++Operasi Aritmetika Fungsi++

A. Operasi Aljabar pada Fungsi

1. Penjumlahan fungsi : (f+g)(x) = f(x) + g(x)

2. Pengurangan fungsi : (f-g)(x) = f(x) − g(x)

3. Perkalian fungsi : (f·g)(x) = f(x) · g(x)

4. Pembagian fungsi : (f/g)(x) = f(x) / g(x), g(x) 0

B. Sifat-Sifat Operasi Aljabar pada Fungsi

1) Sifat Komutatif pada Penjumlahan

(p + q)(x) = (q + p)(x)

2) Sifat Asosiatif pada Penjumlahan

((p + q) + r)(x) = (p + (q + r))(x)

3) Sifat Komutatif pada Perkalian

(p q)(x) = (q p)(x)

4) Sifat Asosiatif pada Perkalian

((p q) r)(x) = (p (q r))(x)

C. Daerah Asal (Domain) Fungsi Hasil Operasi Aljabar Dua Fungsi atau Lebih

1. Daerah asal fungsi (f + g)(x) : Df + g = Df ∩ Dg

2. Daerah asal fungsi (f – g)(x) : Df -g = Df ∩ Dg

3. Daerah asal fungsi (f . g)(x) : Df.g = Df ∩ Dg

4. Daerah asal fungsi (f/g) (x) : Df/g = Df ∩ Dg dengan g(x) 0

++Fungsi Komposisi++

A. Pengertian

Jika f dan g fungsi dan Rf ∩ Dg ≠ ∅ maka terdapat suatu fungsi h dari

himpunan bagian Df ke himpunan bagian Rg yang disebut fungsi komposisi f dan g

(ditulis g ∙ f) yang ditentukan dengan h(x) = (g ∙ f)(x) = g(f(x)).

B. Contoh Fungsi Komposisi

Diketahui fungsi f(x) = x + 2 dengan daerah asal Df = {1, 2, 3} dan daerah kawan Kf

= {3,4,5}. Diketahui pula fungsi g(x) = 2x dengan daerah asal Dg = {1, 3, 4, 8} dan

daerah kawan Kg = {2, 4, 6, 8, 12, 16}. Fungsi f(x) dan g(x) disajikan dalam bentuk

diagram panah berikut:

Perhatikan Rf ∩ Dg = {3, 4, 5} Ո {1, 3, 4, 8} = {3, 4} ≠ ∅. Berdasrkan definisi

komposisi fungsi, terdapat fungsi (g ∙ f)(x) = g(f(x)) yang dapat digambarkan

dalam diagram panah berikut:

Dari sini bisa kita dapatkan bahwa:

o Komposisi fungsi (g ∙ f)(x) = g(f(x)) dinyatakan dalam himpunan pasangan

berurutan {(1, 6), (2, 8)}

o Daerah asal komposisi fungsi g ∙ f adalah Dg o f = {1, 2}

o Daerah hasil komposisi fungsi g ∙ f adalah Rg o f = {6, 8}

++Invers Fungsi++

C. Pengertian

Jika fungsi f : A → B dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan f = {(x, y)

| x E A dan y E B} maka invers fungsi f adalah f -1 : B → A yang dinyatakan

dengan f -1 = {(y, x) | y E B dan x E A}

D. Syarat Invers

Suatu fungsi f akan mempunyai fungsi invers jika dan hanya jika f merupakan

fungsi bijektif atau A dan B berkorespondensi satu-satu. Jika ada anggota dari

himpunan A atau B yang tidak dipetakan maka invers tersebut hanyalah relasi

biasa (bukan fungsi).

E. Menentukan Invers Suatu Fungsi

Misalkan f -1 merupakan fungsi invers f. Untuk setiap x anggota domain f dan y

anggota range dari f maka berlaku y = f(x) jika dan hanya jika f -1(y) = x.

Rumus x = f -1(y) dapat diperoleh dengan langkah langkah berikut:

1. Ubahlah bentuk y = f(x) menjadi bentuk x = g(y)

2. Karena x = f -1(y) maka akan diperoleh bentuk f- 1(y) = g(y)

3. Setelah memperoleh bentuk f- 1(y) = g(y), ganti variabel-y dengan

variabel-x sehingga diperoleh f- 1(x) = g(x).

F. Invers Komposisi Fungsi

• (f ∙ f -1)(x) = (f -1 ∙ f)(x) = x

• (f ∙ g)-1(x) = (g-1 ∙ f -1)(x)

• (g ∙ f)-1(x) = (f -1 ∙ g-1)(x)

G. Menentukan Grafik suatu Fungsi Invers

Gambar dari grafik f -1(x) merupakan pencerminan gambar grafik f(x) terhadap

garis y = x. Perhatikan contoh berikut:

H. Contoh Soal Invers Fungsi

1. Jika f(x) = 2x – 6 maka f-1(x) = …

A. 1/2 x – 3

B. 1/2 x + 3

C. -1/2x – 3

D. -1/2x + 3

E. x – 12

Pembahasan

Agar dapat menentukan fungsi invers,maka harus dapat menentukan persamaan

x-nya dahulu.

f(x) = 2x – 6

2x = f(x) + 6

x = 𝑓(𝑥) + 6

2 (ubah variabel-x menjadi f-1(x) dan f(x) diganti dengan x)

f-1(x) = (𝑥 + 6)

2 =

1

2𝑥 + 3

Jawaban: B

2. Apabila f(x) = (𝑥 + 3)

(𝑥 – 2) jadi f-1(x) = …

a. (2𝑥 + 3)

(𝑥−1)

b. (𝑥 – 3)

(𝑥+2)

c. (2𝑥 + 3)

(𝑥+1)

d. (−2𝑥 + 3)

(𝑥+1)

e. (−𝑥 + 3)

(𝑥−2)

Pembahasan

Misalkan f(x) = y

y= (𝑥 + 3)

(𝑥−2)

y(x – 2) = x + 3

xy – 2y = x + 3

xy – x = 2y + 3

x (y – 1) = 2y + 3

x = (2𝑦 + 3)

(𝑦−1) ganti x dengan f-1(x) dan y dengan x maka

f-1(x) = (2𝑥 + 3)

(𝑥−1)

Jawaban: A

3. Apabila di ketahui 𝑓(𝑥) = x3 – 8 jadi f-1(x) = …

A. √(𝑥 – 8)3

B. √(𝑥 + 8)3

C. √𝑥3

+ 8

D. 8 – √𝑥3

E. √𝑥3

– 8

Pembahasan

𝑓(𝑥) = x3 – 8

x3 = 𝑓(𝑥) + 8

x = √𝑓(𝑥) + 83

→ ubah x menjadi f-1(x) dan f(x) dengan x

𝑓−1(𝑥) = √𝑥 + 83

Jawaban: B

4. Sebuah pemetaan f:R→R dengan (g ◦ f)(x) = 2x2 + 4 x + 5 dan g(x) = 2x + 3. Maka

f(x)=…

a. x2 + 2x + 1

b. x2 + 2x + 2

c. 2x2 + x + 2

d. 2x2 + 4x + 2

e. 2x2 + 4x + 1

Pembahasan

Menentukan f(x)

(g ◦ f)(x) = 2x2 + 4x + 5

g(f(x)) = 2x2 + 4x + 5

2(f(x)) + 3 = 2x2 + 4x + 5

f(x) = x2 + 2x + 1

Jawabannya: A

5. Jika g(x – 2) = 2x – 3 dan (f ◦ g)(x – 2) = 4x2 – 8x + 3, maka f(-3) =…

a. -3

b. 0

c. 3

d. 12

e. 15

Pembahasan

g(x – 2) = 2x – 3

(f ◦ g)(x – 2) = 4x2 – 8x + 3

f(g(x – 2)) = 4x2 – 8x + 3

f(2x – 3) = 4x2 – 8x + 3

Menentukan f(-3)

Jika -3 = 2x – 3 maka x = 0

Sehingga:

f(-3) = 4(0)2 – 8(0) + 3 = 3

Jawabannya: C

• 𝙙𝙚𝙛𝙞𝙣𝙞𝙨𝙞

De = depan , mi = miring , sam = samping

• Cosec a = 1/sin a atau mi/de

• Sec a = 1/cos a atau mi/sam

• Cotan a = 1/tan a atau sam/de

• 𝙨𝙖𝙩𝙪𝙖𝙣 𝙨𝙪𝙙𝙪𝙩

π rad = 180°

Contoh :

• Ubah ke satuan derajat !

2/3 π rad = 2/3 × 180°

= 120°

• Ubah ke satuan π radian !

30° = 30°/180° π rad

= 1/6 π rad

• 𝙩𝙖𝙗𝙚𝙡 𝙩𝙧𝙞𝙜𝙤𝙣𝙤𝙢𝙚𝙩𝙧𝙞 𝙨𝙪𝙙𝙪𝙩 𝙞𝙨𝙩𝙞𝙢𝙚𝙬𝙖

𝙏𝙧𝙞𝙜𝙤𝙣𝙤𝙢𝙚𝙩𝙧𝙞

• 𝙧𝙚𝙡𝙖𝙨𝙞 𝙨𝙪𝙙𝙪𝙩

0° 30° 45° 60° 90°

SIN 0 12⁄ 1

2⁄ √2 12⁄ √3 1

COS 1 12⁄ √3 1

2⁄ √2 12⁄ 0

TAN 0 13⁄ √3 1 √3 ~

COSEC ~ 2 √2 2√33

⁄ 1

SECAN 1 2√33

⁄ √2 2 ~

COTAN ~ √3 1 √33

⁄ 0

KUADRAN 1 2 3 4

Sin + + - -

SIN (180 + ∝)= SIN∝

COS (180 + ∝)= -COS ∝

TAN (180 + ∝)= TAN ∝

SIN (180 - ∝)= SIN ∝

COS (180 - ∝)= -COS ∝

TAN (180 - ∝)= -TAN ∝

SIN (90 + ∝)= COS ∝

COS (90 + ∝)= -SIN S∝

TAN (90 + ∝)= -COT ∝

SIN (90 - ∝)=

COS (90 - ∝)=

TAN (90 - ∝)=

SIN (270 + ∝)= -COS ∝

COS (270 + ∝)= SIN ∝

TAN (270 + ∝)= -COT

∝

SIN (360 + ∝)= SIN ∝

COS (360 + ∝)= COS ∝

TAN (360 + ∝)= TAN ∝

SIN (270 - ∝)= -COS ∝

COS (270 - ∝)= -SIN ∝

TAN (270 - ∝)= COT ∝

SIN (360 - ∝)= -SIN ∝

COS (360 - ∝)= COS ∝

TAN (360 - ∝)= -TAN ∝

KU

AD

RA

N

1 K

UA

DR

AN

2

KU

AD

RA

N 3

KU

AD

RA

N 4

• 𝙞𝙙𝙚𝙣𝙩𝙞𝙩𝙖𝙨 𝙩𝙧𝙞𝙜𝙤𝙣𝙤𝙢𝙚𝙩𝙧𝙞 o 𝙞𝙙𝙚𝙣𝙩𝙞𝙩𝙖𝙨 𝙠𝙚𝙗𝙖𝙡𝙞𝙠𝙖𝙣

o 𝙞𝙙𝙚𝙣𝙩𝙞𝙩𝙖𝙨 𝙥𝙚𝙧𝙗𝙖𝙣𝙙𝙞𝙣𝙜𝙖𝙣

o 𝙞𝙙𝙚𝙣𝙩𝙞𝙩𝙖𝙨 𝙥𝙝𝙮𝙩𝙖𝙜𝙤𝙧𝙖𝙨

1. Sin² a + cos² a = 1

1 - sin² a = cos² a

1 - cos² a = sin²a

2. 1 + tan² a = sec² a

1 = sec² a - tan² a

3. 1 + cotan² a = cosec² a

1 = cosec² a - cotan² a

Cos + - - +

Tan + - + -

• 𝘼𝙩𝙪𝙧𝙖𝙣 𝙨𝙞𝙣𝙪𝙨, 𝙘𝙤𝙨𝙞𝙣𝙪𝙨, 𝙙𝙖𝙣 𝙡𝙪𝙖𝙨 𝙨𝙚𝙜𝙞𝙩𝙞𝙜𝙖 Berlaku untuk segitiga yang tidak siku-siku

o 𝘼𝙩𝙪𝙧𝙖𝙣 𝙨𝙞𝙣𝙪𝙨

o 𝘼𝙩𝙪𝙧𝙖𝙣 𝙘𝙤𝙨𝙞𝙣𝙪𝙨

o 𝙡𝙪𝙖𝙨 𝙨𝙚𝙜𝙞𝙩𝙞𝙜𝙖 𝙟𝙞𝙠𝙖 𝙙𝙞𝙠𝙚𝙩𝙖𝙝𝙪𝙞 2 𝙨𝙞𝙨𝙞 1 𝙨𝙪𝙙𝙪𝙩

o 𝙡𝙪𝙖𝙨 𝙨𝙚𝙜𝙞𝙩𝙞𝙜𝙖 𝙟𝙞𝙠𝙖 𝙙𝙞𝙠𝙚𝙩𝙖𝙝𝙪𝙞 2 𝙨𝙪𝙙𝙪𝙩 1 𝙨𝙞𝙨𝙞

o 𝙡𝙪𝙖𝙨 𝙨𝙚𝙜𝙞𝙩𝙞𝙜𝙖 𝙟𝙞𝙠𝙖 𝙙𝙞𝙠𝙚𝙩𝙖𝙝𝙪𝙞 𝙠𝙚𝙩𝙞𝙜𝙖 𝙨𝙞𝙨𝙞𝙣𝙮𝙖

• 𝙜𝙧𝙖𝙛𝙞𝙠 𝙛𝙪𝙜𝙨𝙞 𝙩𝙧𝙞𝙜𝙤𝙣𝙤𝙢𝙚𝙩𝙧𝙞 o 𝙜𝙧𝙖𝙛𝙞𝙠 𝙛𝙪𝙜𝙨𝙞 𝙗𝙖𝙠𝙪 𝙨𝙞𝙣, 𝙘𝙤𝙨, 𝙩𝙖𝙣

1. Sinus

2. Cosinus

3. Tangen

o 𝙉𝙞𝙡𝙖𝙞 𝙈𝙖𝙠𝙨𝙞𝙢𝙪𝙢 𝙙𝙖𝙣 𝙈𝙞𝙣𝙞𝙢𝙪𝙢 𝙁𝙪𝙣𝙜𝙨𝙞 𝙏𝙧𝙞𝙜𝙤𝙣𝙤𝙢𝙚𝙩𝙧𝙞

Untuk setiap titik P(x,y) pada fungsi trigonometri memiliki hubungan :

▪ dan

▪ dan

▪ dan

Berdasarkan uraian tersebut dapat dikemukakan bahwa :

Nilai maksimum dan minimum fungsi sinus

▪ Fungsi sinus memiliki nilai maksimum yang dicapai

untuk dengan dan nilai minimum yang dicapai

untuk dengan .

▪ Fungsi sinus memiliki nilai maksimum yang dicapai

untuk dengan dan nilai minimum yang dicapai

untuk dengan .

Nilai maksimum dan minimum fungsi kosinus

▪ Fungsi kosinus memiliki nilai maksimum yang dicapai

untuk dengan dan nilai minimum yang dicapai

untuk dengan .

▪ Fungsi kosinus memiliki nilai maksimum yang dicapai

untuk dengan dan nilai minimum yang dicapai

untuk dengan .

Secara umum dapat dikemukakan bahwa :

1. Jika fungsi sinus , maka nilai

maksimumnya dan nilai minimumnya

2. Jika fungsi kosinus , maka nilai

maksimumnya dan nilai minimumnya

Jika adalah fungsi periodik dengan nilai maksimum dan minimum ,

maka amplitudonya adalah :

o 𝙥𝙚𝙧𝙞𝙤𝙙𝙚

1. Fungsi sinus dan kosinus

Untuk penambahan panjang busur a dengan menggunakan kelipatan 2π (satu putran penuh)

akan didapatkan titik p(a) yang sama, sehingga secara umum akan berlaku:

• sin ( a + k + 2π) = sin a dengan k ∈ B atau

• sin ( a + k + 360°) = sin a° dengan k ∈ B atau

• cos ( a + k x 2π) = dengan k ∈ B atau

• cos (a + k x 360°) = dengan k ∈ B

Dengan begitu, fungsi dari sinus f(x) = sin x atau f (x) = sin° dan fungsi kosinus f (x) = cos x

atau f (x) = cos x° merupakan fungsi periodik

dengan periode dasar 2π atau 360°.

1. Fungsi tangen

Dalam penambahan panjang busur a dengan kelipatan π (setengah putaran penuh) akan

didapatkan titik p( a + k x p) yang nilai tangennya sama untuk kedua sudut tersebut,

sehingga bentuknya secara umum adalah tan ( a + k x π) = tan a dengan k ∈ B atau tan (a

+ k x 1806◦) = tan a° dengan k ∈ B.

Dengan begitu, tangen f(x) atau f (x) = tan° merupakan

fungsi periodik dengan periode π atau 180°.

Fungsi Lanjutan & Grafiknya

➢ Fungsi a. Fungsi dinyatakan dengan huruf kecil, seperti f, g, atau h b. Fungsi f yang memetakan himpunan A ke himpunan B dinotasikan

dengan f: A→B c. Dalam hal ini, himpunan A dinamakan domain atau daerah asal,

sedangkan himpunan B dinamakan kodomain atau daerah kawan

➢ Daerah Asal dan Nilai a. Domain fungsi f ditulis dengan notasi 𝐷𝑓, biasamya ditulis dengan

interval fungsi {xI -2 ≤ x < 2, x€bilangan bulat }

b. Himpunan semua anggota B yang mempunyai kawan di A dinamakan

range atau daerah nilai atau daerah hasil, ditulis 𝑅𝑓

A. Fungsi Linear

• Bentuk Umum

Pengertian fungsi sendiri merupakan hubungan matematis antara sebuah variabel

dengan variabel lainnya. Beberapa unsur pembentuk fungsi antara lain variabel,

koefisien, dan konstanta.

Variabel merupakan sebuah unsur yang sifatnya berubah-ubah dari satu kondisi ke

kondisi lainnya. Koefisien merupakan bilangan atau angka yang berada tepat di depan

suatu variabel, terkait dengan variabel yang bersangkutan. Konstanta bersifat tetap

serta tidak terkait dengan suatu variabel apa pun.

Fungsi linier sendiri memiliki bentuk umum sebagai berikut:

f(x) = mx + c atau

• Menggambar Grafik Fungsi Linier

Berikut ini adalah beberapa langkah untuk melukis grafik fungsi linier, antara

lain:

• Menentukan titik potong dengan sumbu x, y = 0 didapatkan koordinat A( x1,

0)

• Menentukan titik potong dengan sumbu y, x = 0 didapatkan koordinat B( 0,

y1)

• Menghubungkan dua titik A dan B sehingga akan terbentuk garis lurus

Persamaan linier yang bisa juga ditulis ditulis dengan menggunakan simbol y

= ax + b. (Hal ini untuk memudahkan kita dalam memahami gambar).

Apabila b bernilai positif maka fungsi linier akan dilukis garis dari kiri

bawah ke kanan atas

• Apabila b bernilai negatif maka fungsi linier akan digambarkan garis dari kiri

atas ke kanan bawah.

• Apabila b bernilai nol maka fungsi linier akan digambarkan garis yg sejajar

dengan sumbu datar x.

B. Fungsi Kuadrat

• Definisi

Fungsi kuadrat adalah sebuah fungsi yang pangkat terbesar variabelnya adalah

2. Sama dengan persamaan kuadrat, tetapi berbentuk sebuah fungsi. Bentuk

umumnya yaitu: f(x) = ax2 – bx + c, dengan a, b, c sebuah bilangan real dan a ≠ 0.

• Grafik Fungsi Kuadrat

Apabila digambarkan pada koordinat Cartesius, grafik fungsi kuadrat berbentuk

parabola. Parabola nya terbuka ke atas apabila a > 0 dan terbuka apabila a < 0.

Berikut adalah tahapan untuk menggambarkan grafik atau kurva nya:

1. Menentukan titik potong y = f(x) = ax2 – bx + c terhadap sumbu x, yakni

saat y = 0. Dengan begitu, nilai titik potong ini adalah akar-akar dari

persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0.

2. Menentukan titik potong terhadap sumbu y, nilai y saat x = 0.

3. menentukan sumbu simetri nya. Sumbu simetri adalah garis yang

membagi dua parabola menjadi sama besar. Titik potong sumbu

simetri terhadap sumbu x bisa dihitung dengan menggunakan

rumus atau

4. Menentukan titik puncak (titik balik maksimum atau minimum)

grafiknya. Titik puncak adalah titik di mana nilai y = f(x) mencapai nilai

maksimum atau minimum, sehingga parabola nya akan berbalik arah.

Koordinat titik puncak parabola yaitu: . Di mana D merupakan

diskriminan, yaitu D = b2 – 4ac. Kita juga bisa menghitung atau

menentukan titik-titik lain yang dilewati oleh kurva atau fungsi y = f(x).

• Menyusun Persamaan Grafik Fungsi Kuadrat

a. Grafik fungsi kuadrat melalui titik-titik A(x1, y1), B(x2, y2) dan C(x3,

y3) maka persamaan fungsi kuadratnya dapat kita nyatakan sebagai berikut.

y = f(x) = ax2 + bx + c

Pertama subtitusikan titik A, B , dan C ke persamaan diatas sehingga diperoleh

SPLTV. Lalu cari nilai a, b, c menggunakan metode eliminasi, subtitusi, atau

gabungan. Kemudian subtitusikan nilai a, b, dan c ke persamaan diatas

b. Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di A(x1, 0) dan B(x2, 0) serta melalui

sebuah titik tertentu atau titik C (𝑥3, 𝑦3), maka persamaan fungsi kuadratnya

dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut :

y = f(x) = a(x – x1)(x – x2)

Pertama subtitusikan titik C ke persamaan diatas, sehingga diperoleh nilai a.

Lalu masukkan nilai a ke persamaan diatas, sehingga diperoleh persamaan

grafik fungsi kuadrat

c. Grafik fungsi kuadrat menyinggung sumbu-X di A(x1, 0) dan melalui sebuah

titik tertentu atau titik B (𝑥2, 𝑦2), maka persamaan fungsi kuadratnya dapat

dibentuk dengan menggunakan rumus sebagai berikut :

y = f(x) = a(x – x1)2

Subtitusikan titik B ke persamaan di atas, sehingga menemukan nilai a.

Kemudian subtitusikan nilai a ke persamaan diatas, sehingga diperoleh

persamaan grafik fungsi kuadrat.

d. Grafik fungsi kuadrat melalui titik puncak atau titik balik P(xp, yp) dan melalui

sebuah titik tertentu atau titik A (𝑥1, 𝑦1), maka persamaan fungsi kuadrat dapat

kita susun dengan menggunakan rumus sebagai berikut :

y = f(x) = a(x – xp)2 + yp

Subtitusikan titik A ke persamaan di atas sehingga diperoleh nilai a. Lalu subtitusikan

nilai a ke persamaan diatas, sehingga ditemukan persamaan grafik fungsi kuadrat.

C. Fungsi Rasional

• Bentuk Umum

Fungsi rasional merupakan fungsi yang mempunyai bentuk umum

dengan d(x) ≠ 0

Grafik ini asimtot datar dan asimtot tegak