garis singgung-lingkaran

MATERI

Garis singgung lingkaran

a. Garis singgung persekutuan di dalam

b. Garis singgung persekutuan di luar

GARIS SINGGUNG LINGKARAN

Garis singgung lingkaran adalah

garis yang memotong lingkaran

tepat di satu titik. Garis singgung

ini tegak lurus terhadap jari-jari

lingkaran yang melalui titik

singgung.

Banyaknya Garis singgung

yang di bentuk.• Jika 1 lingkaran

Maka

Banyaknya =

tak terhingga

Banyaknya Garis singgung

yang di bentuk.• Dua buah lingkaran yang saling berhimpit?

• Banyaknya garis singgung yang dibentuk

adalah 1 buah

Banyaknya Garis singgung

yang di bentuk.• Dua buah lingkaran yang saling terkait?

• Banyaknya garis singgung yang dibentuk

adalah 2 buah

Banyaknya Garis singgung

yang di bentuk.• Dua buah lingkaran yang saling

menempel?

• Banyaknya garis singgung yang dibentuk

adalah 3 buah

Banyaknya Garis singgung

yang di bentuk.• Dua buah lingkaran yang saling saling

lepas?

• Banyaknya garis singgung yang dibentuk

adalah 4 buah

Garis kuning disebut

juga garis singgung

persekutuan dalam.

Garis merah disebut

juga garis singgung

persekutuan luar.

BA

O•

OA2 = OB2 + AB2

AB2 = OA2 - OB2

OB2 = OA2 - AB2

Garis AB merupakan garis singgung lingkaran pada titik B, sehingga jari-jari OB tegak lurus terhadap garis singgung AB, maka panjang OA dapat dihitung dengan teorema Pythagoras.

BA

O•

AB2 = OA2 - OB2

AB2 = (10)2 - (6)2

AB2 = 100 - 36

AB2 = 64

AB =

AB = 8 cm

Garis OA memiliki panjang 10 cm, dan jari-jari lingkaran OB adalah 6 cm. Hitunglah garis singgung AB?

64

BA

O•

AB2 = OA2 - OB2

AB2 = (.....)2 - (.......)2

AB2 = .......... - ..........

AB2 = ........

AB =

AB = ....... cm

Garis OA memiliki panjang 13 cm, dan jari-jari lingkaran OB adalah 5 cm. Hitunglah garis singgung AB?

......

Garis Singgung Persekutuan dalam

AB = Garis singgung persekutuan dalam

MN = Garis yang menghubungkan dua pusat lingkaran

AB2 = MN2 - ( r1 + r2 )2

MN2 = AB2 + ( r1 + r2 )2

( r1 + r2 )2 = MN2 - AB2

M N

A

B

r1

r2

AB adalah garis singgung persekutuan dalam. MN adalah jarak antara dua titik pusat lingkaran = 25cm. r1 adalah jari-jari lingkaran pertama = 8cm dan r2 adalah jari-jari lingkaran kedua = 7 cm hitunglah panjang AB!

AB2 = MN2 - ( r1 + r2 )2

AB2 = (25)2 – (8 +7)2

AB2 = 625 – (15)2

AB2 = 625 - 225

M N

A

B

r1

r2

AB2 = 400AB =

AB = 20 cm

400

AB adalah garis singgung persekutuan dalam. MN adalah jarak antara dua titik pusat lingkaran = 15cm. r1 adalah jari-jari lingkaran pertama = 7cm dan r2 adalah jari-jari lingkaran kedua = 5 cm hitunglah panjang AB!

AB2 = MN2 - ( r1 + r2 )2

AB2 = (.......)2– (..... + .....)2

AB2 = ...... – ( ..... )2

AB2 = ...... - ......

M N

A

B

r1

r2

AB2 = .........AB =

AB = ....... cm

.....

Garis Singgung Persekutuan Luar

M N

A

B

AB = Garis singgung persekutuan luar

MN = Garis yang menghubungkan 2 titik pusat lingkaran

AB adalah garis singgung persekutuan luar.

AB2 = MN2 - ( r1 - r2 )2

MN2 = AB2 + ( r1 - r2 )2

( r1 - r2 )2 = MN2 -AB2

M N

A

Br1

r2

Jari-jari lingkaran pertama (r1) memiliki panjang 9 cm, jari-jari lingkaran kedua (r2) 4 cm. Jika jarak kedua titik pusat (MN) memiliki panjang 13cm, hitunglah garis singgung lingkaran luar AB!

AB2 = MN2 - ( r1 - r2 )2

AB2 = (13)2 - ( 9 - 4 )2

AB2 = 169 - 25

M N

A

Br1

r2

AB2 = 144AB =AB = 12 cm

144

Jari-jari lingkaran pertama (r1) memiliki panjang 8 cm, jari-jari lingkaran kedua (r2) 2 cm. Jika jarak kedua titik pusat (MN) memiliki panjang 10 cm, hitunglah garis singgung lingkaran luar AB!

AB2 = MN2 - ( r1 - r2 )2

AB2 = (......)2 - ( ...... - ..... )2

AB2 = ......... - .........

M N

A

Br1

r2

AB2 = .......AB =

AB = ....... cm

....

BA

O•

OA2 = ......2 + ........2

OA2 = (.....)2 + (.......)2

OA2 = .......... + ..........

OA2 = ........

OA =

OA = ....... cm

Garis AB memiliki panjang 20 cm, dan jari-jari lingkaran OB adalah 15 cm. Hitunglah garis singgung OA?

......Lihat

rumus

M N

A

B

Jika : AM = 6 cm , AB = 12 cm dan MN = 15 cm

Tentukan panjang BN.

( r1 + r2 )2 = ......2 - ......2

( .... + .....)2 = ......2 - ......2

( ..... + r2 )2 = ...... - ......

( ...... + r2 )2 = ......

( ...... + r2 ) = ......

6 + r2 = ......

r2 = ...... – 6

r2 = ......

Soal 3

M N

A

B

Jika : AM =13 cm , BN = 6 cm dan MN = 25 cm

Tentukan panjang garis singgung AB.

Pembahasan :

AB2 = MN2 -( r1 - r2 )2

= 252 - ( 13 - 6 )2

= 625 – 49 = 576

AB = √ 576 = 16 cm

M N

A

B

Soal 4

Pada gambar di samping, panjang PQ = 9 cm, QR = 15 cm.

Hitunglah panjang jari-jari OU.

P Q

R

T

U

S

Pembahasan :

PQ = 12 cm dan QR = 15 cm

PR2 = QR2 - PQ2

= 152 - 122

= 225 - 144

= 81

PR = 81 = 9 cm

Pembahasan :

PQ = 12 cm, QR = 15 cm dan PR = 9 cm

Rd = Luas ABC : ½ keliling

= ( ½ x PQ x PR ) : ½ ( PQ + PR + QS )

= ( ½ x 12 x 9 ) : ½ ( 12 + 9 + 15 )

= 54 : 18

= 3 cm.

Jadi, panjang jari-jarinya adalah 3 cm.

Cara cepat :

PQ = 12 cm dan QR = 15 cm

PR2 = QR2 - PQ2

= 152 - 122

= 225 - 144

= 81

PR = 81 = 9 cm

Rd = ½ ( PQ + PR – QR )

= ½ ( 12 + 9 – 15 )

= 3 cm.

Soal 5

Pada gambar di samping, panjang PQ =10 cm, panjang QR = PR = 13 cm. Hitunglah panjang jari-jari OP.

PQ

R

O •

Pembahasan :

PQ = 10 cm dan PR = QR = 13 cmRS2 = PR2 - PS2

= 132 - 52

= 169 - 25= 144

PR = 144 = 12 cm

R

PQ

O •

S

RL = ( abc ) : 4 L= ( 10 x 13 x 13 ) : ( 4 x ½ x 10 x 12 )= 1690 : 240 = 7,04 cm

Jadi, jari-jarinya adalah : 7,04 cm.

R

PQ

O •

S

Soal 6

Pada gambar di samping, panjang PQ =8 cm, PR = 15 cm.

Hitunglah panjang jari-jari lingkaran luar. P Q

R

O •

Pembahasan :

PQ = 8 cm dan PR = 15 cmQR2 = PQ2 + PR2

= 152 + 82

= 225 + 64= 289

QR = 289 = 17 cmP Q

R

O •

PQ = 8 cm, PR = 15 cm danQR = 17 cm

Rd = ½ QR

= ½ x 17

= 8,5 cm.

Jadi panjang jari-jari lingkaran adalah 8,5 cm.

P Q

R

O •

Soal 7

M N

A

B

Jika : AM = 7 cm , BN = 3 cm dan AB = 24 cm

Tentukan jarak kedua pusatnya (MN).

MN2 = AB2 + ( r1 + r2 )2

= 242 + ( 7 + 3 )2

= 576 + 100 = 676

MN = √ 676 = 26 cm

Jadi, jarak titik pusatnya = 26 cm.

Pembahasan :

M N

A

B

Soal 8

M N

A

B

Jika : AM =4 cm , BN = 2 cm dan MN = 10 cm

Tentukan panjang garis singgung AB.

Pembahasan :

AB2 = MN2 -( r1 - r2 )2

= 102 - ( 4 - 2 )2

= 100 – 4 = 96

AB = √ 96 = 9,79

Jadi, panjang AB = 9,79 cm.

M N

A

B

Soal 9

M N

A

B

Jika : AM = 7 cm , MN = 26 cm dan AB = 24 cm

Tentukan panjang jari-jari BN.

MN2 = AB2 + ( r1 + r2 )2

262 = 242 + ( 7 + r )2

676 = 576 + ( 7 + r )2

( 7 + r )2 = 676 – 576 = 100

( 7 + r ) = 100 = 10

7 + r = 10

r = 10 – 7

r = 3

Jadi, jari-jari BN adalah 3 cm.

Pembahasan :

Soal 10

M N

A

B

Jika : BN = 2 cm , AB = 12 cm dan MN = 13 cm

Tentukan panjang AM.

Pembahasan :

( r1 - r2 )2 = MN2 - AB2

( r1 - 2 )2 = 132 - 122

( r1 - 2 )2 = 169 - 144

= 25

( r1 - 2 ) = 25

r1 - 2 = 5

r1 = 5 + 2 = 7

Jadi, panjang jari-jari AM = 7 cm.

Catatan Khusus

Jika AB garis singgung persekutuan dalam.

maka : AB2 = MN2 - ( r1 + r2 )2

Jika AB garis singgung persekutuan luar.

maka : AB2 = MN2 - ( r1 - r2 )2