
oleh guru. Pembangunan bermaksud proses mengarang dan menghasilkan sesuatu
bahan pengajaran. Proses yang melibatkan perlaksanaan projek dalam konteks yang
sebenar berlaku dalam fasa perlaksanaan. Fasa terakhir, penilaian adalah proses
mengenalpasti kelengkapan dan kesempurnaan pengajaran.
Fasa-fasa ini ada kalanya bertindih dan boleh saling berkait antara satu sama
lain. Model ini dinamik, garis panduan yang fleksibel membolehkan pembangunan
pengajaran menjadi lebih efektif dan efisyen. Selain itu, proses dalam merekabentuk
model ini berulang-ulang iaitu hasil penilaian formatif pada setiap fasa mungkin
mendorong pereka melihat kembali mana-mana fasa yang sebelumnya untuk
membuat pembaikkan (McGriff, 2000). Hasil terakhir dalam sesuatu fasa adalah
hasil awalan bagi fasa seterusnya. Rajah 3.1 menunjukkan rekabentuk pengajaran
menggunakan model ADDIE.
44
Analisis
Rekabentuk
Pembangunan
Perlaksanaan
Penilaian Formatif
Rajah 3.1 : Rekabentuk Pengajaran ADDIE
3.2.1 Fasa Pertama: Analisis
Fasa analisis merupakan asas kepada fasa-fasa yang lain dalam rekabentuk
pengajaran. Dalam Fasa ini masalah dikenalpasti, kemudian penyelesaian yang
bersesuaian ditentukan masalah tersebut. Hasil dalam fasa ini biasanya mengandungi
matlamat pengajaran dan senarai kerja yang perlu diajar.
Dalam projek untuk menghasilkan tutorial perisian bergrafik interaktif
KmPlot ini, bukanlah sesuatu yang biasa jika dibandingkan dengan pembangunan
tutorial pembelajaran yang lain seperti tutorial pengajaran goemetri. Ini kerana
terdapat banyak perisian yang digunakan di dalam kelas yang melibatkan
45
pembelajaran geometri seperti geometer’s sketchpad, kalkulator bergrafik dan
perisian interaktif lain. Ditambah pula, perisian ini tidak mempunyai tutorial yang
lengkap untuk membolehkan pengguna menggunakan perisian ini dengan mudah.
Oleh itu, beberapa perkara akan dianalisis dalam peringkat ini. Antaranya seperti
memastikan samada perisian yang dicadangkan bersesuaian dengan kandungan
pengajaran dan pembelajaran.
Analisi pertama yang dibuat ialah dengan melihat kandungan sukatan
pelajaran KBSM matematik Tingkatan 1 hingga Tingkatan 5, dan sukatan pelajaran
KBSM matematik tambahan Tingkatan 4 dan Tingkatan 5. Kandungan sukatan
pelajaran KBSM matematik terbahagi kepada 3 bahagian iaitu nombor, bentuk dan
ruang, dan perkaitan. Manakala kandungan sukatan pelajaran KBSM matematik
tambahan pula terbahagi kepada lima komponen. Iaitu geometri, algebra, kalkulus,
trigonometri dan statistik. Daripada bahagian-bahagian tersebut, topik yang berkaitan
dengan pemplotan atau pun yang bersesuaian dengan perisian akan dipilih.
Kemudian, kesemua buku teks KBSM matematik dan matematik tambahan
dianalisis. Analisis kandungan buku teks ini tidak tertumpu kepada subjek yang
berkaitan graf sahaja. Sebaliknya ia memberi tumpuan kepada topik pembelajaran
yang bersesuaian dengan perisian KmPlot. Secara umumnya, tutorial ini dibina untuk
pelajar peringkat menengah atas iaitu pelajar dalam Tingkatan 4 dan Tingkatan 5. Ia
bertujuan untuk memperluaskan penggunaan perisian KmPlot di dalam kelas.
3.2.2 Fasa Kedua: Rekabentuk
Dalam merekabentuk pengajaran terdapat beberapa perkara yang perlu
dipertimbangkan. Antaranya ialah mengetahui apakah objektif pembelajaran yang
perlu dikuasai oleh pelajar di akhir proses pembelajaran. Kedua, kenalpasti dan
menilai penguasaan pelajar dari segi kemahiran, pengetahuan dan sikap yang ingin
dibentuk dalam proses pembelajaran di kalangan pelajar termasuklah penyelesaian
masalah. Ketiga, apakah strategi pengajaran yang digunakan termasuklah teori
pembelajaran yang digunakan.
46
Perkara-perkara yang perlu dipertimbangkan semasa pemilihan aktiviti
pembelajaran adalah:
i. Aktiviti itu hendaklah sesuai dengan objektif pelajaran, iaitu berkaitan
dengan isi pelajaran.
ii. Aktiviti itu dapat menambahkan keberkesanan pengajaran guru.
iii. Aktiviti itu hendaklah dapat memudahkan pemahaman pelajar
terhadap konsep-konsep yang disampaikan.
iv. Aktiviti yang digunakan memudahkan guru menyampaikan konsep
serta dapat menjadikan pembelajaran lebih bermakna serta
menyeronokkan.
Tutorial yang akan dibangunkan dalam projek ini terdiri daripada beberapa
bahagian mengikut sub topik yang telah ditetapkan. Topik yang telah dipilih ialah
graf fungsi (meliputi linear, kuadratik, kubik dan salingan), persamaan serentak,
pembezaan, graf fungsi parametrik dan graf fungsi polar. Topik yang dipilih tidak
terikat pada mana-mana Tingkatan yang tertentu. Sebaliknya tutorial yang
dibangunkan ini memaksimakan seberapa banyak topik dalam matematik dan
matematik tambahan yang bersesuaian dengan pengintegrasian perisian KmPlot. Ini
bertujuan untuk menjadikan perisian sumber terbuka khususnya KmPlot sebagai
salah satu bahan bantu mengajar di dalam kelas matematik.
Objektif pembelajaran adalah suatu pernyataan mengenai pengetahuan,
kefahaman, kemahiran dan kebolehan pelajar dalam menerangkan dan menunjukkan
kembali apa yang telah mereka pelajari di akhir pembelajaran. Objektif pembelajaran
adalah alat pengukuran khusus untuk mengukur pencapaian pelajar (Stephen, 2004).
Oleh itu, tutorial pembelajaran menggunakan perisian KmPlot ini mempunyai hasil
pembelajaran yang bersesuaian dengan aktiviti-aktiviti yang disediakan. Objektif
pembelajaran pada setiap aktiviti memberi tumpuan kepada kesesuaian tahap
keupayaan dan penguasaan kognitif pelajar.
Untuk memastikan tutorial yang dibangunkan ini memberi hasil yang
memuaskan di akhir pembelajaran, teori pembelajaran yang bersesuaian ditentukan.
Untuk menjadikan suasana pembelajaran yang aktif, berpusatkan pelajar dan guru
47
bertindak sebagai pemudah cara atau fasilitator, maka teori pembelajaran penemuan
dipilih. Pembelajaran penemuan menggalakkan pelajar belajar secara aktif dan
efektif. Pelajar dibimbing oleh guru untuk mendapat maklumat daripada sesuatu
situasi yang diberikan. Daripada maklumat tersebut pelajar dapat membentuk konsep
dan generalisasi. Dengan penguasaan konsep dan kemahiran asas, pelajar seterusnya
akan didedahkan dengan aktiviti penyelesaian masalah. Ia bertujuan supaya pelajar
dapat mengaplikasikan kemahiran dan konsep yang telah mereka kuasai kepada
situasi yang memerlukan mereka menyelesaikan masalah. Untuk memastikan tutorial
yang dibangunkan bersesuaian dengan teori pembelajaran yang dipilih, maka ciri-ciri
pembelajaran penemuan dijadikan sebagai panduan untuk merekabentuk tutorial.
Antara ciri-ciri yang terkandung di dalam pembelajaran penemuan ialah mengecam,
menganalisis, mensintesis, membanding dan membeza, membentuk kesimpulan,
membentuk hipotesis, mengingat, inkuiri, mencipta dan menemui.
3.2.3 Fasa Ketiga: Pembangunan
Fasa pembangunan adalah fasa ketiga hasil daripada fasa analisis dan fasa
rekabentuk. Ia melibatkan proses menterjemahkan rancangan dalam fasa rekabentuk
kepada pengajaran (Morrison, et. al., 2001). Tujuan fasa ini ialah untuk menjana
pelan pengajaran dengan menggunakan bahan yang tertentu. Oleh itu, hasil
perbincangan dari dua fasa sebelum ini, lapan tutorial dibina dengan mempunyai
beberapa aktiviti, penyelesaian masalah dan latihan. Topik yang dipilih ialah graf
linear, graf kuadratik, graf kubik, graf salingan, persamaan serentak, pembezaan, graf
fungsi parametrik dan graf fungsi polar.
Tutorial yang dibangunkan ini berteraskan interaktif antara pelajar dengan
teknologi. Oleh itu setiap aktiviti yang disedia di dalam tutorial, dilengkapi dengan
langkah-langkah bagaimana mengaplikasikan perisian Kmplot didalam proses
pengajaran dan pembelajaran. Untuk memastikan langkah-langkah di dalam aktiviti
ini tepat, pengujian dan perlaksanaan terhadap penggunaan perisian KmPlot
dilakukan terlebih dahulu dan juga memastikan perisian KmPlot ini dapat digunakan
48
dengan semaksimum yang mungkin dan dapat memberi manfaat sebagai bahan bantu
mengajar.
Dengan adanya langkah-langkah yang telah disediakan di dalam tutorial ini,
guru bertindak sebagai fasilitator dan pembelajaran berpusatkan pelajar akan berlaku.
Pelajar diberi peluang untuk menyiasat, mengkaji dan menemui sesuatu konsep atau
prinsip dan kemudian di akhir aktiviti, pelajar akan mengaplikasikan pengetahuan
dan kemahiran yang mereka perolehi dengan menjawab soalan berbentuk
penyelesaian masalah. Bagi setiap aktiviti di dalam tutorial ini disediakan latihan
untuk memperkayakan penguasaan pengetahuan, kemahiran dan kebolehan pelajar.
Beberapa peringkat pembaikkan tutorial dibuat dari masa ke semasa untuk
memastikan tutorial yang dibina dapat digunakan oleh pelajar dan guru sebaiknya.
Antara pembaikkan yang buat ialah menyesuaikan objektif pembelajaran tutorial
dengan kandungan yang perlu dipelajari oleh pelajar, menyesuaikan dan
memperbanyakkan penggunaan perisian KmPlot dengan topik yang bersesuaian dan
menyusun langkah-langkah aktiviti supaya pelajar mudah faham dan menjadikan
suasana pembelajaran lebih bermakna dan menyeronokkan dan berstruktur.
3.2.4 Fasa Keempat: Perlaksanaan
Tutorial yang dibangunkankan ini akan dilaksanakan di dalam makmal
komputer yang dilengkapi dengan sistem pengoperasian Linux atau dengan
menggunakan live CD Linux. Para pelajar akan dibimbing oleh guru semasa proses
pengajaran dan pembelajaran.
49
3.2.5 Fasa Kelima: Penilaian
Fasa ini mengukur keberkesanan pengajaran, Penilaian berlaku pada
sepanjang fasa samada di antara fasa, di dalam sesuatu fasa dan selepas
perlaksanaan. Umumnya, dalam fasa kelima model ADDIE ini mengandung dua
jenis penilaian. Iaitu penilaian formatif dan penilaian sumatif. Di dalam projek yang
dibangunkan ini, penilaian formatif dipilih untuk melihat keberkesanan tutorial
pembelajaran yang dibangunkan. Penilaian terhadap tutorial yang dibangunkan ini
dibuat oleh penyelelia projek. Di samping itu, perbincangan antara pembangun
projek dan penyelia juga dilakukan bertujuan untuk memastikan tutorial yang
dibangunkan dapat memberikan manfaat kepada pelajar dan guru. Jika terdapat
kelemahan pada tutorial pembelajaran ini maka proses penambahbaikan akan
dilakukan dengan membuat refleksi terhadap fasa-fasa yang terlibat pada
sebelumnya.
3.3 Penutup
Secara umumnya, untuk menghasilkan tutorial pembelajaran ini agak mudah,
tetapi memandangkan tutorial yang dibangunkan tidak tertumpu kepada mana-mana
Tingkatan yang khusus, maka setiap topik di dalam sukatan pelajaran Matematik
KBSM diteliti dan dianalisis untuk mengenalpasti perisian KmPlot sesuai
diaplikasikan dengan topik-topik Matematik KBSM. Oleh itu, bagi memastikan
tutorial yang dibangunkan memberi manfaat kepada pelajar dan guru, pemerhatian
dan perlaksanaan yang teliti dan berperingkat perlu dilakukan pada setiap fasa dalam
membangunkan tutorial ini. Penilaian pada setiap fasa juga dilakukan untuk
memastikan tiada masalah yang akan timbul apabila beralih kepada fasa yang
seterusnya.
BAB 4
HASIL PROJEK
4.1 Pengenalan
Bab ini membincangkan mengenai hasil projek pembinaan tutorial perisian
bergrafik interaktif KmPlot. Perbincangan ini meliputi topik yang telah dipilih
melalui peringkat analisis, rekabentuk dan pembangunan. Tutorial dibangunkan
dengan berdasarkan objektif pembelajaran dan juga operasi kognitif berdasarkan
teori pembelajaran penemuan.
4.2 Hasil Projek
Untuk menghasilkan dan membangunkan tutorial perisian bergrafik interaktif
KmPlot ini, operasi kognitif dan objektif pembelajaran adalah penting. Ia bertujuan
untuk memastikan matlamat pembelajaran dapat dicapai dengan baik dan berkesan.
Di dalam projek ini, aktiviti dilaksanakan di dalam makmal komputer supaya pelajar
benar-benar dapat merasai suasana pembelajaran menggunakan berkomputer. Selain
itu, dengan adanya tutorial ini, pelajar dapat berinteraksi dengan komputer dengan
menggunakan perisian interaktif KmPlot. Aktiviti ini menekankan pembelajaran
aktif, berpusatkan pelajar dan guru bertindak sebagai fasilitator dalam pengajaran
dan pembelajaran ini untuk memastikan pembelajaran berjalan dengan baik dan
hasilnya memberi makna kepada pelajar. Topik-topik yang dipilih meliputi topik graf
fungsi, persamaan serentak, dan pembezaan.
51
Tutorial yang dibangunkan ini sesuai untuk pelajar menengah rendah. Kerana
untuk menggunakan tutorial ini di dalam kelas matematik, pelajar seharusnya
mempunyai pengetahuan dan kemahiran asas mengenai topik-topik yang disediakan.
Sebagai contoh untuk melaksanakan tutorial graf fungsi linear, pelajar perlu
mengetahui bentuk asas persamaan linear, pelajar mengetahui konsep anu dan
pemboleh ubah di dalam persamaan. Dengan itu dapat membantu pelajar memahami
konsep graf fungsi linear tersebut. Walau bagaimana pun, tutorial yang dibangunkan
ini masih lagi boleh digunakan oleh pelajar-pelajar sekolah menengah atas kerana
perisian Kmplot ini sesuai bagi pelajar berumur 13 hingga 18 tahun dan fungsi atau
ciri yang terdapat di dalam perisian KmPlot ini secara keseluruhannya sesuai
digunakan untuk topik yang dipilih oleh pembangun projek.
4.2.1 Tutorial 1: Graf Fungsi Linear
Tutorial pertama ialah graf fungsi linear. Topik graf fungsi linear terkandung
di dalam sukatan pelajaran KBSM Matematik Tingakatan tiga dan Tingkatan lima.
Di dalam tutorial ini mengandungi empat aktiviti yang melibatkan graf fungsi linear.
Aktiviti tersebut ialah:
i. Understand the graphs of linear
ii. Investigate the characteristics of graphs of linear
iii. Position of a point relative to the graph of y = ax +b
iv. Problem solving involving the graphs of linear
Aktiviti ini bertujuan untuk membantu pelajar memahami konsep graf fungsi
linear. Setiap aktiviti dalam modul ini mengandungi objektif pembelajaran dan
operasi kognitif. Dengan adanya objektif pembelajaran yang jelas dapat membantu
pelajar memahami tujuan mereka mempelajari dan meneroka graf fungsi linear ini.
Untuk mengukuhkan pemahaman dan penguasaan pelajar, latihan disediakan pada
setiap aktiviti. Di akhir tutorial graf linear ini pelajar dapat mengenalpasti konsep
graf linear seperti bentuk graf, perkaitan perubahan pemalar dengan graf, ciri graf
52
linear dan menyelesaikan masalah yang melibatkan graf linear dengan baik. Sebagai
panduan, Lampiran C merupakan tutorial pembelajaran graf fungsi linear.
4.2.1.1 Aktiviti 1.1: Memahami Graf Fungsi Linear
Aktiviti pertama adalah memahami graf fungsi linear. Objektif pembelajaran
aktiviti ini ialah pelajar berkebolehan memplot graf fungsi linear menggunakan
perisian Kmplot, mengenalpasti perubahan nilai pemalar yang memberi kesan
terhadap graf, mengenalpasti perkaitan nilai a dengan kecondongan graf linear,
mengenalpasti perkaitan nilai b dengan paksi-y dan mengenalpasti pola graf apabila
nilai x berubah-ubah. Operasi kognitif di dalam aktiviti ini ialah Recognising,
Analysing dan Drawing conclusion.
Di awal aktiviti, pelajar akan memplot graf linear menggunakan perisian
KmPlot dengan berpandukan langkah-langkah yang disediakan di dalam tutorial ini.
Langkah-langkah memplot graf adalah asas untuk pelajar mengeksplorasi graf yang
diplot. Oleh itu pelajar perlu mengetahui bagaimana memplot graf menggunakan
perisian KmPlot dan menginterpretasikan graf tersebut.
Daripada graf yang telah diplot, pelajar dikehendaki mengkaji, menentukan
dan menghuraikan graf tersebut. Pelajar juga dikehendaki mengenalpasti pola graf
apabila nilai pemalar a atau b berubah samada positif atau negatif dan kemudian
dikehendaki membuat kesimpulan terhadap pemerhatian yang mereka lakukan. Iaitu
apakah bentuk atau arah graf linear apabila nilai pemalar adalah positif atau pun
negatif. Pelajar dikehendaki merekod dan membincangkan hasil pemerhatian yang
mereka lakukan seperti di dalam Jadual 4.1.
53
Jadual 4.1: Perbincangan mengenai perubahan nilai pemalar pada graf linear
Function Discussions and Conclusions
i. 0)0(2 +−= xy
0)4(2 +−= xy
0)5(2 ++= xy
ii. 4)0(2 −−= xy
4)0(21
−−= xy
4)0(4 −−= xy
iii. 0)0(2 +−= xy
4)0(2 −−= xy
5)0(2 +−= xy
iv. 5)0(2 +−= xy
5)4(2 +−−= xy
5)5(0 +−= xy
v. 63 += xy
73 += xy
53 −= xy
Selain itu pelajar dikehendaki membuat pemerhatian dan analisis terhadap
perkaitan nilai a dengan arah graf linear dan juga perkaitan nilai b dengan
persilangan paksi-y. Hasil kesimpulan mengenai perkaitan nilai a dengan arah graf
dan perkaitan nilai b dengan persilangan paksi-y pada graf linear perlu di rekodkan
seperti di dalam Jadual 4.2.
Untuk melihat pola perubahan graf apabila nilai x berubah, pelajar
dikehendaki mengkaji dan menganalisis graf linear yang telah mereka plot pada
perisian KmPlot. Daripada aktiviti tersebut pelajar dikehendaki membuat kesimpulan
mengenai perkaitan perubahan nilai x terhadap nilai y persamaan linear. Kemudian
pelajar dikehendaki merekodkan kesimpulan mereka seperti di dalam Jadual 4.3.
54
Jadual 4.2: Perbincangan mengenai perkaitan nilai pemalar dengan graf linear
Function Relationships between
value of a and the slope
Relationships between
value of b with the
y-intercept
i. 2+−= xy
ii. 04 =− xy
iii. 223 =− yx
iv. 25 −= xy
v. xy231 −=+
vi. 72 −=− xy
Jadual 4.3: Perbincangan mengenai perubahan pola graf linear dengan
perubahan nilai x
Function x value y value Conclusions
-1
0
0.5
1
2+−= xy
1.5
-1
0
0.5
1
223 =− yx
1.5
-1
0
0.5
1
73 += xy
1.5
55
4.2.1.2 Aktiviti 1.2: Menyiasat Ciri-ciri Graf Fungsi Linear
Aktiviti kedua pula ialah mengkaji ciri-ciri graf fungsi linear. Objektif
pembelajaran di dalam aktiviti ini ialah pelajar berkebolehan mengkelas dan
membandingkan jenis dan bentuk graf linear, menunjukkan kecerunan graf linear
samada positif, negatif, sifar atau tidak tertakrif, dan mendapatkan nilai punca
daripada graf yang diplot. Operasi kognitif yang ditekankan di dalam aktiviti ini ialah
Recognising, Analysing, Comparing, Drawing conclusion dan Discovering. Di dalam
tutorial ini juga mengandungi langkah-langkah untuk memplot graf dan mengkaji
graf yang diplot berdasarkan kepada objektif pembelajaran.
Di dalam aktiviti ini, pelajar dikehendaki memplot graf linear yang diberikan,
kemudian membuat pemerhatian dan analisa terhadap nilai a. Daripada nilai a
tersebut pelajar perlu mengkelaskan fungsi linear mengikut kumpulan dan
seperti di dalam Jadual 4.4. Hasil pengkelasan fungsi tersebut pelajar dapat
menentukan kecerunan graf.
0>a
0<a
Jadual 4.4: Perbincangan mengenai bentuk graf linear berpandukan nilai a
Shape of graph Type of graph
a > 0 a < 0
Straight Line
Kemudian pelajar dikehendaki mendapatkan nilai punca dengan mengikut
langkah-langkah yang disediakan di dalam tutorial. Pelajar perlu mengisi jadual yang
disediakan seperti Jadual 4.5.
56
Jadual 4.5: Perbincangan mengenai kecerunan dan punca graf linear
Group A : a>0 Gradient Roots Group B : a<0 Gradient Roots
34 −= xy
34 −−= xy
221
−= xy
221
−−= xy
4.2.1.3 Aktiviti 1.3: Kedudukan Titik Relatif terhadap Graf Linear
Aktiviti ketiga ini menetapkan objektif pembelajaran mengkaji kedudukan
titik relatif terhadap graf linear. Operasi kognitif di dalam aktiviti ini ialah
Recognising dan Analysing. Aktiviti ini juga menyediakan langkah-langkah untuk
menentukan kedudukan titik pada graf fungsi yang diberikan. Di dalam aktiviti ini
pelajar dikehendaki membuat andaian kedudukan koordinat terhadap graf linear dan
kemudian pelajar dikehendaki memplot fungsi tersebut pada perisian KmPlot.
Daripada pemerhatian terhadap graf yang diplot, pelajar perlu menentukan
kedudukan koordinat tersebut samada berada pada graf, di atas graf atau pun di
bawah graf.
Hasil daripada graf yang diplot pada KmPlot pelajar dikehendaki membuat
semakan terhadap andaian yang telah mereka lakukan dan mengisi jadual yang
disediakan seperti Jadual 4.6.
57
Jadual 4.6: Perbincangan mengenai kedudukan koordinat terhadap graf linear
Line Point y 6x+6 y<6x+6 y=6x+6 y>6x+6
Below On Above
(2,3) 3 11 √ √
(2,0)
(-1,0)
(0,6)
(-2,-1)
Aktiviti 1.4: Penyelesaian Masalah Melibatkan Graf Linear
Setelah pelajar telah menguasai kemahiran memplot graf linear menggunakan
perisian KmPlot dan pengetahuan konsep graf fungsi linear, pelajar akan didedahkan
dengan beberapa masalah berbentuk ayat. Objektif pembelajaran aktiviti ini ialah
memastikan kebolehan pelajar menyelesaikan masalah melibatkan graf fungsi linear
dengan menggunakan perisian KmPlot di samping menggunakan pentahuan dan
kemahiran lepas. Operasi kognitif yang diterapkan di dalam aktiviti ini ialah
Memorising, Recognising, Analysing, Drawing conclusion dan Discovering. Di
dalam aktiviti ini pelajar mengaplikasikan pengetahuan dan pengalaman yang lepas
terhadap konsep graf linear dan kemahiran penggunaan perisian KmPlot untuk
menyelesaikan masalah.
Di dalam aktiviti ini pelajar dikehendaki memahami kehendak masalah dan
menukar masalah berayat tersebut kepada bentuk matematik sebelum mereka
menyelesaikannya. Pelajar juga diberikan masalah lanjutan yang perlu mereka
mengkaji dan mendapatkan maklumat baru daripada maklumat yang sedia ada.
58
4.2.2 Tutorial 2: Graf Fungsi Kuadratik
Tutorial kedua ialah graf fungsi kuadratik. Topik graf fungsi kuadratik
terkandung di dalam sukatan pelajaran KBSM Matematik Tingkatan tiga, empat dan
lima. Di dalam tutorial ini mengandungi empat aktiviti yang melibatkan graf fungsi
kuadratik. Aktiviti tersebut ialah:
i. Understand the graphs of quadratic
ii. Investigate the characteristics of graphs of quadratic
iii. Compare the graphs of quadratic with different values of a
iv. Problem solving involving the graphs of quadratic
Aktiviti ini bertujuan untuk membantu pelajar memahami konsep graf fungsi
kuadratik. Pada setiap aktiviti dalam modul ini mengandungi objektif pembelajaran
dan operasi kognitif. Dengan adanya objektif pembelajaran yang jelas dapat
membantu pelajar memahami tujuan mereka mempelajari dan meneroka graf fungsi
kuadratik ini. Untuk mengukuhkan pemahaman dan penguasaan pelajar, latihan di
sediakan pada setiap aktiviti. Di akhir tutorial graf kuadratik ini pelajar dapat
mengenalpasti konsep graf kuadratik seperti bentuk graf, perkaitan pemalar dengan
graf, ciri graf kuadratik, nilai minimum atau maksimum, garisan simetri graf, dan
dapat menyelesaikan masalah yang melibatkan graf kuadratik dengan baik. Sebagai
panduan, Lampiran D merupakan tutorial pembelajaran graf fungsi kuadratik.
4.2.2.1 Aktiviti 2.1: Memahami Graf Fungsi Kuadratik
Aktiviti pertama adalah memahami graf fungsi kuadratik. Objektif
pembelajaran aktiviti ini ialah pelajar berkebolehan memplot graf fungsi kuadratik
menggunakan perisian Kmplot, mengenalpasti perubahan nilai pemalar memberi
kesan terhadap graf, mengenalpasti perkaitan nilai a dengan bentuk graf,
mengenalpasti perkaitan nilai c dengan paksi-y dan mengenalpasti pola graf apabila
59
nilai x berubah-ubah. Operasi kognitif di dalam aktiviti ini ialah Recognising,
Analysing dan Drawing conclusion.
Di awal aktiviti, pelajar akan memplot graf kuadratik menggunakan perisian
KmPlot dengan berpandukan langkah-langkah yang disediakan di dalam tutorial ini.
Langkah-langkah memplot graf adalah asas untuk pelajar mengeksplorasi graf yang
diplot. Oleh itu pelajar perlu mengetahui bagaimana memplot graf menggunakan
perisian KmPlot.
Daripada graf yang telah diplot menggunakan KmPlot, pelajar dikehendaki
mengkaji, menentukan dan menghuraikan graf tersebut. Pelajar dikehendaki
mengenalpasti pola graf apabila nilai pemalar a, b atau c berubah samada positif atau
negatif. Pelajar juga dikehendaki membuat kesimpulan terhadap pemerhatian yang
mereka lakukan pada graf yang diplot, iaitu:
• Mengesan pola graf apabila nilai a berubah dan apabila nilai . 0=a
• Mengesan pola graf apabila nilai b berubah dan apabila nilai . 0=b
• Mengesan pola graf apabila nilai c berubah dan apabila nilai . 0=c
Selain itu pelajar dikehendaki membuat pemerhatian dan analisis terhadap
nilai a dengan bentuk graf kuadratik dan juga nilai c dengan persilangan paksi-y.
Hasil pemerhatian tersebut pelajar dikehendaki membuat kesimpulan mengenai
perkaitan nilai a dengan benruk graf dan perkaitan nilai c dengan persilangan paksi-y
pada graf kuadratik.
Seterusnya, pelajar dikehendaki mengkaji dan menganalisis pengaruh
perubahan nilai x terhadap perubahan bentuk graf kuadratik yang telah mereka plot
pada perisian KmPlot. Daripada aktiviti tersebut pelajar dikehendaki membuat
kesimpulan mengenai perkaitan perubahan nilai x terhadap nilai y persamaan
kuadratik. Kemudian pelajar dikehendaki memberikan kesimpulan seperti di dalam
Jadual 4.7.
60
Jadual 4.7: Perbincangan mengenai perubahan bentuk graf kuadratik
dengan perubahan nilai x
Function x value y value Conclusion
-3
-2
-1
0
1
2
22 =−− xxy
3
4.2.2.2 Aktiviti 2.2: Mengkaji Ciri-ciri Graf Fungsi Kuadratik
Aktiviti kedua pula ialah mengkaji ciri-ciri graf fungsi kuadratik. Objektif
pembelajaran di dalam aktiviti ini ialah pelajar berkebolehan mengkelas dan
membandingkan jenis dan bentuk graf kuadratikdan mendapatkan nilai punca
daripada graf yang diplot. Operasi kognitif yang ditekankan di dalam aktiviti ini ialah
Recognising, Analysing, Comparing, Drawing conclusion dan Discovering. Di dalam
tutorial ini juga mengandungi langkah-langkah untuk memplot graf dan mengkaji
graf yang diplot berdasarkan kepada objektif pembelajaran.
Di dalam aktiviti ini, pelajar dikehendaki memplot graf kuadratik yang
diberikan, kemudian membuat pemerhatian dan analisa terhadap nilai a. Daripada
nilai a tersebut pelajar perlu mengkelaskan fungsi kuadratik mengikut kumpulan
dan 0>a 0<a seperti di dalam Jadual 4.8.
61
Jadual 4.8: Perbincangan mengenai bentuk graf kuadratik berpandukan nilai a
Shape of graph Type of graph
a > 0 a < 0
Parabola
Kemudian berpandukan kepada beberapa persamaan fungsi kuadratik yang
diberikan, pelajar dikehendaki mendapatkan nilai punca dengan mengikut langkah-
langkah yang disediakan di dalam tutorial. Pelajar perlu mengisi jadual yang
disediakan seperti Jadual 4.9.
Jadual 4.9: Perbincangan mengenai nilai punca graf kuadratik
Group A : a<0 Root Group B : a<0 Root
562 2 −+= xxy 562 2 −+−= xxy
22
2
−=xy
2
2
2
−−=xy
4.2.2.3 Aktiviti 2.3: Membanding Graf Kuadratik dengan Nilai a dan c yang
Berbeza
Aktiviti ketiga pula ialah membandingkan graf kuadratik
dengan nilai a dan c yang berbeza. Objektif pembelajaran aktiviti ini ialah pelajar
berkebolehan membandingkan bentuk graf kuadratik dengan nilai a yang berbeza
dan mengkaji garis simetri serta titik minimum atau maksimum dengan nilai a dan c
yang berbeza.
)( 2 cbxaxy ++=
62
Di dalam aktiviti ini pelajar diberikan beberapa fungsi kuadratik dan
dikehendaki membuat andaian terhadap bentuk graf kuadratik tersebut. Kemudian
dengan memplot graf pada KmPlot, pelajar perlu membuat perbandingan,
pengkelasan dan menghasilkan kesimpulan terhadap graf tersebut.
Seterusnya, daripada graf yang telah dikelaskan mengikut nilai dan
, pelajar dikehendaki mengkaji graf tersebut samada mempunyai nilai
minimum atau maksimum. Kemudian mendapatkan nilai tersebut dengan mengikut
langkah-langkah yang telah disediakan di dalam aktiviti ini. Daripada pemerhatian
dan analisis yang dibuat terhadap graf yang diplot, pelajar dikehendaki
mengenalpasti garis simetri. Pelajar dikehendaki merekod hasil yang mereka
perolehi di dalam jadual seperti Jadual 4.10. Di akhir aktiviti pelajar dikehendaki
membuat kesimpulan mengenai pengaruh perubahan nilai pemalar terhadap
perubahan graf kuadratik.
0>a
0<a
Jadual 4.10: Perbincangan mengenai nilai minimum atau maksimum
dan garis simetri graf kuadratik
Function Minimum/maximum
point
Symmetrical
line
yxx =−+ 322
412 =− xy Group 1 :
a > 0
42 =− yx
244 xxy −=
2
21 xxy +− Group 1 :
a > 0
02 =+− yxx
63
4.2.2.4 Aktiviti 2.4: Penyelesaian Masalah Melibatkan Graf Fungsi Kuadratik
Setelah pelajar telah menguasai kemahiran memplot graf kuadratik
menggunakan perisian KmPlot dan pengetahuan konsep graf fungsi kuadratik,
pelajar akan didedahkan dengan beberapa masalah berbentuk ayat. Objektif
pembelajaran aktiviti ini ialah memastikan kebolehan pelajar menyelesaikan masalah
melibatkan graf kuadratik dengan menggunakan perisian KmPlot di samping
menggunakan pentahuan dan kemahiran lepas. Operasi kognitif yang diterapkan di
dalam aktiviti ini ialah Memorising, Recognising, Analysing, Drawing conclusion
dan Discovering. Di dalam aktiviti ini pelajar mengaplikasikan pengetahuan dan
pengalaman yang lepas terhadap konsep graf kuadratik dan kemahiran penggunaan
perisian KmPlot untuk menyelesaikan masalah.
Di dalam aktiviti ini pelajar dikehendaki memahami kehendak masalah dan
menukar masalah berayat tersebut kepada bentuk matematik sebelum mereka
menyelesaikannya. Pelajar juga diberikan masalah lanjutan yang perlu mereka
mengkaji dan mendapatkan maklumat baru daripada maklumat yang sedia ada.
Antaranya seperti pelajar dikehendaki membuat perbandingan persamaan kuadratik
yang sedia ada dengan persamaan yang baru sekiranya terdapat pertambahan atau
pengurangan nilai pemalar.
4.2.3 Tutorial 3: Graf Fungsi Kubik
Tutorial ketiga ialah graf fungsi kubik. Topik graf fungsi kubik terkandung di
dalam sukatan pelajaran KBSM Matematik Tingkatan tiga dan lima. Di dalam
tutorial ini mengandungi empat aktiviti yang melibatkan graf fungsi kubik. Aktiviti
tersebut ialah:
i. Understand the graphs of cubic
ii. Investigate the characteristics of graphs of cubic
iii. Compare the graphs of cubic with different values of b
64
iv. Problem solving involving the graphs of cubic
Aktiviti ini bertujuan untuk membantu pelajar memahami konsep graf fungsi
kubik. Pada setiap aktiviti dalam modul ini mengandungi objektif pembelajaran dan
operasi kognitif. Dengan adanya objektif pembelajaran yang jelas dapat membantu
pelajar memahami tujuan mereka mempelajari dan meneroka graf fungsi kubik ini.
Untuk mengukuhkan pemahaman dan penguasaan pelajar, latihan disediakan pada
setiap aktiviti. Di akhir tutorial graf kubik ini pelajar dapat mengenalpasti konsep
graf kubik seperti bentuk graf, perkaitan pemalar dengan graf, ciri graf kubik dan
dapat menyelesaikan masalah yang melibatkan graf kubik dengan baik. Sebagai
panduan, Lampiran E merupakan tutorial pembelajaran graf fungsi kubik.
4.2.3.1 Aktiviti 3.1: Memahami Graf Fungsi Kubik
Aktiviti pertama adalah memahami graf fungsi kubik. Objektif pembelajaran
aktiviti ini ialah pelajar berkebolehan memplot graf fungsi kuadratik menggunakan
perisian Kmplot, mengenalpasti perubahan nilai pemalar memberi kesan terhadap
graf, mengenalpasti perkaitan nilai a dengan bentuk graf, mengenalpasti perkaitan
nilai d dengan paksi-y dan mengenalpasti pola graf apabila nilai x berubah-ubah.
Operasi kognitif di dalam aktiviti ini ialah Recognising, Analysing dan Drawing
conclusion.
Di awal aktiviti, pelajar akan memplot graf kubik menggunakan perisian
KmPlot dengan berpandukan langkah-langkah yang disediakan di dalam tutorial ini.
Langkah-langkah memplot graf adalah asas untuk pelajar mengeksplorasi graf yang
diplot. Oleh itu pelajar perlu mengetahui bagaimana memplot graf menggunakan
perisian KmPlot.
Daripada graf yang telah diplot menggunakan KmPlot, pelajar dikehendaki
mengkaji, menentukan dan menghuraikan graf tersebut. Pelajar dikehendaki
mengenalpasti pola graf apabila nilai pemalar a, b atau c berubah samada positif atau
65
negatif. Pelajar juga dikehendaki membuat kesimpulan terhadap pemerhatian yang
mereka lakukan pada graf yang diplot, iaitu:
• Mengesan pola graf apabila nilai a berubah dan apabila nilai . 0=a
• Mengesan pola graf apabila nilai d berubah dan apabila nilai . 0=d
Selain itu pelajar dikehendaki membuat pemerhatian dan analisis terhadap
nilai a dengan bentuk graf kubik dan juga nilai d dengan persilangan paksi-y. Hasil
pemerhatian tersebut pelajar dikehendaki membuat kesimpulan mengenai perkaitan
nilai a dengan bentuk graf dan perkaitan nilai d dengan persilangan paksi-y pada graf
kubik.
Seterusnya, pelajar dikehendaki mengkaji dan menganalisis pengaruh
perubahan nilai x terhadap perubahan bentuk graf kubik yang telah mereka plot pada
perisian KmPlot. Daripada aktiviti tersebut pelajar dikehendaki membuat kesimpulan
mengenai perkaitan perubahan nilai x terhadap nilai y persamaan kubik. Kemudian
pelajar dikehendaki memberikan kesimpulan seperti di dalam Jadual 4.11.
Jadual 4.11: Perbincangan mengenai perubahan bentuk graf kubik
dengan perubahan nilai x
Function x value y value Conclusion
-3
-2
-1
0
1
2
1033 =+− xxy
3
66
4.2.3.2 Aktiviti 3.2: Mengkaji Ciri-ciri Graf Fungsi Kubik
Aktiviti kedua pula ialah mengkaji ciri-ciri graf fungsi kubik. Objektif
pembelajaran di dalam aktiviti ini ialah pelajar berkebolehan mengkelas dan
membandingkan jenis dan bentuk graf kubik dan mendapatkan nilai punca daripada
graf yang diplot. Operasi kognitif yang ditekankan di dalam aktiviti ini ialah
Recognising, Analysing, Comparing, Drawing conclusion dan Discovering. Di dalam
tutorial ini juga mengandungi langkah-langkah untuk memplot graf dan mengkaji
graf yang diplot berdasarkan kepada objektif pembelajaran. Di dalam aktiviti ini,
pelajar dikehendaki memplot graf kubik yang diberikan, kemudian membuat
pemerhatian dan analisa terhadap nilai a. Daripada nilai a tersebut pelajar perlu
mengkelaskan fungsi kubik mengikut kumpulan dan seperti di dalam
Jadual 4.12.
0>a 0<a
Jadual 4.12: Perbincangan mengenai bentuk graf kubik berpandukan nilai a
Shape of graph Type of graph
a > 0 a < 0
Graf kubik
Kemudian berpandukan kepada beberapa fungsi kubik yang diberikan, pelajar
dikehendaki mendapatkan nilai punca dengan mengikut langkah-langkah yang
disediakan di dalam tutorial. Pelajar perlu mengisi jadual yang disediakan seperti
Jadual 4.13.
67
Jadual 4.13: Perbincangan mengenai nilai punca graf kubik
Group A : a>0 Root Group B : a<0 Root
181 23 +−= xxy 1
81 23 +−−= xxy
541 3 −= xy 5
41 3 −−= xy
3
21 xy = 3
21 xy −=
4.2.3.3 Aktiviti 3.3: Membanding Graf Kubik dengan Nilai b yang Berbeza
Aktiviti ketiga pula ialah membandingkan graf kubik dengan
nilai b yang berbeza. Objektif pembelajaran aktiviti ini ialah pelajar berkebolehan
membandingkan bentuk graf kubik dengan nilai b yang berbeza dan mengenalpasti
perkaitan nilai b dengan paksi-y. Pelajar juga dikehendaki membuat kesimpulan
mengenai perkaitan nilai b dengan paksi-y bagi graf kubik.
)( 3 baxy +=
Di dalam aktiviti ini pelajar diberikan beberapa fungsi kubik. Pelajar
dikehendaki mengkelaskan fungsi kubik tersebut seperti di dalam Jadual 4.14.
Kemudian dengan memplot graf pada KmPlot, pelajar perlu membuat pemerhatian
dan kesimpulan terhadap:
• Keadaan paksi-y apabila nilai a positif dan nilai b bertambah atau
berkurang.
• Keadaan paksi-y apabila nilai a negatif dan nilai b bertambah atau
berkurang.
68
Jadual 4.14: Perbincangan mengenai bentuk graf kubik dengan
nilai a dan b yang berbeza
Function b = 0 b > 0 b <0
a > 0
a < 0
4.2.3.4 Aktiviti 3.4: Penyelesaian Masalah Melibatkan Graf Kubik
Setelah pelajar telah menguasai kemahiran memplot graf kubik menggunakan
perisian KmPlot dan pengetahuan konsep graf fungsi kubik, pelajar akan didedahkan
dengan beberapa masalah berbentuk ayat. Objektif pembelajaran aktiviti ini ialah
memastikan kebolehan pelajar menyelesaikan masalah melibatkan graf kubik dengan
menggunakan perisian KmPlot di samping menggunakan pentahuan dan kemahiran
lepas. Operasi kognitif yang diterapkan di dalam aktiviti ini ialah Memorising,
Recognising, Analysing, Drawing conclusion dan Discovering. Di dalam aktiviti ini
pelajar mengaplikasikan pengetahuan dan pengalaman yang lepas terhadap konsep
graf kubik dan kemahiran penggunaan perisian KmPlot untuk menyelesaikan
masalah.
Di dalam aktiviti ini pelajar dikehendaki memahami kehendak masalah dan
menukar masalah berayat tersebut kepada bentuk matematik sebelum mereka
menyelesaikannya. Pelajar juga diberikan masalah lanjutan yang perlu mereka
mengkaji dan mendapatkan maklumat baru daripada maklumat yang sedia ada.
Antaranya seperti pelajar dikehendaki membuat perbandingan persamaan kubik yang
sedia ada dengan persamaan yang baru sekiranya terdapat pertambahan atau
pengurangan nilai pemalar.
69
4.2.4 Tutorial 4: Graf Fungsi Salingan
Tutorial keempat ialah graf fungsi salingan. Topik graf fungsi salingan
terkandung di dalam sukatan pelajaran KBSM Matematik Tingkatan lima. Di dalam
tutorial ini mengandungi empat aktiviti yang melibatkan graf fungsi salingan.
Aktiviti tersebut ialah:
i. Understand the graphs of reciprocal
ii. Investigate the characteristics of graphs of reciprocal
iii. Compare the graphs of reciprocal with different values of b
iv. Problem solving involving the graphs of reciprocal
Aktiviti ini bertujuan untuk membantu pelajar memahami konsep graf fungsi
salingan. Pada setiap aktiviti dalam modul ini mengandungi objektif pembelajaran
dan operasi kognitif. Dengan adanya objektif pembelajaran yang jelas dapat
membantu pelajar memahami tujuan mereka mempelajari dan meneroka graf fungsi
salingan ini. Untuk mengukuhkan pemahaman dan penguasaan pelajar, latihan
disediakan pada setiap aktiviti. Di akhir tutorial graf salingan ini pelajar dapat
mengenalpasti konsep graf salingan seperti bentuk graf, perkaitan pemalar dengan
graf, ciri graf salingan dan dapat menyelesaikan masalah yang melibatkan graf
salingan dengan baik. Sebagai panduan, Lampiran F merupakan tutorial
pembelajaran graf fungsi salingan.
4.2.4.1 Aktiviti 4.1: Memahami Graf Fungsi Salingan
Aktiviti pertama adalah memahami graf fungsi salingan. Objektif
pembelajaran aktiviti ini ialah pelajar berkebolehan memplot graf fungsi salingan
menggunakan perisian Kmplot, mengenalpasti perubahan nilai pemalar memberi
kesan terhadap graf, mengenalpasti perkaitan nilai a dengan sukuan graf, dan
mengenalpasti pola graf apabila nilai x berubah-ubah. Operasi kognitif di dalam
aktiviti ini ialah Recognising, Analysing dan Drawing conclusion.
70
Di awal aktiviti, pelajar akan memplot graf salingan menggunakan perisian
KmPlot dengan berpandukan langkah-langkah yang disediakan di dalam tutorial ini.
Langkah-langkah memplot graf adalah asas untuk pelajar mengeksplorasi graf yang
diplot. Oleh itu pelajar perlu mengetahui bagaimana memplot graf menggunakan
perisian KmPlot.
Daripada graf yang telah diplot menggunakan KmPlot, pelajar dikehendaki
mengkaji, menentukan dan menghuraikan graf tersebut. Pelajar dikehendaki
mengenalpasti sukuan graf apabila nilai pemalar a berubah samada positif atau
negatif. Pelajar juga dikehendaki membuat kesimpulan terhadap perubahan nilai a
tersebut.
Seterusnya, pelajar dikehendaki mengkaji dan menganalisis pengaruh
perubahan nilai x terhadap perubahan bentuk graf salingan yang telah mereka plot
pada perisian KmPlot. Daripada aktiviti tersebut pelajar dikehendaki membuat
kesimpulan mengenai perkaitan perubahan nilai x terhadap nilai y persamaan
salingan. Kemudian pelajar dikehendaki memberikan kesimpulan seperti di dalam
Jadual 4.15.
Jadual 4.15: Perbincangan mengenai perubahan bentuk graf salingan
dengan perubahan nilai x
Function x value y value Conclusion
-5
-3
-1
0
1
3
8=xy
5
71
4.2.4.2 Aktiviti 4.2: Mengkaji Ciri-ciri Graf Fungsi Salingan
Aktiviti kedua pula ialah mengkaji ciri-ciri graf fungsi salingan. Objektif
pembelajaran di dalam aktiviti ini ialah pelajar berkebolehan mengkelas dan
membandingkan jenis dan bentuk graf salingan dan mendapatkan nilai punca
daripada graf yang diplot. Operasi kognitif yang ditekankan di dalam aktiviti ini ialah
Recognising, Analysing, Comparing, Drawing conclusion dan Discovering. Di dalam
tutorial ini juga mengandungi langkah-langkah untuk memplot graf dan mengkaji
graf yang diplot berdasarkan kepada objektif pembelajaran.
Jadual 4.16: Perbincangan mengenai bentuk graf salingan berpandukan nilai a
Shape of graph Type of graph
a > 0 a < 0
Hyperbola
Di dalam aktiviti ini, pelajar dikehendaki memplot graf salingan yang
diberikan, kemudian membuat pemerhatian dan analisa terhadap nilai a. Daripada
nilai a tersebut pelajar perlu mengkelaskan fungsi salingan mengikut kumpulan
dan 0>a 0<a seperti di dalam Jadual 4.16.
Kemudian berpandukan kepada beberapa fungsi salingan yang diberikan,
pelajar dikehendaki mendapatkan nilai punca dengan mengikut langkah-langkah
yang disediakan di dalam tutorial. Pelajar perlu mengisi jadual yang disediakan
seperti Jadual 4.17.
72
Jadual 4.17: Perbincangan mengenai nilai punca graf salingan
Group A: a>0 Root Group B : a<0 Root
xy 1=
xy 1
−=
xy 8=
xy 8
−=
xy 20=
xy 20
−=
4.2.4.3 Aktiviti 4.3: Membandingkan Graf Fungsi Salingan dengan Nilai a yang
Berbeza
Aktiviti ketiga pula ialah membandingkan graf salingan )(xay = dengan nilai
a yang berbeza. Objektif pembelajaran aktiviti ini ialah pelajar berkebolehan
membandingkan bentuk graf salingan dengan nilai a yang berbeza dan
mengenalpasti perkaitan nilai a dengan sukuan graf. Di dalam aktiviti ini pelajar
diberikan beberapa fungsi salingan. Pelajar dikehendaki mengkelaskan fungsi
salingan tersebut seperti di dalam Jadual 4.18.
Jadual 4.18: Perbincangan mengenai bentuk graf salingan dengan
nilai a yang berbeza
For a > 0 For a < 0
Quadrant : Quadrant :
73
4.2.4.4 Aktiviti 4.4: Penyelesaian Masalah Melibatkan Graf Fungsi salingan
Setelah pelajar telah menguasai kemahiran memplot graf salingan
menggunakan perisian KmPlot dan pengetahuan konsep graf fungsi salingan, pelajar
akan didedahkan dengan beberapa masalah berbentuk ayat. Objektif pembelajaran
aktiviti ini ialah memastikan kebolehan pelajar menyelesaikan masalah melibatkan
graf salingan dengan menggunakan perisian KmPlot di samping menggunakan
pentahuan dan kemahiran lepas. Operasi kognitif yang diterapkan di dalam aktiviti
ini ialah Memorising, Recognising, Analysing, Drawing conclusion dan Discovering.
Di dalam aktiviti ini pelajar mengaplikasikan pengetahuan dan pengalaman yang
lepas terhadap konsep graf salingan dan kemahiran penggunaan perisian KmPlot
untuk menyelesaikan masalah.
Di dalam aktiviti ini pelajar dikehendaki memahami kehendak masalah dan
menukar masalah berayat tersebut kepada bentuk matematik sebelum mereka
menyelesaikannya. Pelajar juga diberikan masalah lanjutan yang perlu mereka
mengkaji dan mendapatkan maklumat baru daripada maklumat yang sedia ada.
Antaranya seperti pelajar dikehendaki membuat perbandingan persamaan salingan
yang sedia ada dengan persamaan yang baru sekiranya terdapat pertambahan atau
pengurangan nilai pemalar.
4.2.5 Tutorial 5: Penyelesaian Persamaan Serentak
Tutorial kelima ialah penyelesaian persamaan serentak. Topik persamaan
serentak terkandung di dalam sukatan pelajaran KBSM Matematik Tingakatan tiga
dan Tingkatan empat. Di dalam tutorial ini mengandungi dua aktiviti yang
melibatkan persamaan serentak. Aktiviti tersebut ialah:
i. Solving simultaneous equations in two unknown
ii. Problem solving involving the simultaneous equations
74
Aktiviti ini bertujuan untuk menunjukkan perkaitan persilangan dua graf
dengan persamaan serentak menggunakan formula yang biasa pelajar gunakan di
dalam kelas. Untuk mengukuhkan pemahaman dan penguasaan pelajar, latihan
disediakan pada setiap aktiviti. Di akhir tutorial persamaan serentak ini pelajar dapat
mengenalpasti perkaitan titik persilangan antara dua graf dengan penyelesaian
persamaan serentak. Sebagai panduan, Lampiran G merupakan tutorial pembelajaran
penyelesaian persamaan serentak.
4.2.5.1 Aktiviti 5.1: Menyelesaikan Persamaan Serentak dengan Dua Anu
Aktiviti pertama adalah menyelesaikan persamaan serentak dengan dua anu.
Objektif pembelajaran aktiviti ini ialah pelajar berkebolehan mengenalpasti perkaitan
penyelesaian persamaan serentak dengan persilangan dua graf fungsi dan
menyelesaiakan persamaan serentak menggunakan perisian KmPlot. Operasi kognitif
di dalam aktiviti ini ialah Recognising, Analysing dan Drawing conclusion.
Di awal aktiviti, pelajar dikehendaki memplot graf yang diberikan
menggunakan perisian KmPlot. Kemudian pelajar mendapatkan titik persilangan
antara dua graf dengan mengikut langkah-langkah yang disediakan di dalam tutorial.
Dengan menggunakan kaedah penggantian atau penghapusan, pelajar mendapatkan
jawapan bagi persamaan serentak tersebut. Hasil yang mereka perolehi daripada
kaedah memplot graf dan pengapusan atau penggantian, pelajar membuat
perbandingan dan membentuk kesimpulan.
4.2.5.2 Aktiviti 5.2 : Penyelesaian Masalah Melibatkan Persamaan Serentak
Aktiviti kedua pula ialah penyelesaian masalah yang melibatkan persamaan
serentak. Objektif pembelajaran aktiviti ini ialah memastikan pelajar berkebolehan
memahami kehendak masalah dan dapat menyelesaikan masalah dengan baik dan
berstruktuk. Dengan adanya pengetahuan dan maklumat yang sedia ada, pelajar
75
dapat menggabungkannya dengan pengetahuan yang baru untuk mendapatkan
penyelesaian masalah. Masalah yang diberikan kepada pelajar adalah berbentuk ayat
dan pelajar dikehendaki menukarkan masalah berbentuk ayat kepada bentuk
matematik. Dengan menggunakan kaedah memplot pada KmPlot dan kaedah
penghapusan atau penggantian, pelajar dikehendaki membuat kesimpulan hasil
penyelesaian yang mereka perolehi. Aktiviti penyelesaian masalah yang melibatkan
persamaan serentak ini menggalakkan pelajar berfikir secara kritis dan kreatif untuk
mendapatkan penyelesaian.
4.2.6 Tutorial 6: Penyelesaian dalam Pembezaan
Tutorial keenam ialah penyelesaian dalam pembezaan. Topik pembezaan
terkandung di dalam sukatan pelajaran KBSM Matematik Tingakatan empat. Di
dalam tutorial ini mengandungi dua aktiviti yang melibatkan pembezaan. Aktiviti
tersebut ialah:
i. Understand the graphs of first derivative of functions
ii. Value of the first derivative of the function y=axn.
Aktiviti ini bertujuan untuk menunjukkan perkaitan antara penyelesaian dxdy
menggunakan kaedah memplot pada Kmplot dan dengan kaedah pengiraan. Untuk
mengukuhkan kemahiran pelajar, latihan disediakan pada setiap aktiviti. Di akhir
tutorial pembezaan ini pelajar dapat mengenalpasti perkaitan hasil penyelesaian yang
mereka perolehi dengan menggunakan dua kaedah tersebut. Sebagai panduan,
Lampiran H merupakan tutorial pembelajaran penyelesaian persamaan serentak.
76
4.2.6.1 Aktiviti 6.1: Memahami Graf Fungsi Terbitan Pertama
Aktiviti pertama ialah memahami graf fungsi terbitan pertama. Objektif
pembelajaran aktiviti ini ialah pelajar berkebolehan mengandaikan graf fungsi
terbitan pertama, memplot dan mendapatkan graf fungsi pertama daripada graf yang
diplot pada KmPlot, dan membuat perbandingan terhadap andaian graf tersebut.
Operasi kognitif yang perlu pelajar capai dalam aktiviti ini ialah Analysing,
Comparing dan Drawing conclusions. Hasil daripada pemerhatian, analisis dan
andaian yang telah dibuat oleh pelajar terhadap bentuk graf fungsi tembitan pertama
(dxdy ), mereka di kehendaki membentuk satu kesimpulan mengenai perkaitan graf
dxdy yang diandaikan dengan graf yang diplotkan. Selain itu, pelajar juga dikehendak
menganalisis ciri-ciri graf dxdy yang terhasil seperti bentuk graf tersebut.
4.2.6.2 Aktiviti 6.2: Nilai Terbitan Pertama terhadap Fungsi y=axn
Aktiviti kedua ini merupakan lanjutan daripada aktiviti pertama. Objektif
pembelajaran aktiviti ini ialah pelajar berkebolehan mendapatkan nilai bagi terbitan
pertama dengan menggunakan perisian KmPlot. Operasi kognitif yang perlu dimiliki
oleh setiap pelajar dalam aktiviti ialah Recognising, Analysing dan Drawing
conclusions. Pelajar perlu mengikut langkah-langkah yang telah disediakan di dalam
tutorial untuk mendapatkan nilai bagi dxdy dengan menggunakan nilai x yang
diberikan. Kemudian sekiranya pelajar diberikan nilai x yang berlainan, pelajar
dikehendaki membuat pemerhatian dan kesimpulan mengenai fungsi baru yang akan
wujud samada bertambah atau pun berkurangan. Pelajar juga dikehendaki membuat
analisis, pemerhatian dan kesimpulan terhadap perubahan bentuk graf apabila nilai x
berubah samada positif atau negatif.
77
4.2.6.3 Aktiviti 6.3: Terbitan Pertama sebagai Tangen Kecerunan
Aktiviti ketiga di dalam tutorial keenam ini ialah membuktikan terbitan
pertama sebagai tangen kecerunan. Objektif pembelajaran aktiviti ini ialah pelajar
berkebolehan membuktikan terbitan pertama sebagai tangen kecerunan dengan
mendapatkan nilai dxdy dan menggunakan nilai x yang diberikan. Operasi kognitif
yang diterapkan di dalam aktiviti ini ialah Recognising, Analysing, Comparing dan
Drawing conclusion.
Jadual 4.19: Perbincangan terhadap perubahan keputusan
nilai dxdy dengan perubahan nilai x
x dxdy (using KmPlot)
dxdy (using formula)
-1
0
0.5
1
1.5
2
Di dalam aktiviti ini pelajar dikehendaki mendapatkan nilai dxdy
menggunakan perisian KmPlot dan kemudian mendapatkan nilai dxdy dengan
menggunakan kaedah pengiraan. Pelajar dikendaki mengisi keputusan mereka di
dalam jadual seperti Jadual 4.19. Setelah merekod keputusan yang mereka perolehi,
pelajar dikehendaki membuat kesimpulan terhadap perbandingan hasil yang mereka
perolehi.
78
4.2.7 Tutorial 7: Penerokaan Graf Fungsi Parametrik
Tutorial penerokaan graf fungsi parametrik ini merupakan tutorial tambahan
di dalam projek ini. Graf fungsi parametrik tidak terdapat di dalam sukatan pelajaran
Matematik KBSM. Tujuan modul ini dibangunkan adalah untuk menarik minat
pelajar terhadap pembelajaran berkomputer di samping meningkatkan kemahiran
pelajar menggunakan perisian KmPlot. Bab ini mempunyai satu akktiviti sebagai
meningkat dan memperluaskan pengetahuan pelajar mengeskplorasi fungsi
parametrik dan juga perisian Kmplot. Sebagai panduan, Lampiran I merupakan
tutorial graf fungsi parametrik.
4.2.7.1 Aktiviti 7.1: Mengkaji Graf Fungsi Parametrik
Di dalam aktiviti ini pelajar dikehendaki terlibat dengan aktif untuk
mengeksplorasi fungsi-fungsi parametrik yang telah diberikan. Objektif
pembelajaran di dalam bab ini ialah pelajar berkebolehan memplot graf fungsi
parametrik dan mengenalpasti bentuk graf parametrik yang terhasil. Operasi kognitif
yang diterapkan di dalam aktiviti ini ialah Recognising, Analysing, Comparing dan
Drawing conclusion. Pelajar akan menerangkan bentuk yang terhasil daripada graf
yang mereka plot pada KmPlot. Untuk meningkatkan daya pemikiran kritis dan
kreatif pelajar, mereka dikehendaki mencuba menggabungkan fungsi parametrik
yang bersuaian untuk membentuk beberapa bentuk graf yang abstrak.
Daripada aktiviti tersebut, pelajar akan mencatat keputusan dan membuat
kesimpulan terhadap perkaitan gabungan fungsi-fungsi dengan bentuk yang terhasil
seperti di dalam Jadual 4.20.
79
Jadual 4.20: Perbincangan mengenai graf fungsi parametrik
Function Conclusion
i. tttx sin)( −=
tty cos1)( −=
ii. tttx 3)( 3 −=
1)( 2 −= tty
iii. )1()1()( 4
2
++
=ttttx
)1()1()( 4
2
+−
=tttty
iv. ttx cos2.0)( +−=
ttxy sintan2.0)( +−=
v. )2cos(2)( tttx +=
)3sin(3)( ttty +=
vi. tttx 8coscos2)( +=
ttty 8sinsin2)( +=
4.2.8 Tutorial 8: Penerokaan Graf Fungsi Polar
Tutorial penerokaan graf fungsi polar ini merupakan tutorial tambahan di
dalam projek ini. Graf fungsi polar tidak terdapat di dalam sukatan pelajaran
Matematik KBSM. Tujuan modul ini dibangunkan adalah untuk menarik minat
pelajar terhadap pembelajaran berkomputer di samping meningkatkan kemahiran
pelajar menggunakan perisian KmPlot. Bab ini mempunyai satu akktiviti sebagai
meningkat dan memperluaskan pengetahuan pelajar mengeskplorasi fungsi polar dan
juga perisian Kmplot. Sebagai panduan, Lampiran J merupakan tutorial graf fungsi
polar.
80
4.2.8.1 Aktiviti 8.1: Mengkaji Graf Fungsi Polar
Di dalam aktiviti ini pelajar dikehendaki terlibat dengan aktif untuk
mengeksplorasi fungsi-fungsi polar yang telah diberikan. Objektif pembelajaran di
dalam bab ini ialah pelajar berkebolehan memplot graf fungsi polar dan
mengenalpasti bentuk graf polar yang terhasil. Operasi kognitif yang diterapkan di
dalam aktiviti ini ialah Recognising, Analysing, Comparing dan Drawing conclusion.
Pelajar akan menerangkan bentuk yang terhasil daripada graf yang mereka plot pada
KmPlot. Untuk meningkatkan daya pemikiran kritis dan kreatif pelajar, mereka
dikehendaki mencuba menggabungkan fungsi polar yang bersuaian untuk
membentuk beberapa bentuk graf yang abstrak. Daripada aktiviti tersebut, pelajar
akan mencatat keputusan dan membuat kesimpulan terhadap perkaitan gabungan
fungsi-fungsi dengan bentuk yang terhasil seperti di dalam Jadual 4.21. Pelajar juga
dikehendaki menggunakan sumber-sumber lain seperti internet untuk mendapatkan
fungsi polar yang lain, mengeksplorasi dan membuat kesimpulan terhadap ciri-ciri
fungsi tersebut
Jadual 4.21: Perbincangan mengenai graf fungsi polar
Function Conclusion
i. ttr 3sin)( =
ii. θsin=r
iii. πttr 6)( =
iv. tr cos1+=
81
4.3 Penutup
Hasil analisis projek ini dapat disimpulkan bahawa setiap tutorial yang
dihasilkan mempunyai sekurang-kurangnya satu operasi kognitif yang menyokong
teori pembelajaran penemuan. Walau bagaimana pun, setiap aktiviti yang disediakan
di dalam tutorial ini mengandungi lebih daripada satu operasi kognitif. Ini kerana,
penentuan operasi kognitif dan juga objektif pembelajaran adalah saling berkaitan
antara satu sama lain. Sebagai contoh, apabila pelajar dikehendaki membuat
kesimpulan daripada analisis, andaian dan pemerhatian yang dilakukan terdapat graf
yang diplot, bermakna operasi kognitif yang ada di dalam aktiviti ini ialah
mengecam, menganalisis, membuat hipotesis dan membentuk kesimpimpulan.
Jadual 4.22 di bawah menunjukkan operasi kognitif yang terdapat di dalam tutorial
ini:
Jadual 4.22: Kesimpulan penghasilan projek
Tutorial Operasi
Kognitif 1 2 3 4 5 6 7 8
Mengecam √ √
Menganalisa √ √ √ √ √ √
Mensintesis
Membanding
& membeza √ √ √
Membentuk
kesimpulan √ √ √ √ √ √
Membentuk
hipotesis √ √ √ √
Mengingat √ √ √ √
Inkuiri √ √ √ √
Mencipta
Menemui √ √ √
BAB 5
KESIMPULAN DAN CADANGAN
5.1 Pengenalan
Bab ini membincangkan hasil projek pembangunan tutorial perisian bergrafik
interaktif KmPlot. Di dalam bab ini akan membincangkan mengenai kekuatan dan
kelemahan projek yang dibangunkan. Diikuti dengan masalah yang dihadapi oleh
pembangun projek sepanjang menjalankan projek ini. Di akhir perbincangan pula
pembangun projek menyenaraikan beberapa aspek atau perkara cadangan untuk
penambahbaikan projek ini bagi individu yang berminat untuk menyambung projek
ini ke tahap yang lebih luas.
Topik-topik yang dipilih oleh pembangun tutorial ini berpandukan kepada
kandungan matapelajaran Matematik KBSM yang meliputi topik graf fungsi,
persamaan serentak, dan pembezaan. Aktiviti yang dibina di dalam tutorial ini
berteraskan kepada teori pembelajaran penemuan. Aktiviti yang melibatkan
penyelesaian masalah pula dijadikan sebagai nilai tambah tutorial ini untuk
meningkatkan kemahiran penyelesaian masalah pelajar dengan menggunakan
komputer.
Penghasilan projek ini diharapkan dapat memberikan sumbangan dari segi
idea dan penggunaan perisian sumber terbuka dalam konteks pembelajaran yang
berkesan dan bermakna melibatkan aktiviti yang berpusatkan pelajar.
83
5.2 Perbincangan
Untuk menghasilkan dan membangunkan tutorial perisian bergrafik interaktif
KmPlot ini, operasi kognitif teori pembelajaran penemuan dan objektif pembelajaran
dijadikan panduan, untuk mencapai objektif projek yang dibangunkan. Aktiviti
tutorial dilaksanakan di dalam makmal komputer yang dilengkapi dengan sistem
pengoperasian Linux bertujuan supaya pelajar benar-benar dapat merasai suasana
pembelajaran berkomputer. Di samping itu untuk memberi pendedahan kepada
pelajar terhadap sistem pengoperasian Linux.
Projek pembinaan tutorial perisian bergrafik interaktif KmPlot ini banyak
memberikan kebaikan dan kekuatan. Pembangun projek juga telah mengekspotasi
perisian untuk memastikan perisian ini boleh memberikan output yang baik terhadap
proses pengajaran dan pembelajaran. Tutorial ini menyediakan pengetahuan terhadap
topik graf fungsi, persamaan serentak dan pembezaan. Graf fungsi yang terdapat di
dalam tutorial ini ialah linear, kuadratik, kubik dan salingan. Dengan menggunakan
tutorial ini pelajar juga dapat mengenalpasti perkaitan atau relevannya ilmu yang
mereka perolehi melalui menggunakan perisian KmPlot ini dengan konsep topik
tersebut. Sebagai tambahan, fungsi parametrik dan polar juga terdapat di dalam
tutorial. Walau pun fungsi parametrik dan polar tidak terdapat di dalam sukatan
pelajar KBSM Matematik, tetapi ia tetap diletakkan di dalam tutorial kerana untuk
memperkayakan penggunaan perisian KmPlot selain itu dia dijadikan sebagai
pengenalan kepada fungsi parametrik dan fungsi polar.
Aktiviti penyelesaian masalah yang terdapat dihujung setiap topik
menjadikan tutorial yang dihasilkan ini bukan sahaja tertumpu kepada konsep-
konsep asas. Malah ia memberi ruang kepada pelajar meningkatkan kemahiran dalam
menyelesaikan masalah. Dengan meneliti buku teks KBSM Matematik, kebanyakkan
aktiviti penyelesaian masalah menggunakan model Polya. Oleh itu, dengan adanya
ruangan aktiviti penyelesaian masalah yang terdapat di dalam tutorial ini dapat
memperkembangkan teknik atau kaedah dalam menyelesaikan masalah dengan
menggunakan teknologi seperti perisian interaktif KmPlot.
84
Untuk membangunkan tutorial ini, pembangun telah membuat pemerhatian
dan analisis pada buku teks KBSM Matematik untuk memastikan perisian KmPlot
ini dapat diaplikasikan dengan lebih meluas dan bersesuaian dengan topik dalam
sukatan pelajaran. Tutorial yang dibangunkan ini umumnya boleh diaplikasikan
untuk pelajar menengah atas. Memandangkan topik yang dipilih adalah terkandung
di dalam sukatan pelajaran Tingkatan empat dan lima.
Penggunaan perisian Kmplot dapat membantu memperkembangkan strategi
pengajaran dan pembelajaran. Selain daripada pembelajaran berasaskan pensil dan
kertas, penggunaan perisian ini dapat digunakan sebagai salah satu strategi atau alat
untuk pengajaran dalam meningkatkan penguasaan konsep sesuatu ilmu. Dengan
menekankan operasi kognitif dalam pembelajaran penemuan dapat mendorong
penglibatan pelajar secara aktif. Ini kerana setiap aktiviti di dalam tutorial ini
mempunyai operasi kognitif yang bersesuaian dengan objektif pembelajaran.
Di samping itu, pada setiap aktiviti di dalam tutorial ini mengandungi
ruangan latihan. Latihan yang disediakan di dalam setiap aktiviti bertujuan untuk
mempertingkatkan kefahaman pelajar. Dengan adanya latihan ini, pelajar dapat
mengaplikasikan pengetahuan yang mereka perolehi daripada aktiviti untuk
menjawab latihan tersebut.
Kekuatan yang lain pula ialah dengan adanya buku panduan dan manual
penggunaan perisian KmPlot yang disertakan di dalam projek ini dapat membantu
kepada para pengguna mengenali dan mengalami penggunaan perisian ini dengan
lebih jelas. Malah dengan adanya manual dan panduan ini, guru tiada lagi alasan
kesukaran dalam mengaplikasi dan memperkayakan penggunaan perisian sebagai
salah strategi pengajaran dan pembelajaran dalam matapelajaran matematik.
Pun begitu, masih juga terdapat sedikit kelemahan di dalam tutorial ini.
Walau pun di dalam perisian ini terdapat ciri yang boleh digunakan untuk topik
pengamiran, tetapi ia tidak dapat disertakan di dalam tutorial ini kerana apabila diuji
oleh pembangun projek, hasil yang diperolehi daripada aktivit pengamiran
memberikan jawapan yang tidak tepat. Ini kerana terdapat ralat sintaks yang
mungkin disebabkan oleh kod sumber yang salah juga.
85
Selain itu, memandangkan perisian KmPlot ini baru bagi pembangun projek,
maka pembangun projek mengalami kakangan masa yang agak terhad untuk
mengeksplotasi perisian ini. Pembangun projek perlu mengenali ciri-ciri yang
terkandung di dalam perisian, mempelajari penggunaan perisian menggunakan buku
panduan dan kemudian barulah pembangun berusaha untuk mengenalpasti topik
yang bersesuaian untuk digunakan di dalam perisian ini.
5.3 Cadangan untuk Mengatasi Kelemahan Hasil Projek
Berikut adalah beberapa cadangan yang dikemukakan untuk mengatasi
kelemahan-kelemahan tersebut:
i. Memerlukan masa yang mencukupi untuk mengenalpasti kesalahan hasil
jawapan dalam pengamiran.
ii. Memerlukan masa yang mencukupi untuk pembangun projek
mengeksplotasi perisian KmPlot bagi memilih aktiviti-aktiviti yang
mempunyai ciri-ciri penemuan untuk menarik minat pelajar.
5.4 Masalah Sepanjang Pembangunan Projek
Di sepanjang perlaksanaan projek, terdapat beberapa masalah yang dihadapi
oleh pembangun untuk menyelesaikan projek ini. Untuk membangunkan projek ini,
pembangun projek menjadikan objektif sebagai panduan. Antara objektif projek ini
ialah menghasilkan tutorial perisian bergrafik interaktif KmPlot dengan berteraskan
teori pembelajaran penemuan. Oleh itu, pembangun perlu mengetahui dengan jelas
mengenai teori pembelajaran penemuan, ciri-ciri yang perlu ada dalam pembelajaran
penemuan dan apakah output yang diharapkan apabila menjadikan pembelajaran
penemuan sebagai teras membentuk tutorial ini. Selain itu, pembangun juga
membuat analisa bagaimana mengintegrasikan perisian Kmplot dengan pembelajaran
86
penemuan. Pembangun projek juga perlu berkreatif untuk menghasilkan tutorial yang
dapat meningkatkan minat pelajar dalam pembelajaran.
Selain daripada itu, pembangun juga mengalami kekangan masa untuk
mempelajarai perisian KmPlot ini kerana perisian ini adalah baru bagi pembangun.
Untuk mengeksplotasi perisian ini, pembangun telah mendapatkan maklumat terkini
mengenai versi perisian. Di awal proses mengeksplotasi perisian ini, pembangun
menggunakan Live CD Linux yang diperolehi oleh penyelia projek. Walau
bagaimana pun, versi yang terdapat di dalam Live CD tersebut bukanlah yang terkini.
Maka pembangun berusaha untuk mendapatkan versi perisian KmPlot yang terkini
dengan menginstalasi sistem pengoperasian Linux di dalam komputer, tetapi versi
perisian juga bukan yang terkini. Untuk memastikan versi perisian yang digunakan
untuk membina tutorial ini adalah yang terkini, sekali lagi pembangun mendapatkan
Live CD Linux yang terkini daripada penyelia. Walau bagaimana pun, versi perisian
yang diinginkan juga tidak dapat diperolehi. Dengan kekangan masa yang amat
terhad untuk mengeksplotasi perisian KmPlot, pembangun membuat keputusan untuk
menggunakan Live CD yang diperolehi daripada penyelia projek. Selain daripada itu,
pengetahuan pembangun projek mengenai Kmplot yang agak minima memerlukan
masa yang agak lama untuk mengeksplorasi perisian ini. Namun dengan bantuan
sumber yang diperolehi daripada internet, panduan penggunaan perisian dan idea
yang diberikan oleh penyelia telah banyak membantu pembangun projek.
Dalam menghasilkan tutorial ini, proses terhadap langkah-langkah, isi aktiviti
dan latihan telah mengalami beberapa kali pengubahsuaian. Ini bertujuan untuk
memastikan langkah-langkah pada setiap aktiviti di dalam tutorial ini tepat dan
bersesuaian dengan langkah-langkah penghasilan graf pada perisian KmPlot. Untuk
menjadikan aktiviti tutorial berteraskan pembelajaran penemuan juga memerlukan
kerja yang teliti supaya ia benar-benar mengikut objektif projek. Langkah-langkah
penggunaan perisian KmPlot juga perlulah tersusun dan tertib kerana pelajar
merupakan pengguna baru yang menggunakan perisian ini.
87
5.5 Cadangan Penambahbaikan Projek
Terdapat beberapa cadangan sekiranya terdapat individu yang ingin
melanjutkan projek ini iaitu:
i. Menggunakan perisian Kmplot yang berversi terbaru untuk mendapatkan
ciri-ciri yang lebih terkini.
ii. Melaksanakan dan menguji tutorial ini di sekolah-sekolah menengah
untuk melihat keberkesanan dan penerimaan pengguna terhadap perisian
ini.
iii. Menggunakan perisian lain yang mempunyai ciri yang menarik minat
pelajar yang boleh dilaksanakan dalam persekitaan sistem pengoperasian
sumber terbuka. Antaranya ialah seperti GeoNet dan GeoGebra. Perisian
ini adalah bersifat percuma, pelbagai guna dan boleh diaplikasikan di
dalam sistem pengoperasian seperti Windows, Mac, dan Linux. Perisian
ini merupakan perisian matematik yang dinamik yang menggabungkan
geometri algebra dan kalkulus. Oleh itu, pembelajaran akan menjadi lebih
menarik dan meluas.
5.6 Penutup
Penghasilan tutorial seperti ini umumnya banyak memberikan faedah
terutama dalam menggunakan perisian sumber terbuka. Dengan adanya pembelajaran
interaktif ini dapat menjadikan suasana pembelajaran lebih bermakna. Pelajar dengan
sendiri dapat mengalami dan merasai pengetahuan yang diperolehi dari aktiviti ini.
Selain itu, pembelajaran yang mengintegrasikan komputer di dalam kelas dapat
membantu guru mempersiapkan sedikit sebanyak diri pelajar dalam kesediaan untuk
menghadapi perkembangan teknologi yang berlaku disekeliling mereka. Penggunaan
teknologi juga dapat meningkatkan motivasi pelajar disamping merangsang minat
pelajar dalam matapelajaran matematik.
88
RUJUKAN
Airasian, P. W. (2005). Classroom Assessment. Concepts and Applications.
McGraw-Hill. Boston.
Allen M. (2002). Discovery Learning: Repurposing an Old Paradigm. How to make
learning active and student centered. LTI Newsline.
Amer, A. (2006).Reflection on Bloom’s Revised Taxonomy. Electronic Journal of
Research in Educational Psychology. 4(1), 213-230.
Borich, G. D. & Tombari, M. L. (1997). Educational Paychology. A Contemporary
Approach. Longman. New York.
Castronova J. A. (2002). Discovery Learning for the 21st Century: What is it and
How does it Compare to Traditional Learning in Effectiveness in 21st Century?.
Valdosta State University Georgia USA, 1(1), 1-21.
Conway, J. (1997). Educational Technology’s Effect on Model of Instruction.
Retrieve on August 2007:
http://copland.udel.edu/~jconway/EDST666.htm#dislrn
Drier, H. (2001). Teaching and Learning Mathematics with Interactive Spreadsheets.
School Science and Mathematics, 10(4), 170-179.
Edutechwiki (2007). Giuded Discovery Learning: Features of Discovery Learning.
Retrieve on October 2007:
http://edutechwiki.unige.ch/en/Guided_discovery_learning
89
Ferbar L. & Trkman P. (2003). Impact of Information Technology on Mathematics
Education – A Slovenian Experience. University of Ljubljana. Slovenia.
Flores A., Knaup J. E., Middleton J. A. & Staley F. A. (2001). Integration of
Technology, Science, and Mathematics in the Middle Grade: A Teache
Preparation Program. Arizona State University.
Garofalo, J., Drier, H., Harper, S., Timmerman, M.A., & Shockey, T. (2000).
Promoting appropriate uses of technology in mathematics teacher preparation.
Contemporary Issues in Technology and Teacher Education, 1(1), 66-88.
Gibson, J. T. (1980). Psychology for the Classroom. Prentice-Hall International, Inc.,
London.
Hughes, J. (2004). Technology Learning Principles for Preservice and in-Service
Teacher Education. Contemporary Issues in Technology and Teacher
Education.4(3), 345-362.
Izwan Ismail. (2006). Impact from Software Neutrality. The News Straits Times
newspaper. Malaysia.
Joyce A. (2002). Discovery Learning for the 21st Century: What is it and how does it
compare to traditional learning ib effectiveness in the 21st Century?. Valdosta
State University Georgia. USA.
Kearsley, G. (1999). Jerome Bruner and Discovery Learning. Retrieve on August
2007: http://tip.psychology.org/bruner.html’
Kementerian Pendidikan Malaysia (2000). Sukatan Pelajaran Kurikulum Bersepadu
Sekolah Menengah Matematik. Pusat Perkembangan Kurikulum. Malaysia
Kenneth Wong, Sayo P. (2004). Free/Open Source Software. UNDP-APDIP.
Malaysia.
90
Kulik, J. A. (1994). Meta-analysis Studies of Finding on Computer-based
Instruction. Technology Assessment in Education and Training. Hillsdale NJ:
Lawrence Erlbaum.
Kurz, T. L., Middleton, J. A., & Yanik, H. B. (2005), A Taxonomy of Software for
Mathematics Instruction. Contemporary Issues in Technology and Teacher
Education, 5(2), 123-137.
Lawrence A. (2001). Taxomomy For The Technology Domain. Information Science
Publishing. London.
Leonard & Andrew (2001). An Alternative Voice: How to Tech-Poor Can Still Be
software Rich. The International Herald Tribune. Retrieved on August 2007:
http://www.iht.com/cgi-
bin/generic.cgi?template=articleprint.tmplh&ArticleId=24330
McGriff, S. J., (2000). Instruction System Design (ISD):Using the ADDIE Model.
Instruction System, College of Education, Penn State University.
Morrison, G. R., Ross, S.M., & Kemp, J. E., (2001). Designing Effective Instruction.
John Wiley & Son, Inc. New York.
Nicholas, V. & Steven, J. (1999). ‘Can You Trust This Penguin?’. ZDNet
SmartPartnet. Retrieve on August 2007:
http://web.archive.org/web/20010606035231/http://www.zdnet.com/sp/stories/i
ssue/0,4537,2387282,00.html;
Niess M. L. (2006). Guest Editorial: Preparing Teachers to Teach Mathematics with
Technology. Contemporary Issues in Technology and Teaching Education,
6(2), 195-203.
Noraini Idris (2006). Explore the Effects of TI-84 Plus on a Achievement and Anxiety
in Mathematics. Eurasia Journal of Mathematics, Science and Technology
Education, 2(3), 66-78.
91
Norjoharuddeen Mohd Nor (2003). Constructivist Approach Cognitively-Guided
Instruction. Southeast Asian Ministers of Education Organisation Regional
Centre for Education in Science and Mathematics and Malaysian Ministry of
Education.
O’Donnell, A. M., Reeve, J., Smith, J. K. (2007). Educational Psychology. Reflection
for Action. John Wiley & Son, Inc, United State.
Open Source Competency Center (2007). Open Source Software. Retrieved on
August 2007: http://opensource.mampu.gov.my
Ormrod, J. E. (1995). Educational Psychology. Principles and Applicatios. Prentice-
Hall International (UK) Limited, London.
Parsons, R. D., Hinson, S. L., Brown, D. S., (2001). Educational Psychology: A
Practitioner-Researcher Model of Teaching. Wadsworth Thomson Learning,
Australia.
Powers R., Blubaugh W. (2005). Technology in Mathe,atics Education: Preparing
Teacher for the Future. Contemporary Issues in Technology and Teaching
Education, 5(3/4), 254-270.
Schacter J. (1999). The impact of Education Technology on Student Achivement.
What Most Current Research Has to Say. The Milken Family Foundation.
Shamatha, J. H., Peressini, D., & Meymaris, K. (2004). Technology-supported
mathematicsactivities situated within an effective learning environment
theoretical framework. ContemporaryIssues in Technology and Teacher
Education, 3(4), 362-381.
Slavin, R. E., (2003). Educational Psychology: Theory and Practice. Allyn & Bacon,
Boston.
92
Snelbecker, G. E. (1974). Learning Theory, Instructional Theory, and
Psychoeducation Design. McGraw-Hill Company. New York.
Stephen A. (2004). Using Learning Outcome. University of Westminster. Scotland.
Tamrin Anuar (2003). ‘Mendidik’ Walaupun Dikritik. Berita Harian.
Tengku Mohd Azzman Shariffadeen (2001). Ilmu dan Kegunaanya dalam
Pembangunan. Ucapan Penghargaan Penerimaan Ijazah Kehormat Doktor
Sains Universiti Malaya. Universiti Malaya.
The American Heritage (2002). Science Dictionary. Houghton Mifflin Company
Tiwari, T. K., (2007). Computer Graphics as an Instructional Aid in an Introductory
Differential Calculus Course. International Electronic Journal of Mathematics
Education, 2(1), 32-48.
Wheeler & David (2003). ‘Why OSS/FS? Look at the Numbers!’. Retrieve on August
2007: http://www.dwheeler.com/oss_fs_why.html
Willis, E., & Raines, P. (2001). Technology and the Changing Face of Teacher
Preparation. Contemporary Issues in Technology and Teacher
Education.1(3), 412-420
Wong, K. & Sayo, P. (2004). Free/Open Source Software. A General Introduction.
UNDP-APDIP.
Yushau B. (2006). Computer Attitude, Use, Experience, Software Familiarity and
Perceived Pedagogical Usefulness: The Case of Mathematics Professors.
Eurasia Journal of Mathematics, Science and Technology Education, 2(3), 1-17
_____ (2006). Rancangan Malaysia Kesembilan. Unit Perancangan Ekonomi.
Jabatan Perdana Menteri. Putrajaya.
93
_____ (2003). Gevernment Agress to Komnas Trial by Education Ministry. Utusan
Online. Retrieve on August 2007:
http://www.utusan.com.my/utusan/archive.asp?y=2003&dt=0802&pub=utusa
n_express&sec=front%5Fpage&pg=fp_08.htm&arc=hive
94
THE KmPlot HANDBOOK
Source: http://docs.kde.org/development/en/kdeedu/kmplot/index.html
Klaus-Dieter Möller (kd.moeller t-online.de)
KmPlot is a mathematical function plotter for the KDE Desktop.
KmPlot is part of the KDE-EDU Project: http://edu.kde.org/
Version 1.2.0 © 2001-2007 Klaus-Dieter Möller KmPlot is distributed under the terms of the GNU General Public License (GPL), Version 2.
Description
KmPlot is a mathematical function plotter for the KDE-Desktop.
It has built in a powerful parser. You can plot different functions simultaneously and combine their function terms to build new functions. KmPlot supports functions with parameters and functions in polar coordinates. Several grid modes are possible. Plots may be printed with high precision in correct scale.
Features
• powerful mathematical parser • precise metric printing • different plot types (functions, parametric, polar) • highly configurable visual settings (plot line, axes, grid) • export to bitmap format (BMP and PNG) and scalable vector graphics (SVG) • save/load complete session in readable xml format • trace mode: cross hair following plot, coordinates shown in the status bar • support zooming • ability to draw the 1st and 2nd derivative and the integral of a plot function • support user defined constants and parameter values • various tools for plot functions: find minium/maximum point, get y-value and draw
the area between the function and the y-axis
95
Chapter 1. Introduction
KmPlot is a mathematical function plotter for the KDE Desktop. It has a powerful built-in parser. You can plot different functions simultaneously and combine them to build new functions.
KmPlot supports several different types of plots:
• Explicit cartesians plots of the form y = f(x). • Parametric plots, where the x and y components are specified as functions of an
independent variable. • Polar plots of the the form r = r(θ). • Implicit plots, where the x and y coordinates are related by an expression. • Explicit differential plots.
KmPlot also provides some numerical and visual features like:
• Filling and calculating the area between the plot and the first axis • Finding maximum and minimum values • Changing function parameters dynamically • Plotting derivatives and integral functions.
These features help in learning the relationship between mathematical functions and their graphical representation in a coordinate system.
96
Chapter 2. First Steps With KmPlot
Table of Contents
Simple Function Plot Edit PropertiesSimple Function Plot
In the sidebar on the left, there is a button with a drop down menu for creating new plots. Click on it, and select Cartesian Plot. The text box for editing the current equation will be focused. Replace the default text with
y = x^2
and press Enter. This will draw the plot of y = x2 in the coordinate system. Clicking on the Create New Plot button again, select Cartesian Plot, and this time enter the text
y = 5sin(x)
to get another plot.
Click on one of the lines you have just plotted. Now the crosshair becomes the color of the current plot and is attached to the it. You can use the mouse to move the crosshair along the plot. In the status bar at the bottom of the window the coordinates of the current position is displayed. Note that if the plot touches the x-axis the root will be displayed in the status bar, too.
Click the mouse again and the crosshair will be detached from the plot.
Edit Properties
Let us make some changes to the function and change the color of the plot.
The Function Editor lists all the functions that you have plotted. If y = x^2 isn't already selected, select it. Here you have access to a lot of options. Let us rename the function and move the plot 5 units down. Change the function equation to
parabola(x) = x^2 - 5
and hit enter. To select another color for the plot, click the Appearance button at the bottom of the function editor and select a new color.
Note
All changes can be undone via Edit->Undo.
97
Chapter 3. Using KmPlot
Function Types Cartesian Functions Parametric Functions Functions in Polar Coordinates Implicit Functions Differential Functions
Combining Functions Changing the appearance of functions Popup menu
KmPlot deals with several different types of functions, which can be written in function form or as an equation:
• Cartesians plots can either be written as e.g. “y = x^2”, where x has to be used as the variable; or as e.g. “f(a) = a^2”, where the name of the variable is arbitrary.
• Parametric plots are similar to Cartesian plots. The x and y coordinates can be entered as equations in t, e.g. “x = sin(t)”, “y = cos(t)”, or as functions, e.g. “f_x(s) = sin(s)”, “f_y(s) = cos(s)”.
• Polar plots are also similar to Cartesian plots. They can be either be entered as an equation in θ, e.g. “r = θ”, or as a function, e.g. “f(x) = x”.
• For implicit plots, the name of the function is entered separately from the expression relating the x and y coordinates. If the x and y variables are specified via the function name (by entering e.g.“f(a,b)” as the function name), then these variables will be used. Otherwise, the letters x and y will be used for the variables.
• Explicit differential plots are differential equations whereby the highest derivative is given in terms of the lower derivatives. Differentiatation is denoted by a prime ('). In function form, the equation will look like “f''(x) = f' − f”. In equation form, it will look like “y'' = y' − y”. Note that in both cases, the “(x)” part is not added to the lower order differential terms (so you would enter “f'(x) = −f” and not “f'(x) = −f(x)”).
All the equation entry boxes come with a button on the right. Clicking this invokes the advanced Equation Editor dialog, which provides:
• A variety of mathematical symbols that can be used in equations, but aren't found on normal keyboards.
• The list of user constants and a button for editing them. • The list of predefined functions. Note that if you have text already selected, it will be
used as the function argument when a function is inserted. For example, if “1 + x” is selected in the equation “y = 1 + x”, and the sine function is chosen, then the equation will become “ y = sin(1+x)”.
98
Function Types
Cartesian Functions
To enter an explicit function (i.e., a function in the form y=f(x)) into KmPlot, just enter it in the following form:
f(x) = expression
where:
• f is the name of the function, and can be any string of letters and numbers. • x is the x-coordinate, to be used in the expression following the equals sign. It is a
dummy variable, so you can use any variable name you like to achieve the same effect.
• expression is the expression to be plotted, given in the appropriate syntax for KmPlot. See the section called “Mathematical Syntax”.
Parametric Functions
Parametric functions are those in which the x and y coordinates are defined by separate functions of another variable, often called t. To enter a parametric function in KmPlot, follow the procedure as for a Cartesian function for each of the x and y functions. As with Cartesian functions, you may use any variable name you wish for the parameter.
As an example, suppose you want to draw a circle, which has parametric equations x = sin(t), y = cos(t). After creating a parametric plot, enter the appropriate equations in the x and y boxes, i.e., xcircle(t) = sin(t) and ycircle(t) = cos(t).
You can set some further options for the plot in the function editor:
Min, Max
These options control the range of the parameter t for which the function is plotted.
99
Functions in Polar Coordinates
Polar coordinates represent a point by its distance from the origin (usually called r), and the angle a line from the origin to the point makes with the x-axis (usually represented by θ the Greek letter theta). To enter functions in polar coordinates, create a new Polar Plot from the Create New Plot button. In the definition box, complete the function definition, including the name of the theta variable you want to use, e.g., to draw the Archimedes' spiral r = θ, enter:
r(theta) = theta
so that the whole line reads “r(theta) = theta”. Note that you can use any name for the theta variable, so “r(foo) = foo” will produce exactly the same output.
Implicit Functions
An implicit expression relates the x and y coordinates as an equality. To create a circle, for example, create a new Implicit Plot from the Create New Plot button. Then, enter into the equation box (below the function name box) the following:
x^2 + y^2 = 25
Differential Functions
KmPlot can plot explicit differential equations. These are equations of the form y(n) = F(x,y',y'',...,y(n−1)), where yk is the kth derivative of y(x). KmPlot can only interpret the derivative order as the number of primes following the function name. To draw a sinusoidal curve, for example, you would use the differential equation y'' = − y.
However, a differential equation on its own isn't enough to determine a plot. Each curve in the diagram is generated by a combination of the differential equation and the initial conditions. You can edit the initial conditions by clicking on the Initial Conditions tab when a differential equation is selected. The number of columns provided for editing the initial conditions is dependent on the order of the differential equation.
You can set some further options for the plot in the function editor:
Step
The step value in the precision box is used in numerically solving the differential equation (using the Runge Kutta method). Its value is the maximum step size used; a smaller step size may be used if part of the differential plot is zoomed in close enough.
Combining Functions
Functions can be combined to produce new ones. Simply enter the functions after the equals sign in an expression as if the functions were variables. For example, if you have defined functions f(x) and g(x), you can plot the sum of f and g with:
sum(x) = f(x) + g(x)
100
Changing the appearance of functions
To change the appearance of a function's graph on the main plot window, select the function in the Function Editor sidebar. You can change the plot's line width, color and many other aspects by clicking on the Appearance button at the bottom.
If you are editing a Cartesian function, the function editor will have three tabs. In the first one you specify the equation of the function. The Derivatives tab lets you draw the first and second derivative to the function. With the Integral tab you can draw the integral of the function.
Popup menu
When right-clicking on a plot function or a single-point parametric plot function a popup menu will appear. In the menu there are three items available:
Hide - Hides the selected graph. Other plots of the graph's function will still be shown.
Remove - Removes the function. All its graphs will disappear.
Edit - Selects the function in the Function Editor for editing.
Depending on the plot type, there will also be up to four tools available:
Get y-Value - Opens a dialog in which you can find the y-value corresponding to a specific x-value. The selected graph will be highlighted in the dialog. Enter an x value in the X: box, and hit Enter. The corresponding y will be automatically calculated and shown underneath.
Search for Minimum Value - Find the minimum value of the graph in a specified range. The selected graph will be highlighted in the dialog that appears. Enter the lower and upper boundaries of the region in which you want to search for a minimum. Note: You can also tell the plot to visually show the extreme points via the plot's Appearance dialog, accessible via the Function Editor.
Search for Maximum Value - This is the same as Search for Minimum Value above, but finds the maximum value instead of the minimum value.
Calculate Integral -Select the x-values for the graph in the new dialog that appears. Calulates the integral and draws the area between the graph and the x-axis in the selected range in the color of the graph.
101
Chapter 4. Configuring KmPlot
Table of Contents
General Configuration Diagram Configuration Colors Configuration Fonts Configuration Coordinate System Configuration
The Axes ConfigurationConstants Configuration
To access the KmPlot configuration dialog, select Settings->Configure KmPlot.... A number of settings (Constants... and Coordinate System...) can only be changed from the Edit menu.
General Configuration
Here you can set global settings which automatic will be saved when you exit KmPlot. In the first page you can set angle-mode (radians and degrees), zoom in and zoom out factors, and whether to show advanced plot tracing.
Diagram Configuration
102
You can set the Grid Style to one of four options:
None
No gridlines are drawn on the plot area
Lines
Straight lines form a grid of squares on the plot area.
Crosses
Crosses are drawn to indicate points where x and y have integer values (e.g., (1,1), (4,2) etc.).
Polar
Lines of constant radius and of constant angle are drawn on the plot area.
Other options for the diagram appearance can also be configured:
Axis width:
Sets the width of the lines representing the axes.
Line width:
Sets the width of the lines used for drawing the grid.
Tic width:
Sets the width of the lines representing tics on the axes.
Tic length:
Sets the length of the lines representing tics on the axes.
Show labels
If checked, the names (x, y) of the axes are shown on the plot and the axes' tics are labeled.
Show axes
If checked, the axes are visible.
Show arrows
If checked, the axes are displayed with arrows at their ends.
103
Colors Configuration
In the Coords tab of the Colors configuration dialog, you can change the colors of the axes and grid of the main KmPlot area.
The Default Function Colors control which colors are cycled through when creating new functions.
Fonts Configuration
Axis font
The font used for drawing the axis numbers and x/y labels.
Label font
The font used for drawing diagram labels (e.g., those showing the plot name or extreme points.
104
Coordinate System Configuration
The Axes Configuration
X-axis Range
Sets the range for the x-axis scale. Note that you can use the predefined functions and constants (see the section called “Predefined Function Names and Constants”) as the extremes of the range (e.g., set Min: to 2*pi). You can even use functions you have defined to set the extremes of the axis range. For example, if you have defined a function f(x) = x^2, you could set Min: to f(3), which would make the lower end of the range equal to 9.
Y-axis Range
Sets the range for the y-axis. See “X-axis Range” above.
X-axis Grid Spacing
This controls the spacing between grid lines in the horizontal direction. If Automatic is selected, then KmPlot will try to find a grid line spacing of about two centermeters that is also numerically nice. If Custom is selected, then you can enter the horizontal grid spacing. This value will be used regardless of the zoom. For example, if a value of 0.5 is entered, and the x range is 0 to 8, then 16 grid lines will be shown.
Y-axis Grid Spacing
This controls the spacing between grid lines in the vertical direction. See “Y-axis Grid Spacing” above.
105
Constants Configuration
Constants can be used as part of an expression anywhere inside of KmPlot. Each constant must have a name and a value. Some names are invalid, however, such as existing function names or existing constants.
There are two options that control the scope of a constant:
Document
If you select the Document checkbox, then the Constant will be saved along with the current diagram when you save it to file. However, unless you have also selected the Global option, the constant will not be available between instances of KmPlot.
Global If you select the Global checkbox, then the Constant's name and value will be written to KDE settings (where it can also be used by KCalc). The constant will not be lost when KmPlot is closed, and will be available again for use when KmPlot is started again.
106
Chapter 5. KmPlot Reference
Table of Contents
Function Syntax Predefined Function Names and Constants
Trigonometric Functions Hyperbolic Functions Other Functions Predefined Constants
Extensions Mathematical Syntax Plotting Area Crosshair CursorFunction Syntax
Some syntax rules must be complied with:
name(var1[, var2])=term [;extensions]
name - The function name. If the first character is “r” the parser assumes that you are using polar coordinates. If the first character is “x” (for instance “xfunc”) the parser expects a second function with a leading “y” (here “yfunc”) to define the function in parametric form.
var1 - The function's variable
var2 - The function “group parameter”. It must be separated from the function's variable by a comma. You can use the group parameter to, for example, plot a number of graphs from one function. The parameter values can be selected manually or you can choose to have a slider bar that controls one parameter. By changing the value of the slider the value parameter will be changed. The slider can be set to an integer between 0 and 100.
term - The expression defining the function. Predefined Function Names and Constants
All the predefined functions and constants that KmPlot knows can be shown by selecting Help->Predefined Math Functions.
These functions and constants and even all user defined functions can be used to determine the axes settings as well. See the section called “The Axes Configuration”.
Trigonometric Functions
By default, the trigonometric functions work in radians. However, this can be changed via Settings->Configure KmPlot.
sin(x), arcsin(x), cosec(x), arccosec(x) - The sine, inverse sine, cosecant and inverse cosecant respectively.
107
cos(x), arccos(x), sec(x), arcsec(x) - The cosine, inverse cosine, secant and inverse secant respectively.
tan(x), arctan(x), cot(x), arccot(x) - The tangent, inverse tangent, cotangent and inverse cotangent respectively.
Hyperbolic Functions
The Hyperbolic Functions.
sin(x), arcsin(x), cosec(x), arccosec(x) - The hyperbolic sine, inverse sine, cosecant and inverse cosecant respectively.
cos(x), arccos(x), sec(x), arcsec(x) - The hyperbolic cosine, inverse cosine, secant and inverse secant respectively.
tan(x), arctan(x), cot(x), arccot(x) - The hyperbolic tangent, inverse tangent, cotangent and inverse cotangent respectively.
Other Functions
sqr(x) - The square x^2 of x.
sqrt(x) - The square root of x.
sign(x) - The sign of x. Returns 1 if x is postive, 0 if x is zero, or −1 if x is negative.
H(x) - The Heaviside Step Function. Returns 1 if x is positive, 0.5 if x is zero, or 0 if x is negative.
exp(x) - The exponent e^x of x.
ln(x) - The natural logarithm (inverse exponent) of x.
log(x) - The logarithm of x to base 10.
abs(x) - The absolute value of x.
floor(x) - Rounds x to closest integer less than or equal to x.
ceil(x) - Rounds x to the closest integer greater than or equal to x.
round(x) - Rounds x to the closest integer.
gamma(x) - The gamma function.
factorial(x) - The factorial of x.
min(x ,x ,...,x )1 2 n - Returns the minimum of the set of numbers {x1,x2,...,xn}.
max(x ,x ,...,x )1 2 n - Returns the maximum of the set of numbers {x1,x2,...,xn}.
108
mod(x ,x ,...,x )1 2 n - Returns the modulus (Euclidean length) of the set of numbers {x1,x2,...,xn}.
Predefined Constants
pi, π - Constants representing π (3.14159...).
e - Constant representing Euler's Number e (2.71828...). Extensions
An extension for a function is specified by entering a semicolon, followed by the extension, after the function definition. The extension can either be written in the Quick Edit box or by using the DCOP method Parser addFunction. None of the extensions are available for parametric functions but N and D[a,b] work for polar functions too. For example:
f(x)=x^2; A1
will show the graph y=x2 with its first derivative. Supported extensions are described below:
N - The function will be stored but not be drawn. It can be used like any other user-defined or predefined function.
A1 - The graph of the derivative of the function will be drawn additionally with the same color but less line width.
A2 - The graph of the second derivative of the function will be drawn additionally with the same color but less line width.
D[a,b] - Sets the domain for which the function will be displayed.
P[a{,b...}] - Give a set of values of a group parameter for which the function should be displayed. For example: f(x,k)=k*x;P[1,2,3] will plot the functions f(x)=x, f(x)=2*x and f(x)=3*x. You can also use functions as the arguments to the P option.
Please note that you can do all of these operations by using the function editor dialog too.
Mathematical Syntax
KmPlot uses a common way of expressing mathematical functions, so you should have no trouble working it out. The operators KmPlot understands are, in order of decreasing precedence:
^ : The caret symbol performs exponentiation. e.g., 2^4 returns 16. *, / : The asterisk and slash symbols perform multiplication and division . e.g.,
3*4/2 returns 6. +, − : The plus and minus symbols perform addition and subtraction. e.g., 1+3−2
returns 2.
109
<, >, ≤, ≥
: Comparison operators. They return 1 if the expression is true, otherwise they return 0. e.g., 1 ≤ 2 returns 1.
√ : The square root of a number. e.g., √4 returns 2. |x| : The absolute value of x. e.g., |−4| returns 4. ±, : Each plus-minus sign gives two sets of plots: one in which the plus is taken,
and one in which the minus is taken.e.g.. y = ±sqrt(1−x^2) will draw a circle. These, therefore, cannot be used in constants.
Note the precedence, which means that if parentheses are not used, exponentiation is performed before multiplication/division, which is performed before addition/subtraction. So 1+2*4^2 returns 33, and not, say 144. To override this, use parentheses. To use the above example, ((1+2)*4)^2 will return 144.
Plotting Area
By default, explicitly given functions are plotted for the whole of the visible part of the x-axis. You can specify an other range in the edit-dialog for the function. If the plotting area contains the resulting point it is connected to the last drawn point by a line.
Parametric and polar functions have a default plotting range of 0 to 2π. This plotting range can also be changed in the Function Editor.
Crosshair Cursor
While the mouse cursor is over the plotting area the cursor changes to a crosshair. The current coordinates can be seen at the intersections with the coordinate axes and also in the status bar at the bottom of the main window.
You can trace a function's values more precisely by clicking onto or next to a graph. The selected function is shown in the status bar in the right column. The crosshair then will be caught and be colored in the same color as the graph. If the graph has the same color as the background color, the crosshair will have the inverted color of the background. When moving the mouse or pressing the keys Left or Right the crosshair will follow the function and you see the current x- and y-value. If the crosshair is close to y-axis, the root-value is shown in the statusbar. You can switch function with the Up and Down keys. A second click anywhere in the window or pressing any non-navigating key will leave this trace mode.
For more advanced tracing, open up the Configure KmPlot dialog, and select "Draw tangent and normal when tracing" from the General Settings page. This option will draw the tangent, normal and oscullating circle of the plot currently being traced.
Chapter 6. Command Reference
Table of Contents
110
The File Menu The Edit Menu The View Menu The Tools Menu The Settings Menu The Help MenuThe File Menu
File->New (Ctrl+N)
Starts a new Plot by clearing the coordinate system and resetting the function parser.
File->Open... (Ctrl+O)
Opens an existing document.
File->Open Recent
Displays a list of recently opened files. Selecting one from this list plots the functions in the file.
File->Save (Ctrl+S)
Saves the document.
File->Save As...
Saves the document under another name.
File->Print... (Ctrl+P)
Sends the plot to a printer or file.
File->Export...
Export values to a textfile. Every value in the parameter list will be written to one line in the file.
File->Quit (Ctrl+Q)
Exits KmPlot.
The Edit Menu
Edit->Undo
Undo the last command.
Edit->Redo
111
Redo the last command that was undone.
Edit->Coordinate System...
Displays the Coordinate System dialog box. See the section called “Coordinate System Configuration”.
Edit->Constants...
Displays the Constants dialog box. See the section called “Constants Configuration”.
The View Menu
The first three items in the menu are related to zooming.
View->Zoom In (Ctrl+1)
This tool can be operator in two different manners. To zoom in on a point on the graph, click on it. To zoom in on a specific section of the graph, hold and drag the mouse to form a rectangle, which will be the new axes ranges when the mouse button is released.
View->Zoom Out (Ctrl+2)
The tool can also be used in two different manners. To zoom out and center on a point, click on that point. To fit the existing view into a rectangle, hold and drag the mouse to form that rectangle.
Zoom->Fit Widget to Trigonometric Functions
The scale will be adapted to trigonometric functions. This works both for radians and degrees.
Settings->Show Sliders
Toggles the visibility of the slider dialog.
Edit->Coordinate System I
Show both positive and negative x- and y-values on the grid.
Edit->Coordinate System II
Show positive and negative y-values, but positive x-values only
Edit->Coordinate System III
Show only positive x- and y-values.
The Tools Menu
This menu contains some tools for the functions that can be useful:
112
Tools->Get y-Value...
Let the user get the y-value from a specific x-value. Type a value or expression in the text box under "X:". In the list below all the available functions are shown. Press Enter to calculate the function's y-value. The result will be shown in the y-value box.
Tools->Search for Minimum Value...
Find the minimum value of the graph in a specified range.
Tools->Search for Maximum Value...
Find the maximum value of the graph in a specified range.
Tools->Calculate Integral
Select a graph and the x-values in the new dialog that appears. Calulates the integral and draws the area between the graph and the x-axis in the range of the selected x-values in the color of the graph.
The Settings Menu
Settings->Show/Hide Statusbar
Toggle on and off the display of the status bar at the bottom of the KmPlot main window. The default is on.
Settings->Full Screen Mode (Ctrl-Shift-F)
With this action you toggle the full screen mode.
Settings->Configure Shortcuts...
Personalize the keybindings for KmPlot.
Settings->Configure Toolbars...
Personalize the toolbars for KmPlot.
Settings->Configure KmPlot...
Customize KmPlot. The options available to you are described in Chapter 4, Configuring KmPlot.
Settings->Show/Hide Toolbar
Toggle on and off the display of the toolbar. The default is on.
The Help Menu
KmPlot has a standard KDE Help as described below, with one addition:
113
Help->Predefined Math Functions...
Opens a window with a list of the predefined function names and constants that KmPlot knows.
The standard KDE Help entries are:
Help->KmPlot Handbook (F1)
Invokes the KDE Help system starting at the KmPlot help pages. (this document).
Help->What's This? (Shift+F1)
Changes the mouse cursor to a combination arrow and question mark. Clicking on items within KmPlot will open a help window (if one exists for the particular item) explaining the item's function.
Help->Report Bug...
Opens the Bug report dialog where you can report a bug or request a “wishlist” feature.
Help->About KmPlot
This will display version and author information.
Help->About KDE
This displays the KDE version and other basic information.
Chapter 7. Scripting KmPlot
A new feature in KDE 3.4 is that you can write scrips for KmPlot with DCOP. For example, if you want to define a new function f(x)=2sin x+3cos x, set its line width to 20 and then draw it, you type in a console:
dcop kmplot-PID Parser addFunction "f(x)=2sin x+3cos x" As a result, the new function's id number will be returned, or -1 if the function could not be defined.
114
>dcop kmplot-PID Parser setFunctionFLineWidth 20 ID This command sets the function with the id number ID the line width to 20.
>dcop kmplot-PID View drawPlot This command repaints the window so that the function get visible.
A list over the available functions:
KmPlotShell fileOpen &url
Load the file url.
MainDlg isModified
Returns true if any changes are done.
MainDlg editColors
Opens the color edit dialog.
MainDlg editAxes
Opens the coordinate system edit dialog.
MainDlg editScaling
Opens the scaling edit dialog.
MainDlg editFonts
Opens the fonts edit dialog.
MainDlg editConstants
Opens the constants edit dialog.
MainDlg newFunction
Opens the new function plot dialog.
MainDlg newParametric
Opens the new parametric plot dialog.
MainDlg newPolar
Opens the new polar plot dialog.
MainDlg toggleShowSlider0
Shows/hides parameter slider window number 1.
115
MainDlg toggleShowSlider1
Shows/hides parameter slider window number 2.
MainDlg toggleShowSlider2
Shows/hides parameter slider window number 3.
MainDlg toggleShowSlider3
Shows/hides parameter slider window number 4.
MainDlg slotSave
Saves the functions (opens the save dialog if it is a new file).
MainDlg slotSaveas
The same as choosing File->Save As in the menu.
MainDlg slotEditPlots
Opens the edit plots dialog.
MainDlg slotPrint
Opens the print dialog.
MainDlg slotExport
Opens the export dialog.
MainDlg slotSettings
Opens the settings dialog.
MainDlg slotNames
Shows a list of predefined math functions.
MainDlg slotCoord1
Coordinate System I.
MainDlg slotCoord2
Coordinate System II.
MainDlg slotCoord3
Coordinate System III.
116
MainDlg getYValue
The same as choosing Tools->Get y-Value... in the menu.
MainDlg findMinimumValue
The same as choosing Tools->Search for Minimum Value... in the menu.
MainDlg findMaximumValue
The same as choosing Tools->Search for Maximum Value... in the menu.
MainDlg graphArea
The same as choosing Tools->Calculate Integral in the menu.
Parser addFunction f_str
Adds a new function with the expression f_str. If the expression does not contain a function name, it will be auto-generated. The id number of the new function is returned, or -1 if the function couln't be defined.
Parser delfkt id
Removes the function with the id number id. If the function could not be deleted, false is returned, otherwise true.
Parser setFunctionExpression f_str id
Sets the expression for the function with the id number id to f_str. Returns true if it succeed, otherwise false.
Parser countFunctions
Returns the number of functions (parametric functions are calculated as two).
Parser listFunctionNames
Returns a list with all functions.
Parser fnameToId f_str
Returns the id number of f_str or -1 if the function name f_str was not found.
Parser id x
Calculates the value x for the function with the ID id or returns 0.0 if id does not exist.
Parser functionFVisible id
Returns true if the function with the ID id is visible, otherwise false.
117
Parser functionF1Visible id
Returns true if the first derivative of the function with the ID id is visible, otherwise false.
Parser functionF2Visible id
Returns true if the second derivative of the function with the ID id is visible, otherwise false.
Parser functionIntVisible id
Returns true if the integral of the function with the ID id is visible, otherwise false.
Parser setFunctionFVisible visible id
Shows the function with the ID id if visible is true. If visible is false, the function will be hidden. True is returned if the function exists, otherwise false
Parser setFunctionF1Visible visible id
Shows the first derivative of the function with the ID id if visible is true. If visible is false, the function will be hidden. True is returned if the function exists, otherwise false.
Parser setFunctionF2Visible visible id
Shows the second derivative of the function with the ID id if visible is true. If visible is false, the function will be hidden. True is returned if the function exists, otherwise false.
Parser setFunctionIntVisible visible id
Shows the integral of the function with the ID id if visible is true. If visible is false, the function will be hidden. True is returned if the function exists, otherwise false.
Parser functionStr id
Returns the function expression of the function with the ID id. If the function not exists, an empty string is returned instead.
Parser functionFColor id
Returns the color of the function with the ID id.
Parser functionF1Color id
Returns the color of the first derivative of the function with the ID id.
Parser functionF2Color id
118
Returns the color of the second derivative of the function with the ID id.
Parser functionIntColor id
Returns the color of the integral of the function with the ID id.
Parser setFunctionFColor color id
Sets the color of the function with the ID id to color. True is returned if the function exists, otherwise false.
Parser setFunctionF1Color color id
Sets the color of the first derivative of the function with the ID id to color. True is returned if the function exists, otherwise false.
Parser setFunctionF2Color color id
Sets the color of the second derivative of the function with the ID id to color. True is returned if the function exists, otherwise false.
Parser setFunctionIntColor color id
Sets the color of the integral of the function with the ID id to color. True is returned if the function exists, otherwise false.
Parser functionFLineWidth id
Returns the line width of the function with the ID id. If the function not exists, 0 is returned.
Parser functionF1LineWidth id
Returns the line width of the first derivative of the function with the ID id. If the function not exists, 0 is returned.
Parser functionF2LineWidth id
Returns the line width of the first derivative of the function with the ID id. If the function not exists, 0 is returned.
Parser functionIntLineWidth id
Returns the line width of the integral of the function with the ID id. If the function not exists, 0 is returned.
Parser setFunctionFLineWidth linewidth id
Sets the line width of the function with the ID id to linewidth. True is returned if the function exists, otherwise false.
119
Parser setFunctionF1LineWidth linewidth id
Sets the line width of the first derivative of the function with the ID id to linewidth. True is returned if the function exists, otherwise false.
Parser setFunctionF2LineWidth linewidth id
Sets the line width of the second derivative of the function with the ID id to linewidth. True is returned if the function exists, otherwise false.
Parser setFunctionIntLineWidth linewidth id
Sets the line width of the integral of the function with the ID id to linewidth. True is returned if the function exists, otherwise false.
Parser functionParameterList id
Returns a list with all the parameter values for the function with the ID id.
Parser functionAddParameter new_parameter id
Adds the parameter value new_parameter to the function with the ID id. True is returned if the operation succeed, otherwise false.
Parser functionRemoveParameter remove_parameter id
Removes the parameter value remove_parameter from the function with the ID id. True is returned if the operation succeed, otherwise false.
Parser functionMinValue id
Returns the minimum plot range value of the function with the ID id. If the function not exists or if the minimum value is not definied, an empty string is returned.
Parser functionMaxValue id
Returns the maximum plot range value of the function with the ID id. If the function not exists or if the maximum value is not definied, an empty string is returned.
Parser setFunctionMinValue min id
Sets the minimum plot range value of the function with the ID id to min. True is returned if the function exists and the expression is valid, otherwise false.
Parser setFunctionMaxValue max id
Sets the maximum plot range value of the function with the ID id to max. True is returned if the function exists and the expression is valid, otherwise false.
Parser functionStartXValue id
120
Returns the initial x point for the integral of the function with the ID id. If the function not exists or if the x-point-expression is not definied, an empty string is returned.
Parser functionStartYValue id
Returns the initial y point for the integral of the function with the ID id. If the function not exists or if the y-point-expression is not definied, an empty string is returned.
Parser setFunctionStartXValue min id
Sets the initial x point for the integral of the function with the ID id to x. True is returned if the function exists and the expression is valid, otherwise false.
Parser setFunctionStartYValue max id
Sets the initial y point for the integral of the function with the ID id to y. True is returned if the function exists and the expression is valid, otherwise false.
View stopDrawing
If KmPlot currently is drawing a function, the procedure will stop.
View drawPlot
Redraws all functions.
If you want to contribute to KmPlot feel free to send a mail to (kd.moeller AT t-online.de), (f_edemar AT linux.se) or (david AT bluehaze.org).
Chapter 9. Credits and License
KmPlot - Program copyright 2000-2002 Klaus-Dieter Möller (kd.moeller AT t-online.de)
Contributors
• CVS: Robert Gogolok (mail AT robert-gogoloh.de) • Porting GUI to KDE 3 and Translating: Matthias Messmer (bmlmessmer AT
web.de) • Various improvements: Fredrik Edemar (f_edemar AT linux.se) • Porting to Qt 4, UI improvements, features: David Saxton (david AT
bluehaze.org)
Documentation copyright 2000--2002 by Klaus-Dieter Möller (kd.moeller AT t-online.de).
121
Documentation extended and updated for KDE 3.2 by Philip Rodrigues (phil AT kde.org).
Documentation extended and updated for KDE 3.3 by Philip Rodrigues (phil AT kde.org) and Fredrik Edemar (f_edemar AT linux.se).
Documentation extended and updated for KDE 3.4 by Fredrik Edemar (f_edemar AT linux.se).
Documentation extended and updated for KDE 4.0 by David Saxton (david AT bluehaze.org).
This documentation is licensed under the terms of the GNU Free Documentation License.
This program is licensed under the terms of the GNU General Public License.
Appendix A. Installation
KmPlot is part of the KDE project http://www.kde.org/.
KmPlot can be found in the kdeedu package on ftp://ftp.kde.org/pub/kde/, the main FTP site of the KDE project.
KmPlot is part of the KDE EDU Project: http://edu.kde.org/
KmPlot has its own homepage on SourceForge. You can also find archives of older versions of KmPlot there, for example, for KDE 2.x
In order to compile and install KmPlot on your system, type the following in the base directory of the KmPlot distribution:
% ./configure% make% make install
Since KmPlot uses autoconf and automake you should have no trouble compiling it. Should you run into problems please report them to the KDE mailing lists
MANUAL PENGGUNAAN PERISIAN KMPLOT
Berikut merupakan Manual Penggunaan Perisian Kmplot. Manual ini
menerangkan beberapa ciri dan maklumat yang penting. Oleh itu, manual juga boleh
122
digunakan bersama-sama dengan buku panduan KmPlot di dalam Lampiran A untuk
meningkatkan pemahaman dan penguasaan terhadap perisian ini.
1. Perisian KmPlot mempunyai 7 menu utama yang dipaparkan di barisan atas pada
antara muka perisian. Rajah 1 di bawah menunjukkan antara muka perisian
KmPlot.
Rajah 1 Antara muka perisian KmPlot
2. Menu Edit:
a. Color → Configure – KmPlot
Coords berfungsi untuk membuat pilihan warna bagi garis paksi
graf dan grid graf. (Rajah 2)
123
Rajah 2 Antara muka Coords
Default Function Colors berfungsi sebagai pilihan warna untuk graf
yang diplot. (Rajah 3)
Rajah 3 Antara muka Default Function Colors
b. Coordinate System → Configure – KmPlot
Axes berfungsi untuk menetapkan julat bagi paksi x dan paksi y
(Rajah 4).
124
Rajah 4 Antara muka Axes
Grid berfungsi untuk membuat pilihan gaya grid samada tiada grid,
garisan, persilangan atau pun polar (Rajah 5).
Rajah 5 Antara muka Grid
c. Scaling → Configure – KmPlot
Edit Scaling berfungsi untuk mengubah ketebalan paksi untuk
paparan dan cetakan(Rajah 6).
125
Rajah 6 Antara muka Edit Scaling
d. Fonts → Configure – KmPlot
Edit Fonts berfungsi untuk menetapkan jenis tulisan, saiz dan
tajuk(Rajah 7).
Rajah 7 Antara muka Edit Fonts
e. Coordinate System I berfungsi untuk menetapkan graf pada jarak yang
sama dari titik (0,0) (Rajah 8).
126
Rajah 8 Antara muka Coordinate System I
f. Coordinate System II berfungsi untuk menetapkan graf pada jarak yang
sama dari titik (0,0) (Rajah 9).
Rajah 9 Antara muka Coordinate System II
g. Coordinate System III berfungsi untuk menetapkan graf pada jarak yang
sama dari titik (0,0) (Rajah 10).
127
Rajah 10 Antara muka Coordinate System III
3. Menu Plot
a. New Function Plot
i. Function (Rajah 11)
Fungsi:
Menandakan fungsi di ruangan Equation
Graf fungsi boleh dipaparkan atau sebaliknya dengan membuat
pilihan pada kotak Extensions
Boleh menetapkan nilai parameter
Boleh menetapkan jarak minimum dan maksimum plot graf
Boleh mengubah ketebalan garis graf fungsi
Boleh menetapkan warna bagi graf yang diplot.
128
Rajah 11 Antara muka New Function Plot
ii. Derivatives (Rajah 12)
Fungsi:
Mempunyai dua peringkat pembezaan
Memaparkan graf pembezaan
Rajah 12 Antara muka Derivatives
129
iii. Integral (Rajah 13)
Fungsi:
Memaparkan graf pengamiran.
Rajah 13 Antara muka Integral
b. New Parametric Plot (Rajah 14)
Fungsi:
Pada kotak Definition → Name diisi sebagai pengenalan kepada
fungsi parametrik
Mempunyai pilihan untuk memapar atau tidak graf yang diplot
Menetapkan julat minimum dan maximum
Membuat pilihan bagi ketebalan dan warna graf
130
Rajah 14 Antara muka New Parametric Plot
c. New Polar Plot (Rajah 15)
Fungsi:
Pada kotak Definition → Equation untuk memasukkan pesamaan.
Mempunyai pilihan untuk memapar atau tidak graf yang diplot
Menetapkan julat minimum dan maximum
Membuat pilihan bagi ketebalan dan warna graf
Rajah 15 Antara muka New Polar Plot
131
d. Edit Plot (Rajah 16)
Fungsi:
Membaiki fungsi yang telah diplot
Membuang fungsi yang tidak diingini
Menyalin fungsi pada antara muka Kmplot lain
Rajah 16 Antara muka Edit Plot
4. Menu Tools
a. Get y-Value berfungsi untuk mendapatkan nilai y dengan memberikan nilai
x pada graf yang dipilih (Rajah 17).
Rajah 17 Antara muka Get y-Value
132
b. Search for minimum Value berfungsi untuk mendapatkan nilai minimum
bagi graf (Rajah 18)
Rajah 18 Antara muka Search for minimum Value
c. Search for maximum Value berfungsi untuk mendapatkan nilai maksimum
bagi graf (Rajah 19)
Rajah 19 Antara muka Search for maximum Value
133
1 : THE GRAPH OF
LINEAR FUNCTION
Activity 1.1: Understand the graph of linear functions
Activity 1.2: Investigate the characteristics of graph of linear
Activity 1.3: Position of a point relative to the graph of y = ax +b
Activity 1.4: Problem solving involving the graphs of linear
134
Activity 1.1: Understand the graph of linear functions
Learning Objectives:
Student will be able to:
1. Plot the graph of linear functions using KmPlot. baxy += , where a and b
are constants.
2. Investigate, determine and explain the changes value of constants can effect
the graphs.
3. Investigate, determine and explain the relationships between the value of a
and the slope of graph of linear functions.
4. Investigate, determine and explain the relationships between the value of b
with the y-intercept.
5. Find the pattern of the graphs when the value of x is changing.
Operation Cognitive: Recognising, Analysing, Inquiring, and Drawing conclusion.
Instruction:
1. Plot the functions 24 += xy and 2+= xy using KmPlot. (Make sure the
equation is in a form of y in terms of x).
2. Select New Function Plot from Plot menu. Insert the function in the
Equation box and click Ok.
24 += xy
3. By using the same grid, repeat step (2) for the function 2+= xy .
4. Observe the value of a and b, what can you conclude about the similarities or
differences between the functions and the graphs.
5. To “Save” the graphs and the diagrams:
a. Save the graph as <name>.fkt by selecting Save As from File menu.
b. Save the diagram of graph as <name>.png by selecting Export from File
menu.
135
To find the value of y, given a value of x using KmPlot:
1. Using the KmPlot, plot the functions below. (Make sure the equation is in a form
of y in terms of x).
2. Select New Function Plot from Plot menu. Insert the functions in the Equation
box and click Ok.
3. Select Get y-value from Tool menu and insert the value of x in the required
space.
4. Select the required function. Then click Calculate.
5. Complete the table below.
Function x value y value
-1
-0.5
0
0.5
34 −= xy
1
-1
-0.5
0
0.5
221
−−= xy
1
6. From the table above, what can you conclude about the pattern of the graphs
when the value of x is sequenced in ascending and descending order?
136
Exercise 1.1
1. Plot each set of three functions below on the same grid through KmPlot.
Discuss the results obtained through the graphs.
Function Discussions
i. 0)0(2 +−= xy
0)4(2 +−= xy
0)5(2 ++= xy
ii. 4)0(2 −−= xy
4)0(21
−−= xy
4)0(4 −−= xy
iii. 0)0(2 +−= xy
4)0(2 −−= xy
5)0(2 +−= xy
iv. 5)0(2 +−= xy
5)4(2 +−−= xy
5)5(0 +−= xy
v. 63 += xy
73 += xy
53 −= xy
137
2. Plot the graph for each of the functions using KmPlot.
Explore the graph, then
a) Investigate, determine and explain the relationships between the value of
a and the slope of the graph.
b) Investigate, determine and explain the relationships between the value of
b with the y-intercept.
What can you conclude? Complete the table below.
Function Relationships between
value of a and the slope
Relationships between
value of b with the
y-intercept
i. 2+−= xy
ii. 04 =− xy
iii. 223 =− yx
iv. 25 −= xy
v. xy231 −=+
vi. 72 −=− xy
138
3. From the functions below, find the value of y using KmPlot if the value of x is
given. What can you conclude about the pattern of the graphs when the value of
x is sequenced in ascending and descending order? Complete the table below.
Function x value y value Conclusions
-1
0
0.5
1
2+−= xy
1.5
-1
0
0.5
1
223 =− yx
1.5
-1
0
0.5
1
73 += xy
1.5
-1
0
0.5
1
xy231 −=+
1.5
139
4. By Plotting the functions below on the KmPlot, match the functions below with
the correct graphs.
1234 =− yx
xy 57 +=
xy 57 −=
2)35( −
−= xy
Graphs Functions
140
Activity 1.2: Investigate the characteristics of graph of linear
Learning Objectives:
Student will be able to:
1. Classify and compare the types and shapes of graphs of linear functions.
2. Derive the gradient of the graphs whether negative, positive, zero or
undefined in terms of a value.
3. Find the roots of functions on the graphs using KmPlot.
Operation Cognitive: Recognising, Analysing, Inquiring, Comparing, Drawing
conclusion and Discovering.
Instruction:
1. Plot each of the following groups of functions on the same grid using Kmplot for
a>0. Select New Function Plot from menu Plot. Then, insert the function and
click Ok.
Group A : a>0
34 −= xy
221
−= xy
2. Open new Kmplot window.
3. Plot each of the following group of functions on the same grid using Kmplot for
a<0. Select New Function Plot from menu Plot. Then, insert the function and
click Ok.
Group B : a<0
34 −−= xy
221
−−= xy
141
4. Compare the shapes of each type of functions when a>0 and a<0. Complete the
table below. What can you conclude about the shapes of the graphs?
Shape of graph Type of graph
a > 0 a < 0
Straight Line
5. From the graphs, identify the gradient of the graph whether negative, positive,
zero or undefined.
6. Identify the roots of functions by clicking the mouse to the graph. Move the
cursor along the graph until x=0. What can you conclude about the results
obtained?
7. Complete the table below.
Group A : a>0 Gradient Roots Group B : a<0 Gradient Roots
34 −= xy
34 −−= xy
221
−= xy
221
−−= xy
142
Exercise 1.2
1. Identify each of the functions and answer all the questions.
(a) 2−=− xy (b) 923
=− xy (c) 6=− xy
(d) 923
=+ xy (e) 6=+ xy (f) 2−=+ xy
a) Classify the graphs into two groups, which Group 1 for a>0, and Group 2
for a<0.
b) Predict the gradient of the graphs and sketch the graphs. Then, plot on the
same grid using KmPlot and check your prediction.
c) Identify the gradient of graphs whether negative, positive, zero or
undefined.
d) What can you conclude about the relationships between the value of a and
the gradient?
e) Find the roots for each of the functions.
f) Complete the table below.
Group 1 : a > 0 Root Group 2 : a < 0 Root
Gradient: Gradient:
143
Activity 1.3: Position of a point relative to the graph of y = ax +b
Learning Objective:
Student will be able to:
1. Investigate the position of a point relative to the graph of y = ax + b.
Operation Cognitive: Recognising and Analysing.
Instruction:
1. Plot the graph of 53 += xy using KmPlot. Select New Function Plot from
menu Plot. Insert the function and click Ok.
2. According to the graphs, identify the position of points given. Move the
mouse until the status bar show the point given.
3. What can you conclude about the position of a point?
4. Complete the table below.
Line Point y 3x+5 y<3x+5 y=3x+5 y>3x+5
Below On Above
(2,3) 3 11 √ √
(-2,-1)
(-7,-3)
(0,0)
(3,0.5)
(1.2, 3)
144
Exercise 1.3
1. Predict the position of the points based on the function of , and then
using KmPlot, plot that function. Explore the graph based on the point. Check
and explain your prediction. Complete the table below.
66 += xy
Line Point y 6x+6 y<6x+6 y=6x+6 y>6x+6
Below On Above
(2,3) 3 11 √ √
(2,0)
(1,6)
(-4,0)
(-1,0)
(0,6)
(-2,-1)
145
Activity 1.4: Problem solving involving the graphs of linear
Learning Objective:
Student will be able to:
1. Solve the problems involving the linear graphs.
Operation Cognitive: Memorising, Recognising, Analysing, Hypothesizing, and
Drawing conclusion.
Example:
A triangle ABC has sides measuring nAB = , nBC21
= and . The
perimeter of the triangle is P.
4+= nAC
a) Write an equation of P in term of n.
b) Plot the equation using KmPlot.
c) Find the value of n if the perimeter or triangle is 10 units from the
graph.
d) If 2=AB units, find the perimeter of the triangle from the graph.
e) If all of the length of sides increasing by 2 units, what will happen
to the equation? Compare new equation with the original equation;
explain any changes of the shapes, slopes or the y-intercepts of the
graph.
146
Solution:
A
Ca) ACBCABP ++=
)4(21
+++= nnnP
425
+= nP
Change 425
+= nP to the y in term of x:
425
+= xy
B
b) Select New Function Plot from Plot menu, insert the function
425
+= xy and click Ok.
c) Move the mouse until the status bar show the 10=y . Then it will get n
value. ____== nx
d) Select Get y-value from Tool menu and insert x-value given. Select the
function. Then click Calculate. ____== Py
e) Increasing by 2:
2+= nAB , 221
+= nBC and 2)4( ++= nAC .
ACBCABP ++=
)2)4(()221()2( +++++== nnnP
1025
+= nP (New function)
425
+= nP (Original function)
The shape and slope of the graphs are similar, but the y-intercept is
increasing by 6 units.
147
Exercise 1.4
1. The table shows the coordinate of points K, L and M. Answer all the questions.
Point K L M
Coordinates (2,2) (-3,-13) (3,6)
a) Predict the gradient of the function 43 −= xy whether positive or
negative.
b) Using the KmPlot, is your prediction on the gradient correct? Explain.
c) Determine which of the point is not lying on the line . Explain. 43 −= xy
d) Using K and L coordinate. If the y-coordinate of K decreases by 4 units
i. Explain the changes of the graph.
ii. Explore the graph, what is the new value of y-intercept?
2. Kamal used the table of values as shown to draw the graph of functions
74 += xy . He found that one of the points does not lie on the straight line.
Coordinate A B C D
x -4 1 2 3
y -9 11 15 19
a) Using KmPlot, plot the function 74 += xy and identify which point does
lie on the straight line.
b) What can he conclude about the results obtained if the value of x is
changing?
c) According to A and C coordinates, what will happen to the graph if x
coordinate of C decreases by 3 units?
148
3. Encik Ali and Mr. Wong are housemates. They go to the office together. Given
that td325 += , where d is a distance travelled by Mr. Wong in km and t is the
time after leaving the house in minutes.
a) Plot the graph td325 += using KmPlot.
b) At what time the distance is 8km?
c) Find the distance if they stop to have a breakfast after their travelling is
15 minutes.
149
2 : THE GRAPH OF
QUADRATIC FUNCTION
Activity 2.1: Understand the graph of quadratic functions
Activity 2.2: Investigate the characteristics of graph quadratic
Activity 2.3: Compare the graphs of quadratic with different values of a and
Activity 2.4: Problem solving involving the linear graphs
150
Activity 2.1: Understand the graph of quadratic functions
Learning Objectives:
Student will be able to:
1. Plot the graphs of quadratic functions using KmPlot. , where
a, b and c are constants, a ≠ 0.
cbxaxy ++= 2
2. Investigate, determine and explain the changes value of constants can effect
the graphs.
3. Investigate, determine and explain the relationships between the value of a
and the shape of the graph of quadratic functions.
4. Investigate, determine and explain the relationships between the value of c
with the y-intercept.
5. Find the pattern of the graphs when the value of x is changing.
Operation Cognitive: Recognising, Analysing, Inquiring and Drawing conclusion.
Instruction:
1. Plot the functions , and using KmPlot.
(Make sure the equation is in a form of y in terms of x).
73 2 −−= xxy 382 +=+ yxx 2xy −=
2. Select New Function Plot from Plot menu. Insert the function
in the Equation box and click Ok.
73 2 −−= xxy
3. By using the same grid, repeat step (2) for the functions and
.
382 +=+ yxx2xy −=
4. Observe the value of a and c, what can you conclude the similarities or
differences between the functions and the graphs.
5. To “Save” the graphs and the diagrams:
a. Save the graph as <name>.fkt by selecting Save As from File menu.
b. Save the diagram of graph as <name>.png by selecting Export from File
menu.
151
To find the value of y, given a value of x using KmPlot:
1. Using the KmPlot, plot the functions below. (Make sure the equation is in a form
of y in terms of x).
2. Select New Function Plot from Plot menu. Insert the functions in the Equation
box and click Ok.
3. Select Get y-value from Tool menu and insert the value of x in the required
space.
4. Select the required function. Then click Calculate.
5. Complete the table below.
Function x value y value
-3
-2
-1
0
322 −+= xxy
1
-0.5
0.5
1
1.5
248 xxy −=
2
6. From the table above, what can you conclude about the pattern of the graphs
when the value of x is sequenced in ascending and descending order?
152
Exercise 2.1
1. Answer all the questions:
i. Predict what will happen to the graph of form for the
following values of a: {2, 1, 0.5, 0, -0.5, -1, and -2}. Plot on KmPlot and
check your prediction. What special case occurs at ? Explain why
the patterns occur.
452 ++= xaxy
0=a
ii. Predict what will happen to the graph of form for the
following values of b: {6, 3, 0, -3, and -6}. Plot on KmPlot and check
your prediction. What special case occurs at
42 ++= bxxy
0=b ? Explain why the
patterns occur.
iii. Predict what will happen to the graph of form for the
following values of c: {8, 4, 0, -4 and -8}. Plot on KmPlot and check your
prediction. What special case occurs at
cxxy ++= 52
0=c ? Explain why the patterns
occur.
2. Plot the graphs for each of the functions using KmPlot.
a. 121 2 =− xy b. 26 xxy −=
c. 542 2 −=−− xxy d. 92 −−= xy
Explore the graph, then
a) Investigate, determine and explain the relationships between the value of
a and the shape of the graph.
b) Investigate, determine and explain the relationships between the value of
c with the y-intercept.
What can you conclude?
153
3. From the functions below, find the value of y using KmPlot with the x-value
given. For each function construct a table of your result. What can you conclude
about the pattern of the graphs when the value of x is changing?
i. 22 =−− xxy 33 ≤≤− x
ii. 24 xxy −= 52 ≤≤− x
iii. 562 2 +−= xxy 33 ≤≤− x
iv. yxx =−+ )5)(1( 51 ≤≤− x
Example:
Function x value y value Conclusion
-3
-2
-1
0
1
2
22 =−− xxy
3
-2
-1
0
1
2
3
4
24 xxy −=
5
154
4. By Plotting the functions below on the KmPlot, match the functions with the
correct graphs.
242 +−−= xxy
422 −+= xxy
23 2 −+= xxy
23 2 ++= xxy
Graphs Functions
155
Activity 2.2: Investigate the characteristics of graph quadratic
Learning Objectives:
Student will be able to:
1. Classify and compare the types and shapes of graphs of quadratic functions.
2. Find the roots of functions on the graphs using KmPlot.
Operation Cognitive: Recognising, Analysing, Comparing, Inquiring, Drawing
conclusion & Discovering.
Instruction:
1. Plot each of the following groups of functions on the same grid using Kmplot
for a>0.
2. Select New Function Plot from menu Plot. Insert the function and click Ok
Group A : a>0
562 2 −+= xxy
22
2
−=xy
3. Open new Kmplot window.
4. Plot each of the following groups of functions on the same grid using Kmplot
for a<0. Select New Function Plot from menu Plot. Then, insert the function
and click Ok
Group B : a<0
562 2 −+−= xxy
22
2
−−=xy
156
5. Compare the shapes of each type of functions when and 0>a 0<a
Shape of graph Type of graph
a > 0 a > 0
Parabola
6. Identify the roots of functions by clicking the mouse to the graph. Move the
cursor along the graph until x=0. What can you conclude about the results
obtained?
7. Complete the table below.
Group A : a<0 Root Group B : a<0 Root
562 2 −+= xxy 562 2 −+−= xxy
22
2
−=xy
2
2
2
−−=xy
157
Exercise 2.2
1. Identify each of the function. Answer all the questions below.
(a) yxx =+− 882 2 (b) 386 2 −=+ yxx (c) 722 −+= xxy
(d) )56( x
yx−
= (e) 422 −=− yx
x (f) 02 =+ xy
a) Classify the graphs into two groups, which is Group 1 for a>0, and Group
2 for a<0.
b) Predict the shapes of the graphs by sketch the graphs. Then, plot on the
same grid using KmPlot and check your prediction.
c) What can you conclude about the relationships between the value of a and
shapes of the graphs?
d) Find the roots for each of the functions.
e) Complete the table below.
Group 1 : a<0 Root Group 2 : a<0 Root
158
Activity 2.3: Compare the graphs of quadratic with different values of a and c
Learning Objectives:
Student will be able to:
1. Compare the shapes of graph with different values of a. cbxaxy ++= 2
2. Explore the line of symmetry and the minimum or maximum point of the
graphs when a and c is changing.
Operation Cognitive: Recognising, Analysing, Comparing, Drawing conclusion &
Discovering.
Instruction:
1. Plot each of the following groups of graphs on the same grid using KmPlot.
Group A (a>0) Group B (a<0)
2
41 xy = 2
41 xy −=
26xy = 26xy −=
2. Compare the graphs obtained in each group.
e. What can you conclude about the shapes of the parabola when the value
of a increases or decreases
3. Are there any minimum or maximum points? To get the minimum and maximum
point for the graphs. (The minimum point is the lowest point of the parabola; the
maximum point is the highest point of the parabola).
a. To get the minimum value, click Tool menu and then select Search For
Minimum Value. Then insert the x value range. Select the function that
you want to find minimum value and click button Find.
159
b. To get the maximum value, click Tool menu and then select Search For
Maximum Value. Then insert the x value range. Select the function that
you want to find maximum value and click button Find.
4. Identify whether the graphs are symmetrical and state the line symmetry.
5. What can you conclude?
6. Complete the table below.
Conclusion For a > 0 For a <0
Sketch of the graphs
Minimum/maximum
point
Symmetrical line
160
Exercise 2.3
1. Given the function is . Explore the graph and answer the following
questions:
22 += xy
a) What happen to the line of symmetry and the minimum or maximum
point of a graph when value of a is positive and
i. Values of c increases?
ii. Values of c decreases?
b) What happen to the line of symmetry and the minimum or maximum
point of a graph when value of a is negative and
i. Values of c increases?
ii. Values of c decreases?
c) How does the shapes of the curve change when value of c changes?
d) What do you observe if you increase and decrease value of a, while
keeping c as constant?
2. Given the function is . Explore the graph and answer the
following questions:
22 ++= xxy
a) What happen to the axis and the minimum or maximum point of a graph
when value of b increases or decreases?
b) If value of a is negative, what happens to the axis and the minimum or
maximum point of a graph when value of b increases or decreases?
c) How does the shapes of the curve change when value of b changes?
d) What do you observe if you increase and decrease value of a, while
keeping b and c as constant?
161
3. Plot each of the following groups of graphs on the same grid.
a) Predict whether the functions have maximum or minimum point.
b) Using KmPlot, find the minimum or maximum point.
c) Observe the value of a and the value of minimum or maximum point of a
graphs, what can you conclude about the relationships between the value
of a, shapes of the graphs and the value of minimum or maximum point?
d) State the symmetrical line.
Function Minimum/maximum
point
Symmetrical
line
yxx =−+ 322
412 =− xy Group 1 :
a > 0
42 =− yx
244 xxy −=
2
21 xxy +− Group 1 :
a > 0
02 =+− yxx
4. From the exercises, conclude what you notice about how changing the
constants change the graphs?
162
Activity 2.4: Problem solving involving the linear graphs
Learning Objective:
Student will be able to:
1. Solve the problems involving the graph of functions.
Operation Cognitive: Memorising, Recognising, Analysing, Inquiring, and
Drawing conclusions.
Example:
A ball is thrown upward its height after t second is given , where h
is the measurement in meter.
26 tth −=
a) Plot the graph of using KmPlot. 26 tth −=
b) Use the graph to find the height of the ball when the time is
i. 0.5 second ii. 2.9 second
c) Find the maximum point that the ball can reach.
Solution:
a) Change the equation to y in term of x → . Select
New Function Plot from Plot menu. Insert the function and
click Ok.
26 tth −= 26 xxy −=
26 xxy −=
b) Select Get y-value from Tool menu and insert time given in the x-value.
Select the function and click Calculate.
i. 0.5 second ; ____== hy ii. 2.9 second ; ____== hy
c) From the shape of the graph represent the graph has maximum point.
Click Tool menu and then select Search For Maximum Value. Then
insert the x value range (-10 ≤ x ≤ 10). Select the function that you want
to find maximum value and click button Find.
Maximum point of function is = _____ 26 xxy −=
163
Exercise 2.4
1. The diagram shows a rectangle of ABCD and a parallelogram PQRS. Given
that 3=AB cm, 2=AD cm and the PQRS region is y cm2.
(a) Sh
(b) Pr
(c) Us
pr
(d) Fi
(e) If
2. The area
Given th
(a) W
(b) Us
(c) If
(d) If
(e) If
to
ex
mi
A
ow that . 2256 xxy +−=
edict the graph with sketch the function.
ing KmPlot, plot the equation an
ediction.
22815 xxy +−=
nd the value of y when 5.2=x cm using KmPlot
, find the value of x. 6=y
of a rectangular swimming pool is greater than th
at the breadth is x m and the area is A m2
rite an equation of A in term of x.
ing Kmplot, plot the graph of A against x.
the breadth is 1.5 m, find the area of the swimming
the area is 5.8 m2, find the breadth of swimming po
the breadth of the swimming pool decreases by 1.5
the equation? Compare new equation with the orig
plain any changes of the shape, line of symmetry a
nimum of the graph.
B
Q
D
CP
S
R
x cm
x cm
x cm
x cm
d check your
e breadth by 4 m.
pool.
ol.
m, what will happen
inal equation;
nd maximum or
164
3 : THE GRAPH OF
CUBIC FUNCTION
Activity 3.1: Understand the graph of cubic functions
Activity 3.2: Investigate the characteristics of graph of cubic
Activity 3.3: Compare the graphs of cubic with different values of b
Activity 3.4: Problem solving involving the graphs of cubic
165
Activity 3.1: Understand the graph of cubic functions
Learning Objectives:
Student will be able to:
1. Plot the graphs of cubic functions using KmPlot. ,
where a, b, c and d are constants, a ≠ 0.
dcxbxaxy +++= 23
2. Investigate, determine and explain the changes of constants can effect the
graphs.
3. Investigate, determine and explain the relationships between the value of a
and the shape of graphs.
4. Investigate, determine and explain the relationships between the value of d
with the y-intercept.
5. Find the pattern of the graphs when the value of x is changing.
Operation Cognitive: Recognising, Analysing, Inquiring and Drawing conclusion.
Instruction:
1. Plot the functions and using KmPlot. (Make
sure the equation is in a form of y in terms of x).
342 3 ++−= xxy 23 −= xy
2. Select New Function Plot from Plot menu. Insert the function
and click Ok. 342 3 ++−= xxy
3. By using the same grid, repeat step (2) for the function . 23 −= xy
4. Observe the value of a and d, what can you conclude about the similarities or
differences between the functions and the graphs.
5. To “Save” the graphs and the diagrams:
a. Save the graph as <name>.fkt by selecting Save As from File menu.
b. Save the diagram of graph as <name>.png by selecting Export from File
menu.
166
To find the value of y, given a value of x using KmPlot:
1. Using the KmPlot, plot the functions below. (Make sure the equation is in a
form of y in terms of x).
2. Select New Function Plot from Plot menu. Insert the functions in the
Equation box and click Ok.
3. Select Get y-value from Tool menu and insert the value of x in the required
space.
4. Select the required function. Then click Calculate.
5. Complete the table below.
Function x value y value
-2
-1
0
1
23 +−= xy
2
-2
-1
0
1
xxy 33 −=
2
6. From the table above, what can you conclude about the pattern of the graphs
when the value of x is changing?
167
Exercise 3.1
1. Answer all the questions:
i. Predict what will happen to the graph of form for the
following values of a: {2, 1, 0.5, 0, -0.5, -1, and -2}. Plot on KmPlot and
check your prediction. What special case occurs at ? Explain why
the patterns occur.
43 += axy
0=a
ii. Predict what will happen to the graph of form for the
following values of d: {8, 4, 0, -4 and -8}. Plot on KmPlot and check your
prediction. What special case occurs at
dxy += 3
0=d ? Explain why the patterns
occur.
2. Plot the graphs for each of the functions by using KmPlot.
1. 33 xy −=
2. 723 =−+− xxxy
3. 521 3 =+ xy
4. 92 3 −= xy
5. xxxy ++=− 231
6. 34 xxy −=
Explore the graph, then
a) Investigate, determine and explain the relationships between the value of
a and the shape of the graph.
b) Investigate, determine and explain the relationships between the value of
d with the y-intercept.
What can you conclude?
168
3. From the functions below, find the value of y using KmPlot with the x-value
given. For each function construct a table of your result. What can you conclude
about the pattern of the graphs when the value of x is changing? What is the
effect of the constant factor on the shapes of the graph?
ii. 1033 =+− xxy 33 ≤≤− x
iii. 1033 −+= xxy 42 ≤≤− x
iv. 5103 +−= xxy 5.35.3 ≤≤− x
v. xxxy ++=− 231 33 ≤≤− x
Example:
Function x value y value Conclusion
-3
-2
-1
0
1
2
1033 =+− xxy
3
169
4. By Plotting the functions below on the KmPlot, match the functions below with
the correct graphs.
32 3 −+−= xxy
122 23 −−−= xxy
23 +−= xy
23 2 ++= xxy
Graphs Functions
170
Activity 3.2: Investigate the characteristics of graph of cubic
Learning Objectives:
Student will be able to:
1. Classify and compare the types and shapes of graphs of cubic functions.
2. Find the roots of functions on the graphs using KmPlot.
Operation Cognitive: Recognising, Analysing, Comparing, Inquiring, Drawing
conclusion & Discovering.
Instruction:
1. Plot each of the following groups of functions on the same grid using Kmplot
for a>0. Select New Function Plot from menu Plot. Then, insert the function
and click Ok.
Group A: a>0
181 23 +−= xxy
541 3 −= xy
3
21 xy =
2. Open new Kmplot window.
3. Plot each of the following groups of functions on the same grid using Kmplot
for a<0. Select New Function Plot from menu Plot. Then, insert the function
and click Ok.
171
Group B: a<0
181 23 +−−= xxy
541 3 −−= xy
3
21 xy −=
4. Compare the shapes of each type of functions when a>0 and a<0.
Shape of graph Type of graph
a > 0 a > 0
5. Identify the roots of functions by clicking the mouse to the graph. Move the
cursor along the graph until x=0. What can you conclude about the results
obtained?
6. Complete the table below.
Group A : a>0 Root Group B : a<0 Root
181 23 +−= xxy 1
81 23 +−−= xxy
541 3 −= xy 5
41 3 −−= xy
3
21 xy = 3
21 xy −=
Exercise 3.2
172
1. Identify each of the graphs. Answer all the questions.
(a) 73 += xy (b) 223 +−−= xxy (c) 23 +−= xy
(d) 221 3 −= xy (e) 05 3 =+ xy (f) 333 =+− xxy
a) Grouping the graphs into two groups, which Group 1 for a>0, and Group
2 for a<0.
b) Plot each of the group of functions on the same grid using Kmplot.
c) Observe the value of a and the shape of graph, and the value of d with the
y-intercept. Examine the similarities or differences and what can you
conclude?
d) Find the roots for each of the functions.
e) Complete the table below.
Group 1 : a>0 Root Group 2 : a<0 Root
Activity 3.3: Compare the graphs of cubic with different values of b
173
Learning Objectives:
Student will be able to:
1. Compare the shapes of graph with different values of b. baxy += 3
2. Investigate determine and explain the relationships between the value of b
and the y-intercept
Operation Cognitive: Recognising, Analysing, Comparing, Drawing conclusion &
Discovering.
Instruction:
1. Plot each of the following groups of graphs on the same grid using KmPlot.
Group A (a>0) Group B (a<0) 3xy = 3xy −=
53 += xy 53 +−= xy
53 −= xy 53 −−= xy
2. Compare the graphs obtained by each group.
3. What can you conclude about the graphs when the value of b is changes?
4. From the activity, sketch the graphs in the table below (label the x-intercept
and y-intercept, if it exists).
174
b value For a > 0 For a < 0
b = 0
b > 0
b < 0
Exercise 3.3
175
1. Given the function is . Explore the graph and answer the questions: 13 += xy
a) What happen to the y-intercept of a graph when value of a is positive and
i. Values of b increases?
ii. Values of b decreases?
b) What happen to the y-intercept of a graph when value of a is negative and
i. Values of b increases?
ii. Values of b decreases?
c) How does the shapes of the curve change when value of b changes?
d) What do you observe if you increase and decrease value of a, while
keeping b as constant?
2. Answer all the questions.
a) Predict and sketch the function below. Using KmPlot, plot the graphs for
each of the following cubic functions. Check and explain your prediction.
b) Determine the differences shapes of the graphs when the value of b is
change.
c) Observe the value of b and the value y-intercept of the graph, what can
you conclude about their relationship?
a. 14 3 +−= xy b. 63 −= xy c. )5)(1( −+= xxxy
d. 3
31 xy = e. 23 −= xy f. 35xy =
Function b = 0 b > 0 b <0
a > 0
a < 0
Activity 3.4: Problem solving involving the graphs of cubic
176
Learning Objective:
Student will be able to:
1. Solve the problems involving the graph of functions.
Operation Cognitive: Memorising, Recognising, Analysing, Inquiring, and
Drawing conclusions
Example:
Complete the following table for 15313
3
++= xxy
x -5 -3 -1 0 1
y 15
a) Plot the graph of 15313
3
++= xxy using KmPlot.
b) Use the graph to find the y value of
x = 0.5 , y = _______ ; x = 2.9 , y = _______
Solution:
x -5 -3 -1 0 1
y -9.6 3.9 11.9 15 18.1
a) Select New Function Plot from Plot menu. Insert the function
15313
3
++= xxy and click Ok.
b) Select Get y-value from Tool menu and insert x-value given. Select the
function. Then click Calculate.
Value of y is 16.5 when x = _____
Value of y is 25.6 when x = _____
Exercise 3.4
177
Answer all the questions.
1. Complete the following table for 5103 +−= xxy
x -3.5 -2 0 3 3.5
y -2.9 12.9
(a) Predict and sketch the graph of . Plot the graph of
using KmPlot. Check and explain your prediction.
5103 +−= xxy
5103 +−= xxy
(b) Use the graph to find the y value of
x = 2.3 ; y = _______ ; y = 1.4 ; x = _______
(c) If all the value of x increases by 0.3 units, what will happen to the
equation? Compare new equation with the original equation; explain any
changes the shapes or the y-intercept of the graph.
2. Complete the following table for 1033 +−= xxy
x -3 -2 -1 0 0.5 1.5 2
y 10 12
(a) Predict and sketch the graph of . Plot the graph of
using KmPlot. Check and explain your prediction.
1033 +−= xxy
1033 +−= xxy
(b) Use the graph on KmPlot, find the y value of
i. x = -2.5 ; y = _______ y = 1.5 ; x = _______
(c) If all the value of b decreases by 2 units, what will happen to the
equation? Compare new equation with the original equation; explain any
changes the shapes or the y-intercept of the graph.
178
4 : THE GRAPH OF
RECIPROCAL FUNCTION
Activity 4.1: Understand the graph of reciprocal functions
Activity 4.2: Investigate the characteristics of graph of reciprocal
Activity 4.3: Compare the graphs of reciprocal with different of a
Activity 4.4: Problem solving involving the graph of reciprocal
179
Activity 4.1: Understand the graph of reciprocal functions
Learning Objectives:
Student will be able to:
1. Plot the reciprocal functions using KmPlot. xay = , where a is a constant, a ≠
0.
2. Investigate, determine and explain the changes of constant can effect the
graphs.
3. Investigate, determine and explain the relationships between the value of a
and the quadrant of graphs.
4. Find the pattern of the graphs when the value of x is changing.
Operation Cognitive: Recognising, Analysing, Inquiring and Drawing conclusion.
Instruction:
1. Plot the functionsx
y 11= , 3=xy and
xy 1
−= using KmPlot. (Make sure the
equation is in a form of y in terms of x).
2. Select New Function Plot from Plot menu. Insert the function x
y 11= in the
Equation box and click Ok.
3. By using the same grid, repeat step (2) for the functions and 3=xyx
y 1−= .
4. Observe the value of a from the functions and the quadrant from the graphs,
what can you conclude about similarities or differences.
5. To “Save” the graphs and the diagrams:
a. Save the graph as <name>.fkt by selecting Save As from File menu.
b. Save the diagram of graph as <name>.png by selecting Export from File
menu.
180
To find the value of y, given a value of x using KmPlot:
1. Using the KmPlot, plot the functions below. (Make sure the equation is in a
form of y in terms of x).
2. Select New Function Plot from Plot menu. Insert the functions in the
Equation box and click Ok.
3. Select Get y-value from Tool menu and insert the value of x in the required
space.
4. Select the required function. Then click Calculate.
5. Complete the table below.
Function x value y value
-3
-2
-1
0 x
y 1=
1
-0.5
0.5
1
1.5 x
y 8−=
2
6. From the table above, what can you conclude about the pattern of the graphs
when the value of x is changing?
181
Exercise 4.1
1. Answer all the questions:
(a) Predict what will happen to the graph of form xay = for the following values
of a: {2, 1, 0.5, 0, -0.5, -1, and -2}.
i. Plot on KmPlot and check your prediction.
ii. Explain the patterns occur when the value of a changes.
2. Plot the graphs for each of the functions using KmPlot.
i. 7=xy
ii. 03 =−xy
iii. 04=+
xy
iv. x
y 2−=
v. 01 =+xy
vi. x
y 8−=
a) Explore the graphs.
b) Investigate the relationships between the value of a and the quadrant of
graph. What can you conclude?
182
3. From the functions below, find the value of y using KmPlot with the x-value
given. For each function construct a table of your result. What can you conclude
about the pattern of the graphs when the value of x is changing? What is the
effect of the constant factor on the shapes of the graphs?
i. 8=xy 55 ≤≤− x
ii. y
x 2= 54 ≤≤− x
iii. 04 =−xy 33 ≤≤− x
iv. 23
1+
−=
xy 62 ≤≤− x
v. 2
1+
−=x
y 36 ≤≤− x
vi. 3
1−
=x
y 72 ≤≤− x
Example:
Function x value y value Conclusion
-5
-3
-1
0
1
3
8=xy
5
183
4. By Plotting the functions below on the KmPlot, match the functions below with
the correct graph.
Function Graph
184
5. By Plotting the functions below on the KmPlot, match the functions below with
the correct graphs.
xy 1
−=
xy 1=
xy 5
−=
xy 5=
Graphs Functions
185
Activity 4.2: Investigate the characteristics of graph of reciprocal
Learning Objectives:
Student will be able to:
1. Classify and compare the types and shapes of graphs of reciprocal of
functions.
2. Find the roots of functions on the graphs using KmPlot.
Operation Cognitive: Recognising, Analysing, Comparing, Inquiring, Drawing
conclusion & Discovering.
Instruction:
1. Plot each of the following group of functions on the same grid using Kmplot
for a>0.
2. Select New Function Plot from menu Plot. Insert the function and click Ok
Group A : a>0
xy 1=
xy 8=
xy 20=
3. Open new Kmplot window.
4. Plot each of the following group of functions on the same grid using Kmplot
for a<0. Select New Function Plot from menu Plot. Then, insert the function
and click Ok.
186
Group B : a<0
xy 1
−=
xy 8
−=
xy 20
−=
5. Compare the shape of each type of functions when a>0 and a<0.
Shape of graph Type of graph
a > 0 a < 0
6. Identify the roots of functions by clicking the mouse to the graph. Move the
cursor along the graph until x=0. What can you conclude about the results
obtained?
7. Complete the table below.
Group A: a>0 Root Group B : a<0 Root
xy 1=
xy 1
−=
xy 8=
xy 8
−=
xy 20=
xy 20
−=
187
Exercise 4.2
1. Identify each of the graphs. Answer all the questions below.
(a) 2−=xy (b) 05=−
xy (c)
xy
32
−=
(d) x
y 1−= (e) 2.4=xy (f) 3=xy
a) Classify the graphs into two groups, which is Group 1 for a>0, and Group
2 for a<0.
b) Predict the shapes of the graph by sketch the graphs. Then, plot on the
same grid using KmPlot and check your prediction.
c) Find the roots for each of the functions.
d) Complete the table below.
Group 1 : a>0 Root Group 2 : a<0 Root
188
Activity 4.3: Compare the graphs of reciprocal with different of a
Learning Objectives:
Student will be able to:
1. Classify and compare the shapes of graph xay = with different values of a
using KmPlot.
2. Show the quadrant of the functions.
Operation Cognitive: Recognising, Analysing, Comparing, Drawing conclusion &
Discovering.
Instruction:
1. Plot each of the following groups of graphs on the same grid using KmPlot.
Group A : a>0 Group B : a<0
xy 1=
xy 1
−=
xy 20=
xy 20
−=
2. Identify the symmetry line of the graphs.
3. Identify the location of quadrant when a > 0 and a < 0.
4. From the activity, what can you conclude about the value of a and the
quadrant? Sketch the graphs with the symmetry line in the table below.
For a > 0 For a < 0
Quadrant : Quadrant :
189
Exercise 4.3
1. Identify the functions below. Answer all the questions.
a) x
y 1−= b) 06 =+xy c)
yx 5=
d) x
y 2= e) y
x−=
2 f) 7=xy
(a) Group the functions in the table below.
(b) Predict and sketch the functions. Then, plot on the same grid using
KmPlot and check your prediction.
(c) Determine the shapes of the graph if the value of a is increase or decrease.
Quadrant I and III Quadrant II and IV
Value of a: Value of a:
190
Activity 4.4: Problem solving involving the graph of reciprocal
Learning Objective:
Student will be able to:
1. Solve the problems involving the graph of functions
Operation Cognitive: Memorising, Recognising, Analysing, Inquiring, and Drawing
conclusions
Example:
Complete the following table forx
y 6= .
x -2.5 -1 -0.5 0.5 1 3.2
y -12 1.88
a) Plot the graph of x
y 6= using KmPlot.
b) Use the graph to find the value:
1. x = -4.2 ; y = _____
2. y = 6 ; x = _____
Solution:
x -2.5 -1 -0.5 0.5 1 3.2
y -2.4 -6 -12 1 6 1.88
a) Select New Function Plot from Plot menu. Insert the function x
y 6= and
click Ok.
b)
a. Select Get y-value from Tool menu and select the function. Insert x-
value given. Then click Calculate. x = -4.2 ; y = ____
b. Move the mouse until the status bar show the point given.
y = 6 ; x = __
191
Exercise 4.4
1. Height, length and breadth of a cuboid is 3 cm, y cm and x cm.
(a) The volume of cuboid is 60 cm3, show that x
y 20=
(b) Complete the following table forx
y 20= .
x 0.5 1 2 4 6 8
y 20 3.3
(c) Predict the graph with sketch the function.
(d) Plot the graph of x
y 20= using KmPlot.
(e) Compare your answer in (c) and (d).
(f) Use the graph to find the value:
i. x = 0.2 ; y = _______
ii. y = 0 ; x = _______
(g) If the volume of cuboid decrease by 20 units, what will be the
transformation of equation? Compare new equation with the original
equation; explain the changes the shapes of the graph.
2. Complete the following table forx
y 12−= .
x -3 -2 -1 -0.5 0.5 1.5 2.5 4
y 4 24 -3
(a) Predict the graph with sketch the function.
(b) Plot the graph of x
y 12−= using KmPlot.
(c) Compare your answer in (a) and (b).
(d) Use the graph to find the value:
i. x = 2 ; y = _______ ii. y = 3.5 ; x = _______
192
5 : THE SIMULTANEOUS EQUATION
USING GRAPH
Activity 5.1: Solving simultaneous equations in two unknown
Activity 5.3: Problem solving involving simultaneous equations
193
Activity 5.1: Solving simultaneous equations in two unknown
Learning Objectives:
Student will be able to:
1. Determine the relevant simultaneous equations completion using KmPlot.
2. Solve two simultaneous equations in two variables using graphing the
equations.
a. Both Linear Equations.
b. One linear equation and one non-linear equation.
Operation Cognitive: Recognising, Analysing & Drawing conclusion
I. Simultaneous Equation: Both Linear Equations
Example:
Solve the following pairs of linear equations by using the KmPlot
4+= xy ; 83 =+ yx
Solution:
1. Change the pairs of equations to y in term of x.
4+= xy → 4+= xy
83 =+ yx → 3
8 xy −=
2. Plot the equations on the same grid in the KmPlot.
3. Identify the intersection between two functions by moving the mouse along the
graphs.
4. What is the point of intersection(s)?
____=x ; ____=y
194
II. Simultaneous Equation: One linear equation and one non-linear
equation
Example:
Solve the following pairs of linear equations by using the KmPlot by find the
intersection between two equations below.
52 =+ xy
3 62 =+ yx
Instruction:
1. Change the pairs of equations to y in term of x.
52 =+ xy → xy 25 −=
63 2 =+ yx → 236 xy −=
2. Plot the equations on the same grid in the KmPlot.
3. Identify the intersection between two functions by moving the mouse along the
graphs.
____=x ; ____=y
____=x ; ____=y
4. For save the graphs and the diagrams:
c. Save the graph as <name>.fkt by select Save As from File menu.
d. Save the diagram of graph as <name>.png by select Export from File
menu.
195
Exercise 5.1
1. Solve the following pairs of linear equations by using method below:
a) Plot the pair of equations using Kmplot.
b) Substitution method or elimination method.
i. 532 =− yx
632 −=+ yx
ii. 13 =+ yx
92 =− yx
iii. 729 =+ wv
283 −=− wv
(Let ; xv = yw = )
iv. 13 =+ yx
1373 =+ yx
v. 723 =− yx
654 −=+ yx
vi. 53 =+ xy
423 =− xy
vii. 23 =+ yx
432 =+ yx
viii. 3=− yx
632 =+ yx
ix. 822 =+ xyx
153 =− yx
x. yxx =++ )2)(1(
72 =− xy
c) From the exercise above, explain what you can conclude about the
relevant answer (a) and (b) using methods given?
196
Activity 5.2: Problem solving involving simultaneous equations.
Learning Objective:
Student will be able to:
1. Solve simultaneous equation involving real-life situation.
Operation Cognitive: Memorising, Recognising, Analysing and Drawing
conclusion
Example 1:
Munir, Siraj and Salim go to Putra Bukit Jalil stadium from Pudu station.
Siraj go with his 3 children, the total fare is RM5.60. Salim go with his wife
and child, the total fare was RM5.20. If Munir want to go there with his 2
children and his wife, how much total fare for Munir’s family?
Solution:
1. Siraj family = RM5.60 (1 adult and 3 children).
Salim family = RM5.20 (2 adult and 1 child).
Change the pairs of equations to y in term of x.
6.53 =+ yx → _______=y
2.52 =+ yx → _______=y
2. Plot the equations on the same grid in the KmPlot.
3. Identify the intersection between two functions by moving the mouse along the
graphs.
4. What is the point of intersection(s)?
____=x ; ____=y
5. Total fare for Munir’s family :
Adult: ______ ;
Children: ______
Total fare: RM ______
197
Example 2:
Pak Ali has 14 m of fence available to enclose an area of 10 m2 in the shape
of rectangle, with sides of length x m and y m, find the values of x and y.
Solution:
1. Perimeter = 14 m → 1422 =+ yx .
Area = 10 m → 10=xy
2. Change the pairs of equations to y in term of x.
1422 =+ yx → _______=y
10=xy → _______=y
3. Plot the equations on the same grid in the KmPlot.
4. Identify the intersection between two functions by moving the mouse along the
graphs.
5. What is the point of intersection(s)?
____=x ; ____=y
____=x ; ____=y
198
Exercise 5.2
1. The difference between 2 numbers is 3, if 5 is added to the smaller number, the
result is equal to half of the larger number. What is the sum of the two
numbers?
a) Use the Kmplot to solve the problem. Then, check your answers using
substitution method or elimination method.
2. 8 buns and 9 muffins cost RM9.00 whereas 6 buns and 11 muffins cost
RM9.30. What is the cost of each item?
a) If the cost of 6 buns and 11 muffins are decreases by 50 cent, explain the
changes the cost of muffins and buns.
3. The diagram below represents box A and B. Given that the mass of box A is
three times the mass of box B. The product of the mass of the two boxes is 7.5
kg2. Calculate the mass of box A and B. (give answer correct to 2 decimal
places).
A B
199
6 : THE DIFFERENTIATION
Activity 6.1: Understand the graphs of first derivative of functions
Activity 6.2: Value of the first derivative of the function y=axn
Activity 6.3: The first derivative as a gradient of tangent
200
Activity 6.1: Understand the graphs of first derivative of functions
Learning Objectives:
Student will be able to:
1. Predict the graphs of first derivative of function.
2. Find the graph of first derivative of functions using KmPlot.
Operation Cognitive: Analysing, Comparing and Drawing conclusions
Example:
Find the graph of dxdy from plotting the graph of function on KmPlot. 33xy =
Instruction:
2. Plot the function using KmPlot. (Make sure the equation is in a form of y
in terms of x).
33xy =
3. Select New Function Plot from Plot menu.
4. Insert the function in the Equation box and click Ok. 33xy =
5. Then select Derivatives section, and mark Show 1st Derivative. Click Ok.
6. To “Save” the graphs and the diagrams:
a. Save the graph as <name>.fkt by selecting Save As from File menu.
b. Save the diagram of graph as <name>.png by selecting Export from File
menu.
201
Exercise 6.1
1. Understand and answer all the questions.
a) 22xy −= b) 2
31 xy −=
c) xy 5= d) 34xy =
e) 3xy = f) 2
32 xy =
(a) Plot the function and find the graph ofdxdy using KmPlot.
(b) Solve the function above using the formula. Predict and sketch the graph
of dxdy .
(c) From your answer (a) and (b), compare the graph of function and explain
the characteristic(s) of the graphs. Has KmPlot given the answers you
predicted?
202
Activity 6.2: Value of the first derivative of the function y=axn
Learning Objective:
Student will be able to:
1. Find the values of the first derivative of the functions for a given
value of x.
naxy =
Operation Cognitive: Recognising, Analysing and Drawing conclusions
Example:
Find the value of dxdy for when 26xy = 2−=x using Kmplot.
Instruction:
1. Select New Function Plot from Plot menu.
2. Insert the function in the Function section. 33xy =
3. Then select Derivatives section, and mark Show 1st Derivative. Click Ok.
4. Select Get y-value from Tool menu and insert x-value given. Select the
functiondxdy . Then click Calculate. ____=
dxdy
203
Exercise 6.2
1. Find the value of dxdy each of the following function at the given value of x.
Explore the function with the different value of x. Deduce whether the
functions are increasing or decreasing at the given values.
(a) xxy 25 1 −= −
, 1=x 2=x
(b) 2xy =
5.0−=x , 2=x
(c) 7.03.1 −+= xxy
, 5.0=x 5.1=x
(d) 133 23 −+−= xxxy
1−=x , 0=x , 2=x
(e) xxx −+ 23 24
, 0=x 1=x
(f) 3xy =
0=x , 5.3=x
What can you deduce about the shape of the graph between and
5.0=x
5.1=x
204
Activity 6.3: The first derivative as a gradient of tangent
Learning Objective:
Student will be able to:
1. Proof the first derivative as a gradient of tangent with find the dxdy when
value of x is.
Operation Cognitive: Recognising, Analysing, Comparing and Drawing conclusion.
Example:
Find the gradient of the tangent to the curve at the given point.
a) at the point (-1,9) 532 +−= xxy
Instruction:
1. Select New Function Plot from Plot menu.
2. Insert the function in the Function section. 532 +−= xxy
3. Then select Derivatives section, and mark Show 1st Derivative. Click Ok.
4. Select Get y-value from Tool menu and insert x-value (-1). Select the
functiondxdy . Then click Calculate.
Therefore, the gradient at (-1,9) is _____
205
I. The first derivative of a function involving addition or subtraction
Example:
Find the derivative of function using KmPlot. Then find the
value of
xxy 34 2 +=
dxdy when 3.2=x .
Instruction:
1. Select New Function Plot from Plot menu.
2. Insert the function in the Function section. xxy 34 2 +=
3. Then select Derivatives section, and mark Show 1st Derivative. Click Ok.
4. Select Get y-value from Tool menu and insert x-value given. Select the
functiondxdy . Then click Calculate. ____=
dxdy
206
II. The first derivative of a product of two polynomials
Example:
Find the derivative of function using KmPlot. Then find the
value of
)3)(2( 2 xxx −+
dxdy when 1=x , 7.0− and 2−
Instruction:
1. Select New Function Plot from Plot menu.
2. Insert the function in the Function section. )3)(2( 2 xxx −+
3. Then select Derivatives section, and mark Show 1st Derivative. Click Ok.
4. Select Get y-value from Tool menu and insert x-value given. Select the
functiondxdy . Then click Calculate.
1=x ; ____=dxdy
7.0−=x ; ____=dxdy
2−=x ; ____=dxdy
207
III. The first derivative of a quotient of two polynomials
Example:
Given that312
2 ++
=x
xy ,
a) Find the graphdxdy with plot the function
312
2 ++
=x
xy on
KmPlot.
b) Value of dxdy when 3=x .
Instruction:
1. Select New Function Plot from Plot menu.
2. Insert the function 312
2 ++
=x
xy in the Function section.
3. Then select Derivatives section, and mark Show 1st Derivative. Click Ok.
4. Select Get y-value from Tool menu and insert x-value given. Select the
functiondxdy . Then click Calculate.
3=x ; ____=dxdy
208
Exercise 6.3
1. Answer the entire question.
(a) Find the gradient of tangent for the function using KmPlot application
methods and formula method at the given value of x. Complete the
following table.
2x
x dxdy (using KmPlot)
dxdy (using formula)
-1
0
0.5
1
1.5
2
What do you conclude from your table of results?
(b) Repeat exercise (a) for the function below. For each function construct a
table of your result. The value of x: -1, 0, 0.5, 1. 1.5 and 2.
(a) )2(2 +xx
(b) 2)34( −x
(c) 2)27( x−
(d) )1)(1( xxx
++
(e) )8(2 −xx
(f) ))(21( 22 xxx +−
Does this confirm your conclusion in (a)?
209
2. Given that , find the gradient of the graph
when
)143)(1( 22 +−+= xxxy
5.2−=x .
3. If 2
2
213
xxy
−= , find the gradient of the graph at the point (-2, 1).
4. Plot the graphx
xy 19 += . Find the gradient of the curve where 1−=x
5. Find dxdy and the gradient of the curve at the given value or point.
a) )43)(9( ++= xxy , 2−=x b) x
xy 46 −= , (-2,-7)
c) , (2,7) 154 2 +−= xxy d) , (-1,-3) 42 −= xy
e) 25 −=y , 21
=x f) , 4)23( −= xy21
=x
210
7 : THE GRAPH OF
PARAMETRIC FUNCTION
Activity 7.1: Explore the graph of parametric functions
211
Activity 7.1: Explore the graph of parametric functions
Learning Objectives:
Student will be able to:
1. Plot the graph of parametric functions using KmPlot.
2. Investigate, determine, combine and explain the differences functions and
shapes of parametric functions.
Operation Cognitive: Recognising, Analysing, Comparing and Drawing conclusion.
Instruction:
1. For plot parametric function, select New Parametric Plot from Plot menu.
2. You can fill box of Name with the suitable name.
3. Then plot and ttx sin)( = tty cos)( =
4. From the graph, explore the graph when the value of functions is increases,
decreases, positive or negative.
5. To “Save” the graphs and the diagrams:
i. Save the graph as <name>.fkt by selecting Save As from File menu.
ii. Save the diagram of graph as <name>.png by selecting Export from File
menu.
212
Exercise 7.1
1. Function below show the pair of parametric functions. Answer all the
questions.
(a) Using KmPlot, explore the pair of functions.
(b) Find what the shapes of the graph are.
(c) Then, try combining the functions to create a new graph.
i. tttx sin)( −=
tty cos1)( −=
ii. tttx 3)( 3 −=
1)( 2 −= tty
iii. )1()1()( 4
2
++
=ttttx
)1()1()( 4
2
+−
=tttty
iv. ttx cos2.0)( +−=
ttxy sintan2.0)( +−=
v. )2cos(2)( tttx +=
)3sin(3)( ttty +=
vi. tttx 8coscos2)( +=
ttty 8sinsin2)( +=
(d) From the graph, what can you conclude about the shapes of the graphs?
213
(e) Complete the table below.
Function Conclusion
i. tttx sin)( −=
tty cos1)( −=
ii. tttx 3)( 3 −=
1)( 2 −= tty
iii. )1()1()( 4
2
++
=ttttx
)1()1()( 4
2
+−
=tttty
iv. ttx cos2.0)( +−=
ttxy sintan2.0)( +−=
v. )2cos(2)( tttx +=
)3sin(3)( ttty +=
vi. tttx 8coscos2)( +=
ttty 8sinsin2)( +=
214
8 : THE GRAPH OF
POLAR FUNCTION
Activity 8.1: Explore the graphs of polar functions
215
Activity 8.1: Explore the graphs of polar functions
Learning Objectives:
Student will be able to:
1. Plot the graphs of polar functions using kmPlot.
2. Investigate, determine, combine and explain the different functions and
shapes of polar functions.
Operation Cognitive: Recognising, Analysing, Comparing and Drawing conclusion.
Instruction:
6. For plot parametric function, select New Polar Plot from Plot menu.
7. Then plot the Equation box. thetathetar =)(
3. For save the graphs and the diagrams:
c. Save the graph as <name>.fkt by select Save As from File menu.
d. Save the diagram of graph as <name>.png by select Export from File
menu.
216
Exercise 7.1
1. Function below show the pair of parametric functions. Answer all the questions.
(f) Using KmPlot, explore the pair of functions and find what the shapes of the
graph.
(g) Then, try to combine the suitable functions to create the new graphs.
(h) From the graphs, what can you conclude about the shapes of the graphs?
1. ttr 3sin)( =
2. θsin=r
3. πttr 6)( =
4. tr cos1+=
(i) Complete the table below.
Function Conclusion
i. ttr 3sin)( =
ii. θsin=r
iii. πttr 6)( =
iv. tr cos1+=
217
(j) Discus with your class, find the others function of polar via internet or others
sources, and explore the functions using KmPlot. Try to construct the shape
such as flower. Then, fill the table below.
Function Shape Conclusion
top related