TABURAN KEBARANGKALIAN

2Taburan Normal Piawai

Z ~n (0,1)

Skor- z

Kebarangkalian Fungsi Taburan Normal

SubtopikKertas 2

Bahagian A Bahagian B Bahagian C10 11 12 13 14 15 10 11 12 13 14 15 10 11 12 13 14 15

8.2 Taburan Normal

- - - - - -12

12

12

12

12

12 - - - - - -

ANALISIS SOALAN SPM

8.2 TABURAN NORMAL

1

0.2266- 18 0.2248

Graf Taburan Normal

P ( z<0 )=P ( z>0 )

¿0.5

Contoh :

Cari kebarangkalian bagi setiap skor-z berikut.

(a) P(Z > 0.756)

Jawapan

P(Z > 0.756) = 0.2248

Sudut KalkulatorGunakan kalkulator untuk mencari nilai P(Z > 0.756).

Tekan

MODE SD 1

SHIFT 33

.756

0.2248

8.2.1 Kebarangakalian bagi Taburan Normal

2

(b) P(Z ¿ 1.25)

Jawapan

P(Z ¿ 1.25) = 1 – P(Z > 1.25) = 1 – 0.1057

= 0.8944

(c) P(Z ¿ - 0.23)

Jawapan

P(Z ¿ - 0.23) = 1 – P(Z < - 0.23) = 1 – P(Z > 0.23)

= 1 – 0.40905 = 0.59095

(d) P(Z < - 1.512)

Jawapan

P(Z < - 1.512) = P(Z > 1.512) = 0.06527

-1.512 1.512

-0.23

0.23

1.25

1.25

3

(e) P(0.4 < Z < 1.2)

Jawapan

P(0.4 < Z < 1.2) = P(Z > 0.4) – P(Z > 1.2)

= 0.3446 – 0.1151 = 0.2295

(f) P(- 0.828 < Z ¿ - 0. 555)

Jawapan

P(- 0.828 < Z ¿ - 0. 555) = P(Z > 0.555) – P(Z > 0.828) = 0.28945 – 0.20384 = 0.08561

(g) P(- 0.255 ¿ Z < 0.13)

Jawapan

P(- 0.255 ¿ Z < 0.13)

= 1 – P(Z < - 0.255) – P(Z > 0.13) = 1 – P(Z > 0.255) – P(Z > 0.13) = 1 – 0.39936 – 0.44828 = 0.15236

0.4 1.2

0.4 1.2

-0.828 -0.555

0.555 0.828

-0.255 0.13 0.13-0.255

4

0.2546

h) P(Z ¿ z) = 0.2546

Jawapan

P(Z ¿ z) = 0.2546 Skor-z = 0.66

Praktis 1 :

1. Cari kebarangkalian bagi setiap skor-z berikut.

a) P( Z > 0.965)

[0.16723]

b) P( Z < - 1.482)

[0.0691]c) P( Z > - 1.36)

[0.9131]

d) P( Z < 0.89)

[0.8133]e) P( 0.26¿ Z < 1.69)

[0.3519]

f) P( -0.225¿ Z < 0.135)

[0.1427]

2. Cari skor-z bagi setiap taburan normal berikut.

a) P(Z ¿ z) = 0.3239

[0.457]

b) P(Z < z) = 0.2643

[-0.63]c) P(Z < z) = 0.6458

[0.374]

d) P(0 < Z < z ) = 0.3059

[0.863]

z

5

e) P(-1.64 < Z < z ) = 0.2616

[- 0.49]

f) P(z < Z < 0.64 ) = 0.6314

[- 1.24]

8.2 Taburan Normal Piawai, Z (skor–z)

Pembolehubah X boleh ditukarkan kepada taburan normal piawai Z N (0 , 1) dengan menggunakan fomula :

Z= X−μσ Dimana, X = pemboleh ubah rawak selanjar bagi taburan normal

µ = min σ = sisihan piawai

Contoh :

Diberi min dan sisihan piawai bagi suatu taburan normal ialah 6 dan 2. Cari skor-z jika X=7

Jawapan μ=6 , σ=2

Z= X−μσ

Z=7−62

Z=0.5

Praktis 2:

1.

Jika X ialah satu pemboleh ubah rawak yang ditaburkan secara normal dengan min 55 dan sisihan piawai 5, cari skor-z. seterusnya, cari kebarangkalian bagi peristiwa tersebut.

(i) P(X < 68)

[0.9953](ii) P(X > 56)

6

[0.4207](iii) P(1.1 < X < 1.907)

[0.1074]2.

Jangka hayat bagi mentol yang dihasilkan oleh sebuah kilang ditaburkan secara normal dengan min 100 jam dan varians 400 jam. Cari skor-z jika X = 95 jam.

[-0.25]

8.3 Penyelesaian Masalah

Contoh :

Jisim bagi 2000 biji epal di sebuah gerai bertaburan secara normal dengan min 200 g dan sisihan piawai 30 g.

(a) Cari jisim, dalam g, sebiji epal yang mempunyai skor-z bernilai 0.5.

(b) Jika sebiji epal dipilih secara rawak, cari kebarangkalian epal itu mempunyai jisim sekurang- kurangnya 194 g.

(c) Anggarkan bilangan epal yang jisimnya melebihi 215g.

Jawapan

7

(a)X−200

30=0.5

X=200+30×0.5

¿215

Jisim bagi epal ialah 215 g.

(b) P ( X ≥194 )=P(Z ≥ 194−20030

)

¿ P(Z ≥−0.2)¿1−P(Z ≥0.2)¿1−0.4207¿0.5793

(c) P ( X ≥215 )=P(Z ≥ 215−20030

)

¿ P(Z ≥ 0.5)¿0.3085

Bilangan epal yang melibihi 215g ¿2000 (0.3085 )¿617

Praktis 3:

1. Jisim murid di sebuah sekolah mempunyai taburan normal dengan min 46 kg dan sisihan piawai 9 kg. (a) Cari jisim murid yang mempunyai skor-z bernilai 1.45. (b) Jika seorang murid dipilih secara rawak, cari kebarangkalian murid itu mempunyai

jisim yang sekurang-kurangnya 40.5 kg.

2. Ketinggian murid di sebuah sekolah mempunyai taburan normal dengan min 141 cm dan sisihan piawai 6 cm. Cari (a) ketinggian murid apabila skor piawai ialah 1.4. (b) peratus murid yang ketinggiannya lebih daripada 133 cm.

3. X ialah pemboleh ubah rawak selanjar bagi suatu taburan normal dengan min 149 dan sisihan piawai 19. Cari (a) skor-z apabila X = 145.1. (b) nilai k apabila P(z < k) = 0.0049.

4 Ketinggian pokok-pokok di suatu taman mempunyai taburan normal dengan min 397 cm

8

dan sisihan piawai 44 cm. Hitung kebarangkalian bahawa sepohon pokok yang dipilih secara rawak dari taman itu mempunyai ketinggian (a) di antara 389.4 cm and 403.8 cm. (b) Diberi 10% daripada pokok-pokok itu mempunyai ketinggian lebih daripada x cm. cari

nilai x.

5. Rajah 5 menunjukkan satu graf taburan normal piawai.

Rajah 5

Kebarangkalian yang diwakili oleh luas rantau berlorek ialah 0.3665. (a) Cari nilai k. (b) X ialah pemboleh ubah rawak selanjar bertaburan secara normal dengan min 111 dan

sisihan piawai 19. Cari nilai X apabila skor-z ialah k.

6. Satu pemeriksaan jisim badan dijalankan ke atas sekumpulan pekerja. Jisim badan mereka adalah mengikut taburan normal dengan min 66 kg dan sisihan piawai 7.6 kg. Seorang pekerja dengan jisim badan melebihi 75.5 kg diklasifikasikan sebagai ‘obes’.

(i) Seorang pekerja dipilih secara rawak daripada kumpulan itu. Cari kebarangkalian bahawa pekerja itu mempunyai jisim badan antara 62.2 kg dengan 75.5 kg.

(ii) Didapati bahawa 264 orang pekerja itu adalah ‘obes’. Cari jumlah bilangan pekerja dalam kumpulan itu.

9

f(z)

0 k z

2422 x26

SOALAN SPM

KERTAS 1

1. Rajah 1 menunjukkan graf taburan normal.

Jika P(0 < z < k) = 0.3125, cari P(z > k). [2 m]

2. Rajah 7 menunjukkan graf taburan kebarangkalian bagi satu pembolehubah rawak selanjar x yang bertabur secara normal dengan min 22 dan sisihan piawai 2. [3 m]

Rajah 1

10

Cari luas kawasan berlorek.

3. Jisim pelajar di sebuah sekolah mempunyai satu taburan normal in 55 kg dan  sisihan piawai 10 kg.  Cari(a) jisim pelajar yang memberi skor piawai  0.5, [1 m](b) peratus pelajar dengan jisim  lebih besar daripada 48 kg. [3 m]

4. X adalah satu pembolehubah rawak selanjar bagi satu taburan normal dengan min 52 dan sisihan piawai 10. Hitung

(a) nilai z apabila X = 67 [1 m] (b) nilai k apabila P(z > k) = 0.8643 [3 m]

5. Jisim sekumpulan pelajar di sebuah sekolah adalah mengikut taburan normal dengan min 45 kg dan sisihan piawai 5 kg.

Hitung kebarangkalian bahawa seorang pelajar yang dipilih secara rawak daripada kumpulan ini mempunyai jisim (a) lebih daripada 50.6 kg , [2 m] (b) di antara 40.5 kg dan 52.1 kg [2 m]

Rajah 2

11

KERTAS 2

1. Jisim pelajar di sebuah sekolah bertabur secara normal dengan min kg dan sisihan piawai 12 kg. (i) Seorang pelajar dipilih secara rawak daripada sekolah tersebut. Kebarangkalian bahawa jisim pelajar itu kurang daripada 45 kg adalah 0.2266, hitungkan nilai .

[ 3 m] (ii) Seterusnya, hitungkan kebarangkalian bahawa seorang pelajar yang dipilih secara rawak mempunyai jisim di antara 42 kg dan 45 kg [ 2 m]

2. Jisim ayam yang dipelihara oleh seorang penternak didapati bertabur secara normal dengan min 3.1 kg dan variansnya 0.082 kg2. (i) Cari kebarangkalian bahawa seekor ayam yang dipilih secara rawak mempunyai jisim kurang daripada 2.8 kg. [ 2 m]

(ii)Diberi bahawa 70 % ayam mempunyai jisim lebih daripada m kg, cari nilai m. [3 m ]

3. Jisim pekerja di sebuah kilang tertabur secara normal dengan min 65.34 kg dan varians 56.25 kg. Diberi 321 pekerja di kilang itu mempunyai jisim di  antara

12

48 kg dan 72 kg. Cari  jumlah bilangan pekerja di kilang itu. [ 5 m]

4. Satu kajian  jisim badan dijalankan ke atas  sekumpulan pelajar.   Jisim pelajar adalah mengikut satu taburan normal dengan  min 65 kg dan  sisihan piawai 12 kg. (i) Jika seorang pelajar dipilih secara rawak,  kira kebarangkalian jisimnya kurang

daripada 59kg, [ 2 m] (ii) Diberi bahawa 15.5% pelajar mempunyai  jisim lebih daripada m kg. cari nilai m. [ 3 m]

5. Sebuah dusun menghasilkan buah oren. Hanya buah oren dengan diameter, x lebih besar daripada k cm digredkan dan dipasarkan. Jadual di bawah menunjukkan gred buah oren berdasarkan diameternya.

Gred / Grade A B CDiameter, x (cm) x > 6.5 6.5 x > 4.5 4.5 x k

Diberi bahawa diameter buah oren mempunyai satu taburan normal dengan min 5.3 cm dan sisihan piawai 0.75 cm. (a) Jika sebiji oren dipilih secara rawak, kira kebarangkalian bahawa ia adalah  gred  A. [2 m] (b) Dalam satu bakul 312 buah oren, anggarkan  bilangan buah oren gred B. [4 m]

(c) Jika 78.76% buah oren dipasarkan, cari nilai k. [4 m]

13

6. Satu kumpulan guru diberikan  pemeriksaan kesihatan. Tekanan darah seorang guru mempunyai satu taburan normal dengan min 128 mmHg dan sisihan piawai 10mmHg. Tekanan darah yang lebih daripada 140 mmHg tergolong sebagai  “tekanan darah tinggi”

(i)  Seorang guru dipilih secara rawak  daripada kumpulan itu. Cari kebarangkalian guru mempunyai tekanan di antara 110 mmHg dan 140 mmHg. [ 2 m]

(ii) Didapati 16 guru mempunyai "tekanan darah tinggi". Cari jumlah bilangan guru dalam kumpulan itu. [ 3 m]

14

ANSWERS

Praktis 3:

1 (a) μ = 46, σ = 9Z = 1.45 = 13.05 = X − 46X = 59.05 kg

(b) P(X > 40.5) = P(Z > )   = P(Z > −0.6111)   = 1 − P(Z > 0.6111)   = 1 − 0.2706   = 0.7294

2 (a) μ = 141, σ = 6Z = 1.4 = 8.4 = X − 141X = 149.4 cm

(b)P(X > 133) = P(Z > )   = P(Z > −1.333)   = 1 − P(Z > 1.333)   = 1 − 0.0913   = 0.9087Peratus = 90.87%

3 (a) μ = 149, σ = 19Z =    = −0.2053

(b) P(z < k) = 0.0049

P(z > k) = 0.0049P(z > 2.58) = 0.0049∴ k = −2.58

4 (a) μ = 397, σ = 44P(X > 394.7) = P(Z > )   = P(Z > −0.05227)   = 1 − P(Z > 0.05227)   = 1 − 0.4792   = 0.5208

(b) P(389.4 < X < 403.8)= P(< Z < )= P(−0.1727 < Z < 0.1545)= 1 − P(Z > 0.1727) − P(Z > 0.1545)= 1 − 0.4314 − 0.4386= 0.13

5 (a) P(Z > k) = 0.5 − 0.3665   = 0.1335P(Z > 1.11) = 0.1335∴ k = −1.11

(b) μ = 111, σ = 19= 1.11X = 111 + 19 × 1.11   = 132.1

15

6 (a) P(62.2 < X < 75.5)

= P(62.2−66

7.6 < Z <75.5−66

7.6 )

= P(−0.5 < Z < 1.25)= 1 − P(Z < - 0.5) − P(Z > 1.25)= 1 − 0.3085 − 0.1056= 0.5859

(b) P(X > 75.5)

   = P(Z > 75.5−66

7.6 )

   = P(Z > 1.25)   = 0.1056

Jumlah bilangan pekerja = 264

0.1056¿2 500

Soalan SPM

Kertas 1

1. 0.187542. 0.13593. (a) 60 (b) 75.80%4. (a) 1.5 (b) -1.15. (a) 0.1314 (b) 0.7381

Kertas 2

1.(i) 54 (ii) 0.06792. (i) 0.1476 (ii) 2.9503. 4004. (a) 0.3085 (b) 77.185. (a) 0.0548 (b) 250 (c) 4.70156. (i) 0.8490 (b) 139

16