TUGAS PERBAIKAN FISIKA DASAR I

OLEH :

LUTHFYA UMAHATI (H1E010006)AAN NURWATI (H1E010004)YUDI DENI FIRMANSAH (H1E010048)GAYUH RIZKI RIDHO (H1E010043)

FAKULTAS SAINS DAN TEKNIKUNIVERSITAS JENDRAL SOEDIRMAN

PURWOKERTO

1

III. KINEMATIKA

Kinematika merupakan cabang fisika yang menganalis deskripsi gerak tanpa membahas penyebabnya. Parameter fisis yang sering dibahas dalam sistem kinematis adalah perpindahan, kelajuan, kecepatan dan percepatan. Dalam tinjauan fisis, benda dapat dianggap sebagai partikel, dan kumpulan beberapa benda dianggap sebagai sistem partikel.

Oleh karena itu, dalam pembahasan selanjutnya, kata “benda” dan “partikel”akan digunakan dengan maksud dan tinjauan yang sama.

3.1 PerpindahanPerpindahan merupakan perubahan posisi sekumpulan partikel.pada gambar 3.1, akan

diperlihatkan sebuah mobil yang diperlakukan sebagai partikel yang semula berada pada posisi x1. Beberapa saat kemudian mobil tersebut berada pada posisi x2. Perubahan posisi mobil tersebut adalah

∆ x=x2−x1 (3.1)

y

∆ x

x1 x2 x

Gambar 3.1 Deskripsi perpindahan partikel

Formula pada persamaan (3.1) sebagai representasi perpindahan partikel,jika dinyatakan dalam notasivektor,maka posisir1=¿ x1 ex ¿ dan posisir2=¿ x2 e x¿. Vektor perpindahannnya adalah

∆ r ( x )=¿)ex (3.2)

Lebih lanjut, penggambaran tentang vektor posisi dalam sistem koordinat diperlihatkan pada Gambar 3.2. Jika sebuah partikel yang semula berada pada posisi r1=¿ x1 ex + y1 ey ¿ , beberapa saat kemudian berada pada posisir2=¿ x2 ex+ y2 ey ¿. Vektor perpindahan partikel tersebut adalah

∆ r ( x , y )=(r2− r1 )=[ ( x2 ex+ y2 e y )−( x1 ex+ y1 e y) ]¿ [ ( x2−x1 ) ex+( y2− y1) e y ] (3.3)

2

y

y2

y1

x

x1

x2

Gambar 3.2 Vektor perpindahan dalam dua dimensi

Dalam sistem koordinat tiga dimensi,vektor perpindahan diperlihatkan pada Gambar 3.3. Jika semula partikel berada pada posisi r1 ( x , y , z )=x1 ex+ y1 ey+z1 ez kemudian berpindah ke posisi r2 ( x , y , z )=x2 ex+ y2 e y+z2 ez maka vektor perpindahannya adalah∆ r ( x , y , z )=¿)

¿ [ ( x2 ex+ y2 e y+z2 e z )−( x1 ex+ y1 e y+z1 e z ) ]¿ [ ( x2−x1 ) ex+( y2− y1 ) e y+ ( z2−z1) ez ] (3.4)

y

r

r1r2

x

Gambar 3.3 Vektor perpindahan dalam tiga dimensi

3

Besarnya perpindahan merupakan resultan vektor. Pada tingkat dasar, sisten kinematis yag akan dibahas hanya untuk kasus satu dan dua dimensi. Kasus tiga dimensi akan dibahas pada mekanika tingkat lanjut.

Contoh 3.1:Sebuah benda dalam sistem koordinat, semula pada posisi A(2,1). Setelah itu, benda tersebut bergeser ke posisi B(4,5). Tentukan vektor posisi perpindahan jarak dari A ke B, dan arah perpindahannya.

Solusi: persoalan ini diselesaikan dengan menggambarkannya dalam sistem koordinat (Gambar 3.4) y

5 B(4,5)

r2 r

1A(2,1)

r1

x 2 4

Vektor posisi A: r A ( x , y )=2 ex+ e y

Vektor posisi B: r B ( x , y )=4 ex+5 e y

Vektor posisi perpindahan r=[ rB−r A ]¿ [(4 e x+5 e y )−(2 ex+e y )]

¿ [(4−2¿ e¿¿ x+(5−1) e y)]¿2 ex+4 ey

Jarak perpindahan: |r|=√22+42=√4+16=√20¿5√2 satuan panjang

Arah perpindahan: tanθ= yx=4

2θ=arc tan (2 )=63,43

4

3.2Kecepatan dan KelajuanKecepatan merupakan perbandingan antara perpindahan partikel (∆ x ¿ dengan selang

waktu yang digunakan (∆ t ). Jika sebuah benda semula berada pada posisi x1pada saat t 1 berpindah ke posisi x2pada saat t 2,maka kecepatan benda tersebut adalah

v=∆ x∆ t

=x2−¿ x1

t 2−¿t1¿¿ (3.4)

Kelajuan merupakan perbandingan antara panjang lintasan dengan waktu yang digunakan sebuah benda untuk bergerak. Pada posisi di mana perpindahan dan waktu yang digunakan sebuah benda konstan,maka kelajuan dan kecepatan sama besar. Akan tetapi,secara fisis kecepatan merupakan besaran vektor,sedangkan percepatan merupakan besaran skalar. Oleh karena itu, pada kondisi yang tidak konstan, besarnya kecepatan dan kelajuan berbeda.

Contoh 3.2:Seekor siput semula pada posisi A(18,0) dalam satuan meter pada t=2 sekon. Pada saat t=7 sekon, siput tersebut berada pada posisi B(14,0) dalam satuan meter. Tentukan besar perpindahan,kecepatan rata-rata,panjang lintasan, dan kelajuan siput tersebut?

SolusiPosisi siput: r1= r A=18 e xm danr2= rB=14 ex mPerpindahan siput ∆ r ( x )=[ r 2−r1 ]

¿ [14 e x−18 ex ]¿−4 ex m arah x negatif

Kecepatan rata-rata siput: |v|=∆r (¿ x)

∆t=

−4 e x

5=−0,8 ex

ms

¿

Panjang lintasan yang ditempuh siput: ∆ s=|18−14|=4 m

Laju siput adalah v=45=0,8

ms

Contoh 3.3:Seorang pelari berlari sejauh 100 m, dalam waktu 10 sekon, kemudian berbalik arah semula sejauh 5o m,selama 20 sekon. Berapakah kecepatan dan kelajuan pelari tersebut?

Solusi:Kelajuan dihitung berdasarkan panjang luntasan totalper waktu total :

v=(100+50 ) m

(10+20 ) s=150

30=5

ms

Kecepatan dihitung secara terpisah antara arah awal dan arah sebaliknya :

Kecepatan arah awal : v (x)=100 ex m

10 s=10 e x

ms

Kecepatan arah sebaliknya: v (x)=−50 ex m

20 s=−2,5 ex

ms

5

Kecepatan sesaat merupakan limit rasio ∆ x /∆ t , dengan ∆ t mendekati 0(nol). Ilustrasi kecepatan sesaat diperlihatkan pada Gambar 3.5

x (t)

v¿

1

tt 1t 2

Gambar 3.5

Kemiringan garis pada saat tertentu dapat ditentukan dengan formula

lim∆t →0

∆ x∆ t

=vsesaat

Contoh 3.4:Sebuah benda dijatuhkan dari ketinggian tertentu dinyatakan dalam bentuk persamaan x=4 t 2+2 t+1 dengan satuan bebas.Tentukan kecepatan sesaat benda tersebut?

Solusi: Posisi awal benda pada saat t=tx=4 t 2+2 t+1

Pada waktu tertentu t=t+∆ tx (t+∆ t)=4 ( t +∆ t )2+2 (t +∆ t )+1

Kecepatan sesaat benda tersebut:

vsesaat= lim∆t → 0

∆ x∆ t

¿ lim∆t →0

∆ x∆ t

=4 ( t +∆ t )2+2 ( t +∆ t )+1

∆ t

¿ lim∆t →0

∆ x∆ t

=4 t 2+8 t .∆ t+4.∆ t 2+2t +1∆ t

¿8 t+2

Jadi kecepatan sesaatnya adalahdxdt

vsesaat= lim∆t → 0

∆ x∆ t

=dxdt

6

Y X10

21

20

10

10 12X X10

B (120,210)

A (100,200)

F

Contoh 3.4

Sebuah perahu layar bergerak dari posisi A (100m 200m). 2 menit kemudian, kapal tersebut

berada pada posisi B (120m, 210m). Berapakah kecepatan rata-rata kapal tersebut dan

kemana arahnya?

Solusi : Pergerakan kapal digambarkan dalam bentuk sistem koordinat.

Posisi perahu

F1 = FA = 100 êx + 200 êy

F2 = FB = 120 êx + 210 êy

Perpindahan perahu

F = [F2 – F2]

= [(180êx + 210êy) – (100êx + 200êy)]

= [ 120 – 100) êx + (210 – 200) êy]

= [(120-100)êx + (210 – 200) êy]

= 20 êx + 10 êy

7

Utara

Va

2m/s

Timur

V

Vs3m/s

Vektor kecepatan perahu: V (r,t) =

ΔYΔt

=20e

¿x+ 10e

y

2¿

V (r,t) = 10êx + 5ey

|V | = √102+52= √125= 11,2 m/menit

Arah kecepatan :

tan =

510 = 0,5

= arc tan-1 0,5 = 26,6o

Kecepatan relatif merpuakan penjumlahan linear laju dari dua buah atau lebih sistem

kecepatan yang saling berpengaruh secara relatif. Misalnya, Jika seorang petugas kereta api

berjalan dengan kecepatan V di atas kereta api yang bergerak dengan kecepatan V’, maka

kecepatan relatif petugas tersebut terhadap posisi awal adalah:

Vrelatif = V + V’

Nilainya bergantung pada vektor kecepatan. Sehingga boleh positif atau negatif.

Contoh 3.7

Sebuah sungai mengalir dari barat ke timur dengan kelajuan 3 m/s. Seorang anak bereang ke

utara menyeberangi sungai dengan kelajuan 2m/s relatif terhadap air. Berapakah kecepatan

anak relatif terhadap pinggir sungai dan kemana arahnya?

Vrelatif = √V s2+ Va

2=√22( m/s)2+32( m/s )2=√13 m2 /s2

8

= 3,61 m/s

Arahnya :

Tan =

V s

V a

=23 = 0,667

= arc tan 0,667 = 33,7o TU

3.3 Percepatan

Percepatan merupakan perbendingan antara perubahan kecepatan terhadap selang waktu yang

digunakan sebuah benda untuk bergerak.

arata-rata

=

ΔVΔt .................................................................................. (3.6)

Sama seperti konsep yang digunakan untuk menganalisis kecepatan, percepatan sesaat

merupakan limit rasio V/t dengan t mendekati nol.

a sesaat

=

limΔt

ΔVΔt ........................................................................... (3.7)

Vektor kecepatan:

a = dV x

dte

¿x+

dVy

dte

¿y¿

¿ ............................................................. (3.8)

= ΔV x

Δte

¿x+

ΔVy

Δte

¿y¿

¿

Contoh 3.8

Sebuah partikel dipercepat dari 0 sampai 90 km/jam

Dalam waktu 5 S. Berapakah percepatan rata-rata selama periode ini?

Solusi : percepatan rata arata=

ΔvΔt

a=90 km/jam5 S = 18 km/jam.S

Agar satuannya sama, maka dibuat perubahan 1 jam = 3600 S = 3,6 KS

18kmjam . s x

1jam316 ks = 5 m/s2

9

Utara

Timur

a

60 km/jam

Contoh 3.9

Sebuah mobil bergerak ke timur dengan kelajuan 60 km/jam, 5 menit kemudian mobil

tersebut bergerak ke utara dengan kelajuan 60km/jam. Carilah percepatan rata-rata mobil

tersebut.

Vektor kecepatan

V x = 60 êx km/jam

V y = 60 êy km/jam

Vektor percepatan

a = ΔV x

Δte

¿x+

ΔVy

Δte

¿y¿

¿

= 605

e

¿x+

605

e

¿y

¿

¿ = 12êx + 12êy

|a | = √122+122= √288 = 17 km/j.S.

Kondisi ini memperlihatkan bahwa mobil dipercepat walaupun tidak mengalami perubahan

kelajuan.

Intermezo… (tidak dituliskan dibuku)

Logika untuk memahami mekanika

10

Ruang/posisi (Space) (F) m

Laju(Speed) (V) m/s V dt

dx

t

X

Waktu(time) (t) s

a 2

2

dt

xd

dt

dV

t

V

a 2

2

dt

xdm

dt

dV

Newton = NKg.m/s2

rF.

Energi/Tenaga(Energy) E= W Dyne/erg

t

W

Massa(mass) m

11

3.4 Formulasi Persamaan Gerak ID

Persamaan gerak dalam ID merupakan representasi perpindahan partikel dalam 1 sumbu

koordinat. Dalam hal ini notasi vektor dapat diabaikan secara eksplisit, adapun arah

pergerakan hanya ditandai dengan arah positif dan negatif. Persamaan-persamaan dasar yang

sering digunakan sperti pada table 3.1.

Tabel 3.1 Formulasi Gerak dalam Bidang ID

No FormulaParamater dasar yang dimuat

X Vx ax T1 Vx = VXo + axt

2 X = Xo + ½ (VXo + Vx) t

3 X = Xo + VXot + ½ axt2

4Vx

2 = Vx

2+ 2ax (x – xo)

Ket : memuat parameter

tidak memuat parameter

Pada uraian berikut akan diuraikan bagaimana mendapatkan formula pada tabel 3.1.

Formula nomor 1, dirumuskan dengan asumsi :

kecepatan pada saat t1 = 0 adalah VXo dan

pada saat t2 = t adalah Vx

ax =

ΔVΔt

=V X−V Xo

t−0=

V X−V Xo

t

axt = V x =V Xo

Vx = V Xo + aX t ........................................................................ (3.9)

Formula nomor 2, dirumuskan dengan asumsi

Posisi pada saat t = 0 partikel adalah xo dan pada saat t = t posisi partiel adalah x.

12

V x= Δ xΔt

=x−xo

t−0=

x−xo

t

V x=x−xo

t

V x t = x - xo

X = Xo + Vx.t ...........................................................................(3.10)

Asumsi tambahan, jika kecepatan berubah terhadap waktu, maka kecepatan rata-rata adalah:

V x=12 (VXo + VX) ..........................................................................(3.11)

Dengan menggabungkan persamaan (3.10) dan (3.11)

Maka diperoleh

X = Xo +

12 (VXo + VX) t .................................................................(3.12)

Formula nomor 3, dirumuskan dengan menggunakan Vx

Persamaan (3.9) ke persamaan (3.12)

X = X o +

12 (V Xo + V Xo + a xt) t

= X o +

12 V

Xot +

12 V

Xot +

12 a

xt2

= X o + VXot +

12 a

xt2 ...........................................................(3.12)

Formula nomor 4, dirumuskan dengan menggunakan t =

Vx−Vxo

ax yang diformulasi dari

persamaan (3.9) ke persamaan (3.12).

X = X o +

12 (V Xo + V X )

(V X2 −V X0

2

aX)

x ax

13

ax X = ax Xo +

12 (V x

2−V o2

)x 2

2ax X = 2ax Xo + V x

2−V o2

2ax (X -X o) = V x2−V o

2

V x2=V xo 2ax (X -X o) ..............................................................................(3.14)

Contoh Soal :Laju sebuah mobil yang bergerak ke timut berkurang secara seragam dari 45,0 mil/jam menjadi 30 mil/jam seraya berpindah sejauh 264 kali.a. Bagaimana besar dan arah percepatan konstan tersebut ?b. Berapa lama berlangsungnya perlambatan ini ?c. Jika dianggap perlambatan diatas berlangsung terus menerus dengan laju yang sama,

berapa waktu yang dibutuhkan agar mobil tersebut berhenti ?d. Berapa jarak total yang dibutuhkan oleh mobil mulai dari 45 mil/jam sampai berhenti ?

Solusi : Persoalan ini digambarkan dalam bentuk

X0 = 0 Xt = 264 kaki (ft)

X – X0 = 264 kaki (ft) = 0,05 mil[1 mil = 5280 kaki (ft) ]

a. Percepatan mobil dan arahnya dapat dihitung dengan formula :

Vx2 = V x0

2 + 2 ax (X – X0)

ax = V x

2−V x 02

2(X−X0) = (30,0 mil / jam)2−(45,0 mil / jam)2

2(0,05 mil)

= -1,13 x 104 mil / jam2 atau – 4,58 ft /sArah percepatan ke bawah karena percepatannya negatif.

b. Lama berlangsungnya perlambatan dapat dihitung dengan formula :

14

Barat

V xt= 30 mil / jam2

V x 0 = 45 mil / jam2

Timur

X = X0 + 12

(Vx0 + Vx) t

t = 2(X−X0)V x 0+V x

= 2(0,05 mil)

(45,0+30,0)mil / jam

= 1

750 jam = 4,8 s

Atau dapat juga dihitung dengan formula :

Vx = Vx0 + ax t → karena ax = -1,13 x 104 mil / jam2 sudah diketahui

t = V x−V 0

ax=

(30,0 – 45,0 ) mil / jam

−1,13 x 104 mil / jam2

= 1, 33 x 10-3 jam= 4,8 s

c. Waktu yang digunakan untuk berhenti dari kecepatan Vx0 = 45 mil / jam ke Vx = 0 dengan

perlambatan ax = -1,13 x 104 mil / jam2, dapat dihitung dengan formula :

Vx = Vx0 – ax t

t = V x−V x0

ax

= (0−45 ) mil / jam

−1,13 x 104 mil / jam2

= 4,00 x 10-3 jam = 14,4 s

d. Jarak tempuh dari kecepatan 45 mil / jam2dengan perlambatan ax = -1,13 x 104 mil / jam2 hingga berhenti pada waktu t = 4,00 x 10-3 jam dapat dihitung dengan formula :

X = X0 + Vxo t + 12

ax t2

X – X0 = Vxo t + 12

ax t2

= (45,0 mil / jam) (4,00 x 10-3 jam) + 12

(-1,13 x 104 mil / jam2) (4,00 x 10-3 jam)2

= 0,09 mil = 475 kaki (ft)

15

Contoh SoalInti atom Helium (partikel alfa) bergerak sepanjang bagian dalam sebuah akselerator yang lurus dengan panjang 2,0 m

a). jika dianggap percepatan yang dialami partikel konstan, berapa lamakah partikel tersebut

dalam tabung jika masuk dengan kecepatan 1,0 X 104 ms

dan keluar dengan kecepatan 5,0

X 106 ms

?

b). berapakah percepatan yanga didalami partikel selama selanga waktu tersebut?SOLUSI:

Vxo=1,0 x 104 ms

Vx =5,0 x

106 ms

X0 = 0 X = 2,0 m

a) Lamanya partikel dalam akselerator sepanjang 2,0 m, Vxo=1,0 x 104 ms dan Vx =5,0 x

106 ms

dapat diselesaikan dengan formula

X = X0 + 12

(Vxo + Vx) t

t = 2(X−X0)

V x +V x 0

= 2 (2,0 m−0 m)

(500+1 ) x 104 ms

b

= 8,0 x 10-7 s atau 0,8 µsb) percepaatan yang dialami partikel selama 8,0 x 10-7 s dalam akselerator dapat

dihitung dengan formula

Vx = Vx0 + ax t

ax = V x−V x0

t =

(500−1 ) x104 ms

8,0 x10−7 s

¿ 6,3 x 1012 m

s2 atau 6,3

Tms

16

3.5 Gerak Jatuh Bebas.

Gerak jatuh bebas merupakan perpindahan partikel tegk lurus permukaan bumi secara

relatif. Deskripsi gerak ini dalam sistem koordinat, dianggap berada dalam sumbu y yaitu

dalam bidang vertikal. Selain itu, percepatan benda dibawah pengaruh grafitasi, sehingga

percepatan yang digunakan adalah percepatan grafitasi ( g = 9.8 m/s). Oleh sebab itu,

persamaan gerak yang digunakan sama seperti persamaan pada tabel 3.1, akan tetapi x

diganti dengan y dan ax diganti dengan –g (arah sumbu negatif). Secara lengkung

formula gerak jatuh bebas diperlihatkan pada Tabel 3.2.

Tabel 3.2. Formula gerak jatuh bebas.

Keterangan : memuat parameter,

tidak memuat parameter.

Contoh Soal :

Sebuah benda dilepaskan dari keadaan diam kemudian jatuh bebas. Tentukanlah posisi dan

laju benda setelah bergerak 1,0 s; 2,0 s; 3,0 s; dan 4,0 s, jika diketahui percepatan grafitasi (g

= 9,8 atau g = 32 )

Asumsi :

17

No. Formula

1

2

3

4

Vy=Vy0−gt

y=12 (Vy0+Vy ) t

y=Vy0 t−12

gt2

Vy2=Vy0+2a y y

fts2

m

s2

t0=0Vy0=0

Posisi benda setiap saat dihitung dengan formula

Sedangkan laju setiap saat dihitung dengan formula

Perhitungan dapat dinyatakan dalam bentuk tabel

No. t(s) y(ft) Vy(ft/s)1 1,0 -16 -322 2,0 -64 -643 3,0 -144 -964 4,0 -256 -128

18

g=9,8ms

→g=32ft

s2

Vy1=. .. ?

Vy 3=.. .?

Vy 2=.. .?

Vy1=. .. ?

∫

∫

∫∫

t4=4

t3=3

t2=2

t1=1

y4= .. .?

y3=. .. ?

y2=.. . ?

y1=.. . ?

y=Vy0 . t−12

gt 2=−12

gt 2

Vy=Vy0−gt=−gt

CONTOH SOAL

Sebuah benda dilemparkan tegak lurus ke atas dengan laju 80 kaki/s (24,4 m/s)a. Berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk mencapai titik tertinggi?b. Beapakah ketinggian yang dapat dicapai benda tersebut?c. Pada saat kapan benda mencapai ketinggian kurabg dari 1,5 meter dari tinggi maksimum

dan berapakah kecepatan pada saat itu?d. Pada saat kapan benda mencapai ketinggian setengah dari tinggi maksimum, dan berapakah

kecepatan pada saat itu.

SOLUSI

vy = 0 ½y 1,5 meter

y = …? y = ….?

vy0 = 80 ft/s ½y =…? t = ……?

a. Waktu yang dibutuhkan untuk mencapai tinggi maksimum dari benda dengan kecepatan awal vy0 = 80ft/s dan vt = 0 dapat dihitung dengan formula

v y 0=v y0−¿

t=v y 0−v y

g

t=(80−0 ) ft / s

32 ft /st=2,5 sekon

b. Ketinggian maksimum yang dicapai benda dihitung dengan formula :

19

vy2 ¿ vy0

2 – 2gy y ¿ vy02 – vy

2

2gy ¿ (80 – 0) ft/s 2 × 32 ft/s ¿ 100 ft ¿ 30,5 meter

c. Waktu yang digunakan benda untuk mencapai ketinggian kurang dari 1,5 meter dari ketinggian maksimum (29 meter = 96 ft ) dihitung dengan formula :y ¿ vy0t − ½gt2

+ ½gt2 – vy0t + y ¿ 0

½ (32 kaki/s2) t2 – (80 kaki/s2) t + 96 kaki ¿ 0

t2 – 5t + 6 ¿ 0

( t – 3 ) ( t – 2 )

t ¿ 3 dan t ¿ 2

Kecepatan pada setiap waktu dapat dihitung dengan formula

vy ¿ vy0 –gt

t ¿2 vy ¿ 80 ft/s – 32 ft/s2 × 2 s ¿ 16 ft/s

t ¿3 vy ¿ 80 ft/s – 32 ft/s2 × 3 s ¿ -16 ft/s

Kondisi ini menunjukkan bahwa pada saat t ¿ 2 vy ¿ 16 ft/ s arah benda bergerak ke atas,

sedangkan t = 3 vy ¿ -16 ft/s arah benda bergerak ke bawah.

d. Waktu yang dibutuhkan benda untuk mencapai ketinggian setengah dari ketinggian maksimum (y = 15,25 ft ), dihitung dengan formula

y=v y 0 t−½g t 2

½ g t 2−v y 0 t+ y=0

½(32fts )t 2−(80

fts ) t+15,25 ft=0

16 t 2−80 t+15,25=0

t 2−5 t+3,5=0Gunakan rumus akar persamaan kuadrat

20

t12 = −b ±√b2−4 ac2a

¿+5±√52−4 (1 )(3,5)

2

¿+5± 3,32

2t 1=0,84 sekon dan t 2=4,16 sekon

Kecepatan pada setiap waktu vy = vy0 – gt t 1=0,84 sekon vy = 80 ft/s – (32 ft/s . 0,84 s) = 53,12 ft/s t 2=4,16 sekon vy = 80 ft/s – (32 ft/s . 4,16 s) = -53,12 ft/sJadi setengah tinggi maksimum arah ke atas dicapai pada t = 0,84 sekon dengan kecepatan 53,12 ft/s dan pada t = 4,16 sekon dengan kecepatan 53,12 ft/s dengan arah ke bawah.

GERAK PARABOLA

Gerak parabola merupakan gerak dengan percepatan konstan benda dalam system koordinat Cartesian dua dimensi secara matematis, gerak parabola diformulasikan dengan menggunakan sumbu x sebagai arah horizontal dan sumbu y sebagai arah vertical. Formula gerak parabola menggunakan kombinasi persamaan pada table 3. 1 dan 3. 2. Ilustrasi gerak parabola diperlihatkan pada gambar 3. 4

vyêy v v

vxêx

θ vxêx v

vy0êy v0 vy(−¿êy)θ

vx0êx vxêx

vy(−¿êy)v

Gambar 3. 4

Komponen kecepatan dalam arah x adalah vxt = vt cos θt dan arah y adalah vyt = vt sin θt. Komponen percepatan dalam arah x adalah ax = 0 dan arah y adalah ay = -g. Selanjutnya kasus-kasus gerak parabola dapat diselesaikan berdasarkan konsep yang telah diuraikan. Penggunaannya bergantung system yang ditinjau.

TABEL 3. 3

21

NO. FORMULAPARAMETER

v/y t1

2

3

4

vx/vy ax/ay

vx = vx0 + axt vy = vy0 + ayt

x = x0 + ½(vx0 +vx)t y = y0 + ½(vy0 +vy)t

x = x0 + vx0t + ½axt2 y = y0 + vy0t + ½axt2

vx2 = vx0

2 +2ax (x – x0) vy2 = vy0

2 +2ay (y – y0)

CONTOH SOALSeorang pemain sepak bola menendang bola dengan sudut elevasi 37°dari arah horizontal dengan kelajuan 50 ft/s. a. Tentukan waktu yang digunakan untuk mencapai tinggi maksimum!b. Berapakah tinggi maksimum bola tersebut?c. Tentukan waktu yang digunakan untuk mencapai jarak terjauh bola tersebut sampai ke

tanah!d. Berapa jarak bola tersebut?e. Berapa kecepatan bola ketika tiba kembali ke tanah?

vy0 y = …? x = …..?v = 50 ft/s t = ….? t = …..?

37° vx0 vt = ….?

a. Waktu yang digunakan untk mencapai titik tertinggi dihitung dengan kombinasi antaravy = vy0 +ayt dan vy0 = v0 sin θ ; ay = −¿gWaktu tertinggi dicapai pada vy = 0 , jadi

v0 sin θ - gt = 0

t= v 0 sin θg

¿50 ft sin 37 °

1632 ft /s=0,94 sekon

b. Ketinggian melambungnya bola dihitung dengan formula hasil kombinasi antaray = y0 + vy0t + ½ayt2 ; y0 = 0ay = -gvy0 = v0 sin θy0 = 0y = v0 sin θ × t − ½gt2 = 50 ft sin 37° ( 1516

s) − ½ (32 ft/s2) ( 1516

s)2 = 14 ft

22

c. Waktu yang digunakan untuk mencapai jarak terjauh dihitung berdasarkan kombinasi formulay = y0 + vy0t + a½ yt2 ; vy0 = v0 sin θy = 0 ; y0 = 0 ; ay = −gvy0t −¿ gt½ 2 = 0V0 sin θ = gt ½ t = 2 v 0sin θ

g

t = 2 (50 ft/s) sin 37° = 15 s t = 1,88 sd. Jarak terjauh yang dicapai bola dapat dihitung dengan kombinasi formulax = x0 + vx0t + a½ xt2 dan vx0 = v0 cos θDengan ketentuan x0 = 0 ; ax = 0x = vx0t = v0 cos θ . t = 50 ft/s cos 37° . 15

8s = 75 ft

e. Kecepatan bola setelah mencapai tanah dihitung dengan maenggunakan resultan vectorv = √v x2+v y

2vx = vx0 + axt ; t = 15 s ; ax = 0 Vx0 = v0 cos θ = v0 cos θ = 50 ft cos 37° = 40 ft/svy = vy0 + ayt ; t = 15 s ; ay = −¿gVy0 = v0 sin θ = v0 sin θ – gt = 50ft sin 37° −¿ 32 ft/s2 . 15

8sekon = −¿30 ft/s

v = √(40)2+¿¿ = 50 ft/sCONTOH SOALSebuah roket yang memuat peluru kendali diluncurkan dengan kecepatan awal 50 km/s dari sebuah menara peluncur yang tingginya 55 meter. Dimanakah roket tersebut akan mendarat jika ditembakkan dengan sudut elevasi 37 °?

V0 = 50 m/s

23

θ

45 m θ θ Y = 55 m vx’

x

vy’v0'

y = 100 my = 55 m

x = ….?

Waktu untuk mencapai tinggi maksimum dari menara :vy = vy0 + ayt ; *vyo = v0 sin θ = 30 m/s2 *vy = 0*ay =−¿g = −¿10 m/s20 = v0 sin θ−¿

t=v0 sin θ

g=30 m /s

10=3 sekon

Tinggi maksimum yang dicapai diukur dari menaray = y0 + vy0t + a½ yt2 ; vyo = v0 sin θ = 30 m/sy0 = 0 ; ay = −¿g = 10 m/s2t = 3 sekon

y = 30 . 3 - . 10 . 3½ 2 = 90 – 45 = 45 meterWaktu yang digunakan dari ketinggian maksimum ke sasaran tembak.y = y0 + vy0t + a½ yt2vy0 = 0 ; ay = −¿g = 10 m/s2−¿55 = 45 +0 + (½ −¿10) . t2−¿100 = −¿5t2 t2 = 20 = √20 = 4.5 sekonTotal waktu di udaraTtotal = tmenaraymax + tymaxsasaran = 3 + 4,5 = 7,5 sekon24

Jarak dari menara ke sasaran tembakx

x = x0 + vx0t + a½ xt2X0 = 0 ; vx0 = v0 cos θ = 40 m/s ; ax = 0t = 7,5 sekonx = v0 cos θ . t = 40 × 7,5 = 300 meterPersamaan gerak parabola dapat dinyatakan dalam bentukx = x0 + vx0t + a½ xt2x0 = 0 ; ax = 0 ; dan vx0 = v0 cos θ0x = (v0 cos θ0)t t = x ; V0 cos θ0y = y0 + vy0t + a½ yt2

y0 = 0 ; ay = −¿g ; dan vy0 = v0 sin θ0

y = (v0 sin θ0)t - gt½ 2

y = v0 sin θ0 . x xv0 cosθ0

−¿ g ½ ( xv0 cosθ0

)2

= (tan θ0)x - g2¿¿¿ x2

y = bx - ȼ x2 persamaan parabola

3. 7 GERAK MELINGKARGerak melingkar beraturan adalah gerak partikel dalam lintasan berbentuk lingkaran seumpama dalam laju konstan atau arah vector berubah. Tetapi besarnya tetap. Ilustrasi gerak ini diperhatikan pada gambar.

v

r ∆ θ∆ s v

gambar ilustrasi perpindahan dalam gerak melingkar

25

Perpindahan dalam gerak melingkar merupakan panjang busur ∆ s=θrsama seperti system kinematis yang lain, kecepatan merupakan laju perubahan perpindahan terhadap selang waktu.

∆ s∆ t

=v→ ∆ s=v . ∆ t

∆ θr=v . ∆ t → ∆ θv= v ∆ tr

Selanjutnya percepatan merupakan perbandingan rasio antara perubahan kecepatan terhadap selang waktu. Untuk mendapatkan formula kecepatan, maka dibutuhkan aproximasi bahwa

∆ θ=∆ vv

artinya perubahan kecepatan…..

Maka v ∆ t

r=∆ v

v→

v2

r=∆ v

∆ t

Jadi percepatan pada gerak melingkar adalah

a= v2

r

Seringkali lebih mudah untuk menggambarkan gerak melingkar dengan anggapan bahwa waktu yang digunakan sebuah benda untuk menempuh satu putaran penuh disebut 1 periode (T). karena partikel melintasi satu lingkaran, maka kelajuan merupakan perbandingan antara panjang lintasan satu lingkaran penuh (2πr) dengan selang waktu yang digunakan untk melintasi lingkaran satu putaran penuh.

v=2 πrt

Jika dibuat approkis ω=2 πt

maka

v=ω. r

Sehingga

a= v2

r=4 π2 r2

T 2 ÷ r

a=ω2. r

CONTOH SOAL

26

Sebuah bola yang terikat bergerak dalam lingkaran horisontal yang berjari-jari 2 meter. Waktu yang digunakan untuk mencapai satu lingkaran penuh adalah 3 sekon. Berapakan kelajuan dan percepatannya?

v=2 πrT

=2 π (2 meter )

3 sekon=4,19 meter /sekon

a= v2

r=

(4,19ms)

2

2 m=8,78m /s2

CONTOH SOALHitunglah laju satelit yang mengitari bumi pada ketinggian h = 140 mill di atas permukaan bumi, jika diketahui g = 30 ft/s2 dan jari-jari bumi r = 3960 mill.

a= v2

r;a=g=30 ft /s2

r=R+h=3960+140=4100 mill

g= v2

r

v2=g .r

v=√g . r

¿√ (4100 mill )(5280ft

mill )(30fts2 )

¿2,55 ×104 fts=17,400 mill/ jam

h R

r

CONTOH SOALSebuah roda mobil berputar sebanyak 150 rpm.

a. Tentukan kecepatan sudut pentil yang berjarak 10 cm dari sumbu roda!b. Berapa kelajuan pentil roda?c. Berapa percepatan

27

10 cm ω A=ωB

Misal ω A=pentil A ωB=roda B

ω pentil=150 putaran /menit

¿1502 π

1 ×60 s=5 π

rads

=5 .2 π

v=ωr=5πrad

seko n× 10 cm=5 ×

2 πrs

CONTOH SOAL

Tiga roda seperti gambar masing-masing r A=30 cm ;rB=10 cm;rC=20 cmTentukan ω A ;ωB; dan ωC

r A

rc

rB

r A=30 cmr B=10 cmrC=20 cm

NOTE :ω A=ωB

B vA ≠ vB

A

ω A ≠ ωB

vA=vB

B A

28

ω A ≠ ωB

vA=vB ? ?

Dengan menggunakan notasi vector,gerak melingkar dapat digambarkan dalam system koordinat polar.

yP (1, θ) x=r cosθ

y r y=rsin θ x x

θ

r→

=x êx+ y ê y

¿ r cosθ ê x . ê x+r sin2θ ê y

r (θ , r )=r êr+θ êθ

¿√r2 cos2 θ êx . êx+r2 sin2θ ê y . ê y

¿√r2(cos2θ+sin2θ)

¿√r

¿ r

θ=arc tanxy

29