Yonathan Mark Evert 01207047Rachmi Nazilah 01211122Fenny Fitriawati 01111072Stevanus Ardiansyah 01211045Muhammad Syifaul Mubarok 01211023Doni Prasetyo 01211071

KELOMPOK 5

DIFERENSIALKalkulus diferensial adalah salah satu

cabang kalkulus dalam matematika yang membahas tentang tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan dengan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan.

.berdasarkan manfaatnya diferensial menjadi salahsatu alat analisis yang sangat penting dalam bisnis dan bisnis yang sangat akrab dengan masalah perubahan

1. DIFERENSIAL KONSTANTA Jika y=a di mana a adalah konstanta,

maka :

Contoh :y=2

Maka diferensial

dxdy

= 0

dxdy

= 0

2. DIFERENSIAL FUNGSI PANGKAT

Jika y = xⁿ dimana n adalah konstanta, maka

Contoh y = x³Maka diferensiasi

dxdy = nx

ⁿ⁻¹

dxdy = 3x

³⁻¹= 3x ²

3. Diferensiasi perkalian konstanta dengan fungsi jika y = axⁿ dimana a dan n adlah konstanta maka

Contoh y = 5x³ maka diferensiasi

dxdy = n. (ax)

ⁿ⁻¹

dxdy = 3.(5x)³⁻¹= 15x²

4. Diferensiasi pembagian konstanta dengan fungsi jika y = dimana v = h (x) maka :

Contoh y =

Maka diferensiasi = =

kv

dydx

=

dvdxv²

-k

5x³

dydx

-5 (3x²) (x³)²

-15x² x⁶

Optimasi Fungsi dengan Diferensial (Maksimum & Minimum)

Dalam persamaan y = f(x) Penggunaan diferensial pertama berguna untuk menentukan titik ekstrimnya, sedangkan diferensial kedua berguna untuk mengetahui jenis titik ekstrim tersebut berupa titik maksimum maupun minimum. Parabola y = f(x) mencapai titik ekstrimnya pada y’ = 0 Jika y” < 0 Maka bentuk parabola terbuka kebawah & titik ekstrimnya adalah titik maksimum Jika y” > 0 Maka bentuk parabolanya akan terbuka ke atas dan titik ekstrimnya adalah titik minimum.

Contoh soal

Tentukan apakah titik maksimum atau minimum dari fungsi x²-8x+12 dengan menggunakan uji derivatif pertama dan kedua :

Jawab :

Y = x²-8x+12y´ = 2x-8Y“ = 2

Lanjutan Y “ = 2 > 0 maka titik extrimnya merupakan titik minimum dan parabolanya akan

terbuka ke atas

Menentukan koordinat ttitik ekstrim y’=0

2x-8=0 y=x²-8x+12 X= 4 y=(4)²-8(4)+12

y= -4 Titik minimum (4,-4)

Titik potong dengan sumbu X jika Y=0 X²-8x+12 = 0 (x-2) (x-6) = 0 X₁ = 2 x₂ = 6

Biaya total ( TC ) Adalah menjelaskan total biaya ekonomi dari produksi dan

terdiri dari biaya variabel, yang bervariasi sesuai dengan jumlah barang yang diproduksi dan mencakup input seperti tenaga kerja dan bahan baku, ditambah biaya tetap, yang independen dari kuantitas suatu barang diproduksi dan termasuk input ( modal ) yang tidak dapat divariasikan dalam jangka pendek, seperti bangunan dan mesin. Total biaya ekonomi termasuk total biaya kesempatan dari setiap faktor produksi sebagai bagian dari biaya tetap atau variabel.

TC = FC + VC

Biaya Rata-Rata Biaya rata-rata atau biaya unit sama dengan biaya

total dibagi dengan jumlah barang yang dihasilkan (kuantitas output, Q). Hal ini juga sama dengan jumlah dari biaya variabel rata-rata (total biaya variabel dibagi dengan Q) ditambah biaya tetap rata-rata (total biaya tetap dibagi dengan Q). Biaya rata-rata dapat tergantung pada periode waktu yang dipertimbangkan (peningkatan produksi mungkin mahal atau tidak mungkin dalam jangka pendek, misalnya). Biaya rata-rata mempengaruhi kurva penawaran dan merupakan komponen fundamental dari penawaran dan permintaan .

Biaya Marjinal ( MC )

Adalah perubahan biaya total yang muncul ketika kuantitas yang dihasilkan oleh perubahan satu unit. Artinya, itu adalah biaya produksi satu unit lebih dari yang baik.Atau bisa disebut turunan / derivatif pertama Biaya Total ( TC )

MC = C’ = dCdQ

Penerimaan total Adalah jumlah seluruh penerimaan

perusahaan dari hasil penjualan sejumlah produk (barang yang dihasilkan). Cara untuk menghitung penerimaan total dapat dilakukan dengan mengalikan jumlah produk dengan harga jual produk per unit. Jika dirumuskan sebagai berikut:     

Keterangan:TR = Penerimaan total perusahaanQ   = Jumlah produk yang dihasilkanP    = Harga jual per unit

CONTOH SOAL

Anda menghasilkan suatu barang sebanyak 7 unit dan harga per unit Rp. 10.000, maka berapakah jumlah penerimaan total ? Jawab :  

Q = 7 unit P = Rp. 10.000,00 TR=?   TR = Q x P = 7 x 10.000, =

70.000,- 

Penerimaan rata-rata

Penerimaan rata-rata adalah penerimaan per unit produk yang terjual. Untuk menghitung penerimaan rata-rata dapat dilakukan dengan cara membagi penerimaan total dengan jumlah produk (barang) yang terjual. Jika dirumuskan sebagai berikut :     Keterangan:AR = penerimaan rata-rataTR = penerimaan totalQ = jumlah produk yang dihasilkan

CONTOH SOAL Perhatikan contoh berikut:

Suatu perusahaan memperoleh penerimaan total sebesar Rp. 70.000,- daripenjualan sebesar 7 unit, berapakah penerimaan rata-ratanya ?.Jawab :  

Diketahui TR = 70.000,- dan  Q = 7 unit, AR = ?   AR = TR/Q = 70.000/7 = 10.000 Sebenarnya penerimaan rata-rata selalu sama dengan harga

Marginal, Laba Maksimum

Penerimaan Marginal Revenue adalah penerimaan tambahan dari adanya tambahan per unit produk yang terjual. Cara menghitung penerimaan marginal dengan membagi tambahan penerimaan total dengan tambahan jumlah produk yang terjual. Jika dirumuskan sebagai berikut :    

Marginal, Laba Maksimum

Lanjutan....

Lanjutan...

Berdasarkan konsep penerimaan dan biaya (TR dan TC)  dapat diketahui beberapa kemungkinan diantaranya :

TR > TC  = keadaan untung / labaTR= TC   = keadaan  Break Even PointTR< TC  = Keadaan rugi.

Contoh Soal Sebuah pabrik Sandal dengan Merk " Idola" mempunyai

biaya tetap (FC) = 1.000.000; biaya untuk membuat sebuah sandal Rp 500; apabila sandal tersebut dijual dengan harga Rp 1.000, maka:Ditanya:a. Fungsi biaya total (TC), fungsi penerimaan total ( TR) dan Variable Cost ( VQ )b. Pada saat kapan pabrik sandal mencapai BEPc. Untung atau rugikah apabila memproduksi 9.000 unit

Jawab:a. FC = Rp 1.000.000 P = 1.000    VC= Rp 500.    Fungsi biaya variabel VC = 500  Q ................................................(1)    Fungsi biaya total TC = FC + VC -----> TC = 1.000.000 + 500 Q ......(2)    Fungsi penerimaan total  TR = P.Q -----> TR = 1.000 Q .................(3)

Lanjutan...b. Break Even Point terjadi pada saat TR = TC    1.000 Q  = Rp 1.000.000 + 500 Q    1.000 Q - 500 Q = 1.000.000     500 Q = 1.000.000     Q = 2.000 unit    Pabrik sandal akan  mengalami BEP pada saat Q = 2.000 unit    Pada biaya total  TC = 1.000.000 + 500 ( 2.000)                              TC = 2.000.000

c. Pada saat memproduksi Q = 9000 unit    TR = P.Q          = 1.000  X  9.000          = 9.000.000

    TC  = 1.000.000 + 500 (Q)         = 1.000.000 + 500 ( 9.000)         = 1.000.000 + 4500.000         = 5.500.000

Lanjutan...

Bila  TR > TC, maka keadaan laba / untung.    Laba = TR - TC           = 9.000.00 - 5.500.000           = 3.500.000

Bila hanya memproduksi 1.500 unit maka akan mengalami kerugian sebesar :    Rugi = TR - TC            = 1.000 (1.500)  - 1.000.000 + 500 ( 1.500)            = 1.500.000 - 1.750.000            = 250.000

Contoh Soal Aplikasi DiferensialJika fungsi biaya total adalah

carilah biaya rata-rata, dan

gambarkanlah kurva biaya total dan rata-rata dalam satu diagram.

Jawab : Diket :

= 2 + 2Q

Lanjutan...

= 4 – 2 + 1= 3

Lanjutan...

Jadi untuk Titik-titik nya TC ( -1 ; 3 )AC ( 2 ; 6 )

Lanjutan...

Series1

-2-101234567

Total CostAverage Cost

Terima Kasih..... Selamat belajar