lingkaran - ddy.meximas.comddy.meximas.com/wp-content/uploads/2014/03/lingkaran1.pdf · lingkaran...

LINGKARAN

SMP KELAS VIII

Oleh, Deddy Suharja Januari 2013

oleh. deddy suharja@page 1 of 36

A. Pengertian Dan Unsur – Unsur Lingkaran

Lingkaran adalah tempat kedudukan ( locus ) titik – titik yang berjarak sama terhadap

suatu titik.

Gambar 1 menunjukkan sebuah lingkaran, sembarang

titik A, titik B, titik C, titik D, dan titik E berjarak sama

ke O.

Selanjutnya jarak tersebut disebut jari – jari,

dinotasikan r. Dan, titik O disebut titi pusat lingkaran.

Nama suatu lingkaran ditentukan oleh nama titik

pusat, gambar 1 menunjukkan lingkaran O sebab titik

pusatnya O.

Gambar 2 menunjukkan sebuah lingkaran dengan panjang

jari – jari r dan titik pusat O.

Suatu jari – jari jika diperpanjang hingga titik berikutnya

pada lingkaran maka garis tersebut akan membagi

lingkaran menjadi dua bagian yang sama, garis tersebut

disebut garis tengah lingkaran atau diameter lingkaran, dinotasikan d.

Perhatikan gambar 3.

Jari – jari AO diperpanjang hingga B sehingga diperoleh

garis AB. Garis AB disebut diamater lingkaran O.

AO = OB = r

AB = AO + OB = r + r = 2r

atau,

d = 2r

Dapat dikatakan bahwa panjang dimater suatu lingkaran sama dua kali panjang jari –

jarinya. Atau, panjang jari – jari suatu lingkaran sama dengan setengah dari panjang

diameternya.


d = 2r atau r =

d

jarak putar atau gerakan sepanjang tepi lingkaran dari suatu titik hingga titik itu sendiri

disebut keliling lingkaran, dinotasikan K.

Gambar 4a dan gambar 4b,

menunjukkan keliling suatu

lingkaran.

Gambar 4a, gerakannya

berlawanan arah jarum

jam, gambar 4b gerakannya

searah jarum jam.

Bagian atau potongan dari

suatu keliling lingkaran

disebut busur lingkaran.

Gambar 5a, pada lingkaran O

terdapat busur AB.

Gambar 5b, busur kecil AB.

Gambar 5c, busur besar AB.

Suatu garis lurus yang

menghubungkan dua titik

pada suatu busur, disebut tali

busur, perhatikan gambar 6a.

Dan, sepanjang –

panjangnya tali busur

adalah tali busur

setengah lingkaran

sehingga panjangnya

akan sama dngan

diameter lingkaran.


Perhatikan gambar 6b.

Daerah yang dibatasi busur dan tali busur disebut tembereng lingkaran atau tembereng,

perhatikan gambar 7.

Tembereng adalah bagian dari juring, sedangkan juring merupakan bagian dari luas

lingkaran.

Juring atau sektor lingkaran adalah suatu daerah yang dibatasi oleh dua jari – jari dan

sebuah tali busur.

Gambar 8a, lingkaran O dengan jari – jari r

Gambar 8b, tembereng AB

Gambar 8c, juring AOB

Gambar 8d, daerah lingkaran atau luas lingkaran.


B. Keliling dan luas lingkaran

Pahami kembali pengertian keliling dan diamter lingkaran.

Kita akan coba menghitung perbandingan panjang keliling dengan diameter beberapa

lingkaran yang berbeda ukuran.

Tabel berikut merupakan hasil pengukuran penulis yang dilakukan terhadap beberapa

benda yang berbentuk lingkaran, gambar 9.

gambar 9

Tabel hasil pengukuran

Nama Benda

Ukuran

Panjang

Keliling ( K )

Ukuran

Panjang

Diamter ( d )

Tutup Gelas

29,9 9,4 3,181

Kepingan CD

36,5 11,9 3,067

Piring 72,6 22,9 3,170 Jumlah 139 44,2 9,418 Rata - Rata

46,333 14,733 3,139

Perhatikan hasil akhir rata – rata perbandingan keliling dengan diameter yaitu 3,139, jika

dibulatkan dua tempat desimal menjadi 3,14.

Dari setiap pengukuran pada benda berbentuk lingkaran dengan ukuran yang berbeda,

diperoleh hasil akhir rata – rata perbandingan keliling dengan diameter cenderung akan

mendekati nilai 3,14 atau sama dengan 3,14.


Para ahli matematika menyatakan bahwa hasil perbandingan keliling suatu lingkaran

dengan diameternya akan cemderung menghasilkan nilai yang konstan yaitu mendekati

nilai 3,14. Oleh sebab itu nilai tersebut disebut phi dengan notasi π.

Jadi,

, atau

Dari ketentuan di atas, dapat diturunkan menjadi :

K = d , untuk menghitung keliling lingkaran jika diketahui diameter

K = 2πr , untuk menghitung keliling lingkaran jika diketahui jari jari

Selanjutnya, untuk nilai π dapat ditulis dalam dua bentuk, yaitu desimal 3,14 ( pembulatan

dua tempat desimal ) dan pecahan

.

Contoh,

Panjang diameter suatu lingkaran 14 cm, tentukan panjang keliling lingkaran jika π =

.

Pembahasan,

d = 14 cm

π =

maka

K = πd

=

. 14

= 22 . 2

= 44

Jadi panjang keliling lingkaran tersebut adalah 44 cm.

Contoh,

Berapa panjang jari – jari lingkaran jika kelilingnya 73 cm untuk π = 3,14.

Pembahasan,

K = 73 cm

π = 3,14

r =

d

K = πd => d =

=

= 23,25


Maka, r =

d =

(23,25) = 11,63

Jadi, panjang jari – jari lingkaran adalah 11,63 cm


TUGAS KELOMPOK

Pokok Bahasan : Lingkaran

Sub Pokok Bahasan : Keliling Lingkaran

Tujuan : Menentukan Nilai Perbandingan Keliling Dan Diameter Lingkaran.

Waktu : 2 X 40 Menit

Petunjuk:

1. Tentukan tiga buah benda yang berbeda yang berbentuk lingkaran.

2. Setiap benda ukur panjang keliling dan diameternya, kemudian hasilnya tulis dalam

tabel yang sudah disediakan.

Tabel:

Nama Benda Keliling ( K ) Diameter ( d )

Jumlah

Rata - Rata

3. Diskusikan hasilnya, dan berapa nilai hasil akhir dari rata – rata perbandingan keliling

dengan diameternya.

4. Bagaimana pendapat kalian tentang nilai hasil akhir dari rata – rata perbandingan

keliling dengan diameternya.


C. Luas Lingkaran

Terdapat beberapa pendekatan untuk menentukan luas lingkaran, diantaranya dengan

pendekatan luas persegi panjang, perhatikan gambar 10.

Suatu lingkaran dibagi menjadi 16 juring yang kongruen, gambar 10a. Kemudian juring –

juring tersebut disusun sedemikian rupa sehingga membentuk persegipanjang, gambar

10b. Khusus untuk juring nomor 16 dibagi lagi menjadi du bagian yang sama, sebut saja

juring 16 a dan juring 16b. Hal diperlukan agar persegipanjang yang terjadi lebih sempurna

bentuknya. Perlu dipahami bahwa semakin banyak juring yang dibuat maka akan semakin

sempurna persegipanjang yang terjadi.

Panjang persegipanjang merupakan panjang busur setengah lingkaran sedangkan lebarna

adalah panjang jari – jari lingkaran. Persegipanjang terbuat dari juring – juring lingkaran

maka luas persegipanjang sama dengan luas lingkaran.

Luas persegipanjang = p x l

=

x r

=

x r

= πr2

Jadi, luas lingkaran dapat ditentukan dengan rumus L = πr2


Contoh,

Tentukan luas lingkaran yang memiliki panjang jari – jari 10 cm, gunakan π = 3,14.

Pembahasan,

R = 10 cm

Π = 3,14

Maka,

L = πr2

= 3,14(102)

= 3,14(100)

= 314

Jadi, luas lingkaran adalah 314 cm2


TUGAS KELOMPOK

Pokok Bahasan : Lingkaran Kelas : VIII SMP Waktu : 2 x 40 menit Tujuan : menemukan rumus luas lingkaran

Alat – alat ( Praktik ) :

1. Kertas karton ( Berwarna )

2. Jangka dan penggaris

3. Cutter atau gunting

4. Lem

Petunjuk,

1. Siapkan sebuah lingkaran dengan jari – jari 10 cm yang terbuat dari karton.

Gambar,

2. Bagilah lingkaran menjadi 16 juring yang kongruen. Dan beri nomor pada setiap

juring.

Gambar,


3. Gunakan gunting atau cutter untuk memisahkan juring – juring lingkaran.

Gambar,

4. Susunlah juring – juring tersebut sedemikian hinga membentuk sebuah jajaran

genjang. Akan lebih menarik jika diberi warna yang berbeda untuk juring nomor 1

sampai dengan nomor 8.

Gambar,

5. Tentukan luas jajarangenjang. Ingat bahwa lingkaran tersebut terbagi menjadi 16

juring artinya 8 juring diperoleh dari juring setengah lingkaran.

6. Tuliskan langkah – langkah pembentukan rumus luas lingkaran.


D. Sudut pusat dan sudut keliling

Sudut pusat lingkaran adalah suatu sudut dimana titik sudutnya terletak pada titik pusat

lingkaran, sedangkan sudut keliling adalah suatu sudut dimana titik sudutnya terletak pada

keliling lingkaran. Gambar 11.

Sudut AOB adalah sudut pusat.

Sudut OBC adalah sudut keliling.

Perlu dipahami juga, sudut AOB yang

menghadap busur ACB merupakan sudut

pusat, dan disebut sudut refleksi.

Sudut pusat sama sengan dua kali sudut keliling jika keduanya menghadap busur yang

sama, gambar 12.

Sudut keliling ABC dan sudut pusat AOC menghadap

busur AC.


Bukti, perhatikan gambar 13.

BD suatu garis bantu berupa diameter BD membagi dua sudut ABC menjadi sudut m dan

sudut n. Dan, membagi dua sudut AOC menjadi sudut x dan sudut y.

ABC = m + n

AOC = x + y

Segitiga AOB sama kaki, AOB = 180 – 2m

Sudut AOB dengan sudut AOD saling berpelurus,

AOD = 180 - AOB

= 180 – ( 180 – 2m )

= 2m

Segitiga COB sama kaki, COB = 180- 2n

Sudut COD dengan sudut AOB saling berpelurus,

COD = 180 - COB

= 180 – (180 – 2n)

= 2n.

AOC = AOD + COD

= 2m + 2n

= 2 (m + n)

= 2. ABC

x + y = 2. ABC

AOC = 2. ABC ---- terbukti, sudut pusat sama dengan dua kali sudut keliling jika

keduanya menghadap busur yang sama.


Contoh,

Perhatikan gambar berikut, tentukan besar sudut AOB,

Pembahasan,

Sudut AOB merupakan sudut keliling, dan sudut ACB

merupakan sudut keliling menghadap busur AB.

AOB = 2. ACB

= 2 (40)

= 80

Jadi, besar sudut AOB = 800


E. Sudut Dalam Dan Sudut Luar Lingkaran

Sudut dalam lingkaran adalah sudut yang terjadi pada perpotong tali busur. Sedangkan

sudut luar lingkaran adalah sudut yang terjadi pada perpotongan perpanjangan tali busur

di luar lingkaran, gambar 14.

Titik G merupakan titik

perpotongan tali busur AE

dengan tali busur FB, di titik G

terjadi sudut –sudut dalam

lingkaran.

Titik H merupakan titik

perpotongan perpanjangan

tali busur FB dan

perpanjangan tali busur DC, di titik H terjadi sudut – sudut luar lingkaran.

Sudut dalam segitiga sama dengan setengah dari jumlah busur busur yang dihadapinya,

gambar 15.

Sudut AED adalah sudut dalam lingkaran menghadap

busur besar AD, sudut BEC adalah sudut dalam

lingkaran menghadap busur BC.

Terhadap busur besar AD terdapat sudut pusat AOD,

dan untuk busur BC terdapat sudut pusat BOC.

Sudut AED sama dengan sudut BEC sebab saling

bertolak belakang.

BEC = 180 – AEB

Pada segitiga ABE,

AEB = 180 – ( BAE + ABE )

BEC = 180 – [ 180 – ( BAE + ABE ) ]

= 180 – 180 + ( BAE + ABE )

= BAE + ABE

BAE = BAC = sudut keliling yang menghadap busur BC

=

setengah sudut pusat BOC

= setengah busur BC


ABE = ABD

= sudut keliling yang menghadap busur besar AD

= setengah sudut pusat AOD

= setengan busur AD

BEC =

busur BC +

busur AD

=

( busur BC + busur AD )

Jadi,

BEC =

( busur BC + busur AD )

Berdasarkan pemahaman sudut dalam lingkaran di atas maka besar sudut luar lingkaran

sama dengan setengah dari selisih busur – busur yang dihadapinya, gambar16.

Sudut BCD adalah sudut luar lingkaran,

Pada segitiga ACD,

BCD = 180- ( ADC + CAD )

ADC = 180 – ADE

= 180 – (

sudut pusat AOE )

= 180 – (

busur AE )

CAD =

sudut pusat BOD

=

busur BD


Maka,

BCD = 180 – ((180 –

busur AE) +

busur BD )

= 180 – 180 +

busur AE –

busur BD

=

busur AE –

busur BD

=

( busur AE – busur BD )

Jadi,

BCD =

( busur AE – busur BD )


F. Hubungan Panjang Busur, Sudut Pusat, Dan Luas Juring

Pernahkah kalian pikirkan bahwa pada suatu lingkaran, jika busur diperpanjang apakah

juring juga turut diperluas atau sudut pusatnya menjadi lebih besar ?


Busur AB diperpanjang sampai C, hingga

dipreloh busur AC dan terjadi juring AOC.

Perhatikan juring AOC semakin luas, dan sudut

AOC semakin besar.

Sebaliknya, busur AB diperpendek sampai D

hingga diperoleh busur AD dan terjadi juring

AOD. Perhatikan juring AOD semakin sempit,

dan sudut AOC semakin kecil.

Jadi pada suatu juring jika salah satu unsurnya misalnya panjang busur berubah maka luas

juring dan sudut pusatnya ikut mengalami perubahan.

Gambar 18, menunjukkan suatu lingkaran yang dibagi tiga juring sama besar. Dengan

beranggapan bahwa sudut satu putaran penuh (spp) sama dengan 3600 maka setiap juring

memiliki sudut pusat 1200. Selidiki perbandingan luas juring, sudut pusat, dan panjang

busur.

Perhatikan juring AOB.

Luas juring AOB sama dengan sepertiga dari luas

lingkaran, panjang busur AB sama dngan sepertiga dari

keliling lingkaran, dan sudut AOB sama dengan

sepertiga dari sudut satu putaran penuh.


Jika lingkaran tersebut jari – jarinya r, kelilingnya K, dan luasnya L.

Maka ,

Luas juring AOB =

L , atau

=

Panjang usur AB =

K , atau

=

Sudut AOB =

(360) , atau

=

Jadi,

=

=

Luas juring, panjang busur, dan sudut pusat merupakan perbandingan senilai.

Turunan perbandingan di atas,

=

Luas juring AOB =

x L ---- untuk menentukan luas juring

=

Panjang busur AB =

x K ---- untuk menentukan panjang busur


G. Garis Singgung Lingkaran

Garis singgung lingkaran adalah garis yang melewati lingkaran di satu titik, gambar 19.

Garis k melewati lingkaran O di titik A.

Garis k merupakan garis singgung lingkaran O, titik A disebut titik singgung.

Sifat – sifat garis singgung lingkaran :

1. Melewati lingkaran di satu titik

2. Selalu tegak lurus terhadap jari – jari yang melewati titik singgung. OA k

Panjang garis singgung lingkaran terhadap titi di luar lingkaran, gambar 20.

Garis AB adalah garis

singgung lingkaran O

terhadap titik di luar

lingkaran.

AO merupakan jari – jari ( r )

dan BO merupakan jarak titik

pusat lingkaran ke B, disebut

garis pusat ( p ).

Segitiga ABO siku – siku di A,

maka :

AB =

AB =

Jadi, AB =


Melukis garis singgung lingkaran terhadap titik di luar lingkaran, gambar 21.

Ttik A di luar lingkaran O, akan

dibuat garis singgung lingkaran

O terhadap titik A.

Perhatikan langkah – langkah berikut :

1. Melukis garis pusat AO

2. Menentukan titik tengah AO. Dapat dilakukan dengan cara melukis busur di titik A dan titik O

sedemikian hingga busur – busurnya saling berpotongan, kemudian kedua titik potong busur

dihubungkan sehingga memotong AO. Sebut saja titik T, gambar berikut.


3. Melukis lingkaran baru dengan pusat T dan jari – jari TA atau TO sehingga akan memotong

lingkaran O di dua titik ( misalnya titik B dan titik C ), gambar berikut.

4. Melukis garis AB dan garis AC, gambar berikut.

AB dan AC merupakan

garis singgung lingkaran O

terhadap titik A di luar

lingkaran.


H. Garis Singgung Persekutuan Lingkaran

Garis singgung persekutuan lingkaran yang dimaksud pada pembahasan ini adalah garis singgung

persekutuan terhadap dua lingkaran.

Terdapat dua macam garis singgung persekutuan, yaitu garis singgung persekutuan dalam dan

garis singgung persekutuan luar, gambar 22.

Garis k merupakan garis singgung persekutuan dalam lingkaran A dan lingkaran B.

Sedangkan garis l merupakan garis singgung persekutuan luar lingkaran A dan lingkaran B.

Panjang garis singgung persekutuan dalam ( gspd ), gambar 23.

CD adalah gspd lingkaran A dan

lingkaran B.

Jari – jari lingkaran A adalah R

dan jari – jari lingkaran B adalah

r. Dan AB adalah panjang garis

pusat atau p.

CD digeser sepanjang AE dengan

jarak BD hingga diperoleh garis

BE, sehingga BE sama dengan CD. Perhatikan segitiga ABE siku – siku di E,

BE =

BE =

BE =

BE = CD = gspd

Jadi, gspd =


Panjang garis singgung persekutuan luar ( gspl ), gambar 24.

KL adalah gspl lingkaran A

dan lingkaran B.

KL digeser sepanjang KA

dengan jarak KM atau r,

sehingga KL sama dan sejajar

dengan BM.

Segitiga ABM siku – siku di M, maka,

BM =

BM =

BM =

BM = KL = gspl

Jadi, gspl =


I. Melukis Garis Singgung Persekutuan

1. Melukis garis singgung persekutuan dalam lingkaran

Perhatikan gambar 23,

Lingkaran A dan lingkaran B

saling lepas. Misalkan jari –

jari lingkaran A adalah R dan

jari – jari lingkarab B adalah r.

Langkah – langkah melukis garis singgung persekutuan dalam lingkaran A dan

lingkaran B.

a. Melukis garis pusat AB

b. Melukis lingkaran baru dengan jari – jari ( R + r) dan pusat A.

Lingkaran baru berupa garis putus – putus.


c. Melukis garis singgung lingkaran baru terhadap titik B.

Garis BC merupakan garis singgung lingkaran baru terhadap titik B.

d. Melukis jari – jari AC

Jari – jari AC memotong lingkaran A di D.


e. Menggeser BC sejauh CD

Dipeoleh DE, melewati lingkaran A di D dan melewati lingkaran B di E.

DE merupakan garis singgung persekutuan dalam lingkaran A dan lingkaran B.

2. Melukis garis singgung persekutuan luar lingkaran


Lingkaran P dan lingkaran

Q saling lepas. Misalkan

jari – jari lingkaran P

adalah R, dan jari – jari

lingkaran Q adalah r.


Langkah – langkah melukis garis singgung persekutuan luar.

a. Melukis garis pusat PQ

b. Melukis lingkaran baru dengan jari – jari (R + r) dan pusat P.

Lingkaran baru berupa garis putus – putus.

c. Melukis garis singgung lingkaran baru terhadap titik Q.

MQ merupakan garis singgung lingkaran baru terhadap titik Q


d. Melukis dan memperpanjang jari – jari PM hingga memotong lingkaran P.

PM diperpanjang hingga N. PN merupakan jari – jari lingkaran P.

e. Menggeser MQ sejauh MN.

Dipeoleh NU, melewati lingkaran P di N dan melewati lingkaran Q di U.

NU merupakan garis singgung persekutuan luar lingkaran P dan lingkaran Q.


J. Lingkaran Dalam dan lingkaran Luar segitiga

1. Lingkaran dalam segitiga

Lingkaran dalam segitiga adalah suatu lingkaran yang menyingung sisi – sisi segitiga.

Titik pusat lingkaran merupakan titik perpotongan ketiga garis bagi segitiga,

perhatikan gambar 25.

Lingkaran O merupakan lingkaran dalam segitiga ABC, lingkaran menyinggung AB, BC,

dan AC.

Menentukan panjang jari – jari lingkaran dalam segitiga, gambar 26.


r = DO = EO = FO

L.ΔABC = L.ΔABO + L.ΔBOC + L.ΔAOC

=

.AB.DO. +

.BC.EO +

.AC.FO

=

.AB.r +

.BC.r +

.AC.r

=

.r( AB + BC + AC )

=

.r( Keliling segitiga )

=

.r.KΔABC

2. L.ΔABC = r.K.ΔABC

= r

atau,

r =

Jari – jari lingkaran dalam segitiga sama dengan hasil perbandingan dua kali luas

segitiga dengan keliling segitiga.

2. Lingkaran luar segitiga.

Lingkaran luar segitiga adalah suatu lingkaran yang melewati titik sudut – titik sudut

segitiga. Titik pusat lingkaran merupakan titik perpotongan sumbu – sumbu segitiga,

gambar 27.

Lingkaran O merupakan

lingkaran luar segitiga ABC.


Menentukan panjang jari – jari lingkaran luar segitiga, gambar 28.

L.ΔABC =

.AB.CE

2. L.ΔABC = AB.CE

CE =

Perhatikan segitiga ACE dan segitiga BCD. CAE = BDC, dan AEC = DBC

Maka segitiga Ace dan segitiga BCD sebangun,

=

=

Pada

=

CD.CE = BC.AC

2r.CE = BC.AC

r.2.CE = BC.AC

r.2.(

) = BC.AC

r.( 4.L.Δ.ABC) = AB.BC.AC

r =

Panjang jari – jari lingkaran luar segitiga sama dengan hasil perbandingan perkalian

sisi – sisi segitiga dengan empat kali luasnya.


K. Melukis Lingkaran Dalam Dan Lingkaran Luar Segitiga

1. Melukis lingkaran dalam segitiga

Gambar 29.

Langkah – langkah melukis .

a. Melukis garis bagi setiap sudut segitiga

Titik O merupakan titik perpotongan ketiga garis bagi segitiga.


b. Melukis lingkaran dengan pusat O sedemikian hingga menyinggung sisi – sisi

segitiga.

Lingkaran O adalah lingkaran dalam segitiga ABC.

2. Melukis lingkaran luar segitiga

Gambar 30.


Langkah – langkah melukis.

a. Melukis sumbu pada setiap sisi segitiga.

Titik O merupakan titik potong sumbu – sumbu segitiga.

b. Melukis lingkaran dengan pusat O dan melewati setiap titik sudut segitiga.

Lingkaran O merupakan lingkaran luar segitiga ABC.

lingkaran - ddy.meximas.comddy.meximas.com/wp-content/uploads/2014/03/lingkaran1.pdf · lingkaran...

Documents