baris dan deret · 2020. 9. 24. · hitung barisan aretmatika barisan bilangan yang tiap sukunya...

BARIS DAN DERET

Pola dan Barisan

Bilangan

Barisan Arimatika dan

Barisan Geometri

Deret Aritmetika dan

Deret Geometri

Sifat-sifat Deret

P

R

O

F

I

L

POLA DAN BARISAN BILANGAN

Pola Bilangan

Barisan Bilangan

Pola bilangan yaitu susunan angka-angka yang mempunyai pola-pola tertentu. Misalnya pada kalender terdapat susunan angka" baik

mendatar, menurun, diagonal (miring).

1. Pola Garis Lurus dan Persegi Panjang

Garis Lurus Persegi Panjang

2. Pola persegi

Pola bilangan persegi :: 1 , 4 , 9 , ... merupakan bilangan kuadrat dari bilangan asli . Un= n2

Pola bilangan persegi panjang :: 2, 6, 12, ...

Un = n(n+1)

3. Pola Segi tiga (segitiga sama sisi)

Cara 1Mengikuti pola berikut

CARA 2Pola bilangan segitiga :: 1, 3, 6, 10, ... Un = n/2 (n+1)

Urutan1 Urutan2 Urutan3

4. Pola Kubus

• Pola kubus terbentuk dari bilangan kubik Un = n3

5. Pola bilangan ganjil dan genap

Bilangan kedua dan selanjutnya diperoleh dari bilangan sebelumnya ditambah dua.

a. Pola bilangan ganjil

• Tetapkan angka 1 sebagai bilangan awal• Bilangan selanjutnya diperoleh dari bilangan sebelumnya ditambah dua

b. Pola bilangan genap

• Tetapkan angka 2 sebagai bilangan awal• Bilangan selanjutnya diperoleh dari bilangan sebelumnya ditambah dua

1 3 5 7 9

108642

+2

+2+2+2

+2+2+2

+2

6. Pola Bilangan Segitiga Pascal

1

2 11

1 1

4641

1 3 13

1

Jumlah bilangan pada baris ke-n adalah Sn = 2 n-1

9. Pola Bilangan Fibonaci

1 . . .85321

+++++ +

Barisan Bilangan• Barisan bilangan adalah sekumpulan bilangan yang telah

diurutkan menurut suatu aturan tertentu.

Un

Un

U2

U1 Suku Pertama

Suku ke-2

Suku ke - n

Barisan bilangan biasanya ditulis :

U1, U2,`U3, . . . . , Un

Dengan Un adalah suku ke – n

dan n = 1,2,3, . . .

Contoh : Barisan 0,2,4 berarti

U1 = 0, U2 = 2 , U3 = 4(menambahkan 2 pada suku

sebelumnya)

1. Menentukan Suku Berikutnya Suatu Barisan Bilangan

• Contoh:• Tentukan tiga suku berikutnya dari barisan

bilangan 2, 5, 8, 11, . . .

Barisan 2, 5, 8, 11,. . .

= 2= 5 = 2 + 3

= 8 = 5 +3= 11 = 8 +3

Maka barisan selanjutnya adalah (2, 5, 8 ,11, 14, 17, 20, . . .n +3)

333 U1

U2

U3

U4

2. Menentukan Suku Ke-n Suatu Barisan Bilangan

Un = f (n)

Pola tingkat satu satu barisanbilangan berselisih tetap

Pola tingkat satu satu barisan bilangan berasio tetap

Pola tingkat dua satu barisan bilangan berselisih tetap

Pola tingkat satu satu barisan bilangan berselisih tetap (b)

Contoh :

Tentukan rumus suku ke-n dari barisan bilangan ganjil.

U1 U4U2 U3 Un =?

+b +b +b

Barisan bilangan ganjil

Maka rumus suku ke-nnya adalah = =2n+(1-2) = 2n -1

Un = bn + (U1 - b)

1 73 5 Un = ?

+2 +2 +2 b = 2

Un = bn + (U1 - b) Un

Pola tingkat satu satu barisan bilangan berasio tetap

U1 U4U2 U3 Un =?

x r x r x r Un = rn x U1/r

Contoh :Tentukan suku ke-n dari barisan bilangan (1, 10, 100, 1000, . . . Un )

Tahapan pertama dengan r=10

Rumus suku ke-n : Un = 10n x 1/10 = 10n -1

1 100010 100 Un =?

x10 x10 x10

Pola tingkat dua satu barisan bilangan berselisih tetap

Suku ke-n dari barisan bilangan berselisih tetap pada pola tingkat dua diberikan formula berikut :

Un = b/2 . n (n-1) + cDengan c = Suku ke-n barisan bilangan pola

b = Selisih tetap

Tuliskan suku ke-n dari barisan bilangan (3,6, 10, 15, 21, . . . )Jawab: 3 6 10 15 21

+3 +4 +5 +6

+1 +1 +1

pola tingkat2, dengan b=1

U1 = 3=1/2 x 1 0 +3U2 = 6 = ½ x 2x 1 +5U3 = 10 = ½ x 3x2 + 7U4 = 15= ½ x 4 x 3 +9U5 = 21 = ½ x 5 x 4 +11::Un = ½. n(n-1) +c

Menentukan c yang berupa barisan bilangan yang berpola tingkat satu

Barisan: 3 5 7 9 11

Pola tingkat 1, b= 2

+2 +2 +2 +2

C= 2n + (U1 - b) = 2n+(3-2)= 2n +1

Jadi, suku ke-n adalah:Un = ½. n(n-1) +cUn = ½. n(n-1) + 2n + 1Un = ½ n2 – ½ n + 2n +1Un = ½ n2 – 3/2 n +1

LANJUTAN

BARISAN ARIMATIKA DAN BARISAN

GEOMETRI

Barisan Arimatika atau Barisan Hitung

Barisan Aretmatika

barisan bilangan yang tiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya dengan cara menambah atau mengurangi dengan suatu

bilangan tetap

Perhatikan baarisan U1, U2, U3, . . . . . .,Un-1, Un. Dari definisi di atas, diperoleh hubungan sebagai berikut :

U1 = aU2 = U1 + b = a + bU3 = U2 + b = a + b + b = a + 2b

U4 = U3 + b = a + 2b + b = a + 3b

Un = a + (n – 1 )b

Dengan n = 1, 2, 3,..

Un = Un-1 + b = a + (n - 2)b + b = a + (n - 1)b

.

.

.

Bilangan b adalah suatu bilangan tetap yang sering disebut dengan beda. Penentuan rumus beda dapat di uraikan sebagai berikut :

U2 = U1 + b => b = U2 - U1

U3 = U2 + b => b = U3 - U2

U4 = U3 + b => b = U4 - U3

.

.

.Un = Un-1 + b => b = Un - Un-1

Dengan melihat nili b, kita dapat menentukan barisan aritmetika itu naik atau turun.

Bila b ˃ 0 maka barisan aritmetika itu naikBila b ˂ 0 maka barisan aritmetika itu turun

Contoh:Tentukan suku ke sepuluh ( U10 ) dari barisan aritmetika berikut ini dan tulis jenis barisan aritmetika tersebut.

a. 1, 3, 5, 7,. . . .b. 4, 2, 0, -2,. . .

Jawab :Gunakan rumus beda untuk menentukan suku ke sepuluh ( U10 ) dari masing-masing barisan aritmetika.a. Barisan 1, 3, 5, 7 . . .

berdasarkan rumus Un = U1 + (n – 1) . b diperoleh ..U1 = 1 U2 = 3 U3 = 5b = U2 - U1 = 2 b = U3 - U2 = 2 b = U4 - U3 = 2

karena b = 2 > 0 barisan aritmetika merupakan barisan naik.

U10 = U1 (10 - 1) . bU10 = 1 + 9 . 2 = 19

b. Barisan 4, 2, 0, -2, . .

U1 = 4 ; U2 = 2 ; U3 = 0 ; U4 = -2b = U2 - U1 = - 2 ; b = U3 - U2 = -2 ; b = U4 - U3 = - 2karena b = - 2 < 0 barisan aritmetika merupakan barisan turun, berdasarkan rumus

Un = U1 (n - 1) . bU10 = 4 + (9 . (- 2) ) = - 14

Jadi, suku ke sepuluh barisan tersebut adalah -14

Barisan Geometri atau Barisan Ukur

Barisan Geometri

barisan bilangan yang tiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya dengan mengalikan atau membagi dengan suatu

bilangan tetap

Misalkan, barisannya U1, U2, U3, . . . . . .,Un-1, Un, maka :

U1 = aU2 = U1 . r = arU3 = U2 . r = ar2

U4 = U3 . r = ar3

Un = Un-1 . r = arn-1

1. Un = r × Un-1 atau 𝑟 =𝑈𝑛

𝑈𝑛−1

2. Un = a × rn-1

Dengan: r = rasio atau pembandingn = bilangan aslia = suku pertama

Berdasarkan nilai rasio (r) kita dapat menentukan suatu barisan geometri naik atau turun.

Bila r > 1 maka barisan geometri naik.Bila 0 < r < 1 maka barisan geometri turun.

Contoh :a. Tentukan suku ke delapan dari barisan geometri :

b. Tulliskan rumus suku ke – n dari barisan geometri :

Jawab:a.

Jadi, suku kedelapan dari barisan geometri diatas adalah 729

b.

Jadi, suku ke-n dari barisan geometri di atas adalah

DERET ARITMETIKADAN DERET GEOMETRI

Deret Aritmetika atau DeretHitung

Deret bilanganjumlah yang ditunjuk untuk suku-suku dari suatu barisan bilangan

𝑆𝑛 = 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 +⋯+ 𝑈𝑛

Menyatakan deret ke-n

Bentuk umum:

Contoh:

1. Deret dari barisan 3, 5, 7, …, (2n+1) adalah 𝑆𝑛 = 3 + 5 + 7 +⋯+ (2𝑛 + 1)Maka, 𝑆1 = 3 𝑆2 = 3 + 5 = 8 𝑆4 = 3 + 5 + 7 = 15

2. Deret dari barisan 1, 2, 4, …, 2𝑛−1 adalah 𝑆𝑛 = 1 + 2 + 4 +⋯+ 2𝑛−1

Maka, 𝑆1 = 1 𝑆2 = 1 + 2 = 3 𝑆4 = 1 + 2 + 4 = 7

Deret aritmetikajumlah suku yang ditunjukkan oleh

barisan aritmetika

𝑆𝑛 = 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 +⋯+ 𝑈𝑛

Dengan 𝑈1 = 𝑎 dan 𝑈𝑛 = 𝑎 + 𝑛 − 1 𝑏

Deret aritmetika

𝑆𝑛 =𝑛

22𝑎 + 𝑛 − 1 𝑏 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑆𝑛 =

𝑛

2(𝑎 + 𝑈𝑛)

Dengan: 𝑈𝑛 = suku ke-nn = bilangan aslib = beda

Rumus n suku pertamaderet aritmetika:

Contoh:1. Tentukan jmlah sepuluh suku pertama dari deret

−2 + 0 + 2 +⋯

Jawab: 𝑈1= −2; 𝑈2 = 0𝑏 = 𝑈2 − 𝑈1 = 0 − −2 = 2𝑛 = 10

𝑆10=10

22(−2) + 10 − 1 2 = 5 −4 + 18 = 70

2. Tentukan jumlah 5 suku pertama, jika suku kelima adalah 240 dan suku pertamaadalah 20

Jawab:𝑈1= 20; 𝑈5 = 240; 𝑛 = 5, maka:

𝑆5=5

220 + 240 = 650

Deret Geometri atau Deret Ukur

Deret geometrijumlah suku-suku yang ditunjuk

oleh barisan geometri

𝑈1, 𝑈2, 𝑈3, … , 𝑈𝑛

Barisan geometri:

𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 +⋯+ 𝑈𝑛 = 𝑆𝑛

dengan 𝑈1 = 𝑎 dan 𝑈𝑛 = 𝑎𝑟𝑛−1

Deret geometri:

𝑆𝑛 =𝑎(1 − 𝑟𝑛)

(1 − 𝑟); 𝑟 > 1

𝑎𝑡𝑎𝑢

𝑆𝑛 =𝑎 𝑟𝑛 − 1

𝑟 − 1; 𝑟 < 1

Rumus n suku pertamaderet geometri:

Contoh:1. Tentukan jumlah delapan suku pertama dari deret 3 + 6 + 12 +⋯

Jawab:

𝑈1= 3; 𝑈2 = 6; 𝑟 =6

3= 2; 𝑛 = 8

𝑆8=3 28 − 1

2 − 1=3(256 − 1)

1= 765

2. Diberikan deret geometri dengan suku-suku positif, 𝑈2 = 10 dan 𝑈4 = 40. Bila𝑈𝑛= 160, tentukanlah jumlah n suku pertama deret geometri itu.

Jawab:𝑈2= 10 → 𝑎𝑟 = 10𝑈4= 40 → 𝑎𝑟3 = 40

𝑎𝑟 𝑟2 = 4010𝑟2 = 40𝑟2 = 4∴ 𝑟 = ±2

Karena suku-suku positif maka 𝑟 = 2𝑎𝑟 = 102𝑎 = 10𝑎 = 5

maka:

𝑈𝑛= 160𝑎𝑟𝑛−1= 160

5 ∙ 2𝑛−1 = 1602𝑛−1= 322𝑛−1= 25

𝑛 − 1 = 5∴ 𝑛 = 6

SIFAT-SIFAT DERET

Dalam deret aritmatika maupun deret geometri dapat menemukan sifat umum berikut ini.

𝑆1 = 𝑈1𝑆2 = 𝑈1 + 𝑈2 → 𝑆2 = 𝑆1 + 𝑈2 → 𝑈2 = 𝑆2 − 𝑆1𝑆3 = 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 → 𝑆3 = 𝑆2 + 𝑈3 → 𝑈3 = 𝑆3 − 𝑆2𝑆4 = 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + 𝑈4 → 𝑆4 = 𝑆3 + 𝑈4 → 𝑈4 = 𝑆4 − 𝑆3...𝑆𝑛 = 𝑈 1 + 𝑈2 + 𝑈3 + 𝑈4 +⋯+ 𝑈𝑛−1 + 𝑈𝑛

𝑆𝑛−1

𝑆𝑛 = 𝑆𝑛−1 + 𝑈𝑛 → 𝑈𝑛 = 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1

Dari uraian diatas dapat dituliskan hubungan antara suku ke-n dan jumlah n suku pertamadari deret aritmatika maupun deret geometri, sebagai berikut.

𝑈𝑛 = 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1

Contoh:

Dalam deret aritmatika ditemukan 𝑆𝑛 = 2𝑛2 + 𝑛 , hitunglah :a. 𝑈𝑛 b. 𝑈5 c. Beda

Jawab :a. 𝑈𝑛 = 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1

𝑆𝑛 = 2𝑛2 + 𝑛𝑆𝑛−1 = 2 𝑛 − 1 2 + 𝑛 − 1𝑆𝑛−1 = 2 𝑛2 − 2𝑛 + 1 + 𝑛 − 1𝑆𝑛−1 = 2𝑛2 − 4𝑛 + 2 + 𝑛 − 1 = 2𝑛2 − 3𝑛 + 1𝑈𝑛= 2𝑛2 + 𝑛 − 2𝑛2 + 3𝑛 − 1𝑈𝑛= 4𝑛 − 1

b. 𝑈5= 4 ∙ 5 − 1 = 20 − 1 = 19

c. 𝑏 = 𝑈5 − 𝑈4𝑈4= 4 ∙ 4 − 1 = 16 − 1 = 15

∴ 𝑏 = 19 − 15 = 4

Sifat Dasar Deret Aritmetika

1. Bila 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 +⋯+ 𝑈𝑛 merupakan deret aritmatika, maka :

2. Bila𝑈1, 𝑈2, 𝑈3 merupakan suku-suku pada deret aritmatika, maka:

𝑈2 − 𝑈1 = 𝑈3 − 𝑈2 = 𝑈4 − 𝑈3 = 𝑈5 − 𝑈4 = ⋯ = 𝑈𝑛 − 𝑈𝑛−1

2𝑈2 = 𝑈1 + 𝑈3

Contoh:Tentukan nilai dari 𝑥 agar barisan 𝑥 + 1, 3𝑥 − 5, 4 merupakan suku-suku dari deret aritmatika.

Jawab:

Kita gunakan sifat dasar kedua, yaitu 2𝑈2 = 𝑈1 + 𝑈3

2(3x - 5) = x + 1 + 46x –10= x + 56x –x= 5 + 105x = 15x = 3

Selain kedua sifat di atas dapat pula kita turunkan beberapa sifat dari deret aritmatika yang lain.Perhatikan kembali formula suku ke-n berikut ini :

𝑈𝑛 = 𝑎 + 𝑛 − 1

Dengan formula di atas dapat disusun kembali formula baru yang menyatakan hubungan antara suatu suku dengan suku yang lainnya.𝑈7 = 𝑎 + 6𝑏𝑈7 = 𝑎 + 3𝑏 + 3𝑏 = 𝑈4 + 3𝑏𝑈7 = 𝑎 + 4𝑏 + 2𝑏 = 𝑈5 + 2𝑏𝑈7 = 𝑎 + 2𝑏 + 4𝑏 = 𝑈3 + 4𝑏

Memo

7 = 1 + 67 = 4 + 37 = 5 + 27 = 3 + 4

Secara umum dapat dituliskan:

𝑈𝑝 = 𝑈𝑘 + 𝑝 − 𝑘 𝑏 𝑏 =𝑈𝑝 − 𝑈𝑘𝑝 − 𝑘

Contoh:

Bila 𝑈6 = 65 dan 𝑈10 = 97 dari deret aritmatika, tentukanlah :a. b b. 𝑈12

Jawab:

a. 𝑏 =𝑈10−𝑈6

10−6=

97−65

4= 8

b. 𝑈12 = 𝑈10 + 2𝑏𝑈12= 97 + 2 ∙ 8𝑈12= 97 + 16𝑈12= 113

atau

𝑈6 = 𝑈6 + 2𝑏𝑈6 = 65 + 6 ∙ 8𝑈6 = 65 + 48𝑈6 = 113

Sift Dasar Deret Geometri

1. Bila 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 +⋯+ 𝑈𝑛 merupakan deret geometri, maka :

2. Bila 𝑈1, 𝑈2, 𝑈3 merupakan suku-suku pada deret geometri, maka:

𝑈2𝑈1

=𝑈3𝑈2

= ⋯ =𝑈𝑛𝑈𝑛−1

= 𝑟

𝑈22 = 𝑈1 × 𝑈3

Contoh:

Tentukan nilai 𝑥 agar barisan 𝑥 + 2, 2, 𝑥 − 1 merupakan barisan geometri.

Jawab:

Memo

4 = 4 ∙ 1 atau

4 = (−1)(−4)

Berdasarkan sifat (2) barisan geometri, yaitu 𝑈22 = 𝑈1 × 𝑈3 ,

diperoleh:

22 = 𝑥 + 2 𝑥 − 14 = 𝑥 + 2 𝑥 − 1↔ 4 = 2 + 2 ∙ 2 − 1 , 𝑥 = 2↔ 4 = −3 + 2 ∙ −3 − 1 , 𝑥 = −3

Jadi, nilai 𝑥 adalah −3 atau 2

Selain kedua sifat di atas dapat juga kita menemukan sifat-sifat yang lain dari deretgeometri.Perhatikan Un = arn-1

Dengan formula itu didapat:U10 = ar9

U10 = (ar2) . r7= U3 . r7

U10 = (ar4 ). r7 = U5 . r5

Memo

Lihat Indeks

10 = 1 + 9

10 = 3 + 7

10 = 5 + 5

Secara umum di tuliskan:

𝑈𝑝 = 𝑈𝑘 ∙ 𝑟𝑝−𝑘 𝑟𝑝−𝑘 =

𝑈𝑝𝑈𝑘

Contoh:

Diketahui deret geometri dengan U3 = 24 dan U6 = 192. Tentukanlah :a. r b. U2

Jawab :

a. 𝑟3 =𝑈6

𝑈3

𝑟3 =192

24

𝑟3 = 8𝑟3 = 23

𝑟 = 2

b. 𝑈2 =𝑈3

𝑟𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑈2 =

𝑈6

𝑟4

𝑈2 =24

2𝑈2 =

192

24

𝑈2= 12 𝑈2 =192

16= 12

• KASMINA DAN TOALI. (2013). MATEMATIKA UNTUK SMK KELAS X. JAKARTA:

ERLANGGA

• HTTPS://WWW.YOUTUBE.COM/WATCH?V=KTBROFJEXSC

• HTTPS://WWW.YOUTUBE.COM/WATCH?V=YKZGO6YQNCG&T=6S

DAFTAR PUSTAKA