optimal: peta karnaugh & multi-keluaran @2014,eko didik ... · pdf filei aljabar boolean:...

Rangkaian LogikaOptimal: PetaKarnaugh &Rangkaian

Multi-Keluaran

@2014,Eko DidikWidianto

Peta Karnaugh

RangkaianMulti-Keluaran

Ringkasan

Lisensi

Rangkaian Logika Optimal: PetaKarnaugh & Rangkaian Multi-Keluaran

Kuliah#4 TKC205 Sistem Digital - TA 2013/2014

Eko Didik Widianto

Sistem Komputer - Universitas Diponegoro

http://didik.blog.undip.ac.id @2014,Eko Didik Widianto 1


Multi-Keluaran


Peta Karnaugh


Ringkasan

Lisensi

Umpan Balik

I Sebelumnya dibahas tentang implementasi fungsi logikamenjadi suatu rangkaian logika (disebut proses sintesis),baik menggunakan tabel kebenaran, maupun aljabarBoolean

I Aljabar Boolean: aksioma, teorema, dan hukumI Diagram VennI Manipulasi aljabarI Sintesis ekspresi logika dari tabel kebenaranI Bentuk kanonik: minterm/SOP dan maxterm/POS beserta

notasinyaI Konversi SOP <-> POSI Rangkaian AND-OR, OR-ANDI Rangkaian NAND-NAND, NOR-NOR

I Rangkaian optimal diperoleh dengan penyederhanaanekspresi logika secara Aljabar



Multi-Keluaran


Peta Karnaugh


Ringkasan

Lisensi

Tentang Kuliah

I Dibahas proses sintesis rangkaian logika minimal menggunakan petaKarnaugh untuk menyederhanakan persamaan fungsi logika

I Peta Karnaugh juga digunakan untuk merancang rangkaianmultikeluaran minimal

I Pokok Bahasan:I peta Karnaugh: 2 variabel, 3-variabel, 4-variabel, 5-variabel dan

6-variabelI strategi minimisasi rangkaian SOP (pengelompokan minterm)I kondisi don’t care dan rangkaian dengan spesifikasi tidak lengkapI minimisasi POS (pengelompokan Maxterm)I literal, implicant, cover, cost, implicant utama dan fungsi minimumI implementasi rangkaian logika SOP optimal dengan AND-OR

dan/atau NAND-NANDI implementasi rangkaian logika POS optimal dengan OR-AND

dan/atau NOR-NORI rangkaian multi-keluaran



Multi-Keluaran


Peta Karnaugh


Ringkasan

Lisensi

Kompetensi Dasar

I Setelah mempelajari bab ini, mahasiswa akan mampu:

1. [C2] memahami prinsip-prinsip penyederhanaan fungsi logikamenggunakan peta Karnaugh;

2. [C3] menggunakan Don’t care dalam peta Karnaugh;3. [C6] mendesain rangkaian logika SOP minimal menggunakan peta

Karnaugh;4. [C6] mendesain rangkaian logika POS minimal menggunakan peta

Karnaugh;5. [C6] mendesain rangkaian logika minimal dengan menggabungkan

beberapa fungsi dalam satu rangkaian multi-keluaran;I Link

I Website: http://didik.blog.undip.ac.id/2014/02/25/tkc205-sistem-digital-2013-genap/

I Email: [email protected]


http://didik.blog.undip.ac.id/2014/02/25/tkc205-sistem-digital-2013-genap/


mailto:[email protected]


Multi-Keluaran


Peta Karnaugh


Ringkasan

Lisensi

Bahasan

Peta KarnaughKarnaugh MapGrouping K-MapLiteral, Implicant, Cover dan CostRangkaian POS OptimalFungsi Tidak Lengkap

Rangkaian Multi-Keluaran

Ringkasan

Lisensi



Multi-Keluaran


Peta KarnaughKarnaugh Map

Grouping K-Map

Literal, Implicant, Cover danCost

Rangkaian POS Optimal

Fungsi Tidak Lengkap


Ringkasan

Lisensi

Rangkaian Optimal

I Rangkaian optimalI Cost rangkaian sekecil mungkin: jumlah gerbang (dan

transistor), jumlah jalurI Fungsional terpenuhiI Constraint terpenuhi: delay, fanout (driving), area

I Rangkaian optimal biasanya minimalI Rangkaian optimal bisa diperoleh dengan teknik:

1. Penyederhanaan fungsi logikaI Menggunakan prinsip-prinsip Aljabar BooleanI Menggunakan Karnaugh Map

2. Penggunaan gerbang secara bersama untuk beberapafungsi sekaligus, membentuk rangkaian multi-keluaran



Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Ringkasan

Lisensi

Bahasan



Ringkasan

Lisensi



Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Ringkasan

Lisensi

Prinsip Penyederhanaan

I Operasi penyederhanaan adalah mengurangi minterm atau maxterm diekspresi

I SOP: menggunakan hukum 14a (x · y + x · y = x)I POS: menggunakan hukum 14b ((x + y) · (x + y) = x)

I Beberapa minterm atau maxterm dapat digabungkan menggunakanhukum 14a atau 14b jika berbeda hanya di satu variabel sajaf (x1, x2, x3) = x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3m1 dan m5 berbeda di x1, dan m4 dan m6 berbeda di x2

f = x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3

= (x1 + x1) x2x3 + x1(x2 + x2)x3

= x2x3 + x1x3

f (x, x, x) = (x + x + x) (x + x + x) (x + x + x) (x + x + x)M0 dan M2 berbeda di x2, dan M4 dan M7 berbeda di x1

f = ((x1 + x3) + x2x2) (x1x1 + (x2 + x3))

= (x1 + x3) (x2 + x3)



Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Ringkasan

Lisensi

Peta Karnaugh

I Peta Karnaugh (K-map) menyediakan cara sistematik dan grafisuntuk mencari rangkaian SOP dan POS minimal

I K-map SOPI mengelompokkan minterm-minterm bernilai 1 yang saling

berdekatan, yang hanya mempunyai perbedaan di satuvariabel saja

I membentuk rangkaian AND-ORI K-map POS

I mengelompokkan Maxterm-Maxterm bernilai 0 yang salingberdekatan

I membentuk rangkaian OR-AND minimal



Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Ringkasan

Lisensi

Representasi Peta Karnaugh

I K-map juga merupakan alternatif untuk menyatakan suatufungsi logika selain tabel kebenaran dan ekspresi logika

I K-map disusun atas sel-sel. Satu sel, satu minterm



Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Ringkasan

Lisensi

Bahasan



Ringkasan

Lisensi



Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Ringkasan

Lisensi

Grouping K-Map

I Minterm-minterm yang berdekatan dapat dikombinasikankarena mereka hanya berbeda di satu variabel saja, disebutGrouping

I Grouping dilakukan dengan melingkari nilai ’1’ yang berdekatanI Melingkari dua nilai ’1’ bersama, berarti mengeliminasi satu

term dan satu variabel dari ekspresi outputI Variabel yang dieliminasi adalah yang mempunyai

perbedaan nilai di grup, vertikal/horizontalI Group merah: x1 dieliminasi, Grup biru: x2 dieliminasi



Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Ringkasan

Lisensi

Ketentuan dan Tips Grouping

I Hanya dapat mengkombinasikan nilai 1 yang berdekatanI Hanya dapat menggabungkan 2n minterm (1,2,4,8,16, dst)I Bentuk grup sebesar mungkin

I grup 2 minterm menghilangkan 1 variabelI grup 4 minterm menghilangkan 2 variabelI grup 8 minterm menghilangkan 3 variabel

I Group yang sudah dicover oleh group lain tidak perludigabungkan lagi



Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Ringkasan

Lisensi

Contoh Grouping Fungsi 2 Variabel

Sederhanakan: f (x1, x2) =∑

m(0, 3) dan f (x1, x2) =∑

m(1, 2)

I f (x1, x2) =∑

m(0, 3) = x1x2 + x1x2

I fungsi SOP tidak dapat disederhanakanI f (x1, x2) =

∑m(1, 2) = x1x2 + x1x2

I fungsi SOP tidak dapat disederhanakan



Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Ringkasan

Lisensi


I Sederhanakan: f (x1, x2) =∑

m(0, 1) dan f (x1, x2) =∑

m(1, 3)

I f (x1, x2) =∑

m(0, 1) = x1x2 + x1x2 = x1, x2dieliminisi

I f (x1, x2) =∑

m(1, 3) = x1x2 + x1x2 = x2, x1dieliminasi



Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Ringkasan

Lisensi


I Sederhanakan: f (x1, x2) =∑

m(0, 1, 2) dan f (x1, x2) =∑

m(1, 2, 3)

I f (x1, x2) =∑

m(0, 1, 2) = x1x2 + x1x2 + x1x2 = x1 + x2

I f (x1, x2) =∑

m(1, 2, 3) = x1x2 + x1x2 + x1x2 = x1 + x2



Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Ringkasan

Lisensi

K-Map 3 Variabel

I K-map disusun sehingga minterm yang berdekatan hanyamempunyai perbedaan 1 variabel

x1 x2 x3 minterm mj

0 0 0 m0 = x1x2x3

0 0 1 m1 = x1x2x3

0 1 0 m2 = x1x2x3

0 1 1 m3 = x1x2x3

1 0 0 m4 = x1x2x3

1 0 1 m5 = x1x2x3

1 1 0 m6 = x1x2x3

1 1 1 m7 = x1x2x3



Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Ringkasan

Lisensi

Contoh K-Map 3 Variabel

I Sederhanakan f (x1, x2, x3) =∑

m(0,1,2,5)



Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Ringkasan

Lisensi


I Sederhanakan f (x1, x2, x3) =∑

m(0,2,4,7)

I menghasilkan f (x1, x2, x3) = x1x3 + x2x3 + x1x2x3



Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Ringkasan

Lisensi


I Sederhanakan: f (x1, x2, x3) =∑

m(1, 3, 5, 7),f (x1, x2, x3) =

∑m(0, 2, 3, 6, 7)



Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Ringkasan

Lisensi

Desain Rangkaian Logika

Dari sebuah K-map, implementasi rangkaian logika bisamempunyai dua bentuk, yaitu:

1. Jika diinginkan rangkaian logika dengan AND-OR atauNAND-NAND, maka persamaan logika SOP minimal dapatdiperoleh dengan mengelompokkan minterm bernilai 1;

2. Jika diinginkan rangkaian logika dengan OR-AND atauNOR-NOR, maka persamaan logika POS minimal dapatdiperoleh dengan mengelompokkan Maxterm bernilai 0;



Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Ringkasan

Lisensi


I Rancang rangkaian NAND-NAND dari fungsif (x1, x2, x3) =

∑m(0, 1, 3, 4, 5, 7) dan f (x1, x2, x3) =

∏M(2, 7)



Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Ringkasan

Lisensi

K-Map 4 Variabel

I Bentuk K-map 4 variabel:



Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Ringkasan

Lisensi

Contoh: Grouping K-Map 4 Variabel

I Sederhanakan f (x1, x2, x3, x4) =∑

m(2, 3, 8 − 11, 13)



Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Ringkasan

Lisensi

Grouping K-Map 4 Variabel

I Sederhanakan fungsif (x1, x2, x3, x4) =

∏M(0, 2, 4, 8 − 12, 14) dengan K-map

I Menghasilkan f (x1, x2, x3, x4) = x1x4 + x2x4 + x1x2x3



Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Ringkasan

Lisensi

Umpan Balik: Grouping K-Map 4 Variabel

Sederhanakan:I f (x1, x2, x3) =

∑m(3− 7,9,11,12− 15)

I f (x1, x2, x3) =∑

m(0− 4,6,9,11,12,14)I f (x1, x2, x3) =

∑m(0,2,5,7,8,10,13,15)



Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Ringkasan

Lisensi

K-Map 5 Variabel



Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Ringkasan

Lisensi

Contoh K-map 5 Variabel

I Sederhanakan fungsi f (x1, x2, x3, x4, x5) =∑m(4,5,10,12− 14,16− 19,24− 27,30)



Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Ringkasan

Lisensi

K-map 6 VariabelI Bagaimana K-Map 6 Variabel? Tidak berguna dari sudut

pandang praktisI Akan membutuhkan perangkat CAD, salah satunya bmin

http://bukka.eu/bmin/0.5.0I Contoh: f (f , e, d , c, b, a) =

∑m(21, 23, 29, 31, 53, 55, 61, 63) = ace


http://bukka.eu/bmin/0.5.0


Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Ringkasan

Lisensi

Bahasan



Ringkasan

Lisensi



Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Ringkasan

Lisensi

Terminologi

I Literal = variabel di suatu termI Contoh: x1x2x3x4(term dg 4 literal), x2x3(term dg 2 literal)

I Implicant : sebarang term bernilai ’1’ atau grup termbernilai ’1’ yang dapat digabungkan di K-map

I minterm adalah implicant dasar. Untuk fungsi n-variabel,minterm adalah implicant dengan n literal

I Prime Implicant : implicant yang tidak bisa digabungkandengan implicant lain untuk menghilangkan sebuahvariabel

I Literal dalam prime implicant tidak dapat dihapus untukmendapatkan implicant valid

I Cover : suatu himpunan implicant yang menghasilkan nilaifungsi ’1’

I Cost : jumlah gerbang ditambah jumlah total masukan kesemua gerbang dalam rangkaian logika



Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Ringkasan

Lisensi

Implicant dan Prime Implicant

I Terdapat 10 implicant validI 7 buah mintermI 1 term 3-literal (grup 2 minterm)I 2 term 2-literal (grup 4 minterm)

I Terdapat 3 prime implicantI x1x2, x2x3, x1x3x4I Tidak bisa disederhanakan lagi?

I Untuk x1x2, jika sebuah literaldihapus menyisakan x1 ataux2, padahal x1bukan implicantvalid karena {1,1,0,0}menghasilkan f = 0



Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Ringkasan

Lisensi

Cover dan Cost

I Cover untuk f (x1, x2, x3, x4) =∑

m(2, 3, 8, 9, 10, 11, 13)

1. Persamaan dengan semua minterm2. f = x1x2 + x1x2x3 + x1x3x4 merupakan cover valid3. f = x1x2 + x2x3 + x1x3x4 merupakan cover valid yang berisi

prime implicantI Cost untuk setiap cover: (asumsi input utama baik terinvers atau

tidak mempunyai cost 0)

1. jumlah gerbang=7+1, jumlah input semuagerbang=7*4+7*1, total=8+28+7=43

2. jumlah gerbang=3+1, jumlah input semua gerbang=8+3,total=4+11=15

3. jumlah gerbang=3+1, jumlah input semua gerbang=7+3,total=4+10=14

I Cover yang berisi prime implicant cenderung menghasilkanimplementasi dengan cost terendah



Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Ringkasan

Lisensi

Menghitung Cost Rangkaian

I Fungsi f = x1x2 + x2x3 + x1x3x4

I NOT tidak diperhitungkan

Gerbang #Gerbang #Masukan KeteranganAND-3 1 1× 3 = 3 →x1x3x4AND-2 2 2× 2 = 4 →x1x2 dan x2x3OR-3 1 1× 3 = 3Total 4 10

Cost= 4 + 10 = 14



Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Ringkasan

Lisensi

Jika Gerbang NOT Diperhitungkan

Gerbang #Gerbang #Masukan Keterangan

AND-3 1 1× 3 = 3 →x1x3x4

AND-2 2 2× 2 = 4 →x1x2 dan x2x3

NOT 2 2× 1 = 2 →1 masukan, x2dan x3

OR-3 1 1× 3 = 3

Total 6 12 Cost= 6 + 12 = 18

Gerbang #Gerbang #Masukan Keterangan

AND-3 1 1× 3 = 3 →x1x3x4

AND-2 2 2× 2 = 4 →x1x2 dan x2x3

NOT 3 3× 1 = 3 →1 masukan, x2dan x3

OR-3 1 1× 3 = 3

Total 7 13 Cost= 7 + 13 = 20http://didik.blog.undip.ac.id @2014,Eko Didik Widianto 35


Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Ringkasan

Lisensi

Prime Implicant Esensial dan Non-Esensial

SOP minimum hanya mengandung prime implicant (namuntidak semua prime implicant)

I Essential: diperlukan untuk membentuk SOP minimumI Nonessensial: tidak diperlukan untuk SOP minimum, sehingga

dapat dihilangkan

I Prime implicant: x1x2, x2x3, x1x3x4

dan x2x3x4I Esensial: x1x2, x2x3, dan x2x3x4I non-esensial: x1x3x4

I fmin = x1x2 + x2x3 + x2x3x4 , x1x3x4

dihilangkan



Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Ringkasan

Lisensi

Contoh

I Prime implicant: x1x2, x2x3, x1x2x3,x1x2x4 dan x1x3x4

I Esensial: x1x2, x2x3, dan x1x2x3I non-esensial: x1x2x4 , x1x3x4 (harus

dipilih salah satu)

I fmin = x1x2+x2x3+x1x2x3+

{x1x2x4

x1x3x4

}



Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Ringkasan

Lisensi

Langkah Penyederhanaan

I SOP minimum berisi semua prime implicant esensial danbeberapa prime implicant non-esensial

I Langkah menemukan rangkaian dengan cost minimum:

1. Cari semua prime implicant dari f2. Cari set prime implicant esensial3. Jika set tersebut telah meng-cover semua valuation dimana

f = 1, maka set ini adalah cover dari f yang diinginkan. Jikatidak, tentukan prime implicant non-esensial yang harusditambahkan agar minimum

I Menentukan prime implicant non-esensial? heuristik (mencobasemua kemungkinan untuk mendapatkan cover dengan costminimum)



Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Ringkasan

Lisensi

Latihan

I Cari semua prime implicant dari fI Cari set prime implicant esensialI Cari cover dengan cost terendah

dari semua kombinasi primeimplicant non-esensial



Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Ringkasan

Lisensi

Bahasan



Ringkasan

Lisensi



Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Ringkasan

Lisensi

Minimisasi Ekspresi POS

I Menggunakan prinsip dualitasI K-map dapat langsung dibentuk baik dari ekspresi

∑m

maupun∏

MI Grouping Maxterm yang bernilai 0 sebesar mungkinI Bentuk persamaan POS dari himpunan Maxterm minimum

I Prinsip prime implicant esensial berlaku? berlaku, denganpengertian implicant adalah Maxterm atau group Maxterm



Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Ringkasan

Lisensi

Representasi K-map POS



Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Ringkasan

Lisensi

Contoh K-map POS

I Nyatakan fungsi sederhana dari POS f (x1, x2) =∏

M(1, 3)

I Menghasilkan f (x1, x2) =∏

M(1, 3) = x2

I Bukti:

f (x1, x2) = (x1 + x2) (x1 + x2)

= x2



Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Ringkasan

Lisensi

POS Minimal dari∑

m atau∏

MDiberikan:f (x1, x2, x3) =

∑m(0, 1, 2, 5)

f =∑

m(0, 1, 2, 5)

= (x1 + x3) (x2 + x3) ; POS

= x1x3 + x2x3; SOP

=∏

M(3, 4, 6, 7)

Diberikan:f (x1, x2, x3) =

∏M(1, 4, 5)

f =∏

M(1, 4, 5)

= (x1 + x2) (x2 + x3) ; POS

= x2 + x1x3; SOP

=∑

m(0, 2, 3, 6, 7)



Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Ringkasan

Lisensi

Desain Rangkaian SOP dan POS

I Diketahui fungsi SOP f (x1, x2, x3) =∑

m(0,1,2,5).Desain rangkaian NAND-NAND dan NOR-NOR

I Cost?http://didik.blog.undip.ac.id @2014,Eko Didik Widianto 45


Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Ringkasan

Lisensi

Memilih Desain? SOP atau POS

I Desain rangkaian sederhana untukf (x1, x2, x3) =

∏M(1,4,5)

I Cost? Mana yang dipilih?http://didik.blog.undip.ac.id @2014,Eko Didik Widianto 46


Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Ringkasan

Lisensi

Ketentuan Rangkaian POS

I POS minimum berisi semua implicant utama esensialI Langkah menemukan rangkaian dengan cost minimum:

1. Mencari semua implicant utama dari fungsi f2. Mencari himpunan implicant utama esensial3. Jika himpunan tersebut telah meng-cover semua Maxterm

bernilai 0, maka set ini adalah cover dari f yang diinginkan.Jika terdapat Maxterm bernilai 0 yang belum ter-cover,maka perlu dipilih implicant utama non-esensial yang harusditambahkan ke dalam fungsi agar fungsi valid, namun tetapminimum.Penentuan implicant utama non-esensial dapat dilakukansecara heuristik, yaitu mencoba semua kemungkinan untukmendapatkan cover dengan biaya rangkaian minimal



Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Ringkasan

Lisensi

POS 4-Variabel Minimal

f (x1, x2, x3, x4) =∑

m(2, 3, 8, 9, 10, 11, 13)

=∏

M(0, 1, 4, 5, 6, 7, 12, 14, 15)

I Prime implicant: x1 + x3, x2 + x3,x2 + x4 dan x1 + x2

I Esensial: x1 + x3, x2 + x3, dan x2 + x4I non-esensial: x1 + x2 (biru)I fmin = (x1 + x3) (x2 + x3) (x2 + x4)



Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Ringkasan

Lisensi

Latihan di Rumah

I Persamaan SOP dan POSI Cari semua prime implicant dari fI Cari set prime implicant esensialI Cari cover dengan cost terendah

dari semua kombinasi primeimplicant non-esensial



Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Ringkasan

Lisensi

Bahasan



Ringkasan

Lisensi



Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Ringkasan

Lisensi


I Dalam sistem digital, sering terjadi beberapa kondisi inputyang tidak akan pernah terjadi

I Kombinasi input seperti itu disebut kondisi don’t careI Dalam desain rangkaian, kondisi don’t care dapat

diabaikan (keluaran untuk kondisi tersebut dapat diberikan0 atau 1 di tabel kebenaran)

I Fungsi yang mengandung kondisi don’t care disebutfungsi yang dispesifikasikan tidak lengkap (incompletelyspecified)



Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Ringkasan

Lisensi

Contoh Kondisi Don’t Care

I Diinginkan sistem untuk mendeteksi suhu ekstrem dibawah 10oC dan di atas 80oC. Deteksi suhumenggunakan dua buah sensor suhu, yangmasing-masing dapat menghasilkan nilai 1 jika suhu> 10oC dan jika suhu > 80oC. Jika suhu di bawah 10oCdan di atas 80oC, maka sebuah lampu akan menyala.Nyatakan deskripsi sistem tersebut dalam tabel kebenaran

I Solusi. Jika x1 menyatakan suhu > 10oC dan x2 suhu> 80oC, maka

x1 x2 f keterangan0 0 1 suhu< 10oC0 1 d tidak pernah terjadi1 0 0 10oC < suhu < 80oC1 1 1 suhu> 10oC



Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Ringkasan

Lisensi

Contoh Don’t CareI Di K-Map, masukan don’t care bisa diberi nilai 0 atau 1

sedemikian sehingga diperoleh fungsi yang optimal

x1 x2 x3 f

0 0 0 1

0 0 1 1

0 1 0 d

0 1 1 d

1 0 0 1

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 1 0

I Asumsi fungsi 3 variabel. Kombinasimasukan {x1x2x3} = 010 |011 tidakpernah terjadi, selebihnyaf (x1, x2, x3) =

∑m(1,4,5,6)

f (x1, x2, x3) =∑

m(1,4,5,6) + d(2,3);atauf =

∏M(0,7) · D(2,3)



Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Ringkasan

Lisensi

Contoh Don’t Care 4 variabel

I SOP: f (x1, x2, x3, x4) =∑

m(2, 4, 5, 6, 10) + D(12, 13, 14, 15)I POS: f (x1, x2, x3, x4) =

∏M(0, 1, 3, 7, 8, 9, 11) · D(12, 13, 14, 15)

I SOP: fmin = x2x3 + x3x4, POS: fmin = (x2 + x3) (x3 + x4)I Jika don’t care tidak disertakan: misalnya menganggap nilainya

selalu 0I SOP: f = x1x2x3 + x1x3x4 + x2x3x4I POS: f = (x2 + x3) (x3 + x4) (x1 + x2)I Cost mungkin lebih tinggi



Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Ringkasan

Lisensi

Analisis Rangkaian

I fmin = x2x3 + x3x4 dan fmin = (x2 + x3) (x3 + x4)



Multi-Keluaran


Peta Karnaugh


Ringkasan

Lisensi

Rangkaian dengan Banyak Keluaran

I Sebelumnya dibahas fungsi dengan keluaran tunggalberikut dengan implementasi rangkaiannya

I Dalam prakteknya, beberapa fungsi tunggal tersebutmerupakan bagian dari rangkaian logika yang lebih besar

I Rangkaian-rangkaian dari fungsi tersebut mungkin dapatdikombinasikan ke dalam rangkaian tunggal dengancost lebih rendah dengan keluaran lebih dari satu

I Pemakaian bersama blok gerbang oleh beberapa rangkaianfungsi tunggal



Multi-Keluaran


Peta Karnaugh


Ringkasan

Lisensi

Contoh Rangkaian Multi-Keluaran

I f1 (x1, x2, x3, x4) =∑

m(2,3,5,6,8,13) + d(7,9,11,12)I f2 (x1, x2, x3, x4) =

∏M(0,1,4,5,10,11,14) · D(2,3)



Multi-Keluaran


Peta Karnaugh


Ringkasan

Lisensi

Rangkaian Terpisah

I f1 = x1x3 + x1x3 + x2x3x4, Cost=4 gerbang + 10 input(=14)I f2 = x1x3 + x1x3 + x2x3x4, Cost=4 gerbang + 10 input (=14)I Cost total jika kedua fungsi diimplementasikan terpisah: 8

gerbang + 20 input (=28)I Jika gerbang NOT diperhitungkan?



Multi-Keluaran


Peta Karnaugh


Ringkasan

Lisensi


I Mengkombinasikan (prime) implicant yang sama dari dua/lebihfungsi mungkin bisa mengurangi cost

I Rangkaian multi-keluaran:{

f1f2

}= x1x3 + x1x3 +

{x2x3x4

x2x3x4

}

I Cost=6 gerbang + 16 input(=22), jika tanpa NOT

I Dengan NOT: biaya total = 28



Multi-Keluaran


Peta Karnaugh


Ringkasan

Lisensi


I Di contoh sebelumnya, terdapat prime implicant yang bersama.Kalau tidak ada yang bersama?

I f1 = x1x4 + x2x4 + x1x2x3, Cost=4 gerbang + 10 input(=14)I f2 = x1x4 + x2x4 + x1x2x3x4, Cost=4 gerbang + 11 input (=15)I Tidak ada gerbang prime implicant yang dapat dishared,

sehingga cost total dari kombinasi 2 rangkaian adalah 8 gerbang+ 21 input (=29)



Multi-Keluaran


Peta Karnaugh


Ringkasan

Lisensi


I Tapi ada alternatif realisasi lainnya: menggunakan implicantbersama antara 2 fungsi

I f1 = x1x2x4 + x1x2x3x4 + x1x4I f2 = x1x2x4 + x1x2x3x4 + x2x4I Rangkaian multikeluaran:{

f1f2

}= x1x2x4 + x1x2x3x4 +

{x1x4

x2x4

}I Cost gabungan total= 6 gerbang + 17 input (=23)



Multi-Keluaran


Peta Karnaugh


Ringkasan

Lisensi

Ringkasan Kuliah

I Yang telah kita pelajari hari ini:I Penyederhanaan fungsi logika menggunakan peta

Karnaugh melalui Grouping minterm untuk rangkaian SOPatau Maxterm untuk POS, baik fungsi 2-variabel sampai6-variabel

I Terminologi dalam K-map, yaitu implicant, prime implicant(esensial, non-esensial), cover dan cost beserta contohpenggunaan istilah-istilah tersebut

I Fungsi tidak lengkap dengan masukan don’t careI Rangkaian multi-keluaran untuk mengoptimalkan

penggunaan gerbang

I Yang akan kita pelajari di pertemuan berikutnya adalahpenyederhanaan fungsi logika menggunakanQuine-McKluskey untuk memperoleh rangkaian yangoptimal. Juga akan dibahas rangkaian multi-level

I Pelajari: http://didik.blog.undip.ac.id/2014/02/25/tkc205-sistem-digital-2013-genap/





Multi-Keluaran


Peta Karnaugh


Ringkasan

Lisensi

Lisensi

Creative Common Attribution-ShareAlike 3.0 Unported (CCBY-SA 3.0)

I Anda bebas:I untuk Membagikan — untuk menyalin, mendistribusikan, dan

menyebarkan karya, danI untuk Remix — untuk mengadaptasikan karya

I Di bawah persyaratan berikut:I Atribusi — Anda harus memberikan atribusi karya sesuai dengan

cara-cara yang diminta oleh pembuat karya tersebut atau pihakyang mengeluarkan lisensi. Atribusi yang dimaksud adalahmencantumkan alamat URL di bawah sebagai sumber.

I Pembagian Serupa — Jika Anda mengubah, menambah, ataumembuat karya lain menggunakan karya ini, Anda hanya bolehmenyebarkan karya tersebut hanya dengan lisensi yang sama,serupa, atau kompatibel.

I Lihat: Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported LicenseI Alamat URL: http://didik.blog.undip.ac.id/2014/02/25/tkc205-sistem-

digital-2013-genap/


http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/



optimal: peta karnaugh & multi-keluaran @2014,eko didik ... · pdf filei aljabar boolean:...

Documents