ahmad khairul umam, s.si., m.si. prodi matematika
TRANSCRIPT
Ahmad Khairul Umam, S.Si., M.Si.
Prodi Matematika, Universitas Billfath
ANALISIS REAL 1
Himpunan
Proposisi : Kalimat deklaratif yang bernilai benar atau salah, tetapi tidak dapat sekaligu keduanya.
Aksioma : Proposisi yang diasumsikan benar. Aksioma tidak memerlukan pembuktian kebenaran
lagi.
Teorema : Proposisi yang sudah terbukti benar. Bentuk khusus dari teorema adalah lemma dan
corolarry.
Lemma : Teorema sederhana yang digunakan dalam pembuktian teorema lain.
Corolarry(akibat) : Teorema yang dapat dibentuk langsung dari teorema yang telah dibuktikan.
Himpunan(set) : Kumpulan objek-objek yang berbeda.
Simbol-simbol baku:
β = Himpunan bilangan asli.
β€ = Himpunan bilangan bulat.
β = Himpunan bilangan real.
β = Himpunan bilangan rasional.
β = Himpunan bilangan kompleks.
Notasi pembentuk himpunan : {π₯| syarat yang harus dipenuhi oleh π₯}.
Tanda β|β dibaca dimana atau sedemikian sehingga.
Algoritma : urutan logis langkah-langkah penyelesaian masalah yang disusun sistematis.
Kuantor Universal : βπ₯ (untuk setiap atau untuk semua)
Kuantor Eksistensial : βπ₯ (ada atau beberapa)
Negasi/ingkaran:
βΌ [βπ₯, π(π₯)] = βπ₯, βΌ π(π₯)
βΌ [βπ₯, π(π₯)] = βπ₯, βΌ π(π₯)
Bilangan Asli (β)
Bilangan Bulat (β€)
Bilangan Rasional (β)
Bilangan Real (β)
Bilangan Kompleks (β)
Definisi 1. Dua himpunan dikatakan sama jika mereka memuat elemen-elemen yang sama. Jika
himpunan A dan B sama, maka dinotasikan dengan A=B.
Operasi pada Himpunan:
1. A irisan B (π¨ β© π©)
S A B
2. A gabungan B (π¨ βͺ π©)
S A B
3. A minus B (π¨ β π©)atau (π¨ β π©)
S A B
Teorema 1. Jika A, B, C adalah sebarang himpunan, maka
1. π΄ β (π΅ βͺ πΆ) = (π΄ β π΅) β© (π΄ β πΆ)
2. π΄ β (π΅ β© πΆ) = (π΄ β π΅) βͺ (π΄ β πΆ)
Bukti
1. Jika π₯ di dalam π΄ β (π΅ βͺ πΆ) maka π₯ di dalam π΄ tetapi tidak di (π΅ βͺ πΆ). Akibatnya π₯ di π΄ tetapi
tidak di π΅ dan tidak di πΆ. Berarti π₯ β π΄ β π΅ dan π₯ β π΄ β πΆ. Jadi π₯ β (π΄ β π΅) β© (π΄ β πΆ).
2. Jika π₯ di dalam π΄ β (π΅ β© πΆ) maka π₯ di dalam π΄ tetapi tidak di (π΅ β© πΆ). Bisa juga ada π₯ di π΄
yang juga ada di πΆ tetapi tidak di π΅. Selanjutnya, bisa juga ada π₯ di π΄ yang juga ada di π΅ tetapi
tidak di πΆ. Berarti π₯ β π΄ β π΅ atau π₯ β π΄ β πΆ. Jadi π₯ β (π΄ β π΅) βͺ (π΄ β πΆ).
Contoh
1. Diberikan sebarang himpunan π΄ dan π΅, tunjukkan bahwa himpunan π΄ β© π΅ dan π΄ β π΅ adalah
saling asing!
Bukti
Jika π₯ ada di dalam π΄ β© π΅, maka π₯ di dalam π΄ dan di dalam π΅. Untuk π₯ yang ada di dalam π΄ tetapi
tidak ada di dalam π΅ berarti tidak berada di dalam π΄ β© π΅. Jika π₯ ada di dalam π΄ β π΅ maka π₯ di
dalam π΄ tetapi tidak ada di dalam π΅. Karena tidak ada π₯ di dalam π΄ β© π΅ dan juga di dalam π΄ β π΅
maka π΄ β© π΅ dan π΄ β π΅ adalah saling asing.
Definisi 2. Himpunan A dan B dikatakan ekivalen (mempunyai kardinalitas yang sama) jika
terdapat suatu fungsi korespondensi 1-1 dari A kepada B, ditulis A ~ B.
Definisi 3. Diberikan suatu himpunan sebarang A, maka:
1. A dikatakan berhingga jika π΄~π½π
2. A dikatakan tak berhingga jika A bukan himpunan berhingga
3. A dikatakan terbilang jika π΄~β
4. A dikatakan tak terbilang jika A bukan himpunan yang berhingga atau yang terbilang
Contoh
1. Buktikan himpunan bilangan asli kurang dari 100 adalah himpunan berhingga!
2. Buktikan himpunan bilangan real β himpunan tak berhingga!
3. Buktikan himpunan πΆ = {0, 1, 2, 3, β¦ } adalah himpunan terbilang!
4. Buktikan bahwa himpunan semua bilangan bulat!
5. Buktikan himpunan semua bilangan rasional β terbilang!
Jawab
1. Himpunan bilangan asli kurang dari 100 yaitu
π΄ = {1, 2, 3, . . . ,99}.
Terlihat himpunan A berhingga.
2. Karena tidak ada batas atas dari bilangan real β.
3. Dibentuk fungsi π: β β πΆ dengan π(π) = π β 1 untuk setiap π β β.
4. Dibentuk fungsi π: β β β€ dengan
π(π₯) =
π
2 , untuk π genap
β(πβ1)
2, untuk π ganjil
5. Terbilang, karena bisa dibuat bentuk seperti ini
Fungsi
Definisi 4. Diberikan fungsi π: π΄ β π΅, maka:
1. Fungsi π dikatakan injektif (satu-satu) jika untuk setiap π₯1 β π₯2, maka π(π₯1) β π(π₯2).
2. Fungsi π dikatakan surjektif (pada/onto) jika π(π΄) = π΅.
3. Fungsi π dukatakan bijektif jika π fungsi injektif dan surjektif.
Cara membuktikan:
1. Fungsi Injektif : untuk setiap π₯1, π₯2 di A, jika π(π₯1) = π(π₯2), maka π₯1 = π₯2.
2. Fungsi Surjektif : untuk setiap π β π΅ terdapat paling sedikit satu π₯ β π΄ sedemikian sehingga
π(π₯) = π.
Contoh
1. Diberikan π(π₯) =π₯
π₯β1 dimana π₯ β β , π₯ β 1. Buktikan bahwa π(π₯) bijektif!
2. Apakah fungsi π: β β β dengan π(π₯) = π₯2 merupakan fungsi surjektif? Berikan alasan!
3. Berikan contoh dua fungsi π dan π pada β ke β sehinggaπ β π tetapi π β π = π β π!
Bukti
1. Pertama akan dibuktikan π(π₯) injektif. Anggap π(π₯1) = π(π₯2), sehingga π₯1
π₯1 β 1=
π₯2
π₯2 β 1
π₯1(π₯2 β 1) = π₯2(π₯1 β 1)
π₯1π₯2 β π₯1 = π₯1π₯2 β π₯2
π₯1 = π₯2
(Terbukti)
Kedua akan dibuktikan π(π₯) surjektif. Nilai fungsi π ditulis π¦ =π₯
π₯β1, π₯ β 1 dan dapat ditulis
menjadi
π¦(π₯ β 1) = π₯
π¦π₯ β 1 = π₯
π₯π¦ β π₯ = 1
π₯(π¦ β 1) = 1
π₯ =1
(π¦ β 1), π¦ β 1
Karena semua nilai π¦ β β , π¦ β 1 merupakan hasil dari π(π₯) maka terbukti π(π₯) surjektif.
2. Tidak. Karena ada π¦ < 0 β β dimana π(π₯) β π¦.
3. π(π₯) = 3π₯ + 5
π(π₯) =4π₯ + 5
2
Latihan Soal
1. Diberikan π(π₯) = 2π₯ dimana π: β β β. Buktikan bahwa π(π₯) bijektif!
2. Diberikan π(π₯) = 5π₯ + 2 dimana π: β β β. Buktikan bahwa π(π₯) bijektif!
Induksi Matematika
Cara membuktikan menggunakan induksi matematika:
1. π = 1 Benar
2. Misal π = π Benar
Maka π = π + 1 Benar
Contoh
1. Buktikan bahwa
1 + 2 + 3 + β― + π =π(π + 1)
2
Untuk setiap π β₯ 1!
Jawab
π = 1
1 =1(1 + 1)
2
1 =1(2)
2
1 = 1 (Benar)
π = π
1 + 2 + 3 + β― + π =π(π+1)
2 (Benar)
π = π + 1
1 + 2 + 3 + β― + π + (π + 1) =(π + 1)((π + 1) + 1)
2
π(π + 1)
2+ (π + 1) =
(π + 1)(π + 2)
2
π(π + 1)
2+
2(π + 1)
2=
(π + 1)(π + 2)
2
(π + 1)(π + 2)
2=
(π + 1)(π + 2)
2 (Benar)
(Terbukti)
Latihan Soal
1. Buktikan bahwa
1 + 3 + 5 + β― + (2π β 1) = π2
untuk setiap π β β!
2. Buktikan melalui induksi matematika
1(2) + 2(3) + β― + π(π + 1) =π(π + 1)(π + 2)
3
untuk π β₯ 1!
Bilangan Real
Definisi 5. Diberikan himpunan terurut S dengan urutan β€ dan πΈ β π. Himpunan πΈ dikatakan
terbatas ke atas jika terdapat suatu elemen π β π sehingga untuk setiap π₯ β πΈ berlaku π₯ β€ π.
Elemen π disebut batas atas himpunan πΈ.
Definisi 6. Diberikan himpunan terurut S dengan urutan β€ dan πΈ β π. Himpunan πΈ dikatakan
terbatas ke bawah jika terdapat suatu elemen π β π sehingga untuk setiap π₯ β πΈ berlaku π₯ β₯ π.
Elemen π disebut batas bawah himpunan πΈ.
Definisi 7. Diberikan himpunan terurut S dengan urutan β€, himpunan πΈ β π terbatas ke atas. Suatu
elemen π β π dikatakan batas atas terkecil (supremum) himpunan πΈ jika memenuhi ketentuan
berikut:
a. π batas atas himpunan E.
b. Jika π batas atas himpunan E, maka π β€ π
Definisi 8. Diberikan himpunan terurut S dengan urutan β€, himpunan πΈ β π terbatas ke bawah.
Suatu elemen π β π dikatakan batas bawah terbesar (infimum) himpunan πΈ jika memenuhi
ketentuan berikut:
a. π batas bawah himpunan E.
b. Jika π batas bawah himpunan E, maka π β₯ π
Berikut gambar nilai supremum dan infimum:
Contoh
1. Tentukan batas atas πΈ = {1, 2, β1, 4, 7}!
2. Tentukan Supremum dan Infimum dari himpunan πΈ = {1, 2, β1, 4, 7}!
Jawab
1. Batas atas πΈ adalah π₯ β₯ 7.
2. Sup E = {7}
Inf E = {β1}
Latihan Soal
1. Tentukan batas atas dan bawah π΄ = {1
π, π β β}!
2. Apakah himpunan bilangan asli β terbatas?
3. Misalkan π΄ = {π₯ β β | π₯2 β π₯ β 2 β₯ 0} dan π΅ = {π₯ β β | π₯2 β 4 < 0}. Tentukan:
a. π΄ β© π΅
b. π΄ βͺ π΅
c. π΄ β π΅
4. Misal π΄ = {π, π, π, π} dan π΅ = {1,2,3,4}. Selidiki apakah himpunan pasangan berurutan berikut
ini merupakan fungsi atau bukan:
β = {(π, 2), (π, 2), (π, 3), (π, 1), (π, 1)}!
5. Misalkan π(π₯) = π₯2 dimana π: β β β . Apakah fungsi π injektif? Jelaskan!
6. Buktikan dengan induksi matematika bahwa π3 + 2π adalah kelipatan 3 untuk semua π β₯ 1!
7. Tentukan Supremum dan Infimum dari himpunan πΈ = {1
π, π β β}! Tentukan juga apakah
Supremum dan Infimum berada di dalam E?
8. Tentukan Supremum dan Infimum dari himpunan π = {π₯2 < 9, π₯ β β}!
9. Misalkan π΄ = {1
2+ β― +
1
2π |π β β}. Buktikan bahwa sup π΄ = 1!
Teorema 2. Jika π β β dan 0 β€ π < π untuk setiap π > 0, maka π = 0.
Bukti
Anggap π > 0. Dapat diambil π0 =1
2π dimana 0 < π0 < π. Hal ini kontradiksi karena seharusnya
π < π untuk setiap π > 0. Maka haruslah π = 0.
Latihan Soal
1. Tentukan semua bilangan real yang memenuhi ketaksamaan di bawah ini:
a. 1
π₯< π₯
b. 1
π₯< π₯2
2. Buktikan bahwa ketaksamaan
2π > 2π + 1
benar untuk semua bilangan asli π β₯ 3!
3. Buktikan (Ketaksamaan Bernoulli) jika π₯ > β1 maka (1 + π₯)π β₯ 1 + ππ₯ untuk semua π β β!
4. Tentukan apakah fungsi π(π₯) = 3π₯2 β 1 injektif?
5. Tentukan apakah fungsi π(π₯) = 2π₯ surjektif?
6. Tentukan apakah fungsi β(π₯) = π₯3 bijektif?
7. Tentukan Supremum dan Infimum dari himpunan-himpunan berikut:
a. π = {1, 2, 3, 0, 4, 5}
b. π = (1,3) βͺ [4,5) βͺ [7,9]
c. π = {β1 < π₯ β€ 3, π₯ β β}
d. πΈ = {π₯2 β€ 4, π₯ β β}
8. Tentukan himpunan πΈ dimana sup πΈ = inf πΈ !
9. Tentukan Supremum dan Infimum dari himpunan-himpunan berikut
a. π΄ = {βπ, π β β}
b. π΅ = {1
π2 , π β β}
10. Tentukan juga apakah Supremum dan Infimum berada di dalam himpunan tersebut?
Medan
Definisi 9. Himpunan terurut Ο yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian disebut
suatu Medan jika memenuhi:
Aksioma Penjumlahan
J1. Jika π₯, π¦ β Ο, maka π₯ + π¦ β Ο
J2. Jika π₯, π¦ β Ο, maka π₯ + π¦ = π¦ + π₯ (komutatif)
J3. Untuk semua π₯, π¦, π§ β Ο, maka (π₯ + π¦) + π§ = π₯ + (π¦ + π§)
J4. Ο memuat elemen 0 sehingga 0 + π₯ = π₯, untuk setiap π₯ β Ο
J5. Untuk setiap π₯ β Ο, terdapat βπ₯ β Ο dan π₯ + (βπ₯) = 0
Aksioma Perkalian
K1. Jika π₯, π¦ β Ο, maka π₯π¦ β Ο
K2. Untuk semua π₯, π¦ β Ο, maka π₯π¦ = π¦π₯ (komutatif)
K3. Untuk semua π₯, π¦, π§ β Ο, maka (π₯π¦)π§ = π₯(π¦π§)
K4. Ο memuat elemen 1 β 0 sehingga 1π₯ = π₯ untuk setiap π₯ β Ο
K5. Jika π₯ β 0 β Ο, maka terdapat suatu elemen 1
π₯β Ο dan π₯ (
1
π₯) = 1
Hukum Distributif
Untuk setiap π₯, π¦, π§ β Ο berlaku π₯(π¦ + π§) = π₯π¦ + π₯π§.
Proposisi 1. Aksioma-aksioma penjumlahan mengakibatkan berlakunya pernyataan berikut:
i Jika π₯ + π¦ = π₯ + π§ maka π¦ = π§
ii Jika π₯ + π¦ = π₯ maka π¦ = 0
iii Jika π₯ + π¦ = 0 maka π¦ = βπ₯
iv β(βπ₯) = π₯
Bukti
i π¦ = 0 + π¦ = (βπ₯ + π₯) + π¦ = βπ₯ + (π₯ + π¦) = βπ₯ + (π₯ + π§) = (βπ₯ + π₯) + π§ = 0 + π§ = π§
ii Karena π₯ + π¦ = π₯, maka berdasarkan (i) dapat diambil π§ = 0 sehingga π¦ = 0
iii Dengan mengambil π§ = βπ₯, bersadarkan (i) diperoleh π¦ = βπ₯
iv Dari (iii) jika π₯ + π¦ = 0 maka π¦ = βπ₯, karena βπ₯ + π₯ = 0 maka π₯ = β(βπ₯).
Proposisi 2. Aksioma-aksioma perkalian mengakibatkan berlakunya pernyataan berikut:
i Jika π₯ β 0 dan π₯π¦ = π₯π§ maka π¦ = π§
ii Jika π₯ β 0 dan π₯π¦ = π₯ maka π¦ = 1
iii Jika π₯ β 0 dan π₯π¦ = 1 maka π¦ =1
π₯
iv Jika π₯ β 0 maka 1/1
π₯= π₯
Bukti
i Karena π₯ β 0 dan π₯π¦ = π₯π§, maka menurut aksioma perkalian,
π¦ = π¦1 = π¦ (π₯ (1
π₯)) = (π¦π₯) (
1
π₯) = (π₯π¦) (
1
π₯) = (π₯π§) (
1
π₯) = (π§π₯) (
1
π₯) = π§ (π₯ (
1
π₯)) = π§1 = π§
ii Karena π₯π¦ = π₯, maka berdasarkan (i) dapat diambil π§ = 1 sehingga π¦ = 1
iii Karena π₯ β 0 dengan mengambil π§ =1
π₯, bersadarkan (i) diperoleh π¦ =
1
π₯
iv Dari (iii) jika π₯ β 0 dan π₯π¦ = 1 maka π¦ =1
π₯, karena (
1
π₯) π₯ = 1 maka π₯ = 1/
1
π₯.
Proposisi 3. Untuk sebarang π₯, π¦, π§ β Ο berlaku pernyataan-pernyataan berikut:
i 0π₯ = 0
ii Jika π₯ β 0 dan π¦ β 0 maka π₯π¦ β 0
iii (βπ₯)π¦ = β(π₯π¦) = π₯(βπ¦)
iv (βπ₯)(βπ¦) = π₯π¦
Bukti
i Menurut aksioma distributif
0π₯ + 0π₯ = (0 + 0)π₯ = 0π₯
Menurut proposisi 1 no.(ii) didapatkan
0π₯ = 0
ii Disini akan dibuktikan dengan kontradiktif. Andaikan untuk π₯ β 0, π¦ β 0 dan π₯π¦ = 0, maka
1 = (1
π¦) π¦ = (
1
π¦) 1π¦ = (
1
π¦) π₯ (
1
π₯) π¦ = (
1
π¦) (
1
π₯) π₯π¦ = (
1
π¦) (
1
π₯) 0 = 0 atau 1 = 0, adalah suatu
kontradiksi. Jadi pernyataan (ii) benar.
iii Mengingat aksioma distributif, maka π₯π¦ + (βπ₯)π¦ = (π₯ + (βπ₯))π¦ = 0π¦ = 0, sehingga
menurut proposisi 1 no.(iii) (βπ₯)π¦ = βπ₯π¦. Demikian juga π₯π¦ + π₯(βπ¦) = π₯(π¦ + (βπ¦)) =
π₯0 = 0, sehingga menurut proposisi 1 no.(iii) π₯(βπ¦) = βπ₯π¦. Jadi terbukti (βπ₯)π¦ = β(π₯π¦) =
π₯(βπ¦).
iv Dengan menggunakan (iii) dan proposisi 1 no.(iv) diperoleh
(βπ₯)(βπ¦) == β(π₯(βπ¦)) = β(βπ₯π¦) = π₯π¦
Definisi 10. Suatu medan Ο dikatakan medan terurut jika Ο merupakan himpunan terurut dengan
sifat:
i Jika π₯, π¦, π§ β Ο dan π¦ < π§, maka π₯ + π¦ < π₯ + π§
ii Jika π₯, π¦ β Ο dengan π₯ > 0 dan π¦ > 0 maka π₯π¦ > 0
Jika π₯ > 0 maka π₯ disebut elemen positif, dan jika π₯ < 0 maka π₯ disebut elemen negatif.
Proposisi 4. Dalam medan terurut Ο berlaku pernyataan-pernyataan berikut:
i Jika π₯ > 0 maka β π₯ < 0 dan sebaliknya
ii Jika π₯ > 0 dan π¦ < π§ maka π₯π¦ < π₯π§
iii Jika π₯ < 0 dan π¦ < π§ maka π₯π¦ > π₯π§
iv Jika π₯ β 0 maka π₯2 > 0
v Jika 0 < π₯ < π¦ maka 1
π¦<
1
π₯
Bukti
i Jika π₯ > 0 maka βπ₯ = βπ₯ + 0 < βπ₯ + π₯ = 0, jadi β π₯ < 0. Jika π₯ < 0 maka β π₯ = βπ₯ +
0 > βπ₯ + π₯ = 0, jadi β π₯ > 0.
ii Karena π¦ < π§ maka menurut definisi 10 no. (i) 0 = βπ¦ + π¦ < βπ¦ + π§ = π§ β π¦. Karena π₯ > 0
maka menurut definisi 10 no. (ii) π₯(π§ β π¦) > 0. Untuk π₯π§ = π₯π§ β π₯π¦ + π₯π¦ = π₯(π§ β π¦) +
π₯π¦ > 0 + π₯π¦ = π₯π¦. Jadi π₯π¦ < π₯π§.
iii Karena π₯ < 0 maka menurut (i) β π₯ > 0. Jadi menurut (ii) berlaku (βπ₯)π¦ < (βπ₯)π§.
Selanjutnya berdasarkan proposisi 3 no. (iii) berlaku β(π₯π¦) < β(π₯π§), sehingga menurut
definisi 10 no. (i) berlaku 0 = π₯π¦ β π₯π¦ < π₯π¦ β π₯π§ atau π₯π¦ > π₯π§.
iv Jika π₯ β 0, maka π₯ > 0 atau π₯ < 0. Untuk π₯ > 0 maka menurut definisi 10 no. (ii) berlaku
π₯. π₯ = π₯2 > 0. Jika π₯ < 0 maka menurut (i) β π₯ > 0. Berdasarkan proposisi 3 no. (iv) bahwa
(β π₯)(β π₯) = π₯. π₯ = π₯2 > 0.
v Menurut (ii) dan proposisi 3 no. (i) berlaku pernyataan
Jika π¦ > 0 dan π§ β€ 0, maka π¦π§ β€ 0
Jadi pernyataan berikut juga benar
Jika π¦π§ > 0 dan π¦ > 0, maka π§ > 0
Karena π¦ (1
π¦) = 1 > 0 dan π¦ > 0 maka
1
π¦> 0. Karena 0 < π₯ < π¦ maka
1
π₯> 0. Karena
1
π₯> 0
dan 1
π₯> 0 maka menurut definisi 10 no. (ii) berlaku (
1
π₯) (
1
π¦) > 0. Dari ketaksamaan π₯ < π¦
diperoleh
(1
π₯) (
1
π¦) π₯ < (
1
π₯) (
1
π¦) π¦ atau
1
π¦<
1
π₯.
Nilai Mutlak
Definisi 11. Untuk setiap π₯ β β didefinisikan fungsi nilai mutlak
|π₯| = { π₯, π₯ β₯ 0βπ₯, π₯ < 0
Bentuk |π₯| disebut nilai mutlak (absolute value) dari π₯ β β yang nilainya selalu positif.
Teorema 3. Untuk setiap π₯, π¦ β β, berlaku:
i |π₯| = βπ₯2
ii β|π₯| β€ π₯ β€ |π₯|
iii |π₯π¦| = |π₯||π¦|
iv |π₯ + π¦| β€ |π₯| + |π¦|
v |π₯| β |π¦| β€ |π₯ β π¦| dan |π¦| β |π₯| β€ |π₯ β π¦|
Bukti
i Jika π₯ β₯ 0, maka |π₯|2 = π₯2 atau |π₯| = βπ₯2. Jika π₯ < 0, maka |π₯|2 = (βπ₯)2 = π₯2 atau |π₯| =
βπ₯2.
ii Jika π₯ β₯ 0, maka β|π₯| = βπ₯ β€ π₯ β€ |π₯|. Jika π₯ < 0, maka β|π₯| = β(βπ₯) = π₯ β€ βπ₯ β€ |π₯|.
iii Dari (i) didapat |π₯π¦| = β(π₯π¦)2 = βπ₯2π¦2 = βπ₯2βπ¦2 = |π₯||π¦|
iv Dari (i) |π₯ + π¦|2 = (π₯ + π¦)2 = π₯2 + 2π₯π¦ + π¦2
Dari (ii) β€ π₯2 + π¦2 + 2|π₯π¦|
Dari (i) dan (iii) = |π₯|2 + |π¦|2 + 2|π₯||π¦|
= (|π₯| + |π¦|)2
Atau
|π₯ + π¦| β€ |π₯| + |π¦|
v |π₯| = |π₯ β π¦ + π¦| β€ |π₯ β π¦| + |π¦| atau |π₯| β |π¦| β€ |π₯ β π¦|. Dengan cara yang sama dapat
dibuktikan |π¦| β |π₯| β€ |π₯ β π¦|.
Ruang Euclides
Definisi 12. Untuk setiap bilangan positif π, dibentuk himpunan pasangan terurut-π (π-tuple) dari
bilangan-bilangan real.
βπ = {οΏ½Μ οΏ½ = (π₯1, π₯2, β¦ , π₯π)|π₯π β β, 1 β€ π β€ π}
Bilangan-bilangan real π₯1, π₯2, β¦ , π₯π disebut koordinat.
Definisi 13. Untuk setiap οΏ½Μ οΏ½ = (π₯1, π₯2, β¦ , π₯π) di dalam βπ didefinisikan fungsi β. β: βπ β β,
dengan
βοΏ½Μ οΏ½β = (β π₯π2
π
π=1
)
12
yang disebut Norma vektor οΏ½Μ οΏ½. Fungsi β. β disebut Norm.
Perluasan Sistem Bilangan Real
Definisi 14. Sistem bilangan real yang diperluas dinotasikan dengan ββ. Sistem bilangan real yang
dperluas didefinisikan
ββ β€ π₯β β€ +β, untuk setiap π₯β β ββ.
Sifat-sifat:
i Untuk setiap bilangan real π₯ β β, berlaku:
β’ π₯ + β = β
β’ π₯ β β = ββ
β’ π₯
+β=
π₯
ββ= 0
ii Jika π₯ > 0, maka
β’ π₯(+β) = +β
β’ π₯(ββ) = ββ
iii Jika π₯ < 0, maka
β’ π₯(+β) = ββ
β’ π₯(ββ) = +β
The Archimedean Property
Teorema 4. (sifat Archimedes) Jika π₯, π¦ β β dan π₯ > 0 maka terdapatlah suatu bilangan bulat
positif π β β sedemikian sehingga ππ₯ > π¦.
Bukti
Ditinjau himpunan
π΄ = {ππ₯ | π β β dan π₯ > 0}
Anggap teorema di atas salah, maka untuk setiap π β β berlaku ππ₯ β€ π¦. Dengan demikian
himpunan π΄ tidak kosong dan terbatas ke atas dengan suatu batas atas π¦ β β. Karena π΄ β β dan β
mempunyai sifat batas atas terkecil, maka terdapatlah π β β dan π = sup A. Karena π₯ > 0 maka
π β π₯ < π dan π β π₯ bukan batas atas dari π΄. Ini berarti terdapat π β β sehingga π β π₯ < ππ₯,
dimana ππ₯ β π΄. Dari ketaksamaan π β π₯ < ππ₯ diperoleh π < (π + 1)π₯. Karena (π + 1) β β
maka (π + 1)π₯ β π΄ dan berlaku π < (π + 1)π₯. Hal ini kontradiksi dengan π = sup A. Jadi
pernyataan pada teorema 2 benar.
Ruang Metrik
Definisi 15. Diberikan himpunan tidak kosong π. Fungsi π: π π₯ π β β+ βͺ {0} disebut metrik pada
π jika memenuhi aksioma-aksioma:
M1. π(π₯, π¦) β₯ 0 untuk setiap π₯, π¦ β π
M2. π(π₯, π¦) = 0 jika dan hanya jika π₯ = π¦
M3. π(π₯, π¦) = π(π¦, π₯) untuk setiap π₯, π¦ β π
M4. π(π₯, π¦) β€ π(π₯, π§) + π(π§, π¦) untuk setiap π₯, π¦ dan π§ β π.
Himpunan π yang dilengkapi dengan fungsi jarak π, disebut ruang metrik dan dinyatakan dengan
(π, π).
Contoh
1. Garis bilangan real β dengan fungsi jarak π(π₯, π¦) = |π₯ β π¦| untuk setiap π₯, π¦ β β merupakan
metrik.
Bukti
M1. π(π₯, π¦) = |π₯ β π¦| β₯ 0 untuk setiap π₯, π¦ β β.
M2. (β) π(π₯, π¦) = |π₯ β π¦| = 0, maka π₯ = π¦.
(β) Diberikan π₯ = π¦, maka π(π₯, π¦) = |π₯ β π¦| = |π¦ β π¦| = |0| = 0.
M3. π(π₯, π¦) = |π₯ β π¦| = |π¦ β π₯| = π(π¦, π₯) untuk setiap π₯, π¦ β β.
M4. π(π₯, π¦) = |π₯ β π¦| = |π₯ β π§ + π§ β π¦| β€ |π₯ β π§| + |π§ β π¦| = π(π₯, π§) + π(π§, π¦) untuk setiap
π₯, π¦ dan π§ β β.
Latihan Soal
1. Buktikan Fungsi
π(π₯, π¦) = {1, jika π₯ β π¦0, jika π₯ = π¦
untuk setiap π₯, π¦ β β adalah metrik !
2. Diberikan π₯ = β2. Didefinisikan fungsi π: π π₯ π β β dengan
π(οΏ½Μ οΏ½, οΏ½Μ οΏ½) = ππππ {|π₯1 β π¦1|, |π₯2 β π¦2|}
untuk setiap οΏ½Μ οΏ½ = (π₯1, π₯2), οΏ½Μ οΏ½ = (π¦1, π¦2) β β2. Buktikan bahwa fungsi π adalah metrik !
3. Diberikan fungsi π yang didefinisikan oleh π(π, π) = β(π1 β π1)2 + (π2 β π2)2, dengan π =
(π1, π2) dan π = (π1, π2) adalah titik dalam bidang β2. Buktikan bahwa π adalah metrik pada
β2 !
Persekitaran/neighbourhood
Definisi 16. Diberikan ruang metrik (π, π), titik π β π dan bilangan π > 0. Himpunan berbentuk
ππ(π) = {π₯ β π|π(π, π₯) < π} disebut persekitaran titik π dengan jari-jari π > 0. Titik π disebut
pusat persekitaran ππ(π).
Contoh
1. Jika π = β dan π(π₯, π¦) = |π₯ β π¦|. Persekitaran titik π β β adalah
ππ(π) = {π₯ β π||π β π₯| < π} = (π β π, π + π)
merupakan interval terbuka.
( | )
π β π π π + π β
Latihan Soal
1. Jika π = β2 dan π(οΏ½Μ οΏ½, οΏ½Μ οΏ½) = β(π₯1 β π¦1)2 + (π₯2 β π¦2)2, untuk setiap οΏ½Μ οΏ½ = (π₯1, π₯2), οΏ½Μ οΏ½ =
(π¦1, π¦2) β β2. Tentukan persekitaran dari titik οΏ½Μ οΏ½ = (π1, π2) β β2 !
2. Jika π = β3 dengan metrik
π(οΏ½Μ οΏ½, οΏ½Μ οΏ½) = β(π₯1 β π¦1)2 + (π₯2 β π¦2)2 + (π₯3 β π¦3)2,
untuk setiap οΏ½Μ οΏ½ = (π₯1, π₯2, π₯3), οΏ½Μ οΏ½ = (π¦1, π¦2, π¦3) β β3. Tentukan persekitaran dari titik οΏ½Μ οΏ½ =
(π1, π2, π3) β β3!
Titik Interior
Definisi 17. Diberikan ruang metrik (π, π) dan himpunan π» β π. Titik π β π» dikatakan titik
interior dari π» jika terdapat persekitaran titik π dengan radius π > 0 yaitu ππ(π) sedemikian
sehingga ππ(π) β π».
Contoh
1. Himpunan semua titik interior dari π΄ = [π, π) adalah π΄β = (π, π).
2. π΅ = (1,5)
π΅β = (1,5)
3. π» = [7,5]
π»β = (7,5)
Latihan Soal
1. Tentukan titik interior dari:
a. π΄ = [4,5)
b. π΅ = {5} βͺ (11,14)
Titik Eksterior
Definisi 18. Diberikan ruang metrik (π, π) dan himpunan π» β π. Titik π β π»π dikatakan titik
eksterior dari π» jika terdapat persekitaran ππ(π) sedemikian sehingga ππ(π) β π»π. (πππ (π») =
π»π = πΌππ‘(π»π))
Contoh
1. Misalkan π» = (2,4), untuk π»π = (ββ, 2] βͺ [4, +β) maka π»π = (ββ, 2) βͺ (4, +β). Titik
batas dari π» = (2,4) adalah π»π = {2,4}.
Latihan Soal
1. Tentukan titik eksterior dan titik batas dari:
a. π = (ββ, 5)
b. π΄ = (1,2] βͺ {3}
Titik batas
Definisi 19. Diberikan ruang metrik (π, π) dan himpunan π» β π. Titik π β π dikatakan titik batas
himpunan π» jika setiap persekitaran titik π dengan radius π > 0 yaitu ππ(π) maka ππ(π)\π» β β
dan ππ(π)\π»π β β .
Himpunan semua titik batas π» ditulis π»π , dan titik batas himpunan π» yang merupakan anggota π»
dinamakan titik fountier.
Contoh
1. Misalkan himpunan π» β β dengan π» = [π, π). Tentukan titik batas himpunan π»!
2. Tentukan titik batas dari π· = (4,9)!
Jawab
1. π»π = {π, π}.
2. π·π = {4,9}
Latihan Soal
1. Tentukan titik batas dari:
a. πΈ = [1,7)
b. πΉ = {2} βͺ (4,7]
Titik limit
Definisi 20. Diberikan ruang metrik (π, π) dan himpunan π» β π. Titik π β π dikatakan titik limit
himpunan π» jika setiap persekitaran titik π dengan radius π > 0 yaitu ππ(π) maka {ππ(π)\{π}} β©
π» β β .
Contoh
1. Misalkan himpunan π» β β dengan π» = [π, π) βͺ {π} dan π > π. Tentukan titik limitnya!
2. Tentukan titik limit dari π΄ = (1,2)!
Jawab
1. π»β² = [π, π]
2. π΄β² = [1,2]
Latihan Soal
1. Tentukan titik limit dari:
a. π΅ = (2,5]
b. πΆ = {1} βͺ [3,7]
Teorema 5. Di dalam sebarang ruang metrik π, himpunan berhingga π» β π tidak mempunyai titik
limit.
Penutup himpunan (closure)
Definisi 21. Diberikan ruang metrik π, πΈ β π dan πΈβ² himpunan semua titik limit himpunan πΈ.
Penutup himpunan (closure) πΈ dinotasikan dengan οΏ½Μ οΏ½ adalah himpunan οΏ½Μ οΏ½ = πΈ βͺ πΈβ².
Contoh
1. Misalkan πΈ β β dan πΈ = (π, π), tentukan closure πΈ!
2. Tentukan closure dari π΄ = (1,2]!
Jawab
1. πΈ = (π, π), πΈβ² = [π, π]
οΏ½Μ οΏ½ = πΈ βͺ πΈβ² = (π, π) βͺ [π, π] = [π, π].
2. οΏ½Μ οΏ½ = [1,2]
Latihan Soal
1. Tentukan closure dari:
a. π΅ = (3,4)
b. πΆ = [5,7]
c. π· = {5} βͺ (7,9)
Himpunan terbuka dan tertutup
Definisi 22. Diberikan ruang metrik π dan πΊ adalah himpunan bagian tak kosong dari π. Himpunan
πΊ dikatakan terbuka jika setiap anggotanya merupakan titik interior himpunan πΊ.
Definisi 23. Diberikan ruang metrik π dan πΉ adalah himpunan bagian tak kosong dari π. Himpunan
πΉ dikatakan tertutup jika setiap titik limitnya termuat di dalam himpunan πΉ.
Contoh
1. Tentukan apakah himpunan berikut himpunan terbuka, tertutup, atau bukan keduanya:
a. π΄ = (1,5)
b. π΅ = [0,3]
c. πΆ = (β1,10]