fungsi komposisi

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERSEDY EKO SANTOSO, S.Pd.

STANDAR KOMPETENSI DAN KOMPETENSI DASARSTANDAR KOMPETENSIMenentukan komposisi dua fungsi dan invers

suatu fungsiKOMPETENSI DASARMenentukan komposisi fungsi dari dua fungsiMenentukan invers suatu fungsi

INDIKATORMenjelaskan produk CartesiusMenentukan hasil produk CartesiusMenjelaskan relasiMenyajikan relasi dengan himpunan

pasangan berurutanMenyajikan relasi dengan rumusMenyajikan relasi dengan diagram panahMenyajikan relasi dengan diagram Cartesius

Produk CartesiusJika A dan B adalah dua himpunan tak kosong, maka produk Cartesius himpunan A dan B adalah himpunan semua pasangan terurut (x, y) dengan x A dan y B. Ditulis dengan notasi:

A B = {(x, y) | x A dan y B}Contoh:Diberikan himpunan A = {a, b, c} dan B = {1, 2}. Tentukan tiap produk Cartesius berikut.A x BB x AA x A

Produk CartesiusJawab:A B = {(x, y) | x A dan y B} = {(a, 1), (b,

1), (c, 1), (a, 2), (b, 2), (c, 2)};

B A = {(x, y) | x B dan y A} = {(1, a), (2, a), (1, b), (2, b), (1, c), (2, c)};

A A = {(x, y) | x A dan y A} = {(a, a), (b, a), (c, a), (a, b), (b, b), (c, b), (a, c), (b, c), (c, c)}.

Produk CartesiusS O A L1. Diberikan himpunan A = {p, q, r} dan B = {0,

1, 2}. Tentukan tiap produk Cartesius berikut.a. A x Bb. B x Ac. B x B

2. Diberikan himpunan P = {1, 3, 5, 7}, Q = {x, y, z}, dan R = {2, b, 4, d}. Tentukan tiap produk Cartesius berikut.a. P x Qb. R x Qc. R x P

Suatu relasi atau hubungan dari himpunan A ke himpunan B adalah sembarang himpunan bagian dari produk Cartesius A B.

Jika R adalah suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B dan pasangan terurut (x, y) adalah anggota R, maka dikatakan x berelasi dengan y, ditulis x R y.

Jika pasangan (x, y) bukan anggota R, maka dikatakan x tidak berelasi dengan y, ditulis x y.

Relasi

R

Contoh Soal:Perhatikan produk Cartesius A B berikut.A B = {(a, 1), (b, 1), (c, 1), (a, 2), (b, 2), (c, 2)}Misalkan R adalah himpunan bagian dari produk Cartesius A B seperti berikut.

R = {(a, 1), (b, 1), (c, 2)}maka a R 1, b R 1, dan c R 2, tetapi a 2, b 2, dan c 1

Relasi

R RR

Suatu relasi dapat disajikan dalam himpunan pasangan berurutan, rumus, diagram panah, atau diagram Cartesius.

Contoh:Misalkan A = {2, 3, 4, 6, 8}, dan B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. R menyatakan relasi a dua kali b. Sajikan relasi tersebut dalam:a. himpunan pasangan berurutanb. rumusc. diagram panahd. diagram Cartesius

Relasi

Jawab:a. R = {(2, 1), (4, 2), (6, 3), (8, 4)}b. f(x) = ½ x atau y = ½ x dengan x A = {2,

4, 6, 8}c. diagram panah untuk R adalah:

Relasi

2

3

4

6

8

0

1

2

3

4

5

A B

Jawab:d. diagram Cartesius:

Relasi

2 4 6 8

12345

0 X

Y

S O A L:1. Diketahui himpunan bilangan K = {3, 6, 9, 12} dan L

= {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Jika relasi himpunan K ke himpunan L adalah “tiga kali dari”, buatlah diagram panahnya.

2. Diketahui P = {1, 2, 3, 4} dan Q = {1, 3, 4, 6, 9, 11, 12}. Jika relasi himpunan P ke himpunan Q adalah "sepertiga dari", buatlah himpunan pasangan berurutannya.

3. Diketahui dua himpunan bilangan M = {6, 7, 8, 9, 10} dan N = {8, 9, 10, 11, 12, 13}.a. Gambarlah diagram panah yang memenuhi relasi

“dua kurangnya dari” dari himpunan M ke himpunan N.

b. Nyatakan relasi tersebut rumus.c. Nyatakan relasi tersebut dengan diagram Cartesius.

Relasi

Indikator

Menjelaskan fungsi atau pemetaanMenentukan daerah asal fungsiMenentukan daerah kawan fungsiMenentukan daerah hasil fungsiMenyebutkan macam-macam fungsi

Fungsi atau Pemetaan

Definisi:Diberikan dua himpunan tak kosong A dan B. Sebuah fungsi atau pemetaan f dari A ke B adalah pengawanan setiap unsur di A ke tepat satu unsur di B.Secara praktis, suatu pengawanan himpunan A ke himpunan B disebut fungsi jika memenuhi syarat fungsi berikut:a. setiap anggota A mempunyai kawan di Bb. kawan setiap anggota A di himpunan B

adalah tunggal (unik)

Fungsi atau Pemetaan

Notasi Fungsi :Fungsi f yang mengawankan anggota himpunan A

dengan anggota himpunan B dapat digambarkan sebagai berikut.

f: A B x y = f(x) dengan x A dan y BA disebut daerah asal (domain) fungsi f.B disebut daerah kawan (kodomain) fungsi f.C adalah himpunan semua anggota B yang mempunyai kawan di A disebut daerah hasil (range)

Fungsi atau Pemetaan

Contoh:Perhatikan diagram panah relasi “ukuran sepatunya”.

Daerah asal adalah A = {Kia, Tia, Nia, Lia, Mia}Daerah kawan adalah B = {36, 37, 38, 39, 40, 41}Daerah hasil adalah R = {37, 38, 39, 40}

Fungsi atau Pemetaan

S O A L:Dari relasi-relasi pada himpunan A = {1, 2, 3, 4} dinyatakan dengan diagram panah berikut. Manakah yang merupakan fungsi? Kemudian tentukan daerah asal, daerah kawan, dan daerah hasil!

.

Macam-macam Fungsi

Fungsi Konstan Fungsi Identitas Fungsi Linear Fungsi Kuadrat Fungsi Mutlak atau Modulus Fungsi Tangga atau Fungsi Nilai Bulat

Terbesar Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil

Fungsi Konstan

Suatu fungsi f : A → B ditentukan dengan rumus f(x) disebut fungsi konstan apabila untuk setiap anggota domain fungsi selalu berlaku f(x) = C, di mana C bilangan konstan.

Contoh:Diketahui f : R → R dengan rumus f(x) = 3 dengan daerah domain: {x | –3 ≤ x < 2}. Tentukan gambar grafiknya.

Fungsi Konstan

Jawab:

Grafiknya:

x –3 –2 –1 0 1f(x) 3 3 3 3 3

Macam-macam Fungsi

Fungsi Identitas

Fungsi f disebut fungsi identitas, jika untuk setiap x pada daerah asal berlaku f(x) = x. Fungsi ini sering disimbolkan dengan I.

Contoh:Untuk fungsi identitas I(x) = x, untuk setiap x R.a. Carilah I(–1), I(0), I(7), dan I(a).b. Carilah daerah hasilnya.c. Gambarlah grafiknya.

Fungsi Identitas

Jawab:

a. I(–1) = –1, I(0) = 0, I(7) = 7, dan I(a) = a.

b. Daerah hasilnya Rf = {–1, 0, 7, a}.

c. Grafiknya

Macam-macam Fungsi

SIFAT-SIFAT FUNGSIINDIKATORMenjelaskan sifat-sifat fungsiMenggunakan operasi aljabar pada fungsi

◦ Menghitung nilai operasi penjumlahan pada dua fungsi atau lebih

◦ Menghitung nilai operasi pengurangan pada dua fungsi atau lebih

◦ Menghitung nilai operasi perkalian pada dua fungsi atau lebih

◦ Menghitung nilai operasi pembagian pada dua fungsi atau lebih

◦ Menghitung nilai operasi perpangkatan pada fungsi

Sifat-Sifat Fungsi Fungsi Injektif (satu-satu)

Jika fungsi f : A → B, setiap b ∈ B hanya mempunyai satu kawan saja di A, maka fungsi itu disebut fungsi satu-satu atau injektif.

Fungsi Surjektif (onto)Pada fungsi f : A → B, setiap b ∈ B mempunyai kawan di A, maka f disebut fungsi surjektif atau onto.

Fungsi Bijektif (korespondensi satu-satu)Suatu fungsi yang bersifat injektif sekaligus surjektif disebut fungsi bijektif atau korespondensi satu-satu.

Operasi Aljabar pada Fungsi

Penjumlahan f dan g berlaku(f + g)(x) = f(x) + g(x)Contoh:Diketahui f(x) = x + 2 dan g(x) = x2 – 4. Tentukan (f + g)(x).Jawab:(f + g)(x) = f(x) + g(x)

= x + 2 + x2 – 4= x2 + x – 2

Operasi Aljabar pada Fungsi

Pengurangan f dan g berlaku(f – g)(x) = f(x) – g(x)Contoh:Diketahui f(x) = x2 – 3x dan g(x) = 2x + 1. Tentukan (f – g)(x).Jawab:(f – g)(x) = f(x) – g(x)= x2 – 3x – (2x + 1)= x2 – 3x – 2x – 1= x2 – 5x – 1

Operasi Aljabar pada Fungsi

Perkalian f dan g berlaku(f ⋅ g)(x) = f(x) ⋅ (x)Contoh:Diketahui f(x) = x – 5 dan g(x) = x2 + x. Tentukan (f × g)(x).Jawab:(f × g)(x) = f(x) ⋅ g(x)

= (x – 5)(x2 + x)= x3 + x2 – 5x2 – 5x= x3 – 4x2 – 5x

Operasi Aljabar pada Fungsi

Pembagian f dan g berlaku

Contoh:Diketahui f(x) = x2 – 4 dan g(x) = x + 2. Tentukan .Jawab:(f × g)(x) = f(x) ⋅ g(x)= (x – 5)(x2 + x)= x3 + x2 – 5x2 – 5x= x3 – 4x2 – 5x

( )( )

( )

f f xx

x g x

( )( )

( )

f f xx

x g x