APLIKASI TEOREMA PHYTAGORAS PADA LUKISAN RUAS

GARIS

S K R I P S I

Diajukan Dalam Rangka Menyelesaikan Studi Strata 1

untuk memperoleh Gelar Sarjana Sains

Oleh

Nama : Manzilur Rochmah

Nim : 4150403005

Program Studi : Matematika

Jurusan : Matematika

FAKULTAS MATEMATIKA DAN IPA

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

2007

MOTTO DAN PERSEMBAHAN

MOTTO

“Ujian Skripsi yang sesungguhnya adalah ujian melawan kemalasan diri

sendiri”

“Everything Noting Impossible but Everything Isn't Easy”

“Jangan pernah terpaku pada apa yang menimpa kita, melainkan perhatikan

bagimana kita mengartikannya”

PERSEMBAHAN

Puji syukur kepada Allah swt atas terselesainya skripsi ini.

Inilah karya yang harus kulakukan untuk menjadikan diriku sebaik-baiknya.

Kuperuntukan karya ini kepada:

1. Bapak Achyuri dan Ibu Sakdiyah atas doanya.

2. Keluarga Besar Sugeng Rawuh KOS.

3. Dosen dan sahabatku.

4. Okta my cassanova

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL

HALAMAN PENGESAHAN .............................................................. i

ABSTRAK ............................................................................................. ii

MOTTO DAN PERSEMBAHAN........................................................ iii

KATA PENGANTAR ........................................................................... v

DAFTAR ISI.......................................................................................... vi

BAB I PENDAHULUAN

A. Alasan Pemilihan Judul............................................................... 1

B. Permasalahan ............................................................................. 2

C. Tujuan dan Manfaat Penelitian ................................................... 3

D. Sistematika Skripsi...................................................................... 4

BAB II LANDASAN TEORI

A. Kesebangunan ............................................................................ 6

B. Teorema Phytagoras ................................................................... 13

C. Teorema Proyeksi Dalam Segitiga Siku-siku, Lancip, dan Tumpul 15

BAB III METODE PENELITIAN

A. Menemukan Masalah .................................................................. 20

B. Merumuskan Masalah ................................................................. 21

C. Studi Pustaka............................................................................... 22

D. Analisis dan Pemecahan Masalah ............................................... 22

E. Penarikan Simpulan .................................................................... 22

BAB IV PEMBAHASAN

A. Lukisan Dasar.............................................................................. 23

B. Membuat Garis Yang Tegak Lurus h dari sebuah titik p ............ 23

C. Membuat garis yang tegak lurus h dari sebuah garis g ............... 24

D. Membagi sudut menjadi dua bagian yang sama ......................... 25

E. Pemindahan Sudut....................................................................... 26

F. Melukis garis............................................................................... 29

G. Melukis ruas garis yang berukuran 5 satuan jika diketahui

ruas garis berukuran 7 satuan.................................................. 29

BAB V PENUTUP

A. SIMPULAN ................................................................................ 32

B. SARAN ....................................................................................... 37

DAFTAR PUSTAKA

DAFTAR LAMPIRAN

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, atas limpahan

petunjuk dan karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan

skripsi yang berjudul ”Aplikasi Teorema Phytagoras Pada Lukisan Ruas

Garis”.

Ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada:

1. Dekan FMIPA Universitas Negeri Semarang, bapak Drs. Kasmadi Imam S.,

M.S.

2. Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri Semarang, bapak Drs.

Supriyono, M.Si.

3. Pembimbing I, bapak Drs. Wuryanto, M.Si yang telah memberikan

bimbingan, dan arahan kepada penulis dalam menyusun skripsi ini.

4. Pembimbing II, bapak Drs. Moch Chotim, M.S yang telah memberikan

bimbingan, dan arahan kepada penulis dalam menyusun skripsi ini.

5. Ayah dan Ibu yang senantiasa mendoakan serta memberikan dorongan baik

secara moral maupun spiritual dan segala yang tak ternilai.

6. My Cassanova Okta (a man to love) yang telah memberikan waktu, perhatian

dan semua yang tak terlupakan sehingga penulis ingin segera menyelesaikan

skripsi ini.

7. Sahabatku Rahma, Ema, Asti, Ari, Ita, dan Devi yang tak henti-hentinya

memberikan solusi dan semangat kepada penulis.

8. Teman-temanku dan semua angkatan 2003, terima kasih atas semuanya.

9. Kelurga Besar ” Sugeng Rawuh ” Bapak Sunari, yang tiada henti memotivasi

penulis.

10. Orang-orang yang tanpa sengaja memberikan inspirasi, motivasi, dan

semangat agar cepat diselesaikannya skripsi ini.

Akhirnya penulis berharap skripsi ini bermanfaat dan dibaca.

Semarang, Juli 2007

Penulis

ABSTRAK

Manzilur Rochmah, Aplikasi Teorema Pythagoras Pada Lukisan Ruas Garis.

Semarang, Skripsi, (Matematika - Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan

Ilmu Pengetahuan Alam) Universitas Negeri Semarang, 2006

Matematika adalah ilmu pasti dimana dalam segala perhitungannya dapat dipertanggung jawabkan. Hakekat matematika bersifat deduktif aksiomatis, artinya untuk mempelajari matematika bertolak dari pengertian pangkal, pernyataan pangkal, kemudian aksioma. Pendekatan dari pengertian pangkal, pernyataan pangkal dan aksioma dapat memunculkan suatu Teorema yang menjadi dasar dalam menemukan solusi suatu masalah, kemudian muncul teorema-Teorema yang lain. Banyak cabang dalam ilmu matematika, salah satunya adalah bidang geometri. Adapun kegunaan ilmu geometri yaitu dalam rancang bangun, pengukuran suatu ketinggian, dan aplikasi yang lain.

Ada beberapa Teorema yang mendasar dalam ilmu geometri, salah satunya adalah Teorema Pythagoras. Teorema ini ditemukan oleh seorang matematikawan yang bernama Pythagoras. Dalam hal ini penulis mencoba menganalisis melalui Teorema Pythagoras dan sifat-sifat yang diturunkan dari Teorema Pythagoras dapat menjawab problem pengukuran ruas garis yang tidak mungkin dilakukan secara manual. Sebagai ilustrasi kita tidak mungkin melukis ruas garis yang berukuran

3 satuan. Meskipun diketahui ruas garis berukuran satu satuan hanya dengan menggunakan satu alat penggaris saja, sekurang-kurangnya kita harus menggunakan alat bantu jangka di samping alat bantu penggaris.

Beberapa lukisan bentuk aljabar untuk pengukuran suatu ruas garis, mutlak menggunakan Teorema Pythagoras sebagai basis untuk memperoleh ukuran ruas garis yang dikehendaki. Sebagai contoh untuk melukis ruas garis y apabila diketahui y = 22 dbca +− , dengan ketentuan ruas a, b, c, d diketahui dan > bc. 22 da +

1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Alasan Pemilihan Judul

Hakekat matematika bersifat deduktif aksiomatis, artinya untuk

mempelajari matematika bertolak dari pengertian pangkal, pernyataan pangkal

yaitu definisi yang disepakati, kemudian aksioma yaitu pernyataan yang

diterima tanpa bukti. Pendekatan dari pengertian pangkal, pernyataan pangkal

dan aksioma dapat memunculkan suatu teorema yang menjadi dasar dalam

menemukan solusi satu masalah, kemudian muncul teorema-teorema yang

lain.

Secara umum dapat digambarkan pada diagram berikut:

Undifined elements

3. Teorema

2. Definisi

Teorema

1. Aksioma

dst

2

Banyak cabang dalam ilmu matematika, salah satunya adalah bidang

geometri. Adapun kegunaan ilmu geometri yaitu dalam rancang bangun,

pengukuran suatu ketinggian, dan aplikasi yang lain.

Ada beberapa teorema yang mendasar dalam ilmu geometri, salah

satunya adalah Teorema Pythagoras. Teorema ini ditemukan oleh seorang

matematikawan yang bernama Pythagoras. Pythagoras lahir sekitar tahun 582

SM di pulau Samos, Yunani. Pythagoras menemukan sebuah rumus geometri

sederhana tentang hubungan sisi dalam segitiga siku-siku. Rumus ini

kemudian dikenal dengan nama Teorema Pythagoras. Dalam berbagai

rancang bangunan tidak lepas dari Teorema Pythagoras, dalam ilmu fisika

Teorema Pythagoras sangat membantu dalam mengukur tinggi sebuah

gedung, dalam bidang matematika sendiri Teorema Pythagoras sangat

membantu dalam membuat sebuah garis yang tidak dapat di ukur dengan

sebuah penggaris.

B. Permasalahan

Berdasarkan latar belakang di atas, maka rumusan masalah dalam

penelitian ini adalah: apakah melalui Teorema Pythagoras dan sifat-sifat yang

diturunkan dari Teorema Pythagoras dapat menjawab sebuah problem

pengukuran ruas garis yang tidak mungkin dilakukan secara manual.

3

C. Tujuan dan Manfaat Penelitian

1. Tujuan

Berdasarkan rumusan masalah di atas, maka tujuan dalam

penelitian ini adalah membuktikan bahwa melalui Teorema Pythagoras

dan sifat-sifat yang diturunkan dari Teorema Pythagoras dapat menjawab

sebuah problem pengukuran ruas garis yang tidak mungkin dilakukan

secara manual.

2. Manfaat

Manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut:

a. Bagi Mahasiswa

1) Dapat menambah wawasan kerja dalam bidang geometri, yang bisa

dijadikan bekal atau langkah dalam menyelesaikan suatu masalah

sehingga diharapkan mahasiswa mampu berfikir secara deduktif.

2) Dapat mengembangkan teori yang didapatkan dibangku kuliah.

3) Mengetahui apa saja aplikasi Teorema Pythagoras dalam

kehidupan.

b. Bagi Pembaca

1) Memperoleh informasi yang berkaitan dengan kemajuan

pengetahuan matematika dan keklasikan geometri serta teori-teori

yang ada di lembaga pendidikan.

2) Masukan bagi pembaca dalam merencanakan dan melakukan

rancangan bangun.

c. Bagi Universitas

4

Sebagai sarana untuk penelitian dan pengembangan, terutama yang

berkaitan dengan tugasnya sebagai lembaga pendidikan.

D. Sistematika Skripsi

Penulisan skripsi ini secara garis besar dibagi menjadi tiga bagian yaitu

bagian awal, bagian inti dan bagian akhir.

Bagian awal memuat halaman judul, abstrak, halaman pengesahan,

halaman motto dan persembahan, kata pengantar, daftar isi, daftar tabel, daftar

gambar, dan daftar lampiran.

Bagian inti terdiri dari lima bab, adapun kelima bab tersebut adalah

sebagai berikut.

1. Bab I Pendahuluan

Pada bab pendahuluan ini berisi alasan pemilihan judul, permasalahan,

tujuan dan manfaat penelitian, dan garis besar sistematika skripsi.

2. Bab II Landasan Teori

Landasan teori merupakan teori-teori yang mendasari pemecahan masalah

yang disajikan.

3. Bab III Metode Penelitian

Bab ini meliputi empat hal, yaitu studi literatur dan studi kasus, analisis

pengumpulan data, analisis data dan penarikan kesimpulan.

4. Bab IV Hasil Penelitian dan Pembahasan

Pada bab ini berisi pembahasan dari permasalahan yang disajikan yang

terbagi menjadi dua sub bagian, yaitu hasil penelitian dan pembahasan.

5

5. Bab V Penutup

Pada bab ini memuat simpulan dan saran.

Bagian akhir skripsi ini berisi daftar pustaka dan lampiran-lampiran.

6

BAB II

LANDASAN TEORI

A. KESEBANGUNAN

Secara umum dua bangun dikatakan sebangun jika bangun yang

satu dapat diperoleh dari bangun yang lain melalui serangkaian transformasi

(translasi, rotasi, refleksi) yang diakhiri dengan suatu dilatasi khususnya:

Dua segi-n (n bilangan asli lebih dari atau sama dengan 3) dikatakan

sebangun jika dan hanya jika sama sudut. Pengertian sama sudut dijelaskan

sebagai berikut:

Namakan A himpunan sudut dalam segi-n pertama, B himpunan sudut

dalam segi-n kedua, sedemikian sehingga terdapat korespondensi satu-satu

antara A dan B dengan relasi sama dengan.

Cukup jelas, dua segitiga dikatakan sebangun jika dan hanya jika kedua

segitiga itu sama sudut. Ini berakibat sisi yang seletak sebanding.

Contoh 1.1

Diketahui segitiga ABC, p pusat dilatasi, k=2 dimana k adalah faktor

dilatasi, dan A'B'C' bayangan segitiga ABC dibawah dilatasi [p,2].

Gambar 1.1

7

p

A

C

C'

B

A'

B'

Contoh 1.2

Diketahui segitiga ABCD, p pusat dilatasi, k=2 dimana k adalah faktor

dilatasi, dan A'B'C'D' bayangan segitiga ABCD dibawah dilatasi [p,2].

Gambar 1.2

A

D C

B

A'

D' C'

B'

p

Jelas jika faktor dilatasinya 1 atau -1 diperoleh dua bangun yang

kongruen.

Dari dua contoh diatas dapat ditarik kesimpulan yaitu dua segi-n

dikatakan sebangun jika dan hanya jika sama sudut, dalam arti terdapat

korespondensi 1-1 antara himpunan sudut dalam segi-n yang pertama

8

dengan himpunan sudut dalam segi-n yang kedua dengan relasi sama

dengan.

Akibat:

Perbandingan antara sisi-sisi yang seletak adalah sama.

Gambar 1.3

Jika perbandingan yang sama diumpamakan k maka ACPR

BCQR

ABPQ

== = k.

Ada empat hal dalam kesebangunan, yaitu:

1. Dua segitiga sebangun kalau ketiga sisi segitiga yang satu sebanding

dengan ketiga sisi yang bersesuaian dari segitiga yang kedua.

Gambar 1.4

BA P Q

RC

O

A B

C

A' B'

C'

Diketahui A'B': AB=B'C':BC=C'A':CA

Jika perbandingan yang sama ini kita umpamakan k maka :

9

A'B' = k x AB

tiga ABC diperkalikan dengan k dari sembarang titik

pat A'B' = A"B", B'C' = B"C" dan C'A' = C"A"

B'C' = k x BC

C'A' = k x CA

Bila sekarang segi

p, maka diperoleh A''B''C'' dimana:

A''B'' = k x AB

B''C'' = k x BC

C''A''= k x CA

Dari I dan II terda

Sehingga ∆ A'B'C' ≅ ∆ A"B"C", dan ∆ ABC ∼ ∆ A'B'C' (SSS).

2. g u sama Dua segitiga seban un kalau dua sudut dari segitiga yang sat

dengan dua sudut dari segitiga yang lain.

Gambar 1.5

A" B"

C"

C

A B

A' B'

C'

………..II

………..I

10

Diketahui: ∠ A = ∠ A', ∠ B = ∠ B', dan perkalian ∆ ABC dengan

ABBA '' menghasilkan ∆ A"B"C" dimana ∠ A = ∠ A" = ∠ A', ∠ B = ∠

B" = ∠ B',

Sehingga A"B" = '''' BAxABAB

BA= .

Akibat ∆ A"B"C" ≅ ∆ A'B'C' ∼ ∆ ABC.

3. Dua segitiga sebangun kalau dua sisi segitiga yang satu sebanding

dengan dua sisi segitiga yang kedua dan sudut apit kedua sisi itu sama.

O

A B

C

A" B"

C"

A'B'

C'

Gambar 1.6

Diketahui B'C' : BC = A'B' : AB ∠ B' = ∠ B, perkalian ∆ ABC dengan

BCCB '' menghasilkan ∆ A"B"C",

dimana ∠ A = ∠ A" = ∠ A', ∠ B = ∠ B" = ∠ B',

Sehingga B"C" = '''' CBxBCBC

CB= .

A"B" = xABAB

BAxABBC

CB ''''= = A'B',

∠ B" = ∠B = ∠B'. dengan demikian

Akibat ∆ A"B"C" ≅ ∆ A'B'C' ∼ ∆ ABC.

11

4. Dua segitiga sebangun kalau dua kedua segitiga itu siku-siku sadangkan

sisi miring dan sebuah sisi siku-siku dari segitiga yang satu sebanding

dengan sisi miring dan sisi siku-siku dari segitiga yang kedua.

Gambar 1.7

A"

C"

B"

C

A B

A' B'

C'

Diketahui A'B' : AB = B'C' : BC, ∠ C' = ∠ C

∠ A' = ∠ A,

perkalian ∆ ABC dengan AB

BA '' menghasilkan ∆ A"B"C", dimana

B"C" = '''' CBxBCAB

BA= .

A"B" = '''' BAxABAB

BA= = A'B',

∠ C" = ∠C = ∠C'. dengan demikian

∠ A" = ∠A', jadi ∠ A" = ∠ A'.

Akibat ∆ A"B"C" ≅ ∆ A'B'C' ∼ ∆ ABC.

Contoh 1.3

12

Jika AD dan BE masing-masing garis tinggi ∆ ABC buktikan bahwa

CD x CB = CE x CA.

Penyelesaian:

D E

B A

C

Gambar 1.8

Diketahui : ∆ ABC, AD dan BE garis tinggi

Buktikan : CD x CB = CE x CA

Bukti :

Lihat ∆ CAD dan ∆ CEB

∠ CDA = ∠ CEB (90°)

∠ ACD = ∠ BCE (berimpit)

Sehingga Δ CDA ∼ Δ CEA (Sd Sd).

Jadi AD : BE = AC : BC = CD : CE

↔ AC x CE = BC x CD

↔ CD x CB = CE x CA.

13

B. TEOREMA PYTHAGORAS

Setiap segitiga siku-siku mempunyai sisi-sisi yang terdiri dari 2

buah sisi siku-siku dan 1 buah sisi miring (hipotenusa).

Sisi siku-siku

C

A B

Sisi miring Sisi siku-siku

Gambar B.1

Sisi siku-siku adalah sisi yang membentuk sudut siku-siku. Pada Δ

ABC di atas, sisi siku-sikunya adalah AB dan AC. Sedangkan sisi miring

(hipotenusa) adalah sisi di hadapan sudut siku-siku. Pada ΔABC tersebut sisi

miringnya adalah BC. Perhatikan gambar berikut:

b D

A c

b

b

c C c

c b B

a2

a

a

a

a

Gambar B.2

14

Luas daerah yang tidak diarsir = luas ABCD – 4 x luas daerah yang diarsir.

Lua QRS =

⇔ a2 = (b+c) (b+c) – 4( bc)

⇔ a2 = b2 + 2 bc + c2 – 2 bc

⇔ a2 = b2 + c2

Gambar B.3

a

S R c

b

a

c

Q b P

21 x (PQ + RS) x QR

=

s trapezium P

21 (b + c) (b + c)

= 21 (b + c) 2….(1)

Luas trapezium PQRS = L.Δ Δ PTS PQT + L.Δ RST + L.

= 21 bc +

21 bc +

21 a2 = bc +

21 a2…(2)

Persamaan (2) = persam kaan (1), ma a:

15

bc + 21 a2 =

21 (b + c) 2

⇔ 2bc + a2 = (b + c) 2

⇔ 2bc + a2 = b2 + 2bc + c2

2bc

S itiga siku-siku selalu berlaku :

u-sikunya.

. TEOREMA PROYEKSI DALAM SEGITIGA SIKU-SIKU, LANCIP,

maksud dengan proyeksi suatu titik pada suatu garis adalah

titik alas

1. eksi dalam segitiga siku-siku

⇔ a2 = b2 + 2bc +c2 –

⇔ a2 = b2 + c2.

ecara umum untuk seg

Kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat sisi sik

C

DAN TUMPUL

Yang di

garis tegak lurus yang dapat diturunkan dari titik itu ke garis tersebut.

B

B' A

m

A'

Gambar C.1

Teorema proy

16

A

b p

c

t

q a

D

B

C

Gambar C.2

BD disebut proyeksi sisi siku-siku AB pada sisi BC, CD disebut proyeksi

t sisi siku-siku sama dengan hasil kali proyeksinya ke sisi

∆ BAC

90°) ;

∼ ∆ BAC → b : a = q : b

sisi siku-siku AC pada sisi BD. Dimana AB = garis c, BC = garis a, CD =

garis q, AC = garis b, BD = garis p.

Teorema:

a. Kuadra

miring dan sisi miring sendiri.

Bukti:

Lihat ∆ ADC dan

Oleh karena:

∠ D1 = ∠ A (

∠ C = ∠ C

∠ A2 = ∠ B

Maka:

∆ ADC

17

Maka b2 = qa.

b. nggi ke sisi miring sama dengan hasil kali bagian sisi

DB dan ∆ CAB

C dan ∆ BAD

q : t

c. siku-siku sama dengan kasil kali sisi miring dan garis

ADB ∼ ∆ BAC → c : a = t : b

d. ring sama dengan jumlah kuadrat kedua sisi yang lain.

Kuadrat garis ti

miring.

Bukti:

lihat ∆ A

Analog a:

lihat ∆ AD

∆ ADC ∼ ∆ BAD → t : p =

Maka t2 = pq.

Hasil kali sisi

tinggi ke sisi miring itu.

Bukti:

karena ∆

Maka bc = ta.

Kuadrat sisi mi

Dari hasil diatas maka di dapat:

b2 = qa

pac =2 +

⇔ b2 + c

2 = qa + pa

⇔ b2 + c2 = a (q + p)

⇔ b2 + c2 = a. a = a2

18

⇔ b2 + c2 = a2.

2. T i dalam segitiga lancip/tumpul

BD; BD adalah proyeksi

a2 = b2 + c2 – 2 pc

t2 = b2 – p2 dan pada Δ DBC t2 = a2 – q2

– p)2

+p2

p q

c

t

a

eorema proyeks

Diketahui Δ ABC , AD adalah proyeksi AC pada

BC pada AB, dimana AD = garis p, AC = garis b, BD = garis q, BC =

garis a, AB = garis c.

b

A D B

C

Gambar C.3

Buktikan :

b2 = a2 + c2 – 2 qc

Bukti:

Pada Δ ADC

⇔ a2 – q2 = b2 – p2

⇔ a2 = b2- p2 + q

⇔ a2 = b2 – p2 + (c

⇔ a2 = b2 – p2 + c2 – 2 cp

∴a2 = b2 + c2 – 2 pc.

19

⇔

q)2

q + q2

J

n bahwa:

2

(c + p) 2

2)

b2 – p2 = a2 – q2

⇔ b2 = a2 – q2 +(c –

⇔ b2 = a2 – q2 + c2 – 2 c

⇔ b2 = a2 + c2 – 2 qc.

ika ∠ A tumpul

C

A

b t a

c D B

Gambar C.4

q E

Maka buktika

a2 = b2 + c2 + 2 pc

Bukti:

t2 = b2 - p

⇔ t2 = a2-

⇔ b2 - p2 + a2 – (c2 + 2 pc + p

⇔ b2 = a2 - c2 – 2 pc

∴a2 = b2 + c2 + 2 pc.

20

BAB III

METODE PENELITIAN

Untuk dapat mencapai tujuan penelitian yang telah ditetapkan dan agar

penelit

i dicari sumber pustaka dan dipilih bagian dari sumber

pustaka

B.

ipilih harus “researchable” dapat arti masalh terssebut

dapt d

ian berjalan dengan lancar maka metode dan perancangan penelitian

memegang peranan yang sangat penting . sebab dengan metode penelitian akan

diperoleh data yang lengkap untuk memecahkan masalah yang dihadapi.

A. Menemukan Masalah

Dalam tahap in

sebagai suatu masalah.

Merumuskan Masalah

Masalah yang d

iselidiki, masalah perlu dirumuskan secara jelas, karena dengan

perumusan yang jelas, penelitian diharapkan dapat mengetahui variable-

variabel apa yang akan diukur dan apakah ada alat-alat ukur yang sesuai untuk

mencapai tujuan penelitian. Dengan rumus masalah yang jelas, akan dapat

dijadikan penuntun bagi langkah-langkah selanjutnya. Hal ini sesuai dengan

pandangan yang dinyatakan oleh Jack R. Fraenkel dan Norman E. wallen

(1990:23) bahwa salah satu karakteristik formulasi pertanyaan penelitian

yang baik yaitu pertanyaan penelitian harus clear. Artinya pertanyaan

penelitian yang diajukan hendaknya disusun dengan kalimat yang jelas,

artinya membingungkan. Dengan pertanyaan yang jelas akan mudah

21

mengidentifikasi variable-variabel apa yang ada dalam pertanyaan penelitian.

Dalam mengidentifikasi istilah tersebut dapat dengan:

1. Constitutive Definition, yakni dengan pendekatan kamus (dictionary

approach),

2. Contoh atau by example

3. Operational Definition, yakni mendefinisikan istilah atau variable

penelitian secara spesifik, rinci dan operasional.

Rumusan masalah dalam penelitian ini adalah: bagaimana aplikasi

Teorema Pythagoras dalam lukisan ruas garis yang tidak dapat di ukur dengan

sebuah penggaris yang merupakan dasar dari ilmu geometri.

C. Studi Pustaka

Jurnal-jurnal penelitian merupakan laporan hasil-hasil penelitian

yang dapat dijadikan sumber masalah, karena laporan penelitian yang baiknya

tentunya mencantumkan rekomendasi untuk penelitian yang lebih lsnjut, yang

berkaitan dengan penelitian tersebut. Suatu penelitian sering tidak mampu

memecahkan semua masalah yang ada, karena keterbatasan penelitian. Hal ini

menuntut adanya penelitian lebih lanjut dengan mengangkat masalah-masalah

yang belum dijawab. Selain jurnal penelitian bacaan lain seperti buku-buku

juga dapat dijadikan sumber masalah.

D. Analisis dan Pemecahan Masalah

1. Sumber Data

Sumber data primer merupakan data yang diperoleh langsung

dari sumbernya dicermati dan dicatat pertama kalinya.

22

Data sekunder merupakan data yang tidak di usahakan sendiri

oleh peniliti tetapi diperoleh oleh pihak lain.

2. Analisis Data

Langkah-langkah yang dilakukan dalam menganalisis data dapat

dilakukan dengan memadukan teori-teori yang ada dalam buku dengan

pengerjaan dengan cara lain.

3. Pengambilan Keputusan

Pengambilan keputusan dilaksanakan setelah penelitian ini

dilakukan.

E. Penarikan Simpulan

Dari sekumpulan analisis yang dilakukan sebelumnya, maka dapat

ditarik sebuah simpulan, penarikan simpulan ini berdasarkan penelitian yang

dilakukan.

23

BAB IV

PEMBAHASAN

A. Lukisan Dasar

a. Membagi suatu ruas garis menjadi dua bagian yang sama.

1. Buat busur lingkaran dengan jari-jari sama (lebih dari setengah AB

dengan pusat A dan B

2. Tarik garis CD yang memotong AB di E

3. AE = EB.

Gambar A. 1.

b. Membuat garis yang tegak lurus h dari sebuah titik P

1. Buat busur lingkaran dengan pusat P yang memotong g di dua titik

A dan B

24

2. Dengan jari-jari yang sama tadi, buatlah busur lingkaran dengan

pusat A dan B yang berpotongan di Q

3. Buat garis h melalui P dan Q

4. Garis h melalui P dan tegak lurus g

Gambar A. 2.

c. Membuat garis yang tegak lurus h dari sebuah garis g

1. Buat busur lingkaran dengan pusat p yang memotong g di dua titik

A dan B

2. Buat busur lingkaran dengan pusat A dan B dengan jari-jari yang

sama lebih dari setengah AB, yang berpotongan di C dan D

3. Buat garis h melalui P dan Q

4. Garis h melalui P dan tegak lurus g

Gambar A. 3.

25

d. Membagi sudut menjadi dua bagian yang sama

1. Buat busur lingkaran yang memotong kedua kaki ∠ A di B dan C

2. Buat busur lingkaran dengan pusat B dan C dengan jari-jari yang

sama dari tadi, yang berpotongan di D

3. AD membagi ∠ A menjadi dua sama besar

Gambar A. 4.

26

e. Pemindahan Sudut

1. Buat busur lingkaran yang berpusat A dan memotong kaki-kaki ∠

A di B dan C

2. Buat busur lingkaran dengan jari-jari AB dan titik pusat p

memotong g di Q

3. ukurkan jaraknya BC dengan jangka

4. Buat busur lingkaran dengan jarak BC sebagai jari-jari dan Q

sebagai pusat yang memotong busur tadi di R

5. tarik PR, ∠ A = ∠ P.

Gambar A. 5.

B. Melukis garis

Contoh 1:

Lukislah garis c

abx =

27

Penyelesaian:

Misal:

a

b

c

x c = a b

x : b = a : c

sesuai dengan teorema pada kesebangunan maka dapat digambar sebagai

berikut:

Gambar B. 1.

a c x

b

Lukislah garis 22 bay +=

Dari a dan b yang diketahui maka y dapat dilukiskan dengan menggunakan

Teorema Phytagoras.

Gambar B. 2.

28

a b

y

⎣

Lukiskan garis 222 yxc

abt +=

Penyelesaian:

Misal 22 yxm += dan c

abn = ,

n c = ab

c : b = a : n

Gambar B. 4 Gambar B. 5

x

y

m b

a

c n

29

Gambar B. 6.

m n

t

⎣ ⎦

C. Melukis ruas garis yang berukuran 5 satuan jika diketahui ruas garis

berukuran 7 satuan.

Dilukis ruas garis yang berukuran 7 satuan yang diketahui, misalnya:

Prosedur untuk memperoleh ruas garis yang berukuran 5 satuan diuraikan

sebagai berikut:

1. Dilukis ruas garis yang berukuran a 7 satuan apabila ruas garis yang

berukuran a satuan diketahui.

a

30

2. Lukisan ruas garis berukuran a 7 satuan.

Gambar C.1

3. setelah ruas garis a 7 satuan terlukis, maka buatlah setengah lingkaran

dengan diameter a 7 satuan, dan pindahkan Ø pada salah satu titik ujung

ruas garis a 7 satuan.

Gambar C.2

4. Setelah Ø dipindah, maka akan tampak jelas panjang ruas garis

a 7 satuan, dan a satuan. Kemudian buat setengah lingkaran dengan

31

panjang diameter ruas garis 7 satuan yang diketahui, dan pindahkan Ø

pada salah satu ujung ruas garis 7 satuan, perpanjangan garis yang

melalui sudut dan memotong lingkaran tersebut panjangnya 6 satuan,

dan sisi depan sudut Ø panjangnya 1 satuan.

Gambar C.3

5. setelah ruas garis yang panjangnya 1 satuan diketahui, maka dapat dengan

mudah melukis garis 5 satuan.

Gambar C. 4.

BAB V

PENUTUP

A. SIMPULAN

Berdasarkan pembahasan pada bab-bab sebelumnya dapat diambil

kesimpulan sebagai berikut:

1. Teorema Phytagoras

C

A B

Gambar A. 1.

Sisi siku-siku adalah sisi yang membentuk sudut siku-siku. Pada

ΔABC di atas, sisi siku-sikunya adalah AB dan AC. Sedangkan sisi miring

(hipotenusa) adalah sisi di hadapan sudut siku-siku. Pada ΔABC tersebut

sisi miringnya adalah BC. Perhatikan gambar berikut:

32

b D

a2

A

a

c

a b

a

a b

c C c

c b B

Gambar A. 2.

Luas daerah yang diarsir = luas ABCD – 4 x luas daerah yang diarsir.

⇔ a2 = (b+c) (b+c) – 4( bc)

⇔ a2 = b2 + 2 bc + c2 – 2 bc

⇔ a2 = b2 + c2

Secara umum untuk segitiga siku-siku selalu berlaku :

Kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat sisi siku-sikunya.

Teorema tersebut disebut teorema Pythagoras.

2. Teorema proyeksi dalam segitiga siku-siku

BD disebut proyeksi sisi siku-siku, AB pada sisi CB, CD disebut

proyeksi sisi siku-siku AC pada sisi CB.

Teorema:

33

A

b

p

c

t

q

a

C

D

B

Gambar A. 3.

a. Kuadrat sisi siku-siku sama dengan hasil kali proyeksinya ke sisi

miring dan sisi miring sendiri.

∆ ADC ∼ ∆ BAC → b : a = q : b

Maka b2 = qa.

a. Kuadrat garis tinggi ke sisi miring sama dengan hasil kali bagian sisi

miring.

∆ ADC ∼ ∆ BAD → t : p = q : t

Maka t2 = pq.

b. Hasil kali sisi siku-siku sama dengan kasil kali sisi miring dan garis

tinggi ke sisi miring itu.

∆ ADB ∼ ∆ BAC → c : a = t : b

Maka bc = ta.

c. Kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kedua sisi yang lain.

b2 + c2 = a2.

34

3. Teorema proyeksi dalam segitiga lancip/tumpul

Diketahui Δ ABC , p adalah proyeksi b pada c; q adalah proyeksi a pada c,

maka:

a. a2 = b2 + c2 – 2 pc

b. b2 = a2 + c2 – 2 qc

Jika ∠ A tumpul maka

p q

c

t b a

C

A D B

A

b t a

p c D B

C

q E

a2 = b2 + c2 + 2 pc.

4. Teorema-teorema 1, 2, dan 3 dapat menjawab sebuah problem pengukuran

ruas garis yang tidak mungkin dilakukan secara manual.

Metode pengerjaan dapat dijelaskan sebagai berikut:

35

a. Dilukis ruas garis yang berukuran a 7 satuan apabila ruas garis

yang berukuran a satuan diketahui.

a

b. Lukisan ruas garis berukuran a 7 satuan

c. Setelah ruas garis a 7 satuan terlukis, maka buatlah setengah lingkaran

dengan diameter a 7 satuan, dan pindahkan Ø pada salah satu titik ujung

ruas garis a 7 satuan.

d. Setelah Ø dipindah, maka akan tampak jelas panjang ruas garis

a 7 satuan, dan a satuan. Kemudian buat setengah lingkaran dengan

panjang diameter ruas garis 7 satuan yang diketahui, dan pindahkan Ø

36

pada salah satu ujung ruas garis 7 satuan, perpanjangan garis yang

melalui sudut dan memotong lingkaran tersebut panjangnya 6 satuan,

dan sisi depan sudut Ø panjangnya 1 satuan.

e. Setelah ruas garis yang panjangnya 1 satuan diketahui, maka dapat dengan

mudah melukis garis 5 satuan.

B. SARAN

1. Dalam pengerjaan sebaiknya menggunakan peralatan tulis (penggaris,

jangka, dll) yang berkualitas baik agar hasilnya maksimal.

2. Bagi peneliti sebaiknya memahami konsep teorinya terlebih dahulu.

37