fungsi songsangan

FUNGSI SONGSANGA

N

FUNGSI SATU DENGAN SATU Pertimbangkan tiga set pasangan

tertib di bawah.

F = { ( 0 , 3 ) , ( 0 , 5 ) , ( 4 , 7 ) }

G = { ( 0 , 3 ) , ( 2 , 3 ) , ( 4 , 7 ) }

H = { ( 0 , 3 ) , ( 2 , 5 ) , ( 4 , 7 ) }

Set F bukan suatu fungsi .Mengapa?Pasangan tertib ( 0 , 3 ) dan ( 0 , 5 )

mempunyai unsur pertama yang sama dan unsur kedua yang berbeza.

Set G ialah suatu fungsi.Pasangan tertib ( 0 , 3 ) dan ( 2, 3 )

mempunyai unsur kedua yang sama tetapi unsur pertama yang berbeza.

Tetapi set G bukan fungsi satu dengan satu.

Set H ialah fungsi satu dengan satu. Boleh kamu terangkan kenapa?

 Suatu fungsi dikatakan satu dengan satu jika set pasangan tertib mempunyai unsur pertama dan kedua yang berbeza..

PERTIMBANGKAN GAMBARAJAH DI BAWAH.

Set F Set G Set HDomain Julat Domain Julat Domain Julat 0 3 0 3 0 3 5 2 2 54 7 4 7 4 7

F bukan fungsi G ialah fungsi tetapi H ialah bukan fungsi 1-1 fungsi 1-1

Pertimbangkan set H di atas. Dengan menyongsangkan komponen yang sepadan, kita dapati

{ ( 3 , 0 ) , ( 5 , 2 ) , ( 7 , 4 ) }Set baru yang terbentuk merupakan

suatu fungsi. Ia juga merupakan fungsi satu dengan satu. Fungsi baru yg terbentuk dipanggil fungsi songsangan H dan di tandakan dengan H-1, di baca sebagai “ songsangan H ".

FUNGSI SONGSANGAN - DEFINISI Jika f ialah fungsi satu dengan

satu, maka songsangan bagi f, di tandakan dengan f -1, ialah fungsi yang terbentuk dengan menyongsangkan semua pasangan tertib dalam f.

Oleh itu,  

f -1 = { ( y , x ) | ( x , y ) dalam f }

Jika f bukan fungsi satu dengan satu, maka f tidak mempunyai songsangan dan f -1 tidak wujud.

 Jika f -1 wujud, maka

( a ) f -1 ialah fungsi 1-1( b ) domain bagi f -1 = julat bagi f( c ) julat bagi f -1 = domain bagi f

TEOREM Fungsi f mempunyai songsangan f −1 jika dan hanya jika f ialah fungsi (1-1)

Hanya fungsi 1-1 sahaja yang mempunyai songsangan,Fungsi B-1 boleh mempunyai songsangan dengan menghadkan domain bagi fungsi tersebut supaya ia menjadi fungsi 1-1.

Contoh fungsi f(x) = x2 , x , jika domain dihadkan kepada x 0

MENCARI RENJ (JULAT)SUATU FUNGSIKita boleh menggunakan fungsi

songsangan bagi f untuk mencari renj bagi fungsi tersebut.

Perhatikan bahawa renj suatu fungsi f merupakan domain bagi songsangannya.

x

f -1 ( y )y

f ( x )

Domain bagi f Julat bagi f

Julat bagi f -1 Domain bagi f -1

f -1

f

HUBUNGAN ANTARA F DAN F -1

 Jika f-1 wujud, maka

( a ) x = f -1 ( y ) jhj y = f ( x ) 

( b ) f -1 [ f ( x ) ] = x untuk semua x dalam domain f.

CONTOH 1Carikan f -1 bagi f ( x ) = 2x -1.

Jawapanf -1 ( x ) =

21x

CONTOH 2Di beri fungsi f(x) ditakrifkan sebagai f(x) = 5x + 4 , x

Carikan f -1 dan tentusahkan bahawa f f -1(x) = x

CONTOH 3Carikan f -1 bagi f ( x ) =

Jawapan

f -1 ( x ) = x² + 1 .

1x

CONTOH 4Carikan f -1 bagi f ( x ) =

Jawapan

xx

35

153

xx

CONTOH 5Dua fungsi f dan g ditakrifkan

sebagai f(x) = 7x + 1, g(x) =

Carikan songsangan bagi f dan g dan tentusahkan (fg)-1 = g-1f-1

13

x

xx

GRAF BAGI FUNGSI SONGSANGANPertimbangkan g(x) = x + 3 dan

songsangan g -1(x) = x – 3. Plot kedua-dua graf ini pada paksi yang sama.

Graf g -1(x) adalah pantulan bagi graf g(x) pada garis y = x.

DUA TEKNIK YANG BERGUNA UNTUK MELAKAR GRAF SONGSANGAN.1. Pantulkan graf fungsi f pada garis y = x.2(i) Pantulan pada paksi y diikuti

oleh putaran 90 darjah ikut arah jam adalah setara dengan pantulan pada garis y = x.

2(ii) Pantulan pada paksi x diikuti oleh putaran 90 darjah lawan arah jam adalah setara dengan pantulan pada garis y =x.

CONTOH 6Fungsi g mempunyai domain x : x

x -2 dan diberi sebagai g : x (x + 2 )2 + 1 . Lakarkan

graf bagi g, Carikan g -1 dan seterusnya lakarkan graf g -1

CONTOH 7Fungsi f ditakrifkan sebagai f (x ) = 3x – 6 untuk semua nilai

x. Carikan songsangan bagi f. Lakarkan graf f dan f -1. pada paksi yang sama dan seterusnya carikan koordinat bagi titik persilangan antara graf f dan f -1.

CONTOH 8Suatu fungsi f ditakrifkan sebagai

Carikan f-1 , dan nyatakan domainnya.

Lakar graf bagi f dan f-1.

1,1: xxxxf