PUSAT PERBUKUANDepartemen Pendidikan NasionaliKhazanahMatematika 2Rosihan Ari Y.Indriyastutiuntuk Kelas XI SMA dan MAProgram Ilmu Pengetahuan SosialiiPenulis : Rosihan Ari Y.IndriyastutiPerancang kulit : Agung WibawantoPerancang tata letak isi : Agung WibawantoPenata letak isi : BonawanIlustrator : KusdirgoPreliminary : viHalaman isi : 244 hlm.Ukuran buku : 17,6 x 25 cmKhazanahMatematikauntuk Kelas XI SMA dan MAProgram Ilmu Pengetahuan Sosial2HakCipta Pada Departemen Pendidikan NasionalDilindungi Undang-undang Hak Cipta Buku ini dibeli oleh Departemen Pendidikan Nasionaldari Penerbit Wangsa Jatra Lestari, PTDiterbitkan oleh Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan NasionalTahun2009Diperbanyakoleh ....510.07 ROSROSIHAN Ari Y k Khazanah Matematika 2 : untuk Kelas XI SMA / MAProgram Ilmu Pengertahuan Sosial / penulis, Rosihan Ari Y, Indriyastuti; ilustrator, Kusdirgo. --Jakarta : Pusat Perbukuan,Departemen Pendidikan Nasional, 2009. vi, 244 hlm, : ilus. ; 25 cm Bibliografi : hlm. 237-238 Indeks ISBN 978-979-068-858-2 (No. Jil lengkap)ISBN 978-979-068-860-5 1. Matematika-Studi dan Pengajaran I. Judul II.IndriyastutiIII. Kusdirgohttp://belajaronlinegratis.combukubse@belajaronlinegratis.comiiiSambutaniiiPujisyukurkamipanjatkankehadirat AllahSWT,berkat rahmat dan karunia-Nya, Pemerintah, dalam hal ini, Departemen Pendidikan Nasional, pada tahun 2009, telah membeli hak cipta buku teks pelajaran ini dari penulis/penerbit untuk disebarluas-kan kepada masyarakat melalui situs internet (website) Jaringan Pendidikan Nasional.BukutekspelajaraninitelahdinilaiolehBadanStandar NasionalPendidikandantelahditetapkansebagaibukuteks pelajaranyangmemenuhisyaratkelayakanuntukdigunakan dalam proses pembelajaran melalui Peraturan Menteri Pendidi-kanNasionalNomor81Tahun2008Tanggal11Desember 2008.Kami menyampaikan penghargaan yang setinggi-tingginya kepada para penulis/penerbit yang telah berkenan mengalihkan hakciptakaryanyakepadaDepartemenPendidikanNasional untuk digunakan secara luas oleh para siswa dan guru di seluruh Indonesia.Buku-buku teks pelajaran yang telah dialihkan hak ciptanya kepadaDepartemenPendidikanNasionalini,dapatdiunduh (download),digandakan,dicetak,dialihmediakan,atau difotokopiolehmasyarakat.Namun,untukpenggandaanyang bersifatkomersialhargapenjualannyaharusmemenuhiketen-tuan yang ditetapkan oleh Pemerintah. Diharapkan bahwa buku teks pelajaran ini akan lebih mudah diakses sehingga siswa dan gurudiseluruhIndonesiamaupunsekolahIndonesiayang berada di luar negeri dapat memanfaatkan sumber belajar ini.Kamiberharap,semuapihakdapatmendukungkebijakan ini. Kepada para siswa kami ucapkan selamat belajar dan man-faatkanlahbukuinisebaik-baiknya.Kamimenyadaribahwa bukuinimasihperluditingkatkanmutunya.Olehkarenaitu, saran dan kritik sangat kami harapkan.Jakarta, Juni 2009Kepala Pusat PerbukuaniiiPrakataPenulis mengucapkan selamat kepada kalian yang telah naikkekelasXI.KalianmasukdalamProgramIlmuPengetahuanSosial(IPS).Tentunyahalinimenjadikebanggaantersendiri.Semoga kalian terpacu untuk lebih semangat lagi dalam belajar.Teruslah rajin belajar, gigih, pantang menyerah, dan jangan lupaberdoa kepada Tuhan agar cita-cita kalian tercapai.Buku Khazanah Matematika ini akan membantu kalian dalammempelajarimatematika.Bukuinidisusundenganurutanpenyajian sedemikian rupa sehingga kalian akan merasa senanguntukmendalaminya.Bukuiniakanmembantukaliandalambelajar. Dalam pembelajarannya, buku ini menuntut kalian untukaktif dan bertindak sebagai subjek pembelajaran. Kalian dituntutuntukmengobservasi,mengonstruksi,mengeksplorasi,danmenemukan sendiri konsep-konsep matematika sehingga kalianakan menjadi orang yang dapat berpikir kritis, kreatif, dan inovatif.Di kelas XI Program IPS ini, kalian akan mempelajari materi-materi berikut: Statistika Peluang Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers Limit Fungsi Turunan FungsiPenulisberharapsemogabukuinidapatmembantukaliandalammempelajarikonsep-konsepmatematika.Akhirnya,semoga kalian sukses.Solo, Februari 2008PenulisDaftar IsiPrakata ivvSambutan iiiDaftar Isi Bab II PeluangA. Aturan Perkalian, Permutasi, dan Kom-binasi71B. PeluangSuatuKejadiandanKomple-mennya91C. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian103D. Peluang Kejadian Majemuk104Rangkuman116Tes Kemampuan BabII117Latihan Ulangan Umum Semester 1121Semester 1Bab I StatistikaA. Statistik dan Statistika 3B. Membaca dan Menyajikan Data 4C. Tabel Distribusi Frekuensi 27D. MenggambarHistogram,PoligonFrekuensi, dan Ogif 32E. MenentukanNilaiStatistikDataBerkelompok 34F. Pemeriksaan Data yang Tidak Konsisten58Rangkuman 62Tes Kemampuan Bab I 63ivviBab III Fungsi Komposisi dan Fungsi InversA. Fungsi dan Sifat-Sifatnya 129B. Operasi Aljabar pada Fungsi 135C. Fungsi Komposisi 138D. Fungsi Invers 147E. Invers Fungsi Komposisi 156Rangkuman 160Tes Kemampuan BabIII 161Semester 2Daftar Pustaka 237Glosarium 239Indeks Subjek 242Kunci Soal-Soal Terpilih 243Bab IV Limit FungsiA. Definisi Limit Fungsi Aljabar 167B. Menentukan Nilai Limit Fungsi Aljabar170C. Sifat-Sifat Limit dan Penggunaannya 183D. Limit Fungsi yang Mengarah ke KonsepTurunan 186Rangkuman 190Tes Kemampuan BabIV191Bab V TurunanA. Turunan dan Tinjauan Geometrinya197B. Turunan Fungsi Aljabar202C. Sifat-Sifat Turunan Suatu Fungsi204D. MenentukanTurunandenganAturanRantai (Pengayaan)206E. FungsiNaik,FungsiTurun,danNilaiStasioner208F. Menggambar Grafik Fungsi214G. Aplikasi Turunan216Rangkuman224Tes Kemampuan BabV226Latihan Ulangan Umum Semester 22311 StatistikaSumber: Dokumen PenerbitStatistikaI BabTujuan PembelajaranSetelahmempelajaribabini, diharapkan kalian dapat1. membacadatadalambentukdiagramgaris,diagrambatangdaun,dandiagramkotakgaris;2. menyatakan data dalambentukdiagramgaris,diagrambatangdaun,dandiagramkotakgaris;3. membacadatadalambentuk tabel distribusifrekuensi dan histogram;4. menyajikan data dalambentuk tabel distribusifrekuensi dan histogram;5. menafsirkankecen-derungandatadalambentuktabeldandia-gram;6. menentukanukuranpemusatandata:ra-taan, median, dan mo-dus;7. menentukanukuranletakdata:kuartildandesil;8. menentukanukuranpenyebarandata:ren-tang, simpangan kuartil,dan simpangan baku;9. memeriksadatayangtidakkonsistendalamkelompoknya;10.memberikantafsiranterhadapukuranpe-musatan, ukuran letak,danukuranpenye-baran.MotivasiPernahkah kalian memerhatikan salah satu kegiatan ekonomidi suatu pasar, swalayan, mal, atau minimarket? Seorang penjagastan di tempat-tempat tersebut tentu akan selalu mencatat jumlahbarangdaganganyangterjualpadaperiodetertentu,misalnyasetiap sore atau setiap hari sekali.Kegiatanyangdilakukanolehpenjagastaninidapatdikatakan sebagai kegiatan pengumpulan suatu informasi. Dalamhal ini, informasi berupa angka-angka yang menyatakan jumlahpenjualan suatu barang. Berawal dari kegiatan seperti ini, kaliandapat mengerti apa arti statistik.2 Khaz Matematika SMA 2 IPSPenyajian Data Pengolahan Data Pengumpulan DataMetodePengambilanSampelTabel Diagram GrafikUkuran DataUkuranPemusatanUkuranLetakUkuranPenyebaranmempelajariStatistika data datum desil diagram frekuensi histogram jangkauan kuartil kumulatif langkah mean median modus ogif pagar poligonmelalui simpangan kuartil simpangan rata-rata statistik statistik deskriptif statistika tabel distribusi tally variansmewakiliKata KunciPeta Konsepmeliputiberupa3 StatistikaKetikamasihdudukdiSMP,kaliantelahdiperkenalkandengan statistika meskipun masih sangat sederhana. Kalian telahmengenalpengumpulandata,mengurutkandatatunggal,menentukan mean, median, modus, dan kuartil data tunggal, danmenyajikan data dalam bentuk berbagai diagram. Materi-materiyang telah kalian peroleh itu akan kita bahas lebih mendalam,denganpenambahanbeberapamateriyangsebelumnyabelumkalian peroleh di SMP, seperti kuartil, desil, diagram batang daun,diagram kotak garis, dan pemeriksaan data yang tidak konsisten.Sebelummempelajaribabini,cobajawablahpertanyaan-pertanyaan berikut.Jikapertanyaan-pertanyaandiatastelahterjawab,mudahbagi kalian untuk mempelajari materi berikut. Untuk itu, marikita mulai materi ini.A. Statistik dan StatistikaPada tabel di atas tampak bahwa harga pakaian jenis V adalahRp30.000,00. Dari informasi yang terdapat pada tabel tersebut,angka Rp30.000,00 dinamakan datum, sedangkan keseluruhanhargadari8jenispakaianitudinamakandata.Datadapatdiperolehdenganwawancara,kuesioner,danobservasi.Wawancaradilakukansecaralangsungdengannarasumber.Kuesioner dilakukan dengan cara menyusun sejumlah pertanyaandalamsuatudaftar,kemudiandisebarkankepadaorangyanghendak diambil datanya. Observasi dilakukan dengan melakukanpengamatanterhadapobjekatauorangyangakandiambilPrasyaratKerjakan di bukutugas1. Apa yang dimaksud dengan mean, median, dan modus,?Berapakah mean, median, dan modus dari data: 3, 1, 2, 3,2, 1, 4, 5, 2, 6?2. Apa yang dimaksud data tunggal dan data berkelompok?Berikan contohnya.3. Apakah yang dimaksud diagram garis, diagram batang,dan diagram lingkaran?Misalkandari8jenispakaianyangdijualdiswalayan,harganya masing-masing ditampilkan pada tabel berikut.I II III IV V VI VII VIII20 25 27 28 30 45 50 80Jenis PakaianHarga Pakaian (ribuan rupiah)4 Khaz Matematika SMA 2 IPSdatanya. Setelah diperoleh data, agar lebih mudah dianalisis, datadisederhanakanbaikdenganpenyusunan,pengelompokan,maupun pembulatan. Dari data di atas juga tampak bahwa hargapakaiantermurah(terendah)adalahjenispakaianI,yaituRp20.000,00 dan harga pakaian termahal (tertinggi) adalah jenispakaian VIII, yaitu Rp80.000,00.Nilai-nilaihargatermahaldanhargatermurahdalamkumpulan datum di atas termasuk statistik. Selain nilai terendahdan tertinggi dari suatu data, statistik lainnya adalah rataan hitung(mean), nilai tengah (median), nilai yang sering muncul (modus),dan kuartil. Nilai-nilai ini akan kita pelajari pada subbab berikut.Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa statistik adalah ukuran-ukuranyangdapatmewakilisuatukumpulandatum.Statistikdapat diperoleh dari hasil perhitungan terhadap data yang ada.Ilmuyangmempelajaritentangmetodepengumpulan,perhitungan, pengolahan, cara menganalisis data, serta penarikansuatu kesimpulan dinamakan statistika.B. Membaca dan Menyajikan DataSeperti yang telah kalian ketahui bahwa data dapat diperolehmelalui wawancara, kuesioner, dan observasi. Data-data itu akanmudah dipahami atau dibaca jika disajikan dalam sajian tertentu.Penyajiandatadapatberupatabelmaupundiagram.Sebelumkalianmempelajaribentuk-bentukpenyajianitu,mariterlebihdahulu kita pelajari beberapa statistik deskriptif berikut.1. Menyajikan Data Ukuran Menjadi Data StatistikDeskriptifKaliantelahmengetahuipengertiandata,datum,statistik,dan statistika. Data awal yang diperoleh baik dengan wawancara,kuesioner, maupun observasi ada yang bersifat kualitatif (baik,buruk, sedang) dan ada yang bersifat kuantitatif (berupa angka-angka). Data yang bersifat kuantitatif terdiri atas data cacahan(diskret), dan data ukuran (kontinu). Misalnya, jumlah siswa kelasXI ada 120 putra dan 90 putri (data diskret), sedangkan waktuyangdiperlukanuntukmenempuhKotaBarukeKotaDamai4,5 jam (data kontinu).Sekarangmarikitamengingatkembalibeberapaukuran(statistik), di antaranya adalah mean, median, modus, dan kuartil.Di samping itu, kita juga akan mengenal statistik lima serangkai,desil, jangkauan data, dan jangkauan antarkuartil.5 Statistikaa. Rataan Hitung (Mean)Untuk memahami rataan hitung, perhatikan ilustrasi berikut ini.MisalkannilaiMatematikaDina8dannilaiMatematika Andi10. Nilai rata-rata mereka dapat dicari dengan cara 8 102 9.+=Misalkan nilai Matematika Dina 8, Andi 10, dan Damar 6.Nilai rata-rata mereka dapat dicari dengan cara 8 10 63 8.+ +=Misalkannilaimatematikasiswapertamax1,siswakeduax2, siswa ketiga x3, ... dan siswa ke-n xn. Dapatkah kalian menen-tukan nilai rata-rata mereka? Tentu, nilai rata-rata mereka adalahx x x xnn 1 2 3 ...+ + + +.Dengan demikian, dapat dikatakan sebagai berikut.Misalkan suatu data terdiri atas n datum, yaitu x1, x2, x3, ...,xn. Jikaxmenyatakan rataan hitung (mean) data tersebut makarumusan untukxadalahnx x x xxn... 3 2 1+ + + +=Simbolxdibaca x bar.Jika x1 + x2 + x3 + ... + xn dinyatakan dalam notasi sigma,dapat ditulis. ...13 2 1_== + + + +nii nx x x x xDengan demikian,xdapat ditulis dengannxx xnxniinii__=== =11atau1 _=niix1 dibaca sigma xi, untuk i = 1 sampai n.b. Nilai Tengah (Median)Perhatikan data berikut.4, 3, 5, 5, 6, 7, 8, 7, 9Data tersebut jika diurutkan dari terkecil hingga terbesar, tampaksebagai berikut.3, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 9Kuis Kerjakan di buku tugasNilai rata-rata ulangan kelasAadalahxAdankelasBadalahxB.Setelahkeduakelasitudigabung,nilairata-ratanya adalahx . JikaxA:xB = 10 : 9 danx:xB=85:81,perbandinganbanyaknya siswa di kelas Adan B adalah ....a. 8 : 9 d. 3 : 5b. 4 : 5 e. 9 : 10c. 3 : 46 Khaz Matematika SMA 2 IPSSetelahdataterurut,kitadapatmenyatakankorespondensiberikut.3 4 5 5 6 7 7 8 9 x1x2x3x4x5x6x7x8x9Dari data terurut di atas, datum yang terletak di tengah-tengahdataadalahdatumke-5ataux5=6.Nilaiinilahyangdisebutmedian atau nilai tengah. Secara umum, misalkan diberikan suatudata terdiri atas n datum, yaitu x1, x2, x3, ... xn, dengan x1 < x2 < x3< < xn. Nilai tengah (median) data tersebut dapat ditentukandengan cara berikut.1) Jika n ganjil, median data itu adalah datum ke-21 + n, yaitumedian = 21 + nx2) Jikangenap,mediandataituadalahnilaitengahantaradatum ke-2n dan datum ke-n21 +[\), yaitumedian = jj)||\[++12 2 21n nx xc. Nilai yang Sering Muncul (Modus)Kaliantentumasihingatdenganmodus.DiSMPkaliansudahmempelajarinya.Sekarangkalianhanyamemperdalam.Sebelummempelajarinyalebihlanjut,cobakerjakantugasberikut.MariBerdiskusiInvestigasiCarilah data tinggi badan teman-teman sekelasmu (dalam cm).Kemudian,buatlahtabelsepertidibawahini.Selanjutnya,masukkan data yang kamu peroleh ke dalam tabel tersebut.Daridatadiatas,tentukantinggibadansiswayangmempunyai jumlah paling banyak?Tinggi Badan Jumlah Siswa150 ...... ...... ...... ...... ...7 StatistikaContoh:Diketahui data pengukuran berat badan 10 siswa kelas XI IPSadalah sebagai berikut (dalam kg).45,50,50,51,55,48,50,49,44,55Tentukan mean, median, dan modus dari data pengukuran beratbadan tersebut.Jawab:Untuk mempermudah mencari nilai median, terlebih dahuludata tersebut diurutkan dari yang mempunyai nilai terkecil keterbesar seperti berikut.44, 45, 48, 49, 50, 50, 50, 51, 55, 55x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10Setelahdataterurut,kitadapatmenentukanmean,median,dan modus data itu dengan mudah.1) meanx =1055 55 51 50 50 50 49 48 45 44 + + + + + + + + += 49,7 kg2) Karenan=10(genap),berartimediannyamerupakanrataan hitung dari datum ke-5 dan ke-6 dari data terurut,yaitu x5 = 50 dan x6 = 50.Jadi, median = x x5 6250 50250 kg.+=+=3) Karena datum yang memiliki frekuensi tertinggi adalah50 kg (muncul 3 kali) maka modus data itu adalah 50 kg.Setelah berdiskusi dengan teman-temanmu, tentu kalian dapatmenentukan data manakah yang sering muncul. Agar lebih jelaslagi, coba pahami contoh kasus nilai ulangan Nina berikut.Dalam suatu semester, nilai ulangan harian Matematika yangdiperoleh Nina adalah 6, 8, 8, 6, 6, 7, 8, 8, 9, 8, 10, dan 10. Darinilai ulangan harian Matematika itu, ternyata Nina mendapatnilai 6 sebanyak 3 kali; nilai 9 sebanyak 1 kali;nilai 7 sebanyak 1 kali; nilai 10 sebanyak 2 kali.nilai 8 sebanyak 5 kali;Dari nilai ulangan itu, tingkat kekerapan muncul (frekuensi)tertingginya adalah nilai 8, yaitu sebanyak 5 kali. Jadi, nilai modusdata di atas adalah 8. Jadi, modus dapat diartikan sebagai nilaidatumyangmemilikifrekuensitertinggidarisuatudata.Datayangmemilikiduamodusdisebutbimodaldandatayangmemiliki lebih dari dua modus disebut multimodal.Agustelahberulangkalimengikutiulangan.JikaAgusmendapatnilai71padaulanganyangakandatang, rata-rata ulangannyaadalah83,sedangkanjikamendapat96,rata-ratanyaadalah88.Berapakaliulanganyangtelahditem-puh oleh Agus?Lomba MatematikaNasional UGM 2006TantanganPenalaran Kerjakan di buku tugas 8 Khaz Matematika SMA 2 IPSd. KuartilMisalkan terdapat data x1, x2, x3, ... xn, dengan x1< x2 < x3 < ...< xn. Jika kuartil pertama (kuartil bawah) Q1, kuartil kedua (kuartiltengah) Q2, dan kuartil ketiga (kuartil atas) Q3 maka letak dariQ1,Q2,danQ3dapatdiilustrasikanpadagambardisamping.Kuartil membagi data menjadi 4 bagian sama banyak.Banyakdatumdarisuatudataadalah100%.Dengandemikian, dapat dikatakan bahwa1) banyak datum yang kurang dari atau sama dengan Q1 adalah25%;2) banyak datum yang kurang dari atau sama dengan Q2 adalah50%;3) banyak datum yang kurang dari atau sama dengan Q3 adalah75%.Meskipundemikian,nilai-nilaiQ1,Q2,maupunQ3tidakharus tepat berada pada suatu datum tertentu, tetapi boleh beradadi antara 2 datum.Letak kuartil ke-i, Qi, untuk i = 1, 2, 3, dari suatu data yangjumlahnya n datum secara umum dituliskanletak Qi = datum ke-41) ( + n iDengan memedulikan letak Qi pada rumus di atas, letak Qi tidakselalupadaposisidatumke-i. Artinya,Qibolehterletakpadasuatudatumatauterletakdiantaraduadatum.Untukitudigunakan pola pendekatan atau interpolasi. Perhatikan contoh-contoh berikut.x1Q1Q2Q3xn25% 25% 25% 25%Gambar 1.1Contoh:Tentukan Q1, Q2, dan Q3 dari data berikut.a. 4, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 9, 10 (n = 11)b. 4, 4, 5, 5, 5, 6, 7, 8, 8, 9 (n = 10)c. 3, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9 (n = 9)x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10x11 Q1Q2Q3 4 5 5 6 7 7 7 7 8 9 10Jawab:a.PerhatikanQ2membagidatamenjadi2bagian,sebelahkiri Q2, yaitu 4, 5, 5, 6, 7 dan sebelah kanan Q2, yaitu 7, 7,8, 9, 10. Q1 membagi data dari sebelah kiri Q2 menjadi 2Bagaimanamenentukankuartilbawah,tengah,danatasjikasuatudataterdiriatastigadatumatauduadatum?Dapatkahditen-tukan? Berikan alasanmu.Tugas: Berpikir Kritis Kerjakan di buku tugas9 Statistikabagian,sebelahkiri Q1,yaitu4,5dansebelahkananQ1,yaitu 6, 7. Q3 membagi data di sebelah kanan Q2 menjadi 2bagian yang sama frekuensinya, sebelah kiri Q3, yaitu 7, 7dan sebelah kanan Q3, yaitu 9, 10.b. Data sudah terurut naik (n = 10).4 4 5 5 5 6 7 8 8 9 x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10Letak Q1= datum ke-41) 1(10 += datum ke-234Artinya,Q1terletakdiantaradatumke-2(x2)danke-3(x3).Olehkarenaitu,kitagunakanpendekatandatuminterpolasi berikut.Q1= x2 + 43(x3 x2)= 4 + 43(5 4)= 4,75Letak Q2= datum ke-41) 2(10 += datum ke-512Artinya, Q2 terletak di antara datum ke-5 dan ke-6. Jadi,Q2= x5 + 21(x6 x5)= 5 + 21(6 5)= 5,5Letak Q3= datum ke-41) 3(10 += datum ke-814Artinya, Q3 terletak di antara datum ke-8 dan ke-9. Jadi,Q3= x8 + 41(x9 x8)= 8 + 41(8 8) = 810 Khaz Matematika SMA 2 IPSc. Datasudahterurutnaik(n=9).Dengancaraserupa,diperoleh3 7 7 8 8 8 8 9 9 x1x2x3x4x5x6x7x8x9Letak Q1= datum ke-41) 1(9 += datum ke-221Dengan demikian, Q1 terletak di antara datum kedua danketiga, yaituQ1= x2 + 21(x3 x2)= 7 + 21(7 7)= 7Letak Q2= datum ke-41) 2(9 + = datum ke-5Jadi, Q2= x5= 8.Letak Q3= datum ke-41) 3(9 + = datum ke-721Jadi,Q3terletakantaradatumketujuhdandatumkedelapan, yaituQ3= x7 + 21(x8 x7)= 8 + 21(9 8)= 821e. Statistik Lima SerangkaiMisalkan terdapat data x1, x2, x3, ..., xn, dengan x1 < x2 < x3 < ...< xn. Nilai maksimum data tersebut adalah xn dan nilai minimumnyax1. Jika nilai maksimum dinyatakan dengan xmaks dan nilai minimumdinyatakan dengan xmin maka xn = xmaks dan x1 = xmin.Kalian juga telah mempelajari kuartil, yaitu Q1, Q2, dan Q3.Rangkaianstatistik(ukuran)yangterdiriatasxmin,Q1,Q2,Q3,11 Statistikadan xmaks dinamakan statistik lima serangkai. Kelima ukuran inidapatdigunakanuntukmengetahuikecenderunganpemusatandata. Statistik lima serangkai biasanya dinyatakan dalam baganberikut.Q2Q1Q3xminxmaksPerhatianUntukmenentukannilai-nilai statistik lima serangkai,dataharusterurut(bolehterurutnaikbolehjugaterurut menurun).Contoh:Tentukan statistik lima serangkai dari data: 1, 3, 2, 4, 2, 5, 7, 9,8, 7, 3.Jawab:Nilai-nilaidatumbelumterurutnaik.Olehkarenaitu,kitaurutkan dari terkecil terlebih dahulu, seperti berikut:1 2 2 3 3 4 5 7 7 8 9 x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10x11xminQ1Q2 Q3xmaksPada korespondensi di atas, diperoleh statistik berikut.1) xmin = 12) Q1 = datum ke-41) 1(11+ = datum ke-3 = x3 = 23) Q2 = datum ke-41) 2(11+ = datum ke-6 = x6 = 44) Q3 = datum ke-41) 3(11+ = datum ke-9 = x9 = 75) xmaks = 9Dengandemikian,baganstatistiklimaserangkaidapatdinyatakan dalam bagan berikut.Q2 = 4Q1 = 2 Q3 = 7xmin = 1 xmaks = 912 Khaz Matematika SMA 2 IPSContoh:MariBerdiskusiBerpikir kritisMisalkanterdapatdatax1,x2,...xn.Mungkinkahdataitumemiliki xmin, Q1, Q2, Q3, dan xmaks yang sama? Jika mungkin,datasepertiapakahitu?Berikancontohnya.Jikatidakmungkin, mengapa demikian? Berikan alasannya.x1D1D2D3xn10% 10% 10% 10%D4D5D6D7D8D910% 10% 10% 10% 10% 10%f. DesilKalian telah mempelajari bagaimana cara menentukan kuartildari suatu data. Sekarang, kalian diperkenalkan dengan ukuranlain, yaitu desil. Sesuai dengan namanya, desil membagi suatudata menjadi sepuluh bagian yang sama. Karena desil membagi10 bagian, maka terdapat 9 desil. Desil pertama D1, desil keduaD2, , desil ke-9 D9. Perhatikan gambar berikut.Gambar 1.2Statistik minimum dari data di atas adalah x1, dan statistikmaksimumnyaxn.Sepertihalnyadengankuartil,untukmenentukan desil, data harus sudah terurut naik terlebih dahulu.Letak desil ke-i dari suatu data yang terdiri atas n datum dengani = 1, 2, 3, ., 9 dapat ditentukan dengan rumusletak Di = datum ke-101) ( + n iLetak desil tidak harus tepat berada pada suatu datum, tetapiboleh berada di antara dua datum berurutan.Adapun cara menentukan nilai desil yang berada di antaradua datum dapat digunakan pendekatan atau interpolasi, sepertipada saat kalian menentukan nilai kuartil yang letaknya beradadi antara dua datum.Diketahui data : 4, 3, 7, 6, 6, 5, 4, 7, 9, 8, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 9, 7,9, 8.Tentukan D1, D5, dan D9.Jawab:Data di atas belum terurut. Oleh karena itu, kita urutkan terlebihdahulu seperti berikut.3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 913 StatistikaSetelah data terurut naik, kita dapat dengan mudah mengetahuiurutan x1, x2, x3, ..., x20.1) letak D1= datum ke-101) (20 1 += datum ke-2101Jadi, D1 terletak di antara datum ke-2 dan ke-3. Karenax2 = 4, dan x3 = 4, dengan interpolasi, dapat kita tentukanD1=x2 + 101(x3 x2)= 4 + 101(4 4) = 42) letak D5= datum ke-101) (20 5 += datum ke-1012Jadi, D5 terletak di antara datum ke-10 dan ke-11. Karenax10 = 7 danx11 = 7 dapat kita tentukanD5= x10 + 21(x11 x10)= 7 + 21(7 7)= 73) letak D9= datum ke-101) (20 9 += datum ke-18910Jadi, D9 terletak di antara datum ke-18 dan ke-19. Karenax18 = 9 dan x19 = 9, dengan interpolasi, dapat kita tentukanD9= x18 + 109(x19 x18)= 9 + 109(9 9) = 9Tugas: Observasi Kerjakan di buku tugasLakukansecaraberkelom-pok.Carilahdatadengansalah satu cara berikut:a. wawancara;b. kuesioner;c. observasi.Pilihlahdatayangmenurutkalianmenarik,misalnyahasil pertanian pada periodetertentu.Daridatayangkalianperoleh,tentukanmean, median, modus, kuar-til-kuartil,dandesil-desil-nya. Khusus untuk median,kuartil ke-2, dan desil ke-5,apakah nilainya sama?g. Jangkauan Data, Jangkauan Antarkuartil, Langkah, danPagarPadapembahasansebelumnya,kaliantelahmempelajarimean,median,modus,kuartil,dandesil.Ukuran-ukuranitu14 Khaz Matematika SMA 2 IPSdinamakanukuranpemusatandata.Disampingukuranpemusatan data, juga ada ukuran penyebaran data atau ukurandispersi, di antaranya jangkauan data dan jangkauan antarkuartil.1) Jangkauan DataJangkauan data atau range data merupakan selisih antarastatistik maksimum dan statistik minimum. Jika jangkauandata dinyatakan dengan JD, nilainya dapat ditentukan denganrumusJD = xmaks xmin2) Jangkauan AntarkuartilSepertihalnyajangkauandata,jangkauanantarkuartilmerupakan selisih antara kuartil atas dan kuartil bawah. Jikajangkauan antarkuartil dinotasikan dengan JK, nilainya dapatditentukan denganJK = Q3 Q1Jangkauan antarkuartil biasanya disebut juga hamparan. Disamping jangkauan antarkuartil, di dalam ukuran penyebarandata juga dikenal jangkauan semiinterkuartil atau simpangankuartil.Simpanganininilainyasetengahdarijangkauanantarkuartil. Jika simpangan kuartil dinotasikan dengan Qd,nilainya dapat ditentukan dengan rumusQd = 21(Q3 Q1)3) LangkahKalian telah mengenal jangkauan antarkuartil. Panjang satulangkahadalah 23kalipanjangjangkauanantarkuartil.MisalkanlangkahdinotasikandenganLmakadalammatematika dapat dirumuskanL = 23JK atau L = 23(Q3 Q1)4) PagarMenurutletaknya,pagardibedakanmenjadipagardalamdan pagar luar.a) Pagardalam,yaitusuatunilaiyangletaknyasatulangkah di bawah kuartil pertama.b) Pagar luar, yaitu suatu nilai yang letaknya satu langkahdi atas kuartil ketiga.Kuis Kerjakan di buku tugasSimpangan kuartil dari data5,6,a,3,7,8adalah112.Jikamediandatanya512maka rata-rata data tersebutadalah ....a. 4 d. 512b. 412e. 6c. 5SPMB 2005Kuis Kerjakan di buku tugasDalam suatu kelas terdapat22siswa.Nilairata-rataMatematikamereka5danjangkauan4.Jikaseorangsiswayangpalingrendahnilainyadanseorangsiswayangpalingtingginilainyatidakdiikutkanmakanilairata-ratanyaberubahmen-jadi4,9.Nilaisiswayangpaling rendah adalah ....a. 5b. 4c. 3d. 2e. 1UM-UGM 2004Coba kalian tentukan jang-kauan data, jangkauan antar-kuartil, dan jangkauan semi-interkuartil(simpangankuartil)daricontohketikakalianmenentukandesildiatas (halaman 12).Tugas: Penalaran Kerjakan di buku tugas15 StatistikaSoal Kompetensi 1 Kerjakan di buku tugasMisalkan pagar dalam dinotasikan dengan PD dan pagar luarPL. Kedua pagar itu dapat dirumuskan sebagai berikut.PD = Q1 LPL = Q3 + L1. Jelaskan definisi dari istilah-istilah berikut.a. statistikb. statistikac. datumd. datae. data kuartilf. data kuantitatif dan data kualitatifg. mean, median, modus, desilh. kuartil, kuartil atas, kuartil bawah, kuartil tengahi. jangkauan dataj. simpangan kuartil2. Tentukanmean,median,modus,kuartilbawah,kuartiltengah, dan kuartil atas dari data-data berikut.a. 36, 28, 37, 35, 35, 34, 31, 39, 35, 33, 32b. 8, 10, 4, 6, 9, 8, 9, 10, 12, 12c. 2, 5, 7, 3, 4, 9, 12, 10, 11d. 2,3; 4,3; 4,3; 2,8; 1,7; 5,1; 2,6; 3,6; 4,73. Suatu data terdiri atas 20 datum mempunyai mean 6,5.Jika sebuah datum diikutkan data itu, mean data menjadi6,8. Tentukan nilai datum yang ditambahkan itu.4. Suatudataterdiriatas10datum,yaitux1,x2,x3,...,x10mempunyai meanx . Jika setiap datum ditambah 5, datamenjadix1 + 5, x2 + 5, x3 + 5, ..., x10 + 5. Tentukan mean data yangbaru.5. Terdapat3kelompokdatadenganketerangansebagaiberikut.Data pertama mempunyai mean m1 dan jumlah datum n1.Data kedua mempunyai mean m2 dan jumlah datum n2.Data ketiga mempunyai mean m3 dan jumlah datum n3.Tentukan nilai mean dari ketiga kelompok data tersebutjika digabungkan menjadi sebuah data.6. Suatu perusahaan menerapkan sistem penggajian kepadakaryawannyasetiap2minggusekali.Gajikaryawanperusahaanitumempunyaimean(rataanhitung)Rp250.000,00. Gaji karyawan laki-laki mempunyai meanDari64orangsiswayangterdiriatas40orangsiswakelas K dan 24 orang siswakelas L diketahui nilai rata-rata Matematika siswa kelasK adalah 7,2 dan nilai rata-rata kelas L adalah 1,5 lebihtinggi dari nilai rata-rata se-luruh siswa kedua kelas ter-sebut.Nilairata-ratamate-matika kelas L adalah ....a. 8,8b. 9,0c. 9,2d. 9,4e. 9,6UMPTN 2001Kuis Kerjakan di buku tugas16 Khaz Matematika SMA 2 IPSRp260.000,00,sedangkanmeangajiperempuanRp210.000,00. Tentukan perbandingan jumlah karyawanpria dan wanita perusahaan itu.7. Diketahui data 4, 4, 4, 5, 6, 8, 9, 7, 8, 5, 6, 3, 4, 8, 9.Tentukana. statistik lima serangkai;b. desil ke-2, desil ke-6, dan desil ke-8;c. jangkauan data, jangkauan semiinterkuartil, langkah,pagar luar, dan pagar dalam.8. DarihasilnilaiulanganharianAkuntansidanBahasaInggris, nilai seorang siswa selama satu semester tercatatdalam tabel berikut.a. Tentukan statistik lima serangkai dari nilai ulangankedua mata pelajaran siswa itu.b. Tentukanjangkauandata,simpangankuartil,simpangan semiinterkuartil, pagar dalam, pagar luar,dan langkah.c. Dapatkahkalianmenentukandesil-desilnya?Mengapa demikian?9. Keluarga Pak Andi mempunyai lima anak. Anak termudaberumur x tahun dan tertua 2x tahun. Tiga anak yang lainberturut-turut berumur (x + 2) tahun, (x + 4) tahun, dan(2x 3) tahun. Jika rata-rata hitung umur mereka adalah16 tahun, tentukan umur anak termuda.10. Nilai rata-rata ulangan Matematika dari 39 siswa adalah45.Jikanilai5siswalainnyadigabungkandengankelompok tersebut, nilai rata-ratanya menjadi 40. Tentukannilai rata-rata ulangan kelima siswa itu.Akuntansi 75 86 86 92 91 89 79 79 77Bhs. Inggris 69 70 75 72 79 83 85 85 812. Membaca dan Menyajikan Data dalam Bentuk DiagramSetelah kalian mempelajari penyajian data dalam bentuk statistikdeskriptif, akan kita pelajari cara penyajian data dengan diagramatau grafik, di antaranya adalah diagram garis, diagram lingkaran,diagram batang, diagram batang daun, dan diagram kotak garis.a. Diagram GarisSuatu ketika Nia mengamati perkembangan nilai tukar matauang rupiah terhadap dolar Amerika. Perkembangan itu diamati17 Statistikasetiap hari selama satu minggu. Perhatikan fluktuasi nilai matauang rupiah terhadap dolar Amerika dari tanggal 812 November.(Nilai rupiah dihitung per dolar Amerika Serikat)Tanggal 8 Nov. 9 Nov. 10 Nov. 11 Nov. 12 Nov.Kurs Jual 9.082 9.029 9.075 9.110 9.096Kurs Beli 8.992 8.939 8.985 9.020 9.006Dari pengamatan di atas, data tersebut dapat ditampilkan dalamdiagram garis berikut.Fluktuasi Nilai TukarRupiah terhadap Dolar ASGambar 1.3Penyajian data dalam bentuk demikian dinamakan penyajiandengan diagram garis. Jadi, diagram garis adalah cara penyajiandatastatistikdenganmenggunakangaris-garislurusyangmenghubungkan komponen-komponen pengamatan (waktu danhasilpengamatan).Diagraminibiasanyadigunakanuntukmenggambarkan suatu kondisi yang berlangsung secara kontinu,misalnyaperkembangannilaitukarmatauangsuatunegaraterhadap nilai tukar negara lain, jumlah penjualan setiap waktutertentu,danjumlahpenduduksuatudaerahsetiapperiodetertentu.b. Diagram LingkaranPenyajiandatadenganmenggunakandiagramlingkaranmembantukitauntukmengetahuipersentasekelompokataubagian tertentu dari suatu keseluruhan secara mudah. Hal utamayang harus diketahui dalam membuat diagram lingkaran adalahmenentukan besar sudut juring yang mewakili suatu bagian ataukelompok itu. Setelah mengetahui besar sudut tiap-tiap juring,kalian akan mudah untuk menentukan besar persentase bagianyang dimaksud. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut.18 Khaz Matematika SMA 2 IPSContoh:Jenis Mobil I II III IV V VIPenjualan 18 26 15 36 50 8Berikutiniadalahdatapenjualan6jenismobildarisuatuperusahaan pada kurun waktu 20022007.Buatlah diagram lingkaran dari data di atas.Jawab:Untukdapatmenggambarkandiagramlingkaran,terlebihdahulutentukanbesarsudutmasing-masingjuringyangmewakili masing-masing jenis mobil. (Jumlah penjualan 18+ 26 + 15 + 36 + 50 + 8 = 153 buah).Mobil jenis I :o36015318= 42,35oMobil jenis II :o36015326= 61,18oMobil jenis III :o36015315= 35,29oMobil jenis IV :o36015336= 84,70oMobil jenis V :o36015350= 117,65oMobil jenis VI :o3601538= 18,82oSetelah kalian menentukan besar sudut dari masing-masingjenismobilyangterjual,kaliandapatmenggambarkannyadalam diagram lingkaran Gambar 1.4 (a).Gambar 1.4(a) (b)5,23%11,77%16,99%9,80%23,53%32,68%19 StatistikaKalianjugadapatmenyatakandiagramlingkarantersebutdalam bentuk persentase. Untuk menentukan persentase mobiljenis I, caranya adalahmobil seluruh penjualan JumlahI jenis mobil penjualan Jumlah 100%.Jadi, persentase mobil jenis I adalah 15318 100% = 11,77%.Coba kalian tunjukkan bahwa persentase penjualan masing-masing jenis mobil lainnya adalah sebagai berikut.Mobil jenis II : 16,99%Mobil jenis III : 9,80%Mobil jenis IV : 23,53%Mobil jenis V : 32,68%Mobil jenis VI : 5,23%Diagram lingkarannya seperti terlihat pada Gambar 1.4 (b).c. Diagram BatangPenyajian data juga dapat dilakukan dengan membuat diagrambatang. Diagram ini disusun dalam bentuk persegi panjang yanglebarnyasamadantingginya(panjangnya)sebandingdenganfrekuensi datanya pada sumbu horizontal dan vertikal. Diagrambatang dapat disajikan secara mendatar maupun tegak. Penyajiandata ini memudahkan kita untuk mengetahui data yang mempunyainilai tertinggi atau terendah. Agar lebih jelas, perhatikan contohberikut.Contoh 1:Buatlah diagram batang dari contoh penjualan 6 jenis mobilpada contoh di depan.Jawab:Jenis Mobil I II III IV V VIPenjualan 18 26 15 36 50 8Data penjualan jenis mobil di atas dapat disajikan kembali padatabel berikut.20 Khaz Matematika SMA 2 IPSGambar 1.5Penjualan Mobil Periode 2002-2007Penjualan (Unit)Jenis MobilDari data ini, diagram batangnya dapat ditampilkan sebagaiberikut.Diagram batang di atas dinamakan diagram batang tegak atauvertikal. Jika digambarkan dengan diagram batang mendataratau horizontal, gambarnya adalah sebagai berikut.Penjualan Mobil Periode2002-2007Jenis MobilPenjualan (Unit)Gambar 1.6Dua buah data atau lebih juga dapat ditampilkan dalamsatu diagram batang. Perhatikan contoh berikut.21 StatistikaContoh 2:Buatlahsuatudiagrambatangyangmewakilidatatentangjumlah karyawan PT Lestari dalam tahun-tahun berikut.Jenis TahunKelamin 2002 2003 2004 2005 2006 2007Laki-laki 72 50 60 62 78 80Perempuan 30 40 80 85 95 98Jawab:Jumlah karyawan laki-laki dan perempuan pada tahun yangsama digambarkan sebagai dua batang yang didekatkan.Hasilnya tampak seperti pada gambar berikut.0204060801007230504060806285789580982002 2003 2004 2005 2006 2007Laki-lakiPerempuanJumlah Karyawan PT INDAHJumlah KaryawanTahunGambar 1.7Coba kalian cari data tinggidanberatbadansiswasekolahmu.Daridatayangkalian peroleh, buatlaha. diagrambatanguntuktinggi badan;b. diagrambatanguntukberat badan;c. diagrambatangtinggibadan berdasarkan jeniskelamin;d. diagrambatangberatbadan berdasarkan jeniskelamin.Dariberbagaidiagrambatangyangkamubuat,cobajelaskanmaknadia-gram itu.Tugas: Investigasi Kerjakan di buku tugasAktivitasTujuan : Membuatdiagrambatangdengansoft-warekomputer,misalnyaMicrosoftEx-cel.Permasalahan : Bagaimanamenyajikandatadalamdia-grambatangyanglebihakuratdenganmenggunakan komputer?Kegiatan : 1. Persiapkan data yang akan disajikandalam diagram batang.Misalnya data peserta lomba lari tiapkelas dari suatu sekolah berikut.22 Khaz Matematika SMA 2 IPS2. Blok range data dari A2 sampai B93. Klik Insert - Chart, pilih Column,kemudian pilih bentuk Column yangsesuaipadaChart-type,misalnyaClustered Column. Klik Next, ikutiperintah selanjutnya atau klik Finish.Akan kalian peroleh diagram batangberikut.Kesimpulan : Suatu data dapat disajikan dalam diagrambatang secara akurat dengan bantuan soft-ware komputer.d. Diagram Batang DaunSebuah data dapat disajikan memakai analogi bagian-bagiantumbuhan.Padatumbuhan,terdapatbatang,ruas-ruaspadabatangnya, dan daun. Pada ruas-ruas itu kadang-kadang terdapatdaun,tetapijugaadayangtidakmempunyaidaun.Penyajiandata seperti itu dinamakan diagram batang daun.23 StatistikaSekarang, perhatikan data berikut.10 15 16 20 39 42 51 51 36 16 21 2616 21 21 38 42 61 58 51 32 27 31 47Jikadataitudiurutkandariterkecilketerbesar,diperolehsusunan sebagai berikut.10 15 16 16 16 20 21 21 21 26 27 3132 36 38 39 42 42 47 51 51 51 58 61Dari data yang sudah terurut, tampak bahwa datum terkecil10danterbesarnya61.Kitadapatmembuatintervaldataitudengan panjang kelas interval 10, sebagai berikut.1019, dengan angka puluhan 1;2029, dengan angka puluhan 2;3039, dengan angka puluhan 3;4049, dengan angka puluhan 4;5059, dengan angka puluhan 5;6069, dengan angka puluhan 6.Angka-angka puluhan 2, 3, 4, 5, dan 6 ditulis pada kolombatang dan satuan yang meliputi 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9ditulis pada kolom daun.Di samping batang dan daun, bagian lain dari diagram batangdaun adalah frekuensi dan frekuensi kumulatif (jumlah frekuensisebelum atau sesudahnya). Jika data yang diberikan di atas disajikandalam diagram batang daun, hasilnya tampak sebagai berikut.batangdaunGambar 1.8Batang Daun Frekuensi Frekuensi Kumulatif1 0 5 6 6 6 5 52 0 1 1 1 6 7 6 113 1 2 6 8 9 5 164 2 2 7 3 195 1 1 1 8 4 236 1 1 24Namun, untuk tujuan-tujuan tertentu, misalnya untuk me-nentukanmedianataukuartil,kolomfrekuensidanfrekuensikumulatifdihilangkan,kemudiandigantidengankolomkedalaman.Kolominiditentukanolehletaknilaidataitudaristatistikekstrimnya,yaitustatistikminimumdanstatistikmaksimum.Untukmemahamikolomkedalaman,perhatikanilustrasi berikut. xminx2x3.... median .... xn-2xn-1xn24 Khaz Matematika SMA 2 IPSBatang : puluhanDaun : satuanBatang Daun Kedalaman1 0 5 6 6 6 52 0 1 1 1 6 7 113 1 2 6 8 9 [5]4 2 2 7 85 1 1 1 8 56 1 1Demikianseterusnyasampaipadadatummedian.Khusus untuk kedalaman yang memuat median,diberi tanda [].Dengandemikian,diagrambatangdaundaridata di samping adalah sebagai berikut.Perhatikanbarisketiga.Kolomkedalamanditulis[5]. Artinya,mediandaridataterletakpada baris ini. Karena jumlah datum dari dataitu 24, mediannya adalah rata-rata dari datum ke-12 dan ke-13.Jadi, median = 232 31+ = 31,5.Dengan menggunakan kedalaman, baik dari arah statistik mini-mummaupundariarahstatistikmaksimum,kitadapatmenentukan median data tersebut.Jika kalian mempunyai dua data dengan batang yang sama,cukup disajikan menggunakan satu kolom batang saja. Perhatikancontoh berikut.Contoh:Nilai ulangan Matematika dan Ekonomi dari 10 siswa SMAdisajikan dalam tabel berikut.Matematika Ekonomi50 5545 5057 5547 4867 7083 7557 4758 4972 7078 60xmin adalah statistik minimumnya, dengan kedalaman 1.x2 letaknya setelah statistik minimum. Jadi, x2 kedalamannya 2.Demikian seterusnya, sampai pada datum median.xn adalah statistik maksimumnya, dengan kedalaman 1.xn1 letaknya setelah statistik maksimum. Jadi, kedalamannya 2.Buatlah diagram batang daun dari data di atas.25 StatistikaJawab:Matematika Ekonomi45 4747 4850 4957 5057 5558 5567 6072 7078 7083 75Data tabel di atas belum terurut. Oleh karena itu, kita urutkanterlebih dahulu. Hasilnya tampak seperti tabel di atas.Diagram batang daun data di atas adalah sebagai berikut. Matematika EkonomiBatang : puluhanDaun : satuanKedalaman Daun Batang Daun Kedalaman2 7 5 4 7 8 9 3[4] 8 7 7 0 5 0 5 5 [3]4 7 6 0 43 8 2 7 0 0 5 31 3 8 Median kedua data di sam-ping adalah rata-rata datumke-5 dan ke-6. Coba kaliantentukan median kedua dataitu.Tugas: Inkuiri Kerjakan di buku tugasMariBerdiskusiInovasiBagaimana cara membuat diagram batang daun jikaa. data terdiri atas angka-angka ratusan;b. data terdiri atas angka-angka yang bernilai antara 0 dan1?e. Diagram Kotak GarisPada subbab sebelumnya, kalian telah mempelajari statistiklima serangkai yang terdiri atas statistik minimum (xmin), kuartilbawah (Q1), median atau kuartil tengah (Q2), kuartil atas (Q3),dan statistik maksimum (xmaks). Nilai-nilai ini merupakan nilai-nilai yang terdapat pada diagram kotak garis, yaitu diagram yangterdiri atas kotak dan garis. Bagian kotak adalah nilai-nilai antaraQ1 dan Q2, sedangkan bagian ekornya yang berbentuk garis adalahPerhatianPadagarisberskala,penu-lisan nilai-nilai statistik limaserangkaiharus sesuai. Halinidimaksudkanuntukmengetahuibentukpenye-baran data.26 Khaz Matematika SMA 2 IPSMariBerdiskusiObservasinilai-nilaiyangberadadiantaraxmindanQ1atauQ3danxmaks.Perhatikan gambar berikut.Dengan memahami bentuk diagram kotak garis ini, tentunyakalian dapat membuat diagramnya jika diketahui datanya.x1Q1Q2Q3xnGaris berskalaBagiangarisBagiangarisBagianbatangGambar 1.9Contoh:Gambarkan diagram kotak garis dari suatu data yang diketahuixmin = 3, xmaks = 10, Q1 = 4, Q2 = 5, dan Q3 = 7.Jawab:Dengan memerhatikan nilai-nilai statistik lima serangkai yangdiketahui dan meletakkannya pada garis berskala, diperolehdiagram kotak garis sebagai berikut.Gambar 1.101 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11xminxmaksQ1Q2Q3Diagramkotakgarisdapatdigunakanuntukmenentukanapakahsuatudatamempunyaidistribusiyangseimbangatautidak. Jika jarak antara Q1 dan Q2 sama dengan jarak antara Q2dan Q3, serta jarak antara xmin dan Q1 sama dengan jarak antaraQ3 dan xmaks maka data dikatakan mempunyai distribusi seimbangatau simetris. Selain itu, penyajian data dalam diagram kotak garisdapat memudahkan kita untuk mengetahui datum pencilan, yaitudatumyangberbedadengankelompoknya.Bagaimanacaramenentukan ada tidaknya datum pencilan dari suatu data? Kita akanmempelajarinya dalam pembahasan tersendiri pada bagian akhirbab ini.Carilah data tentang usia teman-teman sekelasmu. Dari dataitu,tentukanstatistiklimaserangkainya,kemudianbuatlahdiagramkotakgarisnya.Daridiagramkotakgarisyangdi-peroleh,jelaskanapakahdataitumempunyaidistribusiseimbang? Berikan alasan kalian. Diskusikan dengan teman-teman kalian.27 StatistikaJendela InformasiInformasi lebih lanjutLambert Adolphe Jacques QueteletTahukahkamusiapakahQueteletitu?TokohStatistikainimemiliki nama lengkap Lambert Adolphe Jacques Quetelet(1776-1874). Dia lahir di Belgia. Pada usia 23 tahun, ia menjadiprofesorMatematikadiBrussel,Althemeum.Diamenjadidirektur observatorium Kerajaan Brussel. Untuk menambahpengetahuan tentang observatorium, dia belajar ke Paris danmendalami ilmu peluang serta aplikasinya. Dia meneliti datatentangsensuspenduduk,kemudianmencatatdatatersebutdan menyajikannya dalam bentuk tabel serta diagram. Denganpenyajianini,datadapatdivisualkandanmudahdipahami.Carilahinformasilebihlengkaptentangtokohinidansumbangsihnyadiduniamatematika.Kaliandapatmemanfaatkan perpustakaan atau internet.Sumber: Ensiklopedi Pengetahuan, 2007Quetelet(17761874)Sumber: www.mate-mati-kaku.comC. Tabel Distribusi FrekuensiDaftaratautabeldistribusifrekuensiberupasebuahtabelyang mencakup suatu nilai atau interval yang dilengkapi denganfrekuensinya.Daftarinidapatdisajikansebagaidistribusifrekuensitunggalmaupundistribusifrekuensiberkelompok.Penyajiandengancarainimemudahkankitamembacadataterutama untuk data dengan jumlah frekuensi besar.1. Tabel Distribusi Frekuensi TunggalTabel distribusi dapat memudahkan kita untuk mengetahuijumlah frekuensi dari nilai data. Berikut adalah data nilai ulangan18 siswa.30 30 50 40 70 80 80 80 6045 60 60 80 40 50 50 50 80Dari kumpulan nilai di atas, dapat diperoleh sebagai berikut.Nilai 30 muncul 2 kali. Nilai 60 muncul 3 kali.Nilai 40 muncul 2 kali. Nilai 70 muncul 1 kali.Nilai 45 muncul 1 kali. Nilai 80 muncul 5 kali.Nilai 50 muncul 4 kali.Dengan demikian, informasi di atas dapat disajikan dalamtabel berikut.28 Khaz Matematika SMA 2 IPSTabelsepertiinidinamakandaftar/tabeldistribusifrekuensitunggal.Nilai (xi) Turus Frekuensi30 || 240 || 245 | 150 |||| 460 ||| 370 | 180 |||| 5Jumlah 182. Tabel Distribusi Frekuensi BerkelompokKaliantelahmempelajaricaramembuattabeldistribusitunggal. Bagaimana jika data yang diberikan mempunyai jumlahyang sangat banyak, misalnya 100, 200, atau 250? Tentu kalianakankesulitankarenatabelyangharusdibuatsangatpanjang.Untukmengatasinya,kaliandapatmenyajikannyadalamtabeldistribusi frekuensi berkelompok. Tabel ini dibuat dalam interval-interval tertentu. Adapun istilah-istilah yang harus kalian pahamiyang berkaitan dengan penyusunan tabel distribusi berkelompokadalah kelas, batas kelas, tepi kelas, panjang kelas, dan titik tengah(nilaitengah)kelas.Agarkalianmemahamiistilah-istilahtersebut, perhatikan tabel distribusi berkelompok berikut. Datatentang nilai ulangan dari 18 siswa di atas jika dikelompokkanadalah sebagai berikut.Interval Nilai Titik Tengah Frekuensi3038 34 24947 43 34856 52 45765 61 36674 70 17583 79 5Jumlah 18Berdasarkan tabel di atas, ada beberapa pengertian yang perludipahami sebagai berikut.29 Statistikaa. KelasIntervalnilai3038,3947,4856,danseterusnyadinamakan kelas.b. Batas KelasPada tabel di atas (halaman 28) terdapat dua macam bataskelas, yaitu batas kelas bawah dan batas kelas atas. Untuk kelas3038, batas kelas bawah adalah 30 dan batas kelas atasnya 38.c. Tepi KelasTepi kelas juga terdapat dua macam, yaitu tepi kelas bawahdantepikelasatas. Adapununtukmemperolehnyadigunakanaturan sebagai berikut.Tepi kelas bawah = batas kelas bawah 0,5Tepi kelas atas = batas kelas atas + 0,5d. Panjang KelasPanjangkelasmasing-masingkelaspadasuatutabeldistribusi frekuensi selalu sama.Panjang kelas dapat diperoleh dengan cara berikut.Panjang kelas = tepi kelas atas tepi kelas bawahe. Titik Tengah (Nilai Tengah) KelasNilai ini diasumsikan sebagai nilai yang mewakili kelas yangbersangkutan. Nilainya ditentukan dengan cara berikut.Titik tengah = 21(batas kelas bawah + batas kelas atas)Pada tabel di atas (halaman 28) nilai tengah untuk kelas 3038adalah 21(30 + 38) = 34.Disampingistilah-istilahdiatas,untukmenyusuntabeldistribusifrekuensiberkelompok,kalianperlumemahamirentang(jangkauan),aturanSturgess,danpenentuanpanjangkelas menurut Otman Sturgess.Rentang atau jangkauan dirumuskan dengan JD = xmaks xmin.Hal ini telah kita pelajari sebelumnya. Adapun aturan Sturgessberkaitan dengan penentuan banyak kelas, yaitu sebagai berikut.Jika banyak kelas k dan ukuran data n, menurut aturan Sturgessk = 1 + 3,3 log n30 Khaz Matematika SMA 2 IPSSetelah nilai k diperoleh, panjang kelas dapat ditentukan denganpanjang kelas = JkDSeluruh data harus tercakup dalam tabel distribusi berkelompokyang akan dibuat. Agar lebih jelas, perhatikan contoh berikut.Contoh:Perhatikankembalidatanilai18siswadiatas.DenganmenggunakanaturanSturgess,buatlahtabeldistribusiberkelompoknya.Jawab:Dari data yang diberikan, diketahui n = 20, xmin = 30, dan xmaks= 80. Dengan demikian, diperoleh sebagai berikut.Jangkauan JD = xmaks xmin = 80 30 = 50k = 1 + 3,3 log 18 = 1 + 3,31,255 = 5,14-6(Mengapa 5,14 tidak diarahkan ke nilai 5?)Kemudian, tentukan panjang kelasnya.Panjang kelas =9. 8,33650- = =kJDKelas Frekuensi3038 23947 34856 45765 36674 17583 5Jumlah 18Dengan demikian, kita dapat membuat kelas pertama 3038,kelas kedua 3947, dan seterusnya.Oleh karena itu, tabel distribusi frekuensi berkelompok yangdapat dibuat menurut aturan Sturgess adalah sebagai berikut.Carilahdataberatbadanteman-temanmukelasXIIPS.Kemudian,buatlahtabel distribusi frekuensinyadenganlangkah-langkahtersebut.Tugas: Investigasi Kerjakan di buku tugasMariBerdiskusiInkuiriMenurutkalian,apakahaturanSturgessselaludapatdigunakan? Jika ya, berikan alasanmu. Namun, jika tidak selaludapat digunakan, coba kalian tunjukkan satu kasus saja yangmenunjukkan tidak berlakunya aturan Sturgess.31 Statistika3. Tabel Distribusi Frekuensi KumulatifSetelah mempelajari tabel distribusi frekuensi berkelompok,kaliandiajakuntukmemahamidistribusifrekuensikumulatif.Tabel ini ada dua macam, yaitua. tabel distribusi frekuensi kumulatif kurang dari;b. tabel distribusi frekuensi kumulatif lebih dari.Tabel distribusi frekuensi kumulatif kurang dari merupakantabel yang mencakup daftar jumlah frekuensi semua nilai yangkurang dari atau sama dengan nilai tepi atas pada setiap kelas.Tabeldistribusifrekuensikumulatiflebihdarimerupakantabel yang mencakup jumlah frekuensi semua nilai yang lebihdariatausamadengannilaitepibawahpadasetiapkelas.Perhatikan kembali tabel distribusi frekuensi berkelompok yangtelahdiuraikandidepanyangditampilkankembalidenganpenambahan beberapa kolom seperti berikut.Perhatikankembalitabeldiatas.Padatabeldiatasdapatditerangkan sebagai berikut.Untukkelas3038,frekuensikumulatifkurangdarinyaadalah 2. Artinya, terdapat 2 nilai data yang bernilai kurang dariatau sama dengan tepi atas kelas ini, yaitu 38,5. Untuk kelas 3947,frekuensi kumulatif kurang darinya adalah 5. Artinya, terdapat 5nilai data yang bernilai kurang dari atau sama dengan tepi ataskelas ini, yaitu 47,5. Demikian seterusnya, sedangkan frekuensikumulatif lebih dari untuk kelas 3038 adalah 18. Artinya, terdapat18 nilai data yang lebih dari atau sama dengan tepi bawah kelasini,yaitu29,5.Untukkelas3947,frekuensikumulatiflebihdarinya adalah 15. Artinya, terdapat 15 nilai data yang bernilailebihdariatausamadengantepibawahkelasini,yaitu38,5.Demikian seterusnya.Disampingfrekuensikumulatifsepertidiatas,kadang-kadang kita perlu mendapatkan nilai frekuensi kumulatif relatif.Nilai ini dapat ditentukan sebagai berikut.Frekuensi kumulatif relatif =100%data jumlahkumulatif frekuensiKelas FrekuensiFekuensi Kumulatif Frekuensi KumulatifKurang dari Lebih dari3038 2 2 183947 3 2 + 3 = 5 18 3 = 154856 4 5 + 4 = 9 15 4 = 115765 3 9 + 3 =12 11 3 = 86674 1 12 + 1 = 13 8 1 = 77583 5 13 + 5 = 18 7 5 = 232 Khaz Matematika SMA 2 IPSContoh:D. Menggambar Histogram, Poligon Frekuensi, dan OgifPenyajiandatadenganmenggunakanhistogrammemudahkankitauntukmengetahuidistribusifrekuensi,pemusatan, dan penyebaran data itu. Histogram berupa susunanpersegipanjangyangsalingberimpitpadasalahsatusisinya.Untukdataberkelompok,lebarpersegipanjangmerupakanpanjang kelas dan tingginya adalah frekuensinya. Pada histogram,jikatitik-titiktengahdaribagiansisiataspersegipanjangdihubungkan, diperoleh suatu garis (kurva) tertentu. Kurva inidinamakanpoligonfrekuensi.Perhatikangambarhistogramdanpoligon frekuensinya berikut.Gambar di samping menyajikan histogram datanilai Matematika dari 33 siswa dengan rinciansebagai berikut:8 siswa mendapat nilai 6;15 siswa mendapat nilai 7;7 siswa mendapat nilai 8;3 siswa mendapat nilai 9.MariBerdiskusiInovasiBagaimanakahcaranyamenentukannilaikuartilbawah,tengah,danatasmelaluifrekuensikumulatifrelatif?Jelaskan.Gambar 1.11Garis yang menghubungkan frekuensi dari nilai-nilai Matematikaitu dinamakan poligon frekuensi.Setelahkalianmemahamipoligonfrekuensi,kalianakandiajakuntukmengenaliogif(ogive).Jikapoligonfrekuensimerupakan garis atau kurva, yang menghubungkan frekuensi darisetiap titik atau kelompok titik (kelas), ogif menghubungkan titik-titik dari frekuensi kumulatifnya. Jadi, ogif disebut juga poligonfrekuensikumulatif.Ogifyangmempunyaikecenderungangradien (kemiringan) garis singgung positif disebut ogif positif,sedangkanyangmempunyaigradiengarissinggungnegatifdisebut ogif negatif. Untuk jelasnya, perhatikan contoh berikut.Gambarlahogifpositifdanogifnegatifdaridatayangtersajipadatabel di samping.Nilai Ulangan Frekuensi3040 34151 65262 86373 127484 108595 633 StatistikaDengan cara yang sama, diperoleh sebagai berikut.Ada 45 siswa yang nilainya lebih dari 29,5.Ada 42 siswa yang nilainya lebih dari 40,5.Ada 36 siswa yang nilainya lebih dari 51,5.Ada 28 siswa yang nilainya lebih dari 62,5.Ada 16 siswa yang nilainya lebih dari 73,5.Ada 6 siswa yang nilainya lebih dari 84,5.Jika dinyatakan dalam tabel, hasilnya adalah sebagai berikut.Nilai UlanganFrekuensi KumulatifKurang daris40,5 3s51,5 9s62,5 17s73,5 29s84,5 39s95,5 45Jawab:Untukdatayangdisajikandalamtabeldistribusifrekuensiberkelompok,terlebihdahulutentukantepibawah(untukmembuatogifnegatif)dantepiatas(untukmenentukanogifpositif). Dari data di atas, jika dijelaskan dengan tepi kelas (tepikelas atas atau bawah) adalah sebagai berikut.Ada 3 siswa yang nilainya kurang dari 40,5.Ada 9 siswa yang nilainya kurang dari 51,5.Ada 17 siswa yang nilainya kurang dari 62,5.Ada 29 siswa yang nilainya kurang dari 73,5.Ada 39 siswa yang nilainya kurang dari 84,5.Ada 45 siswa yang nilainya kurang dari 95,5.Jika dinyatakan dengan tabel, hasilnya adalah sebagai berikut.Nilai UlanganFrekuensi KumulatifLebih dari~29,5 45~40,5 42~51,5 36~62,5 28~73,5 16~84,5 634 Khaz Matematika SMA 2 IPSTabel yang berkaitan dengan frekuensi kumulatif kurangdari jika digambarkan dengan diagram garis, diperoleh ogifpositifdantabelyangberkaitandenganfrekuensikumulatiflebihdariakandiperolehogifnegatif.Gambarkeduaogiftersebut adalah sebagai berikut.O 29,5 40,5 51,5 62,5 73,5 84,5 95,51020304050N i l a i U l a n g a nFrekuensi KumulatifOgifnegatifOgifpositifGambar 1.12Dari tugas yang telah kalianlakukan (pada halaman 24),buatlah tabel distribusi fre-kuensi kumulatif, frekuensikumulatif relatif, histogram,poligon, dan ogifnya.Tugas: Kreativitas Kerjakan di buku tugasJendela InformasiInformasi lebih lanjutFlorence NightingaleSalah satu tokoh statistika dunia adalah Florence Night-ingale (18201910) yang lahir di Italia. Dia adalah seorangperawatyangbekerjadirumahsakitmiliterdiTurki.Diaberusahamemperbaikiadministrasirumahsakittersebutdengan menggunakan statistika. Dia percaya pada keunggulanstatistikadanmenggunakannyasecaraintensifuntukmemecahkan masalah sosial dan kesehatan. Dia juga berusahauntuk memasukkan statistika ke dalam kurikulum di Oxford.Dia menciptakan boxcomb chart, suatu model penyajian datasecaravisual.TulisannyadibahaspadaKongresStatistikaInternasionaldiLondonpadatahun1860.Enamtahunkemudian,iaterpilihsebagaianggotakehormatanasosiasistatistika Amerika. Karya Nighti-ngale, yaitu penyajian datadalam suatu chart, masih dioptimalkan. Carilah informasi lebihlengkaptentangtokohinidansumbangannyabagiduniamatematika.Kaliandapatmemanfaatkanperpustakaanatauinternet.Sumber: Ensiklopedi Pengetahuan, 2007Florence Nightingale(18201910)Sumber: www.mate-mati-kaku.comE. Menentukan Nilai Statistik Data BerkelompokDi depan, kalian telah belajar menentukan nilai statistik datatunggal, seperti mean, median, modus, kuartil, dan desil. Kalianjugatelahmempelajariukuranpenyebarandata,disampingukuranpemusatannya.Sekarangkaliandiajakuntukbelajarmemahamiukuranmean,median,danmodussuatudatayangdisajikan dalam tabel distribusi frekuensi (data berkelompok).35 StatistikaUntukmenentukannilaimeansuatudatayangdisajikandalam tabel distribusi (berkelompok) dapat dilakukan dengan duacara, yaitu dengan menentukan rata-rata data yang diwakili titiktengah kelas interval dan dengan rata-rata sementara.a. Menentukan Nilai Mean dengan Menganggap IntervalKelas Diwakili Titik TengahnyaKalian telah mempelajari nilai mean data tunggal. Jika dataxi mempunyai frekuensi fi, nilai meannya dapat ditentukan denganxx ffi iiniin===__ 11_=nii if x1 dibaca sigma xi dikalikan fi dari i = 1 sampai n.Serupa dengan data tunggal, jika kelas interval ke-i diwakilioleh nilai tengah xi dengan frekuensinya fi, dan jumlah kelas r,nilai meannya dapat ditentukan dengan rumus__===riirii iff xx11 1. Menentukan Nilai MeanPerhatianPerhitunganstatistikde-nganmenganggapnilaitengahximewakilikelasinterval ini mengasumsikanbahwadataterdistribusimerata dalam interval itu.Contoh:Tentukannilaimeandaridatanilaiulangandari45siswaberikut.Nilai Ulangan Frekuensi3040 34151 65262 86373 127484 108595 6Jumlah 45Jawab:Untukdapatmenentukannilaimeannya,terlebihdahulutentukan nilai tengah masing-masing kelasnya.36 Khaz Matematika SMA 2 IPSDengan demikian, diperolehx =__==6161iiii iff x = 45923 . 2 = 64,96.Nilai Ulangan Nilai Tengah (xi) Frekuensi (fi) xi fi3040 35 3 1054151 46 6 2765262 57 8 4566373 68 12 8167484 79 10 7908595 80 6 480Jumlah 45 2.923b. Menentukan Nilai Mean dengan Rata-Rata SementaraNilaimeandarisuatudatadapatditentukanmelaluipenjumlahanrata-ratasementaradenganrata-ratasimpangansuatu data (titik tengah). Misalkan rata-rata sementara sx , rata-ratadatasesungguhnyax ,dansimpangannyaadalahdi = s ix x ~ . Rata-rata sesungguhnya dapat ditentukan denganx= sx+ rata-rata simpanganx xf dfsi iiriir===__+ 11Perhatikankembalicontohdiatas.Misalkankitaakanmenentukan nilai rata-ratanya melalui rata-rata sementara sx= 68.Data di atas dapat ditampilkan dengan tabel berikut.Nilai Ulangan Titik Tengah (xi) Frekuensi (fi) Simpangan (di) fidi3040 35 3 33 994151 46 6 22 1325262 57 8 11 886373 68 = sx 12 0 07484 79 10 11 1108595 80 6 12 72Jumlah 45 13737 StatistikaDengan demikian, diperoleh rata-rataxsebagai berikut.x = xf dfi iiiis+==__ 1 166= 68 + 45) 137 (~= 68 3,04 = 64,96c. Menentukan Nilai Mean dengan CodingKatacodingdiartikansebagaikodeatausandi.Caramenentukan mean dengan coding tidak jauh berbeda dengan caramenentukanmeanmelaluirata-ratasementara.Jikakalianmenentukanmeanmelaluirata-ratasementaradenganmenggunakan rumusx x kf xfsi iiriir= +==__11Cara menghitung mean dengan coding digunakan rumusx x kf cfsi iiriir= +==__11denganxs= rataan sementarak = panjang kelasdi= xi xs simpangan dari rataan sementaraci= codingPada cara coding, pada tanda kelasxs diberi nilai c0 = 0.Selanjutnya, tanda kelas yang kurang darixs berturut-turut diberinilai c1 = 1, c2 = 2, c3 = 3, dan seterusnya, sedangkan tandakelas yang lebih darixs berturut-turut diberi nilai c1 = 1, c2 = 2,c3 = 3, dan seterusnya. Nilai-nilai ci ditentukan dengan rumuscx xiii s=~38 Khaz Matematika SMA 2 IPSLetak dan nilai-nilai kuartil data tunggal telah dipelajari padasubbabsebelumnya.Untukdataberkelompokyangdisusundalam tabel distribusi frekuensi, kuartil dapat ditentukan dengancara berikut.Perhatikan Gambar 1.13 (a). Gambar tersebut menunjukkanhistogram dari sebuah data berkelompok dengan kelas interval kdanfrekuensimasing-masingf1,f2,f3,f4,danf5.BerdasarkanGambar1.13(a),kitadapatmembuathistogramfrekuensikumulatif relatif seperti tampak pada Gambar 1.13 (b).2. Menentukan Median dan Kuartil Data BerkelompokContoh:PerhatikantabeldibawahyangmemperlihatkandaftardistribusifrekuensinilaiMatematika100siswa.Tentukanrataan hitungnya dengan menggunakan cara coding.Jawab:Perhitungan dengan menggunakan cara coding.Misal kita menggunakan rata-rata sementaraxs= 60.xs= 60x= 60 + 3~[\)110100 = 56,7Jadi, rataan hitungnya adalah 56,7.Nilai Frekuensi Nilai Tengahcx xiii s=~ fici5052 6 51 3 185555 38 54 2 765658 28 57 1 285961 16 60 0 06264 12 63 1 12Jumlah 100 110Ulangan (fi) (xi)Dengan menggunakan datapadacontohhalaman35,tunjukkandengancaracodingbahwarata-ratanya64,96. Uji dengan berbagaipengambilanrata-ratasementara.Tugas: Investigasi Kerjakan di buku tugasNilai f5052 105355 345658 285961 206264 839 StatistikaMedian memiliki frekuensi kumulatif relatif 50% sehinggaletakmediandapatditentukanpadagrafikdiatas,yaitupadakelas ketiga. Pandanglah persegi panjang ABCD pada kelas ketigaGambar 1.13 (b). Pada gambar tersebut tampak bahwa segitigaAEFsebangundengansegitigaABC.Olehkarenaitu,berlakuperbandingan sebagai berikut.panjangpanjangpanjangpanjangAE AB= EF BC=

Axkn f ff=501 23% ( ) ~ + .............. (Ingat: f3 = fQ2)= x A=kn f ffQ501 22% ( ) ~ +||||||||Karena Q2 = tb + Ax maka diperolehQ2 = tb +kn f ffQ501 22% ( ) ~ +||||||||Jika F2 menyatakan frekuensi kumulatif sebelum kelas Q2 makarumus di atas dapat ditulis denganQ2 = tb +kFfnQ24 22~||||||||Jika kalian mengerjakan tugas di atas dengan benar, tentuakan memperoleh rumus berikut.Q1 = tb +kFfnQ4 11~|||||||| dan Q3 = tb +kFfnQ34 33~||||||||(a) (b)fxOf1f2f3f4f5kkkkknx Of1f2f3f4f5100%AFC50%ktbQ2 taEBDxKuis Kerjakan di buku tugasDataberikutadalahtinggibadan sekelompok siswa.Jikamediandatadiatas163,5 cm maka nilai k = ....a. 40 d. 46b. 42 e. 48c. 44SPMB 2004Tinggi (cm)Frekuensi151 155 5156 160 20161 165 k166 170 26171 175 7Gambar 1.13Dengancarasepertikalianmenentukan rumus Q2, cobatentukanrumusuntukme-nentukan Q1 dan Q3.Tugas: Investigasi Kerjakan di buku tugas40 Khaz Matematika SMA 2 IPSKeterangan:Qi= kuartil ke-ii = 1, 2, 3tb= tepi bawah kelas kuartil ke-ik = panjang kelasn = ukuran dataFi= frekuensikumulatifsebelumkelas kuartil ke-ifQi= frekuensi kelas kuartil ke-iQ t kinFfi biQi= +~||||||||||4Posisi Q1 terletak pada datum ke-in4[\); i = 1, 2, 3.Contoh:Tentukan median, kuartil bawah, dan kuartil atas dari data yangtersaji pada tabel berikut.Jawab:Dari data di atas, dapat ditentukan sebagai berikut.Median senilai dengan kuartil tengah (Q2) yang terletak padakelas interval dengan frekuensi kumulatif mencapai 42 dari80, yaitu kelas 7079.Oleh karena itu, dapat ditentukan bahwatepi bawah tb = 70 0,5 = 69,5,tepi atas = ta = 79 + 0,5 = 79,5,panjang kelas k = 79,5 69,5 = 10,frekuensi kumulatif sebelum kelas median F2 = 23, danfrekuensi kelas median f = 25.Jadi, diperoleh nilai median sebagai berikut.Nilai Frekuensi (f) Fkumulatif3039 3 34049 5 85059 2 106069 13 237079 25 488089 12 609099 20 80Secara umum, rumus untuk menentukan kuartil pertama, kedua,dan ketiga dapat kita tuliskan sebagai berikut.41 Statistika3. Menentukan Modus Data BerkelompokMedian= Q2= 69,5 + 10 2 8042325( )~||||||||||= 69,5 + 6,8= 76,3Dengancarayangsama,kalianakandapatdenganmudahmenentukan Q1 dan Q3 sebagai berikut.Letak Q1 pada datum ke-14 80 = datum ke-20, yaitu kelaske-4 (kelas 6069).tb = 59,5; k = 10; F1 = 10; fQ1 = 13.Q1= 59,5 + 101 8041013( )~||||||||||= 59,5 + 7,69= 67,19Untuk Q3 letaknya di datum ke-34 80 = datum ke- 60, yaitukelas keenam (kelas 8089).tb = 79,5; k = 10; F3 = 48; fQ3 = 12.Q3= 79,5 + 103 8044812( )~||||||||||= 79,5 + 10= 89,5Misalkan suatu sekolah memiliki siswa yang rata-rata pandai.Dalam hal ini, modus dari siswa tersebut adalah pandai, meskipunada juga yang kurang pandai. Hal ini menunjukkan bahwa padadata kualitatif, modus sering diartikan sebagai rata-rata. Pada datakuantitatif modus diartikan sebagai nilai yang sering muncul daridata itu atau nilai yang memiliki frekuensi tertinggi. Kalian telahmempelajarimodusdaridatatunggal.Sekarangmarikitamempelajari modus data berkelompok.Misalkan suatu data yang terdiri atas 3 kelas disajikan dalamhistogram berikut.42 Khaz Matematika SMA 2 IPSPada gambar di samping tampak bahwa A ABGsebangundenganA CDG.Dalamhalini,panjang AB = d1, CD = d2, EG =A x, dan GF =k Ax.Darikesebangunanitu,berlakuperbandinganberikut.GFEG CDAB==x kxddA ~A= 21= d2x A= d1(k x A )= d2x A= d1k d1x A= d1x A+ d2x A = d1k= (d1 + d2) x A= d1k= x A= kjj)||\[+2 11 d ddkfx OktbM0takA DF EGxBCf2f3f1d1d2CGambar 1.14DariGambar1.14tampakbahwamodusadalah M0 = tb+ AxsehinggaM0 = tb +x A = M0 = tb + kjj)||\[+2 11 d dd.Jadi, modus data berkelompok dapat ditentukan dengan rumusM t kdd db 0 = ++||||||11 2Keterangan:M0= modustb= tepi bawah kelas modusk = panjang kelasd1= selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnyad2= selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnyaContoh:Berat Badan (kg) Frekuensi (f)3540 34146 54752 85358 2Tentukan modus data berikut.43 StatistikaJawab:Daridatadiatas,tampakbahwamodusterletakpadakelas4752 dengan frekuensi f = 8 dan panjang kelas k = 6. Oleh karenaitu, tb = 46,5, d1 = 8 5 = 3, dan d2 = 8 2 = 6. Perhatikan tabeldi bawah.Jadi, modus data itu adalahM0=||||||++2 11 d ddk tb= 46,5 + 6||||||+ 6 33= 46,5 + 2= 48,5fx O235834,5 40,5 46,5 52,5 58,548,5 (modus)d1 = 3d2 = 6kelas modus}{Berat Badan (kg) Frekuensi (f)3540 34146 54752 85358 2Gambar 1.15Secara visual, modusnya dapat dilihat pada Gambar 1.15.4. Menentukan Desil Data BerkelompokSeperti yang telah kalian ketahui, desil merupakan nilai-nilaiyang membagi data yang sudah diurutkan menjadi sepuluh bagianyang sama banyak. Karena desil mambagi data menjadi sepuluhbagian yang sama banyak, ada sembilan nilai desil, yaitu desilpertama (D1), desil kedua (D2), desil ketiga (D3), desil keempat(D4),desilkelima(D5),desilkeenam(D6),desilketujuh(D7),desil kedelapan (D8), dan desil kesembilan (D9). Cara menentukandesil data tunggal telah kalian pelajari sebelumnya. Sekarang kitaakan membahas cara menentukan desil data berkelompok.Cara menentukan desil pada data berkelompok sama (analog)sepertikalianmenentukankuartildataberkelompok.Denganasumsi data terdistribusi merata dalam kelas-kelasnya, desil databerkelompok ditentukan dengan rumus berikut.44 Khaz Matematika SMA 2 IPSD tin FFki bDi= +~[\|||)jjj10i = 1, 2, 3, ..., 9.n =f_tp= tepi kelas Dik = panjang kelasfDi= frekuensi kelas DiF = frekuensi kumulatif sebelum kelas DiUntukmenentukanposisidesilke-i,cariposisidatumdalamkelasnya. CaranyaDi = datum ke-in10[\); i = 1, 2, ..., 9.Contoh:Tentukan desil ke-1, ke-5, dan ke-9 dari data berikut.Jawab:Nilai Tepi Kelas Frekuensi f Kumulatif4044 39,544,5 9 94549 44,549,5 9 18-x10 = D15054 49,554,5 22 405559 54,559,5 30 70-x50 = D56064 59,564,5 15 856569 64,569,5 8 93-x90 = D97074 69,574,5 7 100Nilai Frekuensi4044 94549 95054 225559 306064 156569 87074 7Keterangan:45 Statistikaa. Desil ke-1n = f_= 100; i = 1D1= datum ke-in10[\)= datum ke-1 10010[\)= datum ke-10.Pada tabel di atas, tampak bahwa x10 terletak dalamkelas kedua, dengan interval 44,549,5.Selanjutnya, tb = 44,5; fD1 = 9; F = 9; k = 5.Jadi, D tin FFki bDi= +~[\|||)jjj10= 44,5 + 110100 995 ~[\|||)jjj= 44,5 + 0,555= 45,05b. Desil ke-5n = f_= 100; i = 5D5= datum ke-in10[\)= dalam ke-5 10010[\)= datum ke-50.Pada tabel di atas, tampak bahwa x50 terletak dalamkelas keempat, dengan interval 5559.Selanjutnya, tb = 54,5; fD5 = 30; F = 40; k = 5.Jadi, D tn FfkbD55105= +~[\|||)jjj46 Khaz Matematika SMA 2 IPS= 54,5 + 5 1001040305~[\|||)jjj= 45,5 + 1,667= 56,167c. Desil ke-9n =f_= 100; i = 9D9 = datum ke-in10[\) = dalam ke-9 10010[\) = datum ke-90.Padatabel,tampakbahwax90terletakdalamkelaskeenam dengan interval 6569.Selanjutnya, tb = 64,5; fD9 = 8; F = 85; k = 5.Jadi,D tn FFkbD99109= +~[\|||)jjj= 64,5 + 9 100108585~[\|||)jjj= 64,5 + 3,125= 67,6255. Menentukan Ukuran Penyebaran DataPada pembahasan kali ini, kita hanya akan membahas ukuranpenyebaransimpanganrata-ratadanvarianssuatudataberkelompok. Selain kedua ukuran itu, seperti yang telah kalianketahui, ada ukuranpenyebaran yang lain seperti jangkauan data,jangkauanantarkuartil,simpangankuartil,danragam.Kesemuanya ini telah kalian pelajari di depan.a. Simpangan Rata-RataSuatu ukuran yang mencerminkan penyebaran setiap nilaidata terhadap nilai rata-ratanya dinamakan simpangan rata-rata.Simpangan rata-rata (SR) dapat dirumuskan dengan47 StatistikaSR = _=~niix xn1 1|xi x | dibaca: harga mutlak dari xi dikurangi x bar.Keterangan: x = rata-rataxi= datum ke-in = ukuran dataJikadatatersusundalamdistribusifrekuensi,simpanganrata-rata dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut.Misalkan terdapat data denganx1 adalah nilai tengah kelas; ke-1 frekuensinya f1;x2 adalah nilai tengah kelas; ke-2 frekuensinya f2;

M

M

Mxr adalah nilai tengah kelas; ke-r frekuensinya fr;dan rata-rata data adalahx .Dengan demikian, simpangan rata-ratanya adalahSR=| | | | ... | |...x x x x x xf f frr1 21 2~ + ~ + + ~+ + += f x xfi iiriir~==__11Jadi,simpanganrata-ratadatayangtersusundalamdistribusifrekuensi yang terdiri atas r kelas, dengan xi nilai tengah kelaske-i adalahSR = f x xfi iiriir~==__11Contoh:Keterangan:fi=frekuensi kelas ke-ix =rata-ratar =banyak kelasxi=nilai tengah kelas ke-iTentukan simpangan rata-rata data berikut.a. 3, 2, 5, 4, 3, 2, 4b. Nilai Frekuensi3039 34049 75059 66069 448 Khaz Matematika SMA 2 IPSDari tabel di atas, diperolehx = f xfi iiriir==__11= f xfi iiriir==__11= 50.Jawab:a. Diketahui data: 3, 2, 5, 4, 3, 2, 4. Data ini jika diurutkandari terkecil ke terbesar, diperoleh susunan 2, 2, 3, 3, 4, 4,5.Rata-rata 75 4 4 3 3 2 2

+ + + + + += x= 3,29._=~71i ix x= |2 3,29| + |2 3,29| + |3 3,29| + |3 3,29|+ |4 3,29| + |4 3,29| + |5 3,29|= 1,29 + 1,29 + 0,29 + 0,29 + 0,71 + 0,71 +1,71= 6,29Simpangan rata-rataSR= | xx |nii~=_17= 6, 297 = 0,90b. Data di atas dapat ditampilkan lebih lengkap dalam tabelberikut.Nilai fixifi xi|xi x | fi |xi x | 3039 3 34,5 103,5 15,5 46,5 4049 7 44,5 311,5 5,5 38,5 5059 6 54,5 327,0 4,5 27,0 6069 4 64,5 258,0 14,5 58Jumlah 20 1.000 40 17049 Statistikab. VariansSelainsimpanganrata-rata,ukuranpenyebaranyanglainadalah varians atau ragam (S2). Jika kita menjumlahkan selisihdatadenganrata-ratanya,diperoleh(_~ = x xi) 0.Variansdidefinisikan sebagai nilai dari 2) (1_~ x xni . Nilai ini tidak akansama dengan nol. Karl Pearson menentukan varians data tunggaldengan rumusS2 = 121nx xiin( ) ~=_Rumusinijugadapatdinyatakandalambentuklain.Namunsebelumnya,yangperlukalianketahuidalamoperasisigmaberlaku1._ _ _= = =+ = +niiniinii ib a b a1 1 1) (2.kak aiiniin== =_ _1 13._==nik1kn(Materinotasisigmadanoperasinyalebihlanjutakankalianpelajari di kelas XII)Sekarang perhatikan rumus varians data tunggal di atas.S2= _=~niix xn12) (1=_+ ~ ) 2 (12 2x x x xni i= _ _ _= = =+ ~niniinix x x xni121 12} 2 {1SR= __==~riiriif| x x11| = 20170 = 8,5Jadi, simpangan rata-rata data ini adalah 8,5.50 Khaz Matematika SMA 2 IPS=} 2 {121 12x n x x xnniinii+ ~_ _= =....( x 2dan 2x konstanta)=} )1(12. {121 1 1 12_ _ _ _= = = =+ ~niiniiniiniixnn x xnxn.......... (karena _==niixnx11)= ||||||||||||j)|\[+j)|\[~_ __= ==nxnxxnniiniinii2121122.1= ||||||||||||j)|\[~ __==nxxnniinii2112 1Jadi,variansdatatunggaljugadapatditentukandenganrumusS2 = 12112nxxniiniin ==__~[\|)j||||||||||||Bentuk di atas dapat dimodifikasi menjadi sebagai berikut.S2= xnxniiniin21122==__~[\|)j = xnxniiniin21 12= =_ _~[\|||)jjjKalian tahu bahwa xnxiin21 2 =_= dan xnxiin=_[\|||)jjj= ()122.51 StatistikaKaliantelahmengetahuibagaimanacaramenentukanvariansdarisuatudata,baikdatatunggalmaupundataberkelompok.Akardarivariansdisebutstandardeviasi.Dengandemikian,standar deviasi dirumuskan dengan S = S2.1) Untuk data tunggal, standar deviasinya adalahS = 12211nxxniiinin~||||||||||||==__( )Jadi,rumusvariansdiatasdapatdituliskandalambentukberikut.S x x2 2 2= ~( )Jika data dinyatakan dalam data berkelompok yang terdiriatas r kelas, variansnya dapat ditentukan denganS2 = 11nfiir ( )2xxi ~=_dengan xi = nilai tengah kelas dan n = fiir=_1.MariBerdiskusiMenumbuhkankreativitasKalian tahu bahwa mean (rata-rata) dari data yang tersaji dalamdistribusi frekuensi berkelompok adalahxx ffi iiriir===__11Dengan menggunakan cara-cara yang sama dengan penguraianrumus varians data tunggal, buktikan bahwa bentuk lain darirumus varians data berkelompok adalahS2 = 12 121nx fx fni ii iirir~[\|)j||||||||||||==__Ingat, xi adalah nilai tengah kelas interval.Para pakar statistik, sepertiWilks dan Fisher Irwin, me-nentukanvariansmenggu-nakan pembagi (n 1) jikan < 100.Jadi,variansnyadihitungdengan rumusS2 = ( _ ~~inxixn=121 )Sumber: Theory and Problemof Statistics, 1972Perhatian52 Khaz Matematika SMA 2 IPSContoh:2) Untukdatadalamdistribusifrekuensi,standardeviasinyaadalahS = 12211nx fx fnii iirir~||||||||||||==__( )Tentukan varians dan standar deviasi dari data berikut.a. 4, 5, 6, 7, 8b.Nilai Frekuensi3039 34049 75059 66069 4(Gunakanbantuanscientificscalculatoruntukperhitungan-perhitungan statistik)Jawab:a. Diketahui data: 4, 5, 6, 7, 8.Cara 1:Dari soal diketahui n = 5 danx= 4 5 6 7 85+ + + + = 6.2i) ( x x ~_ = (4 6)2 + (5 6)2 + (6 6)2 + (7 6)2 +(8 6)2 = 10Jadi, S2= 2i) (1x xn~_ = 51(10)= 2.Standar deviasinya adalah S =S22 == 1,414.Cara 2:x x24 165 256 367 498 6430 190Perhatikantabeldisamping.Daridatadisamping,diper-olehxii =_15=30dan _2ix =190.(Gunakankalkulatoruntukmenghitungnya)53 StatistikaDengan demikian, diperolehS2= ||||||||||||j)|\[~ __==nxxniiii251512 1= ||||~53090 1512 = 2Jadi, standar deviasinya adalah S = S2 = 2 = 1,414.b. Cara 1:Kalian telah dapat menentukan rata-rata data ini adalahx= 50 (lihat pembahasan simpangan rata-rata contoh bhal 48).Dengan demikian, dapat kita tampilkan tabel berikut.Dengan demikian, diperolehNilai fixi(xi x )2fi(xi x )23039 3 34,5 240,25 720,754049 7 44,5 30,25 211,755059 6 54,5 20,25 121,506069 4 64,5 210,25 841,00 Jumlah 20 1.895S2=114nx x fiii=_~ ( )2=201(1.895) =94,75Standar deviasinya adalah S =S2= 94, 75= 9,73.Cara 2:Kitajugadapatmenentukanvariansdatainidenganmenggunakan rumusS2 = 12112nx fx fniirii iir==__~[\|)j||||||||||||.54 Khaz Matematika SMA 2 IPSSebelumnya,untukmempermudahperhitungan,kitagunakan tabel perhitungan berikut.Nilai fixixi2xifixi2fi3039 3 34,5 1.190,25 103,5 3.570,754049 7 44,5 1.980,25 311,5 13.861,755059 6 54,5 2.970,25 327,0 17.821,56069 4 64,5 4.160,25 258,0 16.641Jumlah 20 10.301 1.000 51.895Dari nilai-nilai pada tabel di atas, kita dapat menentukanvarians yang dimaksud, yaituS2= 1214142nx fx fniiii ii==__~[\|)j||||||||||||= 12051 895 .(1.000)202~|||| .......... (Ingat: fiir=_1 = n)= 94,75Jadi, standar deviasinya adalah S =S2= 94, 75= 9,73.Tampak bahwa perhitungan standar deviasi dengan keduarumus di atas memberikan hasil yang sama.Periode Roti A Roti B Roti C Roti D JumlahI 120 122 150 100 492II 200 110 95 120 525III 58 100 100 150 408IV 200 120 305 195 820V 190 195 200 210 795Jumlah 768 647 850 775 3.040Soal Kompetensi 2 Kerjakan di buku tugas1. Perhatikantabelberikut.Tabelberikutmenunjukkanjumlah penjualan 4 jenis roti pada suatu toko pada periodetertentu.55 StatistikaBerdasarkan tabel di atas, buatlaha. diagram garis penjualan roti A dalam 5 periode;b. diagram garis penjualan setiap roti pada periode I;c. diagram lingkaran penjualan roti C dalam 5 periode;d. diagrambatangpadapenjualansetiaprotiuntukperiode II;e. diagrambatangdaunpadapenjualanrotiDdalamsetiap periode;f. diagram kotak penjualan roti D dalam setiap periode;g. diagram kotak garis penjualan setiap roti pada periodeV.2. Perhatikan data berat badan siswa berikut.68 58 58 61 54 49 56 64 7958 56 60 56 56 60 59 61 5857 60 62 60 49 52 54 60 5660 58 55 48 50 51 61 48 5668 60 49 56 48 70 63 68 6279 58 56 56 62 62 72 71 7181 81 86 76 72 72 72 73 7172 76 70 70 69 68 62 72 71Dengan aturan Sturgess, buatlah tabel distribusi frekuensiberkelompokdatadiatas.Kemudian,buatlahtabelfrekuensi kumulatif kurang dari dan lebih dari.3. Perhatikan data berikut.Tinggi badan 20 siswa diukursebagai berikut (dalam cm).156 158 160 169 160156 160 162 164 160156 160 160 166 170157 156 178 155 155Buatlahtabeldistribusifrekuensitunggaldatadiatas,kemudiantentukanmean,median,danmodus-nya.Kemudian,tentukansimpanganrata-ratadanvariansnya.TantanganPenalaran Kerjakan di buku tugasTahun Banyak Siswa1999 952000 1002001 1122002 1932003 1172004 1262005 1802006 1002007 1302008 160DatadisampingadalahdatabanyaksiswadarisuatuSMAyangmene-ruskan ke perguruan ting-gipadasuatutahun.Buatlahfrekuensikumu-latif kurang dari, frekuen-sikumualtiflebihdari,ogifpositif,ogifnegatif,dan histogramnya. Kemu-dian, tentukan simpanganrata-ratadanstandarde-viasinya. Tentukan ketigakuartil, desil ke-1 dan desilke-7.4. Berikut ini adalah data siswa kelas XI SMA PangkalanBalai pada tahun pelajaran 2006/2007 yang ditampilkandalam diagram batang.56 Khaz Matematika SMA 2 IPSa. Berapa jumlah siswa kelas XI secara keseluruhan?b. Berapa jumlah siswa laki-laki kelas XI?c. Berapapersensiswaperempuanyangmasukprogram Bahasa dari keseluruhan siswa perempuanyang ada?d. Kelasmanakahyangmempunyaijumlahsiswaterbanyak?5. Diagram lingkaran berikut menunjukkan 126 siswa yangmemiliki hobi tertentu.05101520252418201925201316 16 161381511IPA 1 IPA 2 IPA 3 IPS 1 IPS 2 BHS 1BHS 2Jumlah siswaLaki - lakiPerempuanKelasGambar 1.16Nontonfilm77,54 o124,62 o63,69 oKomputerRenangRekreasiGambar 1.17a. Tentukanjumlahsiswayangmenyukaimasing-masing hobi.b. Tentukan persentase siswa yang menyukai masing-masing hobi.6. Gambarberikutmenyajikanpoligonfrekuensijumlahpermen dengan warna tertentu yang ada dalam sekalengpermen.Dalamsuatuperusahaan,rataantinggipegawailaki-lakiadalah165cm,rataantinggipegawaiwanita160cm,danrataantinggipegawaikeseluruhan162cm. Tentukan perbandinganbanyakpegawailaki-lakidanpegawaiwanitadalamperusahaan tersebut.TantanganKreativitas Kerjakan di buku tugas57 Statistikacokelat hijau oranye merah kuning putih0134526WarnaFrekuensiGambar 1.18Berdasarkan gambar di atas, tentukana. banyaknya semua permen dalam kaleng;b. persentase jumlah permen untuk setiap warna;c. perbandingan banyaknya permen warna orange danwarna cokelat.7. Dalam suatu kelas terdapat 21 siswa. Nilai rata-rata ujianMatematikanya adalah 6. Jika seorang siswa yang palingrendahnilainyatidakdiikutsertakanmakanilairata-ratanyamenjadi6,2.BerapakahnilaiujianMatematikaterendah tersebut?8. Diketahui x0adalahnilairata-ratadari x1, x2,x3,..., x10.Tentukan nilai rata-rata dari x x x x1 2 3 10122232102+ + + +, , ,...,.9. PadaujianMatematikayangdiikuti40siswa,rata-ratanilainya 32. Karena nilai rata-ratanya terlalu rendah makaSang guru mengambil kebijakan, yaitu mengalikan nilaisetiapsiswadengan2,kemudiandikurangi10.Berapanilai rata-rata sekarang?10. Data penghasilan karyawan di sebuah perusahaan swastaadalah sebagai berikut.TantanganPenalaran Kerjakan di buku tugasPerhatikan tabel berikut.a. Manakahpernyataanberikut yang benar?1) Median terletak padakelas ke-3.2) Banyaknyadatase-luruhnya adalah 25.3) Jangkauannya 34.4) Modus terletak padakelas ke-2.5) Meannya 20.b. Tentukan median, kuartilke-2, desil ke-1, desil ke-5Data Frekuensi1115 41620 152125 72630 33135 1Penghasilan Per Bulan (Rp) Banyak Karyawan400.000 449.000 225450.000 499.000 100500.000 549.000 75550.000 599.000 75600.000 649.000 50650.000 699.000 50> 700.000 2558 Khaz Matematika SMA 2 IPSa. Buatlah histogram data di atas. Kemudian, buatlah ogifpositif dan negatifnya.b. Tentukan nilai mean (dengan 3 cara), median, danmodusnya.c. Tentukansimpanganrata-rata,varians,danstandardeviasinya.d. Tentukan kuartil ke-3, desil ke-5, dan desil ke-8.F. Pemeriksaan Data yang Tidak KonsistenTentu kalian masih ingat dengan pengertian kuartil (Q1, Q2,Q3),jangkauanantarkuartil(JK ),danlangkah(L).Disampingitu, kita juga telah belajar pagar dalam (PD) dan pagar luas (PL)yang nilainyaPD = Q1 LPL = Q3 + LIngat, besarnya satu langkah ditentukan dengan L = 32 (Q3 Q1).Ukuran-ukuranstatistikiniakankitagunakandalammemeriksadatayangberbedadarikelompoknya.Datayangberbedadarikelompoknyadisebutsebagaidatapencilan(outlier), sedangkan data yang tidak berbeda dari kelompoknyadisebutdatanormal.Padapembahasankaliini,kitahanyamemfokuskan pada data pencilan atau data yang tidak konsistendalam kelompoknya.Datapencilanberadakurangdari1langkahdibawahQ1atau lebih dari 1 langkah di atas Q3. Lebih jauh lagi, jika suatudata terletak 2 langkah di bawah Q1 atau 2 langkah di atas Q3maka data itu dinamakan data ekstrem. Jadi, data ekstrem pastimerupakan pencilan.Misalkan diberikan suatu data x1, x2, x3, ..., xn. Berdasarkanketerangan di atas, untuk memeriksa apakah xi (untuk i = 1, 2, 3,..., n) merupakan data normal atau data pencilan, dapat digunakanketentuan berikut.Jika PDsxi sPL maka xi merupakan data normal.Jika xi < PD atau xi > PL maka xi merupakan data pencilan.Permasalahannya sekarang adalah apa yang menyebabkansuatudatamerupakandatapencilan?Kemungkinan-kemungkinanyangdapatmengakibatkanmunculnyadatapencilan adalah sebagai berikut.Tugas: Investigasi Kerjakan di buku tugasMisalkandalamperkam-punganyangbeternakayampetelur,didatajumlahteluryangdihasilkanperhari.Dalam data tersebut, tercatatsebagai berikut.Data banyak telur yang diha-silkan per hari dalam sebuahpeternakan ayam petelur250 350 205 310 450 425400 400 350 375 300 350325 305 310 250 110 25590 305 305 310 350 360Cobakamuselidiki,adakahdatapencilannya?Jikaada,kira-kira(menurutmu)apapenyebabnya?59 Statistika1. Kesalahan pencatatan data.2. Kesalahan teknis pengukuran.3. Datatersebutmerupakandatayangmenyimpang,sepertidata diperoleh dari bibit unggul di antara bibit yang tidakunggul atau terjadinya sifat anomali pada air.Denganmenggunakandiagramkotakgaris,kalianakandapat dengan mudah menentukan apakah suatu data berbeda darikelompoknya atau tidak.Perhatikan diagram kotak garis berikut.1 L 1 L 1 L 1 L Q1 Q2Q3 xminDataekstremDatapencilanDatanormalDatapencilanDataekstremxmaksGambar 1.19Dari gambar di atas, terlihat bahwa data pencilan memilikijarak lebih dari 1,5 langkah dari Q1 maupun Q3.Contoh:Misalkan diberikan data: 1, 2, 6, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 10, 10,12, 24.Dari data di atas, apakah ada pencilannya? Selidiki pula adakahdata ekstrem?Jawab:Dari datadi atas, diperoleh Q1 = 7, Q2 = 9 dan Q3 = 10.Dengan demikian, diperolehQ1Q2Q3x min x maksDataekstremDatapencilan1 2 3 7 8 9 10 14 15 19 24PDDatapencilanData normalPLGambar 1.20L =23(Q3 Q1)=23(10 7)= 4,5PD=Q1 L=7 4,5=2,5PL= Q3 + L= 10 + 4,5= 14,5TantanganEksplorasi Kerjakan di buku tugasSebanyak20pohondicatattahanhidupnyadandisaji-kandalamdiagramkotakgaris berikut (dalam tahun).9 12 13 18 20a. Tentukanketigakuar-tilnya.b. Berapapersenpohonyang tahan hidup antara1218 tahun?c. Berapapersenpohonyangtahanhidup912tahun?60 Khaz Matematika SMA 2 IPSData xi merupakan pencilan jika xi < PD atau xi > PL.Karena PD = 2,5 dan PL = 14,5 maka data yang memenuhixi < 2,5 atau xi > 14,5 adalah 1, 2, dan 24.Sekarang akan kita selidiki adakah data ekstremnya.Karena 1 langkah = 4,5 maka 2L = 9. Jadi, misal xi data ekstremmaka xi < Q1 2L atau xi > Q3 + 2L.Dengan demikian, data ekstrem berada pada xi < 7 9 = 2atau xi > 10 + 9 = 19. Oleh karena itu, yang merupakan dataekstrem adalah 24Soal Kompetensi 3 Kerjakan di buku tugas1. Manakahdiantaradataberikutyangmerupakandatanormal?a. 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10b. 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3c. 2, 6, 8, 10, 12, 16, 20, 22, 24d. 3, 2, 8, 8, 7, 6, 5, 3, 4, 15, 25e. 3, 7, 9, 12, 20, 15, 17, 8, 6MariBerdiskusiMengomunikasikangagasanApakah pencilan suatu data harus dibuang agar memperolehdatanormal?Berikanalasanmu.Apaakibatnyajikadatapencilan dihilangkan?Jendela InformasiInformasi lebih lanjutJohn Wilder TukeySalah satu tokoh statistika yang cukup terkenal adalahTukey. Jika kamu belajar tentang Metode Statistik, kamu tentuakansangatdekatdenganaturan-aturan(teori)Tukey.Statistikainilebihdekatkestatistikainferensi.NamalengkapnyaadalahJohnWilderTukey(1915-2000).Dialahir di New Bedford, Massachusetts, Amerika Serikat padatanggal16Juni1915.setelahmenyelesaikansekolahPre-College-nya di rumah, ia mengambil S1 dan S2 dalam bidangKimia. Setelah itu, ia mengambil program S3 dalam bidangMatematika. Sepanjang hidupnya, ia memberi kontribusi yangsangatbesaruntukkepentinganumum.Iajugaseorangpenasihat Presiden Amerika Serikat Eissenhower, Kennedy,dan Johnson. Carilah informasi tentang Tukey dan karyanyadalam bidang statistika di perpustakaan atau internet.Sumber: www.myscienceblog.comTukey (19152000)Sumber: www.cygo.com61 Statistika2. Misalkan diberikan data: 5, 5, 3, 2, 1, 7, 9, 12, 15, 21, 7, 6, 8, 4.a. Adakah data pencilannya?b. Jika ada, sebutkan data pencilan itu.3. Disuatudaerahpertanianjagungyangterdiriatas10kelompokareapertanian,padasuatumusimpanen,hasilnya tercatat sebagai berikut (dalam kwintal).1.100 1.200 1.210 1.100 2.1103.500 2.100 1.210 2.200 1.010a. Tentukanstatistiklimaserangkai,kemudiangambarlah diagram kotak garisnya.b. Apakah data hasil pertanian di atas merupakan datanormal?c. Jika ada pencilannya, coba kalian tentukan.4. Seorang peternak ayam petelur, dari sejumlah ayam yangdimilikinya,dalam16harimenghasilkantelursebagaiberikut.300 350 354 200 360 400 170 300250 240 450 420 380 390 110 380Dari data telur yang dihasilkan ternak di atas, adalah datatelur yang aneh? Jika ada data manakah itu? Kemungkinanapakahyangmenyebabkannyasehinggadatatersebutaneh?5. Parailmuwanlingkungansedangmenelitikandunganracun (merkuri) salah satu spesies lumba-lumba. Berikutiniadalahdatakandunganmerkuri(dengansatuanmikrogram/gram) yang terkandung dalam hati 28 lumba-lumba.1,70 183,00 221,00 286,001,72 168,00 406,00 315,008,80 218,00 252,00 241,005,90 180,00 329,00 397,00101,00 264,00 316,00 209,0085,40 481,00 445,00 314,00118,00 485,00 278,00 318,00a. Buatlah diagram kotak garisnya.b. Adakah data pencilan dan data ekstremnya?6. Diberikan data berat (dalam pon) dari 27 kemasan dagingsapi.0,75 0,83 0,87 0,89 0,890,93 0,96 0,96 0,97 0,981,08 1,08 1,12 1,12 1,141,18 1,18 1,24 1,28 1,380,89 0,99 1,14 1,41 0,921,06 1,17Diberikan suatu data tentangjumlahsodiumyangter-kandungdalamsetiappo-tong keju (dalam miligram)pada 8 merek keju.340 300 520 340320 290 260 330a. Buatlahdiagramkotakgarisnya.b. Adakahdatapencilandan data ekstremnya?TantanganPenalaran Kerjakan di buku tugas62 Khaz Matematika SMA 2 IPSRangkuman1. Suatu data dapat disajikan dengan garis,lingkaran,batang,batangdaun,dansebagainya.2. Ukuranpemusatanterdiriatasmean(nilai rata-rata), median, modus, kuartil,dan desil.3. Ukuranpenyebaranterdiriatasjang-kauan,simpangankuartil,varians,danstandar deviasi.4. Frekuensi kumulatif merupakan frekuensiakumulasidenganfrekuensilainnyayangberurutan,sedangkankurvanyadinamakan kurva ogif.5. Nilai-nilai statistika. Mean1) mean data tunggalnxxnii _==12) mean data berkelompok__===riirii ifx fx11Jika rata-rata hitung ditentukandengan menggunakan rata-ratasementara sxmaka rata-rata databerkelompok dapat ditentukandengan rumus__==+ =riirii isfd fx x11b. Kuartil-kuartil data berkelompokQ t kFfi binkQi= +~||||||||4, dengan i = 1, 2, 3Khusus untuk kuartil tengah atau kuartilke-2 disebut median.c. Modus data berkelompokM t kdd db 011 2= ++||||||d. Simpangan rata-rata data berkelom-pokSnf x xR i iir= ~=_11| |e. Varians1) Varians data tunggal_=~ =niix xnS12 2) (12) Varians data berkelompok_=~ =rii ix x fnS12 2) (1Jikavariansdiakarkan,hasilnyadisebut deviasi standar.6. Datayangberbedadarikelompoknya(tidakkonsisten)dinamakanpencilan,sedangkan data yang tidak berbeda darikelompoknya (konsisten) dinamakan datanormal.a. Tentukan statistik lima serangkai.b. Buatlah diagram kotak garis.c. Ada berapa jumlah data normal?d. Adakah data pencilan dan data ekstremnya?63 StatistikaRefleksiSetelahmempelajaristatistika,tentukalian sudah mengetahui bagaimana caramembaca data dan menyajikan data baikdalambentukdiagrammaupuntabel.Menurutmu, apakah materi ini membantukaliandalammelakukankegiatanstatistika?Setujukahkaliandenganpernyataan bahwa dalam statistika, segalasesuatu yang berkaitan dengan data dapatdiramalkan karakteristik data ke depannya?Berikan penjelasan.Tes Kemampuan Bab I Kerjakan di buku tugasA. Pilihlahjawabanyangtepatdenganmemberitandasilang (x) pada huruf a, b, c, d, atau e.1. Diketahui sebuah data: 8, 7, 7, 3, 4, 4, 5,5, 4, 5, 5, 5, 7, 7, 6, 6Median data tersebut adalah ....a. 4,5 d. 6,0b. 5,0 e. 6,5c. 5,52. Mean ulangan Matematika dari 34 siswaadalah 49. Jika nilai ulangan Matematikasalahsatusiswadigabungkan,meanulanganMatematikamenjadi50.Nilaiulangan Matematika siswa itu adalah ....a. 50 d. 80b. 55 e. 84c. 603. Dari 4 bilangan diketahui bilangan yangterkecil adalah 20 dan yang terbesar 48.Rata-ratahitungkeempatbilangantersebut tidak mungkin(1) < 26 (3) > 42(2) < 25 (4)> 43Jawaban yang benar adalah .... (UMPTN1989)a. (1), (2), dan (3)b. (1) dan (3)c. (1) dan (4)d. (4)e. semuanya benar4. Modus dari data: 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4adalah ....a. 4 d. 10b. 4,5 e. tidak adac. 85. Dari: 3, 4, 5, 5, 6, 6, 6 dapat ditentukanmedian,rata-rata,jangkauan,danmodusnya berturut-turut adalah ....a. 5, 5, 3, 6 d. 5, 5, 6, 3b. 5, 3, 5, 6 e. 5, 5, 5, 6c. 6, 6, 3, 56. Rata-rata dari data yang disajikan denganhistogramdibawahiniadalah....(Ebtanas 1994)42 47 52 57 62 6751015Nilai15810 1052Frekuensia. 52,5b. 55,5c. 55,8d. 60,3e. 60,564 Khaz Matematika SMA 2 IPS7. Suatu keluarga mempunyai 8 orang anak.Anak A berumur x + 1 tahun dan anak Bberumur 2x + 1 tahun. Enam anak yanglain berturut-turut berumur x + 2, x + 3,x + 4, ..., x + 7. Apabila rata-rata umurkedelapan anak tersebut adalah 7 tahunmaka umur anak A adalah ....a. 8 tahun d. 4 tahunb. 6 tahun e. 3 tahunc. 5 tahun8. Jika 30 siswa kelas XI IPS-1 mempunyainilai rata-rata ujian Matematika 6,5; 25siswakelasXIIPS-2mempunyairata-rata7;dan20siswakelasXIIPS-3mempunyairata-rata8makarata-ratanilai Matematika seluruh siswa kelas XIIPS adalah ....a. 7,16 d. 7,04b. 7,10 e. 7,01c. 7,079. Desilke-6dari:2,4;2,7;5,3;4,8;4,3;3,4; 3,7; 2,5; 4,7; 4,0; 2,9; 3,5; 5,1; 5,7;2,1 adalah ....a. 3,44 d. 5,04b. 3,70 e. 5,46c. 4,1810. Sebuahdatayangterdiriatasndatum,mempunyainilaimeanx .Jikasetiapdatumdaridataituditambahdengan5,nilai mean data baru adalah ....a. x d. x nb. x+ 5 e. x n+ 5c. x+ 5n(1) lebih besar dari jurusan bahasa(2) tepat 25%(3) lebihdari25%tetapikurangdari50%(4) lebihdari50%tetapikurangdari70%Jawaban yang tepat adalah .... (PPI 1980)a. (1), (2), dan (3)b. (1) dan (3)c. (2) dan (4)d. (4)e. semuanya benar11. Diagramlingkarandi samping menyata-kanperbandinganbanyaknyapelajaryang memilih jurus-an-jurusan IPA, IPS,dan Bahasa. Banyak-nyapelajaryangmemilihjurusanIPAadalahIPSIPABahasaIndonesia12. Gambarberikutmenggambarkanpekerjaan orangtuadari36sis-wa. Banyak orangtuasiswayangpekerjaannyasebagaiwiraswastalebihkurang ... orang.a. 15b. 18c. 20d. 23e. 3013. Diketahui data sebagai berikut: 2,0; 3,5;5,0;7,0;dan7,5.Jikadeviasi(simpangan) rata-rata nilai tersebut yangdinyatakandenganrumus | | x xniin~=_1,denganxnxiin==_11makadeviasirata-rata data di atas adalah ....a. 0b. 1,0c. 1,8d. 2,6e. 5,065 Statistika14. Suatu data mempunyai rata-rata 16 danjangkauan 6. Jika setiap data dikalikan p,kemudian dikurangi dengan q, diperolehdatabarudenganrata-rata20danjangkauan 9. Nilai 2p + q = ....a. 3b. 4c. 7d. 8e. 915. Tahunyanglalu,gajiperbulandari5orangkaryawan(dalamribuanrupiah)adalahsebagaiberikut:480,360,650,700,260.Tahunini,gajimerekanaik15%bagiyangsebelumnyabergajikurang dari Rp500.000,00 dan 10% bagiyangsebelumnyabergajilebihdariRp500.000,00.Rata-ratabesarnyakenaikan gaji semua karyawan per bulanadalah ....a. Rp60.000,00b. Rp62.000,00c. Rp63.000,00d. Rp64.000,00e. Rp65.000,0016. Diketahui suatu data: x, 2, 4, 3, 2, 5, 9, 7,6. Apabilajangkauandaridatatersebut8, nilai x adalah ....a. 1 sajab. 2 sajac. 10 sajad. 1 atau 10e. semua salah17. Jika jumlah enam buah bilangan adalah 5lebih besar dari rata-rata keenam bilangantersebutmakajumlahkeenambilangantersebut adalah ....a. 6b. 8c. 10d. 614e. 72518. Padasuatuujianyangdiikuti50siswadiperolehrata-rataujian35,denganmedian40,dansimpangankuartil40.Karenarata-rataterlalurendahmakasemuanilaidikalikan2,kemudiandikurangi 15. Akibatnya, .... (Sipenmaru1988)a. rata-rata nilai menjadi 65b. rata-rata nilai menjadi 55c. simpangan kuartil menjadi 20d. simpangan kuartil menjadi 5e. median menjadi 8019. Umurrata-rata(rata-ratahitung)darisuatu kelompok yang terdiri atas dokterdanjaksaadalah40tahun.Jikaumurrata-ratadokteradalah35tahundanumur rata-rata para jaksa adalah 50 tahunmakaperbandinganbanyaknyadokterdan banyaknya jaksa adalah .... (UMPTN1989)a. 3 : 2b. 3 : 1c. 2 : 3d. 2 : 1e. 1 : 220. Perhatikan tabel distribusi berikut ini.Berat Badan f4749 35052 65355 85658 75961 6Jumlah 30Pernyataanyangbenarberdasarkantabel di atas adalah ....a. median = 50,75b. modus = 55,5c. median = 55,75d. modus = 45,5e. median = 54,7566 Khaz Matematika SMA 2 IPS21. Perhatikan tabel berikut ini.Seorang siswa dinyatakan lulus ujian jikanilai ujiannya lebih tinggi dari nilai rata-rata dikurangi 1. Dari data di atas, jumlahsiswa yang lulus adalah .... (Sipenmaru1985)a. 52b. 40c. 38d. 23e. 2022. Perhatikan tabel berikut. Nilai meannyaadalah ....a. 6,00b. 7,50c. 7,75d. 8,00e. 8,5523. Tinggibadandarisekelompoksiswadisajikan dalam tabel berikut.25. Diagramdibawahinimenyajikandataberatbadan(dalamkg)dari40siswa.Modusnya adalah .... (UAN 2003)a. 46,1 d. 47,5b. 46,5 e. 48,0c. 46,926. Modus dari histogram berikut adalah ....(UAN 2002)24. Histogrampadagambarberikutmenun-jukkan nilai tes Matematika di suatu kelas.Nilai rata-ratanya adalah ....a. 69b. 69,5c. 70d. 70,5e. 71Nilai Ujian Frekuensi3 34 55 126 177148693Tinggi (cm) Frekuensi140 144 6145 149 6150 154 10155 159 6160 1645Nilai Frekuensi6 67 68 89 1010 11Nilai mean dari data di atas adalah ....a. 141,5 d. 155,2b. 151,6 e. 160,2c. 15457 62 67 62 77520Nilai101542181412Frekuensi40-44410Berat badan2861245-49 50-54 55-59 60-64Frekuensi29,5410Nilai2861214Frekuensi34,5 39,5 44,5 49,5 54,5 59,5 64,52581264367 Statistikaa. 47,5b. 46,5c. 46,4d. 45,2e. 44,727. Tabel di bawah ini adalah hasil ulanganMatematikasuatukelas.Modusnyaadalah .... (UN 2007)Nilai f3136 43742 64348 94954 145560 106166 56772 2a. 49,06b. 50,20c. 50,70d. 51,33e. 51,8328. Standardeviasidarisuatudataadalahnol. Dengan demikian, dapat disimpul-kan bahwa ....a. mean < medianb. mean < modusc. mean =