grup struktur aljabar

GRUPFELI RAMURY

O GRUPOIDO SEMIGRUPO GRUPO GRUP ABEL

GRUPOIDDefinisi 1.2.1Suatu himpunan tidak kosong, G dengan operasi biner (*) didalamnya, disebut grupoid dan dinyatakan dengan (G,*)

Contoh 1:

* x y zx x y yy y x yz z y x

Tabel ini dibaca x * x = x, x * y = y, z * z = y dan seterusnya(G,*) ini merupakan grupoid, karena operasi * merupakan operasi biner dalam G.

SEMIGRUP

Contoh 2:Misalkan himpunan bilangan asli N, didefinisikan operasi biner: a*b = a + b + abTunjukkan bahwa (N,*) adalah semigrup!Penyelesaian:1. Tertutup

Jadi, N tertutup terhadap operasi biner *.

Penyelesaian:2. Assosiatif

(a * b) * c = (a + b + ab) * c= (a + b + ab) + c + (a + b + ab) c

= a + b + ab + c + ac + bc + abca * (b * c) = a * (b + c + bc)

= a + (b + c + bc) + a (b + c + bc)= a + b + c + bc + ab + ac + abc

Penyelesaian:

Jadi, (N,*) merupakan suatu semigrup

GRUPDefinisi 1.2.3Suatu himpunan tidak kosong G merupakan suatu grup, jika dalam G terdapat operasi misalkan * dan unsur-unsur dalam G memenuhi syarat:

1. TertutupGrup

2. Assosiatif

Contoh 3:

Penyelesaian:

x -1 1

-1 1 -1

1 -1 1

Penyelesaian:a. Tertutup

G tertutup terhadap operasi perkalian biasa x karena

Penyelesaian:b. Assosiatif

(a x b) x c = (-1 x 1) x 1 = 1 x 1 = 1a x (b x c) = 1 x (-1 x -1) = 1 x 1 = 1

sehingga (a x b) x c = a x (b x c) = 1 maka G assosiatif

Penyelesaian:c. Adanya elemen identitas (e = 1) terhadap perkalian

Ambil sembarang nilai dari G,

-1 x e = e x (-1) = -1

1 x e = e x 1 = 1Maka G mempunyai identitas

Penyelesaian:d. Adanya invers

- Ambil sembarang nilai dari G,

- Ambil sembarang nilai dari G,

Maka ada invers untuk setiap anggota G

GRUP ABEL

Contoh 4:

Penyelesaian:

-1 x 1 = -1 dan 1 x (-1) = -1 sehingga -1 x 1 = 1 x (-1) = 1

Jadi, (G,x) merupakan grup komutatif atau grup abel.

Terima Kasih

Elements Page