1 p engenalan kepada k aedah b erangka - ukm.my · dengan menggunakan kaedah berangka, persamaan...

1

PENGENALAN KEPADA

KAEDAH BERANGKA

1.1 Pengenalan

Kaedah berangka adalah teknik penyelesaian hampiran, di mana masalah

matematik dirumuskan supaya ia boleh diselesaikan melalui operasi aritmetik.

Kebiasaannya ia akan melibatkan angka yang besar dan leceh, dan kemajuan

komputer memainkan peranan yang besar ke arah memajukan penggunaan

kaedah berangka ini.

Sebelum bermulanya era komputer, kaedah penyelesaian suatu masalah

matematik adalah menggunakan:

1. Kaedah analitik atau tepat yang memberi jawapan yang terbaik bagi suatu

sistem tetapi terhad kepada masalah yang mudah.

2. Kaedah grafik bagi mencirikan sifat sistem, namun ia tidak begitu tepat.

3. Pengiraan dengan kalkulator setelah memahami teori dan kaedah

penyelesaiannya.

Terdapat keperluan mengapa seseorang itu mempelajari kaedah berangka:

1. Kaedah berangka adalah alat yang mampu menyelesaikan masalah yang

mana dalam keadaan sebenar adalah mustahil untuk diselesaikan dengan

cara analitik.

2. Banyak pakej di pasaran melibatkan kaedah berangka, dan ini menyebabkan

teori asas mengenainya perlu difahami.

3. Tidak semua pakej boleh menyelesaikan sesuatu masalah, oleh itu

pengetahuan yang diperolehi dari kaedah berangka diharapkan dapat

membantu membangunkan sendiri pakej yang bersesuaian.

14 / Kaedah Berangka Kejuruteraan

4. Kaedah berangka adalah satu alat untuk mempercepatkan pembelajaran

komputer.

5. Kaedah berangka menggalakkan pemahaman matematik.

Aktiviti atau tugas seorang jurutera merangkumi reka bentuk, pembuatan,

penyelidikan dan pendidikan. Tugas-tugas banyak melibatkan formulasi

matematik yang diperolehi dari pemerhatian fizikal. Masalah boleh diselesaikan

melalui teknik matematik yang mudah atau dengan bantuan komputer untuk

masalah yang lebih rumit. Dengan menggunakan kaedah berangka, persamaan

matematik dipermudahkan melalui proses pendiskretan dan penyelesaian

dijalankan melalui penghampiran berangka. Akhirnya hasil pengiraan perlu

dimanipulasi dan ditafsirkan kepada bentuk yang bermakna dan difahami. Atas

dasar ini pengetahuan kaedah pengiraan secara berangka sangat berguna kepada

seorang jurutera. Rajah 1.1 menunjukkan tiga fasa dalam proses menyelesaikan

sesuatu masalah kejuruteraan.

Formulasi

Interpretasi

Penyelesaian

RAJAH 1.1 Proses penyelesaian masalah secara am

Perbincangan kaedah berangka akan meliputi tujuh tajuk terpenting dalam

penyelesaian masalah kejuruteraan, iaitu:

1. Sistem persamaan linear

Penyelesaian sistem persamaan serentak biasa ditemui dalam bidang

mekanik gunaan, analisis litar, pemindahan haba dan sebagainya. Contoh

sistem yang paling mudah adalah

2222121

1212111

bxaxa

bxaxa

Pengenalan Kepada Kaedah Berangka / 15

di mana nilai-nilai x1 dan x2 harus didapatkan. Persoalannya ialah

bagaimana untuk menyelesaikannya jika suatu sistem persamaan

mempunyai n persamaan di mana terdapat n pemboleh ubah harus dicari.

Kaedah-kaedah Gauss adalah yang paling biasa digunakan untuk

menyelesaikan masalah di atas. Seterusnya kaedah lain yang lebih popular

gunakan untuk sistem yang lebih besar iaitu lelaran Jacobi dan Gauss-

Seidel.

2. Punca persamaan

Punca persamaan pula melibatkan masalah penentuan nilai x yang

memenuhi persamaan

0xf

Nilai-nilai x ini dikenali sebagai punca kepada persamaan. Terdapat lapan

kaedah yang dipertimbangkan iaitu kaedah grafik, kaedah pembahagi dua,

kaedah kedudukan palsu, kaedah titik tetap, kaedah Newton-Raphson,

kaedah sekan, kaedah Müller dan kaedah Bairstow.

3. Interpolasi dan pemadanan lengkung

Ia merupakan penganggaran suatu nilai fungsi kepada suatu pemboleh ubah

berdasarkan data yang ada. Katakan nilai-nilai diskret fungsi y dan

pemboleh ubah x diberikan dalam jadual di bawah:

x x0 x1 x2

y y0 y1 y2

Persoalannya ialah bagaimana untuk mendapatkan y jika x a, di nama x

masih dalam julat data yang ada. Tiga kaedah yang akan dibincangkan

ialah kaedah beza terbahagi Newton, kaedah Lagrange dan kaedah splin.

4. Pengoptimuman

Ia melibatkan pencarian nilai-nilai ekstrim, iaitu maksimum dan minimum,

bagi suatu fungsi f(x), di mana ia selalunya memenuhi keadaan berikut:

0 xf

Pendekatan secara berangka yang boleh digunakan untuk menyelesaikan

masalah pengoptimuman tanpa kekangan adalah kaedah interpolasi

kuadratik dan kaedah Newton. Seterusnya, untuk pengoptimuman

berkekangan, penyelesaian dengan cara grafik dan kaedah simpleks

diberikan.

5 Terbitan dan kamiran berangka

Seorang jurutera akan banyak berhadapan dengan masalah terbitan dan

kamiran. Penggunaan terbitan berangka tidak terhad kepada rumitnya suatu


persamaan tetapi juga kepada kaedah penyelesaian yang melibatkan nombor

yang banyak. Bagi kamiran pula rumus kamiran suatu fungsi boleh ditulis

dalam bentuk

b

adxxfI )(

di mana penyelesaian penghampiran dapat dijalankan dengan luas bawah

graf fungsi. Kaedah yang digunakan untuk mengira luas di bawah graf

ialah dengan kaedah aturan trapezium, aturan Simpson, formula Newton-

Cotes dan kuadratur Gauss.

6. Persamaan kebezaan biasa

Banyak hukum fizik melibatkan persamaan kebezaan biasa di mana terbitan

satu pemboleh ubah bersandar terhadap satu pemboleh ubah tidak

bersandar. Sebagai contoh, halaju suatu zarah diberikan dengan kadar

perubahan jarak dengan masa. Penyelesaian mendapatkan pemboleh ubah

bersandar ini boleh dijalankan secara analitik dengan contoh masalah

persamaan kebezaan biasa seperti di bawah:

02

1 y

dx

dy, 1)0( y

Penyelesaian tertutup boleh diperolehi dengan kaedah kamiran yang

memberikan

2xey

Secara praktiknya, tidak semua persamaan kebezaan dapat diselesaikan

dengan cara analitik. Oleh itu penyelesaian kepada kebanyakan masalah

kejuruteraan yang melibatkan persamaan kebezaan memerlukan kaedah

berangka. Persamaan di atas hanya memerlukan satu keadaan sahaja dan

dikenali sebagai masalah nilai awal. Untuk masalah ini, kaedah yang akan

dibincangkan dalam buku ini adalah kaedah Runge-Kutta, Euler, kaedah

peramal-pembetul, formula Adams-Bashforth dan formula Adams-Moulton.

Di samping itu, masalah nilai sempadan yang memerlukan lebih dari satu

keadaan serta masalah nilai ciri untuk kes persamaan homogen juga

dibincangkan.

7. Persamaan kebezaan separa

Apabila terdapat dua atau lebih pemboleh ubah tidak bersandar dalam satu

persamaan, ia dinamakan persamaan kebezaan separa, contohnya

),(2

2

2

2

yxQy

u

x

u


Tujuan utama ialah untuk menyelesaikan nilai u. Persamaan ini juga

mempunyai nilai-nilai sempadan, sama seperti persamaan kebezaan biasa

yang mempunyai sama ada nilai sempadan atau nilai awal, contohnya

persamaan elips dan persamaan parabola.

Sebelum melanjutkan subjek di atas dengan lebih terperinci, perkara-

perkara berkaitan dengan permodelan matematik dan penyelesaian masalah perlu

diketahui terlebih dahulu. Ini diikuti dengan komputer dan perisian, dan

akhirnya tentang ralat.

1.2 Permodelan Matematik dan Penyelesaian Masalah

Kejuruteraan

Seorang jurutera banyak bergantung kepada permodelan matematik dalam

mengendalikan suatu kerja. Sesuatu model harus mempunyai makna fizikal dan

selalunya ia dipermudahkan dari keadaan sebenar. Model matematik mungkin

mudah sahaja untuk diselesaikan, seperti persamaan linear yang boleh memberi

penyelesaian tepat. Atau, ia boleh menjadi lebih sukar seperti persamaan

kebezaan separa yang melibatkan ruang tiga-dimensi dan masa. Masalah seperti

ini mungkin tidak boleh diselesaikan dengan menggunakan kaedah kalkulus

mudah atau bentuk tertutup.

Sesuatu maklumat itu diperolehi daripada pemerhatian atau ujikaji yang

membentuk hubungan empirik atau analisis teori di mana akhirnya hubungan

umum atau permodelan matematik dapat dibentuk. Permodelan matematik ini

merupakan formulasi atau persamaan yang menerangkan ciri penting sistem atau

proses fizikal dalam bentuk matematik. Secara amnya

dayafungsi

parameter,

bersandar,takubahpemboleh

bersandarubahpemboleh f (1.1)

dengan pemboleh ubah bersandar merupakan pencirian yang menerangkan

tingkahlaku sesuatu keadaan atau sistem. Tingkahlaku ini akan bergantung

kepada pemboleh ubah tidak bersandar seperti masa dan ruang yang terlibat;

parameter yang menerangkan sifat dan komposisi sistem; dan fungsi daya di

mana pengaruh luaran yang bertindak ke atas sistem.

Bentuk am permodelan matematik dalam persamaan (1.1) boleh

membentuk satu persamaan yang mudah atau lebih rumit seperti yang

dibincangkan awal tadi. Sebagai contoh, katakan sebuah syarikat pembikinan

komponen peredam hidraulik ingin mengetahui kelakuan peredam bila dikenakan

suatu daya impak. Alat ujikaji ditunjukkan dalam Rajah 1.2. Beberapa andaian


perlu dibuat iaitu; tidak ada geseran pada peredam dan pada jasad, dan berat

peredam jauh lebih kecil dari berat jasad. Permodelan yang mudah suatu

peredam ialah dengan mengambil rintangan redaman berkadar terus dengan

kelajuan mampatan. Dengan menggunakan hukum Newton, satu jasad yang

bergerak boleh dimodelkan melalui

dt

dvmmaF (1.2)

dengan m ialah jisim jasad dan v ialah kelajuan jasad. Daya yang dialami oleh

jasad akan diimbangi oleh rintangan peredam iaitu

cvdt

dvm (1.3)

dengan c ialah pekali redaman. Ia boleh disusun semula menjadi

vm

c

dt

dv (1.4)

Persamaan di atas boleh diselesaikan dengan menggunakan kaedah analitik atau

kakulus mudah. Keadaan sempadan untuk kes di atas ialah halaju v U pada

masa t 0. Seterusnya, ia memberikan

tUev dengan mc (1.5)

Dengan ini, lengkuk halaju jasad teredam boleh diramalkan melalui permodelan

matematik, iaitu mengunakan persamaan (1.5). Ini menunjukkan pada t ,

v 0.

Mekanisma pengunjur trak

Trak-dengan

pemberatPeredam

Sel foto pengukuran laju

Penimbal

RAJAH 1.2 Pergerakan jasad dengan redaman


Contoh 1.1

Jasad yang ditunjukkan dalam Rajah 1.2 berjisim 5 kg dan bergerak dengan

kelajuan 1.5 m/s di kedudukan impaknya. Dengan menggunakan pekali

redaman sebagai 25 Ns/m, dapatkan halaju dengan masa yang diambil

dengan pertambahan 0.1 s.

Penyelesaian

Gunakan persamaan (1.5) bagi menjalankan proses pengiraan seperti dalam

jadual di bawah.

t (s) v (m/s)

0.0 1.500

0.1 0.910

0.2 0.552

0.3 0.335

0.4 0.203

0.5 0.123

0.6 0.075

0.7 0.045

0.8 0.027

0.9 0.017

1.0 0.010

1.1 0.006

1.2 0.000

Persamaan (1.5) dinamakan penyelesaian analitik atau tepat. Walaupun

contoh 1.1 dapat diselesaikan, terdapat banyak permodelan matematik yang tidak

dapat diselesaikan dengan penyelesaian tepat seperti ini. Dalam kes-kes tersebut,

penyelesaian berangka digunakan sebagai pilihan penghampiran kepada

penyelesaian tepat.

Jika persamaan (1.4) perlu diselesaikan secara berangka, perubahan halaju

boleh dibuat dengan

ii

ii

tt

vv

t

v

dt

dv

1

1

dengan

i

ii

ii vm

c

tt

vv

1

1 .

Ini memberikan


iiiii ttvm

cvv

11

(1.6)

Dengan terbitnya persamaan (1.6), permodelan matematik dapat

diselesaikan menggunakan operasi aritmetik yang mudah.

Contoh 1.2

Selesaikan masalah yang diberikan dalam contoh 1.1, tetapi kali ini

menggunakan persamaan (1.6).

Penyelesaian

Gunakan persamaan (1.6) bagi menjalankan proses pengiraan dalam jadual

di bawah.

t (s) v (m/s)

0.0 1.500

0.1 0.844

0.2 0.475

0.3 0.267

0.4 0.150

0.5 0.084

0.6 0.048

0.7 0.027

0.8 0.015

0.9 0.008

1.0 0.005

1.1 0.003

1.2 0.000

Keputusan-keputusan dalam contoh 1.1 dan contoh 1.2 diplotkan dalam

Rajah 1.3. Jelas kelihatan dalam pengiraan secara berangka di atas terdapat

perbezaan dengan pengiraan sebenar kerana ia adalah penyelesaian hampiran,

seperti yang dinyatakan dalam Bahagian 1.1. Walau bagaimanapun, perbezaan

ini dapat diperbaiki jika langkah masa dipendekkan.

Satu lagi contoh penggunaan kaedah berangka yang biasa dalam

kejuruteraan ialah dalam masalah litar elektrik. Katakan litar elektrik yang

ditunjukkan dalam Rajah 1.4 dianalisis dengan menggunakan hukum Kirchhoff

pada setiap gelung. Persamaan untuk setiap gelung adalah


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 t

v

Penyelesaian

berangka

Penyelesaian

tepat

RAJAH 1.3 Perbandingan lengkuk halaju untuk contoh 1.1 dan contoh 1.2

V2

R3 R4

R2R8

R7 R9

R1 R6 R5

I2 I1

I3 I4

V1

RAJAH 1.4 Masalah dalam litar elektrik

Gelung 1: 0154192162 IRIIRIIRV

Gelung 2: 0126327211 IIRIIRIRV

Gelung 3: 04383332237 IIRIRIRIIR

Gelung 4: 044348149 IRIIRIIR

Kumpulkan semua persamaan di atas dan bentukkan kepada matrik di bawah:

0

0

0

0

0

0

1

2

4

3

2

1

98489

887327

77616

96965

V

V

I

I

I

I

RRRRR

RRRRRR

RRRRR

RRRRR


Persamaan matriks di atas boleh ditulis dalam bentuk

VIR

dengan [R] ialah matriks rintangan, {I} ialah vektor arus yang hendak dicari dan

{V} ialah vektor voltan yang mewakili keadaan sempadan atau fungsi daya untuk

kes ini. Persamaan ini boleh diselesaikan dengan menggunakan salah satu

kaedah dalam Bab 2.

Dalam kajian keatas sistem, tenaga yang terbentuk adalah berdasarkan

hukum imbangan atau hukum keabadian tenaga. Tenaga boleh wujud dalam

bentuk tenaga mekanik, haba, tindakbalas kimia, elektromagnet dan lain-lain.

Kesemua ini diseimbangkan mengikut hukum keabadian tenaga. Sebagai contoh

jika beban dikenakan kepada suatu jasad, jasad tersebut akan mengalami

ubahbentuk. Kerja luaran oleh beban dijelmakan kepada tenaga dalaman dan

disimpan dalam jasad. Hukum keabadian tenaga menyatakan bahawa kerja

luaran seharusnya sama dengan tenaga dalaman. Bila beban dilepaskan tenaga

dalaman akan digunakan untuk mengembalikan jasad kepada bentuk asal. Dalam

kebanyakan masalah kejuruteraan, hukum keabadian biasanya diungkapkan

dalam bentuk

input output

Jika 0, maka input output, dan ini dinamakan keadaan mantap. Keadaan

mantap dalam kes redaman dalam contoh 1.2 ialah

vm

c0

Ini menyebabkan

0v .

Struktur

Litar

Reaktor

Kenderaan

RAJAH 1.5 Contoh permodelan masalah dalam kejuruteraan


Contoh-contoh hukum keabadian untuk kes-kes yang digambarkan dalam

Rajah 1.5 yang digunakan dalam bidang-bidang kejuruteraan berikut:

1. Bidang Kejuruteraan Awam menggunakan prinsip keabadian daya bagi

mendapatkan keseimbangan daya pada sebuah struktur kekuda.

2. Bidang Kejuruteraan Elektrik menggunakan prinsip keabadian tenaga bagi

mengira keseimbangan arus dan voltan dalam suatu litar.

3. Bidang Kejuruteraan Kimia menggunakan prinsip keabadian jisim bagi

mengira keseimbangan sebuah reaktor.

4. Bidang Kejuruteraan Mekanik menggunakan prinsip keabadian momentum

bagi mengira keseimbangan daya dalam sebuah kenderaan.

1.3 Komputer dan Perisian

Kaedah berangka tidak terlepas dari dua perkara; iaitu matematik dan komputer.

Matematik diperlukan bagi memodelkan masalah dalam kejuruteraan sehingga

terbentuknya formula. Kemudian formula ini didiskretkan melalui kaedah

berangka yang sesuai agar mendapat penyelesaian penghampiran. Kaedah ini

akan melibatkan banyak nombor di mana penggunaan komputer sangat

bersesuaian untuk menjalankan proses pengiraan berangka melalui pembinaan

arahan-arahan tertentu. Arahan kepada komputer ini dinamakan perisian.

Bahasa yang digunakan oleh perisian untuk berkomunikasi dengan

komputer dikenali sebagai bahasa pengaturcaraan, contohnya BASIC, Algol,

Cobol, Pascal, Fortran dan C. Dan, dengan perkembangan pesat dalam teknologi

maklumat, muncul pula bahasa pengaturcaraan berorientasikan objek yang

banyak digunakan dalam persekitaran bertetingkap, seperti Visual Basic, C

dan Java. Program yang ditulis dalam mana-mana bahasa dinamakan kod

sumber. Kod ini kemudiannya diterjemahkan kepada bahasa mesin yang

difahami oleh mikropemproses komputer supaya dapat komputer tersebut

menjalankan pengiraan. Kedua-dua komputer dan perisian mengalami

perkembangan yang pesat ketika ini. Komputer yang ada sekarang adalah

peribadi (PC), stesyen kerja, kerangka kerja dan superkomputer. Proses atau

langkah pembikinan suatu perisian adalah seperti berikut:

1. Reka bentuk algoritma

2. Penulisan aturcara

3. Penyahpijatan dan ujian

4. Dokumentasi

5. Penyelenggaraan dan Perbaikan.


JADUAL 1.1 Simbol-simbol dalam carta alir

Simbol Fungsi

Mula/berhenti

Aliran logik

Proses atau olahan data

Input/output

Pemilihan keputusan

Sendi/perhentian dalam muka yang sama

Sambungan ke muka yang berlainan

Gelung kawalan bilangan

Mula1. Mulakan pengiraan.

BEGIN tambah

INPUT a

INPUT b

c = a + b

PRINT c

END tambah

(b) Carta alir

c a b

Masukkan

a

Masukkan

b

Cetakkan

c

Tamat

2. Masukkan nilai pertama.

3. Masukkan nilai kedua.

4. Tambahkan kedua-dua nilai.

5. Cetakkan keputusan.

6. Tamatkan pengiraan.

(a) Algoritma (c) Pseudokod

RAJAH 1.6 Algoritma, carta alir dan pseudokod untuk aturcara penambahan


Reka bentuk algoritma biasanya mengandungi 3 komponen:

1. Algoritma — suatu turutan langkah-langkah logik yang diperlukan untuk

menjalankan suatu perkara.

2. Carta alir — persembahan algoritma secara grafik, di mana simbolnya

boleh dirujuk kepada Jadual 1.1.

3. Pseudokod — satu set arahan langkah demi langkah yang menghampiri kod

komputer.

Sebagai contoh, algoritma, carta alir dan pseudokod untuk satu aturcara

penambahan dua angka diberikan dalam Rajah 1.6.

1.4 Ralat

Penyelesaian masalah berangka selalunya memberikan jawapan hampiran yang

tidak begitu tepat disebabkan oleh ralat. Oleh itu tujuan utama subjek ini ialah

untuk mengetahui samada ketepatan penyelesaian boleh diperbaiki atau, jika

tidak, ketidaktepatannya boleh ditentukan. Ralat bukanlah satu kesilapan tetapi

lebih merujuk kepada perbezaan di antara nilai sebenar dan kuantiti

penghampiran.

Ralat yang timbul dalam bidang sains, kejuruteraan dan lain-lain terbahagi

kepada dua, iaitu ralat formula matematik dan ralat penyelesaian berangka.

Ralat yang pertama adalah disebabkan andaian yang dibuat semasa penerbitan

suatu formula matematik dan tidak akan dibincangkan di sini manakala ralat

penyelesaian berangka terbahagi kepada dua jenis, iaitu:

1. Ralat Pangkasan

Semasa menggunakan formula-formula yang tidak terhingga, kita

mengambil sebutan terhingga dan sebutan selebihnya dipangkas atau

dibuang. Perhatikan siri fungsi sinus di bawah:

!7!5!3!121)sin(

753

1

12 xxxx

i

xx

n

i

ii

Ia merupakan suatu siri yang tidak terhingga, di mana n . Untuk

mendapatkan nilai sin(0.5), siri ini harus dipangkas bergantung kepada

keperluan kejituan, iaitu nilai n yang dipilih. Contohnya,


4794270833.0!5

5.0

!3

5.05.0

!5!3)5.0sin(:3

4791666667.0!3

5.05.0

!3)5.0sin(:2

5000000000.0)5.0sin(:1

5353

33

xxxn

xxn

xn

dan seterusnya, di mana nilai sebenar sin(0.5) 0.479425539.

2. Ralat Pembundaran

Kebanyakan pengiraan, sama ada yang menggunakan komputer atau tidak,

banyak melibatkan bilangan digit atau tempat perpuluhan tidak terhingga,

misalnya

3593.14159265

671828182842

330.3333333331

.e

Oleh itu, nombor-nombor ini perlu dibundarkan kepada n digit tertentu.

Perhatikan bila pangkasan atau pembundaran dilakukan, ia akan

menyebabkan ralat. Dalam hal ini, peraturan yang digunakan untuk

membundarkan satu nombor yang mempunyai lebih dari n digit kepada n digit

adalah:

1. Jika digit 51n , biarkan n tanpa perubahan,

2. Jika digit 51n , tambah satu unit digit n.

Contoh berikut menunjukkan bagaimana pembundaran dilakukan kepada empat

digit nombor:

2.375231 2.375

2.3776531 2.378

Perhatikan bahawa ralat mutlak kedua-dua contoh di atas memberi nilai kurang

dari 0.5 103 atau 0.5E03. Ini menunjukkan bahawa nombor-nombor tersebut

telah dibundarkan dengan betul kepada tiga titik perpuluhan. Ralat perbundaran

inilah yang selalu terjadi apabila menggunakan komputer. Komputer akan

menjalankan pengiraan operasi aritmetik dengan kepantasan yang tinggi. Oleh

itu ukuran terhadap ralat dan hasil operasi aritmetik ini perlu diketahui supaya

dapat mengawal keadaannya.


1.4.1 Ukuran Ralat

Jika x* adalah penghampiran kepada x, maka

Ralat, xxe

Ralat mutlak xx

Ralat relatif sebenar x

e

x

xx

*

Jika nilai sebenar x tidak diketahui, ralat relatif penghampiran *x

e

Ralat dalam pengiraan berangka selalunya diberikan oleh ralat relatif

penghampiran yang boleh ditulis juga dengan

% terkininilai

terdahulunilai terkininilai ae

di mana kedua-dua nilai terkini dan terdahulu merupakan nilai penghampiran.

Bagi nombor yang berdekatan dengan satu, ukuran ralat mutlak dan relatif

memberi nilai yang hampir sama. Walau bagaimanapun nombor yang tidak

menghampiri satu (sama ada sangat besar atau sangat kecil), beza di antara

kedua-duanya besar. Ini ditunjukkan dalam contoh-contoh 1.3-5 di bawah.

Contoh 1.3

Andaikan x* 0.123456 dan x 0.12345678. Dapatkan ralat mutlak dan

ralat relatif sebenar.

Penyelesaian

.1078.0

,00000078.0

,1234560123456780mutlakRalat

6

..

.10632.0

,00000632.0

,12345678.0

00000078.0relatifRalat

5

Ini jelas menunjukkan bahawa perbezaan kedua-dua jenis ralat adalah kecil.


Contoh 1.4

Andaikan x* 0.00005 dan x 0.00006. Dapatkan ralat mutlak dan ralat

relatif sebenar.

Penyelesaian

.00001.0

,00005.000006.0mutlakRalat

.16667.0

,00006.0

00001.0relatifRalat

Ini jelas menunjukkan bahawa perbezaan kedua-dua jenis ralat adalah besar.

Contoh 1.5

Andaikan x* 0.123456 1010 dan x 0.12345678 1010. Dapatkan ralat

mutlak dan ralat relatif sebenar.

Penyelesaian

.1078.0

,1000000078.0

,10123456.012345678.0mutlakRalat

4

10

10

.10632.0

,1012345678.0

1000000078.0relatifRalat

5

10

10

Ini jelas menunjukkan bahawa perbezaan kedua-dua jenis ralat adalah

sangat besar.


1.4.2 Aritmetik dan Perambatan Ralat

Jika pengiraan dijalankan pada suatu nombor yang telah mempunyai ralat,

keputusan selanjutnya juga akan mempunyai kesan ralat tadi. Perambatan ralat

ialah untuk mengetahui bagaimana ralat asal merambat apabila nombor atau

fungsi dijumlahkan, ditolakkan, didarabkan atau dibahagikan dengan suatu

nombor atau fungsi lain.

Katakan nilai penghampiran ialah x* dan y* daripada nilai sebenar x dan y,

manakala ralat masing-masing adalah ex dan ey.

Penambahan

.

,

yx

yx

eeyx

eyexyx

Maka, perambatan ralat hasil penambahan x dan y adalah yx ee atau

yxe ,

dengan ralat relatif penghampiran ialah

y

e

yx

y

x

e

yx

x

yx

e yxyx

Penolakan

.

,

yx

yx

eeyx

eyexyx

Maka, perambatan ralat hasil penolakan x dan y adalah yx ee atau

yxe , dengan

ralat relatif penghampiran ialah

y

e

yx

y

x

e

yx

x

yx

e yxyx

NOTA: Ralat penambahan dan penolakan mempunyai nilai ralat mutlak yang

sama, iaitu:

yxyx

yxyx

eee

eee


Pendaraban

.

,

yxxy

yx

eeeyexyx

eyexyx

Abaikan yxee , dan ianya memberikan

xy eyexyxyx

Maka, perambatan ralat hasil pendaraban x dan y adalah xy eyex . Ralat

relatif penghampiran ialah

y

e

x

e

yx

e yxxy

Pembahagian

.

,

,

,

,

2

121

3221

1

y

ex

y

e

y

x

y

x

yeyexyx

yeyeyex

eyex

ey

ex

y

x

yx

xy

yyx

yx

y

x

Maka, perambatan ralat yx adalah

y

e

x

e

y

xe

yxyx

dan, ralat relatif penghampiran ialah

y

e

x

e

yx

e yxyx

/


Contoh 1.6

Dapatkan ralat exy jika x* 349.1 dan y* 863.4 dengan ex 0.05 dan

ey 0.05.

Penyelesaian

.63.60

,05.04.86305.01.349

,

xyxy eyexe

Oleh itu, nilai xy sebenar terletak antara 301412.9 60.6. Ralat relatifnya

adalah

0002.0 y

e

x

e

yx

e yxxy

1.4.3 Perambatan Ralat dalam Fungsi Satu Pemboleh Ubah

Pertimbangkan:

x

x

exfxf

exx

)(

Dengan menggunakan pengembangan siri Taylor, didapati

)()()(

,)()()()(

2

21

2

21

xfxxxfxxxf

xfexfexfxf xx

Nilai e adalah kecil dan kuasa e boleh diabaikan, maka

)()()( *** xfxxxfxf

Seperti biasa, untuk mendapatkan ralat relatif, bahagikan ralat di atas dengan f(x)

atau )( *xf .

Contoh 1.7

Pertimbangkan fungsi 3075 3 xxxf dengan x 3.01 dan x* 3.

Dapatkan ralat merambat mutlak dan relatif.


Penyelesaian

14273153

715

1263037353

2

2

3

f

xxf

f

.142

,142301.3

,

,mutlak Ralat

*

xfxx

xfxfe

.1270.1

,126

142

,relatifRalat

xf

e

1.4.4 Perambatan Ralat dalam Fungsi Bermultipemboleh Ubah

Andaikan xexx dan

yeyy , maka yx eyexfyxf ,, .

Seterusnya, pengembangan siri Taylor akan memberikan

.,

,,,

y

fe

x

feyxf

y

fe

x

feyxfyxf

yx

yx

Maka, ralat f(x,y) adalah

y

fe

x

feyxfyxfe yxf

,,

dan, syarat bagi nilai ralat mutlak adalah

y

fe

x

fee yxf


Ralat relatifnya adalah

y

f

yxf

e

x

f

yxf

e

yxf

e yxf

),(),(),(

Hubungan ini boleh dilanjutkan kepada n pemboleh ubah sebagai

n

xxxfx

fe

x

fe

x

fee

n

2121

Contoh 1.8

Andaikan yxyxf ),( dengan x 10.3 0.1 dan y 3.73 0.01.

Dapatkan ralat perambatan bagi fungsi f pada titik (10.3,3.73).

Penyelesaian

.034.0

,73.3

3.1001.0

73.3

11.0

,1

,mutlak Ralat

2

2

y

xe

ye

y

fe

x

fee

yx

yxf

Oleh itu, didapati ralat yxyxf ),( pada (10.3, 3.73) adalah 0.034.

1.5 Ringkasan

Seperti yang dinyatakan dalam Bahagian 1.1, kaedah berangka merupakan

kaedah alternatif yang memberikan suatu penyelesaian hampiran kepada suatu

masalah matematik atau kejuruteraan. Dalam setengah kes, ia juga boleh

menghasilkan penyelesaian tepat, contohnya melalui penggunaan kaedah

penghapusan Gauss dalam menyelesaikan suatu sistem persamaan serentak

seperti yang akan disentuh dalam Bab 2 nanti. Namun, dalam kebanyakan kes, ia

menghasilkan penyelesaian hampiran dengan ralat tertentu. Oleh itu, kajian

dalam kaedah berangka bukan sahaja tertumpu kepada teknik untuk mendapatkan

jawapannya sahaja, malah turut meneliti sama ada ralat yang dihasilkannya


adalah cukup kecil untuk membolehkan jawapan tersebut diterima, atau

sebaliknya.

Seterusnya, bab-bab selepas ini akan membincangkan teknik-teknik

penyelesaian berangka untuk tajuk-tajuk yang telah dikenal pasti dalam

Bahagian 1.1 dengan lebih terperinci.

Latihan

1. Terangkan perbezaan istilah berikut:

a. Penyelesaian tepat

b. Penyelesaian berangka

c. Permodelan matematik

d. Permodelan fizikal

e. Penyelakuan

2. Berikan satu contoh kejuruteraan bagi setiap tajuk berikut:

a. Sistem persamaan linear

b. Punca persamaan

c. Interpolasi

d. Pengoptimuman

e. Kamiran berangka

f. Persamaan kebezaan biasa

g. Persamaan kebezaan separa

3. Persamaan anjakan dari contoh 1.1 diberikan seperti berikut:

teU

x

1

a. Plotkan lengkung anjakan melawan masa untuk persamaan di atas.

b. Bangunkan persamaan matematik untuk sistem berjisim m dengan

peredam yang sama mempunyai geseran yang menyebabkan

rintangan. Dengan mengambil daya geseran F 1.5 N, dapatkan

penyelesaian berangka dan penyelesaian tepat bagi masalah ini.

Plotkan lengkung anjakan melawan masa dalam graf yang sama.

4. Bangunkan persamaan kebezaan yang mewakili anjakan untuk sebuah

sistem multipegas berkekakuan k1,k2,,kn dengan sebuah peredam

berpekali redaman c untuk kes-kes di mana pegas-pegas diletakkan secara:


a. bersiri,

b. selari.

5. Litar elektrik dalam Rajah 1.4 mempunyai nilai rintangan yang sama R dan

sumber voltan yang sama V V1 V2. Bentukkan semula matriks dan

selesaikan I1, I2, I3 dan I4 dalam sebutan R dan V.

6. a. Bagaimana perkembangan komputer sekarang ini dapat membantu

saintis dan jurutera dalam menjalankan kerja mereka.

b. Berikan kelebihan dan kekurangan perisian bahasa pengaturcaraan

seperti BASIC, Fortran dan C, berbanding dengan perisian

pengkomputeran seperti MatLab, Mathematica dan MathCAD.

7. Binakan algoritma, carta alir dan pseudokod untuk operasi-operasi berikut:

a. Pengalihan atau transposisi matriks A bersaiz m n.

b. Penambahan matriks A bersaiz m n dengan matriks B bersaiz m n.

c. Pendaraban matriks A bersaiz m n dengan matriks C bersaiz n p.

8. Jalankan pengiraan berikut dengan menggunakan kalkulator dan komputer:

998,999,999999,999,999

Perhatikan perbezaannya dan kirakan ralat. Terangkan mengapa terdapat

perbezaan pengiraan yang diberikan oleh dua peralatan tersebut.

9. Dalam matematik, kuantiti ex boleh ditakrifkan dalam bentuk siri sebagai:

0 !

expk

kx

k

xxe

Dapatkan ralat pangkasan dan ralat relatif bagi e untuk bilangan ungkapan

2, 3, 4 dan 5 berbanding dengan nilai sebenar e 2.7182818.

10. Dapatkan ralat mutlak dan ralat relatif bagi:

a. 9/2x dan 222.0* x ,

b. 494.23 dan 496.23* ,

c. pi dan 7/22pi* ,

d. 80659.g dan 10* g .

11. Jika nilai x, y dan z adalah diberi seperti berikut:


,02.030.20

,01.007.4

,05.025.10

z

y

x

tuliskan kuantiti-kuantiti berikut berserta dengan ralat mutlaknya:

a. zyx ,

b. yxz ,

c. xyz ,

d. zxy .

12. Jika nilai a, b dan c adalah diberi seperti berikut:

,0003.00057.2

,002.0230.41

,001.0755.25

c

b

a

dapatkan ralat mutlak dan ralat relatif untuk fungsi-fungsi di bawah:

a. caabcbaf ),,( ,

b. cbabcbaf ),,( ,

c. acbcbaf 2),,( ,

d. a

acbbcbaf

2

4),,(

2 .

1 p engenalan kepada k aedah b erangka - ukm.my · dengan menggunakan kaedah berangka, persamaan...

Documents