KERUCUT

Disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Geometri

Dosen Pengampu : Dr. Widowati, M.Si.

Disusun oleh:

1. Nining Setyowati (0401511014)

2. Muhamad Yasin (0401511040)

3. Atni Widya Iriani (0401511063)

PROGRAM PASCASARJANA PENDIDIKAN MATEMATIKA

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

2012

1

KERUCUT

A. PENGERTIAN KERUCUT

Kerucut adalah bangun ruang yang dibatasi oleh sebuah sisi lengkung dan

sebuah sisi alas berbentuk lingkaran. Definisi kerucut lainnya yaitu merupakan bangun

ruang sisi lengkung yang menyerupai limas segi-n beraturan yang bidang alasnya

berbentuk lingkaran. Kerucut dapat dibentuk dari sebuah segitiga siku-siku yang diputar

sejauh 360o, di mana sisi siku-sikunya sebagai pusat putaran. Perhatikan gambar 1.

Kerucut pada gambar 1 dapat dibentuk dari segitiga siku-siku TOA yang diputar, di mana

sisi TO sebagai pusat putaran.

Gambar 1

B. SIFAT-SIFAT KERUCUT

Kerucut memiliki beberapa sifat, yaitu:

1. Kerucut merupakan bangun ruang berbentuk limas yang alasnya berupa lingkaran

2. Jaring-jaring kerucut terdiri dari lingkaran dan segi tiga

3. Kerucut mempunyai 2 sisi dan 1 rusuk

4. Satu sisi berbentuk bidang lengkung yang disebut selimut kerucut

5. Mempunyai satu titik sudut

6. Memiliki satu titik puncak

2

C. UNSUR-UNSUR KERUCUT

Amatilah gambar 2 di bawah ini.

Gambar 2

Kerucut memiliki unsur-unsur sebagai berikut:

1. Bidang alas, yaitu sisi yang berbentuk lingkaran (daerah yang diraster) dengan pusat

di titik O.

2. Diameter bidang alas (d), yaitu ruas garis AB.

3. Jari-jari bidang alas (r), yaitu ruas garis OA dan ruas garis OB.

4. Tinggi kerucut (t), yaitu jarak dari titik puncak kerucut C ke pusat bidang alas O, yakni

ruas garis CO.

5. Selimut kerucut, yaitu sisi kerucut yang tidak diraster yang merupakan bidang

lengkung.

6. Apotema atau garis pelukis (s), yaitu sisi miring BC.

Hubungan antara r, s, dan t pada kerucut dinyatakan dengan persamaan-

persamaan berikut.

s2 = r2 + t2 r2 = s2 ─ t2 t2 = s2 ─ r2

D. LUAS PERMUKAAN KERUCUT

Perlu kita ketahui bahwa, permukaan kerucut terdiri dari dua bidang, yaitu

bidang lengkung (selimut) dan bidang alas berbentuk lingkaran. Untuk lebih jelasnya

perhatikan uraian berikut.

3

dibuka

Gambar 3

Jika kerucut di atas diiris sepangjang garis CD dan keliling alasnya, maka akan

diperoleh jaring-jaring kerucut seperti pada gambar 3. Jaring-jaring kerucut ini terdiri

atas:

1. Juring lingkaran CDD’ yang merupakan selimut kerucut.

2. Lingkaran dengan jari-jari r yang merupakan sisi alas kerucut.

Misalnya panjang apotema adalah s dan jari-jari lingkaran alas adalah r. Selimut kerucut

merupakan juring lingkaran berjari-jari s dengan panjang busur DD’ merupakan keliling

lingkaran alas kerucut yaitu 2πr.

*) Dengan demikian kita peroleh rumus luas selimut kerucut sama dengan luas juring

CDD’.

Luas juringCD D'

Luas lingkaran= Panjangbusur D D

'

Kelilinglingkaran

Luas juringCDD '

π s2=2πr2 πs

Luas juringCDD'=2πr2πs

∙ π s2

Jadiluas selimut kerucut=πrs

*) Luas permukaan kerucut = Luas selimut + Luas alas

¿ πrs+πr2

¿ π r (s+r )

4

Dengan demikian, pada kerucut berlaku:

dengan:

r : jari-jari lingkaran alas

s : apotema

π :227

atau 3,14

Contoh:

1. Sebuah kerucut mempunyai panjang jari-jari alasnya 6 cm dan tingginya 8 cm. Hitunglah

luas permukaan kerucut tersebut ( π = 3,14).

Jawab :

Diketahui:

Jari-jari alas = r = 6cm

Tinggi kerucut = t = 8 cm

Ditanya: Luas permukaan kerucut

Penyelesaian:

s2 = r2 + t2

↔ = 62+ 82

↔ = 36 + 64

↔ s2 = 100

↔ s = √100↔ s = 10

Luas permukaan kerucut = πr(s + r)

↔ = 3,14 x 6 x (10 + 6)

↔ = 3,14 x 6 x 16

↔ = 301,44

Jadi luas permukaan kerucut adalah 301,44 cm2

5

luas selimut kerucut=πrs

Luas permukaan kerucut¿ π r (s+r )

2. Jika diameter sebuah kerucut adalah 10 cm dan tingginya 12 cm, tentukan:

a. panjang apotema (s),

b. luas selimut kerucut,

c. luas permukaan kerucut.

Jawab:

Diketahui :

d = 10 maka r = 5 cm

t = 12 cm

Ditanyakan :

a. panjang garis pelukis (s)

b. luas selimut kerucut

c. luas permukaan kerucut

Penyelesaian:

a. s2 = t2 + r2

= 122 + 52

= 144 + 25

= 169

s = √169 = 13

Jadi, panjang garis pelukis kerucut tersebut adalah 13 cm.

b. Luas selimut kerucut = πrs

= 3,14 x 5 x 13

= 204,1

Jadi, luas selimut kerucut tersebut adalah 204,1 cm2.

c. Luas permukaan kerucut = πr (s + r)

= 3,14 x 5 x (13 + 5)

= 282,6

Jadi, luas permukaan kerucut tersebut adalah 282,6 cm2

E. VOLUME KERUCUT

6

Pada dasarnya kerucut merupakan limas karena memiliki titik puncak sehingga

volume kerucut sama dengan volume limas, yaitu 1/3 kali luas alas kali tinggi. Oleh

karena alas kerucut berbentuk lingkaran maka luas alasnya adalah luas lingkaran.

Dengan demikian, volume kerucut dapat dirumuskan sebagai berikut.

Volumekerucut=13×luas alas×tinggi

V=13π r2 t

dengan

r = jari-jari lingkaran alas

t = tinggi kerucut

Karena r = 1/2 d (d adalah diameter lingkaran) maka bentuk lain rumus volume kerucut

adalah sebagai berikut.

V=13π r2 t

¿ 13π ( 12 d )

2

t

¿ 13π ( 12 d )

2

t

¿ 13π14d2

t

V= 112π d2t

Contoh:

7

F. LUAS KERUCUT TERPANCUNG

Luas selimut kerucut terpancung adalah luas kerucut besar dikurangi luas selimut

kerucut kecil. Perhatikan gambar 4 berikut ini.

8

Gambar 4

¿ πA (R+r )+π (R ¿¿2+r2)¿

9

Contoh:

Luas kerucut terpancung pada gambar di bawah adalah ....

Jawab :

Diketahui :

R = 28 : 2 = 14 cm

r = 14 : 2 = 7 cm

t = 10 cm

Ditanyakan : Luas permukaan kerucut.....?

Penyelesaian:

L=πA (R+r )+π (R¿¿2+r2)¿

Cari A terlebih dahulu

A=√t 2+(R−r )2

A=√102+ (14−7 )2

A=√100+49A=√149=12,21cm

Selanjutnya hitung Luas kerucut terpancung

L=πA (R+r )+π (R¿¿2+r2)¿

L=3,14×12,21 (14+7 )+3,14 (142+72)

L=38,34 (21 )+3,14(245)

L=805,14+769,3

L=1574,44 cm2

Jadi luas kerucut terpancung di atas adalah 1574,44 cm2.

G. VOLUME KERUCUT TERPANCUNG

10

Volume kerucut terpancung adalah volume kerucut besar dikurangi volume

kerucut kecil. Perhatikan gambar 5 di bawah ini.

Gambar 5

11

Contoh:

Sebuah ember dibentuk dari sebuah kerucut terbalik yang dipotong bagian bawahnya.

Panjang OT = 12 cm, OP = 1/3 OT, OB = 6 cm, dan PD = 2 cm. Hitunglah volume ember

itu (π = 3,14).

Jawab:

Berdasarkan gambar

A B

C D

T

Diketahui :

OB = 6 cm = R

OT = 12 cm

OP = 1/3 OT = 1/3 x 12 cm = 4 cm = t

PD = 2 cm = r

Ditanyakan : Volume ember.....?

Penyelesaian:

12

O

P

Volume ember = volume kerucut TAB – volume kerucut TCD

¿ 13πt(R ¿¿2+Rr+r 2)¿

¿ 13∙ (3,14 ) ∙4 ∙(6¿¿2+6 ∙2+22)¿

¿4,187 ∙52

¿217,71cm3

Jadi volume ember tersebut 217,71 cm3.

13