Susunan bilangan atau bilangan yang disusun ke dalam bentuk baris atau bentuk lajur

HIMPUNANAbdul Aziz KarimSEKELOMPOKSEKAWANANSEDERETANHIMPUNANHpn biasaGuguspendefinisian GugusSETUMPUKSEKUMPULANHpn 29-22Mahasiswa/wi Unlam yang suaranya merdu supaya berhadir pada Hari Suara Sedunia setiap tanggal 08 Juni di lapangan Meriang Banjarpura status mahasiswa/wi Unlam, jelas karena mempunyai KTM suara merdu, ini tidak jelas !. Merdu menurut team penilai, tetapi belum tentu bagi team penilai yang lain atau orang lain di luar team. Jadi sekumpulan mhs Unlam yang bersuara merdu, tidak dapat dinyatakan sebagai suatu gugus; himpunan biasaHpn 29-33Mahasiswa/wi yang telah terdaftar di Unlam pada tahun Akademik 2007/2008, resmi menjadi mahasiswa UnlamJelas yang tidak terdaftar bukan merupakan mahasiswa Unlam.Karena agar terdaftar tentunya harus memenuhi semua persyaratan yang telah tetapkanSebagai bukti diri (identitas) mempunyai KTM Unlam Jadi seluruh mhs yang terdaftar tsb merupakan suatu gugus. Sedangkan individu mhsnya merupakan anggota/unsur gugusnya.Hpn 29-44Katakan sekumpulan mahasiswa (G) terdiri dari :x = mhs yang terdaftar di Unlamy = mhs yang tidak terdaftar di UnlamNotasi gugusnya :x G x di dalam (termasuk unsur/anggota) G y G y di luar (bukan unsur/anggota) G Hpn 29-55Gugus terhingga : bila banyaknya unsur suatu gugus wajar untuk dihitungGugus tak hingga : bila banyaknya unsur suatu gugus tidak dapat dihitung atau mustahil atau tidak wajar untuk dihitungbanyaknya bilangan habis dibagi dua dari sejuta bilanganbanyaknya butiran pasir seberat 1 onsHpn 29-66 Metode senarai Ciri Penentu suatu GugusCara ini (Notasi Gugus) bermanfaat untuk satu atau lebih ciri penentu, apakah suatu unsur (anggota) termasuk atau tidak termasuk ke dalam suatu gugusHpn 29-7Untuk membuat (menulis) Notasi suatu Gugus dilakukan dengan cara berikut :7 Metode senaraiD = gugus banyaknya (nilai) mata sebuah dadu bersisi enamD = {1, 2, 3, 4, 5, 6}B = gugus nilai suatu seri kartu BrigdeB = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}K = gugus nilai kembar kartu dominoK = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}Secara umum, dinyatakan sebagai gugus X mengandung n unsur (anggota) sebanyak xi (i = 1, 2, 3, 4, 5, , n)X = {x1, x2, x3, x4, x5, .., xn}Bila X dinyatakan sebagai gugus tak hingga maka notasinya :X = {x1, x2, x3, x4, x5, .., xn, }Hpn 29-8 Ciri Penentu suatu GugusSecara umum, bila : x = suatu unsur gugus U tertentu (universum/semesta) c(x) = ciri untuk menentukan termasuk tidaknya suatu unsur tertentu ke dalam suatu gugus X tertentuX = {x ; x U, C(x)}Hpn 29-9A = gugus bilangan asliA = {a ; a bilangan asli}A = {1, 2, 3, 4, 5, }Metode senaraiMetode ciri penentuA = {x ; x A, x = n, n A}Hpn 29-10C = {x ; x C, x=n-1, n A}B = gugus bilangan bulatB = {.., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, }C = gugus bilangan cacahC = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, }B = {x ; x B, x = n-1, n B}CLHpn-01X1 = {1, 3, 5, 7, 9, 11, }bil. asli ganjilX2 = {2, 4, 6, 8, 10, 12, }bil. asli genap Unsur2 gugus X1 merupakan pula unsur2 gugus A Unsur2 gugus X2 merupakan pula unsur2 gugus AA mencakup X1A mencakup X2A X1A X2 X1 dicakup A X2 dicakup AX1 AX2 AKesimpulan : setiap unsur selalu dicakup oleh gugus semestanya Gugus Induk & Anak-gugusHpn 29-11Denah VennN B AA B NDalam bahasa matematika : Bila setiap unsur gugus A juga menjadi unsur gugus B, maka dinyatakan gugus A merupakan anak gugus B Bila gugus A merupakan anak gugus B, maka setiap unsur gugus A merupakan pula unsur gugus B(mencakup)(dicakup)NBAHpn 29-12 Agar hubungan anak gugus tersebut berlaku, maka dalam pengertiannya harus terjadi serempak atau bersamaan, atau dengan kata lain berlaku secara timbal-balikIni berarti bahwa A dan B adalah gugus yang sama Ungkapan pengertian tsb dilambangkan dengan dibaca jika dan hanya jikaA = BJadi setiap unsur gugusA adalah juga menjadi unsur gugus B, gugus A adalah anak gugus dari gugus BA BA B&Hpn 29-13 Bila semua unsur gugus A yang dicakup oleh gugus B; tetapi tidak semua unsur gugus B dicakup oleh gugus A, maka ini dinyatakan gugus A merupakan anak gugus biasa dari gugus BA BB AatauHpn 29-14N = {n1 , n2 , n3 , n4} Bila dibentuk anak gugus berunsur 3 :N31 = {n1 , n2 , n3}N32 = {n1 , n2 , n4}N34 = {n2 , n3 , n4}N33 = {n1 , n3 , n4}N21 = {n1 , n2}N22 = {n1 , n3}N23 = {n1 , n4}N24 = {n2 , n3}N25 = {n2 , n4}N26 = {n3 , n4} Bila dibentuk anak gugus berunsur 2 :(gugus induk)Hpn 29-15 Bila dibentuk anak gugus berunsur 1 :N11 = { n1 }N12 = { n2 }N14 = { n4 }N13 = { n3 } Bila dibentuk anak gugus berunsur 0 nol) :N0 = { }= OGugus KosongPengertian : { } { 0 }Gugus mengandung 1 unsur yaitu angka nolGugus tanpa unsurHpn 29-16Semua anak-anak gugus dari gugus induk N dapat pula dihimpun menjadi Gugus Kuasa dari gugus induk N2N = {N, N31, N32, N33, N34, N21, N22, N23, N24, N25, N26, N11, N12, N13, N14, }OHpn 29-17Penggunaan Persamaan Kombinasiuntuk menentukanbanyaknya anak-gugus Gugus Kuasa dari gugus Induk N

C(n,i) =n !i ! (n-i) !Untuk :n ! = 1, 2, ., (n-1), ni ! = 0, 1, 2, ., (n-1), n0 ! = 1Hpn 29-18Dari Gugus Induk N [di atas] diperoleh anak-gugus2 dari Gugus Kuasa untuk sejumlah unsur : Jumlah unsur 4;C(4 , 4) =4 !4! (4-4)!= 1 Jumlah unsur 0;C(4 , 0) =4 !0! (4-0)!= 1 Jumlah unsur 3;C(4 , 3) =4 !3! (4-3)!= 4 Jumlah unsur 1;C(4 , 1) =4 !1! (4-1)!= 4 Jumlah unsur 2;C(4 , 2) =4 !2! (4-2)!= 6Hpn 29-19

CL Hpn-02 Mhs Fakultas Kehutanan Unlam yang tergabung dalam Himpun-an Mhs Peduli Lingkungan (HIMAPELI) sebanyak 9 orang yang terdiri dari :a. 5 orang laki-laki (k1, k3, k5, k7 dan k9)b. k1, k6 dan k8 merupakan mhs S1regc. k2, k5 dan k7 merupakan mhs S1eksd. sisanya merupakan mhs S03rege. selain itu ada pula yang berstatus : pegawai yaitu k1 dan k9 mahasiswa murni yaitu k3, k4, k5, k6 dan k8 sisanya berwiraswasta

SL Hpn-02Hpn 29-20(1). Tentukan notasi gugus dari pernyataan tsb(2). Tentukan gugus kuasanyaJCLHpn-02A(3). Tentukan gugus : mahasiswa perempuan, mahasiswa S1 & mahasiswa reguler.Ditanyakan : Dinyatakan bahwa :I = {x; x B, 1 x < 4}J = {x; x B, (x-1)(x-2)(x-3)}danTentukan apakah I = J, bila B = gugus bilangan bulatJCLHpn-02BHpn 29-21 Bilangan KardinalDari sebuah dadu bersisi enam disusun anak gugus masing-masing :D = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6}D5 = {1 , 2 , 3 , 4 , 5}D4 = {1 , 2 , 3 , 4}D3 = {1 , 2 , 3}D2 = {1 , 2}D1 = { 1 }nilai yang menunjukkan banyaknya unsur dari suatu anak gugusBerarti bilangan kardinal merupakan bilangan asli yang terhingga; sehingga disebut pula sebagai gugus-gugus terhingga.Hpn 29-22Bilangan kardinal suatu gugus dilambangkan dengan n(G), sehingga bilangan kardinal untuk gugus-gugus D1, D2, , D6 adalahn(D5) = 5n(D4) = 4n(D3) = 3n(D2) = 2n(D1) = 1n(D6) = 6Misalkan ada dua buah gugus terhingga berupa sebuah dadu dan hari kerjaD = {1, 2, 3, 4, 5, 6}H = {Senin, Selasa, Rabu, Kamis, Jumat, Sabtu}(nilai mata dadu)Hpn 29-23Hubungan nilai mata dadu (D) dengan hari kerja (H)1 2 3 4 5 6 Senin Selasa Rabu Kamis Jumat Sabtun(D) = 6n(H) = 6Hpn 29-24Keduanya mempunyai bilangan kardinal yang sama yaitu n(D) = n(H) = 6Karena setiap unsur pada gugus mata dadu (D) berpa-danan tepat satu unsur terhadap setiap unsur gugus hari kerja (H), sehingga dikatakan :gugus D setara dengan gugus HHubungan kesetaraan ini tidak terjadi, bila ditemukan ada minimal satu unsur yang tidak mempunyai padanannya.Misal gugus nilai kembar kartu domino dengan gugus hari pasaran (Jawa).D HHpn 29-25Hubungan nilai kembar kartu domino (K) dengan hari pasaran (P) Pon Wage Kliwon Legi Pahing1 2 3 4 5 6 0 n(K) = 7n(P) = 5Keduanya tidak mempunyai perpadanan, maka kesetaraan antara gugus nilai kembar kartu domino (K) dan gugus hari pasaran (P) tidak terjadi.D HHpn 29-26

CL Hpn-03 Tentukan bilangan kardinal dari gugus :{ x | x bilangan bulat dan 1 x < 23} Dari gugus-gugus berikut :A = {a,b,c,d,e,f,g}B = { x | x adalah sila-sila Pancasila}C = { x | x adalah hari-hari dalam seminggu}D = {Pahing, Pon, Wage, Kliwon, Legi}E = {ungu, biru, hijau, kuning, jingga, merah}adakan pengelompkan gugus-gugus yang setara !JCLHpn-03A

SL Hpn-03JCLHpn-03BHpn 29-27