modul 7 transformasi susunan sumburepository.uki.ac.id/1895/1/modultransformasisumbu..pdfmenentukan...
Post on 23-Mar-2021
50 Views
Preview:
TRANSCRIPT
197
A. Capaian Pembelajaran
Pembaca dapat memahami konsep translasi sumbu serta
menggunakannya dalam memecahkan masalah yang
berkaitan.
B. Bahan Kajian
Pembaca dapat:
i. Menentukan persamaan irisan kerucut setelah
dilakukan translasi susunan sumbu ke suatu titik
asal yang baru.
ii. Menentukan rumus translasi untuk
menyederhanakan persamaan irisan kerucut.
iii. Menentukan jenis irisan kerucut dari suatu
persamaan kuadrat dalam π₯, π¦ yang tidak memuat
suku campuran π₯π¦
iv. Menentukan persamaan irisan kerucut setelah
dilakukan rotasi susunan sumbu.
v. Menentukan persamaan suatu irisan kerucut
setelah dilakukan rotasi susunan sumbu.
vi. Menentukan rotasi untuk menyederhanakan
persamaan suatu irisan kerucut.
vii. Menentukan jenis irisan kerucut dari suatu
persamaan kuadrat yang mengandung suku
campuran.
C. Uraian Materi
1. Pengertian Translasi Susunan Sumbu
2. Penyederhanaan Persamaan Konik dengan
Translasi Sumbu
3. Pengertian Rotasi Sumbu 4. Penyederhaan Persamaan Konik dengan Rotasi
Sumbu
MODUL 7
TRANSFORMASI SUSUNAN SUMBU
198
7.1. Kegiatan Pembelajaran 1. Pengertian Translasi
Susunan Sumbu
Definisi
Translasi adalah perpindahan tempat semua titik dalam
suatu bidang atau ruang menurut besar/jarak dan arah
yang sama.
Translasi atau perpindahan sumbu lama ke susunan
baru dari titik asal π(0,0) ke πβ²(π, π) dapat diilustrasikan pada gambar 7.1 di bawah ini.
Titik C akan memiliki dua titik kooordinat yaitu
terhadap susunan sumbu lama (π₯, π¦) dan terhadap
MODUL 7
TRANSFORMASI SUSUNAN SUMBU
Gambar 7.1.1
199
susunan sumbu yang baru (π’, π£). Hubungan antar kedua koordinat tersebut adalah
x = a + u
π¦ = π + π£
Contoh 1
Misalkan sumbu-sumbu lama ditranslasikan ke titik asal
yang baru dalam koordinat lama yaitu (2, β2).
Tentukanlah koordinat titik π΄(3,5) dalam susunan
koordinat yang baru.
Penyelesaian
Hubungan koordinat lama dan baru dapat dituliskan
π₯ = 2 + π’
π¦ = β2 + π£
dengan demikian koordinat titik π΄(3,5) dalam susunan
koordinat yang baru adalah (1,6)
3 = 2 + π’
π’ = 1
5 = β1 + π£
π£ = 6
Contoh 2
Misalkan sumbu-sumbu lama ditranslasikan ke titik asal
yang baru dalam koordinat lama yaitu (3, β2).
Tentukanlah koordinat titik π΄(1,4) dalam susunan koordinat yang baru.
Penyelesaian
Hubungan koordinat lama dan baru dapat dituliskan
π₯ = 3 + π’
π¦ = β2 + π£
200
dengan demikian koordinat titik π΄(1,4) dalam susunan
koordinat yang baru adalah (β2,5)
1 = 3 + π’
π’ = β2
4 = β1 + π£
π£ = 5 Contoh 3
Tentukan persamaan garis
2π₯ + π¦ = 5 Terhadap koordinat baru setelah diadakan translasi sumbu
sehingga koordinat titik asal yang baru dalam koordinat
lama adalah (β4,2)
Penyelesaian:
Hubungan antara koordinat lama dan baru adalah
π₯ = β4 + π’
π¦ = 2 + π£
Subtitusikan ke persamaan garis
2π₯ + π¦ = 5
2(β4 + π’) + 1(2 + π£) = 5
2π’ + π£ β 8 + 2 = 5
2π’ + π£ = 11
Jadi persamaan garis dalam susunan sumbu yang baru
adalah
2π’ + π£ = 11
7.2. Kegiatan Pembelajaran 2 Penyederhanaan
Persamaan Konik dengan Translasi Sumbu
Misalnya titik awal baru πβ² yang berkoordinat (π1, π2)
terhadap system koordinat lama. Suatu titikπ(π₯, π¦)
terhadap koordinat lama, akan mempunyai koordinat
201
(π₯β², π¦β²) terhadap syste, koordinat baru, dengan hubungan
π₯ = π₯β² + π1
π¦ = π¦β² + π2
Dengan translasi ini kita dapat menghilangkan bagian
linier dari persamaan
π(π₯, π¦) = π11π₯2 + 2π11π₯π¦ + π22π¦2 + 2π13π₯ + 2π23π¦ +π33 = 0.
Titik awal koordinat baru akan menjadi pusat irisan
kerucut tersebut.
Contoh 4
Kita hendak menentukan jenis garis lengkung 2π₯2 +2π¦2 β 4π₯ + 6π¦ = 4 bila titik awal di translasikan ke
(1, β1).
Penyelesaian
Rumus translasi: π₯ = π₯β² + 1
π¦ = π¦β² β 1
Kita substitusikan :
2(π₯β² + 1)2 + 3(π¦β² β 1)2 β 4(π₯β² + 1) + 6(π¦β² β 1) = 4
Gambar 7.2.1
202
Atau 2π₯β²2 + 3π¦β²2 = 12
Kita sesuaikan dengan persamaan standar, menjadi π₯β²2
6+
π¦β²2
4= 1, suatu eliips bertitik pusat di titik awal system
koordinat baru yaitu (1, β1), dengan setengah sumbu
panjang β6 dan setengah sumbu pendek 2.
Contoh 5
Tentukan suatu translasi sumbu koordinat yang
mentransformasikan persamaan 3π₯2 β 4π¦2 + 6π₯ β24π¦ = 100 ke suatu bentuk standar (menghilangkan bagian linier)
Penyelesaian
Misalkan kita melakukan translasi π₯ = π₯β² + π1
π¦ = π¦1 + π2
Maka :π₯β² + π1π¦β² + π2
3(π₯β² + π1)2 β 4(π¦β² + π2)2 + 6(π₯β² + π2) β 24(π¦β² + π2)= 100
3π₯β²2 β 4π¦β²2 + π₯β²(4 + 4π1) + π¦β²(β8 β 8π2) + π12 β π2
2
+ 4π1 β 8π2 = 100
Gambar 7.2.2
203
Maka haruslah (4 + 4π1) = 0 dan (β8 β 8π2) = 0 atau
π1 = β1 dan π2 = β1
Persamaan menjadi 3π₯β²2 β 4π¦β²2 = 94
7.3. Kegiatan Pembelajaran 3 Pengertian Rotasi
Sumbu
Dalam menentukan rumus rotasi untuk
menyederhanakan persamaan irisan kerucut kita
misalkan susunan sumbu koordinat dirotasikan sejauh
π. Untuk melihat hubungan antar koordinat baru (π’, π£)
dengan koordinat lama (π₯, π¦).
Pada segitiga siku-siku OPC berlaku,
Gambar 7.3.1
204
cos(π + π) =π₯
π
Atau
π₯ = π cos(π + π)
= π cos π) cos π β (π sin π) sin π
Karena, π’ = r cos π dan π£ = π sin π maka π₯ =π’ cos π β π£ sin π Dengan cara serupa kita memperoleh,
π¦ = π’ sin π + π£ cos π
Jadi setelah susunan sumbu koordinat dirotasikan sejauh π
maka hubungan antara (π’, π£) dan (π₯, π¦) adalah:
π₯ = π’ cos π β π£ sin π
π¦ = π’ sin π + π£ cos π
Contoh 6
Tentukan persamaan garis π¦ = 3π₯ β 8 setelah susunan
sumbu dirotasikan π’ = π cos π dan π£ = π sin π di
rotasikan sejauh π =π
4
Penyelesaian
Dengan rumus rotasi kita mempunyai
π₯ = π’ cosπ
6β π£ sin
π
6=
1
2β2π’ β
1
2β2π£
π¦ = π’ sinπ
6+ π£ cos
π
6=
1
2β2π’ +
1
2β2π£
Substitusikan π₯ dan π¦ ke dalam persamaan garis sehingga menjadi
1
2β2π’ +
1
2β2π£ = 3 (
1
2β2π’ β
1
2β2π£) β 8
1
2β2π’ +
1
2β2π£ = (
3
2β2π’ β
3
2β2π£) β 8
1
2β2π’ +
1
2β2π£ β
3
2β2π’ β
3
2β2π£ + 8 = 0
β2π’ + β2π£ β3
2β2π’ β
3
2β2π£ + 16 = 0
205
Jadi persamaan garis π¦ = 3π₯ β 8 setelah susunan sumbu dirotasikan sejauh
π =π
4 adalah (β
1
2β2) π’ + (β
1
2β2) π£ + 16 = 0
Contoh 7
Tentukan persamaan garis π¦ = 5π₯ + 6 setelah susunan
sumbu dirotasikan π’ = π cos π dan π£ = π sin π di
rotasikan sejauh π =π
6
Penyelesaian
Dengan rumus rotasi kita mempunyai
π₯ = π’ cosπ
6β π£ sin
π
6=
1
2β3π’ β
1
2π£
π¦ = π’ sinπ
6+ π£ cos
π
6=
1
2π’ +
1
2β3π£
Substitusikan π₯ dan π¦ ke dalam persamaan garis sehingga menjadi
1
2π’ +
1
2β3π£ = 5 (
1
2β3π’ β
1
2π£) + 6
1
2π’ +
1
2β3π£ =
5
2β3π’ β
5
2π£ + 6
1
2π’ +
1
2β3π£ β
5
2β3π’ β
5
2π£ β 6 = 0
π’ + β3π£ β 5β3π’ β 5π£ β 12 = 0
Jadi persamaan garis π¦ = 5π₯ + 6 setelah susunan sumbu
dirotasikan sejauh π =π
6 adalah (1 β 5β3)π’ + (5β3)π£ β 12 =
0
Contoh 8
Tentukan persamaan kurva 4π₯2 β 3π₯π¦ = 18 jika susunan
koordinat di rotasikan sejauh π =π
4
Penyelesaian
206
Dari rumus rotasi kita mempunyai
π₯ =1
2β2π’ β
1
2β2π£
π¦ =1
2β2π’ +
1
2β2π£
Dengan mensubstitusikan (π₯, π¦) di atas ke dalam persamaan
4π₯2 β 3π₯π¦ = 18 kita memperoleh
4 (1
2β2π’ β
1
2β2π£)
2
β 3 (1
2β2π’ β
1
2β2π£) (
1
2β2π’ +
1
2β2π£)
= 18
4 (1
2β2π’ β
1
2β2π£) (
1
2β2π’ β
1
2β2π£)
β 3 (1
2β2π’ β
1
2β2π£) (
1
2β2π’ +
1
2β2π£) = 18
(2π’2 β 2π’π£ β 2π’π£ + 2π£2)
β (3
4 2π’2 +
3
4 2π’π£ β
3
4 2π’π£ β
3
4 2π£2) = 18
(2π’2 β 4π’π£ + 2π£2) β (3
4 2π’2 β
3
4 2π£2) = 18
(4
2β
3
2) π’2 β 4π’π£ + (
4
2β
3
2) π£2 = 18
(1
2) π’2 β 4π’π£ + (
1
2) π£2 = 18
1
2π’2 β 4π’π£ +
1
2π£2 β 18 = 0
π’2 β 8π’π£ + π£2 β 36 = 0
7.4. Kegiatan Pembelajaran 4 Penyederhanaan Persamaan
Konik dengan Rotasi Sumbu
Perhatikan persamaan π΄π₯2 + π΅π₯π¦ + πΆπ¦2 + π·π₯ + πΈπ¦ +πΉ = 0
207
Dengan mensubstitusiπ₯ = π’ cos π β π£ sin π
π¦ = π’ sin π β π£ cos π
Dan dengan sedikit penjabaran, bentuk persamaan kuadrat
di atas menjadi
ππ’2 + ππ’π£ + ππ£2 + ππ’ + ππ£ + π = 0
π = π΄ cos2π +1
2π΅ sin 2π + πΆ sin2π
π = βπ΄ sin 2π1
2π΅ sin 2π + πΆ sin 2π
Dengan π = π΄ sin2π1
2π΅ sin 2 π + πΆ cos2π
π = π· cos π + πΈ sin π
π = βπ· sin π + πΈ cos π
π = πΉ
Agar persamaan ini tidak memuat suku campuran uv
maka haruslah b = 0
atau π΅ cos 2π β (π΄ β πΆ) sin 2π = 0
Berarti cot π2π =π΄βπΆ
π΅
Jadi untuk melenyapkan suku campuran, kita harus
memilih π sedemikian sehingga cot π2π =π΄βπΆ
π΅ dengan
demikian 0 β€ 2π β€ π.
Contoh 9 :
Gunakan rotasi sususan sumbu untuk tidak memuat suku
campuran pada persamaan 4π₯2 + 2β3π₯π¦ + 2π¦2 + 10β3π₯ +10π¦2 = 5
Penyelesaian :
Pada persamaan4π₯2 + 2β3π₯π¦ + 2π¦2 + 10β3π₯ + 10π¦2 = 5
kita mempunyai π΄ = 4, π΅ = 2β3dan πΆ = 2
208
Berarti cot π2π =π΄βπΆ
π΅=
4β2
2β2=
1
β3
Rumus rotasinya adalah
π₯ = π’β3
2β π£
1
2=
β3π’ β π£
2
π¦ = π’1
2+ π£
β3
2π£ =
π’ + β3π£
2
Maka subtitusikan nilai x dan y ke 4π₯2 + 2β3π₯π¦ + 2π¦2 +
10β3π₯ + 10π¦2 = 5 persamaan menjadi
4(β3π’ β π£)
2
4+ 2β3 (
(2β3 β π£)(π’ + β3π£
4) + 2 (
π’ + β3π£
4)
2
+ 10β3 (β3π’ β π£
2) + 10 (
π’ + β3π£
2) = 5
Dan setelah disederhanakan, menjadi 5π’2 + π£2 + 20π’ = 5
Untuk membuat persamaan ini dalam bentuk kuadratnya.
5(π’2 + 4π’ + 4) + π£2 = 5 + 20
(π’ + 2)2
5+
π£2
25= 1
Contoh 10 :
Gunakan rotasi dan translasi sususan sumbu untuk
menghilangkan suku-suku berderajat 1 4π₯2 + 9π¦2 + 8π₯ β90π¦ + 193 = 0 Penyelesaian :
4(π₯2 + 2π₯) + 9(π¦2 + 10π¦) = β193
4(π₯2 + 2π₯ + 1) + 9(π¦2 β 10π¦ + 25) = β193 + 4 + 225
4(π₯ + 1)2 + 9(π¦ β 5)2 = 36 (π₯ + 1)2
9+
(π¦ β 5)2
4
Translasi π’ = π₯ + 1 dan π£ = π¦ β5 mentransrormasikan ini menjadi
π’2
9+
π£2
4=
209
7.5. Rangkuman
1. Misalnya titik awal baru Oβ² yang berkoordinat (π1, π2) terhadap sistem koordinat lama. Suatu titik P(x,y)
terhadap koordinat lama, akan mempunyai koordinata
(π₯β², π¦β²) terhadap sistem koordinat baru, dengan hubungan
π₯ = π₯β² + π1
π¦ = π¦β² + π2
2. Translasi sususan sumbu dapat menghilangkan bagian
linear dari persamaan
π(π₯, π¦) = π11π₯2 = 2π11π₯π¦ + π22π¦2 + 2π23π¦ + π33 = 0
Titik asal susunan sumbu baru akan menjadi pusat irisan
kerucut tersebut.
3. Misalkan sususan sumbu lama dirotasikan sejauh π maka
hubungan antara korrdinat suatu titik pada sumbu baru
(u,v) dengan koordinat titik pada sususan sumbu lama
(x,y) adalah
π₯ = π’ cos π β π£ sin π
π¦ = π’ sin π + π£ cos π
4. Rotasi susunan sumbu dapat menghilangkan suku
campuran dari persamaanπ΄π₯2 + π΅π₯π¦ + πΆπ¦2 + π·π₯ +πΈπ¦ + πΉ = 0 dengan mengambil sudut rotasi memilih π
sedemikian sehingga cot π2π =π΄βπΆ
π΅ dengan demikian
0 β€ 2π β€ π.
210
1. Tentukanlah koordinat titik π΄(1,2) dalam susunan
koordinat yang baru jika koordinat lama yaitu (2,1).
Penyelesaian
Hubungan koordinat lama dan baru
π₯ = 2 + π’
π¦ = 1 + π£
dengan demikian koordinat titik π΄(1,2) dalam susunan
koordinat yang baru adalah
β¦ =. . . +π’
π’ = β. .. β¦ =. . . +π£
π£ =. .. (β. . . , β¦ )
2. Tentukanlah koordinat titik π΄(3,3) dalam susunan
koordinat yang baru jika koordinat lama yaitu (β1,1).
Penyelesaian
Hubungan koordinat lama dan baru
π₯ = β1 + π’
π¦ = 1 + π£
dengan demikian koordinat titik π΄(3,3) dalam susunan koordinat yang baru adalah
β¦ = β. . . +π’
π’ =. .. β¦ = 1 + π£
π£ =. .. (β¦ , β¦ )
3. Tentukanlah koordinat titik π΄(β2, β3) dalam susunan
koordinat yang baru jika koordinat lama yaitu (1,1).
Penyelesaian
Hubungan koordinat lama dan baru
π₯ = 1 + π’
π¦ = 1 + π£
dengan demikian koordinat titik π΄(β2, β3) dalam
susunan koordinat yang baru adalah
7.6. Kegiatan Pembelajaran 5 Soal Diskusi Kelompok
211
β. . . = β. . . +π’
π’ = β. .. β. . . =. . . +π£
π£ = β. .. (β. . . , β. . . )
4. Tentukanlah koordinat titik π΄(1, β3) dalam susunan
koordinat yang baru jika koordinat lama yaitu (β2, β4).
Penyelesaian
Hubungan koordinat lama dan baru
π₯ = β2 + π’
π¦ = β4 + π£
dengan demikian koordinat titik π΄(β2, β3) dalam susunan koordinat yang baru adalah
β¦ = β. . . +π’
π’ =. .. β. . . = β4 + π£
π£ =. .. (β¦ , β¦ )
5. Tentukan persamaan garis 2π₯ β π¦ = 4 terhadap koordinat baru setelah diadakan translasi sumbu sehingga koordinat
titik asal yang baru dalam koordinat lama adalah (2,2)
Penyelesaian:
Hubungan antara koordinat lama dan baru adalah
π₯ = 2 + π’
π¦ = 2 + π£ Subtitusikan ke persamaan garis
β¦ π₯ β π¦ =. .. β¦ (β¦ + π’)β. . . (β¦ + π£) =. ..
β¦ π’ β π£+. . . β. . . =. .. β¦ π’ β π£ =. ..
Jadi persamaan garis dalam susunan sumbu yang baru
adalah
β¦ π’ β π£ =. ..
212
6. Tentukan persamaan garis 4π₯ β 2π¦ = 21 terhadap koordinat baru setelah diadakan translasi sumbu sehingga
koordinat titik asal yang baru dalam koordinat lama
adalah (5,7)
Penyelesaian:
Hubungan antara koordinat lama dan baru adalah
π₯ = 5 + π’
π¦ = 7 + π£ Subtitusikan ke persamaan garis
β¦ π₯β. . . π¦ =. .. β¦ (β¦ + π’)β. . . (β¦ + π£) =. ..
β¦ π’β. . . π£+. . . β. . . =. .. β¦ π’β. . . π£ =. ..
Jadi persamaan garis dalam susunan sumbu yang baru
adalah
β¦ π’β. . . π£ =. ..
7. Tentukan persamaan garis 10π₯ β 2π¦ = 80 terhadap koordinat baru setelah diadakan translasi sumbu sehingga
koordinat titik asal yang baru dalam koordinat lama
adalah (7,2)
Penyelesaian:
Hubungan antara koordinat lama dan baru adalah
π₯ = 7 + π’
π¦ = 2 + π£ Subtitusikan ke persamaan garis
β¦ π₯β. . . π¦ =. .. β¦ (7 + π’)β. . . (2 + π£) =. ..
β¦ π’β. . . π£+. . . β. . . =. .. β¦ π’β. . . π£ =. ..
Jadi persamaan garis dalam susunan sumbu yang baru
adalah
β¦ π’β. . . π£ =. ..
8. Menentukan jenis garis lengkung π₯2 + 2π¦2 β 2π₯ + 4π¦ =1 bila titik awal di translasikan ke (1, β1).
213
Penyelesaian
Rumus translasi: π₯ = π₯β² + 1
π¦ = π¦β² β 1 Kita substitusikan :
β¦ (π₯β² + 1)2+. . . (π¦β² β 1)2β. . . (π₯β² + 1)+. . . (π¦β² β 1) =. .. Atau π₯β²2 + β¦ π¦β²2 =. ..
Kita sesuaikan dengan persamaan standar, menjadi π₯β²2
β¦+
π¦β²2
β¦=. .., suatu eliips bertitik pusat di titik awal system
koordinat baru yaitu (1, β1), dengan setengah sumbu
panjang β¦ dan setengah sumbu pendek ββ¦.
9. Tentukan jenis garis lengkung 4π₯2 β π¦2 β 8π₯ + 4π¦ = 16
bila titik awal di translasikan ke (1,2).
Penyelesaian
Rumus translasi: π₯ = π₯β² + 1
π¦ = π¦β² + 2 Kita substitusikan :
β¦ (π₯β² + 1)2β. . . (π¦β² + 2)2β. . . (π₯β² + 1)+. . . (π¦β² + 2) =. .. Atau β¦ π₯β²2 β π¦β²2 =. ..
Kita sesuaikan dengan persamaan standar, menjadi π₯β²2
β¦+
π¦β²2
β¦=. .., suatu eliips bertitik pusat di titik awal system
koordinat baru yaitu (1,2), dengan setengah sumbu
panjang . .. dan setengah sumbu pendek β¦.
10. Tentukan suatu translasi sumbu koordinat yang
mentransformasikan persamaan 2π₯2 β π¦2 + 4π₯ β 6π¦ =50 ke suatu bentuk standar (menghilangkan bagian linier)
Penyelesaian
Kita melakukan translasi π₯ = π₯β² + π1
π¦ = π¦1 + π2
Maka :π₯β² + π1π¦β² + π2
. . . (π₯β² + π1)2 β β¦ (π¦β² + π2)2+. . . (π₯β² + π1)β. . . (π¦β² + π2)= 5
214
β¦ π₯β²2 β π¦β²2 + π₯β²(β¦ +. . . π1) + π¦β²(β¦ + β¦ π2) + π12 β π2
2
+ β¦ π1 β β¦ π2 =. ..
Maka haruslah (β¦ +. . . π1) =. .. dan (β. . . β. . . π2) =. .. atau π1 = β. .. dan π2 =. .. Persamaan menjadi β¦ π₯β²2 β π¦β²2 =. ..
11. Tentukan persamaan garis π¦ = 2π₯ β 12 setelah susunan
sumbu dirotasikan π’ = π cos π dan π£ = π sin π di
rotasikan sejauh π =π
4
Penyelesaian :
Dengan rumus rotasi
π₯ = π’ cos π β π£ sin π
=β¦
β¦ββ¦ π’ β
β¦
β¦ββ¦ π£
π¦ = π’ sin π + π£ cos π
=β¦
β¦ββ¦ π’ +
β¦
β¦ββ¦ π£
Substitusikan π₯ dan π¦ ke dalam persamaan garis sehingga menjadi
β¦
β¦ββ¦ π’ +
β¦
β¦ββ¦ π£ = 2 (
β¦
β¦ββ¦ π’ β
β¦
β¦ββ¦ π£) β 12
β¦
β¦ββ¦ π’ +
β¦
β¦ββ¦ π£ = (
β¦
β¦ββ¦ π’ β
β¦
β¦ββ¦ π£) β 12
ββ¦ π’ + ββ¦ π£ ββ¦
β¦ββ¦ π’ β
β¦
β¦ββ¦ π£ + 12 = 0
Jadi persamaan garis π¦ = 2π₯ β 12 setelah susunan sumbu
dirotasikan sejauh π =π
4 adalah (β
β¦
β¦.ββ¦ ) π’ +
(ββ¦
β¦.ββ¦ ) π£ + 12 = 0
12. Tentukan persamaan garis π¦ = 8π₯ + 20 setelah susunan
sumbu dirotasikan π’ = π cos π dan π£ = π sin π di
rotasikan sejauh π =π
6
215
Penyelesaian
Dengan rumus rotasi kita mempunyai
π₯ = π’ cos π β π£ sin π
=β¦
β¦ββ¦ π’ β
β¦
β¦ββ¦ π£
π¦ = π’ sin π + π£ cos π
=β¦
β¦ββ¦ π’ +
β¦
β¦ββ¦ π£
Substitusikan π₯ dan π¦ ke dalam persamaan garis sehingga
menjadi β¦
β¦+
β¦
β¦ββ¦ π£ = 8 (
β¦
β¦ββ¦ π’ β
β¦
β¦π£) + 20
β¦
β¦π’ +
β¦
β¦ββ¦ π£ β
β¦
β¦ββ¦ π’ β
β¦
β¦π£ β 20 = 0
β¦ + ββ¦ π£ β ββ¦ π’ β π£ β 20 = 0
Jadi persamaan garis π¦ = 5π₯ + 6 setelah susunan sumbu
dirotasikan sejauh π =π
6 adalah (β¦ β β― ββ¦ )π’ +
(β¦ ββ¦ )π£ β 20 = 0
13. Tentukan persamaan garis 2π¦ = π₯ β 5 setelah susunan
sumbu dirotasikan π’ = π cos π dan π£ = π sin π di
rotasikan sejauh π =π
6
Penyelesaian
Dengan rumus rotasi kita mempunyai
π₯ = π’ cos π β π£ sin π
=β¦
β¦ββ¦ π’ β
β¦
β¦
π¦ = π’ sin π + π£ cos π
=β¦
β¦π’ +
β¦
β¦ββ¦ π£
Substitusikan π₯ dan π¦ ke dalam persamaan garis sehingga
menjadi
2 (β¦
β¦π’ β
β¦
β¦ββ¦ π£) =
β¦
β¦ββ¦ π’ β
β¦
β¦π£ β 5
4(π’ β ββ¦ π£ = ββ¦ π’ β π£ β 5
4(π’ β 4ββ¦ π£ β ββ¦ π’ + π£ + 5 = 0 Atau
(4 β β3)π’ + (4β3 + 1)π£ + 5 = 0
216
Jadi persamaan garis 2π¦ = π₯ β 5 setelah susunan sumbu
dirotasikan sejauh π =π
6 adalah (4 β β3)π’ +
(4β3 + 1)π£ + 5 = 0
14. Tentukan persamaan garis π₯ = 3π¦ β 1 setelah susunan
sumbu dirotasikan π’ = π cos π dan π£ = π sin π di
rotasikan sejauh π =π
4
Penyelesaian
Dengan rumus rotasi kita mempunyai
π₯ = π’ cos π β π£ sin π
=1
2ββ¦ π’ β
β¦
β¦β2π£
π¦ = π’ sin π + π£ cos π
=β¦
β¦ββ¦ π’ +
β¦
β¦ββ¦ π£
Substitusikan π₯ dan π¦ ke dalam persamaan garis sehingga menjadi
β¦
β¦ββ¦ π’ +
β¦
β¦ββ¦ π£ = 3 (
β¦
β¦ββ¦ π’ β
β¦
β¦π£) β 1
β¦
β¦ββ¦ π’ +
β¦
β¦ββ¦ π£ β
3
2ββ¦ π’ +
β¦
β¦π£ + 1 = 0
ββ¦ π’ β ββ¦ π£ β 3β2π’ + 3ββ¦ π£ + 2 = 0 atau
(β2 β 3β2)π’ + (ββ2 + 3β2)π£ + 2 = 0
Jadi persamaan garis π¦ = 3π¦ β 1 setelah susunan sumbu
dirotasikan sejauh π =π
4 adalah (β2 β 3β2)π’ +
(ββ2 + 3β2)π£ + 2 = 0
15. Tentukan persamaan garis 2π₯ + 2π¦ = 5 setelah susunan
sumbu dirotasikan π’ = π cos π dan π£ = π sin π di
rotasikan sejauh π =π
3
Penyelesaian :
217
Dengan rumus rotasi kita mempunyai
π₯ = π’ cos π β π£ sin π
=1
2π’ β
β¦
β¦β π£
π¦ = π’ sin π + π£ cos π
=1
2ββ¦ π’ +
β¦
β¦π£
Substitusikan π₯ dan π¦ ke dalam persamaan garis sehingga
menjadi
2 ( π’ β β π£) + 2 ( β π’ β π£) = 5
π’ β β π£ + βπ’ β π£ β 5 = 0 atau
(β¦ β. . . )π’ β (β π£ + π£) β 5 = 0
Jadi persamaan garis 2π₯ + 2π¦ = 5 setelah susunan sumbu
dirotasikan sejauh π =π
3 adalah (1 β 3)π’ β (β3π£ + π£) β
5 = 0
16. Tentukan persamaan garis π¦2 = π₯ + 2 setelah susunan
sumbu dirotasikan π’ = π cos π dan π£ = π sin π di
rotasikan sejauh π =π
6
Penyelesaian:
Dengan rumus rotasi kita mempunyai
π₯ = π’ cos π β π£ sin π
=β¦
β¦ββ¦ π’ β
β¦
β¦
π¦ = π’ sin π + π£ cos π
=β¦
β¦π’ +
β¦
β¦ββ¦ π£
Substitusikan π₯ dan π¦ ke dalam persamaan garis sehingga menjadi
(β¦
β¦π’ β
β¦
β¦ββ¦ π£)
2
= (β¦
β¦ββ¦ π’ β
β¦
β¦π£) + 2
(β¦
β¦β¦2 +
β¦
β¦ββ¦ 2π’π£ +
β¦
β¦π£2) = (
β¦
β¦ββ¦ π’ β
β¦
β¦π£) + 2
218
β¦
β¦π’2 +
β¦
β¦ββ¦ π’ +
β¦
β¦ββ¦ π’π£ +
β¦
β¦π£2 β
β¦
β¦π£ +2
Atau
(β¦
β¦β ) π’ + (
β¦
β¦ββ¦ ) π£ β 2 = 0
Jadi persamaan garis 2π¦ = π₯ β 5 setelah susunan sumbu
dirotasikan sejauh π =π
6 adalah
17. Tentukan persamaan kurva 4π₯2 β π₯π¦ = 6 jika susunan
koordinat di rotasikan sejauh π =π
4
Penyelesaian :
Dari rumus rotasi kita mempunyai
π₯ =β¦
β¦ββ¦ π’ β
β¦
β¦ββ¦ π£
π¦ =β¦
β¦ββ¦ π’ +
β¦
β¦ββ¦ π£
Dengan mensubstitusikan (π₯, π¦) di atas ke dalam persamaan
3π₯2 β 2π₯π¦ = 9 kita memperoleh
4 (1
2ββ¦ π’ β
1
2β2π£)
2
β (1
2ββ¦ π’ β
1
2ββ¦ π£) (
1
2ββ¦ π’ +
1
2ββ¦ π£) = 6
4 (1
2ββ¦ π’ β
1
2ββ¦ π£) (
1
2ββ¦ π’ β
1
2ββ¦ π£)
β (1
2ββ¦ π’ β
1
2ββ¦ π£) (
1
2ββ¦ π’ +
1
2ββ¦ π£) = 6
(2π’2 β 2π’π£ β 2π’π£ + 2π£2)
β (1
4 2π’2 +
1
4 2π’π£ β
1
4 2π’π£ β
1
4 2π£2) = 16
(2π’2 β 4π’π£ + 2π£2) β (1
4 2π’2 β
1
4 2π£2) = 6
(8
4β
1
4) π’2 β 4π’π£ + (
β¦
β¦β
β¦
. . .) π£2 = 6
(β¦
β¦) π’2 β 4π’π£ + (
β¦
β¦) π£2 = 6
β¦
β¦π’2 β 4π’π£ +
β¦
β¦π£2 β 6 = 0
7π’2 β 16π’π£ + 7π£2 β 24 = 0
219
18. Tentukan persamaan kurva 2π₯ + π¦2 = 12 jika susunan
koordinat di rotasikan sejauh π =π
3
Penyelesaian : Dari rumus rotasi kita mempunyai
π₯ =β¦
β¦π’ β
β¦
β¦ββ¦ π£
π¦ =β¦
β¦ββ¦ π’ +
β¦
β¦π£
Dengan mensubstitusikan (π₯, π¦) di atas ke dalam persamaan
2π₯ + π¦2 = 12 kita memperoleh
2 (1
2π’ β
1
2ββ¦ π£) + (
1
2ββ¦ π’ +
1
2π£)
2
= 12
2 (1
2π’ β
1
2ββ¦ π£) + (
1
2ββ¦ π’ β
1
2π£) (
1
2ββ¦ π’ +
1
2π£)
= 12
(π’ β β3π£) + (1
4 3π’2 +
1
4 β3ππ’π£ β
1
4 2π’π£ β
1
4 2π£2)
= 16
(2π’2 β 4π’π£ + 2π£2) β (1
4 2π’2 β
1
4 2π£2) = 6
(8
4β
1
4) π’2 β 4π’π£ + (
β¦
β¦β
β¦
. . .) π£2 = 6
(β¦
β¦) π’2 β 4π’π£ + (
β¦
β¦) π£2 = 6
β¦
β¦π’2 β 4π’π£ +
β¦
β¦π£2 β 6 = 0
7π’2 β 16π’π£ + 7π£2 β 24 = 0
19. Tentukan persamaan kurva 8π₯2 β 3π¦ = 5 jika susunan
koordinat di rotasikan sejauh π =π
4
Penyelesaian
Dari rumus rotasi kita mempunyai
π₯ =β¦
β¦ββ¦ π’ β
β¦
β¦ββ¦ π£
π¦ =β¦
β¦ββ¦ π’ +
β¦
β¦ββ¦ π£
220
Dengan mensubstitusikan (π₯, π¦) di atas ke dalam persamaan
8π₯2 β 3π¦ = 5 kita memperoleh
8 (1
2ββ¦ π’ β
1
2β2π£)
2
β 3 (1
2ββ¦ π’ +
1
2ββ¦ π£) = 5
8 (1
2ββ¦ π’ β
1
2ββ¦ π£) (
1
2ββ¦ π’ β
1
2ββ¦ π£)
β 3 (1
2ββ¦ π’ +
1
2ββ¦ π£) = 5
(β¦ π’2 β β― π’π£ β β― π’π£ + β― π£2) β (β¦
β¦ββ¦ π’ +
β¦
β¦ββ¦ π’) = 5
(2π’2 β 4π’π£ + 2π£2) β (1
4 2π’2 β
1
4 2π£2) = 5
(β¦
β¦π’2 β
β¦
β¦π’) β 8π’π£ + (
β¦
β¦π£2 +
β¦
. . .π£) = 5
(β¦
β¦) π’ β 8π’π£ + (
β¦
β¦ββ¦ ) 2π£2 = 5
β¦
β¦π’2 β 4π’π£ +
β¦
β¦π£2 β 5 = 0
5β2π’ β 16π’π£ + 11β2 2π£2 β 10 = 0
20. Gunakan rotasi sususan sumbu untuk tidak memuat suku
campuran pada persamaan 5π₯2 + 2β3π₯π¦ + 3π¦2 + 15π₯ =10
Penyelesaian :
Pada persamaan 5π₯2 + 2β3π₯π¦ + 3π¦2 + 15π₯ = 10
kita mempunyai π΄ = 5, π΅ = 2β3dan πΆ = 3
Berarti cot π2π =π΄βπΆ
π΅=
5β3
2β2=
1
β3
Rumus rotasinya adalah
π₯ = π’β¦
β¦ββ¦ β π£
β¦
β¦=
ββ¦ π’ β π£
2
π¦ = π’1
2+
β¦
β¦ββ¦ π£ =
β¦ + ββ¦ π£
2
221
Maka subtitusikan nilai x dan y ke 5π₯2 + 2β3π₯π¦ + 3π¦2 +15π₯ = 10 persamaan menjadi
5(ββ¦ π’ β π£)
2
4+ 2β3 (
(ββ¦ β π£)(π’ + ββ¦ π£
4)
+ 3 (β¦ + ββ¦ π£
4)
2
+ 10 (ββ¦ π’ β π£
2) = 10
Dan setelah disederhanakan, menjadi β¦ π’2 + β― + β― = β―
Untuk membuat persamaan ini dalam bentuk kuadratnya.
β¦ (β¦ + β― + β― ) + β― = β― + β― β¦ .
β¦ .+
β¦ .
β¦ .= β―
222
1. Disediakan suatu persamaan garis lurus π¦ = 3π₯ + 5 tentukan
persamaan garis lurus yang dihasilkan oleh translasi π =(2,1)
2. Tentukanlah koordinat titik π΄(1,1) dalam susunan koordinat
yang baru jika koordinat lama yaitu (2,2).
3. Tentukanlah koordinat titik π΄(2,4) dalam susunan koordinat
yang baru jika koordinat lama yaitu (1,2).
4. Tentukanlah koordinat titik π΄(4,3) dalam susunan koordinat
yang baru jika koordinat lama yaitu (β4, β2).
5. Tentukan persamaan garis 5π₯ + 2π¦ = 35 terhadap koordinat baru setelah diadakan translasi sumbu sehingga koordinat
titik asal yang baru dalam koordinat lama adalah (3,4)
6. Tentukan persamaan garis 3π₯ + 5π¦ = 50 terhadap koordinat baru setelah diadakan translasi sumbu sehingga koordinat
titik asal yang baru dalam koordinat lama adalah (5, β1)
7. Tentukan persamaan garis 7π₯ + 2π¦ = 50 terhadap koordinat
baru setelah diadakan translasi sumbu sehingga koordinat
titik asal yang baru dalam koordinat lama adalah (β2,7)
8. Tentukan jenis garis lengkung π₯2 + 2π¦2 β 4π₯ β 8π¦ = 40
bila titik awal di translasikan ke (2,2).
9. Tentukan jenis garis lengkung π₯2 + 2π¦2 β 8π₯ + 8π¦ = 28
bila titik awal di translasikan ke (4,2).
10. Tentukan suatu translasi sumbu koordinat yang
mentransformasikan persamaan2π₯2 β 4π¦2 β 12π₯ β 16π¦ =10 ke suatu bentuk standar (menghilangkan bagian linier)
11. Tentukan persamaan garis π¦ = 7π₯ β 12 setelah susunan
sumbu dirotasikan π’ = π cos π dan π£ = π sin π di rotasikan
sejauh π =π
6
12. Tentukan persamaan garis π¦ = 3π₯ β 5 setelah susunan
sumbu dirotasikan π’ = π cos π dan π£ = π sin π di rotasikan
sejauh π =π
3
7.7. Kegiatan Pembelajaran 6 Latihan Soal Tambahan
223
13. Tentukan persamaan garis 2π¦ = π₯ β 9 setelah susunan
sumbu dirotasikan π’ = π cos π dan π£ = π sin π di rotasikan
sejauh π =π
4
14. Tentukan persamaan garis π¦2 = 5π₯ + 10 setelah susunan
sumbu dirotasikan π’ = π cos π dan π£ = π sin π di rotasikan
sejauh π =π
4
15. Tentukan persamaan kurva π₯ β 3π¦ = 10 jika susunan
koordinat di rotasikan sejauh π =π
6
16. Tentukan persamaan kurva π₯2 + 5π¦ = 15 jika susunan
koordinat di rotasikan sejauh π =π
3
17. Tentukan persamaan kurva π₯2 + π¦2 = 18 jika susunan
koordinat di rotasikan sejauh π =π
3
18. Gunakan rotasi sususan sumbu untuk tidak memuat suku
campuran pada persamaan 3π₯ + π₯π¦ + 2π¦2 β 12 = 0
19. Gunakan rotasi sususan sumbu untuk tidak memuat suku
campuran pada persamaan 4π₯2 + 6π₯π¦ + 7π¦2 β 32 = 0
20. Gunakan rotasi sususan sumbu untuk tidak memuat suku
campuran pada persamaan 2π₯2 + 5π₯π¦ + 8π¦2 = 40
top related