baris dan-deret

BARISAN DAN DERETARITMETIKA

By : Tri WahyuningsihA 410 060 292

A. Barisan Aritmetika

• Definisi

• Bilangan yang tetap tersebut disebut beda dan dilambangkan dengan b.

• Perhatikan juga barisan-barisan bilangan berikut ini.

a. 1, 4, 7, 10, 13, ...b. 2, 8, 14, 20, ... Barisan

Aritmetika c. 30, 25, 20, 15, ...

Barisan aritmetika adalah suatu barisan bilangan yang selisih setiap dua suku berturutan selalu merupakan bilangan tetap (konstan).

Contoh :

a. 1, 4, 7, 10, 13, ... +3 +3 +3 +3

Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 3. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya 3 atau b =3.

b. 2, 8, 14, 20, ... +6 +6 +6

Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 6. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya 6 atau b = 6.

c. 30, 25, 20, 15, ... –5 –5 –5

Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah –5. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya –5 atau b = –5. Secara umum dapat dikatakan sebagai berikut.

Rumus umum suku ke-n barisan aritmetika dengan suku pertama (U ) dilambangkan dengan a dan beda dengan b dapat ditentukan seperti berikut.

Jika Un adalah suku ke-n dari suatu barisan aritmetika maka berlaku b = Un – Un – 1.

1

U = aU = U + b = a + bU = U + b = (a + b) + b = a + 2bU = U + b = (a + 2b) + b = a + 3bU = U + b = (a + 3b) + b = a + 4b

. . .

U = U + b = a + (n – 1)bJadi, rumus suku ke-n dari barisan aritmetika adalah

Keterangan: Un = suku ke-n a = suku pertama b = beda n = banyak suku

U = a + (n – 1)b

1

12

23

34

45

n

n

1n

Contoh 1 :

Tentukan suku ke-8 dan ke-20 dari barisan –3, 2, 7, 12, ....

Jawab:–3, 2, 7, 12, …

Suku pertama adalah a = –3 dan bedanya b = 2 – (–3) = 5.Dengan menyubstitusikan a dan b, diperoleh :

U = –3 + (n – 1)5.Suku ke-8 : U = –3 + (8 – 1)5 = 32.Suku ke-20 : U = –3 + (20 – 1)5 = 92.

n8

20

Contoh 2 :

Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40. Tentukan banyak suku barisan tersebut.

Jawab:Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40.Dari barisan tersebut, diperoleh a = –2, b = 1 – (–

2) = 3,danU = 40.

Rumus suku ke-n adalah U = a + (n – 1)b sehingga;40 = –2 + (n – 1)340 = 3n – 53n = 45

Karena 3n = 45, diperoleh n = 15.Jadi, banyaknya suku dari barisan di atas adalah

15.

n

n

B. Deret Aritmetika• Definisi

• Deret aritmetika adalah jumlah n suku pertama barisan aritmetika. Jumlah n suku pertama dari suatu barisan bilangan dinotasikan S . Dengan demikian, S = U1 + U2 + U3 + ... + U . Untuk memahami langkah-langkah menentukan rumus S , perhatikan contoh berikut :

Misalkan U1, U2, U3, ..., Un merupakan suku-suku dari suatu barisan aritmetika. U1 + U2 + U3 + ... + U disebut deret aritmetika, dengan U = a + (n – 1)b.

n

n

n

n

n

n

Contoh 1 :Diketahui suatu barisan aritmetika 2, 5, 8,

11, 14. Tentukan jumlah kelima suku barisan tersebut.

Jawab:Jumlah kelima suku 2, 5, 8, 11, 14 dapat dituliskansebagai berikut.

S = 2 + 5 + 8 + 11 + 14S = 14 + 11 + 8 + 5 + 2

2S = 16 + 16 + 16 + 16 + 16 2S = 5 x 16

S = S = 40

Jadi, jumlah kelima suku barisan tersebut adalah 40.

5

5

5

5 5

5

2

165

Menentukan rumus umum untuk S sebagai berikut. Diketahui rumus umum suku ke-n dari barisan aritmetika adalahU = a + (n – 1)b. Oleh karena itu, U = a = a U = a + b = U – (a – 2)b U = a + 2b = U – (n – 3)b

. . . . . . . . .

U = a + (n – 1)b = U

n

n

1

2

3

n

n

n n

Dengan demikian, diperoleh ;

S = a + (a + b) + (a + 2b) + ... + (a + (n – 1)b)

= a + (U – (n – 2) b) + (U – (n – 3) b) + ... + U ............ (1)

Dapat pula dinyatakan bahwa besar setiap suku adalah b kurang dari suku berikutnya.

U = U – b

U = U – b = U – 2bU = U – b = U – 3b

Demikian seterusnya sehingga S dapat dituliskan

S = a + (U – (n – 1)b) + … + (U – 2b) + (U – b) + U .......... (2)

n

nn n

1n

1n2n

2n3n

n

n

n

n

n n n nn

Dari persamaan 1 dan 2 jika kita jumlahkan, diperoleh ;S = a + (U – (n – 2)b) + (U – (n – 3)b) + ... +US = U + (U – b) + (U – 2b) + ... + a

2S = (a + U ) + (a + U )+ (a + U ) + ... + (a + U )

n suku

Dengan demikian, 2S = n(a + U )

S = n(a + U )

S = n(a + (a + (n – 1)b))

S = n(2a + (n – 1)b)

n n n n

n n n n

n n n n n

n n

n

n

n

2

1

2

1

2

1

n

Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah

Keterangan:S = jumlah n suku

pertamaa = suku pertamab = bedaU = suku ke-nn = banyak suku

S = n(a + U) atau

S =n [2a + (n – 1)b]

Contoh 2:

Carilah jumlah 100 suku pertama dari deret 2 + 4 + 6 + 8 +....

Jawab:Diketahui bahwa a = 2, b = 4 – 2 = 2, dan n =

100.

S = x 100 {2(2) + (100 – 1)2}

= 50 {4 + 198} = 50 (202) = 10.100Jadi, jumlah 100 suku pertama dari deret

tersebut adalah 10.100.

100 2

1

Contoh

3: Hitunglah jumlah semua bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100.

Jawab:Bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100

adalah 3, 6, 9, 12, ..., 99 sehingga diperoleh a = 3, b = 3, dan U = 99.Terlebih dahulu kita cari n sebagai berikut ;

U = a + (n – 1)b 99 = 3 + (n – 1)3 3n = 99 n = 33Jumlah dari deret tersebut adalah

n

n

S = n (a + U )

S = x 33(3 + 99)

= 1.683Jadi, jumlah bilangan asli kelipatan 3 yang

kurang dari 100 adalah 1.683

n n2

1

2

133