Dalam ruangan fokus, anda telah diberi informasi mengenai 3D dan juga polyhedra. Terdapat lima polyhedral yang dikenali sebagai pepejal platonik (platonic solid). Ia terdiri daripada tetrahedron, hexahedron(kubus), octahedron, dodecahedron dan icosahedrons. Platonik ini mempunyai keistimewaaannya yang tersendiri.

Gambar 1 : Pepejal Platonik (Sumber:Wikipedia)

Apakah yang membuatkan pepejal platonik ini istimewa?

Platonik adalah satu-satunya polyhedra yang mempunyai permukaan yang sama. Setiap permukaan adalah sama dengan permukaan yang lain. Sebagai contoh, kubus adalah sebuah pepejal platonik kerana kesemua enam permukaannya adalah sama antara satu sama lain.

Setiap permukaan yang sama akan bertemu di setiap bucu iaitu puncak. Sebagai contoh, tiga segi tiga sama sisi bertemu di setiap puncak suatu tetrahedron.

Tidak ada polyhedra lain yang memenuhi kedua-dua kondisi tersebut selain pepejal platonik. Cuba kita lihat prisma pentagonal. Prisma ini hanya memenuhi syarat yang kedua, iaitu tiga permukaan bertemu di setiap puncak, namun begitu syarat yang pertama tidak dipenuhi kerana setiap permukaannya tidak sama - ada yang berbentuk pentagon dan ada pula yang berbentuk segi empat tepat.

Gambar 2 : Pentagonal

Berikut adalah ciri-ciri yang dimiliki oleh lima politonik tersebut:

Jadual 1 : Ciri-ciri Platonik

Cuba kita lihat pula jadual dibawah, berapa ramaikah manusia yang diperlukan untuk membentuk satu bentuk polyhedron? Menakjubkan bukan?

Jadual 2 : Bilangan minimum manusia yang diperlukan untuk membentuk Platonik

Sumber : humangeometry.com

Bolehkah anda berikan contoh lain, iaitu bilangan yang diperlukan untuk membentuk polyhedron. Contohnya 12 batang pensil diperlukan untuk membentuk sebuah hexahedron.

Tiga dimensiDitulis oleh Nadiah bte Bahardin Selasa, 09 Mac 2010 08:42

"Geometry is the pure mathematics of points and lines and curves and surface" sumber:wordnetweb.princeton.edu/perl/webwn Menurut petikan diatas geometri adalah gabungan titik, garisan, lengkuk dan permukaan. Tahukah anda bahawa tiga dimensi juga adalah salah satu aplikasi daripada geometri?. Kita sebenarnya hidup di dunia yang penuh dengan objek tiga dimensi. Setiap objek yang kita nampak, pasti kita boleh melihat ataupun menyentuhnya. Objek-objek ini adalah objek tiga dimensi yang boleh diukur dari segi panjang, lebar, dan tinggi. Cuba anda lihat bilik yang anda duduk sekarang ini, bilik anda sebenarnya penuh dengan objek tiga dimensi. Betul ke tidak?. Monitor yang anda gunakan adalah salah satu contoh objek yang mempunyai tiga dimensi. Malah, pakaian yang anda pakai juga dicipta khusus untuk manusia dengan dimensi. Dalam dunia ini, sebenarnya ada banyak bentuk geometri tiga dimensi di sekeliling kita. Sedarkah anda objek-objek tiga dimensi di sekeliling anda? Oleh itu, pada ruangan fokus kali ini kita akan berkongsi mengenai bentuk tiga dimensi ataupun lebih dikenali sebagai 3D. Kita akan berkongsi beberapa terminologi yang digunakan untuk menggambarkan objek 3D ini. Terdapat banyak jenis bentuk 3D. Salah satu jenisnya adalah polyhedra Anda pasti sudah

biasa melihat bola dan dadu. Bola dan dadu adalah contoh polyhedra. Tahukah anda apakah itu polyhedra? Polyhedra ialah objek tiga dimensi yang permukaannya berbentuk poligon. Contohnya seperti prisma dan piramid. Prisma dan piramid mempunyai permukaan yang berbentuk segitiga. Segitiga ini ialah salah satu contoh poligon. Dadu adalah satu contoh objek yang berbentuk kubus. Manakala, pemain DVD adalah satu contoh lain objek yang berbentuk kuboid. Bola sepak pula adalah satu objek yang permukaannya berbentuk icosahedron. Bentuk-bentuk ini juga adalah contoh polyhedra. Objek tiga dimensi yang permukaannya berbentuk poligon dikenali sebagai polyhedron. Istilah ini berasal daripada perkataan Greek , poli yang bermaksud "banyak," dan hedron, yang bermaksud "muka". Jadi, secara amnya, sebuah polyhedron adalah objek tiga dimensi yang mempunyai banyak permukaan. Contohnya seperti kubus dan kuboid.Permukaan sebuah kubus terdiri daripada beberapa segi empat sama. Manakala, permukaan kuboid pula terdiri daripada gabungan beberapa segi empat tepat. Bolehkah anda faham apa yang dikatakan dengan tiga dimensi dan polyhedron? Cuba anda berikan contoh-contoh lain disekeliling kita yang yang berbentuk polyhedron.sejarah platonikDitulis oleh Nadiah bte Bahardin Selasa, 09 Mac 2010 08:43

Salam sejahtera Pernahkah anda melihat bentuk tetrahedron dan hexahedron? Dalam ruangan statistik, kita telah berkongsi informasi mengenai pepejal Platonik, mari kita singkap pula bagaimana kemunculan pepejal Platonik pula. Pepejal Platonik ini sangat terkenal sejak zaman dahulu lagi. Jika kita lihat model hiasan pada zaman dahulu, kita boleh menemui bola-bola batu berukir dicipta oleh orang-orang Neolitik Scotland kira-kira 1000 tahun sebelum era Plato.

Pada zaman Greek purba, ahli matematik mereka telah menemui dan membuat rumusan secara menyeluruh mengenai pepejal Platonik ini. Terdapat beberapa sumber yang menyokong penemuan mereka contohnya seperti Proclus dan Pythagoras. Bukti lain pula menunjukkan bahawa mereka mungkin hanya menemui bentuk tetrahedron, kubus, dan dodecahedron sahaja, manakala penemuan oktahedron dan ikosahedron dijumpai oleh Theaetetus. Theaetetus telah memberikan keterangan matematik dengan jelas mengenai

kesemua lima bentuk pepejal Platonik dan merupakan orang pertama yang berjaya membuktikan pepejal Platonik adalah polyhedra biasa yang tidak mempunyai kecembungan (convex).

Platonik banyak menonjol dalam falsafah Plato. Plato menulis mengenai Platonik dalam dialog Timaeus kira-kira 360 SM di mana setiap Platonik itu berkait rapat dengan empat elemen klasik iaitu tanah, udara, air, dan api. Bumi digambarkan dengan kubus, udara dengan oktahedron, air dengan ikosahedron, dan api dengan tetrahedron. Terdapat gambaran yang tersirat di sebalik gambaran tersebut contohnya kepanasan api; terasa tajam dan menusuk (seperti bentuk tetrahedra). Udara yang diperbuat daripada oktahedron; komponen yang sangat kecil sangat halus yang hampir tidak dapat disentuh. Air, ikosahedron, mengalir keluar daripada salah satu jari apabila di pegang, seolah-olah itu adalah diperbuat daripada bola-bola kecil.

Platonik dan simbolik

Euclid juga turut memberikan keterangan yang lengkap mengenai PLATONIK dalam bukunya yang bertajuk Element. Didalam buku tersebut terdapat gambaran yang jelas bagaimana perkembangan dan pembangunan mengikut urutan tetrahedron, oktahedron, kubus, ikosahedron, dan dodekahedron. Untuk setiap pepejal, Euclid menemukan nisbah diameter ukur lilit bulatan dengan setiap sisi tepi. Beliau juga berpendapat seperti Theaetetus dimana Platonik adalah polyhedra biasa yang tidak ada bentuk cembung .

Gambaran awal platonik

Kesimpulannya, sejarah platonik ini sebenarnya bermula daripada penemuan orang Greek Kemudian idea-idea ini dikembangkan oleh ahli matematik yang lain dan dikaji oleh mereka. Plato telah membincangkan idea ini secara serius. Lalu beliau menamakan objek-objek ini sebagai Platonic Solid sempena nama beliau. Begitulah asal usul platonik.

3D ShapesThere are many types of three-dimensional shapes. You've surely seen spheres and cubes before. In this lesson, you'll learn about polyhedra three-dimensional shapes whose faces are polygons and you'll also learn about two special types of polyhedra: prisms and pyramids.

PolyhedraA die is in the shape of a cube. A portable DVD player is in the shape of a rectangular prism. A soccer ball is in the shape of a truncated icosahedron. These shapes are all examples of polyhedra. A three-dimensional shape whose faces are polygons is known as a polyhedron. This term comes from the Greek words poly, which means "many," and hedron, which means "face." So, quite literally, a polyhedron is a threedimensional object with many faces. The faces of a cube are squares. The faces of a rectangular prism are rectangles. And the faces of a truncated icosahedron are pentagons and hexagons there are some of each.

The other parts of a polyhedron are its edges, the line segments along which two faces intersect, and its vertices, the points at which three or more faces meet.

3D ShapesPrisms

Next: Explore Prisms

A prism is a polyhedron for which the top and bottom faces (known as the bases) are congruent polygons, and all other faces (known as the lateral faces) are rectangles. (Technically, when the sides are rectangles, the shape is known as a right prism, indicating that the lateral faces meet the sides of the base at right angles. In this lesson, when we use the term prism, we mean a right prism. But there are other types of prisms, too.) A prism is described by the shape of its base. For instance, a rectangular prism has bases that are rectangles, and a pentagonal prism has bases that are pentagons.

Explore & Play with PrismsUse the animation below to explore the properties of four prisms. Follow the instructions below to change the direction and speed of the prism's rotation and to highlight the numbers of faces (F), vertices (V), and edges (E) for each prism.

3D ShapesPyramidsA pyramid is a polyhedron for which the base is a polygon and all lateral faces are triangles. In this lesson, we'll only concern ourselves with pyramids whose lateral faces are congruent that is, they're the same size and shape. Technically, when the lateral faces are congruent triangles, the shape is known as a right pyramid, indicating that the apex the vertex at which the lateral faces meet is directly above the center of the base. In this lesson, when we use the term pyramid, we mean a right pyramid. But there are other types of pyramids, too. A pyramid is typically described by the shape of its base. For instance, a triangular pyramid has a base that is a triangle, and a hexagonal pyramid has a base that is a hexagon.

Explore & Play with PyramidsUse the animation below to explore the properties of four pyramids. Follow the instructions below to change the direction and speed of the prism's rotation and to highlight the numbers of faces (F), vertices (V), and edges (E) for each prism.

Euler's TheoremYou've already learned about many polyhedra properties. All of the faces must be polygons. Two faces meet along an edge. Three or more faces meet at a vertex. In this lesson, you'll learn about a property of polyhedra known as Euler's Theorem, because it was discovered by the mathematician Leonhard Euler (pronounced "Oil-er"). You already know that a

polyhedron has faces (F), vertices (V), and edges (E). But Euler's Theorem says that there is a relationship among F, V, and E that is true for every polyhedron. That's right every polyhedron, from a triangular prism to a hexagonal pyramid to a truncated icosahedron. Euler's Theorem actually played a role in a notable discovery. In some chemistry experiments, a group of researchers believed that they had found a new molecule with the exact weight of 60 carbon atoms. Although they couldn't see this molecule, they speculated that its shape was a truncated icosahedron a "soccer ball" in which 60 carbon atoms (vertices) were joined together by 90 bonds (edges). From Euler's Theorem, they then knew that the atoms must be arranged to form a spherical soccer ball with 32 faces, some of them hexagons and some pentagons.

Discover this formula for yourself...In the activity below, choose a prism from the top row and then hit the play button to watch its net fold up to form the corresponding three-dimensional shape. Hit the pause button at any time to freeze the animation. Use the animation to help you count the number of faces (F), vertices (V), and edges (E) for each prism. Then, enter these values into the appropriate boxes in the table to the right. Fill in each square and press the enter/return key. Feedback will be given immediately. As in the other activities, if your calculation is wrong, your answer will appear in red and you will be given two hints and two more chances before the correct answer is displayed. Look for a pattern in the row as you input numbers; after correctly completing three rows, you will be given an opportunity to express this pattern in an equation. Or, you may continue working on the table until you are able to identify the pattern.

Surface AreaRectangles

The surface area of a polyhedron is equal to

the sum of the area of all of its faces. Said another way, the surface area is the total area covered by the net of a polyhedron. Let's take a look at a cube. As you already know, a cube has six square faces. If each of those faces is 3 inches by 3 inches, then the area of each face is 3 3 = 9 square inches. And since there are six of them, the total surface area is 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 = 54 square inches. To find the surface area of any shape, you can follow the process described below: 1. Draw a net of the polyhedron. 2. Calculate the area of each face. 3. Add up the area of all the faces. But for many polyhedra, there are formulas that can be used to find the total surface area. For instance, the formula for the surface area of a cube is: SAcube = 6s2 where s is the side length of the square faces.

Explore & Play with Surface AreaIn the animation below, hit the play button to watch the net fold up into a threedimensional prism. Hit the pause button at any time to freeze the animation. Then, in the diagram to the right, calculate and enter the value for each face of the prism. Upon hitting the enter key, if your calculation is wrong, your answer will appear in red and you will be given two hints and two more chances before the correct answer is displayed.