MEKANIKA KUANTUM

POTENSIAL BERGANTUNG WAKTU: GAMBARAN INTERAKSI

OLEH

KELOMPOK 4

ANGGREINI

DETRIAYU VASISTA

DEYESA J DELIN

DIAN LESTARI

DOSEN PEMBIMBING

SYAFRIANI, PH.D

PENDIDIKAN FISIKA

PROGRAM PASCA SARJANA

UNIVERSITAS NEGERI PADANG

2015

i

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami ucapkan kepada Allah SWT yang telah memberikan rahmat dan

karunianyaNya sehingga kita masih diberikan kesempatan untuk mengikuti perkuliahan.

Shalawat serta salam tidak lupa disampaikan kepada Nabi Muhammad SAW yang telah

menjadi inspirasi terbesar dalam kehidupan setiap manusia.

Di dalam makalah ini, kami menyajikan makalah tentang konsep Potensial

Bergantung Waktu: Gambaran Interaksi. Atas selesainya makalah ini kami mengucapkan

terima kasih kepada semua pihak yang telah memotivasi dan membantu penyelesaian

makalah ini.

Penulis berharap makalah ini dapat bermanfaat untuk menambah pengetahuan kita.

Kami menyadari bahwa makalah ini masih terdapat banyak kekurangan yang perlu untuk

dibenahi. Oleh karena itu, kritik dan saran senantiasa kami terima untuk pengembangan

makalah berikutnya.

Padang, April 2015

Penulis

ii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL

KATA PENGANTAR .................................................................................................. i

DAFTAR ISI ................................................................................................................ ii

BAB I PENDAHULUAN ............................................................................................ 1

A. Latar Belakang Masalah ....................................................................................... 1

B. Rumusan Masalah ................................................................................................ 1

C. Tujuan Penulisan .................................................................................................. 2

D. Manfaat Penulisan ................................................................................................ 2

BAB II PEMBAHASAN ............................................................................................. 3

A. Pernyataan Masalah Potensial Bergantung Waktu ............................................... 3

B. Interaksi Gambar .................................................................................................. 4

C. Masalah Dua Keadaan yang Tergantung Waktu: Resonansi Magnetik Nuklir,

maser, dan So Forth ............................................................................................... 7

D. Maser .................................................................................................................. 12

BAB III PENUTUP .................................................................................................... 14

A. Kesimpulan ......................................................................................................... 14

B. Saran ................................................................................................................... 14

DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................ 15

1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Ilmu fisika telah dipergunakan hampir di semua bidang kehidupan manusia

seperti pada elektronika, geofisika, teknik dan sebagainya. Kenyataan tersebut terjadi

karena perkembangan ilmu fisika yang sangat pesat dengan ditandai oleh revolusi ilmu

fisika modern sekitar anal abad 20an yang kemudian melahirkan mekanika kuantum.

Mekanika kuantum membicarakan alam sebagai sistem mikroskopik yang menyelidiki

kelakuan dari partikel-partikel yang sangat kecil ukuran dan massanya seperti elektron,

proton, neutron dengan merumuskan sifat-sifat gelombang dari partikel-partikel

tersebut.

Bahasan mekanika kuantum mengenai sistem-sistem abadi yaitu apabila fungsi

Hamiltonian sistem tidak bergantung kepada waktu secara eksplisit, berasaskan

persamaan nilai eigen bagi operator Hamiltonian. Contoh penting sistem nyata adalah

osilator harmonik dan atom Hidrogen, yang mempunyai bentuk operator Hamiltonian

yang memungkinkan suatu penyelesaian persamaan nilai eigen secara tepat. Sejauh ini,

kita tidak memperdulikan masalah waktu secara eksplisit terhadap Hamiltonians.

Namun, pada dasarnya di alam banyak sekali sistem kuantum yang bergantung terhadap

waktu. Pada pembahasan kali ini kita akan melihat bagaimana menangani situasi yang

melibatkan potensi bergantung terhadap waktu.

B. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan, maka rumusan masalah pada

makalah kali ini adalah

1. Bagaimanakah pernyataan permasalahan untuk potensial bergantung waktu?

2. Bagaimanakah gambaran interaksi potensial bergantung waktu?

3. Bagaimanakah konsep permasalahan dua keadaan bergantung waktu?

4. Bagaimanakah konsep maser sebagai aplikasi dari masalah dua keadaan bergantung

waktu?

2

C. Tujuan Penulisan

Adapun tujuan penulisan dari makalah ini adalah

1. Mengetahui pernyataan permasalahan untuk potensial bergantung waktu.

2. Mengetahui gambaran interaksi potensial bergantung waktu.

3. Mengetahui konsep permasalahan dua keadaan bergantung waktu.

4. Mengetahui konsep maser sebagai aplikasi dari masalah dua keadaan bergantung

waktu.

D. Manfaat Penulisan

Manfaat Penulisan dari makalah ini adalah

1. Bagi pembaca dapat dijadikan pengalaman dan bekal ilmu pengetahuan.

2. Memenuhi persyaratan untuk mengikuti mata kuliah Mekanika Kuantum Program

Studi Magister Pendidikan Fisika Fakultas Pasca Sarjana Universitas Negeri

Padang.

3

BAB II

PEMBAHASAN

A. Pernyataan Masalah Potensial Bergantung Waktu

Pada pembahasan kali ini kita akan mempertimbangkan suatu Hamiltonian H yang

bergantung terhadap waktu, dimana kita dapat membagi Hamiltonian H menjadi dua

bagian,

𝐻 = 𝐻0 + 𝑉(𝑡), (5.5.1)

di mana 𝐻0 tidak mengandung waktu secara eksplisit. Masalah 𝑉(𝑡) = 0 diasumsikan

untuk dapat dipecahkan dalam arti bahwa energi eigenkets dan energi nilai eigen 𝐸𝑛

didefinisikan oleh

(5.5.2)

Kita mungkin tertarik dalam situasi di mana awalnya hanya salah satu energi

eigenstates 𝐻0. Misalnya, adalah populated. Dengan berjalannya waktu,

bagaimanapun, states selain akan diisi karena 𝑉(𝑡) ≠ 0, kita

tidak lagi berurusan dengan masalah "stasioner"; operator evolusi waktu tidak lagi

sesederhana 𝑒−𝑖𝐻𝑡

ℏ ketika 𝐻 itu sendiri melibatkan waktu. Cukup umum, potensial

bergantung terhadap waktu 𝑉(𝑡) dapat menyebabkan transisi ke states lain selain .

Dasar pertanyaan yang kita alamat adalah, berapa probabilitas sebagai fungsi waktu

untuk sistem yang akan ditemukan di , dengan 𝑛 ≠ 𝑖?

Secara umum, kita mungkin tertarik pada bagaimana arbitrary perubahan keadaan

ket seiring berjalannya waktu, di mana total Hamiltonian adalah jumlah 𝐻0 dan 𝑉(𝑡).

Misalkan pada t = 0, keadaan ket secara fisik sistem diberikan oleh

(5.5.3)

Jika ingin menemukan 𝑐𝑛(𝑡) untuk 𝑡 > 0 sehingga

(5.5.4)

dimana ket yang berdiri di sisi kiri untuk mendapatkan state ket dalam gambar

Schrodinger pada 𝑡 dari sistem fisik yang state ket saat 𝑡 = 0 ditemukan .

4

Seperti yang telah diketahui bahwa pada persamaan 5.5.4, telah dipisahkan

koefisien ketergantungan waktu dari .. Faktor 𝑒−𝑖𝐻𝑡

ℏ hadir bahkan jika 𝑉 tidak ada.

Dengan cara ini penulisan ketergantungan waktu menjelaskan bahwa waktu evolusi

𝑐𝑛(𝑡) adalah karena adanya 𝑉(𝑡); 𝑐𝑛 𝑡 akan identik sama dengan 𝑐𝑛(0) dan karenanya

sering independen jika 𝑉 adalah nol. Seperti yang akan kita lihat sebentar lagi,

pemisahan ini nyaman karena 𝑐𝑛(𝑡) memenuhi persamaan diferensial yang relatif

sederhana. Probabilitas untuk menemukan , dengan mengevaluasi 𝑐𝑛(𝑡) 2.

B. Interaksi Gambar

Sebelum kita membahas persamaan diferensial untuk 𝑐𝑛(𝑡), kita membahas

gambar interaksi. Misalkan kita memiliki sistem fisik sehingga state ketnya bertepatan

dengan pada 𝑡 = 𝑡0, di mana 𝑡0 sering dianggap nol. Di lain waktu, kita menunjukkan

state ket pada gambar Schrodinger oleh , dimana subscript 𝑆 mengingatkan kita

bahwa kita berhadapan dengan keadaan ket gambaran Schrodinger.

Kita sekarang mendefinisikan

(5.5.5)

di mana berdiri untuk state ket yang mewakili situasi fisik yang sama pada gambar

interaksi. Pada 𝑡 = 0, jelas bertepatan dengan . Untuk operator

(mewakili diamati), kita mendefinisikan yang diamati pada gambar interaksi sebagai

(5.5.6)

Secara khusus,

(5.5.7)

di mana 𝑉 tanpa subscript dipahami sebagai potensial bergantung terhadap waktu pada

gambar Schrodinger. Kita mungkin di sini ingat bahwa hubungan antara gambar

Schrodinger dan gambar Heisenberg:

(5.5.8)

(5.5.9)

5

Perbedaan mendasar antara (5.5.8) dan (5.5.9) di satu sisi dan (5.5.6) dan

(5.5.7) di sisi lain adalah bahwa 𝐻 daripada 𝐻0 muncul dalam eksponensial.

Kita sekarang menurunkan persamaan diferensial mendasar yang mencirikan

evolusi waktu state ket dalam gambar interaksi. Mari kita meluangkan waktu untuk

menurunkan (5.5.5) dengan penuh 𝐻 yang diberikan oleh (5.5.1):

(5.5.10)

Jadi kita melihat

(5.5.11)

yang merupakan persamaan Schrodinger seperti dengan total 𝐻 digantikan oleh 𝑉𝐼

Dengan kata lain , akan menjadi ket tetap dalam waktu jika 𝑉𝐼 tidak hadir.

Kami juga dapat menunjukkan untuk mengamati A (yang tidak mengandung waktu t

secara eksplisit dalam gambar Schrodinger).

(5.5.12)

yang merupakan persamaan Heisenberg seperti dengan 𝐻 digantikan oleh 𝐻0.

Dalam banyak hal, gambaran interaksi, atau gambar Dirac adalah penengah antara

gambar Schrodinger dan gambar Heisenberg. Hal tersebut terlihat jelas pada Tabel 5 .2

Pada gambar interaksi kita terus menggunakan sebagai basis kets. Jadi kita

memperluas sebagai berikut:

(5.5.13)

6

Dengan t0 ditetapkan sama dengan 0, kita melihat bahwa cn (t) sama dengan cn (t) pada

persamaan (5.5.4), karena dapat dengan mudah diverifikasi dengan mengalikan kedua

sisi (5.5.4) dengan 𝑒𝑖𝐻0𝑡/ℏ menggunakan persamaan (5.5.2).

Kita dapat menulis persamaan diferensial untuk cn(t). Dengan mengalikan kedua sisi

(5.5.11) dengan 𝑛| pada ruas kiri, sehingga diperoleh

5.5.14

Dapat juga ditulis menggunakan

Atau

Dari 5.5.13

5.5.15

Dimana

5.5.16

Secara eksplisit

5.5.17

Ini adalah dasar persamaan diferensial tambahan yang harus diselesaikan untuk

mendapatkan probabilitas untuk memperoleh | 𝑛 sebagai fungsi dari t.

7

C. Masalah Dua Keadaan yang Tergantung Waktu: Resonansi Magnetik Nuklir,

maser, dan So Forth

Pemecahan masalah yang tepat untuk potensial tergantung waktu agak jarang

diperoleh. Dalam kebanyakan kasus kita harus mempergunakan ekspansi pertubasi

untuk memecahkan persamaan diferensial bergandeng (5.5.17) seperti yang akan kita

bahas pada bagian berikutnya. Masalah penting praktis yang sangat besar, yang dapat

diselesaikan dengan tepat untuk dua keadaan adalah potensial berosilasi secara

sinusoidal.

Masalah didefinisikan dengan

5.5.18

Dimana 𝛾 dan 𝜔 adalah nyata dan positif. Berdasarkan persamaan 5.5.14 dan 5.5.15

maka

5.5.19

Dengan demikian kita memiliki potensial yang tergantung waktu yang

menghubungkan dua energy eigenstates dari Ho. Dengan kata lain, kita dapat memiliki

transisi antara kedua keadaan | 1 ⇆ | 2 .

Solusi yang tepat untuk masalah ini tersedia. Jika pada t = 0 ditempati oleh tingkat

rendah [lihat (5.5.3)]

5.5.20

maka probabilitas untuk menemukan dua keadaan diberikan oleh (Persamaan Rabi, I.I.

Rabi merupakan penemu dari teknik sinar molekul)

5.5.21

8

Dimana

5.5.22

Mari kita lihat di |𝑐2|2sedikit lebih dekat. Probabilitas untuk menemukan keadaan atas

E2 menunjukkan ketergantungan waktu osilator dengan frekuensi sudut, dua kali lipat

dari

5.5.23

Amplitudo osilasi sangat besar ketika :

5.5. 24

yaitu, di mana frekuensi sudut dari potensi biasanya disebabkan oleh faktor luar

diterapkan pada listrik atau medan magnet hampir sama dengan karakteristik frekuensi

sudut dari dua sistem. Persamaan (5.5.24) karena itu dikenal sebagai kondisi resonansi.

Ini adalah pelajaran untuk melihat (5.5.2 la) dan (5.5.2 lb) sedikit lebih dekat tepat pada

resonansi:

5.5.25

Kita dapat merencanakan |c1(t)|2 dan |c2(t)|

2 sebagai fungsi dari t, lihat Gambar 5.4.

Dari t =0 sampai t= πћ/2γ, sistem dua tingkat menyerap energi dari potensial V

tergantung waktu V(t); |c1(t)|2 menurun dari kesatuan sebagai |c2(t)|

2. Pada t= πћ/2γ,

hanya kondisi atas dihuni. Dari t= πћ/2γ sampai t= πћ/γ, sistem memberikan energi

berlebih untuk V(t); |c2|2 menurun dan |c1|

2 meningkat. Siklus penyerapan emisi ini

diulang tanpa batas waktu, seperti juga ditunjukkan pada Gambar 5.4, sehingga V (t)

dapat dianggap sebagai sumber atau tenggelam energy dimasukkan ke dalam cara lain,

V (t) dapat menyebabkan transisi dari |1› sampai |2› (penyerapan) atau dari |2› sampai

9

|1› (emisi). Kami akan kembali ke sudut pandang ini ketika kita membahas emisi dan

penyerapan radiasi.

Siklus penyerapan emisi berlangsung bahkan jauh dari resonansi. Bagaimana

pernah, amplitudo osilasi untuk |2› kini berkurang, |c2(t)|2

max tidak lagi 1, dan |c1(t)|2

tidak turun semua jalan ke 0. Pada Gambar 5.5 kita plot |c2(t)|2

max sebagai fungsi ω.

Kurva ini memiliki puncak resonansi berpusat di sekitar ω=ω21, dan

lebar penuh pada setengah maksimum diberikan oleh 4γ/ћ. Perlu dicatat bahwa potensi

lemah tergantung waktu (γ kecil), yang puncak resonansinya sempit.

GAMBAR 5.4 Plot |c1(t)|2

dan |c2(t)|2

terhadap waktu t tepat pada resonansi ω=ω21

dan Ω = γ/ћ, grafik juga perilaku bolak-balik antara |1› dan |2› .

GAMBAR 5.5 Grafik |c2(t)|2

max sebagai fungsi dari ɷ, dimana ω=ω21 sesuai

dengan frekuensi resonansi.

10

Spin Resonansi Magnetik

Masalah dua situasi yang didefinisikan oleh (5.5.18) memiliki banyak aplikasi

fisik. Sebagai contoh pertama, pertimbangkan spin ½ sistem mengatakan terikat

eleKtron, dikenakan medan magnet seragam waktu sendiri dalam arah z dan, di samping

itu, medan magnet tergantung t berputar di bidang xy.

5.5.26

dengan B0 dan konstan B1. Kita dapat mmperoleh efek seragam waktu mandiri H0

dan efek dari medan putar sebagai V. Untuk :

5.5.27

Kita mempunyai,

5.5.28

Dimana kita menggunakan ket-bra dari 2Sj/ћ (lihat 3.2.1). Dengan e<0,E+ sebuah energi

yang besar dari pada E_ , dan kita bisa mengidentifikasi :

(level tinggi)

(level rendah)

untuk membuat surat untuk notasi (5.5.18). Karakteristik frekuensi sudut sistem dua

kondisi adalah :

5.5.30

yang hanya frekuensi spin-presesi untuk 𝐵0 ≠ 0, 𝐵1 = 0 masalah sudah dibahas di

Bagian 2.1. Meskipun nilai harapan (Sx, y) perubahan karena presesi berputar ke arah

11

berlawanan (dilihat dari z-sisi positif), |𝑐+|2 dan |𝑐−|2tetap tidak berubah karena tidak

adanya lapangan berputar. Kita sekarang menambahkan fitur baru sebagai hasil dari

bidang berputar: |𝑐+|2 dan |𝑐−|2melakukan perubahan sebagai fungsi waktu. Hal ini

dapat dilihat dengan mengidentifikasi

5.5.31

untuk membuat korespondensi dengan notasi (5.5.18); tergantung waktu kita

berinteraksi (5.5.28) dalam bentuk (5.5.18). Fakta bahwa |𝑐+|2 dan |𝑐−|2 bervariasi

dengan cara yang ditunjukkan oleh Gambar 5.4 untuk 𝜔 = 𝜔12 dan korespondensi

(5.5.29), misalnya, menunjukkan bahwa spin 1/2 sistem mengalami suksesi spin-flip,

| + ⇄ | − selain spin presesi. Semiklasik, spin-flip semacam ini dapat diartikan sebagai

akibat torsi yang diberikan dengan memutar B.

Kondisi resonansi dipenuhi jika frekuensi medan magnet yang melakukan rotasi

bertepatan dengan frekuensi spin presesi ditentukan oleh kekuatan medan magnet

seragam. Kita melihat bahwa kemungkinan spin-flip sangat besar.

Dalam prakteknya, medan magnet berputar mungkin sulit untuk melakukan

eksperimental. Untungnya, medan-magnet untuk daerah horizontal berosilasi, dalam

arah x-sama baiknya. Untuk melihat ini, pertama-tama kita perhatikan bahwa medan

osilasi tersebut dapat diuraikan menjadi komponen berlawanan dan komponen searah

jarum jam sebagai berikut:

5.5.32

Kita bisa mendapatkan efek dari komponen berlawanan hanya dengan membalikkan

tanda co. Misalkan kondisi resonansi terpenuhi untuk komponen berlawanan

5.5.33

Di bawah kondisi eksperimental khas

5.5.34

yang berarti, dari (5.5.30) dan (5.5.31), yang

5.5.35

12

Akibatnya, setiap kali kondisi resonansi terpenuhi untuk komponen berlawanan, efek

dari komponen searah jarum jam menjadi benar-benar diabaikan, karena jumlah untuk

bersama 𝜔 → −𝜔, dan amplitudo menjadi kecil besarnya serta sangat cepat berosilasi.

Masalah resonansi telah dipecahkan sangat penting mendasar dalam menafsirkan

sinar molekul atom dan percobaan resonansi magnetik nuklir. Dengan memvariasikan

frekuensi medan osilasi, adalah mungkin untuk membuat pengukuran yang sangat tepat

dari momen magnetik. Kami telah berdasarkan diskusi kita pada solusi untuk persamaan

diferensial (5.5.17); masalah ini juga dapat diselesaikan, mungkin lebih elegan, dengan

memperkenalkan representasi sumbu berputar Rabi, Schwinger, dan Van Vleck.

D. Maser

Aplikasi lain dari masalah dua keadaan tergantung waktu, mari kita perhatikan

maser. Secara khusus, kita mempertimbangkan sebuah molekul amonia NH3, yang-

memiliki dua eigenstates paritas | 𝑆 dan | 𝐴 berdekatan dimana | 𝐴 sedikit lebih tinggi.

𝜇𝑒𝑙 menjadi operator dipol listrik dari molekul. Dari pertimbangan simetri kita berharap

bahwa 𝜇𝑒𝑙 sebanding dengan x, operator posisi atom N. Interaksi dasar seperti 𝜇𝑒𝑙 E, di

mana untuk maser sebuah, E adalah medan listrik tergantung waktu dalam rongga

microwave

5.5.36

Hal ini sah untuk mengabaikan variasi spasial E karena panjang gelombang di

wilayah microwave jauh lebih besar dari dimensi molekul. Frekuensi w disetel dengan

perbedaan energi antara | 𝐴 dan | 𝑆

5.5.37

Unsur-unsur matriks diagonal dari operator dipol lenyap oleh paritas:

5.5.38

namun unsur diagonal off, secara umum, non lenyapnya

5.5.39

Ini berarti bahwa ada potensial tergantung waktu yang menghubungkan | 𝑆 dan | 𝐴 dan

masalah dua keadaan yang kita bahas sebelumnya sekarang berlaku.

13

Kita sekarang dalam posisi untuk membahas bagaimana maser bekerja.

Mengingat sinar molekul NH3 yang mengandung |𝑆 dan| 𝐴 . Pertama eliminasi

komponen |𝑆 dengan membiarkan sinar melewati wilayah medan listrik homogen yang

bebaas waktu. Memisahkan medan listrik |𝑆 dan| 𝐴 dapat dilakukan dengan banyak

cara yang sama seperti medan magnet homogen dalam percobaan memisahkan Stern-

Gerlach | + dan| − . Sebuah sinar murni | 𝐴 kemudian memasuki rongga microwave

disetel dengan perbedaan energy 𝐸𝐴 − 𝐸𝑠. Dimensi dari rongga adalah sedemikian rupa

sehingga waktu yang dihabiskan oleh molekul hanya (𝜋/2)ℏ/𝛾.

Sebagai hasilnya kita tinggal di fase emisi pertama dari Gambar 5.4; kita dapat

lihat bahwa |𝐴 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 | 𝑆 . Kelebihan energy dari |𝐴 diberikan pada potensi

tergantung waktu sebagai |𝐴 berubah menjadi | 𝑆 . dan energi radiasi (microwave)

keuntungan lapangan. Dengan cara ini kita mendapatkan microwave amplifikasi oleh

emisi terstimulasi dari radiasi, atau maser.

Ada banyak aplikasi lain dari masalah dua keadaan yang tergantung waktu,

seperti jam atom dan pemompa optik. Bahkan ada empat Hadiah Nobel dalam fisika

telah diberikan kepada mereka yang mengeksploitas sistem dua keadaan tergantung

waktu dari beberapa bentuk.

14

BAB III

PENUTUP

A. Kesimpulan

Dari pembahasan di atas, kita dapat mengambil beberapa kesimpulan,

diantaranya:

1. Suatu Halmitonian H yang bergantung terhadap waktu dapat ditulis:

𝐻 = 𝐻0 + 𝑉(𝑡)

2. Gambaran interaksi, atau gambar Dirac adalah penengah antara gambar Schrodinger

dan gambar Heisenberg. Pada gambar interaksi kita terus menggunakan sebagai

basis kets. Jadi kita memperluas sebagai berikut:

3. Pemecahan masalah yang tepat untuk potensial tergantung waktu agak jarang

diperoleh. Kebanyakan kasus kita harus mempergunakan ekspansi pertubasi untuk

memecahkan persamaan diferensial bergandeng atau dapat juga diselesaikan

dengan potensial berosilasi secara sinusoidal.

4. Aplikasi dari masalah dua keadaan tergantung waktu disebut dengan maser.

Dimana sebuah molekul amonia NH3, yang memiliki dua eigenstates paritas | 𝑆

dan | 𝐴 . Kelebihan energy dari |𝐴 diberikan pada potensi tergantung waktu

sebagai |𝐴 berubah menjadi | 𝑆 dan energi radiasi (microwave). Dengan cara ini

kita mendapatkan microwave amplifikasi oleh emisi terstimulasi dari radiasi, atau

maser.

B. Saran

Penulis menyadari bahwa makalah ini masih banyak kekurangannya baik dari segi

penyajian maupun penulisannya. Untuk itu, kritik dan saran yang bersifat membangun

dari semua pihak sangat penulis harapkan demi kesempurnaan makalah ini.

15

DAFTAR PUSTAKA

Sakurai, J. J. and Napolitano, Jim. 2011. Modern Quantum Mechanics, 2nd Edition.

John Wiley & Sons.