plagiat merupakan tindakan tidak terpuji · makalah pemodelan matematika mengenai masalah konduksi...

i

PEMODELAN MATEMATIKA MENGENAI MASALAH KONDUKSI

PANAS

Makalah

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program studi matematika

Oleh

Erlika Priyati

093114009

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

2014

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ii

MAKALAH

PEMODELAN MATEMATIKA MENGENAI

MASALAH KONDUKSI PANAS

Oleh:

Erlika Priyati

NIM: 093114009

Telah disetujui oleh:

Pembimbing

Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si.,M.Si. Tanggal 21 Juli 2014


iii

MAKALAH

PEMODELAN MATEMATIKA MENGENAI

MASALAH KONDUKSI PANAS

Dipersiapkan dan ditulis oleh:

Erlika Priyati

NIM: 093114009

Telah dipertahankan didepan Panitia Penguji

pada tanggal 24 Juli 2014

dan dinyatakan telah memenuhi syarat

Susunan Panitia Penguji

Nama Lengkap Tanda Tangan

Ketua Hartono,Ph.D. ………………

Sekretaris Sudi Mungkasi,Ph.D. ………………

Anggota Lusia Krismiyati Budiasih,S.Si., M.Si. ………………

Yogyakarta, 24 Juli 2014

Fakultas Sains dan Teknologi

Universitas Sanata Dharma

Dekan,

(P.H. Prima Rosa, S.Si., M.Sc.)


iv

HALAMAN PERSEMBAHAN

Karya ini adalah tugu peringatan akan kesetiaan Tuhan Yesus dalam hidupku.

“Sebab Engkau bukit batuku dan pertahananku, dan oleh karena-Mu

Engkau akan menuntun dan membimbing aku.”

(Mazmur 31:4)

“Engkaulah persembunyianku dan perisaiku;

aku berharap kepada firman-Mu.”

(Mazmur 119:114)

Karya ini aku persembahkan untuk:

Orang-orang terkasih: keluarga besar mbah Margono,

simbah, bapak, mami, Septi, dan denok

Orang-orang terhebat: sahabat-sahabat matematika 2009


v

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa makalah yang saya tulis ini tidak

memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam

kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.


Penulis

Erlika Priyati


vi

ABSTRAK

Topik yang dibahas dalam makalah ini adalah pemodelan matematika

mengenai masalah konduksi panas. Masalah panas sering ditemukan pada

berbagai peristiwa, dan seringkali dihubungkan dengan suhu. Beberapa masalah

yang memuat pemanasan dan pendinginan seringkali dihubungkan dengan

konduksi panas. Konduksi panas merupakan proses perpindahan panas dari daerah

yang bersuhu tinggi ke daerah yang bersuhu rendah dalam suatu media. Media

tersebut dapat berupa zat padat, zat cair dan zat gas.

Panas dan suhu mempunyai hubungan yang sangat erat. Suhu merupakan

suatu besaran untuk mengukur panas. Perpindahan panas merupakan proses

perpindahan energi yang mengalir pada suhu yang berbeda, energi yang mengalir

tersebut disebut juga energi panas atau panas. Bila sebuah media dikenai panas

maka suhu media menjadi naik. Demikian juga sebaliknya, suatu media menjadi

dingin akibat suhu yang turun karena panas yang hilang ke sekitarnya.

Pada model pendinginan air, suhu akan turun mendekati suhu di

sekitarnya. Model ini dikatakan baik karena jika dibandingkan dalam keadaan

real, hasil dari model sudah mendekati keadaan real. Untuk model pemanas air,

jika air dipanaskan dalam waktu yang sangat lama maka suhunya akan menjadi

sangat tinggi. Model ini dikatakan kurang baik karena jika air dipanaskan dalam

waktu yang sangat lama akan menjadi habis karena adanya penguapan. Untuk

masalah konduksi panas melalui dinding, model ini membahas tentang distribusi

suhu terhadap ketebalan dinding dan merupakan fungsi linear. Model konduksi

panas melalui dinding dikatakan baik hanya untuk ketebalan dinding tertentu.

Model konduksi panas radial merupakan fungsi logaritma. Model ini berlaku

untuk kondisi suhu setimbang.


vii

ABSTRACT

Topics covered in this paper is the mathematical modeling of heat

conduction problems. Heat problems often found in a variety of events, and is

often associated with temperature. Some of the problems of heating and cooling

load are often associated with heat conduction. Heat conduction is the process of

heat transfer from the high temperature to the low temperature in a media. The

media can be a solid, liquid and gas substances.

Heat and temperature have a very close relationship. Temperature is a

quantity to measure the heat. Heat transfer is the process of energy transfer that

flows at different temperatures, the flow of energy is also called thermal energy or

heat. When a media receive heat then the temperature of media will be rise.

Conversely, a media will be cool down due to temperature because heat is lost to

the surrounding.

In the model of cooling water, the temperature will decrease closer to the

surrounding temperature. This model is said to be good because if it is compared

to the real situation, the result of model will approach the real situation. For model

of the water heater, if the water is heated in a very long time, the temperature will

be very high. This model is said to be less good because if the water is heated in a

very long time, if will be depleted due to evaporation. For the problem of heat

conduction through the wall, it is model about the temperature distribution of the

wall thickness, which is a linear function. Model of heat conduction through the

walls said to be good only for a certain wall thickness. Radial heat conduction

model is a logarithmic function. This model applies to the condition of

equilibrium temperature.


viii

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN

PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN

AKADEMIS

Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma:

Nama: Erlika Priyati

NIM: 093114009

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan

Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul:

Pemodelan Matematika Mengenai Masalah Konduksi Panas

beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan

kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma untuk menyimpan,

mengalihkan ke dalam bentuk media lain, mengelolanya dalan bentuk pangkalan

data, mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikannya di internet atau

media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta ijin dari saya

maupun memberikan royalti kepada saya selama tetap menyantumkan nama saya

sebagai penulis.

Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.

Dibuat di Yogyakarta

Pada tanggal : 21 Juli 2014

Yang menyatakan

(Erlika Priyati)


ix

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus yang selalu

memberikan hikmat dan menyertai penulis sehingga penulis mampu

menyelesaikan makalah ini dengan lancar dan baik. Makalah ini dimaksudkan

untuk memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan pendidikan Strata 1 (S1)

dan memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematika di

Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

Penulis menyadari bahwa proses penulisan makalah ini melibatkan banyak

pihak. Oleh karena itu pada kesempatan ini penulis sudah selayaknya

mengucapkan terima kasih kepada:

1. Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si. selaku Ketua Program Studi

Matematika dan dosen pembimbing, yang senantiasa sabar dalam

membimbing dalam menyelesaikan makalah ini.

2. Bapak, Ibu, dan Romo, dosen-dosen yang telah memberi pengetahuan

kepada penulis selama proses kuliah ini.

3. Keluarga besar mbah Margana, terutama untuk Alm. St. Darmawidjaja Pr.

(pakdhe sus), Br. Michael Pudyartana (pakdhe pud), Ig. Budi Lingana

(pakdhe luluk), dan G. Budi Prijatmo (pakdhe momok), yang telah sudi

untuk membantu biaya kuliah penulis dan selalu memberikan motivasi

untuk menyelesaikan kuliah.

4. Simbah, kedua orang tuaku, dan adik-adikku yang senantiasa memberikan

doa, motivasi dan dukungannya.


x

5. Teman-teman Matematika 2009: Nana, Faida, Ochie, Etik, Jojo, Sekar,

Kuthull, dan Dimas, terima kasih untuk kebersamaan dalam suka maupun

duka dan semangat yang selalu diberikan kepada penulis.

6. Widiantoro yang selalu memberikanku semangat dan sebagai salah satu

motivasiku untuk menyelesaikan makalah ini.

7. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu yang telah terlibat

dalam proses penulisan makalah ini.

Penulis menyadari bahwa masih ada kekurangan dalam penulisan makalah

ini. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran demi penyempurnaan

makalah ini. Akhirnya, penulis berharap semoga makalah ini dapat bermanfaat

bagi para pembaca.


Penulis


xi

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL ....................................................................................... i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .............................................. ii

HALAMAN PENGESAHAN ......................................................................... iii

HALAMAN PERSEMBAHAN ...................................................................... iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA .......................................................... v

ABSTRAK ....................................................................................................... vi

ABSTRACT .................................................................................................... vii

PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH ............. viii

KATA PENGANTAR ..................................................................................... ix

DAFTAR ISI ................................................................................................... xi

DAFTAR TABEL ........................................................................................... xiii

DAFTAR GAMBAR ....................................................................................... xiv

BAB I PENDAHULUAN ............................................................................... 1

A. Latar Belakang Masalah ...................................................................... 1

B. Rumusan Masalah ................................................................................ 3

C. Batasan Masalah .................................................................................. 3

D. Tujuan Penulisan ................................................................................. 3

E. Manfaat Penulisan ............................................................................... 3

F. Metode Penulisan ................................................................................ 3

G. Sistematika Penulisan .......................................................................... 4

BAB II MODEL MATEMATIKA DAN PERSAMAAN DIFERENSIAL ..... 6


xii

A. Model Matematika ................................................................................ 6

B. Limit Fungsi Dan Turunan .................................................................... 8

C. Persamaan Diferensial ........................................................................... 23

BAB III MODEL KONDUKSI PANAS ......................................................... 28

A. Panas Dan Suhu .................................................................................. 28

B. Konduksi Panas Pada Proses Pendinginan Air ................................... 30

C. Konduksi Panas Pada Pemanas Air .................................................... 38

D. Konduksi Panas Melalui Dinding ....................................................... 57

E. Konduksi Panas Radial ....................................................................... 67

BAB IV PENUTUP ......................................................................................... 77

A. Kesimpulan ........................................................................................... 77

B. Saran ...................................................................................................... 78

DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................... 79


xiii

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 1. Panas jenis untuk beberapa bahan ..................................................... 29

Tabel 2. Nilai koefisien pendinginan Newton .............................................. 34

Tabel 3. Daya konduksi untuk beberapa bahan ............................................... 60

Tabel 4. Daya konduksi ntuk beberapa macam bahan bangunan .................... 61


xiv

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 3.1. Grafik fungsi suhu terhadap waktu pada proses

pendinginan air ....................................................................... 37

Gambar 3.2. Diagram skema dari pemanas air ........................................... 39

Gambar 3.3. Skema perpindahan panas ...................................................... 40

Gambar 3.4. Grafik fungsi suhu terhadap waktu pada proses pemanasan

air dengan ................................................................ 48


air dengan ................................................................ 51


air dengan ................................................................ 54


air dengan dan ........................... 55


air dengan dan untuk waktu

yang lama dan suhu yang sangat tinggi .................................. 56

Gambar 3.9. Konduksi panas pada dinding ................................................ 62

Gambar 3.10. Skema perpindahan panas pada dinding ................................ 63

Gambar 3.11. Grafik fungsi suhu terhadap ketebalan dinding ..................... 67

Gambar 3.12. Skema perpindahan panas radial ............................................ 69

Gambar 3.13. Ilustrasi dinding sumur ........................................................... 74

Gambar 3.14. Grafik distribusi suhu terhadap radius pada sumur ................ 76


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG

Masalah panas sering ditemukan pada berbagai peristiwa, dan

seringkali dihubungkan dengan suhu. Beberapa masalah yang memuat

pemanasan dan pendinginan seringkali dihubungkan dengan konduksi

panas. Misalnya, ada secangkir kopi panas di atas meja dan ingin diminum

sesegera mungkin. Jika kopi bersuhu 600C, berapa lama harus menunggu

untuk meminumnya ketika suhu kopi tersebut menjadi 400C? Untuk

menjawab pertanyaan tersebut akan dikenalkan beberapa konsep dasar

fisika, yakni mengenai suhu dan panas. Pada masalah ini terlihat

perbedaan antara panas dan suhu. Panas dan suhu sangat penting untuk

menyelesaikan masalah tersebut.

Pertama, tentang suhu yang menggambarkan bagaimana panas

pada kopi tersebut. Jika diasumsikan suhu dari kopi seluruhnya adalah

seragam (homogen) maka suhu hanya merupakan fungsi terhadap waktu.

Suhu diukur dengan satuan derajad celcius (0C) atau dalam kelvin (K),

dimana suhu pada derajad celcius (0C) memiliki selisih 273 lebih rendah

daripada suhu pada kelvin. Jadi, 0C + 273 = K.

Kedua, tentang panas. Suhu dari kopi turun karena energi panas

dipindahkan ke udara sekitarnya. Hal ini terjadi karena udara sekitarnya


2

bersuhu rendah, dan panas selalu dipindahkan dari daerah bersuhu tinggi

ke daerah bersuhu rendah. Panas adalah sebuah bentuk energi yang diukur

dengan satuan Joule, satuan dari sistem SI.

Kemudian untuk menjawab pertanyaan tentang secangkir kopi

yang disebutkan di atas, dibutuhkan persamaan yang sesuai untuk suhu.

Tetapi untuk itu harus menentukan peristiwa panas terlebih dahulu dan

dibutuhkan persamaan untuk mendiskripsikan kecepatan perpindahan

panas ke sekitar.

Masalah lain yang sama adalah bagaimana menentukan waktu

yang dibutuhkan air pada sebuah pemanas air menjadi panas dengan suhu

tertentu, dengan asumsi suhunya homogen dan merupakan fungsi terhadap

waktu. Air pada pemanas air menjadi panas dipengaruhi oleh elemen

pemanas.

Aplikasi lain dari masalah tentang konduksi panas adalah

perpindahan panas pada dinding. Pertimbangkan kecepatan perpindahan

panas pada dinding. Kecepatan perpindahan panas pada dinding sangat

penting untuk menentukan bahan penyekat dinding, agar energi yang

digunakan lebih efisien. Suhu pada sisi luar dinding akan berbeda dari sisi

dalam, dimana panas akan mengalir dari sisi luar dinding yang bersuhu

tinggi ke sisi dalam dinding yang bersuhu rendah.


3

B. RUMUSAN MASALAH

Pokok masalah yang akan dibahas dalam tulisan ini yaitu:

1. Apa yang dimaksud dengan proses perpindahan panas?

2. Bagaimana pemodelan matematika mengenai konduksi panas?

C. BATASAN MASALAH

Masalah perpindahan panas yang dibahas dalam tulisan ini adalah

masalah konduksi panas pada proses pendinginan air, pemanas air,

konduksi panas melalui dinding, dan konduksi panas radial.

D. TUJUAN PENULISAN

Tujuan penulisan ini yaitu untuk memodelkan masalah konduksi

panas.

E. MANFAAT PENULISAN

Memperoleh pengetahuan tentang pemodelan matematika

mengenai masalah konduksi panas.

F. METODE PENULISAN

Metode yang digunakan penulis adalah metode studi pustaka, yaitu dengan

mempelajari buku-buku yang berkaitan dengan masalah perpindahan

panas.


4

G. SISTEMATIKA PENULISAN

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

B. Rumusan Masalah

C. Batasan Masalah

D. Tujuan Penulisan

E. Manfaat Penulisan

F. Metode Penulisan

G. Sistematika Penulisan

BAB II MODEL MATEMATIKA dan PERSAMAAN DIFERENSIAL

A. Model matematika

B. Limit fungsi dan Turunan

C. Persamaan diferensial

BAB III MODEL KONDUKSI PANAS

A. Panas dan suhu

B. Konduksi panas pada proses pendinginan air

C. Konduksi panas pada pemanas air

D. Konduksi panas melalui dinding

E. Konduksi panas radial

BAB IV PENUTUP

A. Kesimpulan


5

B. Saran

DAFTAR PUSTAKA


6

BAB II

MODEL MATEMATIKA DAN PERSAMAAN DIFERENSIAL

A. MODEL MATEMATIKA

Model merupakan gambaran (tiruan, perwakilan) suatu obyek yang

disusun berdasarkan tujuan tertentu. Obyek di sini dapat berupa suatu

sistem, suatu perilaku sistem, atau suatu proses tertentu. Sebagai contoh

dari model adalah sebuah maket. Biro arsitektur yang merencanakan

pembangunan suatu kompleks akan membuat gambar-gambar sketsa,

menyusun perhitungan-perhitungan konstruksi kemudian membuat maket

yang merupakan tiruan dari calon kompleks. Jika ada segi-segi yang

kurang disetujui oleh pemilik, maka rencana masih dapat diubah dengan

mudah.

Sistem merupakan suatu himpunan beserta relasi antar unsur-

unsurnya yang disusun dengan tujuan tertentu. Sebagai contoh dari sebuah

sistem adalah suatu rumah sakit. Suatu rumah sakit adalah suatu sistem

yang bertujuan merawat orang sakit. Semua bagian rumah sakit harus

berfungsi mendukung tujuan di atas.

Model hanya menirukan sebagian dari obyek sesuai dengan tujuan

penyusunan model dengan maksud supaya lebih mudah dikenali, dipelajari


7

dan dimanipulasi lebih lanjut. Dengan demikian dapat dipahami bahwa

model pasti lebih sederhana dari aslinya.

Model dapat dibedakan berdasarkan tujuan penyusunan model. Model

yang berguna mengendalikan keadaan, sifat, atau perilaku sistem dengan

cara mencari keterkaitan antara unsur-unsurnya disebut model keterkaitan.

Model yang bertujuan untuk mengadakan pendugaan (prediksi) untuk

memperbaiki keadaan obyek disebut model pendugaan. Sedangkan model

yang berguna mengadakan optimasi bagi obyek disebut model optimasi.

Model menurut jenisnya dapat dibedakan menjadi dua yaitu model

fisis dan model simbolik (model matematika). Model fisis merupakan

model yang biasanya cukup mirip dengan obyek dari segi fisis, misalnya

bentuknya atau polanya. Model simbolik (model matematika) merupakan

model yang menggunakan lambang-lambang (simbol) matematika/logika

untuk menyajikan perilaku obyek.

Model matematika dapat dianggap sebagai usaha abstraksi

terhadap obyek lewat cara analitis atau numeris dalam benuk persamaan-

persamaan matematika. Model ini juga dapat berupa persamaan

diferensial.


8

B. LIMIT FUNGSI DAN TURUNAN

Definisi 2.1.

Niai mutlak biangan real didefinisikan sebagai berikut

{

}

Contoh 2.2.

1.

2.

3. ( )

Teorema 2.3.

Misalkan , maka

1.

2. |

|

.

Bukti:

1. Akan dibuktikan bahwa untuk sebarang maka .

Untuk dan maka , sehingga berlaku .

Untuk dan maka , sehingga berlaku


10

Contoh 2.4.

1. Misalkan adalah suatu bilangan positif. Buktikan bahwa

Penyelesaian:

Akan dibuktikan bahwa

.

(kalikan dengan 5)

( )

( ) ( )

.

Jadi, terbukti bahwa

.

2. Misalkan adalah suatu bilangan positif. Tentukan bilangan positif

sedemikian rupa sehingga

Penyelesaian:

( )

( )

(dikalikan dengan

)

Jadi, bilangan positif yang memenuhi

adalah

.


11

Definisi 2.5.

( ) berarti bahwa untuk tiap yang diberikan

(betapapun kecilnya), terdapat yang berpadanan sedemikian

sehingga ( ) asalkan bahwa ,yakni,

( )

Contoh 2.6.

Buktikan bahwa ( )

Penyelesaian:

Misalkan bilangan positif sebarang. Akan dibuktikan terdapat suatu

sedemikian sehingga

( )

Perhatikan ketaksamaan pada ruas kanan

( )

( )

( )


12

Dengan demikian, jika dipilih

maka untuk

menghasilkan

( )

( )

Jadi, terbukti bahwa ( ) .

Teorema 2.7.

Jika dan suatu konstanta, maka

( )

Bukti:

Akan dibuktikan bahwa untuk setiap terdapat suatu sehingga

( ) ( )

Untuk , maka ( ) ( ) , ditentukan

suatu untuk setiap sehingga

Karena , maka menjadi


13

Untuk , maka ( ) ( ) untuk setiap nilai .

Ambil sebarang bilangan positif sehingga berlaku

( ) ( )

Jadi, terbukti bahwa ( ) .

Contoh 2.8.

( )

Teorema 2.9.

Jika suatu konstanta, maka untuk setiap bilangan ,

Bukti:


Ambil sebarang bilangan positif , maka .

Jadi, terbukti bahwa .


14

Contoh 2.10.

Teorema 2.11.

Jika ( ) dan ( ) , maka

, ( ) ( )-

, ( ) ( )-

( )

( )

Bukti:


, ( ) ( )- ( )

Karena diketahui ( ) , maka dari definisi limit diperoleh

bahwa untuk

terdapat suatu sehingga

( )


bahwa untuk

terdapat suatu sehingga

( )


15

Misalkan adalah bilangan terkecil dari dua bilangan dan . Jadi

dan . Karena itu

( )

dan

( )

Dengan demikian jika , maka

, ( ) ( )- ( ) ( ( ) ) ( ( ) )

( ) ( )

Jadi, terbukti bahwa , ( ) ( )- .


, ( ) ( )- ( )


bahwa untuk terdapat suatu sehingga

( )


16


bahwa untuk terdapat suatu sehingga

( )

Misalkan adalah bilangan terkecil dari dua bilangan dan . Jadi

dan . Karena itu

( )

dan

( )

Dengan demikian jika , maka

, ( ) ( )- ( ) ( ( ) ) ( ( ) )

( ) ( )

Jadi, terbukti bahwa , ( ) ( )- .


, ( ) ( )-

, ( ) ( )-

( )

( )


17

Contoh 2.12.

( )

Teorema 2.13.

Jika ( ) dan fungsi kontinu di , maka

( )( ) ( )

(( ( )) (

( ))

Bukti:

Karena kontinu di maka untuk setiap terdapat suatu

sehingga

( ) ( ) (1)

Karena ( ) , untuk setiap terdapat suatu

sehingga

( ) (2)

Jika dan disubstitusikan ke dalam (1) oleh ( ) maka

diperoleh untuk setiap terdapat suatu sehingga


18

( ) | ( ( )) ( )| (3)

dari pernyataan (2) dan (3) diperoleh bahwa untuk setiap terdapat

suatu sehingga

| ( ( )) ( )|


( )( ) ( ) (( ( )) ( ( ))

Teorema 2.14.

Jika ( ) dan ( ) maka

( )

( )

jika

Bukti:

Misalkan fungsi yang didefinisikan oleh ( )

. Maka fungsi

komposisi didefinisikan oleh ( ( )) ( )⁄ . Fungsi kontinu

dimana-mana kecuali di 0. Karena itu

( )

( ( ))

(

( ))

( )


19

Sehingga diperoleh

( )

( )

( )

( )

Jadi, terbukti bahwa ( )

( )

jika

Contoh 2.15.

Definisi 2.16.

Misalkan suatu fungsi yang didefinisikan untuk setiap bilangan pada

selang ( ). Limit ( ) adalah , dituliskan

( )


20

apabila untuk setiap , betapapun kecilnya, terdapat suatu bilangan

sehingga ( ) jika .

Contoh 2.17.

Buktikan bahwa

Penyelesaian:

Bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi yang muncul

pada penyebut yaitu .

.


.


21

Definisi 2.18.

Misalkan suatu fungsi yang didefinisikan pada selang ( ). Limit

( ) adalah , dituliskan

( )

apabila untuk setiap , betapapun kecilnya, terdapat suatu bilangan

sehingga ( ) jika .

Contoh 2.19.

Tentukan

Penyelesaian:

Bagi pembilang dan penyebut dengan .

.

Jadi,

.


22

Definisi 2.20.

Turunan fungsi adalah fungsi lain (dibaca “ aksen”) yang nilainya

pada sebarang bilangan adalah

( )

( ) ( )

asalkan limit ini ada.

Contoh 2.21.

Andaikan ( ) . Cari ( )

Penyelesaian:

( )

( ) ( )

[( ) ( )] , -

( )

Jadi, jika diketahui ( ) , maka ( ) .


23

C. PERSAMAAN DIFERENSIAL

Persamaan diferensial merupakan persamaan yang memuat turunan

satu (atau beberapa) fungsi yang tidak diketahui. Sebagai contoh dari

persamaan diferensial sebagai berikut

(4)

(5)

( )( ) (6)

(7)

Bila peubah yang terikat dalam suatu persamaan diferensial adalah suatu

fungsi satu peubah bebas maka persamaan tersebut merupakan persamaan

diferensial biasa. Sedangkan, jika peubah yang terikat dalam suatu

persamaan diferensial adalah suatu fungsi dua atau lebih peubah bebas

maka persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial parsial. Dalam

contoh di atas persamaan (4)-(6) merupakan contoh persamaan diferensial

biasa dan persamaan (7) merupakan contoh persamaan diferensial parsial.

Definisi 2.22.

Persamaan diferensial biasa merupakan suatu persamaan diferensial

yang memuat fungsi satu peubah bebas. Sedangkan, persamaan diferensial


24

parsial merupakan suatu persamaan diferensial yang memuat fungsi dua

atau lebih peubah bebas.

Contoh 2.23.

Pada contoh persamaan diferensial di atas yang merupakan persamaan

diferensial biasa adalah persamaan (1)-(3). Sedangkan, contoh persamaan

diferensial parsial adalah persamaan (4).

Definisi 2.24.

Suatu persamaan diferensial biasa tingkat merupakan suatu

persamaan yang dapat ditulis dalam bentuk ( ) ( ( ))

dimana ( ) semua ditentukan nilainya oleh .

Contoh 2.25.

Persamaan (1) merupakan contoh persamaan diferensial biasa tingkat 1.

Sedangkan, persamaan (2) dan (3) merupakan contoh persamaan

diferensial biasa tingkat 2.


25

Definisi 2.26.

Suatu penyelesaian persamaan diferensial biasa

( ) ( ( )) merupakan suatu fungsi ( ) yang

ditentukan pada suatu selang bagian yang secara identik memenuhi

persamaan ( ) ( ( )) pada seluruh selang .

Contoh 2.27.

Suatu fungsi , yang ditulis sebagai merupakan

penyelesaian dari

Bukti:

Hasil substitusi ke dalam persamaan

menghasilkan

( )

atau


26

Hasil substitusi tersebut merupakan suatu kesamaan dalam untuk semua

Jadi, merupakan penyelesaian dari

Definisi 2.28.

Penyelesaian umum suatu persamaan diferensial tingkat adalah

suatu penyelesaian yang mengandung konstanta sebarang yang bebas.

Penyelesaian khusus suatu persamaan diferensial adalah penyelesaian

sebarang yang dapat diperoleh dengan memberikan nilai tertentu kepada

konstanta sebarang dalam penyelesaian umum untuk persamaan tersebut.

Contoh 2.29.

Perhatikan persamaan diferensial tingkat satu

atau dapat ditulis

Bila kedua ruas diintegralkan akan diperoleh

∫ ∫


27

dengan suatu konstanta sebarang.

Jadi, merupakan penyelesaian umum dari

Penyelesaian khusus dapat diperoleh dengan memberikan nilai tertentu

kepada


28

BAB III

MODEL KONDUKSI PANAS

A. Panas dan Suhu

Panas dan suhu mempunyai hubungan yang sangat erat. Suhu

merupakan suatu besaran untuk mengukur panas. Perpindahan panas

merupakan proses perpindahan energi yang mengalir pada suhu yang

berbeda, energi yang mengalir tersebut disebut juga energi panas atau

panas. Bila sebuah media atau obyek dikenai energi panas maka suhu

media tersebut menjadi naik. Demikian juga, suatu obyek menjadi dingin

akibat suhu yang turun karena panas yang hilang ke sekitarnya. Suatu

media dengan massa yang lebih banyak akan lebih banyak memerlukan

panas untuk menaikkan suhu, sedangkan jika suhu dari sebuah media

turun, maka energi panas dari media tersebut lebih banyak yang hilang.

Asumsikan perubahan pada panas adalah berbanding langsung

dengan perubahan suhu dan juga massa dari suatu obyek, yakni dapat

ditulis sebagai

{

} * + * +

(3.1)


29

dengan adalah konstanta positif pembanding sebagai panas jenis dari

bahan, diasumsikan tidak bergantung pada massa sebuah obyek dan

perubahan suhu.

Misalkan didefinisikan sebagai laju perubahan panas terhadap

waktu (diukur dalam watt), adalahmassa dari bahan yang akan

dipanaskan atau didinginkan (diukur dalam kg), dan merupakan suhu,

maka diperoleh

(3.2)

Setiap bahan memiliki panas jenis yang berbeda-beda. Di bawah

ini diberikan data nilai panas jenis dari berbagai bahan.

Tabel 1. Panas jenis untuk beberapa bahan (Barnes, Gleeen, 2009)

Bahan Bahan

Aluminium 896 Asbes 841

Tembaga 383 Batu bata 840

Stainlis steel 461 Gelas 800

Kayu 2385 Mentega 2300

Beton 878 Daging domba 3430

Air (pada 200C 4187 Kentang 3520


30

B. Konduksi Panas pada Proses Pendinginan Air

Panas dari sebuah obyek menjadi hilang karena adanya penukaran

energi panas dengan sekitarnya. Jika perbedaan suhu antara permukaan

dari suatu obyek dan sekitarnya menjadi bertambah, maka diharapkan

panas menjadi cepat hilang.

Diasumsikan bahwa laju dari aliran panas adalah berbanding

langsung dengan perbedaan suhu diantara permukaan dan sekitarnya. Dari

asumsi tersebut dirumuskan Hukum Newton pada keadaaan pendinginan,

yang akan berlaku juga pada masalah pemanasan.

Perubahan suhu akibat pertukaran panas menurut Newton adalah

berbanding lurus dengan waktu. Bila suhu obyek lebih tinggi dari pada

suhu sekitarnya maka akan terjadi pendinginan pada obyek atau penurunan

suhu dan demikian pula sebaliknya. Perbandingan ini dapat dijadikan

persamaan dengan melibatkan suatu faktor konstanta, sehingga

( )

dengan dan masing-masing merupakan suhu obyek dan suhu

sekitarnya. Tanda negatif menunjukkan terjadinya penurunan suhu bila

.

Perbedaan suhu ditentukan dari panas pada permukaan yang dapat

menghilang ataupun bertambah. Jika adalah luas permukaan dari sebuah

obyek, suhu dari sebuah obyek lebih tinggi dari suhu di sekitarnya,

maka dapat ditulis


31

{

}

{

}

{

}

2

3

( )

(3.3)

Ketika suhu pada sekitar lebih tinggi daripada suhu pada obyek

( ), maka laju penukaran panas sebagai berikut,

{

} ( )

(3.4)

Jadi, hukum Newton pada masalah pendinginan maupun

pemanasan dirumuskan sebagai berikut,

{

} (3.5)

dengan

= perbedaan suhu

= luas permukaan yang panasnya hilang ataupun bertambah (diukur

dalam m2)


32

= koefisien pendinginan Newton (diukur dalam watt/m2/0C) .

Konduksi merupakan perpindahan panas dari daerah yang bersuhu

tinggi ke daerah yang bersuhu rendah dalam suatu media. Media tersebut

dapat berupa zat padat, zat cair maupun gas. Perpindahan terjadi karena

molekul bersinggungan secara langsung tanpa adanya perpindahan

molekul yang cukup besar. Suhu elemen suatu zat sebanding dengan

energi kinetik (energi yang diakibatkan karena suatu gerak) rata-rata dari

molekul-molekul yang membentuk zat tersebut. Energi yang dimiliki suatu

elemen zat yang diakibatkan adanya kecepatan dan posisi relatif molekul-

molekulnya merupakan energi dalam.

Misalnya ada secangkir kopi panas di atas meja dan ingin diminum

sesegera mungkin. Jika kopi bersuhu 600C, berapa lama harus menunggu

untuk meminumnya ketika suhu kopi tersebut menjadi 400C?Pada masalah

ini terlihat perbedaan antara panas dan suhu. Panas dan suhu sangat

penting untuk menyelesaikan masalah tersebut.

Pada masalah secangkir kopi di atas terdapat hubungan antara laju

perubahan panas dan laju perubahan suhu. Untuk mendeskripsikan panas

yang terkandung dalam secangkir kopi, ditunjukkan sebagai berikut

{

} {

} (3.6)

Jadi, persamaan konduksi panas pada masalah pendinginan air

sebagai berikut

( )


33

( )

( )

( )

( )

(3.7)

Nilai dapat ditentukan dari suhu awal. Jika suhu pada saat

awal ( ) bernilai maka

( )

Jadi, penyelesaian persamaan (3.7) adalah sebagai berikut

( )

(3.8)

Tanda negatif menunjukkan adanya panas yang hilang ke sekitar atau

terjadinya pendinginan.

Untuk maka fungsi suhu pada persamaan (3.8) akan menjadi

sebagai berikut

( )


34

Koefisien pendinginan Newton ( ) memiliki nilai yang berbeda-

beda. Di bawah ini diberikan nilai pendinginan Newton pada suatu

lempengan dengan ketebalan 0,5 m. Nilai koefisien pendinginan Newton

semakin besar pada saat laju aliran udara semakin besar. Akibatnya, nilai

koefisien pendinginan Newton sangat berpengaruh terhadap aplikasi

model yang telah diperoleh.

Tabel 2. Nilai koefisien pendinginan Newton

Lempengan pada udara terbuka 4.5

Lempengan dengan laju aliran udara 2 m/s 12

Lempengan dengan laju aliran udara 35 m/s 75

Koefisien pendinginan Newton pada udara terbuka digunakan pada

keadaan normal, yakni keadaan dimana tidak ada hembusan udara.

Koefisien pendinginan Newton pada lempengan dengan laju aliran udara 2

m/s digunakan ketika ada tiupan atau angin sepoi-sepoi. Sedangkan

koefisien pendinginan Newton pada lempengan dengan laju udara 35 m/s

digunakan pada saat terjadi angin kencang seperti angin topan.


35

Contoh 3.1

Dari data secangkir kopi yang memiliki diameter 7cm dan tinggi

8cm, massa dari kopi tersebut adalah 0,2 kg. Diketahui bahwa suhu sekitar

dari kopi tersebut adalah 260C dan suhu awal dari kopi 78

0C. Misalkan

cangkir tersebut terbuat dari gelas sehingga panas jenisnya adalah 800 dan

koefisien pendinginan Newton 4,5. Berapa lama waktu yang dibutuhkan

untuk menunggu saat kopi siap diminum pada susu 550C?

Penyelesaian:

Dari masalah tersebut diketahui bahwa koefisien pendinginan Newton ( )

adalah4,5, panas jenis ( ) adalah 800 watt/kg 0

C. Massa dari bahan yang

akan di dinginkan ( ) adalah 0.2 kg. Suhu awal ( ) dari bahan adalah 78

0C dan suhu sekitarnya ( ) adalah 26

0C. Cangkir tersebut memiliki

diameter 7 cm dan tinggi 8 cm, sehingga jari-jari cangkir adalah 3.5 cm.

Dari data di atas, maka luas permukaan gelas dapat didekati sebagai luas

permukaan tabung tanpa tutup sebagai berikut

= Luas cangkir

= Luas tabung dengan tutup

= Luas alas + luas selimut tabung + luas tutup

= , dengan = jari-jari cangkir dan tinggi cangkir


36

=( ) ( ) ( )

= ( ) ( ) ( ) cm2

= cm2

= m2

Waktu yang dibutuhkan untuk menunggu agar suhu kopi turun dari 78 0C

menjadi 55 0C diperoleh dengan menggunakan persamaan (3.7) adalah

sebagai berikut

( )

( )

( )

( )

( )

( )

(

)

s

menit

Jadi, waktu yang dibutuhkan untuk menunggu suhu dari kopi

menjadi 550C adalah sekitar 822 s atau 14 menit.


37

Dari data di atas dapat diilustrasikan dalam bentuk grafik sebagai

berikut

Gambar 3.1. Grafik fungsi suhu terhadap waktu pada proses pendinginan air.

Jika air didinginkan dalam waktu yang lama maka suhunya akan

menjadi sebagai berikut


38

Jadi, jika air didinginkan dalam waktu yang sangat lama maka suhu dari

air tersebut akan mendekati suhu sekitarnya. Dari grafik pada Gambar 3.1.

dapat dilihat bahwa untuk maka ( ) . Pada Gambar 3.1.

tampak bahwa grafik turun sesuai dengan fungsi eksponensial. Setelah

dilakukan praktek secara nyata dengan diukur menggunakan termometer

ternyata waktu yang dibutuhkan untuk menunggu suhu dari kopi turun

menjadi 55 0C adalah sekitar 17 menit. Pada masalah secangkir kopi ini

diasumsikan bahwa cangkir atau gelas seakan-akan tidak ada, sehingga

waktu yang dibutuhkan untuk menunggu kopi menjadi dingin pada suhu

55 0C menjadi lebih cepat daripada dalam keadaan real. Jadi hasil dari

model sudah mendekati nilai yang sesungguhnya. Model ini sudah

dikatakan baik karena ketika menunggu air sampai berapa lamapun suhu

hanya akan mendekati suhu sekitar.

C. Konduksi Panas pada Pemanas Air

Pada contoh pemanas air, persamaan diferensial untuk suhu

diperoleh dari air yang dipanaskan dengan elemen pemanas elektrik.

Masalah pemanas air ini pada dasarnya mempunyai prinsip yang sama

dengan masalah secangkir kopi, bedanya bahwa pada masalah pemanas

air, panas ditambahkan melalui elemen pemanas.

Beberapa contoh alat pemanas air adalah ceret dan ketel. Masalah

pemanas air menggunakan elemen elektrik yang biasa digunakan di tiap-

tiap rumah, biasanya berisi 2 liter air, dengan tinggi pemanas air 20 cm


39

dan diameter 15 cm. Awalnya diasumsikan air menjadi bersuhu 150C.

Elemen pemanas yang digunakan untuk memanaskan memiliki laju

konstan (per jam) 3,6 Kw (yang lain biasanya menggunakan 4,8 kW/jam).

Pada gambar di bawah ini menunjukkan ilustrasi dari panas yang keluar

dan masuk dari sistem. Berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk

mengambil air tersebut saat bersuhu 600C?

Elemen pemanas

Gambar 3.2. Diagram skema dari pemanas air.

Dalam menyelesaikan masalah pemanas air dikenalkan beberapa

notasi. Misalkan ( ) sebagai suhu air pada waktu , merupakan suhu

awal air, merupakan suhu akhir air, sebagai massa dari air yang akan

dipanaskan dan sebagai laju persediaan energi panas. (dalam m2)

menunjukkan luas permukaan dari pemanas air atau tangki yang panasnya

keluar.

Pertama, asumsikan air pada tangki seluruhnya bersuhu homogen.

Tanpa asumsi tersebut masalah akan menjadi lebih komplek, karena suhu

akan menjadi fungsi dari waktu dan posisi. Dengan asumsi tersebut yang

air


40

dipertimbangkan hanya suhu dari air sebagai fungsi terhadap waktu.

Kedua, asumsikan bahwa panas yang hilang dari permukaan tangki

menurut hukum Newton pada pendinginan. Akhirnya, asumsikan bahwa

panas konstan, sebagai panas jenis dan koefisien pendinginan Newton.

Untuk mendeskripsikan masalah pemanasan air pertimbangkan

sistem yang mengaplikasikan hukum keseimbangan seperti ditunjukkan

pada gambar berikut ini.

Panas dari panas yang hilang

elemen pemanas ke sekitar

Gambar 3.3. Skema perpindahan panas.

Panas pada tangki yang berasal dari elemen pemanas akan sama besarnya

dengan panas yang hilang ke sekitar.

Keseimbangan panas untuk sistem dideskripsikan dengan

persamaan berikut ini,

{

} {

} {

} (3.9)

Panas pada

tangki


41

Perubahan suhu digunakan untuk memperoleh persamaan

matematika. Persamaan dasar yang digunakan untuk merelasikan panas

dengan suhu adalah sebagai berikut,

{

}

(3.10)

dengan adalah panas tertentu dari air, sebagai massa dari air dan ( )

menunjukkan suhu pada waktu .

Asumsikan bahwa elemen pemanas memproduksi panas dengan

laju konstan per unit waktu, yang dinyatakan dengan . Jadi,

{

} (3.11)

Laju panas yang hilang ke sekitar dirumuskan dengan

menggunakan hukum Newton pada pendinginan, yaitu

{

} * +

( ( ) ) (3.12)

dengan adalah luas permukaan dari pemanas dan adalah koefisien

pendinginan Newton. Perbedaan suhu merupakan perbedaan antara suhu

arus air ( ( )) dan suhu sekitar ( )


42

Dengan mensubstitusikan persamaan (3.10), (3.11) dan (3.12) ke

dalam persamaan (3.9) diperoleh persamaan diferensial yang

mendeskripsikan variasi suhu terhadap waktu sebagai berikut,

( ( ) ) (3.13)

Atau dapat ditulis

( ( ) )

( )

( )

(3.14)

Misalkan,

( )

maka

atau

Dengan demikian, ruas kanan persamaan (3.14) menjadi


43

Jika persamaan tersebut diintegralkan akan diperoleh

∫

∫

Di substitusikan ke dalam ruas kiri persamaan (3.14) menjadi sebagai

berikut,

∫

( ( ))

( ( ))

(3.15)

( ( ))

( ( ))

(

) ( ( ))

.

/ ( )

( ) .

/


44

( )

.

/

(3.16)

Nilai dapat diperoleh dari persamaan (3.15) sebagai berikut

( ( ))

( ( ))

( ( ))

Jadi, penyelesaian dari persamaan (3.16) adalah

.

/

dengan

( ) (3.17)

Untuk maka fungsi suhu pada persamaan (3.17) akan menjadi

sebagai berikut

.

( )/

.

( )/


45

Contoh 3.2

Sebagai contoh dari masalah pemanas ini adalah memanaskan air

dengan menggunakan pemanas. Diketahui pemanas tersebut memiliki

diameter 10 cmdan tinggi 20 cm, massa dari air yang akan dipanaskan 1,5

kg, suhu awal air dan suhu sekitar sama yaitu 26 0C, karena pemanas

terbuat dari stainlis steel maka panas jenisnya adalah 461, diberikan

koefisien pendinginan atau pemanasan Newton 4,5 dan misalkan laju

panas yang digunakan adalah 100 watt. Berapa lama waktu yang

dibutuhkan untuk menunggu air tersebut sampai mendidih 100 0C ?

Penyelesaian :

Dari data tersebut diketahui bahwa suhu awal ( ) dari bahan adalah 26 0C

dan suhu sekitar ( ) adalah 26 0C. Diberikan koefisien pemanasan

Newton ( ) adalah 4,5 dan panas jenis ( ) 461 watt/kg 0C. Massa dari

bahan yang dipanaskan ( ) adalah 1,5 kg. Laju panas ( ) yang digunakan

100 watt. Diketahui pemanas memiliki diameter 10 cm dan tinggi 20 cm,

sehingga jari-jari dari pemanas adalah 5 cm.

Dari data di atas, maka luas permukaan pemanas dapat didekati sebagai

luas permukaan tabung tanpa tutup sebagai berikut


46

= Luas pemanas

= Luas alas

= , dengan = jari-jari cangkir dan tinggi cangkir

=( )

= ( ) cm2

= m2

Waktu yang dibutuhkan untuk menunggu sampai air mendidih pada suhu

100 0C diperoleh dengan menggunakan persamaan (3.14) adalah sebagai

berikut

.

/

dengan

( )

=

( ( ) (

))

=

( )

=

( )

=

Sehingga waktu yang dibutuhkan yaitu

.

/


47

100= ( )

.

/

100 =

.

/

.

/

.

/

.

/

.

/

.

/

(

) ( )

(

)

s

menit.


48

Jadi, waktu yang dibutuhkan untuk menunggu air sampai mendidih pada

suhu 100 0C adalah sekitar 531 s atau 9 menit.

Dari data di atas dapat diilustrasikan melalui grafik sebagai berikut

Gambar 3.4. Grafik fungsi suhu terhadap waktu pada proses pemanasan air dengan

.

Jika air dipanaskan dalam waktu yang lama maka suhunya akan menjadi

sebagai berikut


49

0C.

Jadi, jika air dipanaskan dalam waktu yang sangat lama akan mendekati

suhu 2857 0C. Padahal dalam keadaan real, jika air dipanaskan dalam

waktu yang sangat lama akan habis karena adanya penguapan.

Untuk maka waktu yang dibutuhkan untuk menunggu air sampai

mendidih pada suhu 100 0C adalah sebagai berikut

.

/

dengan

( )

=

( ( ) (

))

=

( )

=

( )


50

=


.

/

100= ( )

.

/

100 =

.

/

.

/

.

/

.

/

.

/

.

/

(

) ( )

(

)


51

s

menit.

Jadi, jika ingin menunggu air sampai mendidih 1000C maka dibutuhkan

waktu sekitar 163 s atau sekitar 3 menit. dengan diketahui bahwa daya

yang digunakan adalah 350 watt.

Dari data untuk dapat diilustrasikan melalui grafik sebagai

berikut

Gambar 3.5. grafik fungsi suhu terhadap waktu pada proses pemanasan air dengan

.


52


sebagai berikut

0C.

Jadi, jika air dipanaskan dalam waktu yang sangat lama akan mendekati

suhu 9934 0C. Padahal dalam keadaan real, jika air dipanaskan dalam

waktu yang sangat lama akan habis karena adanya penguapan.

Untuk , maka waktu yang dibutuhkan untuk menunggu air sampai

mendidih pada suhu 100 0

C adalah sebagai berikut

.

/

dengan

( )

=

( ( ) (

))

=

( )

=

( )

=


53


.

/

100= ( )

.

/

100 =

.

/

.

/

.

/

.

/

.

/

.

/

(

) ( )

(

)


54

s

menit.

Jadi, waktu yang dibutuhkan untuk menunggu air sampai mendidih dalam

suhu 1000C adalah sekitar 131 s atau sekitar 2 menit. Dengan diketahui

bahwa daya yang digunakan adalah 450 watt.

Dari data untuk dapat diilustrasikan melalui grafik sebagai

berikut

Gambar 3.6. Grafik fungsi suhu terhadap waktu pada proses pemanasan air dengan

.


55


sebagai berikut

0C.

Jadi, jika air dipanaskan dalam waktu yang sangat lama dengan

menggunakan daya sebesar 450 watt maka suhu akan mendekati 12765 0C.

Padahal dalam keadaan real, jika air dipanaskan dalam waktu yang sangat

lama akan habis karena adanya penguapan.

Jika grafik kenaikan suhu dengan dan

dijadikan satu maka akan menjadi sebagai berikut

Gambar 3.7. grafik fungsi suhu terhadap waktu pada proses pemanasan air

dengan dan .


56

Gambar 3.8. grafik fungsi suhu terhadap waktu pada proses pemanasan air dengan

dan untuk waktu yang lama dan suhu yang sangat tinggi.

Dari Gambar (3.7) tampak bahwa waktu yang dibutuhkan untuk

menunggu air sampai mendidih pada suhu 100 0C semakin cepat ketika

yang digunakan semakin besar nilainya. Dari Gambar (3.8.) tampak bahwa

nilai sangat berpengaruh terhadap waktu yang dibutuhkan untuk

menunggu air sampai mendidih. Perbandingan suhu antara penggunaan

dan sangat jauh berbeda. Semakin besar nilai yang

digunakan maka semakin tinggi pula suhu yang dihasilkan. Tetapi, model


57

ini dikatakan kurang baik karena ketika maka suhu akan menjadi

sangat tinggi. Padahal dalam keadaan real, jika air dipanaskan dalam

waktu yang sangat lama akan menjadi habis karena adanya penguapan.

D. Konduksi Panas melalui Dinding

Masalah pemanasan pada suatu bahan yang didinginkan maupun

dipanaskan mengakibatkan suhu menjadi berubah-ubah. Jika suhu pada

setiap titik dari bahan tidak sama, maka panas akan dihantarkan dari bahan

yang bersuhu tinggi ke yang bersuhu rendah. Suhu menjaga

kesetimbangan dari panas pada saat dihantarkan. Pada keadaan

kesetimbangan, panas tidak digunakan untuk menaikkan suhu maupun

mengurangi suhu. Jadi kesetimbangan panas menjadi

{

} (3.17)

atau

∫

∫

(3.18)

Dengan kata lain, pada keadaan setimbang suhunya adalah

,

dengan suatu konstan. Karena adalah konstan maka dalam

keadaan setimbang adalah konstan.


58

Konduksi panas dapat terjadi pada zat padat, cair, maupun gas, dan

meliputi perpindahan dari energi panas akibat getaran dari molekul. Laju

panas yang di hantarkan oleh bahan adalah berbanding langsung dengan

luas area yang terdapat aliran panas. Fluks panas ( ( )) merupakan laju

aliran panas per unit waktu per unit area, yang dapat ditulis sebagai

( ) {

} (3.19)

Fluks panas diukur dalam watt/m2 dengan watt sebagai Joule/detik.

Aliran panas lebih mudah mengalir pada logam daripada bahan

yang terbuat dari batu atau batu bata. Aliran panas mengalir pada suhu

yang berbeda dan akan menjadi berkurang kuantitasnya pada piringan

yang tebal. Fluks panas berbanding lurus dengan gradien suhu (laju

perubahaan suhu terhadap jarak yang dialiri panas).

Menurut Kreith (1973) fluks panas merupakan hasil kali tiga buah

besaran, yaitu:

1. , konduktivitas panas bahan (daya konduksi)

2. , luas area yang dialiri panas dengan cara konduksi, yang

harus diukur tegak lurus terhadap arah aliran panas

3. ( )

, gradien suhu pada area yang dialiri panas, yaitu laju

perubahan suhu terhadap jarak dalam arah aliran panas

.


59

Jika ( ) merupakan fluks panas pada , dan ( ) merupakan

suhu pada , maka hukum Fourier sebagai berikut

* +

* + {

}

* +

( ) ( )

(3.20)

Karena fluks panas diukur dalam per unit area maka hukum

Fourier menjadi sebagai berikut

( ) ( )

(3.21)

Konstanta positif sebagai daya konduksi, akan menjadi berbeda pada

bahan yang berbeda.

Tanda negatif pada persamaan (3.21) digunakan untuk menjamin

laju tetap positif. Artinya, suhu berkurang (ketika gradien suhu negatif)

pada aliran panas maka tandanya positif, sedangkan ketika suhu bertambah

(ketika gradien suhu positif) pada aliran panas maka tandanya negatif.

Aliran panas mengalir dari daerah yang bersuhu tinggi ke daerah yang

bersuhu rendah, dan tidak dapat terjadi untuk keadaan sebaliknya (artinya

aliran panas tidak dapat mengalir dari daerah yang bersuhu rendah ke

daerah yang bersuhu tinggi).

Logam memiliki daya konduksi yang lebih tinggi daripada bahan-

bahan yang lainnya, berarti bahwa pengaliran panas lebih mudah terjadi

pada bahan yang terbuat dari logam. Bahan yang memiliki daya konduksi


60

rendah baik untuk digunakan sebagai penyekat, dan bahan yang memiliki

daya konduksi tinggi baik digunakan sebagai elemen pemanas.

Tabel 3. Daya konduksi untuk beberapa macam bahan (Barnes &

Gleen, 2009)

Bahan Bahan

Tembaga 386 Beton 0,128

Besi 73 Gelas 0,81

Stainlis steel 14 Kayu 0,15

Air (pada suhu 00C) 0,57 Batu 0,04

Daging domba

(pada suhu 50C)

0,42 Polistirin 0,157

Mentega (pada

suhu 50C)

0,20

Data lain yang menunjukkan daya konduksi dari bahan bangunan

adalah sebagai berikut. Data ini dikeluarkan oleh ASHRAE. ASHRAE

merupakan singkatan dari American Society of Heating, Refrigerating and

Air Conditioning Engineers.


61

Tabel 4. Daya konduksi beberapa bahan bangunan (Koestoer,

2002)

Bahan

daya konduksi

ASRAE Pengukuran(koestoer)

kaca ray-ban medium shading 1,000 0,992

kaca ray-ban high shading 1,000 1,038

kaca biasa 1,000 0,982

batu bata 0,720 0,886

adukan semen 0,720 0,743

kayu jati 0,180 0,204

Gipsum 0,430 0,406

Plywood 0,180 0,193

Asbestos 0,170 0,308

Styrofoam 0,040 0,049

Alumunium 100,0 96,571

Panas mengalir dari bahan yang bersuhu tinggi ke bahan yang

bersuhu rendah, begitu pula pada masalah konduksi panas pada dinding.

Sisi dalam dan sisi luar dari dinding memiliki suhu yang berbeda.

Perhatikan gambar bagian dinding dengan ketebalan yang terdiri

dari beberapa bahan. Salah satu sisi dinding tersebut panas dan sisi yang

lain relatif dingin, jadi panas mengalir kearah sisi yang dingin. Kondisi ini


62

merupakan salah satu kasus dimana sisi luar dan sisi dalam mempunyai

suhu yang berbeda. Sisi luar dari dinding memiliki suhu yang lebih tinggi

daripada suhu pada sisi dalam dinding.

+ = 0

+

=

Gambar 3.9. Konduksi panas pada dinding.

Tujuan dari subbab ini adalah merumuskan sebuah persamaan

diferensial yang menggambarkan kesetimbangan suhu sisi dalam dari

bahan pada sebarang titik . Pertama, pertimbangkan kembali mengenai

persamaan yang mendeskripsikan laju panas yang keluar masuk dari

bagian kecil bahan. Diasumsikan tidak ada panas yang digunakan untuk

menaikkan suhu dan bagian kecil ketebalan dari bagian mendekati nol.

Pertimbangkan bagian yang tipis dari bahan atau berupa irisan, dari

ke yang ditunjukkan pada gambar di atas. Misalkan luas irisan

tersebut adalah . Laju perubahan panas dipengaruhi oleh panas yang

keluar dan masuk dari bagian tersebut. Sebagai contoh, akan ditentukan


63

persamaan laju panas yang masuk-keluar dari sembarang bagian dengan

tebal . Panas yang masuk hanya disebabkan oleh konduksi panas ke

dalam bagian , dan panas yang keluar hanya disebabkan oleh konduksi

panas yang yang keluar dari bagian pada . Pada masalah irisan ini

dapat digambarkan menggunakan diagram berikut.

panas dihantarkan panas dihantarkan

ke dalam bagian keluar bagian

Gambar 3.10. Skema perpindahan panas pada dinding.

Jadi, persamaan untuk masalah irisan tersebut sebagai berikut

{

} {

} –

{

}

(3.22)

Misalkan, ( ) menunjukkan kesetimbangan suhu pada titik dan

( ) sebagai fluks panas pada , laju panas yang dihantarkan ke dalam

pada sisi diperoleh dari mengalikan fluks panas dengan luas permukaan

irisan . Maka,

{

} * + 2

3

Panas dari bagian 𝑥


64

( ) (3.23)

Fluks panas pada bagian yang lain dinotasikan dengan ( )

Maka, laju panas yang dihantarkan keluar dari bagian yang lain dapat

ditulis sebagai berikut

{

} * + 2

3

( ) (3.24)

Karena pada saat setimbang laju perubahan panas adalah nol, maka

persamaan untuk masalah irisan tersebut menjadi sebagai berikut

( ) ( ) (3.25)

Selanjutnya, akan ditentukan persamaan diferensial untuk suhu

dengan mengambil limit pada persamaan (3.25) dan

mengaplikasikan hukum Fourier

. Bila persamaan (3.25) dibagi

dengan , diperoleh

( ) ( )

Dari definisi turunan terhadap , persamaan di atas menjadi

(3.26)

Karena fluks panas dari bahan menghantarkan panas, maka hukum Fourier

dapat diaplikasikan untuk menggambarkan persamaan diferensial. Dengan


65

mensubstitusiikan persamaan (3.20) ke dalam persamaan (3.26), maka

persamaan (3.26) menjadi

.

/ (3.27)

Karena daya konduksi diasumsikan konstan, maka persamaannya

menjadi

(3.28)

Jika persamaan (3.28) diintegralkan akan diperoleh

∫

∫

∫

∫

(3.29)

Fungsi merupakan fungsi linear dengan sebagai konstanta.

Contoh 3.3.

Perhatikan suatu bagian dari dinding yang suhu pada posisi awal( )

100C. Diketahui bahwa daya konduksi bernilai 1. Akan diamati distribusi

suhu di sepanjang dinding tersebut!


66

Penyelesaian:

Diketahui bahwa suhu pada posisi awal benda tersebut adalah 10 0C. Ini

berarti dari persamaan (3.29) maka

sehingga

Misalkan

maka

Karena diketahui maka

persamaan (3.29) dapat ditulis sebagai berikut

Nilai dari dimisalkan negatif agar menjaga kesetimbangan suhu, karena

suhu sisi luar lebih tinggi daripada suhu di sisi dalam. Jadi semakin ke

dalam maka suhu akan menjadi turun.

Grafik fungsi tersebut dapat dilihat pada Gambar 3.11.


67

Gambar 3.11. Grafik fungsi suhu terhadap ketebalan dinding.

Dari grafik pada Gambar 3.11. tampak adanya penurun suhu pada

dinding. Suhu pada sisi luar yang terkena panas lebih tinggi dari pada suhu

di sisi dalam. Perbedaan suhu antara sisi luar dan sisi dalam pada dinding

tidak jauh berbeda.

E. Konduksi panas radial

Konduksi panas radial hampir sama dengan konduksi panas

melalui dinding, bedanya kulit yang diamati berbentuk radial sedangkan


68

pada konduksi panas melalui dinding berbentuk balok. Sebagai contoh,

perpindahan panas yang terjadi pada dinding sumur.

Masalah aliran panas radial terjadi pada silinder dan bola dimana

suhu sama pada sebarang jarak dari pusat silinder dan bola. Pada aliran

panas radial terjadi penjalaran panas keluar, yaitu panas yang dipindahkan

keluar dari pusat kulit luar dari silinder dan bola.

Jika menunjukkan jarak radial dari sebuah titik pusat silinder dan

bola, maka fluks panas pada dinotasikan sebagai ( ). Secara

keseluruhan laju aliran panas sebagai berikut

{

} ( ) ( ) (3.30)

dimana ( ) merupakan luas terjadinya aliran panas. Untuk permukaan

silinder dengan radius dan panjang , ( ) , sedangkan untuk

permukaan bola dari radius , .

Seperti pada bagian sebelumnya, hukum Fourier untuk konduksi panas

radial didefinisikan sebagai berikut

( ) ( )

(3.31)

dimana ( ) sebagai fluks panas pada kulit silinder/bola dengan jarak

radial , ( ) sebagai suhu pada jarak radial dan sebagai daya

konduksi. Hukum Fourier menunjukkan bahwa fluks panas berbanding

langsung dengan gradien suhu.


69

Misal diberikan bahan berbentuk silinder dengan permukaan

bagian dalam yang panas dan dingin dibagian permukaan luar.

Didefinisikan radius bagian luar dari silinder adalah dan radius bagian

dalam adalah , dan akan mendekati nol pada silinder padat, sedangkan

untuk mendekati maka model silinder akan berupa sebuah pipa.

Misalkan panjang silinder adalah dan sebagai jarak radial dari pusat

garis. Diasumsikan aliran panas pada silinder berlangsung dan suhu dalam

silinder hanya bergantung pada dan waktu . Jika diasumsikan juga

panas setimbang maka suhu akan menjadi fungsi dari jarak radial .

Perhatikan sebuah potongan kecil kulit dari sebuah silinder dari

ke . Dengan menerapkan hukum kesetimbangan maka akan

dipertimbangkan sebarang panas yang masuk dan keluar dari kulit.

Diasumsikan tidak ada panas yang dihasilkan dalam kulit. Panas yang

masuk hanya dihantarkan sebagai panas yang keluar. Diagram hukum

kesetimbangan sebagai berikut:

panas dihantarkan panas dihantarkan

ke dalam kulit ke luar dari kulit

Gambar 3.12. Skema perpindahan panas radial.

𝑟

Panas pada kulit


70

Pada bagian berikut akan ditentukan persamaan untuk kulit dalam

yang dipotong yang mana tidak ada panas yang mengalir. Untuk masalah

ini tidak ada panas dalam kulit. Persamaan yang mendeskripsikan

kesetimbangan dari panas yang masuk dan keluar dari kulit silinder

adalah sebagai berikut

{

} {

}

{

}

(3.32)

Dimisalkan ( ) sebagai suhu kesetimbangan pada jarak dari

pusat garis dan ( ) sebagai fluks panas pada jarak dari sumber. Sebagai

contoh akan ditentukan persamaan diferensial untuk kesetimbangan suhu

dalam potongan kulit. Aliran panas masuk dalam kulit silinder pada luas

( ) . Aliran panas meninggalkan sisi potongan pada luas (

) ( ) . Bentuk dari fluks panas ( ) sebagai berikut

2

3 ( ) ( ) (3.33)

{

} ( ) ( ) (3.34)

Untuk suhu kesetimbangan bernilai nol maka persamaannya menjadi

( ) ( ) ( ) ( ) (3.35)

Atau dapat ditulis sebagai berikut


71

, ( ) ( ) ( ) ( )-

(3.36)

Bila dibagi dengan menjadi

0 ( ) ( ) ( ) ( )

1 (3.37)

kemudian dengan diberikan limit , maka dari definisi turunan

diperoleh

, ( ) ( )-

(3.38)

Tanpa memperhatikan radius, persamaan (3.38) menjadi

Hal ini menunjukkan bahwa sebarang titik pada silinder merupakan

kombinasi fluks panas yang dikalikan dengan luas.

Dengan mensubstitusikan luas ( ) dan menggunakan

hukum Fourier

, maka persamaan (3.38) menjadi

.

/ (3.39)

Karena adalah konstan, maka suhu kesetimbangan ( ) menjadi

.

/ (3.40)

Jika persamaan di atas diintegralkan akan diperoleh


72

∫ (

) ∫

∫ ∫

∫

( ) (3.41)

Untuk mendapatkan nilai dan maka diperlukan dua batas

suhu yaitu

pada (3.42)

dan

pada (3.43)

Dengan menggunakan persamaan (3.41) maka persamaan (3.42) dan

(3.43) menjadi sebagai berikut

( ) (3.44)

( ) (3.45)

dan, jika dieliminasi maka diperoleh

( )⁄ (3.46)

Selanjutnya, jika persamaan (3.44) dikurangi dengan persamaan (3.41)

maka diperoleh

( ( ) ) ( ( ) )


73

(3.47)

dan jika persamaan (3.46) disubstitusikan ke dalam persamaan (3.47)

maka diperoleh

(

( )⁄)

( )⁄

⁄

( )

⁄ (3.48)

Contoh 3.4.

Perhatikan suatu bagian dari dinding sumur yang berbentuk silinder pada

( ) memiliki suhu 25 0C. Diketahui bahwa bagian dari dinding

sumur tersebut terbuat dari batubata sehingga menurut Tabel 4 maka daya

konduksinya bernilai 0,886. Dinding pada posisi ( ) memiliki suhu

23 0C. Hitung suhu pada dan amati distribusi suhu pada dinding

sumur tersebut!


74

Panas

Gambar 3.13. Ilustrasi dinding sumur.

Penyelesaian:

Diketahui bahwa suhu pada posisi ( ) adalah 25 0C dan suhu pada

posisi ( ) adalah 23 0C.

Sehingga nilai menjadi sebagai berikut

( )⁄

( )⁄

Jadi, nilai untuk masing-masing posisi adalah sebagai berikut

( )

( )

( )

dan


75

( )

( )

( )

Jadi, nilai untuk posisi awal ( ) dan posisi ( ) tidak jauh

berbeda.

Suhu pada posisi dapat dicari dengan menggunakan nilai dan

yang telah diperoleh sebagai berikut

( )

( )

Jadi, suhu pada posisi adalah sekitar 24 0C.

Grafik fungsi tersebut dapat dilihat pada Gambar 3.14.


76

Gambar 3.14. Grafik distribusi suhu terhadap radius pada sumur.

Dari grafik pada Gambar 3.14. tampak bahwa suhu naik menurut

fungsi logaritma. Semakin besar radiusnya maka suhu juga semakin tinggi,

radius yang semakin tinggi menunjukkan bahwa posisinya mendekati

posisi yang paling luar. Jadi, suhu pada posisi luar lebih tinggi

dibandingkan suhu pada posisi dalam. Perbedaan suhu antara posisi luar

dan dalam tidak jauh berbeda.


77

BAB IV

KESIMPULAN DAN SARAN

A. KESIMPULAN

Konduksi panas merupakan perpindahan panas dari daerah yang

bersuhu tinggi ke daearah yang bersuhu rendah. Media tersebut dapat

berupa zat padat, zat cair, dan zat gas. Pada makalah ini konduksi panas

yang dibahas dibatasi untuk konduksi panas pada masalah pendinginan air,

pemanas air, konduksi panas melalui dinding, dan konduksi panas radial.

Sebagai contoh untuk masalah pendinginan air adalah berapa

waktu yang dibutuhkan untuk menunggu kopi untuk siap diminum. Dari

hasil model didapat bahwa waktu yang dibutuhkan untuk menunggu kopi

menjadi siap diminum sekitar 16 menit. Jika kopi tersebut didinginkan

untuk waktu yang sangat lama maka suhu kopi tersebut akan mendekati

suhu sekitar.

Konduksi panas pada pemanas air, panas timbul karena adanya

elemen pemanas. Suhu air yang dipanaskan dalam waktu yang sangat lama

maka suhunya akan menjadi sangat tinggi. Waktu yang dibutuhkan untuk

menunggu air mencapai suhu tertentu sangat dipengaruhi oleh laju panas

yang digunakan. Semakin besar laju yang digunakan maka waktu yang

dibutuhkan juga semakin cepat.


78

Konduksi panas melalui dinding, suhu dinding bagian luar lebih

tinggi daripada dinding bagian dalam, sehingga antar dinding bagian luar

dan dinding bagian dalam terjadi penurunan. Perbedaan suhu antara

dinding bagian luar tidak begitu jauh berbeda. Pada masalah konduksi

panas radial, suhu yang digunakan adalah suhu pada posisi setimbang atau

suhu kesetimbangan, sehingga tidak diamati bagaimana distribusi suhu

antara bagian luar dan bagian dalam.

B. SARAN

Berdasarkan pembahasan dalam proses penulisan makalah ini, ada

saran yang dapat dikemukakan yaitu

1. Masalah konduksi panas radial tidak hanya yang dibahas dalam

makalah ini, masih ada banyak masalah konduksi panas radial pada

bola peejal.

2. Masalah konduksi panas selain yang dibahas dalam makalah ini

misalnya masalah konduksi panas untuk waktu.


79

DAFTAR PUSTAKA

Barnes, B. & Gleen, R. F. (2009). Mathematical Modelling with Case Studies

(2th

Ed). New York: CRC Press.

Bejan, A. (1993). Heat Transfer. New York: John Wiley & Sons, Inc.

Cengel,Y. A. & Afshin, J. G. (2011). Heat and Mass Transfer Fundamentals and

Applications (4th

Ed). New York: Mc Graw Hill.

Hutahean, E. Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik . Edisi ke-5. Jakarta: Penerbit

Erlangga.

Incropera, F. P. & David, P. D. (1996). Fundamentals of Heat and Mass Transfer

(4th

Ed). New York: John Wiley & Sons.

Kreith, F. (1986). Prinsip-prinsip Perpindahan Panas. Edisi ke-3. Jakarta:

Penerbit Erlangga.

Purcell, E. J., Varberg, D. & Rigdon, S. E. (2004). Kalkulus. Edisi ke-8. Jakarta:

Penerbit Erlangga.


plagiat merupakan tindakan tidak terpuji · makalah pemodelan matematika mengenai masalah konduksi...

Documents